SÃ£o Carlos, v.8 n. 35 2006 - SET - USP

São Carlos, v.8 n. 35 2006

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

Reitor: 

Profa. Titular SUELY VILELA SAMPAIO 

Vice-Reitor: 

Prof. Titular FRANCO MARIA LAJOLO 

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 

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Prof. Titular FRANCISCO ANTONIO ROCCO LAHR 

Vice-Diretor: 

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 

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MASAKI KAWABATA NETO 

MELINA BENATTI OSTINI 

TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.8 n. 35 2006

Departamento de Engenharia de Estruturas 

Escola de Engenharia de São Carlos – USP 

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SUMÁRIO 

Novas metodologias e formulações para o tratamento de problemas inelásticos 

com acoplamento progressivo MEC/MEF 

Arthur Dias Mesquita & Humberto Breves Coda 1 

Detecção de dano a partir da resposta dinâmica da estrutura: estudo analítico 

com aplicação a estruturas do tipo viga 

Oscar Javier Begambre Carrillo & José Elias Laier 29 

Avaliação dinâmica experimental e numérica das ligações de base de 

estruturas de concreto pré-moldado 

Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega & João Bento de Hanai 47 

Análise teórica-experimental de pilares de concreto armado sob ação de força 

centrada 

Walter Luiz Andrade de Oliveira & José Samuel Giongo 75 

Avaliação do coeficiente de forma da seção transversal e suas implicações no 

desempenho de pilares reforçados com PRFC 

Alexandre Luis Sudano & João Bento de Hanai 95 

Avaliação experimental do fator de distribuição de carga para pontes multicelulares de 

madeira protendida 

Jorge Luís Nunes Góes & Antonio Alves Dias 127

ISSN 1809-5860 

NOVAS METODOLOGIAS E FORMULAÇÕES PARA 

O TRATAMENTO DE PROBLEMAS INELÁSTICOS 

COM ACOPLAMENTO PROGRESSIVO MEC/MEF 

Arthur Dias Mesquita 1 & Humberto Breves Coda 2 

Resumo 

Novas formulações, técnicas e procedimentos são propostos para o tratamento de 

problemas inelásticos considerando-se acoplamento progressivo. O procedimento 

apresenta-se bastante adequado para a consideração de problemas de interação bi e 

tridimensionais que envolvam modificações na geometria e variações das condições de 

contorno ao longo do tempo. Este permite a inclusão e retirada de sub-regiões e a 

consideração de hipóteses especiais para o reforço, de maneira que o mesmo contribua 

adequadamente para o enrijecimento da estrutura. As formulações viscoelásticas e 

viscoplásticas são baseadas em uma nova metodologia e proporcionam com 

simplicidade e elegância resultados estáveis e bastante precisos. As representações 

viscosas para elementos de contorno são obtidas de duas formas, com o termo viscoso 

obtido através de integrais de domínio e de contorno. Esta última permite a análise 

viscoelástica de sólidos discretizando-se apenas o contorno do corpo, apresentando-se 

mais adequada para o tratamento de meios infinitos ou semi-infinitos. O 

comportamento plástico é levado em consideração através de algoritmos implícitos 

associativos e não-associativos, cujas expressões são obtidas de forma fechada, 

resultando em uma considerável economia computacional e uma melhor precisão na 

resposta não-linear. 

Palavras-chave: acoplamento; elemento finito; elemento de contorno; viscoelástico; 

viscoplástico; elastoplástico; implícito. 

1 INTRODUÇÃO 

A maioria dos problemas de engenharia apresentam interação entre partes 

diferentes do sistema, tais como: interação solo-estrutura, estrutura-estrutura e fluidoestrutura. 

As fundações das estruturas interagem diretamente com o solo, transmitindo 

as solicitações de maneira que a estrutura esteja em equilíbrio estático ou dinâmico. 

Fluidos, tais como: ar, água ou lubrificantes, podem estar interagindo com elementos 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, mesquita@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 35, p. 1-28, 2006

2 

Arthur Dias Mesquita & Humberto Breves Coda 

estruturais como: edifícios, represas, estruturas offshore, componentes mecânicos, etc. 

Cada parte do sistema é representada por uma região física, sobre a qual pode-se aplicar 

uma solução numérica particular. Porém, em muitos casos práticos, por simplicidade, é 

possível desprezar a interação de uma parte do sistema com a outra. Um exemplo claro 

desse comportamento desacoplado, seria a atuação direta das forças do vento sobre um 

edifício suposto rígido. Neste caso, despreza-se a interação, analisando o problema com 

forças equivalentes atuando sobre a estrutura, na tentativa de simular a presença do 

fluido. Entretanto, em situações onde se deseja analisar o comportamento de todo o 

sistema ou mesmo modelar o problema de forma mais realista e coerente, devem-se 

utilizar técnicas numéricas específicas para cada parte do sistema. Uma maneira 

eficiente de representar todo o problema seria através do acoplamento de elementos de 

contorno com elementos finitos. Elementos de contorno são mais adequados para tratar 

problemas com domínio infinito ou semi-infinito e regiões de concentração de tensões e 

fluxo. Já elementos finitos são mais apropriados para problemas envolvendo materiais 

compósitos ou anisotrópicos. Uma aplicação adequada de ambos os métodos na 

simulação de um problema de iteração, torna o acoplamento uma ferramenta bastante 

atraente, possibilitando uma melhor representação de todo o problema, conduzindo à 

resultados mais precisos com um custo computacional menor. 

Para levar em consideração o comportamento viscoplástico optou-se por uma 

nova metodologia proposta pelos autores que apresenta importantes características. A 

maioria dos trabalhos desenvolvidos nesta área são baseados nos procedimentos 

inicialmente propostos por PERZYNA(1966), veja, por exemplo, ZIENKIEWICZ & 

CORMEAU(1974), ARGYRIS et al.(1979), OWEN & DAMJANIC(1982), TELLES & 

BREBBIA(1982) e MUNAIAR(1998). Estes são baseados no conceito de potencial 

plástico originado na teoria da plasticidade. Assim, as características viscosas são 

incorporadas na expressão da taxa de deformação viscoplástica por meio de funções 

dependentes do critério de plastificação e cujo embasamento reológico é bastante 

discutível. O processo recai em um problema incremental onde a análise é executada 

aplicando-se sucessivamente incrementos de força. Esta abordagem é baseada em 

procedimentos quase-estáticos onde a imposição de cargas externas com dependência 

temporal arbitrária e o ajuste do tempo real apresentam algumas dificuldades. 

A principal diferença entre o procedimento proposto e aqueles apresentados na 

literatura é a solução temporal. As abordagens clássicas assumem um comportamento 

conhecido (usualmente constante) das tensões totais durante um incremento de força. A 

partir desta suposição, resolve-se localmente as relações diferenciais temporais de 

tensão/deformação, encontrando a contribuição viscosa. Esta contribuição é aplicada 

nas equações de equilíbrio como um termo corretivo. Já a formulação proposta assume 

uma relação reológica viscoplástica que deve ser imposta no desenvolvimento das 

representações integrais. Desta relação encontra-se um sistema de equações diferencias 

temporal onde o comportamento plástico do corpo é levado em consideração através de 

um termo em tensão inicial. Este termo é obtido de forma usual pelos procedimentos 

elastoplásticos do MEC. Na presente formulação os incrementos são agora definidos 

como incrementos de tempo e não mais como incrementos de força, proporcionando um 

significado bem mais definido para o tempo nas análises viscoplásticas. A técnica 

permite impor, de forma simples e direta, condições de contorno (forças e 

deslocamentos) que variam com relação ao tempo, ampliando o seu campo de aplicação. 

Os algoritmos utilizados na atualização das tensões no problema viscoplástico podem 

ser os mesmos desenvolvidos para tratar os problemas elastoplástico, não havendo a 

necessidade de desenvolver novos procedimentos viscoplásticos, basta apenas 

introduzir na formulação viscosa aqueles já propostos pela plasticidade. Além disso, 


Novas metodologias e formulações para o tratamento de problemas inelásticos com acoplamento... 

3 

como as integrais referentes ao comportamento viscoso são transformadas em integrais 

de contorno, para tratar o problema viscoplástico pelo MEC basta apenas discretizar o 

contorno do corpo e as regiões internas onde ocorrem plastificação, resultando em 

menor quantidade de dados de entrada e um menor custo computacional. Esta nova 

metodologia proporciona, com grande simplicidade, uma elevadíssima economia 

computacional e uma ótima precisão dos resultados. 

O trabalho completo do autor apresenta de forma mais detalhada as metodologias 

aqui apresentadas. Na realidade, devido a falta de espaço apenas a formulação 

viscoplástica com comportamento instantâneo será exposta. Porém, deve-se ressaltar 

que muito mais foi desenvolvido e proposto pelo autor com relação a formulações, 

elastoplásticas, viscoelásticas, viscoplásticas e algoritmos de retorno. Todas estas se 

encontram no texto final da tese de doutorado, estando algumas destas contribuições já 

publicadas em revistas de impacto internacional. 

2 MODELO VISCOELÁSTICO DE BOLTZMANN 

Este modelo é o empregado na formulação de elementos finitos. Considerou-se 

o comportamento na casca, elemento que em muitos casos simulará o reforço na 

estrutura, como possuindo um comportamento viscoelástico com comportamento 

instantâneo. O modelo de Boltzmann (fig.1) é representado pelo arranjo em série do 

modelo de Kelvin-Voigt com uma mola. 

Eve 

σ 

Ee 

η 

σ 

εe 

Figura 1 – Modelo viscoelástico de Boltzmann (representação uniaxial). 

εve 

Este modelo se diferencia do modelo de Kelvin pela capacidade de simular 

deformações elásticas instantâneas. Além do mais, este fica caracterizado pela 

igualdade das tensões nos dois trechos: elástico e viscoelástico. 

ij 

e 

ij 

ve 

ij 

σ = σ = σ 

(1) 

e ve 

onde σ ij , σ ij e σ ij são, respectivamente, as tensões totais, elásticas e viscoelásticas. Já 

as deformações totais são definidas pela soma das deformações elásticas da primeira 

mola e das deformações viscoelásticas referente ao conjunto mola-amortecedor. 

lm 

e 

lm 

ve 

lm 

ε = ε + ε 

(2) 

e 

Semelhantemente as deformações, ε lm , ε lm e ε ve 

lm são, respectivamente, as 

deformações totais, elásticas e viscoelásticas. Para se obter as equações integrais é 

necessário adotar como hipótese a igualdade dos coeficientes de Poisson de ambos os 

trechos. Esta simplificação é bastante razoável, pois na prática o coeficiente de Poisson 


4 


referente ao trecho viscoelástico pouco varia em relação ao do trecho elástico. Além do 

mais, aliado a isto, pode-se ressaltar o número limitado de trabalhos científicos que 

tratam do assunto e a dificuldade em se obter resultados experimentais razoavelmente 

precisos. Assim, levando em consideração esta simplificação, pode-se definir as tensões 

elásticas e viscosas através das seguintes relações: 

e 

ij 

lm e 

ij ε lm 

σ C = E C 

v 

ij 

e 

lm e 

ij ε lm 

= ~ (3a) 

el lm ve lm ve 

σ ij = C ˆ ij ε lm = EveCij 

ε lm 

(3b) 

σ = η & = γE C & ε 

(3b) 

lm ve 

ij ε lm 

ve 

lm ve 

ij lm 

el 

onde σ ij são as tensões elásticas referente a mola em paralelo com o amortecedor. Note 

que as tensões viscosas são proporcionais a velocidade de deformação, sendo E e e E ve , 

respectivamente, o modulo de elasticidade referente aos trechos elástico e viscoelástico. 

O coeficiente γ é o parâmetro representativo da viscosidade do material. Este pode ser 

determinado através de resultado de testes de tração uniaxial e de cisalhamento 

LEMAITRE & CHABOCHE(1990) e MUNAIAR(1998) .O termo η lm 

ij representa a 

lm 

matriz viscosa e C ij a matriz constitutiva elástica, definida em uma forma indicial pela 

seguinte expressão: 

lm 

Cij 

= λδ δ + µ δ δ + δ δ ) 

(4) 

ij 

lm 

( il jm im jl 

onde λ e µ são constantes escritas em função do coeficiente de Poisson da seguinte 

maneira: 

ν 

λ = ( 1 + ν )(1 − 2ν 

) 

; 

1 

µ = (5) 

2(1 + ν ) 

ij 

Com relação ao trecho viscoelástico é possível escrever 

ve 

ij 

el 

ij 

v 

ij 

ve 

lm ve 

ij ε lm 

ve 

lm ve 

ij 

& ε lm 

σ = σ = σ + σ = E C + γE 

C 

(6) 

Semelhantemente a expressão (2), pode-se escreve uma relação entre as 

velocidades de deformação de ambos os trechos do modelo de Boltzmann. 

lm 

e 

lm 

ve 

lm 

& ε = & ε + & ε 

(7) 

e ve 

onde ε& 

lm , ε& lm e ε& 

lm são as velocidades de deformações totais, elásticas e viscoelásticas, 

respectivamente. Explicitando-se as deformações elásticas na equação (3a) e as 

deformações viscoelásticas na expressão (6), fazendo-se uso da relação (7), obtém-se: 

ε 

ε 

e 

lm 

ve 

lm 

1 ij −1 

Clm 

e 

= σ ij 

(8a) 

E 

1 

= 

E 

ve 

C 

ij −1 ve 1 ij −1 

lm 

σ ij − γε& 

lm = Clm 

Eve 

σ − γ 

ij 

e 

(& 

ε − & ε ) 

lm 

lm 

(8b) 



5 

Substituindo-se as expressões das deformações elásticas ε lm 

e e viscoelásticas ε lm 

ve 

apresentadas nas equações (8a) e (8b), respectivamente, na definição das deformações 

totais ε lm em (2), obtém se a relação reológica para este modelo. 

σ 

E 

E 

γE 

E 

γE 

e ve lm 

e ve lm 

ve 

ij = Cij 

ε lm + Cij 

& ε lm − & σ ij 

(9) 

Ee 

+ Eve 

Ee 

+ Eve 

Ee 

+ Eve 

sendo σ& 

ij a taxa de variação da tensão total com o tempo. Esta é a relação que deve ser 

imposta no desenvolvimento da equação integral para se obter a formulação 

viscoelástica do método dos elementos finitos específica para o modelo de Boltzmann. 

3 MODELO VISCOPLÁSTICO (com comportamento instantâneo) 

O modelo viscoplástico apresentado neste item (fig. 2) é baseado no modelo de 

Boltzmann descrito anteriormente e será empregado nas sub-regiões de elemenentos de 

contorno. Este se diferencia do modelo viscoplástico apresentado no item anterior pela 

capacidade de simular deformações elásticas instantâneas. O modelo é representado 

pelo arranjo em série de um conjunto em paralelo bloco/mola com a mola do trecho 

viscoelástico do modelo de Boltzmann. 

η 

σ 

σο 

Ee 

σ 

Eve 

εvp 

H 

εve 

εe 

εvep 

Figura 2 – Modelo viscoplástico (representação uniaxial). 

ε 

Para o modelo viscoplástico apresentado na figura 1 as deformações são 

relacionadas através da seguinte expressão: 

ε 

ij 

e 

ij 

ve 

ij 

vp 

ij 

ve 

ij 

ij 

e 

ij 

vp 

ij 

= ε + ε + ε ⇒ ε = ε − ε − ε 

(10) 

onde 

ε ij , 

e 

ε ij , 

ve 

ij 

ε e ε vp são, respectivamente, as deformações totais, elásticas 

ij 

(comportamento instantâneo), viscoelásticas e viscoplásticas. Já as tensões totais são 

definidas pela soma das tensões viscosas (no amortecedor) e das tensões elastoplásticas 

(no trecho elastoplástico), como: 

ij 

v 

ij 

ep 

ij 

σ = σ + σ 

(11) 


6 


ep v 

Semelhantemente as deformações, σ ij , σ ij e σ ij são, respectivamente, as tensões 

totais, elástoplásticas e viscosas. Para se obter as equações integrais de contorno é 

necessário adotar como hipótese a igualdade dos coeficientes de Poisson de ambos os 

trechos. Esta simplificação é bastante razoável, pois na prática o coeficiente de Poisson 

referente ao trecho viscoelástico pouco varia em relação ao do trecho elástico. Além do 

mais, aliado a isto, pode-se ressaltar o número limitado de trabalhos científicos que 

tratam do assunto e a dificuldade em se obter resultados experimentais razoavelmente 

precisos. Assim, levando em consideração esta simplificação, pode-se definir as tensões 

através das seguintes relações: 

ep 

ij 

lm ve 

ij ε lm 

ve 

lm ve 

ij ε lm 

σ = C 

~ = E C 

(12a) 

e 

ij 

lm e 

ij ε lm 

lm e 

ij ε lm 

σ C = EeC 

v lm vep ~ lm vep 

σ = η & ε = γC 

& ε = γE 

ij 

= ˆ (12b) 

ij 

lm 

ij 

lm 

ve 

C 

lm vep 

ij 

& ε 

lm 

(12c) 

e 

onde σ ij são as tensões elásticas referente a mola em série com o amortecedor. Note que 

as tensões viscosas são proporcionais a velocidade de deformação, sendo H o módulo 

plástico, E e e E ve , respectivamente, o modulo de elasticidade referente aos trechos 

instantâneo e viscoplástico. O coeficiente γ é o parâmetro representativo da viscosidade 

do material. Este pode ser determinado através de resultado de testes de tração uniaxial 

e de cisalhamento LEMAITRE & CHABOCHE(1990) e MUNAIAR(1998).O termo 

lm 

lm 

η ij representa a matriz viscosa e a matriz C ij fica definida em uma forma indicial pela 

seguinte expressão: 

lm 

Cij 

~ 

= λ δ δ + 

~ µ ( δ δ + δ δ ) 

(13) 

ij 

lm 

il 

jm 

im 

jl 

onde λ ~ e µ ~ são constantes escritas em função do coeficiente de Poisson da seguinte 

maneira: 

~ ν 

λ = (1 + ν )(1 − 2ν 

) 

; 

~ µ = 

( 1+ ν ) 

(14) 

2 

1 

Com relação ao trecho viscoplástico é possível escrever 

σ 

ij 

ep 

ij 

v 

ij 

ve 

lm ve 

ij ε lm 

ve 

lm vep 

ij 

& ε 

lm 

= σ + σ = E C + γE 

C 

(15) 

Semelhantemente a expressão (1), pode-se escreve uma relação entre as 

velocidades de deformação de ambos os trechos do modelo proposto. 

lm 

e 

lm 

ve 

lm 

vp 

lm 

e 

lm 

vep 

lm 

& ε = & ε + & ε + & ε = & ε + & ε 

(16) 

onde o ponto sobre os termos presentes na expressão (16) indica a respectiva derivada 

com relação ao tempo, ou seja, velocidade de deformação. Explicitando-se as 

deformações elásticas ε lm 

e na equação (12b) e as deformações viscoelásticas na 

expressão (15), fazendo-se uso da relação (16), obtém-se: 



7 

ε 

ε 

e 

lm 

ve 

lm 

1 ij −1 

Clm 

e 

= σ ij 

(17a) 

E 

1 

= 

E 

ve 

C 

ij −1 vep 1 ij −1 

lm 

σ ij −γε& 

lm 

= Clm 

Eve 

σ −γ 

ij 

e 

(& 

ε − & ε ) 

lm 

lm 

(17b) 

Substituindo-se as expressões das deformações elásticas ε lm 

e e viscoelásticas ε lm 

ve 

apresentadas nas equações (17a) e (17b), respectivamente, na definição das 

deformações totais ε lm em (10), obtém se a relação reológica para este modelo. 

σ 

ij 

Ee 

Eve 

lm 

γE 

= Cij 

lm lm 

& 

E + E 

E + E 

e 

ve 

ve 

e vp 

( ε + γε& ) − σ − σ 

(18) 

e 

ve 

ij 

E 

e 

E 

+ E 

ve 

ij 

sendo σ& 

ij a taxa de variação da tensão total com o tempo. Esta é a relação que deve ser 

imposta no desenvolvimento da equação integral de contorno para se obter a formulação 

viscoplástica do método dos elementos de contorno específica para o modelo aqui 

proposto. O termo σ é oriundo dos problemas de tensão inicial, sendo expresso por: 

vp 

ij 

vp 

ij 

ve 

lm vp 

ij ε 

lm 

σ = E C 

(19) 

Note que as expressões constitutivas serão consideradas em sua forma total e não 

na forma incremental como usualmente é feito nas formulações elastoplásticas. Sendo 

assim, todos os termos que aparecem com um ponto como sobrescrito referem-se 

literalmente a respectiva derivada no tempo (ou seja: x& 

= ∂x 

∂t 

) e não significam 

incrementos infinitesimais como usualmente encontrado nas literaturas que tratam da 

teoria da plasticidade. 

4 ELEMENTOS FINITOS 

A representação viscoelástica de um corpo em equilíbrio via MEF, pode ser 

obtida a partir da equação de equilíbrio estática. 

ij , j + i = 

σ b 0 

(20) 

onde b i são as componentes das forças de volume referente a direção i. Pode-se 

ponderar o erro produzido pela equação de equilíbrio (20), quando a solução exata for 

substituída por uma aproximada, utilizando-se como função ponderadora a função de 

deslocamento virtual δ ui 

. Sendo assim, a equação de ponderação sobre todo o domínio 

Ω pode ser escrita como: 

∫ Ω 

∫ 

δ u ( , + b ) dΩ 

= 0 

(21) 

i σ ij j 

i 

Integrando-se por partes o primeiro termo da equação (21), obtém-se: 

∫ 

∫ 

δ u σ n dΓ 

− δu 

σ dΩ + δu b dΩ 

0 

(22) 

Γ 

i 

ij 

j 

Ω 

i, j ij 

i i = 

Ω 


8 


sendo Γ a variável que define o contorno do corpo e n j a componente j do versor 

normal a superfície. Sabendo-se que σ ijn j = pi 

e que δ ui, jσ 

ij = δε ijσ 

ij , onde δε ij são as 

componentes de deformações virtuais, a equação (22) fica 

∫ 

Γ 

∫ 

∫ 

δ u p dΓ 

− δε σ dΩ + δu b dΩ = 0 

(23) 

i 

i 

Ω 

ij 

ij 

Ω 

i 

i 

A expressão (23) é o tão conhecido princípio dos trabalhos virtuais específico. A 

primeira e a terceira integrais representam, respectivamente, o trabalho das forças de 

superfície e volumétricas. A segunda integral refere-se ao trabalho das forças internas e 

dá origem a matriz de rigidez. A equação (23) é o ponto de partida para a obtenção da 

representação integral viscoelástica do MEF. Nela se impõe a relação reológica definida 

pela equação (9), de maneira que: 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

Γ 

EeEve 

δ ui 

pidΓ 

− 

E + E 

Ω 

Ω 

Ω 

e 

ve 

∫ 

Ω 

δε C 

ij 

lm 

ij 

γEeE 

εlmdΩ − 

E + E 

e 

ve 

ve 

∫ 

Ω 

δε 

A quarta integral pode ser escrita como: 

∫ 

lm 

ijηij 

γE 

& 

ve 

εlmdΩ + 

E + E 

e 

ve 

∫ 

Ω 

δε & σ dΩ + 

ij 

ij 

∫ 

Ω 

δu b dΩ = 0 

δε & σ d Ω = δu 

, 

& σ dΩ 

(25) 

ij 

ij 

Ω 

i j 

ij 

Integrando-se por partes a equação (25) encontra-se: 

∫ 

∫ 

δε & σ dΩ 

= δu 

& σ n dΓ − δu 

& σ dΩ 

(26) 

ij ij 

i ij j 

i ij, 

j 

Γ 

Ω 

Sabendo-se que & σ ijn 

j = p& 

i e & σ ij j = −b & 

, i a expressão (26) torna-se: 

∫ 

∫ 

δε & σ dΩ 

= δu 

p& 

dΓ + δu 

b& 

dΩ 

(27) 

ij 

ij 

Γ 

i 

i 

Ω 

i 

i 

Substituindo a expressão (27) na equação integral (24) obtém-se: 

i 

i 

(24) 

∫ 

Γ 

EeEve 

δui 

pidΓ − 

E + E 

γEve 

E + E 

e 

ve 

⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

Γ 

e 

∫ 

δu 

p& 

dΓ + 

i 

i 

ve 

Ω 

∫ 

δε C 

Ω 

ij 

lm 

ij 

δu b& 

dΩ 

⎤ 

i i + 

⎥⎦ 

γEeE 

εlmdΩ − 

E + E 

∫ 

Ω 

e 

∫ 

Ω 

δu b dΩ = 0 

i 

i 

ve 

ve 

δε C 

ij 

lm 

ij 

& ε dΩ + 

lm 

(28) 

A expressão (28) é a representação integral viscoelástica que leva em 

consideração o modelo reológico de Boltzmann. Note que a 1 a , 2 a e 6 a integrais são as 

mesmas apresentadas na formulação elastostática e podem ser solucionadas seguindo o 

mesmo princípio. A terceira integral é responsável pelo comportamento viscoso. Já a 

quarta e a quinta integrais são responsáveis pelo comportamento instantâneo, podendo 

contribuir também para o comportamento viscoso caso ocorram variações das 

solicitações com o tempo. Em geral, como o peso próprio não varia com o tempo e já 



9 

existia antes da aplicação da cargas, pode-se considerara nestas situações b & i = 0 e 

conseqüentemente a quinta integral se anula. 

A equação integral definida anteriormente pode ser transformada em equação 

algébrica através do método dos elementos finitos. Assim, o domínio do corpo Ω é 

discretizado com n e elementos finitos Ω e , de tal sorte que as densidades do domínio 

sejam representadas adequadamente, resultando em: 

KU ( t) 

VU & ( t) 

= LP( 

t) 

+ Bb( 

t) 

+ LP& 

( t) 

+ Bb& 

( t) 

+ (29) 

onde t representa o tempo, K é a nova matriz de rigidez da estrutura, V a matriz viscosa, 

L e L são as matrizes “Lumping” referente respectivamente a forças de superfície e sua 

velocidade. Os termos B e B são matrizes referente as forças volumétricas e a sua 

respectiva velocidade. Estas matrizes ficam definidas como: 

K = 

V = 

L = 

n 

e 

∑ 

e= 

1 

n 

e 

∑ 

e= 

1 

n 

E 

E 

s 

∑∫ 

s= 

1 

n 

B = 

e= 

1 

L = 

B = 

E 

e 

e 

e 

γE 

Γs 

e 

∑∫ 

n 

s 

∑ 

s= 

1 

n 

e 

∑ 

e= 

1 

Ωe 

E 

E 

E 

ve 

+ E 

e 

E 

ve 

+ E 

ve 

ve 

~ β 

∫ 

∫ 

Ωe 

Ωe 

φ , 

φ, 

α 

j 

α 

j 

C 

C 

lm 

ij 

lm 

ij 

φ, 

φ, 

β 

m 

β 

m 

dΩ 

dΩ 

e 

e 

φ α 

φ dΓ 

(30) 

φ 

e 

α φ β 

γE 

e 

ve 

+ E 

γE 

ve 

+ E 

d Ω 

ve 

ve 

∫ 

s 

e b β 

i 

Γs 

∫ 

Ωe 

~ β 

φ α φ dΓ 

φ 

α φ β 

dΩ 

e 

s 

Para resolver a equação temporal (30) faz-se uso de um adequado procedimento 

de integração no tempo. Para isto, pode-se fazer uso de técnicas de integração temporal, 

tais como Newmark β WARBURTON(1976), Houbolt CODA & VENTURINI(1998) 

ou Wilson θ BATHE(1996), que são usualmente empregadas em análises dinâmicas. 

Neste trabalho adotou-se uma simples e eficiente aproximação linear para definir as 

velocidades. 

& 

( U s+ 

1 −U 

s ) 

= 

(31a) 

U s+ 

1 

∆t 

( P P ) 

P& s+ 

1 − s 

s+ 

1 = 

(31b) 

∆t 

( b b ) 

b& s+ 

1 − s 

s+ 

1 = 

(31c) 

∆t 

onde s+1 refere-se ao instante atual. Aplicando-se as expressões das velocidades 

definidas em (31) na expressão (29), encontra-se o seguinte sistema de equações: 

K U s F 

(32) 

+ 1 = s +1 


10 


onde 

[ ∆tK 

V ] 

K = + 

(33a) 

Fs+ 1 = [ ∆tL 

+ L ] Ps 

+ 1 + [ ∆tB 

+ B ] bs+ 

1 + VU s − LPs 

− Bbs 

(33b) 

Esse é o sistema referente a sub-região de elementos finitos que deverá ser 

acoplado a outras sub-regiões do MEC e do MEF para resolver o problema do 

acoplamento progressivo. 

5 ELEMENTOS DE CONTORNO 

As representações integrais viscoplásticas de um corpo em equilíbrio via MEC, 

podem ser obtidas, semelhantemente a elementos de contorno, a partir da equação de 

equilíbrio. 

σ ij , j + b i = 0 

(34) 

onde b i representa as componentes das forças de volume. Pode-se ponderar o erro 

produzido pela equação de equilíbrio (34), quando a solução exata for substituída por 

uma aproximada, utilizando-se como função ponderadora a solução fundamental para o 

problema específico. Sendo assim a equação de ponderação sobre todo o domínio Ω 

pode ser escrita. 

∫ Ω 

∗ 

uki ( σ ij, j + bi 

) dΩ 

= 0 

(35) 

∗ 

onde u ki é denominado solução fundamental e representa fisicamente o efeito de uma 

carga concentrada unitária estática atuando em um ponto de um domínio infinito. 

Integrando-se por partes o primeiro termo da equação (35), obtém-se: 

∫ 

Γ 

∫ 

∫ 

∗ 

∗ 

∗ 

uki σ ij n j dΓ 

− uki, jσ 

ij dΩ 

+ ukibi 

dΩ 

= 0 

(36) 

Ω 

Ω 

sendo Γ a variável que define o contorno do corpo e n j a componente do versor normal 

∗ 

∗ 

a superfície. Sabendo-se que σ ijn j = pi 

e que uki, jσ 

ij = ε kijσ 

ij , onde ε ∗ kij é a solução 

fundamental em deformações, a equação (36) fica 

∫ 

Γ 

∫ 

∫ 

∗ 

∗ 

∗ 

uki pidΓ 

− ε kijσ 

ij dΩ 

+ ukibi 

dΩ 

= 0 

(37) 

Ω 

Ω 

A equação (37) é o ponto de partida para a obtenção das representações integrais 

viscoplásticas. Nela se impõe a relação reológica definida pela equação (18), de maneira 

que: 


Novas metodologias e formulações para o tratamento de problemas inelásticos com acoplamento... 11 

∫ 

* 

uki 

Γ 

∫ 

∗ 

uki 

Ω 

Ee 

Eve 

pidΓ 

− 

E + E 

Ee 

bidΩ 

+ 

E + E 

e 

e 

ve 

ve 

∫ 

∗ 

ε kij 

Ω 

∫ 

Sabendo-se que 

∗ 

ε kij 

Ω 

C 

lm 

ij 

vp 

ij 

γEe 

Eve 

ε lmdΩ 

− 

E + E 

σ dΩ 

= 0 

e 

ve 

∫ 

∗ 

ε kij 

Ω 

C 

lm 

ij 

γEve 

& ε lmdΩ 

+ 

E + E 

e 

ve 

∫ 

∗ 

ε kij 

Ω 

& σ ij dΩ 

+ 

(38) 

∗ lm ∗ 

∗ 

∗ 

kij E eCij 

ε lm = σ klmε 

lm = σ klmul, 

m = σ kijui, 

j 

ε (39a) 

∗ lm ∗ 

∗ 

∗ 

kij E eCij 

& ε lm = σ klm 

& ε lm = σ klmu& 

l, m = σ kiju& 

i, 

j 

ε (39b) 

ε 

∗ ∗ 

kij 

& σ ij uki 

j 

& σ ij 

= , (39c) 

logo a equação (38) torna-se: 

∫ 

* 

uki 

Γ 

∫ 

∗ 

uki 

Ω 

Eve 

pidΓ 

− 

E + E 

Ee 

bidΩ 

+ 

E + E 

e 

e 

ve 

ve 

∫ 

∫ 

Ω 

σ 

∗ 

kij 

∗ 

ε kij 

Ω 

u 

i, 

j 

vp 

ij 

γEve 

dΩ 

− 

E + E 

σ dΩ 

= 0 

e 

ve 

∫ 

Ω 

σ 

∗ 

kij 

u& 

i, 

j 

γEve 

dΩ 

+ 

E + E 

e 

ve 

∫ 

∗ 

uki, 

j ij 

Ω 

& σ dΩ 

+ 

(40) 

Aplicando-se integração por partes na segunda, terceira e quarta integrais da 

equação (40), encontra-se: 

∫ 

* 

uki 

Γ 

E 

γE 

e 

+ E 

Eve 

pidΓ 

− 

E + E 

ve 

ve 

⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

e 

∗ 

uki 

ij 

Γ 

& σ n 

ve 

j 

⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

Γ 

dΓ 

− 

σ 

∫ 

∗ 

kij 

∗ 

uki 

Ω 

& σ 

ij, 

j 

∫ 

n u dΓ 

− 

j 

i 

Ω 

dΩ 

⎤ 

+ 

⎥⎦ 

σ 

∫ 

∗ 

kij, 

j 

∗ 

uki 

Ω 

⎤ γEve 

uidΩ 

− 

⎥⎦ E + E 

Ee 

bidΩ 

+ 

E + E 

e 

e 

ve 

ve 

⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

∫ 

Γ 

σ 

∗ 

kij 

∗ 

ε kij 

Ω 

∫ 

n u& 

dΓ 

− 

j 

vp 

ij 

i 

σ dΩ 

= 0 

Ω 

σ 

∗ 

kij, 

j 

u& 

dΩ 

⎤ 

i + 

⎥⎦ 

Fazendo-se uso, respectivamente, da equação de equilíbrio fundamental e da 

equação de equilíbrio do problema real escrita em forma de taxas, ambas expressas 

como: 

∗ 

(42a) 

σ δ ( p, 

s) 

δ 

kij, j = − 

ij, 

j 

i 

ki 

& σ = −b & 

(42b) 

(41) 

onde b & i é a taxa de variação das componentes das forças volumétricas, δ ( p, 

s) 

é o 

conhecido delta de Dirac, s refere-se a uma posição do domínio do sólido e p representa 

a posição do ponto fonte. Aplicando-se a equação (42a) e (42b) em (41), levando-se em 

consideração as propriedades do delta de Dirac e os artifícios para integrais singulares, 

∗ ∗ 

sabendo-se queσ kij n j = p ki e que & σ ijn 

j = p& 

i , encontra-se: 

Ee 

+ E 

Ckiui( 

p) 

= 

E 

γ ⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

Γ 

u 

∗ 

ki 

p& 

dΓ 

+ 

i 

ve 

∫ 

Ω 

ve 

∫ 

Γ 

u 

* 

ki 

p dΓ 

− 

i 

∫ 

Γ 

∗ E E 

u b& 

e + 

ki idΩ 

⎤ 

+ 

⎥⎦ E 

ve 

∗ 

ki 

p u dΓ 

−γ 

ve 

∫ 

i 

Ω 

∫ 

Γ 

∗ 

ki 

∗ Ee 

ukibidΩ 

+ 

E 

p u& dΓ 

−γC 

u& 

( p) 

+ 

i 

ve 

∫ 

Ω 

∗ 

kij 

ki 

vp 

ij 

ε σ dΩ 

i 

(43) 

O termo ki C é o mesmo obtido nas formulações elastostáticas e sua expressão 

pode ser facilmente encontrada nas bibliografias usuais do método dos elementos de 


12 


contorno BREBBIA et al.(1984) e BREBBIA & DOMINGUEZ(1992).A equação (43) é 

a representação integral da formulação viscoplástica do MEC que leva em consideração 

o modelo definido na figura 2. A 1 a , 2 a e 6 a integrais são as mesmas apresentadas na 

formulação elastostática e podem ser solucionadas seguindo os mesmos princípios. Note 

que a quarta e a quinta integrais são responsáveis pelo comportamento instantâneo e 

podem contribuir para a resposta viscosa se houver variação das solicitações com o 

tempo. A terceira integral e o quarto termo do lado direito da equação integral (43) são 

responsáveis pelo comportamento viscoso. Note que a única diferença desta 

representação para a representação viscoelástica é a presença do último termo no lado 

direito da equação (43) responsável pelo comportamento plástico do corpo. Esta integral 

2 

apresenta singularidade do tipo 1 / r para o caso bidimensional e 1/ 

r para o caso 

tridimensional e neste trabalho será tratada utilizando-se células (apenas nas regiões 

onde ocorrerão plastificação) e uma eficiente técnica de transformação de coordenadas. 

Ressalta-se ainda que a penúltima e a última integrais podem ser transformadas em 

integrais de contorno e assim é possível obter uma expressão mais elegante para o 

MEC. Considerando-se, por exemplo, a situação onde b i é uma função constante em 

todo o domínio do corpo e consequentemente b & i é constante em Ω. Nesta caso as 

equações de domínio em (43) podem ser transformadas utilizando-se coordenadas 

polares e integrando-se em r , da seguinte forma: 

Para 2D 

∫ 

∗ 

∗ 

∗ ∂r 

∗ 

u bi 

dΩ 

= bi 

∫ 

ukidΩ 

= bi 

∫∫ukirdrdθ 

= bi∫∫u 

kidr 

dΓ 

= bi 

Ω 

θ Γ ∂ ∫ 

BkidΓ 

r 

r n 

Γ 

(44a) 

∗ 

∗ 

∗ 

∗ ∂r 

∗ 

u kib 

& 

idΩ 

= b& 

i u Ω = 

θ = 

Γ = Γ 

∫ kid 

b& 

i u 

Ω ∫∫ kirdrd 

b& 

i u 

θ r ∫∫ kidr 

d b& 

i B 

Γ r ∂ ∫ kid 

n 

Γ 

(44b) 

∗ 

ki 

Ω 

∫ 

Ω 

Para 3D 

∫ 

2 ∗ ∂r 

∗ 

∫ ∫∫∫ 

drdθdϕ 

= b 

∫∫ 

dΓ 

= b 

Γ ∂ ∫ 

u dr 

i BkidΓ 

r ki n 

Γ 

(44c) 

∗ 

∗ 

∗ ∂r 

∗ 

b& dΩ 

= b& 

u dΩ 

= b& 

2 

i i 

u r θ drdθdϕ 

= b u dr dΓ 

= b B dΓ 

∫ ki i 

Ω ∫∫∫ ki cos( ) & 

& 

i 

ϕ θ 

∫∫ ki 

i 

Γ ∂n 

∫ ki 

r 

r 

Γ 

(44d) 

∗ 

∗ 

∗ 

u = = 

Ω 

ki b i dΩ 

b i u dΩ 

b u r θ 

Ω 

ki i ϕ θ r ki cos( ) 

∫ 

∗ 

uki 

Ω 

Assumindo a solução fundamental de Kelvin o termo 

∗ 

B ki fica expresso por: 

Para 2D 

B 

∗ 

ki 

r ⎡ ⎛ 1 ⎞ 

= 

⎢(3 

− 4ν 

) ⎜ − ln( r) 

⎟δ 

ki + r, 

16π 

(1 −ν 

) G ⎣ ⎝ 2 ⎠ 

1 

∂ 

= 

(3 − 4ν 

) δ ki + r, 

k r, 

i 

32π 

(1 −ν 

) G 

∂ 

∗ 

r 

Para 3D B 

[ ] n 

ki 

k 

r, 

i 

⎤ ∂r 

⎥ 

⎦ ∂n 

(45a) 

(45b) 

sendo r = r( p ou P, 

S) 

, onde as letras maiúsculas significam variáveis do contorno e as 

minúsculas do domínio. Logo a equação integral (43) pode ser escrita como: 

C u ( p) 

+ γC 

ki 

γ ⎡ 

⎢⎣ 

∫ 

i 

∗ 

uki 

i 

Γ 

ki 

p& 

dΓ 

+ b& 

E + E 

u& 

e 

i( 

p) 

= 

E 

i 

∫ 

Γ 

ve 

ve 

∫ 

Γ 

u 

∗ ⎤ Ee 

+ E 

BkidΓ 

+ 

⎥⎦ E 

ve 

* 

ki 

p dΓ 

− 

ve 

i 

b 

i 

∫ 

Γ 

∫ 

Γ 

∗ 

ki i 

p u dΓ 

− γ 

∗ Ee 

BkidΓ 

+ 

E 

ve 

∫ 

Ω 

∫ 

Γ 

p u& 

dΓ 

+ 

* 

kij 

∗ 

ki i 

vp 

ij 

ε σ dΩ 

(46) 



A equação integral definida anteriormente pode ser transformada em equação 

algébricas através do método dos elementos de contorno. Assim, o contorno do corpo Γ 

é discretizado com n e elementos de contorno Γ e e o domínio Ω , onde ocorrerá a 

plastificação, com n c células Ω c , de tal sorte que as densidades do contorno sejam 

representadas adequadamente. Dessa forma, as variáveis do problema podem ser 

aproximadas, parametrizando-as com relação aos seus valores nodais, fazendo-se uso de 

funções interpoladoras apropriadas, resultando em: 

Ee 

+ Eve 

Ee 

+ Eve 

Ee 

vp 

HU ( t) 

+ γ HU ( t) 

= GP( 

t) 

+ γGP& 

( t) 

+ γBb& 

( t) 

+ Bb( 

t) 

+ Qσ 

( t) 

E 

E 

E 

& (47) 

ve 

Similarmente ao MEF para se integrar no tempo a equação anterior deve-se fazer 

uso de um integrador temporal. Por simplicidade, adotou-se uma simples aproximação 

linear para definir as velocidades, de maneira que: 

ve 

ve 

U U 

U& s+ 

1 − s 

s+ 

1 = ; 

∆t 

P P 

P& s+ 

1 − s 

s+ 

1 = ; 

∆t 

b b 

b& s+ 

1 − s 

s+ 

1 = ; 

∆t 

σ s+ 

1 −σ 

s 

& σ s+ 

1 = 

(48) 

∆t 

Aplicando-se a expressão das velocidades apresentadas em (48) na equação (47), 

encontra-se o seguinte sistema de equações: 

H U + 

onde 

⎛ 

H = ⎜ 

⎝ 

s+ 1 = GPs 

+ 1 Fs 

(49) 

γ ⎞ 

+ ⎟H 

∆t 

⎠ 

1 (50a) 

⎛ Ee 

+ E 

G = ⎜ 

⎝ Eve 

⎛ E 

ve 

+ E 

γ ⎞ 

+ ⎟G 

∆t 

⎠ 

γ ⎞ 

e ve 

e vp 

Fs 

= ⎜ 

⎟ 

+ Bbs+ 1 + HU s − GPs 

− Bbs 

+ Q 

s+ 

1 

Eve 

t 

σ 

∆ ∆t 

∆t 

∆t 

Eve 

⎝ 

⎠ 

γ 

γ 

γ 

E 

(50b) 

(50c) 

6 ACOPLAMENTO USUAL 

O acoplamento entre as formulações descritas é baseado na técnica de sub-regiões 

CODA & VENTURINI(1999) e BEER & WATSON(1992). Veja, por exemplo a figura 

3, duas sub-regiões definidas por um domínio Ω i (elementos de contorno) e Ω j 

(elementos finitos) são acopladas através de uma interface Γ ij . 


Ω 

14 


boundary 

element 

finite 

element 

Ω i 

Γ ij 

Ω j 

Figura 3 – Coupling between boundary and finite elements sub-regions. 

É possível escrever para ambas as sub-regiões um sistema de equações como 

aquele descrito na equação (49), escrito para o presente instante. 

H 

H 

i 

U 

j 

U 

i i i i 

t+ ∆ t G Pt 

+ ∆t 

+ Ft 

+ ∆t 

= (51a) 

j j j j 

t+ ∆ t 

G Pt 

+ ∆t 

+ Ft 

+ ∆t 

= (51b) 

As condições de compatibilidade e equilíbrio ao longo da interface Γ ij são escritas 

como: 

U 

P 

ij ji 

t ∆ t 

U 

t+ 

∆t 

+ 

= (52a) 

ij ji 

t+ ∆ t 

−Pt 

+ ∆t 

= (52b) 

onde os valores U 

ij t + ∆ t 

e P ij t + ∆ t 

são respectivamente, os deslocamentos e as forces de 

ie 

superfície ao longo da interface no presente instante. Já U t+ 

∆t 

e Pt 

ie + ∆ t são valores de 

deslocamento e força de superfície que não pertencem a interface, respectivamente. 

Substituindo equação (52) dentro da eq.(51), resulta: 

⎡H 

⎢ 

⎣ 0 

ie 

H 

H 

ij 

ji 

− G 

G 

ji 

ij 

H 

0 

je 

⎧U 

⎪ 

⎤⎪U 

⎥⎨ 

⎦⎪Pt 

⎪ 

⎩U 

ie 

t+ 

∆t 

ij 

t+ 

∆t 

ji 

+ ∆t 

je 

t+ 

∆t 

⎫ 

⎪ 

⎪ ⎡G 

⎬ = ⎢ 

⎪ 

⎣ 0 

⎪ 

⎭ 

ie 

G 

0 

ij 

G 

0 

je 

⎧P 

t 

⎪ 

0 ⎤⎪Pt 

ji ⎥⎨ 

G 

⎦⎪Pt 

⎪ 

⎩Pt 

ie 

+ ∆t 

ij 

+ ∆t 

je 

+ ∆t 

ji 

+ ∆t 

⎫ 

⎪ 

⎪ ⎪⎧ 

Ft 

⎬ + ⎨ 

⎪ ⎪⎩ Ft 

⎪ 

⎭ 

i 

+ ∆t 

j 

+ ∆t 

⎪⎫ 

⎬ 

⎪⎭ 

(53) 

ij 

onde P representa valores prescrito na superfície de contato. Esta expressão pode ser 

facilmente estendida para um arbitrário número de sub-regiões CODA et al.(1999). 

7 ACOPLAMENTO DO REFORÇO 

Esta abordagem é mais indicada para tratar problemas de acoplamento 

progressivo que envolve inserção de regiões no corpo em tempos pré-determinados, tais 

como os problemas de reforço estrutural e de escavações. O reforço é tratado como uma 

sub-região que será acoplada durante o processo numérico. A interface que receberá 



reforço, em geral, apresenta-se em uma forma deslocada. Executando-se o acoplamento 

como descrito no item anterior, mantendo as condições de compatibilidade e equilíbrio, 

implicitamente impõe-se que a interface do reforço que será acoplada possuirá 

deslocamentos e forças de superfícies prescritas iguais aos pontos da interface que 

recebe o reforço. 

P(t 0) 

P(t ) 

1 

U i 

o 

i 

U ref 

U i est 

Figura 4 – Etapas de um reforço estrutural. 

Se o acoplamento for considerado desta forma e for empregado um reforço com as 

mesmas propriedades físicas do meio reforçado, ocorrerá que a estrutura recuperará a 

rigidez inicial de uma estrutura íntegra com a mesma geometria e propriedades físicas 

da estrutura reforçada, provocando uma descontinuidade na curva deslocamento x 

tempo, o que não é correto. Para se evitar este problema, é necessário fazer uma 

correção no sistema de equações, de maneira que as hipóteses do reforço sejam 

introduzidas corretamente. Esta correção pode ser melhor compreendida visualizandose 

a figura 4. A figura 4 apresenta as etapas de um problema de reforço. A estrutura a 

ser reforçada, inicialmente em repouso, é solicitada por uma força, originando uma nova 

configuração deslocada para a estrutura, até que, em um determinado instante, o reforço 

é acoplado. Note que as condições de compatibilidade e equilíbrio, para a interface de 

contato entre o reforço e a estrutura, considerando a hipótese de pequenos 

deslocamentos, são agora expressas como: 

i i i 

Condição de compatibilidade →U est = U ref + U o 

(54a) 

i i 

Condição de equilíbrio → P = −P 

(54b) 

ref 

i 

sendo U o o vetor de deslocamentos da interface que recebe o reforço no instante 

anterior ao acoplamento do reforço. Os subscritos ref e est indicam os termos 

relacionados, respectivamente, ao reforço e a estrutura a ser reforçada, ambos referentes 

ao instante atual. É importante observar que a condição de compatibilidade para o 

problema de reforço é diferente daquela apresentada na equação (52a). As equações do 

problema no instante em que o reforço é conectado são: 

est 


16 


Para 

Para 

⎧ ⎫ 

0 

⎪⎩ ⎪⎭ 

e 

e 

e i ⎪U 

est ⎪ i ⎧ ⎫ e i ⎪Pest 

⎪ 

Ω est → [ H est H est ] ⎨ [ Gest 

] 

i 

[ Gest 

Gest 

] B 

i ⎬ = ⎨ ⎬ + ⎨ + 

i ⎬ est 

U 

P 

est 

⎩ est ⎭ 

Pest 

⎧ 

⎪⎩ 

⎫ 

0 (55a) 

⎧ ⎫ 

0 

⎧ ⎫ 

0 (55b) 

⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ ⎭ 

⎪⎩ ⎪⎭ 

e 

e 

e i ⎪U 

ref ⎪ i 

⎧ ⎫ 

e i ⎪Pref 

⎪ 

Ω ref → [ H ref H ref ] ⎨ [ Gref 

] i [ Gref 

Gref 

] B 

i ⎬ = ⎨ ⎬ + 

⎨ + 

i ⎬ ref 

U 

P 

ref 

ref 

Pref 

Substituindo as condições de compatibilidade e equilíbrio, específicas para o 

problema de reforço, nas equações (55), encontra-se: 

⎪⎭ 

⎡ 

e 

H 

⎢ 

⎢⎣ 

0 

est 

⎧ 

e 

⎫ 

⎧ 

e 

U 

⎫ 

est 

Pest 

i i ⎪ ⎪ 

⎪ ⎪ 

⎤ e ⎡ 

e 

i 

⎤ 

e 

⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪⎧ 

i i 

0 H est − Gest 

⎪U 

⎪⎫ 

ref ⎪ Gest 

0 Gest 

0 Pref 

Best 

H estU 

o 

e i i ⎥⎨ 

⎬ = ⎢ 

⎥⎨ 

⎬ + ⎨ ⎬ − 

i 

e 

i i 

⎨ ⎬ 

H ref H ref Gref 

⎥⎦ 

⎪U 

ref ⎪ ⎢⎣ 

0 Gref 

0 Gref 

⎥⎦ 

⎪Pest 

⎪ ⎩ 

Bref 

⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ 

⎪ i ⎪ 

⎪ i ⎪ 

⎩ Pest 

⎭ 

⎩ 

Pref 

⎭ 

(56) 

No sistema de equações referente à sub-região que recebe o reforço, aparece um termo 

adicional, oriundo da equação de compatibilidade. Este termo é a correção que deve ser 

imposta ao sistema, para que as hipóteses do reforço sejam atendidas. Após a resolução 

do sistema de equações, obtém-se 

i 

est 

U e 

i 

P através das equações (54), encontrando 

assim todas as incógnitas e solucionando completamente o problema de reforço. Note 

que, em um problema viscoso, a correção deve ser imposta em todos os passos de 

tempo, a partir do instante da inserção do reforço. 

ref 

8 PROCEDIMENTO COM ACOPLAMENTO PROGRESSIVO 

Para problemas de progressão, onde partes de um sólido são extraídas e inseridas 

em tempos pré-determinados, tal como em problemas de escavações reforçadas em 

túneis, o procedimento de acoplamento das sub-regiões é exatamente o mesmo. As 

partes do corpo que serão fixas, aquelas que serão removidas e aquelas que serão 

introduzidas são representadas por sub-regiões, de maneira que em uma determinada 

etapa do problema de progressão seja possível executar a extração de partes do corpo e 

a inserção de outras. É indispensável adoção de um modelo viscoso para este tipo de 

problema, pois este possibilita executar a análise em função do tempo, permitindo 

determinar os tempos de extração e inclusão das sub-regiões. O procedimento é 

dividido em etapas. Em cada etapa é definida uma nova geometria do problema, ou seja, 

é de uma etapa para a outra que partes do corpo, caracterizadas por sub-regiões de 

elementos finitos ou elementos de contorno, são inseridas ou extraídas. As etapas são 

divididas em passos de tempo oriundos das formulações viscosas. O tempo, com um 

significado físico bem definido, permanece contínuo de uma etapa para outra. Se o 

problema considerado for viscoplástico, torna-se necessário um procedimento iterativo 

dentro de cada passo de tempo para se corrigir o erro de aproximação, de maneira que o 

equilíbrio seja novamente estabelecido. Uma descrição sistematizada de todo o 

procedimento com acoplamento progressivo pode ser vista nos passos a seguir. 

Passo 1 - Para cada etapa do problema monta-se o sistema de equações com as subregiões 

acopladas. As matrizes de todas as sub-regiões envolvidas no problema só 

precisam ser calculadas uma única vez. Estas devem ser armazenadas e lidas no instante 

da montagem do sistema total da etapa atual. Se o problema envolve variação das 



propriedades físicas com o tempo, como é o caso do concreto projetado nas idades 

iniciais, o sistema deve ser montado em todo passo de tempo, acarretando em maior 

custo computacional. 

H U ( t) 

= G P ( t) 

B ( t) 

(57) 

i i i i + 

i 

Note que é possível montar os sistemas de todas as formulações descritas na tese 

semelhantemente a equação (57). Assim, para cada sub-região i obtêm-se o vetor B i e 

as matrizes H i , G i com as condições de contorno já impostas pela forma padrão do 

MEC. 

Passo 2 - No início de cada passo de tempo calculam-se os valores prescritos no 

instante atual dos deslocamentos, forças nodais, forças de superfície e forças 

volumétricas, de maneira que: 

t 

P 

∆t 

i = Pi 

( t + ∆t) 

(58a) 

t 

B 

∆t 

= B ( t + ∆t) 

(58b) 

i 

i 

Os valores prescritos podem variar segundo qualquer função dependente do 

tempo, semelhantemente as clássicas formulações dinâmicas WARBURTON(1976) e 

CODA & VENTURINI(1995). 

Passo 3 – Montagem do sistema de equações total com a contribuição de todas as subregiões 

envolvidas na etapa. 

⎡ 

e 

H1 

⎢ 

⎢ ⋅ 

⎢ 

⎣ 

0 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

0 

& ⋅ 

H 

e 

n 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

H 

i 

1 

& ⋅ 

H 

i 

n 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

⎧ 

e 

U ⎫ 

1 

⎪ ⎪ 

⎪ & ⋅ ⎪ 

i 

⎤⎪ 

e⎪ 

⎡ 

e 

− G1 

U G 

n 1 

⎥⎪ 

⎪ ⎢ 

& ⋅ ⎥⎨ 

& ⋅ ⎬ = ⎢ & ⋅ 

i ⎥⎪ 

i 

G ⎪ ⎢ 

n ⎦⎪ 

U 

⎪ ⎣ 

0 

⎪ & ⋅ ⎪ 

⎪ i ⎪ 

⎩ P 

⎭ 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

0 

& ⋅ 

G 

e 

n 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

G 

i 

1 

& ⋅ 

0 

⋅⋅⋅ 

⋅⋅⋅ 

⎧ 

e 

P ⎫ 

1 

⎪ ⎪ 

⎪ & ⋅ ⎪ 

⎤⎪ 

e ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ 

i 

0 P B 

n 1 H1U 

⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

& ⋅ ⎥⎨ 

& ⋅ ⎬ + ⎨ & ⋅ ⎬ − ⎨ & ⋅ 

i ⎥⎪ 

i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ i 

Gn 

⎦⎪ 

P 

⎪ ⎩Bn 

⎭ ⎩ 

H nU 

1 

⎪ & ⋅ ⎪ 

⎪ i ⎪ 

⎩Pn 

⎭ 

& (59) 

i 

Note que o vetor de deslocamentos U n ( o ) , referente aos graus de liberdade das 

interfaces da sub-região n conectados a sub-regiões de reforço, obtido no instante 

anterior ao acoplamento do respectivo reforço, deve ser lido antes da montagem do 

sistema para se efetuar o cálculo do vetor de correção. Este deve ser salvo e não mais 

alterados, pois seu valor será sempre necessário na montagem do sistema (59) em todos 

os instantes a partir da inserção do reforço. 

Passo 4 – Resolvendo o sistema de equações (59) soluciona-se o problema de contorno, 

encontrando todas as incógnitas referentes às interfaces por meio das equações (52), 

para acoplamento simples, ou das equações (54), para acoplamento com reforço. Para o 

caso mais geral, com m sub-regiões conectadas a uma interface, as condições de 

compatibilidade e equilíbrio ficam escritas como: 

i 

1( o) 

i 

n( 

o) 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

U 

i 

1 

i 

1 

P 

= ⋅⋅⋅ = U m 

i 

= −P 

− ⋅⋅⋅ − 

2 

i 

⎪⎫ 

⎬ 

i 

Pm 

⎪⎭ 

sem reforço 

(60a) 


18 


U 

i 

1 

i 

1 

P 

= ⋅⋅⋅ = 

i 

2 

= −P 

U 

i 

m 

− ⋅⋅⋅ − 

= U 

P 

i 

ref 

i 

m 

+ U 

i 

o 

⎪ 

⎫ 

⎬ 

⎪⎭ 

com reforço 

(60b) 

i 

sendo U o o mesmo definido no item 7. Obtidas todas as variáveis do problema de 

contorno, deve-se reordena-las para cada sub-região e salva-las em arquivos, para 

posteriormente serem utilizadas 

Passo 5 – Para cada sub-região executa-se a leitura do(s) respectivo(s) arquivo(s) com 

as variáveis do problema de contorno. Assim, encontram-se as tensões totais, elásticas e 

viscosas de acordo com tipo de sub-região (MEC ou MEF) e da formulação adotada. 

e v 

σ ( t), 

σ ( t), 

σ ( t) 

(61) 

Semelhantemente, estas devem ser salvas em arquivos para serem posteriormente 

utilizadas. Se o problema considerado for viscoelástico, o processo se encerra aqui e dáse 

início a um novo passo de tempo e/ou uma nova etapa retornando-se ao passo 2,. De 

outra forma, se a sub-região considerada for do tipo viscoplástica é necessário verificar 

se as tensões não violam o critério, caso contrário deve-se fazer uma correção através de 

um algoritmo elastoplástico. Devido a falta de espaços neste artigo, estes algoritmos não 

serão apresentados. Porém, uma visão detalhada deles pode ser encontrada no texto 

final da tese. Estes algoritmos são do tipo implícito com expressões fechadas, baseados 

em leis associativas e não-associativas. 

σ 

σ 

ep ep 

t+ 

∆t 

ep 

t+ 

∆t 

= σ t + 

∫ 

dσ 

t 

(62) 

v 

ep 

t+ 

∆t 

= σ t+ 

∆t 

−σ 

t+ 

∆t 

Determinadas as variáveis internas, verifica se a solução considerada é 

suficientemente precisa por meio de critérios de convergência. Verificada a 

convergência para todas as sub-regiões, atualizam-se todas as variáveis referentes ao 

instante “t+∆t”, armazenando-as nas variáveis referentes ao instante “t”. Após isto, 

retorna-se ao passo 1, dando início a um novo passo de tempo e/ou uma nova etapa. 

Caso contrário, atualizam-se as variáveis referentes ao instante “t+∆t” e retorna-se ao 

passo 2, calculando-se os valores incógnitos para o mesmo instante da última iteração, 

reaplicando-se o resíduo de força (ou tensão inicial) e fazendo-se uso da equação (59) 

para a obtenção das variáveis de contorno, caracterizando assim o processo iterativo. 

Obtida a convergência em todos os passos de tempo da etapa e para todas as subregiões, 

dá-se início a uma outra etapa identificando quais as sub-regiões que deverão 

ser inseridas ou aquelas que deverão ser extraídas. Monta-se novamente o sistema e 

repete-se todo o procedimento descrito anteriormente. 



9 EXEMPLOS NUMÉRICOS 

9.1 Exemplo 01: Pórtico 2D sobre solos diferentes 

A estrutura analisada é um pórtico de dois pavimentos solicitado por cargas 

concentradas constantes no tempo, aplicadas nas extremidades do nível mais alto. O 

pórtico é simétrico e seus dois pilares estão conectados a sapatas que se encontram 

acopladas ao solo. As propriedades físicas dos solos conectados às sapatas são 

diferentes, de maneira que estas apresentarão recalques distintos. A análise foi 

executada com um incremento de tempo (∆t) de 0,1 mês e levou o tempo total de 48 

meses. 

Tabela 1: Propriedades físicas e geométricas 

PROPRIEDADES FÍSICAS E GEOMËTRICAS 

Solo1 Solo2 Pórtico 

E e = 2,1 GPa E e = 2,1 GPa E = 21,0 GPa 

E ve = 2,1 GPa E ve = 1,0 GPa A = 0,03 m 2 

ν = 0,4 ν = 0,4 I = 0,000225 m 4 

γ=10meses γ=5meses 

O pórtico, discretizado como uma sub-região em elementos finitos, é considerado 

elástico e as sub-regiões que caracterizam os solos são ambas discretizadas por 

elementos de contorno e consideradas como viscoelásticas segundo o modelo de 

Boltzmann. A geometria e a discretização do problema são apresentados na figura 5 e as 

propriedades físicas são expostas na tabela 1. Considerou-se um maciço rochoso 

indeformável, localizado a 24m abaixo da superfície, restringindo-se os graus de 

liberdade localizados nesta posição. 

6m 

P 

P 

h 

3m 

Ω1 

b 

A 

3m 

1 

y 

x 

2 

Ω2 

2m 

2m 

Ω3 

24m 

26m 

26m 

Figura 5 – Geometria e discretização. 


20 


O que se deseja é analisar o comportamento do pórtico solicitado acoplado aos 

solos com diferentes propriedades físicas e assim, verificar como as propriedades 

viscosas interferem no comportamento global da estrutura. A figura 6 apresenta os 

resultados do recalque com o tempo de ambas as sapatas. 

0,00 

Deslocamento (m) 

-0,01 

-0,02 

-0,03 

-0,04 

Sapata 1 

Sapata 2 

-0,05 

0 8 16 24 32 40 48 

Tempo (meses) 

Figura 6 – Recalque das sapatas. 

É possível verificar que as propriedades viscosas diferentes dos solos 

introduziram um recalque diferencial na estrutura, provocando uma redistribuição dos 

esforços no pórtico. Essa redistribuição de esforços pode ser visualizada na figura 7 que 

expõe resultados do momento presente na extremidade direita da barra horizontal do 

primeiro nível do pórtico (ponto A). 

3,00 

2,50 

Momento (kN/m) 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

Momento 

0 8 16 24 32 40 48 

Tempo (meses) 

Figura 7 – Momento no ponto A. 

Deve-se notar que, caso os solos tivessem as mesmas propriedades viscoelásticas, 

devido a simetria do problema, o recalque em ambas as sapatas seria o mesmo e 



cosequentemente não apareceria momento no ponto A. Porém, devido ao recalque 

diferencial, conseqüência das propriedades viscoelásticas diferentes dos solos, é 

possível verificar o aparecimento de esforços introduzidos na estrutura. O momento 

atinge um valor máximo e logo depois se estabiliza em um valor um pouco menor. Isto 

é devido aos diferentes valores dos coeficientes viscosos que induzem velocidades de 

deformação diferentes para os solos. Ou seja, no instante onde o momento atinge o seu 

máximo, o recalque diferencial entre as sapatas é máximo, porém, com o tempo a sapata 

1 desloca-se mais, atingindo o seu máximo deslocamento, diminuindo o valor do 

recalque diferencial e conseqüentemente do momento. 

9.2 Exemplo 02 – Reforço progressivo de túnel 2D 

Uma cavidade cilíndrica solicitada por uma pressão interna analisada para a 

situação de estado plano de tensão. As respostas foram obtidas, veja figura 8, para o 

túnel sem reforço e para o mesmo reforçado, sendo que neste último o reforço é inserido 

antes da aplicação da carga, no início do processo. A cavidade é solicitada sem nenhum 

reforço, até que em uma segunda etapa (após t=10dias) o reforço é inserido de duas 

maneiras. A primeira considerando o acoplamento com as hipóteses usuais de 

compatibilidade e equilíbrio. Já a segunda é realizada levando em consideração as 

hipóteses específicas para o reforço. 

solo 

1ª etapa 

(0 ≤ t ≤ 10 dias) 

y 

P 

r 

x 

2ª etapa 

Propriedades físicas 

(10 dias < t ≤ 90 dias) Solo (rocha branda) Suporte 

y 

E e = 10340,0 kgf/cm 2 

kgf/cm 2 

E e = 206800,0 

e E ve = 4500,0 kgf/cm 2 E ve = ∞ 

solo 

ν = 0,15 

γ = 0,0 dia 

suporte 

γ = 7,14285 dias 

P 

x 

Geometria 

Pressão 

r = 254,0 cm P = 70,31kgf/cm 2 

r 

e = 30,0 cm 

Parâmetros da análise 

∆t = 0,5 dia 

N o de ∆t =180 

Figura 8 – Reforço de uma cavidade cilíndrica. 

Na figura 9, a resposta destas duas análises são plotadas juntamente com a 

resposta analítica do problema sem reforço, a resposta do MEC sem reforço e a resposta 

do MEC com o reforço a partir do instante inicial. 


22 


Deslocamento (cm) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

Analítico 

MEC 

MEC/MEF 

Reforço sem hipótese 

Reforço com hipótese 

0 15 30 45 60 75 90 

Tempo (dias) 

Figura 9 – Deslocamento radial do túnel. 

É importante observar que a execução numérica do acoplamento sem as hipóteses 

do reforço faz com que a estrutura recupere sua rigidez inicial como se fosse uma 

estrutura integra, o que não ocorre na prática. A imposição das hipóteses do reforço no 

acoplamento permite simular coerentemente a contribuição deste no comportamento 

global da estrutura. 

9.3 Exemplo 03 – Reforço progressivo de um buraco esférico 

Uma cavidade esférica localizada em um meio infinito é analisado. A estrutura 

com 2m de raio é solicitado por uma pressão interna. O solo, considerado como um 

material viscoelástico, é reforçado por um suporte elástico acoplado no instante t = 

20dias. O meio infinito é discretizado com elementos de contorno triangulares de três 

nós e o suporte com o elemento finito de casca proposto em MESQUITA(1998). As 

etapas, a discretização utilizada para ambas as sub-regiões e os dados do problema são 

apresentados na figura 10. 

solo 

solo 

1ª etapa 

(0 ≤ t ≤ 20dias) 

y 

P 

x 

r 

2ª etapa 

(20 < t ≤ 80dias) 

y 

e 

suporte 

P 

x 

r 


Solo 

Suporte 

E e = 103000,0 kPa E e = 21000000,0 

kPa 

E ve = 35000,0 kPa E ve = 21000000,0 

kPa 

ν = 0,3 ν = 0,3 

γ = 9,5 dias γ = 0,0 

Geometria 

r = 2,0 m 

e = 0,1 m 


∆t = 0,5 dia 

N o de ∆t =160 

Pressão 

P = 2000,0 kPa 

Figura 10 – Dados do problema de reforço. 



Resultados do deslocamento radial de um ponto localizado a 18m do centro da 

cavidade esférica são apresentados na figura 11. Os resultados foram obtidos 

considerando-se o acoplamento do suporte com e sem as hipóteses do reforço. 

Resultados da análise viscoelástica da cavidade esférica sem qualquer tipo de 

acoplamento são também plotados para melhor ilustrar a contribuição do reforço para o 

enrijecimento global. 

0,0015 

Deslocamento(m) 

0,0012 

0,0009 

0,0006 

0,0003 

Sem reforço 

Sem hipóteses 

Com hipóteses 

0 

0 20 40 60 80 

Tempo(dias) 

Figura 11 – Deslocamento radial da cavidade esférica. 

Semelhantemente, na figura 12 apresentam-se resultados das tensões σ r (total, 

elástica e viscosa) extraídas na mesma posição onde foram calculados os deslocamentos 

da figura 11 para a condição de reforço progressivo. 

0 

Tensão(kPa) 

-0,5 

-1 

-1,5 

-2 

-2,5 

Total 

Elástica 

Viscosa 

-3 

0 20 40 60 80 

Tempo(dias) 

Figura 12 – Tensões σ r (total, elástica e viscosa). 

Na figura 12 observa-se a redução dos níveis de tensão com a introdução do 

reforço. Note que a soma da tensão elástica e da tensão viscosa é sempre igual a tensão 

total, evidenciando a satisfação do modelo reológico. 


24 


9.4 Exemplo 04 – Bloco 3D elastoplástico submetido ao peso próprio 

O exemplo foi proposto com o intuito de demonstrar uma aplicação do 

acoplamento progressivo viscoplástico. Um bloco paralepipédico submetido a ação do 

peso próprio é constituído por um material viscoplástico. 

1ª etapa 

(0 ≤ t ≤ 25h) 

2ª etapa 

(25h < t ≤ 100h) 

z 

40 cm 

20 cm 

20 cm 

y 

bx = 150 kgf/cm 3 


Bloco 

Anteparo 

E e = 2,1 10 5 kgf/cm 2 E e = 2,1 10 5 

kgf/cm 2 

E ve = 5,0 10 4 kgf/cm 2 E ve = 5,0 10 4 

kgf/cm 2 

ν = 0,0 ν = 0,0 

γ = 10,5 h γ = 0,0 

Peso próprio do bloco 

bx = 150,0 kgf/cm 3 


∆t = 0,5 h 

N o de ∆t =200 

x 

Figura 13 – Dados do problema. 

O problema é analisado levando-se em consideração os critérios de von Mises e 

2 

Drucker-prager. Para a primeira situação adotou-se E t = 10000,0kgf 

/ cm e a tensão de 

2 

plastificação σ y = 1300,0kgf 

/ cm . O problema analisado com o modelo de Drucker a 

2 

coesão, o ângulo de atrito e módulo tangente plástico são adotados como: 0,703kgf / cm , 

20 o 2 

, e E t = 10000,0kgf 

/ cm , respectivamente. O modelo viscoplástico utilizado foi aquele 

com comportamento instantâneo e o algoritmo para atualização das tensões empregada 

é aquele com lei de fluxo não-associativa. Os dados, a geometria e a discretização do 

problema são apresentados na figura 13. Resultados do deslocamento axial da face livre 

do bloco viscoplástico são apresentados na figura 14 para ambos os modelos de Druker- 

Prager(DP) e von Mises(VM). 



Deslocamento(cm) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

Viscoelástico 

Viscoplástico_VM 

Viscoplástico_DP 

0 25 50 75 100 

Tempo(h) 

Figura 14 – Deslocamento axial do nó central da face livre do bloco. 

A evolução da força de contato na interface de contato entre os dois blocos pode 

ser visualizada na figura 15. 

Força de Contato(kgf/cm 2 ) 

0 

-200 

-400 

-600 

-800 

-1000 

-1200 

-1400 

-1600 

-1800 

Viscoelástico 

Viscoplást_VM 

Viscoplást_DP 

0 25 50 75 100 

Tempo(h) 

Figura 15 – Força de contato na interface de contato do bloco. 

Por fim, a resposta da tensão elástica σ e x , viscosa σ v x e total σ x extraídas no 

centróide do bloco são apresentadas na figura 16 para o critério de von Mises e na 

figura 17 para o modelo de Drucker, ambos considerando o acoplamento com as 

hipóteses do reforço. 


26 


Tensão(kgf/cm 2 ) 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

-500 

Total 

Elástica 

Viscosa 

0 25 50 75 100 

Tempo(h) 

Figura 16 – Tensões no centróide do bloco (von Mises). 

Tensão(kgf/cm 2 ) 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

-500 

Total 

Elástica 

Viscosa 

0 25 50 75 100 

Tempo(h) 

Figura 17 – Tensões no centróide do bloco (Drucker-Prager). 

Algumas conclusões podem ser extraídas deste último exemplo. Semelhantemente 

ao problema viscoelástico, observe que, para análise com o modelo de von Mises, o 

valor da força de contato no instante t=100h (com a hipótese do reforço) é de 

1167,4kgf/cm 2 . Este valor deve ser igual a redução da tensão total no final da análise 

que é 1167,8kgf/cm 2 . Levando em consideração as complexidades envolvidas e que o 

problema é analisado de forma aproximada, pode-se dizer que estes valores estão bem 

próximos. Este resultado representa o estado de equilíbrio do corpo. Para o problema 

com o modelo de Drucker a força de contato em t=100h é 1710,8kgf/cm 2 já a redução 

da tensão total é 1793,9kgf/cm 2 . 



10 CONCLUSÕES 

O acoplamento se apresenta como uma ferramenta adequada para o tratamento de 

problemas de interação, tais como: solo-estrutura e estrutura-estrutura. Elementos de 

contorno são mais adequados para tratar problemas com domínio infinito ou semiinfinito 

e regiões de concentração de tensões e fluxo. Já elementos finitos são mais 

apropriados para problemas envolvendo materiais compósitos, anisotrópicos, estruturas 

em cascas e reticuladas. Consequentemente, a aplicação adequada de ambos os métodos 

na simulação de um problema de interação, possibilita uma melhor representação de 

todo o problema, tornando o acoplamento uma ferramenta bastante eficiente. As novas 

hipóteses adotadas para o acoplamento do reforço permitiram caracterizar de forma 

mais realista a contribuição deste para o enrijecimento global 

Os algoritmos empregados tanto na formulação elastoplástica quanto nas 

formulações viscoplásticas foram desenvolvidos seguindo a metodologia de algoritmos 

do tipo “return mapping”. Estes, além de possibilitar uma eficiente atualização das 

tensões, permitem a obtenção da matriz constitutiva elastoplástica consistente com o 

algoritmo de retorno, preservando a taxa de convergência quadrática do método de 

Newton-Raphson. As expressões do multiplicador plástico de todos os algoritmos 

apresentados foram obtidas de forma fechada, não havendo a necessidade de 

procedimentos iterativos para solucionar a condição de consistência 

As formulações viscoelásticas e viscoplásticas se apresentaram bastante 

eficientes, precisas e estáveis. Além do mais, estas possibilitam com simplicidade e 

elegância o acoplamento progressivo e a aplicação de condições de contorno (forças e 

deslocamentos) variando ao longo do tempo. Em particular, para elementos de 

contorno, esta nova abordagem permite analisar problemas viscoelástico discretizandose 

apenas o contorno do corpo resultando em uma baixíssimo custo computacional. Para 

o caso viscoplástico pelo MEC existe a necessidade de se discretizar, além do contorno, 

apenas as regiões onde ocorrerão plastificação, resultando ainda em economia 

computacional. 

11 AGRADECIMENTOS 

Agradecemos à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - 

FAPESP pelo apoio financeiro concedido para o desenvolvimento deste trabalho. 

12 REFERÊNCIAS 

ARGYRIS, J. H.; DOLTSINIS, J. S. T.; WILLAM, K. J. (1979). New developments in 

the inelastic analysis of quasistatic and dynamic problems. Int. J. Num. Meth. Eng., 

v.14, p.1813-1850. 

BATHE, K. J. (1996). Finite element procedure. Englewood Cliffs, USA: Prentice 

Hall. 

BEER, G.; WATSON, J. O. (1992). Introduction to Finite and Boundary Element 

Methods for Engineers. New York: John Wiley & Sons. 


28 


BREBBIA, C. A.; DOMINGUEZ, J. (1992). Boundary elements: an introductory 

course. 2.ed. Great Britain: McGraw-Hill Book Company. 

BREBBIA, C. A.; TELLES, J. C. F.; WROBEL, L. C. (1984). Boudary element 

techniques: theory and applications in engineering. Berlin: Springer-Verlag. 

CODA. H. B.; VENTURINI, W. S. (1995). Three dimensional transient BEM analysis. 

Computer of Structures, Pergamon, v. 56, n. 5, p.751-768. 

CODA, H. B.; VENTURINI, W. S. (1998). Boundary Element Dynamic non-linear 

Stress Analysis by Mass Matrix Approach. In: BOUNDARY ELEMENTS, 20., 

Computational Mechanics Publications, Southampton, p. 607-616. 

LEMAITRE, J.; CHABOCHE, J. L. (1990). Mechanics of Solids. Cambridge 

University Press. 

MESQUITA, A. D. (1998). Uma formulação do método dos elementos finitos 

aplicada à análise elastoplástica de cascas. São Carlos. 144p. Dissertação (Mestrado) 

- Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

MESQUITA, A. D. (2002). Novas metodologias e formulações para o tratamento de 

problemas inelásticos com acoplamento MEC/MEF progressivo. São Carlos. Tese 

(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

MUNAIAR NETO, J. (1998). Um estudo da formulação de modelos constitutivos 

viscoelásticos e elasto-viscoplásticos e do emprego de algoritmos implícitos para 

a sua integração numérica. São Carlos. 214p. Tese (Doutorado) - Escola de 

Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

OWEN, D. R. J.; DAMJANIC, F. (1982). Viscoplastic analysis of solids, stability 

considerations. In: RECENT ADVANCES IN NON-LINEAR COMPUTATIONAL 

MECHANICS. Uk: Pineridge Press. 

PERZYNA, P. (1966). Fundamental problems in viscosplasticity. Adv. Appl. Mech., 

v.9, p.243-377. 

TELLES, J. C. F.; BREBBIA, C. A. (1982). Elastic/viscoplastic problems using 

boundary elements. Int. J. Mech. Sci., v.4, n.10, p.605-618. 

WARBURTON, G. B. (1976). The dynamical behaviour of structures. 2. ed. Oxford: 

Pergamon Press. 

ZIENKIEWICZ, O. C.; CORMEAU, I. C. (1974). Visco-plasticity-plasticity and creep 

in elastic solids-a unified numerical solution approach. Int. J. Numer. Meth. Engng., 

v. 8, p. 821-845. 


ISSN 1809-5860 

DETECÇÃO DE DANO A PARTIR DA RESPOSTA 

DINÂMICA DA ESTRUTURA: ESTUDO ANALÍTICO 

COM APLICAÇÃO A ESTRUTURAS DO TIPO VIGA 

Oscar Javier Begambre Carrillo 1 & José Elias Laier 2 

Resumo 

O objetivo deste trabalho é estudar métodos dinâmicos de detecção de dano em vigas, 

em especial os métodos baseados na variação da flexibilidade medida dinamicamente. 

Os métodos revisados formam parte das técnicas de Detecção de Dano Não Destrutivas 

(DDND). Nas técnicas DDND o dano é localizado por comparação entre o estado 

sadio e o danificado da estrutura. Neste trabalho, o problema de vibração inverso é 

apresentado e a matriz de flexibilidade estática da estrutura é determinada a partir de 

seus parâmetros modais. Com ajuda de um Modelo de Elementos Finitos (MEF) são 

mostrados os diferentes padrões de variação da matriz de flexibilidade produzidos pela 

presença do dano. Baseando-se nestes padrões é possível identificar a posição do dano 

dentro da estrutura, como indicado pelos diversos exemplos apresentados. 

Palavras-chave: detecção de dano; problema inverso de vibração; parâmetros modais; 

matriz de flexibilidade; dinâmica das estruturas. 


A necessidade por um método de detecção de dano global que possa ser 

aplicado a estruturas complexas tem conduzido ao desenvolvimento de métodos que 

examinam variações nas características de vibração da estrutura. Estes métodos 

formam parte das chamadas Técnicas de Detecção de Dano Não Destrutivas 

(DDND). 

A idéia básica da detecção de dano é a de que os parâmetros modais 

(freqüências, formas modais e amortecimento modal), são funções das propriedades 

físicas da estrutura (massa, amortecimento e rigidez), e, por tanto, qualquer mudança 

destas propriedades causará mudança nos parâmetros modais. Este fato permite a 

detecção de dano a partir da resposta dinâmica da estrutura. 

Em muitos dos métodos propostos, os dados medidos em um experimento são 

usados para refinar ou modificar o Modelo de Elementos Finitos (MEF) da estrutura, 

de forma tal, que o modelo faça predições acuradas do comportamento dinâmico 

observado da estrutura, possibilitando-se assim a determinação da posição do dano, 

segundo exposto em trabalhos clássicos (Ren et.al. 2003, teughels et.al 2002, Filho 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, begambre@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jelaier@sc.usp.br 


30 

Oscar Javier Begambre Carrillo & José Elias Laier 

et.al 2000, Friswell e Mothershead 1995). A anterior abordagem do problema é 

recomendável para estruturas complexas, porém, o uso de modos individuais no 

ajuste apresenta algumas dificuldades, tais como: 

Seleção dos modos a serem utilizados, ou seja, o analista deve escolher os 

modos e freqüências que serão usadas no algoritmo de detecção. 

Este tipo de método exige a redução do tamanho do modelo numérico 

empregado ou de expandir os dados modais medidos devido ao fato de que nem 

todos os graus de liberdade presentes no modelo numérico podem ser considerados 

nos ensaios experimentais (dificuldades de ordem prática). 

Uma outra dificuldade mencionada por Doebling, Peterson e Kenneth (1996) é 

o alto custo computacional de minimizar uma norma de erro não linear. 

Por estas razões, métodos de detecção que relacionem diretamente o dano 

com a resposta da estrutura estão sendo cada vez mais empregados na engenharia 

civil. Dentre estes métodos pode-se mencionar: Variações da matriz de flexibilidade e 

variações da curvatura da flexibilidade. 

A matriz de flexibilidade estrutural pode ser calculada usando-se só as 

freqüências e formas modais medidas (flexibilidade modal), com a grande vantagem 

que pode ser construída a partir de modos truncados sem perda de exatidão. Em 

situação limite, se todos os modos forem medidos, a matriz de flexibilidade calculada 

tenderá assintoticamente à matriz de flexibilidade estática da estrutura (que é a 

inversa da matriz de rigidez). A matriz de flexibilidade representa a resposta estática 

em deslocamento da estrutura redigida como um vetor de carregamento estático. 

Estas propriedades da matriz de flexibilidade a tornam uma ferramenta muito útil para 

a detecção de dano, como estabelecido por Lu, Ren e Zhao (2002) e Pandey e 

Biswas (1994, 1995) 

No presente trabalho, são comparados dois métodos de detecção de dano via 

análise da resposta dinâmica da estrutura, baseados nas variações da matriz de 

flexibilidade. A matriz de flexibilidade é obtida a partir das formas modais e das 

freqüências naturais da estrutura (métodos baseados na resposta da estrutura). Para 

isto é apresentado o problema inverso de vibração, uma vez que, ele inclui a 

derivação das relações entre a matriz de rigidez, a matriz de flexibilidade estrutural e 

os parâmetros modais da estrutura. 

2 MÉTODO DA VARIAÇÃO DA FLEXIBILIDADE OU MÉTODO DA 

DIFERENÇA DA FLEXIBILIDADE 

Neste método, a matriz de flexibilidade é definida como a inversa da matriz de 

rigidez estática. O dano é detectado por comparação da matriz de flexibilidade gerada 

a partir dos modos da estrutura danificada, com a matriz de flexibilidade, gerada a 

partir dos modos da estrutura sem dano. A matriz de flexibilidade medida 

dinamicamente é mais sensível a variações nas baixas freqüências da estrutura 

devido à sua relação inversa com o quadrado das freqüências modais. 

Como passo prévio do método é preciso normalizar as formas modais com 

relação à massa, para isto, pode usar-se a seguinte equação matricial, Equação (1): 

−1/ 2 

[ Φ] = [ ] ⋅ [ M ] 

q 

g 

(1) 

onde: 

[ q]= 

Matriz de formas modais do sistema (não normalizada). 


Detecção de dano a partir da resposta dinâmica da estrutura: estudo analítico com... 

31 

[ M 

g 

]= Matriz de massa generalizada (Matriz diagonal) 

[ Φ ]= Matriz de formas modais normalizadas com relação à massa. 

Agora, usando-se a propriedade de ortogonalidade das formas modais dada 

pela Equação (2): 

T 

[ ] [ M ][ Φ] = [ I ] 

Φ (2) 

e usando-se a matriz [ Φ ], pode-se obter expressões para a matriz de rigidez e 

de flexibilidade da estrutura em função dos parâmetros modais, conforme o exposto a 

seguir: 

O problema de auto-valor em termos de rigidez, para vibração livre, pode ser 

escrito como: 

[ ][ Φ] = [ M ][ Φ][ Ω] 

K (3) 

onde[ Ω ] é a matriz diagonal de autos-valores ω 2 . Pré-multiplicando-se a 

Equação (3) pela inversa da matriz de rigidez, que é a matriz de flexibilidade, ou 

K −1 

= f , e pós-multiplicando-a pela inversa da matriz de autos-valores, ou 

seja,[ ] [ ] 

seja, [ Ω ] −1 

, tem-se: 

−1 

[ Φ][ Ω] = [ f ][ M ][ Φ] 

(4) 

A Equação (4) representa o problema de auto-valor em termos da flexibilidade. 

Os autos vetores das Equações (3) e (4) são os mesmos, mas os respectivos autos 

valores são recíprocos (Berman e Flannelly, 1971). O modo dominante da Equação 

(3) é aquele com a maior freqüência e o modo dominante da Equação (4) é aquele 

com a menor freqüência. 

A Equação (2) pode ser escrita da seguinte forma: 

[ Φ] [ M ] = [ Φ] −1 

T (5) 

ou: 

[ ][ Φ] = [ Φ] 

T −1 

M (6) 

As Equações (5) e (6) podem ser escritas tendo-se em vista que a matriz de 

formas modais para um sistema com N graus de liberdade consiste de N vetores 

modais independentes, e por tanto, é uma matriz não singular e pode ser invertida. 

Agora, pós-multiplicando a Equação (3) por [ Φ ] −1 

e utilizando a propriedade 

dada pela Equação (5), tem-se: 

T 

[ K] [ M ][ Φ][ Ω][ Φ] [ M ] 

= (7) 


32 


A Equação (7) é a expansão da matriz de rigidez em termos de seus autosvetores 

e autos- valores. Substituindo a Equação (6) na Equação (4) e pós- 

T 

Φ , tem-se: 

multiplicando-a por [ ] 

−1 

[ f ] = [ Φ][ Ω] [ Φ] T 

(8) 

A Equação (8) representa a expansão da matriz de flexibilidade em função de 

seus autos- valores e autos-vetores. Os resultados dados pelas Equações (7) e (8) 

podem ser escritos como somatórios das contribuições modais , ou seja (Berman e 

Flannelly, 1971) : 

N 

[ f ] = {}{} φ φ 

∑ 

i= 

1 

1 

ω 

2 

i 

i 

T 

i 

(9) 

e 

⎛ 

= ∑ 

⎝ 

N 

ω 

i i i 

(10) 

i=1 

2 T 

[ K] [ M ] ⋅⎜ 

{}{} φ φ ⎟ ⋅[ M ] 

sendo que nas Equações (9) e (10), [ f ] é a matriz de flexibilidade do sistema 

e[ K ] é a matriz de rigidez do sistema (calculadas dinamicamente).[ M ] é a matriz de 

massa do sistema,{ φ } i 

é um vetor que contem a i-ésima forma modal normalizada 

com relação à massa, ω 

i 

é i-ésima freqüência modal e N é o número de graus de 

liberdade do sistema. 

Da Equação (10) pode-se notar que, a contribuição modal à matriz de rigidez 

aumenta à medida que aumenta a freqüência. Para se obter uma estimativa acurada 

da rigidez, todos os modos de vibração da estrutura devem ser medidos, ou no 

mínimo, os modos de freqüências altas. Isto representa uma restrição severa, do 

ponto de vista prático, para os métodos que utilizam a diferença entre matrizes de 

rigidez para detectar dano. Na prática, em estruturas complexas, só uns poucos 

modos de baixa freqüência podem ser medidos. Por outro lado, a Equação (9) mostra 

que a contribuição modal à matriz de flexibilidade diminui à medida que a freqüência 

aumenta, ou seja, que a matriz de flexibilidade converge rapidamente para valores 

crescentes de freqüência. Por tanto, a partir de poucos modos de baixa freqüência, 

pode ser feita uma boa estimativa da matriz de flexibilidade. Esta característica da 

matriz de flexibilidade e utilizada por Pandey e Biswas (1994, 1995) para localizar e 

quantificar dano em vigas. O raciocínio usado por eles pode ser resumido da seguinte 

forma: como a presença de uma fissura ou dano localizado dentro de uma estrutura, 

reduz sua rigidez e como a flexibilidade e a inversa da rigidez, uma redução de rigidez 

deve incrementar a flexibilidade do conjunto, tem-se, pois, a indicação da presença de 

dano. 

Para se detectar o dano numa estrutura com base no método da variação da 

flexibilidade medida dinamicamente, deve ser primeiramente calculados (experimental 

ou numericamente) os parâmetros modais do sistema. Usando-se a Equação (9), 

estima-se a matriz de flexibilidade para dois estados diferentes da estrutura, o 

f ou sem dano e o segundo como o 

primeiro e considerado como o estado intacto [ ] 

D 

estado danificado [ f ] 

⎞ 

⎠ 

. Com as matrizes de flexibilidade anteriores, calcula-se a 

matriz de variação de flexibilidade [ ∆ ] (Pandey e Biswas 1994): 



33 

D 

[ ] = [ f ] − [ f ] 

∆ (11) 

Para cada grau de liberdade j, define-se η 

j 

como o valor máximo absoluto 

dos elementos na coluna correspondente de [ ∆ ](Pandey e Biswas 1994): 

onde 

η 

η 

ij 

são elementos de [ ∆ ]. 

j 

= maxηij 

i 

(12) 

Para detectar e localizar o dano pode ser feito um gráfico que apresente a 

variação de flexibilidade para cada ponto de medição (ou nó). O dano ficara localizado 

nos pontos onde a variação de flexibilidade apresente uma variação brusca, um valor 

máximo de variação, ou um valor máximo local, dependendo das condições de 

contorno. 

3 MÉTODO DA VARIAÇÃO DE CURVATURA DA FLEXIBILIDADE 

Este método pode ser resumido da seguinte forma: partindo-se do fato que, 

para uma estrutura sadia, o gráfico da curvatura possui uma forma suave, e que, 

portanto, um pico ou descontinuidade no gráfico indica uma variação anormal de 

flexibilidade/rigidez na posição onde esta a descontinuidade, o dano pode ser 

localizado utilizando esta informação[6]. A vantagem prática deste método reside no 

fato de que seu cálculo não depende da comparação entre dois estados diferentes da 

estrutura (não precisa de dados de referencia). A curvatura da flexibilidade pode ser 

calculada empregando-se o método da diferença central, como segue (Lu, Ren e 

Zhao 2002): 

F 

C 

i 

= 

( f − f + f ) 

( i− 

, i−1) i, 

i ( i+ 

1, i+ 

1) 

1 

2 

∆h 

2 

i = 2,..., 

n −1 

Onde: 

C 

F 

i 

= i-ésimo elemento do vetor de curvatura da flexibilidade. 

f 

i , i 

= i-ésimo elemento diagonal da matriz de flexibilidade danificada (vide 

Equação (9)). 

∆h = Comprimento do elemento ou distancia entre pontos de medição. 

n = Número de graus de liberdade. 

(13) 

4 IMPLEMENTAÇÃO DAS SIMULAÇÕES 

O Método de Elementos Finitos (MEF) foi usado para realizar as simulações 

numéricas do estudo. O elemento finito dinâmico de viga utilizado (modelo de Euler – 

Bernoulli) tem dois graus de liberdade por nó (rotação e deslocamento vertical), com 

sua massa concentrada nos nós. 


34 


Os parâmetros modais (formas modais e freqüências naturais) foram 

calculados a partir do problema do auto-valor generalizado para vibração livre não 

amortecida, ou seja: 

2 

[ K]{} q ω [ M ]{ q} 

= (14) 

onde: 

[ K ]= Matriz de rigidez global da estrutura. 

[ M ]= Matriz de massa global da estrutura. 

{}= q Auto-vetor ou forma modal do sistema. 

ω = Freqüência natural do sistema. 

A solução da Equação (14) foi feita com o emprego do método de Jacobi 

generalizado, segundo algoritmo proposto por Bathe (1996). Como a estrutura 

analisada neste trabalho (viga), foi modelada com elementos finitos unidimensionais 

(elemento de Euler –Bernoulli) e o dano na viga modelado como uma redução do 

modulo de elasticidade para um elemento específico (e não como um defeito 

geométrico, fissura), os resultados obtidos nas simulações são indicadores de dano, 

sendo o dano entendido (e simulado), como uma variação nas propriedades 

constitutivas do modelo de elementos finitos da estrutura, conforme indicado em 

vários trabalhos da literatura especializada (Ren et.al. 2003, Lu et. al. 2002, Pandey e 

biswas 1994 e 1995, Hjelmstad e Shen 1996, Fox 1992, Cawley e Adams 1979). 

Utilizando-se o método de redução das equações de freqüência proposto por Kidder 

(1973) foram calculados os deslocamentos verticais dos nós a partir da Equação (14). 

Estes deslocamentos correspondem aos deslocamentos medidos durante um ensaio 

real. 

5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS 

Nos exemplos apresentados a seguir estuda-se o comportamento dos 

métodos de detecção de dano em vigas baseados nas variações da flexibilidade. Para 

a viga proposta como exemplo, é realizado um estudo sobre o comportamento dos 

métodos na detecção de danos segundo suas características, ou seja: dano individual 

(um elemento afetado por perda de rigidez), dano múltiplo (elementos afetados por 

perda de rigidez em forma simultânea), influencia do nível de dano introduzido no 

desempenho do método (redução do módulo de elasticidade E), e, por último, o efeito 

do número de modos na localização do dano. 

A viga do exemplo em questão, conforme ilustrado na figura 1, foi dividida em 

32 elementos finitos iguais. 

1 4 8 12 16 20 24 28 32 

Figura 1 - Viga simplesmente apoiada (VS) para os exemplos numéricos. 



35 

As propriedades da viga da Figura 1 são apresentadas na Tabela 1: 

Tabela 1 – Propriedades da Viga 

Propriedade 

Valor 

Área 0.00304 m 2 

Inércia 4.29E-5 m 4 

Densidade ρ 7837.1 Kg/m 3 

Módulo de elasticidade E 199.95E9 N/m 2 

Coeficiente de Poisson υ 0.3 

Comprimento L 

2.44 m 

Em cada simulação foram calculadas as formas modais correspondentes aos 

deslocamentos verticais { q 

V 

} (deslocamentos medidos durante um ensaio real) e as 

freqüências modais do sistema, segundo o método de Kidder (1973). 

5.1 Viga simplesmente apoiada: dano individual 

Os danos introduzidos na viga compreendem perdas de rigidez entre 10% e 

90%. A perda de rigidez foi inserida nos elementos 4, 8, 12, 16, 20 e 28 da viga (vide 

Figura1), de forma individual, ou seja, foi danificado um elemento de cada vez. O 

resumo dos cenários de dano é apresentado na Tabela 2. Para os exemplos de viga 

simplesmente apoiada (VS) da Tabela 2, os resultados são apresentados nas Figuras 

2, 3, 4, 5, 6 e 7 e nas Tabelas 3 e 4. 

Tabela 2 – Exemplos Numéricos Dano Individual. Viga Simplesmente Apoiada (VS) 

Exemplo Elemento Modos usados Redução de E Resultado 

Método 

de Dano Danificado na detecção (%) 

Figura N o 

VS1 4, 8, 12, 16, 3 prim. 50 2 

VS2 20 1 o , 7 o – 1 o , o ,7 o 50 3 

VS3 20 3 prim. 90,70,50,30,10 4 

VS4 4,16,20,28 5 prim. 50 5 

VS5 20 1 o a 5 o 50 6 

VS6 20 3 prim. 90,50,30,10 7 

Variação da 

Flexibilidade 

Curvatura 

da 

Flexibilidade 

Tabela 3 – Freqüências Naturais Redução de 50% em E 

Exemplos VS1, VS4. 

Freqüências naturais (Hz). 

Modo Sem Dano D4 D8 D12 D16 D20 D28 

1 158,312 157,749 156,117 154,410 153,596 154,095 157,410 

2 633,249 625,346 614,910 622,274 633,005 625,786 621,681 

3 1424,804 1393,281 1399,372 1422,049 1385,362 1413,619 1385,883 

4 2532,955 2464,145 2529,327 2465,411 2529,260 2466,479 2467,541 

5 3957,642 3857,014 3926,018 3919,255 3858,139 3952,879 3892,908 

Das Tabelas 3 e 4, verifica-se com clareza que a presença de dano na 

estrutura modifica as freqüências naturais, mas, não fornece informação suficiente 

para localizá-lo. Para dano introduzido no elemento 4 e no elemento 28 (próximos dos 

extremos da viga), as maiores variações percentuais nas freqüências naturais (Tabela 


36 


4), apresentam-se nos modos três e quatro, indicando-se que o dano deve estar 

próximo dos locais de momento máximo para estes modos. Nesta situação, existem 

duas regiões que poderiam estar danificadas. Mesmo utilizando-se a informação 

qualitativa sobre as forma modais, a posição do dano fica indeterminada. 

Tabela 4 – Variação das Freqüências Naturais. Redução de 50% em E. Viga em Balanço 

Exemplos VS1, VS4. 

Variação de Freqüências (%). 

Modo D4 D8 D12 D16 D20 D28 

1 0,36 1,39 2,46 2,98 2,66 0,57 

2 1,25 2,90 1,73 0,04 1,18 1,83 

3 2,21 1,78 0,19 2,77 0,79 2,73 

4 2,72 0,14 2,67 0,15 2,62 2,58 

5 2,54 0,80 0,97 2,51 0,12 1,64 

Aplicando-se o método de variação da flexibilidade descrito anteriormente, 

obtiveram-se, para os exemplos VS1, VS2 e VS3, (vide Tabela 2), as seguintes 

curvas de detecção de dano, figuras 2, 3, 4 respectivamente: 

3,50E-09 

3,00E-09 

2,50E-09 

m/N 

2,00E-09 

1,50E-09 

1,00E-09 

5,00E-10 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D4 D8 D12 D16 

Figura 2 – Variação da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada para os elementos 4, 

8,12,16danificados, um de cada vez. Redução de 50% em E. Três primeiros modos usados. 

Exemplo VS1. 

Para a viga simplesmente apoiada ilustrada na figura 2, a região (elemento) 

que apresenta a maior variação de flexibilidade indica a região danificada. O 

comportamento da variação é linear, tomando valores nulos nos extremos. 



37 

3,00E-09 

2,50E-09 

2,00E-09 

m/N 

1,50E-09 

1,00E-09 

5,00E-10 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

7MODOS 

1MODO 

Figura 3 – Variação de Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada em função do número de 

modos usados. Elemento 20 danificado. 50% de redução em E. Exemplo VS2. 

Um exame do resultado apresentado na figura 3 deixa evidente que uma boa 

estimativa da variação de flexibilidade pode ser obtida usando-se apenas o primeiro 

modo. A posição do dano também é determinada com só a consideração do primeiro 

modo. 

3,00E-08 

2,50E-08 

2,00E-08 

m/N 

1,50E-08 

1,00E-08 

5,00E-09 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

D20 90% D20 Nó70% D20 50% 

D20 30% D20 10% D20 5% 

Figura 4 – Variação da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada em função do aumento de 

dano. Elemento 20 danificado. Três primeiros modos usados. Exemplo VS3. 

Um exame dos resultados lançados na figura 4 indica que o método localiza 

com sucesso o dano quando a redução de rigidez é da ordem de 10%, e mais uma 

vez uma quantificação do dano pode ser feita a partir desta informação. Quanto maior 

a variação da flexibilidade maior a severidade do dano. 

Aplicando-se o método da variação da curvatura da flexibilidade aos exemplos 

VS4, VS5 eVS6 (vide tabela 2), tem-se as seguintes curvas, figuras 5, 6 e 7: 


38 


1/m.N 

2,00E-07 

1,50E-07 

1,00E-07 

5,00E-08 

0,00E+00 

-5,00E-08 

-1,00E-07 

-1,50E-07 

-2,00E-07 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D4 50% D16 50% D20 50% 

D28 50% 

Sem dano 

Figura 5 – Curvatura da flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada. Elementos 4, 16, 20 e 28 

danificados, um de cada vez. Redução de 50% em E. Cinco primeiros modos usados. Exemplo 

VS4. 

A figura 5 mostra que, para as condições de contorno de este exemplo, o 

método da curvatura da flexibilidade consegue identificar a posição dos elementos 

danificados, mostrando, neste caso, igual desempenho que o método da variação da 

flexibilidade. 

1/m.N 

2,00E-07 

1,50E-07 

1,00E-07 

5,00E-08 

0,00E+00 

-5,00E-08 

-1,00E-07 

-1,50E-07 

-2,00E-07 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D20 50% 1 modo 

D20 50% 2 modos 

D20 50% 3 modos 

D20 50% 4 modos 

D20 50% 5 modos 

Figura 6 – Curvatura da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada em função do número de 

modos usados. Elemento 20 Danificado. Redução de 50% em E. Exemplo VS5. 

Da figura 6, conclui-se que a posição do dano pode-se obter usando-se só os 

dois primeiros modos de vibração. A posição do dano é indicada pela forte 

descontinuidade na curva, verificada no elemento 20. 



39 

4,00E-07 

2,00E-07 

0,00E+00 

1/m.N 

-2,00E-07 

-4,00E-07 

-6,00E-07 

-8,00E-07 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D20 90% D20 50% D20 30% 

D20 10% Sem Dano 

Figura 7 – Curvatura da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada em função do aumento de 

dano. Elemento 20 danificado. Exemplo VS6. 

A figura 7 mostra que o método da variação da curvatura da flexibilidade é 

sensível a danos de ate 30% de redução no módulo de elasticidade. 

5.2 Dano múltiplo: viga simplesmente apoiada 

Os danos introduzidos na viga, neste caso, compreendem perdas de rigidez 

entre 5% e 30%. A perda de rigidez foi inserida nos elementos 14, 16 e 18 e nos 

elementos 14 e 18 da viga (vide Figura1), de forma simultânea. O resumo dos 

cenários de dano é apresentado na Tabela 5. Os resultados da análise 

correspondentes aos exemplos da Tabela 5, utilizando-se o método de variação da 

flexibilidade, são apresentados nas Figuras 8 e 9. 

Tabela 5 – Exemplos Numéricos Dano Múltiplo. Viga Simplesmente Apoiada (Vs). 

Exemplo de Elemento Modos Redução Resultado 

Método 

Dano Danificado Usados de E (%) Figura N o 

Vs1 14,16,18 3 prim. 5,5,5 

Variação da 

Vs2 14,16,18 3 prim. 10,5,10 8 

Flexibilidade e 

Vs3 14,16,18 3 prim. 30,30,30 

Curvatura da 

Vs4 14 e 18 3 prim. 10 e 10 

9 Flexibilidade 

Vs5 14 e 18 3 prim. 30 e 30 

Vs1 14,16,18 3 prim. 5,5,5 

Vs2 14,16,18 3 prim. 10,5,10 

Vs3 14,16,18 3 prim. 30,30,30 

Vs4 14 e 18 3 prim. 10 e 10 

Vs5 14 e 18 3 prim. 30 e 30 

10 

11 

Variação da 

Curvatura da 

Flexibilidade 

O método da variação da flexibilidade não consegue distinguir, em nenhum 

dos três cenários de dano aqui estudados, quais os elementos individuais danificados, 


40 


sem importar a magnitude do dano introduzido (Figura 8). O método indica uma região 

danificada localizada em torno do elemento 17. Já na Figura 9 é possível identificar os 

dois elementos danificados (elementos 14 e 18). 

4,00E-09 

3,50E-09 

3,00E-09 

2,50E-09 

m/N 

2,00E-09 

1,50E-09 

1,00E-09 

5,00E-10 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D14,D16, D18 (5%) 

D14,D16,D18 (10%, 5%, 10%) 

D14,D16,D18 (30% ,30%, 30%) 

Figura 8 – Variação da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada. Elementos 14, 16 e 18 

danificados simultaneamente.Três primeiros modos usados. Exemplos Vs1, Vs2 e Vs3. 

2,50E-09 

2,00E-09 

m/N 

1,50E-09 

1,00E-09 

5,00E-10 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

No 

D14,D18 (30%, 30%) D14, D18 (10%, 10%) 

Figura 9 – Variação da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada. Elementos 14 e 18 

danificados simultaneamente. Três primeiros modos usados. Exemplo Vs4 e Vs5. 

Os resultados fornecidos pelo método da variação da curvatura da flexibilidade 

para os exemplos da Tabela 5 são apresentados nas Figuras 10 e 11. Para o caso de 

três elementos muito próximos danificados simultaneamente (elementos 14, 16 e 18), 

a detecção indicada pelo método é ambígua, fornecendo indícios sobre uma região 

danificada entre os elementos 14 e 18 (Figura 10). Com um refinamento da malha de 

elementos finitos seria possível identificar também como danificado o elemento 16. 

Para dois elementos danificados ao mesmo tempo, próximo um de outro (elementos 

14 e 18), o método consegue identificar os dois locais danificados para uma redução 

de 10% na rigidez dos elementos (Figura 11). 



41 

2,00E-07 

1,50E-07 

1,00E-07 

1/m.N 

5,00E-08 

0,00E+00 

-5,00E-08 

-1,00E-07 

-1,50E-07 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D14,D16, D18 (5%) D14,D16,D18 (10% 5% 10%) 

D14,D16,D18 (30% 30% 30%) 

Figura 10 – Curvatura da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada. Elementos 4, 16 e 18 

danificados simultaneamente. Exemplos Vs1, Vs2 e Vs3. 

2,00E-07 

1,50E-07 

1,00E-07 

1/m.N 

5,00E-08 

0,00E+00 

-5,00E-08 

-1,00E-07 

-1,50E-07 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

D14,D18 (30% 30%) D14,D18 (10% 10%) 

Figura 11 – Curvatura da Flexibilidade Viga Simplesmente Apoiada. Elementos 14 e 18 

danificados simultaneamente. Três primeiros modos usados. Exemplo Vs4 e Vs5. 

6 DISCUSSÃO DE RESULTADOS E COMENTÁRIOS 

No trabalho de Pandey e Biswas (1994), a variação da flexibilidade máxima 

reportada, por exemplo, para a viga simplesmente apoiada, com elemento 16 

danificado (redução de 50% em E) é de 9E-6 (in/lb), enquanto que no presente 

estudo, o valor obtido para a variação da flexibilidade para a mesma condição é de 

5.583E-7 (in/lb). Este último valor foi obtido a partir de três análises diferentes. A 

primeira, utilizando-se o programa desenvolvido neste trabalho para detecção de 

danos em vigas, e a segunda, com uma simulação empregando-se os programas 

ANSYS e MATHCAD; e uma terceira, com um cálculo simples (método da carga 

unitária), cujas descrições são apresentadas a seguir. 


42 


Utilizando o primeiro teorema de Castigliano, calcula-se o deslocamento do 

meio do vão para a viga sem dano e o mesmo deslocamento para a viga danificada 

(dano no elemento 16, 50% redução da rigidez). Com estes dados, utilizando-se a 

Equação (15), determina-se a variação da flexibilidade, ∆, para o centro da viga, ou 

seja: 

∆ = δ 

D 

− δ 

(15) 

onde δD e δ são o deslocamento no meio do vão da viga danificada e do 

centro da viga sadia, respectivamente. Os deslocamentos anteriores podem ser 

calculados de acordo com a equação clássica, ou seja: 

∂W 

δ = 

(16) 

∂P 

onde W é a energia de deformação para a viga. Neste caso, para a viga 

simplesmente apoiada sendo que P é um carregamento unitário, aplicado no lugar 

onde se quer determinar δ, ou seja, no nó 16. Para a viga da Figura 1, com as 

propriedades dadas na Tabela 1, tem-se: 

W 

D 

2 1.22 

2 2.44 

( Px) ( 1.14375P 

− 0.46675Px) ( 1.14375P 

− 0.46875Px) 

dx + ∫ 

dx + 

1.14375 

= 1 ⎡ 0.53125 

⎢ 

2 

∫ 

∫ 

⎣ EI 

EI 

0 

1.14375 

D 

1.22 

EI 

2 

⎤ 

dx⎥ 

⎦ 

(17) 

W 

2 

( 0.53125Px) ( 1.14375P 

− 0.46875Px) 

⎡1.14375 

1 

= ⎢ ∫ 

dx + 

2 

∫ 

⎢⎣ 

EI 

0 

EI 

2 

⎤ 

dx⎥ 

⎥⎦ 

(18) 

onde WD e W são a energia de deformação para a viga danificada e para a 

viga sem dano. 

Utilizando-se a Equação (16) os deslocamentos resultam: 

δ 

D 

= 7.3096E 

− 8( m / N) 

e 

δ = 6.9908E 

− 8( m / N) 

A variação de flexibilidade, usando-se a Equação (15) é ∆ = 3.188E-9(m/N) ou 

em unidades do sistema inglês 5.583E-7(in/lb), que é o valor reportado na Figura 12b. 

Uma comparação entre o resultado reportado no artigo de Pandey e Biswas (1994) e 

o obtido neste estudo pode observar-se na Figura 12: 



43 

6,00E-07 

Var. Flex. (in/lb) 

5,00E-07 

4,00E-07 

3,00E-07 

2,00E-07 

1,00E-07 

(a) 

(b) 

0,00E+00 

1 5 9 13 17 21 25 29 33 

Nó 

Elem 4 Elem 8 Elem12 Elem 16 

Figura 12 – Comparação de resultados para a viga simplesmente apoiada: (a) resultado 

reportado por Pandey e Biswas (1994) e (b) resultado obtido com o presente trabalho. 

Como pode observar-se da Figura. 12, o comportamento das curvas é igual, e 

a detecção do dano é realizada com sucesso. Uma comparação entre freqüências 

para a viga simplesmente apoiada calculadas neste trabalho e as fornecidas no artigo 

de Pandey e Biswas(1994), apresenta-se na Tabela 6. Um exame dos resultados 

lançados na Tabela 6 deixa claro que as freqüências calculadas no presente estudo 

estão em completo acordo com as reportadas naquele artigo, estabelecendo-se, 

assim, a validade deste trabalho. 

Tabela 6 – Lista das Freqüências Naturais Viga Simplesmente Apoiada. Elemento 16 

danificado, 50% redução em E 

Freqüências viga D16, 

Freqüências viga sem dano (Hz) 

Freq. 

Teórica 

Freq. Artigo 

P. e B. 

(1994) 

Presente 

Trabalho 

Freq. Artigo 

P. e B. 

(1994) 

(Hz) 

Presente 

Trabalho 

%Diferença entre 

Freqüências 

Artigo./Trab. 

(Sem dano) 

Art./Trab. 

D16 

158,312 158,408 158,312 153,689 153,596 0,061 0,061 

633,250 633,632 633,249 633,388 633,005 0,060 0,061 

1424,812 1425,665 1424,804 1386,199 1385,362 0,060 0,060 

2532,999 2534,486 2532,955 2530,797 2529,26 0,060 0,061 

3957,.811 3960,033 3957,642 3860,47 3858,139 0,060 0,060 

5699,248 5702,174 5698,731 5684,753 5681,32 0,060 0,060 

7757,310 7760,654 7755,968 7587,754 7583,172 0,060 0,060 

7 CONCLUSÕES 

Neste trabalho, as qualidades de dois métodos de detecção de dano baseados 

na medição dinâmica da flexibilidade foram comprovadas através de diferentes 

simulações de dano em vigas. O método proposto por Pandey e Biswas (1994) teve o 

igual desempenho que o método proposto por Lu, Ren e Zhao (2002) quanto à 

determinação da posição do dano individual nos casos estudados. Na detecção de 


44 


dano múltiplo, o método da variação da curvatura da flexibilidade mostrou melhor 

desempenho que o método da variação da flexibilidade. O anterior indica que uma 

combinação dos dois métodos é recomendável para casos práticos, onde não se 

conhece de antemão a posição do dano, nem o número de locais danificados. 

As técnicas baseadas nas variações das formas modais (e das freqüências 

naturais) estudadas neste trabalho precisam de malhas de sensores refinadas (muitos 

pontos de medição), e, felizmente, esta dificuldade esta sendo superada com o 

aparecimento de transdutores de baixo custo e maior precisão adaptados para este 

tipo de problema. Por outro lado, elas oferecem a vantagem de não depender de um 

modelo analítico para realizar a detecção do dano. 


Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. 


BATHE, K. J. (1996). Finite element procedures. Englewood Cliffs, New Jersey: 

Prentice-Hall. 

BEGAMBRE CARRILLO, O. J. (2004). Detecção de dano a partir da resposta 

dinâmica da estrutura : estudo analítico com aplicação a estruturas do tipo viga. 

São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – 

Universidade de São Paulo. 

BERMAN, A.; FLANNELLY, W. G. (1971). Theory of incomplete models of dynamic 

structures. AIAA Journal, v. 9, n. 8, p. 1481–1486. 

CAWLEY, P.; ADAMS, R. D. (1979). The locations of defects in structures from 

measurements of natural frequencies. Journal of Strain Analysis, v. 14, n. 2, p.49– 

57. 

DOEBLING, S. W.; PETERSON, L. D.; KENNETH, F. A. (1996). Estimation of 

reciprocal residual flexibility from experimental modal data. AIAA Journal, v. 34, n. 8, 

p. 1678 – 1685. 

FILHO, L.; ROITMAN, N.; MAGLUTA, C. (2000). Detecção de danos estruturais 

através de métodos diretos de ajuste de modelos. In: JORNADAS SUDAMERICANAS 

DE INGENIERIA, 29., nov., Punta Del Este, Uruguay. 

FOX, C. H. J. (1992). The location of defects in structures: a comparison of the use of 

natural frequency and mode shape data. In: INTERNATIONAL MODAL ANALYSIS 

CONFERENCE, 10., Proceedings… San Diego, California, v.1, p.522-528. 

FRISWELL, M.I .; MOTTERSHEAD, J. E. (1995). Finite element model updating in 

structural dynamics. 1. ed. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic 

Publishers. 



45 

HJELMSTAD K. D.; SHIN, S. (1996). Crack identification in a cantilever beam from 

modal response. Journal of Sound a Vibration, v.198, n.5, p.527-545. 

KIDDER, R. L. (1973). Reduction of structural frequency equations. AIAA Journal, 

v.11, n. 6, June, p.892. 

LU, Q.; REN, G.; ZHAO, Y. (2002). Multiple damage location with flexibility curvature 

and relative frequency change for beam structures. Journal of Sound and vibration, 

v. 253, n. 5, p.1101-1114. 

PANDEY, A. K.; BISWAS, M. (1994). Damage detection in structures using changes in 

flexibility. Journal of Sound and Vibration, v. 169, n. 1, p 3-17. 

PANDEY, A. K.; BISWAS, M. (1995). Experiemental verification of flexibility difference 

method for locating damage in structures. Journal of Sound and Vibration, v.184, 

n.2, p.311-328. 

REN, W. X; YU, D.; SHEN, J. Y. (2003). Structural damage identification using residual 

modal force. In: IMAC - A CONFERENCE ON STRUCTURAL DYNAMICS, 21., 

Proceedings… Feb., 2003, Kissimmee, Florida, USA. 

TEUGHELS, A.; MAECK, J.; DE ROECK, G., (2002). Damage assessment by FE 

model updating using damage functions. Computers and structures, n.80, p.1869- 

1879. 


ISSN 1809-5860 

AVALIAÇÃO DINÂMICA EXPERIMENTAL E 

NUMÉRICA DAS LIGAÇÕES DE BASE DE 

ESTRUTURAS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO 

Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega 1 & João Bento de Hanai 2 

Resumo 

Neste trabalho realiza-se um estudo do comportamento das ligações de base de 

estruturas pré-moldadas de concreto, por meio de ensaios experimentais e 

computacionais, sejam estáticos ou dinâmicos. Diferentes modelos físicos foram 

construídos, cada um possuindo uma particularidade estrutural (íntegro, com dano 

localizado, com dano generalizado e com vínculo pilar-viga semi-rígido). Investigou-se 

a condição real de vínculo e sua influência na alteração dos parâmetros modais 

(freqüências naturais, modos de vibração e fatores de amortecimento). Destaca-se a 

metodologia experimental dinâmica que avalia a rigidez da ligação pilar-fundação 

diretamente pelos sinais medidos, não apenas pela calibração do modelo numérico. As 

avaliações computacionais apresentadas neste trabalho empregam modelos de 

elementos finitos fundamentados na Teoria da Elasticidade e na Mecânica do Dano 

Contínuo, e os seus resultados são confrontados com os experimentais e com os obtidos 

por modelos analíticos. Demonstra-se uma boa correlação entre os diversos resultados, 

comprovando-se a viabilidade da utilização dos testes de vibração, não-destrutivos e 

precisos, para a determinação da rigidez das ligações, estimativa do dano provocado 

pela fissuração e alteração de condições estruturais diversas. 

Palavras-chave: dinâmica; concreto; pré-moldados; ligações semi-rígidas; análise 

modal. 


Do ponto de vista do comportamento estrutural, a presença das ligações é o 

que diferencia basicamente uma estrutura de concreto pré-moldado de uma estrutura 

monolítica moldada no local. As ligações podem ser consideradas como regiões de 

descontinuidade na estrutura pré-moldada onde ocorrem concentrações de tensões, 

as quais podem, ou não, provocar deslocamentos e mobilizar e redistribuir esforços 

entre os elementos por elas conectados, com influência no comportamento de toda a 

estrutura. 

Por outro lado, é usual, na prática corrente de projeto de estruturas de 

concreto pré-moldado, considerar as ligações como articulações ou engastes. Na 

verdade, por elas serem executadas entre elementos pré-moldados, o seu 

comportamento real é semi-rígido (semi-flexível). A consideração das ligações com 

esse efeito recebe, na literatura, a denominação de ligações semi-rígidas, e seus 

1 Professor Adjunto do Departamento de Arquitetura da UFRN, e-mail nobrega@ufrnet.br 

2 Professor Titular do Departamento de Enga. de Estruturas da EESC-USP, e-mail jbhanai@sc.usp.br 


48 

Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega & João Bento de Hanai 

efeitos influenciam: a redistribuição dos esforços ao longo dos elementos, os 

deslocamentos laterais da estrutura devido a ações horizontais, a estabilidade global 

do sistema, e os deslocamentos verticais das vigas. Levando-se em conta o efeito 

desta semi-rigidez, pode-se obter significante economia relacionada à redução da 

mão-de-obra e de material necessários, em comparação com as ligações rígidas, ou 

pode-se incorrer na redução do tamanho dos pilares, frente às ligações articuladas. 

A deformabilidade de uma ligação é ilustrada na Figura 1 e a sua forma usual 

de representação – o esquema de molas –, encontra-se na Figura 2. 

Deformabilidade 

ao momento fletor 

M 

M 

M 

φ 

Ligação 

indeformável 

Ligação 

deformável 

Deformabilidade 

à força normal 

N N N 

Figura 1a - Deformabilidade de uma ligação (adaptado de EL DEBS; 2000). 

δ 

K = M/ φ 

m 

K = N/ δ 

n 

Momento fletor 

Força normal 

Figura 1b - Representação usual da deformabilidade (adaptado de EL DEBS; 2000). 

A obtenção da flexibilidade (ou sua inversa, a rigidez) das ligações está entre 

as principais dificuldades técnicas para se obter um cálculo mais realista das 

estruturas pré-moldadas. Basicamente, ela pode ser obtida ou estimada por 

procedimentos experimentais e analíticos; mas o que se percebe, pesquisada a 

bibliografia disponível, é a existência de poucos modelos padronizados de cálculo de 

rigidez, frente ao extenso leque de tipos de ligações disponíveis. 

No contexto das ligações de estruturas pré-moldadas, os primeiros estudos 

enfocaram os assuntos da execução, da transmissão e da resistência aos esforços. 

Posteriormente, as pesquisas se estenderam a temas como ductilidade, rigidez e 

durabilidade. Uma retrospectiva sobre o tema é feita por STANTON et al. (1986), 

JOHAL et al. (1991), COST1 (1999) e COST1 (2000). 

Projetos de pesquisa internacionais recentes preocuparam-se com o estudo 

profundo das ligações, no contexto de toda a estrutura, não apenas sobre o elemento 

isolado. Cita-se o programa PRESSS (“Precast Seismic Structural Systems”), 

financiado pelo PCI (“Precast Concrete Institute”), como exemplo, onde se realizaram 

ensaios em pórticos planos e espaciais, com a inclusão até de lajes, em alguns casos, 

simulando-se pavimentos de várias alturas. 


Avaliação dinâmica experimental e numérica das ligações de base de estruturas de concreto... 

49 

Parece importante, todavia, que algumas questões sejam alvo de análise mais 

profunda. Dentre elas, destacam-se: a influência da ligação no comportamento 

dinâmico (na alteração das freqüências naturais, modos de vibração e amortecimento) 

e na resposta vibracional da estrutura (seja em relação aos estados limites últimos ou 

de serviço), e o desempenho da ligação semi-rígida frente a um processo crescente de 

fissuração (determinada a parcela relacionada à estrutura, e a correspondente à 

ligação). Entretanto, os aspectos focados dessas pesquisas continuam a ser a 

ductilidade, a fadiga e a resistência. NAKAKI et al. (1999) e PRIESTLEY et al. (1999) 

indicam que esses aspectos corresponderam aos objetivos no amplo projeto PRESSS, 

ainda que relacionado a edificações em áreas sísmicas (onde há um comportamento 

dinâmico por excelência). 

2 AVALIAÇÃO DA RIGIDEZ DAS LIGAÇÕES 

Embora a quantificação numérica da rigidez de uma ligação seja 

imprescindível para o seu estudo e para a análise estrutural, não é possível defini-la 

observando apenas o seu valor absoluto. A semi-rigidez de uma ligação deve ser 

entendida como um “conceito” e o seu valor deve ser também analisado à luz do 

conhecimento do elemento estrutural a ela conectado. Um exemplo simples ilustra 

este aspecto. 

Considerem-se duas vigas de diferentes seções transversais: VIGA 1 = (10 cm 

x 30 cm) e VIGA 2 = (20 cm x 60 cm); de mesmo material ( E = 30.000 MPa), que 

vencem o mesmo vão (L = 5 m) e submetidas a ação de uma mesma força ( F = 30 

kN, no meio do vão). A Tabela 1 ilustra as respostas em termos do deslocamento 

δ ) e momento nos apoios ( apoios 

central da viga ( L / 2 

M ), quando se considera os 

vínculos como articulados, engastados ou semi-rígidos (adotando-se, neste último 

caso, 

K m = 10.000 kN.m/rad). 

Tabela 1 - Influência da ligação semi-rígida em diferentes vigas 

TIPO DE VÍNCULO 

VIGA 1 (10 × 30) VIGA 2 (20 × 60) 

δ L/2 M apoios δ L/2 M apoios 

11,6 mm zero 0,7 mm zero 

2,9 mm 18,8 kN.m 0,2 mm 18,8 kN.m 

4,7 mm 14,8 kN.m 0,6 mm 3,5 kN.m 

INFLUÊNCIA DA LIG. SEMI-RÍG. ≅ RÍGIDA ≅ ARTICULADA 

Pela análise dos valores apresentados na Tabela 1, observa-se: 

A mesma ligação semi-rígida influencia as duas vigas de maneira muito diferente. 

Para a VIGA 1, ela comporta-se como um vínculo aproximadamente rígido; para a 

VIGA 2, como articulado; 

A observação anterior pode ser percebida facilmente comparando-se os valores dos 

deslocamentos e dos momentos nas ligações para os três casos simulados; 

Destaca-se a necessidade de avaliar e caracterizar a rigidez da ligação de forma 

qualitativa. Evidentemente, isto deve ser feito em função da rigidez do elemento 

estrutural conectado. 


50 


Existem diferentes sistemas, com limites próprios, para a classificação de uma 

ligação como articulada, semi-rígida ou rígida. EL DEBS (2000) apresenta um destes 

parâmetros, análogo ao constante no EUROCODE 3 (2000) (Tabela 2). 

Tabela 2 - Limites para a classificação das ligações (EUROCODE 3; 2000) 

REGIÃO 

LIMITES 

articulada 

0, 5EI 

K m ≤ 

L 

semi-rígida 

0,5 EI 8EI 

< Km 

< (estrutura contraventada) 

L L 

0,5 EI 25EI 

< Km 

< (estrutura não-contraventada) 

rígida 

EI = rigidez à flexão da barra; 

L = vão da barra; 

L 

L 

8EI 

K m ≥ (estrutura contraventada) 

L 

25EI 

K m ≥ (estrutura não-contraventada) 

L 

articulada, e 

Outras referências consideram 

6EI 

L 

EI 

L 

como o limite superior para a ligação 

como a referência inferior para a ligação rígida, ou ainda outros 

limites (BJORHOVDE et al.; 1990 e NETHERCOT et al.; 1998). 

Todavia, o EUROCODE 3 (2000) refere-se especificamente às ligações 

metálicas. No caso das estruturas de concreto ainda não se dispõe de normalização 

que defina uma classificação própria. O próprio relatório técnico final da Comissão 

Européia, COST C1 (2000), formada por pesquisadores de diversos países 

encarregada de estudar o comportamento das ligações semi-rígidas durante diversos 

anos, não estabeleceu uma classificação unificada. Afirma-se explicitamente: “No 

attempt has been made to classify the connections in this work. The decision whether 

to attempt a semi-rigid design and promote what is otherwise a pinned jointed to a 

semi-rigid one is the responsibility of the frame analyst”. 

A bibliografia define um parâmetro γ , chamado fator de rigidez, que relaciona 

a rigidez da ligação K m com a rigidez do elemento estrutural a ela conectado, e que 

varia entre 0 e 1 (caracterizando uma rótula e um engaste, respectivamente). A 

expressão do fator de rigidez é dada por: 

3 ⎤ 

⎢ 

⎡ EI γ = 1 + ⎥ 

⎣ Km 

L⎦ 

−1 

(1) 

Utilizando o parâmetro γ, os limites classificatórios usuais correspondem a: 

Tabela 3 - Relação entre limites de 

K m 

0,5EI 

L 

EI 

L 

K m e o parâmetro γ 

2EI 

L 

6EI 

L 

8EI 

L 

25EI 

L 



51 

γ 0,14 0,25 0,40 0,67 0,73 0,89 

FERREIRA; EL DEBS; ELLIOTT (2002), mais recentemente, propõem um 

sistema de classificação das ligações semi-rígidas, dividido em 5 regiões (Figura 2). 

Tabela 4 - Limite para a classificação das ligações (FERREIRA; EL DEBS; ELLIOTT; 2002) 

REGIÃO 

LIMITES 

Zona I – ligação articulada 0 ≤ γ < 0, 14 

Zona II – ligação semi-rígida 

com baixa resistência à flexão 

0 ,14 < γ < 0,40 

Zona III – ligação semi-rígida 

com média resistência à flexão 

0 ,40 < γ < 0,67 

Zona IV – ligação semi-rígida 

com alta resistência à flexão 

0 ,67 < γ < 0,89 

Zona V – ligação rígida 0,89 

< γ ≤1 

Rigidez à Flexão da Ligação K φ 

Valores Normalizados 

1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0 .5EI 

L 

2 EI 

L 

6 EI 

L 

25EI 

L 

EC3 

M 

M 

MS 

R 

∂ 

∂ 

MS 

R 

⎡ 

3 

− 

1.5 

γ 

⎤ 

= 

⎢ 

⎥ 

⎣ 2 + γ 

⎦ 

M 

E 

⎡ 

3 

γ 

⎤ 

= 

M 

⎢ 

⎥ 

R ⎣2 

+ γ 

⎦ 

⎡ 

2 

− 

1.4 

γ 

⎤ 

= 

⎢ 

⎥ 

⎣ 2 + γ 

⎦ 

φ 

E 

⎡ 

3 

γ 

⎤ 

= 

1 

− 

θ 

⎢ 

⎥ 

R ⎣2 

+ γ 

⎦ 

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 

Fator de Rigidez γ 

EC3 

Zona I Zona II Zona III Zona IV Zona V 

Figura 2 - Proposta de classificação para ligações semi-rígidas 

(FERREIRA; EL DEBS; ELLIOTT; 2002). 

Uma segunda discussão, exposta em seqüência, esclarecerá mais este 

conceito. Imagine-se uma viga de dimensões intermediárias, entre aquelas discutidas 

anteriormente, 15 cm x 45 cm, de material e vão iguais, submetida à ação de mesma 

força, e vinculada a ligações de rigidez ao momento fletor variável entre 1 a 

10.000.000 kN.m/rad. O fator de rigidez, associado a cada um destes valores, é dado 

pela Figura 3. 


52 


fator de rigidez γ 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 

rigidez da ligação Km (kN.m/rad) 

Figura 3 - Influência da ligação no fator de rigidez. 

Percebe-se que no trecho inicial da curva, 1 < 

da ligação tende para o articulado e, no final, 200.000 < 

K m < 5.000, o comportamento 

K m < 10.000.000, para o 

rígido. Há um trecho intermediário onde destaca-se a forte sensibilidade ao parâmetro 

γ, devido a mudanças na rigidez da ligação. Esse, efetivamente, pode ser considerado 

a zona de comportamento semi-rígido. 

A Figura 4 ilustra o deslocamento resultante no meio do vão, δ, pela aplicação 

da força. A curva apresentada é coerente com a Figura 3 compreendendo os trechos 

de comportamento articulado, semi-rígido e rígido. Verifica-se, assim, a influência da 

ligação na resposta estática da viga. 

deslocamento δ (cm) 

2,3 

2,1 

1,9 

1,7 

1,5 

1,3 

1,1 

0,9 

0,7 

0,5 

1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 


Figura 4 - Influência da ligação na flecha da viga – análise estática. 

Em relação às propriedades dinâmicas, o efeito também deve ser investigado. 

A Figura 5 mostra o resultado para a primeira freqüência da viga, também considerada 

a variação da rigidez da ligação. Admite-se, adicionalmente, que a viga possui massa 

específica de 2500 kg/m 3 e coeficiente de Poisson igual a 0,2. 



53 

freqüência f1 (Hz) 

64,0 

58,0 

52,0 

46,0 

40,0 

34,0 

28,0 

1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 


Figura 5 - Influência da ligação na 1 a freqüência natural da viga – análise dinâmica. 

Neste gráfico, mais uma vez, destacam-se as diferentes zonas de 

comportamento da ligação. As Figuras 3, 4 e 5 transparecem equivalência qualitativa 

nos resultados. 

3 EXPRESSÃO ANALÍTICA DA LIGAÇÃO ESTUDADA 

A ligação escolhida para o presente estudo é do tipo “por meio de chapa de 

base”, de tamanho superior à seção transversal do pilar. A chapa de aço da base 

solda-se à armadura do pilar e os parafusos ancoram-se no elemento de fundação. O 

PCI (1988) e PCI (2001) apresentam a configuração e o detalhamento típicos para 

este tipo de ligação (Figura 6). 

Figura 6 - Ligação com chapa de base e armadura do pilar soldada. 


54 


Esta ligação possui um modelo analítico que calcula a sua rotação em função 

do esforço imposto e de suas características geométricas e materiais. PCI (2001), 

baseado na formulação originalmente proposta por MARTIN (1980), apresenta as 

expressões que descrevem o comportamento desta ligação. FERREIRA (1993) leva 

em conta, além dos três mecanismos de deformação descritos por MARTIN (1980), o 

efeito do alongamento da armadura tracionada do pilar. 

Neste trabalho procede-se a uma readaptação da formulação de PCI (2001), 

acrescida do mecanismo idealizado por FERREIRA (1993), sendo esta tarefa descrita 

detalhadamente em NÓBREGA (2004). A rotação total da base tem seu esquema 

ilustrado na Figura 7 e a formulação de sua flexibilidade é dada pela eq.2. 

x1 

x2 

e 

P 

x + x 2 

1 

e 

P 

φ bp 

φ ab 

ponto de 

rotação 

L ab 

h 

T 

h + x 1 

h + 2x 1 

C 

centro de 

compressão 

φ f 

Figura 7 - Configurações indeformada e deformada da ligação. 

3 

( x1 

+ x2 

) 

L 

L 

+ 

ab 

rb 

2 

2 

2 

I ( h + x ) A E ( h + x ) 0,85 E A 

γ b = 

+ 

(2) 

3 Ebp 

bp 1 ab ab 1 

rb rb d 

Diversas simulações foram feitas, destacando-se os resultados principais para 

a rigidez da ligação K m e do fator de rigidez γ indicados na Tabela 5 e Figura 8. 

Segundo as expressões analíticas, a ligação pertence 

Tabela 5 - Avaliação da rigidez da ligação pilar-fundação – modelos analíticos 

CÁLCULO 

K m 

(kN.m/rad) 

γ ZONA PÓRTICO CARACTERÍSTICAS 

1 2.000 0,25 II 1 L rb = 50% do comprimento 

2 2.000 0,28 II 2, 3 e 4 de ancoragem 

3 3.000 0,33 II 1 Não considerando a 

4 3.000 0,36 II 2, 3 e 4 rotação devido ao 

alongamento da armadura 



55 

1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0,0 0,1 0,2 

Zona I 

0,5 EI/L 

0,3 

Zona II 

2 EI/L 

6 EI/L 25 EI/L 

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 


Zona III 

Zona IV 

0,9 1,0 

Zona V 

Figura 8 - Avaliação da rigidez da ligação pilar-fundação – modelos analíticos. 

4 PROGRAMA EXPERIMENTAL – DESCRIÇÃO DOS MODELOS FÍSICOS 

Idealizou-se a confecção de pórticos de concreto armado que possuíssem as 

seguintes dimensões básicas: 

PERSPECTIVA 

VISTA 

168 

66 18 

84 

VISTA 

150 

18 132 18 

SEÇÃO TRANSVERSAL 

(VIGA E PILARES) 

75 

8 

18 

Obs.: 

Dimensões em cm 

Figura 9 - Dimensões dos modelos de pórticos de concreto armado. 

Para se poder avaliar o comportamento da estrutura frente à influência de 

diversas condicionantes estruturais, foram construídos quatro diferentes pórticos 

(Figura 10). 


56 


Pórtico 1 - Íntegro 

Pórtico 2 - Dano Localizado 

Modelo Básico 

Pórtico 3 - Dano Generalizado 

Pórtico 4 - Ligações Semi-rígidas 

Figura 10 - Esquemático dos modelos de pórtico. 

As bases metálicas são de chapa de aço SAE-1020 e nelas bases foram 

soldadas (solda do tipo “MIG”) as barras da armadura do pilar (φ 6,3 mm). A Figura 11 

ilustra o aspecto final. 

100 

60 180 60 

projeção do pilar 

furo 

φ = 16 

6 barras Ø 6,3 mm 

(soldadas na base) 

2 barras Ø 5,0 mm 

20 

35 25 180 25 35 

espessura da chapa = 10 

dimensões em mm 

Figura 11 - Esquemático final da ligação com chapa de base. 

5 ENSAIOS ESTÁTICOS 

Os quatro pórticos foram ensaiados à flexão, pela aplicação de um 

carregamento crescente em um ponto situado no eixo da viga. Os objetivos dos 

experimentos consistiam, principalmente, em averiguar a rigidez dos apoios e a rigidez 

lateral das estruturas. A instrumentação dos pórticos foi feita através de cinco 

transdutores de deslocamento (Figura 12). O ensaio era interrompido quando a 

estrutura produzia alguns estalos, indicando que as soldas entre as barras dos pilares 

e a chapa metálica de base rompiam-se, e o aumento da força aplicada tornava-se 

impossível (os deslocamentos cresciam sem a equivalência da força). A Figura 13 

apresenta uma comparação geral entre os deslocamentos dos modelos (considerando 

o nó do eixo da viga – transdutor 1). 



57 

Pistão 

T-1 

T-4 

T-2 

75 

18 39 

T-5 

T-3 

18 36.5 

75 

Obs.: Dimensões em cm 

Figura 12 - Esquemático da instrumentação dos ensaios de flexão. 

Força (kN) 

30,0 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 

P1-int P2-dano_loc P3-dano_gen P4-semi-ríg δ (mm) 

Figura 13 - Curvas dos deslocamentos dos pórticos. 

Para todas as estruturas também foram construídos modelos computacionais 

visando a simulação desses ensaios de flexão (utilizando-se como base o programa 

desenvolvido por PAULA; 2001). Os resultados, de cada qual, são expostos em 

seqüência, indicando a rigidez admitida para os apoios. Inicialmente é demonstrada a 

importância de se considerar o apoio como ligação semi-rígida. A partir do pórtico 

íntegro, calcularam-se os resultados admitido os apoios rígidos (Figura 14) e 

articulados (Figura 15). Nestas figuras também são incluídas as respostas lineares 

(seção homogeneizada). 

F (kN) 

30,0 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

experim. 

Mazars 

Linear 

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 

δ (mm) 

Figura 14 - Deslocamento do modelo íntegro considerando os apoios rígidos. 


58 


F (kN) 

30,0 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

experim. 

Mazars 

Linear 

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 

δ (mm) 

Figura 15 - Deslocamento do modelo íntegro considerando os apoios articulados. 

Percebe-se que considerar os apoios como rígidos é um erro pois a curva 

experimental apresenta-se bem mais flexível. Porém, admitir os apoios como 

articulados também não é adequado. Verifica-se que a curva do modelo de Mazars 

cresce para valores muitos altos (na figura ela foi truncada para F = 20 kN). O correto 

não é um extremo ou outro, mas simular as ligações de base como semi-rígidas. 

A Figura 16 mostra que a curva não é tão satisfatória quando se adota uma 

rigidez constante média ( K 

m 

= 700 kN.m/rad). As Figuras 17 e 18 ilustram os 

resultados para os modelos de Mazars e La Borderie, respectivamente, tendo em vista 

os apoios com rigidez variável (linearmente) entre os valores 1.050 e 500 kN.m/rad. A 

aderência entre os valores experimentais e computacionais é quase total. 

F (kN) 

30,0 

PÓRTICO ÍNTEGRO - Apoios Semi-Rígidos 700 kN.m/rad 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

experim. 

Borderie 

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 

δ (mm) 

Figura 16 - Simulação do ensaio de flexão do P1 (La Borderie) – rigidez constante. 



59 

F (kN) 

30,0 

PÓRTICO ÍNTEGRO - Apoios Semi-Rígidos 1050-500 kN.m/rad 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

experim. 

Mazars 

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 

δ (mm) 

Figura 17 - Simulação do ensaio de flexão do P1 (Mazars). 

F (kN) 

30,0 

PÓRTICO ÍNTEGRO - Apoios Semi-Rígidos 1050-450 kN.m/rad 

25,0 

20,0 

15,0 

10,0 

5,0 

0,0 

experim. 

Borderie 

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 

δ (mm) 

Figura 18 - Simulação do ensaio de flexão do P1 (La Borderie). 

Os ensaios computacionais dos outros pórticos indicaram resultados similares. 

Pode-se concluir, assim, que os modelos de Mazars e La Borderie simulam 

adequadamente os fenômenos de danificação dos pórticos, sendo imprescindível a 

consideração da ligação como semi-rígida, diferentemente das idealizações rígida ou 

articulada. De forma geral, o valor de rigidez determinado pelos ensaios estáticos 

corresponderam a 1050 kN.m/rad, na fase de menor solicitação, a aproximadamente 

450 kN.m/rad, para os valores mais altos de carga. 

A partir do cálculo do valor absoluto da rigidez da ligação, faz-se a sua 

avaliação em termos do fator de rigidez γ (Tabela 6 e Figura 19). A ligação pertence à 

Zona II, no início, passando para a Zona I, com o aumento da solicitação. 

Tabela 6 - Avaliação da rigidez da ligação pilar-fundação – ensaios estáticos 

K m 

(kN.m/rad) 

γ ZONA PÓRTICO 

1.050 0,15 II 1 

1.050 0,17 II 2, 3 e 4 

450 0,07 I 1 

450 0,08 I 2, 3 e 4 


60 


1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0,0 

Zona I 

0,5 EI/L 

0,1 0,2 0,3 

Zona II 

2 EI/L 

0,4 0,5 0,6 


Zona III 

6 EI/L 25 EI/L 

0,7 

Zona IV 

0,8 0,9 1,0 

Zona V 

Figura 19 - Avaliação da rigidez da ligação pilar-fundação – ensaios estáticos. 

6 ENSAIOS DINÂMICOS 

A Figura 20 ilustra o esquema do sistema de geração do sinal de excitação, 

aquisição e processamento de dados utilizado nos ensaios dinâmicos experimentais, 

sendo o centro das operações o analisador espectral. Nesta figura, “F” refere-se ao 

sinal da força aplicada, medida pelo transdutor; “A” significa o sinal da aceleração, 

medido pelos acelerômetros; e “V” o sinal da excitação a ser aplicada à estrutura. A 

Figura 21 retrata o sistema e a Figura 22 apresenta uma imagem dos ensaios. 

Figura 20 - Esquema do sistema de aquisição e processamento. 



61 

Figura 21 - Sistema de aquisição e processamento de dados. 

Figura 22 - Ensaio dinâmico com excitador. 

Para o cálculo da rigidez da ligação, dois procedimentos distintos são 

empregados. O primeiro, chamado de “Método Indireto”, consiste na determinação 

desta rigidez pela calibração do modelo computacional, até que os parâmetros modais 

resultem similares aos medidos nos testes experimentais. Isto é feito empregando-se 

o código ADINA, ADINA (2003). O segundo procedimento, designado de “Método 

Direto”, baseia-se na leitura dos sinais do acelerômetro e transdutor de força, a partir 

da hipótese do desacoplamento dos modos no espaço modal. 

6.1 Ensaios experimentais 

Os resultados dos ensaios experimentais, gerados na forma de FRFs (um 

exemplo é exposto na Figura 23), possibilitam a determinação das freqüências 

naturais dos modelos. Na Tabela 7 indicam-se os valores obtidos para os pórticos 

íntegro e com dano generalizado. 


62 


Figura 22 - FRFs do Pórtico Íntegro medidas no nó 3 (A 32 ). 

Tabela 7 - Freqüências naturais dos pórticos íntegro e com dano generalizado 

PÓRTICO 3 

PÓRTICO 1 

(DANO 

(ÍNTEGRO) 

GENERALIZADO) 

MODO FREQ. (Hz) MODO FREQ. (Hz) 

1 16,9 1 10,6 

2 49,4 2 37,5 

3 82,5 3 66,2 

4 133,8 4 112,5 

5 210,6 5 180,4 

6 248,1 6 227,8 

7 263,1 7 250,8 

8 291,3 8 300,9 

9 342,0 9 331,6 

10 384,6 

11 434,8 

12 456,0 

6.2 Método direto 

Determinou-se as freqüências naturais e modos de vibração para todos os 

modelos, alterando-se as rigidezes das molas rotacionais na base e verificando-se as 

influências. Os valores adotados foram: 

K m Z ⇒ 900 kN.m/rad ≤ K m Z ≤ 3.000 kN.m/rad 

K m X ⇒ 550 kN.m/rad ≤ K m Z ≤ 700 kN.m/rad 

PÓRTICO 1 (ÍNTEGRO) 

A Tabela 8 indica os resultados experimentais obtidos na fase anterior (Tabela 

7a) e os computacionais. Nela há a indicação se o modo é no plano xy ou se é no 

plano transversal. Os valores adotados para a rigidez do apoio foram: 

K m Z = 2.500 kN.m/rad 



63 

K m X 

= 550 kN.m/rad 

Tabela 8 - Freqüências naturais do pórtico íntegro 

PÓRTICO 1 (ÍNTEGRO) 

EXPERIMENTAL COMPUTACIONAL 

MODO 

FREQÜÊNCIA 

FREQÜÊNCIA 

PLANO 

(Hz) 

(Hz) 

PLANO 

1 16,9 Z 21,3 Z 

2 49,4 Z 51,3 Z 

3 82,5 XY 82,7 XY 

4 133,8 Z 130,0 Z 

5 210,6 XY 214,5 XY 

6 248,1 Z 280,8 Z 

7 263,1 Z 291,4 Z 

8 291,3 Z 423,6 Z 

9 342,0 Z 530,3 Z 

10 554,6 XY 

PÓRTICO 3 (DANO GENERALIZADO) 

Para este modelo foram feitos dois conjuntos de ensaios. O primeiro, como o 

feito para os pórticos anteriores, alterando-se as rigidezes das molas rotacionais. O 

segundo, avaliando-se a minoração da rigidez EI provocada pela fissuração prévia. 

Basicamente, foram dois tipos de fatores de minoração adotados: 

1) Rigidez comum a todos os elementos (vigas e pilares): 

Neste caso, o mais relevante foi a adoção do valor 0,7 

⋅ E0 

⋅ I0 

, conforme dita a NBR 

6118 (2003). 

2) Rigidezes diferentes para a viga (elemento mais fissurado) e pilares (elemento 

menos fissurado): 

Foram adotados os valores individuais preconizados pela NBR 6118 (2003): 

0,4⋅ E0 

⋅ I0 

para a viga (quando A s ≠ As′ 

' 

), ou 0,5 

⋅ E0 

⋅ I0 

(quando A s = A s ), e 

0,8 

⋅ E0 

⋅ I0 

para os pilares; 

diversas outras variações. 

Os resultados apresentados na Tabela 9, mais assemelhados aos valores 

experimentais, relacionam-se às rigidezes: 

0,6 E 0 I 0 = 19.126 MPa, para a viga 

0,8 E 0 I 0 = 25.501 MPa, para os pilares 

Para as rigidezes dos apoios: 

K = 2.500 kN.m/rad 

m Z 

K m X 



64 


Tabela 9 - Freqüências naturais do pórtico 3 

PÓRTICO 3 (DANO GENERALIZADO) 

EXPERIMENTAL COMPUTACIONAL 

MODO FREQ. (Hz) PLANO FREQ. (Hz) PLANO 

1 10,6 Z 19,7 Z 

2 37,5 Z 42,9 Z 

3 66,2 XY 70,1 XY 

4 112,5 Z 100,0 Z 

5 180,4 XY 164,1 XY 

6 227,8 Z 217,4 Z 

7 250,8 Z 240,6 Z 

8 300,9 ? 335,5 Z 

9 331,6 ? 397,6 Z 

10 384,6 ? 425,5 XY 

11 434,8 ? 486,6 Z 

12 456,0 ? 524,4 XY 

Constata-se que as primeiras freqüências são coerentes com as 

experimentais, e que aparentemente existem mais modos computacionais que 

experimentais (algumas freqüências coincidem, mas estão em posições diferentes na 

ordem listada). Com a consideração das vibrações transversais, e a imposição de 

apoios semi-rígidos, as freqüências computacionais aproximam-se muito das 

experimentais, sendo ilustradas na Figura 23 e na Figura 24 os valores de f 1 xy e 

f 2 xy , respectivamente, para cada um dos modelos. Os resultados mais afinados 

com os ensaios experimentais correspondem a: 

kN.m/rad. 

K m Z = 2.500 kN.m/rad e K m X = 550 

freqüência f1xy 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Pórt.1 Pórt.2 Pórt.3 Pórt.4a Pórt.4b Pórt.4c 

Experimental Numérico 

Estrutura 

Figura 23 - Freqüências 

f 1 xy experimental e numérica para os diferentes modelos. 



65 

freqüência f2xy 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Pórt.1 Pórt.2 Pórt.3 Pórt.4a Pórt.4b Pórt.4c 

Experimental Numérico 

Estrutura 

Figura 24 - Freqüências 

f 2 xy experimental e numérica para os diferentes modelos. 

6.3 Método direto 

EWINS (2000) e MAIA et al. (1997) afirmam que uma das dificuldades da 

análise modal experimental é a medida da resposta ou da excitação rotacional. 

Segundo os autores, por muitos anos este problema foi tido como de solução nãotrivial. 

BREGANT; SANDERSON (2000) observam que a história das medidas e da 

excitação de graus de liberdade rotacionais é relativamente curta, quando comparadas 

aos graus de liberdade de translação, basicamente por dois motivos: a) eles não eram 

considerados importantes e não eram vistos como necessários na construção do 

modelo de resposta da estrutura; e b) porque são mais difíceis de medir, requerem 

mais esforço e possuem menos precisão. LOFRANO (2003) discute e aplica diversas 

técnicas experimentais para a determinação de FRFs angulares com aplicações em 

estruturas do tipo viga; procedimentos baseados em acelerômetros piezelétricos, 

vibrômetros a laser e sensores dedicados. 

Entre as diversas proposições de solução dos problemas, envolvendo 

transdutores ou excitadores especiais, há uma alternativa muito simples e baseada 

nos sensores e equipamentos convencionais. A técnica consiste em usar um par de 

acelerômetros uniaxiais colocados a uma pequena distância um do outro, fixados à 

estrutura, ou fixados a um acessório auxiliar na forma de “T”, que é solidarizado à 

estrutura. Neste caso, torna-se necessário um cuidado adicional em relação à 

flexibilidade das barras em balanço do acessório, com vistas a peça comportar-se 

como um corpo rígido e não influencie, pelo seu próprio movimento, a resposta dos 

sensores. A Figura ilustra o esquema de construção do conjunto. 

S 

S 

ẍ A 

S 

ẍ 

P 

S 

ẍ B 

ẍ A ẍ P ẍ B 

¨θ P 

θ¨ 

P 

P 

P 

Figura 25 - Arranjo para medição da resposta rotacional. 


66 


Assume-se, por fim, a hipótese de se calcular a translação e a rotação do 

ponto P da estrutura pelas expressões. 

&& 

xP 

&& xB 

+ && x 

= A 

(3) 

2 

& 

&& xB 

− && x 

θ 

A 

P = 

(4) 

2 s 

MAIA et al. (1997) advertem que um dos problemas associados a esta técnica 

relaciona-se ao fato de que a diferença de aceleração dada pela eq. (4) pode ser da 

mesma ordem de grandeza dos erros e ruídos inerentes à medição dos dados. 

EWINS (2000) pondera, adicionalmente, que um dos grandes problemas deste 

procedimento é que a amplitude do sinal devido aos movimentos de translação pode 

se sobrepor aos movimentos rotacionais. Por exemplo, a diferença de aceleração 

expressa na eq. (4), que corresponde usualmente de 1 a 2% dos valores individuais, 

podendo ser até inferior à sensibilidade transversal dos acelerômetros (sensibilidade 

cruzada), comprometendo a resposta que foi avaliada. Contudo, a despeito desta 

dificuldade, muitas aplicações de sucesso têm sido realizadas com esta metodologia. 

Baseado nas ponderações anteriores, planejou-se, neste trabalho, uma 

seqüência de procedimentos para a obtenção da rigidez da ligação da forma direta, 

constituída dos seguintes passos: 

Fixação de acelerômetros no pilar, um em cada lado, segundo as direções x e z , 

alternadamente (Figura 26). Também foram postos os sensores na chapa de base 

(apenas na direção x ) a fim de constatar a diferença de resposta; 

Excitação da estrutura com um sinal senoidal, de freqüência determinada; 

Medição da excitação imposta (força) e das respostas dos acelerômetros (aceleração) 

no domínio do tempo; 

Cálculo das respostas dos sensores, em termos de deslocamento, no domínio do 

tempo. A expressão que relaciona a aceleração e o deslocamento de cada 

&& 

acelerômetro é dada por x = x , onde ω é a freqüência da excitação imposta (em 

2 

ω 

rad/s); 

∆x 

Cálculo do ângulo de rotação do pilar θ = , onde ∆ x é o deslocamento relativo 

2 s 

entre os dois acelerômetros, e 2 s a distância entre eles; 

Cálculo do momento M na base do pilar, diretamente proporcional à amplitude da 

força de excitação e do seu ponto de aplicação, e também considerando o fator de 

amplificação dinâmica ( D ) – função da freqüência natural, freqüência de excitação e 

do amortecimento estrutural; 

Cálculo da rigidez à flexão K pela expressão K = M , onde M é o momento aplicado 

θ 

na base do pilar, e θ é o ângulo de rotação calculado no passo anterior. 



67 

acelerômetro 

Figura 26 - Posicionamento dos acelerômetros nas laterais do pilar. 

O pórtico fissurado será adotado como exemplo de cálculo, consideradas a 

excitação na direção x e as respostas na direção y . A Figura 27 mostra o sinal dos 

acelerômetros, em g , e a Figura 28 apresenta esta resposta convertida em 

&& 

deslocamento, na unidade de metros, através da expressão x = x . Ressalte-se que 

ω 

o intervalo de tempo apresentado nos gráficos corresponde a 0,1 s (1 a 1,1 s) 

meramente para facilitar a visualização das curvas, mas o período total de 

amostragem foi superior (cerca de 1,6 s e após realizada as diversas aquisições para 

o cálculo da média). 

No caso em questão, ω = 420,97 rad = 2π × 67 Hz. 

freqüência configurada para a geração do sinal senoidal pelo excitador. 

2 

f exc = 67 Hz foi a 

Figura 27 - Resposta dos acelerômetros (em g). 


68 


Figura 28 - Resposta dos acelerômetros (em m). 

Calcula-se o deslocamento relativo entre os acelerômetros pelos picos da 

curva apresentada na Figura 28 e determina-se a rotação em relação à posição 

original, considerando a distância 2 s entre eles. 

∆ x = 7,60 × 10 -6 m (tomando-se os valores médios de pico) 

2 s = 1,94 × 10 -1 m 

resulta: θ = 3,918 × 10 -5 rad 

A Figura 29 ilustra o sinal medido da força de excitação. Neste caso, f exc = 

67 Hz, sendo f 1 = 67,5 Hz, determinada pelo ensaio de varredura. 

Figura 29 - Excitação senoidal imposta. 

F = 33,4 N (amplitude máxima da força aplicada). Calcula-se, em seguida, o 

momento dinâmico na ligação: 

Pela análise estática da estrutura: F = 1 N ⇒ M = 0,1392 N.m, considerando 

molas nas ligações com K = 2.500 kN.m/rad e uma rigidez fração da bruta, em função 

da fissuração. 

Assim, tem-se: M = 4,65 N.m (momento na base do pilar) 



69 

Levando em conta: 

f exc = 67 Hz 

f 1 = 67,5 Hz 

ξ = 2,30 % (determinado pelo método Multi-Modos de identificação dos 

parâmetros) 

chega-se a: D = 20,84 (fator de amplificação dinâmico) 

e daí: M din = 96,89 N.m (momento dinâmico na base do pilar = D ⋅ M ) 

Com D = 20,84 e a Figura 29, obtém-se a curva de M din na base do pilar 

(Figura 30). 

Figura 30 - Momento 

M din na base do pilar. 

A partir dos valores do momento e da rotação, determina-se: 

K mZ = M din / θ 

−5 

K mZ = 96,89 / 3,918× 

10 

K mZ = 2.473 kN.m/rad 

Semelhante ao valor de rigidez encontrado no método indireto, via calibração 

do modelo de elementos finitos. Os demais valores de rigidez, para o outro pórtico e 

para a direção Z, além de suas correlações em relação ao fator de rigidez γ, são 

indicados nas Tabelas 10 e 11. 

Nas tabelas são adotados também diferentes valores para as taxas de 

amortecimento (ξ), calculadas pelo método do decremento logarítmico (DL) e pelo 

método multi-modos (MM). Lembra-se que as rigidezes encontradas pelo método 

indireto − calibração do modelo numérico − são: 

K m Z = 2.500 kN.m/rad 

K m X 



70 


Tabela 10 - Valores da rigidez K mZ determinados pelo método direto 

PÓRTICO 

ξ (em %) 

K mZ 

(DIREÇÃO) 

(MÉTODO) (kN.m/rad) 

γ 

ÍNTEGRO 

2,4 (MM) 1.817 0,23 

(XY) 1,75 (DL) 2.492 0,29 

FISSURADO 

2,3 (MM) 2.473 0,32 

(XY) 1,48 (DL) 3.609 0,41 

Obs. Referência K m Z = 2.500 kN.m/rad (ÍNTEGRO: γ = 0,30; FISSURADO: γ = 

0,32) 

Tabela 11 - Valores da rigidez KmX determinados pelo método direto 

PÓRTICO 

ξ (em %) 

K mX 

(DIREÇÃO) 

(MÉTODO) (kN.m/rad) 

γ 

ÍNTEGRO 

2,1 (MM) 421 0,26 

(Z) 1,75 (DL) 505 0,30 

FISSURADO 

1,8 (MM) 272 0,21 

(Z) 1,75 (DL) 330 0,24 

Obs. Referência K m Z = 550 kN.m/rad (ÍNTEGRO: γ = 0,30; FISSURADO: γ = 

0,33) 

Os valores da rigidez da ligação, calculados pelo método direto, apresentamse 

similares àqueles determinados pelo método indireto. Esta semelhança torna-se 

mais evidente quando se analisa o coeficiente de rigidez γ, o qual dá uma medida mais 

precisa do que o número absoluto. A Figura 31 indica o intervalo no qual recai a 

rigidez K m Z calculada. 

1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0,0 

0,5 EI/L 

0,1 0,2 

2 EI/L 6 EI/L 25 EI/L 

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 


Zona I Zona II 

Zona III Zona IV Zona V 

Figura 31 - Região dos valores de 

K m Z . 



71 

7 CONCLUSÕES 

Os estudos e ensaios realizados indicaram, para a rigidez da ligação de base, 

os seguintes valores: 

1) Modelos analíticos 

K m Z = 2.000 a 3.000 kN.m/rad (γ = 0,25 a 0,36) 

2) Ensaios estáticos 

K m Z = 1.050 (a 500) kN.m/rad (γ = 0,17 a 0,08) 

3) Ensaios dinâmicos (processo indireto – calibração do modelo) 

K m Z = 2.500 kN.m/rad (γ = 0,32) 

K m X = 550 kN.m/rad (γ = 0,33) 

4) Ensaios dinâmicos (processo direto – avaliação dos sinais) 

K m Z = 1.800 a 3.600 kN.m/rad (γ = 0,23 a 0,41) 

K m X = 270 a 505 kN.m/rad (γ = 0,20 a 0,31) 

Os resultados dos ensaios dinâmicos, sejam pelo processo direto ou indireto, 

para a rigidez K m Z ou K m X , assemelham-se bastante. Tais diferenças podem se 

maximizadas ou minimizadas com a alteração dos parâmetros utilizados, destacandose 

uma forte sensibilidade no processo direto. 

Todavia, empregando-se o fator de rigidez γ, percebe-se que todos os cálculos 

e aquisições referenciam uma ligação essencialmente dentro da Zona II (semi-rígida 

com baixa resistência à flexão; 0,14 

≤ γ ≤ 0, 40 ). Ou seja: qualitativamente, a ligação 

possui a mesma característica, independentemente do seu valor absoluto ter 

apresentado significativas diferenças entre os diversos modelos e ensaios. 

Os modelos constitutivos de Mazars e La Borderie mostram-se adequados 

para a simulação de estruturas de concreto, submetidas a cargas estáticas e 

dinâmicas. Tão importante quanto a teoria empregada nos modelos, é a definição 

correta dos vínculos. 

Importa que os trabalhos futuros sobre as ligações semi-rígidas, ou os estudos 

sobre o estado de fissuração de elementos e/ou estruturas, contemplem os ensaios 

dinâmicos e a melhor definição do comportamento do material (especialmente se for o 

concreto). Relativamente às pesquisas já encerradas, pode-se empregar estas 

ferramentas, caso tenha-se a intenção de revisitá-las. 

Os ensaios numéricos, quando utilizados para a validação de resultados 

experimentais, não devem prescindir do estudo das condições de contorno e da 

correta caracterização do material com ensaios controlados. É necessário, assim, que 

os estudiosos desta linha de pesquisa enveredem também pela experimentação física. 


Aos colegas Engs. Leopoldo Oliveira, Marcelo Ferreira e Francisco Adriano de 

Araújo, e Prof. Associado Paulo Sérgio Varoto, que muito ajudaram em diferentes 

etapas das análises experimentais e computacionais. A UFRN e CAPES, pelo 

sustento financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada, e a 

FAPESP pela outorga de recursos do projeto de pesquisa aprovado. 


72 



ADINA System On Line Manuals - Release 8.0.2. ADINA R&D Inc., 2003. 

BJORHOVDE, R.; COLSON, A.; BROZZETTI, J. Classification system for beam-tocolumn 

connections. Journal of Structural Engineering, v. 116, n. 11, p.3059-3077, 

1990. 

BREGANT, L.; SANDERSON, M. Rotational degree of freedom: a historical overview 

on techniques and methods. In: INTERNATIONAL SEMINAR ON MODAL ANALYSIS, 

ISMA, 25, Leuven, Bélgica, 2000. Proceedings… 1 CD-ROM. 

EL DEBS, M. K. Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. São Carlos: 

EESC-USP, 2000. 

EUROCODE 3. prEN 1993-1-8. Design of steel structures. Part 1-8 – Design of 

joints. European Commitee for Standardization, CEN, Brussels. 2000. 

EUROPEAN COOPERATION IN THE FIELD OF SCIENTIFIC AND TECHNICAL 

RESEARCH, (COST 1). Control of the semi-rigid behaviour of civil engineering 

structural connections. In: INTERNATIONAL CONFERENCE. Sep., 1998. 

Proceedings… Liège, European Union Publication, 1999. 

EUROPEAN COOPERATION IN THE FIELD OF SCIENTIFIC AND TECHNICAL 

RESEARCH, (COST 1). Control of the semi-rigid behaviour of civil engineering 

structural connections. Final Report – Nov., 1999. Brussels: European Union 

Publication, 2000. p. 13-29. 

EWINS, D. J. Modal testing: theory, practice and application. 2. ed. RSP: 2000. 

FERREIRA, M. A. (1993). Estudo de deformabilidades de ligações para análise 

linear em pórticos planos de elementos pré-moldados de concreto. São Carlos. 

Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São 

Paulo. 

FERREIRA, M. A.; EL DEBS, M. K.; ELLIOTT, K. S. Modelo teórico para projeto de 

ligações semi-rígidas em estruturas de concreto pré-moldado. In: CONGRESSO 

BRASILEIRO DO CONCRETO, 44., Belo Horizonte, 2002. Anais… 1 CD-ROM. 

JOHAL, L. S.; JENNY, D. P.; FATTAH SAIKH, A. Impact of past research and future 

research needs of the precast and prestressed concrete industry. PCI Journal, p.52- 

59, Nov./Dec., 1991. 

LOFRANO M. (2003). Técnicas para estimativa de FRFs angulares em análise 

modal experimental com aplicações a estruturas do tipo viga. São Carlos. 

Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São 

Paulo. 

MAIA, N. M. M.; SILVA, J. M. M. Theoretical and experimental modal analysis. 

RSP - John Wiley, 1997. 

MARTIN, L. D. Background and discussion on PCI design handbook second edition. 

PCI Journal, p. 24-41, Jan./Feb., 1980. 



73 

NAKAKI, S. D.; STANTON, J. F.; SRITHARAN, S. An Overview of the PRESSS Five- 

Story Precast Test Building. PCI Journal, v. 44, n. 2, p.26-39, Mar./Apr., 1999. 

NETHERCOT, D. A.; LI, T. Q.; AHMED, B. Unified classification system for beam-tocolumn 

connections. Journal Construct. Steel Research, v. 45, n. 1, p. 39-65, 1998. 

NEVILLE, A. Propriedades do concreto. 2 ed. São Paulo: Pini, 1997. 

NÓBREGA, P. G. B. (1994). Auto-sincronização de motores não-ideais apoiados 

em estruturas elásticas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia 

de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

NÓBREGA, P. G. B. (2004). Análise dinâmica de estruturas de concreto: estudo 

experimental e numérico das condições de contorno de estruturas prémoldadas. 

São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - 

Universidade de São Paulo. 

PAULA, C. F. (2001). Contribuição ao estudo das respostas numéricas nãolineares 

estática e dinâmica de estruturas reticuladas planas. São Carlos. Tese 

(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

PCI PRECAST / PRESTRESSED CONCRETE INSTITUTE. PCI design handbook. 

5. ed. 2001. 1 CD-ROM. 

PCI PRESTRESSED CONCRETE INSTITUTE. Design and typical details of 

connections for precast and prestressed concrete. 2. ed. Chicago: PCI, 1988. 

PRIESTLEY, M. J. N. et al. Preliminary results and conclusions from the PRESS fivestory 

precast concrete test building. PCI Journal, v. 44, n. 6, p.42-67, Nov./Dec., 

1999, 

STANTON, J. F.; ANDERSON, R. G.; DOLAN, C.; McCLEARY, D. E. Moment resistant 

connections and simple connections. PCI SPECIAL RESEARCH PROJECT N 1/ 4, 

PRECAST /PRESTRESSED CONCRETE INSTITUTE. Chicago: 1986. 436 p. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE TEÓRICA E EXPERIMENTAL DE PILARES 

DE CONCRETO ARMADO SOB AÇÃO DE FORÇA 

CENTRADA 

Walter Luiz Andrade de Oliveira 1 & José Samuel Giongo 2 

Resumo 

O objetivo primordial da pesquisa foi obter informações a respeito do comportamento 

dúctil de pilares submetidos à compressão centrada moldados com concreto de 

resistência média à compressão de 40MPa. Os resultados obtidos experimentalmente 

foram confrontados com os da análise numérica e se mostraram satisfatórios. O modelo 

adotado para análise teórica considerou as equações de equilíbrio que regem a 

segurança da seção transversal e o comportamento do pilar confinado. Para o 

desenvolvimento da parte experimental foram ensaiados 16 modelos de concreto 

armado: quatro com dimensões da seção transversal de 200mm×200mm e altura de 

1200mm e doze com dimensões da seção transversal de 150mm×300mm e altura de 

900mm, que apresentaram melhora no comportamento dúctil diretamente influenciada 

pelo aumento da taxa de armadura transversal. Foi verificado que o comportamento de 

pilares torna-se frágil com o aumento da resistência à compressão, assim foi gerada 

uma superfície que mostra o comportamento dúctil de pilares em função da taxa de 

armadura transversal e da resistência à compressão do concreto. Moldaram-se 

também, oito modelos não armados para determinação do coeficiente k 2 , que leva em 

consideração a estimativa da resistência do concreto na estrutura, quando avaliada por 

meio de corpos-de-prova cilíndricos, e verificou-se que o valor desta variável diminui 

com o aumento da resistência à compressão do concreto, como sugere a norma 

Norueguesa. A utilização da variável k 2 em função da resistência do concreto torna 

possível o dimensionamento de pilares de concreto de alta resistência considerando-se 

a seção íntegra ao invés da seção do núcleo. 

Palavras-chave: pilares; concreto armado; compressão centrada. 


Ao longo dos anos em que o concreto tem sido utilizado como material 

estrutural, em poucas oportunidades, visto a quantidade de estruturas construídas 

com concreto no mundo, sua resistência à compressão superou os 30MPa. Contudo 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, wluiz@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jsgiongo@sc.usp.br 


76 

Walter Luiz Andrade de Oliveira & José Samuel Giongo 

observa-se que, atualmente, há maior preocupação com a durabilidade das estruturas 

de concreto armado e existe a necessidade de que os edifícios tenham áreas livres 

maiores, portanto com pilares mais afastados e com ações de intensidades maiores e, 

com isto, a necessidade de adotar concretos com resistência de 30MPa a 50MPa 

intensificou-se. 

Por trabalharem submetidos preponderantemente a tensões de compressão, 

os pilares de edifícios têm seus comportamentos definidos pelas propriedades 

mecânicas do concreto, quais sejam resistência e deformação. Esse fato torna a 

ductilidade desses elementos estruturais sensível ao valor da resistência e ao 

comportamento do respectivo diagrama tensão-deformação. Observa-se que, quando 

concretos com maiores resistências são usados em pilares, a ductilidade desses 

elementos estruturais é reduzida e suas ruínas ficam definidas pela ruptura do 

concreto com pequenas deformações. Assim, a redistribuição de esforços solicitantes, 

capaz de evitar o colapso de uma edificação, quando da ruína do pilar, fica 

comprometida. 

O aumento da taxa de armadura transversal nos pilares não implica em 

ganho direto de resistência do elemento estrutural. A força de compressão axial 

atuante no pilar conduz à deformação transversal do elemento que, por sua vez, 

solicita a armadura transversal criando, como reação, pressão lateral sobre o núcleo 

de concreto, ductilizando o pilar. 

Deste modo, a maior quantidade de armadura transversal e o maior limite de 

escoamento desta armadura farão com que a pressão lateral exercida no núcleo de 

concreto aumente e, com isso, a resistência do pilar na direção axial cresça. O modo 

como a armadura transversal é solicitada, em pilares cintados, cria esforços que 

resultam no descolamento do cobrimento de concreto das armaduras (MÖRSCH, 

[14]). 

Para representar o comportamento do confinamento em pilares, para a 

resistência média à compressão do concreto de 40MPa, foi utilizado o modelo teórico 

desenvolvido por Cusson e Paultre [6], que foi modificado por Lima Júnior [11]. Foi 

realizada também uma análise computacional na qual utilizou-se programa 

desenvolvido pelos professores Ney Augusto Dumont e Giuseppe Barbosa 

Guimarães, da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, e que foi composto 

por dissertações de Mestrado dessa instituição, baseado no método dos elementos 

finitos que leva em consideração a não linearidade física do material, a não 

linearidade geométrica da estrutura e o efeito exercido pelo confinamento. A 

implementação do modelo teórico de confinamento, no programa citado, foi feita por 

Lima Júnior [11]. 

2 O ESTUDO DO CONCRETO CONFINADO 

A armadura de confinamento é muito utilizada em pilares de concreto 

armado, com o objetivo de aumentar a capacidade resistente e melhorar o seu 

comportamento no tocante à ductilidade. Cusson e Paultre [4] explicam que isso 

acontece pelo fato de que a distribuição das tensões de confinamento 

longitudinalmente, entre os estribos, acontece em forma de arco. Desse modo, o 

espaçamento entre os estribos deixa um volume de concreto sem confinamento, que 


Análise teórica e experimental de pilares de concreto armado sob ação de força centrada 

77 

pode desprender-se da peça durante o carregamento da estrutura por causa do 

gradiente interno de tensões. 

Claeson e Gyltoft [3] observaram por meio de ensaios de pilares de seção 

quadrada que, quanto menor for o espaçamento entre os estribos mais eficiente será 

o efeito do confinamento, melhorando a ductilidade dos pilares. Dessa forma, pode-se 

diminuir o diâmetro da barra do estribo e o espaçamento entre os mesmos, mantendo 

uma mesma taxa de armadura transversal, obtendo no final um pilar com 

comportamento mais dúctil. 

O ACI-441 [1] apresenta um diagrama do comportamento de pilares de 

concreto de alta resistência submetidos à compressão centrada (figura 1). Neste 

diagrama pode-se observar que o comportamento pós-pico dos pilares é diretamente 

influenciado pelo confinamento. 

F 

Força axial 

A 

B 

Baixo índice de 

confinamento 

Alto índice de 

confinamento 

Médio índice de 

confinamento 

Deformação axial 

ε c 

Figura 1 – Comportamento esquemático dos pilares de concreto de alta resistência sob 

compressão centrada. ACI-441 [1]. 

O trecho ascendente do diagrama é praticamente linear até 

aproximadamente 90% da força máxima, correspondente ao ponto A. Segundo 

Cusson e Paultre [5], nesse trecho a armadura de confinamento praticamente não 

colabora, sendo exigida com 50% de sua tensão de escoamento. O ponto A 

corresponde ao descolamento do cobrimento, que ocasiona uma perda de resistência, 

levando o diagrama ao ponto B. A diferença entre as forças correspondentes aos 

pontos A e B é influenciada diretamente pela espessura do cobrimento e pela 

quantidade de armadura transversal, e varia, aproximadamente, entre 10% e 15%. 

Após o ponto B, a expansão do concreto atinge seu valor máximo e o comportamento 

do pilar torna-se função da quantidade de armadura de confinamento. 

O estudo da modelagem do concreto confinado teve início em 1955, quando 

Chan (apud Sheikh, [23]) propôs equações para avaliar a resistência do concreto 


78 


confinado e sua deformação. Estudos posteriores levaram à formulação de modelos 

que procuravam descrever o comportamento de pilares de concreto armado 

submetidos à compressão simples. A maioria deles baseou-se em estudos 

experimentais com pilares de concreto de resistência normal, mas nos últimos anos 

houve uma intensificação nos estudos a respeito do comportamento do concreto de 

alta resistência. Alguns modelos conhecidos são os de Roy e Sozen (1964, apud 

Sheikh, [23]), Sargin et alli [22], Kent e Park [9], Park et alli [17], Sheikh e Uzumeri 

[24], Mander et alli [13], Saatcioglu e Razvi [21], Cusson e Paultre [6], Légeron e 

Paultre [10] e Lima Júnior [11]. 

O programa computacional que foi utilizado baseia-se no modelo proposto 

por Cusson e Paultre [6], mostrado na figura 2, e que foi modificado por Lima Júnior 

[11]. O modelo original baseou-se num programa experimental no qual foram 

ensaiados 50 pilares, sendo que 30 foram ensaiados por Cusson e Paultre [5] e 20 

por Nagashima et alli [15]. O modelo original é limitado a pilares de seção quadrada. 

f c 

A 

0,5 

⋅ 

0,5 

⋅ 

f cc 

f co 

f cc 

f co 

a 

b 

Concreto não 

confinado 

Concreto 

confinado 

B 

C 

O 

E c 

ε co ε c50u 

εcc 

c 

ε c50 c 

ε 

Figura 2 – Modelo proposto por Cusson e Paultre [6]. 

O trecho ascendente (OA) do diagrama tensão vs. deformação proposto por 

Cusson e Paultre [6], é descrito por uma equação proposta por Popovics [18] – 

equação 1. 

σ 

⎛ ε 

β ⋅ 

⎜ 

⎝ ε 

c 

ccf 

= 

β 

f ccf ⎛ εc 

⎞ 

(1) 

( β −1) 

c 

+ 

⎜ 

⎝ ε 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ccf 

⎟ 

⎠ 

na qual, ε c é a deformação em um ponto qualquer do diagrama, ε ccf é a deformação 

correspondente à tensão máxima e β é um coeficiente expresso pela equação 2. 

β = 

E 

c 

E 

c 

⎛ f 

− 

⎜ 

⎝ ε 

ccf 

ccf 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(2) 



79 

Para o trecho descendente (ABC) utiliza-se uma equação proposta por Fafitis 

e Shah [7] – equação 3, 

σ 

f 

c 

ccf 

= exp k 

[ ( ) ] 

k 22 

11 ⋅ ε c − εccf 

na qual k 11 é o coeficiente responsável pela inclinação da curva, tendo sido ajustado 

para passar pelo ponto ( ε c50c, 0,5 ⋅ fcc 

) e k 22 é um coeficiente que foi obtido por análise 

de regressão e é responsável pela curvatura. Esses coeficientes são calculados pelas 

equações 4 e 5, a seguir: 

k 

11 

= 

ln( 0,5 ) 

( ε − ε 

k 

) 22 

c50c 

cc 

(3) 

(4) 

k 

22 

⎛ f 

= 0,58 + 16 ⋅ 

⎜ 

⎝ f 

le 

c 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1,4 

(5) 

Lima Júnior [11], modificou o modelo de Cusson e Paultre [6]. Para o modelo, 

a resistência do concreto nas estruturas pode ser calculada a partir da equação 6. 

f 

= k ⋅ 

c f cj 

(6) 

na qual f cj é a resistência medida por meio de ensaio à compressão de corpos-deprova 

cilíndricos de 15cm×30cm e k é um coeficiente calculado de acordo com a 

equação 7, 

k = k 

1 ⋅k 

2 ⋅k 

3 

(7) 

sendo que k 1 leva em conta o acréscimo de resistência do concreto após 28 dias, k 2 

considera a estimativa da resistência do concreto na estrutura, quando avaliadas por 

meio dos corpos-de-prova cilíndricos, e k 3 considera a diminuição da resistência do 

concreto para ações de longa duração. Na falta de dados experimentais pode-se 

adotar k 1 =1,2, k 2 =0,95 e k 3 =0,75 (FUSCO, [8]). A norma Norueguesa – NS 3473 E [16] 

– não considera o valor de k 2 constante, ela apresenta a tabela 1 que compara os 

valores de resistência do concreto na estrutura com os valores obtidos por meio de 

ensaio de corpos-de-prova cilíndricos. 


80 


Tabela 1 – Resistência à compressão do concreto em MPa 

Concretos 

C15 C25 C35 C45 C55 C65 C75 C85 C95 C105 

Resistência do corpo-deprova 

cilíndrico – f c,cp 

12 20 28 36 44 54 64 74 84 94 

Resistência do concreto 

11,2 16,8 22,4 28,0 33,6 39,2 44,8 50,4 56,0 61,6 

na estrutura – f cn 

fcn 

k 2 = 0,93 0,84 0,80 0,78 0,76 0,73 0,70 0,68 0,67 0,66 

f 

c,cp 

Fonte: NS 3473 E (1992) [16] 

Com esses dados, fez-se análise de regressão logarítmica e obteve-se a 

equação 8, que correlaciona o coeficiente k 2 com a resistência do concreto: 

k 2 = − 0,136074 ⋅ ln fcj 

+ 

( ) 1, 34711 

(8) 

Para realizar as modificações no modelo de Cusson e Paultre [6] foi utilizada 

a equação 8. Para o modelo de Cusson e Paultre [6] foram realizados ensaios com 

pilares com altas taxas de confinamento e com isso foi obtida a equação 5. Para os 

modelos ensaiados por Lima Júnior [11] as taxas de armaduras transversais não 

ultrapassaram as utilizadas por Cusson e Paultre [6], e algumas delas são as mínimas 

permitidas pela NBR 6118:2003 [2]. 

Assim, Lima Júnior [11], verificou uma incoerência no modelo de Cusson e 

Paultre [6], que calculam o coeficiente k 22 segundo a equação 5 e sugerem o valor de 

1,5 para o valor desse coeficiente quando o concreto não possuir confinamento, ou 

f 

seja a relação le f 

= 0 . Ao substituir le = 0 , encontra-se k 22 =0,58. 

fc 

fc 

Dessa maneira, acrescentando alguns pontos com baixas taxas de 

confinamento aos de Cusson e Paultre [6], e fazendo uma regressão polinomial de 

segundo grau, foi obtida a equação 9, com coeficiente de correlação, r 2 , de 92%, 

k 

2 

⎛ fle 

⎞ ⎛ fle 

⎞ 

0,789 

22 = 1,344 − 8,864 ⋅ 

⎜ + 41,455 ⋅ + 0,525 ⋅R 

f 

⎟ 

⎜ 

c 

f 

⎟ 

c 

⎝ 

⎠ 

⎝ 

⎠ 

(9) 

na qual, R é o índice de reforço com a adição de fibras de aço. Neste trabalho 

considerou-se R=0. 

O diagrama tensão vs. deformação resultante das modificações feitas, é 

traçado seguindo os seguintes passos: 

1 - considerou-se a seção transversal resistente do pilar como sendo a seção 

íntegra, ignorando-se o efeito do confinamento; 

2 - considerou-se a seção transversal resistente do pilar como sendo apenas 

a seção do núcleo do pilar delimitada pelos ramos mais externos dos estribos, e a 

pressão lateral de confinamento deve ser calculada considerando a deformação da 

armadura transversal dada pela equação 10; 



81 

3 - o diagrama resultante é formado pelas linhas externas dos dois diagramas 

obtidos nos procedimentos 1 e 2, 

ε 

tcc 

= ν ⋅ ε 

cc 

⎛ f 

− ⎜ 

⎝ 

le 

− ν ⋅ 

E 

c,sec 

f 

le 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(10) 

sendo que, ε tcc é a deformação na armadura de confinamento, ν é o coeficiente de 

Poisson do concreto confinado, no ponto correspondente à máxima tensão e que pode 

ser tomado como 0,5; E c,sec é o módulo de elasticidade secante do concreto no ponto 

de máxima tensão do concreto confinado; f le é a pressão efetiva de confinamento, 

dada pela equação 11; 

com, 

e, 

f 

= K 

⋅ 

le 

e f l 

K 

e 

∑ 

2 

⎛ w 

⎜ 

i 

i 

⎜1− 

⎜ 6 ⋅ c x ⋅ c 

= 

⎝ 

y 

⎞ 

⎟ ⎛ 

⎟ ⋅ 

⎜1− 

⎟ ⎝ 2 ⋅ c 

⎠ 

1− ρ 

( s − φ ) ⎞ ⎛ ( s − φ ) 

l 

t 

x 

⎜ 

⎟ ⋅ 1− 

⎠ ⎝ 

2 ⋅ c 

y 

t 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(11) 

(12) 

f f ⎛ A stx + A ⎞ 

tcc 

sty 

= ⋅ ⎜ ⎟ 

l 

s 

⎝ 

c x + c y ⎠ 

(13) 

sendo que, f tcc é a tensão na armadura transversal de confinamento; s é a distância de 

centro a centro entre estribos; A stx e A sty são as áreas da seção transversal das 

armaduras de confinamento, perpendiculares aos eixos x e y, respectivamente; c x e c y 

são as larguras do núcleo do pilar, nas direções x e y, respectivamente; w i são os 

espaços entre as armaduras longitudinais; φ t é o diâmetro dos estribos; e ρ l é a taxa de 

armadura longitudinal, em relação ao núcleo do pilar. 

O diagrama resultante é representado na figura 3. 


82 


f c 

Diagrama resultante 

Modelagem com a seção 

transversal do núcleo 

Modelagem com a seção 

transversal íntegra 

ε 

Figura 3 – Modificação do modelo de Cusson e Paultre por Lima Júnior . 

3 DESCRIÇÃO DOS ENSAIOS REALIZADOS 

Foram ensaiados 16 modelos: quatro com dimensões da seção transversal 

de 200mm×200mm e altura de 1200mm (série P1) e doze com dimensões da seção 

transversal de 150mm×300mm e altura de 900mm (séries P2, P3 e P4), como pode 

ser visto na tabela 2. 

Junto às extremidades dos pilares foram dispostas armaduras de fretagem 

compostas por 6 estribos de diâmetro 6,3mm espaçados de 2,5cm. O cobrimento do 

concreto foi de 1,5cm para todos os modelos. 

Na figura 4 são apresentados os arranjos de armadura transversal utilizados 

no programa experimental e uma vista lateral dos modelos de seção quadrada e 

retangular. 

A taxa de armadura transversal (ρ w ) foi calculada de acordo com a equação 

14, sugerida por Saatcioglu e Razvi [21]. 

ρ 

w 

= 

s⋅ 

∑ A s 

( b + b ) 

cx 

cy 

na qual, A s é a área da seção transversal do estribo; s é o espaçamento entre estribos; 

b cx e b cy são as dimensões do núcleo do pilar, medidas de centro a centro dos estribos. 

Além desses modelos armados, foram analisados experimentalmente oito 

modelos não armados, quatro de seção quadrada e quatro de seção retangular, para 

verificar o valor da variável k 2 , que leva em consideração a estimativa da resistência 

do concreto nas estruturas, quando avaliadas por meio dos corpos-de-prova, e se o 

valor se aproxima de 0,95, como sugere Fusco [8]. 

(14) 



83 

Série P1 

Série P2 

Série P3 

150 

150 

200 

150 

145 

200 

15 

244 

300 

15 

50 

170 

170 50 

270 

Série P4 

120 

1200 

15 

25 

15 

150 

900 

75 

244 

300 

15 

244 

300 

15 

150 

50 

270 

50 

120 

120 

120 

50 

150 

120 

Dimensões em milímetros 

Figura 4 – Configuração das armaduras transversais e suas dimensões 

Tabela 2 – Propriedades geométricas dos modelos de pilares 

Modelo de Pilar 

Medidas da 

seção 

(mm×mm) 

Armadura transversal 

Φ t 

(mm) 

s 

(mm) ρ w (%) 

Armadura longitudinal 

Número de 

barras 

Φ l (mm) ρ l (%) 

P1 – 10,0-120 200×200 5,0 120 0,198 4 10,0 0,79 

P1 – 12,5-200 200×200 6,3 200 0,189 4 12,5 1,23 

P1 – 12,5-150 200×200 6,3 150 0,252 4 12,5 1,23 

P1 – 12,5-100 200×200 6,3 100 0,378 4 12,5 1,23 

P2 – 10,0-120 150×300 5,0 120 0,172 6 10,0 1,05 

P2 – 12,5-150 150×300 6,3 150 0,219 6 12,5 1,64 

P2 – 12,5-100 150×300 6,3 100 0,328 6 12,5 1,64 

P2 – 12,5-075 150×300 6,3 75 0,438 6 12,5 1,64 

P3 – 10,0-120 150×300 5,0 120 0,215 6 10,0 1,05 

P3 – 12,5-150 150×300 6,3 150 0,274 6 12,5 1,64 

P3 – 12,5-100 150×300 6,3 100 0,412 6 12,5 1,64 

P3 – 12,5-075 150×300 6,3 75 0,549 6 12,5 1,64 

P4 – 10,0-120 150×300 5,0 120 0,259 6 10,0 1,05 

P4 – 12,5-150 150×300 6,3 150 0,330 6 12,5 1,64 

P4 – 12,5-100 150×300 6,3 100 0,495 6 12,5 1,64 

P4 – 12,5-075 150×300 6,3 75 0,660 6 12,5 1,64 


84 


Os modelos foram ensaiados com força estática controlada por deslocamento 

imposto. A taxa de deformação em todos os casos foi de 0,005mm/m⋅s no trecho 

ascendente do diagrama força vs. deformação, conforme especificação do RILEM TC 

148-CCS [20], e de 0,01mm/m⋅s no trecho descendente. O tempo de duração de cada 

ensaio foi de aproximadamente 25min. Dois colares metálicos foram dispostos nas 

extremidades dos modelos, figura 5, com a finalidade de suporte para a 

instrumentação e prevenção da ruína prematura dessa região. Foram dispostos 4 

LVDTs, junto ao colar, com 50mm de curso cada e sensibilidade de centésimos de 

milímetros, para medir as deformações longitudinais dos modelos. 

A figura 7 apresenta a fotografia do ensaio de um dos pilares de seção 

quadrada. A figura 8 apresenta a fotografia de um dos pilares de seção retangular. A 

figura 9 apresenta o ensaio de corpos-de-prova para determinação do módulo de 

elasticidade do concreto. A figura 10 apresenta o ensaio de um dos pilares não 

armados, que foi utilizado para determinar o valor da variável k 2 . 

Parafusos e 

porcas de 

alta 

resistência 

LVDT 

Figura 5 – Colar metálico e LVDTs. 

A instrumentação das armaduras foi feita como mostrado na figura 6. 

Detalhe 

Strain 

gage 

Figura 6 – Detalhe da instrumentação de um dos modelos da série P4 



85 

Figura 7 – Ensaio do pilar P1-12,5-200 

Figura 8 – Ensaio do pilar P2-12,5-100 

Figura 9 – Ensaio para determinação do 

módulo de elasticidade do concreto 

Figura 10 – Ensaio de um pilar não armado 

4 RESULTADOS DOS ENSAIOS EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS 

4.1 Previsão da força última 

Os ensaios foram realizados no Laboratório de Estruturas do Departamento 

de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade 

de São Paulo. O dispositivo utilizado foi a máquina com sistema hidráulico e controle 

eletrônico da marca INSTRON, que possibilitou a aquisição dos dados no trecho pós- 


86 


pico para traçado do diagrama tensão vs. deformação, pois trabalha com taxa de 

deslocamento controlada. 

A força teórica resistente dos pilares foi calculada pela equação 15, 

F 

teo 

= A 

cc 

⋅ f 

c 

+ A 

s 

⋅ σ 

s 

(15) 

sendo que, A cc é a área da seção transversal de concreto (h x · h y ) subtraída a área de 

armadura longitudinal, f c é dado pela equação 6, As é a área de armadura longitudinal 

e σ s é a tensão na armadura no instante da ruptura do modelo determinado pela 

deformação nas barras da armadura do pilar e seu valor correspondente no diagrama 

tensão vs. deformação determinado nos ensaios das barras. 

O valor de f c é determinado pela resistência do concreto medida por meio de 

corpos-de-prova cilíndricos, multiplicado pelo coeficiente k, determinado pela equação 

7. Neste trabalho, os pilares foram ensaiados aos 14 dias de idade, portanto, os 

valores de k 1 e k 3 forão tomados iguais a 1. O valor de k 2 foi determinado pela relação 

entre a resistência medida em prismas de concreto e pela resistência medida por 

meio dos corpos-de-prova cilíndricos. A tabela 3 apresenta, entre outros dados, a 

previsão da força última nos pilares e os valores das forças últimas experimentais. 

Tabela 3 – Forças últimas teóricas e experimentais 

Modelo 

f cj 

(MPa) 

f c,prisma 

(MPa) 

h y 

(cm) 

h x 

(cm) 

A s 

(cm²) 

σ s 

(MPa) 

k 2 

F teo 

(kN) 

F exp 

(kN) 

P1-10,0-120 46,57 40,56 20 20 3,14 579,0 0,871 1791,42 1732,4 1,034 

P1-12,5-200 46,29 41,29 15 30 4,91 556,5 0,892 2110,73 1810,6 1,166 

P1-12,5-150 46,30 40,47 15 30 4,91 556,5 0,874 2074,46 1939,1 1,070 

P1-12,5-100 43,89 42,26 15 30 4,91 556,5 0,963 2154,13 1880,1 1,146 

P2-10,0-120 46,08 40,56 20 20 4,71 590,0 0,880 1881,20 2022,7 0,930 

P2-12,5-150 45,01 41,29 15 30 7,36 556,5 0,917 2237,18 2335,1 0,958 

P2-12,5-100 43,18 40,47 15 30 7,36 556,5 0,937 2201,11 1985,5 1,109 

P2-12,5-075 43,07 42,26 15 30 7,36 556,5 0,981 2280,34 2099,0 1,086 

P3-10,0-120 46,08 41,07 20 20 4,71 590,0 0,891 1901,48 2054,6 0,925 

P3-12,5-150 45,01 38,81 15 30 7,36 556,5 0,862 2127,63 2266,5 0,939 

P3-12,5-100 43,41 40,80 15 30 7,36 556,5 0,940 2215,72 2283,2 0,970 

P3-12,5-075 42,55 40,95 15 30 7,36 556,5 0,962 2222,36 2159,3 1,029 

P4-10,0-120 46,08 41,07 20 20 4,71 590,0 0,891 1901,48 1951,9 0,974 

P4-12,5-150 45,01 38,81 15 30 7,36 556,5 0,862 2127,63 2295,7 0,927 

P4-12,5-100 43,41 40,80 15 30 7,36 556,5 0,940 2215,72 2084,9 1,063 

P4-12,5-075 42,55 40,95 15 30 7,36 556,5 0,962 2222,36 2042,4 1,088 

F 

F 

teo 

exp 

0,91 1,026 



87 

4.2 Resultados numéricos 

Os valores das forças teóricas também foram calculados usando o modelo 

numérico (F num ) descrito anteriormente, considerando os dados da tabela 4. Os 

modelos numéricos foram simulados levando em conta a resistência medida nos 

corpos-de-prova cilíndricos, f cj , nos dias dos ensaios e os dados obtidos nos ensaios 

das barras de armadura utilizadas. 

Tabela 4 – Resumo dos resultados dos ensaios e do programa utilizado 

Modelo 

f cj 

(MPa) 

h y 

(cm) 

h x 

(cm) 

ρ w 

(%) 

A s 

(cm²) 

σ s 

(MPa) 

F num 

(kN) 

F exp 

(kN) 

P1-10,0-120 46,57 20 20 0,198 3,14 578,96 1683,83 1732,4 0,972 

P1-12,5-200 46,29 15 30 0,189 4,91 556,50 1771,41 1810,6 0,978 

P1-12,5-150 46,30 15 30 0,252 4,91 556,50 1767,91 1939,1 0,912 

P1-12,5-100 43,89 15 30 0,378 4,91 556,50 1699,36 1880,1 0,904 

P2-10,0-120 46,08 20 20 0,172 4,71 590,00 1936,66 2022,7 0,957 

P2-12,5-150 45,01 15 30 0,219 7,36 556,50 2043,04 2335,1 0,875 

P2-12,5-100 43,18 15 30 0,328 7,36 556,50 1984,24 1985,5 0,999 

P2-12,5-075 43,07 15 30 0,438 7,36 556,50 1980,70 2099,0 0,944 

P3-10,0-120 46,08 20 20 0,215 4,71 590,00 1936,66 2054,6 0,943 

P3-12,5-150 45,01 15 30 0,274 7,36 556,50 2043,04 2266,5 0,901 

P3-12,5-100 43,41 15 30 0,412 7,36 556,50 1991,55 2283,2 0,872 

P3-12,5-075 42,55 15 30 0,549 7,36 556,50 1963,91 2159,3 0,910 

P4-10,0-120 46,08 20 20 0,259 4,71 590,00 1936,66 1951,9 0,992 

P4-12,5-150 45,01 15 30 0,330 7,36 556,50 2043,04 2295,7 0,890 

P4-12,5-100 43,41 15 30 0,495 7,36 556,50 1991,55 2084,9 0,955 

P4-12,5-075 42,55 15 30 0,660 7,36 556,50 1963,91 2042,4 0,962 

F 

F 

num 

exp 

A diferença entre os valores das forças últimas calculadas pela equação 15 

(tabela 3) e numericamente (tabela 4) deve-se ao fato de a variável k 2 no modelo 

numérico ser determinada pela equação 8, e ser utilizado o método dos elementos 

finitos para discretização do problema. 

As figuras 11 a 14 apresentam os diagramas tensão vs. deformação dos 

pilares obtidos com os dados experimentais e numéricos. 


88 


-1800 

-1600 

-2200 

-2000 

-1400 

F experimental = 1732,4kN 

F numérico = 1683,83kN 

-1800 

-1600 



-1200 

-1400 

Força (kN) 

-1000 

-800 

Força (kN) 

-1200 

-1000 

-600 

-800 

-600 

-400 

-400 

-200 

-200 

0 

0 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 

Deformação (‰) 

-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

Figura 11 – Curvas do pilar P1-10,0-120 


-2400 

-2400 

-2200 

-2200 

-2000 


-2000 


-1800 


-1800 


-1600 

-1600 

Força (kN) 

-1400 

-1200 

-1000 

Força (kN) 

-1400 

-1200 

-1000 

-800 

-800 

-600 

-600 

-400 

-400 

-200 

-200 

0 

0 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 



5 DUCTILIDADE 

Ductilidade é a capacidade do material ou do elemento estrutural de se 

deformar inelasticamente sem perda brusca de resistência. Pesquisas têm apontado 

uma série de parâmetros que influenciam o comportamento de pilares com relação à 

ductilidade, sejam elas: taxa volumétrica de armadura transversal e sua resistência de 

escoamento e resistência à compressão do concreto. 

A quantificação da ductilidade foi feita seguindo a metodologia desenvolvida 

por Lima Júnior e Giongo [12], que calcula índices de ductilidade para os trechos 

ascendente e descendente do diagrama tensão vs. deformação. As equações são 

apresentadas a seguir: 

ID pré 

ε 

= 

ε 

p−pré 

máx 

(16) 

na qual, 



89 

ε 

p−pré 

2 ⋅ 

= 

∫ ε 

0 

máx 

F 

f 

( ε ) 

máx 

c 

dε 

c 

Fmáx 

− 

E ⋅ A 

c 

c 

(17) 

sendo, ε máx a deformação correspondente a força última; ε p-pré a deformação plástica 

de pré-pico; f(ε c ) o polinômio que representa a curva tensão vs. deformação 

experimental, obtido por meio de uma regressão polinomial; F máx a força última do 

elemento estrutural; A c a área da seção transversal do pilar; E c o módulo de 

elasticidade tangente na origem. 

ID pré varia de 0 (comportamento elástico-linear) a 2 (comportamento plásticoperfeito). 

ID 

c 2 

f 

máx 

pós = ∫ε ε 

εmáx 

( ε ) 

c 

⋅F 

dε 

máx 

c 

(18) 

sendo, ε c2 igual a três vezes ε máx. 

ID PÓS varia de 0 (comportamento frágil-perfeito) a 2 (comportamento plásticoperfeito). 

A tabela 5 apresenta os índices de ductilidade calculados a partir dos dados 

experimentais e das equações propostas por Lima Júnior e Giongo [12]. 

Tabela 5 – Índices de ductilidade 

Modelo ρ w (%) f cj (MPa) ID pré ID pós 

P1-10,0-120 0,198 46,57 1,341 0,640 

P1-12,5-200 0,189 46,29 1,313 0,593 

P1-12,5-150 0,252 46,30 1,316 0,666 

P1-12,5-100 0,378 43,89 1,282 0,962 

P2-10,0-120 0,172 46,08 1,328 0,801 

P2-12,5-150 0,219 45,01 1,233 0,844 

P2-12,5-100 0,328 43,18 1,336 0,995 

P2-12,5-075 0,438 43,07 1,421 1,049 

P3-10,0-120 0,215 46,08 1,267 0,691 

P3-12,5-150 0,274 45,01 1,318 1,008 

P3-12,5-100 0,412 43,41 1,300 1,166 

P3-12,5-075 0,549 42,55 1,372 1,323 

P4-10,0-120 0,259 46,08 1,269 0,955 

P4-12,5-150 0,330 45,01 1,307 0,870 

P4-12,5-100 0,495 43,41 1,309 1,516 

P4-12,5-075 0,660 42,55 1,310 1,635 

Aos dados experimentais deste trabalho foram acrescentados os resultados 

de pesquisas anteriores, para melhor definição da ductilidade pós pico em função da 

resistência do concreto e da taxa de armadura transversal. Foram tomados os dados 


90 


das pesquisas de Lima Júnior [11], e Ramos [19] para o traçado de uma superfície 

(figura 15) que represente este parâmetro. 

ID pós 

ρ w 

(%) 

f cj (MPa) 

Figura 15 – Superfície que representa o índice de ductilidade em função da resistência do 

concreto e da taxa de armadura transversal. 

Essa superfície foi desenhada fazendo-se uma regressão polinomial 

considerando duas variáveis obtendo-se, assim, a equação 19, que apresenta uma 

correlação de 88,06% para os pontos fornecidos, 

ID 

pós 

= 1,91− 

0,052 ⋅ x + 2,49 ⋅ y + 0,0083 ⋅ x ⋅ y + 0,000338 ⋅ x 

2 

−1,7 

⋅ y 

2 

(19) 

sendo que, x representa a resistência do concreto f cj (MPa) e y a taxa de armadura 

transversal ρ w (%). 

Pode-se notar no gráfico que o índice de ductilidade é diretamente 

proporcional a taxa de armadura transversal e inversamente proporcional a resistência 

do concreto, assim, para que se tenha um comportamento dúctil em pilares de 

concreto de alta resistência, é necessária a utilização de uma maior taxa de armadura 

transversal para promover esse ganho de ductilidade. 

O ganho de ductilidade em virtude do aumento da taxa de armadura 

transversal, mantendo-se a resistência do concreto constante, pode ser observado 

nas figuras 16, 17, 18 e 19, para os pilares das séries P1, P2, P3 e P4, 

respectivamente, sendo que apenas os pilares com armadura longitudinal de 12,5mm 

de diâmetro foram analisados, para que não houvesse influência pela variação do 

diâmetro e pela taxa de armadura longitudinal. O que diferencia cada modelo em uma 

série é o espaçamento da armadura transversal. 



91 

-2500 

-2500 

Modelos 

Modelos 

-2000 

P1-12.5-200 

P1-12.5-150 

P1-12.5-100 

-2000 

P2-12.5-150 

P2-12.5-100 

P2-12.5-075 

Força (kN) 

-1500 

-1000 

145 

200 

200 

15 

Força (kN) 

-1500 

-1000 

-500 

-500 

244 

300 

150 

15 

0 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

0 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

Figura 16 – Pilares da série P1 


-2500 

-2500 

Modelos 

Modelos 

-2000 

P3-12.5-150 

P3-12.5-100 

-2000 

P4-12.5-150 

P4-12.5-100 

P3-12.5-075 

P4-12.5-075 

-1500 

-1500 

Força (kN) 

-1000 

Força (kN) 

-1000 

-500 

244 

300 

150 

15 

-500 

244 

300 

150 

15 

0 

0 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 -7 -8 -9 


-10 

-11 

-12 

-13 

-14 

-15 



O pilar P1-12,5-200, que foi dimensionado fora das exigências da NBR 

6118:2003, apresentou o pior comportamento dentre todos os estudados. Com taxa 

de armadura transversal de 0,189%, apresentou índice de ductilidade pós pico igual a 

0,593, que caracteriza um comportamento frágil. Os outros pilares da série P1 

mostraram-se melhores, com índice de ductilidade de 0,962 para o P1-12,5-100. 

As diferenças entre as forças de pico para os pilares de uma mesma série 

devem-se ao fato que os mesmos foram moldados em dias diferentes. Apesar de ser 

usado o mesmo traço, as condições de temperatura e umidade influenciaram nas 

trabalhabilidades e, conseqüentemente, nas resistências finais dos modelos. 

Os pilares P4-12,5-100 e P4-12,5-075, com taxas de armaduras transversais 

iguais a 0,495% e 0,66%, respectivamente, apresentaram os melhores 

comportamentos no tocante a ductilidade. Seus índices de ductilidade superaram 1,5, 

indicando comportamento plástico quase perfeito. Esses pilares, após atingirem os 

seus picos de resistência, apresentaram acréscimo na capacidade resistente, 

deformando-se sem perder resistência até, aproximadamente, a deformação média de 

7‰, calculada com as deformações nas faces do pilar, como visto na figura 19. 


92 


6 CONCLUSÕES 

A consideração do coeficiente k 2 em função da resistência do concreto 

demonstrou ser a maneira mais correta quando se deseja prever a força última teórica 

em um pilar. As forças últimas teóricas avaliadas na tabela 3 apresentaram valores 

muito bons quando comparados com as forças experimentais, resultando em uma 

diferença de 2,6%, em média. O valor 0,95 é seguro quando se trabalha com 

concretos de resistências inferiores a 25MPa, para concretos com resistências 

superiores esse valor tende a ser menor como sugere a NS 3473 E [16]. 

A utilização da variável k 2 em função da resistência do concreto torna 

possível o dimensionamento de pilares de concreto de alta resistência considerandose 

a seção íntegra ao invés da seção do núcleo, contudo são necessários mais 

estudos para uma melhor consideração desta variável. 

Os valores das forças teóricas obtidas com o programa computacional 

mostraram-se conservativos. Para todos os modelos os valores das forças últimas 

calculados pelo programa foram, em média, 6,5% inferiores aos das forças últimas 

experimentais. O modelo de Cusson e Paultre [6] modificado por Lima Júnior [11] 

conseguiu representar as curvas experimentais de modo razoável, como visto nas 

figuras 11 a 14. 

O critério para quantificação da ductilidade apresentou-se adequado à 

análise proposta. Os dados experimentais mostraram que a ductilidade é um fator 

ligado diretamente a taxa de armadura transversal e inversamente proporcional à 

resistência do concreto. Para uma mesma taxa de armadura transversal, o valor do 

índice de ductilidade pós pico em um pilar de concreto de resistência usual pode ser 

duas vezes maior do que em um pilar de concreto de alta resistência, assim é 

necessário que se utilize alta taxa de armadura transversal, maior em um pilar de 

concreto de alta resistência, para que esse apresente a mesma ductilidade do pilar de 

menor resistência. Considerando a equação 19, um concreto com resistência 30MPa 

e taxa de armadura transversal de 0,25% apresenta índice de ductilidade pós pico 

igual a 1,23. Para que um pilar moldado com concreto de resistência 60MPa 

apresente o mesmo valor para o índice de ductilidade, é necessário que ele possua 

uma taxa de armadura transversal de 0,65%. 

Para uma mesma resistência, variando apenas a taxa de armadura 

transversal, os índices de ductilidade pós-pico apresentaram diferenças em seus 

valores para os pilares de uma mesma série, como visto nas figuras 16 a 19 e 

disposto na tabela 5. 


À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES 

– pela bolsa de mestrado concedida que permitiu a realização do trabalho. 



93 


AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1997). ACI-ASCE Joint Committee 441. Stateof-the-art 

report on high-strength concrete columns. ACI Structural Journal, v.94, n.3, 

p. 323-335, May/June. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118:2003: 

Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro. 

CLAESON, C.; GYLLTOFT, K. (2000). Slender concrete columns subjected to 

sustained and short-term eccentric loading. ACI Structural Journal, v.97, n.1, p.45-52, 

Jan./Feb. 

CUSSON, D.; PAULTRE, P. (1992). Behavior of high-strength concrete columns 

confined by rectangular ties under concentric loading. Internal report of 

Department of Civil Engineering, University of Sherbrooke, SMS-92/2. 47p. 

CUSSON, D.; PAULTRE, P. (1994). High-strength concrete columns confined by 

retangular ties. Journal of Structural Engineering, ASCE, v.120, n.3, p.783-804, Mar. 

CUSSON, D.; PAULTRE, P. (1995). Stress-strain model for confined high-strength 

concrete, Journal of Structural Engineering, ASCE, v.121, n.3, p.468-477. Mar. 

FAFITIS, A.; SHAH, S. P. (1985). Lateral reinforcement for high-strengh concrete 

columns. In: RUSSEL, H. G. (ed.) High-strength concrete. Detroit: ACI. p.213-232. 

(ACI SP-87). 

FUSCO, P. B. (1989). O cálculo de concreto armado em regime de ruptura. In: 

SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, São Paulo. Anais... v.1, 

p.239-310. 

KENT, D. C.; PARK, R. (1971). Flexural members with confined concrete. Journal of 

Structural Division, ASCE, v.97, n.7, p.1969-1990. 

LÉGERON, F.; PAULTRE, P. (2003). Uniaxial confinement model for normal- and highstrength 

concrete columns. Journal of Structural Engineering, ASCE, v.129, n.2, 

p.241-252, Feb. 

LIMA JÚNIOR, H. C. (2003). Avaliação da ductilidade de pilares de concreto armado, 

submetidos a flexo-compressão reta com e sem adição de fibras metálicas. São 

Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de 

São Paulo. 

LIMA JÚNIOR, H. C.; GIONGO, J. S. (2001). Avaliação da ductilidade do concreto de 

alta resistência reforçado com fibra de aço. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO 

CONCRETO, 43., 2001, Foz do Iguaçu. Anais... Foz do Iguaçu: IBRACON. 1 CD- 

ROM. 

MANDER, J. B.; PRIESTLEY, M. J. N.; PARK, R. (1988a). Theoretical stress-strain 

model for confined concrete. Journal of Structural Engineering, ASCE, v.114, n.8, 

p.1804-1826, Aug. 

MÖRSCH, E. (1952). Teoria y prática del hormigón armado. Buenos Aires: Gustavo 

Gili. 


94 


NAGASHIMA, T.; SUGANO, S.; KIMURA, H.; ICHIKAWA, A. (1992). Monotonic axial 

compression test on ultra-high-strength concrete tied columns. In: WORLD 

CONFERENCE ON EARTHQUAKE ENGINEERING, 10., Rotterdam. p. 2983-2988. 

NORWEGIAN COUNCIL FOR BUILDING STANDARDIZATION (1992). NS 3473 E: 

Concrete structures: design rules. 4. ed. Oslo: NSF, 78p. 

OLIVEIRA, W. L. A. (2004). Análise teórica e experimental de pilares de concreto 

armado sob a ação de força centrada com resistência média à compressão do 

concreto de 40 MPa. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de 

São Carlos – Universidade de São Paulo. 

PARK, R.; PRIESTLEY, M. J. N.; GILL, W. D. (1982). Ductility of square confined 

concrete columns. Journal of Structural Division, ASCE, v.108, n.4, p.929-623. 

POPOVICS, S. (1973). A numerical aproach to the complete stress-strain curve of 

concrete. Cement and Concrete Research, v.3, n.5, p.583-599. 

RAMOS, R. F.; GIONGO, J.S. (2002). Pilares de concreto armado sob ação de força 

centrada com resistência do concreto de 25MPa. In: JORNADAS SUDAMERICANAS 

DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 30., 2002, Brasília. Anais... 1 CD-ROM. 

RILEM TC 148-SSC. (2000). Test method for measurement of strain-softening 

behavior of concrete under uniaxial compression. Materials and Structures, v.33, 

p.347-351, July. 

SAATCIOGLU, M.; RAZVI, S. R. (1992). Strength and ductility of confined concrete. 

Journal of Structural Engineering, ASCE, v.118, n.6, p.1590-1607, June. 

SARGIN, M.; GLOSH, S. K.; HANDA, V. K. (1971). Effects of lateral reinforcement 

upon strength and deformation properties of concrete. Magazine of Concrete 

Research, v.23, n.75-76, p.99-110. 

SHEIKH, S. A. (1982). A comparative study of confinement models. Journal of the 

American Concrete Institute, v.79, n.4, p. 296-306. 

SHEIKH, S. A.; UZUMERI, S. M. (1982). Analytical model for concrete confinement in 

tied columns. Journal of Structural Division, ASCE, v.108, n.12, p.2703-2722. 


ISSN 1809-5860 

AVALIAÇÃO DO COEFICIENTE DE FORMA DA 

SEÇÃO TRANSVERSAL E SUAS IMPLICAÇÕES NO 

DESEMPENHO DE PILARES REFORÇADOS COM 

PRFC 

Alexandre Luis Sudano 1 & João Bento de Hanai 2 

Resumo 

Este trabalho tem como objetivo central o estudo de vários tipos de seção transversal 

com o intuito de avaliar a sua influência na eficiência do reforço e na ductilidade de 

pilares de concreto encamisados com polímeros reforçados com fibra de carbono 

(PRFC). Para tal, foram realizadas simulações experimentais com pilares de seção 

transversal circular, quadrada e retangular com os cantos arredondados, elíptica e 

uma seção composta por semicírculos. Os resultados demonstram que uma forma de 

seção transversal adequada é essencial para um bom desempenho do pilar reforçado. 

Palavras-chave: reforço de pilares - confinamento; reforço de pilares - 

encamisamento; fibra de carbono; ductilidade e tenacidade; forma da seção 

transversal. 


Sabe-se que o efeito de confinamento do concreto em pilares submetidos à 

compressão axial e excêntrica traz diversos benefícios ao seu comportamento 

estrutural: 

• aumenta a resistência à compressão axial do concreto pela ação das pressões 

laterais; 

• melhora a ductilidade do elemento estrutural, especialmente importante no 

caso de aplicação de concreto de alta resistência; 

• favorece a contribuição efetiva do núcleo (seção do pilar de concreto préexistente) 

no caso de reforço por encamisamento com concreto armado ou 

compósitos de alto desempenho, como o de fibra de carbono; 

• favorece a redistribuição de tensões no conjunto concreto antigo/novo, que 

estão sujeitos aos efeitos de pré-carregamento e deformações do concreto 

dependentes do tempo. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, alsudano@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jbhanai@sc.usp.br 


96 

Alexandre Luis Sudano & João Bento de Hanai 

Ilustra-se na Figura 1 algumas situações de confinamento no caso de pilares 

de seção transversal circular ou quadrada, sujeitos à compressão axial. Em cada um 

dos esquemas de seção transversal, as áreas hachuradas correspondem às partes da 

seção que estão sujeitas a pressões de confinamento dadas pela armadura ou 

membrana de compósito em seu contorno. 

(a) (b) (c) (d) 

Figura 1 - Ilustração de algumas situações de confinamento: (a) seção circular, núcleo 

confinado pela armadura transversal em espiral; (b) seção circular, núcleo confinado por 

compósito polimérico aplicado na superfície externa, contando-se ainda com o efeito adicional 

de confinamento dado pela armadura interna em espiral no núcleo mais interno; (c) seção 

quadrada, núcleo confinado por estribos e armadura longitudinal; (d) seção quadrada, núcleo 

confinado por compósito polimérico aplicado na superfície externa, contando-se ainda com o 

efeito adicional de confinamento dado pela armadura mais interna de estribos. 

No caso de pilares de seção transversal quadrada ou retangular, o reforço é 

particularmente dificultado em função da ocorrência de pressões não uniformes de 

confinamento no pilar original, sendo este o próprio núcleo confinado. Esta não 

uniformidade deve-se ao efeito de arqueamento, que provoca concentração de 

tensões nos cantos da seção transversal do pilar original. No caso do reforço com 

PRF este fato é extremamente importante, uma vez que a concentração de tensões 

em um determinado ponto causa a ruptura pré-matura da camisa de reforço, 

diminuindo assim a sua eficiência. 

Em pilares de seção circular a pressão de confinamento é uniformemente 

distribuída na seção transversal, já que nesta não existe o efeito de arqueamento. 

Não existindo concentração de tensões em pontos localizados, o reforço por 

encamisamento com PRF apresenta a sua maior eficiência. Sendo assim, quanto 

mais próxima da circular for a seção do pilar a ser reforçado, mais uniforme será a 

distribuição das pressões de confinamento e, conseqüentemente, maior será a 

eficiência do reforço. 

Para quantificar a proximidade entre a seção do pilar a ser reforçado e a 

circular, utiliza-se um coeficiente de forma que minora a pressão de confinamento 

para pilares de seção diferente da circular. Este coeficiente nada mais é do que a 

relação entre a área do núcleo efetivamente confinado e a área total da seção 

transversal. Quanto mais próximo da unidade for o coeficiente de forma, maior será 

uniformidade da pressão de confinamento. 

Vários autores propõem equações para o cálculo do coeficiente de forma, 

Mander et al. (1988), Razvi & Saatcioglu (1999), Teng & Lam (2002), Campione & 

Miraglia (2003), entre outros. A determinação deste coeficiente fica limitada pela 

dificuldade existente na quantificação da área do núcleo efetivamente confinado. Por 

causa desta dificuldade, todos os autores que propõem uma equação para a 


Avaliação do coeficiente de forma da seção transversal e suas implicações no desempenho... 

97 

determinação do coeficiente de forma, o fazem em função das características 

geométricas da seção transversal do pilar. 

A principal alternativa para aproximar o coeficiente de forma da unidade e 

conseqüentemente potencializar o efeito de confinamento no reforço de pilares de 

seção transversal quadrada ou retangular, é a mudança da forma de sua seção. Esta 

mudança é geralmente feita com o arredondamento dos cantos da seção transversal, 

diminuindo assim a concentração de tensão nestes pontos (Figura 2). 

Distribuição da pressão de confinamento 

Figura 2 - Distribuição da pressão de confinamento antes e depois do reforço com PRF e 

arredondamento dos cantos. 

Na tentativa de aumentar o coeficiente de forma e conseqüentemente a 

eficiência do reforço, pode-se melhorar ainda mais a distribuição da pressão de 

confinamento. Para isso, pode-se estudar mudanças mais apreciáveis na forma da 

seção transversal. Esta mudança pode ser, por exemplo, transformar a seção 

transversal retangular numa elíptica ou em qualquer outra forma geométrica que seja 

capaz de conduzir a pressões de confinamento mais próximas da uniforme. 

Considerando em particular, que as formas geométricas circulares e calotas 

esféricas são as mais adequadas para resistir por tração à pressão interna radial 

(efeito de membrana), procura-se neste trabalho estudar tais formas, além da elíptica, 

para verificar a sua eficiência na distribuição das pressões de confinamento, avaliada 

com base no coeficiente de forma. 

Ilustra-se na Figura 3, na forma de esquemas em perspectiva tridimensional, 

como poderiam ser as membranas de compósito da camisa de reforço. 


98 


(a) 

(b) 

(c) 

Figura 3 - Possíveis esquemas de arranjo de reforço transversal: a) seção transversal 

esquemática; b) pressões no reforço transversal; c) reforço transversal com curvatura simples. 

Portanto, neste trabalho foram estudados pilares de diversas seções 

transversais (Figura 4) com o objetivo de determinar a influência da forma da seção 

transversal no reforço de pilares de concreto encamisados com PRF, bem como fazer 

um estudo comparativo, baseado na tenacidade, ductilidade e eficiência do reforço, 

entre os pilares estudados. 

Figura 4 - Seções transversais dos pilares estudados. 

2 ASPECTOS TEÓRICOS 

A combinação de diferentes materiais para facilitar o uso e aumentar o 

desempenho, em relação a cada um de seus constituintes, tem sido uma estratégia 

de grande sucesso. Seguindo esta filosofia, surgiram os polímeros reforçados com 

fibras, PRF, que são filamentos fibrosos combinados com uma matriz de resina 

polimérica, inicialmente desenvolvidos para a indústria mecânica. Em função da 

facilidade de utilização e das elevadas resistências e módulo de elasticidade, este 



99 

material passou a ser utilizado também na construção civil, e conseqüentemente no 

reforço de pilares de concreto armado. 

Vários autores, Saadatmanesh & Ehsani (1994), Jones & Hanna (1997), 

Karbhari & Zhao (2000), Parvin & Wang (2000), citam as vantagens da utilização do 

PRF no reforço de pilares de concreto, entre elas destacam-se as altas relações 

resistência/peso e rigidez/peso, e a rapidez com que o reforço pode ser feito, se 

comparados com o reforço feito com a utilização do aço, por exemplo. Porém, existem 

também algumas desvantagens que devem ser mencionadas, como por exemplo, o 

alto custo inicial, a exposição ao fogo e vandalismo. 

Assim como no caso do reforço feito com aço, o reforço com PRF em pilares 

de seção transversal diferente da circular apresenta, sérios problemas de eficiência 

em função da concentração de tensões nos cantos, provocando a ruptura pré-matura 

do compósito, e da dificuldade de geração de pressões de confinamento semelhantes 

às que ocorrem no confinamento de pilares de seção circular. Para amenizar este 

problema promove-se uma mudança na forma da seção transversal por meio do 

arredondamento dos cantos ou transformado-a em uma forma mais próxima da 

circular. 

Para avaliar o desempenho de cada uma das formas utilizadas, são adotados 

como parâmetros de eficiência o coeficiente de forma, que quanto mais próximo da 

unidade for maior será a eficiência, e índices de tenacidade e ductilidade. A seguir são 

discutidos cada um destes parâmetros. 

2.1 Coeficiente de forma 

Conforme dito anteriormente, o coeficiente de forma é a relação entre a área 

efetivamente confinada e a área total da seção transversal. A dificuldade para o 

cálculo deste coeficiente está na determinação da área efetivamente confinada para 

as várias configurações da seção transversal. Em função desta dificuldade, as 

equações disponíveis para o cálculo deste coeficiente o fazem em função das 

propriedades geométricas da seção transversal do pilar a ser reforçado, sendo assim, 

esta equações são na sua maioria absoluta desenvolvidas para pilares de seção 

transversal quadrada e retangular com os cantos arredondados. Para que fosse 

possível uma comparação entre os vários tipos de seção transversal estudados neste 

trabalho, foi necessária a utilização de uma rotina de cálculo padronizada, para 

evidenciar apenas a influência da seção transversal no coeficiente de forma e 

conseqüentemente na eficiência do reforço. 

Teng & Lam (2002) propõem um método de previsão da capacidade 

resistente de pilares de concreto armado reforçados com PRF, inicialmente 

desenvolvido para a aplicação em pilares com seção transversal elíptica. Segundo os 

autores deste método de cálculo, a eficiência deste tipo de reforço depende da 

relação entre os semi-eixos maior (a) e menor (b) da elipse, quanto mais próximo da 

unidade for esta relação, maior será a eficiência do confinamento. Este fato justificase 

pela semelhança existente entre uma seção transversal elíptica com relação a/b 

próxima de 1 (um) e uma circular, onde as pressões laterais de confinamento são 

máximas. 

O comportamento tensão-deformação do pilar reforçado também é afetado 

pela relação a/b. Ensaios realizados por Teng & Lam (2002) revelam o 

comportamento bi-linear de pilares circulares e elípticos com relação a/b igual a 5/4, o 


100 


que já não foi observado para seções transversais elípticas com relação a/b maior, no 

caso da camisa de reforço ser formada por apenas uma camada de polímeros 

reforçado com fibra de carbono (PRFC). Quando o reforço foi feito com duas camadas 

de PRFC, o comportamento bi-linear do diagrama tensão-deformação também se 

estendeu aos pilares de seção transversal elíptica com relação a/b igual a 5/3. 

Aparentemente, para pilares elípticos com alta relação a/b e confinados com pequena 

quantidade de PRFC, a curva tensão-deformação não apresenta o segundo trecho 

linear, sendo este substituído por um trecho descendente, o que indica que o 

confinamento é limitado nestes pilares. Quanto à deformação axial na força de pico, 

os mesmos autores observaram que esta diminui à medida que a relação a/b 

aumenta. 

A distribuição das pressões de confinamento ao longo de seções transversais 

elípticas, ao contrário do que acontece com seções circulares, não é uniforme, 

portanto a eficiência do confinamento é reduzida se comparada com a que ocorre em 

pilares de seção transversal circular. Por este motivo, a pressão de confinamento 

utilizada na previsão da tensão axial máxima deve ser substituída por uma pressão de 

confinamento efetiva, obtendo-se assim a seguinte equação 

f = f + k 

(1) 

´ 

cc 

c0 

´ 

1. f 

l 

onde f´cc é a resistência do concreto confinado, f c0 é a resistência do concreto, K 1 é 

coeficiente de efetividade do confinamento e f´l´ é a pressão efetiva de confinamento, 

calculada por 

f ´ = K . f 

(2) 

l 

s 

l 

onde K s é o fator de forma e f l é a pressão de confinamento em um pilar de seção 

transversal circular equivalente. Para um pilar elíptico encamisado com PRF, o pilar 

de seção transversal circular equivalente é considerado como sendo um pilar com a 

mesma taxa volumétrica de PRF que na seção elíptica. Portanto a pressão de 

confinamento equivalente é calculada por 

f 

l 

ρ 

PRF 

. f 

PRF 

= (3) 

2 

onde f PRF é a resistência à tração do PRF, e ρ PRF é taxa volumétrica de PRF, que para 

a seção transversal elíptica é dada por 

[ 1,5. 

( a + b) 

− a. 

b] 

. 

t 

ρ 

PRF 

= 

(4) 

a. 

b 

sendo a e b os semi eixos maior e menor da elipse, respectivamente, e t é a 

espessura da camisa de reforço de PRF. Para o cálculo do fator de forma K s , Teng & 

Lam (2002) propõem a seguinte equação: 



101 

−2,30 

⎛ a ⎞ 

K s 

= 1,06. ⎜ ⎟ 

(5) 

⎝ b ⎠ 

Com isso, a previsão da máxima tensão axial alcançada por pilares de seção 

transversal elíptica encamisado com PRF pode ser determinada. 

Embora este método de cálculo tenha sido inicialmente desenvolvido para a 

aplicação em pilares de seção transversal elíptica, ele se torna extremamente 

interessante para a análise dos resultados provenientes da simulação experimental 

realizada neste trabalho, uma vez que a pressão de confinamento é função apenas da 

taxa volumétrica e da resistência do PRF, independendo da forma da seção 

transversal do pilar. Sendo assim, torna-se possível a obtenção do coeficiente de 

forma, K s , para todas as configurações de seção transversal aqui apresentadas. 

2.2 Tenacidade e ductilidade 

As propriedades dos materiais utilizados no concreto armado melhoraram 

muito no que diz respeito à resistência, porém a baixa capacidade de deformação e a 

diminuição do alongamento sofrido pelo aço na ruptura acompanham este aumento 

de resistência. A ocorrência simultânea destes dois efeitos resulta na baixa ductilidade 

do concreto armado. 

A ductilidade é um atributo desejável em qualquer tipo de estrutura ou 

elemento estrutural, uma vez que ela representa a sua capacidade de deformação 

plástica antes da ruptura, sendo assim, uma estrutura ou elemento estrutural de 

pouca ou nenhuma ductilidade é qualificado como frágil. Já a tenacidade é uma 

medida da quantidade de energia que é absorvida por um material durante o processo 

de fraturamento. Um parâmetro indicativo da tenacidade é a área total sob a curva 

tensão-deformação do material, obtida em ensaio com deformação controlada, 

abrangendo as fases pré-pico e pós-pico de resistência. 

Segundo o FIP - CEB 242 (1998), a importância da ductilidade dos elementos 

de concreto armado é evidenciada pela possibilidade de: 

• advertência antes do colapso de estruturas estaticamente determinadas e 

indeterminadas, por grandes deflexões; 

• análise elástica - linear com redistribuição de momentos, quando se requer 

uma capacidade de rotação nas áreas plásticas para calcular o suposto grau 

de redistribuição; 

• análise elasto – plástica, quando é baseada na superposição da plasticidade 

indefinida de um elemento; 

• métodos de equilíbrio, válidos somente se a compatibilização dos 

deslocamentos for obtida. Para aplicar estes modelos, a armadura necessária 

deve ser suficientemente dúctil para permitir a mudança da distribuição 

elástica de tensões (particularmente na armadura de combate ao 

cisalhamento); 

• resistência contra deformações impostas, quando requer adaptabilidade 

plástica da estrutura para evitar tensões inaceitáveis, usualmente não 

calculadas; 


102 


• habilidade para resistir a impactos locais imprevistos e forças acidentais 

externas; 

• redistribuição das forças internas em estruturas estaticamente indeterminadas 

sob ataque de fogo, e; 

• energia dissipada em carregamento cíclico. 

Não existem normas específicas para, quantificar a ductilidade dos elementos 

de concreto armado. No entanto, existem alguns métodos que tentam quantificar a 

ductilidade, como por exemplo, o método de Ahmad (1992) e do encurtamento 

percentual. Quanto a tenacidade à compressão, a norma japonesa JSCE SF 5 (1984) 

apresenta uma formulação para o cálculo deste índice. A seguir são descritos cada 

um destes métodos de calculo. 

2.2.1 JSCE SF 5 (1984) 

A avaliação da ductilidade é feita em termos da tenacidade do concreto. Para 

isto, será utilizada a norma JSCE SF5 (1984). Esta norma é aplicável à avaliação da 

tenacidade do concreto submetido à compressão. 

A tenacidade à compressão é expressa pelo índice de tenacidade, calculado 

pela seguinte equação. 

σ 

c 

τ 

Aδ . 

c 

= (6) 

tc 

onde: σ 

c 

é o índice de tenacidade à compressão, τ c é a área sob a curva força x 

deslocamento, obtida através de ensaios com controle de deslocamento e com os 

deslocamentos medidos no meio do vão central, até o limite de deslocamento, δ tc é o 

deslocamento vertical (limite de deslocamento) correspondente a 0,75% de L/2, e; A é 

a área da seção transversal do corpo-de-prova.. 

Se a ruína do elemento ocorrer antes que o deslocamento limite seja atingido, 

o valor de δ tc utilizado no cálculo de σ 

c 

, deve ser igual ao máximo deslocamento 

registrado. 

2.2.2 Método de Ahmad (1992) 

Ahmad (1992), analisa o trecho descendente do diagrama tensão-deformação 

obtido a partir de ensaios de compressão axial para a quantificação da ductilidade do 

concreto. Ahmad caracteriza a ductilidade do concreto pela relação: 

ID 

ε 

0,5 

1= (7) 

ε 

c, 

o 

onde ε 

0, 5 

é a deformação do concreto, no trecho descendente do diagrama tensão x 

deformação, correspondente a 0,5·f co , sendo f co e ε 

c0 

referentes ao pico da curva. 



103 

Pode-se também analisar a ductilidade pelo trecho ascendente, utilizando a 

relação: 

ε 

c 

ID 0 

ε 

2 = (8) 

e 

onde ε 

e 

é a deformação elástica equivalente à tensão máxima obtida com o módulo 

tangente à origem. Em ambas as formulações a ductilidade do concreto reduz-se com 

o aumento da resistência. 

2.2.3 Encurtamento percentual 

Uma vez que a ductilidade é a capacidade de deformação plástica antes da 

ruptura, o estudo da ductilidade de barras de aço pode ser feito baseando-se no seu 

alongamento percentual. Analogamente, podemos analisar o comportamento de 

pilares de concreto submetidos à compressão, pelo seu encurtamento percentual, 

dado por: 

E 

% 

l 

f 

− 

l 

0 

l 

0 

.100 

= (9) 

3 PROGRAMA EXPERIMENTAL 

O programa experimental foi inteiramente voltado para a determinação da 

influência da forma da seção transversal na resistência, ductilidade e tenacidade de 

pilares de concreto encamisados com polímeros reforçados com fibras de carbono. 

Sendo assim, foram feitos 20 ensaios, de compressão axial com controle de 

deslocamento, em modelos com diferentes tipos de seção transversal, sendo 4 

modelos com seção transversal circular, 4 de seção quadrada com os cantos 

arredondados, 4 de seção retangular com os cantos arredondados, 4 de seção 

elíptica e 4 de seção composta por semi-círculos. Para todos os tipos de seção 

transversal, 2 modelos foram ensaiados sem a camisa de reforço e 2 com duas 

camadas de polímero reforçado com fibra de carbono (PRFC). A Figura 5 e a 

Tabela 1 apresentam as propriedades geométricas dos modelos ensaiados. 

Figura 5 - Seção transversal dos modelos. 


104 


O concreto utilizado foi projetado para fornecer 30 MPa aos 14 dias, porém 

houve um atraso no cronograma de ensaios e a resistência do concreto na data de 

ensaio foi de aproximadamente 40 MPa. A dosagem utilizada é apresentada na 

Tabela 2. O tipo de fibra utilizado no PRF foi um tecido unidirecional de fibra de 

carbono (Figura 6) e a resina foi a epóxi. 

Analisando cuidadosamente o modelo de seção transversal composta, 

percebe-se que quando este for submetido à compressão axial, existirá a tendência 

de retificação dos lados maiores. Esta tendência surge em função da distribuição das 

pressões internas no trecho em vermelho da Figura 7. 

Para garantir que o modelo mantenha esta forma, faz-se necessário o uso de 

um dispositivo que impeça que o trecho em questão mude a sua forma. Tal dispositivo 

é composto por duas peças rígidas de aço com seção transversal inicialmente 

quadrada de 5 x 5 cm porém, para que haja um encaixe perfeito entre estas peças e o 

modelo, um dos lados da peça de aço deve apresentar a mesma curvatura do trecho 

em questão. Estas peças são presas ao modelo por meio de tirantes que o 

atravessam. Os tirantes devem ser espaçados ao longo da altura do modelo de 

maneira que o máximo esforço que estes suportem seja maior ou igual à pressão 

interna que irá atuar na sua área de influência. 

Tabela 1 - Propriedades geométricas dos modelos 

Tabela 2 - Dosagem do concreto 

Traço em 

massa 

Traço em 

volume 

Cimento 1,00 1,0 

Areia 2,95 3,51 

Brita 3,50 3,82 

Água 0,70 2,19 



105 

Figura 6 - Tecido de fibra de carbono. 

Figura 7 - Tendência de retificação dos lados da seção transversal composta. 

Devido à complexidade envolvida na determinação da pressão interna que irá 

solicitar os tirantes, estes são dimensionados para resistir a um esforço igual à 

resistência última da camisa. Porém acredita-se que o modelo chegue ao colapso 

antes que a pressão interna seja igual à resistência última da camisa, portanto adotase 

uma cordoalha engraxada de 22,7 mm de diâmetro, com resistência última de 120 

KN, a cada 14,75 cm. Uma pequena força de protensão deve ser igualmente aplicada 

à todas as cordoalhas para garantir que elas empeçam a mudança na forma do 

modelo. O controle da força aplicada nas cordoalhas deve ser feito com células de 

carga instaladas em cada uma delas. Para que as barras laterais não colaborem na 

capacidade portante dos modelos, estas devem ser instaladas de maneira que fiquem 

cerca de 5 mm distantes das extremidades superior e inferior. Dessa maneira, o 

comprimento das barras deve ser de 59 cm. Apresenta-se na Figura 8 um desenho 

esquemático do dispositivo utilizado. 


106 


5 

5 

R7,32 

60 

57 

14,75 14,75 14,75 

7,9 

Vista Transversal dos Perfis de aço 

Perfil de aço 

Cordoalha 

Engraxada 

Célula de carga 

Ancoragem 

Vista Longitudinal do Modelo 

Vista Transversal do Modelo 

Figura 8 - Dispositivo de contenção lateral do modelo de seção composta. 

A instrumentação dos modelos foi feita utilizando um sistema 

computadorizado de aquisição dos dados coletados por transdutores de 

deslocamento e extensômetros elétricos de resistência, além do deslocamento vertical 

do pistão do atuador hidráulico. Foram instalados quatro transdutores de 

deslocamento, sendo um em cada face dos modelos, localizados à meia altura. A 

distribuição dos extensômetros elétricos de resistência e dos transdutores de 

deslocamento é apresentada na Figura 9. 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T T 

T 

Extensômetro elétrico de resistência 

T Transdutor de deslocamento 

Figura 9 - Localização dos extensômetros e transdutores. 

Na Figura 10 são apresentados os modelos prontos para serem ensaiados. 



107 

Figura 10 - Foto dos modelos prontos para serem ensaiados. 

3.1 Resultados dos ensaios 

3.1.1 Ensaios das amostras da camisa de PRFC 

Para a determinação das propriedades mecânicas de interesse, foram 

moldadas amostras da camisa de reforço segundo as especificações da ASTM D 

3039/ D 3039 M. As amostras possuem 2 camadas de tecido unidirecional de fibra de 

carbono e têm comprimento nominal de 24,5 cm e largura nominal de 1,5 cm. A 

orientação das fibras é de 0º em relação a direção de aplicação da carga. A 

moldagem das amostras foi realizada com o auxilio de chapas de aço para garantir 

que os corpos-de-prova fossem perfeitamente planos e sem bolhas de ar entre as 

camadas. Nas extremidades das amostras, por onde estas foram presas pela 

máquina de ensaio, foram adicionadas quatro camadas a mais, resultando em seis 

camadas de PRFC nestes locais. 

A norma que rege a realização dos ensaios determina que o ensaio de tração 

direta deve ser feito com controle de deslocamento. A taxa de deslocamento deve ser 

escolhida de maneira que a ruptura do corpo-de-prova ocorra no intervalo de um a 

dez minutos após o início do ensaio. Esta mesma norma sugere que seja adotada a 

taxa de 2 mm/min, sendo este um valor padrão. O equipamento utilizado nestes 

ensaios foi um atuador hidráulico com capacidade de aplicação de 160 KN, disponível 

no Laboratório de Madeiras e Estruturas de Madeira do Departamento de Engenharia 

de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos. 

Apresenta-se na Tabela 3 um resumo das propriedades, de interesse, das 

amostras da camisa de reforço. Na Figura 11 são apresentados os diagramas tensão 

x deformação das amostras ensaiadas. O diagrama referente ao corpo-de-prova CP 1 

apresenta um comportamento inesperado quanto às deformações longitudinal e 

transversal. Analisando o corpo-de-prova após o ensaio, percebe-se claramente que 


108 


uma fissura passa exatamente por cima do extensômetro, o que possivelmente 

causou esta anomalia na leitura das deformações, quanto a sua resistência última, 

esta condiz com os valores obtidos nas outras amostras, por isso no cálculo dos 

valores médios (Tabela 3) apenas as deformações últimas são desconsideradas. 

Tabela 3 - Resistências e deformações das amostras da camisa de reforço 

Corpo-deprova 

Força Tensão Módulo de Deformação (%) 

kN MPa Elasticidade (MPa) Longitudinal Transversal 

CP 1 10,70 681,6 31531 1,51 0,66 

CP 2 11,94 805,9 29276 2,66 0,95 

CP 3 11,56 768,1 33847 2,21 0,88 

Média 11,40 751,9 31551 2,43 0,92 

3.1.2 Ensaios dos modelos 

Os ensaios realizados nos modelos foram ensaios de compressão axial com 

controle de deslocamento. Esta etapa sofreu um atraso em função de problemas 

técnicos, e por isso os ensaios só puderam ser realizados com cerca de cinco meses 

de atraso. Como conseqüência, os modelos, que eram para serem ensaiados com 14 

dias, apresentaram resistência acima do esperado em função da maior hidratação do 

cimento. 

CP1-0º 

CP2-0º 

700 

800 

Tensão (MPa) 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

Deformação longitudinal 

0 

Deformação transversal 

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 

Deformação (%) 

Tensão (MPa) 

600 

400 

200 

CP3-0º 



0 

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 


800 

600 

Tensão (MPa) 

400 

200 



0 

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 


Figura 11 - Diagramas de tensão x deformação das amostras da camisa de reforço. 



109 

Em função da capacidade da betoneira utilizada, a concretagem dos modelos 

não se deu em uma única etapa. Para cada tipo de seção transversal foram moldados 

quatro modelos, dos quais dois foram posteriormente encamisados com duas 

camadas de PRFC, e seis corpos-de-prova cilíndricos, 10 cm x 20 cm, para a 

determinação da resistência à compressão, resistência à tração e do módulo de 

elasticidade do concreto utilizado. 

Para facilitar a identificação dos modelos, foi adotada a seguinte 

nomenclatura: Ci, Q, R, E e Co para os modelos de seção transversal circular, 

quadrada, retangular, elíptica e composta, respectivamente, seguidos do número Xn, 

onde X é o número de camadas de PRFC e n é o número do modelo. 

A seguir são apresentados os resultados dos ensaios de cada uma das séries 

dos modelos 

3.1.2.1 Modelos de seção transversal circular 

As propriedades mecânicas e idade do concreto utilizado nestes modelos são 

apresentadas na Tabela 4. 

Tabela 4 - Propriedades mecânicas do concreto 

Idade Resistência (Mpa) Módulo de 

dias Compressão (10 x 20 cm) Tração Elasticidade (Mpa) 

127 44,7 3,7 27414 

A Figura 12 apresenta os diagramas Tensão x Deformação axial dos modelos 

desta série sobrepostos. A velocidade de carregamento foi de 0,005 mm/seg e a 

aquisição de dados foi a cada 0,3 seg. Observa-se um comportamento não esperado 

dos modelos Ci 02 e Ci 21. No primeiro caso, a anomalia no comportamento do 

modelo deve-se a irregularidade das extremidades do modelo, o que causou uma 

concentração de tensões numa determinada seção do modelo. O fato que permite tal 

conclusão é o tipo de ruptura que este modelo apresentou, característica da 

concentração de carregamento em algum ponto. A Figura 13 apresenta uma 

comparação entre fotos de rupturas características de ensaios de compressão axial e 

a que ocorreu com este modelo. 


110 


Série Ci X n 

-70 

-60 

-50 

Tensão (MPa) 

-40 

-30 

-20 

Modelo Ci 01 

Modelo Ci 02 

-10 

Modelo Ci 21 

Modelo Ci 22 

0 

0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 


Figura 12 - Diagrama Tensão x deformação axial da Série Ci Xn. 

Figura 13 - Ruptura característica e ocorrida com o modelo Ci 02. 

Já a curva do modelo Ci 21 apresenta um aparente ganho na rigidez do 

modelo instantes antes da ruptura. Na verdade este não é um ganho na rigidez e sim 

um reflexo da ruptura do modelo. Neste ensaio, a carga de ruptura foi de 

aproximadamente 2000 kN e como a ruptura da camisa de reforço é extremamente 

frágil, toda a energia envolvida no sistema modelo-atuador hidráulico, foi liberada de 

uma só vez. Isto fez com que a célula de carga do equipamento de ensaio fosse 

descalibrada. Como conseqüência, surgiu este aparente ganho de rigidez do modelo, 

mas que na verdade deve ser desprezado, sendo a carga de ruptura do modelo o 

maior valor antes deste trecho do diagrama. Em função da grande quantidade de 

energia acumulada, a ruptura deste modelo foi extremamente violenta e causou danos 

aos transdutores de deslocamento, rompeu cabos do sistema de aquisição de dados 

e os estilhaços do modelo poderiam ter causado ferimentos às pessoas próximas ao 

local de ensaio. Para evitar que isto se repetisse no ensaio do modelo Ci 22, este foi 



111 

interrompido quando a carga era de 1750 kN. A Figura 14 apresenta fotos do ensaio 

Ci 21. 

(a) (b) (c) (d) 

Figura 14 -Fotos do ensaio do modelo Ci 21 (a - início do ensaio; b - maiores partes do modelo 

após a ruptura; c - detalhe da camisa de reforço rompida; d - o que sobrou do modelo após a 

ruptura. 

Com as leituras dos extensômetros e com os dados relativos ao deslocamento 

do atuador hidráulico, plota-se o gráfico de deformação lateral x deformação axial 

(Figura 15). 

São apresentadas na Tabela 5 a carga, deformações axial e lateral máximas 

de cada um dos modelos de seção transversal circular. 

Tabela 5 - Carregamento máximo e deformações neste ponto (Série Ci Xn) 

Modelo 

Força Tensão Deformação (%) 

kN MPa Axial Lateral 

Ci 01 1067,70 34,0 0,13 0,02 

Ci 02 572,96 18,2 0,08 0,02 

Ci 21 196,60 62,4 1,37 0,97 

Ci 22 1751,60 55,7 0,80 0,60 


112 


Série Ci X n 

1,2 

1,0 

Deformação Lateral (%) 

0,8 

0,6 

0,4 

Modelo Ci 01 

0,2 

Modelo Ci 02 

Modelo Ci 21 

Modelo Ci 22 

0,0 

0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 

Deformação Axial (%) 

Figura 15 - Deformação lateral x deformação axial da série Ci X n. 

3.1.2.2 Modelo de seção transversal quadrada 

Os modelos de seção transversal quadrada foram moldados com o mesmo 

concreto e ao mesmo tempo que os de seção transversal circular, por isso as 

propriedades mecânicas e idade do concreto utilizado nestes modelos são as 

mesmas apresentadas anteriormente (Tabela 4). 

Numa tentativa de minimizar as conseqüências da ruptura frágil, a velocidade 

de carregamento foi alterada para 0,003 mm/seg e a taxa de aquisição de dados foi 

mantida em 0,3 seg. Para evitar danos aos transdutores de deslocamento, estes 

foram retirados do modelo quando a força aplicada era de 1000 kN. 

Na Figura 16 são apresentados os diagramas Tensão x Deformação axial dos 

modelos de seção transversal quadrada com os cantos arredondados. Observa-se 

claramente que os ganhos de resistência nos modelos reforçados não foram muito 

significativos, porém houve um aumento considerável na ductilidade. Provavelmente o 

reduzido ganho de resistência tenha sido um reflexo da dificuldade do 

desenvolvimento de pressões de confinamento suficientemente grandes para produzir 

um ganho de resistência considerável. Esta dificuldade está diretamente relacionada 

com a relação entre o raio de arredondamento e o lado da seção transversal, r/b d , 

aqui adotada com sendo 0,19. Quanto maior for esta relação, mais o modelo se 

aproxima da seção transversal circular, para a qual a pressão de confinamento é 

máxima. Sendo assim, para que o ganho de resistência seja maior, utilizando o 

mesmo número de camadas de PRFC, o raio de arredondamento dos cantos deve 

aumentar. 

Outro fato interessante no comportamento dos modelos reforçados é que 

após a resistência do concreto ser atingida, a resistência do modelo praticamente 

permanece inalterada durante algum tempo e depois começa a aumentar novamente. 

Isto provavelmente acontece porque neste intervalo a seção transversal do modelo 

está passando por uma mudança na sua forma, se aproximando da circular. Para 

caracterizar esta mudança na forma da seção transversal, Figura 17 apresenta o 



113 

gráfico de deformação lateral x deformação axial. Fica claro que a deformação lateral 

no meio da face do modelo é maior que nos outros pontos, o que evidencia a 

tendência de mudança da forma da seção transversal. 

Série Q X n 

-40 

Tensão (MPa) 

-30 

-20 

Modelo Q 01 

-10 

Modelo Q 02 

Modelo Q 21 

Modelo Q 22 

0 

0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 


Figura 16 - Diagramas Tensão x Deformação axial da série Q Xn. 

Um resumo da resistência e deformações máximas dos modelos de seção 

transversal quadrada com os cantos arredondados é apresentado na 

Tabela 6. 

Tabela 6 - Carregamento máximo e deformações neste ponto (Série Q Xn) 

Modelo 

Força Tensão Deformação Deformação Lateral (%) 

KN MPa Axial (%) Extremidade da face Meio da face Canto 

Q 01 1193,90 37,9 0,130 0,073 0,036 0,098 

Q 02 1146,60 36,4 0,120 0,067 0,049 0,280 

Q 21 1326,50 42,1 0,038 0,963 0,702 0,603 

Q 22 1304,00 41,4 0,856 0,702 0,779 0,687 


114 


0,7 

Modelo Q 22 

Deformação lateral x Deformação axial 

0,6 


0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

Extremidade da face 

Meio da face 

Canto arredondado 

0,0 

0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 


Figura 17 - Deformação Lateral x Deformação axial do modelo Q 22. 

3.1.2.3 Modelos de seção transversal retangular 

As propriedades mecânicas e idade do concreto utilizado nestes modelos são 

apresentadas na Tabela 7. A exemplo do que aconteceu na série Q Xn, os ensaios 

dos modelos foram feitos com controle de deslocamento fixo em 0,003 mm/seg, a 

aquisição de dados foi feita a cada 0,3 seg e os transdutores de deslocamento foram 

retirados quando a força aplicada chegou a aproximadamente 1000 kN pelo mesmo 

processo descrito anteriormente. 

Tabela 7 - Características mecânicas e idade do concreto utilizado na série R Xn 

Idade Resistência (MPa) Módulo de 

Dias Compressão (10 x 20 cm) Tração Elasticidade (MPa) 

119 39,9 3,44 25495 

Durante o ensaio do modelo R 02 houve um problema com a aquisição de 

dados. Em função deste problema todas as leituras de carga, deformações e 

deslocamentos foram perdidos. O único dado deste ensaio que foi possível recuperar 

foi a carga de ruptura do modelo, que foi de 823,5 kN. Na Figura 18 são apresentados 

os diagramas tensão x deformação axial dos outros modelos desta série. 

Analisando a Figura 18 observa-se que a curva correspondente ao modelo R 

21 apresenta uma anomalia próximo a carga de pico. Esta anomalia aconteceu em 

virtude de uma mudança na velocidade de carregamento durante o ensaio. Até que o 

sistema operacional do equipamento de ensaio calibrasse a taxa de aplicação de 

carga, houve uma diminuição na carga que já estava aplicada conseqüentemente o 

diagrama tensão x deformação axial reproduz esta queda no carregamento. Quanto 

ao acréscimo de resistência ocorrido nos modelos, a exemplo do que aconteceu com 

a série Q Xn, não foi considerável. A explicação para este fato está na baixa relação 

r/b d . Nos modelos da série Q Xn esta relação foi de 0,19, já nos modelo de seção 

transversal retangular esta relação é de 0,12, portanto este baixo ganho de resistência 

já era esperado. Os diagramas tensão x deformação axial dos modelos reforçados da 

série Q Xn dão um indicativo da tendência de mudança da forma da seção 

transversal, o que já não ocorre nesta série. Para tentar observar esta tendência é 



115 

preciso analisar o diagrama deformação lateral x deformação axial de um modelo 

reforçado desta série (Figura 19). Enquanto nos modelos de seção transversal 

quadrada a tendência era a transformação numa seção circular, neste a tendência é a 

transformação numa seção elíptica. Isto fica explicito porque as deformações da maior 

face é maior do que as da face menor e ambas são maiores que a deformação do 

canto arredondado. 

-40 

Série R X n 

-35 

-30 

Tensão (MPa) 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

Modelo R 01 

Modelo R 21 

Modelo R 22 

0 

0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 


Figura 18 - Diagramas Tensão x Deformação axial dos modelos da série R Xn. 

Série R21 

Deformação lateral x Deformação axial 


0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

Extremidade da face maior 

Extremidade da face menor 

Meio da face maior 

Meio da face menor 

Canto arredondado 

0,00 

0,00 -0,05 -0,10 -0,15 -0,20 -0,25 -0,30 -0,35 -0,40 -0,45 


Figura 19 - Deformação lateral x deformação axial do modelo R 21. 


116 


Tabela 8 - Carregamento máximo e deformações neste ponto (Série R Xn) 

Deformação Deformação Lateral (%) 

Força Tensão 

Axial Extremidade face Meio da Face 

Modelo 

kN MPa % Maior Menor Maior Menor Canto 

R 01 1052,10 33,7 0,129 0,055 0,049 0,079 0,009 0,078 

R 02 832,50 26,7 - - - - - - 

R 21 1107,60 35,5 0,196 0,099 0,089 0,072 0,074 0,082 

R 22 1146,70 36,7 0,271 0,188 0,145 0,259 0,164 0,140 

3.1.2.4 Modelos de seção transversal elíptica 

Os modelos de seção transversal elíptica foram moldados com o mesmo 

concreto e ao mesmo tempo que os de seção transversal retangular, por isso as 

propriedades mecânicas e idade do concreto utilizado nestes modelos são as 

mesmas apresentadas anteriormente (Tabela 7). 

Os ensaios desta série também foram feitos com controle de deslocamento 

fixo em 0,003 mm/seg, a aquisição de dados se deu a cada 0,3 seg e os transdutores 

de deslocamento foram retirados quando a força aplicada no modelo era de 

aproximadamente 1000 kN. A Figura 20 apresenta os diagramas tensão x deformação 

axial dos modelos de seção transversal elíptica. Fica claro que o ganho de resistência 

ocorrido nos modelos reforçados é considerável. É interessante observar que o 

comportamento dos modelos reforçados após a resistência do concreto ser atingida 

se aproxima de uma reta, que é uma característica do comportamento de modelos 

reforçados de seção transversal circular, onde a distribuição de pressões internas é 

uniforme. Este é um forte indício de que a distribuição das pressões de confinamento 

em pilares de seção transversal elíptica, com relação entre o semi-eixo maior e menor 

igual a 5/3, é bem próxima da uniforme. Porém, se analisarmos a Figura 21, fica claro 

que a distribuição de pressões de confinamento não é próxima da constante, uma vez 

que a deformação lateral da camisa, provocada pela pressão interna, no meio da 

maior face é maior que nos outros pontos instrumentados. 

-50 

Série E X n 

-40 

Tensão (MPa) 

-30 

-20 

-10 

Modelo E 01 

Modelo E 02 

Modelo E 21 

Modelo E 22 

0 

0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 


Figura 20 - Diagrama Tensão x Deformação axial dos modelos da série E Xn. 



117 

0,9 

Modelo E 21 

Deformação axial x Deformação lateral 


0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

Meio da face menor 

Meio da face maior 

Intermediário 

0,0 

0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 


Figura 21 - Diagrama de deformação lateral x deformação axial do modelo E 21. 

A Tabela 9 apresenta as forças máximas atingidas em cada modelo desta série 

e as deformações correspondentes a estas forças. 

Tabela 9 - Força máxima e deformações correspondentes para a série E Xn 


Modelo 

kN MPa Axial (%) Face menor Face maior Intermediário 

E 01 1070,00 34,3 0,140 0,058 0,025 0,038 

E 02 1066,20 34,2 0,100 0,061 0,042 0,028 

E 21 1507,90 48,3 0,851 0,638 0,964 0,638 

E 22 1505,80 48,3 0,837 0,696 0,515 0,723 

3.1.2.5 Modelos de seção transversal composta 

Em função do alto custo de produção das fôrmas metálicas utilizadas nestes 

modelos, foram feitas apenas duas, e por isso a moldagem dos quatro modelos desta 

série teve que ser feita em duas etapas. Em cada uma destas etapas foram moldados 

dois modelos, sendo que um deles foi posteriormente reforçado, e nove corpos-deprova 

10 x 20 cm para a determinação das propriedades mecânicas do concreto 

utilizado (Tabela 10). 

Tabela 10 - Idade e propriedades mecânicas dos concretos utilizados (série Co Xn) 

Idade Resistência (MPa) Módulo de 

Modelo 

dias Compressão (10 x 20 cm) Tração Elasticidade (MPa) 

Co X1 113 34,3 3,06 26065 

Co X2 112 42,7 2,73 25785 

Os ensaios dos modelos também foram feitos com controle de deslocamento 

fixo em 0,003 mm/seg, com aquisição de dados a cada 0,3 seg e com retirada dos 


118 


transdutores de deslocamento quando a força aplicada era de aproximadamente 1000 

kN. A única diferença deste para os outros ensaios é que antes do início do ensaio, as 

cordoalhas que atravessam o modelo tiveram que ser protendidas. O intuito desta 

protensão é apenas fazer com que as barras laterais ficassem perfeitamente 

encostadas no modelo para que este mantivesse a mesma forma durante o ensaio e 

por isso, a força aplicada nas cordoalhas não precisa ser grande. Sendo assim, a 

protensão foi feita manualmente, alcançando uma força de aproximadamente 0,4 kN. 

Depois que protensão foi aplicada verificou-se que as barras laterais não ficaram 

perfeitamente encostadas no modelo (Figura 22) em função de imperfeições que 

estes apresentavam, e mesmo que fossem aplicadas grandes forças de protensão, 

dificilmente isso seria conseguido, portanto o ensaio foi feito desta maneira mesmo. 

Cada uma das cordoalhas possuía uma célula de carga para medir as forças que 

estavam sendo nelas aplicadas durante o ensaio. Tais forças foram em torno de 20 

kN. 

Figura 22 - Detalhe da interface entre a barra lateral e o modelo. 

A Figura 23 apresenta os diagramas tensão x deformação dos modelos de 

seção transversal composta. Analisando estes diagramas constata-se que houve um 

ganho considerável de resistência nos modelos reforçados, e, além disso, é 

interessante observar que o comportamento dos modelos reforçados se aproxima 

muito do comportamento de pilares de seção transversal circular, ou seja, um 

comportamento bi-linear. Este é um ótimo indicativo de que a distribuição das 

pressões de confinamento deve ser aproximadamente constante. Para idealizar a 

distribuição de pressões de confinamento, devemos analisar o diagrama deformação 

lateral x deformação axial de um modelo reforçado (Figura 24). 

Fica claro na Figura 24 que a deformação da camisa nos trechos onde a 

seção transversal é formada pelos maiores trechos de círculos é praticamente igual. 

Isso significa que a distribuição das pressões internas nestes trechos é constante. A 

deformação dos trechos côncavos da seção transversal, indicada pela deformação 

das cordoalhas, é praticamente nula, isso porque a rigidez introduzida pelas barras 

laterais ligadas pelas cordoalhas inibe a deformação deste trecho. Já os pontos 

localizados na inflexão da seção transversal têm um comportamento igual ao dos 

outros pontos até um determinado instante, provavelmente até que o espaço existente 

entre o modelo e a barra de contenção lateral seja eliminado. Neste instante, a 

deformação deste ponto passa a ser contrária à que era antes, ou seja, este ponto 



119 

deixa de estar tracionado e passa a ser comprimido por algum tempo e logo depois, 

volta a ser tracionado. Esta compressão surge em função da expansão lateral do 

restante da seção transversal, e como as barras laterais impedem que esta expansão 

ocorra nestes pontos, surge ai uma flexão da camisa de PRFC que provoca a sua 

compressão. Após a resistência do concreto ter sido atingida, ocorre uma 

reacomodação interna, o que leva a uma mudança quase imperceptível na forma da 

seção transversal do modelo, mas suficiente para que camisa de reforço encontre 

uma configuração de “equilíbrio”, o que faz este ponto voltar a ser tracionado. 

Tensão (MPa) 

-45 

-40 

-35 

-30 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

Série Co X n 

Modelo Co 01 

Modelo Co 21 

Modelo Co 02 

Modelo Co 22 

0 

0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 


Figura 23 - Diagramas tensão x deformação axial (série Co Xn). 

Modelo Co 21 

Deformação axial x Deformação lateral 


0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

-0,1 

Extremidade 

Próximo à inflexão 

Intermediário 

Cordoalha 

0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 


Figura 24 - Diagrama de deformação lateral x deformação axial do modelo Co 21. 

Na Tabela 11 são apresentadas as cargas máximas e as deformações axial e 

lateral em cada uma das posições instrumentadas correspondentes a estas forças. 


120 


Tabela 11 - Força máxima e deformações correspondentes da série Co Xn 


Modelo 

kN MPa Axial (%) Extremidade Próx. Curva Intermediário Cordoalha 

Co 01 1052,30 33,1 0,140 0,035 0,423 0,091 0,004 

Co 02 949,44 29,8 0,138 0,087 0,221 0,080 0,004 

Co 21 1396,50 43,9 0,722 0,555 0,189 0,484 0,036 

Co 22 1326,00 41,7 0,899 0,771 0,393 0,495 0,055 

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 


A norma japonesa determina que a ductilidade seja avaliada por meio do 

índice de tenacidade à compressão. Para o cálculo deste índice a norma determina 

que seja utilizada a equação 6. O valor de deslocamento limite, δ tc , para estes 

modelos é de 2,25 mm, calculado conforme as indicações da norma. Todos os 

modelos encamisados tiveram deslocamentos últimos maiores do que 2,25 mm, 

sendo assim o cálculo da área sob a curva força x deslocamento, τ c , foi feito até o 

deslocamento limite. O mesmo aconteceu para o modelo Q 02, sendo que nos outros 

modelos sem a camisa de reforço o deslocamento último foi inferior ao deslocamento 

limite. Vale salientar que houve problemas com a aquisição dos dados relativos ao 

ensaio dos modelos Ci 02 e R 02, por isso não foi possível calcular o índice de 

tenacidade à compressão relativo a estes modelos. 

Analisando a equação proposta pela norma japonesa percebe-se que o índice 

de tenacidade à compressão é calculado apenas até o limite de deslocamento, 

desprezando o comportamento do pilar após este limite. Para considerar todo o 

comportamento do pilar até a ruptura, propõe-se a adoção do limite de deslocamento 

como sendo o deslocamento para o qual ocorreu a ruptura do material, 

independentemente do seu valor. Sendo assim, o índice de tenacidade à compressão 

calculado desta maneira, passa a ser identificado por σ 

c 

, e não mais por 

Com o modelo de Ahmad (1992), foi analisada a ductilidade apenas pelo 

trecho ascendente do diagrama tensão x deformação (ID 2 ), uma vez que não são 

todos os modelos que possuem o trecho descendente até o limite estabelecido pelo 

autor. Vale salientar que o valor de ε 

e 

é obtido considerando o material como sendo 

elastoplástico perfeito, e ε 

c0 

é a deformação para a carga de pico, ou seja, esta 

formulação também não considera o comportamento do pilar até a ruptura. Já o 

conceito do encurtamento percentual (∆l/l) considera o comportamento do pilar até a 

sua ruptura. 

A Tabela 12 apresenta os valores dos índices de tenacidade e ductilidade 

calculados segundo os métodos descritos anteriormente. 

Fica claro nesta tabela, que, independentemente do critério de cálculo 

utilizado, o índice de tenacidade ou o de ductilidade aumenta para os pilares 

encamisados. Sendo assim, teoricamente, os modelos que possuem maior ductilidade 

são os modelos encamisados. Porém não se pode deixar que estes valores induzam 

a afirmar que pilares encamisados com PRFC apresentam ruptura lenta e gradual, 

muito pelo contrário, apresentam uma ruptura extremamente frágil. Esta 

σ 

c 



121 

incompatibilidade entre o valor do índice de tenacidade à compressão e o tipo de 

ruptura do modelo é evidente em todos os modelos reforçados, ou seja, quanto maior 

for este valor, mais frágil é a ruptura do modelo. Isto acontece porque no cálculo do 

índice de tenacidade à compressão é considerada a área sob o gráfico força x 

deslocamento, até o limite de deslocamento. Nos modelos não encamisados 

ensaiados, quando o deslocamento limite é atingido, a curva força x deslocamento é 

descendente. Já nos modelos encamisados a curva é ascendente, assim a área sob o 

gráfico é maior que no caso anterior. Já no caso dos índices de ductilidade, a camisa 

de reforço possibilita maiores deslocamentos axiais, e conseqüentemente maiores 

deformações. Sendo assim, o encurtamento percentual e também o ID 2 devem ser 

maiores nestes modelos já que a deformação ε 

e 

é praticamente igual a dos modelos 

sem reforço. 

Tabela 12 - Índices de tenacidade e ductilidade 

Índice de Tenacidade 

Índice de Ductilidade 

Modelo 

σ c σ c méd σ c σ c méd ∆l/l ∆l/l méd ΙD 2 ID 2 méd 

MPa MPa MPa MPa % % - - 

Ci 01 22,79 

22,79 

24,48 

24,48 

0,13 

0,13 

1,95 

Ci 02 - 

- 

- 

- 

1,95 

Ci 21 35,33 47,57 1,18 8,54 

36,47 

46,16 

0,99 

Ci 22 37,61 

44,74 

0,80 

9,39 

8,96 

Q 01 27,39 

20,46 

34,53 

30,96 

0,13 

0,16 

1,55 

Q02 13,52 

27,39 

0,19 

1,40 

1,47 

Q 21 34,18 38,21 1,04 12,09 

34,53 

38,14 

0,95 

Q 22 34,87 

38,07 

0,86 

10,67 

11,38 

R 01 26,62 

26,62 

26,57 

26,57 

0,21 

0,21 

1,82 

R 02 - 

- 

- 

- 

1,82 

R 21 31,43 31,50 0,40 2,96 

31,37 

31,05 

0,64 

R 22 31,31 

30,61 

0,88 

3,56 

3,26 

E 01 25,18 

25,12 

25,21 

25,17 

0,16 

0,14 

1,95 

E 02 25,07 

25,13 

0,13 

1,59 

1,77 

E 21 36,11 42,65 0,96 9,57 

35,77 

42,40 

0,95 

E 22 35,43 

42,15 

0,93 

8,16 

8,86 

Co 01 25,32 

25,68 

25,30 

25,67 

0,35 

0,32 

1,99 

Co 02 26,04 

26,04 

0,29 

2,22 

2,10 

Co 21 33,12 33,87 1,69 7,07 

31,34 

33,04 

1,64 

Co 22 29,56 

32,21 

1,59 

10,36 

8,72 


A avaliação do coeficiente de forma da seção transversal é feita por meio da 

utilização dos dados experimentais e do método de cálculo proposto por Teng & Lam 

(2002). 

O primeiro passo para a aplicação deste modelo de cálculo é a determinação 

do coeficiente K 1 da equação 1. Os autores desta formulação sugerem que seja 

adotado o valor de 3,71. Porém, com os dados dos ensaios dos pilares de seção 


122 


transversal circular, é possível a determinação deste coeficiente para as condições 

específicas desta simulação experimental, uma vez que para tais pilares a pressão 

lateral é uniforme e facilmente determinada pela própria equação proposta por Teng & 

Lam (2002). Procedendo-se desta maneira, o coeficiente K 1 determinado com dados 

experimentais é de 3,53, cerca de 5 % inferior ao proposto pelos autores deste 

modelo de cálculo. 

Tendo-se o valor do coeficiente K 1 , passa-se a determinação do coeficiente de 

forma, K s , dos modelos de seção transversal diferente da circular. Vale ressaltar que 

K s =1 para o caso de pilares de seção transversal circular, isso porque a distribuição 

das pressões internas é constante. Sendo assim, quanto mais próximo da unidade for 

este coeficiente, mais próxima da uniforme será a distribuição da pressão interna ao 

longo de toda a seção transversal do pilar. 

Para o cálculo do coeficiente K s , procedeu-se da seguinte maneira. 

Inicialmente calcula-se a taxa volumétrica de PRF existente no pilar original; com este 

valor, determina-se a pressão de confinamento do pilar de seção transversal 

equivalente (equação 3); o valor da pressão efetiva de confinamento, f l´ da equação 2, 

fica expresso em função do coeficiente de forma K s ; com os valores experimentais da 

resistência do pilar confinado, resistência do concreto e coeficiente K 1 , determina-se o 

valor do coeficiente K s . A Tabela 13 apresenta os valores utilizados nos cálculos e o 

valor do coeficiente de forma. 

Tabela 13 - Determinação do coeficiente K s 

Seção 

transversal 

f cc 

(MPa) 

f co 

(MPa) 

ρ PRF 

(-) 

f l 

(MPa) 

K s 

(-) 

Circular 62,41 33,97 0,021 7,97 1,000 

Quadrada 41,75 37,15 0,022 8,51 0,153 

Retangular 36,11 33,70 0,024 9,10 0,075 

Elíptica 48,29 34,23 0,022 8,39 0,470 

Composta 42,79 31,46 0,023 8,66 0,370 

Como já era de se esperar, o modelo que apresentou a pior distribuição de 

pressão de confinamento é o de seção retangular, e o que apresenta a melhor 

distribuição, depois do circular, é o de seção transversal elíptica. 

Se analisarmos cuidadosamente a expressão que determina a pressão de 

confinamento do pilar de seção transversal circular equivalente, percebe-se que o 

valor da resistência da camisa de PRFC é o valor obtido em ensaios de tração direta. 

Porém, o comportamento do PRFC em ensaios de tração direta é diferente daquele 

em serviço na camisa de reforço, e as causas desta diferença, para o caso de pilares 

de seção transversal circular, já foram detalhadas por Lam & Teng (2003) e Pessiki et 

al. (2001). Para evidenciar esta diferença, constrói-se a Tabela 14 onde são 

mostrados os valores da deformação da camisa na direção das fibras do PRFC para o 

maior valor da carga aplicada nos modelos, com exceção do caso do modelo de 

seção retangular, e da amostra ensaiada à tração direta. No caso do modelo de seção 

transversal retangular, a deformação que está sendo apresentada é a deformação 

última, uma vez que o máximo carregamento foi obtido antes da ruptura da camisa. 

Para os modelos de seção transversal circular e elíptica, as explicações para 

esta diferença são as mesmas apontadas por Lam & Teng (2003), ou seja, (a) a 



123 

deformação localizada nas fissuras do concreto provoca elevados esforços de tração 

neste ponto, (b) o efeito da curvatura do PRFC na resistência à tração do material, (c) 

e também o fato de o mecanismo de solicitação da camisa ser na realidade bi-axial, 

uma vez que a aderência entre esta e o modelo faz a transferência de esforços ao 

longo do comprimento. Já nos modelos de seção transversal, quadrada, retangular e 

composta, além dos motivos citados anteriormente, ocorre o efeito da flexão da 

camisa. Embora esta flexão também ocorra nos modelos de seção transversal circular 

e elíptica, ela é praticamente desprezível se comparada com a que ocorre nestes 

outros modelos. A Figura 25 apresenta os principais pontos onde o efeito da flexão da 

camisa de PRFC é mais pronunciado. 

Tabela 14 - Deformações da camisa em serviço e em ensaios de tração direta 

Seção 

transversal 

Deformação da 

camisa (%) 

Deformação das 

amostras (%) 

Circular 0,970 

Quadrada 0,871 

Retangular 0,842 

2,43 

Elíptica 0,844 

Composta 0,663 

Posição da "deformada", onde ocorre a flexão 

Figura 25 - Principais pontos onde ocorre flexão da camisa de reforço. 

Uma vez que a deformação da camisa é diferente da deformação última no 

ensaio de tração direta, a resistência da camisa de reforço também será. Portanto o 

valor da resistência da camisa na equação que calcula a pressão de confinamento 

para o pilar de seção transversal circular equivalente deve ser minorado por um 

coeficiente de deformação K ε que leve em consideração esta diferença. Como na 

formulação proposta por Teng & Lam (2002) este coeficiente de minoração não é 

utilizado, o coeficiente de forma, K s , não reflete apenas a distribuição de pressões de 

confinamento na camisa de reforço, mas também a diferença entre a resistência do 

PRF na camisa de reforço e no ensaio de tração direta. 

Para a determinação do coeficiente de deformação, K ε , divide-se a 

deformação da camisa de reforço ocorrida quando a máxima carga é atingida, pela 

deformação de ruptura obtida no ensaio de tração direta. Com este valor, minora-se a 

resistência da camisa, obtida em ensaio de tração direta, e calcula-se um novo valor 

para a pressão de confinamento que atua no modelo de seção transversal circular. 

Com os dados dos ensaios deste modelo, com o novo valor da pressão de 

confinamento e com a equação 1, calcula-se um novo valor para o coeficiente K 1 , 

obtendo-se assim K 1 = 9,03, 143 % maior do que o proposto por Teng & Lam (2002). 


124 


A Tabela 15 apresenta os valores do coeficiente K ε e os novos valores da pressão de 

confinamento, fl, e do coeficiente de forma efetivo K s´. 

Tabela 15 - Valores de K ε , f l e K s´ 

Seção 

transversal 

K ε 

( - ) 

f l 

(MPa) 

K s´ 

( - ) 

K s´/ K s 

( - ) 

Circular 0,399 3,15 1,000 1,000 

Quadrada 0,358 3,046 0,167 1,09 

Retangular 0,347 3,160 0,085 1,13 

Elíptica 0,347 2,911 0,535 1,14 

Composta 0,273 2,364 0,531 1,44 

Analisando os valores de K s´, percebe-se que continuam sendo coerentes, 

porém, conclui-se que a influência da forma da seção transversal é um pouco menor 

do que a retratada pelo modelo de Teng & Lam (2002), uma vez que no fator de forma 

está embutido o coeficiente de deformação K ε . Sendo assim, a distribuição da pressão 

de confinamento em seções transversais diferentes da circular é um pouco menos 

distante da distribuição uniforme, característica de pilares encamisados de seção 

transversal circular. 

É interessante notar na Tabela 15 que, com exceção da seção composta, 

todos os valores de K ε são relativamente próximos, o que sugere que a influência da 

forma da seção transversal do pilar no desempenho da camisa de reforço não é muito 

significativo, no máximo 15 % de diferença quando comparamos a seção circular com 

a retangular ou elíptica. Já no caso da seção composta, a existência das barras 

laterais de contenção faz com que a camisa não sofra expansão lateral nestes pontos, 

o que causa uma grande concentração de tensão na camisa, fazendo com que ela 

rompa prematuramente. 

5 CONCLUSÕES 


Após a realização dos ensaios e análise dos resultados, ficou claro que tanto 

a ductilidade quanto a tenacidade dos modelos reforçados aumentou com a adoção 

de seções transversais com formas mais adequadas à potencialização do efeito de 

confinamento. Porém, não houve concordância entre os valores dos índices 

calculados. A única coisa que se pode afirmar é que o comportamento dos modelos 

encamisados foi tenaz, uma vez que foram capazes de absorver grande quantidade 

de energia, e apresentaram grande capacidade de deformação antes da ruptura. Por 

outro lado, apresentaram uma ruptura extremamente frágil. 

Já os resultados dos modelos não encamisados foram muito dispersos, e por 

isso não permitem concluir se a forma da seção transversal tem alguma influência na 

ductilidade e na tenacidade. 



125 


O objetivo desta análise não foi o de propor alguma alteração nos métodos de 

cálculo existentes, mas sim a de verificar qual é a real influência da forma da seção 

transversal no reforço de pilares com PRFC. 

Os resultados das análises realizadas permitem concluir que a forma da seção 

transversal tem grande influência na distribuição da pressão de confinamento. Porém, 

não foi possível, com as análises realizadas, quantificar com exatidão essa influência. 

Os valores do coeficiente de forma obtidos nesta pesquisa, não devem ser 

assumidos como absolutamente verdadeiros. Para que isso fosse possível, seriam 

necessárias análises teóricas mais aprofundadas, inclusive com simulações 

numéricas, o que não fazia parte dos objetivos deste trabalho. Porém, estes 

resultados apresentam-se como bons indicativos da real influência da forma da seção 

transversal na eficiência do reforço de pilares de concreto com PRFC. 


Agradecemos à FAPESP e ao CNPq pelo apoio financeiro, sem o qual esta 

pesquisa não poderia ter sido realizada. 


AHMAD, S. H.; KHALOO, A. R.; IRSHAID, A. (1991). Behaviour of concrete spirally 

confined by fibreglass filaments. Magazine of Concrete Research, v. 43, p. 143-148. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS (1995). D 3039 / D 

3039M/95: Standard test method for tensile properties of polymer matrix 

composite materials. Philadelphia. 

CAMPIONE, G.; MIRAGLIA, N. (2003). Strengh and strain capacities of concrete 

compression members reinforced with FRP. Cement & Concrete Composites, 

Essex, v. 25, n. 1, p. 31-41, Jan. 

FIB-CEB (1998). Ductility of Reinforced Concrete Structures. CEB Bulletin 

dÍnformation, n. 242, May. 

JAPAN SOCITY OF CIVIL ENGINEERS (1984). Method of test for compressive 

strength and compressive toughness of steel fiber reinforced concrete. JSCE-SF5. 

Concrete Library of JSCE. Part III-2 Method of tests for steel fiber reinforced 

concrete, n. 3, p-63-66, June. 

JONES, R.; HANNA, S. (1997). Composite wraps for aging infra-structures. 

Theoretical and applied fracture mechanics, Amsterdam, v. 28, n. 2, p.125-134, 

Dec. 

KARBHARI, V. M.; ZHAO, L. (2000). Use of composites for 21 st century civil 

infrastructure. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 

Amsterdam, v. 185, n. 2/4, p. 433-454, May. 


126 


MANDER, J. B.; PRIETSLEY, M. J. N.; PARK, R. J. T. (1988). Theoretical stress train 

model for confined concrete. Journal of Structural Engineering, New York, v. 114, p. 

1804-1827. 

PARVIN, A.; WANG, W. (2002). Concrete columns confined by fiber composite wraps 

under combined axial and cyclic loads. Composite Structures, Oxford, v. 58, n. 4, p. 

539-549, Dec. 

PESSIKI, S. et al. (2001). Axial behavior of reinforced concrete columns confined with 

FRP jackets. Journal of Composites for Construction, New York, v. 5, n. 4, p. 237- 

245, Nov. 

RAZVI, S. R.; SAATCIOGLU, M. (1999). Confinement model for high-strength 

concrete. Journal of Structural Engineering, New York, v. 125, n. 3, p. 281-289, 

Mar. 

SAADATMANESH, H.; EHSANI, M. R. (1994). Strength and ductility of concrete 

columns externally reinforced with fiber composite straps. ACI Structural Journal, 

Detroit, v. 91, p. 434-447. 

SUDANO, A. L. (2005). Influência da forma da seção transversal no confinamento 

de pilares de concreto armado encamisados com PRFC (polímero reforçado com 

fibra de carbono). São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de 

São Carlos – Universidade de São Paulo. 

TENG, J. G.; LAM, L. (2002). Compressive behavior of carbon fiber reinforced 

polymer-confined concrete in elliptical columns. Journal of Structural Engineering, 

New York, v. 128, n. 12, p. 1535-1543. Dec. 


ISSN 1809-5860 

AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DO FATOR DE 

DISTRIBUIÇÃO DE CARGA PARA PONTES 

MULTICELULARES DE MADEIRA PROTENDIDA 

Jorge Luís Nunes de Góes 1 & Antonio Alves Dias 2 

Resumo 

As pontes protendidas de madeira com tabuleiro multicelular são sistemas tipicamente 

ortotrópicos e necessitam de modelos analíticos sofisticados para estimar seu 

comportamento estrutural sob carregamentos de projeto. Existem vários modelos de 

cálculo que podem ser empregados para o dimensionamento deste tipo de estrutura. A 

forma mais prática e simples de se considerar uma ponte em placa é fazendo uma 

analogia à viga (Modelo de Viga Equivalente). Nesse trabalho é avaliado 

experimentalmente o Fator de Distribuição de Carga empregado. São realizados 

ensaios de flexão em protótipo de ponte em escala 1:3, sujeito a vários arranjos de 

carregamentos concentrados, simétricos e assimétricos, com três níveis de protensão 

distintos. Os resultados indicam que o Fator de Distribuição de Carga empregado, 

para alguns carregamentos, resulta em situações contra a segurança. 

Palavras-chave: pontes; madeira protendida; experimentação. 


De suma importância para o desenvolvimento do país, do ponto de vista 

econômico e social, as estradas vicinais devem assegurar a entrada de insumos nas 

propriedades agrícolas, o escoamento da produção e o livre deslocamento das 

populações do meio rural. 

Nota-se, entretanto, que o lastimável estado em que se encontram as 

estradas e pontes vicinais, dificultam o trânsito causando desconforto e insegurança 

aos usuários, além de elevar o custo do transporte para os produtores e os custos de 

manutenção para as prefeituras. 

A maioria das pontes de madeira no Brasil não é projetada e construída por 

técnicos e construtores especializados em madeiras. Isto resulta em estruturas com 

alto custo, inseguras e de baixa durabilidade. O estado atual de degradação destas 

pontes reflete um quadro negativo no uso da madeira como um material estrutural. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jgoes@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, dias@sc.usp.br 


128 

Jorge Luis Nunes Góes & Antonio Alves Dias 

Assim, constata-se a urgente necessidade de se implantar nas estradas 

municipais e estaduais os avanços tecnológicos atuais para a construção e 

recuperação das pontes de madeira do país. 

Dentre as mais recentes tecnologias empregadas na construção das 

modernas pontes de madeira a que mais se destaca é a da madeira laminada 

protendida transversalmente. Este sistema consiste de uma série de lâminas de 

madeira serrada dispostas lado a lado e comprimidas transversalmente por meio de 

barras de protensão de alta resistência, fazendo com que surjam propriedades de 

resistência e elasticidade na direção transversal. 

Este conceito, originado no Canadá, despertou o interesse dos Estados 

Unidos, que investiu em pesquisas para o desenvolvimento do sistema. Devido ao 

grande sucesso no seu emprego, a tecnologia das pontes protendidas se estendeu a 

outros países como Austrália, Japão e alguns países europeus, onde técnicas foram 

desenvolvidas para a realidade de cada região. 

Figura 1 – Ilustração de ponte de madeira com tabuleiro multicelular protendido. 

No Brasil, estudos do sistema protendido vêm sendo realizados desde o início 

da década de 90. Determinação dos efeitos de perda de protensão e avaliação do 

comportamento das placas protendidas de madeira são alguns dos estudos realizados 

no país. Porém atualmente ainda não há registro de estudos no país sobre este 

sistema com tabuleiro multicelular. 

Dentro deste contexto, pesquisas são necessárias para se avaliar o 

comportamento estrutural e a análise estrutural das pontes de madeira com tabuleiro 

multicelular protendido. 

O objetivo deste trabalho é o estudo experimental do comportamento 

estrutural de tabuleiros multicelulares protendidos, por meio de ensaios em laboratório 

de modelos reduzidos, com a finalidade de avaliar o Fator de Distribuição de Carga 

para este tipo de estrutura. 

2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL 

A Madeira Laminada Protendida consiste de uma série de lâminas de madeira 

serrada dispostas lado a lado e comprimidas transversalmente por barras de 


Avaliação experimental do fator de distribuição de carga para pontes multicelulares de... 

129 

protensão de alta resistência. A força de compressão transversal aplicada pelas 

barras de protensão atua solidarizando as lâminas, figura 2. 

Figura 2 – Arranjo básico das placas protendidas de madeira. 

Este elemento estrutural é capaz de resistir à flexão transversal e também 

transferir esforços de cisalhamento por meio do atrito entre as lâminas. 

Na figura 3 pode-se observar o comportamento da Madeira Laminada 

Protendida quando solicitada. A flexão transversal produz uma tendência de 

afastamento das lâminas na parte inferior da placa e, o cisalhamento produz uma 

tendência de escorregamento vertical entre as lâminas. Em ambos os casos, esses 

efeitos não irão ocorrer se a placa tiver um nível de protensão suficiente. Como 

conseqüência, a manutenção de um adequado nível de protensão é o aspecto mais 

importante para construções em Madeira Laminada Protendida. 

Figura 3 – Mecanismos resistentes da madeira laminada protendida. CREWS (2000). 

Em função da capacidade de transferência de esforços nas duas direções 

preferenciais (longitudinal e transversal), a Madeira Laminada Protendida pode ser 

representada por uma placa ortotrópica com diferentes propriedades mecânicas nas 

duas direções. 

As propriedades mecânicas da placa são fortemente influenciadas por fatores 

como: espécie da madeira, teor de umidade da madeira, geometria da placa, 

freqüência de juntas de topo e nível de protensão. 


130 


O sistema em tabuleiro multicelular protendido, consiste de duas placas de 

Madeira Laminada Protendida, formando a mesa superior e inferior, ligadas às 

nervuras. A geometria otimizada da seção transversal aumenta significativamente a 

rigidez à flexão longitudinal e a rigidez à torção, tornando este tipo de estrutura uma 

excelente opção para vãos de 12 a 25 metros, GANGARAO & LATHEEF (1991). 

Quando é submetido a um carregamento concentrado qualquer, um tabuleiro 

multicelular sofre deformação, como indicado na figura 4a. 

O’BRIEN & KEOGH (1999) indicam a existência de quatro formas principais 

de deformação associadas aos tabuleiros com tabuleiro multicelular. O primeiro modo 

de deformação é o de flexão longitudinal, figura 4b. A rigidez à flexão longitudinal total 

do tabuleiro pode ser considerada aplicando-se os conceitos básicos da Resistência 

dos Materiais, desde que haja monolitismo no conjunto e possa ser assumida a 

ausência de deformação cisalhante no plano horizontal do tabuleiro (Shear Lag). 

No caso da deformação devido à flexão transversal, figura 4c, de modo geral 

pode-se desprezar a contribuição das almas, considerando apenas a rigidez das 

mesas. 

O terceiro modo é a torção do tabuleiro, como indicado na figura 4d. Para 

tabuleiros multicelulares contendo cinco ou mais células, a rigidez a torção total do 

tabuleiro pode ser tomada considerando apenas a seção externa como se fosse 

somente uma seção caixão. Esta consideração é justificada pelo fato de que em 

tabuleiros multicelulares, o fluxo de cisalhamento nas almas interiores é muito 

pequeno, e somente o fluxo em torno das mesas e almas externas é significante. 

Figura 4 – Comportamento estrutural do sistema com tabuleiro multicelular. 



131 

E por fim, o quarto modo de deformação, que caracteriza as estruturas com 

tabuleiro multicelular, chamado de distorção, figura 4e. A distorção é causada pela 

flexão localizada das almas e flanges das células individuais. O comportamento é 

similar ao observado nas vigas Vierendeel. Os principais fatores que afetam a 

distorção são as dimensões das células em relação à altura total da seção e a rigidez 

individual das almas e mesas. Segundo WEST (1973), apud CUSENS & PAMA 

(1975), o efeito da distorção deve ser considerado quando a área vazia das células 

exceder 60% da seção transversal total. Para os casos usuais de pontes protendidas 

com tabuleiro multicelular esta relação raramente excede os 50%. 

3 MODELO SIMPLIFICADO DE CÁLCULO 

As pontes protendidas de madeira com tabuleiro multicelular são sistemas 

tipicamente ortotrópicos e necessitam de modelos analíticos sofisticados para estimar 

seu comportamento estrutural sob carregamentos de projeto. Existem vários modelos 

de cálculo que podem ser empregados para o dimensionamento deste tipo de 

estrutura. Como exemplo, podem ser citados os modelos de placa ortotrópica 

equivalente, elementos finitos, grelha, viga equivalente, entre outros. 

As análises via elementos finitos e de placa ortotrópica são precisas para 

predizer o comportamento em serviço dessas pontes. Todavia, a complexidade destes 

modelos pode ser limitante se não houver um computador disponível, e o 

desenvolvimento de procedimentos simplificados de cálculo torna-se indispensável. 

A forma mais prática e simples de se considerar uma ponte em placa é 

fazendo uma analogia à viga. Este método é chamado de Modelo de Viga 

Equivalente. Nesse modelo, a complexidade do tabuleiro da ponte é reduzida para 

uma viga simplesmente apoiada com determinada largura efetiva, figura 5. 

Figura 5 – Viga transformada seção I. 

A largura da aba da seção da viga equivalente é determinada por uma 

equação desenvolvida a partir da análise de placas ortotrópicas, equação 1. 


132 


⎛ 

2 ⎞ 

⎜ ⎛ S ⎞ ⎟ 

⎜ 

1+ 

υxy⎜ 

⎟ 

S ⎝ L ⎟ 

b 

⎠ 

m = ⋅⎜ 

⎟ 

(1) 

2 

2 

⎜ Ex 

⎛ S ⎞ ⎟ 

⎜1+ 

⎜ ⎟ ⎟ 

⎝ 

G xy ⎝ L ⎠ ⎠ 

Onde: 

b m = largura da aba; 

S = distância livre entre as nervuras, 

L = vão da ponte; 

ν xy = coeficiente de Poisson; 

E x = módulo de elasticidade na direção longitudinal 

G xy = módulo de elasticidade à torção 

A direção “x” corresponde à direção longitudinal (orientação do tráfego) da 

ponte e a direção “y” corresponde à direção transversal. 

A equação 1 foi então modificada para considerar o comportamento altamente 

ortotrópico das pontes de Madeira Laminada Protendida, tornando o coeficiente de 

Poisson nulo e introduzindo o parâmetro “Shear Lag” (K). 

b 

m 

S 

= 2 

(2) 

2 

⎛ S ⎞ 

1+ 

⎜K 

⎟ 

⎝ 2L ⎠ 

Onde, 

Ex 

K = 2 (parâmetro “Shear Lag”) (3) 

G 

xy 

Baseado em testes realizados na West Virginia University e no FPL, TAYLOR 

et. al. (2000) sugerem E x /G xy =60, ou seja, K=15,5. Este valor é válido para tabuleiros 

de madeira serrada. 

TAYLOR et. al. (2000) indicam que, a partir da largura da aba (b m ), a largura 

efetiva ou largura da mesa da viga interna equivalente de seção I pode ser estimada 

como sendo: 

b e = 2bm 

+ bw 

(4) 

Para vigas externas, a largura efetiva ou largura da mesa é dada por: 

b e = bm 

+ bw 

(5) 

Com b w = largura da nervura. 

Os efeitos da distorção podem ser desprezados se obedecidos certos limites 

geométricos. Segundo CREWS (2002), pesquisadores da WVU estudaram os efeitos 

da distorção e indicam os seguintes limites para as relações entre espaçamento entre 

vigas, largura e espessura dos tabuleiros. 

S 

≤ 2,5 e S ≤ 127 cm 

(6) 

2⋅ 

h 

f 

S + b 

h 

f 

w ≤ 

6,0 

e 

S + b 152 cm 

(7) 

w ≤ 



133 

Seguindo os limites descritos acima pode-se afirmar que a largura da aba 

contribuinte para tabuleiros de seção caixão é: 

b m ≥ 0,34⋅S 

(8) 

O valor máximo do Fator de Distribuição de Carga é apresentado na equação 

9. Segundo CREWS (2002), esta equação foi obtida teoricamente, a partir de Séries 

de Fourier para placas. 

1+ 

Ce 

WL 

= (9) 

⎛ 2 ⎞ 2 

⎜ + Ce 

⎟ ⋅ Nb 

− 

⎝ π ⎠ π 

Onde: 

W L = Fator de Distribuição de Carga; 

N b = número total de vigas ao longo da seção transversal; 

C e = coeficiente de deslocamento da borda. 

δe 

Ce 

= (10) 

δ − δe 

Onde: 

δ e = flecha da viga da borda; 

δ = flecha máxima do tabuleiro. 

Logicamente, quanto maior for a rigidez transversal do tabuleiro, maior será o 

valor de C e . Da mesma forma o coeficiente C e é proporcional à rigidez à torção do 

tabuleiro. Como já observado anteriormente, o sistema protendido com tabuleiro 

multicelular possui elevada rigidez à torção. Portanto, nesse caso, os valores de C e 

são relativamente maiores que os de outros sistemas. 

Para as pontes protendidas com tabuleiro multicelular, foi adotado o valor C e = 

2. Apesar dos resultados experimentais em campo demonstrarem grande variação, 

este valor foi adotado como padrão, pois os erros envolvidos pareceram não ser 

significantes, CREWS (2002). 

Considerando as simplificações acima descritas, o valor do Fator de 

Distribuição de Carga pode ser expresso da seguinte forma: 

3NL 

WL 

= (11) 

2,64Nb 

− 0,64 

Onde: 

N L = número de faixas de tráfego, 

N b = número de vigas ao longo da seção transversal. 

A equação 11, descrita anteriormente, desenvolvida teoricamente a partir de 

Séries de Fourier para placas e ajustada com resultados experimentais em campo, 

indica o maior valor que o Fator de Distribuição de Carga pode assumir. 

Como pode-se observar, a eficiência do Modelo de Viga Equivalente depende 

diretamente do real valor do Fator de Distribuição de Carga. 

Com o objetivo de avaliar o Fator de Distribuição de Carga, GÓES (2005) 

realizou uma investigação experimental em modelo pouco reduzido em escala 1:3 de 

um tabuleiro multicelular protendido. A descrição dos ensaios, bem como os 

resultados e conclusões do trabalho, são descritas a seguir. 


134 


4 EXPERIMENTAÇÃO NO TABULEIRO MULTICELULAR PROTENDIDO 

O modelo reduzido ensaiado foi todo construído em madeira da espécie 

Cedrinho. As nervuras foram reproduzidas por vigas maciças, com dimensões 

nominais 4 x 20 x 400cm e as lâminas de madeira do tabuleiro, por sarrafos de 1,7 x 5 

x 400cm. A figura 6 ilustra a configuração da seção transversal do modelo com 16 

nervuras. 

Figura 6 – Seção transversal do modelo reduzido. 

Na fase preliminar, todas as peças de madeira já serradas, foram furadas uma 

a uma para a passagem das barras de protensão. O diâmetro dos furos é de ½”, e o 

espaçamento é de 25 cm entre eixos, conforme projeto do modelo (figura 6). A figura 

7 mostra a realização dos furos nas peças de madeira. 

Figura 7 – Vista lateral do modelo e o espaçamento entre as barras de protensão. 

Figura 8 – Furação das peças de madeira. 

Após a fase preliminar, todas as peças de madeira utilizadas no modelo foram 

caracterizadas por ensaios não destrutivos de flexão estática. Os ensaios consistem 

em aplicar o carregamento com duas forças concentradas espaçadas de 50cm no 



135 

centro do vão sobre a peça bi-apoiada, medindo a flecha máxima a cada novo 

incremento de carregamento Esta configuração do ensaio de flexão tem justificativa 

no fato de que o modelo reduzido é ensaiado como mesmo espaçamento entre as 

cagas concentradas. Desses ensaios foi obtido o módulo de elasticidade à flexão de 

cada peça (figura 9) 

Figura 9 – Configuração do ensaio flexão estática das nervuras. 

Em seguida, o modelo foi montado sobre apoios contínuos, compostos por 

barra de aço redondo sobre viga de aço rígida. Foram utilizadas barras roscadas 

(M10) com 10 mm de diâmetro para simular as barras de protensão. A figura 10 

mostra a montagem do modelo reduzido. 

Figura 10 – Montagem do tabuleiro multicelular protendido. 

O modelo foi instrumentado com transdutores de deslocamento na face 

inferior de cada nervura no centro do vão, bem como célula de carga para registro da 

carga aplicada no modelo. 

O modelo reduzido foi ensaiado com vários arranjos de carregamentos 

diferentes, simétricos e assimétricos, com a finalidade de determinar o Fator de 

Distribuição de Carga Experimental para cada nível de protensão distinto. 

Para cada um dos três níveis de protensão estudados (700 kPa, 550 kPa e 

350 kPa), era realizada uma bateria de ensaios, com os vários arranjos de 

carregamento. Os carregamentos concentrados foram aplicados com peças de 

madeira de alta densidade sob perfis metálicos. 


136 


As dimensões das cargas concentradas usadas no modelo eram 6,7cm de 

comprimento (sentido longitudinal) e 16,7cm de largura. Essas medidas 

correspondem às dimensões reais da área de contato das rodas do Veículo tipo 

Classe 45 (20 x 50cm), conforme NBR 7188. 

As figuras 11 e 12 ilustram a geometria e o posicionamento dos 

carregamentos concentrados aplicados no modelo, bem como seu arranjo. 

Figura 11 – Posicionamento dos carregamentos concentrados. 

Figura 12 – Arranjo dos carregamentos concentrados. 

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES 

O Fator de Distribuição de Carga representa a parcela do montante total de 

carga aplicada, pela qual cada viga de seção I é solicitada. Admitindo-se que todas as 



137 

vigas de seção I que compõem o tabuleiro tenham a mesma rigidez à flexão 

longitudinal (EI), pode-se estimar o Fator de Distribuição de Carga através dos 

deslocamentos de caga viga relacionados com a soma dos deslocamentos de todas 

vigas (equação 87). 

W 

L 

δi 

= *100 

(12) 

n 

∑ δ 

i 

i= 

1 

Onde: 

δ i = deslocamento vertical medido no ensaio no ponto i; 

W L = Fator de Distribuição de Carga no ponto i. 

É necessário ressaltar, que o Fator de Distribuição de Carga, obtido dos 

ensaios realizados é correspondente ao tipo de carregamento empregado. No caso 

foram utilizadas quatro cargas concentradas distanciadas de 66,7 cm na direção 

transversal e 50 cm na direção longitudinal, que em escala real correspondem a 200 

cm e 150 cm, respectivamente. 

Os gráficos das figuras 13 a 15 mostram a distribuição de carga ao longo da 

seção transversal do modelo ensaiado com as duas configurações de tabuleiro. 

Figura 13 – Fator de Distribuição de Carga do ensaio P1-700/X. 


138 


Figura 14 – Fator de Distribuição de Carga do ensaio P1-550/X. 

Figura 15 – Fator de Distribuição de Carga do ensaio P1-350/X. 

Observando os gráficos de distribuição de carga pode ser notado que quanto 

maior o nível de protensão, menor é o Fator de Distribuição de Carga. Isto ocorre 

devido ao acréscimo de rigidez transversal do tabuleiro, provocado pelo maior nível de 

protensão. 

Também pode ser observado que o maior valor de Fator de Distribuição de 

Carga é de 18% e ocorre no ensaio com carregamento posicionado na lateral e 350 

kPa de tensão de protensão. 

O Fator de Distribuição de Carga teórico obtido pela equação 11, para o 

tabuleiro em questão é: 

3NL 

3⋅ 

2 

WL = = 

= 0,14 

(13) 

2,64N − 0,64 2,64⋅16 

− 0,64 

b 

Fazendo-se a comparação do valor obtido da experimentação com o obtido 

pela equação 11, pode-se verificar uma diferença considerável – experimental (18%) 

e teórico (14%). 



139 

Os resultados desta análise experimental indicam que o Fator de Distribuição 

de Carga teórico obtido com o uso da equação 11 pode ser, em alguns casos, contra 

a segurança, dependendo do posicionamento do carregamento. 

6 CONCLUSÕES 

O Modelo de Viga Equivalente é um modelo simplificado de cálculo que vem 

sendo utilizado há algum tempo, principalmente nos Estados Unidos, para o 

dimensionamento de tabuleiros multicelulares de madeira protendida. O Modelo é 

simples e depende diretamente do Fator de Distribuição de Carga. A eficiência do 

Modelo de Viga Equivalente depende diretamente do real valor do Fator de 

Distribuição de Carga. 

Entretanto, na análise experimental conduzida neste trabalho, o valor teórico 

do Fator de Distribuição de Carga não apresentou boa concordância, indicando 

valores contra a segurança. 

Para a determinação do correto valor deste Fator, são necessárias várias 

simulações numéricas e ensaios experimentais, com variações da geometria e 

número de nervuras, em tabuleiros multicelulares protendidos. 

Após estas várias simulações e ensaios poderá ser apresentada uma nova 

equação para o Fator de Distribuição de Carga que represente as condições 

nacionais de solicitação. 


Os autores expressam seus agradecimentos à FAPESP – “Fundação de 

Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo”, pela concessão da bolsa de estudos e 

suporte financeiro para o desenvolvimento da pesquisa. 


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT (1984). NBR 7188 – 

Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres. Rio de Janeiro. 

CUSENS, A. R.; PAMA, R. P. (1975). Bridge Deck Analysis. London: Editora John 

Wiley Sons. 

CREWS, K. I. (2000). Development of Limit States Design (LRFE) Methods for 

Stress Laminated Timber “Celluler” Bridge Decks. In: WORLD CONFERENCE ON 

TIMBER ENGINEERING, 6., Aug. 2000, Whistler, Canada. Proceedings… 1 CD- 

ROM. 

CREWS, K. I. (2002). Behaviour and Critical Limit States of Transversely 

Laminated Timber Cellular Bridge Decks. Sydney. 252p. PhD Thesis – Faculty of 

Engineering – University of Technology. 

GANGARAO, H. V. S.; LATHEEF, I. (1991). System Innovation and Experimental 

Evaluation of Stressed-timber Bridges. In: TRANSPORTATION RESEARCH 


140 


RECORDS 1275, TRB, National Research Council, Washington D.C., v2, p.293-305. 

Proceedings of the fifth international conference on low-volume roads. 

GÓES, J. L. N. (2002). Análise de vigas de madeira pregadas com seção 

composta. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 

GÓES, J. L. N. (2005). Estudo de Pontes de Madeira com Tabuleiro Multicelular 

Protendido. São Carlos. 184p. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 

O’BRIEN, E. J.; KEOGH, D. K. (1999). Bridge Deck Analysis. London and New York. 

E & FN SPON – Taylor & Francis Group. 

TAYLOR, S. E. et. al. (2000). Evaluation of Stress-Laminated Wood T-beam and 

Box-beam Bridge Superestrutures. Project 96-RJVA-2821, Joint Venture Project 

between Auburn University, University of Alabama and Forest Products Laboratory, 

Madison, WI (Final Draft Report – 104p.).

SÃ£o Carlos, v.8 n. 35 2006 - SET - USP

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