Cap. 17

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 14:20
A tensão no fio é T = µv 2 = µλ 2 f 2 e lembrando que
l = nλ/2, temos
que nos fornece
µ 1 λ 2 1f 2 = µ 2 λ 2 f 2
µ 1
4l 2 1
n 2 1
n 2
4l2
2 = µ 2
n 2 ,
2
√
µ2
= l 2
√ = 2.5
n 1 l 1 µ1
Os valores de n que satisfazem a razão acima são n 1 =
2 e n 2 = 5, do que obtemos
λ 1 = 2l 1
n 1
= 0.60 m e
λ 2 = 2l 2
n 2
= 0.35 m.
Voltando à relação da tensão, T = µ 1 λ 2 1f 2 , obtemos a
mais baixa freqüência de vibração do sistema,
(a) f = 324 Hz.
(b) As extremidades fixas são nós, evidentemente. O
comprimento l 1 acomoda um comprimento λ 1 , com 3
nós, inclusive o do ponto de junção dos fios. O comprimento
l 2 acomoda 2.5 comprimentos λ 2 , com 6 nós,
incluindo o do ponto de junção. Então, o fio composto
tem um total de 8 nós nesse modo vibrante.
17.7 Problemas Adicionais
17-65. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N
e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo
harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento
da corda é dado por
y = (0, 10 m)(sen πx/2) sen 12πt,
onde x = 0 numa das pontas da corda, x é dado em
metros e t em segundos. Quais são (a) o comprimento
da corda, (b) a velocidade escalar das ondas na corda e
(c) a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padrão
de onda estacionária referente ao terceiro harmônico,
qual será o período de oscilação?
◮ (a) Da forma da onda dada, temos k = π/2 rad/m e
λ = 2π/k = 4.0 m. Como a corda vibra no segundo
harmônico, n = 2, resulta que
l = λ = 4.0m.
(b) A velocidade das ondas na corda obtemos de
v = ω k
= 24 m/s
(c)
Com a tensão aplicada e a velocidade do ítem (b),
temos
µ = τ = 0.347 kg/m
v2 A massa da corda então é
m = µl = 1.39 kg.
(d) Se a corda vibra no terceiro harmônico, a freqüência
é f = nv/2l = 9.0 Hz e o período de oscilação é
T = f −1 = 0.11 s.
17-67. Uma onda estacionária resulta da soma de duas
ondas transversais progressivas dadas por
y 1 = 0, 050 cos(πx − 4πt),
y 2 = 0, 050 cos(πx + 4πt),
onde x, y 1 e y 2 estão em metros e t em segundos.
(a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde
a um nó? (b) Em quais instantes no intervalo
0 ≤ t ≤ 0, 50 s a partícula em x = 0 terá velocidade
zero?
◮ (a) Usando a identidade trigonométrica,
cosα + cosβ = 2cos 1 2 (α + β) cos 1 (α − β),
2
chegamos à forma da onda estacionária resultante:
Y (x, t) = 0.10 cosπx cos4πt.
A cada nó, devemos ter Y = 0. Portanto,
cosπx = 0
πx = π 2
x = 0.5 m
(b) A velocidade para qualquer partícula da corda oscilante
é
u(x, t) = ∂Y
∂t
= − (4π)(0.10) cosπx sen4πt.
Em x = 0, a partícula tem velocidade nula quando
sen4πt = 0
4πt = nπ
t = n 4 ,
onde n = 0, 1, 2, .... Dentro do intervalo em questão, a
velocidade é nula para t = 0 s, t = 0.25 s e t = 0.5 s.
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