Revisão - GMAp - UFRGS

•Rogério José Marczak
MEC082
Elementos Finitos
Uma Introdução ao Método
Rogério José Marczak
rato@mecanica.ufrgs.br
Grupo de Mecânica Aplicada
Departamento de Engenharia Mecânica
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Grupo de Mecânica Aplicada
1. INTRODUÇÃO
(continuação)
•Resistência dos Materiais Avançada •1

•Rogério José Marczak
Revisão de Elasticidade
Tensão.
Deformação.
Relações constitutivas.
Critérios de falha.
1. Tensão
Equilíbrio estático dos corpos:
y
F 1
F 2
F′
x
M ′
z
F 1
F 2
F 3
F F
n
3
M ′′
F n
F ′
•Resistência dos Materiais Avançada •2

•Rogério José Marczak
Definição de tensão
z
y
x
A
F
n
M
Tensão normal:
∆Fn
dF
σ
n
n = lim =
∆A→0
∆A
dA
∆F
∆F t
∆Fn
Tensões cisalhantes:
∆Ft
dF
τ
t
t = lim =
∆A→0
∆A
dA
∆A
∆M
∆F s
n
∆F
dF
τ
s s
s = lim =
∆A→0
∆A
dA
Notação de tensão
y
z
x
τ yz
σ yy
τ yx
Convenção de índices:
σ ij
direção
plano
τ zy
σ zz
τ zx
τ xy
τ xz
σ xx
Tensor tensão de Cauchy:
[ σ]
⎡σxx
⎢
= ⎢τ
yx
⎢
⎣τzx
τxy
σ yy
τzy
τxz
⎤
⎥
τ yz ⎥
σzz
⎥
⎦
•Resistência dos Materiais Avançada •3

•Rogério José Marczak
Equações de equilíbrio em termos de tensão
y
z
σ xx
x
∆z
τ yx
b x
τzx + ∆τ zx
∆y
σxx + ∆σ xx
Para que haja equilíbrio:
∑
∑
∑
F
F
F
x
y
z
= 0
= 0
= 0
∑
∑
∑
M
M
M
x
y
z
= 0
= 0
= 0
τ zx
∆x
τ yx + ∆τ yx
Do equilíbrio translacional:
∆σ
∆x
xx
∆τxy
+
∆y
∆τ
+
∆z
+ b
= 0
Fazendo o limite ∆V → 0 e
repetindo para as outras direções:
∂σ
∂x
∂τ
xx
yx
∂x
∂τ
∂x
zx
∂τ xy
+
∂y
∂σ
+
∂y
yy
∂τzy
+
∂y
xz
∂τ
+
∂z
xz
∂τ yz
+
∂z
∂σ
+
∂z
zz
x
+ b
+ b
+ b
x
z
y
= 0
= 0
= 0
Do equilíbrio rotacional:
Conclusão:
O tensor
τ
τ
τ
xy
xz
yz
[ σ]
= τ
= τ
= τ
yx
zx
zy
é SIMÉTRICO
•Resistência dos Materiais Avançada •4

•Rogério José Marczak
Caso 3D:
[ σ]
⎡σxx
=
⎢
⎢
⎢⎣
sim.
Caso 2D:
σ
⎢
⎣sim.
τxy
τxz
⎤
σ τ
⎥
yy yz ⎥
σzz
⎥⎦
6 componentes
τ
⎡ xx xy ⎤
[ σ] = ⎥
⎦
σ yy
3 componentes
∂σ
∂x
∂τ
xx
xy
∂x
∂τ
∂x
∂τ
xz
∂σ
∂x
xx
xy
∂x
∂τ xy
+
∂y
∂σ
+
∂y
yy
∂τ yz
+
∂y
∂τ xy
+
∂y
∂σ
+
∂y
yy
∂τ
+
∂z
xz
∂τ yz
+
∂z
∂σ
+
∂z
+ b
x
+ b
y
zz
+ b
+ b
+ b
= 0
= 0
x
z
y
= 0
= 0
= 0
2. Deformação
Comportamento de um ponto material
durante o processo de deformação:
y
z
x
P.
F 1
F 2
P. P′ .
d
F 3
F n
•Resistência dos Materiais Avançada •5

•Rogério José Marczak
Definição de deformação infinitesimal:
y
v
d
P′
Campo de deslocamentos:
d ( x,
y,
z)
=
z
{ u(
x,
y,
z)
v(
x,
y,
z)
w(
x,
y,
) }
z
w
P
u
x
dir. x dir. y dir. z
Deformação normal: Variação de comprimento de uma
fibra em uma direção, em relação à esta direção.
Deformação cisalhante: Variação do ângulo de uma
fibra sobre um plano.
Deformação normal:
y
A
A′
( x,
y z)
d ,
∆x
B
B′
( x + ∆x,
y z)
d ,
⎛ A'
B'
− AB
εxx
= lim ⎜
∆x→0⎝
AB
⎡
= lim ⎢
∆x→0⎣
( A'
B'
)
x
∆x
⎞
⎟
⎠
− ∆x⎤
⎥
⎦
( A'
B'
) x = ∆x
+ [ u( x + ∆x,
y,
z)
−u(
x,
y,
z)
]
z
x
Logo:
⎡u
εxx
= lim
∆x→
0 ⎢⎣
∂u
εxx
=
∂x
( x + ∆x,
y,
z) −u( x,
y,
z)
∆x
⎤
⎥⎦
•Resistência dos Materiais Avançada •6

•Rogério José Marczak
Deformação cisalhante:
y
C
∆y
ε yx
C ′′
A′
C′
θ
ε xy
B′
B ′′
⎛ B'
B′′
⎞
εxy
= lim ⎜ ⎟
∆ x→
0 ⎝ A ' B ' ⎠
B'
B′′
= v
A'
B′
≅ ∆x
( x + ∆x,
y,
z)
−v(
x,
y,
z)
⎛v(
x + ∆x,
y,
z)
−v(
x,
y,
z)
⎞
εxy
= lim ⎜ ⎟
∆x→
0⎝
∆x
⎠
A
∆x
B
x
Logo:
∂v
εxy
=
∂x
z
De forma similar:
∂u
ε yx =
∂y
Definindo:
γxy
=
2
Simplificando:
εxy = ε yx
π
−θ = ε
xy + ε yx
Convenção
γ = 2ε
= 2ε
xy
xy
yx
Estendendo para outras dimensões/planos:
∂u
εxx
=
∂x
∂u
∂v
γxy
= +
∂y
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂w
εzz
=
∂z
Deformações
normais
volume
∂u
∂w
γxz
= +
∂z
∂x
∂v
∂w
γ yz = +
∂z
∂y
Deformações
cisalhantes
forma
•Resistência dos Materiais Avançada •7

•Rogério José Marczak
Notação de deformação
Tensor deformação infinitesimal:
[ ε]
⎡ε
xx
=
⎢
⎢
⎢⎣
sim.
ε xy
ε yy
ε xz ⎤ ⎡ε
xx
ε
⎥
=
⎢
yz ⎥ ⎢
ε zz ⎥⎦
⎢⎣
sim.
γ xy 2
ε yy
γ xz 2⎤
γ
⎥
yz 2
⎥
ε zz ⎥⎦
[ ε] =
x
y
x
y
z
x
y
z
z
y
x
simétrico
z
Caso 3D:
[ ε]
⎡ε
xx
=
⎢
⎢
⎢⎣
sim.
Caso 2D:
γ xy 2 γ xz 2⎤
ε γ
⎥
yy yz 2
⎥
ε zz ⎥⎦
6 componentes
ε
⎢
⎣sim.
⎡ xx xy ⎤
[ ε] =
⎥
⎦
γ
ε yy
3 componentes
2
∂u
εxx
=
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂w
εzz
=
∂z
∂u
εxx
=
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂u
∂v
γxy
= +
∂y
∂x
∂u
∂w
γxz
= +
∂z
∂x
∂v
∂w
γ yz = +
∂z
∂y
∂u
∂v
γxy
= +
∂y
∂x
•Resistência dos Materiais Avançada •8

•Rogério José Marczak
3. Comportamento dos materiais
σ
σ max
A - Região linear
B - Acomodação plástica
C - Estricção
σ rup
σ esc
A - Regime elástico
B+C - Regime plástico
A
B
C
ε
Tipos de materiais quanto às
propriedades
y
A
B
C
z
x
σ
σ
Material isotrópico
Material ortotrópico
ε
ε
•Resistência dos Materiais Avançada •9

•Rogério José Marczak
Relações constitutivas
Tensões
?
Carregamentos
Deformações
Deslocamentos
Relações constitutivas: equações que relacionam [σ] com [ε]
Relação mais geral:
σxx
= C11ε
xx + C12ε
yy + C13ε
zz + C14γ
xy + C15γ
xz + C16γ
yz
σ yy = C21ε
xx + C22ε
yy + C23ε
zz + C24γ
xy + C25γ
xz + C26γ
yz
σzz
= C31ε
xx + C32ε
yy + C33ε
zz + C34γ
xy + C35γ
xz + C36γ
yz
γ xy = C41ε
xx + C42ε
yy + C43ε
zz + C44γ
xy + C45γ
xz + C46γ
yz
γ xz = C51ε
xx + C52ε
yy + C53ε
zz + C54γ
xy + C55γ
xz + C56γ
yz
γ yz = C61ε
xx + C62ε
yy + C63ε
zz + C64γ
xy + C65γ
xz + C66γ
yz
ou:
{ } = [ ]{ ε} + { }
σ C onde [C] é a matriz constitutiva
σ 0
inversamente:
−1
{ ε} = [ C]
{ σ}
•Resistência dos Materiais Avançada •10

•Rogério José Marczak
Para materiais isotrópicos lineares (Lei de Hooke):
σ
σ
σ
xx
yy
zz
=
=
=
E
( )( ) [( 1−
2ν
) ε ( )]
xx + ν εxx
+ ε yy + εzz
1+ ν 1−
2ν
E
( )( ) [( 1−
2ν
) ε ( )]
yy + ν εxx
+ ε yy + εzz
1+ ν 1−
2ν
E
( )( ) [( 1−
2ν
) ε ( )]
zz + ν ε xx + ε yy + ε zz
1+ ν 1−
2ν
τ
τ
τ
xy
xz
yz
= G γ
= G γ
= G γ
xy
xz
yz
[ C]
⎡E
⎢
ν
⎢
⎢ν
= ⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
ν
E
ν
0
0
0
ν
ν
E
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
G⎦
2 propriedades
Inversamente:
ε
ε
ε
xx
yy
zz
1
=
E
1
=
E
1
=
E
[ σ + ν( σ + σ )]
xx
[ σ + ν( σ + σ )]
yy
+ α ∆T
+ α ∆T
[ σ + ν( σ + σ )] + α ∆T
zz
yy
xx
xx
zz
zz
yy
γ
γ
γ
xy
xz
yz
1
= τ
G
1
= τ
G
1
= τ
G
xy
xz
yz
[ C]
−1
⎡ 1
⎢ E
⎢ν
E
⎢ν
⎢
= E
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣
ν
E
1
E
ν
E
0
0
0
ν
E
ν
E
1
E
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1
G
⎥⎦
•Resistência dos Materiais Avançada •11

•Rogério José Marczak
Notação indicial
• Deslocamentos:
• Carregamentos:
⎧u
⎫ ⎧ux
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
u = ⎨ v ⎬ = ⎨uy
⎬
⎪w⎪ ⎪u
⎪
{ }
⎩ ⎭ ⎩ z ⎭
{ t}
⎧t
⎫
x
⎪ ⎪
= ⎨ty
⎬
⎪t
⎪
⎩ z ⎭
{ u}
⎧u1
⎫
⎪ ⎪
= ⎨u2
⎬
⎪u
⎪
⎩ 3 ⎭
⎧t1 ⎫ ⎧b1
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
t = ⎨t2 ⎬ b = ⎨b2
⎬
⎪t
⎪ ⎪b
⎪
{ } { }
⎩ 3 ⎭ ⎩ 3 ⎭
• Tensor tensão:
• Tensor deformação:
⎡ σxx σxy σxz
⎤
[ σ ] =
⎢
σ
⎥
yy
σ
⎢
yz
⎥
⎢⎣
sim. σ ⎥
zz ⎦
⎡ εxx εxy εxz
⎤
[ ε ] =
⎢
ε
⎥
yy
ε
⎢
yz
⎥
⎢⎣
sim. ε ⎥
zz ⎦
⎡ σ11 σ12 σ13
⎤
[ σ ] =
⎢
⎥
⎢
σ22 σ23
⎥
⎢⎣
sim. σ ⎥
33 ⎦
⎡ ε11 ε12 ε13
⎤
[ ε ] =
⎢
⎥
⎢
ε22 ε23
⎥
⎢⎣
sim. ε ⎥
33 ⎦
• Relações deformação-deslocamentos:
∂u
εxx
=
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂w
εzz
=
∂z
∂u
∂v
γxy
= +
∂y
∂x
∂u
∂w
γxz
= +
∂z
∂x
∂v
∂w
γ yz = +
∂z
∂y
1 ⎛ ∂u
∂u
⎞
i j
ε
ij
= +
2 ⎜
xj
x ⎟
⎝ ∂ ∂
i ⎠
γ
ij
= 2εij i ≠ j
• Equações de equilíbrio:
∂σ ∂τ ∂τ
∂x ∂y ∂z
xx xy xz
+ + + bx
= ρax
∂τxy ∂σ
yy
∂τ
yz
+ + + by
= ρa
∂x ∂y ∂z
∂τ ∂τ ∂σ
∂x ∂y ∂z
xz yz zz
+ + + bz
= ρaz
y
∂σ
ij
+ bi
∂x
j
= ρ u̇̇
i
•Resistência dos Materiais Avançada •12

•Rogério José Marczak
• Tensor constitutivo:
[ C]
C ijkl
• Relações constitutivas:
E
σ = − ν ε + ν ε + ε + ε
⎡
( )( ) ( 1 2 ) ( )
1+ ν 1− 2ν
⎣
11 11 11 22 33
E
σ = − ν ε + ν ε + ε + ε
⎡
( )( ) ( 1 2 ) ( )
1+ ν 1− 2ν
⎣
22 22 11 22 33
E
σ = − ν ε + ν ε + ε + ε
⎡
( )( ) ( 1 2 ) ( )
1+ ν 1− 2ν
⎣
33 33 11 22 33
σ
12
= G γ12 σ
13
= G γ13 σ
23
= G γ
23
⎤⎦
⎤⎦
⎤⎦
1+ υ υ
ε
ij
= σij − δijσkk
E E
E ⎛ 1 ⎞ E ⎛ 1 ⎞
σ
ij
= ⎜εij − εkkδ ij ⎟ + ⎜ εkkδij
⎟
1+ υ⎝ 3 ⎠ 1−2υ
⎝ 3 ⎠
Notação de Voigt
⎡ σ11 τ12 τ13
⎤
[ σ ] =
⎢
⎥
⎢
σ22 τ23
⎥
⎢⎣
sim. σ ⎥
33 ⎦
⎡ ε11 ε12 ε13
⎤
[ ε ] =
⎢
⎥
⎢
ε22 ε23
⎥
⎢⎣
sim. ε ⎥
33 ⎦
[ C]
{ σ } = { σ σ σ σ σ σ }
T
11 22 33 12 13 23
{ ε } = { ε ε ε ε ε ε }
[ C]
⎡E
⎢
ν
⎢
⎢ν
= ⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
T
11 22 33 12 13 23
ν ν
E ν
ν E 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
G 0
0 G
0 0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
G⎦
{ σ } = [ C]{ ε} σ
ij
= Cijε
j
•Resistência dos Materiais Avançada •13

•Rogério José Marczak
Resumo das equações
Barras
Vigas
Elasticidade 2D: EPT x EPD.
4. Barras e vigas
Barras
Placas
Vigas
Membranas
Placas
•Resistência dos Materiais Avançada •14

•Rogério José Marczak
Barras sob tração / compressão
Modelo físico:
x
dx
F
A( x)
, E(
x)
L
Esforços internos:
y
Tensões:
y
σ xx
p(x)
N (x)
N(x)
x
x
Deslocamentos:
y
du
x
Equações governantes:
dN
dx
2
d u
EA = − p(
x)
2
dx
u(
x)
=
= − p(x)
=
∫
∫
x
0
du + C =
dε
σ xx
dx + C =
E
x
0
N = ∫ σ
A xxdA
∫
x
0
xx
∫
dx + C =
x
0
N
dx + C
EA
Eq. diferencial de barras
sob tração/compressão
Relação N × p
Relações u × N,
u × ε e u × σ,
Relação N × σ
σ N
xx = A
Cálculo da tensão
•Resistência dos Materiais Avançada •15

•Rogério José Marczak
Barras sob torção (eixos)
Modelo físico:
x
dx
T
J ( x)
, G(
x)
L
Esforços internos:
Tensões:
y
t(x)
T (x)
T (x)
x
τ
x
Deslocamentos:
ϕ
x
Vigas sob flexão e cisalhamento
Flexão e cisalhamento estão normalmente
acoplados.
Momento fletor variável implica em esforço cortante
não-nulo.
Modelo físico:
M 0
q
F
y
A( x)
, I(
x)
, E(
x)
x
dx
x
z
L
•Resistência dos Materiais Avançada •16

•Rogério José Marczak
Esforços internos:
y
q(x)
M z (x)
(x)
M z
x
V y (x)
V y (x)
Tensões:
Deslocamentos:
(x) V y
z
(x) M z
z
y
y
τ xy
σ xx
x
x
y
y
dv
du
dv
dθ
x
x
Equações governantes:
(♦)
d
dx
2
2
⎛
2
d v ⎞
⎜ EI ⎟
= −q(
x)
2
dx
⎝ ⎠
dv
= θ(
x)
dx
Eqs. diferenciais de vigas
sob carreg. transversal
dV
dx
dM
= −q( x)
= −V
( x)
dx
2
d ⎛ d v ⎞
⎜ EI ⎟ = −V
( x)
dx
2
dx
⎝ ⎠
2
d v
EI = M ( x)
2
dx
Relações V × q e M × q
Relações V × v e M × v
σ
M z y
= −
I
xx τ xy =
zz
V Q
y
I t
Cálculo das tensões
•Resistência dos Materiais Avançada •17

•Rogério José Marczak
Integração da equação da linha elástica - eq. (♦) (E e I constantes) :
4
d v
EI = −q(
x)
4
dx
3
d v
EI =
3
dx
2
d v
EI =
2
dx
dv 1
=
dx EI
∫
∫
∫
x
0
x
0
0
q(
x)
dx + C
x
[ f ( x)
+ C ]
[ f ( x)
+ C x + C ]
2
1
1
1
1
= f ( x)
+ C
1
dx + C
2
2
1
= f ( x)
+ C x + C
2
dx + C
3
3
1
= f ( x)
+ C
1
2
2
x
2
+ C x + C
2
3
= −V (x)
= M (x)
= θ(x)
1
v =
EI
4
∫
0
= f ( x)
+ C
⎡
⎢ f3(
x)
+ C1
⎣
x
1
3
x
6
+ C
2
2
x
2
⎤
+ C2x
+ C3
⎥dx
+ C4
=
⎦
2
x
2
+ C x + C
3
4
4 constantes a determinar
5. Elasticidade 2D
Variáveis básicas:
σ yy
τ xy
⎡σ
⎢ ⎣ sim.
τ
xx xy ⎤
[ σ] = ⎥ ⎦
σ
yy
ε
⎢
⎣sim.
γ
⎡ xx xy ⎤
[ ε] =
⎥ ⎦
ε
yy
2
y
x
τ xy
σ xx
{ σ}
⎧σ
xx ⎫
⎪ ⎪
σ xx
= ⎨ ⎬
⎪τxy
⎪
⎪⎩
σ ⎪
zz⎭
⎧ε
⎪
ε
{ ε}
= ⎨
⎪γ
⎪⎩
ε
xx
xx
xy
zz
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
⎧u⎫
= ⎨ ⎬
⎩ v ⎭
{ d }
{ F}
⎧ f
= ⎨
⎩ f
x
y
⎫
⎬
⎭
•Resistência dos Materiais Avançada •18

•Rogério José Marczak
Estado plano de tensões - EPT:
y
{ σ}
⎧σ
⎪
= ⎨σ
⎪
⎩τ
xx
yy
xy
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
3 tensões
z
{ ε}
⎧ε
⎪
ε
= ⎨
⎪γ
⎪⎩
ε
xx
xx
xy
zz
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
4 deformações
x
∂σ ∂τ
xx xy
+ + bx
= 0
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ yy
+ + by
= 0
∂x
∂y
∂u
εxx
=
∂x
∂u
∂v
γ
∂v
xy = +
ε yy =
∂y
∂x
∂y
λ
ε zz = ( ε xx + ε yy )
λ + 2G
σ
σ
τ
xx
yy
xy
E
=
1− υ
E
=
1− υ
= Gγ
xy
2
2
( ε + υε )
xx
( ε + υε )
yy
yy
xx
{ σ} = [ C]{
ε}
[ C]
E
=
1− υ
2
⎡1
⎢
⎢
υ
⎣
⎢0
υ
1
0
0 ⎤
⎥
0
⎥
⎥
⎦
1−υ
2
•Resistência dos Materiais Avançada •19

•Rogério José Marczak
Estado plano de deformações - EPD:
y
{ σ}
⎧σ
⎪
σ
= ⎨
⎪τ
⎪⎩
σ
xx
yy
xy
zz
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
4 tensões
z
{ ε}
⎧ε
⎪
= ⎨ε
⎪
⎩γ
xx
yy
xy
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
3 deformações
x
∂σ ∂τ
xx xy
+ + bx
= 0
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ yy
+ + by
= 0
∂x
∂y
∂u
εxx
=
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂u
∂v
γxy
= +
∂y
∂x
σ
σ
τ
σ
xx
yy
xy
zz
E
=
1− υ
E
=
1− υ
= Gγ
= υ σ
xy
2
2
( ε + υε )
xx
( ε + υε )
yy
( + σ )
xx
yy
yy
xx
{ σ} = [ C]{
ε}
[ C]
=
E
( 1+ υ)( 1−
2υ)
⎡1
− υ
⎢
⎢
υ
⎢
⎣ 0
υ
1− υ
0
0 ⎤
⎥
0
⎥
⎥
⎦
1−2υ
2
•Resistência dos Materiais Avançada •20

•Rogério José Marczak
6. Placas finas
Hipótese das seções planas:
“As linhas inicialmente retas e perpendiculares à
superfície de referência da placa permanecem retas e
perpendiculares à esta após a flexão ocorrer”.
“Quaisquer linhas originalmente paralelas ao eixo z
pemanecem inextensíveis”. Ou seja, a espessura h
permanece constante.
Graficamente:
z
z
h
A
B
y
x
A
B
z
y
dx
u( x,
y)
w( x,
y)
dy
v( x,
y)
w( x,
y)
A'
B '
A'
B'
θ y
θ x
•Resistência dos Materiais Avançada •21

•Rogério José Marczak
Campo de deslocamentos:
u(
x,
y,
z)
= −θ
v(
x,
y,
z)
= −θ
( x,
y)
z
( x,
y)
z
w(
x,
y,
z)
= w(
x,
y)
y
x
∂w
θx(
x,
y)
=
∂y
∂w
θy
( x,
y)
=
∂x
∂w
u = −z
∂x
∂w
v = −z
∂y
Campo de deformações:
ε
ε
ε
xx
yy
zz
= 0
2
∂ w
= −z
2
∂x
2
∂ w
= −z
2
∂y
γ
γ
xy
xz
2
∂ w
= −2z
∂x∂y
= γ
yz
= 0
Campo de tensões:
z
σ xx σ yy
{ σ} = [ C]{ ε}
,
yz
x, y
z
τ xy
τ , τ
xz
x, y
σ
σ
τ
xx
yy
xy
2 2
− E ⎛ ∂ w ∂ w⎞
= z⎜
⎟
2 2 2
1
− υ
− υ
⎝ ∂x
∂y
⎠
− E
=
1− υ
2
2
∂ w
= 2Gz
∂xy
⎛
2 2
∂ w ∂ w⎞
z⎜
⎟
− υ
2 2
⎝ ∂y
∂x
⎠
τ
xz
= τ
yz
= 0
σ
zz
≅ 0
•Resistência dos Materiais Avançada •22

•Rogério José Marczak
Esforços internos (tensões resultantes):
N
N
N
xx
yy
xy
=
=
=
+ h/ 2
∫
xx
−h/ 2
+ h/ 2
∫
yy
−h/ 2
+ h/
2
∫
σ
σ
τ
xy
−h/ 2
dz
dz
dz
Q
Q
x
y
=
=
+ h/ 2
∫
xz
−h/ 2
+ h/ 2
∫
τ
τ
yz
−h/
2
dz
dz
M
M
M
xx
yy
xy
=
=
=
+ h/ 2
∫
xx
−h/
2
+ h/ 2
∫
yy
−h/ 2
+ h/ 2
∫
σ
σ
τ
xy
−h/
2
zdz
zdz
zdz
Membrana Esforço cortante Flexão
Equações diferenciais de equilíbrio:
q z
dx
dy
Q y
F z
Q x
N xx
M yy
h
N xy
M xy
N yy
N xy
M xy
z
y
M xx
x
•Resistência dos Materiais Avançada •23

•Rogério José Marczak
∂Q
∂x
x
∂Qy
+
∂y
+ q
z
= 0
∂M
∂x
∂M
xx
∂y
yy
∂M
+
∂y
xy
∂M
+
∂x
xy
+ Q
x
+ Q
y
= 0
= 0
Substituindo-se as duas últimas na primeira:
∂
2
M
∂x
xx
2
2
∂ M
+ 2
∂x∂y
xy
∂M
+
∂y
yy
+ q
z
= 0
Equação diferencial de placas finas em termos dos esforços internos.
Substituindo-se as definições de esforços internos:
M
M
Q x
xx
yy
⎛
2 2
∂ w ∂ w⎞
= D⎜
⎟
+ υ
2 2
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎛
2 2
∂ w ∂ w⎞
= D⎜
⎟
+ υ
2 2
⎝ ∂y
∂x
⎠
⎛
2 2
∂ ∂ w ∂ w⎞
= D ⎜ ⎟
+
2 2
∂x
⎝ ∂x
∂y
⎠
M xy
Q y
= D
( 1− υ)
2
∂ w
∂x∂y
⎛
2 2
∂ ∂ w ∂ w
⎟ ⎞
= D ⎜
+
2 2
∂y
⎝ ∂x
∂y
⎠
Onde:
3
Eh
D =
12 υ
2
( 1−
)
Módulo de rigidez à
flexão da placa
•Resistência dos Materiais Avançada •24

•Rogério José Marczak
Substituindo as últimas equações na equação diferencial do problema:
4
4
∂ w ∂ w
+ 2
4 2
∂x
∂x
∂y
2
4
∂ w − q
+ =
4
∂y
D
z
Ou:
∇ 4
qz
w = −
D
Equação diferencial de placas finas em termos dos deslocamentos.
- Equação de Navier -
Tensões:
z
Flexão
xx σ yy
x, y
σ
xx
N
=
h
xx
12M
− z
h
yy
3
z
Membrana
σ , y
σ xx , σ yy
x,
σ
τ
yy
xy
N
=
h
max
yy
N
=
h
12M
+ z
h
xy
6M
+
h
xx
3
xy
2
•Resistência dos Materiais Avançada •25