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Aspectos Elementares da Geometria de um Espaço Normado:
A definição de “ângulo” entre dois vetores
José Carlos CIFUENTES ∗ Josué Ervin MUSIAL †
Chamemos de E um espaço vetorial real onde está definida uma distância d. Por simplicidade consideraremos
E = R 2 . Uma distância vetorial em E será uma função
d : E × E−→R
(a, b) ↦−→ d(a, b),
onde d(a, b) é interpretada como a distância de a até b, satisfazendo:
i) d(a, b) ≥ 0;
ii) d(a, b) = 0 ⇔ a = b;
iii) d(a, b) = d(b, a);
iv) desigualdade triangular: d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b);
v) invariância por translações: d(a + c, b + c) = d(a, b);
vi) homotetia: d(ta, tb) = |t|d(a, b), para t ∈ R.
Essas propriedades caracterizam uma norma em E através da fórmula ||x|| = d(x, 0). Na verdade, prova-se
que a noção de “norma” e a noção de “distância vetorial” são equivalentes. De fato, dada uma norma || . ||, a
distância vetorial correspondente é dada por d(x, y) = ||x − y||.
Exemplos em R 2 são as p-normas: Seja p ∈ R, p ≥ 1, então, para x = (x 1 , x 2 ), define-se
‖x‖ p = (|x 1 | p + |x 2 | p ) 1 p
.
Para p = 2 temos a norma Euclidiana, e para p = 1 temos a norma soma.
Por outro lado, todo produto interno determina uma norma e, portanto, uma distância vetorial. Com efeito,
dado o produto interno 〈 . , . 〉 √ 〈x, 〉
, definimos a norma mediante ‖x‖ = x , como no caso Euclidiano.
Em contrapartida, nem sempre uma norma provém de um produto interno. Por exemplo, prova-se que para
p ≠ 2, a p-norma não provém de um produto interno.
A fórmula 〈 x, y 〉 = a(x 1 y 1 ) + b(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + c(x 2 y 2 ), para x = (x 1 , x 2 ) e y = (y 1 , y 2 ) e a > 0, c > 0 e
b 2 ≤ ac, determina a forma geral de um produto interno em R 2 . Então, podemos definir a norma correspondente
da seguinte maneira:
‖x‖ =
√ 〈x,
x
〉
=
(
ax 2 1 + 2bx 1 x 2 + cx 2 2
Assim, podemos generalizar o conceito de “circunferência”. Fixemos uma norma ‖.‖ qualquer em R 2 (ela
pode ou não provir de um produto interno). Nesse caso, a circunferência com centro na origem e raio r > 0 é
definida por
C r = {x ∈ R 2 ; ‖x‖ = r}.
Podemos escolher como centro a origem, pois a distância vetorial que essa norma determina, é invariante
por translações. Somos assim motivados a olhar para a noção de ângulo Euclidiano que “pode” ser definido
a partir da noção de distância Euclidiana. É o conceito de radiano que estabelece a relação íntima entre
ângulo e distância. Por exemplo, na geometria grega o quociente entre o comprimento de arco s e o raio r da
circunferência é constante. Esse quociente define o valor do ângulo em radianos. Se chamamos de θ aquele
ângulo, podemos definir medida de θ = s r
) 1
2
.
radianosḞigura
1:
O quociente entre o comprimento da circunferência Euclidiana c e seu diâmetro d ou o quociente entre o
comprimento da semicircunferência e o raio, é a constante π(≈ 3, 1415962...).
∗ Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná - UFPR. E-mail: jccifa@mat.ufpr.br.
† Bolsista do Grupo PET/Matemática (Programa de Educação Tutorial) do Curso de Matemática da UFPR.
E-mail: ajmusial@mat.ufpr.br.

O comprimento de um arco s de circunferência pode ser calculado através de uma integral, onde ainda a
noção de base é a distância entre dois pontos. Se z(t) = (x(t), y(t)) com a ≤ t ≤ b, então, o comprimento l é
dado por:
∫ b
∫ b
∫ b √
l = ‖z ′ (t)‖dt = ‖(x ′ (t), y ′ (t))‖dt = x′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt,
onde ‖.‖ é a norma Euclidiana.
a
a
Pergunta:
Pode ser definido “ângulo” desse mesmo modo substituindo o distância Euclidiana por uma outra distância
vetorial qualquer?
Para responder a pergunta anterior, formularemos o nosso problema central em sua forma mais geral. Vimos
que no caso Euclidiano a definição de ângulo (em radianos) depende de serem satisfeitas duas condições:
i) A possibilidade de medir o comprimento de um arco de “circunferência”, e
ii) A constatação de que o quociente de um arco qualquer de circunferência ao raio (ou ao diâmetro)
correspondente é constante.
Nesse caso, se d é uma distância vetorial, o valor π(d) será definido pelo quociente π(d) = cr
2r , onde c r é o
comprimento da circunferência toda. Em particular, π(d) = c 1
2
(tomando r = 1).
O “comprimento” c r (para as diversas distâncias vetoriais) deve ser calculado através da integral dada acima
usando a norma correspondente.
Caso de uma Norma que Provém de um Produto Interno
Vimos que a forma geral é dada por ‖(x, y)‖ = √ ax 2 + 2bxy + cy 2 .
Nesse caso, a circunferência de centro O e raio r é dada por:
cujo gráfico é uma elipse centrada em O.
C r = {(x, y) ∈ R 2 ; ax 2 + 2bxy + cy 2 = r 2 },
a
Figura 2:
Por simplicidade suporemos b = 0 (se b ≠ 0 a elipse é rotada). Observa-se que a elipse ax 2 + cy 2 = r 2 é
simétrica a respeito dos eixos x e y. Portanto, o comprimento c r da elipse toda, ou seja, da “circunferência” na
norma dada, é 4s onde s é o comprimento do arco correspondente ao primeiro quadrante.
Esse arco pode ser expresso através da seguinte parametrização: z(t) = ( √ r r
a
cost, √c sent), t ∈ [0, π 2
], donde,
s =
∫ π
2
0
‖z ′ (t)‖dt =
∫ π
2
0
√
a(− r √ a
sent) 2 + c( r √ c
cost) 2 dt = rπ 2 .
Daí c r = 4s = 2πr, donde π(d) = cr
2r
= π o qual é o mesmo valor Euclidiano.
O resultado anterior significa que esta forma de medir ângulo a partir da norma coincide com a forma dada
pelo produto interno!
Caso em que a Norma não Provém de um Produto Interno
Aqui analisaremos somente o caso das p-normas ‖.‖ p (p ≥ 1) onde ‖(x, y)‖ p = (|x| p + |y| p ) 1 p
.
A “circunferência” de centro na origem e raio r é dada por:
C r = {(x, y) ∈ R 2 ; |x| p + |y| p = r p }.
Figura 3: (p = 1)

Observa-se que essa “circunferência” também é simétrica a respeito dos eixos x e y.
Nesse caso, o arco correspondente ao primeiro quadrante é dado através da função:
y = (r p − x p ) 1 p , x ∈ [0, r].
Portanto,
daí,
s(r) =
∫ r
0
z(t) = (t, (r p − t p ) 1 p ), t ∈ [0, r],
‖z ′ (t)‖ p dt =
∫ r
0
[
1 +
( ) ] 1
t
p p−1 p
r p − t p dt.
Prova-se que I(r) = s(r)
r
= s(1) = I(1).
Nestes termos, o valor π(d) correspondente, que denotaremos por π p é:
π p = c 1
2 = 4s(1) = 2
2
∫ 1
0
[
1 +
( ) ] 1
t
p p−1 p
1 − t p dt.
Uma das grandes dificuldades encontradas foi o cálculo do valor de π p , fixado um p ≥ 1, analiticamente.
Uma aproximação numérica para este valor foi dada através de um algoritmo que nos possibilitasse fazer este
cálculo computacionalmente.
Se p aumenta indefinidamente o valor de π p converge para 2, ressaltando ainda que para p = 1 temos π 1 = 4
e para p = 2 temos π 2 = π, neste último caso o mesmo valor que no caso Euclidiano.
Figura 4:
Um outro resultado importante, e que nos levou a uma surpresa, é o seguinte.
Definindo “reta” como no caso Euclidiano, isto é, como o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma
equação do 1 ◦ grau ax + by + c = 0, e considerando três pontos não colineares em R 2 e três retas que passam
por estes pontos, temos que estas retas delimitam um triângulo. Daí resulta o seguinte:
A soma dos “ângulos internos” de um triângulo qualquer é igual ao valor de π(d) correspondente à norma
dada, o que pode ser visualizado pela figura abaixo:
Figura 5:
Na figura anterior, os ângulos α, β e γ do triângulo dado, são transladadas à origem usando a invariança
por translação da norma, e, no caso do ângulo β, usa-se a propriedade de ângulos opostos pelo vértice serem
iguais, decorrente da propriedade || − x|| = ||x|| da norma, para obtermos que α + β + γ = π(d), o valor de dois
ângulos retos na norma correspondente.
O teorema Euclidiano da soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a dois ângulos retos é satisfeito,
mesmo que a norma não seja a Euclidiana!