Matemática - Grupo Ideal
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SOLUÇÃO IDEAL - IME 2011/2012 – Matemática<br />
1ª QUESTÃO<br />
O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de razão r,<br />
formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r ∈ IN (natural diferente de zero). Determine:<br />
a) o menor valor possível para a razão r;<br />
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
a) (a 7) 2 = a 2.a 27 ⇒ (a 1 + 6r) 2 = (a 1 + r)(a 1 + 26r) ⇒ a 1 2 + 12a 1r + 36r 2 = a 1 2 + 27a 1r + 25r 2 ⇒<br />
12a 1 + 36r = 27a 1 + 26r ⇒ 15a 1 = 10r ⇒ 3a 1 = 2r<br />
Como a 1 e r são inteiros, então 3 | r ⇒ r min = 3<br />
b) Desde que r = 3 e a 1 = 2 então a 18 = a 1 + 17r = 2 + 17.3 = 53<br />
2ª QUESTÃO<br />
Os números reais positivos x 1, x 2 e x 3 são raízes da equação x 3 – ax 2 = a b - 2<br />
b x, sendo b∈ IN (natural), a∈ IR (real) e a ≠<br />
1. Determine, em função de log<br />
⎡<br />
a x x x ( x + x + x )<br />
⎢⎣<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2 2 2 b<br />
x1<br />
+ x2<br />
+ x3<br />
⎤<br />
3 ⎥⎦<br />
.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
⎧ x1<br />
+ x2<br />
+ x3<br />
= a<br />
⎪<br />
b<br />
Pelas relações de Girard: ⎨x1x<br />
2 + x1x3<br />
+ x2x3<br />
=<br />
⎪<br />
2<br />
b<br />
⎪⎩<br />
x1x<br />
2x3<br />
= a<br />
Assim: x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = (x 1 + x 2 + x 3) 2 – 2(x 1x 2 + x 1x 3 + x 2x 3) = a 2 – b<br />
2 2 2<br />
x + x + x<br />
3<br />
2<br />
a −b<br />
Logo: log x x x ( x x x ) 1 2 3 = b.log (a .a ) = b.log a = a b<br />
a<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
+<br />
2<br />
+<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
3ª QUESTÃO<br />
Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105º, α e β. Sabendo que m∈ IR (real), determine:<br />
a) as raízes da equação 3 secx + m ( 3 cosx – 3 senx) = 3 cosx + 3 senx, em função de m;<br />
b) O valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
a) 3secx = 3cosx + 3 senx + m.(3 senx - 3 cosx) ⇒ secx = 3cosx +<br />
secx = cosx +<br />
b<br />
1 1 ⎛ m<br />
senx + m.(senx - cosx) ⇒ secx = cosx<br />
3<br />
3<br />
⎟ ⎞ ⎛<br />
⎜<br />
1 − + senx. ⎜<br />
⎝ 3<br />
⎠ ⎝<br />
sec 2 ⎛ m ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
x = ⎜ ⎟<br />
1 − + tgx. ⎜ ⎟<br />
⎝ 3<br />
+ m<br />
⎠ ⎝ 3 ⎠<br />
i) tg x = m ⇒ x = arc tg m + kπ<br />
⇒ tg 2 ⎛<br />
x - ⎜<br />
⎝<br />
1 ⎞<br />
+ m⎟<br />
3<br />
⎠<br />
a<br />
b<br />
.tgx + 0<br />
3<br />
a<br />
2<br />
a<br />
2<br />
3 senx + m.(senx - cosx) ⇒<br />
33<br />
3<br />
1 ⎞<br />
+ m⎟<br />
3 ⎠<br />
⇒<br />
m ⎛ 3 ⎞<br />
= ⇒ (tgx − m) tgx − = 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
ii) tgx = 3 ⇒ x = π/6 + kπ<br />
3<br />
b) Sabe-se que a, b e c são ângulos de um triângulo: tg a + tg b + tg c = tg a.tg b.tg c:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
m<br />
tg 105º + tgα + tgβ = tg 105º.tg α.tg β ⇒ – (2 + 3 ) + ⎜ ⎟<br />
+ m<br />
= – (2 + 3 ).<br />
⎝ 3 ⎠<br />
3<br />
– 2 – 3 +<br />
4ª QUESTÃO<br />
3<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
2<br />
= −m<br />
+ 2⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⇒ – 2 –<br />
2 3<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3<br />
= −m.<br />
2 + 2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
3<br />
⎠<br />
⇒ m = 1<br />
Seja o número complexo Z = a + bi, com a e b ∈ IR (real) e i = − 1 . Determine o módulo de Z sabendo que<br />
⎪⎧<br />
3<br />
2<br />
a = 3 1+<br />
ab<br />
⎨ 3 2<br />
⎪⎩ b = 3( a b − 1)<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
⇒<br />
2
SOLUÇÃO IDEAL - IME 2011/2012 – Matemática<br />
z = a + bi ⇒ z 3 = (a 3 – 3ab 2 ) + (3a 2 b – b 3 )i ⇒ z 3 3<br />
= 3 + 3i ⇒ | z | = | 3 + 3i | = 3 2 ⇒<br />
5ª QUESTÃO<br />
Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces<br />
laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice. Vale 30º.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
| z | =<br />
6 18<br />
A<br />
a<br />
a<br />
h<br />
O<br />
D<br />
30º<br />
C<br />
a<br />
B<br />
Considere-se a pirâmide em questão como tempo por base o<br />
triângulo equilátero ABC, de lado a e de centro O, e altura OD, de<br />
medida h, perpendicular ao plano ABC.<br />
Então, como OC =<br />
tem-se que:<br />
2<br />
.<br />
3<br />
a 3<br />
2<br />
a 3<br />
= e o ângulo BÔC mede 30º,<br />
3<br />
BC 2 = 2CD 2 (1 – cos 30º) ⇒ BC = CD 2 − 3 ⇒ CD =<br />
2<br />
a<br />
2 −<br />
e CD 2 = OD 2 + OC 2 a 2 a<br />
5 + 3 3<br />
⇒ = h + ⇒ h = a<br />
2 − 3 3<br />
3<br />
Portanto, o volume pode ser obtido da seguinte forma:<br />
2<br />
1 a 3 5 + 3 3<br />
V= . .a ⇒ a = 3<br />
3 4 3<br />
12V<br />
5 + 3<br />
No triângulo BCD (como em qualquer outra face lateral), aplicando<br />
a<br />
a Lei dos Senos: = 2R, em que R é o raio pedido.<br />
sen30º<br />
12V<br />
Logo: a = R ⇒ R = 3<br />
5 + 3 3<br />
2<br />
3<br />
.<br />
3<br />
6ª QUESTÃO<br />
É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação de 60º em relação ao eixo de<br />
simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a<br />
diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do<br />
segmento MR.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
e<br />
Sejam d a diretriz, e o eixo de simetria e G a<br />
projeção do foco F sobre d. Como M é um ponto da<br />
parábola, tem-se MF = MQ. Já que MQ // e ,<br />
∠(F Mˆ Q) = 60º, Logo, o triângulo MFQ é eqüilátero.<br />
M<br />
Conseqüentemente, obtêm-se os ângulos indicados<br />
na figura, tendo em vista que M, F, N e R são<br />
colineares. Assim, no triângulo FGQ, em que FG = p<br />
(parâmetro), conclui-se que:<br />
R<br />
30º<br />
N<br />
F<br />
60º 60º<br />
G<br />
60º<br />
Q<br />
d<br />
GQ = p 3 (= GR) e FQ = 2p ( = FR).<br />
Desse modo, o triângulo MQR fica com lados:<br />
MQ (= FQ) = 2p, RG = 2GQ = 2p 3 e MR = 2FM =<br />
4p.<br />
Portanto o perímetro pedido é dado por:<br />
2p + 2p 3 + 4p = 2p( 3 + 3)<br />
7ª QUESTÃO<br />
Sejam r e s ∈ Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
3
Observe que 4(2r + 3s) + (9r + 5s) = 17(r + s) ⇒ 17 | [4(2r + 3s) + (9r + 5s)]<br />
Assim, se 17 | (2r + 3s) então 17 | (9r + 5s) e se 17 | (9r + 5s) então 17 | (2r + 3s)<br />
SOLUÇÃO IDEAL - IME 2011/2012 – Matemática<br />
8ª QUESTÃO<br />
x<br />
a<br />
Calcule as raízes de f(x) em função de a, b e c, sendo a,b,c e x ∈ IR (real) e f(x) =<br />
b<br />
c<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
a<br />
x<br />
c<br />
b<br />
b<br />
c<br />
x<br />
a<br />
c<br />
b<br />
.<br />
a<br />
x<br />
Somando a 1ª coluna as demais colunas, teremos:<br />
x<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
x<br />
c<br />
b<br />
b<br />
c<br />
x<br />
a<br />
c<br />
b<br />
a<br />
x<br />
=<br />
x + a + b + c<br />
x + a + b + c<br />
x + a + b + c<br />
x + a + b + c<br />
Colocando x+a+b+c em evidência na primeira coluna, teremos: f(x) = (x + a + b + c)<br />
Calculando o determinante dessa matriz pela primeira linha utilizando Laplace:<br />
x − a c − b b − c<br />
f(x) = (x + a + b + c)<br />
c − a<br />
b − a<br />
x − b<br />
a − b<br />
a − c<br />
x − c<br />
Somando a 2ª coluna com a terceira e colocando em evidência o termo x+a-b-c, teremos:<br />
0 x − a c − b<br />
f(x) = (x + a + b + c) (x + a – b –c)<br />
1<br />
1<br />
c − a<br />
b − a<br />
x − b<br />
a − b<br />
Somando a 1ª coluna multiplicada por a-c com a 2ª coluna e somando a 1ª coluna multiplicada por b-a com a 3ª coluna,<br />
0 x − a c − b<br />
teremos: f(x) = (x + a + b + c) (x + a – b –c)<br />
1<br />
1<br />
0<br />
b − c<br />
x − a<br />
2<br />
Calculando esse determinante 3 por 3: f(x) = (x + a + b + c).(x + a – b – c). ( x − a) − ( b − c)<br />
Fatorando, obtemos f(x) assim: f(x)=(x+a+b+c)(x+a-b-c)(x-a-b+c)(x-a+b-c)<br />
Como f(x)=0, teremos como raízes: -a-b-c, -a+b+c, a+b-c, a-b+c<br />
0<br />
a<br />
x<br />
c<br />
b<br />
b<br />
c<br />
x<br />
a<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
c<br />
b<br />
a<br />
x<br />
0<br />
x − a<br />
c − a<br />
b − a<br />
2<br />
[ ]<br />
9ª QUESTÃO<br />
Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a curva x 2 – 2xy – y 2 = 0 nos pontos A e B.<br />
Determine:<br />
a) o lugar geométrico definido pela curva;<br />
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que PA . PB =17.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
a) x 2 – 2xy – y 2 = 0<br />
2<br />
( x − y)<br />
⇔ – ( y 2 ) 0<br />
y = – (1 + 2 )x ou y = ( 2 – 1) x<br />
0<br />
c − b<br />
x − b<br />
a − b<br />
2 x<br />
= ⇔ x – y + y 2 = 0 ou x – y – y 2 = 0 ⇔ y =<br />
1−<br />
2<br />
0<br />
b − c<br />
a − c<br />
x − c<br />
x<br />
ou y = ⇔<br />
1+ 2<br />
Portanto, o lugar geométrico (lg) consiste em duas retas, perpendiculares na origem, com coeficientes angulares<br />
2 – 1 e<br />
– ( 2 + 1) , respectivamente.<br />
b) Como as retas do lg encontrado, denominadas s e t a partir de agora, são perpendiculares e fixas, tal qual o ponto P,<br />
tem-se que A, O, B sempre serão vértices de um triângulo retângulo em O, inscrito numa circunferência variável λ . Em<br />
relação à λ , há duas possibilidades para P: ser um ponto interno ou externo, conforme r varie por P.<br />
4
SOLUÇÃO IDEAL - IME 2011/2012 – Matemática<br />
P<br />
O<br />
θ<br />
A<br />
s: y = ( 2 − 1)x<br />
B<br />
r t: y = – (1 + 2 )x<br />
r<br />
B<br />
P<br />
O<br />
θ<br />
A<br />
s: y = ( 2 − 1)x<br />
t: y = – (1 + 2 )x<br />
Seja, em qualquer caso anterior, θ o ângulo (agudo) formado entre r e uma das retas do lugar, por exemplo, s, sem perda<br />
π<br />
de generalidade, uma vez que com a outra reta o ângulo é – θ. Note-se a inconveniência de θ ser reto, tendo em vista<br />
2<br />
π<br />
que B seria impróprio, o mesmo ocorrendo para – θ, que tornaria o ponto A impróprio (e a condição PA⋅PB ∈ R seria<br />
2<br />
impossível).<br />
Sejam l e m as distâncias de P às retas definidas pelo lg. Então, em qualquer dos casos precedentes, é fácil notar que:<br />
2ml PA⋅PB = ,<br />
sen2θ<br />
bastando contemplar os triângulos retângulos de hipotenusas PA e PB . Por exemplo, no 1º caso:<br />
P<br />
l<br />
senθ<br />
θ<br />
P<br />
l<br />
m<br />
θ<br />
m<br />
cos θ<br />
PA⋅PB =<br />
PA⋅PB =<br />
l m<br />
.<br />
sen θ cos θ<br />
2ml<br />
sen2θ<br />
⇔<br />
A<br />
Na situação sob análise, l e m podem ser obtidos a partir das distâncias de P(2,3) às retas s: ( 2 − 1)x – y = 0 e t:<br />
( 2 + 1) x + y = 0. Assim, conclui-se que, a menos da ordem:<br />
( 2 − 1.2 ) − 3<br />
5 − 2 2<br />
=<br />
2 2<br />
( 2 − 1) ) + ( − 1) 4 − 2 2<br />
l =<br />
e m=<br />
B<br />
( 2 + 1.2 ) + 3<br />
5 + 2 2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( 2 + 1) + 1 4 + 2 2<br />
(ou permutando)<br />
5
2<br />
2<br />
5 − ( 2 2 ) 17<br />
17<br />
Assim: l m =<br />
= ⇒ PA.PB =<br />
2<br />
2 2 2<br />
2sen2θ<br />
4 − ( 2 2 )<br />
Impondo PA⋅PB = 17 , segue: sen2θ =<br />
2<br />
2<br />
SOLUÇÃO IDEAL - IME 2011/2012 – Matemática<br />
π<br />
⇔ θ = + Kπ<br />
ou θ =<br />
8<br />
3π<br />
+ K π , com K ∈ Z.<br />
8<br />
π 3π<br />
Como θ é agudo, aparentemente, surgem duas possibilidades para θ: e . Contudo, na hipótese de P ser externo à<br />
8 8<br />
λ, θ é orientado no sentido anti-horário de r até s: ( 2 − 1)x – y = 0, ao passo que, sendo P interno à λ, o sentido é o<br />
horário. Restam, assim, quatro possibilidades para a reta r.<br />
Desse modo, para a inclinação de r, denotada por α, há quatro possibilidades:<br />
π π<br />
π 3π<br />
α = θ + ou α = π − θ + , sendo θ = ou θ =<br />
8 8<br />
8 8<br />
π π 3π<br />
Logo, α = ou α = ou α = π ou α = , que fornecem as possíveis equações de r a seguir, respectivamente:<br />
4 2 4<br />
r : y – 3 = x – 2 ⇔ x – y + 1 = 0 ou r : x = 2 ou r : y = 3 ou r : y – 3 = 2 – x ⇔ x + y – 5 = 0.<br />
10ª QUESTÃO<br />
Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1 ou -1, com<br />
a mesma probabilidade de ocorrência. Determine:<br />
a) o maior valor possível para o determinante de M;<br />
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo.<br />
Solução <strong>Ideal</strong>:<br />
a) Os elementos que formam cada linha desta matriz podem ser interpretados como os vértices de um cubo de aresta 2,<br />
com o centro do sistema tridimensional colocado no centro do cubo.<br />
Assim, o determinante da matriz é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos<br />
A<br />
B vetores com origem em O e extremidades nos vértices do cubo. O volume máximo<br />
ocorre quando os 3 vetores possuem extremidades numa mesma face do cubo, como<br />
D<br />
C<br />
por exemplo os vetores com extremidades em A, B e C. Perceba que o volume<br />
formado pela pirâmide OABC é igual a 1/12 do volume do cubo e também é igual a<br />
1/6 do volume do paralelepípedo formado pelo produto misto dos vetores OA, OB e<br />
3<br />
V 2<br />
OC. Logo:<br />
max = ⇒ V max = 4 ⇒ det max = 4<br />
6 12<br />
E<br />
F<br />
b) Observe que o produto misto pode assumir apenas 3 valores: – 4, 0 e 4. Por<br />
simetria, a probabilidade de o produto misto valer – 4 é igual ao de valer 4.<br />
Vamos calcular a probabilidade de valer 0. O volume vai ser igual a 0 em 3 situações:<br />
H<br />
G<br />
i) os 3 vetores são idênticos: 8 possibilidades;<br />
ii) 2 vetores idênticos e um outro distinto: 8.7.3!/2 = 168 possibilidades;<br />
ii) 2 vetores opostos e um outro distinto: 4.4.3! = 144 possibilidades.<br />
8 + 168 + 144 5<br />
Logo, a probabilidade de o volume valer 0 é igual a p = = .<br />
9<br />
2 8<br />
5<br />
3<br />
Como a probabilidade p de valer 4 é igual a probabilidade de valer – 4: 2 p + = 1 ⇒ p = .<br />
8<br />
16<br />
Solução <strong>Ideal</strong> – IME 2012 – Matemática<br />
Este gabarito foi totalmente elaborado pela equipe de professores de Matemática do <strong>Ideal</strong> Militar<br />
Equipe de Matemática Coordenação Digitação<br />
Prof. Marcelo Rufino Marcelo Rufino Joelma<br />
Prof. Márcio Pinheiro<br />
Prof. Luis Ernesto<br />
Mais informações sobre o <strong>Ideal</strong> Militar consulte www.grupoideal.com.br/idealmilitar/idealmilitar.html<br />
Endereço: Rua dos Mundurucus, 1427, entre as ruas Apinagés e Tupinambás<br />
Tel: (91) 3323 5051<br />
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