SÃ£o Carlos, v.7 n. 24 2005 - SET - USP

São Carlos, v.7 n. 24 2005

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

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São Carlos, v.7 n. 24 2005

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SUMÁRIO 

Estudo teórico e experimental das pressões em silos de baixa relação altura/ 

diâmetro e fundo plano 

Edna das Graças Assunção Freitas & Carlito Calil Júnior 1 

Estudo teórico e experimental das ações em silos horizontais 

Francisco Carlos Gomes & Carlito Calil Junior 35 

Método dos elementos de contorno com reciprocidade dual para a análise 

transiente tridimensional da mecânica do fraturamento 

João Carlos Cordeiro Barbirato & Wilson Sergio Venturini 65 

Passarela pênsil protendida formada por elementos pré-moldados de concreto 

Luciano Maldonado Ferreira & Roberto Luiz de Arruda Barbato 91 

A influência das ações repetidas na aderência aço-concreto 

Rejane Martins Fernandes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 117

ISSN 1809-5860 

ESTUDO TEÓRICO E EXPERIMENTAL DAS 

PRESSÕES EM SILOS DE BAIXA RELAÇÃO 

ALTURA/DIÂMETRO E FUNDO PLANO 

Edna das Graças Assunção Freitas 1 & Carlito Calil Júnior 2 

Resumo 

A armazenagem em fazenda necessita ser expandida de modo a propiciar um melhor 

equilíbrio de fluxos e funções entre as etapas da rede armazenadora. No Brasil, embora 

não se disponha de números exatos, sabe-se que armazenagem na fazenda é mínima, 

sendo estimada em torno de 4% a 7%, dependendo da região. Em geral, os silos 

utilizados para a armazenagem em fazenda apresentam baixa relação entre a altura do 

silo e o seu diâmetro ou lado (0,75 a 1,5) e fundo plano. Podem ser construídos com os 

mais diversos materiais, como concreto, madeira, argamassa armada etc., mas a 

predominância é a utilização de silos metálicos em chapa de aço ondulada. Apesar da 

intensa utilização destas unidades em todo o mundo, e serem as mais produzidas pela 

indústria, a previsão das pressões devidas ao produto armazenado é ainda divergente 

entre os pesquisadores e normas existentes. Este trabalho foi realizado em duas etapas: 

teórica e experimental. Na parte teórica, deu-se ênfase à análise comparativa das 

principais teorias e normas internacionais. Na parte experimental, foram feitos ensaios 

diretos em um silo protótipo com relação h/d=0,98 e um silo piloto para relações 

h/d=0,98, 1,25 e 1,49, ambos de chapa de aço ondulada, para obtenção das pressões 

horizontais na parede e verticais no fundo plano. Com base nos resultados 

experimentais propõe-se modelos empíricos para a determinação das pressões 

horizontais e verticais no fundo plano do silo para esse tipo de unidade armazenadora. 

Palavras-chave: Silos de baixa relação altura/diâmetro; pressões. 

1 INTRODUÇÃO 

O armazenamento em fazenda constitui prática de suma importância, tanto para 

complementar a estrutura armazenadora quanto para minimizar as perdas em quantidade 

e qualidade a que estão sujeitos os produtos colhidos. 

Em geral, os silos utilizados para a armazenagem em fazenda apresentam baixa 

1 Professora do Departamento de Arquitetura e Urbanismo da UFRRJ, ednario@bol.com.br 

2 Professor Titular do Departamento de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 24, p. 1-34, 2005

2 

Edna das Graças Assunção Freitas & Carlito Calil Júnior 

relação entre a altura do silo e o seu diâmetro ou lado (0,75 a 1,5) e fundo plano. Isto se 

justifica pelo grande aumento da capacidade do silo com o aumento do seu diâmetro e 

também porque a manipulação de silos baixos é mais fácil e de menor custo (CALIL 

JR., 1987). 

Podem ser construídos com os mais diversos materiais, como concreto , madeira, 

argamassa armada, etc., mas a predominância é a utilização de silos metálicos em chapa 

galvanizada corrugada. Segundo HAYNAL (1989), o silo fabricado em concreto 

armado torna-se muito oneroso para o agricultor, principalmente para o de porte médio. 

Segundo ele, o concreto armado é mais apropriado para armazéns graneleiros e só é 

viável economicamente a partir de uma capacidade de cinco mil toneladas. Com esse 

tamanho ou mais, seu custo passa a ser equivalente ao do silo metálico. O silo metálico 

serve a qualquer tipo de grão, tendo como vantagem mais destacada a possibilidade de 

se conseguir uma armazenagem livre de ratos e pragas, o que não ocorre com os 

armazéns convencionais que precisam de desinfecção tanto do ambiente quanto da 

sacaria. 

Apesar da intensa utilização destas unidades em todo o mundo, e serem as mais 

produzidas pela indústria, a previsão das pressões exercidas pelo produto armazenado é 

ainda divergente entre os pesquisadores e normas existentes. 

As diferentes contribuições em pesquisa e tecnologia, que todos os países têm 

realizado, geralmente chegaram ao conhecimento comum dos técnicos pelas diferentes 

normas de cálculo de silos elaboradas. Neste sentido é lamentável que o Brasil não 

disponha de norma própria, com exceção de duas referências a terminologias para silos 

de grãos vegetais TB-374 e TB-377. 

As recomendações das normas internacionais para a previsão das pressões devidas 

ao produto armazenado, de um modo geral, são baseadas em duas fontes: experimentos 

nos quais as pressões são medidas em silos reais ou em modelos de silos, e em modelos 

teóricos. Uma dificuldade imediata aparece devido ao limitado campo de aplicação dos 

experimentos disponíveis. Em particular, muito poucas observações experimentais são 

avaliáveis para silos de baixa relação altura/ diâmetro ou lado (CALIL JR., 1990), o 

que, de acordo com BROWN & NIELSEN (1998), atualmente é o tipo de unidade 

armazenadora que mais necessita de pesquisas tendo em vista sua tendência mundial de 

popularização. 

Com base no exposto este trabalho este trabalho tem por objetivo o estudo 

teórico e experimental das pressões em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 

e fundo plano para armazenamento de produtos de fluxo livre com a finalidade de 

propor um modelo empírico para a previsão das pressões devidas ao produto 

armazenado nestas unidades. 

2 SILOS CILÍNDRICOS DE BAIXA RELAÇÃO ALTURA/DIÂMETRO 

A importância da classificação das estruturas de armazenamento de produtos a 

granel, segundo as suas dimensões, está no fato que, de um modo geral, a previsão das 

pressões estáticas ou dinâmicas estão baseadas segundo essa classificação. Embora 

algumas normas não façam essa classificação, na maioria das vezes prevêem pressões 

diferenciadas em função da relação h/d. A tabela 1 apresenta a classificação dos silos 

segundo as suas dimensões, de acordo com as principasi normas internacionais. 


Estudo teórico e experimental das pressões em silos de baixa relação altura/ diâmetro e fundo... 

3 

Tabela 1 – Classificação dos silos segundo a relação h/d 

Classificação 

Norma Baixo Medianamente esbelto Esbelto 

Australiana AS-1996 h/d3 

Eurocode(ENV)-1995 

ISO-1997 h/d2 

Alemã DIN-1987 * h/d5µ 

Inglesa BMHB-1985 h/d≤1,5 --- h/d>1,5 

* Não possui essa classificação.No cálculo teórico das pressões há diferenciação quando 

o silo tem a relação geométrica indicada. 

Analogamente aos silos altos, os silos cilíndricos de baixa relação 

altura/diâmetro podem ser construídos com os mais diversos materiais, mas a grande 

maioria deste tipo de silo, mesmo em termos mundiais, são metálicos, de chapa lisa ou 

corrugada. Podem ser descarregados através de fluxo por gravidade ou através de meios 

mecânicos. O fundo pode ser em forma de funil ou plano. A célula de fundo plano 

requer menos altura para um determinado volume de material armazenado. O seu custo 

inicial é baixo, comparado a outros tipos, e uma das razões pela qual a construção pode 

ser econômica é que o produto repousa sobre o solo, do qual ele é isolado apenas por 

uma laje impermeável. Isso significa que a fundação é limitada a um anel de concreto 

sob as paredes. O recalque do fundo plano resultante das pressões verticais exercidas 

pelo produto não é considerado problemático. 

2.1 Pressões em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 

De um modo geral as normas internacionais adotam a teoria de Janssen e/ou de A 

& M Reimbert para a previsão das pressões estáticas, considerando coeficientes de 

sobrepressão para a obtenção das pressões dinâmicas, analogamente aos silos altos, 

como também apresentam algumas simplificações para o cálculo das pressões 

diferentemente dos silos altos. 

Na verdade, pouco é conhecido sobre a magnitude e a distribuição da pressão 

normal à parede em silos baixos. Do ponto de vista técnico, os silos de baixa relação 

altura/diâmetro apresentam menos problemas de estabilidade geral, mas maiores 

problemas de estabilidade local (CALIL JR., 1990). As pressões em silos de baixa 

relação altura/diâmetro são muito afetadas pela forma da superfície livre do produto 

armazenado, o que não tem a mesma influência em silos altos. De um modo geral, as 

normas não levam em conta as implicações desse fato, de modo a obter-se formulações 

mais precisas e econômicas (Brown & Nielsen, 1998). 

Para silos de baixa relação altura/diâmetro, muitos pesquisadores questionam a 

validade da solução de Janssen ou de Reimbert e propõem a solução de Rankine 

desenvolvida para uma parede de contenção de terra de extensão ilimitada (CALIL JR., 

1987), ou a solução de Coulomb (WIJK, 1993). Isto é também reconhecido pela norma 

alemã DIN 1055 [10], que indica que as pressões na parede sejam obtidas pela teoria 

das pressões de terra para relações altura/diâmetro menores que 0,8. 


4 


2.1.1 Teorias para silos de baixa relação altura/diâmetro 

Teoria de Rankine 

Nesta teoria, publicada em 1857, o pesquisador analisa o estado de tensão em um 

maciço granular, fofo, não coesivo e semi-infinito. Ela foi desenvolvida com a hipótese 

que a deformação no maciço produz um estado ativo ou passivo de pressões, conforme 

a pressão vertical seja a maior ou a menor pressão principal. Segundo Safarian e Harris 

(1985), este método não é muito preciso para silos de baixa relação altura/diâmetro, 

tendo em vista que ignora as condições de contorno deste tipo de unidade armazenadora 

e a força de força de atrito nas paredes é considerada nula. A figura 1 apresenta as 

pressões exercidas pelo produto e parâmetros envolvidos para silos de baixa relação 

altura/diâmetro e fundo plano, de acordo com a teoria de Rankine. 

Superfície livre do produto 

h 

↓ 

φ r 

p v 

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 

d 

Figura 1 – Pressões exercidas pelo produto em silos de fundo plano, de acordo 

com a teoria de Rankine 

De acordo com as seguintes situações em relação à superfície livre do produto, as 

formulações para as pressões horizontais e verticais são: 

(a) Superfície de topo do produto armazenado é horizontal 

• Pressão horizontal estática na profundidade z: 

p h = Kγz (1) 

onde 

1− 

sen φr 

K = 

1+ 

sen φr 

(2) 

• Pressão vertical estática na profundidade z, abaixo da superfície, é: 

p v = γz (3) 

(b) Superfície do produto armazenado com inclinação igual ao ângulo de repouso 

• Pressão horizontal estática na profundidade z é: 

p h = γzcos 2 φ r (4) 

• Pressão estática vertical na profundidade z é: 

p v = γ(z + a 0 tgφ r ) (5) 

CALIL JR. (1987) com base em experimentação em silos cilíndricos de baixa 

relação altura/diâmetro ou lado, propõe a modificação do valor de K da teoria de 

2 

1 − sen φ 

Rankine para a formulação de Hartmann ( K = 

i 

), para o caso de silos de 

2 

1 + sen φi 

chapa de aço corrugada. Esta proposta será denominada de teoria de Rankine-Calil e é 

valida para silos onde a superfície livre do produto é plana ou não. Nesse caso, a 

profundidade z é obtida a partir da superfície de referência, conforme a figura 2. 

p h 



5 

Superfície livre do produto 

↓z 

h 

p v 

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 

d 

Figura 2 – Pressões exercidas pelo produto em silos de fundo plano, 

de acordo com a teoria de Rankine-Calil 

p h 

Teoria de Coulomb 

Na sua teoria publicada em 1776, Coulomb considerou a existência de atrito 

entre o material e a parede de contenção e, como na solução de Rankine e Janssen, é 

assumido que o maciço está em um estado ativo. A menor pressão horizontal possível é 

aquela do estado ativo e, nesse caso, as formulações obtidas para a pressão horizontal, 

de atrito, e a vertical são: 

2 

cos φ 

p 

i 

h = γz 

[ 1 sen ] 2 

(6) 

+ φi 

1+ 

E 

Esenφicosφ 

p 

i 

w = γz 

(7) 

1+ 

senφ 

1+ 

E 

p 

E 

v 

[ ] 2 

2 

i 

[ 1 + senφ 

1 + E] 2 

i 

2 

1 + sen φi 

+ 2senφi 

1 − E 

= γz 

(8) 

tanφ 

ω 

= (9) 

tanφ 

i 

2.1.2 Pressões para silos de baixa relação altura/diâmetro e fundo plano segundo as 

principais normas internacionais 

As normas de um modo geral propõem formulações para as pressões exercidas 

pelos produtos armazenados nas paredes e fundo de silos de baixa relação 

altura/diâmetro diferenciada dos silos altos, bem como pressões adicionais para levar 

em conta o efeito de pressões assimétricas, inevitáveis mesmo em silos com 

carregamento concêntrico e de eixo simétrico, e que são dependentes das características 

do produto e imperfeições na geometria do silo construído. 

De um modo geral, a formulação básica para a previsão das pressões é obtida 

da teoria de Janssen, mas algumas normas propõem alterações na formulação original, 

como no caso da norma inglesa BMHB-1985 ou considerando uma região linearizada na 

parte superior do carregamento, como no caso das normas européias ENV-1995 e ISO- 

1997 e da australiana AS-1996. A norma DIN-1987 e a americana ACI-1991, para o 

caso das pressões horizontais e de atrito, não alteram a formulação de Janssen. 


6 


3 MATERIAIS E MÉTODOS 

A pesquisa desenvolvida no presente trabalho é constituída de duas etapas 

principais: 

1 - medições diretas através de células de pressão, em um silo protótipo e em um silo 

piloto, ambos de chapa metálica ondulada, das pressões horizontais (p h ) ao longo da 

parede e verticais (p vf ) no fundo plano 

2 – cálculo teórico das pressões adotando-se a formulação de Janssen, de Airy, dos 

irmãos Reimbert, de Rankine-Calil, de Bischara e das principais normas internacionais, 

de modo a comparar os valores teóricos com os experimentais. 

O silo protótipo de baixa relação altura/diâmetro e fundo plano pertence a 

Cooperativa Agrícola Mista do Vale do Mogi-Guaçu, em Descalvado-SP, e o silo piloto 

foi doado pelo fabricante de silos metálicos Kepler Weber para realização dessa 

pesquisa. As características geométricas de ambos os silos são apresentadas nas figuras 

63 e 64 respectivamente. 

Os ensaios com o silo protótipo foram realizados na própria cooperativa, 

utilizando milho como produto armazenado. Foram realizados dois ciclos completos de 

carregamento-armazenamento-descarregamento com a capacidade máxima de 

armazenamento do silo. Nesse caso, h/d=0,98. 

Os ensaios com o silo piloto foram realizados no Laboratório de Madeiras e 

Estruturas de Madeira (LaMEM), da Escola de Engenharia de São Carlos da 

Universidade de São Paulo, e utilizou-se areia como produto armazenado. Com o silo 

piloto foram realizados um total de 12 ciclos completos de carga-armazenamentodescarga 

sendo 4 com a relação h/d = 0,98; 4 com h/d = 1,25 e 4 com h/d = 1,49. 

3.1 Caracterização das propriedades físicas dos produtos armazenados 

Os ensaios para determinação das propriedades físicas dos produtos armazenados 

nos silos ensaiados foram realizados no LAMEM/EESC-USP de acordo com a 

metodologia proposta em MILANI (1993), utilizando o aparelho de cisalhamento TSG 

70-140-AVT ("JENIKE Shear Cell"). 

Os produtos caracterizados foram areia seca ao ar, utilizada nos ensaios com o 

silo piloto e o milho armazenado no silo protótipo da cooperativa. 

Foram realizados três ensaios e determinados o peso específico e o ângulo de atrito 

interno para sua aplicação no cálculo teórico das pressões através do software YLOCUS 

desenvolvido por CALIL JR. (1997). Tendo em vista que a parede de ambos os silos 

ensaiados serem de chapa metálica ondulada não foi determinado o ângulo de atrito com 

a parede, considerado igual ao ângulo de atrito interno. Com a areia foi também 

realizado o ensaio de granulometria de acordo com a norma NBR 7181 – Solo-Análise 

granulométrica e determinado o teor de umidade do milho. 

Os produtos armazenados foram classificados como de fluxo livre de acordo 

com a das dimensões do diâmetro de suas partículas, baseada nas considerações de 

CALIL JR. (1984). 

3.2 Ensaios com o silo protótipo 

Para a medição direta das pressões ao longo das paredes e no fundo plano do silo 

protótipo, foram utilizadas células de pressão do tipo hidráulica modelo EPC 3500-1- 

100, fabricadas pela GEOKON. A adoção dessas células deu-se pelo fato de já terem 



7 

sido usadas com sucesso na medição direta das pressões nas paredes e na tremonha de 

um silo protótipo horizontal e em silo piloto horizontal por Gomes (2000) para sua tese 

de doutorado “Estudo Teórico e Experimental das Ações em Silos Horizontais”. 

As células foram calibradas adotando-se os procedimentos realizados por Gomes 

(2000) que utilizou o método proposto por BLIGHT et al (1996). Para esse fim os 

transdutores das células foram acoplados ao sistema de aquisição de dados da marca 

LINX modelo ADS-2000 que utiliza circuito integrado projetado para diversas 

aplicações. Este sistema é composto de uma placa controladora e placas 

condicionadoras de sinais conectada ao computador, nesse caso um notebook. 

O silo ensaiado tem 20 anos de utilização faz parte de um conjunto de 10 silos, 

todos iguais, com capacidade máxima de armazenamento de 300t de milho (figura 3(a)). 

É constituído de chapa ondulada de aço galvanizado de 1,5mm de espessura. O corpo do 

silo está fixado sobre um viga anel de concreto armado com 40cm de largura e 60cm de 

altura. A base do silo é constituída de uma laje plana de concreto armado sob a qual está 

situado o túnel de descarga. O produto é descarregado pelo fundo através de um orifício 

de 20cm de diâmetro situado no centro do fundo. O silo é carregado pelo topo 

centralmente. Para a realização das operações de carga e descarga são utilizados 

elevador de caçamba e correia transportadora. As células de pressão foram fixadas nos 

parafusos de ligação das chapas e para manter o posicionamento das células nas parede 

foi fixada em cada uma delas uma placa quadrada de compensado de 30cm de lado e 

18mm de espessura e entre a chapa de compensado e a face da célula, uma manta de 

borracha para melhor distribuição das pressões. Após essa etapa foram instaladas 12 

células de pressão sendo 6 distribuídas ao longo da parede e 6 no fundo do silo em 

contato direto com o produto armazenado. A figura 3(b) apresenta de forma 

esquemática o posicionamento das células de pressão na parede e no fundo do silo. Os 

terminais das células foram conectados ao sistema LINX de aquisição de dados e este ao 

notebook. 

Nível da superfície 

de referência 

Silo ensaiado 

h = 8,04 

0,79 

0,50 

1,65 

2,40 

0,80 

0,85 

1,05 

CP11 

CP10 

CP9 

CP8 

CP7 

CP6 CP5 

CP4 CP3 

CP2 

CP12 

CP1 

2,30 

0,15 1,85 1,85 0,50 1,85 1,85 0,15 

(a) 

d = 8,20 

(b) 

Figura 3 – Silo ensaiado e posicionamento das células de pressão 

Após a instalação das células de pressão procedeu-se a calibração “in loco” com 

as células ligadas ao sistema de aquisição de dados LINX. O sistema de aquisição de 

dados foi configurado para uma freqüência de 10 hertz com coleta de dados a cada 5 

segundos de modo a permitir monitoramento das pressões com melhor precisão do 

ensaio nas fases dinâmicas de carregamento e descarregamento do silo. O carregamento 


8 


foi realizado através de transilagem do milho de um outro silo para o que estava 

instrumentado. A transilagem foi realizada utilizando correia transportadora e elevador 

de caçamba. A vazão do sistema de transporte era de 40t/hora o que permitiu o 

carregamento total do silo em cerca de 8 horas. Foram realizados dois ciclos completos 

de carregamento-armazenamento-descarga e os dados coletados simultaneamente e 

continuamente em todas as células no decorrer do carregamento, em 16 horas de 

armazenamento e no período do descarregamento. 

3.3 Ensaios com o silo piloto 

Para a medição direta das pressões no silo piloto foram utilizadas as mesmas 12 

células de pressão usadas no silo protótipo, inclusive mantendo a mesma identificação 

de cada uma e o respectivo canal a que foi conectado no sistema de aquisição de dados 

LINX quando da realização dos ensaios no silo protótipo. As células foram 

posicionadas no silo piloto de tal forma que mantivesse a mesma posição relativa às 

dimensões do silo protótipo. Em função da proposta desse trabalho (silo de baixa 

relação altura efetiva/diâmetro < 1,5) foram medidas as pressões para 3 relações h/d de 

modo obter experimentalmente as pressões com relação h/d com a realizada com o silo 

protótipo e h/d


9 

0,28 

0,38 

CP11 

CP10 

Nível da superfície de referência 

h = 1,78 

0,51 

0,18 

0,20 

0,23 

CP9 

CP8 

CP7 

CP6 CP5 

CP4 

CP3 

CP2 

CP12 

CP1 

0,15 0,26 0,25 0,50 0,25 0,26 0,15 

d = 1,82 

0,52 

Figura 4 – Posicionamento das células de pressão na parede e no fundo do silo piloto para 

h/d=0,98 

As células foram dispostas aleatoriamente em todo o perímetro do silo, 

respeitando-se a distância do seu centro até o nível de referência, pois devido as 

dimensões das mesmas não era possível mantê-las em um mesmo alinhamento. Com as 

células fixadas na parede do silo procedeu-se a sua conexão com o sistema de aquisição 

de dados LINX. A figura 5 mostra a instalação das células. Para a realização do 

carregamento da areia no silo foi utilizado um carregador pneumático acionado por uma 

motor de 50 Âmperes. A capacidade de armazenamento do silo nessa fase de ensaio foi 

de 7,2t de areia. A cada uma hora de carregamento interrompia-se o mesmo por cerca de 

20 minutos para que o motor da bomba do pneumático esfriasse e também para dar uma 

pausa ao operador responsável pelo carregamento da areia no depósito pelo qual era 

sugada até o silo, tendo em vista que o depósito era carregado manualmente, 

despejando-se nele a areia ensacada. Em média o carregamento completo para a relação 

h/d=0,98 levou cerca de 2 horas e uma vazão média de 3,5 t/hora descontados os 

períodos de interrupção. Foram realizados 4 ciclos completos de carregamentoarmazenamento-descarga. 

O carregamento era sempre realizado na parte da tarde para 

que no dia seguinte, pela manhã, ocorresse o descarregamento. Em média o produto 

ficava armazenado cerca de 16 horas. O descarregamento do silo foi realizado por dois 

operadores, abrindo–se a válvula e posicionando-se um saco de aninhagem, um após 

outro, sob a válvula para recolher a areia. Esse procedimento era executado de forma 

contínua o que levou a um fluxo dinâmico e contínuo no descarregamento do produto. 

A areia ensacada no descarregamento era então posicionada próxima ao local de 

carregamento. Após cada carregamento a superfície do produto era nivelada. Nos dois 

primeiros carregamentos foi mantida a posição da célula de pressão CP7 e nos dois 

últimos ela foi colocada a 15cm do fundo do silo de modo a verificar a pressão 

horizontal no ponto mais próximo possível do fundo. 


10 


(a) Células do fundo 

(b) Células da parede 

(c) Células da parede 

(d) células da parede 

Figura 5 – Instalação das células depressão para h/d=0,98 

Para a realização dos ensaios para a relação h/d=1,25 e h/d=1,49 foi montada a 

terceira parte do corpo do silo e a cobertura cônica. As figuras 6(a) e 6(b) apresentam de 

forma esquemática o posicionamento das células em relação ao nível de referência das 

relações h/d=1,25 e h/d=1,49 respectivamente. 

h = 2,27 

0,57 


0,36 

0,48 

CP11 

CP10 

CP10 

0,66 

CP9 

0,28 

CP9 

0,22 

CP12 

CP8 

CP12 

CP8 

0,49 

0,40 CP7 

CP7 

0,15 CP6 CP5 CP4 CP3 CP2 CP1 

0,15 CP6 CP5 CP4 CP3 CP2 CP1 

0,15 0,25 0,26 0,50 0,26 0,25 0,15 

0,15 0,25 0,26 0,50 0,26 0,25 0,15 

d = 1,82 

d = 1,82 

(a) h/d=1,25 

0,66 

h = 2,71 

CP11 


Figura 6 – Posicionamento das células de pressão na parede e no fundo do silo 

piloto com h/d=1,25 e 1,49 

0,43 

(b) h/d=1,49 



11 

Para cada uma das relações foram realizados 4 ciclos completos de 

carregamento-armazenagem-descarregamento. Para a relação h/d=1,25 foram 

armazenadas no silo cerca de 9,2t de areia enquanto para a relação h/d=1,49, 11t. 

Em todas as três relações h/d ensaiadas os dados foram registrados 

simultaneamente e continuamente por todas as células. Em média o carregamento 

completo para a relação h/d=1,25 levou cerca de 3 horas e para h/d=1,49,.4 horas, 

descontados os períodos de interrupção. Ao final de cada carregamento a superfície do 

produto era nivelada e o produto armazenado por cerca de 16 horas. De modo a agilizar 

o descarregamento foi colocada sob a válvula de descarga uma calha de modo que a 

mesma trouxesse a areia descarregada para fora da plataforma, de onde era recolhida em 

sacos de aninhagem da mesma forma que nos ensaios da relação h/d=0,98. No início de 

cada descarregamento a válvula de descarga era aberta com a máxima vazão para que 

fosse verificada a ocorrência de sobrepressões. A figura 7 detalhes de algumas etapas no 

carregamento e descarregamento do silo. 

(a) Silo em carga 

(b) Detalhe do carregamento do depósito e da 

ventoinha do carregador pneumático 

(c) Silo em descarga 

(d) Silo em descarga 

Figura 7 – Etapas dos ensaios com h/d=1,25 e h/d=1,49 no silo piloto 


12 


4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 

4.1 Propriedades físicas dos produtos armazenados 

De acordo com as recomendações das normas européias ISO 11697/95 e ENV 

1991-4/95, foram determinados o limite inferior e o limite superior das propriedades 

físicas dos produtos, de modo a obter-se a combinação mais desfavorável de 

carregamento na estrutura, considerando as possíveis mudanças das propriedades do 

produto com o tempo e as variações das amostras. O milho apresentou um teor de 

umidade de 13,9% e a areia foi classificada como grossa pelo ensaio de granulometria. 

A tabela 2 apresenta os valores encontrados para as propriedades físicas do 

milho e da areia através do ensaio de cisalhamento. 

Tabela 2 – Valores das propriedades físicas do milho e da areia obtidos no ensaio de 

cisalhamento 

Produto 

Propriedade Milho Areia 

φ i,m 32 0 35 0 

φ i,l 29 0 32 0 

φ i,u 37 0 40 0 

γ m 7,45kN/m 3 14,55kN/m 3 

γ u 8,57kN/m 3 16,73kN/m 3 

A tabela 3 apresenta os valores da relação entre as pressões, K, calculada com 

os valores do ângulo de atrito interno obtidos experimentalmente, para o milho e para a 

areia, adotando–se a formulação de Hartmann que é considerada de consenso entre os 

pesquisadores (CALIL JR, 1990) para silos metálicos de chapa de aço ondulada. 

Tabela 3 – Valores de K obtidos em função do ângulo de atrito interno determinado 

experimentalmente 

Valor da relação entre pressões, K 

Produto K m K l K u 

areia 0,50 0,42 0,56 

milho 0,56 0,47 0,62 

4.2 Ensaios do silo protótipo 

Os gráficos das figuras 8 a 10 apresentam os valores registrados pelas células de 

pressão, para as pressões verticais no fundo do silo, e o gráfico da figura 11, a pressão 

horizontal nas paredes em cada um dos ensaios realizados no silo protótipo. 



13 

Carregamento 

Descarregamento 

Carregamento 


Pressão vertical no fundo do silo - kPa 

40 

30 

20 

10 

0 

Período de repouso 

Região de sobrepressão 

Tempo - horas 

(a) Ensaio 1 – ciclo completo 

CP1 

CP6 


40 

30 

20 

10 

0 



CP1 

CP6 

Tempo - horas 

(b) Ensaio 2 – ciclo completo 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 

Carregamento Descarregamento 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 

Carregamento Descarregamento 

Figura 8– Silo protótipo - Pressões dinâmicas nas células 1 e 6 


60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 



CP2 

CP5 


70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 



CP2 

CP5 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 

Tempo - horas 


00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:0 

Tempo - horas 


Figura 9 – Silo protótipo - Pressões dinâmicas nas células 2 e 5 


14 


Carregamento Descarregamento Carregamento 


Pressão vertical no fundo do silo - 

30 

20 

10 

0 

Período de 


CP3 

CP4 


40 

30 

20 

10 

0 


Região de 

CP3 

CP4 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 

Tempo - horas 


00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 

Tempo - horas 


Figura 10 – Silo protótipo - Pressões dinâmicas nas células 3 e 4 



15 

(a) Posicionamento das células de pressão na parede do silo 

7,25 

1,05 0,85 0,40 0,40 2,40 1,65 0,50 

CP 11 

CP10 

CP9 

CP12 

CP8 

CP7 



30 

20 

10 

0 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Carregamento 

Período de 

repouso 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 

Tempo - horas 


Carregamento 

Período de 

repouso 



CP9 

CP10 

CP11 

CP12 

00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 

CP9 

CP7 

CP10 

CP8 

CP11 

CP12 

CP9 

CP10 

Região de CP11 

sobrepressão CP12 

CP7 

CP8 

CP9 

CP10 

CP11 

CP12 

Região de 

sobrepressão 

Tempo - horas 

(c) Ensaio 2 – ciclo completo 

Figura 11 – Silo protótipo - Pressões dinâmicas nas células da parede 

De acordo com os gráficos 8 a 11, pode-se observar que, sem exceção, todas as 

células de pressão registraram aumentos de pressão durante o período de repouso do 

produto. No ensaio 1, as células do fundo do silo tiveram um acréscimo de pressão em 

média de 18% e as células da parede 24%, durante o período de armazenamento. No 

ensaio 2, o acréscimo de pressão nas células do fundo do silo foi em média 8% e, nas 

células da parede, 26%. Observa-se, também, para as células do fundo do silo, que os 

valores medidos pelas células simétricas variaram durante as fases de carregamento e 

descarregamento, o que é justificado pela natureza aleatória das pressões em função da 

forma de carregamento e do produto armazenado. 

A tabela 4 apresenta os valores médios das pressões horizontais, na parede do silo, 

obtidas experimentalmente, após o período de repouso (≅ 16 horas). 


16 


Tabela 4 – Valores médios das pressões horizontais obtidas experimentalmente na 

parede do silo protótipo- Carregamento 

Pressão 

Célula 

horizontal CP7 CP8 CP12 CP9 CP10 CP11 

kPa 29,08 23,40 21,50 19,60 12,02 5,69 

A tabela 5 apresenta os valores médios das pressões verticais no fundo do silo 

obtidos experimentalmente, após o período de repouso (≅ 16 horas). 

Tabela 5 – Pressões verticais obtidas experimentalmente no fundo do silo protótipo 

Pressão 

Célula 

vertical CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 

kPa 42,36 63,87 34,15 38,57 54,38 38,57 

Dos gráficos da figuras 8 a 11, observa-se que algumas células registraram 

sobrepressão no início do descarregamento, mais notadamente nas paredes do silo. A 

tabela 6 apresenta os percentuais relativos ao acréscimo de pressão devido ao 

descarregamento em cada um dos ensaios realizados. 

Pressão 

horizontal 

kPa 

Tabela 6 – Variação percentual das pressões obtidas experimentalmente na fase de 

descarregamento 

Fundo 

Célula 

Parede 

CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 CP8 CP12 CP9 CP10 CP11 

Ensaio 1 4 0 0 0 5 10 5 6 12 7 0 0 

Ensaio 2 3 2 0 0 0 0 4 16 11 12 0 0 

Na tabela 6, verifica-se um acréscimo de até 10% na pressão vertical atuante no 

fundo do silo e de até 16% na pressão horizontal atuante na parede na fase de 

descarregamento. Observa-se, também, que a região crítica sujeita a sobrepressões na 

parede se situa entre as células 8 e 9 e corresponde, aproximadamente, ao terço inferior 

da parede. 

4.2.1 Pressão horizontal: análise e discussão 

Com os valores do coeficiente de atrito interno µ e os valores da relação entre 

pressões, K, determinados anteriormente, apresenta-se no gráfico da figura 12 os valores 

obtidos experimentalmente e os teóricos onde a pressão horizontal para cada um dos 

modelos estudados é obtida em duas hipóteses de cálculo: com os valores médios das 

propriedades físicas do milho (m) e a pressão máxima obtida com a combinação mais 

desfavorável dessas propriedades (s). Para as características geométricas do silo 

analisado, na situação de carregamento, as principais normas internacionais adotam o 

modelo de Janssen, com algumas alterações para o caso de relações h/d


17 

adoção também do modelo de Bischara para o cálculo teórico das pressões deu-se pelo 

fato deste modelo apresentar características diferentes do modelo de Janssen e ter sido 

obtido através do método de elementos finitos e de regressão não linear, com dados 

experimentais, como foi visto anteriormente. Foram também calculadas as pressões 

segundo o modelo de Coulomb, mas, tendo em vista que resultaram em pressões mais 

baixas que as do modelo de Airy, esse modelo não foi apresentado. 

0 


Profundidade - m 

0,79 

1,29 

2,94 

5,34 

5,74 

6,14 

6,99 

CP11 

CP10 

CP9 

CP12 

CP8 

CP7 

Legenda 

Janssen-m 

Janssen-s 

Reimbert-m 

Reimbert-s 

Rankine/Calil-m 

Rankine/Calil-s 

Airy-m 

Airy-s 

Bischara-m 

Bischara-s 

Valores experimentais 

Escala das pressões – 1:50 

Escala da profundidade – 1:100 

8,04 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

Pressão horizontal – kPa 

Figura 12– Pressões horizontais teóricas e experimentais - Carregamento 

No gráfico da figura 12, pode-se constatar que os valores obtidos 

experimentalmente não apresentaram comportamento assintótico em relação ao eixo da 

profundidade para a relação h/d ensaiada e ficaram relativamente próximos dos valores 

obtidos com o modelo linear de Rankine- Calil, com os valores médios das propriedades 

físicas do milho, propriedades essas que possuíam no momento do ensaio. Embora 

tenham também ficado relativamente próximos dos valores da curva limite superior de 

Janssen e também de Bischara, com exceção do valor obtido com a CP7, que ficou mais 

próximo da curva obtida com o modelo de A & M Reimbert, cumpre notar que a curva 

limite superior é aquela que irá produzir a situação mais desfavorável em relação às 

propriedades dos produtos, durante toda a vida útil do silo e para qual deverá ser 

projetado. 

A seguir, é feita uma análise comparativa entre os valores obtidos 

experimentalmente para as pressões horizontais estáticas com o silo protótipo e as 

principais normas internacionais e o modelo de Rankine-Calil. A figura 13 apresenta as 

pressões horizontais em duas hipóteses: com a combinação mais desfavorável das 

propriedades físicas do produto (limite superior) e com a combinação menos 

desfavorável (limite inferior), para a análise comparativa acima descrita. Para a norma 

americana foi adotada a formulação de Janssen. 


18 


0 


Profundidade z - m 

0,79 

1,29 

CP11 

2,94 

5,34 

5,74 

6,14 

CP10 

CP9 

CP12 

CP8 

Legenda 

s Limite superior 

i Limite inferior 

ISO=ENV -i 

ISO=ENV-s 

DIN=AS-i 

DIN=AS-s 

ACI-i 

ACI-s 

Rankine/Calil-i 


BMHB-i 

BMHB-s 



6,99 

CP7 

8,04 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 


Figura 13 – Valores experimentais x Normas e modelo Rankine-Calil 

Com exceção da norma inglesa BMHB, as demais normas constantes do gráfico 

13 adotam, para a previsão das pressões horizontais, o modelo de Janssen também para 

silos de baixa relação altura/diâmetro. Como, neste caso, as propriedades físicas dos 

produtos foram obtidas experimentalmente, o elemento diferenciador é o parâmetro K, 

proposto por cada uma das normas. As normas ENV e ISO adotam a mesma formulação 

para esse parâmetro; as normas DIN e AS, embora adotem formulações bastante 

diferenciadas, obtiveram valores iguais, pelo fato do ângulo de atrito interno do produto, 

φ i , ser igual ao ângulo de atrito com a parede, φ w . As formulações para o parâmetro K, 

propostas pelas normas ENV-ISO e DIN, diferenciam entre si de 10%, o que levou à 

pequena diferença verificada no gráfico da figura 13. Os baixos valores apresentados 

pela norma ACI são causados pelo fato da mesma adotar a formulação de Rankine- 

Koenen para o parâmetro K, que é a formulação que apresenta os menores valores para 

este parâmetro. 

O gráfico da figura 14 apresenta a regressão linear realizada com os valores das 

pressões horizontais na parede obtidas experimentalmente de modo a obter-se dados 

comparativos com o modelo de Rankine-Calil. 


0 


19 


2 

4 


Valores experimenta 

Regressão linear 

Legenda 


Regressão linear 

Rankine-Calil 

p h (z) = 3,87z R 2 = 0,99491 SD = 0,29488 

p h (z) = γ m K m z = 4,17z 

6 

Pressão horizontal - kPa 

8 

0 5 10 15 20 25 30 

Figura 14 – Regressão linear x Modelo Rankine-Calil 

Do gráfico da figura 14, pode-se observar que a regressão linear obtida com os 

valores experimentais apresenta uma boa correlação, o que indica que, para a relação 

h/d analisada (0,98), o modelo linear de Rankine-Calil pode ser adotado. A diferença 

percentual entre os valores obtidos com a regressão linear e o modelo de Rankine-Calil, 

nesse caso, é de 7,8%. 

4.2.2 Pressões Verticais no Fundo do Silo: Análise e Discussão 

A figura 15 apresenta os valores teóricos e os experimentais, para as pressões 

verticais no fundo do silo. 

90 

80 


70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 

820 

0,15 2,00 3,85 4,35 6,20 

8,05 

Cota - m 

Figura 15 – Pressões verticais teóricas e experimentais - Carregamento 

Legenda 

ENV 

ISO 

DIN 

AS 

ACI 

γ m .h 

γ u .h 

Valores 

experimentais 


Escala das cotas – 1:75 


20 


As baixas pressões verticais obtidas experimentalmente no centro do silo (CP3 e 

CP4), quando comparadas aos valores obtidos nos pontos quartos (CP2 e CP5), podem 

ser justificadas pelo posicionamento das mesma. Nos dois ensaios realizados, as células 

CP3 e CP4 ficaram posicionadas sobre a tela metálica relativamente flexível que cobria 

o túnel de descarga. JARRET et al citado por GOMES (2000) constataram que os 

resultados obtidos com a utilização de células de pressão em parede flexível foram bem 

menores que os previstos pelos modelos teóricos. Desta maneira não serão considerados 

os resultados experimentais registrados pelas células CP3 e CP4, para efeito de análise 

comparativa com os modelos teóricos. Levando-se em conta somente os resultados 

experimentais obtidos com as células CP1, CP2, CP5, CP6, observa-se, no gráfico da 

figura 10, que os modelos que melhor estimaram as pressões verticais na base do silo 

para efeito de projeto foram os da norma australiana AS, da norma alemã DIN, da 

norma européia ENV e o modelo γ u .h. A tabela 7 apresenta a diferença percentual entre 

a média dos valores das pressões verticais obtidos experimentalmente junto à parede 

(CP1, CP6) e nos pontos quartos (CP2, CP5) e os valores teóricos. 

Tabela 7 – Diferença percentual entre os valores das pressões verticais obtidos 

experimentalmente e os modelos teóricos – Silo protótipo 

Norma ou modelo 

Células ENV ISO DIN AS ACI γ m .h γ u .h 

CP1-CP6 +58 +42 +55 +34 +41 +48 +70 

CP2-CP5 +15 +2 +21 +30 -3 -1 +17 

4.2 Silo piloto 

A tabela 8 apresenta os valores médios das pressões obtidas experimentalmente na 

parede e no fundo do silo, nos 4 ensaios realizados em cada uma das relações h/d. 

Tabela 8 – Valores médios das pressões obtidas experimentalmente na parede (P) 

e no fundo (F) em cada relação h/d ensaiada no silo piloto – Carregamento (kPa) 

Relação h/d 

Célula 0,98 1,25 1,49 

CP1 F 22,13 27,18 33,20 

CP2 F 23,40 28,43 35,42 

CP3 F 24,98 32,88 38,58 

CP4 F 25,29 32,56 39,52 

CP5 F 22,76 29,07 36,04 

CP6 F 21,81 28,75 33,20 

CP7 P 11,38 12,33 13,60 

CP8 P 9,17 10,75 11,38 

CP12 P 8,85 10,44 11,06 

CP9 P 8,20 9,80 10,44 

CP10 P 5,06 5,98 6,96 

CP11 P 1,90 2,84 3,78 

Todas as células de pressão, sem exceção, registraram aumento de pressão durante 

o período de repouso. Em média, nas três relações h/d ensaiadas, houve um aumento de 

15% nas células do fundo e de 25% nas células da parede. Observou-se, também, para 

as células do fundo do silo que os valores medidos pelas células simétricas variaram 



21 

durante as fases de carregamento e descarregamento, mas não tão acentuadamente como 

no silo protótipo. 

Na fase de descarregamento dos ensaios das relações h/d=1,25 e h/d=1,49, 

observou-se a ocorrência de sobrepressões na parede do silo, o mesmo não acontecendo 

nos ensaios da relação h/d=0,98. Em nenhum dos ensaios se observou a ocorrência de 

sobrepressões na base do silo. Em ambas as relações, o percentual relativo à 

sobrepressão foi de aproximadamente 12% na CP8 e de 11% na CP12. 

4.2.1 Pressões horizontais: Análise e discussão 

As figuras 16, 17 e 18 apresentam, graficamente, os valores experimentais e 

teóricos das pressões horizontais para h/d=0,98, h/d=1,25 e h/d=1,49 respectivamente, 

na situação de carregamento. 

0 


Legenda 

Profundidade - 

0,28 

0,66 

1,17 

1,26 

1,35 

1,63 

CP11 

CP10 

CP9 

CP12 

CP8 

CP7 

Janssen-m 

Janssen-s 

Reimbert-m 

Reimbert-s 



Airy-m 

Airy-s 

Bischara-m 

Bischara-s 




1,78 

0 5 10 15 


Figura 16 – Pressões horizontais teóricas e experimentais - h/d=0,98 - Carregamento 


22 


0 


Profundidade - 

0,36 

0,84 

1,50 

1,61 

1,72 

CP11 

CP10 

CP9 

CP12 

CP8 

Janssen-m 

Janssen-s 

Reimbert-m 

Reimbert-s 



Airy-m 

Airy-s 

Bischara-m 

Bischara-s 




2,12 

2,27 

CP7 

0 5 10 15 20 


Figura 17– Pressões horizontais teóricas e experimentais - h/d=1,25 - Carregamento 

0 


0,43 

1,00 

1,79 

1,93 


CP11 

CP10 

CP9 

CP12 

Legenda 

Janssen-m 

Janssen-s 

Reimbert-m 

Reimbert-s 



Airy-m 

Airy-s 

Bischara-m 

Bischara-s 




2,07 

CP8 

2,56 

CP7 

2,71 


0 5 10 15 20 25 

Figura 18 – Pressões horizontais teóricas e experimentais - h/d=1,49 - Carregamento 



23 

A partir dos gráficos das figuras 16 a 18, pode-se observar que os modelos de 

Airy, Janssen e M &R Reimbert não se mostraram adequados aos valores obtidos 

experimentalmente para as pressões horizontais na parede do silo, na região 

correspondente, aproximadamente, ao último terço da altura (CP7, CP8, CP12, CP9). 

Os valores obtidos com o modelo linear de Rankine-Calil se afastam muito dos valores 

experimentais, à medida que aumentou a relação h/d. Considerando as curvas para 

relação h/d ensaiada, obtida com os valores médios das propriedades da areia, valores 

esses que possuíam no momento do ensaio, o modelo de Bischara mostrou-se bastante 

ajustado aos valores experimentais. Na relação h/d=0,98 (figura 16), analogamente ao 

ensaio com o silo protótipo, o modelo de Rankine-Calil mostrou-se bastante adequado 

para a previsão teórica das pressões para relações h/d

24 




0,0 

0,5 

1,0 

1,5 

2,0 


Ajuste linear 

Ajuste exponencial 

Rankine-Calil-m 

Bischara-m 

p h (z) = 5,93z + 0,59 R 2 = 0,99338 SD = 0,58591 

p h (z) = 36,31e -0,059(z-2,75) –23,16 R 2 = 0,99905 SD = 0,1753 

p h (z) = 7,27z 

0 5 10 15 


Figura 20 – Ajustes Estatísticos x Modelos Rankine-Calil e Bischara – h/d=1,25 

0,0 



0,5 

1,0 

1,5 

2,0 

2,5 


Ajuste linear 

Ajuste exponencial 

Rankine-Calil-m 

Bischara-m 

p h (z) = 5,11z + 1,03 R 2 =0,99126 SD = 0,69992 

p h (z) = 42,5e -0,033(z-3,43) –28,18 R 2 = 0,9935 SD = 0,30506 

p h (z) =7,27z 

0 5 10 15 20 


Figura 21– Ajustes estatísticos x Modelos Rankine-Calil e Bischara – h/d=1,49 

No gráfico da figura 19, pode-se observar que o ajuste linear obtido com os 

valores experimentais das pressões horizontais na parede do silo, para a relação 

h/d=0,98, apresentou uma boa correlação, indicando que, para essa relação, um modelo 

linear como o de Rankine-Calil pode ser adotado para a previsão das pressões 

horizontais na parede do silo. A diferença percentual entre os valores obtidos com a 

regressão linear e o modelo de Rankine-Calil, nesse caso, é de -3,7%. 

Nos gráficos das figuras 20 e 21, relativos a h/d=1,25 e h/d=1,49 

respectivamente, observa-se que o ajuste linear obtido com os valores experimentais não 

apresentou o mesmo grau de correlação, como na relação h/d=0,98. O modelo linear 



25 

como o de Rankine-Calil poderia ser ainda adotado, mas seria um modelo um tanto 

conservativo em relação às pressões horizontais correspondentes ao último terço da 

altura do silo. O ajuste exponencial apresentou uma boa correlação e indicou um 

comportamento levemente curvilíneo das pressões horizontais na parede para h/d>1, 

semelhante ao modelo de Janssen e Bischara, talvez, já pelo efeito do atrito do produto 

com a parede. 

A análise da forma obtida com o ajuste exponencial para os casos de h/d=1,25 

e h/d=1,49, do modelo de Bischara e de Janssen, permitiu a obtenção de uma 

formulação empírica para a previsão das pressões horizontais na parede, como a seguir: 

p 

h 

(z) = 

d 

2 

γ 

µ 

⎛ 

⎜ 

1 − e 

⎝ 

−z 

d 

⎞ 

⎟ 

cosφ 

⎠ 

i 

Adotando-se os valores de K, µ, γ e φ i de modo a obter-se a combinação mais 

desfavorável das propriedades físicas da areia (limite superior) e a menos desfavorável 

(limite inferior), tendo em vista a tendência mundial de dimensionamento das estruturas 

pelo método dos estados limites, a seguir, será feita uma análise comparativa entre os 

valores obtidos experimentalmente para as pressões horizontais estáticas, com o silo 

piloto, para as três relações h/d ensaiadas, com base nas principais normas 

internacionais, no modelo de Rankine-Calil e no modelo empírico proposto. As figuras 

22, 23 e 24 apresentam as pressões horizontais em duas hipóteses: com a combinação 

mais desfavorável das propriedades físicas do produto (limite superior) e com a 

combinação menos desfavorável (limite inferior), para a análise comparativa acima 

descrita. Para a norma americana foi adotada a formulação de Janssen. 

(10) 


0 

0,28 

0,66 

CP9 

1,17 

1,26 

CP12 

1,35 

CP8 

1,63 

1,78 


CP1 

CP10 

CP7 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 


Legenda 




Proposta-i 

Proposta-s 

ISO=ENV-i 

ISO=ENV-s 

DIN=AS-i 

DIN=AS-s 

ACI-i 

ACI-s 


Rankine-Calil-s 

BMHB-i 

BMHB-s 



Figura 22 – Valores experimentais x Normas, modelo Rankine-Calil e formulação proposta 

para o silo piloto - h/d=0,98 


26 



0 

0,36 

CP11 

CP10 

0,84 

CP9 

1,50 

CP12 

1,61 

1,72 

CP8 

CP7 

2,12 

2,27 

0 



s 

i 

Legenda 

Limite superior 

Limite inferior 

Proposta-i 

Proposta-s 

ISO=ENV-i 

ISO=ENV-s 

DIN=AS-i 

DIN=AS-s 

ACI-i 

ACI-s 



BMHB-i 

BMHB-s 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 



Figura 23 – Valores experimentais x Normas, modelo Rankine-Calil e formulação proposta 

para o silo piloto - h/d=1,25 

0 



0,43 

CP11 

1,00 

CP10 

1,79 

CP9 

CP12 

1,93 

2,07 

CP8 

Legenda 



l 

Proposta-i 

Proposta-s 

ISO=ENV-i 

ISO=ENV-s 

DIN=AS-i 

DIN=AS-s 

ACI-i 

ACI-s 



BMHB-i 

BMHB-s 



CP7 

2,56 

0 5 10 15 20 25 

2,71 


Figura 24 – Valores experimentais x Normas, modelo Rankine-Calil e 

formulação proposta para o silo piloto - h/d=1,49 



27 

Tendo em vista os valores das pressões horizontais obtidos experimentalmente e 

considerando que as curvas constantes nos gráficos das figuras 22 a 24 foram obtidas 

com as propriedades do produto armazenado, de modo a propiciar a combinação mais 

desfavorável e a menos desfavorável em cada formulação, observa-se que, 

comparativamente às normas analisadas, a formulação proposta foi a que se mostrou 

mais adequada para a previsão das pressões horizontais em silos de baixa relação 

altura/diâmetro, com h/d>1; para relações h/d≤1,0, a formulação de Rankine-Calil é a 

que se apresenta mais indicada. 

4.2.2 Pressão vertical na base do silo piloto: Análise e discussão 

As figuras 25, 26 e 27 apresentam, graficamente, os valores experimentais e 

teóricos das pressões verticais na base do silo para h/d=0,98, h/d=1,25 e h/d=1,49, 

respectivamente. 


30 

20 

10 

Legenda 


ENV ≅ DIN = γ u .h 

ISO 

AS 

ACI 

γ m .h 




0 0 0,15 0,41 0,66 1,16 1,41 1,67 1,82 

Cota - m 

Figura 25 – Pressões verticais teóricas e experimentais no fundo do silo piloto - h/d=0,98 


40 

30 

20 

10 

0 


0,15 

0,41 0,66 1,16 1,41 1,67 1,82 

Cota - m 

Legenda 


DIN = γ u .h 

AS 

ACI 

ENV 

ISO 

γDIN 

m .h 





28 



50 

40 

30 

20 

10 

Legenda 


ENV 

IS O = A C I 

DIN 

AS 

γ m .h 

γ u .h 




0 0 0,15 0,41 0,66 1,16 1,41 1,67 1,82 

Cota - m 


Embora a superfície livre do produto, nas três relações h/d ensaiadas, fosse plana, 

observa-se, nos gráficos das figuras 25, 26 e 27, que as pressões verticais na região 

central do fundo do silo foram sempre maiores do que as pressões junto à parede, de 

certa forma semelhante aos valores obtidos com a formulação da norma australiana para 

silos de fundo plano. Observa-se, também, que as pressões obtidas experimentalmente 

na região central do silo ficaram relativamente próximas de γ m h, nas três relações h/d 

ensaiadas. No caso da relação h/d=0,98, a formulação da norma australiana e a 

formulação γ m h foram as que melhor estimaram as pressões verticais na base do silo. 

Para relações h/d>1, a norma australiana considera também uma variação parabólica das 

pressões verticais, mas, no centro, ela adota a formulação de Janssen multiplicada por 

1,25. Considerando que, com exceção da formulação γ m h, os valores teóricos foram 

obtidos com a combinação mais desfavorável das propriedades físicas da areia, a 

formulação que melhor estimou as pressões verticais na base do silo foi a formulação 

γ m h. 

A partir da análise dos valores obtidos experimentalmente e da formulação da 

norma australiana, é proposta a formulação empírica para a determinação das pressões 

verticais na base do silo, como a seguir: 

⎡ 

2 

⎛ x ⎞ 

⎤ 

p v (z) = γh⎢1 

− 0,9⎜ 

⎟ ⎥ onde x varia de –R a R (11) 

⎢⎣ 

⎝ d ⎠ ⎥⎦ 

x = 0 no centro do silo 

O gráfico da figura 28 apresenta os valores médios obtidos experimentalmente, 

o modelo empírico proposto, a formulação da norma australiana e as formulações γ m h e 

γ u h, para relação h/d=0,98. Os gráficos das figuras 29 e 30 apresentam os valores 

obtidos experimentalmente, o modelo empírico proposto e as formulações γ m h e γ u h, 

para relação h/d=1,25 e 1,49. 



29 

40 


30 

20 

10 

0 

0 

CP3 

CP4 

0,25 

CP2 

CP5 

0,50 0,76 0,91 

Cota - m 

γ u .h 

γ m h 

AS 

Modelo empírico – s 

Modelo empírico - m 




Figura 28 - Pressão vertical: Formulação empírica x teóricas e experimentais – 

h/d=0,98 

CP1 

CP6 

Legenda 


40 

30 

20 

10 

0 

0 

Cota - m 

CP3 CP2 CP1 

CP4 CP5 CP6 

0,25 0,50 0,76 0,91 

Legenda 

γ u .h 

γ m .h 

Modelo empírico - s 





Figura 29 – Pressão vertical: Formulação empírica x teóricas e experimentais – 

h/d=1,25 


40 

30 

20 

10 

CP4 

CP3 

0 

0 

CP2 

CP5 

CP1 

CP6 

Legenda 

γ u .h 

γ m .h 

Modelo empírico - s 





0,25 0,50 0,76 0,91 

Cota - m 

Figura 30 – Pressão vertical: Formulação empírica x teóricas e experimentais – 

h/d=1,49 


30 


A tabela 9 apresenta a diferença percentual entre os valores obtidos experimentalmente 

para as pressões verticais na base do silo e o modelo empírico proposto, para cada uma 

das hipóteses analisadas, e as formulações teóricas que melhor estimaram as pressões 

verticais, para cada relação h/d ensaiada. 


experimentalmente e as teóricas para cada relação h/d ensaiada no silo piloto 

h/d=0,98 h/d=1,25 h/d=1,49 

Modelo 

parede centro parede centro parede centro 

γ u h +36 +19 +36 +16 +37 +16 

Modelo s +14 +24 +14 +15 +15 +14 

empírico m ≅0 +1 ≅0 ≅0 ≅0 ≅0 

AS +22 +44 -- -- -- -- 

Observa-se, nos gráficos das figuras 28 a 30 e na tabela 9, que o modelo 

empírico proposto, comparativamente ao conjunto dos valores experimentais, faz uma 

boa previsão das pressões verticais na base do silo. 

De modo a verificar o desempenho do modelo empírico proposto para as 

pressões verticais em silos que não tenham a superfície livre do produto nivelada e, 

também, com outro produto diferente da areia, a figura 31 apresenta o modelo empírico 

para o silo protótipo. 


90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

CP2 CP1 

CP5 CP6 

0 410 

0 

2,10 3,95 

Cota - m 

Figura 31– Pressões verticais: Modelo empírico x pressões verticais teóricas e 

experimentais para o silo protótipo 

Legenda 

DIN 

AS 

ENV 

γ u .h 

γ m .h 

Modelo empírico-m 

Modelo empírico -s 




A tabela 10 apresenta a diferença percentual entre os valores obtidos 

experimentalmente para as pressões verticais na base do silo protótipo e os valores 

teóricos que melhor estimaram as pressões verticais. 



31 


experimentalmente e os modelos teóricos e o empírico– Silo protótipo 

Células ENV DIN AS γ u .h Modelo empírico 

CP1-CP6 +58 +55 +34 +70 s +35 

m +17 

CP2-CP5 +15 +21 +30 +17 s +10 

m -5 

No gráfico da figura 31 e na tabela 10, observa-se que o modelo empírico proposto, 

comparativamente aos outros modelos, também apresenta uma boa estimativa das 

pressões verticais na base do silo protótipo. 

5 CONCLUSÕES 

Do estudo teórico e experimental realizado neste trabalho, pode-se concluir que: 

Em relação às pressões horizontais nas paredes 

• A análise comparativa realizada com as principais normas internacionais mostraram 

a existência de diferenças bastante significativas entre os valores obtidos, 

considerando a combinação mais desfavorável das propriedades dos produtos. Na 

condição estática, ocorreram diferenças de até 32% enquanto, na dinâmica, de até 

77%. 

• Os modelos de Airy, Janssen e M & A Reimbert não se mostraram adequados para a 

previsão das pressões horizontais na parede do silo na situação de carregamento, 

tanto no silo protótipo quanto em nenhuma das relações h/d ensaiadas no silo piloto. 

No silo protótipo, os valores experimentais chegaram a ser maiores que os obtidos 

com os modelos acima citados: 136, 70 e 48%, respectivamente. No silo piloto, os 

valores experimentais foram maiores que os modelos de Airy, Janssen e M & A 

Reimbert, em média, para as três relações h/d ensaiadas: 103, 67 e 54%, 


• A maioria das normas internacionais adota a teoria de Janssen para a determinação 

das pressões horizontais, mesmo para silos de baixa relação altura/diâmetro ou, como 

no caso da norma inglesa, que adota uma formulação semelhante a de M & A 

Reimbert, resultando que nenhuma delas se mostrou adequada para a previsão das 

pressões horizontais, sobretudo no terço inferior da parede do silo, tanto no silo 

protótipo quanto no silo piloto, nas três relações h/d ensaiadas. Considerando a 

combinação mais desfavorável das propriedades dos produtos, na profundidade 

máxima, os valores experimentais chegaram a ser maiores que os obtidos com as 

normas analisadas em até 110% no silo protótipo e, no silo piloto, de até 53%, na 

relação h/d=0,98; 43%, na relação h/d=1,25 e 46%, na relação h/d=1,49. As 

diferenças percentuais acima obtidas entre os valores teóricos e os experimentais é 

uma das razões do grande número de acidentes com silos de baixa relação 

altura/diâmetro que ocorrem em todo o mundo. 

• Tendo em vista os valores experimentais obtidos tanto no silo protótipo quanto no 

silo piloto para a relação h/d=0,98, recomenda-se a adoção do modelo linear de 

Rankine-Calil para silos com relações h/d≤1, isto é: 


32 


p h (z) = K.γ.z, com 

2 

1 − sen φ 

K = 

i 

. 

2 

1 + sen φ 

i 

• Para a determinação das pressões horizontais em silos 1


33 

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

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Construction of Concrete Silos and Stacking Tubes for Storing Granular 

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design of silos, bins, bunkers and hoppers. Berkshire. 213p. 

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(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

GEOKON INCORPORATED (1998). Disponível em: . 

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São Carlos. 205p. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – 

Universidade de São Paulo. 

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34 


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MILANI, A. P. (1993). Determinação das propriedades de produtos armazenados 

para o projeto de pressões e fluxo em silos. São Carlos. 272p. Tese (Doutorado) - 

Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

REIMBERT, M. A. (1979). Silos: teoría y práctica. Buenos Aires: Editorial Américalee 

S.R.L. 464p. 

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bunkers. New York: Van Nostrand Reinhold Company Inc. 468p. 

WIJK, L. A. (1993). Earthquake resistance of mammoth silos of the Eurosilo type. 

241p. Tese (Doutorado) - Universiteit Twente - The Netherlands. 


ISSN 1809-5860 

ESTUDO TEÓRICO E EXPERIMENTAL DAS AÇÕES 

EM SILOS HORIZONTAIS 

Francisco Carlos Gomes 1 & Carlito Calil Júnior 2 

Resumo 

O projeto seguro e econômico das estruturas de armazenamento é função das máximas 

ações impostas e da resistência destas estruturas de suportar tais ações, observadas as 

combinações mais desfavoráveis. Entre as ações consideradas nos cálculos dos silos 

horizontais (peso próprio, peso de equipamentos, vento, recalques diferenciais de 

apoios, impacto de veículos, explosões, etc), a de maior importância é a causada pelo 

empuxo dos produtos armazenados e que foi objeto de estudo nesta pesquisa. Este 

trabalho foi realizado em duas etapas, teórica e experimental, procurando avaliar estas 

ações com base em teorias e métodos de cálculo de diversos autores. Na tremonha do 

silo, as pressões foram avaliadas através do método de cálculo proposto por Safarian 

& Harris, da teoria de Walker e da Norma Australiana AS 3774. Nas paredes, foram 

avaliadas as pressões de acordo com as teorias de Airy, Reimbert & Reimbert, 

Coulomb e Rankine e da norma americana ANSI/96. Os modelos teóricos foram 

estudados e comparados com os resultados obtidos através de medições diretas das 

pressões em modelo piloto e silo horizontal em escala real com a determinação da 

relação entre as pressões verticais e horizontais (K). Dos resultados obtidos propõe-se 

um novo método de cálculo com base em um modelo empírico para a determinação das 

pressões horizontais nestas unidades. 

Palavras-chave: Silos horizontais; ações; pressões; produto armazenado. 


A necessidade de ampliar a capacidade estática da rede armazenadora atendendo 

as exigências dos novos materiais de construção e das solicitações de projeto tornaram o 

estudo de silos bastante empolgante para os pesquisadores, projetistas e construtores. 

Dentre os temas desenvolvidos, o estudo do comportamento das pressões tem se 

destacado nas diversas áreas de pesquisa relacionada às estruturas de armazenamento. 

Nas últimas décadas muitos trabalhos foram desenvolvidos em relação à determinação 

das pressões nos silos, com ênfase às estruturas verticais. Pouco se conhece sobre as 

teorias empregadas no estudo dos silos horizontais e um número restrito de pesquisas 

retratam as dificuldades encontradas para a avaliação dessas estruturas. 

1 Professor da UFLA - Departamento de Engenharia, fcgomes@ufla.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br 


36 

Francisco Carlos Gomes & Carlito Calil Júnior 

Atualmente, encontramos vários trabalhos desenvolvidos por pesquisadores 

brasileiros na área de silos. Entretanto, desenvolveu-se um vasto domínio sobre os silos 

verticais em detrimento aos silos horizontais, tão largamente difundidos e executados a 

partir do final da década de 70. Tais fatos, induziram à elaboração de um trabalho de 

pesquisa cujo resultado fosse um texto que abordasse com mais profundidade o 

comportamento das pressões, as aplicações mais freqüentes e os aspectos relacionados 

com os problemas dos silos horizontais, no universo das Engenharias Civil e Agrícola. 

Sendo um trabalho pioneiro para as unidades horizontais, os objetivos foram 

assim estabelecidos: 1- Comparação dos resultados teóricos com os experimentais, 

obtidos em modelo piloto e em um silo horizontal através de medições diretas das 

pressões. 2- Proposição de uma formulação empírica para a relação entre as pressões 

laterais e verticais, através do coeficiente K. 3- Definição de um coeficiente de 

sobrepressão de descarga para estas unidades. 

Em síntese, o estudo teórico e experimental das pressões objetiva balizar os 

métodos numéricos que venham a ser desenvolvidos, tornando as análises mais 

refinadas nos estudos futuros. 

2 DEFINIÇÕES 

2.1 Silos horizontais 

Devido a não existência de códigos normativos brasileiros, muitas denominações 

são dadas para este tipo de estrutura, existindo ainda algumas controvérsias sobre a 

terminologia a ser adotada. Em algumas regiões estas unidades são chamadas de 

armazéns graneleiros ou simplesmente graneleiros. A denominação armazém surgiu 

com a utilização das unidades destinadas para o armazenamento de café em sacarias. 

Algumas destas unidades foram adaptadas para estocar produtos a granel. WEBER 

(1995), classifica estas unidades como armazéns granelizados. 

Com as inovações construtivas adaptadas aos projetos originais e a otimização 

das condições de armazenamento e processamento, estas unidades passaram a ter fundo 

inclinado no formato V, duplo V e triplo V e ainda semi-plano. Com a instalação de 

cabos de termometria para controle da aeração e umidade da massa de grãos estas 

estruturas passaram a ter “status” de silos. NEGRISOLI (1997), emprega a terminologia 

“silos horizontais” apenas para as unidades elevadas, enquanto que as demais são 

denominadas armazéns graneleiros ou simplesmente graneleiros. 

Neste trabalho são descritas as unidades de acordo com a terminologia proposta 

pela ABNT (1990), TB – 377. De acordo com esta terminologia o silo horizontal é uma 

“estrutura que se desenvolve segundo o eixo horizontal”. 

As características construtivas aqui descritas estão de acordo com os projetos 

desenvolvidos pelo Engenheiro Ari Negrisoli ( Engesilos – Consultoria e Projetos SC) e 

observações feitas pelo autor durante as visitas realizadas. 

2.1.1 Silos horizontais não elevados 

Estas estruturas de armazenamento apresentam seção transversal de acordo com 

o formato do piso (plano, semi - plano ou semi - V, V e duplo V), e ainda quanto à sua 

instalação em relação ao nível do terreno (térreos, enterrados, semi - enterrados), 

limitando-se a sua escolha a capacidade pretendida, topografia do terreno, limitações da 

área, tipo de terreno, nível do lençol freático e finalmente o tipo de produto a ser 



37 

armazenado. Detalhes das instalações com o fundo plano, fundo “V” e duplo “V”, 

podem ser vistos nas figuras 1 e 2. 

Paredes 

As paredes laterais e frontais são geralmente construídas com pilares e placas 

pré moldadas, formando uma estrutura articulada, ao longo de todo o perímetro, 

permitindo acomodações resultantes de possíveis recalques. Esta solução permite abrir 

mais frentes de trabalho, sobrepondo as atividades na obra, reduzindo os prazos e os 

custos das construções. A proteção contra a entrada de água de chuva é garantida por 3 

elementos (beiral do telhado, cordão de mastique ao longo dos três lados da placa e 

encaixes da placa com a viga baldrame. 

Fundo 

A execução do piso do silo depende da seção transversal e do tipo de terreno. 

Para os silos com fundo tipo “V”, o piso pode ser de concreto simples, sem nenhuma 

armadura. Para as unidades de fundo semi - “V”, deve-se construir o piso de dois tipos : 

nas partes inclinadas, o piso deve ser igual ao dos silos de fundo “V”, nas partes planas, 

deverá ser projetado para suportar o tráfego de veículos do tipo de pás carregadoras, 

pequenos tratores e até mesmo caminhões. Para os silos de fundo plano a armação do 

piso é sempre necessária. 

Sempre que possível adota-se o fundo “V” ou duplo “V”, para que a descarga 

seja feita por gravidade, reduzindo-se custos operacionais e conservando-se a 

integridade dos grãos. Os ângulos de inclinação do piso são adotados para que o 

escoamento dos produtos ocorra só pela ação da gravidade sendo que o plano dos pisos 

laterais deva ter um ângulo mínimo de 35 o com o plano horizontal. Nos oitões o ângulo 

deve ser maior ou igual a 45 0 , para que a aresta resultante da interseção deste piso com a 

lateral, permita ainda o escoamento do produto por gravidade. 

Fundação 

Os silos horizontais não elevados constituem o tipo de estrutura, que melhor 

permite aplicar as cargas diretamente sobre o terreno. Quanto maior, mais baixo o custo 

por tonelada armazenada. Mesmo para terrenos de baixa resistência , tem sido possível 

projetá-los com fundações diretas. Neste caso, ocorrerão recalques com variações, 

aproximadamente lineares. As estruturas deverão ser divididas em trechos, separados 

por juntas do tipo de dilatação. Se os recalques são pequenos, as juntas poderão ser mais 

distanciadas, caso contrário deverão ficar mais próximas, (NEGRISOLI,1995). 

A galeria subterrânea é projetada estaticamente, para resistir as cargas da coluna 

do cereal, do peso próprio e das pressões do terreno, sendo sua fundação, executadas 

por estacas, em certas situações. 

Cobertura 

A cobertura, a galeria superior e as estruturas da cobertura e de fechamento dos 

oitões são metálicas, projetadas para as ações devidas ao peso próprio, ventos 

transversal e longitudinal, carga da galeria superior, cargas de equipamentos e possíveis 

recalques das fundações. Geralmente a estrutura de cobertura é em arco treliçado biarticulado. 

Existem exemplos com grandes vãos em concreto, tais como o terminal de 

açúcar de Recife e o terminal de Sumaré e ainda estruturas em madeira laminada colada, 

bastante difundidas na Europa. As telhas, geralmente, são de alumínio ou de aço 

galvanizado. 


38 


Nas regiões produtoras de cereais, os terrenos são de menor custo, resultando 

uma preferência na utilização das unidades horizontais e de silos metálicos de altura 

máxima igual ao diâmetro. Em terrenos onde não é possível a escavação tipo “V”, optase 

pelo fundo duplo ou triplo “V”, aumentando o número de transportadores, mas em 

contrapartida aumentam a vazão de descarga do produto. 

Neste tipo de construção a estrutura metálica participa com 25 a 30% do custo 

total, em relação ao custo da escavação, concretagem do piso, paredes periféricas e 

impermeabilizações sendo a opção mais utilizada dentre os materiais de construção. 

3.5 

3.5 

27° 

35° 

2.0 

10.6 9.17 

3.15 

2.5 

35° 

9.0 9.0 9.0 9.0 

2.0 

4.3 9.17 

3.15 

2.5 

18 18 

36.0 

(a) 

(b) 

Figura 01 - Silo horizontal - (a) fundo “V” - (b) Fundo “W” 

3.5 

27° 

35° 

2.0 

9.17 

4.3 

3.15 

2.5 

18 18 

36.0 

3.5 

9.17 

2.5 

2.0 

3.15 

9.0 18.0 9.0 

36.0 

Figura 02 - (a) Silo horizontal fundo semi-plano e plano. (b) – vista interna do silo 

2.1.2 Silos horizontais elevados 

A CEAGESP construiu duas unidades deste tipo com estruturas monolíticas em 

toda a sua execução (S.J. da Barra e Araraquara). Em outras duas unidades a estrutura 

de cobertura é composta por placas pré moldadas e formas trepantes nas paredes. O 

problema de infiltração de algumas unidades só foi resolvido com execução de 

cobertura com telhas de aço galvanizado sobre a laje. Duas grandes vantagens destas 



39 

instalações podem ser citadas : a primeira é que são herméticas; a segunda, por serem 

elevadas e de grande comprimento (100m), funcionam como silos de expedição 

rodoviária, numa lateral e ferroviária na outra, (figura 3). 

De acordo com BAIKOV (1978), estas estruturas são chamadas de “Bunker”. 

No dimensionamento, a altura das paredes deve ser menor que 1,5 da menor dimensão 

do silo. Para efeitos de cálculo o autor desconsidera o atrito do produto com as paredes 

e recomenda que o ângulo de inclinação das paredes da tremonha deva ser 5 a 10% 

maior que o ângulo de repouso do produto armazenado. Ainda recomenda que a menor 

dimensão da boca de saída deva ser 6 vezes maior que a dimensão do produto e que o 

cálculo da estrutura deve se basear no estado limite último, ou seja, considerando os 

tipos de ruptura possíveis de ocorrer. 

2300 

45 

177 

30° 

960 

450 

560 370 440 370 560 

1740 

20.15 

35° 

Argola p/ ancoragem dos 

cabos de termometria 

50x40 

522 

Furo 72x72 p/ porta de 

inspeção (1 por célula) 

72x72 

Enchimento 

p/ caimento 

1 

80 

29 

Dim. cm 

Figura 03 – Silo horizontal elevado 

3 MATERIAIS E MÉTODOS 

Para o desenvolvimento do presente trabalho e atendimento dos objetivos 

propostos foram seguidas as atividades abaixo descritas, adotando-se a metodologia que 

foi dividida em duas etapas : - Teórica ; cálculo das pressões utilizando os modelos 

teóricos; - Experimental ; medições diretas de pressões através de células em modelo 

piloto e em silo real com a determinação da relação K (p h /p v ) das pressões horizontais e 

verticais. 


40 


3.1 Teorias 

As formulações teóricas empregadas nos cálculos para estimativa das pressões 

em silos horizontais são apresentadas no quadro 1. As teorias de Rankine, Coulomb, 

Airy e Reimbert & Reimbert, foram empregadas nos cálculos das pressões nas paredes 

do corpo do silo e a teoria de estimou as pressões no fundo do silo (tremonha). 

Quadro 01 – Teorias empregadas – cálculo das pressões horizontais. 

Rankine 

pa 

= K 

a 

pv 

= K 

aγz 

cosφr 

p = K p = K γz 

cosφ 

Coulomb 

Airy 

Reimbert & Reimbert 

Walker 

K 

K 

a 

_ 

pVT 

a 

= 

p 

cos φ 

= 

cos φ 

cosφ 

w 

r 

r 

⎡ 

⎢1 

+ 

⎢⎣ 

p 

− 

+ 

v 

cos 

cos 

2 

2 

p 

φ 

φ 

r 

r 

r 

− cos 

− cos 

2 

2 

φ 

φ 

2 

cos φi 

sen( φi 

+ φw 

)sen( φi 

− φr 

) ⎤ 

⎥ 

cosφw 

cosφr 

⎥⎦ 

⎛ 1 ⎞ 

ph = γy⎜ 

⎟ 

⎜ 

2 

( ') 

1 ⎟ 

⎝ µ µ + µ + + µ ⎠ 

2 

2 

γh 

⎛ π − 2φ 

r 

⎞ ⎞ 

= 

⎜ 

⎟ ⎜ 

⎛ 2φ 

+ r 

ph 

1 ⎟ 

2 ⎝ π + 2φ 

r ⎠ ⎝ π ⎠ 

Dinâmica 

( n −1) 

γ H ⎡⎛ 

z ⎞ ⎛ z ⎞ ⎤ 

⎛ 

= ⎢⎜ 

⎟−⎜ 

⎟ ⎥ + pvt⎜ 

( n−1) 

H H 

⎝ 

⎣⎢ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ 

Estática 

_ 

p = γy 

+ 

VT 

p 

vt 

i 

i 

2 

Z 

H 

2 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

n 

3.2 Determinação das propriedades físicas dos produtos armazenados 

Nos projetos de silos, a determinação das propriedades do produto armazenado é 

de grande importância para a definição das ações e fluxo devidas as características 

inerentes de cada produto. O objetivo deste ensaio foi determinar o ângulo de atrito 

interno, o ângulo de atrito do produto com a parede e o peso específico. Para a 

determinação das propriedades físicas dos produtos armazenados, foi empregada a 

metodologia proposta por MILANI (1993). Para isto foi utilizada a máquina de 

cisalhamento, disponível no LaMEM / EESC – USP. Os valores do peso específico, 

umidade e temperatura foram fornecidos pelo de Laboratório de propriedades da 

CEAGESP-Araraquara. 

Produtos 

Os produtos caracterizados foram areia seca ao ar e milho (U = 12,9%). A areia 

foi utilizada para os ensaios do modelo piloto, devido ao seu alto peso específico e para 

o ensaio do silo real foi utilizado o milho devido à sua grande disponibilidade por 

ocasião da realização do ensaio e ainda por apresentar um valor de peso específico 



41 

característico dos produtos agrícolas. Foram retiradas amostras aleatórias para os dois 

produtos, em diversos pontos da massa de grãos. 

Os produtos foram considerados granulares de fluxo livre de acordo com a 

classificação feita em função das dimensões do diâmetro de suas partículas, baseada nas 

considerações de CALIL JR. (1984): 

Tabela 01 – Classificação dos produtos de acordo com a granulometria 

D> 0,42 mm Granulares 

0,42 < D < 0,149 Pulverulentos coesivos 

0,149 < D< 0,079 Pulverulentos coesivos finos 

D < 0,079 

Pulverulentos coesivos extra – finos 

Fonte: Calil (1984) 

Máquina de Ensaio de cisalhamento 

A máquina de ensaio para a determinação das propriedades dos produtos foi a 

TSG 70-140 - AVT, construída com base no aparelho de cisalhamento de Jenike (Jenike 

Shear Cell). Para execução dos ensaios foram utilizados as seguintes referências : 

1 - Operating Instructions for Translational Shear tester TSG 70-140 

2 - Manual SSTT( Standart shear Testing Techinique). Trabalho desenvolvido pela 

Federação Européia de Engenharia Química WPMS – 1989. 

3 - MILANI (1993): Determinação das propriedades de produtos armazenados para o 

projeto de pressões e fluxo em silos. 

Método 

Neste ensaio os produtos passaram por dois estágios; no primeiro o sólido sofre 

rotação em células de cisalhamento sob pressão com a finalidade de uniformizar a 

amostra. No segundo estágio, chamado de pré-shear, uma camada do sólido é levada à 

deformação sob pressão e tensão cisalhante, até atingir um nível estável de 

cisalhamento. 

Foram realizados três carregamentos, para a obtenção do lugar geométrico 

instantâneo de deslizamento, através da pressão σ, no pré – cisalhamento (pré-shear), 

Wp = 100N, 70N e 50N e correspondentes a estes carregamentos, têm-se os 

carregamentos de cisalhamento, Ws, apresentados na tabela abaixo. De posse dos 

resultados dos ensaios com areia e milho, utilizou-se o software YOLCUS, 

desenvolvido por CALIL (1989), onde os resultados são mostrados no capítulo V. 

Tabela 02- Carregamentos - padrão (N), para determinação do lugar geométrico. 

Wp Ws Wp Ws Wp Ws 

100 70 70 50 50 35 

100 50 70 35 50 20 

100 35 70 20 50 10 

Material da parede 

Para os testes, dois tipos de materiais de parede foram utilizados, o primeiro foi 

o concreto (liso e rugoso), e o segundo a chapa de compensado com o objetivo de 

submeter o produto armazenado aos 3 tipos diferentes de superfície e avaliar o seu 

comportamento em condições reais. 


42 


Para a obtenção do IWYL (lugar geométrico instantâneo de deslizamento com a 

parede) de cada produto, foram utilizadas 6 cargas de consolidação de cisalhamento 

(shear) dadas por Ww (50, 40, 30, 20, 10,e 0 N). Nesta fase, utilizou-se a mesma célula 

de cisalhamento do IYL e três tipos de materiais de parede a ser testada; concreto liso e 

rugoso para o silo real e compensado para o modelo piloto. 

3.3 Determinação direta das pressões 

As medições de pressão em silos apresentaram grande avanço nos últimos anos 

através das medidas diretas obtidas pelo desenvolvimento das células de pressão e dos 

sistemas de aquisição de dados mais estáveis e rápidos. A utilização destes 

equipamentos tornou-se indispensável no estudo do comportamento dos meios 

granulares e pulverulentos, tais como solos e produtos diversos destinados ao 

armazenamento agrícola e industrial. 

A escolha do equipamento se baseou na análise das exigências mínimas 

impostas pelo fabricantes e das condições de ensaio. O tipo de célula de pressão, sua 

calibração, a posição das células nas paredes, as condições para se realizar as medições 

(sistemas de carregamento e descarga, tipo de fluxo) e o método de coleta de dados 

foram os requisitos considerados. 

Sistema de aquisição de dados 

O sistema de aquisição de dados utilizado foi o de marca LINX (ADS – 2000), 

composto por uma placa controladora e placas de condicionador de sinais, formando um 

sistema compacto e de fácil manuseio. O controlador do ADS-2000 utiliza um circuito 

integrado projetado para diversas aplicações que é conectado ao computador com 

interface paralela (usada para impressoras). A escolha pelo emprego deste sistema foi 

pela sua aplicabilidade em ensaios de carregamentos estáticos e dinâmicos, bem como a 

sua disponibilidade no LaMEM. As principais características são apresentadas a seguir: 

controlador ac-2120 : é o elemento principal do sistema, realizando todas as 

tarefas de comunicação com o computador, leitura e controle de placas condicionadoras. 

Condicionador de sinais AI–2160 : Apresenta as seguintes características gerais: 

- 16 canais de entrada 

- Entrada implementada com amplificador de instrumentação integrado. Ganhos 

pré-definidos: x1, x10, x50 e x600 (selecionáveis por jumpers). 

- Sensor de temperatura de junta fria para compensação de medida de 

temperatura. 

Alimentação de sensores : Para alimentação de sensores, o AI-2160 possui 4 

fontes com saída regulada configurável em tensão ou corrente. A tensão de saída pode 

ser selecionada entre 10 ; 7,5 ; 5,0 e 2,5 volts. Quando configurada, cada fonte serve a 4 

canais de entrada analógica. 

Células de pressão 

Para a medição das pressões na massa de grãos e nas paredes do modelo piloto 

foi utilizado o modelo de célula, do tipo hidráulica – EPC 3500-1-100 (GEOKON), 

figura 04. São montadas com duas placas circulares de aço inoxidável- 304, soldadas 

em seu contorno com diâmetro de 22,86cm e espessura de 6,35mm. Apresentam uma 

faixa de pressão que varia de 0 a 700kPa, com sensibilidade de 0,175kPa (700/4000) 

com duas faces ativas. Seguindo as curvas de calibração em anexo, as células 

apresentaram um fator gage de aproximadamente 7kPa/mV/V e precisão de +/- 0,5%. A 

resistência da ponte para o modelo é de 5000Ω, considerando que o sensor é aplicado 



43 

para baixas pressões. A faixa de temperatura para sua aplicação está entre os limites – 

40 a +150 0 C. 

Figura 04 – Célula de pressão hidráulica – Fonte -GEOKON 

3.4 Cálculo e ensaio do modelo piloto 

Seguindo o projeto de um silo horizontal elevado de fundo V, foi calculado e 

construído um modelo piloto. Este foi montado em chapa de compensado e a estrutura 

de sustentação em madeira maciça de ipê, com capacidade para 5 toneladas. Os 

trabalhos de montagem foram realizados pelo técnicos da marcenaria do LaMEM, 

seguindo as etapas de corte, furação, pré-montagem e fixação dos parafusos. Nos 

cálculos foi empregado o peso específico da areia seca (γ = 15,6kN/m 3 ), determinado no 

LaMEM. 

Instalação das células de pressão no modelo 

A instrumentação do modelo é mostrada no esquema da figura 5, indicando a 

posição das células para medição das pressões. Na primeira fase do ensaio foram 

instaladas 16 células de pressão do modelo EPC 3500-1-100. O esquema de instalação 

indica as células posicionadas nas paredes do silo e na tremonha, de forma simétrica. 

Duas células (11,12) foram instaladas dentro da massa do produto (areia) na posição 

vertical, direcionadas ortogonalmente, para medição das pressões horizontais e 

avaliação da variação do valor de K na seção transversal do modelo. Na segunda fase, a 

direção das células (1, 2, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 11, 12) foi alterada para medição das 

pressões verticais. exceto as das células instaladas na parede da tremonha. Foram 

realizadas 2 repetições para cada fase de ensaio. Para a instalação das células, entre a 

face da célula e a parede foi colocada uma manta de borracha. Esta recomendação 

permite a melhor distribuição das tensões sobre a superfície da célula, devido às 

imperfeições de superfície, TAKEYA ♦ , (1999). A utilização da areia se justifica, pois 

este produto apresenta peso específico elevado, sendo de fácil obtenção, apresentando 

características de produto granular e melhor distribuição das pressões, o que é de grande 

vantagem para aplicação de ensaios em modelos. 

♦ TAKEYA – Comunicação Pessoal – Lab. Estruturas – SET/USP 


44 


Os terminais das células foram conectados ao sistema de aquisição de dados e 

este último ao notebook. O tratamento de dados foi feito pelo software AQD5 (LINX) 

para ambiente WINDOWS. 

Ensaio 

Com o objetivo de determinar as pressões estáticas no modelo piloto foram realizados 

três repetições de carregamento para medir as pressões normais às paredes e um 

carregamento para medição das pressões verticais. Os valores foram coletados no 

decorrer do carregamento e no período de 24 horas de armazenamento. Este 

procedimento teve como objetivo avaliar as pressões após o carregamento considerando 

os efeitos de consolidação do produto. 

10 

1 

14 

8 

WL 

2 

3 

WF 

9 

13 

11 

7 

6 

4 

T 

16 

12 

5 

15 

Figura 05- Disposição das células de pressão no modelo piloto 



45 

pilares 

chapa frontal superior 

chapa lateral 

sarrafos superiores 

sarrafos laterais 

chapa frontal inferior 

sarrafos inferiores 

chapa da tremonha 

sarrafos da tremonha 

tremonha 

sarrafos da tremonha 

cobrejunta 

cobrejunta 

vista frontal 

vista lateral 

Figura 06 – Esquema do modelo piloto 

3.5 Ensaio em silo horizontal elevado 

Algumas informações básicas devem ser fornecidas para melhor entendimento 

da montagem, instalação dos equipamentos e condução dos ensaios. É feita uma breve 

descrição da localização do silo, principais formas e dimensões, o material estrutural, a 

capacidade de armazenamento, o produto a ser armazenado e as formas de enchimento e 

esvaziamento do silo. No casos de silos industriais é interessante obter alguns dados 

históricos como: idade, tipos de produtos já armazenados, a ocorrência de algum 

problema estrutural são dados importantes para avaliação geral das condições de ensaio. 

As circunstâncias de ocorrência dos danos, sua localização bem como os métodos de 

reparação passam a ser fatores que devem ser considerados. Em silos de concreto a 

ocorrência de fissuras e imperfeições devem ser verificadas. As descontinuidades e 

rugosidades das paredes podem alterar a velocidade e o tipo de fluxo do produto e ainda 

influenciar as pressões nas paredes. Em silos multicelulares é importante informar sobre 

utilização das células vizinhas, forma de enchimento e esvaziamento durante os ensaios 

que estão sendo conduzidos. Informações sobre o tipo de fundação (dimensões, 

localização e número das estacas) e propriedades do solo também são importantes, pois 

formam a base da estrutura de reação durante a execução dos ensaios. 

Detalhes do silo 

Para avaliação direta das pressões um silo horizontal elevado de concreto 

armado instalado na CEAGESP – Araraquara/(SP), foi instrumentado. Esta unidade foi 

escolhida devido à proximidade e condições técnicas para execução do ensaio, sabendose 

que as características geométricas são comuns às unidades em estudo. 


46 


Construída em 1977 e mantendo-se em operação até os dias atuais sua 

capacidade total é de 20.000t, divida em 10 células de 2.000t. A estrutura de sustentação 

é do tipo viga-parede, onde se apoia a tremonha. A obra foi executada utilizando o 

processo de formas trepantes, tornando a estrutura monolítica sendo o silo considerado 

hermético. 

O sistema de carregamento centrado é feito através de elevadores de canecas 

(sentido vertical) localizados na torre do silo e correias transportadoras (sentido 

horizontal), localizadas em sua parte superior com uma vazão de 180t/hora. A descarga 

é feita através de saídas múltiplas localizadas no vértice de uma tremonha em cunha, 

que conduzem o produto até uma correia transportadora, localizada no túnel sob a 

tremonha, retornando o produto até os elevadores de canecas. Outras saídas também são 

localizadas nas paredes das tremonhas. As dimensões externas da unidade são; 

comprimento total = 100m e largura = 23m. O fundo em tremonha apresenta paredes de 

35cm de espessura sendo as paredes laterais e das divisórias dos séptos de 20cm. 

Instrumentação 

Foram instaladas 16 células de pressão (EPC-3500-1-100/GEOKON) para 

avaliação das ações de carregamentos e descargas dos silos. As células foram fixadas 

nas paredes por meio de parafusos fixados sobre pressão. Entre a parede do silo e a face 

da célula foi colocada uma manta de borracha para permitir um contato perfeito de toda 

a superfície da célula e superfície da parede. Este detalhe de montagem permite que a 

distribuição das tensões seja uniforme em toda a área da célula. As células foram 

instaladas nas paredes e na tremonha do silo conforme a disposição mostrada na figura 

7. Quatro células foram instaladas nas paredes divisórias das células e duas foram 

instaladas na massa de grãos, fixadas ao cabo de termometria com dispositivo para 

garantir que a célula não mudasse sua orientação. As temperaturas foram monitoradas 

por cabos de termometria instalados no silo. 

Ensaio 

Os ensaios foram realizados in loco, sendo a estrutura de reação, a própria 

fundação. As ações foram aplicadas pelo carregamento do silo utilizando o produto 

milho para o armazenamento. 

O monitoramento das pressões ocorreu durante um ciclo completo 

correspondendo às fases de carregamento, armazenamento e descarga do silo, através do 

sistema de aquisição de dados analógico/digital de marca LINX, acoplado a um 

computador equipado com o software AQD5. Os dados experimentais foram 

confrontados com os valores teóricos estimados para os valores de pressão nas paredes e 

no fundo do silo (tremonha). 

Após a calibração das células ligadas ao sistema de aquisição LINX, iniciou-se a 

primeira etapa de carregamento do silo. O carregamento foi realizado através da 

transilagem do produto de uma célula para a que estava instrumentada. A transilagem 

foi realizada utilizando dois elevadores de canecas e quatro correias transportadoras, 

duas localizadas no túnel inferior e duas localizadas no túnel superior. A vazão do 

sistema de transporte era de 180ton/hora o que permitiu o carregamento total do silo em 

aproximadamente 11 horas. 

Foram realizados duas repetições para o ciclo completo – carregamento, 

armazenamento e descarga. O ensaio durante as três fases permitiu a coleta de dados, 

para as duas condições de carregamento, estático e dinâmico. Para a avaliação do 



47 

carregamento estático foram coletados dados durante 52 horas de armazenamento. Para 

averiguação do efeito da aeração da massa do produto, foram coletados dados de 

pressão durante 2 horas de insulflação de ar. 

A temperatura externa medida próxima à parede do silo foi de 26 o C e as 

temperaturas na massa de grãos variaram dentro de uma faixa de temperatura de 22 o a 

25 o C. De acordo com as curvas de calibração fornecidas pelo fabricante não houve 

necessidade de correção das leituras para este gradiente de temperatura observado. O 

sistema de aquisição foi configurado para uma freqüência de 10 hertz com coletas de 

dados a cada 5 segundos. Tal configuração permitiu monitorar o ensaio dinâmico para 

condição de carregamento e descarga aumentando a resposta do sistema. 

23.00 

45 

1.77 

30° 

12 

960 

5.10 

1 

2 

35° 

3 

4 

50x40 

11 

3.50 3.00 

15 

13 

3.50 

14 

16 

7 

8 

10 

450 

2.00 

9 

4.00 

1740 

20.15 

522 

5 

6 

5.00 

4.00 

Dim. cm 

Figura 07 – Disposição das células no silo horizontal 

1.00 

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES 

4.1 Propriedades dos produtos armazenados 

Como comentado anteriormente, a escolha dos produtos foi feita em função de 

suas propriedades para o ensaio do modelo e pela disponibilidade e quantidade 

necessárias para a execução do ensaio em escala real. 

A utilização da máquina de cisalhamento (TSG 70-140) é justificada pela sua 

aceitação no meio internacional e indicação das normas para a determinação das 

propriedades físicas dos produtos armazenados. Para cálculo e análise dos parâmetros 

utilizou-se o software YLOCUS, desenvolvido por CALIL(1994). 

Para os valores dos ângulos de atrito interno e de atrito com a parede foram 

definidos o valor superior e inferior a serem aplicados nos cálculos das pressões nas 


48 


paredes do corpo e da tremonha do silo, de acordo com CALIL et al (1997). Os 

resultados são apresentados nas tabelas 03 e 04 a seguir. 

Tabela 03- Resultados obtidos nos ensaios de propriedades do milho 

Propriedades 

Peso específico (γ) 7,59 kN/m 3 

Ângulo de atrito interno (φ i ) 32 – 35 0 

Ângulo de atrito com a parede (φ w ) Liso Rugoso 

Concreto 25 0 29 0 

Teor de umidade 12,9% 

Tabela 04 – Resultados obtidos nos ensaios de propriedades da areia 

Propriedades 

Peso específico (γ) 15,6 kN/m 3 

Ângulo de atrito interno (φ i ) 36 0 – 39 0 

Ângulo de atrito com a parede (φ w ) 

20 0 - 22 0 

(chapa de compensado) 

Os resultados das propriedade físicas dos produtos estão de acordo com os 

valores tabelados pelas normas internacionais. Estes parâmetros determinados 

inicialmente, na primeira fase experimental, foram aplicados nos cálculos das pressões, 

considerando-se os valores inferior e superior fornecidos em função da variabilidade das 

propriedades. 

4.2 Cálculo das pressões e do coeficiente K 

São apresentados e discutidos os valores obtidos no cálculo do coeficiente K e 

das pressões através das teorias citadas. O coeficiente K foi determinado de forma 

indireta levando em consideração o ângulo de atrito interno. As pressões horizontais 

foram calculadas na condição estática de carregamento para o modelo piloto, enquanto 

que para o silo horizontal foram analisadas sob as condições estática e dinâmica. Adotase 

a condição estática como aquela correspondente às pressões de carregamento. A 

condição dinâmica é considerada durante o escoamento do produto, quando são 

produzidas as máximas pressões. Normalmente esta condição ocorre na descarga, com 

início logo após a abertura da boca da tremonha. 

4.2.1 Determinação indireta do coeficiente K 

Os valores fornecidos pelas normas internacionais são mostrados na tabela 5. Os 

valores do ângulo de atrito interno são o menor e o maior valor observados entre as 

normas internacionais. 

Nas teorias das pressões a relação entre as pressões verticais e horizontais são 

consideradas constantes na seção transversal e ao longo da altura do silo. 



49 

Tabela 05 - Valores do coeficiente K fornecidos pelas normas internacionais. 

Coeficiente K 

φ i (graus) Milho φ i (graus) Areia 

28 0,361 0,640 25 0,406 0,697 

32 0,307 0,561 40 0,222 0,415 

Os valores de K, determinados indiretamente, são apresentados na tabela 6. Os 

limites inferior e superior foram calculados considerando as equações de Koenen e 

Ayuga, consideradas de consenso pelo pesquisadores para o cálculo das pressões para 

os estados limites ,(CALIL,1990). 

Tabela 06 – Limites de K em função do ângulo de atrito interno. 

Coeficiente K 

φ i (graus) Milho φ i (graus) Areia 

32 0,307 0,560 36 0,260 0,486 

35 0,271 0,505 39 0,227 0,433 

Como pode ser observado há grandes diferenças quanto a estimativa dos valores 

de K para um mesmo produto em função das variações do valor do ângulo de atrito 

interno. Ao compararmos com os valores tabelados pela norma ISO 1697, verificamos 

que o milho está na classe 1, com o valor de K = 0,3 e a areia na classe 5, com um valor 

de K= 0,75, superando as demais estimativas. 

Na tremonha, considerando a teoria de Walker e a norma Australiana, os valores 

de K foram estimados para a condição estática no modelo piloto e nas condições 

dinâmica e estática para o silo horizontal, em função dos produtos armazenados 

utilizados nos ensaios. Foram consideradas as características geométricas da tremonha e 

ainda o ângulo atrito interno. 

Em função dos valores propostos pelas normas internacionais e os valores 

calculados foi definido um intervalo para os valores limites de K; 0,706≤ K ≤ 0,7969. 

4.2.2 Determinação experimental do coeficiente K no modelo piloto 

Para a medição das pressões verticais foram instaladas células de pressão nas 

mesmas cotas das células instaladas nas paredes do modelo. As células foram fixadas na 

superfície de uma placa de compensado orientadas para a medição das pressões 

verticais, exceto nas posições das células instaladas nas paredes da tremonha 

Tabela 07 – Valores limites, médios, das pressões verticais, horizontais e de K. 

Célula 15,16 4,5 3,6 12 11 13,14 2,7 1,8 9,10 

PRESSÃO 

Pn 10,01 6,09 4,20 - - - - - - 

17,54 6,86 6,30 

Pv 8,30 

14,37 

4,99 

5,62 

3,44 

5,16 

10,50 

11,50 

7,50 

8,72 

10,05 

11,03 

8,60 

9,02 

3,87 

4,01 

4,55 

4,85 

Ph 5,74 3,49 2,41 7,84 4,23 2,80 1,96 1,05 1,05 

10,06 

K L 0,692 

K u 0,700 

3,93 

0,696 

0,699 

3,61 

0,698 

0,701 

8,47 

0,737 

0,747 

5,53 

0,564 

0,634 

4,06 

0,278 

0,368 

3,01 

0,227 

0,334 

1,47 

0,271 

0,367 

1,73 

0,236 

0,357 


50 


Na seção transversal, considerando o plano definido pelas células 2, 7, 13 e 14, 

pode-se observar que o valor do coeficiente K, é maior na parte central. Os valores 

médios, inferior e superior, nas paredes é 0,253 e 0,351, respectivamente. Na seção das 

células 1, 8, 9, e 10 os valores médios, inferior e superior de K é 0,253 e 0,362. 

Observa-se valores de K elevados no centro, medidos pelas células 11 e 12; 0,564 e 

0,747 respectivamente. Os valores de K ao longo da altura do corpo do silo são 

crescentes e nas paredes da tremonha os valores inferior e superior, médios, são 0,695 e 

0,712. 

A figuras 8 e 9, ilustram as curvas das pressões horizontais nas paredes do 

modelo e as pressões normais às paredes da tremonha. Para efeito de análise são 

indicados os valores experimentais, obtidos no ensaio. 

Altura do produto (m) 

0,0 

0,2 

0,4 

Safarian & Harris 

Rankine 

Coulomb 

Airy 

Reimbert 

ANSI 96 

AS 3774 

valores experimentais 




0,6 

0,8 

0 2 4 6 8 10 

Pressão (kPa) 

Figura 08 – Gráfico - Pressões ativas nas paredes do modelo e valores experimentais 

Altura da tremonha (m) 

0,0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

Walker 


AS 3774 



0,7 

0,8 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 

Pressões (kPa) 

Figura 09 – Gráfico - Pressões estáticas na tremonha do modelo e valores experimentais 



51 

A partir dos resultados obtidos, podemos afirmar que: 

1- A utilização das células de pressão nos permitiu avaliar o comportamento 

das pressões do produto nas paredes do modelo. 

2- Os valores obtidos pelas teorias de Coulomb, Rankine e AS 3774 foram os 

que mais se ajustaram aos valores de medições das pressões nas paredes do 

modelo. Isto pode ser constatado através dos valores obtidos nas células 1, 2, 

7, 8, 9, 10, 13 e 14. Considerando a altura de produto de 0,25m, no modelo, a 

pressão média horizontal foi de 1,4kPa, enquanto que para uma altura efetiva 

de 0,705m este valor foi de 3,3KPa. Nesta altura os dados se ajustaram à 

norma australiana. 

3- Na tremonha, comparando os valores teóricos com os valores experimentais 

podemos constatar que a Teoria de Walker e o modelo de Safarain & Harris 

apresentaram valores superiores aos medidos. Os valores experimentais 

médios das pressões normais na parede da tremonha variaram de 5,4 a 14 

kPa ao longo da altura. Estes dados podem ser observados através dos 

valores medidos pelas células 3, 4, 5, 6, 15 e 16. Na linha de transição as 

melhores estimativas são dadas pelo modelo de Safarian & Harris e pela 

norma Australiana para os valores inferiores de pressão, entretanto, ao longo 

da altura da tremonha, as pressões estáticas máximas são melhor estimadas 

pela teoria de Walker. 

5- A utilização das células de pressão inseridas na massa do produto nos 

permitiu avaliar o comportamento das pressões em uma seção do silo. Foram 

observadas diferenças significativas das pressões horizontais na seção 

transversal. Isto pode ser constatado através dos resultados obtidos no ensaio 

através dos valores medidos pelas células 11 e 12, o que para a condição 

estática são valores elevados. 

4.2.3 Determinação das pressões e de K no silo horizontal 

Os gráficos apresentados nas figuras 10 (a) e (b), ilustram o comportamento das 

pressões do silo horizontal. Em cada gráfico são ilustradas exemplos das curvas 

tempo(min) x pressão(kPa) horizontais às paredes e normal às paredes da tremonha do 

silo em células simetricamente posicionadas para as fases de carregamento e descarga 

do silo. 

A partir dos dados observados durante as medições das pressões diretas das 

pressões, normais na tremonha e horizontais na parede, os valores médios foram 

calculados. As tabelas 8 e 9 fornecem os valores inferiores e superiores das pressões 

normais horizontais e verticais e o valor de K nas fases de carregamento e descarga do 

silo. 


52 


Tabela 08 – Valores de pressão de carregamento (kPa) e do coeficiente K. 

Células p nt p vt p h K 

Tremonha 

05/06 22,4 - 39,2 18,35 – 32,11 12,85 – 22,48 0,701 – 0,702 

04/07 40,6 - 56,0 33,26 – 45,87 23,28 – 32,12 0,699 - 0,702 

03/08 36,4 - 50,4 29,82 –41,28 21,00 – 28,91 0,701 – 0,703 

Paredes 

Pressões horizontais (p h ) 

02/09 9,80 – 12,10 

01/10 8,40 – 11,20 

11/12 5,60 – 10,50 

13/14 18,90 – 25,90 

15/16 35,00 – 44,80 

Tabela 09 – Valores de pressão de descarga (kPa) e do coeficiente K. 

Células p nt p vt p h K 

Tremonha 

05/06 23,4 - 44,0 18,35 - 36,04 14,57 - 25,24 0,699 - 0,702 

04/07 44,1 - 63,0 36,12 - 51,60 25,29 - 36,14 0,698 - 0,703 

03/08 38,5 - 54,6 31,54 - 44,73 22,08 - 31,32 0,701 - 0,703 

Paredes 

Pressões horizontais (p h ) 

02/09 11,20 – 13,40 

01/10 9,10 - 12,06 

11/12 4,30 - 14,70 

13/14 22,40 - 33,60 

15/16 35,00 - 60,90 



53 

70 

60 

célula 04 

célula 07 


50 

40 

30 

20 

10 

Carregamento 


Descarga 

0 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 

Tempo (min) 

(a) - Ciclo completo do ensaio 1 

60 

Célula 04 

Célula 07 

50 

Carregamento 

Descarga 


40 

30 

20 

10 


0 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 

Tempo (min) 

(b) - Ciclo completo do ensaio 2 

Figura 10 - Pressões dinâmicas no silo horizontal.- Células 04 e 07. 

Após observarmos os gráficos ilustrados nas figuras 10 (a) e (b), verificamos a 

ocorrência de sobrepressões no início da descarga. As células 5, 6, 4, 7, 13, 14, 15 e 16 

indicaram picos de pressão mais notadamente superiores. Os valores máximos de 

sobrepressão de descarga observado foi de 13,5kPa para as células 13 e 14 e 20kPa para 

a célula15. O valor médio de pico de pressão na descarga nas células 4 e 7 foi de 

7,7kPa, nas células 13 e 14, de 9,65kPa e de18kPa para as células 15 e 16, 

representando um acréscimo de 12,5%, 31,5% e 30%, nos valores de pressão, 


Observou-se que os valores medidos pelas células simétricas também variaram 

durante as fases de carregamento e descarga. Isto pode ser explicado pela natureza 

aleatória das pressões, forma de carregamento e impacto do produto sobre as paredes. 


54 


As pressões de descarga foram sensivelmente maiores e como conseqüência não 

foram observados valores significativos de variação do coeficiente K entre as fases de 

carregamento e descarga. A relação entre as pressões horizontais e verticais na 

tremonha se mantiveram constantes para valores médios de K inferior igual a 0,698 e 

superior de 0,703. 

Na figura 11 são mostrados os valores de pressão horizontais máximas nas 

paredes do corpo e da tremonha do silo horizontal. À esquerda são mostradas as 

pressões de carregamento e à direita as pressões de descarga 

hs+hc 

11,2 

Carregamento 

Descarga 

12,1 

12,1 

13,4 

50,4 

ht 

54,6 

56,0 

63,0 

39,2 

44,0 

Figura 11 – Mapeamento das pressões máximas nas paredes e na tremonha durante o 

carregamento e descarga do silo horizontal. 

Na figura 12, são ilustradas as curvas para as pressões ativas, nas paredes dos 

silos horizontais, estimadas pelas teorias, métodos de cálculo e normas internacionais. 

Os valores experimentais também são mostrados, para efeito de comparação. Observase 

a grande variação dos resultados para os modelos teóricos propostos, destacando-se 

as curvas de Rankine e Reimbert. 



55 

Altura efetiva do produto (m) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 


Rankine 

Coulomb 

Airy 

Reimbert 

ANSI 96 

AS3774 

Linf 

Lsup 

7 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 


Figura 12 – Gráfico das pressões ativas e valores experimentais na parede do silo horizontal. 

Considerando as pressões dinâmicas medidas nas paredes do silo o método que 

melhor estima as pressões é o da norma Australiana sendo os modelos de Reimbert & 

Reimbert e Rankine conservadores. O primeiro modelo teórico estima as pressões 

considerando a altura elevada ao quadrado e o segundo modelo desconsidera o atrito. 

As pressões estáticas, experimentais e teóricas, na tremonha são mostradas na 

figura 13(a). Pode ser observado que os valores observados foram compatíveis com a 

norma Australiana, configurando uma distribuição trapezoidal das pressões ao longo da 

altura da tremonha. 

Altura da tremonha (m) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Walker 


AS 3774 

Linf 

Lsup 

8 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 


Altura acima do vértice da tremonha (m) 

8 

6 

4 

2 

0 

Walker 

AS 3774 

Valores de ensaios 

0 10 20 30 40 50 60 70 


Figura 13 (a) – Pressões estáticas normais. (b) – Pressões dinâmicas normais – 

Tremonha 

Para as pressões nas paredes da tremonha, na condição mais desfavorável que é 

a fase de descarga, a teoria de Walker e a norma Australiana forneceram boas 

estimativas. Na figura 13(b), observa-se os valores experimentais e que as maiores 

pressões foram medidas pelas células 4 e 7, instaladas a 5,2 metros da linha de transição 


56 


entre o corpo do silo e a tremonha. Comparando com os valores de ensaios a estimativa 

das pressões na transição é mais compatível com o método da norma Australiana 

enquanto que para as pressões máximas o método de Walker apresenta maior 

compatibilidade com os valores experimentais. 

5 CONCLUSÕES 

As unidades horizontais são estruturas indispensáveis para a otimização e 

expansão da rede armazenadora em nosso país. Em função das vantagens que 

apresentam, podemos considerar o seu desempenho bastante satisfatório para a 

manutenção das condições de armazenamento de produtos agrícolas e industriais. 

Alguns cuidados devem ser tomados para que não haja comprometimento da estrutura. 

Um grande problema ainda a ser sanado é a aeração, que requer equipamentos de custo 

mais elevado que as unidades verticais e ainda os problemas de infiltração pelo lençol 

freático. 

Propõe-se que a notação “silos horizontais” seja empregada para as estruturas 

conhecidas como armazéns graneleiros em função das características construtivas, da 

finalidade a qual se destinam e da utilização de equipamentos empregados nestas 

estruturas de armazenamento como cabos de termometria o que permite um controle 

sobre a qualidade do produto armazenado. A utilização do fundo inclinado, ao contrário 

do silos de fundo plano, permite a fácil operação e como conseqüência a diminuição dos 

custos de processamento dos produtos. Considerando os silos horizontais elevados os 

custos de sua construção podem ser compensados pela facilidade de operação e 

processamento rápido, tornando-o bastante funcional. A grande vantagem da sua 

utilização reside no processamento de grandes volumes a baixos custos por tonelada 

estocada, e ainda a fácil expedição dos produtos. Tais características, permitem a sua 

utilização para armazenamento de produtos de fluxo livre, com características bem 

distintas, como os resíduos industriais, açúcar, e os granulares sem comprometimento 

da estrutura. 

Este trabalho, pioneiro no estudo dos silos horizontais corresponde 

principalmente à análise das pressões devidas ao produto armazenado, dando ênfase às 

teorias empregadas e aos procedimentos experimentais. 

A seguir são relatados alguns aspectos conclusivos considerados de relevância, 

quando analisados os métodos de cálculos das ações para as paredes do corpo do silo e 

da tremonha nas condições estáticas e dinâmicas. 

Com relação aos métodos teóricos empregados: 

1- As teorias aplicadas são conservadoras. Os métodos de Coulomb e Rankine e 

a norma Australiana, mostraram-se de boa compatibilidade com os 

conseqüentes resultados medidos no ensaio do modelo. Para o silo horizontal 

o método proposto pela norma Australiana é compatível com os valores 

experimentais. Os métodos de Reimbert & Reimbert e Rankine não foram 

adequados para o estudo em questão, vistos os resultados apresentados tanto 

nos ensaios do modelo piloto quanto para o silo horizontal. 

2- Na avaliação das ações na tremonha, na condição estática, o método 

proposto pela norma Australiana se mostrou compatível com os resultados 

obtidos nos ensaios do modelo piloto. O método de Walker se mostrou mais 

conservador em função da estimativa das pressões na linha de transição entre 



57 

o corpo do silo e a tremonha. Na condição dinâmica os dois métodos foram 

compatíveis com os resultados obtidos nos ensaios do silo horizontal. 

Com relação às propriedades físicas dos produtos armazenados: 

1- A estimativa das ações baseada nas determinações dessas propriedades nos 

fornecem resultados mais consistentes, comparados com os valores 

tabelados, fornecidos pelas diversas normas internacionais. 

2- As formulações teóricas devem levar em consideração a influência do atrito 

do produto com as paredes e a variabilidade do peso específico dos produtos 

armazenados. Com isto, para o estado limite de dimensionamento propõe-se 

o intervalo para o peso específico 0,75 ≤ γ ≤ 1,20. 

Com relação aos ensaios no modelo piloto: 

1- O modelo piloto (escala pouco reduzida) pode ser empregado com vantagens 

para avaliação das ações e do coeficiente K, pois os resultados obtidos, 

foram compatíveis com os obtidos no silo horizontal em escala real. A 

grande vantagem da utilização de modelos reside na praticidade e economia 

nos ensaios. O controle das variáveis envolvidas foi facilitado e permitiu a 

obtenção de resultados confiáveis. 

2- A utilização de produtos como areia, tendo como características, alto peso 

específico e fluxo livre, permitiu a avaliação das pressões e do valor de K 

considerando os limites máximos para o dimensionamento. 

Com relação às medições diretas das pressões: 

1- As determinações experimentais fornecem resultados sem a interferência do 

material estrutural. As células de pressão, empregadas na instrumentação 

geotécnica, mostraram-se de grande aplicabilidade, tanto no ensaio do 

modelo piloto quanto no ensaio no silo horizontal. 

2- A forma de instalação das células de pressão nas paredes não comprometeu a 

integridade do silo horizontal. 

3- Recomenda-se o emprego das células de pressão EPC-GEOKON para 

avaliação direta das pressões estáticas e dinâmicas nos silos, considerando a 

calibração precisa, sensibilidade e resposta rápida do equipamento. 

Com relação ao valor do coeficiente K: 

1- Para produtos granulares, de fluxo livre, os valores de K não variam em 

função da relação altura/lado do silo, pois os ângulos de atrito não variam 

com a compactação do produto. As variações ocorridas no modelo piloto 

para o valor de K medido na massa do produto se devem à influência do 

estado de pressões decorrentes da geometria e rugosidade das paredes da 

tremonha. 

2- Na descarga, o valor de K é maior, pois há um aumento das pressões 

horizontais e uma diminuição das pressões verticais. 

3- Pela análise geral dos resultados teóricos e experimentais obtidos, os valores 

propostos pela maioria das normas e pesquisadores são conservadores e que 


58 


a variabilidade natural dos valores exige uma análise estrutural pelo método 

dos estados limites de dimensionamento. 

4- Considerando os valores experimentais obtidos e a variabilidade encontrada 

para as propriedades dos produtos nas normas internacionais, recomenda-se 

os limites inferiores e superiores para o valor de K: 0,25 ≤ K ≤ 0,55 no corpo 

do silo e 0,60 ≤ K ≤ 0,80 para a tremonha. Estes intervalos abrangem 

também as sobrepressões devidas ao fluxo do produto durante a descarga. 

Com relação às pressões nas paredes laterais e na tremonha: 

1- Para as pressões nas paredes dos silos horizontais recomenda-se utilizar a 

expressão matemática : p h = γhK, com os valores de K definidos no item 

anterior a partir do modelo empírico. 

2- Para o cálculo das pressões estáticas e dinâmicas, na tremonha, recomendase 

o método de Walker em função dos valores máximos observados. Para a 

condição dinâmica deve-se considerar os valores máximos a uma altura h t /4 

do vértice da tremonha. 

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ISSN 1809-5860 

MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO COM A 

RECIPROCIDADE DUAL PARA A ANÁLISE 

TRANSIENTE TRIDIMENSIONAL DA MECÂNICA DO 

FRATURAMENTO 

João Carlos Cordeiro Barbirato 1 & Wilson Sergio Venturini 2 

Resumo 

O presente trabalho desenvolve uma formulação do Método dos Elementos de Contorno 

para análise de problemas tridimensionais de fraturamento no regime transiente. 

Utilizam-se as soluções fundamentais da elastostática para obter a matriz de massa, 

empregando-se o Método da Reciprocidade Dual e a discretização do domínio por 

células tridimensionais. Para a integração no tempo são utilizados os algoritmos de 

Newmark e Houbolt. O fenômeno do fraturamento é abordado através da consideração 

de um campo de tensões iniciais, introduzindo-se o conceito de dipolos de tensão. Os 

tensores desenvolvidos que se relacionam aos dipolos, derivados das soluções 

fundamentais, são também apresentados. É utilizado o modelo de fratura coesiva. O 

contorno é discretizado utilizando-se elementos triangulares planos com aproximação 

linear, e elementos constantes para a superfície fictícia de fraturamento. São feitas 

várias aplicações cujos resultados obtidos confirmam a importância e a adequação da 

formulação apresentada para os problemas propostos. 

Palavras-chave: Método dos elementos de contorno; método da reciprocidade dual; 

fratura dinâmica. 


O Método dos Elementos de Contorno, MEC, é o método numérico mais recente 

do ponto de vista de aplicações computacionais. Tem esta denominação a partir do 

trabalho de BREBBIA (1978). Desde então, sobretudo na última década, o MEC vem 

experimentando um desenvolvimento acelerado, com pesquisas nas mais variadas áreas 

da engenharia, dentre elas a elastodinâmica e a mecânica da fratura. 

O problema elastodinâmico vem sendo investigado através de equações integrais 

de contorno, base do MEC, desde o trabalho de FRIDMAN & SHAW (1962). 

A resolução de problemas da elastodinâmica transiente, através do MEC em sua 

formulação direta, foi apresentada pela primeira vez nos trabalhos de CRUSE & RIZZO 

(1968) e CRUSE (1968). Seguiram-se os trabalhos MANOLIS & BESKOS (1981), 

1 Professor do Departamento de Engenharia Estrutural - EES-CTEC-UFAL, jccb@ctec.ufal.br 

2 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC-USP, venturin@sc.usp.br 


66 

João Carlos Cordeiro Barbirato & Wilson Sergio Venturini 

MANSUR & BREBBIA (1982), NARDINI & BREBBIA (1985), CODA & 

VENTURINI (1990) e CHIRINO (1994), dentre outros. 

Uma maneira de tratar o problema transiente é usando a formulação do MEC 

com a matriz de massa, como a apresentada por NARDINI & BREBBIA (1983) e 

denominada de Reciprocidade Dual. Os autores trataram o problema dinâmico como 

sendo estático, considerando forças de inércia como forças de domínio. O Método da 

Reciprocidade Dual (MRD) baseia-se na obtenção de um conjunto de funções que 

permitem a transformação da integral de domínio para o contorno. Vários são os 

trabalhos publicados sobre o assunto, destacando-se PARTRIDGE et al. (1992), 

VENTURINI (1994), LOEFLER (1994), dentre outros. Outra formulação do MEC com 

a matriz de massa é obtida a partir da discretização do domínio usando células 

tridimensionais, efetuando a integral sobre o domínio. Trabalhos publicados, CODA & 

VENTURINI (1990) dentre outros, atestam os seus bons resultados, mas essa técnica 

foge do objetivo básico do MEC de eliminar as integrais de domínio. 

Em particular para problemas de fratura mecânica, o método tem-se mostrado 

eficiente e confiável, apresentando um grande desenvolvimento sobretudo nas últimas 

duas décadas. Nesse caso, o acompanhamento da propagação da fratura requer pouco 

esforço computacional, evitando-se refazer a rede de elementos (VENTURINI, 1995). 

As aplicações do Método dos Elementos de Contorno na Mecânica da Fratura em 

três dimensões foram introduzidas por CRUSE & VAN BUREN (1971). Em SNYDER 

& CRUSE (1975) foi apresentada uma solução fundamental - uma função de Green - 

que inseria uma trinca linear sem cargas no meio infinito. Em CRUSE & MEYERS 

(1977) foram calculadas distribuições do fator de intensidade de tensão através do 

MEC, utilizando-se uma variação da taxa de energia de deformação de Griffith. 

CARTWRIGHT & ROOKE (1985) e ALIABADI & ROOKE (1991) mostraram 

bons resultados para problemas de fratura mecânica ao utilizarem o método da função 

peso, baseado na interpretação da integral J de Rice. 

Outra vertente na aplicação do MEC à Mecânica da Fratura é a que utiliza a 

técnica dos domínios múltiplos, conforme LACHAT & WATSON (1976). Já CROUCH 

& STARFIELD (1983) utilizaram o método da descontinuidade de deslocamento 

apresentando uma discussão extensiva sobre o assunto. 

Em BRADY & BRAY (1978) foram analisadas inclusões finas e 

descontinuidades em escavações de minas, utilizando-se a formulação indireta do MEC 

juntamente com forças fictícias chamadas “quadripólos”. Em ROCHA (1988) foram 

analisados problemas com inclusão de descontinuidades, utilizando-se a formulação 

direta do MEC juntamente com os dipólos. O assunto pode ser visto ainda em 

VENTURINI (1994 e 1995), LOPES Jr (1996), dentre outros. Nesses trabalhos, as 

formulações apresentadas destinavam-se à análise de problemas bi-dimensionais. 

BARBIRATO & VENTURINI (1998) apresentam uma formulação do MEC para 

análise de fratura mecânica em sólidos tridimensionais, utilizando o conceito de dipolos. 

Apresentam os tensores derivados da solução fundamental de Kelvin (para 3D) e 

verificam o potencial da formulação ao mostrar os resultados obtidos da aplicação 

processada. 

CARPINTERI (1989); ALLIABADI & ROOKE. (1991); ALIABADI & 

BREBBIA (1993) e ALIABADI et al. (1994) trazem formulações completas sobre 

aplicações do MEC à mecânica da fratura nas análises estática e dinâmica. 

O modelo de fratura coesiva tem sido empregado com eficiência para representar 

o comportamento do material do tipo "quasi-brittle" frente ao processo de fraturamento. 

Em HILLERBORG (1976), o modelo foi testado e modificado utilizando-se espécime 

de prova homogêneo e de área constante, solicitado até a ruptura, em ensaios 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n.24, p. 65-90, 2005

Método dos elementos de contorno com a reciprocidade dual para a análise transiente... 

67 

laboratoriais. Ficou definida uma zona de fratura (ou zona de processo) com largura 

limitada na direção da tensão, formada em algum lugar do modelo de prova. Esta zona 

de fratura perde gradualmente suas propriedades mecânicas à medida que o dano 

causado pelo surgimento de microfissuras aumenta e, portanto, tem-se um 

comportamento de material coesivo. Da mesma forma, em CARPITERI (1989) são 

encontrados novos experimentos e análise através de modelagem numérica, 

constituindo-se em uma referência importante sobre o assunto. 

No item 2 deste trabalho, são abordadas as formulações do MEC utilizando a 

matriz de massa, obtida através do MRD e da Integração Direta, para a análise do 

problema dinâmico transiente. 

No presente trabalho, em seu item 3, utiliza-se uma formulação do método dos 

elementos de contorno para a análise de fraturas coesivas, utilizando os conceitos 

apresentados em VENTURINI (1994 e 1995) e LOPES Jr. (1996) , estendidos para 

problemas tridimensionais (BARBIRATO, 1999). O modelo coesivo idealizado por 

HILLERBORG (1976) é incorporado à formulação. 

No item 4, utiliza-se uma formulação do método dos elementos de contorno para 

a análise de fraturas dinâmicas com o modelo coesivas, baseada nos conceitos 

apresentados no item 3, estendidos para problemas tridimensionais. O algoritmo de 

Houbolt é utilizado para a integração na variável tempo. 

2 ELASTODINÂMICA 

2.1 Equações básicas do MEC 

Considera-se o corpo elástico, homogêneo, isótropo e com distribuição contínua 

de matéria em seu domínio. A equação de equilíbrio para o problema é 

σij, j 

+ bi = ρ&& 

ui 

, (2.1) 

onde σ ij , j 

( x, t) representa a derivada do tensor das tensões; b i 

(x, t) 

as forças 

2 

∂ u 

i 

volumétricas; ρ( x ) a densidade de massa e & u 

i 

ou a aceleração em um ponto na 

2 

∂t 

direção x i 

. 

Aplicando-se o Teorema da Reciprocidade de Maxwell-Betti a dois estados 

independentes de deslocamento, tendo em vista (2.1) e desconsiderando-se o termo de 

forças volumétricas, chega-se a: 

* 

* 

* 

* 

∫ ( u σij, 

j 

− u 

iσij, 

j 

) dΩ = ∫ ( u 

i 

pi 

− u 

ipi 

) dΓ 

Ω 

i (2.2) 

Γ 

onde o “*” representa o problema fundamental, cujas variáveis são conhecidas; Ω 

corresponde ao domínio e Γ ao contorno do corpo. 

Desenvolvendo-se (2.2), chega-se à representação integral de deslocamento do 

MEC para o problema elastodinâmico, ou seja, 

c 

ki 

u 

i 

∫ 

Γ 

∫ 

Γ 

∫ 

* 

* 

* 

+ p u dΓ = u p dΓ − ρ u & 

i 

kiu 

ki i 

ki 

idΩ 

(2.3) 

Ω 


68 


* * 

onde p ki 

e u ki 

representam, respectivamente, as forças de superfície e deslocamentos do 

problema fundamental. Neste trabalho, utiliza-se o problema fundamental de MINDLIN 

(1936), onde o domínio Ω * é semi-infinito, elástico e homogêneo. Parte de seu contorno 

apresenta-se livre de trações, e o ponto de aplicação da força unitária é qualquer em 

todo o domínio. As expressões fundamentais para deslocamentos e tensões são 

apresentadas em LAETHEM et al. (1984) e BARBIRATO (1991)). Por serem extensas, 

não são aqui reportadas. 

2.2 Método da reciprocidade dual 

Neste trabalho, o Método Reciprocidade Dual (MRD) é utilizado para 

transformar o termo de domínio de (2.3), considerando as forças de inércia como forças 

volumétricas e tratando o problema dinâmico com as soluções fundamentais do 

problema estático. A partir disso, aplicando-se o Teorema da Reciprocidade na parcela 

de domínio, pela segunda vez na formulação do MEC (daí a denominação “dual”), 

chega-se a uma representação integral somente com termos de contorno. Vale dizer que, 

embora não se utilize a discretização do domínio em células, o MRD pode exigir a 

consideração de pontos internos, chamados “pólos”, na intenção de dar mais precisão 

aos resultados. 

Para a transformação do termo de domínio de (2.3) para o contorno, faz-se 

necessário definir uma aproximação para a densidade &&u i 

, incógnita do problema 

(NARDINI & BREBBIA, 1982 e 1985). O MRD sugere uma série de funções, tais que: 

& u 

= α& 

f 

(2.4) 

i 

n 

i 

n 

onde f 

n 

são funções linearmente independentes definidas sobre todo o domínio 

(escritas para pontos do contorno e do domínio) e α& & n i 

coeficientes a serem 

determinados. O termo de domínio de (2.3) passa a ser: 

ρ 

∫ 

Ω 

u 

* 

ki 

⎛ 

& u 

idΩ = ⎜ 

ρ 

⎝ 

∫ 

Ω 

u 

* 

ki 

⎞ 

f 

ndΩ⎟α&& 

⎠ 

n 

i 

⎛ 

= ⎜ 

ρ 

⎝ 

∫ 

Ω 

u 

* 

ki 

δ 

l i 

⎞ 

f 

ndΩ⎟α& 

⎠ 

n 

l 

(2.5) 

Considerando-se o problema estático governado por 

n 

ˆ σ λ , 

f = 0 

(2.6) 

m m 

+ δ l i n 

a última integral de (2.5) pode ser resolvida com os procedimentos utilizados para se 

obter a equação integral do MEC, o que resultaria em algo semelhante à (2.3). Assim, o 

termo de domínio de (2.5) transforma-se em integrais sobre o contorno, conforme a 

expressão a seguir: 

⎛ 

* 

n * n 

ρ∫u 

& 

kiu 

idΩ = ρ⎜ 

ckiû 

l i 

+ ∫pkiû 

lidΓ −∫ 

Ω Γ Γ 

⎝ 

u 

* 

ki 

pˆ 

n 

li 

⎞ 

dΓ⎟α& 

⎠ 

n 

l 

(2.7) 

n n 

onde o índice “n” representa somatória. As funções û l i 

e pˆ l i 

são soluções particulares 

do problema expresso em (2.6), cuja força f n 

é aplicada na direção l. Conhecidas as 



69 

n 

funções f n 

, os coeficientes &α & 

l 

são determinados tomando-se a forma inversa de (2.4). 

Escrevendo na forma matricial, tem-se 

&&α = 

− 

F 1 U&& (2.8) 

É interessante notar que, adotando a função aproximadora de u i 

e p i 

em (2.3), também 

n n 

para û l i 

e pˆ l i 

, são encontradas as mesmas matrizes H e G em (2.7). Assim, define-se a 

matriz de massa pelo MRD, representada por: 

1 

( HUˆ 

− 

− GP) F 

M = −ρ ˆ 

(2.9) 

Finalmente, substituindo o resultado da transformação realizada em (2.3), tem-se 

a representação matricial para o problema dinâmico tratado neste trabalho: 

2.3 Técnica da integração direta 

MU&& + HU = GP 

(2.10) 

O termo de domínio em (2.3) pode ser resolvido discretizando-se Ω em células 

tridimensionais, já bastante utilizadas no Método dos Elementos Finitos. Porém, esta 

solução não corresponde à idéia do MEC em resolver os problemas aplicando integrais 

de contorno. Uma alternativa viável para se contornar este problema, mas ainda 

utilizando células, é a de transformar a parcela integral de domínio para o contorno das 

células, rescrevendo (2.3) somente com termos de contorno. Como conseqüência, as 

células podem ter forma qualquer. 

A transformação do termo de domínio em (2.3) inicia-se com a aproximação de 

&&u i 

pelos valores nodais Um 

&& N utilizando-se uma função interpoladora φ im 

. Assim, escrevese 

&& u U&& 

N 

=φ e, como conseqüência, tem-se 

i im m 

* * 

N 

ρ∫uki&& 

uidΩ= ⎛ ρ∫ukiφimdΩ 

U&& 

m 

⎝ ⎜ ⎞ 

⎟ (2.11) 

⎠ 

Ω 

Adota-se o tensor T * ki 

que satisfaz a seguinte condição: 

Ω 

∇ 2 * * 

T = u 

(2.12) 

ki 

ki 

* 

Uma vez que os deslocamentos u ki 

da solução fundamental são conhecidos, não é difícil 

encontrar uma primitiva T * ki 

, conforme CRUSE (1975), DANSON (1981) e 

BARBIRATO (1999). O termo de domínio passa a ser representado como segue: 

∫ 

* * 

ρ u φ dΩ 

= ρ ∇ 2 T φ dΩ 

(2.13) 

Ω 

ki im ki im 

Ω 

∫ 

Integrando-se por partes duas vezes o segundo termo de (2.13), chega-se à (2.14), com a 

diminuição de um termo de domínio, eliminado aqui, pois a função aproximadora φ im 

adotada neste trabalho é linear: 


70 


∫ 

( , 

) 

* * 

, 

* 

N 

ρ uki&& 

uidΩ= ρ Tki lφim − Tkiφim l 

nldΓU&& 

m 

(2.14) 

Ω 

∫ 

Γ 

Portanto, (2.14) representa a transformação do termo de domínio para o contorno. 

Ressalte-se que o domínio deve ser discretizado por células tridimensionais, de forma 

qualquer, cujo contorno é, por sua vez, discretizado por elementos bidimensionais. 

Escrevendo (2.14) para todas as células, chega-se na matriz de massa, M. 

Finalmente, levando o resultado da transformação realizada para (2.3), tem-se a 

representação matricial (2.10). 

2.4 Aspectos computacionais 

As equações apresentadas neste trabalho são implementadas utilizando-se o 

elemento triangular plano com aproximação linear. Para tratar a singularidade das forças 

de superfície, faz-se uso do elemento não conforme, deslizando o ponto fonte para o seu 

interior. 

As funções fn = 1 + r são adotadas para determinar as matrizes do MRD. São 

sempre independentes quando escritas para pólos diferentes. A distância r é a mesma 

utilizada na solução fundamental. 

O algoritmo de Newmark, descrito em WARBURTON (1976), é utilizado para a 

resolução de (2.10), tendo antes suas matrizes convenientemente arranjadas em duas 

partes: 1 identifica forças de superfícies prescritas; e 2 deslocamentos prescritos 

(nulos). Assim, (2.10) vem a ser: 

⎡M 

⎢ 

⎣M 

M 

11 12 

M 

21 22 

⎤⎧U&& 

⎥⎨ 

⎦⎩U&& 

1 

2 

⎫ H 

⎬ 

⎭ + ⎡ ⎣ ⎢ H 

H 

11 12 

H 

21 22 

⎤⎧U 

⎥⎨ 

⎦⎩U 

1 

2 

⎫ G 

⎬ 

⎭ = ⎡ ⎣ ⎢ G 

G 

11 12 

G 

21 22 

1 

⎤⎧P 

⎫ 

⎥⎨ 

⎬ 

2 

⎦⎩P 

⎭ 

(2.15) 

Admitindo que as condições de contorno não se modificam ao longo do tempo, e 

partindo do repouso, chega-se na equação 

11 

M U&& 1 11 1 1 

+ H U = F 

(2.16) 

onde 

11 11 12 22 1 21 

M = M − G G M , 

11 11 12 22 −1 21 

H = H − G G H e 

− 

( ) 

F = G −G G G P 

1 11 12 22 1 21 1 

− 

(2.17a-c) 

2.5 Aplicação 

Para testar as formulações apresentadas neste trabalho, considera-se o exemplo 

de um sólido contido lateralmente e solicitado bruscamente na extremidade, conforme a 

figura 2.1. São adotados os seguintes valores: E = 110 x 5 3 

Pa, υ = 025 , , ρ=1kg / m e 

∆t=0,003s. 



71 

Figura 2.1 - Características geométricas do sólido, condições de contorno e comportamento 

temporal da força f(t). 

A análise é feita tomando-se as duas discretizações do contorno apresentadas na figura 

2.2, seguindo o roteiro de casos da tabela 2.1. Os resultados são mostrados nas figuras 

2.3 e 2.4, para as discretizações (a) e (b), respectivamente. Os sentidos das reações de 

apoio e deslocamentos são relacionados ao sistema de eixos adotado. 

Figura 2.2 - Discretizações do contorno por elementos triangulares planos: (a) 40 elementos e 

(b) 80 elementos. 

Tabela 2.1 - Casos processados. 

Caso Formulação Discretização “Pólos” Internos Células 

RD1 

RD2 

RD3 

Reciprocidade. 

Dual 

A 

A 

B 

0 

15 

15 

- 

CT1 

CT2 

Células 

Tridimensionais 

A 

B 

- 2 

2 


72 


-6,70 

2 

Reação de Apoio (Pa) 

1 

0 

S.Analítica 

CT1 

RD1 

RD2 

-1 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Tempo (s) 

Desloc. no Topo (x10^-5m) 

-3,35 

0,00 

S.Analítica 

CT1 

DR1 

DR2 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Tempo (s) 

Figura 2.3 - Resultados para a discretização (a). 

-6,70 

2 

Reação de Apoio (Pa) 

1 

0 

S.Analítica 

CT2 

RD3 

Desloc. no Topo (x10^-5m) 

-3,35 

0,00 

S.Analítica 

CT2 

DR3 

-1 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Tempo (s) 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Tempo (s) 

Figura 2.4 - Resultados para a discretização (b). 

2.6 Conclusões 

O Método dos Elementos de Contorno se mostrou adequado à análise transiente 

de tridimensionais, formulado através da Reciprocidade Dual e da utilização de células, 

conforme os valores apresentados nas figuras 2.3 e 2.4. O uso do elemento triangular 

com aproximação linear, de fácil implementação, exige que a discretização seja mais 

refinada, na busca de melhores resultados. A integração temporal através do algoritmo 

de Newmark permitiu os resultados apresentados. Deve-se ter especial atenção com o 

passo de tempo ∆t adotado, uma vez que pode haver suavização da resposta ou 

divergência, de acordo com a escolha de valores maiores e menores, respectivamente. 

Os resultados obtidos através do MEC com a Reciprocidade Dual tendem para 

os valores da solução analítica, observando-se o mesmo para os obtidos com a 

utilização de células, estes últimos um pouco mais precisos. Já o tempo computacional 

gasto no processamento pelo MRD é bem maior, uma vez que a sua formulação exige a 



73 

inversão da matriz das funções f n . Entretanto, tal observação é irrelevante quando se 

analisa a evolução tecnológica dos computadores, cada vez mais velozes e disponíveis. 

3 FRATURA MECÂNICA 

3.1 Equações integrais 

A formulação desenvolvida baseia-se na representação integral de 

deslocamentos, considerando-se um corpo elástico de domínio Ω e contorno Γ, 

submetido a um campo de tensões iniciais σ o 

jk 

. Essa representação pode ser encontrada 

em BREBBIA et al. (1984), e, excluindo-se a parcela correspondente às forças 

volumétricas, tem a seguinte forma: 

c 

ik 

u 

k 

+ * 

* 

∫ p u dΓ = ∫ u p dΓ + ∫ 

ik k 

ik k 

ε 

Γ 

Γ 

Ω 

c 

* 

ijk 

σ 

o 

jk 

dΩ 

(3.1) 

onde p * * 

ik 

, u ik 

* 

e ε ijk 

representam os valores da solução fundamental (utiliza-se Kelvin 

no presente trabalho) para forças de superfície, deslocamentos e deformações, 

respectivamente, e Ω c 

, a parte do domínio onde age o campo de tensões iniciais. Para 

um ponto p situado no domínio, c ik 

vale 1 e, para o contorno, 1/2. As três primeiras 

parcelas de (3.1) são as usualmente empregadas no MEC. Já a parcela correspondente às 

tensões iniciais merece consideração especial: pode ser escrita utilizando-se o tensor de 

deslocamento, resultando em: 

∫ 

Ω 

c 

ε 

* 

ijk 

σ 

o 

jk 

* 

∂u 

ij o 

dΩ 

= ∫ σ 

jkdΩ 

(3.2) 

∂x 

Ω 

c 

Considere-se a parcela do domínio Ω c 

, onde há uma descontinuidade, conforme 

a figura 3.1, que representa a região onde tensões atuam em uma faixa estreita, 

definindo-se a descontinuidade que se pretende analisar. Note-se que o contorno da 

1 

descontinuidade, representado por Γ c 

, é aproximado pelos lados Γ c 

e Γ 2 c 

, 

desconsiderando-se os das extremidades, sendo a distância entre os lados igual a 2a 

(valor muito pequeno em relação ao seu comprimento). Portanto, todo o cálculo pode 

ser referido ao plano médio da região. 

k 

Figura 3.1 - Parte do domínio onde agem as tensões iniciais. 


74 


Na tentativa de transformar o termo de domínio de (3.2) para o contorno, efetuase 

a sua integração por partes, resultando em duas parcelas que, após algumas 

manipulações algébricas (tendo em vista a figura 3.1), confere-lhes a seguinte 

representação: 

* 

∂ 

∫ ε u 

* o 

ij 

ijkσ 

jkdΩ = ∫ 2a p 

∂x 

Ω 

c 

Γ 

c 

l 

ol 

j 

dΓ 

(3.3) 

onde as variáveis cartesianas x l 

representam o sistema local de coordenadas na 

superfície da trinca, cuja normal está na direção x 3 

. 

Em (3.3) surgem novas grandezas, definidas como dipólos de forças, 

representadas por: 

q = 2 

(3.4) 

l ol 

j 

ap j 

As grandezas são dispostas em um ponto da trinca, conforme mostra a figura 3.2. 

Figura 3.2 - Componentes dos dipólos agindo nas superfícies da trinca (no sistema local de 

coordenadas). 

Portanto, pode-se escrever (3.2) apenas para termos sobre o contorno, utilizandose 

o conceito de dipólos, já devidamente transformados para o sistema global de 

coordenadas cartesianas, conforme (3.5). 

c 

ik 

u 

k 

+ * 

* 

∫ p u dΓ = ∫ u p dΓ + ∫ 

ik k 

ik k 

G 

Γ 

Γ 

Γ 

c 

l 

ij 

l 

q dΓ 

j 

(3.5) 

O novo núcleo, hipersingular, que aparece na última parcela de (3.6) é obtido a 

partir da diferenciação da solução fundamental em deslocamento, dado pela seguinte 

expressão: 

{(3 

− 4ν)r 

δ − r δ − r δ 3r r r } 

l −1 

G 

ij 

= 

2 

, l ij , j l i ,i l j 

+ 

,i , j , l 

(3.6) 

16π(1 

− ν)Gr 

Empregando-se (3.5) a dois pontos simétricos em relação à superfície média da 

trinca, verifica-se, após a determinação de alguns limites, que os deslocamentos 



75 

relativos das superfícies da trinca ficam caracterizados em função dos dipólos da, 

seguinte forma: 

⎡ 

⎤ 

3 

⎧∆w 

⎧ ⎫ 

1 ⎫ 

⎢1 

0 0 ⎥ q1 

⎪ ⎪ 

p'' 1 ⎢ 

⎥⎪ 

3 ⎪ 

w ⎨ 2 ⎬ 

= 0 1 0 

⎢ 

⎥ 

⎨q 

⎬ 

(3.7) 

2 

⎪ ⎪ 

G (1 − 2ν) 

⎢ 

⎥ 

⎪ 3 ⎪ 

⎩∆w 

3 ⎭ 

0 0 ⎩q 

3 ⎭ 

⎢⎣ 

2(1 − ν) 

⎥⎦ 

p' 

{ ∆ } = ∆w 

= { u} − { u} 

Outra equação necessária para a presente análise é a de tensão em pontos 

internos que é obtida da diferenciação da equação de deslocamentos (3.5), o que resulta 

em: 

σ 

im 

= − 

∫ 

Γ 

S 

⎪⎧ 

+ ⎨λδ 

⎪⎩ 

imk 

im 

u dΓ + 

k 

∂ 

∂X 

∫ 

w Γc 

G 

∫ 

Γ 

D 

l 

wj 

imk 

p dΓ + 

l 

q dΓ + G 

j 

k 

∂ 

∂X 

∫ 

m Γc 

l l 

G q dΓ + 

ij 

j 

∂ 

∂X 

∫ 

i Γc 

G 

l 

mj 

⎪⎫ 

l 

q 

jdΓ⎬ 

⎪⎭ 

(3.8) 

Os núcleos S imk e D imk , em (3.8), são os já conhecidos da formulação clássica do 

MEC. Já os termos entre parênteses referem-se à trinca e, devido à presença de 

singularidade, devem ser analisados com o devido cuidado. Em VENTURINI (1982) 

são apresentados os procedimentos necessários para a devida análise desses termos que, 

aplicados aqui, resultam em: 

σ 

im 

= − 

∫ 

Γ 

S 

imk 

u dΓ + 

k 

∫ 

Γ 

D 

imk 

p dΓ + 

k 

∫ 

Γc 

G 

ml 

ij 

l 

q dΓ + g 

j 

ml 

ij 

[ σ (p)] 

ml 

o 

onde g 

ij 

é um termo independente que vale 0 e σ im 

( p) para o cálculo de tensão 

plástica e elástica, respectivamente. O novo núcleo para tensões, hipersingular, é dado 

pela seguinte expressão: 

jl 

(3.9) 

G 

ml 

ij 

1 

= 

8π(1 

− ν)r 

3 

{(1 

− 2ν) 

( δ δ + δ δ − δ δ ) − 3(1 − 2ν) 

( δ r r + δ r r − δ r r ) 

mj il 

ij lm 

mi lj 

+ 3 

( δ r r + δ r r + δ r r ) −15r 

r r r } 

lj 

,i ,m 

ml 

, j ,i 

mj ,i , l 

li 

,m , j 

ij ,m , l 

im , j , l 

,i , j , l ,m 

+ 

(3.10) 

3.2 O modelo coesivo 

O modelo coesivo apresentado por HILLERBORG (1976) é considerado neste 

trabalho. É aplicado nos casos onde a zona plástica é delimitada para uma faixa muito 

estreita. Estabeleceu-se que a zona de fratura coesiva desenvolve-se quando a tensão 

principal máxima atinge seu valor limite, f t , conforme figura 3.3.a, e que o dano no 

material da zona de fratura é parcial, permitindo a perda gradual da resistência do 

material até que seja atingida uma abertura de fratura igual a w c (figuras 3.3.b e 3.3.c). 


76 


(a) (b) (c) 

Figura 3.3 - Leis constitutivas do material: (a) tensão x deformação; (b) tensão x abertura da 

fratura, modelo idealizado; (c) tensão x abertura da fratura, modelo simplificado. 

O modelo simplificado dá resultados satisfatórios para materiais do tipo "quasibrittle". 

É definido apenas por dois parâmetros, f t e w c , que podem ser obtidos de 

ensaios em laboratório. 

Utiliza-se aqui uma relação constitutiva do modelo coesivo escrita na forma 

clássica de um critério plástico, atribuída a CEN & MAIER (1992), representada por: 

Φ( σ) 

⎛ ⎞ 

= σ−f 

⎜ − ⎟ 

⎝ 

1 w 

t 

w ⎠ 

(3.11) 

onde σ é a tensão normal à fratura e w o afastamento normal entre as suas superfícies. 

As seguintes condições são observadas para o critério dado em (3.11): 

c 

w& 

≥ 0 

Φw& 

= 0 

(3.12a-b) 

3.3 Discretização 

Mostradas as expressões matemáticas da formulação, necessárias à análise do 

problema proposto, necessita-se, agora, transformá-las para uso em um algoritmo 

computacional para a análise automática do problema. Assim, são utilizados elementos 

planos triangulares descontínuos com aproximação linear (com três pontos de 

colocação) para a discretização do contorno do corpo. Para a fratura são utilizados os 

mesmos elementos com aproximação constante (um ponto de colocação). Elementos 

com outras aproximações poderiam ser utilizados sem nenhum prejuízo à formulação. 

Escrevendo-se (3.5) para os pontos de colocação definidos no contorno do corpo e nos 

elementos da fratura, obtém-se: 

HU = GP + KQ 

(3.13) 

onde as matrizes H e G são as já conhecidas do MEC. A matriz K é obtida a partir dos 

núcleos dados em (3.6), observando-se convenientemente as componentes necessárias e 

a relação entre elas (conforme figura 3.2). Fazendo a troca de colunas entre as matrizes 

H e G, do modo usual do MEC, a fim de estabelecer um vetor de incógnitas 

(deslocamentos e forças de superfície) e um vetor de valores prescritos, associando-se o 

coeficiente percentual α de incremento de força ou deslocamento, obtém-se o seguinte 

sistema de equações algébricas: 

X = α M+ 

RQ 

(3.14) 



77 

onde 

−1 

M = A F 

−1 (3.15a-b) 

R = A K 

Vê-se que, para cada passo incremental de força ou deslocamento, as incógnitas 

possuem uma parcela elástica e outra que a corrige, em virtude do fraturamento, através 

da aplicação dos dipólos, representados pelo vetor Q. 

A expressão integral para as tensões, (9), é transformada de forma semelhante à 

de deslocamentos, com as matrizes usuais do MEC H' e G', mais a matriz K' obtida 

com os núcleos dados por (3.10), conforme a seguir: 

' ' ' 

σ =− HU+ GP+ 

KQ 

(3.16) 

Da mesma forma que a expressão para deslocamentos, a de tensões pode ser escrita 

separando-se em duas parcelas, uma elástica e a outra que a corrige pelo emprego dos 

dipólos. Assim, 

onde 

3.4 Aspectos numéricos 

σ = αN 

+ SQ 

(3.17) 

' ' 

N = F −A M 

' ' (3.18) 

S = K − A R 

O algoritmo empregado na solução das equações dadas no item anterior é do tipo 

incremental iterativo. Calculam-se as incógnitas, deslocamentos e forças de superfície e, 

eventualmente, tensões internas, com as parcelas elásticas das equações (3.14) e (3.17) 

para cada passo incremental. Verifica-se, então, se o critério de resistência foi atingido 

e, em caso afirmativo, entra-se em um processo iterativo. Os valores verdadeiros de 

deslocamentos, forças de superfície e tensões são obtidos corrigindo-se os valores 

elásticos através das parcelas relacionadas com os dipólos. Os valores dos dipólos 

devem ser estimados a partir do valor local das tensões de cada elemento de fratura ou 

nó, como se fossem campos independentes, já que o processo é não-linear. Portanto, 

com os valores residuais das tensões e das sub-matrizes de S, obtém-se de modo 

simplificado os valores parciais dos dipólos, que são posteriormente acumulados em Q. 

Obedecendo ao critério do modelo coesivo apresentado em (3.11), verifica-se o 

surgimento da abertura de fratura limite, w c , condição necessária para se afirmar que 

neste nó houve fraturamento. 

O emprego de elementos descontínuos na discretização do contorno é necessário 

para permitir o surgimento de fraturas. 

O procedimento descrito acima é similar a outros já empregados em conjunto 

com o MEC; e pode ser utilizado no estudo de sólidos quaisquer sujeitos ao surgimento 

de uma linha de fratura ou a multifraturamento. 

Nesta formulação apresentada, as matrizes G e H usuais do MEC sofrem 

inclusões de linhas e colunas à medida que novos elementos são exigidos para 

representar o crescimento da fratura. Portanto, não se trata de redefinir uma nova rede 


78 


de elementos, e sim de aproveitar os valores das componentes dessas matrizes, já 

calculados, aumentando a economia de tempo computacional. 

Sendo hipersingulares os núcleos envolvidos nesta formulação, deve-se ter 

cuidado especial com os procedimentos de integração, principalmente se o ponto de 

colocação pertencer ao elemento integrado (utiliza-se o conceito de parte finita de 

Hadamard). 

3.5 Aplicação numérica 

Para testar a formulação apresentada neste trabalho, considera-se o exemplo de 

um sólido deslocado na sua extremidade, conforme a figura 3.4.a. São adotados os 

seguintes valores: E = 110 x 

5 , υ=00 , , f t 

= 10 , e w c 

= 0, 00004 . 

Figura 3.4 - (a) corpo para análise, com do deslocamento imposto na extremidade e a definição 

de quatro pontos para medições; (b) discretização do contorno; e (c) discretização da seção 

fraturada. 

Na figura 3.4.a são definidos quatro pontos: um na extremidade livre, outro 

próximo aos apoios e dois na metade do comprimento, um imediatamente acima da 

metade e outro abaixo. Para esses pontos são apresentados valores de deslocamentos 

para alguns passos de cálculo do algoritmo apresentado. 

A discretização do contorno do corpo é feita através de elementos triangulares 

planos com aproximação linear, conforme figura 3.4.b, e são descontínuos para permitir 

o surgimento de trincas ao longo do comprimento do corpo. A superfície fictícia de 

fraturamento é discretizada por elementos triangulares planos com aproximação 

constante (figura 3.4.c) e divide o corpo hipoteticamente em dois cubos. 

Os resultados obtidos do processamento são apresentados a seguir. A figura 

3.5.a mostra que ao ser atingida a tensão limite, inicia-se o processo de fraturamento, 

obedecendo-se ao critério adotado em (3.11) e verificando-se o deslocamento relativo 

entre os pontos 2' e 2'' (abertura da fratura). Na figura 3.5.b observa-se bem o trecho de 

deslocamentos elásticos, que são corrigidos no segundo trecho, moldando-se à nova 

situação de fraturamento. 



79 

(a) 

(b) 

Figura 3.5 - Gráficos dos resultados: (a) processo de fraturamento obedecendo ao critério 

adotado; e (b) forças de superfície por deslocamentos, no ponto 2''. 

Os valores de deslocamentos obtidos para os quatro pontos definidos na figura 

3.4 estão resumidos na tabela 3.1, dada a seguir: 

Tabela 3.1 - Valores de deslocamentos em alguns passos incrementais para os pontos 

selecionados 

Trecho Elástico 

Trecho c/ Fratura 

α=0 α=0,25 α=0,50 α=0,75 α=1,00 α=1,00 α=1,25 

1 0 0,000010 0,000020 0,000030 0,000040 0,000040 0,000050 

2' 0 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020 0,000040 0,000050 

2'' 0 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020 0,000000 0,000000 

3 0 0 0 0 0 0 0 

Os dados da tabela 3.1 revelam duas fases distintas do comportamento do corpo em 

questão. Na primeira, o corpo íntegro deforma-se elasticamente até que a tensão limite é 

atingida. A partir daí, já no processo iterativo, são determinados os dipólos que fazem a 

correção dos valores elásticos neste incremento, para os valores verdadeiros, já com o 

corpo fraturado. A segunda fase caracteriza-se pelo descolamento das duas partes do 

domínio, uma permanecendo imóvel e a outra tendo deslocamento de corpo livre. A 

configuração final do corpo, após o fraturamento, está apresentada na figura 3.6. 

Figura 3.6 - Configuração final do corpo fraturado. 

3.6 Conclusões 

A formulação apresentada neste trabalho mostrou-se adequada para solucionar o 

problema tridimensional de fratura coesiva. O algoritmo é convergente e bastante 

versátil. Após discretizado o contorno do corpo e encontradas as matrizes usuais do 


80 


MEC, basta que se acrescente os elementos na superfície fictícia da fratura, gerando 

novas linhas e novas colunas, mantendo-se a rede de elementos do contorno. Isso traz 

uma economia de tempo computacional e dá ao método dos elementos de contorno uma 

formulação elegante para a análise do processo de fraturamento. Vale destacar que esta 

formulação é válida para quaisquer outros modelos que não o coesivo, inclusive o 

elástico. 

4 FRATURA DINÂMICA 

4.1 Equações integrais 

Considere-se um sólido elástico, homogêneo, isotrópico e com distribuição 

contínua de matéria em seu domínio Ω , submetido a um campo de tensões iniciais, 

conforme mostra a figura 4.1. 

Γ t 

Γ 

Ω 

t+ ∆t 

t 

Ωt+ ∆t 

. χ 

q( χ 

. q( ,t+ ∆t) 

,t) 

Ωc 

Ωc t t+ ∆t 

Figura 4.1 – Sólido em movimento com uma região de tensões iniciais 

Ω 

c 

. 

A formulação empregada baseia-se na clássica equação Somigliana (BREBBIA 

et al., 1984), acrescentando-se um novo termo correspondente a um campo de tensões 

iniciais aplicado no domínio, além da influência dinâmica dada pelo termo que contém a 

aceleração. Portanto, considerando-se as parcelas de forças dinâmicas e de tensões 

iniciais, a seguinte representação integral de deslocamentos pode ser escrita para pontos 

do domínio: 

u 

i 

* 

* 

* 

* o 

+ ∫ p u 

kdΓ 

= ∫ u p 

kdΓ 

−ρ 

∫ u & u 

kdΩ 

+ ∫ε 

ijkσ 

jkdΩ 

ik 

ik 

ik 

(4.1) 

Γ 

Γ 

Realizam-se as passagens algébricas pertinentes à formulação do MEC 

(BARBIRATO, 1999), e obtém-se a transformação da parcela integral de tensões 

iniciais para o contorno da sub-região. Assim, considerando-se o conceito de dipolo de 

tensões, encontra-se: 

c 

ik 

u 

k 

Ω 

* 

* 

* 

l l 

+ ∫ p u 

kdΓ 

= ∫ u p 

kdΓ 

−ρ 

∫ u & 

iku 

kdΩ 

+ ∫ G 

ijq 

jdΓ 

ik 

ik 

(4.2) 

Γ 

Γ 

Os tensores * * 

u 

ik 

e p 

ik 

são os de Kelvin utilizados na elastostática. Os 

coeficientes c 

ik 

permitem o emprego da equação integral de deslocamentos (4.2) para 

pontos no contorno, no domínio ou fora dele. O tensor correspondente ao dipolo é o 

mesmo apresentado em BARBIRATO & VENTURINI (1998), ou seja, 

Ω 

Ωc 

Γ c 



81 

G 

1 

= 

16π( 1− 

ν) 

Gr 

{ − 3− 4ν rlδ + r δl + r δl −3r r rl} 

( ) , , ,i ,i , , (4.3) 

l 

ij 2 

ij j i j j 

4.2 Emprego do método da reciprocidade dual 

Neste trabalho, o Método da Reciprocidade Dual (MRD) é utilizado para 

transformar o último termo de domínio de (4.2), considerando-se as forças de inércia 

como forças de volume e tratando o problema dinâmico com as soluções fundamentais 

do problema estático. A partir disso, aplicando-se o Teorema da Reciprocidade na 

referida parcela, pela segunda vez na formulação do Método dos Elementos de 

Contorno (MEC), chega-se a uma representação somente com termos de contorno. Na 

transformação do termo de domínio (4.2) para o contorno, faz-se necessário definir uma 

aproximação para a densidade & u& 

i 

, incógnita do problema. O MDR pode ser interpretado 

como sendo uma superposição de soluções particulares localizadas, e sugere uma série 

de funções, tais que: 

u (q, t) = α 

j 

& u 

(q, t) = α&& 

j 

m 

j 

m 

j 

(t)f 

(t)f 

m 

m 

(χ ,q) 

(χ ,q) , 

e 

(4.4a-b) 

onde f 

m 

são funções globais linearmente independentes, que podem ser escritas para 

pontos do domínio e do contorno; α& & m j 

coeficientes a serem determinados, e m a 

somatória ( m = 1,2, L, 

M ). 

Considerando-se a aproximação (4.4) no termo de domínio de (4.2) e realizandose 

algumas operações algébricas, chega-se na representação integral de deslocamentos 

somente com parcelas no contorno: 

c (S)u (S, t) = − 

ij 

j 

⎛ 

+ ρ ⎜ 

c 

⎝ 

− 

∫ 

Γ 

∫ 

Γ 

* 

p (S,Q)u (Q, t)dΓ + u 

u 

* 

ij 

ij 

ij 

(s)û 

m 

jk 

(s,q)pˆ 

(χ ) + 

m 

jk 

j 

∫ 

Γ 

p 

* 

ij 

⎞ 

(χ ,q)dΓ ⎟ 

α&& 

⎠ 

∫ 

Γ 

(s,q)û 

m 

k 

* 

ij 

(S,Q)p (Q, t)dΓ + 

m 

jk 

(t) + 

(χ ,q)dΓ + 

m m 

onde o índice “m” representa somatória e as funções û l i 

e pˆ l i 

são soluções particulares 

de um problema estático adotado, cuja força f m 

é aplicada na direção k. Conhecidas as 

m 

funções f n 

, os coeficientes α& & k 

são determinados tomando-se a forma inversa de (4.3). 

A representação integral de tensões para pontos localizados no domínio é obtida 

utilizando-se o procedimento clássico baseado na lei de Hooke, substituindo-se 

convenientemente as derivadas da expressão (4.5) de deslocamentos. Assim, 

∫ 

Γ c 

G 

l 

ij 

j 

q 

l 

j 

dΓ , 

(4.5) 


82 


σ (s, t) = − 

ij 

onde 

S 

⎧ 

+ ρ⎨Dˆ 

⎩ 

+ 

∫ 

∫ 

Γ 

Γc 

G 

* 

ijl 

jl 

ik 

(s,Q)u (Q, t)dΓ + 

k 

ijl 

(s,q) + 

(s,q)q 

l 

k 

j 

∫ 

Γ 

S 

* 

ijl 

∫ 

Γ 

(s,q)û 

(q, t)dΓ + g 

jl 

ik 

D 

m 

jk 

* 

ijl 

(s,Q)p (Q, t)dΓ + 

(s,q)dΓ − 

[ σ (p)] 

kl 

j 

∫ 

Γ 

D 

* 

ijl 

(s,q)pˆ 

m 

jk 

⎫ 

(s,q)dΓ⎬α&& 

⎭ 

m 

k 

(t) + 

(4.6) 

⎧ 0 

j 

g l ik 

(p) = ⎨ 

(4.7) 

o 

⎩σij 

* * 

para o cálculo da tensão plástica ou elástica, respectivamente, os tensores S ijk 

e D ijk 

são 

jl 

os da solução de Kelvin; Dˆ ijk 

é o tensor definido em (4.8) e G 

ik 

o tensor hipersingular 

dos coeficientes de influência dos dipolos para as tensões em pontos internos, exp. (4.9). 

Dˆ 

ijk 

(1 − 2ν) 

⎡(1 

+ 2ν) 

= 

r,k 

(3 2 ) 

⎢ δ 

− ν ⎣(1 

− 2ν) 

+ 

1 

24(1 

− ν) 

[(5 

− 6ν) 

( r δ + r δ ) − (1 − 6ν)r 

δ − r r r ] r 

2 

,i 

ij 

1 

+ δ 

2 

kj 

, j 

jk 

r 

ik 

,i 

1 

+ δ 

2 

⎤ 

r ⎥ r + 

⎦ 

ik , j 

,k 

ij 

,i , j ,k 

(4.8) 

G 

ml 

ij 

1 

= 

8π(1 

− ν)r 

+ δ 

r 

r 

ij ,m , l 

3 

{(1 

− 2ν) 

( δ δ + δ δ − δ δ ) + 3(1 − 2ν) 

( 

− δ 

r 

r 

im , j , l 

mj 

il 

) − 3( δ r r + δ r r + δ r r ) −15r 

r r r }. 

lj 

,i 

,m 

ij 

lm 

ml 

mi 

, j ,i 

lj 

li 

,m , j 

δ 

r 

r 

mj ,i , l 

+ 

,i , j , l ,m 

(4.9) 

4.3 Discretizações 

As representações integrais (4.5) e (4.6) são discretizadas utilizando-se os 

elementos triangulares planos com aproximações linear para o contorno e constante para 

a superfície fictícia da fratura. 

Além dos “J” elementos de contorno, dos “N” pontos nodais (nós funcionais), 

deve-se considerar o número de pólos, “Np”, e os “ J c 

” elementos constantes utilizados 

na superfície fictícia da fratura. 

Considere-se a expressão integral para deslocamentos (4.5). Substituem-se os 

deslocamentos e forças de superfície (u j e p j ) pelo produto entre as funções 

aproximadoras e seus respectivos valores nodais. O mesmo é feito para os tensores dos 

deslocamentos e forças de superfície do problema particular ( û 

m 

jk 

e pˆ 

m 

jk 

). Adotando-se as 

mesmas funções aproximadoras, chega-se às mesmas matrizes H e G do contorno, 

também para o termo de domínio transformado-o para o contorno. Portanto, adotam-se: 

uˆ 

k 

T 

= φ Uˆ 

T 

ˆ ˆ n 

p 

k 

= φ Pm 

. 

A expressão (4.5), na sua forma discretizada, passa a ser: 

n 

m 

e 

(4.10a-b) 



83 

c(S, 

t) u(S, 

t) = − 

+ 

J+ 

Jc 

∑ ⎢∫ 

j= 1 Γj 

J+ 

Jc 

∑ ⎢∫ 

j= 1 Γj 

{ 

+ ρ c(s)ˆ 

u 

− 

+ 

J+ 

Jc 

∑ ⎢∫ 

j= 1 Γj 

Jc 

⎡ 

⎢⎣ 

⎡ 

⎢⎣ 

⎡ 

∑ ⎢∫ 

⎢⎣ 

⎡ 

⎢⎣ 

j= 1 Γj 

* 

p (S,Q) φ 

* 

u (S,Q) φ 

m 

(s, t) + 

* 

u (s,q) φ 

T 

T 

T 

⎤ 

(Q)dΓ⎥U 

⎥⎦ 

⎤ 

(Q)dΓ⎥ 

P 

⎥⎦ 

J+ 

Jc 

∑ ⎢∫ 

⎢⎣ 

j= 1 Γj 

⎤ 

(q)dΓ⎥ 

P 

⎥⎦ 

n 

m 

⎤ 

* 

G (s,q)dΓ⎥ 

Q(q, 

t). 

⎥⎦ 

⎡ 

n 

n 

* 

p (s,q) φ 

(Q, t) + 

(Q, t) + 

T 

⎪ 

⎫ 

(s,q) ⎬α&& 

⎪⎭ 

⎤ 

(q)dΓ⎥ 

U 

⎥⎦ 

m 

(t) + 

n 

m 

(s,q) + 

Efetuadas as integrais de (4.11) para todos os pontos de colocação, representada 

na forma matricial, tem-se: 

( cUˆ 

+ HU ˆ ˆ − GPˆ 

)& 

KQ 

(4.11) 

c U + HU ˆ = GP + ρ 

α& + 

(4.12) 

ou, ainda, 

HU = GP − MU&& + KQ 

(4.13) 

onde M é a matriz de massa definida por: 

− 

M =−ρ( HU$ −GP$ ) F 

1 . (4.14) 

Para o cálculo das tensões em pontos do domínio, utiliza-se o mesmo 

procedimento de discretização efetuado para a equação de deslocamentos, que aplicado 

à equação (4.6) resulta em: 

σ(s, 

t) = − 

+ 

+ ρ 

− 

+ 

J+ 

Jc 

∑ ⎢∫ 

j= 

1 

J+ 

Jc 

j= 

1 

T 

n 

( s,Q) φ ( Q) dΓ⎥U 

( Q, t) 

T 

n 

( s,Q) φ ( Q) dΓ ⎥P 

( Q, t) 

J+ 

Jc 

{ ˆ k 

* T 

( s,q) ( s,Q) ( Q) dΓ ˆ k 

D + ⎢ S φ ⎥U 

( s,q) 

J+ 

Jc 

j= 

1 

Jc 

j= 

1 

⎡ 

Γ j 

∑ ⎢∫ 

⎢⎣ 

Γ j 

⎡ 

∑ ⎢∫ 

⎢⎣ 

⎡ 

Γ j 

∑ ⎢∫ 

⎢⎣ 

⎡ 

⎢⎣ 

Γ j 

S 

D 

D 

G 

* 

* 

* 

* 

σ 

∑ ∫ 

j= 

1 

⎡ 

⎢⎣ 

Γ j 

⎥⎦ 

⎤ 

⎥⎦ 

⎤ 

⎤ 

T 

( ) ( ) ˆ k 

−1 

s,Q φ Q dΓ⎥P 

( s,q) F ( s,q) 

⎥⎦ 

⎤ 

(s,q)dΓ ⎥ Q( 

q, 

t), 

⎥⎦ 

Escrevendo-se (4.15) de forma matricial, tem-se 

+ 

⎪ 

⎫ 

⎬ 

⎪⎭ 

+ 

⎤ 

⎥⎦ 

U&& 

k 

+ 

(q, t) + 

(4.15) 


84 


onde: 

σ =− HU ′ + GP ′ − MU ′&& + KQ ′ , (4.16) 

( ˆ ˆ ˆ −1 

D + H′ 

U − G′ 

P) M ′ = −ρ 

F . (4.17) 

4.4 Solução das equações 

Considere-se a equação do movimento definida em (4.13). Utilizando-se a 

formulação do algoritmo de Houbolt (DOMINGUEZ, 1993), para um instante de tempo 

genérico, tem-se 

ou 

onde 

M U & + HU GP KQ 

(4.18) 

t+ ∆t 

t+∆t 

= 

t+∆t 

+ 

t+ ∆t 

t+∆t 

+ 

t+∆t 

+ 

t+ 

∆t 

t+ 

∆t 

H U = GP F KQ , (4.19) 

⎡ 2 ⎤ 

H = ⎢ M + H 

2 

⎣∆t 

⎥ 

⎦ 

⎡ 1 

⎤ 

F 

t+ ∆t 

= M 

⎢ 

( 5U 

t 

− 4U 

t−∆t 

+ U 

t−2∆t 

) 

2 

⎣∆t 

⎥⎦ 

. 

(4.20a-b) 

Fazendo-se a troca de colunas entre as matrizes H e G, do modo usual do MEC, 

a fim de estabelecer o vetor de incógnitas (deslocamentos e forças de superfície) e o 

vetor de valores prescritos, obtém-se a seguinte solução: 

onde: 

X = RQ , (4.21) 

t+ ∆t 

M 

t+∆t 

+ 

t+ 

∆t 

X 

t +∆t 

= vetor misto de incógnitas 

−1 

M 

t+∆t 

= A ( GPt+∆ 

t 

+ Ft 

+∆t 

) 

−1 

R = A K 

(4.22a-c) 

De maneira semelhante, pode-se modificar a equação das tensões (4.16) 

resultando em: 

onde: 

onde: 

t+ ∆t 

H′ 

U 

t+∆t 

= G′ 

P ′ ′ 

t+∆t 

+ Ft 

+∆t 

+ K 

σ + Q 

(4.23) 

t+ 

∆t 

⎡ 2 ⎤ 

H′ = ⎢ M′ 

+ H′ 

2 

⎣∆t 

⎥ , e 

⎦ 

⎡ 1 

⎤ 

F ′ ′ 

t+ ∆t 

= M ⎢ 

( 5U 

t 

− 4U 

t−∆t 

+ U 

t−2∆t 

) 

2 

⎣∆t 

⎥⎦ . 

A expressão (4.23) pode ser ainda escrita na forma: 

t+ ∆t 

A′ 

X 

′ 

t+∆t 

= F′ 

t+∆t 

+ K 

t+ 

∆t 

(4.24a-b) 

σ + Q , (4.25) 



85 

X 

F′ 

t +∆t 

t+∆t 

= vetor misto de incógnitas 

= G′ 

P 

t+∆t 

+ F′ 

t+∆t 

Utilizando-se o vetor de incógnitas definido em (4.21), tem-se: 

t+ ∆t 

N 

t+∆t 

+ 

t+ 

∆t 

(4.26a-b) 

σ = SQ , (4.27) 

onde: 

N 

t+ ∆t 

= F′ 

′ 

t +∆t 

− A M 

(4.28a-b) 

t + ∆t 

S = K′ 

− A′ 

R . 

4.5 Aspectos computacionais 

O algoritmo empregado na solução das equações apresentadas é do tipo 

incremental iterativo (incremental no tempo – via Houbolt). Calculam-se as incógnitas, 

deslocamentos e forças de superfície e, eventualmente, tensões internas com as parcelas 

elásticas das equações (4.21) e (4.27) para cada passo incremental de tempo. Verificase, 

então, se o critério de resistência é atingido e, em caso afirmativo, entra-se em um 

processo iterativo. Os valores verdadeiros de deslocamentos, forças de superfície e 

tensões são obtidos corrigindo-se os valores elásticos através das parcelas relacionadas 

com os dipolos. Os valores dos dipolos devem ser estimados a partir do valor local das 

tensões de cada elemento de fratura ou nó, como se fossem campos independentes, já 

que o processo é não-linear. Portanto, com os valores residuais das tensões e das submatrizes 

de S, obtém-se de modo simplificado os valores parciais dos dipolos, que são 

posteriormente acumulados em Q. Obedecendo-se ao critério do modelo coesivo 

apresentado em (3.11), verifica-se o surgimento da abertura de fratura limite, w c , 

condição necessária para se afirmar que neste nó houve fraturamento. 

É importante destacar que o emprego de elementos descontínuos na 

discretização do contorno é necessário para permitir o surgimento de fraturas. 

O procedimento descrito é similar a outros já empregados em conjunto com o 

MEC; e pode ser utilizado no estudo de sólidos quaisquer sujeitos ao surgimento de 

uma linha de fratura ou a multifraturamento. 

Sendo hipersingulares os núcleos envolvidos nesta formulação, deve-se ter 

cuidado especial com os procedimentos de integração, principalmente se o ponto de 

colocação pertence ao elemento integrado (utilizando-se o conceito de parte finita de 

Hadamard, conforme PORTELA, 1993). 

4.6 Aplicação 

O problema de uma chapa com uma fratura central e solicitada por tensões 

dinâmicas nas extremidades opostas foi resolvido em CHEN (1975) utilizando 

diferenças finitas. Constitui-se em um trabalho de referência para a avaliação de outras 

formulações sobre fratura dinâmica. Neste exemplo, para testar a formulação 

apresentada, tem-se a resolução desse problema (na forma tridimensional). 

Considere-se o problema de um sólido paralelepipédico solicitado por tensões de 

tração nas extremidades opostas, conforme mostra a figura 4.2. Define-se, ainda, uma 

descontinuidade em sua seção transversal média. Os parâmetros elastodinâmicos 


86 


5 

adotados são: E = 2× 

10 GPa , ν = 0, 3 , 

a largura da fratura 2 a = 4,8mm 

. 

3 

ρ = 500kg / m , t = 0,0004s 

∆ , f t 

= 100, 0Pa 

e 

Figura 4.2 – Definição do objeto de estudo: geometria do sólido, condições de contorno e 

comportamento temporal da força. 

O contorno do sólido é discretizado utilizando-se 80 elementos triangulares 

planos, conforme mostra a figura 4.3a. A descontinuidade na seção média do sólido é 

discretizada por elementos triangulares com aproximação constante (figura 4.3b). 

(a) 

Figura 4.3 – Discretizações: (a) contorno do sólido por elementos lineares e (b) superfície da 

trinca na seção central do sólido por elementos constantes. 

O exemplo é resolvido utilizando-se um algoritmo computacional incremental 

(no tempo) e iterativo. São medidas as tensões em pontos próximos da linha 

“extremidade da trinca” e apresentadas na forma de fatores de intensidade de tensão 

(relativos ao módulo I de fraturamento), a fim de comparar com a curva apresentada em 

CHEN (1975). Os resultados são mostrados na figura 4.4. 

(b) 



87 

3,5 

Fator de Intens. de Tensão (modo I) 

3,0 

2,5 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

-0,5 

CHEN (1975) 

MEC 

-1,0 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 

Tempo (µs) 

Figura 4.4 – Valores de 

K 

I 

(normalizado por 

σ 

π a ) ao longo do tempo. 

4.7 Conclusão 

A formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada para análise 

de fratura dinâmica, utilizando-se o conceito de dipolo e o Método da Reciprocidade 

Dual, mostrou-se adequada e constitui-se como uma alternativa importante na resolução 

deste tipo de problema. Cada área explorada no presente trabalho traz sua conclusão 

específica, cuja somatória permite afirmar a adequação das formulações apresentadas. 

5 AGRADECIMENTO 

À CAPES, pela concessão de bolsa de doutorado, que permitiu a realização 

deste trabalho. 

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ISSN 1809-5860 

PASSARELA PÊNSIL PROTENDIDA FORMADA POR 

ELEMENTOS PRÉ-MOLDADOS DE CONCRETO 

Luciano Maldonado Ferreira 1 & Roberto Luiz de Arruda Barbato 2 

Resumo 

Este trabalho aborda um tipo de passarela que está ganhando bastante notoriedade 

internacionalmente. Inúmeras obras vêm sendo construídas em diversos países, embora 

no Brasil ainda seja pouco conhecida. Basicamente, a estrutura é composta por cabos 

livremente suspensos, sobre os quais se apóia o tabuleiro formado por elementos prémoldados 

de concreto. A protensão é utilizada como forma de enrijecer o conjunto. 

Dentre suas principais características, estão a rapidez e a facilidade de execução, a 

estética bastante agradável e o custo competitivo. Pretende-se fornecer uma 

conceituação básica, descrever algumas obras já realizadas, estudar o comportamento 

estrutural e comentar os aspectos construtivos. Finalizando, é mostrada uma breve 

aplicação numérica. 

Palavras-chave: passarelas; pontes pênseis; concreto pré-moldado; concreto 

protendido. 


A passarela pênsil mais primitiva é certamente aquela em que os próprios cabos 

funcionam como tabuleiro (v. figura 1). Apesar de bastante deslocáveis, essas estruturas 

foram utilizadas por diversas civilizações durante vários séculos. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, lmf@sc.usp.br 

2 Professor associado, Departamento de Estruturas da EESC-USP, barbato@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n.24, p.91-116, 2005

92 

Luciano Maldonado Ferreira & Roberto Luiz de Arruda Barbato 

Figura 1 – Passarela pênsil primitiva. (DETAIL, 1999) 

Por volta de 1960, essa concepção estrutural foi aperfeiçoada e divulgada pelo 

engenheiro alemão Ulrich Finsterwalder, tornando-se desde então uma nova alternativa 

para os projetistas. 

Basicamente, a estrutura é composta por cabos livremente suspensos sobre os 

quais se apóiam os elementos pré-moldados de concreto que formam o tabuleiro. A 

protensão é utilizada como forma de enrijecer o conjunto. Esse sistema estrutural ficou 

conhecido internacionalmente como stress-ribbon, sendo ilustrado nas figuras 2 e 3. No 

Brasil, PFEIL (1980) chama essas estruturas de “lâminas protendidas”. 

Figura 2 – Passarela em Nymburk, República Tcheca. (STRASKY, 1999) 

Figura 3 – Passarela em Redding, EUA. (STRASKY, 1999) 



93 

A princípio, o tabuleiro pode ser formado por elementos pré-moldados de 

concreto de seção completa ou parcial, ou ainda moldado totalmente no local. No 

entanto, é no uso da pré-moldagem que se nota algumas das principais vantagens desse 

sistema estrutural. Nesse caso, para a montagem da estrutura, os elementos deslizam um 

a um sobre os cabos de sustentação até atingir sua posição de projeto (v. figura 4), 

tornando a execução fácil e rápida. 

A protensão pode ser introduzida de duas formas. A primeira, mais comumente 

usada, é através de cabos adicionais aos de sustentação, ancorados na parte de trás dos 

blocos de fundação, de modo que seu único efeito são forças distribuídas verticais 

atuando num esquema de arco invertido, desde que os blocos de fundação sejam 

considerados indeslocáveis. A segunda forma de protensão produz o mesmo efeito, mas 

é conseguido com a colocação de uma sobrecarga (sacos de água, por exemplo) antes da 

concretagem das juntas. Após o concreto dessas juntas adquirir resistência suficiente, a 

sobrecarga é retirada e a estrutura tende a se deslocar para cima, ocorrendo o efeito de 

protensão desejado. A protensão através de sobrecarga já foi usada na cobertura pênsil 

do Estádio de Montevidéu, Uruguai. No Brasil, existem pelo menos duas obras que 

exibem esse tipo de protensão: a cobertura da Igreja Nossa Senhora das Graças, em 

Araraquara, e do ginásio esportivo de Rolândia. Maiores detalhes sobre essas coberturas 

podem ser encontrados em BARBATO (1975). 

Figura 4 – Elemento pré-moldado deslizando até sua posição. (STRASKY, 1999) 

Visando ao conforto dos usuários e ao acesso de deficientes físicos, a inclinação 

máxima deve ser pequena e assim os cabos ficam bastante esticados. Como 

consequência, surgem elevadas forças horizontais que devem ser ancoradas nos apoios, 

condicionando sua viabilidade técnica e econômica a condições favoráveis do subsolo. 

Mesmo com o custo relativamente elevado das fundações, a estrutura é 

competitiva economicamente, principalmente para grandes vãos e para estruturas de 

vãos múltiplos. A estética é bastante agradável, sendo a obra reconhecida como um 

marco na arquitetura local. 

São inúmeros os exemplos de estruturas construídas em diversos países, tais 

como, ex-Tchecoslováquia, Alemanha, Reino Unido, Suíça, Espanha, Uruguai, Estados 

Unidos e Japão. Apesar de ser possível a utilização desse sistema estrutural em pontes 

rodoviárias, a necessidade de flechas muito pequenas e as elevadas forças horizontais 

geradas tornam seu uso menos recomendável. 


94 


2 ALGUMAS APLICAÇÕES DO SISTEMA ESTRUTURAL 

Em FINSTERWALDER (1965) é descrita a proposta de uma ponte sobre o Lago 

Genebra. A parte central de 305 m do vão principal de 457 m seria pênsil, com apenas 

250 mm de espessura de concreto armado e taxa de armadura de 25%. Embora essa 

ponte e outras, como a Bosporus Bridge (v. figura 5) na Turquia, a Naruto Bridge no 

Japão e a Zoo-bridge na Alemanha, com vãos pênseis de 190 m, 336 m e 166 m 

respectivamente, não tenham sido executadas, elas marcam o início desse sistema 

estrutural como uma alternativa para os projetistas. 

Figura 5 – Esquema da Bosporus Bridge. (WITTFOHT, 1975) 

Talvez a primeira estrutura efetivamente construída seja a ponte sobre o rio 

Maldonado, no Uruguai (v. figura 6). O comprimento total é de 150 m, sendo que o vão 

principal mede cerca de 90 m. O tabuleiro é formado por aduelas de seção caixão com 

quatro células de 1,4 m de altura, que repousam sobre os cabos responsáveis pela 

sustentação. A largura total é de 9,6 m. 

Figura 6 – Ponte sobre o rio Maldonado, Uruguai. 



95 

BUTLER (1977) descreve a primeira passarela desse tipo construída no Reino 

Unido. Devido a problemas de instalação dos tirantes no subsolo, foi construída uma 

escora de concreto armado com a função de diminuir os esforços a serem absorvidos 

pelas fundações (v. figura 7). Nota-se um ligeiro engrossamento da seção transversal na 

região próxima aos apoios, proporcionando uma transição suave entre o tabuleiro 

flexível e os apoios rígidos. 

A utilização de flechas maiores é uma alternativa para reduzir a magnitude das 

forças horizontais geradas. No entanto, essa possibilidade esbarra em limites máximos 

de declividade impostos pelo tráfego e na altura disponível abaixo da estrutura. Em 

passarelas, por exemplo, rampas muito íngremes podem inviabilizar o acesso de 

deficientes físicos. Esse inconveniente foi superado por MATSUSHITA & SATO 

(1979) através de um tabuleiro superior na Hayahi-No-Mine Bridge (v. figura 8), 

localizada na ilha de Kyushu, Japão. 

Vista lateral 

Furos para 

drenagem 

Escora 

Planta 

34 m 

Ancoragens 

Escora 

1,2m x 0,5m 

Escora 0,6m x 0,5m 

Seção 

longitudinal 

Figura 7 – Passarela em Derbyshire, Reino Unido. (BUTLER, 1977) 

54,48 m 

Figura 8 – Hayahi-No-Mine Bridge. (MATSUSHITA & SATO, 1979) 

Mais recentemente, ganha destaque as obras projetadas pelo engenheiro Jiri 

Strasky. Em STRASKY & PIRNER (1986) e STRASKY (1987), são descritas uma 

série de passarelas construídas na ex-Tchecoslováquia, sendo fornecidos inclusive 

alguns detalhes construtivos. 


96 


REDFIELD et al (1992) descrevem a passarela sobre o rio Sacramento em 

Redding, California (v. figura 3). O vão livre é de 127,41 m e a largura total é de 3,96 

m. A flecha varia de 3,35 m (logo após a construção, máxima temperatura e máxima 

carga variável) para 2,44 m (tempo infinito e mínima temperatura). O tabuleiro tem uma 

espessura constante de 38,1 cm, com exceção dos trechos distantes 5,79 m dos apoios, 

que possuem altura variável. A variação de altura próxima aos apoios foi a solução 

encontrada para resistir às tensões devido aos elevados momentos fletores que surgem 

nessa região devido à protensão, queda de temperatura e retração do concreto. 

Duas outras obras que merecem destaque, pois exibem a potencialidade do 

sistema estrutural, são a Kikko Bridge (v. figura 9), no Japão e a passarela em 

Maidstone (v. figura 10), Reino Unido. 

Figura 9 – Kikko Bridge, Japão. (ARAI & OTA, 1997) 



97 

Figura 10 – Passarela em Maidstone, Reino Unido. (STRASKY, 1999) 

3 TABULEIRO 

STRASKY (1987), ao descrever algumas passarelas construídas na ex- 

Tchecoslováquia, afirma que os elementos pré-moldados foram concretados de 6 a 12 

meses antes da montagem da estrutura, a fim de reduzir a fluência e a retração do 

concreto, cujos efeitos podem ser significativos no comportamento da estrutura. A 

tempo infinito, corre-se o risco do tabuleiro ficar tracionado devido às perdas de 

protensão. Foram usados nessas obras concretos com resistências da ordem de 40 MPa. 

Em STRASKY (1999) são fornecidas algumas formas possíveis para a seção 

transversal das passarelas (v. figura 11): 

a alternativa a corresponde a um elemento moldado “in situ”, com as fôrmas 

suspensas nos próprios cabos. Nesse caso, uma das principais vantagens do sistema 

estrutural aqui discutido, a rapidez na execução, é de certa forma perdida; 

nas situações b e c são mostradas as seções utilizadas nas primeiras estruturas 

construídas por Strasky. Os cabos de sustentação passam sobre os elementos prémoldados 

e depois da montagem, o tabuleiro é protendido por um segundo grupo de 

cabos. Os cabos de sustentação são protegidos com concreto moldado no local 

simultaneamente com a concretagem das juntas entre os elementos. A junta 

longitudinal entre os elementos pré-moldados e o concreto moldado no local deve 

ser coberta com camada impermeabilizante, já que podem ocorrer fissuras nessa 

interface; 


98 


a) 

a) 

b) 

b) 

Cabo bearing de cable 

sustentação 

prestressing cable 

Cabo de protensão 

c) 

c) 

d) 

d) 

erection 

Cabo para 

cable 

montagem 

e) 

e) 

f) 

f) 

Figura 11 – Seções transversais. (STRASKY, 1999) 

os elementos também podem ser montados sobre cabos que serão removidos após a 

protensão do tabuleiro, conforme item d; 

no item f os elementos são sustentados e protendidos por cabos externos; 

em aplicações recentes conduzidas por Strasky, estão sendo usadas seções 

compostas (v. item e). Os elementos de concreto pré-moldado são suspensos e 

servem de fôrma para o concreto moldado no local. A concretagem é feita 

simultaneamente com a moldagem das juntas entre os elementos e a estrutura é 

protendida por cabos situados dentro do concreto moldado no local. O tabuleiro 

contínuo proporciona ótima proteção para os cabos e requer mínimos trabalhos de 

manutenção. 

Como já comentado anteriormente, o uso da pré-moldagem é bastante 

conveniente, garantindo uma execução em tempo bastante curto. As dimensões dos 

elementos variam de acordo com o projeto. O comprimento se situa em torno dos 3 m. 

A largura varia basicamente entre 3 m e 4 m. É possível se deixar furos no interior dos 

elementos visando a passagem de encanamentos e cabos elétricos de um lado a outro da 

estrutura. 



99 

4 PROCEDIMENTO DE EXECUÇÃO 

A seguir, será fornecida a sequência de execução das passarelas pênseis 

formadas por elementos pré-moldados de concreto, protendidas por cabos adicionais aos 

de sustentação. Será abordado os casos de estruturas que possuem pilares 

intermediários, ou seja, de vãos múltiplos. 

a) Execução das fundações, blocos de ancoragem e pilares intermediários; 

b) Selas de aço (onde repousam os cabos) são colocadas nos apoios intermediários e os 

pilares são escorados temporariamente (v. figura 12); 

Figura 12 – Sela de aço e escora. (STRASKY & PIRNER,1986) 

c) Os cabos de sustentação são desenrolados das bobinas, cortados todos com o mesmo 

comprimento e dispostos no vão com o auxílio de cabos auxiliares. Em seguida, os 

cabos são tracionados de acordo com o projeto; 

d) Os segmentos são erguidos com o auxílio de guinchos e presos aos cabos com o 

auxílio de dispositivos que se instalam em furos previamente deixados nos 

elementos (v. figura 13). Em seguida, os elementos são ligados a cabos auxiliares e 

deslizam até sua posição de projeto. Nas juntas são colocados tubos de aço. Esse 

processo se repete até que toda a passarela seja montada; 

e) A fôrma das selas é segura nos elementos vizinhos, os cabos de protensão são 

colocados e a armação da região dos cabos de sustentação e das selas são dispostas. 

A seguir, as juntas, a região onde estão alojados os cabos de sustentação e as selas 

são concretadas ao mesmo tempo. Assim que possível, o tabuleiro protendido. 

f) Os furos onde estão instalados os cabos de protensão são concretados, é montado o 

corrimão e executado o pavimento. Em seguida, tem-se início a prova de carga (v. 

figura 14). 


100 


Figura 13 – Inserção de dispositivos para fixação do elemento aos cabos. 

(STRASKY & PIRNER, 1986) 

Figura 14 – Prova de carga. (STRASKY, 1999) 

5 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL 

Devido às características peculiares da estrutura, diversos aspectos devem ser 

levados em consideração, principalmente o comportamento não-linear geométrico e as 

perdas de protensão. 

Durante a montagem, a estrutura é suportada pelos cabos de sustentação. Sua 

análise é feita com as equações de equilíbrio de um cabo livremente suspenso. O 

esquema da estrutura submetida ao peso próprio dos elementos pré-moldados é 

mostrado na figura 15. 



101 

q 0 

x 

z 0 

0 

L 

f 

q 0 

H 0 

H0 

Q 0 

ds0 

Q + dQ0 

0 

Figura 15 – Esquema da estrutura após a disposição dos elementos pré-moldados. 

onde: 

q0 

z0 (x) = ⋅ x ⋅ ( L − x) 

2 ⋅ H0 

(1) 

2 

q0 

⋅ L 

H0 

= 

8⋅ 

f0 

(2) 

Após a concretagem das juntas, a rigidez a flexão do tabuleiro deve constar nas 

equações de equilíbrio. Dessa forma, a estrutura se comporta como um cabo com 

pequena rigidez a flexão. Adicionando-se uma carga distribuída uniformemente q, cujo 

acréscimo de força horizontal será h, a estrutura se deforma e a nova geometria é 

mostrada na figura 16. 

M 

H +h 

0 

Q 

ds 

Q+dQ 

q+q 0 

M+dM 

H 

0+h 

w 

u 

dx 

dz0 

ds 0 

ds 

w+dw 

u+du 

Figura 16 – Configuração deformada da estrutura. 

Assumindo que a forma da passarela seja bastante abatida, são feitas as seguintes 

considerações, de acordo com DAWE (1971) e DEL ARCO & BENGOECHEA (1994): 

(z′ 2 

0 )

102 


(q0 

+ q) ⋅ L 

Q = (q0 

+ q) ⋅ x − 

(6) 

2 

Admitindo-se pequenas deformações, material elástico e a hipótese de que a 

seção plana permanece plana e perpendicular ao eixo do centro de gravidade após as 

deformações, o momento fletor ao longo da estrutura é dado por: 

M (x) = −E 

⋅ I ⋅ w′ 

(7) 

onde: 

E ⋅ I – rigidez a flexão da estrutura. 

Substituindo-se (7) em (4), obtém-se: 

− ⋅ I ⋅ w′′′ 

+ (H + h) ⋅ (z′ 

+ w ′) 

+ Q 0 

(8) 

E 0 0 = 

A equação (8) é diferencial ordinária linear de terceira ordem e sua solução é 

dada pela soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da 

equação não-homogênea. A solução geral de (8) é então dada pôr: 

2 

2 

γ⋅x 

−γ⋅x 

(q + q0 

) ⋅ x (q + q0 

) ⋅ L ⋅ x q0 

⋅ L ⋅ x q0 

⋅ x 

w (x) = c1 

⋅ e + c2 

⋅ e + c3 

− 

+ 

− + + 

2 ⋅ (H0 

+ h) 2 ⋅ (H0 

+ h) 2 ⋅ H0 

2 ⋅ H0 

(q + q0 

) q0 

− + 

(9) 

2 2 

(H + h) ⋅ γ H ⋅ γ 

0 

0 

onde: 

( H0 

+ h) 

γ = 

(10) 

E ⋅ I 

Percebe-se que a equação (9) possui três constantes e assim são três as condições 

de contorno a serem impostas, dependendo se a estrutura está engastada ou 

simplesmente apoiada. 

O acréscimo de força horizontal é dado pôr (11), cuja integração entre dois 

apoios A e B, com a inclusão de uma variação de temperatura, leva a (12). 

h = E ⋅ A ⋅ (u′ 

+ z′ 

0 ⋅ w ′) 

(11) 

E ⋅ A 

q0 

h = ⋅ (u B − u A + w B ⋅ z′ 

0B − w A ⋅ z′ 

0A + ⋅ ∫ w ⋅ dx) − E ⋅ A ⋅ α ⋅ ∆T 

(12) 

L 

H 

0 

B 

A 

onde: 

E ⋅ A - rigidez axial da estrutura (cabos aderidos + concreto); 

u - deslocamento horizontal do apoio da esquerda; 

A 



103 

u B - deslocamento horizontal do apoio da direita; 

w A - recalque do apoio da esquerda; 

w B - recalque do apoio da direita; 

α - coeficiente de dilatação térmica; 

∆T 

- variação de temperatura. 

Para a resolução do problema, a equação dos deslocamentos (9) deve ser 

substituída em (12), com as constantes c 1 , c 2 e c 3 já definidas. Nesse momento, a 

equação (12) deve ser resolvida iterativamente e como resultado tem-se o valor do 

incremento de força horizontal h. Uma vez obtido h, os deslocamentos ao longo da 

estrutura são dados pela equação (9) e os momentos fletores pôr (7). 

Apesar da protensão dever estar sempre presente e ser introduzida antes mesmo 

de qualquer outro carregamento, decidiu-se, por facilidade, inseri-la nas equações 

apenas agora. 

Conforme já adiantado anteriormente, o efeito da protensão são forças 

distribuídas verticais atuando em um esquema de arco invertido (v. figura 17), desde 

que os apoios sejam considerados indeslocáveis. 

efeito da protensão 

Figura 17- Efeito da protensão na estrutura. 

Para a introdução da protensão, deve-se lembrar que a curvatura depende das 

condições iniciais e dos deslocamentos, ou seja, a curvatura é variável com os 

deslocamentos. Dessa forma, a protensão deve ser introduzida nas equações de maneira 

não-linear, pois conforme a estrutura vai se deslocando para cima, o efeito da protensão 

vai diminuindo. Numa situação hipotética, quando a estrutura se aproximasse da forma 

reta, o efeito da protensão tenderia para zero. 

A força distribuída vertical devido a protensão é dada pôr: 

= −P 

⋅ (z′′ 

+ w′ 

) 

(13) 

q prot 0 0 ′ 

onde: 

P - força de protensão. 

0 

A integração da equação (13) leva a: 

= −∫ q dx = P ⋅ (z′ 

+ w ) 

(14) 

Qprot prot 0 0 ′ 


104 


Adicionando-se (14) a (8), tem-se: 

− ⋅ I ⋅ w′′′ 

+ (H + h) ⋅ (z′ 

+ w ′) 

+ Q + P ⋅ (z′ 

+ w ′) 

0 

(15) 

E 0 0 

0 0 = 

Finalmente: 

− ⋅ I ⋅ w′′′ 

+ (H + h + P ) ⋅ (z′ 

+ w ′) 

+ Q 0 

(16) 

E 0 0 0 = 

A solução da equação (16) é idêntica à solução de (8), bastando fazer h = h + P0 

nas equações (9) e (10). 

As perdas de protensão fazem com que a estrutura tenha sua flecha reduzida e 

fique menos comprimida. Em princípio, essas perdas são causadas pela fluência e 

retração do concreto e pela relaxação do aço. O efeito da retração pode ser diminuído 

fazendo com que os elementos pré-moldados sejam produzidos com certo tempo antes 

da sua aplicação. A relaxação dos cabos de aço pode ser minimizada com o uso de aços 

de baixa relaxação (RB) e com a utilização de baixas tensões em serviço. 

O efeito da fluência do concreto pode ser analisado da seguinte maneira: sejam 

w 0 (x) , M 0 (x) 

e h 0 , respectivamente os deslocamentos, os momentos fletores e o 

incremento de força horizontal, após a introdução da protensão e da carga permanente 

(tempo t 0 ). Sejam ∆ w(x) 

e ∆ h , as variações dos deslocamentos e da força horizontal, 

provocados pela fluência. Vale destacar que a força horizontal atua em toda a seção, 

inclusive nos cabos de protensão, que nesse momento já estão aderidos ao concreto. 

A equação diferencial de equilíbrio no tempo t 0 é: 

+ M′ 

+ (H + h + P ) ⋅ (z′ 

+ w′ 

) 0 

(17) 

Q 0 0 0 0 0 0 = 

No tempo t, cujo elemento infinitesimal é mostrado na figura 18, a equação 

diferencial é: 

+ M′ 

+ (H + h + P + ∆h) 

⋅ (z′ 

+ w′ 

+ ∆w ′) 

0 

(18) 

Q f 0 0 0 

0 0 = 

Subtraindo-se (17) de (18), chega-se a: 

∆ ′ + ∆h 

⋅ (z′ 

+ w′ 

+ ∆w ′) 

+ ∆w′ 

⋅ (H + h + P ) 0 

(19) 

M 0 0 

0 0 0 = 

H 

0+h 0+ 

∆h 

M f 

q 0 +q 

M 

f+dMf 

Q H 

0+h 0+ 

∆h 

Q+dQ 

Figura 18 – Elemento infinitesimal no tempo t. 



105 

A equação (19) deve ser resolvida com as condições de contorno da passarela, 

fazendo uso das equações que relacionam esforços e deslocamentos. Adotando-se o 

modelo proposto pelo CEB (1990) e assumindo que o módulo de elasticidade inicial do 

concreto no instante de aplicação da carga (Ec ) seja igual ao módulo de elasticidade 

0 

inicial do concreto aos 28 dias (Ec 

) , a variação dos momentos fletores e da força 

28 

horizontal, são dados por: 

∆ 

φ 

= −Ec ⋅ I ⋅ ∆w′′ 

− M ⋅ 

(20) 

aj 

1 + χ ⋅ φ 

M 0 

φ 

∆h 

= ∆h 

c + ∆h 

s = (E ⋅ Ac 

+ Es 

⋅ As 

) ⋅ ( z′ 

0 ⋅ ∆w′ 

+ ∆u′ 

) − h ⋅ 

(21) 

caj 

0c 

1 + χ ⋅ φ 

sendo 

Ec0 

Ec = 

aj 1 + χ ⋅ φ 

(22) 

E ⋅ A c0 c 

h 0 = 

c 

E ⋅ A + E ⋅ A 

⋅ h 0 

(23) 

c0 

c 

s 

s 

onde: 

φ - coeficiente de fluência; 

χ - coeficiente de envelhecimento; 

h - parcela da força normal que atua no concreto; 

0 c 

Ac 

- área de concreto; 

A - somatória da área de aço dos cabos de sustentação e de protensão. 

s 

A resolução da equação (19) é semelhante à resolução da equação (8). 

As equações que governam o comportamento da passarela pênsil são as mesmas 

obtidas pela análise de pontes pênseis pela deflection theory. O desenvolvimento da 

formulação mostrado acima foi baseado em DEL ARCO & BENGOECHEA (1994). 

Maiores detalhes podem ser encontrados em DEL ARCO & BENGOECHEA (1994) e 

FERREIRA (2001). Em DEL ARCO & BENGOECHEA (1996) as equações envolvidas 

no problema são adimensionalizadas, permitindo compreender certos aspectos do 

funcionamento da estrutura. 

STRASKY (1999) apresenta os diagramas de momentos fletores típicos para 

esse tipo de passarela pênsil, mostrados na figura 19. A situação b da figura 19 

corresponde à estrutura sem protensão e na situação c a protensão atua. Como a 

protensão deve estar sempre presente, o caso b tem caráter apenas conceitual. Como 

pode ser observado, momentos fletores elevados só ocorrem na região dos apoios. De 

acordo com STRASKY (1999), uma seção transversal típica não tem condições de 

suportar esses momentos. Como alternativas para solucionar o problema são 

apresentadas duas opções. A primeira maneira é fazer com que o tabuleiro possa se 

elevar após a protensão ou quando a temperatura cai (v. figura 20b). A segunda 


106 


alternativa é incorporar à estrutura pequenos arcos de espessura variável moldados no 

local (v. figura 20c). Nesse caso, embora os momentos fletores sejam maiores em 

comparação com tabuleiros de espessuras constantes (v. figura 20a), as tensões 

resultantes são menores. Esses arcos são projetados como peças parcialmente 

protendidas e devem ser suficientemente armados com barras situadas nas suas fibras 

inferiores. 

Figura 19 – Diagramas esquemáticos de momentos fletores. (STRASKY, 1999) 

6 BREVE APLICAÇÃO NUMÉRICA 

Nesse item será realizada uma aplicação numérica de uma passarela pênsil 

protendida engastada em suas extremidades. Vale ressaltar que o exemplo aqui tratado 

não corresponde a nenhuma passarela construída. 

6.1 Descrição da estrutura estudada 

A passarela a ser analisada possui 40 m de vão, podendo ser vista na figura 21. A 

flecha inicial adotada é 1 m, ou seja, vão/40. Com a aplicação da protensão e o 

desenvolvimento da fluência, a flecha inicial e as inclinações ao longo da passarela 

terão seus valores reduzidos. 



107 

a) 

b) 

c) 

M 

2800 

tc00 

tc0 

1400 

ta00 

700 

ta0 

tb00 

tb0 

Figura 20 – Momentos fletores nos apoios devido à retração e à fluência do concreto. 

(STRASKY, 1999) 

z 0 

,w 

x 

f 

0 

=1m 

L=40m 

Figura 21 – Esquema longitudinal da estrutura. 

A seção transversal dos elementos pré-moldados deve ter espaço suficiente para 

alojar os cabos de sustentação e de protensão. Em se tratando de um prédimensionamento, 

adotou-se a seção mostrada na figura 22, sendo: 

Área = 0,88 m 2 ; Inércia = 0,0068 m 4 

10 

CG 

13,2 

30 

120 160 

120 

400 cm 

Figura 22 – Seção transversal para pré-dimensionamento. 


108 


6.2 Materiais a serem empregados 

Os materiais empregados possuem as seguintes características: 

Aço: CP-190 RB 12,7 Concreto: 

A snom = 0,987 cm 2 

f ck = 35 MPa 

f ptk = 1900 MPa E c = 33130 MPa (Projeto de Revisão da NBR 6118) 

f pyk = 1710 MPa 

E s = 195000 MPa 

onde: 

A - área nominal de aço; 

Snom 

f - limite nominal de resistência à tração; 

ptk 

f - tensão nominal para alongamento de 1%; 

pyk 

E S - módulo de elasticidade do aço; 

f ck - resistência à compressão do concreto característica; 

E - módulo de elasticidade inicial do concreto; 

c 

6.3 Ações 

As ações que irão incidir na estrutura são: 

Peso próprio dos elementos pré-moldados: 

onde: 

γ - peso específico do concreto. 

c 

q0 = Ac 

⋅ γc 

= 0,88 ⋅ 25 = 

22 kN / m 

Peso próprio do corrimão e da pavimentação: q g = 5 kN / m 

Ação dos pedestres (carga uniformemente distribuída de intensidade 5 kN / m , não 

majorada pelo coeficiente de impacto, de acordo com a NBR 7188): 

q = 4 ⋅ 5 = 20 kN / m 

2 

Variação uniforme de temperatura: 

o 

∆ T = ± 15 C 

Nesse exemplo, não está sendo considerada a ação lateral do vento. 

6.4 Determinação das áreas dos cabos de aço 

A flecha inicial adotada ( 0 f ) tem influência direta na determinação das áreas dos 

cabos de sustentação e protensão. Flechas pequenas aumentam o conforto dos usuários, 

mas também aumentam a quantidade de aço consumida. 



109 

Após a colocação de todos os elementos pré-moldados, a carga que age nos 

cabos de sustentação é seu peso próprio e o peso próprio dos elementos pré-moldados 

( q 0 ). O peso próprio dos cabos tem pequena magnitude em relação a q 0 e será 

desprezado. A posterior aplicação da protensão vai reduzir a força de tração nos cabos 

de sustentação e comprimir o concreto. Dessa forma, a situação crítica para 

dimensionamento dos cabos de sustentação é no instante inicial. 

A força H 0 , de valor constante ao longo do vão, é dada por: 

2 

q L 

2 

0 ⋅ 22 ⋅ 40 

H0 = = = 4400 kN 

8 ⋅ f0 

8 ⋅1,0 

A máxima força de tração ( T máx ) ocorre nos pontos de suspensão, cujo valor é: 

2 

2 

⎛ q0 

⋅ L ⎞ 

⎛ 22 ⋅ 40 ⎞ 

Tmáx = H0 

⋅ 1 + 

⎜ = 4400 ⋅ 1 + ⎜ ⎟ = 4421,95 kN 

2 H 

⎟ 

⎝ ⋅ 0 ⎠ 

⎝ 2 ⋅ 4400 ⎠ 

O cálculo da área dos cabos de sustentação ( A s1) no estado limite último, 

fornece: 

γ f ⋅ Tmáx 

1,4 ⋅ 4421,95 

A s1 

= = 

= 37,47 cm 

f ptk 190 

γ 1,15 

s 

2 

onde: 

γ f - coeficiente de majoração das ações; 

γ - coeficiente de minoração da resistência do aço. 

s 

Em serviço, a fim de diminuir os efeitos da relaxação e fadiga do aço, DEL 

ARCO & BENGOECHEA (1996) recomendam limitar a tensão a 0,4 

⋅ f . Assim: 

ptk 

Tmáx 

4421,95 

A s1 

= = = 58,18 cm 

0,4 ⋅ f 0,4 ⋅190 

ptk 

2 

Adotam-se para os cabos de sustentação 6 cabos formados por 10 cordoalhas 

2 

φ12,7mm 

- A = 59,22 cm . 

s1 

Nessa aplicação numérica, a protensão será introduzida por cabos adicionais aos 

de sustentação. O mesmo efeito poderia ser conseguido com a utilização de uma 

sobrecarga antes da concretagem das juntas. Abaixo, as duas formas possíveis de 

protensão são comparadas: 

a) Protensão por cabos adicionais aos de sustentação: a medida que os cabos de 


110 


protensão vão sendo tracionados, a estrutura formada pelo arco invertido de 

concreto começa a reagir. Assim, a força de tração a ser resistida pelas fundações é a 

força de tração nos cabos, menos a força de compressão proveniente do arco de 

concreto; 

b) Protensão através de sobrecarga: o arco de concreto começa a reagir somente após a 

concretagem das juntas e posterior retirada da sobrecarga. Antes disso, a força 

horizontal a ser resistida pelas fundações é simplesmente a soma do peso próprio 

dos elementos pré-moldados, mais a sobrecarga, resultando em esforços maiores a 

serem ancorados durante a fase de construção. 

De acordo com DEL ARCO & BENGOECHEA (1996), a força de protensão 

deve ser determinada de maneira que não ocorra tensões de tração no meio do vão sob 

nenhuma combinação de ações. A combinação crítica de ações para o aparecimento de 

tração é a atuação simultânea de peso próprio, protensão, ação de pedestres e variação 

negativa de temperatura, a tempo infinito. Nos cálculos não será admitido tensões de 

tração apenas na situação em serviço. 

Após algumas tentativas, chega-se à seguinte força de protensão para que não 

ocorra tração: P 0 = 13000 kN (após as perdas por escorregamento dos fios na ancoragem 

e acomodação da ancoragem; desprezado o atrito desenvolvido entre os cabos e as 

bainhas). 

A fim de diminuir a relaxação dos aços de protensão, será utilizada uma tensão 

de 0,6 f ptk . Assim: 

P0 

13000 

2 

A sp = = = 114,04 cm (área dos cabos de protensão) 

0,6 ⋅ f 0,6 ⋅190 

ptk 

Adotam-se para os cabos de protensão 6 cabos formados por 19 cordoalhas 

2 

φ12,7mm 

- A = 112,52 cm . 

sp 

6.5 Resultados da análise estrutural (logo após construção) 

Os resultados obtidos são mostrados na tabela 1 e nas figuras 23 e 24, onde: 

h – incremento de força horizontal; 

h c - parcela do incremento de força horizontal que atua apenas na seção de concreto; 

M – momentos fletores; 

w – deslocamentos. 



111 

Tabela 1 – Resultados da análise estrutural, logo após a construção. 

TEMPO t 0 

Caso Ações h h c M(0) M(L/2) w(L/2) 

(kN) (kN) (kN.m) (kN.m) (m) 

1 q 0 +P 0 -11123,52 -10699,71 790,29 -256,85 -0,132 

2 q 0 +P 0 +q g -10158,48 -9771,44 742,26 -229,47 -0,120 

3 q 0 +P 0 +q g +∆T -10908,82 -10493,19 454,93 -146,18 -0,075 

4 q 0 +P 0 +q g -∆T -9335,61 -8979,92 1037,54 -308,10 -0,164 

5 q 0 +P 0 +q g +q -6514,83 -6266,61 522,17 -137,03 -0,076 

6 q 0 +P 0 +q g +q+∆T -7384,35 

-7103,01 

222,87 -60,63 -0,033 

7 q 0 +P 0 +q g +q-∆T -5572,84 -5360,51 828,37 -209,49 -0,117 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

-400.0 

Momentos Fletores (kN.m) 

-200.0 

0.0 

200.0 

400.0 

600.0 

800.0 

1000.0 

1200.0 

(m) 

Caso 1 

Caso 2 

Caso 3 

Caso 4 

Caso 5 

Caso 6 

Caso 7 

Figura 23 – Diagrama de momentos fletores. 

-0.200 

Deslocamento (m) 

-0.160 

-0.120 

-0.080 

-0.040 

0.000 

(m) 

0 10 20 30 40 

Figura 24 – Deslocamentos ao longo do vão. 

Caso 1 

Caso 2 

Caso 3 

Caso 4 

Caso 5 

Caso 6 

Caso 7 


112 


6.6 Resultados da análise estrutural (a tempo infinito) 

A tempo infinito, serão repetidas as mesmas combinações de ações consideradas 

no item anterior, a menos do caso 1, que é uma situação transitória (pois logo após a 

protensão, assim que possível, é concretado o pavimento e executado o corrimão). 

Admitindo-se o coeficiente de fluência igual a 1,7 e o coeficiente de 

envelhecimento igual a 0,8, o resultado da análise para o caso 2 é mostrado na tabela 2. 

Tabela 2 – Esforços e deslocamentos finais para o caso 2. 

Caso 2 t ) 

∆h = 1119,25 kN h f = -9039,23 kN 

∆h c = 2382,57 kN h cf = -7388,87 kN 

∆M(0) = 40,74 kN.m M f (0) = 783,00 kN.m 

∆M(L/2) = 137,67 kN.m M f (L/2) = -91,80 kN.m 

∆w(L/2) = -0,133 m w f (L/2) = -0,253 m 

Para avaliar o comportamento da estrutura após as perdas de protensão sob os 

demais carregamentos, é preciso fazer uma atualização de geometria, conforme sugerido 

por DEL ARCO & BENGOECHEA (1996). Nesse procedimento, o caso 2 torna-se 

referência para a continuação dos cálculos. Primeiramente, devem ser definidos novos 

valores de q 0 , H 0 , P 0 , da seguinte forma: 

q = q + 

( ∞ 

0 0 ant 

qg 

H 0 = H0 ant 

+ P0ant 

+ h caso2 + ∆h 

caso2 = H0 

+ P0 

+ h f caso2 

P 0 = 0 

Assim: 

q 0 = 22 + 5 = 27 kN / m 

H 0 = 4400 + 13000 −10158,48 

+ 1119,25 = 4400 + 13000 − 9039,23 = 8360,77 kN 

P 0 = 0 

Agora, basta refazer os cálculos com as constantes acima, inserindo-se o 

carregamento desejado. Os resultados assim obtidos (tabela 3) devem ser somados com 

os valores do caso 2 (tabela 2) para se obter os resultados finais, mostrados na tabela 4. 

Devido à existência de momentos fletores, é preciso ressaltar que esse 

procedimento é aproximado. 

Tabela 3 – Resultado do acréscimo de carregamento. 

TEMPO t ∞ 

Ações h h c M(0) M(L/2) w(L/2) 

(kN) (kN) (kN.m) (kN.m) (m) 

q 0 +∆T -1386,65 -1243,78 -365,26 114,46 0,060 

q 0 -∆T 1587,96 1424,34 372,15 -101,52 -0,055 

q 0 +q 3993,10 3581,67 -477,34 118,34 0,067 

q 0 +q+∆T 2464,90 2210,93 -848,27 223,15 0,123 

q 0 + q-∆T 5699,75 5112,48 -102,04 23,81 0,014 



113 

Tabela 4 – Resultados finais. 

TEMPO t ∞ 

Caso h f h cf M f (0) M f (L/2) w f (L/2) 

(kN) (kN) 

(kN.m) 

(kN.m) (m) 

3 -10425,88 -8632,65 417,74 22,66 -0,193 

4 -7451,27 -5964,53 1155,15 -193,32 -0,308 

5 -5046,13 -3807,20 305,66 26,54 -0,186 

6 -6574,33 -5177,94 -65,27 131,35 -0,130 

7 -3339,48 -2276,39 680,96 -67,99 -0,239 

6.7 Considerações sobre os resultados da análise estrutural 

Conforme esperado, é na região dos apoios que aparecem os maiores esforços e 

portanto tal região merece atenção especial no projeto. Em geral, adota-se um ligeiro 

engrossamento da seção transversal nessa região. Devido à armação necessária, recorrese 

a concreto moldado no local. Dependendo da magnitude dos esforços, é possível 

ainda a utilização de elementos pré-moldados especiais, providos de furos por onde são 

colocadas barras de aço e que posteriormente são injetados com concreto. Também 

pode-se usar elementos pré-moldados de seção parcial, com posterior lançamento de 

concreto moldado no local. 

Os esforços que ocorrem no restante do vão, extraída a região dos apoios, não 

são significativos. 

6.8 Elementos pré-moldados 

Uma possível forma para os elementos pré-moldados é mostrada na figura 25. 

13 

10 

16 16 16 

10 

20 

30 

1515 40 55 15 

120 15 55 40 1515 

Figura 25 – Dimensões do elemento pré-moldado. 

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS 

Apesar de pouco conhecida no Brasil, nota-se um crescente uso das passarelas 

pênseis em diversos países. Entre suas principais vantagens estão a estética bastante 

agradável, a rapidez e facilidade de montagem. Economicamente, a estrutura é 

competitiva, principalmente em duas situações: 

a) Uso de longos vãos: as fundações não representam uma parcela tão significativa em 

relação ao custo total da obra; 


114 


b) Uso de estruturas de vãos múltiplos: considerando-se vãos, flechas e carregamentos 

iguais, a força horizontal corresponde apenas à de um vão, ou seja, o número de 

vãos pode ser aumentado tanto quanto se queira e a força horizontal continua a 

mesma. Conclui-se que o custo por metro quadrado de passarela diminui com o 

aumento no número de vãos. 

Caso as condições do subsolo sejam inadequadas, ainda é possível associar um 

arco de concreto à estrutura. Além de reduzir a flecha e as declividades, a grande 

vantagem aqui introduzida é a possibilidade de se utilizar uma escora ligando a 

extremidade do tabuleiro às fundações do arco. Dessa forma, a força horizontal nos 

cabos é balanceada contra a componente horizontal do arco (v. figura 26). Esta solução 

foi adotada na passarela sobre o rio Radbuza em Plzen, República Tcheca (v. figuras 26 

e 27). 

No que se refere ao comportamento estrutural, as regiões próximas aos apoios 

são aquelas que merecem maior atenção por parte do projetista. O uso de selas ou 

engastamento nos blocos de fundação são alternativas a se definir caso a caso. 

Atualmente, nota-se uma tendência para o uso do engastamento. 

33.0 

33.0 

33.0 

V 

H 

V 

H 

77.0 

Figura 26 - Passarela em Plzen – vista lateral. (STRASKY, 1999) 

Figura 27 - Passarela em Plzen – modelo arquitetônico. (STRASKY, 1999) 

Outra consideração de projeto é quanto ao grau de compressão que se deve 

deixar no meio do vão sob a pior combinação de ações a tempo infinito. Pode-se 

utilizar, para essa região, protensão completa ou mesmo protensão limitada. Na região 

dos apoios, adota-se protensão parcial, limitando-se a abertura de fissuras. 



115 

Quanto à escolha da flecha, é possível mostrar que uma relação flecha/vão muito 

pequena pode se tornar inviável (FERREIRA, 2001). Relações flecha/vão inicial da 

ordem 1/40 são valores que conciliam o conforto dos pedestres e eficácia estrutural, haja 

visto que com o desenvolvimento da fluência do concreto a estrutura se torna mais 

abatida. O uso de relações flecha/vão inferiores a 1/50 implica em uma força de 

protensão muito elevada, tornando a estrutura mais onerosa e menos eficiente. 

As passarelas pênseis são bastante susceptíveis a ações dinâmicas devido a sua 

baixa rigidez a flexão, pequena massa, baixa freqüência natural e baixo amortecimento. 

Portanto, o comportamento dinâmico precisa ser verificado ainda em fase de projeto. 

De acordo com PIRNER & FISCHER (1998), experimentos recentes mostram 

que o comportamento dinâmico das passarelas é favorável. O perigo de vibrações 

devido ao vento pode ser evitado com procedimentos adequados de projeto, incluindo 

análise teórica e ensaios em túneis de vento. A passarela responde satisfatoriamente a 

ação de pedestres, desde que sua rigidez e seu amortecimento estejam dentro de limites 

pré-estabelecidos. A ação de vândalos, apesar de poder causar excesso de vibração, não 

danifica a estrutura. 

As passarelas pênseis são um exemplo nítido da conveniente associação entre 

cabos e concreto pré-moldado, tirando proveito das qualidades de ambos os materiais. 


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ISSN 1809-5860 

A INFLUÊNCIA DAS AÇÕES REPETIDAS NA 

ADERÊNCIA AÇO-CONCRETO 

Rejane Martins Fernandes 1 & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 2 

Resumo 

Uma forma clássica de se analisar o efeito das ações cíclicas tem sido através do estudo da 

fadiga. Entretanto, nos últimos anos, tem surgido uma nova abordagem para o problema, 

mediante o estudo da degradação da ligação aço-concreto. Este trabalho descreve o 

comportamento da aderência sob ações monotônicas e repetidas através da investigação 

experimental, utilizando-se o modelo do ensaio de arrancamento (Pull-Out Test) 

padronizado pela RILEM-FIP-CEB. Foi analisada a influência de alguns parâmetros na 

interface aço-concreto, como diâmetro da armadura nervurada, tipo e amplitude de 

carregamento. Os resultados dos ensaios monotônicos foram comparados com as 

recomendações do CEB-FIP MC 1990, EUROCODE 2 e NB-1/78. A resistência da ligação 

dos modelos submetidos a ações repetidas foi comparada com os valores monotônicos de 

referência. Também foi realizada a análise numérica da aderência monotônica por meio de 

elementos finitos. Considerou-se a barra lisa, elementos de contato entre o aço e concreto e 

comportamento elástico-linear dos materiais; pois a ruína experimental da ligação ocorreu 

pelo corte do concreto entre as nervuras. A resistência monotônica experimental da ligação 

ficou compreendida entre condições boas e ruins de aderência. Os resultados calculados de 

acordo com normas foram muito diferentes em relação aos valores experimentais, e 

apresentaram uma dispersão muito grande. Em relação à força repetida, a degradação da 

aderência ocorreu pelo crescimento progressivo dos deslizamentos. Os modelos numéricos 

não representaram o comportamento experimental, devido à resposta força-deslizamento 

não-linear. 

Palavras-chave: concreto-armado; aderência; força monotônica; força repetida; 

arrancamento; elementos finitos. 

1 Aluna do doutorado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, rejane@sc.usp.br 

2 Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, analucia@sc.usp.br 


118 

Rejane Martins Fernandes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 


Atualmente, com o crescente avanço das técnicas de construção e dos conhecimentos 

científicos ligados à Engenharia, têm sido projetadas estruturas cada vez mais esbeltas. Para 

fazer isso com segurança, é preciso conhecer melhor o comportamento do material, que no 

caso do concreto armado, é de grande complexidade. Uma das causas dessa complexidade é 

que, mesmo em serviço, as estruturas de concreto armado apresentam não-linearidade física, 

ou seja, a seção do elemento estrutural trabalha fissurada. 

No caso de ações cíclicas, o problema se torna ainda mais complexo, pois outros 

parâmetros estão envolvidos, como a amplitude de força ou deslizamento, velocidade de 

carregamento, e essas ações podem tornar a estrutura mais frágil ou incapaz de atender às 

condições de utilização para a qual foi destinada. 

Além da perda da rigidez associada a uma maior propagação de fissuras, as estruturas 

sob carregamento cíclico também estão sujeitas a uma diminuição da aderência entre o aço e 

o concreto. 

De forma geral, pode-se dizer que as conseqüências da atuação dessas ações na 

estrutura são: a ruptura da aderência, associada à fadiga da ligação, a qual é caracterizada por 

um maior deslocamento relativo entre a armadura e o concreto; e o aumento das deformações 

nos elementos estruturais, devido à diminuição da rigidez e da aderência. 

Considerando-se a primeira influência, será apresentada uma análise crítica do 

comportamento da aderência sob ação monotônica e repetida através da investigação 

experimental, por meio de ensaio de arrancamento padronizado pela RILEM-FIP-CEB 

(1973). Alguns pontos característicos serão analisados, como: a forma de ruptura, a 

capacidade última da ligação, a influência do nível de solicitação da força repetida e do 

deslizamento residual na ruptura da ligação, para dois diâmetros de armadura. Em relação à 

força monotônica, será realizada uma comparação dos resultados experimentais com as 

normas CEB-FIP MC 1990, EUROCODE 2 e NB-1/78 (NBR 6118). 

Uma modelagem numérica do ensaio monotônico foi feita por meio de elementos 

finitos no programa Ansys 5.5, procurando-se analisar o comportamento do elemento de 

contato colocado entre os dois materiais. 

2 ESTADO-DA-ARTE 

Pode-se definir aderência como sendo o mecanismo de transferência de tensões que 

existe na interface entre a barra de aço da armadura e o concreto que a envolve. Esse 

fenômeno é tão importante, que a própria definição de concreto armado se condiciona à sua 

existência. A forma usual de consideração dessa ligação tem sido por meio da definição de 

uma “tensão de aderência”, e sua distribuição ao longo da interface tem sido exaustivamente 

investigada, já que seu conhecimento é essencial para a compreensão do comportamento de 

ancoragens retas, dos ganchos e das emendas. 

A aderência está associada a uma combinação das parcelas relativas à adesão, ao 

atrito e à ancoragem mecânica. Esta divisão, entretanto, é meramente didática, não sendo 

possível determinar-se cada componente isoladamente, devido à complexidade dos 

fenômenos envolvidos. 



119 

A adesão ou aderência química surge devido às ligações físico-químicas na interface 

durante as reações de pega do cimento. Essa parcela, caracterizada por uma resistência de 

adesão R b1 como indicada na figura 1, pode ser constatada através da separação de um bloco 

concretado sobre uma chapa metálica. Neste caso, verifica-se somente a existência da ligação 

por adesão. Geralmente, considera-se que a adesão seja destruída pelas ações de serviço ou 

retração do concreto e que as tensões de aderência próximas da ruptura sejam mobilizadas 

principalmente pela engrenagem mecânica das nervuras. 

Figura 1 - Aderência por adesão 

A parcela relativa ao atrito é decorrente da ação das forças de atrito existentes entre os 

dois materiais. Estas forças dependem do coeficiente de atrito entre o aço e o concreto, o qual 

é função da rugosidade superficial da barra. A aderência por atrito, a qual se manifesta 

devido à pressão transversal do concreto sobre a armadura como, por exemplo, a de retração 

ou de confinamento, pode ser determinada através de ensaios de arrancamento, que 

consistem na aplicação de uma força de tração R b2 na barra, conforme a figura 2. Neste caso, 

além da contribuição relativa ao atrito, existe uma parcela de aderência por adesão. 

Figura 2 - Aderência por atrito 

A componente R b3 relativa à aderência mecânica na figura 3 está associada a forças 

concentradas de compressão que surgem perpendiculares às faces das nervuras no momento 

em que a barra é tracionada e tende a deslizar. Estas forças provocam a micro-fissuração e o 

micro-esmagamento do concreto na região das nervuras. Mesmo em barras lisas, existe o 

efeito da aderência mecânica, devido às irregularidades superficiais decorrentes do processo 

de laminação. 


120 


Figura 3 - Aderência mecânica 

A eficiência dessa ligação pode ser convenientemente quantificada através da relação 

tensão de aderência versus deslizamento, a qual representa a variação da tensão que surge na 

interface do aço com o concreto, relacionada ao deslocamento relativo entre a barra da 

armadura e o concreto envolvente. Valores máximos desse deslizamento podem ser usados 

para definir a destruição da aderência, geralmente associados a um certo estado de 

deformações e fissuração. 

Existem dois tipos de rupturas da aderência para corpos-de-prova sob carregamento 

monotônico: ruptura por arrancamento direto da barra e fendilhamento do cobrimento do 

concreto. 

A primeira ocorre quando existe um confinamento suficiente da armadura, permitindo 

o corte do concreto entre as nervuras. Esse modo de ruptura está relacionado principalmente 

à resistência do concreto e ao tipo e à geometria das nervuras. 

Os diferentes modos de ruptura da aderência entre o concreto confinado e não 

confinado podem ser ilustrados na figura 4. O confinamento devido às barras de aço diminui 

a propagação e a abertura das fissuras, proporcionando o arrancamento da barra. 

CONCRETO NÃO CONFINADO 

concreto 

tensão de 

aderência 

fissura de 

fendilhamento 

barra 

deslizamento 

(a) 

CONCRETO CONFINADO 

armadura de 

confinamento 

tensão de 

aderência 

concreto confinado 

concreto não confinado 

deslizamento 

(b) 

Figura 4 - Ruptura da aderência por: (a) fissuração por fendilhamento em concreto não-confinado; (b) 

arrancamento em concreto confinado 



121 

O fendilhamento do cobrimento pode ser definido como o efeito da tração 

circunferencial ocasionado pelas componentes radiais das tensões de compressão que 

transferem o esforço do aço para o concreto. Esse tipo de ruptura ocorre quando o 

confinamento é insuficiente para garantir o arrancamento completo da barra. As tensões 

radiais de tração oriundas das tensões diagonais de compressão ocasionam um pressão no 

concreto em torno da barra, tornando essa região microfissurada e sujeita ao fendilhamento 

paralelo ao eixo da armadura. As fissuras de fendilhamento geradas pelas tensões 

circunferenciais de tração tendem a se propagar em direção às bordas, resultando na perda do 

cobrimento e da aderência. O número de barras e sua configuração ao longo do elemento são 

os principais fatores que influenciam a orientação dessas fissuras. 

No caso de ação cíclica, o modo de ruptura devido ao carregamento com um número 

de ciclos relativamente pequeno (low-cycle) é muito semelhante ao do carregamento 

monotônico. Já para o caso de carregamento com um número de ciclos elevado (high-cycle), 

pode ocorrer ruína similar; entretanto, deve-se considerar também a possibilidade de ruptura 

por fadiga do aço e do concreto. 

O comportamento da aderência é fortemente afetado pelas forças às quais a peça está 

submetida. 

Existem dois tipos de carregamento nas estruturas: o estático, que atua 

permanentemente na estrutura, e o dinâmico, onde o seu tempo de atuação na estrutura varia. 

Em relação ao carregamento estático, existe o de longa duração, e o de curta duração ou 

monotônico, caracterizado por um parâmetro crescente, como deslocamento ou força. Dentro 

dos vários tipos de ações dinâmicas, estão situadas as ações cíclicas, caracterizadas por uma 

determinada amplitude de deslizamento ou tensão. As principais diferenças entre as ações 

cíclicas e monotônicas sob o ponto de vista da aderência são que nas cíclicas a adesão é 

perdida após o primeiro ciclo e a componente de atrito decresce com os ciclos. 

As ações cíclicas podem ser classificadas de acordo com o número de ciclos e com 

tipo de tensão aplicada. 

Na primeira classificação, os elementos estruturais podem estar submetidos a um 

número relativamente baixo de ciclos (low-cycle) com carregamento elevado ao nível do 

estado limite último, característico, por exemplo de terremotos ou vento, ou a um grande 

número de ciclos (high-cycle), sob nível de carregamento de serviço e cuja ação resulta na 

fadiga da estrutura. Para esta última categoria, podemos citar o exemplo das pontes, 

estruturas offshore e estruturas que sustentam máquinas. 

De acordo com o tipo de tensão aplicada, o carregamento cíclico pode ser repetido ou 

unidirecional (caso típico de carregamento de fadiga), ou alternado (característico de sismos). 

Uma das principais características do carregamento cíclico é a deterioração 

progressiva da aderência que pode ser observada como um incremento no deslizamento. 

Devido a este processo de dano na ligação aço-concreto, a estrutura pode atingir a ruptura 

com níveis de tensão mais baixos que a tensão última monotônica. 

3 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DA ADERÊNCIA 

A investigação experimental do comportamento da aderência foi feita por ensaios de 

arrancamento padronizados pela RILEM-FIP-CEB (1973) com adaptação do modelo cúbico 


122 


Carregamento Repetido 

Número do carregamento 

Série 

padrão para um modelo cilíndrico, o qual apresenta um melhor comportamento. 

A influência de alguns parâmetros no comportamento da ligação foi analisada através 

dos ensaios, como: Diâmetro da armadura (φ = 10.0 mm e φ = 20.0 mm); tipo de 

carregamento (monotônico e repetido); amplitude do carregamento repetido (τ máx ). 

Os modelos estudados foram denominados de PT (Pull-Out Test) acompanhados por 

dois números, a letra M (monotônico) ou R (repetido), os quais indicam a série, o número e o 

tipo do carregamento, respectivamente, como o exemplo: 

PT10-1R 

A primeira série (número 10) constituiu ensaios para armadura de 10 mm e a segunda 

(número 20) para armadura de 20 mm. O número do carregamento pode ser 1 a 4 no caso de 

força repetida, conforme a tabela 1. Alguns modelos das séries foram ensaiados em duas 

amostras (a e b), de forma a se obter uma média dos resultados. 

Para a moldagem dos protótipos, utilizou-se barra nervurada tipo CA-50A e concreto 

de resistência média de 30 MPa aos 28 dias para o corpo-de-prova cilíndrico 10 cm x 20 cm. 

Nas tabelas 1 e 2, são apresentadas as características dos modelos e dos materiais utilizados 

no concreto, respectivamente. O consumo dos materiais utilizados na confecção do concreto 

com o respectivo traço em massa é apresentado na tabela 3. 

Tabela 1 - Características gerais dos modelos 

Modelo 

φ 

(mm) 

Número do 

carregament 

o 

Tipo de 

carregament 

o 

Número 

de ciclos 

Amplitude de 

carregamento 

PT10-Ma 10 ⎯ Monotônico ⎯ ⎯ 

PT10-Mb 10 ⎯ Monotônico ⎯ ⎯ 

PT10-1Ra 10 1 Repetido 30 60%τ bu 

PT10-1Rb 10 1 Repetido 30 60%τ bu 

PT10-2Ra 10 2 Repetido 30 80%τ bu 

PT10-2Rb 10 2 Repetido 30 80%τ bu 

PT20-Ma 20 ⎯ Monotônico ⎯ ⎯ 

PT20-Mb 20 ⎯ Monotônico ⎯ ⎯ 

PT20-1R 20 1 Repetido 30 60%τ bu 






123 

Tabela 2 - Características dos materiais 

utilizados no concreto 

Material 

Areia fina 

Brita 

Cimento 

Características 

Módulo de finura: M.F. = 2,14 

Massa unitária: 1,497 g/cm 3 

Massa específica: 2,584 g/cm 3 

Módulo de finura: M.F. = 7,54 

Massa unitária: 1,388 g/cm 3 


CPII F-32 ITAÚ 


Tabela 3 - Consumo dos materiais 

utilizados na confecção do concreto 

Material 

Cimento CP II F-32 

Areia 

Brita 

Água 

Consumo por 

m 3 de concreto 

392 kg 

902 kg 

862 kg 

227 kg 

Traço em massa: 1:2,3:2,2:0,58 

O detalhe da fôrma do modelo cilíndrico adaptado do ensaio padrão de arrancamento 

segundo a RILEM-FIP-CEB (1973) pode ser visualizado na figura 5. Para evitar a influência 

das tensões de compressão ocasionadas pela placa de apoio, foi colocada uma mangueira de 

plástico no trecho não aderente e retirada durante a desfôrma do modelo. O sarrafo fixado no 

gabarito teve a finalidade de servir como um balizador da barra de aço. 

Tubo de PVC 

Gabarito de madeira 

com furo central 

Sarrafo de madeira 


A 

A 

H = 10φ 

5 cm 

5 φ 5φ 

Sarrafo de madeira 


Tubo de PVC 

Armadura 

Mangueira de plástico 

Forro de madeira 


D armadura ( = φ ) 

VISTA DE TOPO 

Forro de madeira 

D mangueira com furo central 

Tubo de PVC 

D = 10φ 

CORTE A-A 

D interno do tubo 

VISTA DA BASE 

Figura 5 - Detalhe da fôrma dos modelos 

Os ensaios de arrancamento foram executados na máquina universal INSTRON, 

ilustrada na figura 6, com controle de deslocamento, permitindo assim analisar o ramo 

descendente após o modelo atingir a ruptura da ligação. 

O dispositivo de ensaio constituía de uma placa apoiando o concreto com um furo 

central onde a barra é inserida, sendo esta presa à garra da máquina INSTRON. A placa de 

apoio é presa por quatro hastes, as quais são rosqueadas na máquina. A aplicação da força de 

tração foi feita através do movimento da placa e das hastes juntamente com o pistão. A 

instrumentação utilizada nos ensaios foi um transdutor de deslocamento no topo da barra (a 5 


124 


cm da extremidade do bloco) com a base no concreto. A figura 7 ilustra o dispositivo de 

ensaio e a instrumentação utilizada. 

Figura 7 - Detalhe do dispositivo e da instrumentação 

do ensaio 

Figura 6 - Máquina INSTRON 

Antes da realização dos ensaios, foi feita a aplicação de uma força de 

aproximadamente 10% da força última, com o objetivo de verificar o funcionamento dos 

instrumentos. Os ensaios da série 10 foram realizados com velocidade de deslocamento do 

pistão de 0,01 mm/s e os da série 20 com 0,02 mm/s, registrando-se os valores medidos 

discretamente em pequenos intervalos de tempo. 

Existem duas formas de execução do ensaio de arrancamento sob ação repetida: em 

uma, aplica-se a amplitude de força até o arrancamento total da barra; na outra, aplica-se um 

determinado número de ciclos e a partir daí, leva-se a armadura à ruptura monotônica. Como 

um dos objetivos desse trabalho é avaliar a redução da tensão última de aderência e devido ao 

tempo de ensaio relativamente grande para o arrancamento total da barra, optou-se pela 

segunda opção. 

4 ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA 

Os problemas de contato envolvem não-linearidade física e geométrica, apresentando, 

portanto, algumas dificuldades para a sua resolução. Dependendo do carregamento, material, 

condições de contorno e outros fatores, determinadas regiões do modelo podem entrar ou sair 

do contato bruscamente. Além disso, a maioria desses problemas precisa considerar o atrito, 

o qual é calculado de acordo com algumas regras e modelos, todos não-lineares. 

A análise teórica da aderência monotônica foi realizada por meio de elementos finitos 

no programa Ansys 5.5. Para a escolha dos elementos de contato a serem utilizados, avaliouse 

a forma de ruptura da aderência. De acordo com os resultados experimentais, a destruição 

da ligação aço-concreto não ocorre no contato entre os dois materiais, mas sim pela ruptura 

do concreto ao cisalhamento entre as nervuras, como indica a figura 8. Portanto, na 



125 

simulação numérica, considerou-se barra lisa, comportamento elástico-linear dos dois 

materiais e elementos de contato na superfície de interface. 

Os elementos de contato superfície-superfície utilizados adotam o modelo de atrito de 

Coulomb, visualizado na figura 9, onde duas superfícies inicialmente em contato irão deslizar 

uma em relação à outra a partir do momento em que uma certa tensão cisalhante for atingida. 

A tensão cisalhante equivalente τ é definida como uma parcela da pressão de contato p, onde 

a constante de relação entre esses dois fatores é o coeficiente de atrito µ. 

Foram realizados dois tipos de modelagens: uma bidimensional no estado plano de 

tensões (PT10-2D), e outra tridimensional (PT10-3D). O modelo analisado foi o da série 10. 

τ 

Ruptura ao cisalhamento do 

concreto entre as nervuras 

Deslizamento entre 

superfícies 

τ máx 

µ 

F 

ar 

Superfícies 

em contato 

Figura 8 – Ruptura ao cisalhamento do concreto 

entre as nervuras 

Figura 9 - Modelo de atrito para o contato 

superfície-superfície 

p 

Os resultados obtidos na investigação experimental foram utilizados como parâmetros 

de avaliação e calibragem do modelo numérico. 

Os parâmetros do material utilizados relativos à série 10, são listados a seguir: 

• Concreto: • Aço: • Contato: 

E cm = 25678 MPa; E sm = 207167 MPa; 

µ = 0,4 

ν c = 0,2; 

ν s = 0,3; 

No modelo numérico, aplicou-se a força última experimental média (F u ) da série 10 

de 19,46 kN uniformemente distribuída na base dos elementos de concreto em 20 

incrementos de carregamento. 

Para a calibragem dos resultados experimentais, foi necessário ajustar a constante real 

FKN, a qual define a rigidez de contato, de modo que o deslizamento último (s u ) fosse 1,25 

mm. A constante real TAUMAX foi considerada igual ao valor da resistência de aderência 

convencional τ 1R = 4,23 MPa. 

Na figura 10, são ilustradas a discretização e as condições de contorno adotadas para 

o modelo PT10-2D, onde a armadura permanece fixa em uma extremidade representando a 

garra da máquina, e a força é aplicada uniformemente distribuída na base do concreto, 

representando a placa de apoio que a empurra no ensaio. Para esse modelo, foram colocadas 

restrições horizontais nos nós laterais do concreto, com o objetivo de evitar a rotação do 


126 


concreto. Foram utilizados os seguintes elementos em PT10-2D: PLANE42 2-D Structural 

Solid, para o aço e o concreto; CONTA171 2-D Surface-to-Surface Contact Element para a 

área de contato do concreto; e TARGE169 3-D Target Segment para a área de contato do aço. 

Para a construção do modelo PT10-3D, procurou-se adotar uma discretização que não 

interferisse na convergência e não tivesse um custo computacional muito grande. As 

condições de contorno foram semelhantes à da modelagem bidimensional. A figura 11 ilustra 

o modelo PT10-3D, para o qual foram utilizados quatros tipos de elementos finitos: 

SOLID65 3-D Reinforced Concrete Solid para representar o concreto; SOLID45 3-D 

Structural Solid para representar a barra de aço; CONTA173 3-D Surface-to-Surface Contact 

Element para representar a área de contato do concreto; TARGE170 3-D Target Segment 

para representar a área de contato do aço. 

Vista de topo 

Figura 10 – Modelo PT10-2D 

Vista frontal 

Figura 11 – Modelo PT10-3D 

5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 

5.1 Ruptura dos modelos 

Todos os modelos ensaiados apresentaram ruptura por arrancamento da barra, com 

degradação do concreto entre as nervuras, conforme indica a figura 12. Como já foi 

mencionado anteriormente, este tipo de ruptura está relacionado com o confinamento da 

barra ocasionado pelo concreto, evitando assim, o fendilhamento do cobrimento. Na figura 

13, pode ser visualizado o corte de um dos modelos, ilustrando o orifício perfeito causado 

pelo arrancamento da barra. Pode ser observado que não ocorreu nenhuma fissura de 

fendilhamento, comprovando que todos os modelos estavam sob a ação do confinamento do 

concreto. 



127 

Figura 12 - Ruptura por 

arrancamento de um modelo 

Figura 13 - Corte de um modelo 

5.2 Caracterização do concreto e do aço 

Para avaliação dos resultados, foi necessário antes se fazer a caracterização do 

concreto e do aço, cujas informações constam nas tabelas 4 e 5, respectivamente. 

Tabela 4 - Caracterização do concreto 

Modelos slump (cm) f c (MPa) f cm (MPa) f t (MPa) f tm (MPa) E c 

(MPa) 

Série 10 15,7 30,52 27,47 2,51 2,13 25678 

Série 20 19,5 31,10 27,99 3,21 2,73 30447 

Diâmetro 

Tabela 5 - Caracterização do aço 

E s 

(MPa) 

f y (MPa) 

σ t (MPa) 

φ = 10 mm 207167 696 852 

φ = 20 mm 206533 621 727 

O comportamento tensão-deformação do concreto e do aço é ilustrado nas figuras 14 

e 15, respectivamente. O diagrama relativo ao aço é aproximado, considerando-se o patamar 

de escoamento horizontal, apesar de no ensaio, este ter apresentado uma inclinação 

desprezível. 


128 


-35 

-30 

-25 

Tensão (MPa) 

-20 

-15 

Ec = 30447 MPa 

Ec = 25678 MPa 

Série 10 

Série 20 

-10 

-5 

0 

0 

-0,0005 

-0,001 

-0,0015 

-0,002 

Deformação 

Figura 14 - Diagrama tensão-deformação do concreto 

-0,0025 

800 

700 

Es =207167 ; fy = 696 MPa 

Tensão (MPa) 

600 

500 

400 

300 

Es =206533 ; fy = 621 MPa 

Barra - 10 mm 

Barra - 20 mm 

200 

100 

0 

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 

Deformação 

Figura 15 - Diagrama tensão-deformação do aço 

A tensão de aderência foi calculada como um valor médio, considerando-se a 

distribuição uniforme da força aplicada ao longo da área de contato aço-concreto, a qual é 

função do diâmetro nominal da armadura e do comprimento do trecho aderente. 

O comportamento da ligação dos modelos monotônicos das séries 10 e 20, ilustrado 

na figuras 16 e 17, respectivamente, constitui de três fases: 

• 0 ≤ s ≤ 0,1mm 

: aderência inicial devido à adesão, até a ruptura convencional da ligação 

(τ 1R ), correspondente ao deslizamento de 0,1 mm. Neste trecho elástico linear, as 

deformações dos dois materiais são admitidas iguais e não há formação de fissuras; 

• 0,1mm 

≤ s ≤ su 

: mobilização da aderência por atrito e a mecânica, até atingir a ruptura 

efetiva da ligação (τ bu ). As fissuras “cisalhantes” formadas pelo esmagamento do concreto 

próximo às nervuras se propagam ao longo de um comprimento considerável ocasionando o 

corte parcial do concreto entre as nervuras. 

• su 

≤ s ≤ s 

lim 

: processo desencadeado pelo atrito concreto-concreto e travamento entre o 

concreto e as nervuras, que só foi possível devido às condições de ensaio de deslocamento 

controlado. Nesta fase, ocorre um decréscimo brusco da curva, a qual finaliza no 

deslizamento limite medido pelo transdutor de deslocamento (s lim ), caracterizando o 

arrancamento total da barra. A tensão residual, quando a curva se torna praticamente 

horizontal, não foi possível de ser capturada, devido ao término da medição do transdutor de 

deslocamento. 



129 

Tensão de aderência (MPa) . 

16 

15 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

τbu = 13,07 MPa 

su = 1,27 mm 

τbu = 11,71 MPa 

su = 1,22 mm 

τ1R = 3,50 MPa 

τ1R = 4,96 MPa 

τ1R = 4,23 MPa 

Modelos PT10-Ma e PT10-Mb 

τbu = 12,39 MPa 

su = 1,25 mm 

PT10-Ma 

PT10-Mb 

Média experimental 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Deslizamento (mm) 

Figura 16 - Curva monotônica tensão de aderência-deslizamento dos modelos PT10-Ma e PT10-Mb 


14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

τbu = 10,47 MPa 

su = 1,39 mm 

τbu = 8,94 MPa 

su = 1,32 mm 

τ1R = 2,73 MPa 

τ1R = 3,12 MPa 

τ1R = 2,93 MPa 

Modelos PT20-Ma e PT20-Mb 


su = 1,36 mm 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


PT20-Ma 

PT20-Mb 

Média experimental 

Figura 17 - Curva monotônica tensão de aderência-deslizamento dos modelos PT20-Ma e PT20-Mb 

Essas três fases do processo da aderência podem ser melhor visualizadas na figura 18. 

τ 

τ bu 

τ 1R 

τr 

O 

0,1mm s u s lim 

s 

1ª fase 2ª fase 3ª fase 

Figura 18 - Digrama representativo das fases do comportamento da aderência dos ensaios 

monotônicos 


130 


Observando-se as duas curvas médias da figura 19, os modelos da série 10 

apresentaram um melhor comportamento de aderência que os modelos da série 20, tanto em 

relação à resistência convencional da ligação (τ 1R ) como em relação à tensão última de 

aderência (τ bu ), apesar da força de arrancamento ter sido menor. Já em relação ao ramo 

descendente da curva, os modelos da série 20 tiveram um comportamento melhor através da 

inclinação menor da curva, sendo, portanto, mais dúcteis. 


Série 10 e 20 

14 

13 

τbu = 12,39 MPa 

12 

su = 1,25 mm 

11 

10 

Série 10 

9 


Série 20 

8 su = 1,36 mm 

7 

6 

5 

4 

τ1R = 4,23 MPa 

3 

τ1R = 2,93 MPa 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


Figura 19 - Curva média dos modelos da série 10 e 20 

5.3 Comparação do comportamento experimental da aderência monotônica com as 

recomendações das normas 

Diante da falta de uma relação tensão de aderência versus deslizamento, com exceção 

do CEB-FIP MC 1990, foi calculada para as outras normas apenas a resistência de aderência 

equivalente ao deslizamento de 0,1 mm. Os valores foram calculados para condições de 

aderência boas (situação 1) e ruins (situação 2). 

A resistência convencional de ligação (τ 1R ), a resistência de aderência efetiva (τ bu ) 

com seu respectivo deslizamento (s u ), relativas aos ensaios e aos valores das normas para as 

situações 1 e 2 são mostrados na figura 20. Nas figuras 21 e 22, é apresentada a comparação 

do comportamento global do ensaio com a curva do CEB-FIP MC90. 

Da figura 20, podem ser observados os seguintes fatos: 

• Em relação à resistência de aderência convencional (τ 1R ): 

Na série 10, a NB-1/78 se mostrou a favor da segurança, nas situações 1 e 2. Já o 

CEB-FIP MC90 e o EUROCODE 2 ficaram contra a segurança na situação 1 e a favor da 

segurança na situação 2. 

Já para a série 20, apenas o CEB-FIP MC90 e a NB-1/78 se apresentaram a favor da 

segurança na situação 2. 

• Em relação à resistência de aderência efetiva (τ bu ): 

O CEB-FIP MC90, na série 10, apresentou uma tensão última de aderência bastante 

próxima do valor experimental na situação 1, com uma diferença de 5,73% contra a 

segurança. Já na situação 2, o CEB-FIP MC90 se mostrou bastante conservador em relação 

ao resultado experimental, com uma diferença de 43,17%. 



131 

Na série 20, as diferenças entre o CEB-FIP MC90 nas situações 1 e 2 e os valores 

experimentais foram bem parecidas, sendo um resultado a favor da segurança e outro contra. 

• Em relação ao deslizamento último (s u ): 

Como já foi comprovado em resultados experimentais anteriores, o deslizamento 

último é maior que 1 mm, proposto pelo CEB-FIP MC90. Entretanto, como a ordem de 

grandeza desse deslocamento relativo é muito pequena, não se pode afirmar que o ensaio teve 

um comportamento mais dúctil que o do CEB-FIP MC90. 

Valores de τ1R - Série 10 

Valores de τ1R - Série 20 

6 

7 


5 

4 

3 

2 

5,22 

4,79 

4,23 4,23 

3,82 

Experimental 

CEB-FIP MC90 

EUROCODE 2 

NB-1/78 

3,35 

2,61 2,55 


6 

5 

4 

3 

2 

6,14 

5,27 

3,87 

2,93 2,93 

Experimental 

CEB-FIP MC90 

EUROCODE 2 

NB-1/78 

4,30 

2,63 2,58 

1 

1 

0 

Situação 1 Situação 2 

(a) 

0 

Situação 1 Situação 2 

(b) 

Valores de τbu 

Valores de su 


16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

12,39 

Experimental 

13,1 

CEB-FIP MC90 (sit. 1) 13,23 

CEB-FIP MC90 (sit. 2) 

9,7 

6,55 6,61 


1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

1,25 

Experimental 

1,36 

CEB-FIP MC90 

1 1 

2 

0,2 

0 

Série 10 Série 20 

(c) 

0 

Série 10 Série 20 

(d) 

Figura 20 – Comparação dos valores de τ 1R , τ bu e s u experimentais com os propostos pelas normas 

Do comportamento global na figura 21, pode-se observar, na série 10, que a curva 

ascendente média experimental está bem próxima da proposta do CEB-FIP MC90 na situação 

1; entretanto, o trecho pós-ruptura da aderência das duas curvas estão bastante distantes, 

devido à presença de um patamar de escoamento, inclinação da segunda parte e tensão 

residual maiores na curva do CEB-FIP MC90. O diagrama experimental ficou bastante acima 

ao do CEB-FIP MC90 na situação 2. Na série 20 ilustrada na figura 22, a curva experimental 

está praticamente eqüidistante dos diagramas do CEB-FIP MC90 nas situações 1 e 2. 


132 


Tensão de aderência (Mpa) . 

16 

15 

14 

13 

12 

11 

10 

Modelos PT10-Ma e PT10-Mb com o CEB-FIP MC90 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

Série 10 



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


Figura 21 - Comparação da série 10 com o CEB-FIP MC90 


Modelos PT20-Ma e PT20-Mb com o CEB-FIP MC90 

14 

13 

Série 20 

12 


11 


10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


Figura 22 - Comparação da série 20 com o CEB-FIP MC90 

5.4 Comportamento da aderência sob carregamento repetido 

O comportamento da aderência dos modelos PT10-2Ra e PT10-3R é apresentado nas 

figuras 23 e 24. Alguns aspectos característicos foram observados durante a aplicação da 

ação repetida. 

Uma diferença crucial entre a aderência monotônica e cíclica é que a adesão (τ 1R ) é 

perdida logo no primeiro ciclo. Esse fato é comprovado nas figura 23(a) a 24(a), onde a 

tensão máxima no meio ciclo inicial é superior à resistência de aderência equivalente ao 

deslizamento de 0,1 mm. Isso só ocorre devido aos valores relativamente altos das tensões 

cíclicas que geralmente atuam na estrutura. Para solicitações muito baixas, portanto, o 

concreto permanece perfeitamente ligado à barra. 

A fadiga da aderência pode ser dividida em três fases: a velocidade de deslizamento 

cresce mais rapidamente nos primeiros ciclos; depois, torna-se constante, com a tendência de 

estabilização do deslizamento em um valor final; após ser atingido o deslizamento 

monotônico último, com alguns ciclos adicionais, a velocidade torna-se crescente novamente, 



133 

induzindo à ruptura por arrancamento da barra. Essa última fase, não pôde ser observada nos 

modelos, devido ao tempo de ensaio relativamente grande. As duas primeiras fases podem 

ser vistas nas figuras 23(a e b) e 24(a e b), onde nas últimas, ilustra-se a redução da tangente 

à curva nos primeiros ciclos e depois tornando-se constante. A primeira fase nos ensaios 

termina em aproximadamente 10 ciclos, onde a velocidade do deslizamento é muito grande; a 

partir daí, o acréscimo diminui, tornando-se constante depois. Após o deslizamento 

monotônico último s u , como foi observado no modelo PT20-3R, a velocidade ainda 

permanece constante com o decorrer de um número de ciclos razoável sem atingir a ruptura. 

Portanto, s u pode ser considerado como um critério seguro para análise da ruptura por fadiga 

da aderência. 

Uma vez atingido um determinado deslizamento, este torna-se quase que totalmente 

residual; ou seja, a rigidez ou a inclinação da tangente à curva é muito elevada. Pelas figuras 

23(d) e 24(d) que indicam a oscilação do deslizamento a cada meio ciclo, fica comprovada a 

recuperação insignificante do deslizamento na tensão máxima quando do descarregamento. 

No momento do recarregamento, o comportamento da aderência assume a mesma rigidez do 

descarregamento anterior até um nível de tensão um pouco abaixo da máxima (τ d-r ); a partir 

daí, a rigidez começa a diminuir com o aumento do deslizamento até o topo. Quando a 

estrutura é descarregada, a rigidez cresce até a tensão (τ d-r ), depois tornando-se constante e 

igual ao do ciclo anterior. 

Na tabela 6, são apresentados todos os resultados dos modelos, para efeitos de 

comparação. 

Modelo 

F máx 

(kN) 

Tabela 6 – Valores experimentais dos modelos 

τ máx (MPa) n τ 1R (MPa) s r 

(mm) 

τ bu (MPa) s u (mm) 

PT10-M - - - 4,23 - 12,39 1,25 

PT10-1Ra 12 8 30 2,20 0,98 9,57 1,18 

PT10-1Rb 12 8 30 2,28 0,94 9,62 1,26 

PT10-2Ra 16 10 30 4,61 0,67 13,02 0,91 

PT10-2Rb 16 10 30 3,01 1,00 12,19 1,16 

PT20-M - - - 2,93 - 9,70 1,36 

PT20-1R 37 6 30 2,44 0,60 9,73 1,40 

PT20-2R 49 8 30 4,22 0,94 9,96 1,15 

PT20-3R 49 8 130 3,01 1,45 9,75 1,57 

PT20-4R 55 9 50 2,31 2,05 9,73 2,23 

Os modelos tiveram o comportamento global da aderência semelhante, com algumas 

diferenças nos valores de τ 1R e s r . 

Apesar da resistência média τ 1R de PT10-1Ra e PT-101Rb ter sido menor que a 

correspondente a PT10-2Ra e PT10-2Rb, da ordem de aproximadamente 0,6 vezes, essa não 

foi a razão para a redução de τ bu dos primeiros em relação aos segundos, pois para os 

modelos da série 20, a variação de τ 1R foi grande também e os valores de τ bu foram muito 

próximos. Quando as barras de PT10-1Ra e PT-101Rb foram arrancadas, pôde-se observar 


134 


pequenos buracos no concreto entre as nervuras ocasionadas por falha da vibração, 

justificando, portanto, essa redução na aderência. Esses modelos, portanto, não foram 

incluídos para as análises dos resultados. 

Modelo PT10-2Ra 

12 

11 

10 


9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 


(a) 

0,7 

0,6 

Deslizamento (mm) . 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

Número de ciclos 

0,7 

(b) 


10 

0 

0 30 


(c) 


0,6 

0,5 

0,4 

0 5 10 15 20 25 30 


(d) 

F máx ≅ 16 kN; τ máx ≅ 10 MPa; n = 30; τ 1R = 4,61 MPa; s r = 0,67 mm 

Figura 23 - Modelo PT10-2Ra: (a) Curva tensão de aderência-deslizamento; (b) Curva deslizamentonúmero 

de ciclos; (c) História do carregamento; (d) Oscilação do deslizamento a cada meio ciclo; 



135 

Modelo PT20-3R 

10 

9 


8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 


(a) 


1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 


(b) 


8 

0 

0 


(c) 

130 


1,5 

1,4 

1,3 

1,2 

1,1 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 


(d) 

F máx ≅ 49 kN; τ máx ≅ 8 MPa; n = 130; τ 1R = 3,01 MPa; s r = 1,45 mm 

Figura 24 - Modelo PT20-3R: (a) Curva tensão de aderência-deslizamento; (b) Curva deslizamentonúmero 

de ciclos; (c) História do carregamento; (d) Oscilação do deslizamento a cada meio ciclo; 

O carregamento monotônico dos modelos repetidos teve a mesma rigidez dos ciclos 

anteriores até um pouco antes da ruptura da ligação, apresentando uma pequena redução até a 

tensão última, com exceção de PT20-1R que, quando atingiu a curva monotônica, 

acompanhou-a até o final do ensaio. Esse modelo, portanto, teve uma diminuição maior na 

rigidez antes de alcançar a tensão última. 


136 


Fazendo-se uma comparação da ruptura monotônica de PT10-2Ra e PT10-2Rb com a 

média de PT10-Ma e PT10-Mb, nota-se que a aplicação de poucos ciclos da ordem de 80% 

da resistência última monotônica não interfere no comportamento último da ligação, pois os 

valores da tensão última de aderência dos modelos repetidos foram bem próximos aos 

referentes aos modelos monotônicos, como indica a figura 25. 

Para verificar se existia ou não a redução na resistência da ligação, na série 20, 

variou-se, então, a força em 3 níveis e o número de ciclos em 3. Comparando-se o modelo 

PT20-1R com o PT20-2R, percebe-se que o crescimento do nível de carregamento de 60% 

para 80% aumentou o deslizamento residual s r em 56%. A diferença de 100 ciclos entre 

PT20-3R e PT20-2R, aumentou s r em 54%. Com apenas 16 ciclos, o modelo PT20-4R 

atingiu o deslizamento residual do modelo PT20-3R, ou seja, com um acréscimo de 10% em 

relação à força de 80%, diminuiu a quantidade de ciclos de 130 para 16. Entretanto, 

independente da diferença entre o número de ciclos, a amplitude do carregamento e 

deslizamento residual atingido, a tensão última de aderência não foi reduzida, como indica a 

figura 26. Isso foi válido mesmo para a força máxima bem próxima da monotônica última 

(PT20-2R, PT20-3R e PT20-4R) e para deslizamentos residuais superiores ao deslizamento 

último monotônico s u (PT20-3R e PT20-4R). 

Após a ruptura da ligação, o ramo descendente da curva de todos os modelos ficou 

bem próximo do correspondente à curva monotônica de referência. 

Modelos PT10-1Ra, PT10-1Rb, PT10-2Ra, PT10-2Rb com média (PT10-Ma e PT10-Mb) 


16 

15 

14 

PT10-1Ra 

13 

12 

PT10-1Rb 

11 

PT10-2Ra 

10 

PT10-2Rb 

9 

PT10-M (a e b) 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


Figura 25 - Curva monotônica tensão de aderência-deslizamento dos modelos repetidos com a média 

dos modelos monotônicos de referência da Série 10 



137 

Modelos PT20-1R, PT20-2R, PT20-3R, PT20-4R com média (PT20-Ma e PT20-Mb) 


14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


PT20-1R 

PT20-2R 

PT20-3R 

PT20-4R 


Figura 26 - Curva monotônica tensão de aderência-deslizamento dos modelos repetidos com a média 

dos modelos monotônicos de referência da Série 20 

Na figura 27, pode ser visualizado o resumo do comportamento da aderência dos 

ensaios, e com a continuação a partir de s r observada em resultados da literatura. 

τ 

τ máx 

τ 1R 

s 

O 

arrancamento 


(a) 

τ 

τ bu 

bu 

bu 

s 

s r 

O 


(b) 

n 

Figura 27 - Digrama representativo do comportamento da aderência dos ensaios repetidos 

O 

s r 

su 

s r 

(c) 

s 


138 


6 RESULTADOS NUMÉRICOS DA ADERÊNCIA MONOTÔNICA 

6.1 Modelo PT10-2D 

Apesar das aproximações um pouco grosseiras desse modelo, alguns aspectos do 

comportamento do contato entre os dois materiais pôde ser observado. Em relação aos 

ensaios, foram feitas poucas comparações, como a deformada e a evolução dos deslizamentos 

com a força, devido à falta de outras medidas experimentais. 

A evolução dos deslocamentos com a força foi linear, como apresenta a figura 28, 

portanto, os elementos de contato não consideraram a adesão entre os dois materiais. 

22 

Média (PT10-Ma e PT10-Mb) e PT10-2D 

20 

18 

16 


PT10-2D 

Força (kN) . 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 


Figura 28 - Curva força-deslizamento da média (PT10-Ma e PT10Mb) e PT10-2D 

A deformada da estrutura foi bastante semelhante a constatada experimentalmente, 

com uma pequena diferença na inclinação do concreto na região próxima à barra, como 

ilustra a figura 29. 

Figura 29 - Deformada - PT10-2D 

Figura 30 - Deslizamento - PT10-2D 



139 

Pela figura 30, pode-se constatar que o modelo apresentou uma diferença de 0,456 

mm entre o deslizamento da base e do topo da barra aderente, como espera-se teoricamente. 

Nos ensaios, essa diferença não pôde ser visualizada, devido os deslocamentos terem sido 

medidos do topo da barra em relação ao concreto. 

6.2 Modelo PT10-3D 

Apesar desse modelo aparentemente fornecer resultados mais próximos da realidade 

que o anterior, também não foi possível realizar muitas comparações pela escassez de outras 

medidas experimentais. 

Similarmente ao modelo PT10-2D, esse apresentou uma relação força-deslocamento 

linear, como ilustra a figura 31. Os elementos de contato utilizados, portanto, não 

consideraram a adesão e a pressão de confinamento na barra. 

22 

20 

18 

16 


PT10-3D 

Força (kN) . 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 


Figura 31 - Curva força-deslizamento da média (PT10-Ma e PT10Mb) e PT10-3D 

Esse modelo representou melhor o ensaio, devido à consideração do seu 

comportamento tridimensional. Não foi necessário impor restrições radiais nos nós da face 

cilíndrica do concreto para evitar o giro do modelo, como indica a deformada na figura 32, 

semelhante à do protótipo experimental. 

Figura 32 - Deformada - PT10-3D 

Figura 33 - Deslizamento - PT10-3D 


140 


Através da figura 33, percebe-se que o deslizamento não foi constante ao longo do 

contato, com uma variação de 1,28239 na base a 1,24561 no topo, considerada como a 

diferença entre os deslocamentos dos elementos CONTA173 e TARGE170. Essas variações 

no deslizamento não puderam ser medidas experimentalmente, impossibilitando a 

comparação. 

A modelagem numérica, apesar de não ter representado o ensaio corretamente, devido 

à sua relação linear força-deslizamento, serviram para uma análise primária do 

comportamento do contato no bloco de arrancamento. Modelos mais refinados, considerando 

as nervuras e a não linearidade dos materiais, poderão representar a verdadeira resposta da 

estrutura. 

7 CONCLUSÕES 

Todos os modelos ensaiados apresentaram o corte do concreto entre as nervuras, 

ocasionando a ruptura por arrancamento perfeito da armadura, típica de concreto confinado. 

Analisando-se os modelos monotônicos, foram observadas três fases no 

comportamento da interface aço-concreto. Na primeira, a qual corresponde à aderência 

química, os deslocamentos relativos são extremamente pequenos e as deformações dos dois 

materiais são admitidas iguais. Após a ruptura da adesão (τ 1R ), ocorre a mobilização da 

aderência por atrito e a engrenagem mecânica entre nervuras, equivalentes à segunda fase. 

Atingindo-se a ruptura efetiva da ligação (τ bu ), dá-se início à terceira fase, originada pelo 

atrito concreto-concreto e travamento entre o concreto e as nervuras. O ramo da curva tensão 

de aderência-deslizamento, o qual só é capturado em regime de deslocamento controlado, 

decresce bruscamente e torna-se horizontal até a ruptura total por arrancamento da barra. 

Devido ao término do curso do transdutor de deslocamento, entretanto, os ensaios foram 

finalizados, antes de alcançar a tensão residual. O aumento da força, após o início do 

deslizamento, é pequeno para as barras lisas, que não foram ensaiadas nesse trabalho, e muito 

maior para as barras nervuradas, da ordem de aproximadamente 3 vezes, devido à 

mobilização da aderência mecânica. 

Os modelos monotônicos da série 20 em relação aos da série 10 apresentaram um 

comportamento mais frágil da ligação, apesar da força última ter sido maior, e um trecho pósruptura 

mais dúctil. Uma justificativa para o primeiro fato, é que as barras de 20 mm 

possuem nervuras bem mais espessas que as de 10 mm, fazendo com que a tensão não possa 

ser simplesmente considerada como um valor médio. Outra explicação possível é que a 

superfície relativa das nervuras (f r ) da barra de 20 mm pode ser menor que a referente à barra 

de 10 mm. Seria necessária, portanto, a obtenção desse valor para uma comparação entre as 

duas séries. Em relação ao segundo fato, os modelos da série 20 estiveram sob à ação de um 

concreto mais bem confinado e o travamento entre o concreto e as nervuras foi maior, devido 

à altura da nervura ser superior que a da série 10. 

Comparou-se os resultados experimentais com os oriundos das normas CEB-FIP 

MC90, EUROCODE 2 e NB-1/78. Devido à pouca quantidade de modelos, entretanto, pôdese 

tirar poucas conclusões. Observou-se que o ensaio de arrancamento ficou situado entre as 

condições de aderência boa e ruim, apesar da barra estar na posição vertical em relação à 

concretagem. Contudo, a série 10 se aproximou bastante da situação de boa aderência. Os 

valores da resistência convencional e efetiva da ligação entre as normas apresentaram 

dispersões muito grandes, como foi o caso da diferença de 67% de τ 1R do EUROCODE 2 em 



141 

relação à NB-1/78. O deslizamento equivalente à ruptura da ligação foi maior que o valor de 

1 mm proposto pelo CEB-FIP MC90, comprovado já em experimentos anteriores. 

Em relação ao carregamento repetido, observou-se que a resistência por adesão foi 

ultrapassada logo no primeiro ciclo, por causa do valor muito maior da força máxima. 

O processo da fadiga de aderência é dividido em três fases: na primeira, a velocidade 

de deslizamento é decrescente, caracterizada pela diminuição da inclinação da tangente à 

curva deslizamento-número de ciclos (s-n); na segunda, essa velocidade torna-se constante, 

onde a inclinação da tangente é linear; e na terceira, a velocidade cresce muito rapidamente 

até a ruptura por arrancamento da barra, ou seja, a inclinação aumenta até tornar-se 

praticamente vertical. A aplicação dos ciclos dos ensaios finalizou-se na segunda fase e, após 

o deslizamento residual (s r ), foram levados à ruptura monotônica. A primeira fase pode ser 

definida como uma acomodação da estrutura ao carregamento repetido, onde ocorre a maior 

parcela do esmagamento local do concreto próximo das nervuras. A partir daí, a região de 

concreto a ser esmagada é muito pequena, caracterizando a estabilização do crescimento dos 

deslizamentos. A ruptura por arrancamento ocorre após a terceira fase, a qual se inicia muito 

depois do deslizamento último monotônico (s u ). Conseqüentemente, as estruturas não 

precisam ser ensaiadas para um número de ciclos muito grande, se o deslizamento 

equivalente à resistência de aderência monotônica for conhecido. A determinação do número 

máximo de ciclos pode ser obtida por extrapolação linear da segunda parte linear da curva até 

s u . 

Para os diferentes níveis de solicitação, notou-se que quanto maior a força máxima 

repetida, maior a acomodação inicial do modelo e o deslizamento residual. As rigidezes ou as 

inclinações da tangente à curva para os trechos de descarregamento são praticamente iguais e 

muito acentuadas, indicando uma recuperação desprezível do deslizamento na força máxima. 

A resistência estática da ligação dos modelos repetidos não foi alterada com um 

número de ciclos maior, uma força máxima repetida próxima da força última monotônica de 

referência e um deslizamento residual maior que s u . Logo, as forças repetidas podem ser 

consideradas como um mecanismo de acomodação desses modelos em relação à resistência, 

com influência na degradação da aderência apenas pelo aumento progressivo dos 

deslizamentos. 

Da análise numérica da aderência monotônica no Ansys, foram tiradas poucas 

conclusões, devido o modelo numérico não ter representado a verdadeira resposta da 

estrutura. Tanto o modelo bidimensional (PT10-2D) como o tridimensional (PT10-3D) 

apresentaram uma relação força-deslizamento linear, ou seja, a adesão entre os dois materiais 

e a pressão de confinamento, no caso de PT10-3D, foram desprezadas. A deformada dos dois 

modelos foi semelhante à experimental, adotando-se, entretanto, algumas aproximações na 

modelagem bidimensional. Os deslizamentos ao longo do contato foram diferentes, com um 

crescimento praticamente linear do topo do contato para a base. Essa evolução, não pôde ser 

constatada experimentalmente. 

Devido à variabilidade do concreto e à pouca quantidade de modelos, seria 

necessário, portanto, um certo cuidado na extensão dessas conclusões parciais aos casos 

gerais. 

Como já foi exposto anteriormente, o problema da aderência sob carregamento 

repetido envolve um conjunto de variáveis de grande complexidade: a não-linearidade dos 

materiais, o mecanismo de transferência de forças, a micro-estrutura interna dos materiais, a 

propagação do dano, a não-linearidade do contato, a resposta força-deslizamento não linear, 

as deformações residuais, entre outras. Devido à dificuldade de visualização e abrangência de 


142 


todos esses pontos no comportamento tanto do modelo experimental como numérico, nesse 

trabalho, a análise do fenômeno foi particularizada, de maneira a melhor solucionar 

determinadas questões sobre o assunto. Dessa forma, nesse campo de pesquisa, ainda 

precisam ser feitos muitos estudos englobando todas essas particularidades. 

8 AGRADECIMENTOS 

À CAPES, pelo apoio financeiro. 


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execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro: ABNT. 

BALÁZS, G. L. (1991). Fatigue of bond. ACI Materials Journal, v.88, n.6, p.620-629, 

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BALÁZS, G. L. et al. (1993). Acoustic emission monitoring on steel-concrete interaction. 

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COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON (1991). CEB-FIP Model Code 1990. 

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cíclico. São Paulo. 171p. Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica - Universidade de São 

Paulo. 


144

SÃ£o Carlos, v.7 n. 24 2005 - SET - USP

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