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PORCENTAGEM, AUMENTOS E DESCONTOS<br />
PERCENTUAIS, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
PORCENTAGEM<br />
x<br />
100<br />
O quociente é representado por x% e lido x por<br />
cento.<br />
Dados dois números a e b, com , diz- se<br />
que a representa x% de b se :<br />
x<br />
a . b<br />
100<br />
x 100<br />
a<br />
b
Aumentos e descontos<br />
percentuais<br />
Para um aumento<br />
Sendo <strong>Vi</strong>, o valor inicial e o Vf o valor final de um<br />
aumento de x% temos:<br />
x<br />
Vf <strong>Vi</strong> . <strong>Vi</strong><br />
100<br />
x <br />
Vf 1 .<br />
<strong>Vi</strong><br />
100
Atividades<br />
1)(puc-mg)Um objeto que custava R$<br />
700 teve seu preço aumentado de R$<br />
105,00. O acréscimo percentual em<br />
relação ao custo anterior foi de :<br />
a) 12% b) 15% c) 18 % d) 20 %
Solução:<br />
x <br />
105 .700<br />
100 <br />
105 7.x<br />
x 15%
Para um desconto:<br />
Sendo <strong>Vi</strong>, o valor inicial e o Vf o valor final<br />
de um desconto de x% temos:<br />
x<br />
Vf <strong>Vi</strong> . <strong>Vi</strong><br />
100<br />
x <br />
Vf 1 .<br />
<strong>Vi</strong><br />
100
Para aumentos sucessivos e iguais<br />
Sendo <strong>Vi</strong> o valor inicial e Vn o valor ao final<br />
de n acréscimos sucessivos de x%, ao final<br />
do enésimo acréscimo:<br />
Vn<br />
x 1 <br />
100 <br />
n<br />
. <strong>Vi</strong>
Para descontos sucessivos e iguais<br />
Sendo <strong>Vi</strong> o valor inicial e Vn o valor ao final<br />
de n descontos sucessivos de x%, ao final do<br />
enésimo acréscimo:<br />
Vn<br />
x 1 . <strong>Vi</strong>.<br />
100 <br />
n
Atividades:<br />
3)(vunesp)Uma mercadoria teve um aumento de<br />
25% e, logo depois ,um aumento de 20 % sobre<br />
isso. Para encontrar o preço da mercadoria<br />
após os aumentos, basta multiplicar o preço<br />
inical por :<br />
a)1,45<br />
b)0,45<br />
c)1,50<br />
d)0,50<br />
e)3,75
Solução<br />
25 20 <br />
Vf 1<br />
.<br />
1 <strong>Vi</strong><br />
100 100 <br />
Vf 1,25.1,20.<br />
<strong>Vi</strong><br />
Vf 1, 50<strong>Vi</strong>
Juros<br />
Definição: Juros é a remuneração do<br />
capital empregado. Se aplicarmos um<br />
capital durante um determinado<br />
período de tempo, ao fim do prazo o<br />
capital se transformará em um valor<br />
(montante) que será igual ao capital<br />
aplicado , acrescido da remuneração<br />
obtida no período de aplicação.
Abreviaturas nas taxas<br />
Abreviatura<br />
a.d.<br />
a.d.u.<br />
a.m.<br />
a.m.o.<br />
a.b.<br />
a.t.<br />
a.q.<br />
a.s.<br />
a.a.<br />
a.a.o.<br />
Significado<br />
ao dia<br />
ao dia útil<br />
ao mês<br />
ao mês over<br />
ao bimestre<br />
ao trimestre<br />
ao quadrimestre<br />
ao semestre<br />
ao ano<br />
ao ano over
Resumindo:<br />
Sendo<br />
C , capital aplicado ou valor presente<br />
M, montante final ou valor futuro<br />
i , taxa de juros<br />
J , juros totais aferidos durante o intervalo de<br />
tempo<br />
t, tempo de aplicação
JUROS SIMPLES<br />
No regime de juros simples , estes incidem<br />
sempre sobre o capital inicial. Na prática , esse<br />
sistema é usado especialmente em certos<br />
pagamentos é de apenas alguns dias.
Juros simples:<br />
Considere um empréstimo de R$10.000,00 a uma<br />
taxa de juros simples de 10% ao mês durante um<br />
prazo de três meses:<br />
Ao final do primeiro mês, teremos:<br />
10.000,00+ 0,1x10.000,00 = 11.000,00<br />
Ao final do segundo mês, teremos:<br />
11.000,00+0,1x10.000,00 = 12.000,00<br />
Ao final do terceiro mês, teremos:<br />
12.000,00+0,1x10.000,00 = 13.000,00
O juros total é de R$ 3.000,00<br />
Ou seja, o juros poderia ter sido calculado da seguinte<br />
maneira:<br />
Fazendo ,<br />
J C.<br />
i.<br />
t<br />
J<br />
10.000x0,1<br />
x3<br />
R$3000,00
Sendo M o montante final temos:<br />
M<br />
<br />
C<br />
<br />
J<br />
No exemplo , apresentado temos:<br />
J<br />
<br />
C. i.<br />
t 10000x0,1<br />
x3<br />
<br />
3000,00<br />
M<br />
<br />
C<br />
<br />
J<br />
10.000,00<br />
3.000,00<br />
13.000,00
Juros compostos<br />
Neste regime , após cada período , os juros são<br />
incorporados ao capital inicial, passando a<br />
render sobre o novo total. Dessa forma, os<br />
cálculos são efetuados como ‘’ juros sobre<br />
juros’’.
Juros compostos<br />
Considere o mesmo empréstimo de R$ 10.000,00 só<br />
que agora a juros compostos, durante os mesmos 3<br />
meses com taxa de 10 % ao mês.<br />
Ao final do primeiro mês, teremos:<br />
10.000,00+ 0,1x10.000,00 = 11.000,00<br />
Ao final do segundo mês, teremos:<br />
11.000,00+0,1x11.000,00 = 12.100,00<br />
Ao final do terceiro mês, teremos:<br />
12.100,00+0,1x12.100,00 = 13.310,00
O juros total é de R$3.310,00<br />
O montante final é de R$ 13.310,00<br />
Vamos analisar a variação do montante ao longo do tempo.<br />
Após o primeiro mês temos :<br />
Fatorando temos ,<br />
M C i.<br />
C<br />
1<br />
<br />
M C.(1<br />
i)<br />
1<br />
Após o segundo mês temos:<br />
Fatorando temos,<br />
M<br />
2<br />
M i.M<br />
1<br />
1<br />
M<br />
M .( 1i)<br />
C.(1<br />
i).(1<br />
i)<br />
C.(1<br />
i)<br />
2<br />
2 1
Após o terceiro mês temos:<br />
Fatorando temos,<br />
M<br />
3<br />
M<br />
2<br />
i.M<br />
2<br />
M<br />
M<br />
3<br />
3<br />
<br />
<br />
M<br />
2<br />
.(1 <br />
C.(1<br />
<br />
i)<br />
i)<br />
3<br />
<br />
C.(1<br />
<br />
i)<br />
2<br />
.(1 <br />
i)
De forma geral temos:<br />
Para juros simples:<br />
M<br />
<br />
C.( 1i.<br />
t)<br />
Para juros compostos:<br />
M C.( 1<br />
i)<br />
t
Exemplo 6 complementares<br />
(UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos , por um<br />
período de 4 meses, sob a seguintes condições:<br />
1) taxa de 11,4% ao mês , a juro simples;<br />
2)taxa de 10% ao mês , a juro composto.<br />
Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00 ,<br />
optando pela condição 1. Em quantos reais os juros<br />
cobrados pela condição 1 serão menores que os cobrados<br />
pela condição 2?
0<br />
1<br />
condição<br />
Juros simples 11,4%<br />
M<br />
C.( 1i.<br />
t)<br />
M1= 10.000,00x(1+0,114x4)<br />
M1=10.000,00x(1+0,456)<br />
M1=10,000,00x1,456<br />
M114560,00
0<br />
2<br />
condição<br />
Juros compostos 10%<br />
M C.( 1<br />
i)<br />
t<br />
M1=10.000,00x(1+0,1) 4<br />
M1=10.000,00x(1,1) 4<br />
M1=10.000,00x1,4641<br />
M114.641,00
Portanto na condição 1 serão<br />
cobrados R$81,00 a menos que a<br />
condição 2.
Valor futuro e valor atual<br />
(séries uniformes)<br />
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 5.000,00 deverá<br />
ser paga 3 meses antes do seu vencimento ,<br />
em 1 de abril . Sabendo que a taxa de juro<br />
para essa dívida é de 6% ao mês, em regime<br />
de juro composto , qual deverá ser o valor do<br />
desconto?
valor presente valor futuro<br />
(hoje)<br />
x<br />
R$5.000,00<br />
0 1 2 3 meses<br />
Transformando o valor futuro para o valor presente:<br />
M<br />
<br />
C.(1<br />
<br />
i)<br />
t<br />
<br />
C<br />
<br />
M<br />
(1 i)<br />
t
Lembrando que M, é o valor futuro , e C é o valor<br />
presente , temos então:<br />
5000<br />
C <br />
09<br />
3<br />
(1 0,06)<br />
C R$4.198,<br />
Portanto o valor do desconto será de 5.000,00-4.198,09=<br />
`<br />
R$801,09
Para obter o valor futuro , deve- se multiplicar o valor<br />
atual por ,<br />
( 1<br />
t<br />
i)<br />
Para obter o valor presente, deve-se dividir o valor futuro<br />
por ,<br />
( 1<br />
t<br />
i)
Exemplo 2:<br />
Em 1 de março um comerciante tomou um<br />
empréstimo de R$2.000,00 a juros compostos<br />
mensal de 6% . Em 1 de junho , pagou R$<br />
800,00 e, em 1 de julho, liquidou seu débito .<br />
De quantos reais foi o último pagamento?
Observe:<br />
O empréstimo foi de R$ 2.000,00. Três meses depois ele<br />
pagou R$800,00 e em um mês após esse pagamento,<br />
pagou a dívida restante.<br />
valor presente<br />
valor futuro<br />
R$2.000,00 R$800,00 x reais<br />
0 1 2 3 4
Logo:<br />
2000<br />
<br />
800<br />
(1 0,06)<br />
3<br />
<br />
(1 <br />
x<br />
0,06)<br />
4<br />
4<br />
2000.1,06<br />
800.1, 06 x<br />
x R$1.677,00
Exemplo 3<br />
Um comerciante vende geladeira, cujo preço á<br />
vista é R$900,00 ou em 3 prestações mensais<br />
iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira<br />
prestação é paga um mês após a compra e que<br />
o juro composto é de 3% ao mês, calcule o<br />
valor das prestações.
Valor presente<br />
(preço á vista)<br />
R$900 P1=x P2=x P3=x<br />
0 1 2 3<br />
Igualando os valores na época 0 (zero), temos:<br />
900<br />
<br />
P1<br />
1<br />
i<br />
<br />
P2<br />
(1 i)<br />
2<br />
<br />
P3<br />
(1 i)<br />
3
900<br />
<br />
x<br />
(1 0,03)<br />
<br />
(1 <br />
x<br />
0,03)<br />
2<br />
<br />
(1 <br />
x<br />
0,03)<br />
3<br />
Tirando o m.m.c e efetuando as operações teremos:<br />
900.1,03<br />
3<br />
2<br />
1,03 . x 1,<br />
03x<br />
<br />
x<br />
900.1,093<br />
1,061x<br />
1,<br />
03x<br />
<br />
x<br />
983,70 3,091x<br />
x 318,25<br />
Logo o valor da parcela será de R$318,25
Exemplo 4<br />
Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores<br />
pagando uma entrada de R$ 200 mais uma<br />
parcela de R$ 450,00 dois meses após a<br />
compra. Sabendo-se que o preço a vista do<br />
aparelho é de R$ 600,00, qual foi a taxa<br />
mensal de juros simples do financiamento?
Solução :<br />
valor presente<br />
( preço à vista)<br />
R$ 600<br />
valor futuro<br />
0 1 2 meses<br />
R$ 200 R$450
Teremos então:<br />
600<br />
<br />
200<br />
<br />
450<br />
(1 i.2)<br />
<br />
400<br />
<br />
450<br />
(1 i.2)<br />
1 i.2<br />
<br />
9<br />
8<br />
<br />
816.<br />
i <br />
9<br />
1<br />
16i<br />
1<br />
i 0,0625 <br />
16<br />
6,25%