5.1 Sistemas de coordenadas polares

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5.1 Sistemas de coordenadas polares
A forma usual de representar um ponto do plano R 2 é usando coordenadas cartesianas (ou rectangulares)
(x, y). Uma outra forma importante de representação de pontos consiste no uso de
coordenadas polares.
Para introduzir um sistema de coordenadas polares no plano, parte-se de um ponto fixo O,
chamado origem ou pólo, e uma semi-recta orientada, chamada eixo polar, com extremidade em
O.
Seja P um ponto arbitrário do plano distinto de O. Se r for a distância de P a O, isto é
r = d(O, P ), e θ denotar a medida do ângulo determinado pelo eixo polar OP , então r e θ são
as coordenadas polares do ponto P , usando-se o símbolo (r, θ) para denotar P . Considera-se que
r só toma valores em R + 0
. Como usual, θ é considerado positivo se o ângulo é gerado por uma
rotação anti-horária do eixo polar e negativo se a rotação é no sentido horário. Para a medida de
θ é usual usar-se radianos.
P
r
O
pólo
θ
eixo polar
Figura 1: Sistema de coordenadas polares
Contrariamente às coordenadas cartesianas, as coordenadas polares de um ponto não são
únicas. Por exemplo (1, 0), (1, 2π), (1, 4π) representam o mesmo ponto. Mais genericamente, se
(r 0 , θ 0 ) são coordenadas polares de um dado ponto, também (r 0 , θ 0 +2kπ), k ∈ Z são coordenadas
polares do mesmo ponto.
Por convenção, o pólo tem coordenadas polares (0, θ) para qualquer θ. A atribuição de pares
de coordenadas da forma (r, θ) aos pontos do plano constitui um sistema de coordenadas polares
e o plano designar-se-à por plano- rθ.
Exemplo 1. Determinar as coordenadas polares dos pontos do plano−xy de coordenadas (1, 0),
(0, 2), (−2, 2), (−2, 0), (0, −3) e (1, − √ 3).
As coordenadas polares dos pontos anteriores são, respectivamente,
(−2, 2)
(0, 2)
(1, 0), (2, π 2 ), (√ 8, 3π 4 ),
(2, π), (3, 3π 2 ), (2, 5π 3 ).
(−2, 0)
√
8
(1, 0)
2
(1, − √ 3)
x
Note-se que as coordenadas anteriores não são únicas. Por
exemplo, o ponto de coordenadas (1, − √ 3) do plano−xy
y
tem coordenadas polares (2, 5π 3 ), (2, −π ), ...
3
(0, −3)
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Sobrepondo um plano xy a um plano rθ de modo a que a origem e o eixo dos x do primeiro
coincidam, respectivamente, com o pólo e o eixo polar do segundo, qualquer ponto P do plano
admitirá coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), não sendo por isso difícil
estabelecer fórmulas que relacionem os dois sistemas de coordenadas.
y
P
r
O
θ
x
Figura 2: Sobreposição um plano xy e um plano rθ
Da trigonometria do triângulo, facilmente se constata que
Como consequência das igualdades anteriores tem-se
x = r cos θ, y = r sen θ. (1)
r 2 = x 2 + y 2 , tg θ = y x .
Usando estas igualdades é possível passar de um sistema de coordenadas para outro.
A definição de coordenadas polares não é única, de facto, alguns autores admitem que r pode
ser também um número negativo.
5.2 Sistemas de coordenadas ciĺındricas e esféricas
O sistema de coordenadas polares pode ser extendido de várias formas a três dimensões. A técnica
mais simples consiste em representar um ponto P por um terno ordenado (r, θ, z) onde (r, θ) são
as coordenadas polares da projecção P ′ de P no plano xy e z é a terceira coordenada cartesiana
de P . Este é o sistema de coordenadas ciĺındricas.
z
P (r, θ, z)
z
x
θ
r
P ′ (r, θ, 0)
y
Figura 3: Sistema de coordenadas ciĺındricas
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Se P tiver coordenadas cartesianas (x, y, z) as fórmulas
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z (2)
permitem relacionar as coordenas ciĺındricas e cartesianas de P .
Outra forma de extender o sistema de coordenadas polares a três dimensões é recorrendo ao
chamado sistema de coordenadas esféricas. Neste sistema, um qualquer ponto P do espaço,
distinto da origem, é representado por um terno (ρ, θ, φ) onde ρ = || −→ OP ||, θ é o ângulo polar
associado à projecção P ′ de P sobre o plano horizontal e φ é o ângulo entre a parte positiva do
eixo dos zz e o vector −→ OP . Neste sistema, a origem é representada por qualquer terno da forma
(0, θ, φ).
A relação entre as coordenadas esférica e as coordenadas cartesianas de um ponto P podem
ser obtida de uma fórmula análoga ao caso polar e apelando à figura seguinte.
Q z P (ρ, θ, φ)
φ
ρ
O
θ
x P ′
y
Figura 4: Sistema de coordenadas esféricas
Da figura e da trigonometria do triângulo, são imediatas as seguintes igualdades
bem como
|| −→ OQ|| = ρ cos φ,
x = || −−→
OP ′ || cos θ,
||
−−→
OP ′ || = || −→ QP || = ρ sen φ
y = || −−→
OP ′ || sen θ
As fórmulas que permitem, então, passar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas são
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. (3)
É evidente, da definição de norma euclidiana, que
ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
Mais uma vez a definição de coordenadas esféricas não é única, já que a definição do ângulo
φ pode variar. De facto alguns autores, definem φ como o ângulo entre −→ OP e o plano xy. Neste
caso há que trocar os papéis de sen φ e cos φ.
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5.3 Mudança de variáveis em integrais duplos
Seja D ∗ um subconjunto de R 2 e T : D ∗ → R 2 uma aplicação continuamente diferenciável.
Denote-se a imagem de D ∗ por D, isto é,
D = T (D ∗ ) = {(x, y) ∈ R 2 : (x, y) = T (u, v), (u, v) ∈ D ∗ }.
Teorema 1. Sejam D, D ∗ regiões elementares de R 2 e
T : D ∗ → R 2
(u, v) → T (u, v) = (T 1 (u, v), T 2 (u, v))
uma função de classe C 1 bijectiva do interior de D ∗ para o interior de D. Então para qualquer
função integrável f : D → R tem-se
∫∫
∫∫
f(x, y) dx dy = f(T (u, v)) | det Jac T (u, v)| du dv.
D
D ∗
No teorema anterior det Jac T (u, v) denota o determinante da matriz Jacobiana de T , isto é
∂T 1 ∂T 1
∂u ∂v
det Jac T (u, v) =
.
∂T 2 ∂T 2
∣
∣
∂u ∂v
Considerando que T transforma uma região do plano uv numa região do plano xy é usual a
identificação
x = T 1 (u, v), y = T 2 (u, v).
Neste caso, o determinante da matriz Jacobiana de T é denotado por
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ .
Considere-se uma aplicação T : D ∗ → D ⊂ R 2 que transforma uma região do plano rθ numa
região do plano xy definida pelas igualdades (1), isto é,
T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). (4)
Para proceder a uma mudança de variáveis num integral duplo recorrendo a T há que garantir
que a aplicação é bijectiva. Há, então, que considerar que o ângulo θ pertence a um intervalo de
amplitude 2π.
O determinante da matriz Jacobiana de T é
det Jac T (r, θ) =
∣ cos θ
−r sen θ
sen θ r cos θ ∣ = r(cos2 θ + sen 2 θ) = r,
pelo que a fórmula de mudança de variáveis no caso particular das coordenadas polares é
∫∫
∫∫
f(x, y) dx dy = f(T (r, θ)) r dr dθ.
D
D ∗
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Exemplo 2. Calcule
∫∫
D
ln(x 2 + y 2 ) dx dy
onde D é a região do plano no primeiro quadrante compreendida entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e
x 2 + y 2 = 4.
Tem-se
D = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
Da definição da transformação para coordenadas polares (4), x = r cos θ e y = r sen θ donde
x 2 + y 2 = r 2 . Assim 1 ≤ r ≤ 2. Além disso, se x ≥ 0, y ≥ 0 então cos θ ≥ 0 e sen θ ≥ 0 pelo
que 0 ≤ θ ≤ π/2. Desta forma,
D ∗ = {(r, θ) : 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π 2 }.
y
π/2
θ
D
D ∗
1 2
x
1 2
r
Figura 5: Regiões D e D ∗
Sendo f : R 2 → R definida por f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) vem
tendo-se, ainda,
f(r cos θ, r sen θ) = ln r 2 = 2 ln r
det Jac T (r, θ) = r.
Usando a fórmula da mudança de variáveis em integrais duplo vem, então,
∫∫
∫∫
ln(x 2 + y 2 ) dx dy = 2 ln(r) r dr dθ
D
D ∗
= 2
= 2
∫ π/2 ∫ 2
0
∫ π/2
0
1
[ r
2
2
ln(r) r dr dθ
ln r −
r2
4
= (4 ln 2 − 3 2 ) θ ∣ ∣∣
π/2
= π (8 ln 2 − 3)
4
∣
2
r=1
dθ = 2
∫ π/2
Recorde-se que, usando primitivação por partes
∫
∫
r ln r dr = r2 r
2
2 ln r − 1 r2 r2
dr = ln r −
2 r 2 4 .
0
0
(2 ln 2 − 3 4 ) dθ
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5.4 Mudança de variáveis em integrais triplos
Suponha-se, agora, que D ∗ é um subconjunto de R 3 e T : D ∗ → R 3 uma aplicação continuamente
diferenciável. Denote-se a imagem de D ∗ por D, isto é,
D = T (D ∗ ) = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y, z) = T (u, v, w), (u, v, w) ∈ D ∗ }.
Teorema 2. Sejam D, D ∗ regiões elementares de R 3 e
T : D ∗ −→ R 3
(u, v, w) −→ T (u, v, w) = (T 1 (u, v, w), T 2 (u, v, w), T 3 (u, v, w))
uma função de classe C 1 bijectiva do interior de D ∗ para o interior de D. Então para qualquer
função integrável f : D → R tem-se
∫∫∫
∫∫∫
f(x, y, z) dx dy dz = f(T (u, v, w)) | det Jac T (u, v, w)| du dv dw.
D
D ∗
Seja D ∗ uma região elementar do espaço rθz. A aplicação T : D ∗ → D ⊂ R 3 definida por
T (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) (5)
(c.f. (2)) transforma uma região do espaço rθz numa região do espaço xyz e o determinante da
matriz Jacobiana de T é
cos θ −r sen θ 0
det Jac T (r, θ, z) =
sen θ r cos θ 0
∣ 0 0 1 ∣ = r.
Assim, a fórmula de mudança de variáveis no caso particular das coordenadas ciĺındricas é
∫∫∫
∫∫∫
f(x, y, z) dx dy dz = f(T (r, θ, z)) r dr dθ dz.
D
D ∗
Exemplo 3. Recorrendo a um integral triplo, calcule o volume do cilindro definido por x 2 +y 2 ≤ 1,
−2 ≤ z ≤ 3.
Pretende-se calcular
∫∫∫
vol(D) = dx dy dz
onde D é a região do plano xy é definida por
D = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 1, −2 ≤ z ≤ 3}.
Da definição da transformação para coordenadas ciĺındricas (5), segue que 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤
θ ≤ 2π e −2 ≤ z ≤ 3, isto é
D ∗ = {(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, −2 ≤ z ≤ 3}.
D
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z
3
3
z
x
1
y
r
1
−2
2π
θ
Figura 6: Regiões D e D ∗
Uma vez que a função integranda é f(x, y, z) = 1 e que o determinante da matriz Jacobiana
da aplicação que define a mudança para coordenadas ciĺındricas é r vem
∫∫∫
∫∫∫
vol(D) = dx dy dz = r dr dθ dz
=
D
∫ 1 ∫ 2π ∫ 3
0 0 −2
D ∗
r dz dθ dr = 5π.
Considere-se, agora, que D ∗ é uma região do espaço ρθφ. Tomando T : D ∗ → D ⊂ R 3
definida por
T (ρ, θ, φ) = (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ)
(c.f. (3)), uma região do espaço ρθφ é transformada numa região do espaço xyz. O determinante
da matriz Jacobiana de T é
sen φ cos θ −ρ sen φ sen θ ρ cos φ cos θ
det Jac T (ρ, θ, φ) =
sen φ sen θ ρ sen φ cos θ ρ cos φ sen θ
∣ cos φ 0 −ρ sen φ ∣ = −ρ2 sen φ.
e a fórmula de mudança de variáveis no caso particular das coordenadas esféricas é
∫∫∫
∫∫∫
f(x, y, z) dx dy dz = f(T (ρ, θ, φ)) ρ 2 sen φ dρ dθ dφ.
D
D ∗
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