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São Carlos, v.11 n. 51 2009

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 

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Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: 

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MARIA NADIR MINATEL 

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TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.11 n. 51 2009

Departamento de Engenharia de Estruturas 

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SUMÁRIO 

Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos 

estruturais 

Lívia Matheus Candian & Antônio Alves Dias 1 

Avaliação de formulações do MEC na mecânica da fratura linear e coesiva 

Daniane Franciesca Vicentini & Wilson Sergio Venturini 17 

Reforço à flexão de vigas de concreto armado com manta de Polímero 

Reforçado com Fibras de Carbono (PRFC) aderido a substrato de transição 

constituído por compósito cimentício de alto desempenho 

Vladimir José Ferrari & João Bento de Hanai 37 

Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes transversais 

do colarinho 

Vinicius César Pereira Nunes & Mounir Khalil El Debs 57 

Análise numérica da aderência em modelos de viga com concretos auto-adensáveis 

e concretos convencionais 

Fernando Menezes de Almeida Filho & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 77 

Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de incêndio 

Érica Fernanda Aiko Kimura & Jorge Munaiar Neto 93 

Método dos Elementos Finitos Posicional aplicado à não linearidade geométrica 

de sólidos 

Daniel Nelson Maciel & Humberto Breves Coda 111 

Elementos finitos híbridos e híbrido-mistos de tensão com enriquecimento nodal 

Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença 131 

Estratégia baseada em domínio de falha composto aplicada para análise de 

confiabilidade em grelhas de concreto armado 

Rodrigo de Azevedo Neves & Wilson Sérgio Venturini 161

ISSN 1809-5860 

ESTUDO DO POLIETILENO DE ALTA DENSIDADE RECICLADO PARA USO 

EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS 

Lívia Matheus Candian 1 & Antônio Alves Dias 2 

Resumo 

O alto consumo de energia para a produção de metais e de cimento, a pressão em relação à utilização de 

madeira tropical e a abundância de material plástico vêm contribuindo para o desenvolvimento de pesquisas e a 

aplicação dos termoplásticos na construção civil em elementos estruturais. Neste trabalho, foi feita a 

caracterização do polietileno de alta densidade (PEAD) reciclado, por ser um dos materiais poliméricos rígidos 

mais disponíveis para reciclagem. Foi determinada a composição de amostras do material polimérico (PEAD) 

reciclado, obtidas no mercado, por meio dos ensaios termoanalíticos: calorimetria exploratória diferencial e 

análise termogravimétrica. Os resultados mostraram que o material fornecido pela empresa de reciclagem é 

isento dos contaminantes comumente encontrados nos materiais reciclados e apresenta um grau de pureza 

bastante significativo. A determinação das propriedades mecânicas por meio dos ensaios de tração, de 

compressão, de flexão e de impacto Izod finalizou o estudo do material analisado. Nesses ensaios, a resistência 

obtida foi próxima dos valores encontrados na literatura, para o PEAD puro, e pouco inferior à do concreto e à 

da madeira. Entretanto, a rigidez do PEAD reciclado foi bem menor que a dos materiais de construção 

tradicionais, sendo essa sua maior deficiência. De acordo com os resultados, o PEAD reciclado pode ser 

aplicado como elemento estrutural, desde que sejam estudadas possíveis formas de controlar essa deficiência, 

como a incorporação de nervuras, a utilização de blendas poliméricas e adição de cargas minerais e de fibras de 

elevado módulo de elasticidade e resistência. 

Palavras-chave: Polímeros reciclados. Elementos estruturais. Polietileno de alta densidade reciclado. 

Resistência. Rigidez. 

RECYCLED HIGH DENSITY POLYETHYLENE CHARACTERIZATION FOR 

USE IN STRUCTURAL MEMBERS 

Abstract 

The use of thermoplastics in civil engineering has been increasing considerably in the last decades. The latter is 

due to large amount of plastic material and high cost on a production of metals and cement for reinforced 

concrete, besides the lack of wood. Recycled high density polyethylene (HDPE) was chosen due to the fact that it 

is one of the most rigid recycled polymers available on the recycling industry. In this study, recycled polymer has 

been characterized in order to determinate the recycled material composition available in the market. The 

characterization of recycled HDPE samples was made by thermo gravimetric analysis and differential scanning 

calorimetry. Consequently, mechanical properties were determinated by tensile test, compression test, flexural 

test and impact Izod. The results of thermal analysis showed that the recycled material is exempt from possible 

contaminants and has a significant pureness degree. Under tension, compression, bending and impact conditions, 

the strength was around the pure polymer and little smaller of the concrete and wood. In contrast, the stiffness 

was much lower in comparison to traditional materials, their worst characteristic. These problems could be 

overcome through the study of polymeric blends, adding high modulus and strength fibers and charges and 

adding ribs. Then the recycled polymer could be applied as a structural element. 

Keywords: Recycled polymers. Structural members. Recycled high density polyethylene. Strength. Stiffness. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, lcandian@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas - EESC-USP, dias@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 1-16, 2009

2 

Lívia Matheus Candian & Antônio Alves Dias 

1 INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 

Atualmente, projetistas e engenheiros trabalham com os plásticos porque eles oferecem 

combinações de vantagens não encontradas em outros materiais, tais como baixo peso específico, 

resiliência, resistência à deterioração por decomposição e ataque de microorganismos, resistência à 

corrosão, resistência mecânica, transparência, facilidade de processamento e baixo custo de 

manutenção. 

A utilização dos polímeros na construção civil existe há bastante tempo, porém é mais usual em 

elementos não estruturais, como, por exemplo, nas tubulações de água e de esgoto, telhas plásticas, 

calhas, esquadrias, etc. Entretanto, o alto consumo de energia na produção de metais e de cimento, a 

pressão contra a utilização da madeira tropical e o baixo custo do plástico reciclado estimularam sua 

inserção na construção civil, em estruturas que antigamente eram constituídas apenas de madeira, de 

aço ou de concreto. 

Os plásticos mais utilizados para reciclagem são constituídos basicamente por termoplásticos, 

que por sua vez são os empregados na Engenharia. Segundo Spinacé et al. (2005), dentre os 

termoplásticos, o PEAD e o PP apresentaram um aumento significativo de volume e de taxa de 

crescimento, quando comparado com o aumento do PEBD e do PS, e em relação ao PVC, que 

apresentou uma diminuição nesses valores, no período de 1982 a 2002. O PE e o PP são os 

termoplásticos mais procurados pelas empresas que atuam nesse setor, elas reciclam de 20 a 50 

t/mês, em média. 

Por meio de ensaios específicos é possível determinar as propriedades, a composição e o 

desempenho dos materiais poliméricos. Com a diversificação dos plásticos em aplicações de 

engenharia, as técnicas para caracterização dos polímeros tiveram um grande avanço nos últimos 15 

anos. 

A calorimetria exploratória diferencial, DSC, também conhecida por calorimetria diferencial de 

varredura, é uma das técnicas de análise térmica que têm sido largamente empregadas na 

caracterização de diversos tipos de materiais. 

A análise termogravimétrica, TG, no campo de materiais poliméricos, vêm sendo largamente 

empregada desde a década de 60, no desenvolvimento de diversos tipos de estudos, relacionados à 

variação de massa, em função do tempo ou da temperatura (Canevarolo, 2004). 

O objetivo principal desta pesquisa foi determinar as propriedades mecânicas de resistência e 

de rigidez de um material polimérico reciclado, constituído basicamente de polietileno de alta 

densidade (PEAD). 

2 MATERIAIS E MÉTODOS 

Para a realização dos ensaios, bem como confecção dos corpos de prova, foram utilizados os 

procedimentos da ASTM. Os ensaios foram realizados no Centro de Caracterização e 

Desenvolvimento de Materiais – CCDM, no Laboratório de Ensino da Área de Polímeros e no 

Laboratório de Análises Térmicas do Departamento de Engenharia de Materiais – DEMa, da 

Universidade Federal de São Carlos – UFSCar, e no Laboratório do Departamento de Materiais, 

Aeronáutica e Automobilística – SMM, da EESC – USP. 

2.1 Materiais utilizados 

Para estudar o polietileno de alta densidade reciclado disponível no mercado, adquiriram-se 

quatro amostras de cores distintas de péletes de PEAD reciclado, provenientes de embalagens 


Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos estruturais 

3 

moldadas a sopro. As amostras foram ensaiadas quanto à presença de possíveis contaminantes 

(Ensaio de Beilstein e Ensaio de DSC). Com base no grau de cristalinidade, obtido no ensaio de DSC, 

foram escolhidas as amostras que mais se afastam do PEAD puro (branca e verde), para se ter uma 

idéia da composição dos materiais reciclados disponíveis no mercado. 

Figura 1 – Péletes de PEAD: vermelho, azul, branco, verde. 

2.2 Calorimetria exploratória diferencial 

Para determinar a temperatura e a entalpia de fusão e de cristalização, foram utilizadas, em 

conjunto, as seguintes normas da ASTM: D 3417 (99) Standard Test Method for Enthalpies of Fusion 

and Crystallization of Polymers by Differential Scanning Calorimetry (DSC) e D 3418 (99) Standard 

Test Method for Transition Temperatures of Polymers by Differential Scanning Calorimetry. Este ensaio 

foi realizado no DEMa. 

O equipamento utilizado para realização deste ensaio foi o Perkin-Elmer Modelo DSC 7, com 

faixa de temperatura de 150ºC, configuração de fluxo de calor. Os parâmetros utilizados para 

realização do ensaio de DSC estão listados na tabela 1. 

Tabela 1 – Característica das amostras 

Peso da 

Data do ensaio Amostra amostra 

(mg) 

19-05-2006 Branca 8,06 

18-05-2006 Azul 6,83 

19-05-2006 Vermelha 8,11 

19-05-2006 Marrom 7,55 

19-05-2006 Verde 7,67 

Taxa de 

Aquecimento 

Faixa de 

Temperatura (ºC) 

(ºC/min) Início Fim 

Vazão 

(N) 

10 25 280 15 

2.3 Termogravimetria 

As curvas termogravimétricas (TG) e termogravimétricas derivadas (DTG) foram obtidas em um 

módulo termogravimétrico Hi-RES TG 2950, acoplado a um analisador térmico TA2000. A massa da 

amostra, antes e durante a realização do ensaio, foi constantemente monitorada por uma 

termobalança. Este ensaio foi realizado no Centro de Caracterização e Desenvolvimento de Materiais, 


4 


CCDM, da UFSCar. Os parâmetros utilizados para realização do ensaio de TG estão listados na 

Tabela 2. 

Tabela 2 – Característica da amostra verde, ensaio de TG 

Data do 

ensaio 

Amostra 

Peso da 

amostra 

(mg) 

07-06-2006 Verde 14,0940 

18-06-2007 Branco 10,9043 

Taxa de 

Aquecimento 

Faixa de 

Temperatura (ºC) 

(ºC/min) Início Fim 

Vazão 

(mL/min) 

10 25 600 50 

2.4 Ensaio mecânicos 

Para a fabricação dos corpos de prova, foi escolhida a extrusão. Após a extrusão, os corposde-prova 

foram usinados, para obter as dimensões prescritas pelos padrões da ASTM, procedimentos 

realizados com cuidado para não alterar as propriedades do material em estudo. 

2.4.1 Confecção dos corpos de prova 

Foi utilizada a extrusora monorrosca para termoplásticos reciclados, com capacidade de 

produção 120 kg/h. Foram confeccionados três matrizes de calibração e três calibradores, devido às 

dimensões dos corpos de prova. Para os corpos de prova de tração e de impacto, utilizou-se o mesmo 

perfil, pois eles possuem a mesma espessura. 

O equipamento utilizado para a usinagem do estreitamento da parte central do corpos de prova 

de tração foi a Frezadora Universal AZERF ASA/79 1. 

Os corpos de prova de impacto foram obtidos a partir dos corpos de prova de tração, reduzindo 

a largura com a mesma frezadora. Para a execução do entalhe, utilizou-se a fresa entalhadora para 

usinagem de corpos de prova de impacto do tipo Izod/Charpy, marca CEAST, modelo Notchvis. A 

entalhadora é motorizada, com entalhes padronizados segundo a norma ASTM D 256-04. 

2.4.2 Ensaio de tração 

O ensaio de tração foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 638 (03) Standard 

Test Method for Tensile Properties of Plastics. As dimensões do corpos de prova, como mostrado na 

figura 2, estão de acordo com o tipo I da norma referida. 

Figura 2 – Corpo de prova tipo I (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 638 – 03. 

Os ensaios de tração nos corpos de prova de PEAD foram realizados no Laboratório do Núcleo de 

Ensaios de Materiais e Análise de Falhas (NEMAT), SMM. O equipamento utilizado foi a máquina de ensaio 



5 

universal EMIC, modelo DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software 

Tesc – versão 1.13, que registrava valores de deslocamento e de força. 

2.4.3 Ensaio de compressão 

O ensaio de compressão foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 695 2(a) 

Standard Test Method for Compressive Properties of Rigid Plastics. O corpo de prova utilizado no 

ensaio de compressão possui seção cilíndrica, com altura equivalente ao dobro do diâmetro (figura 3). 

Figura 3 – Corpo de prova submetidos à compressão. 

O ensaio de compressão foi realizado no Laboratório do Núcleo de Ensaios de Materiais e 

Análise de Falhas (NEMAT) do SMM. O equipamento utilizado foi à máquina de ensaio universal 

EMIC, modelo DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software 

Tesc – versão 1.13, que registrava valores de deslocamento e de força. 

2.4.4 Ensaio de flexão 

O ensaio de flexão foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 790 (03) Standard 

Test Method for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating 

Materials. 

Para a realização deste ensaio, adotou-se o procedimento A, pois é o método utilizado quando 

se deseja obter propriedades de flexão, mesmo prevendo que o material suportaria grandes 

deslocamentos durante o ensaio, situação em que é mais indicado o procedimento B. 

De acordo com a tabela 3 da ASTM D 790 (03), foram definidos os seguintes parâmetros para o 

corpo-de-prova de flexão. 

Tabela 3 – Característica dos corpos de prova de flexão 

Altura 

6,4 mm 

Largura 

(mm) 

Comprimento 

(mm) 

L/d = 16 

Distância 

entre apoios 

(mm) 

Vão da carga 

(mm) 

12,7 127 102 51 


6 


Figura 4 – Corpo de prova mais usual para o ensaio de flexão (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 790 – 03. 

O ensaio de flexão foi realizado no Laboratório do Núcleo de Ensaios de Materiais e Análise de 

Falhas (NEMAT) do SMM. O equipamento utilizado foi à máquina de ensaio universal EMIC, modelo 

DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software Tesc – versão 1.13, 

que registrava valores de deslocamento e de força. 

2.4.5 Ensaio de impacto 

O ensaio de impacto Izod foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 256-04 

Standard Test Method for Determining the Izod Pendulum Impact Resistence of Plastics, que se refere 

aos corpos de prova providos de entalhe. A energia de ruptura dos polímeros ao impacto pode ser 

quantificada em termos de joule por metro (J/m) e/ou kilojoule por metro quadrado (J/m 2 ). 

Figura 5 – Corpo de prova provido de entalhe (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 256 – 04. 

Após 24 horas da execução do entalhe, tempo de condicionamento, foram realizados os ensaios de 

Impacto Izod nos corpos de prova de PEAD, no Laboratório do DEMa. O equipamento utilizado foi a 

máquina de impacto instrumentada, marca CEAST, modelo RESIL 25R, provida de um martelo que 

liberou uma energia de 2 J. A perda de energia do pêndulo por atrito corresponde a 0,024 J. O método 

de ensaio escolhido foi o tipo A da norma consultada. 

3 DESENVOLVIMENTO 

Primeiramente, realizou-se o ensaio de identificação de halogênio (Beilstein), para evitar 

possíveis danos aos equipamentos durante a realização dos ensaios termoanalíticos e detectar a 

possível contaminação com poli (cloreto de vinila). Ele foi complementado pelo ensaio termoanalítico 

DSC, a fim de verificar se havia a presença de possíveis contaminantes, nas amostras de PEAD 

reciclado. Logo após, foram escolhidas as amostras que mais se afastavam do polietileno de alta 

densidade puro, com base no grau de cristalinidade, e realizada a TG, para se ter uma idéia da 

composição dos materiais reciclados disponíveis no mercado. Para essas amostras, foram 

determinadas as propriedades mecânicas do PEAD reciclado, por meio dos ensaios de: tração, 

compressão, flexão estática e impacto. 



7 

3.1 Ensaios termoanalíticos 

No ensaio de DSC, as amostras foram submetidas a uma atmosfera de gás nitrogênio super 

seco, para manter constante a composição da atmosfera do forno. A vazão contínua foi mensurada por 

meio da pressão obtida por um manômetro, por isso ela foi fornecida em Newton (N), já que o 

equipamento utilizado não era provido de fluxômetro. Entretanto, na maioria dos equipamentos de 

DSC, a vazão varia entre 10 a 50mL/min. 

Os resultados dos ensaios: temperatura de fusão cristalina (TM), entalpia de fusão (ΔH), 

temperatura no início da fusão (Tonset) e grau de cristalinidade (χ), bem como as curvas de DSC, 

foram fornecidos por um software acoplado ao calorímetro diferencial de varredura. 

Antes de realizar o ensaio de TG, o equipamento foi calibrado com uma amostra de alumínio, 

como referência. A calibração do equipamento é feita por meio da temperatura correspondente ao 

início da fusão (Tonset), que é em torno de 645ºC, e é obtida pela tangente ao pico da temperatura de 

decomposição da curva DTG. 

3.2 Ensaios mecânicos 

Os ensaios mecânicos foram realizados em ambiente climatizado com temperatura em torno de 

23ºC e umidade de 50%, seguindo os padrões normativos. Foram ensaiados 10 corpos de prova, para 

cada tipo de ensaio, tração, compressão, flexão e impacto, e para cada tipo de coloração de pélete: 

verde e branco. 

3.2.1 Ensaio de tração 

Metade dos corpos de prova (cinco fabricados com o pélete verde e cinco com o branco) foram 

ensaiados com velocidade de deslocamento de 5 mm/min, apenas para medir o módulo de 

elasticidade. O deslocamento foi quantificado por meio de um extensômetro eletrônico EMIC, modelo 

EEPA, com base de medida de 50 mm, posicionado na região central do corpo de prova. O resultado 

obtido corresponde à tensão e à deformação nos pontos 0,05% e 0,25% de deformação, segundo a 

ISO 527-1. 

Os demais corpos de prova foram submetidos a uma velocidade de deslocamento de 50 

mm/min para determinação da tensão e da deformação no escoamento, tensão e deformação na 

ruptura e alongamento na ruptura. O deslocamento foi obtido com a utilização de um transdutor 

indutivo de deslocamento, acoplado á máquina. O ensaio foi conduzido dessa maneira, pois a ASTM D 

638 – 03 exige que o módulo seja obtido à velocidade de 5 mm/min, já para os demais parâmetros não 

há essa exigência, e sim que a duração dos ensaios esteja entre ½ e 5 minutos. 

3.2.2 Ensaio de compressão 

Todos os corpos de prova de PEAD, dez de coloração verde e dez de coloração branca, foram 

submetidos a uma velocidade de deslocamento de 1,3 mm/min. Os deslocamentos foram obtidos com 

a utilização de um transdutor de deslocamento acoplado à máquina de ensaio universal EMIC. 

Devido às dificuldades encontradas durante o processo de moldagem, obtiveram-se corpos de 

prova de compressão com seções transversais diferentes das dimensões prescritas pela ASTM D 695 

2(a), 12,7mm de diâmetro. Por esse motivo, utilizou-se um estéreo microscópio Carlzeiss, modelo 

Citoval II, acoplado a um aquisitor digital de imagem, para obter as seções transversais dos corpos de 

prova, que foram quantificadas com a utilização de um software de analisador de imagem digital, 

Image Pró Pluss – versão 4.5. 


8 


3.2.3 Ensaio de flexão 

A velocidade de ensaio e o deslocamento máximo, para todos os corpos de prova de PEAD, dez de 

coloração verde e dez de coloração branca, foi 2,8 mm/min e 3,55 mm respectivamente. Esses 

parâmetros foram obtidos por meio das equações 1 e 2 da ASTM 790-03, admitindo a deformação máxima 

permitida de 5%, e a taxa de deformação de 0,01 mm/mm/min, na superfície oposta ao carregamento. 

O raio das superfícies em contato com o corpo de prova foi de 3,42 mm, dentro do limite 

permitido pela norma referida. 

O deslocamento máximo foi obtido com a utilização de um transdutor de deslocamento, acoplado à 

máquina de ensaio universal EMIC. 

3.2.4 Ensaio de impacto 

Foram ensaiados dez corpos de prova fabricados com o pélete de cor verde e dez fabricados 

com o pélete de cor branca. A energia de impacto, expressa em J/m e/ou kJ/m 2 , foi obtida por meio da 

energia utilizada para romper o corpo de prova. Ela foi registrada no mostrador eletrônico da máquina 

de impacto instrumentada CEAST. 

4 RESULTADOS OBTIDOS E ANÁLISE 

4.1 Ensaio de Beilstein 

O ensaio de Beilstein não detectou vestígio de contaminação com poli (cloreto de vinila) (PVC) 

em todas as amostras: branca, azul, vermelha, marrom e verde. Isto pode ser comprovado pela 

permanência da coloração amarela da chama. 

4.2 Calorimetria exploratória diferencial 

As curvas de DSC, obtidas para as cinco amostras de PEAD, estão ilustradas na Figura 6. 

A tabela 4 apresenta os resultados obtidos para todas as amostras, isto é, temperatura de 

fusão cristalina (T M ), entalpia de fusão (ΔH), temperatura no início da fusão (T onset ) e o grau de 

cristalinidade (χ). 

As curvas de DSC obtidas para todas as amostras apresentam apenas um pico de fusão, que 

varia entre 129,8 ºC (amostra marrom) e 135,5 ºC (amostra branca). A presença de um único pico de 

fusão na temperatura de fusão do PEAD, em torno de 137ºC Sichieri (1996 apud, Silva 2003), 

comprova a isenção de possíveis contaminantes, como PET e PP. O formato do pico de fusão está 

bem definido para todas as curvas de DSC, comprovando que o material fornecido pela Reciclagem 

Nova Ribeirão é bastante uniforme, mesmo apresentando variação na coloração. 

Devido à uniformidade das amostras, escolheu-se apenas o PEAD verde e o branco para 

determinar a composição por meio do TG e realizar os ensaios mecânicos. Esta escolha se deu por 

eles apresentarem um grau de cristalinidade mais distante do PEAD puro, entre 75 a 95 % 

(Canevarolo, 2004), isto é, foram utilizados os materiais reciclados de pior qualidade, com o intuito de 

não obter características de resistência superiores às dos materiais disponíveis no mercado. 



9 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

Figura 6 – Curvas obtidas nos ensaios de DSC das amostras de PEAD das cores: (a) branca, (b) azul, (c) 

marrom, (d) verde e (e) vermelha. 

Tabela 4 – Resultados do ensaio de DSC 

Amostra T M (ºC) ΔH (J/g) T onset (ºC) χ (%) 

Branca 135,5 160,7 123,9 55 

Azul 130,9 182,4 122,4 62 

Vermelha 130,6 172,8 122,3 59 

Marrom 129,8 170,5 122,6 58 

Verde 131,4 148,2 123,5 51 


10 


4.3 Termogravimetria 

O resultado desta análise térmica é mostrado sob a forma de um gráfico relacionando a massa 

residual com a temperatura, figura 7. 

(a) 

(b) 

Figura 7 – Curvas TG (_ _ _) e DTG (_____): (a) amostra PEAD verde sob atmosfera dinâmica de N2. Massa da 

amostra 14,0940 mg, vazão de gás 50 ml/min, suporte da amostra de alumina, razão de aquecimento 10ºC/min; 

(b) amostra PEAD branca sob atmosfera dinâmica de N2. Massa da amostra 10,9043 mg, vazão de gás 50 

ml/min, suporte da amostra de alumina, razão de aquecimento 10ºC/min. 

As amostras de PEAD verde e branco apresentaram comportamentos semelhantes. Por isso, 

os resultados serão apresentados simultaneamente. A amostra verde (e a branca) não apresenta 

mudança em sua massa até a temperatura de 290ºC (e 320 ºC). A partir dessa temperatura, observase 

uma diminuição acentuada de sua massa inicial, até por volta de 510ºC (520ºC). Nesse intervalo de 

temperatura, a amostra perde 98,23% (97%) de sua massa inicial, devido à decomposição/degradação 

do polímero. A temperatura de decomposição do polímero, medida no pico da curva DTG, é de 

480,8ºC (481ºC). Entre 510ºC e 600ºC (520ºC e 600ºC), a curva TG exibe um patamar, onde não há 

perda significativa de massa. O teor de resíduos estáveis a 600ºC é de 1,77 % (3%), que equivale a 

0,25 mg (0,33mg) da amostra utilizada. 

Essa pequena porcentagem de resíduos, tanto na amostra de PEAD de coloração verde quanto 

na amostra de coloração branca, pode corresponder à pigmentação inorgânica ou a um aditivo 

lubrificante. Elas não são significativas, pois em uma resina virgem, sua pigmentação pode 

corresponder a até 3% da massa. 

4.4 Extrusão 

Os corpos de prova obtidos da extrusão apresentaram alguns defeitos como “rechupes” e 

bolhas. Esses defeitos ocorreram devido às dificuldades encontradas durante a extrusão do PEAD 

reciclado. Segundo Osorio 3 (2007), as principais dificuldades encontrada podem ter sido decorrentes 

de (informação verbal): 

• Utilização de polietileno não adequado. Foi empregado PEAD para moldagem a sopro, que é 

mais apropriado para a extrusão de perfis vazados com paredes finas ou perfis de pequena 

espessura, como no caso dos corpos de prova de tração. 

3 Informação fornecida por Luciano Souza Osorio, em São Carlos, em 2007. 



11 

• A porosidade apresentada nas faces cortadas dos corpos de prova pode ser proveniente de 

umidade; provavelmente, este aspecto poderia ser melhorado aquecendo o material no 

aglutinador, antes de ser colocado no silo de alimentação; 

• A rosca utilizada não possui características propícias ao material empregado. Deveria possuir 

diâmetro menor, em torno de 30 mm, para se conseguir maior produção. O aumento da 

produção corresponde a um menor tempo de material no canhão, aquecendo menos e 

resfriando mais rápido, ao entrar no sistema de resfriamento; 

• Outra característica da rosca que dificultou a extrusão do polietileno foi o diâmetro interno 

constante, isto é, a taxa de compressão utilizada foi de 1 para 1. O ideal seria possuir taxa de 

compressão em torno de 3,5 para 1. Nesse caso, haveria maior compactação do material, 

diminuindo-se a porosidade, já que os gases gerados no aquecimento voltariam à entrada da 

extrusora, evitando a formação de bolhas. 

4.5 Ensaios mecânicos 

A Tabela 5 apresenta uma compilação de todos os resultados obtidos em ensaios mecânicos, 

tais como: tração, compressão, flexão em três pontos e impacto. Todos os valores médios com seus 

respectivos desvios padrões se referem a 10 corpos de provas ensaiados em sua respectiva condição. 

Tabela 5 – Propriedades mecânicas das amostras de PEAD branca e verde 

Parâmetros mecânicos 

PEAD - Branco 

Resultados 

PEAD - Verde 

TRAÇÃO 

Tensão no escoamento (MPa)* 21,85 ± 0,37 22,24 ± 0,66 

Deformação no escoamento (mm/mm) 0,168 ± 0,008 0,170 ± 0,009 

Tensão na ruptura (MPa) 14,15 ± 0,28 ** 15,36 ± 0,92 

Deformação na ruptura (mm/mm) > 6,54 ± 0,15 4,38 ± 2,95 

Alongamento na ruptura (%) > 654 ± 15 438 ± 295 

Módulo de elasticidade tangente (MPa) 598 ± 8 547 ± 11 

COMPRESSÃO 

Resistência (MPa)*** 26,20 ± 1,19 28,72 ± 2,72 

Tensão no escoamento (MPa) 14,11 ± 0,63 14,25 ± 0,87 

Deformação no escoamento (mm/mm) 0,041 ±0,003 0,049 ± 0,007 

Tensão de escoamento deslocada (MPa) 16,84 ± 0,52 16,69 ± 0,71 

Módulo de elasticidade (MPa) 300 ± 20 245 ± 34 

Resistência (MPa) 26,20 ± 1,19 28,72 ± 2,72 

FLEXÃO 

Força máxima correspondente a 5% de 

deformação (N) 

48 ± 2 72 ± 2 

Módulo de Elasticidade Tangente (MPa) 805 ± 25 719 ± 23 

Resistência correspondente a 5% de 

deformação (MPa) 

17,64 ± 0,35 18,73 ± 0,37 

IMPACTO 

Resistência (J/m) 137,3 8,3 

Resistência (kJ/m 2 ) 13,2 0,8 

* A tensão máxima ocorreu no escoamento. 

** Ensaio foi interrompido, pois foi atingido o final do cursor da máquina. 

*** Tensão máxima 

Em relação aos parâmetros obtidos nos ensaios de tração, ressalta-se que o PEAD reciclado 

possui um comportamento dúctil, devido aos valores elevados de deformação e/ou alongamento antes 


12 


da ruptura dos corpos de prova. A estricção inicia-se quando é atingida a tensão máxima, e prolongase 

por toda a extensão do corpo de prova, com seção reduzida, pois o material apresenta 

comportamento de estiramento a frio. Segundo Agnelli (2005) no PEAD, geralmente a tensão na 

ruptura é superior à tensão no escoamento, proveniente de uma orientação molecular intensa, 

informação verbal. Esse comportamento evidencia que a orientação molecular não é tão intensa para o 

PEAD testado. 

Os corpos de prova de tração de PEAD branco apresentaram um comportamento bastante 

uniforme, pois atingiram o alongamento conforme a norma ASTM D638-03, deformando até o final do 

cursor da máquina universal de ensaios. Entretanto, os corpos de prova de coloração verde 

apresentaram valores de alongamento na ruptura bastante distintos, fato este corroborado pelo 

elevado valor do desvio padrão. 

Os resultados obtidos em ensaios de compressão apresentam que o módulo de elasticidade da 

amostra branca foi maior que o da verde, devido a primeira ter maior grau de cristalinidade. 

Os ensaios de flexão a 3 pontos foram concluídos para a deformação máxima de 5%, posto 

que a ruptura não ocorreu antes dessa deformação. 

Considerando o desvio padrão, o PEAD de coloração branca apresentou menor valor de 

energia de impacto, conforme esperado, pois a resistência de impacto diminui com o aumento do grau 

de cristalinidade, indicado na Tabela 4. O PEAD reciclado apresentou resistência ao impacto Izod 

muito próximo do valor encontrado para o PEAD puro comprovando que a resistência ao impacto não 

foi influenciada pelas inúmeras variáveis que geralmente interferem no ensaio de impacto como grau 

de cristalinidade, temperatura de moldagem, velocidade de ensaio, etc. 

Todos os corpos de prova ensaiados resultaram em ruptura completa. A resistência ao impacto 

Izod não deve ser considerada separadamente para quantificar a resistência mecânica do material, 

pois existem polímeros que são sensíveis ao entalhe, porém possuem elevadas propriedades 

mecânicas como, por exemplo, o nylon e o poliacetal, Dalfré (2007). 

Para comparação de propriedades do PEAD, foram escolhidos o concreto e a madeira (Tabela 

6). O primeiro por ser o material estrutural mais empregado na construção civil, e a madeira, por ser o 

material tradicionalmente usado em aplicações para as quais se pretende utilizar os polímeros 

reciclados, tais como mourões, cruzetas, dormentes, etc. 

Tabela 6 – Valores médios do PEAD, do concreto e da madeira 

Material 

Resistência à compressão 

(Mpa) 

Módulo de Elasticidade 

(MPa) 

PEAD virgem 17 (i) 1040 (ii) 

PEAD reciclado branco 26,20 805 

Concreto 32 (iii) 23800 (iv) 

Madeira Eucalyptus 

grandis 

40,3 12813 (v) 

(i) Fonte: www.planetaplastico.com.br/litera/prop_fisicas. 

(ii) 

Módulo de elasticidade à flexão. Fonte: http://www.ipq.com.br/index.php 

?secao=catalogo&resina=pead&processo= 9&produto=10. 

(iii) Concreto Classe C25 e desvio padrão de 4 MPa. Fonte: NBR 12655 (1996). 

(iv) Módulo de elasticidade secante (Ec = 0,85 x 5600 fck 1/2 ). Fonte: NBR 6118 (2003). 

(v) Módulo de elasticidade à compressão. Fonte: NBR 7190 (1997). 



13 

Considerando que a resistência à compressão do PEAD reciclado corresponde a 82% do 

concreto e a 65% da madeira, uma possível aplicação do PEAD reciclado seria em elementos 

estruturais robustos submetidos à compressão, como coluna para marinas. Porém, em relação ao 

módulo de elasticidade, o PEAD reciclado representa uma porcentagem muito pequena com relação 

ao concreto e à madeira, e, portanto, sua rigidez precisa ser majorada. 

Nos materiais poliméricos, o módulo de elasticidade à compressão gira em torno de 1,1 vezes o 

módulo de elasticidade à flexão, (Nielsen, 1994). Utilizou-se o módulo de elasticidade à flexão do 

PEAD reciclado para comparar com o concreto e com a madeira, devido ao ensaio de compressão ter 

sido prejudicado pelas dimensões dos corpos de prova. 

Essa deficiência pode ser aprimorada pela adição de cargas minerais e fibras de elevado 

módulo e resistência mecânica ou com a utilização de blendas poliméricas. Conforme apresentado na 

Tabela 7, os materiais reforçados com fibras de vidro apresentam um módulo de elasticidade muito 

superior, quando comparados com os materiais sem reforço. Aumentando assim a rigidez e a 

resistência à tração e à compressão na ruptura, o PEAD pode ser equiparado com os materiais 

estruturais empregados na construção civil. Na Tabela 8, pode-se perceber também que a resistência 

à tração e à compressão é bastante maior para os materiais com reforço. Além disto, a incorporação 

de fibras poliméricas e cargas na matriz também promovem o aumento da estabilidade dimensional. 

Tabela 7 – Módulo de elasticidade típico (à temperatura ambiente) [7] 

Material 

Módulo de 

Elasticidade (GPa) 

Compostos grafite-epóxi 280 

Aço 210 

Alumínio 70 

Epóxi reforçado com fibra de vidro 40 

Poliéster reforçado com fibra de vidro 14 

Nylons reforçado com 30% de fibra de vidro 10 

Acrílicos 3,5 

Resinas epóxi 3,1 

Acetal copolímero 2,9 

Polietileno de alto peso molecular 0,7 

Tabela 8 – Valores médios de propriedades mecânicas de alguns materiais [3] 

Material 

Tensão à tração 

na ruptura (MPa) 

Tensão à 

compressão na 

ruptura (MPa) 

Aço para construção civil ≥ 370 370 

Concreto 1,5 – 3,5 20 – 40 

Plástico rígido não reforçado 10 – 150 7 – 200 

Plásticos reforçados 200 –1000 150 – 500 

A incorporação de nervuras ou costelas de reforço é uma alternativa que pode contribuir no 

aumento da rigidez e da resistência mecânica do PEAD, (Dalfré, 2007). Porém deve-se ter cuidado 

com as espessuras das costelas de reforço, pois, conforme discutido anteriormente, a extrusão do 

PEAD é indicada apenas para perfis de paredes finas, por ele ter baixa rigidez e um processo de 

resfriamento muito lento. 


14 


5 CONCLUSÕES 

Constatou-se que os materiais reciclados não diferem muito entre si, mesmo possuindo 

coloração bastante distinta, pois todas as amostras são isentas dos contaminantes comumente 

encontrados nos materiais reciclados, como PVC, PET e PP. 

Pode-se comprovar também, por meio do ensaio de TG, que o PEAD reciclado é praticamente 

puro. A porcentagem de resíduos inorgânicos, que não é significativa, pode corresponder à 

pigmentação inorgânica ou algum aditivo. 

As dificuldades encontradas no processamento do PEAD foram as principais responsáveis 

pelas diferenças das propriedades mecânicas entre o PEAD puro e o reciclado. Portanto, com material 

e equipamento apropriado, além de diminuir a porosidade, poderia ser utilizada menor temperatura 

durante o processamento dos corpos-de-prova, resfriando mais rápido e evitando a ocorrência de 

bolhas e “rechupes”, obtendo também maior produção. 

O PEAD reciclado possui um comportamento dúctil quando submetido à tração e à 

compressão. Devido a esse comportamento quando ensaiado à tração, ele apresenta características 

típicas do material virgem, baixo módulo de elasticidade, baixa tensão de escoamento, porém elevada 

elongação. Além disso, apresenta o comportamento de estiramento a frio. Porém a tensão à tração na 

ruptura do corpo de prova é inferior à tensão à tração no escoamento, devido a sua orientação 

molecular não ser intensa. 

Como o material não rompeu até a deformação máxima permitida, 5%, no ensaio de flexão, a 

resistência obtida corresponde a essa deformação. 

O PEAD reciclado apresentou resistência ao impacto Izod muito próximo ao valor obtido na 

referência, para o PEAD puro. Comprovando que a resistência ao impacto não foi influenciada pelas 

inúmeras variáveis que geralmente interferem no ensaio de impacto. Todos os corpos-de-prova 

ensaiados resultaram em ruptura completa. 

O módulo de elasticidade do PEAD branco foi maior que o verde, para os ensaios de tração, de 

compressão e de flexão, pois nesses ensaios o módulo aumenta com o grau de cristalinidade. 

Entretanto, a resistência ao impacto tem o comportamento oposto, por isso que o PEAD branco 

apresentou menor valor de energia de impacto quando comparado ao PEAD verde, considerando o 

desvio padrão. 

Conforme previsto para os materiais termoplásticos, o módulo de elasticidade de flexão foi 

maior que o módulo de elasticidade de tração. Entretanto, o módulo de elasticidade de compressão 

fugiu dos padrões, pois foi menor que o módulo de flexão e até mesmo que o módulo de tração. 

Entretanto, ambos os módulos de elasticidade, à tração e à compressão, comparados com o módulo à 

flexão, estão distantes da referência bibliográfica (Nielsen; Landel, 1994). Entretanto, diferença do 

módulo à tração, quando comparado ao módulo à flexão, é muito pequena, em torno de 7% para os 

corpos-de-prova brancos. Já para os corpos-de-prova submetidos à compressão, essa diferença é 

significativa, fato que pode ter ocorrido devido às dimensões dos corpos-de-prova de compressão 

estarem distantes das prescrições normativas, além da presença de bolhas e de “rechupes”. 

A resistência à compressão do PEAD reciclado não é muito pequena, quando comparada com 

a resistência do concreto e da madeira. Por isso, uma possível aplicação do PEAD seria em elementos 

estruturais robustos, submetidos à compressão. Porém, em relação à rigidez, o PEAD reciclado 

apresenta resultados muito pequenos, quando comparados aos materiais estruturais geralmente 

empregados na construção civil. Essa deficiência pode ser minorada pela adição de cargas minerais e 

fibras de elevado módulo e resistência ou com a utilização de blendas poliméricas. Além de aumentar 

também a resistência à tração e à compressão. 



15 

6 AGRADECIMENTOS 

Ao CNPq, pela concessão da bolsa de Mestrado concedida à primeira autora, à FAPESP, pelo 

auxílio financeiro que propiciou o desenvolvimento da pesquisa, ao professor Libânio Miranda Pinheiro 

que junto com a empresa IPEX, de São Carlos, confeccionaram os corpos-de-prova e aos professores, 

José augusto Marcondes Agnelli e Dirceu Spinelli, que cederam os laboratórios, DEMa – UFSCar e 

SMM – EESC/USP, viabilizando a execução dos ensaios experimentais. 

7 REFERÊNCIAS 

AGNELLI, J. A. M. Introdução a materiais poliméricos. São Carlos: Engenharia de Materiais/ DEMa/ 

UFSCar, 2005. (Notas de aula). 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D5592-94: Standard guide for material 

properties needed in engineering design using plastics, 1994. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D3417-99: Standard Test Method for 

Enthalpies of Fusion and Crystallization of Polymers by Differential Scanning Calorimetry (DSC), 1999. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D3418-99: Standard Test Method for 

Transition Temperatures of Polymers by Differential Scanning Calorimetry, 1999. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D695-02a: Standard Test Method for 

Compressive Properties of Rigid Plastics, 2002. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D638-03: Standard Test Method for Tensile 

Properties of Plastics, 2003. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D790-03: Standard Test Methods for 

Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating Materials, 2003. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D256-04: Standard Test Methods for 

Determining the Izod Pendulum Impact Resistance of Plastics, 2004. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 12655: Concreto – Preparo, controle e 

recebimento. Rio de Janeiro, 1996. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7190: Projeto de Estruturas de Madeira. 

Rio de Janeiro, 1997. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NB 6118: Projeto de estruturas de concreto - 

Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. 


16 


BERNAL, C.; BOLDARINI, A.; BREVIGLIERI, S. T.; CAVALHEIRO, E. T. G. Influência de alguns 

parâmetros experimentais nos resultados de análises calorimétricas diferenciais – DSC. Química 

Nova, v. 25, n. 5, p. 849-855, 2002. Disponível em: 

. Acesso em 16 mar 2006. 

CANDIAN, L. M. Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos 

estruturais. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São 

Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007. 

CANEVAROLO JR., S. V. Técnicas de caracterização de polímeros. São Paulo: Editora Artliber 

ABPol, 2004. 

DALFRÉ, G. M. Cruzetas de polímeros reciclados: caracterização dos materiais, análise 

numérica e ensaios de modelos reduzidos. 2007. Dissertação (Mestrado em Engenharia de 

Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007. 

INCOMPLAST. Disponível em: . Acesso em 15 mar 2007. 

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INSTITUTO AVANÇADO DO PLÁSTICO – IAP. Disponível em: 

. Acesso em 12 fev 2006. 

IPIRANGA PETROQUÍMICA. Disponível em: 

. Acesso 

em 26 set 2007. 

MARCZAK, R. J. Polímeros como materiais de engenharia. Porto Alegre: 2004. 

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Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade 

de São Paulo, São Carlos, 2003. 

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jan./feb., 2005. Disponível em: . Acesso em 03 abr 2006. 


ISSN 1809-5860 

AVALIAÇÃO DE FORMULAÇÕES DO MEC NA MECÂNICA DA FRATURA 

LINEAR E COESIVA 

Daniane Franciesca Vicentini 1 & Wilson Sergio Venturini 2 

Resumo 

No contexto do método dos elementos de contorno, este trabalho apresenta comparativamente três formulações 

em distintos aspectos. Visando a análise de sólidos bidimensionais no campo da mecânica da fratura, 

primeiramente é estudada a equação singular ou em deslocamentos. Em seguida, a formulação hiper-singular ou 

em forças de superfície é avaliada. Por último, a formulação dual, que emprega ambas equações é analisada. 

Para esta análise, elementos contínuos e descontínuos são empregados, equações numéricas e analíticas com 

ponto fonte dentro e fora do contorno são testadas, usando aproximação linear. A formulação é inicialmente 

empregada a problemas da mecânica da fratura elástica linear e em seguida extendida a problemas não-lineares, 

especialmente o modelo coesivo. Exemplos numéricos diversos averiguam as formulações, comparando com 

resultados analíticos ou disponíveis na literatura. 

Palavras-chave: Fratura. Método dos Elementos de Contorno. Modelo dual. Mecânica da Fratura Elástica 

Linear. Modelo coesivo. 

BOUNDARY ELEMENT FORMULATIONS APPLIED TO FRACTURE 

MECHANICS 

Abstract 

In this work three boundary element formulations applied to fracture mechanics are studied. Aiming the analysis 

of two-dimensional solids with emphasis on the crack problem, the first considered method is the one based on 

using displacement equations only (singular formulation). The second scheme discussed in this work is a 

formulation based on the use of traction equations (hyper-singular formulation). Finally the dual boundary 

element method that uses singular and hyper-singular equations is considered. The numerical schemes have been 

implemented using continuous and discontinuous linear boundary and crack elements. The boundary and crack 

integral were all carried out by using analytical expressions, therefore increasing the accuracy of the algebraic 

system obtained for each one of the studied schemes. The developed numerical programs were applied initially to 

elastic fracture mechanics and then extended to analyze cohesive cracks. Several numerical examples were solved 

to verify the accuracy of each one of the studied models, comparing the results with the analytical solutions 

avaliable in the literature. 

Keywords: Fracture. Boundary Element Method. Dual boundary element method. Linear Elastic Fracture 

Mechanics. Cohesive crack model. 

1 INTRODUÇÃO 

Na nossa história são mundialmente conhecidas algumas catástrofes, como a que ocorreu 

com o Titanic ou com os navios “Liberties”, da Segunda Guerra Mundial, ou ainda com o avião a jato 

britânico Comet, em 1954, entre outras. Estas impulsionaram o estudo do comportamento de materiais 

da indústria naval e bélica, melhorando o entendimento do comportamento de certos materiais, como 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, daniane@terra.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br 


18 

Daniane Franciesca Vicentini & Wilson Sergio Venturini 

o aço, que a baixas temperaturas assume um comportamento frágil. Os estudos avançaram nesse 

sentido, dando origem ao estudo da ciência hoje conhecida por Mecânica da Fratura. 

O Método dos Elementos de Contorno (MEC), ferramenta numérica alternativa ao Método dos 

Elementos Finitos (MEF), é bastante eficiente em problemas que apresentam concentrações de 

tensões. Especialmente no caso da fratura, o emprego de soluções singulares como ponderadora 

consegue simular a presença de singularidades na ponta da fissura com maior precisão. 

Visando o uso do MEC no estudo de sólidos bidimensionais em presença de fissura, estudouse 

possíveis formulações, com o objetivo de obter melhorias tanto na qualidade das representações 

obtidas, particularmente no caso de problemas não-lineares. 

2 METODOLOGIA 

Neste trabalho, buscou-se melhorar uma ferramenta numérica para o estudo de formação e 

crescimento de fissuras. Optou-se por utilizar o método da colocação onde a equação de equilíbrio em 

sua forma integral é escrita para um ponto. Essa formulação é mais simples que outras alternativas, 

que acabam necessitando de integração dupla para originar matrizes simétricas. 

No contexto dos métodos de colocação utilizaram-se representações integrais singulares e 

hiper-singulares, isto é, a representação dos deslocamentos, sua derivada e, posteriormente, se 

empregou estas equações numa mesma análise em problemas de fratura, constituindo o MECD 

(Método dos Elementos de Contorno Dual), buscando assim melhorar a precisão do sistema de 

equações principalmente em problemas não-lineares, e mais especificamente o da fratura coesiva. 


Objetivando um estudo das formulações do MEC para a análise do problema de fratura de 

meios contínuos planos, inicialmente implementou-se a formulação singular, hiper-singular e a dual do 

método (que emprega as equações singular e hiper-singular). Para a confrontação dos resultados e 

análise da eficiência de cada um desses procedimentos as equações algébricas dessas formulações 

foram obtidas com o emprego de integrações analíticas dos elementos da fissura. As formulações, 

inicialmente escritas para a Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) foram extendidas à análise 

com a inclusão do modelo coesivo (cohesive crack model). 

3.1 O Método dos Elementos de Contorno (MEC) 

A equação diferencial de um problema elástico definido no dominio Ω , com contorno Γ é 

representada pela equação de equilíbrio: 

σ + = (1) 

ij, j 

bi 

0 

onde σ 

ij 

representa a componente do tensor de tensões e b 

i 

as componentes de forças volumétricas. 

u 

No contorno Γ=Γ 

1+Γ 2 

tem-se os seguintes valores prescritos: em Γ 1 

os deslocamentos 

i 

= ui 

e em 

2 

Γ as forças de superfície pi = pi 

. 

A Equação (1) pode ser resolvida analiticamente para um domínio infinito e carga unitária em 

um ponto qualquer “s”. A solução em termos de deslocamento para esse caso calculada em um ponto 

“q” qualquer do domínio (solução fundamental) é: 



19 

* 1 

u = ij ( 3 4ν) ln( r) 

δij r, ir, 

j 

8πG 

1 ν ⎡ ⎣ − − + ⎤ ⎦ 

( − ) 

(2) 

* 

σ 

ilk 

e 

* 

A partir dessa solução pode-se encontrar os demais valores fundamentais do problema: ε 

ilk 

, 

* 

p 

i 

(componentes de deformação, tensão e força de superfície relativa à superfície Γ ). 

A formulação das representações integrais para chegar-se ao MEC pode ser obtida 

diretamente do teorema da reciprocidade de Betti: 

∫σ ε dΩ= ∫ σ ε dΩ 

(3) 

Ω 

* * 

ilk lk ilk lk 

Ω 

onde os termos com (*) referem-se à solução fundamental e os demais representam um problema 

real. 

Integrando esta equação por partes e após várias operações, chega-se à representação 

integral dos deslocamentos: 

∫ ∫ ∫ (4) 

cu = u pdΓ− pudΓ+ ubdΩ 

* * * 

ik k ik k ik k ik k 

Γ Γ Ω 

onde c 

ik 

é um termo dependente apenas da geometria do contorno (para pontos internos por 

exemplo, cik 

= δik 

- delta de Kronecker, para pontos externos c 

ik 

= 0 , etc.) 

Essa equação integral pode ser utilizada para representar uma fissura. Para isto basta que o 

contorno Γ seja composto da parte externa Γ 

C 

mais a parte correspondente às faces da fratura. Γ 

F 

, 

com Γ=Γ 

C 

+Γ 

F 

. 

Diferenciando-se a Eq. (4), a fim de obter a representação das deformações, utilizando-se a lei 

de Hooke para a obtenção da equação em tensões, levando-se o ponto fonte para o contorno e 

aplicando-se a fórmula de Cauchy, chega-se à equação integral de forças de superfície para um ponto 

de contorno: 

1 

2 

∫ ∫ (5) 

p = n σ =−n S u dΓ+ n D p dΓ 

i j ij j kij k j kij k 

Γ 

Γ 

Discretizando-se as Eq. (4) ou Eq. (5), aproximando-se os valores do contorno e da fratura, 

chega-se ao seguinte sistema algébrico (as variáveis são nodais, tanto dos deslocamentos quanto das 

forças de superfície): 

⎡H H ⎤ ⎡G G ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢H H ⎥ ⎢G G ⎥ 

⎢H H ⎥ ⎢G G ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

U U U U 

CC CF CC CF 

U U ⎧UC⎫ U U ⎧PC⎫ 

FC FF ⎨ ⎬= 

FC FF ⎨ ⎬ 

U 

P P ⎩ F⎭ P 

P P ⎩ F⎭ 

FC FF FC FF 

(6) 

onde o índice C é referente ao contorno e o F à fratura. O primeiro índice refere-se ao ponto de 

colocação e o segundo à variável. 

Tanto a equação singular em deslocamentos (que é a usual em elementos de contorno, 

aplicada em diversos problemas elásticos) – Eq. (4), quanto a equação em forças de superfície – Eq. 


20 


(5), podem ser utilizadas separadamente para escrever as relações algébricas da Eq. (6), porém 

dentro de determinados limites. Por exemplo, se as faces da fissura estão muito próximas, ou seja, a 

abertura da fissura tendendo a zero, a equação integral escrita para pontos opostos das faces serão 

idênticas e, portanto o sistema de equações algébricas correspondentes é singular. Assim é 

necessário manter um espaçamento mínimo entre as faces da fratura. 

Uma maneira simples, porém limitada, para uso dessa equação é para o caso particular de 

fratura na linha de simetria. Esta utilização apresenta grandes limitações de uso, não sendo aplicável 

ao estudo de propagação. 

O modelo dual, Portela et al. (1993), propõe a utilização das Eq. (4) e Eq. (5) 

simultaneamente, cada uma aplicada aos pontos singulares de uma das faces da fissura. Nos pontos 

de colocação do contorno qualquer uma poderia ser utilizada. 

Entretanto em problemas usuais verifica-se que a Eq. (4) leva a melhores resultados. 

3.2 Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) 

A MFEL tem ampla aplicação em materiais de comportamento frágil, onde praticamente não 

ocorre deformação plástica antes e durante o processo de surgimento de fissuras. 

Um sólido com uma fratura pode apresentar um ou mais dos seguintes modos de deformação: 

Figura 1 – Modos de deformação. 

Quando o sólido apresenta um ou mais destes modos básicos, diz-se que apresenta modo 

misto de deformação. 

Considere a Figura 2 abaixo: 



21 

Figura 2 – Obtenção dos fatores de intensidade de tensão e do ângulo de propagação. 

A distribuição de tensões em um elemento infinitesimal próximo à ponta da fissura (Broek, 

1984) é dada por: 

K 

σ 

ij 

( r, 

θ ) = f 

ij 

( r, 

θ ) 

2πr 

, 

i, j =1,2 

(7) 

onde r é a distância do elemento infinitesimal (distância muito pequena; esse é o primeiro termo da 

série de Taylor utilizada para a expansão da solução exata) à ponta da fissura e θ o ângulo indicado 

na Figura 2. f ij 

( r, 

θ ) são funções trigonométricas conhecidas e K é a constante conhecida por Fator 

de Intensidade de Tensão (FIT), e é obtida pela relação: 

K = yσ 

πa 

(8) 

onde y é uma função que depende da geometria do corpo, lugar da fissura e carregamento. 

Vários trabalhos propõem métodos para obtenção dos fatores de intensidade de tensão e 

ângulo de propagação da fratura. Para os fatores de intensidade de tensão, a integral J é um dos mais 

consolidados, consistindo na integração ao redor da fissura, quantificando a taxa de energia 

disponibilizada para o fraturamento. Anderson (1995), Blandford et al. (1981), Fett e Munz (1997), 

Martinez e Dominguez (1984) apresentam algumas das técnicas existentes para extração dos Fatores 

de Intensidade de Tensão. 

Por simplicidade, neste trabalho optou-se por utilizar os procedimentos que serão descritos 

nos próximos itens. 

3.2.1 Fator de intensidade de tensão 

De acordo com Aliabadi e Rooke (1992), o campo de deslocamentos nas superfícies da 

fissura pode ser representado por: 


22 


κ + 1 r 

COD = u 

2 

( θ = π ) − u 

2 

( θ = −π 

) = K 

(9) 

I 

G 2π 

O lado esquerdo desta equação é chamado COD (Crack Opening Displacement) e indicará a 

dimensão da abertura total equivalente ao modo I de abertura (Figura 2). Analogamente, há o termo 

que caracteriza o deslocamento das faces por modo II, quando ocorre o deslizamento ou cisalhamento 

entre as faces. Este termo é chamado CSD (Crack Sliding Displacement): 

onde 

( κ + 1 r 

CSD = u1 θ = π ) − u1( 

θ = −π 

) = K 

(10) 

II 

G 2π 

(3 −ν 

) 

κ = 

(1 + ν ) 

e 

κ = ( 3 − 4ν 

) 

(11) 

para Estado Plano de Tensão (EPT) e de Deformação (EPD), respectivamente. 

Após algumas operações algébricas, é possível obter os fatores de intensidade de tensão, K I 

e K II . Para o EPT tem-se: 

K I 

E 

= COD 

8 

2π 

r 

e 

K II 

E 2π 

= CSD 

(12) 

8 r 

Enquanto que para o EPD tem-se: 

K I 

G 

= COD 

4(1 

−ν 

) 

2π 

r 

e 

K II 

= G 2π 

CSD 

4(1 

−ν 

) r 

(13) 

Estes valores podem ser calculados para um r coincidente com alguns nós da fissura. 

Outra técnica bastante simples, apresentada em París e Cañas (1997), baseada nas tensões 

em frente à fissura, foi também empregada. Neste trabalho será apresentado um procedimento 

análogo, mas para os COD obtidos nos nós ao longo da fissura. Partindo da Eq. (12), para o modo I, a 

técnica propõe a aplicação da função logarítmica a ambos os lados desta equação e o agrupamento 

dos valores constantes: 

⎛ 8 ⎞ 

ln ln ⎜ 

I ⎟ 0,5ln 

⎝E 

2π 

⎠ 

( COD) = K + ( r) 

(14) 

Os valores de (COD), obtidos pelo MEC em diversos nós são plotados em um gráfico em 

função da distância (r) à ponta da fissura, onde se observa que nos pontos localizados muito próximos 

à ponta ocorre um erro numérico, devido à presença da singularidade. 

Fazendo um gráfico (ln COD) por (ln r), selecionou-se uma região com os pontos onde a 

resposta era admissível (comparada com a analítica). 

A Equação (14) pode assim ser reescrita: 

ln COD = b + mln 

r 

(15) 



23 

Portanto, utilizando-se os valores obtidos para vários pontos pode-se determinar a reta que 

melhor representa a Eq. (15) e assim pode-se ajustar uma linha de tendência. O valor de m é obtido 

pela inclinação da reta e a partir dessa aproximação uma resposta estimada para o fator de 

intensidade de tensão pode ser obtida. 

3.2.2 Direção de propagação 

O Critério da Máxima Tensão Principal (CMTP), adotado neste trabalho, postula (Erdogan e 

Sih, 1963) que a propagação ocorrerá na direção perpendicular à máxima tensão principal. Desta 

forma, é gerado automaticamente um conjunto de pontos ao redor da fissura e a cada um destes é 

avaliado o estado tensional girado em seus respectivos ângulos, obtendo-se assim a tensão principal 

em cada um (equivalente à tensão circunferencial, em coordenadas polares), como mostra a Figura 2. 

Após este processo, a posição do ponto com a máxima tensão principal indicará a direção ou ângulo θ 

de propagação. O raio ( r ) será o tamanho do incremento ( Δ a ). 

Pela MFEL a propagação ocorrerá se o valor estimado de K 

I 

superar um valor crítico, K 

IC 

(EPD) e K 

C 

(EPT). 

Para o modelo coesivo a propagação ocorrerá se a tensão obtida pelo CMTP ultrapassar a 

tensão resistente do material em tração, f ' . 

t 

3.3 Modelo coesivo 

O modelo coesivo, que originou-se inicialmente dos clássicos trabalhos de Barenblatt (1962), 

Dugdale (1960) e Hillerborg et al. (1976) é um modelo não-linear de fraturamento que estabelece que 

a zona de processo de fratura pode ser modelada como um prolongamento adequado da fissura 

dentro da qual ocorrem forças coesivas ou fictícias que relacionam-se com a abertura da fratura 

através do amolecimento do material. 

Δu > Δu c 

f t ' 

Forças 

coesivas 

Zona de 

fratura 

σ 

f t 

' 

Δu c 

Fissura 

real 

G c 

Δu > Δu c 

Δu c 

Δu 

(a) 

(b) 

Figura 3 – Modelo de fissura fictícia (SALEH e ALIABADI; 1995). 


24 


Neste modelo, a fissura se propaga quando as tensões na ponta superaram a tensão crítica 

f 

t 

' . Imediatamente quando a fissura abre, a tensão na ponta não é igual a zero, mas sofre uma 

redução à medida que aumenta essa abertura até atingir seu valor crítico, Δ uc 

. Na parte onde 

Δ u


25 

Figura 4 – Expansão das matrizes H e G. 

3.3.1.2 Modelo incremental 

Para melhor entendimento do processo incremental e iterativo, considere um problema 

elástico, em princípio íntegro, como o da Figura 5. São indicados pelo usuário (mas poderiam ser 

pesquisados, gerados automaticamente, etc.) os dois primeiros nós onde começará a fraturar, neste 

caso foram escolhidos os nós 14 e 15 (deverão obrigatoriamente ser duplos). 

12 

11 

10 

9 

σ y 

Nós duplos estabelecidos para 

início do fraturamento 

13 

14 

7 

6 

5 

4 

8 

7 

6 

15 

y 

8 

3 

16 

1 2 

5 

x 

1 2 3 4 

σ y 

Figura 5 – Corpo íntegro com os pontos internos indicados. 

Ao redor dos pontos escolhidos, é gerada uma série de pontos internos, cujas tensões giradas 

serão calculadas (pontos representados em azul). Neste caso, qualquer tensão interna será igual a 

σ 

y 

, mas após rotacionar, será verificada qual delas possui a máxima tensão principal (em seu sistema 

local). Se superar o critério ( f 

t 

' ), o ponto de maior tensão principal será o primeiro Ponto Fonte (PF1) 

do elemento novo de fratura fictícia, e por esta razão também é calculada a tensão para um segundo 

ponto fonte (PF2), na mesma direção do primeiro, como indica a Figura 6. 

Essas tensões são as chamadas tensões elásticas, assim: 

e 

e 

σ1 = σ PF 1 

e σ2 = σ PF 2 

e 

Verifica-se o critério do modelo: se σ 

1 

> f t 

' , as tensões são extrapoladas para os extremos 

dos elementos, gerando novo elemento de fratura e começa o processo iterativo. Caso contrário, 

acrescenta-se novo incremento de carga ou deslocamento até ultrapassar (pois ainda está na fase 

elástica). 


26 


V 

Começa a iteração zerando as variáveis: Δ uk 

− 1 

= 0 , onde Δ u é a abertura da fratura e σ é a 

v 

⎛ 0 ⎞ 

tensão verdadeira, dada por: σ 

k − 1 

= ft '1 ⎜ − ⎟= 

ft 

' no início do processo iterativo. 

⎝ Δuc 

⎠ 

Elementos que serão gerados 

Nó 17 e 20 

Nó 18 e 19 

PF1 

PF2 

Δ a = L f 

L /4 

4 

L 

f 

Figura 6 – Geração dos PF. 

Em outras palavras, quando os esforços externos aplicados produzem uma tensão elástica 

local que supera o f 

t 

' do material, é introduzida uma descontinuidade ao problema, chamada fratura 

fictícia ou coesiva, que segue o comportamento da Figura 3.b e onde as forças aplicadas em sua 

superfície são destinadas a manter a coesão do material, representando um certo ligamento existente 

entre as partículas da região. 

P 

1 

P 

2 

Nó 17 

Nó 18 

(XS 17 ,YS 17 ) 

Γ 

(XS 18 ,YS 18 ) 

Nó 20 

(XS 20 ,YS 20 ) 

Γ 

(XS 19 ,YS 19 ) 

Nó 19 

P 

1 

P 

2 

Figura 7 – Forças de superfície aplicadas nas faces da fissura. 



27 

O processo iterativo é bastante simples, seguindo sempre os mesmos passos descritos na 

seqüência: 

v 

⎛ Δu 

⎞ 

- Calcula-se a tensão verdadeira com a Lei Coesiva: σ = ft 

'1 ⎜ − ⎟ 

⎝ Δuc 

⎠ 

v 

(quando Δ u >Δ u , σ = 0 ); 

c 

, onde Δ uc 

é a abertura crítica 

- Após transformar estas tensões para o sistema global, calculam-se as forças de superfície, usando a 

v 

v 

fórmula de Cauchy: p = τ n + σ n ; 

y xy x y 

- Aplicam-se estas forças como indicado na Figura 7. 

- Testa-se a convergência do processo: Se ( ) 

( ) 

k 

k−1 

Δu −Δ u > TOL, volta para nova iteração; se 

Δu −Δ u < TOL significa que convergiu e em seguida verifica se necessita a adição de novo 

incremento ou fratura. TOL é uma certa tolerância estipulada e os vetores acumulados durante o 

processo incremental são utilizados para o cálculo dos novos pontos internos. 

k 

k−1 

4 RESULTADOS NUMÉRICOS 

Para a análise dos exemplos de MFEL as três formulações do MEC (singular, hipersingular e 

MEC Dual - MECD) são utilizadas, todas com o ponto fonte pertencendo ao contorno e com integrais 

analíticas sobre os elementos de contorno e de fratura. 

Analisa-se um problema de fratura central, caracterizado pelo modo I e apresentado na Figura 

2 

2 

8a. Adotou-se W = 200cm, a = 5cm, 

p = σ = 10 KN cm , E = 3000 KN / cm , ν = 0 e EPT. 

Resolvendo este problema com a equação singular, a malha foi modelada usando simetria de 

14 do problema da Figura 8a. O problema foi discretizado usando 118 elementos no contorno e 20 na 

fratura, sem refinamento e 36 pontos internos. 

O FIT foi extraído com base no procedimento apresentado. Fazendo um gráfico ln r x 

ln COD (com o valor de r sendo dado pela distância entre o nó do elemento e a ponta da fissura e os 

COD obtidos com os deslocamentos nodais), pode-se determinar a reta que melhor ajusta a função e 

assim determinar uma linha de tendência. Os resultados obtidos no primeiro elemento (o da ponta) e 

os elementos mais distantes à ponta foram desprezados para a obtenção de um intervalo de dados 

aceitáveis, de acordo com a linha de tendência. 

32 

Assim, o valor obtido ( KI 

= 40,55 KN. 

cm − ) apresentou um erro de somente 2,4% com 

32 

relação à resposta analítica ( K = 39,6 KN. 

cm − ) para uma chapa infinita, dada por: 

I 

KI 

= σ π a 

(16) 

Resolvendo o mesmo problema com a equação hiper-singular, utilizando uma malha idêntica 

ao problema com a equação singular, mas somente com nós duplos, a resposta obtida apresentou um 

erro de 1,84% comparada com a solução analítica do problema. 

Para obtenção do intervalo de interesse, foram desprezadas as respostas obtidas para os dois 

elementos mais próximos à ponta, evidentemente os mais distantes também e assim o valor do FIT 

estimado foi: 


28 


KI 

40,33 KN. 

cm − 

32 

= (17) 

Apesar da resposta aqui obtida ter sido melhor do que usando a equação singular, o intervalo 

de dados de interesse para o ajuste da linha de tendência foi menor. 

(a) 

(b) 

Figura 8 – Problema em (a) modo puro I e (b) modo puro II. 

Usando o MECD, o problema foi discretizado com simetria de 12 da Figura 8a. Utilizou-se 

160 elementos de contorno e 44 na fissura, solução analítica para o contorno, numérica com subelementação 

para os pontos internos. 

Foi feito um pequeno refinamento da malha na região de interesse para aproximar melhor a 

resposta. Os resultados no primeiro elemento da ponta foram desprezados para a obtenção do 

intervalo de interesse. 

O valor obtido para K 

I 

neste caso, foi: 

KI 

39,24 KN. 

cm − 

32 

= (18) 

apresentando um erro de menos de 1% com a resposta analítica do problema. 

Considere agora uma chapa em modo puro II, também utilizando o MECD. Adotando-se 

h = 24 , a = h , E = 3000 , ν = 0,3, σ = 10 em unidades coerentes, foi utilizada uma malha de 8 

3 

elementos no contorno e 4 na fratura somente, com 12 pontos internos. A Figura 8b mostra o 

problema estudado. 

Neste exemplo foi feita somente a análise de propagação de uma fratura. Os resultados para 

o ângulo de propagação foram comparados à Figura 9, que apresenta um gráfico mostrando a relação 

do ângulo formado entre a inclinação da fissura e a direção de carregamento, em diferentes critérios 

de propagação. 

Na Figura 9, β é o ângulo formado entre a inclinação da fissura e a direção de aplicação do 

carregamento. 



29 

Criterio da Máxima Tensão Principal 

Critério da Mínima Densidade de Energia 

de Deformação, 0< ν < 0,3 

Critério de Griffith 

Figura 9 – Direção de propagação (Carpinteri; 1986). 

Para este exemplo o ângulo β é zero e, de acordo com o gráfico, a direção de propagação 

será dada entre 70º e 90º (eixo local na ponta da fissura), dependendo do critério adotado. No modelo, 

o ângulo inicial de propagação obtido apresentou um erro de 2,85% de acordo com o CMTP. Está, 

portanto, na faixa aceitável pelo critério da mínima densidade de energia de deformação e um erro de 

20% com o critério de Griffith (Figura 9). 

Na Figura 10 ilustra-se uma representação com os ângulos de propagação obtidos, 

respectivamente para problemas de modo puro II e I: 

Figura 10 – Direção de propagação para (a) modo puro II e (b) modo puro I. 

Pela Figura 10 (a) nota-se que num primeiro instante atua o modo II puro, até que esta fissura 

esteja a aproximadamente 90º da original, onde começa a atuar (localmente) o modo puro I, fazendo 

com que a fissura prossiga nesta mesma direção até a ruptura total. 

No modo I, Figura 10 (b), a fissura propagará sempre no seu próprio eixo, perpendicularmente 

à máxima tensão principal. 

O procedimento de propagação é feito de maneira bastante simples, apenas adicionando os 

novos elementos gerados que formarão o prolongamento da fissura anterior. 

Ainda com o MECD, foi feito um exemplo de aplicação do Princípio da Superposição dos 

Efeitos (PSE), válido para a MFEL (Bažant e Planas; 1998), com o objetivo de averiguar as equações 

integrais. O PSE postula que o estado de tensões, deformações e deslocamentos (consequentemente 


30 


os FIT também) em um sólido pode ser decomposto na soma de outros estados, com aplicações em 

diversos tipos de problemas. Seja o problema da Figura 11: 

σ 

σ 

(a) 

(b) 

(c) 

= 

+ 

σ 

σ 

σ 

σ 

Figura 11 – Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE). (a) Problema inicial, obtido pela adição dos problemas 

(b) e (c). 

De acordo com o PSE, o problema a) pode ser obtido pela soma dos problemas b) e c). O 

primeiro, corpo íntegro elástico submetido a esforços no contorno de tração e o segundo, problema 

com fissura central e esforços aplicados nas faces da mesma. 

Este exemplo foi feito utilizando σ = p = 10 , uma chapa de dimensões 100x 50 e a fissura 

medindo 10 , em unidades coerentes. Valendo-se da simetria, os resultados obtidos no problema a) 

foram exatamente iguais aos resultados dos problemas b) e c) somados, para tensões internas e 

deslocamentos nos nós do contorno. Este problema ratifica a qualidade das integrais obtidas, 

comprovando sua precisão. 

Para o modelo coesivo proposto, considere o problema da Figura 12. Foi utilizada uma malha 

bastante simples, com somente 6 elementos no contorno e a fratura gerada automaticamente com 

dois elementos (um em cada face). O problema começa sem nenhuma fissura e a posição escolhida 

para o início do fraturamento está indicada. Adotou-se L = 1, E = 1, ν = 0 , Δ = 100000 , f ' = 0,333 , 

Δ a = 0,0125 e o deslocamento aplicado δ = 1 dividido em 10 incrementos em unidades coerentes. 

u c 

δ 

t 

L 

2 

Posição escolhida para 

o início do fraturamento 

L 

δ 

Figura 12 – Chapa com deslocamento (δ ) aplicado. 

Com Δuc 

→∞, o exemplo escolhido em realidade é o modelo de Dugdale, sendo as forças 

aplicadas na fissura sempre constantes e iguais à f 

t 

' . As tensões internas e os deslocamentos 

podem ser facilmente averiguados pela solução elástica para este problema, ainda quando o sólido 



31 

está íntegro. Ao superar o f 

t 

' , a tensão verdadeira a ser calculada pelo critério 

⎡ 

v 

⎛ Δu 

⎞⎤ 

v 

⎢σ 

= ft 

'1 ⎜ − ⎟⎥ 

será sempre σ = f t 

' . Devido a essas condições, a abertura da fissura final 

⎣ ⎝ Δuc 

→∞⎠⎦ 

será constante e igual a 0,067 . 

Neste caso a fissura será toda coesiva, já que o programa não está preparado para continuar 

incrementando carga/deslocamento após a ponta da fissura ter atingido o contorno. 

Observando o comportamento do modelo apresentado na Figura 13, onde são plotados os 

valores das forças ( P ) x deslocamentos (δ ) nodais para o ponto no canto superior direito da Figura 

12, verifica-se que o modelo está coerente. As forças variam pouco à medida em que são gerados 

novos elementos de fratura, em seguida tendendo a permanecer na força equivalente à da tensão 

máxima de tração do material. 

Força x Deslocamento nodal 

Px 

0,25 

0,2 

0,15 

0,1 

0,05 

0 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 

Ux 

Figura 13 – Curva do comportamento da chapa. 

Na Figura 13 a linha contínua representa a resposta obtida através do algoritmo e a linha 

tracejada mostra o aumento do deslocamento do ponto para uma mesma força. Como o programa não 

permite que se continue adicionando carga/deslocamento após a ponta da fissura ter atingido o 

contorno (ainda não representando a ruptura total do material portanto, afinal o processo ainda se 

encontra na zona coesiva) a resposta só pôde ser obtida até a linha contínua apresentada. 

Na Figura 14 é apresentada a deformada final do problema, onde os pontos em azul são os 

nós do contorno e fratura. A zona coesiva, que ainda mantém um certo ligamento entre as partículas 

da região, é também representada nesta figura. 

Figura 14 – Deformada final do problema mostrando a zona coesiva. 


32 


Suponhamos agora a viga bi-apoiada da Figura 15, submetida a esforços em 3 pontos: 

P, 

δ 

d = 2,5 

Posição escolhida para o 

início do fraturamento 

L = 10 

Figura 15 – Viga bi-apoiada com carga ou deslocamento central aplicado. 

As propriedades do material analisado são: E = 1386100,106 , ν = 0,15 , f ' = 230, 

Δ u c 

= 0,00276555, Δ a = 0,0625 e δ = 0,006 , de Lopes (1996). O número de incrementos foi variado, 

justamente para poder comparar as possibilidades entre si. A malha foi composta por 50 elementos de 

contorno. 

v 

A Figura 16 apresenta o diagrama tensão verdadeira σ por abertura da fissura Δ u , onde 

observa-se que obedece à lei do modelo coesivo, sendo que a tensão verdadeira para aberturas 

maiores que a crítica é zero. 

A curva obtida para este problema variando o número de incrementos na aplicação de 

carga/deslocamento, é apresentada na Figura 17. Observa-se que após superar o trecho elásticolinear 

o modelo proposto apresentou resposta mais rígida que a referência, na primeira parte do 

gráfico. Acredita-se que isto acontece devido à simplificação do modelo proposto, que apenas verifica 

a geração de novo elemento de fratura depois que a fratura anterior convergiu ou estabilizou. 

t 

Tensão Verdadeira x Abertura 

Sv 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 

Du 

Figura 16 – Modelo coesivo - Diagrama 

v 

σ x 

Δ u . 

Observa-se que utilizando somente 10 incrementos a resposta não apresentou-se adequada, 

já para incrementos de 50 até 500 a resposta apresentou ínfima variação. Isto se deve à robustez do 

método, que mesmo para discretizações pobres e poucos incrementos, é capaz de captar a curva do 

comportamento. Ainda nos incrementos entre 50 a 500, nota-se uma certa defasagem no ramo 

descendente com relação à curva de Lopes, o que é perfeitamente aceitável, tendo em vista que ao se 



33 

aproximar o momento da ruptura do material, praticamente não há tensão residual resistindo e a 

ruptura se dá abruptamente. 

Py 

Força x Deslocamento nodal 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 

Uy 

Lopes (1996) 

10 incr 

50 incr 

100 incr 

200 incr 

300 incr 

500 incr 

Figura 17 – Curva obtida com o modelo proposto. 

Manzoli e Venturini (2004) e outros autores (Saleh e Aliabadi; 1995), apresentam a resposta 

esperada do comportamento para um problema similar, viga bi-apoiada com deslocamento central 

aplicado, mas de espessura t = 5 e diferentes propriedades de material. Usando o MEC, MEF e 

análise experimental, o gráfico do comportamento que apresentam estes autores mostra um intervalo 

aceitável para a curva do modelo, conforme Figura 18. 

Figura 18 – Comportamento do modelo. 

Na Figura 19 visualiza-se a deformada para 8 elementos de fratura, no incremento 69, 

aumentada 100 vezes com a representação da zona coesiva: 


34 


Figura 19 – Deformada da viga. 

Nesta representação pode-se verificar que a direção de propagação está correta e que nesta 

iteração e incremento de carga (100 incrementos) apenas o primeiro elemento de fratura abriu, sendo 

os demais pertencentes à zona coesiva. 

5 CONCLUSÕES 

Neste trabalho diversos aspectos da formulação do MEC na análise de problemas, 

especialmente de fratura puderam ser avaliados. 

Na literatura, não encontram-se facilmente modelos com integrais analíticas que tratem de 

problemas de fratura. Ainda que utilizando aproximação linear, pode-se afirmar que de maneira geral o 

MEC é uma excelente ferramenta numérica para analisar fratura e problemas envolvendo 

singularidades. 

Observa-se que o estudo da propagação pelo MECD é realmente bastante simples, sem a 

necessidade de remodelar a malha do contorno, e os resultados são confiáveis, mesmo com pouca 

discretização. Também neste caso, notou-se uma grande sensibilidade quanto à discretização da 

malha, havendo uma relação entre a malha do contorno e a da fissura. Refinar certa região de 

interesse, por exemplo, produz uma resposta muito melhor do que se utilizar elementos de tamanho 

constante. Nesse contexto, parece ser de fundamental importância um estudo de malha, tal como o 

modelo adaptativo, para a geração da malha do problema inicial, pois se verificou uma existência de 

certa relação entre a discretização do contorno (dimensão dos elementos, se constantes ou com 

refinamento) e da fissura, no cálculo do FIT. 

Para a propagação, entretanto, verificou-se que a discretização da malha é pouco afetada. 

Porém, observou-se também que a escolha do tamanho dos elementos de fratura gerados pode 

interferir na propagação, pois o CMTP identifica melhor a direção de propagação para pontos mais 

próximos à ponta, onde as tensões são infinitas. Com base neste estudo, recomenda-se portanto usar 

um comprimento de geração de pontos internos/tamanho da fissura de até 0,2. 

Tanto os modelos que utilizam apenas a equação singular ou a hiper-singular podem ser 

usados para análise de problemas de fratura. Apesar do modelo hiper-singular ter obtido melhor 

resultado, as respostas variaram muito durante sua análise, apresentando uma sensibilidade muito 

maior quando comparada à solução fornecida pela equação singular somente, que é mais estável. 

Portanto, fatores como geometria, refinamento, distância do ponto de colocação influem muito mais no 

modelo que utiliza a equação hiper-singular que no modelo que usa a singular. Ambas equações, 

quando usadas em uma mesma análise em problemas de fratura (MECD), mostraram-se muito 

eficientes. 

Para a análise do fraturamento não-linear com o modelo coesivo as respostas obtidas foram 

satisfatórias, ainda que a uma análise por enquanto restrita a problemas somente em modo I. 



35 

Inicialmente, o corpo está íntegro e escolhe-se o ponto onde iniciará a fratura, mas este procedimento 

poderia ser otimizado, gerando automaticamente uma ou varias fissuras em pontos onde ocorresse a 

máxima tensão. 

O modelo aqui proposto para a fratura coesiva não se presta a captar a extensão ou tamanho 

da zona coesiva, uma das importantes respostas de interesse nesta área. Devido a que é gerado um 

novo elemento de fratura somente após o anterior ter convergido, nem sempre esta zona poderá ser 

prevista corretamente. Com esta simplificação não é possível portanto precisar a dimensão da zona 

coesiva, mas pretende-se corrigir este problema em desenvolvimentos futuros. 

O gráfico de comportamento para a viga bi-apoiada obtido, mostrou maior rigidez em seu 

trecho ascendente quando comparado com a referencia, no entanto esta resposta pode ser 

considerada satisfatória. O fato de o ramo descendente final da curva não seguir constante com o 

deslocamento crescente, deve-se à limitação que o programa apresenta de não permitir adição de 

cargas ou iterações ao atingir o contorno. 

O caminho de propagação poderia ter sido estabelecido desde o principio, como é 

apresentado na maioria da literatura; entretando preferiu-se testar o CMTP gerando automaticamente 

a fratura e o seu avanço para posteriormente ter maior liberdade de aplicação em problemas, inclusive 

em modos mistos de fraturamento, ou em problemas mais complexos, onde não se conhece a priori o 

caminho da propagação. 

De maneira geral, pode-se notar a potencialidade do MEC usado como ferramenta numérica 

na aplicação em problemas elásticos e da Mecânica da Fratura, seja linear ou não linear. As soluções 

são precisas mesmo usando pouca discretização, incrementos e com aproximação linear, confirmando 

a eficácia do método. 


Os autores gostariam de expressar seus agradecimentos à CAPES, à FAPESP e ao programa 

ALFA - ELBENet pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. 


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ISSN 1809-5860 

REFORÇO À FLEXÃO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM MANTA DE 

POLÍMERO REFORÇADO COM FIBRAS DE CARBONO (PRFC) ADERIDO A 

SUBSTRATO DE TRANSIÇÃO CONSTITUÍDO POR COMPÓSITO 

CIMENTÍCIO DE ALTO DESEMPENHO 

Vladimir José Ferrari 1 & João Bento de Hanai 2 

Resumo 

A colagem de polímeros reforçados com fibras de carbono (PRFC) em elementos estruturais de concreto vem 

sendo aplicada com sucesso no reforço de estruturas. Assim, nesta pesquisa propõe-se uma inovação construtiva 

fundamentada no desenvolvimento de um compósito de alto desempenho à base de cimento Portland e fibras de 

aço (macro + microfibras), destinado a constituir o que está sendo preliminarmente chamado de “substrato de 

transição”. A finalidade desse substrato é controlar melhor a fissuração do concreto da viga e retardar o 

desprendimento prematuro do reforço. Foi realizado um estudo preliminar em vigotas moldadas com fibras de 

aço e reforçadas com manta de PRFC, pelo qual se verificou que a concepção do substrato de transição é válida. 

Partiu-se então para a realização de ensaios visando à obtenção de um compósito cimentício com características 

apropriadas para o substrato de transição. Os resultados mostram que foi possível desenvolver um material de 

elevado desempenho com significativos ganhos de resistência e tenacidade ao fraturamento. A aplicação do 

reforço sobre a superfície do substrato de transição, formado a partir da reconstituição do banzo tracionado da 

viga com o compósito cimentício, mostrou melhorar significativamente os níveis de desempenho da peça 

reforçada. Comprovou-se a eficiência da técnica de reforço proposta, além de reunir uma série de informações 

que podem ser exploradas para se tornarem úteis como critérios de projeto de estruturas recuperadas e 

reforçadas. 

Palavras-chave: Reforço. Fibras de carbono. Concreto com fibras de aço. Mecânica da Fratura. Reabilitação. 

FLEXURAL STRENGTHENING OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH 

CARBON FIBERS REINFORCED POLYMER (CFRP) SHEET BONDED TO A 

TRANSITION LAYER OF HIGH PERFORMANCE CEMENT-BASED 

COMPOSITE 

Abstract 

The bond of the carbon fibers reinforced polymer (CFRP) in structural elements of concrete comes being applied 

successfully in the strengthening of structures. The objective of this research is to develop an innovate 

strengthening method for RC beams, based on a high performance cement-based composite of steel fibers (macro 

+ microfibers) to be applied in a transition layer. The purpose of this transition layer is to better control the 

cracking of concrete and to be late or until avoid the premature detachment of strengthening. Due to lack of 

similar research here the proposal, was carried through a preliminary study in short beams molded with steel 

fibers and strengthened with CFRP sheet, where if it verified that the conception of the transition layer is valid. 

Tests were developed to get a cement-based composite with characteristics to constitute the layer transition. The 

results shown that were possible to develop a material of high performance with a pseudo strain-hardening 

behavior, high strength and fracture toughness. The application of the strengthened about the layer transition 

surface showed significantly to improve the levels of performance of the strengthening beam. Of the carried 

through study it was possible to prove the efficiency of the new strengthened technique and describe various 

information that can be explored to become useful as criteria of project of repaired and strengthened structures. 

Keywords: Strengthened. Carbon fibers. Steel fibers concrete. Fracture Mechanic. Rehabilitation. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas – EESC-USP, vladimirjf@hotmail.com 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jbhanai@sc.usp.br 


38 

Vladimir José Ferrari & João Bento de Hanai 


O reforço de vigas de concreto armado com manta de PRFC aumenta a rigidez e a capacidade 

resistente das peças. Entretanto, é susceptível ao surgimento de uma ruína frágil e extremamente 

indesejável, pois impossibilita o total aproveitamento das propriedades resistentes à tração do 

polímero. Trabalhos como os de Juvandes (1999), Ferrari (2002), Beber (2003), entre outros, alertam 

sobre a existência de modos de ruína frágeis da ligação reforço-concreto. 

Neste trabalho, é proposto o desenvolvimento de um compósito de alto desempenho à base de 

cimento Portland com fibras e microfibras de aço, destinado a constituir um substrato de transição 

(Figura 1). Imagina-se retirar uma parte do banzo tracionado das vigas a serem reforçadas – 

frequentemente danificado (Figura 2) - para reconstituí-lo com o compósito cimentício. Para tanto, 

supõe-se que a parte reconstituída do banzo venha a formar um substrato de transição, cujas 

características seriam mais apropriadas para aplicação do reforço polimérico. 

"substrato de transição" ligado 

ao concreto da viga e às armaduras 

longitudinal e transversal 

"bulbo de ancoragem" 

"substrato de transição" pode 

controlar fissuração 

reforço com PRFC 

colado ao substrato de transição 

Figura 1 – Esquema de reforço com manta de PRFC e substrato de transição. 

Figura 2 – Banzo tracionado de vigas danificado por ações mecânicas ou de corrosão. 

Reis (2003) analisou vigas reforçadas pela adição de armadura ao banzo tracionado, o qual foi 

reconstituído com argamassa reforçada com fibras de aço. Foi verificado que a argamassa com fibras 

agiu na transferência de esforços entre o substrato e a armadura de reforço. Pôde-se constatar então, 

que o uso de um compósito cimentício apropriado na reconstituição do banzo tracionado faz sentido. 

O mesmo conceito – com as devidas alterações – pode ser aplicado ao caso de reforço com 

manta de PRFC. Obviamente, os materiais utilizados e os mecanismos de transferência têm as suas 

diferenças. No entanto, a idéia geral do trabalho é propor, como uma inovação construtiva o 

desenvolvimento de uma técnica de reforço à flexão de vigas, a qual compreende um processo de 

prévia recuperação da estrutura pela aplicação de um compósito cimentício de alto desempenho, 

destinado a constituir o que está sendo chamado de substrato de transição. 


Reforço à flexão de vigas de concreto armado com manta de Polímero Reforçado com Fibras de Carbono (PRFC) 

39 

2 COMPÓSITO CIMENTÍCIO DE ALTO DESEMPENHO (CCAD) 

Como se sabe, as modificações decorrentes da adição de fibras de aço ao concreto, em taxa 

relativamente baixas (no máximo 2%), restringem-se apenas à fase de pós-pico do histórico de 

carregamento. Assim, com o objetivo de melhorar o comportamento do compósito cimentício na fase 

pré-pico de resistência, estuda-se o efeito da incorporação de microfibras de aço às fibras de aço 

convencionais, numa tentativa de modificar o compósito em sua microestrutura e consequentemente 

melhorar o processo de transferência de tensões da matriz para as fibras. 

2.1 Configuração do ensaio 

Para avaliar o comportamento à tração na flexão dos CCAD foram realizados ensaios de flexão 

em três pontos em corpos-de-prova prismáticos seguindo as recomendações da RILEM TC 162-TDF 

(2002a). Na Figura 3 é possível observar o aspecto geral da configuração do ensaio. Os ensaios foram 

conduzidos sob o controle dos deslocamentos de abertura da entrada do entalhe (CMOD), utilizandose 

para tanto um extensômetro elétrico do tipo clip gauge. 

"YOKE" fixado ao cp 

e alinhado ao cutelo 

P 

esfera de aço 

barra metálica 

P 

"YOKE" 

7,5 

15 

7,5 

transdutor 

cutelo 

2,5 

45 

clip gauge 

2,5 

15 

50 

Figura 3 – Configuração geral do ensaio. 

2.2 Compósitos analisados 

Foram analisados um conjunto de treze compósitos formados a partir da variação do volume e 

do tipo de fibras de aço. Eles foram divididos em grupos formados por três prismas (15x15x50 cm 3 ) 

moldados com as mesmas características. 

Na Tabela 1 apresentam-se os diferentes compósitos analisados. Esses foram divididos em 

duas etapas conforme o tipo de matriz cimentícia utilizada. A fibra de aço aqui especificada 

simplesmente por “A”, tem nome comercial FS8-Wirand, foi fornecida pela empresa Maccaferri – 

América Latina, possui um comprimento de 25 mm com ganchos nas extremidades e um diâmetro de 

0,75 mm, o que resulta num fator de forma igual a 33. Já a fibra “C”, que foi fornecida pelo mesmo 

fabricante da fibra A, tem um comprimento de apenas 13mm, com ganchos nas extremidades e um 

diâmetro de 0,75mm. 


40 


Tabela 1 – Compósitos analisados 

Etapa Grupo Compósitos Taxa de fibra Tipo fibra Material Idade 

1 CPA 0% - argamassa 29 dias 

2 CPA1A 1% A argamassa 29 dias 

3 CPA1.5A 1,5% A argamassa 29 dias 

I 4 CPA2A 2% A argamassa 29 dias 

5 CPA1.5A0.5C 1.5%+0,5% A+C argamassa 28 dias 

6 CPA1.5A1.5C 1.5%+1.5% A+C argamassa 28 dias 

7 CPA1.5A2.5C 1,5%+2.5% A+C argamassa 28 dias 

8 CPA1.5A3.5C 1.5%+3.5% A+C argamassa 28 dias 

Argamassa 

Microconcret 

o 

II 

9 CPM 0% - microconcreto 28 dias 

10 CPM1A 1% A microconcreto 28 dias 

11 CPM1A1C 1%+1% A+C microconcreto 28 dias 

12 CPM1A2C 1%+2% A+C microconcreto 28 dias 

13 CPM1A2.5C 1%+2.5% A+C microconcreto 28 dias 

2.3 Resultados dos ensaios de flexão em três pontos 

2.3.1 Forças e resistências 

A determinação da tenacidade flexional dos CCAD foi feita seguindo-se as recomendações 

prescritas pelo grupo de trabalho TC 162-TDF da RILEM. Na Tabela 2 apresentam-se os valores de 

forças e resistência calculados com base nas recomendações da RILEM. 

Tabela 2 – Forças e resistências conforme RILEM (2002a) 

Compósito 

Forças (kN) 

Resistências (MPa) 

F L F M F R,1 F R,4 f fct,L f eq,2 f eq,3 f R,1 f R,4 

CPA 8,00 8,00 1,26 - 2,33 - - 0,37 - 

CPA1A 13,41 13,41 12,46 5,22 3,87 3,31 2,58 3,60 1,51 

CPA1.5A 13,15 16,10 16,01 6,10 3,73 4,58 3,16 4,54 1,73 

CPA2A 14,50 17,59 17,35 7,59 4,56 5,53 4,20 5,45 2,38 

CPA1.5A0.5C 16,41 17,78 17,23 9,32 4,58 4,94 3,98 4,79 2,61 

CPA1.5A1.5C 16,01 20,95 20,91 9,42 4,79 6,46 4,80 6,25 2,81 

CPA1.5A2.5C 22,12 23,68 23,49 12,79 6,13 6,49 4,97 6,51 3,55 

CPA1.5A3.5C 20,03 21,42 20,79 6,08 5,52 5,66 3,75 5,73 1,68 

CPM 14,19 14,19 1,25 - 4,04 - - 0,36 - 

CPM1A 12,05 12,05 7,53 3,69 3,32 1,97 1,58 2,07 1,02 

CPM1A1C 17,63 18,53 16,92 7,47 5,17 5,06 3,73 4,96 2,19 

CPM1A2C 19,37 21,94 19,73 8,04 5,54 5,73 4,13 5,65 2,30 

CPM1A2.5C 10,03 10,03 6,34 2,26 2,95 1,54 1,07 1,86 0,66 

F L – força máxima de offset dentro do intervalo de deslocamento vertical (δ) igual a 0,05mm; F M – força máxima do 

compósito; F R,1 e F R,4 – forças residuais correspondentes aos deslocamentos δ R1 =0,46 mm e δ R4 =3,00 mm; f fct,L - 

tensão correspondente à F L ; f eq,2 e f eq,3 – resistências flexionais equivalentes; f R,1 e f R,4 – resistências residuais 

Para os CCAD de argamassa a adição de fibras sempre aumentou o valor da resistência (f fct,L ) 

assim, pode-se dizer que para esses compósitos a contribuição da matriz em termos de resistência foi 

incrementada com a incorporação de fibras de aço. Os compósitos híbridos com adição de 

microfibras de aço do tipo C às fibras do tipo A, foram os que apresentaram maiores valores de 

resistência (f fct,L ) entre todos os CCAD de argamassa analisados. 



41 

Para os CCAD de microconcreto o valor da resistência (f fct,L ) do compósito CPM1A diminuiu 

em relação ao compósito CPM. Isso mostra que a presença isolada da fibra A não melhorou a 

contribuição da matriz de microconcreto em termos dessa resistência. Entretanto, com a incorporação 

das microfibras de aço às fibras do tipo A, verificou-se aumento no valor da resistência f fct,L . Essa 

tendência foi verificada nos compósitos CPM1A1C e CPM1A2C, nos quais, a resistência foi 

respectivamente, de 28% e 37% maior do que a do CPM. 

Os valores das resistências f eq,2 e f eq,3 , caracterizam o comportamento dos compósitos em 

relação ao desempenho das fibras. Logo, destaca-se entre os CCAD de argamassa, o desempenho 

dos compósitos CPA1.5A, CPA2A, CPA1.5A0.5C, CPA1.5A1.5C e CPA1.5A2.5C e, entre os CCAD 

de microconcreto, somente o compósito CPM1A2C. Nesses compósitos, a ação das fibras de aço 

elevou o nível de resistência do material de forma que a resistência flexional equivalente (f eq,2 ) 

superou o valor de resistência dado pela contribuição apenas da matriz (f fct,L ). 

2.3.2 Curvas P-CMOD 

Para representar o comportamento de cada compósito, selecionou-se dentre as três curvas 

obtidas por grupo, a curva “média”, que é aquela de comportamento intermediário que possa ser 

representativo das outras duas curvas do grupo. 

Nos compósitos CPA1.5A2.5C, CPA1.5A3.5C e CPM1A1C, por conta do desempenho distinto 

entre as três curvas de cada grupo, selecionou-se ao invés da curva “média”, a curva de “maior 

potencial” para representação desses compósitos. A curva “potencial” é aquela que representa o 

comportamento do exemplar do grupo que demonstrou maior ductilidade e resistência. 

Na Figura 4 reúnem-se as curvas “médias” P-CMOD dos CCAD de argamassa e de 

microconcreto, respectivamente. 

P (kN) 

24 

22 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

24 

22 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

CPA 

CPA1A 

8 

CPA1.5A 

6 

CPA2A 

CPA1.5A0.5C 

4 

CPA1.5A1.5C 

CPA1.5A2.5C 

2 

CPA1.5A3.5C 0 

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 

CMOD (mm) 

(a) CCAD de argamassa 

P (kN) 

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 

CMOD (mm) 

(b) CCAD de microconcreto 

Figura 4 – Curvas P-CMOD dos compósitos cimentícios. 

CPM 

CPM1A 

CPM1A1C 

CPM1A2C 

CPM1A2.5C 

2.3.3 Curvas de resistência ao fraturamento 

As curvas de resistência obtidas para os CCAD de argamassa CPA1.5A1.5C e CPA1.5A2.5C 

são comparadas com a do microconcreto CPM1A2C na Figura 5, onde K R é a resistência ao 

fraturamento e α é a profundidade da fissura (a) normalizada relativamente à altura (W) do corpo-deprova 

prismático, ou seja, α = a/W. Na figura são representadas também as curvas de resistência da 

matriz de argamassa e de microconcreto sem fibras juntamente com os históricos de carregamento 

ao longo do processo de ruptura. 

Como mostra a figura, a partir do ponto em que se inicia o processo de crescimento de 

fissuras na matriz dos compósitos CPA1.5A1.5C, CPA1.5A2.5C e CPM1A2C, observa-se um 

aumento eminente da resistência ao fraturamento desses materiais. Por exemplo, analisando-se a 


42 


ponta da fissura a 70% da altura da seção, infere-se que a resistência ao fraturamento alcança 

valores até quatro vezes superiores àqueles verificados à 1/3 da altura da seção. 

O extraordinário ganho de resistência desses três compósitos foram aproximadamente iguais, 

com ligeira superioridade para o compósito de argamassa CPA1.5A2.5C, seguido pelo de 

microconcreto CPM1A2C e pelo CPA1.5A1.5C. 

É importante destacar que a evolução do ganho de resistência ao fraturamento ocorreu para 

cada compósito segundo dois estágios bem definidos: o estágio inicial da fissuração (antes da linha 

tracejada em amarelo), onde se verificou um aumento de tenacidade ao fraturamento um pouco mais 

suave, e o estágio final do processo de fissuração (após a linha tracejada em amarelo), onde a 

resistência ao fraturamento aumentou de maneira mais acentuada. 

No estágio inicial é onde se inicia o processo de tracionamento das fibras e microfibras de aço 

e a transmissão de tensões entre as faces da fissura por meio dessas fibras. Nesse estágio, em que 

ocorre a formação das faces das fissuras, nota-se que uma característica é o fato da fissura mais 

evoluir do que o material ganhar resistência ao fraturamento. 

No estágio final do processo de fissuração é onde se verifica um aumento considerável da 

resistência ao fraturamento do compósito por conta do arrancamento das fibras, que se encontram 

ancoradas à matriz cimentícia. Nesse estágio, a eficiência das fibras em relação à contribuição para o 

acréscimo de tenacidade ao fraturamento é refletida notavelmente. 

600 

Curva P-α 

CPA1.5A2.5C 

K R 

(daN.cm ); P x 4 (daN) 

500 

400 

300 

200 

100 

Curva P- α 

CPM1A2C 

Curva P-α 

CPA1.5A1.5C 

crescimento da fissura 

CPA1.5A2.5C 

CPM1A2C 

CPA1.5A1.5C 

CPM 

CPA 

ponto A 

0 

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 

Figura 5 – Esquematização do desempenho dos compósitos. 

α 

3 RECONSTITUIÇÃO E REFORÇO DO BANZO TRACIONADO DE VIGAS DE 

CONCRETO ARMADO 

3.1 Características das vigas 

Foram confeccionadas três vigas de concreto armado de seção transversal retangular de 17x35 

cm 2 , comprimento total de 360 cm e vão livre de 320 cm. A armadura longitudinal inferior das vigas foi 

composta por duas barras de aço CA50, com 12,5 mm de diâmetro. A armadura superior foi composta 

por duas barras de aço CA50, com 6,3 mm de diâmetro. A armadura transversal foi formada por 

estribos com barras de aço CA50 de 6,3 mm de diâmetro, espaçados uniformemente a cada 12 cm. As 

características de cada viga estão descritas na Tabela 3. 



43 

Tabela 3 – Características das vigas 

Vigas 

V1A 

V1C 

V2C 

Característica 

Viga de referência, sem reforço 

Viga reforçada com três camadas de manta de fibra de carbono 

Viga em que o banzo tracionado foi demolido e reconstituído integralmente 

com o compósito cimentício. Após a cura do compósito a viga foi reforçada 

com três camadas de manta de fibra de carbono 

A viga sem reforço V1A é a viga de referência para as demais que foram reforçadas. A partir da 

viga V1A foram estabelecidas considerações com relação ao incremento de resistência e rigidez 

proporcionadas pelo reforço. Essa viga foi dimensionada com reduzida taxa de armadura longitudinal 

de modo que o seu estado limite último fosse caracterizado pela deformação excessiva da armadura 

sem ruptura no concreto comprimido. 

A viga V1C foi reforçada pela aplicação de três camadas de manta de fibras de carbono. O 

reforço foi projetado para que fosse possível detectar o seu desprendimento prematuro. A viga V2C foi 

projetada para que o seu desempenho fosse comparado diretamente ao da viga de concreto armado 

reforçada. Tal comparação visa detectar contribuições do substrato de transição frente ao 

desprendimento e sobre o desempenho do reforço. Para tanto, o banzo tracionado da viga V2C foi 

demolido e em seguida reconstituído aplicando-se compósito cimentício de alto desempenho 

CPM1A2C (Figura 6). 

VIGA V2C 

P/2 P/2 

A 

A 

reforço com manta 

20 20 280 3 camadas 20 20 

Figura 6 – Viga V2C. 

substrato de transição 

compósito cimentício: CPM1A2C 

3.2 Reconstituição do banzo tracionado e reforço das vigas 

Os procedimentos para a retirada do concreto, reconstituição e reforço do banzo tracionado da 

viga V2C (Figura 7) foram iniciados quando o concreto tinha a idade de 23 dias. A remoção do 

concreto foi feita mecanicamente com martelete elétrico rompedor. A metodologia geral e os cuidados 

essenciais para a aplicação do reforço com mantas de fibras de carbono estão detalhados no trabalho 

de doutorado do presente autor. O adesivo epóxi utilizado foi o Sikadur 330 e a manta foi a SikaWrap 

300C, ambos, fornecidos pela Sika. 


44 


Figura 7 – Remoldagem do banzo tracionado e aplicação do reforço externo. 

3.3 Configuração do ensaio e instrumentação 

As vigas de concreto armado foram solicitadas à flexão simples em quatro pontos, por meio de 

ensaio monotônico, ou seja, carregamento crescente até a ruína. O comportamento estrutural das 

vigas foi observado e monitorado durante todo o ensaio, registrando-se a força aplicada, os 

correspondentes deslocamentos verticais e as deformações do concreto, aço e reforço. 

O esquema de ensaio para cada viga foi montado na estrutura de reação do LE – Laboratório 

de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, como ilustrado por meio da Figura 8. A força 

necessária para solicitar cada viga à flexão foi introduzida por meio de um atuador servo-hidráulico da 

marca Instron com capacidade nominal de 500 kN, capaz de controlar a intensidade e a velocidade de 

aplicação das forças e deslocamentos. 

Os ensaios foram conduzidos sob controle de deslocamento do pistão do atuador com a 

imposição de uma taxa de 0,007 mm/s. O atuador permaneceu preso a uma viga metálica de grande 

rigidez, parte de um pórtico de reação no centro da viga. 

Para o monitoramento das deformações específicas da armadura e do reforço foram utilizados 

extensômetros elétricos de resistência da marca Vishay Micro-Measurements com resistência de 120.0 

OHMS e 12 mm de comprimento. A nomenclatura e o esquema de posicionamento da instrumentação 

das vigas estão indicados na Figura 9. 

Figura 8 – Esquema geral do ensaio de flexão nas vigas. 



45 

transd.1 

transd.7 

ext.1 e 2 

ext.3 e 4 

ext.5 

ext.6 

apoio A 

apoio B 

transd.2 

transd.3 transd.4 transd.5 

transd.6 

ext.23 

ext.22 

ext.21 

ext.20 

ext.19 

ext.18 

ext.17 

16 

15 14 13 12 11 10 7 

98 

Posicionamento dos extensômetros: 

referência 

apoio A 

0,0 cm 

Extensômetros no concreto e armadura 

número do extensômetro 

1 2 3 4 

160 160 160 160 

5 

225 

6 

297 

transd. = transdutor 

ext. = extensômetro elétrico 

Extensômetros no reforço 

referência 

número do extensômetro 

apoio A 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 

0,0 cm 297 293 289 285 277 269 261 249 237 225 203,4 181,8 160 160 160 

22 23 

95 35 

Figura 9 – Nomenclatura e posicionamento dos extensômetros e LVDT´S. 

4 VIGAS REFORÇADAS COM MANTA DE PRFC: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS 

RESULTADOS 

4.1 Modos de ruína 

Como se esperava, o modo de ruína da viga V1A foi de deformação excessiva da armadura 

longitudinal, seguida por deformações elevadas no concreto comprimido, configuração compatível com 

o domínio 2 de deformações para a qual a viga foi dimensionada. 

A ruína da viga V1C (Figura 10-a) deu-se a partir do surgimento de uma fissura na extremidade 

do reforço (P=117 kN). Essa fissura propagou-se na direção horizontal e culminou com o 

desprendimento do reforço juntamente com toda a camada de concreto do cobrimento da armadura ao 

longo do vão de cisalhamento. 

(a) Desprendimento do reforço da viga V1C 

(b) Ruína da viga V2C 

Figura 10 – Modo de ruína das vigas V1C e V2C. 


46 


O modo de ruína da viga V2C (Figura 10-b) foi diferente do observado na viga V1C. Embora 

tenha surgido uma fissura na extremidade do reforço quando a força aplicada era de 141 kN, ela não 

se propagou na horizontal e o processo de desprendimento do reforço por ruptura da camada de 

concreto junto à armadura foi evitado. 

Na viga V2C a ruína teve origem numa seção localizada no vão de cisalhamento e próximo da 

aplicação da força concentrada. O surgimento de uma fissura de flexão/cisalhamento e a evolução de 

sua abertura com o acréscimo do carregamento, provocaram o destacamento do reforço através da 

interface do compósito cimentício com o adesivo epóxi até a sua extremidade mais próxima. Uma fina 

camada de microconcreto permaneceu aderida à manta. 

4.2 Forças 

Na Tabela 4 são reunidos os valores de força de fissuração (P f ), de escoamento da armadura 

longitudinal (P y ) e de ruína (P u ) das vigas. A presença do reforço aumentou a força de primeira fissura 

das vigas reforçadas. O acréscimo foi de 19,8% para a viga de concreto armado reforçada e de 66,2% 

na viga reconstituída e reforçada.entre 10,3% e 66,2%. Em relação à viga V1C, a força de fissuração 

da viga V2C foi incrementada em 38,8%. 

A presença do reforço também aumentou a força necessária para o escoamento da armadura 

longitudinal. Isso ocorre porque o reforço auxilia o aço a resistir aos esforços de tração. Na viga V1C o 

aumento foi de 48,4%. Já na viga o aumento chegou a 67,1%. 

Com relação à força última, destaca-se a resposta da viga V2C. Um incremento significativo de 

120% foi observado em relação à viga de referência, enquanto que, a viga V1C apresentou um 

incremento limitado a 65,1%. Em relação à própria viga de concreto armado reforçada, a capacidade 

resistente da viga V2C foi 33,2% superior. 

Tabela 4 – Forças e modos de ruína das vigas 

Vigas P f (kN) P y (kN) P u (kN) Modo de ruína 

V1A 21,01 79,80 89,27 

V1C 25,16 118,45 147,37 

V2C 34,92 133,37 196,35 

Deformação excessiva 

da armadura 

Desprendimento do 

reforço 

Destacamento na 

interface compósito 

cimentício-reforço 

Incrementos (%) 

P f P y P u 

- - - 

19,8 48,4 65,1 

66,2 67,1 120,0 

4.3 Deslocamentos verticais 

Na Figura 11 são comparados por meio das curvas P-δ os comportamentos das vigas V1A, 

V1C e V2C. Verifica-se que até a força de fissuração a resposta das vigas é semelhante. Após a 

fissuração do concreto, é nítido o aumento da rigidez nas vigas reforçadas em relação à viga sem 

reforço. Ressalta-se o efeito da presença do substrato de transição nas resposta da viga V2C – 

reconstituída e reforçada. Maior rigidez e capacidade de carga foram verificadas para essa viga em 

relação principalmente à viga de concreto armado V1C, reforçada com a mesma área de reforço. 

Na viga V1A observa-se que nenhum acréscimo de força após o escoamento da armadura 

longitudinal foi obtido. Já nas vigas reforçadas vê-se claramente que ocorre acréscimo de força após o 

escoamento da armadura longitudinal. Nesse sentido, a maior extensão do trecho final da curva da 

viga V2C indica que o reforço foi mais solicitado nessa viga do que na viga V1C. 



47 

200 

180 

160 

Força P (kN) 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

Viga V1A 

Viga V1C 

Viga V2C 

20 

0 

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 

Deslocamento δ (mm) 

Figura 11 – Curvas P-δ das vigas V1A, V1C e V2C. 

Na Tabela 5 apresenta-se uma comparação entre os deslocamentos verticais das vigas no 

meio do vão para um carregamento igual a 90% da força de ruína da viga V1A. Os valores mostram 

que as vigas reforçadas apresentaram-se mais rígidas do que a viga de referência. A flecha da viga 

V1A foi 47% maior do que a flecha da viga V1C. A viga V2C apresentou uma flecha ainda menos 

pronunciada do que a viga sem reforço. A flecha da viga V1A foi 67% superior à da viga V2C. Logo, a 

inovação proposta no presente trabalho, reconstituição e reforço do banzo tracionado da viga, não 

somente é eficaz em termos de capacidade de carga, como também em termos de rigidez. 

Tabela 5 – Comparativo das flechas das vigas no meio do vão 

Vigas Flecha (mm) Comparativo 

V1A 12,79 1,00 

V1C 8,73 1,47 

V2C 7,68 1,67 

4.4 Tensões e deformações do reforço 

A resposta do reforço frente à solicitação das vigas é aqui avaliada por meio da distribuição de 

deformações específicas ao longo de toda a sua extensão. Associando as propriedades geométricas e 

mecânicas do reforço aos valores de deformações é possível obter a distribuição de tensões 

longitudinais e tangenciais ao longo do reforço. 

De acordo com Beber (2003) e Leung (2006) é possível calcular as tensões tangenciais no 

reforço, entre os pontos instrumentados, fazendo-se uso da eq. (1). 

ε r(i+ 

1) − ε r(i) 

τ r = 

⋅ E r ⋅ t r 

(1) 

s − s 

Em que: 

(i+ 

1) 

(i) 


48 


τ r = é a tensão tangencial; 

ε r = é a deformação específica no reforço; 

s i = posição relativa do extensômetro; 

E r = módulo de elasticidade do reforço; 

t r = espessura do reforço. 

Nas Figuras 12 e 13 são apresentados os perfis de tensões normais e tangenciais ao longo do 

reforço das vigas V1C e V2C para carregamentos referentes a 25%, 50%, 75% e 100% da força 

última. Da análise geral dessas figuras é possível constatar que os máximos valores das tensões 

normais foram registrados na região central das vigas. Nas vigas V1C e V2C o valor máximo das 

tensões normais ocorreu a 21,3 cm do meio do vão e foi registrado por meio do extensômetro 18. 

Já um exame geral das tensões tangenciais aponta que os valores máximos ocorreram na 

região do vão de cisalhamento. Com o aumento da força aplicada às vigas, verifica-se que os máximos 

valores das tensões tangenciais tendem a deslocar-se em direção à extremidade do reforço. Na viga 

V2C, até 50% da força de ruptura, o máximo valor da tensão tangencial localiza-se a 31 cm da 

extremidade do reforço. Para a viga V1C essa posição deu-se a 23 cm da extremidade do reforço. 

Para 100% da força aplicada às vigas, o valor máximo da tensão tangencial na viga V2C 

ocorreu a 23 cm da extremidade do reforço. Para a viga V1C esse tipo de análise ficou prejudicado 

devido a problemas na aquisição dos dados de extensometria dos pontos localizados na extremidade 

do reforço. 

A distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo do reforço da viga V1C pode ser 

visualizada graficamente na Figura 12. A máxima tensão normal, 123,9kN/cm 2 , foi registrada por meio 

do extensômetro 18, ou seja, a 21,8 cm da seção do meio do vão. Esse valor de tensão equivale a 

uma deformação no reforço igual a 5,30‰. Do perfil de tensões verificam-se valores significativos de 

tensões normais (da ordem de 45 kN/cm 2 ) e a concentração dos maiores valores de tensões 

tangenciais na extremidade do reforço para 75% e 100% da força última. 

Tensões normais (kN/cm 2 ) 

135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

25% 

50% 

75% 

100% 

51,2 

104,1 

92,5 95,6 

83,7 

112,8 

123,9 

122,8 

0 20 40 60 80 100 120 140 

Tensões tangenciais (kN/cm 2 ) 

0,22 

0,20 

0,18 

0,16 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

25% 

50% 

75% 

100% 

0 20 40 60 80 100 120 140 

Distância a partir da extremidade (cm) 


(a) Tensões normais 

(b) Tensões tangenciais 

Figura 12 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na viga V1C. 

Na viga V2C a distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo do reforço (Figura 13) 

indica valores máximos de 189,1 kN/cm 2 e 0,20 kN/cm 2 , respectivamente. A tensão normal máxima, 

que equivale a uma deformação do reforço de 8,08‰, foi registrada pelo extensômetro 18 e a tensão 

tangencial máxima foi dada pelo extensômetro 11. 

Para visualizar a interação entre as tensões normais e tangenciais no reforço das vigas V1C e 

V2C, na Figura 14 são mostrados os diagramas normalizados dessas tensões. Para a viga V2C, os 

valores de tensões nessa figura referem-se à força última, enquanto que para a viga V1C referem-se a 

75% da força última. 



49 

Pelas figuras observa-se que as tensões normais na ruína evoluem a partir da extremidade do 

reforço para o meio do vão, enquanto que os maiores valores das tensões tangenciais tendem a se 

localizar próximos à extremidade do reforço. É importante comentar que os valores de tensões 

tangenciais variam de acordo com a inclinação da reta que une dois pontos adjacentes de tensões 

normais. Os picos nas curvas de tensões tangenciais estão associados a maiores variações nas 

deformações específicas normais. 

Tensões normais (kN/cm 2 ) 

210 

195 

180 

165 

150 

135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

72,7 

48,6 

33,2 

25% 

50% 

75% 

100% 

104,7 

168,7 

129,7 

181,8 

158,1 

183,9 

189,1 

176,1 

0 20 40 60 80 100 120 140 


(a) Tensões normais 

Tensões tangenciais (kN/cm 2 ) 

0,22 

0,20 

0,18 

0,16 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

25% 

50% 

75% 

100% 

0 20 40 60 80 100 120 140 


(b) Tensões tangenciais 

Figura 13 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na viga V2C. 

Para 75% da força última, a resposta da viga V1C em termos de distribuição de tensões na 

extremidade do reforço, mostra um acentuado aumento da tensão tangencial e uma variação 

significativa das tensões normais nessa região. Esse nível de carregamento, que equivale a um P = 

110,5 kN é pouco inferior ao valor da força (117kN) na qual se observou o surgimento da fissura na 

extremidade do reforço. 

A concentração de tensões tangenciais e de valores não desprezíveis de tensões normais na 

extremidade do reforço, condiz com o modo de ruína observado na viga V1C, ou seja, surgimento e 

propagação de uma fissura na extremidade do reforço. 

Na ruína da viga V2C a distribuição de tensões foi diferente da constatada na viga V1C. De 

uma maneira geral, as tensões na extremidade do reforço na ruína da viga V2C foram menores do que 

as tensões observadas na ruína da viga V1C: as tensões normais atingiram valores de no máximo 

50% dos registrados na viga V1C e os maiores valores de tensões tangenciais deram-se um pouco 

mais afastados da extremidade do reforço. 

Nota-se então que, mesmo com o surgimento da fissura na extremidade do reforço da viga 

V2C, não se alterou a distribuição de tensões nessa região. Esse fato é totalmente diferente do 

constatado com a viga V1C e é uma conseqüência da presença do substrato de transição na viga V2C. 

Na Figura 15 distribuição de tensões normais ao longo do reforço das vigas é comparada para 

um mesmo nível de carregamento aplicado. Vê-se que até a força de 90 kN, a configuração de tensões 

no reforço das duas vigas é bem semelhante e nenhuma diferença significativa é notada. 

Para a força de 130 kN, as tensões no reforço da viga de concreto armado (extensômetros 17, 

18 e 19 – os três mais distantes da extremidade do reforço) passam a ser mais elevadas do que no 

reforço da viga que foi reconstituída e reforçada. Já para a força de 140 kN, a diferença nos valores 

das tensões é aumentada e prolongada agora até o extensômetro 13 (localizado na distância de 40 

cm). A comparação entre as tensões na extremidade do reforço ficou prejudicada, pois, a leitura de 

deformações no reforço da viga V1C a partir da força de 113 kN ficou prejudicada. 


50 


Tensões normalizadas 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

Normais 

Tangenciais 

0 20 40 60 80 100 120 140 


Tensões normalizadas 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


Normais 

Tangenciais 

(a) Viga V1C 

(b) Viga V2C 

Figura 14 – Comparativo entre tensões normalizadas. 

Como exposto, a diferença nos valores de tensões no reforço das vigas V1C e V2C aumenta 

com o aumento do carregamento. Tal fato mostra que, o efeito do substrato de transição é mais 

acentuado com o avanço da fissuração na viga reforçada. 

120 

Tensão normal (kN/cm 2 ) 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

V1C 

V2C 

140kN 

130kN 

90kN 

50kN 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


Figura 15 – Comparação da distribuição de tensões normais no reforço. 

4.5 Análise numérica 

4.6.1 Modelo numérico bidimensional não-linear 

Os comportamentos das vigas V1A, V1C e V2C foram simulados de maneira não-linear 

utilizando-se o programa computacional de elementos finitos Diana versão 9.1, o qual vem sendo 

desenvolvido por engenheiros civis da TNO Building and Construction Research, na Holanda, desde 

1972. 

Na Figura 16 apresenta-se a malha de elementos finitos bidimensional juntamente com a 

disposição das armaduras na discretização das vigas. A malha foi elaborada utilizando-se elementos 

quadráticos de oito nós do tipo CQ16M. As barras longitudinais e transversais da armadura das vigas 



51 

foram modeladas discretamente através de elementos especiais denominados embedded 

reinforcement. 

Na Figura 17 mostra-se a aplicação do carregamento, o apoio, a presença do reforço externo e 

a condição de simetria do modelo. A aderência entre a armadura e o concreto foi considerada perfeita, 

eliminando-se a possibilidade de ruptura por escorregamento das barras. Os nós dos elementos finitos 

representativos do reforço externo foram conectados aos nós adjacentes dos elementos de concreto 

simulando uma aderência perfeita entre os materiais. O carregamento foi estabelecido pela imposição 

de uma força concentrada do tipo displace. 

Figura 16 – Malha de elementos finitos e disposição das armaduras. 

apoio do 1ºgrau 

carregamento 

reforço 

seção central 

Figura 17 – Condições de contorno e força concentrada. 

Os parâmetros considerados no programa Diana e as propriedades mecânicas do concreto e 

da armadura inferior utilizadas na análise não-linear das vigas principais V1A, V1C e V2C estão 

representadas na Tabela 6. 

Tabela 6 – Materiais e parâmetros do modelo numérico das vigas V1A, V1C e V2C 

Concreto 

Aço 

Parâmetros 

Vigas 

V1A V1C V2C 

Módulo de elasticidade 30.034 MPa 26.553 MPa 29.380 MPa 

Coeficiente de Poisson 0,20 0,20 0,20 

Resistência à tração 2,04 MPa 1,93 MPa 2,06 MPa 

Energia de fratura 0,151 N/mm 0,123 N/mm 0,155 N/mm 

Largura da banda de fissuração 19,61 mm 20,12 mm 20,03 mm 

Resistência à compressão 37,84 MPa 33,95 MPa 38,68 MPa 

Comportamento à tração 

Modelo exponencial 

Módulo de elasticidade 210.921 MPa 199.677 MPa 210.921 MPa 

Tensão de escoamento 547,99 MPa 532,44 MPa 547,99 MPa 

Comportamento após escoamento Modelo de plasticidade sem encruamento 


52 


Os valores de resistência à tração (tensile strength) considerados para o concreto, foram os 

obtidos segundo o ACI 318M (89) por meio da equação: 0,332⋅(f c ) 1/2 . Os valores da largura da banda 

de fissuração (crack bandwidth) foram tomados considerando-se a raiz quadrada da área do elemento 

finito, conforme recomendação existente no manual do próprio Diana (Diana User`s Manual). 

A presença do substrato de transição na viga V2C foi estabelecida por meio de uma superfície 

plana localizada no banzo tracionado do modelo. A aderência entre o substrato de transição e a 

superfície representativa do concreto adjacente foi considerada perfeita. As propriedades mecânicas 

do substrato de transição da viga V2C foram tomadas a partir dos valores da caracterização do 

compósito cimentício e estão indicadas na Tabela 7. 

Tabela 7 – Materiais e parâmetros referentes ao substrato de transição da viga V2C 

Modelo numérico V2C - Compósito cimentício CPM1A2C 

Linear Elasticity: 

Isotropic, Young´s modulus = 28.700 MPa, Poisson´s ratio = 0,20 

Static Nonlinearity: 

Concrete and Brittle Materials, Total Strain Rotating Crack, Direct Input, Exponential 

Softening in Tension, Ideal in compression, Tensile strength = 2,24 MPa, Mode-I tensile 

fracture energy = 0,526 N.mm/mm 2 , Crack bandwidth = (área do elemento finito) 0,5 = 

20,03 mm, Compressive strength = 28,07 MPa. 

Os valores de Tensile strength aqui assumidos para a resistência à tração do compósito 

cimentício foram obtidos por meio da RILEM TC 162-TDF (2002b) através da equação: 0,6⋅f fct,L . O 

comportamento pós-pico do compósito cimentício foi representado por um diagrama do tipo 

Exponential softening in tension, tendo no elevado valor atribuído a energia de fraturamento, a 

indicação da presença das fibras e microfibras de aço. A energia de fratura foi calculada até um 

deslocamento vertical do corpo-de-prova prismático igual a δ = 2,65 mm. 

4.6.2 Resultados da análise numérica 

Na Figura 18 as curvas força versus deslocamento vertical no meio do vão, obtidas 

numericamente são comparadas com os resultados experimentais. Da Figura 19-a nota-se que na fase 

elástica, a curva numérica da viga de referência é idêntica à experimental e após a fissuração do 

concreto, a numérica mostra-se mais rígida. Já na fase de plastificação da armadura, ambas as curvas 

voltam a se aproximar. 

Para a viga de referência, a força de primeira fissura obtida via MEF é de 24,60kN, a qual é 

17% mais elevada do que a força de 21,01 kN, de primeira fissura, extraída dos resultados 

experimentais. Para a força de 85,3 kN ocorre o escoamento da armadura, representado pela queda 

acentuada da rigidez da curva numérica. Esse valor supera o obtido experimentalmente (79,80 kN) em 

apenas 6,89%. 

Da Figura 18-b observa-se que o comportamento das curvas, numérica e experimental, é bem 

semelhante. Após a fissuração do concreto e até a força de 75 kN, a curva numérica apresenta-se um 

pouco mais rígida do que a experimental. Após esse valor de força as curvas voltam a evoluir de 

maneira bem semelhante até aproximadamente 128,62 kN, a partir daí então, e até a ruína, a curva 

numérica evolui com uma rigidez menor do que a da curva experimental. 

A primeira fissura do concreto obtida via MEF ocorreu com P = 26,96 kN, sendo esse valor 

7,15% superior ao obtido experimentalmente. O escoamento da armadura de acordo com o modelo 

numérico deu-se para uma força de 122,4 kN, ou seja, apenas 3,33% acima do valor experimental que 

é de 118,45 kN. Já o valor da força correspondente a ruína apontada pelo modelo numérico é de 

134,34 kN, enquanto que a experimental é de 147,37 kN. 



53 

Da Figura 18-c verifica-se que até o escoamento da armadura, a curva numérica mostra maior 

rigidez do que a curva experimental. Após o escoamento da armadura, a curva numérica passa a 

apresentar maiores valores de deslocamentos verticais do que a curva experimental, dentro de um 

mesmo nível de carregamento. 

O surgimento da primeira fissura de acordo com os resultados experimentais deu-se para uma 

força de 34,92 kN, enquanto que pelo modelo numéricos, deu-se para uma força de 32,16 kN. O 

escoamento da armadura conforme os resultados experimentais ocorreu para uma força de 133,37 kN, 

ao passo que o modelo numérico indicou escoamento para uma força de 129,64 kN. Esse valor é 

2,88% inferior ao obtido experimentalmente. Quanto à ruína da viga V2C, o modelo numérico indicou 

um valor de força de 182,9 kN, ao passo que o valor de força experimental foi de 196,35 kN. 

De um modo geral, as curvas numéricas de força versus deslocamento vertical no meio do vão 

da viga de referência e das vigas reforçadas apresentaram boa concordância com as curvas 

experimentais. Na fase elástica o comportamento das vigas foi praticamente idêntico, com exceção da 

curva do modelo V2C-Num, que se mostrou um pouco mais rígida que a curva experimental, mesmo 

nessa fase de carregamento. 

Até o escoamento da armadura as curvas numéricas mostraram-se mais rígidas que as curvas 

experimentais. Já após o escoamento da armadura, os deslocamentos verticais representados pelos 

modelos das vigas reforçadas foram mais acentuados do que os resultados experimentais. 

Força P (kN) 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

V1A - Exp 

V1A - Num 

0 5 10 15 20 25 30 35 

Deslocamento vertical (mm) 

(a) Viga V1A 

Força P (kN) 

150 

135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

V1C - Exp 

V1C - Num 

0 5 10 15 20 25 


(b) Viga V1C 

Força P (kN) 

210 

195 

180 

165 

150 

135 

V2C-Exp 

120 

V2C - Num 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 


(c) Viga V2C 

Figura 18 – Comparação entre curvas P-δ numéricas e experimentais. 


54 


Na Figura 19 são estabelecidas comparações da evolução das deformações no reforço obtidas 

experimentalmente com os resultados extraídos da análise numérica. Os valores de deformações 

referem-se à seção central da viga. 

Para a viga V1C, os valores de deformações numéricas do reforço no meio do vão 

correlacionam-se muito bem com os valores experimentais. Mesmo após a fissuração do concreto e o 

escoamento da armadura, a evolução das deformações numéricas representa satisfatoriamente os 

valores experimentais. Nota-se que até o escoamento da armadura, a curva numérica apresenta-se 

ligeiramente mais inclinada do que as experimentais. Após o escoamento da armadura, as 

deformações numéricas do reforço evoluem mais pronunciadamente e a ruína ocorre logo em seguida. 

Da Figura 19-b, nota-se que o modelo numérico representa bem a evolução das deformações 

experimentais no reforço da viga V2C. Antes do escoamento da armadura, a curva numérica 

apresenta-se mais inclinada do que a curva experimental. Mesmo após o escoamento da armadura, a 

curva numérica evoluiu semelhantemente às deformações experimentais. 

Força P (kN) 

150 

135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

ext19 

ext20 

ext21 

Numérico 

0 1 2 3 4 5 6 

Deformação (‰) 

(a) Viga V1C 

Força P (kN) 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

ext.19 

ext.20 

Numérico 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 


(b) Viga V2C 

Figura 19 – Deformações numéricas e experimentais no meio do reforço. 

5 CONCLUSÕES 

A pesquisa realizada teve como objetivo geral propor e examinar uma técnica construtiva 

inovadora para reforço à flexão de vigas de concreto armado. Essa técnica compreende um processo 

de prévia recuperação das vigas com um compósito de alto desempenho à base de cimento Portland e 

fibras curtas de aço, destinado a constituir o aqui chamado “substrato de transição”. 

Após a realização de diversas etapas de análise experimental e teórica, pode-se concluir que a 

técnica proposta – ainda que passível de novos aperfeiçoamentos, como qualquer outra técnica – 

mostra-se eficiente tanto na reconstituição do banzo tracionado de vigas de concreto armado como na 

melhoria do desempenho da viga como um todo, em particular na exploração mais eficaz das 

propriedades resistentes do reforço com mantas de PRFC. 

O desenvolvimento da pesquisa não se limitou ao simples teste e comparação de vigas 

reforçadas e não-reforçadas, mas procurou abranger diversos fundamentos e avaliações científicas 

que focalizaram o problema em questão. Da análise conjunta de todos os resultados obtidos, é que se 

pôde concluir que o objetivo pretendido foi alcançado. Por fim, destaca-se uma síntese das conclusões 

parciais e comentários complementares sobre cada estudo específico elaborado: 

• a adição das microfibras de aço às fibras convencionais, potencializa uma maior contribuição 

da matriz para a resistência do compósito e a melhoria do mecanismo de transferência de tensões da 

matriz para as fibras; 



55 

• com a fissuração da matriz, a transferência de tensões foi facilitada pelas microfibras de aço 

que, em grande quantidade na matriz, condicionaram o avanço das fissuras à elevação do nível de 

carregamento; 

• tanto compósitos de argamassa quanto de microconcreto podem ser dosados para obtenção 

de propriedades satisfatórias para reconstituição do banzo tracionado das vigas de concreto armado. 

No entanto, a presença de agregados graúdos, em geral, é uma característica vantajosa para o 

compósito de microconcreto em relação ao de argamassa. O agregado graúdo melhora a aderência 

da manta de PRFC ao substrato da viga; 

• o reforço à flexão de vigas por meio da colagem externa de manta de PRFC a um substrato 

de transição constitui uma estratégia eficiente e de aplicação prática na Engenharia; 

• apesar de se ter analisado, nas últimas etapas experimentais da pesquisa, um único caso 

(viga V2C), ficou demonstrado que a reconstituição prévia do banzo tracionado com um compósito 

cimentício de alto desempenho à base de macro e microfibras de aço evita a rápida propagação de 

fissura crítica na extremidade do reforço e retarda o desprendimento prematuro da manta. Com a 

presença de um material de maior resistência ao fraturamento no banzo tracionado da viga, as fissuras 

são mais distribuídas e de menor abertura ao longo da extensão do reforço; 

• além de expressivo incremento na resistência, a colagem da manta de PRFC a um substrato 

de transição leva a significativo aumento da rigidez da viga em relação a uma viga sem substrato de 

transição; 


Agradecemos à FAPESP e à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. Agradecemos também à Maccaferri – América Latina pela produção das 

microfibras de aço. 


BEBER, A. J. Comportamento estrutural de vigas de concreto armado reforçadas com 

compósitos de fibra de carbono. 2003. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do 

Sul, Porto Alegre, 2003. 

DIANA – Finite Element Analysis - User`s Manual release 9. Delft, The Netherlands. 

FERRARI, V. J. Reforço à flexão em vigas de concreto armado com manta de fibra de carbono: 

mecanismos de incremento de ancoragem. 2002. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de 

Santa Catarina, Florianópolis, 2002. 

JUVANDES, L. Reforço e reabilitação de estruturas de betão usando materiais compósitos de 

“CFRP”. 1999. Tese (Doutoramento) – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP), 

Departamento de Engenharia Civil, Porto, 1999. 

LEUNG, C.K.Y. FRP debonding from a concrete substrate: Some recent findings against conventional 

belief. Cement & Concrete Composites, v. 28, p. 742-748, June, 2006. 


56 


REIS, A. P. A. Reforço de vigas de concreto armado submetidas a pré-carregamento e ações de 

longa duração com aplicação de concretos de alta resistência e concretos com fibras de aço. 

2003. Tese (Doutorado) – Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, 2003. 

RILEM TC 162-TDF. Test and design methods for steel fibre reinforced concrete. Bending test. 

Materials and Structures/Matériaux et Constructions, v. 35, p. 579-582, Nov., 2002a. 

RILEM TC 162-TDF. Test and design methods for steel fibre reinforced concrete. Design of steel fibre 

reinforced concrete using the σ-w method: principles and applications. Materials and 

Structures/Matériaux et Constructions, v. 35, p. 262-278, June, 2002b. 


ISSN 1809-5860 

ESTUDO DE CÁLICE DE FUNDAÇÃO COM ÊNFASE NOS ESFORÇOS NAS 

PAREDES TRANSVERSAIS DO COLARINHO 

Vinicius César Pereira Nunes 1 & Mounir Khalil El Debs 2 

Resumo 

Este trabalho apresenta uma análise da ligação pilar-fundação por meio de cálice em estruturas de concreto prémoldado, 

focando os esforços nas paredes transversais do colarinho. No programa experimental foram ensaiados 

dois protótipos submetidos à flexão com grande excentricidade: um com interface pilar-colarinho lisa e o outro 

com interface rugosa por meio de chaves de cisalhamento. Foi adotado um detalhamento diferenciado para as 

armaduras verticais principais concentrando as mesmas próximas aos cantos, bem como foi adotada, para o 

colarinho, uma espessura inferior à recomendada pela literatura técnica. Com os resultados experimentais foi 

possível analisar a resistência dos protótipos, as deformações das armaduras e os deslocamentos das paredes. 

Foi realizada uma análise dos resultados experimentais com um modelo de cálculo da literatura técnica, no que 

diz respeito às forças resultantes nas armaduras verticais principais e nas armaduras horizontais principais 

situadas nas paredes transversais do colarinho, considerando duas situações distintas de comportamento para as 

paredes transversais: flexo-tração e tração. Em função dos resultados foi verificado que as armaduras verticais 

situadas próximo aos cantos contribuíram efetivamente para a resistência do protótipo com interface lisa. 

Comprovou-se que as paredes transversais foram submetidas a uma flexo-tração e que o modelo teórico aplicado 

considerando 15% de flexão e 85% de tração apresenta os melhores resultados, se comparados com os valores 

obtidos experimentalmente. 

Palavras-chave: Concreto pré-moldado. Cálice de fundação. Colarinho. Paredes transversais. Chave de 

cisalhamento. 

STUDY OF THE SOCKET BASE FOUNDATION WITH EMPHASIS ON THE 

EFFORTS OF TRANSVERSE WALLS 

Abstract 

This research presents an analysis of socket base connections of precast concrete structures, with emphasis on the 

efforts of transverse walls. In the experimental program were tested two prototypes subjected to bending with 

great eccentricity: one with smooth interface, and other with rough interface through shear keys. It adopted a 

different detail for main vertical reinforcement, concentrating them around the corner, and was adopted for the 

socket, a thickness small than that recommended by the technical literature. Based on experimental results were 

performed the analysis of the strength of prototypes, the deformations of the reinforcement, and the deflection of 

the walls. It was performed an analysis of experimental results with a design model of the technical literature 

regarding to the forces resulting in main vertical and horizontal reinforcement located on the transverse walls of 

socket, considering two different situations of behavior to transverse walls: bending-tension and tension. 

Analyzing the results, it was verified that the vertical reinforcement located near the corners effectively 

contributed to the strength of the prototype with smooth interface. It has been proved that the walls were 

subjected to a bending tension and that the theoretical model applied with 15% of bending and 85% of tension 

gives the best results, when compared with the values obtained experimentally. 

Keywords: Precast concrete. Socket foundation. Pedestal walls. Transverse walls. Shear key. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, vcesar@sc.usp.br, vinicius_civil@yahoo.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mkdebs@sc.usp.br 


58 

Vinicius César Pereira Nunes & Mounir Khalil El Debs 


Com o avanço da tecnologia, a busca pela otimização dos processos construtivos assume 

fundamental importância. O sistema estrutural em concreto pré-moldado é uma opção bastante 

interessante quando se busca racionalização da construção. 

Em relação ao comportamento estrutural, as ligações entre os elementos de concreto prémoldado 

são de fundamental importância para o bom funcionamento dessas estruturas, já que 

possuem grande influência na rigidez das mesmas. 

A ligação pilar fundação por meio de cálice é uma alternativa bastante utilizada no Brasil e em 

todo o mundo, pois apresenta uma série de vantagens, dentre as quais podemos destacar a facilidade 

e rapidez na montagem, boa capacidade de transmissão de esforços, entre outras. 

A ligação por meio de cálice é feita embutindo certo trecho do pilar em um nicho no elemento 

estrutural de fundação, que possibilite a acomodação do pilar. São utilizados dispositivos de 

centralização para possibilitar o correto posicionamento, em planta e em nível, do pilar. O prumo e a 

fixação temporária são garantidos utilizando cunhas de madeira, por exemplo. 

Posteriormente, a ligação é efetivada preenchendo-se o espaço vazio entre o pilar e o cálice 

com graute ou concreto. A seguir, na Figura 1, são apresentadas as variantes do cálice de fundação. 

Nesta pesquisa foi adotada a variante do cálice de fundação com colarinho externo sobre sapata. 

Figura 1 – Formas do cálice de fundação - EL DEBS (2000) - adaptada de CANHA(2004). 

O objetivo principal desta pesquisa consiste em dar continuidade ao estudo da ligação pilarfundação 

por meio de cálice, em estruturas de concreto pré-moldado, iniciado por Canha (2004) na 

Escola de Engenharia de São Carlos - EESC USP, avançando no conhecimento a respeito deste tipo 

de ligação. Para isto foram realizados ensaios em modelos físicos buscando analisar o 

comportamento experimental da ligação. 


Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes transversais do colarinho 

59 

Mais especificamente foi analisado o comportamento da ligação no que se refere às paredes 

transversais ao sentido da solicitação, bem como se avaliou o comportamento das armaduras verticais 

situadas nas proximidades da intersecção entre as paredes transversais e longitudinais. 

Confrontaram-se os resultados experimentais das resultantes nas armaduras verticais principais e 

horizontais principais com os valores calculados pelo modelo de projeto proposto por Canha (2004). 

Também foi realizada a análise da transmissão das tensões de compressão nas paredes transversais 

do cálice com interface pilar colarinho-rugosa. 

2 MODELOS ANALISADOS EXPERIMENTALMENTE 

Para este trabalho, optou-se por construir um modelo com interface pilar-colarinho lisa (IL5) e 

comprimento de embutimento igual a 2,0h, e outro com interface rugosa (IR4) e comprimento de 

embutimento igual a 1,6h. A mudança em termos de geometria do cálice, deveu-se à redução da 

espessura da parede do colarinho (h c = h int /3,5 = 15cm) ao contrário do valor mínimo recomendado por 

Leonhardt & Mönnig (1977) (h c = h int /3 = 17cm). A Tabela 1 e a Figura 2 apresentam, respectivamente, 

um resumo das características geométricas e a nomenclatura da geometria dos modelos físicos 

contemplados, inclusive os ensaiados por Canha (2004) e Jaguaribe Jr. (2005). 

Tabela 1 – Características geométricas dos modelos ensaiados 

Modelo 

Interface 

e 

(cm) 

l emb 

(cm) 

h c 

(cm) 

a ch 

(graus) 

h ch 

(cm) 

l ch 

(cm) 

e’ ch 

(cm) 

IL1 Lisa 185 80 17 - - - 

IL2 Lisa 185 80 17 - - - 

IL3 Lisa 120 80 17 - - - 

IL4 Lisa 120 64 17 - - - 

IL5 Lisa 120 80 15 - - - 

IR1 Rugosa 120 64 17 45 1 6 4 

IR2 Rugosa 120 64 17 45 1 3 1 

IR3 Rugosa 120 48 17 45 1 6 4 

IR4 Rugosa 120 64 15 45 1 6 4 

A geometria dos modelos foi definida a partir de um pilar de seção transversal quadrada, de 

seção 40x40 cm. Os comprimentos de embutimento adotados foram os mínimos recomendados pela 

NBR 9062 (1985); 2,0h para interface lisa e 1,6h para interface rugosa, bem como a espessura da 

parede do colarinho (h c ), foi adotada como sendo h c = h int /3,5 = 15cm. O dimensionamento das 

armaduras do colarinho foi realizado segundo recomendações de Leonhardt & Mönnig (1977) e NBR 

9062 (1985). Em relação à excentricidade, adotou-se o valor de 1,20 m nos modelos IL5 e IR4. 

Em relação à adesão na interface pilar colarinho, resolveu-se retirá-la, com a aplicação de 

desmoldante na face interna do colarinho e face externa do pilar, na região de embutimento. Esse 

procedimento é perfeitamente plausível, pois não se garante uma perfeita adesão entre os elementos 

estruturais no caso de uma situação real de projeto. Portanto, com a retirada da adesão, apenas a 

parcela do atrito é mobilizada na interface pilar-colarinho. 


60 


Figura 2 – Nomenclatura das dimensões adotadas para os modelos físicos. 

As dimensões das chaves de cisalhamento do modelo rugoso foram adotadas como 

sendo as mínimas recomendadas pela NBR 9062 (1985) (1cm a cada 10cm de junta). 

2.1 Características dos protótipos analisados 

A seguir são apresentadas as principais propriedades dos modelos físicos ensaiados, bem 

como são destacadas as modificações em relação ao detalhamento e instrumentação dos mesmos. 

2.1.1 Dimensionamento das armaduras 

O dimensionamento das armaduras do colarinho dos protótipos foi realizado com base no 

modelo de Leonhardt & Mönnig (1977), que é o mais utilizado na prática atual de projetos, bem como 

seguiu-se as recomendações da NBR 9062 (1985) e El Debs (2000). 



61 

Com o objetivo de analisar o comportamento da região dos vértices das paredes do colarinho, 

a armadura vertical secundária foi posicionada próximo a esta região, de maneira que a mesma 

funcione como armadura vertical principal. 

Com o objetivo de facilitar a montagem e instrumentação dos Modelos, utilizou-se o mesmo 

detalhamento das armaduras horizontais adotado por Jaguaribe Jr. (2005), no qual é disposta uma 

armadura perimetral externa, complementada por quatro barras internas em forma de “U”, por 

camada. 

As armaduras do pilar foram dimensionadas para uma solicitação à flexão normal composta, 

com grande excentricidade, considerando a máxima capacidade do atuador, e a excentricidade de 

1,85m. Portanto adotou-se o mesmo detalhamento e armaduras utilizados por Canha (2004). 

2.1.2 Instrumentação das armaduras 

Com o objetivo de analisar o comportamento do cálice do protótipo IL5, foram dispostos 

extensômetros apenas nas armaduras principais do colarinho. Portanto, dispuseram-se extensômetros 

nas armaduras verticais principais, na posição de ligação colarinho-base da fundação, de maneira a 

avaliar o funcionamento dessas armaduras. De modo a avaliar o comportamento das armaduras 

verticais secundárias, foram posicionados extensômetros na mesma posição referente às armaduras 

verticais principais, inclusive nas que se situam próximo aos vértices. 

Com relação às armaduras horizontais, foram instrumentadas tanto as armaduras situadas 

nas paredes transversais, para verificar a flexão dessas paredes, como as situadas nas paredes 

longitudinais do protótipo IL5, para obtenção da força máxima transmitida por esta armadura. Como na 

pesquisa realizada por Canha (2004), verificou-se a presença de esforços de flexo-tração significativos 

na parede transversal frontal, resolveu-se aumentar o número de pontos de instrumentação das 

armaduras horizontais principais. A mesma precaução foi tomada em relação às armaduras 

horizontais principais da parede transversal posterior, embora para os protótipos com interface lisa a 

flexão desta parede não seja significativa. 

Os transdutores de deslocamento foram posicionados de maneira a avaliar a deformabilidade 

dos protótipos como um todo. Utilizou-se a mesma quantidade em relação aos modelos analisados 

por Jaguaribe Jr. (2005), todavia o posicionamento da segunda camada foi alterado, passando a se 

localizar na metade do comprimento de embutimento. 

Com o objetivo de avaliar a forma de dissipação das tensões de compressão das paredes 

transversais do colarinho para a base da fundação do protótipos com interface rugosa, foram 

dispostos extensômetros em três níveis, nas armaduras verticais principais e nas armaduras verticais 

secundárias centrais das paredes transversais do colarinho. Devido à limitação de pontos de leitura do 

sistema de aquisição de dados (aproximadamente 70 pontos), foi possível apenas instrumentar a 

camada inferior da armadura vertical secundária de uma das paredes longitudinais do colarinho. 

Também por esse motivo, não objetivou-se analisar o comportamento das armaduras verticais 

secundárias, situadas próximo aos vértices do cálice. 

Com relação às armaduras horizontais do protótipo IR4, foi instrumentada apenas uma 

camada das armaduras horizontais principais, visto que na pesquisa realizada por Canha (2004), 

comprovou-se que as deformações nos níveis superior e inferior dessa armadura não variam 

significativamente. Com o objetivo de avaliar a flexão das paredes transversais nos níveis inferiores do 

comprimento de embutimento, foi instrumentada uma camada da armadura horizontal secundária. 

Como na pesquisa realizada por Canha (2004) verificou-se a presença de esforços de flexo-tração 

significativos nas duas paredes transversais, resolveu-se aumentar o número de pontos de 

instrumentação das armaduras horizontais principais. 


62 


2.2 Dispositivos, equipamentos e instrumentos utilizados no ensaio dos protótipos 

Na Figura 3 apresenta-se o detalhamento do ensaio dos modelos físicos. Devido à limitação 

da altura de içamento, foi necessário tomar um cuidado especial quanto ao projeto das alças para içar 

os modelos no que diz respeito à altura desta, visto que, qualquer erro nesta altura poderia 

comprometer o posicionamento dos Modelos na base metálica de reação 

Figura 3 – Detalhamento do esquema de ensaio dos modelos físicos - Canha (2004). 

Na Tabela 2 são apresentadas as características dos equipamentos e extensômetros 

utilizados no ensaio dos Modelos. As especificações dos transdutores de deslocamento são 

apresentadas na Tabela 3. 



63 

Tabela 2 – Especificações dos equipamentos e instrumentos utilizados 

Equipamento/ 

instrumento 

Sistema de 

aquisição de dados 

de extensometria 

Máquina de ensaio 

servo-hidráulica 

Máquina hidráulica 

automática 

Extensômetros 

elétricos de 

resistência 

Extensômetro 

removível 

Marca Modelo Características Finalidade 

Vishay 

Measurements 

Group inc. 

INSTRON 

SYSTEM 500 - Aquisição automática de dados 

A1981Y-101 

INSTRON 8506 

Controle de 

deslocamento do 

pistão 

Controle de 

deslocamento do 

pistão 

ELE Autotest2000 Controle de força 

KYOWA 

Atuador servohidráulico 

KFG-5-120- 

C1-11 

MSI - 

GF=2,12 

Base de medida 

=20cm 

Aplicação do carregamento dos 

modelos 

Caracterização do concreto à 

compressão e das armaduras e 

chumbadores 

Caracterização do concreto à 

tração por comp. diametral e na 

flexão 

Medição das deformações do 

aço 

Medição do deslocamento do 

concreto para determinação do 

módulo de deformação 

Tabela 3 – Especificação dos transdutores de deslocamento utilizados 

Marca Finalidade Tipo 

KYOWA 

Medição dos 

deslocamentos 

DT10-D 

DT10-D 

DT10-D 

Base 

(mm) 

10 

20 

100 

Resolução 

(mm) 

0,003 

0,005 

0,02 

3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 

A seguir, são apresentados os resultados obtidos a partir da investigação experimental dos 

protótipos. 

3.1 Caracterização dos materiais 

Nas Tabelas 4 a 7 são apresentados os valores médios dos resultados obtidos nos ensaios de 

caracterização dos materiais utilizados nos protótipos. A idade do concreto refere-se ao tempo 

decorrido entre a moldagem do concreto e a data do ensaio. Vale salientar que os valores das 

propriedades mecânicas do concreto do pilar são referentes ao utilizado no protótipo IR4. A razão 

disso é o fato dos pilares terem sido moldados com o mesmo concreto, bem como os mesmos 

possuíam importância secundária nesta pesquisa. 

Tabela 4 – Propriedades mecânicas das armaduras 

F f ym (MPa) e ym (‰) f stm (MPa) 

6.3 592 2,82 719 

8.0 585 2,78 711 


64 


Tabela 5 – Propriedades mecânicas do concreto do cálice 

Protótipo 

f cm 

(MPa) 

f ctm 

(MPa) 

E cm 

(GPa) 

Idade 

(dias) 

IL5 35,5 3,13 30,02 118 

IR4 41,5 3,30 32,5 189 

Tabela 6 – Propriedades mecânicas do concreto da junta de preenchimento 

Protótipo 

f cm 

(MPa) 

f ctm 

(MPa) 

E cm 

(GPa) 

Idade 

(dias) 

IL5 59,9 4,10 39,1 118 

IR4 64,5 4,15 40,5 189 

Tabela 7 – Propriedades mecânicas do concreto do pilar 

Protótipo 

f cm 

(MPa) 

f ctm 

(MPa) 

E cm 

(GPa) 

Idade 

(dias) 

IR4 46,64 7,10 40,5 189 

3.2 Resultados dos ensaios dos protótipos 

Em relação à capacidade de transmissão de esforços, como o pilar foi dimensionado para a 

capacidade máxima do atuador (de tal maneira que a ruptura ocorresse no cálice), a resistência dos 

dois Modelos foi determinada pela força última absorvida pelo cálice de fundação, com predominância 

do escoamento das armaduras verticais principal e secundária, situadas na parede 2 e nas paredes 

longitudinais 3 e 4, como será explicitado mais adiante. 

3.2.1 Resistência e ruptura da ligação 

A Tabela 8 apresenta os resultados experimentais da força normal última e momento fletor 

último dos protótipos ensaiados. Como esperado, o Modelo IR4 apresentou uma maior capacidade 

resistente em relação ao Modelo IL5. 

Tabela 8 – Resistência experimental dos protótipos 

Modelo e (cm) N u (kN) M u (kN.m) 

IL5 1,2 287,6 345,1 

IR4 1,2 388,9 466,7 

As Figuras 4 e 5 apresentam, respectivamente, a curva força normal versus deformação 

média na primeira camada da armadura horizontal principal, situada no terço superior da parede 

transversal 1 e o descolamento da junta entre os elementos do Modelo IL5. 

Analisando as Figuras 4 e 5, constata-se que a ruptura do concreto da junta ocorreu com 

aproximadamente 70% do valor da força normal última alcançada(pois a partir desse instante ocorre 

mobilização significativa da armadura analisada), ao contrário do que se esperava, já que foi aplicado 



65 

desmoldante entre a junta e os elementos(cálice e pilar). Em relação ao Modelo IR4, a ruptura ocorreu 

com aproximadamente 77% do valor da força normal última alcançada. 

Figura 4 – Curva força aplicada versus deformação na primeira camada da armadura horizontal principal - 

Modelo IL5. 

3.2.2 Comportamento da armadura horizontal principal transversal 

Apresenta-se na Figura 6 a curva força aplicada versus deformação, para as armaduras 

horizontais principais situadas na região superior da parede transversal 1, do Modelo IL5. 

Figura 5 – Descolamento da junta entre os elementos constituintes da ligação do Modelo IL5. 

Como esperado, essas armaduras foram efetivamente solicitadas a partir do momento em que 

ocorreu uma pequena fissura na região da junta de preenchimento e conseqüentemente o 


66 


deslizamento do pilar na região de embutimento, caracterizando a ruptura da adesão existente entre 

os elementos. 

A partir deste momento ocorre a mobilização efetiva da resultante de pressões H sup no topo 

da parede transversal 1. Como esperado, os dois ramos das armaduras horizontais principais foram 

tracionados. Além disso, como pode ser observado, no momento em que ocorre o deslizamento do 

pilar na região de embutimento (força de aproximadamente 105kN), os extensômetros HST4 e HST11 

sofreram deformações negativas, indicando que a região interna da parede transversal 1 estava 

comprimida, caracterizando portanto uma flexo-tração dessa parede. 

Figura 6 – Curva força aplicada versus deformação na armadura horizontal principal transversal - Modelo IL5. 

Figura 7 – Curva força aplicada versus deformações medidas nas paredes transversais - Modelo IR4. 

Como mostrado anteriormente, ocorreu apenas um pequeno destacamento da interface pilarcolarinho, 

indicando que embora se tenha tentado retirar a adesão entre o concreto da junta e dos 



67 

elementos, a mesma contribuiu para que as deformações das armaduras horizontais principais fossem 

pequenas. Isso confirma a hipótese que a ligação apresenta um comportamento muito próximo do 

monolítico até o momento em que ocorre a perda de adesão entre o concreto da junta e dos 

elementos. 

Na Figura 7 apresenta-se a curva força aplicada versus deformação na armadura horizontal 

principal do Modelo IR4. 

Como esperado, essas armaduras foram pouco solicitadas na maior parte do ensaio, pois, 

com a presença das chaves de cisalhamento, a ligação apresenta um comportamento muito próximo 

ao de uma ligação monolítica. 

3.2.3 Comportamento das armaduras verticais principais e secundárias 

A Figura 8 apresenta a curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais 

principais e secundárias situadas nas paredes transversal 2 e longitudinais. 

Verifica-se que ocorreu o escoamento de todos os ramos das armaduras verticais principais. 

Esse comportamento já havia sido observado por Canha (2004), entretanto como já dito 

anteriormente, para este trabalho utilizou-se um detalhamento diferente para as armaduras verticais. 

Esta diferença consiste na concentração das armaduras verticais secundárias próximo aos cantos, 

mais precisamente na união com as paredes 3 e 4. Analisando a Figura 8, observa-se que essas 

armaduras contribuíram para a resistência da ligação, inclusive os ramos presentes nas paredes 

longitudinais (T7 e T8). 

Figura 8 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais e secundárias - Modelo 

IL5. 

A Figura 9 apresenta a curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais 

secundárias situadas nas paredes 2, 3 e 4. Observa-se que os ramos situados na parede transversal 2 

foram bastante solicitados, atingindo o escoamento e plastificação. 

Verifica-se que as armaduras verticais situadas nas paredes longitudinais 3 e 4 foram 

realmente mobilizadas no momento da ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos. 

Observa-se que apenas um dos ramos dessa armadura atingiu o escoamento(CL2). 


68 


Figura 9 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Modelo IL5. 

Apresenta-se na Figura 10 a curva força aplicada versus deformação média nas armaduras 

verticais secundárias situadas nas paredes 2 e 4. Observa-se que as armaduras situadas na parede 2 

foram significativamente solicitadas, contribuindo para a resistência da ligação. As armaduras situadas 

nas paredes longitudinais 3 e 4 não foram efetivamente solicitadas até o momento em que houve o 

rompimento da adesão existente entre os elementos, onde a partir deste momento ocorreu uma 

redistribuição de esforços e conseqüentemente alteração da rigidez, atingindo uma deformação 

máxima de 2,5 ‰ 

Figura 10 – Curva força aplicada versus deformação média nas armaduras verticais secundárias situadas nas 

paredes 2 e 4 - Modelo IL5. 



69 

3.3 Análise das forças resultantes nas armaduras principais dos protótipos 

A seguir, são apresentados os resultados referentes as forças atuantes nas armaduras 

verticais principais e horizontais principais dos protótipos analisados experimentalmente. 

3.3.1 Obtenção das resultantes experimentais na armadura vertical principal e nas armaduras 

horizontais principais da parede transversal 1 - Modelo IL5 

As Tabelas 9 e 10 apresentam a comparação entre os resultados teóricos e experimentais 

considerando flexo-tração e tração, respectivamente, para os ramos interno e externo das armaduras 

horizontais principais situadas no topo da parede transversal 1 do Modelos IL5: 

Tabela 9 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 supondo 

um comportamento à flexo-tração - Modelo IL5 

Protótipo Modelo Ramo externo (kN) Ramo interno (kN) 

IL5 CANHA 86,9 21,5 

Experimental 86,4 14,7 

Tabela 10 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 supondo 

um comportamento à tração - Modelo IL5 


IL5 CANHA 63,8 63,8 


Analisando a Tabela 9, constata-se uma aproximação razoável comparando os resultados 

experimentais com os obtidos teoricamente, ficando as diferenças em torno de 0,5% para o ramo 

externo e em torno de 49% para o ramo interno da armadura horizontal principal. Comparando os 

valores da Tabela 10 constata-se uma discrepância maior dos resultados, mostrando que o modelo de 

cálculo proposto por Canha (2004), considerando o comportamento à flexo-tração, é mais coerente 

com os resultados experimentais. 

3.3.2 Obtenção da resultante experimental de pressões no topo das paredes transversais - 

Modelo IR4 

A Tabela 11 apresenta os esforços obtidos experimentalmente nos ramos internos e externo 

da armadura horizontal principal situada no topo das paredes transversais 1 e 2 do protótipo IR4. 

Tabela 11 – Esforços atuantes no topo das paredes 1 e 2 - Modelo IR4 (esforços em kN) 

Parede 1 Parede 2 

R shmt1,e 54,43 R shmt2,e 54,43 

R shmt1,i 5,12 R shmt2,i 5,12 

H 1 915 H 2 915 

H top1 549 H top2 549 


70 


Com o objetivo de realizar uma análise comparativa entre resultados teóricos e experimentais, 

foi aplicado o modelo de Canha (2004) para obtenção das resultantes nos ramos interno e externo da 

armadura horizontal principal das paredes transversais 1 e 2 do Modelo IR4, considerando 

primeiramente um comportamento à flexo-tração e posteriormente um comportamento à tração para 

essas paredes. 

A Tabela 12 apresenta a comparação entre as forças atuantes nos ramos externo e interno da 

armadura horizontal principal da parede 1 do Modelo IR4, considerando um comportamento à flexotração 

para esta parede. A Tabela 13 apresenta a comparação entre as forças atuantes nos ramos 

externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2 do Modelo IR4, considerando um 

comportamento à flexo-tração. 

Tabela 12 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1, supondo 

um comportamento à flexo-tração - Modelo IR4 


IR4 CANHA 187,1 46,3 


Tabela 13 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2,supondo 

um comportamento à flexo-tração - Modelo IR4 


IR4 CANHA 179,3 44,5 


De posse dos resultados experimentais, verifica-se que a parede 2 é mais solicitada, se 

comparada com a parede 1. Observa-se também que o modelo teórico fornece melhores resultados 

para os esforços atuantes na parede 2. Verifica-se que os ramos externos da armadura horizontal 

principal situada na parede 1, foram mais solicitados que os ramos internos. O mesmo não é válido 

para a parede 2, onde observa-se um maior valor para o ramo interno. Entretanto essa diferença não 

parece significativa, em virtude das condições de ensaio. 

Tabela 14 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 - Tração - 

Modelo IR4 


IR4 CANHA 137,25 44,5 


Tabela 15 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2 - Tração - 

Modelo IR4 


IR4 CANHA 63,8 63,8 




71 

Nas Tabelas 14 e 15 são apresentados os esforços finais obtidos experimental e teoricamente 

para os ramos externo e interno das armaduras horizontais principais situadas nas paredes 1 e 2, 

respectivamente, considerando apenas esforços de tração para essas paredes. 

Observando as Tabelas 14 e 15, percebe-se uma incoerência nos resultados obtidos segundo 

o cálculo teórico, pois verifica-se que, como esperado a parede 2 apresentou uma maior intensidade 

de esforços de tração. De acordo com o modelo teórico, os esforços na parede 1 são mais intensos 

em relação aos que atuam na parede 2. 

Observa-se que ocorreu uma discrepância significativa dos resultados experimentais dos 

ramos interno e externo da parede transversal 1. Isso pode ser explicado como um provável problema 

com a aquisição dos dados. Observa-se também que os ramos internos da parede transversal 2 foram 

mais solicitados que os ramos externos, entretanto essa diferença não é significativa, dada a 

diversidade de variáveis existentes em ensaios experimentais. 

3.4 Análise da distribuição de tensões nas paredes transversais ao longo do 

comprimento de embutimento - Modelo IR4 

As Figuras 11 e 12 apresentam, respectivamente, as curvas força aplicada versus deformação 

nas armaduras verticais principais e secundárias situadas na parede transversal 1, ao longo do 

comprimento de embutimento, do Modelo IR4. 

Figura 11 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais - Parede 1 - Modelo IR4. 

Observa-se que, com exceção do extensômetro T-4, os ramos das armaduras verticais 

principais foram pouco solicitados até o momento onde ocorreu a ruptura da junta, situada na interface 

entre o pilar e o colarinho. A partir deste momento ocorre uma mobilização das armaduras, indicando 

que a região mais comprimida desta parede situa-se na porção inferior do comprimento de 

embutimento. À medida que o ramo da armadura vertical se aproxima do topo do comprimento de 

embutimento, este vai sendo menos solicitado a compressão, indicando coerência na hipótese de que 

as bielas comprimidas possuem uma menor inclinação em relação à direção horizontal na região 

superior do colarinho. 

Analisando a Figura 12 observa-se que, com exceção do extensômetro CT-11, as armaduras 

verticais secundárias situadas na parede transversal 1 foram comprimidas, com tendência de 


72 


diminuição de intensidade á medida que os ramos se aproximam da região superior do comprimento 

de embutimento. 

Figura 12 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Parede 1 - Modelo 

IR4. 

As Figuras 13 e 14 apresentam a curva força aplicada versus deformação nas armaduras 

verticais principais e secundárias situadas na parede transversal 2, ao longo do comprimento de 

embutimento, do Modelo IR4. 

Figura 13 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais Parede 2 - Modelo IR4. 

Analisando as Figuras 13 e 14 verifica-se que a partir do momento onde há a ruptura da junta, 

ocorre uma mobilização das armaduras verticais, indicando que a região inferior da parede 2 é mais 

solicitada à tração. À medida que os ramos das armaduras verticais se aproximam do topo da parede 

transversal 2, os mesmos são menos solicitados, mostrando que ocorre uma tendência das bielas 

comprimidas, formadas pelas chaves de cisalhamento, terem uma menor inclinação em relação à 

direção horizontal no topo da parede 2 do colarinho. 



73 

Figura 14 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Parede 2 - Modelo 

IR4. 

Da análise da Figura 14, constata-se que a região inferior do ramo da armadura vertical 

secundária, situada na parede 2 do Modelo IR4, foi bastante tracionada, alcançando o escoamento. O 

mesmo não se observa á medida que o ramo se aproxima da região superior do comprimento de 

embutimento. 

4 CONCLUSÕES 

O Modelo IL5 apresentou um comportamento semelhante ao de uma ligação monolítica até o 

momento em que ocorreu a ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos da ligação (pilar 

e cálice). A partir deste momento as armaduras horizontais principais foram efetivamente solicitadas, 

tracionando os ramos externo e interno desta armadura. Foi constatada a presença de valores 

negativos para as deformações dos ramos internos desta armadura, caracterizando um 

comportamento à flexo-tração para a região que compreende o terço superior do comprimento de 

embutimento, comprovando que a consideração desta região para o dimensionamento e detalhamento 

das armaduras horizontais principais é bastante coerente. 

Foi constatado o escoamento das armaduras verticais principais quando da ruptura da ligação. 

Este escoamento foi constatado tanto nas armaduras verticais situadas no encontro da parede 2 com 

as paredes longitudinais 3 e 4, quanto nas armaduras verticais situadas nas proximidades dos cantos, 

indicando que não apenas a região de intersecção, mas uma faixa que se estende para a parede 2 e 

para as paredes longitudinais, contribui para a resistência da ligação. Verificou-se também o 

escoamento da armadura vertical secundária situada no centro da parede transversal 2. 

Verificou-se que o modelo de cálculo proposto por CANHA (2004) forneceu bons resultados 

para o valor das resultantes de força atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal 

principal situada no topo da parede transversal 1. As discrepâncias foram menores quando da 

consideração de um comportamento à flexo-tração, para essa parede, ficando as diferenças em torno 

de 0.5% e 49% para os ramos externo e interno, respectivamente. 

Para o Modelo IR4 também foi constatado um comportamento semelhante ao de uma ligação 

monolítica até o momento em que ocorreu a ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos 

da ligação. A partir deste momento as armaduras horizontais principais foram efetivamente solicitadas, 

acarretando tração nos ramos externo e interno. Foi constatado que o topo da parede transversal 2 é 

mais solicitado se comparado com os resultados obtidos para a parede 1. 


74 


Foi observado que o modelo teórico proposto por CANHA (2004) fornece resultados mais 

próximos aos experimentais para a parede 2. Constata-se que o modelo teórico aplicado na análise da 

parede transversal 2 apresentou resultados mais próximos aos experimentais supondo um 

comportamento à tração para esta parede, ficando as diferenças em torno de 57% e 83% para os 

ramos externo e interno, respectivamente. 

Constatou-se que os ramos das armaduras verticais principais da parede 1 foram pouco 

solicitados até o momento onde ocorre a ruptura da junta entre os elementos constituintes da ligação. 

A partir desse momento essas armaduras são efetivamente mobilizadas, ficando a região inferior do 

colarinho comprimida. À medida que o ramo da armadura vertical se aproxima da região superior do 

colarinho, este vai sendo menos solicitado à compressão, indicando coerência na hipótese de que na 

região superior do colarinho ocorre uma diminuição no ângulo formado entre as bielas e a direção 

horizontal. Este mesmo comportamento foi observado para as armaduras verticais secundárias. 

Para as armaduras verticais principais situadas na parede 2, foi constatado que a região 

inferior do colarinho foi mais solicitada à tração. À medida que o ramo da armadura vertical principal 

se aproxima da região superior do colarinho, essa vai sendo menos solicitada à tração, indicando 

coerência na hipótese de que as bielas diminuem de inclinação em relação à direção horizontal à 

medida que se aproximam da região superior do colarinho. 


Agradecemos a CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. 


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062: Projeto e execução de estruturas 

de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 1985. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto. 

Rio de Janeiro, 2003. 

CANHA, R. M. F. et al. Analysis of the behaviour of transverse walls of socket base connections. 

Engineering Structures. 34p. 2004. (Artigo aguardando publicação). 

CANHA, R. M. F. et al. Behaviour of socket base connections emphasizing on pedestal walls. ACI 

Structural Journal. (Artigo submetido). 

CANHA, R. M. F. Estudo teórico-experimental da ligação pilar-fundação por meio de cálice em 

estruturas de concreto pré-moldado. 2004. 279p. Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – 

Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2004. 

CALIL JR., C.; CHEUNG, A. B. Silos: pressões, fluxo, recomendações para o projeto e exemplos de 

cálculo. São Carlos: EESC-USP, 2007. 240p. ISBN: 978-85-85205-71-3. 



75 

EL DEBS, M. K. Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. São Carlos: EESC-USP, 2000. 

441p. ISBN: 8585205350. 

LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto: Princípios básicos sobre armação de 

estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro: Interciência, 1977-1979. v.3. 

NUNES, V. C. P. Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes 

transversais do colarinho. 2009. 132p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – 

Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA EM MODELOS DE VIGA COM 

CONCRETOS AUTO-ADENSÁVEIS E CONCRETOS CONVENCIONAIS 

Fernando Menezes de Almeida Filho 1 & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 2 

Resumo 

O concreto auto-adensável surgiu da necessidade de se dispensar o difícil e oneroso trabalho de vibração do 

concreto, sendo definido como um material capaz de fluir dentro de uma fôrma, passando pelas armaduras e 

preenchendo a mesma, sem o uso de equipamentos de vibração. Esta pesquisa caracteriza-se como um estudo 

numérico da aderência aço-concreto, utilizando concreto do tipo auto-adensável, mediante ensaios monotônicos 

de flexão em vigas seguindo o modelo padrão do Rilem-Ceb-Fip (1973). O estudo considerou como parâmetros 

fundamentais o tipo de concreto (auto-adensável e convencional) e o diâmetro da barra (10 e 16 mm). De acordo 

com os resultados, o comportamento dos modelos de viga, tanto numérico quanto experimental, para ambos os 

concretos foi similar, mostrando que o concreto auto-adensável possui características semelhantes ao concreto 

convencional, com as vantagens da trabalhabilidade no estado fresco. Ainda, a utilização de elementos de 

contato possibilitou uma boa aproximação do comportamento experimental mostrando a provável distribuição da 

tensão de aderência na superfície de contato, embora não se tenham dados experimentais para comprovar essa 

distribuição. 

Palavras-chave: Aderência. Concreto auto-adensável. Concreto convencional. Simulação numérica. Método dos 

Elementos Finitos. Vigas. Contato. 

Abstract 

The self-compacting concrete (SCC) appeared to release the difficult and onerous work of the concrete vibration, 

being defined as a material capable to flow inside of a formwork, going through the reinforcement and filling out 

the same, without the use of any vibration equipments. This research is characterized as a numeric study of the 

bond between steel and concrete, using SCC and conventional concrete (CC), in beam tests following the 

standard model of Rilem-Ceb-Fip (1973). The study considered as fundamental parameters the concrete type 

(SCC and CC) and the bar diameter (10 and 16 mm). According to the results, the behavior of the beam models, 

as the numeric as experimental, for both concretes it was similar, showing that the SCC possesses similar 

characteristics to the conventional concrete, with the advantages of the workability in fresh state. Still, the use of 

contact elements made possible a good approach of the experimental behavior showing a probable distribution of 

the bond stress in the contact surface was similar to the theoretical approach, although experimental data could 

not prove that distribution. 

Keywords: Bond. Self-compacting concrete. Conventional concrete. Numerical simulation. FEM. Beams. Contact. 


Desde o início da utilização do concreto armado, a aderência entre aço e concreto tem sido 

objeto de estudo de diversos pesquisadores. Essa interação entre os materiais é o mecanismo que 

caracteriza o concreto armado, pois a condição de que haja aderência entre a superfície da barra de 

aço e o concreto adjacente define o comportamento das estruturas obtidas. A aderência depende, 

além das características da barra de aço, das propriedades do concreto e, portanto, seu estudo passa 

pelo conhecimento dos materiais envolvidos na sua produção. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ffilho@sc.usp.br 

2 Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, analucia@sc.usp.br 


78 

Fernando Menezes de Almeida Filho & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 

Com o passar dos anos, houve um grande desenvolvimento tecnológico dos materiais 

empregados na construção civil, dando origem aos concretos de alto desempenho e do tipo autoadensável, 

que dispensa a etapa de vibração no canteiro de obras. No estudo da aderência, 

entretanto, pouco foi observado com relação ao comportamento dessa ligação com a utilização de 

concretos auto-adensáveis. 

Atualmente, o concreto auto-adensável, ou CAA, pode ser classificado como um material de 

construção avançado. Sua composição inclui materiais inorgânicos de granulação fina, oferecendo a 

possibilidade de se utilizar pó de agregado, extremamente fino, o qual é considerado rejeito, sem 

qualquer aplicação na indústria e que demanda custo para seu descarte. Este concreto teve origem no 

Japão onde surgiu da necessidade de se dispensar o difícil e oneroso trabalho de vibração do 

concreto lançado às fôrmas, o que mostra que as principais causas de sua origem foram a economia 

de mão-de-obra (insumo que gera altos gastos em uma obra) e a durabilidade das estruturas. De 

acordo com Okamura (1997), um adensamento adequado do concreto por operários treinados era 

importante para obter estruturas duráveis; entretanto, tais operários seriam extremamente 

dispendiosos, pois, fora o correto treinamento, ainda haveria o custo da utilização de tal serviço. 

Segundo Okamura (1997), o CAA é uma mistura que pode ser adensada em qualquer local na 

fôrma, apenas por meio da acomodação devida ao seu peso próprio e sem necessidade de vibração. 

Do mesmo modo, pode ser definido como um concreto capaz de fluir dentro de uma fôrma, passando 

pelas armaduras e preenchendo a mesma, sem o uso de equipamentos de vibração. Assim, o uso do 

CAA aumenta a produtividade, reduz a mão de obra exigida e melhora o ambiente de trabalho 

(Gomes, 2002). 

O objetivo principal desta pesquisa é buscar uma representação numérica do comportamento 

da aderência aço-concreto mediante ensaios de vigas submetidas à flexão, utilizando concreto autoadensável 

e convencional (vibrado mecanicamente). 

O estudo da aderência entre o aço e o concreto envolve uma grande quantidade de variáveis, 

sendo que algumas delas ainda não têm sua influência completamente estabelecida. Dentre algumas 

das demandas existentes, destacam-se a necessidade de maiores informações a respeito do 

comportamento da aderência em vigas submetidas à flexão, verificação do comportamento da 

aderência mediante utilização de modelos numéricos e, por haver ausência de dados a respeito, da 

tecnologia de concretos auto-adensáveis no país e de sua influência no comportamento da aderência 

aço-concreto. 

A busca dessas informações motivou este projeto, do qual se esperam subsídios à futura 

normatização de ensaios de flexão e para a utilização do concreto auto-adensável na construção civil. 

2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA 

Na análise numérica da aderência, pode-se facilmente confundir o esgotamento dos diferentes 

mecanismos de aderência com outros tipos de ruptura. Assim, para que a aderência seja 

representada, o contato deve conter, pelo menos (Lundgren et al., 2002): atrito, habilidade de causar 

tensões normais no deslizamento, adesão e possibilidade de ruptura do concreto entre as nervuras. 

Segundo Kutsovos & Pavlovic (1995), a interação aço-concreto depende de dois aspectos, 

sendo eles a aderência e a rigidez na tração (tension stiffening). 

A aderência perfeita foi a primeira simplificação assumida com o objetivo de se estabelecer 

uma lei que representasse o comportamento da ligação aço-concreto. Porém, como essas leis se 

baseiam em resultados experimentais geralmente escassos, limitados e com resultados não muito 

confiáveis (Kutsovos & Pavlovic, 1995), sua aplicação é restrita. 

Quanto à hipótese de aderência perfeita em si, embora seja uma simplificação, é compatível 

com o modelo de fissura no cobrimento (smeared-crack model), sendo com isso evitada a descrição 

detalhada de efeitos locais. A perda de aderência entre o aço e o concreto próximo de uma fissura não 

contradiz a hipótese de aderência perfeita, desde que a fissura do cobrimento propague o efeito de 

fissuração como uma extensão dos pontos de integração nos elementos de barra. 

De acordo com Bangash (1989), existem duas aproximações para se determinar o 

deslizamento entre o aço e o concreto. A primeira utiliza um elemento de ligação para a aderência 

proposta por Ngo & Scordelis (1967), onde o elemento conecta um nó do elemento finito de concreto 

com outro nó do elemento finito do aço; desse modo, esse elemento não possui dimensão física, e os 

nós dos elementos de aço e concreto possuem as mesmas coordenadas. A segunda aproximação 


Análise numérica da aderência em modelos de viga com concretos auto-adensáveis e concretos convencionais 

79 

considera uma zona de aderência proposta por Groot et al. (1981), onde o comportamento da 

superfície de contato entre o aço e o concreto, e o comportamento do concreto adjacente são 

descritos por uma lei constitutiva o qual considera propriedades especiais para a zona aderente. 

Segundo as observações do estudo dos referidos autores, o modelo proposto tem a possibilidade de 

considerar o efeito do deslizamento em elementos de viga. A solução não-linear baseada no equilíbrio 

de cada nó do aço e a compatibilidade entre o aço e o concreto é determinada em sua ligação. A 

eficiência e a confiabilidade do modelo proposto foram comprovadas através de correlações entre 

análises experimentais e analíticas. 

Para se avaliar a ruptura da interface aço-concreto, pode-se utilizar o modelo combinado da 

hipótese friccional de Coulomb com um limite para a tensão máxima (Figura 1), que pode resultar em 

dois modos de ruptura distintos, sendo eles a ruptura por deslizamento e a ruptura por separação 

(Nielsen, 1998). A ruptura por deslizamento é admitida quando em uma seção a tensão de 

cisalhamento excede a resistência ao deslizamento, que pode ser determinada por dois parâmetros, 

sendo eles a coesão (c) e o coeficiente de atrito (μ). A ruptura por separação ocorre quando, em uma 

seção, a tensão de tração excede a resistência à separação (f A ). Assim, esses dois modos de ruptura 

podem ser combinados em um e este pode ser chamado de Mohr-Coulomb Modificado. 

Material de Coulomb 

modificado 

Círculo de Mohr 

Ruptura por 

deslizamento 

c 

c 

σ 3 

σ 2 

σ 1 

ϕ 

ϕ 

Ruptura por 

separação 

σ 

Ruptura por 

deslizamento 

τ 

Figura 1 – Material de Mohr-Coulomb modificado (Nielsen, 1998). 

2.1 Materiais 

Para a simulação numérica da aderência aço-concreto muitas abordagens foram 

desenvolvidas, envolvendo sempre as leis constitutivas dos materiais, sejam experimentais ou 

numéricas. Estas leis sempre procuram representar o comportamento dos materiais separadamente. 

Neste caso em particular, pode-se dizer que a simulação numérica conta com a presença de três 

materiais, sendo eles: o concreto, o aço e a zona de contato. 

Em vista disso, foi realizada uma ampla investigação bibliográfica para se avaliar os modelos 

de materiais constitutivos aplicados nas simulações numéricas desenvolvidas hoje em dia e, fica claro 

que o desenvolvimento de elementos finitos (unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) que 

representam essa interface está cada vez mais eficaz (Désir et al., 1999; Kwak & Kim, 2001; Salari & 

Spacone, 2001; Kwak & Filippou, 1997; Yankelevsky, 1997; Neto & Assan, 2003; Girard & Bastien, 

2002; Kotsovos & Pavlovic, 1995; etc). Entretanto, ainda são necessárias maiores investigações, tanto 

experimentais quanto numéricas, para melhorar o entendimento deste assunto, uma vez que a 

quantidade de fatores que influenciam seu comportamento é elevada. 

A seguir, são mostradas sucintamente as considerações com relação aos materiais utilizados 

na simulação numérica desta pesquisa, que, no caso, envolvem o modelo de arrancamento do Rilem- 

Ceb-Fip (1973). 

2.1.1 Concreto 

A simulação numérica do concreto pode ser realizada considerando modelos uniaxiais, 

biaxiais e triaxiais. 


80 


A resposta de uma estrutura submetida a um tipo de carregamento depende das relações 

tensão vs. deformação dos materiais constituintes e da magnitude da tensão. Desse modo, o concreto 

possui uma excelente característica de resistência à compressão, mas uma baixa resistência à tração, 

fazendo com que essa resistência à compressão seja o alvo primário para a utilização na construção 

civil. Com isso, diversos modelos matemáticos com o objetivo de simular o diagrama de tensão vs. 

deformação do concreto foram propostos, conforme o modelo de Scott et al. (1982). Esse modelo, de 

grande facilidade para uso computacional, apresenta para o comportamento monotônico o diagrama 

tensão vs. deformação do concreto submetido à compressão dividido em três regiões. Para o caso do 

concreto submetido à tração, esse modelo assume que o concreto apresenta comportamento linear 

elástico até o limite estabelecido para a resistência à tração do concreto (f t ’), com a inclinação igual a 

E b1 função do módulo de elasticidade longitudinal (E c ), e a inclinação E b2 , em função do módulo de 

elasticidade transversal (G). 

2.1.2 Aço 

A armadura de aço pode ser considerada com comportamento linear, para reduzir o custo 

computacional com a consideração do escoamento, visto que o comportamento de elementos 

estruturais de concreto armado é fortemente influenciado pelo escoamento da armadura (Kwak & Kim, 

2001). 

2.1.3 Interface aço-concreto 

A interface aço-concreto consiste de uma superfície descontínua de um corpo, composto de 

dois materiais, entre duas superfícies paralelas de materiais adjacentes que pode ser considerada 

infinitesimal, se levarmos em consideração o volume total do elemento estrutural. O comportamento 

da superfície depende dos materiais constituintes, que neste caso é composto de barra de aço com 

nervuras, agregados e argamassa (Désir et al., 1999); no caso da presente pesquisa, será 

considerada a barra lisa, conforme o esquema na Figur(b), com características adequadas para 

representar a barra real. 

Assim, diversas leis constitutivas para simular a interface aço-concreto têm sido desenvolvidas 

utilizando diagramas de comportamento bilinear ou trilinear associados a elementos uniaxiais, biaxiais 

e triaxiais (Désir et al., 1999; Kwak & Kim, 2001; Salari & Spacone, 2001; Kwak & Filippou, 1997; 

Yankelevsky, 1997; Bangash, 1989; Abrishami & Mitchell, 1996; Feenstra & De Borst, 1995). 

Foram realizadas pesquisas utilizando elementos de ligação do tipo mola para representar o 

deslizamento entre a barra de aço e o concreto adjacente, conforme a Figura 2. O modelo associado a 

esse elemento utiliza um processo minimizador de energia capaz de mostrar a influência da aderência 

na abertura de fissuras da interface (Chen & Baker, 2004). 

(a) 

Figura 2 – (a) Modelo de aderência na direção axial (Chen & Baker, 2004) e (b) Modelo de material de Mohr- 

Coulomb modificado adotado pelo software Ansys ® . 

(b) 

Para a presente pesquisa, a interface aço-concreto utilizou o modelo de Mohr-Coulomb 

modificado do software Ansys ® , representado na Figurb. Pode-se ver que, ao contrário dos demais 

modelos constitutivos (Kwak & Kim, 2001; Yankelevsky, 1997), este modelo adota um diagrama 

bilinear para representar o escorregamento ou separação dos materiais, onde o escorregamento da 



81 

barra ocorre depois que a tensão de coesão dos materiais seja ultrapassada. Depois de atingida a 

tensão de coesão, o escorregamento progride de acordo com o coeficiente de atrito, conforme 

ilustrado na Figurb. Quando a tensão atinge o valor referente à tensão TAUMAX, de acordo com os 

manuais do software, ocorre o descolamento ou separação dos materiais. No entanto, de acordo com 

alguns trabalhos publicados, é possível obter uma resposta numérica mais representativa do 

comportamento experimental utilizando leis constitutivas da interface que considerem a adesão 

(Girard & Bastien, 2002) e a perda progressiva de rigidez da interface antes de atingida a resistência 

da coesão entre os materiais (Kwak & Kim, 2001; Yankelevsky, 1997). 

2.2 Elementos utilizados 

Os elementos utilizados foram os disponibilizados pela biblioteca de elementos do software 

Ansys ® . Todos os elementos a seguir mostrados foram utilizados em ambos os modelos numéricos de 

arrancamento e de viga. 

O elemento finito SOLID65 é utilizado para a modelagem tridimensional de corpos sólidos 

como o concreto com ou sem armadura. Esse elemento permite fissuração na tração, esmagamento 

na compressão, deformação plástica e fluência. É definido por oito nós com três graus de liberdade 

cada um: translações nas direções x, y e z. 

O elemento finito SOLID45 é utilizado para a modelagem tridimensional de corpos sólidos. É 

definido por oito nós com três graus de liberdade cada um: translações nas direções x, y e z. Esse 

elemento permite plasticidade, fluência, dilatação térmica, rigidez à tração, grandes deslocamentos e 

deformações. 

O elemento finito TARGE170 é utilizado para representar o contato e o deslizamento entre a superfície 

“rígida” e a superfície deformável definida. Possui três graus de liberdade em cada nó, 

correspondendo às translações nas direções nodais x, y e z. As características geométricas desse 

elemento são as mesmas da face do elemento sólido ao qual está ligado. 

O elemento finito CONTA174 é utilizado para representar várias superfícies “rígidas” 

bidimensionais associadas com elementos de contato (CONTA174 ou CONTA173). Os elementos de 

contato revestem os elementos sólidos descrevendo o contorno do corpo deformável e estão 

potencialmente ligados à superfície “rígida”. Tal superfície é discretizada por uma série de elementos 

TARGE170, formando um par com a superfície de contato associada através de uma mesma 

constante. Este elemento possui três graus de liberdade em cada nó, correspondendo às translações 

nas direções nodais x, y e z. Vale salientar que as direções dos vetores normais às superfícies dos 

elementos TARGE170 e CONTA174 devem estar em sentido contrário. 

2.3 Geometria dos modelos 

A Tabela 1 ilustra a geometria do modelo viga e suas dimensões para cada diâmetro de barra. 

Tabela 1 – Geometria do modelo de viga 

Dimensão φ

82 


A Figura 3 mostra a malha em elementos finitos utilizada. Por causa da simetria da viga de 

concreto, utilizou-se ¼ do modelo. 

Modelo de viga com barra de 10 mm 

(a) Seção transversal (b) Elementos de concreto (c) Modelo completo 

Modelo de viga com barra de 16 mm 

(a) Seção transversal (b) Elementos de concreto (c) Modelo completo 

Figura 3 – Malha em elementos finitos para os modelos de viga. 

Os elementos utilizados foram os mesmos adotados na simulação numérica dos modelos de 

arrancamento, que foram o Solid65, Solid45, Conta174 e Targe170 (Ansys, 2002). A quantidade de 

elementos por modelo de viga é visto na Tabela 2. 

Tabela 2 – Quantidade de elementos utilizados para cada modelo de viga 

Elemento Viga10 Viga16 

Solid65 14330 16315 

Solid45 2030 2390 

Conta174 80 128 

Targe170 80 128 

A Figura 4 mostra o layout do ensaio e as restrições do modelo numérico. 



83 

LVDT 

Perfil metálico 

Viga 

Atuador 

Barra de aço 

Direção do carregamento 

LVDT 

Viga 

Layout do ensaio 

Modelo numérico 

Figura 4 – Layout do ensaio e modelo numérico. 

δ 

Rótula 

Barra 

de aço 

A aplicação do deslocamento no modelo foi correspondente ao deslocamento do pistão, para 

se validar os resultados de acordo com o ensaio de viga. 

A Figura 5 mostra o comportamento dos concretos e das barras de aço utilizados nos ensaios 

de viga. 

Resistência (MPa) 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Série 1 

E c 

(CAA) = 27,24 GPa 

E c 

(CC) = 27,87 GPa 

-5 

-1 0 1 2 3 4 5 


CC 

CAA 

Popovics (1973) 

Resistência (MPa) 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

E s 

(10 mm) = 207,05 GPa 

E s 

(16 mm) = 209,18 GPa 

100 

Barra de 10 mm 


0 

0 2 4 6 8 10 


Figura 5 – Comportamento do concreto (CAA e CC) e das barras de aço. 

A Tabela 3 mostra os valores obtidos dos ensaios de viga e adotados nas simulações 

numéricas e utilizados para comparação. 

Tabela 3 – Resultados dos ensaios dos modelos de viga 

Modelo 

P u δ τ u 

D 

FKN FKT 

(kN) (mm) (MPa) (mm) 

(mm) 

V-CAA-B10 32,66 3,97 13,00 0,398 3 1 12,0 

V-CAA-B16 61,99 6,59 11,57 0,938 40 1 18,0 

V-CC-B10 33,49 3,82 13,33 0,295 3 1 12,0 

V-CC-B16 70,77 7,32 13,20 0,758 40 1 18,0 

s u 

Onde, CAA e CC correspondem ao tipo de concreto utilizado e B10 e B16 correspondem ao 

diâmetro da barra de aço de 10 e de 16 mm, respectivamente. 

A Figura 6 mostra os resultados para a simulação numérica do modelo de viga utilizando o 

modelo Bonded com barra de 10 e de 16 mm. 


84 


40 

40 

35 

35 

30 

30 

Força (kN) 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Flecha (mm) 

V-CAA-B10 

V-CC-B10 

Numérico FKT = 1 

Força (kN) 

25 

20 

15 

10 

5 

V-CAA-B10 

V-CC-B10 


0 

0 1 2 3 4 5 

Deslizamento (mm) 

80 

80 

70 

70 

60 

60 

Força (kN) 

50 

40 

30 

20 

V-CAA-B16 

10 

V-CC-B16 


0 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Flecha (mm) 

Força (kN) 

50 

40 

30 

20 

10 

V-CAA-B16 

V-CC-B16 


0 

0 1 2 3 4 5 


Figura 6 – Comparação entre o resultado numérico e o experimental para os modelos de viga em CAA e em CC 

para o com barra de 10 e 16 mm. 

De acordo com os modelos experimentais com barra de 10 mm, foi visto que o 

comportamento do modelo em CAA e em CC foi semelhante. Os modelos com barra de 16 mm foram 

bem representados, da mesma forma que no caso dos modelos com barra de 10 mm apenas para o 

comportamento força vs. flecha, não apresentando uma aproximação adequada para o deslizamento. 

3 ANÁLISE DOS RESULTADOS 

O modelo numérico desenvolvido teve como parâmetros semelhantes o módulo de 

elasticidade e o carregamento aplicado e por isso, foi desenvolvido apenas um modelo numérico para 

cada diâmetro de barra. 

Viga 

δ 

5φ 

Pontos no concreto 

no comprimento de 

ancoragem para a: 

P P Barra de 10 mm 

P 1 

P 2 

P 3 

Pontos na 

P 1 

11 

P 17 

6 

P 9 

P 1 


Barra de aço 

Figura 7 – Pontos de medição para os modelos de viga. 



85 

Vale salientar que nos casos de verificação da superfície de contato, isto é, avaliação da 

distribuição e intensidade da resistência ao deslizamento do modelo numérico, tiveram como resultado 

para comparação o valor das deformações medidas no início e fim do comprimento de ancoragem e 

no meio da barra, ficando assim esses resultados como uma estimativa de como seria o 

comportamento da resistência ao deslizamento nessa superfície. 

A Figura 7 mostra os pontos de medição para cada modelo de viga, que serão adotados como 

pontos de verificação das tensões na barra de aço e de resistência de aderência. 

A Figura 8 ilustra a variação da resistência na superfície de contato durante o passo de carga 

da maior força de ruptura do modelo com barra de 10 mm. 

0 

0 

Tensão (concreto) (MPa) 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

Elementos de concreto 

-25 

Elementos de contato 

-30 

-30 

0 2 4 6 8 10 12 

Pontos de medição 

-5 

-10 

-15 

-20 

Tensão (contato) (MPa) 

Figura 8 – Tensão na superfície de contato para os modelos de viga com barra de 10 mm no passo de carga de 

força máxima aplicada. 

Pode-se ver na Figura 8, que as tensões existentes em ambos os elementos (concreto e 

contato) são de tração, ao contrário do modelo de arrancamento que possuía elementos de concreto 

comprimidos. A distribuição das tensões foi satisfatória, denotando a maior resistência ao 

deslizamento nos pontos iniciais com uma redução da resistência a partir do ponto 6 (centro do trecho 

aderente). 

Tensão (MPa) 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 


-35 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 


Ponto 1 

Ponto 9 

Ponto 17 

Tensão (MPa) 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 


Ponto 1 

Ponto 9 

Ponto 17 

-35 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 


Figura 9 – Variação das tensões nos elementos de concreto e elementos de contato. 

A Figura 9 mostra a variação das tensões na superfície de contato e no concreto adjacente à 

barra de aço, no passo de carga de maior força de ruptura. 


86 


Direção Z – Completo 

Direção Y – Completo 

Direção X – Completo 

Figura 10 – Tensões principais quando se atinge o passo de carga correspondente a força máxima de viga. 

A Figura 10 ilustra as tensões principais dos modelos numéricos de viga com barra de 10 mm 

quando do passo de carga correspondente à força de ruptura do modelo. 

Tensão (MPa) 

700 

600 

500 

400 

300 

Ponto 1 - V-CAA-B10 

200 



Ponto 1 - Numérico 

100 



0 

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 


Tensão (MPa) 

700 

600 

500 

400 

300 

Ponto 1 - V-CC-B10 

200 




100 



0 

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 



De acordo com a Figura 9, pode-se ver que o comportamento das tensões nos elementos de 

concreto e de contato foi semelhante, pois ambos permaneceram submetidos à tração. Ainda, os 

pontos 1 e 6 apresentaram comportamento similar enquanto o ponto 11 apresentou uma diferença 

significativa em seu comportamento, mostrando que os elementos de concreto possuem uma 



87 

transferência gradual para as tensões, pois as tensões do ponto 6 são maiores que as do ponto 11. Já 

os elementos de contato apresentaram um comportamento diferente, pois as tensões no ponto 11 

foram iguais à zero, e, portanto, inferiores as tensões do ponto 6. 

A Figura 11 ilustra a comparação entre as tensões provenientes dos resultados das 

deformações dos extensômetros elétricos de resistência do modelo experimental e as tensões do 

modelo numérico. 

A Figura 12 mostra a diferença entre os resultados obtidos para tensão na barra de aço. 

2,5 

Fator Bias (λ) 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 







0,0 

Figura 12 – Diferença entre as tensões na barra de aço do modelo experimental e numérico. 

De acordo com a Figura 12, pode-se ver que o modelo numérico foi menos rígido que o 

modelo experimental, apresentando um comportamento satisfatório na representação das tensões nos 

pontos 2 e 3. Já a deformação no ponto 1 apresentou muita diferença uma vez que no modelo 

numérico houve pouca transferência de esforços para esta região da barra (σy máximo do ensaio no 

ponto 1 foi de 24,5 MPa, para o modelo em CAA e 98,66 MPa para o modelo em CC) e por isso, se 

encontram fora de escala, conforme a Figura 12. 

Com relação aos modelos com barra de 16 mm, a Figura 13 ilustra a variação da resistência 

na superfície de contato durante o passo de carga da maior força de ruptura. 

-5 

-5 

Tensão (concreto) (MPa) 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

Pontos de medição 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

Tensão (contato) (MPa) 

Figura 13 – Tensão na superfície de contato para os modelos de viga com barra de 16 mm no passo de carga de 

força máxima aplicada. 

Pode-se ver na Figura 13, que as tensões existentes em ambos os elementos (concreto e 

contato) são de tração, ao contrário do modelo de arrancamento que possuía elementos de contato 

comprimidos. A distribuição das tensões foi satisfatória, denotando a maior resistência ao 


88 


deslizamento nos pontos iniciais com uma redução da resistência a partir do ponto 8 (centro do trecho 

aderente). 

A Figura 14 mostra a variação das tensões na superfície de contato e no concreto adjacente à 

barra de aço. 

Tensão (MPa) 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 


-25 

Ponto 1 

-30 

Ponto 9 

Ponto 17 

-35 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 


Tensão (MPa) 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 


-35 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 


Ponto 1 

Ponto 9 

Ponto 17 

Figura 14 – Variação das tensões nos elementos de concreto e elementos de contato. 

A Figura 15 ilustra as tensões principais dos modelos numéricos de viga com barra de 16 mm 

quando do passo de carga correspondente à força de ruptura do modelo. 

Direção Z – Completo 

Direção Y – Completo 

Direção X – Completo 




89 

De acordo com a Figura 15, pode-se ver que o comportamento das tensões nos elementos de 

concreto e de contato foi semelhante, pois ambos permaneceram submetidos à tração. Ainda, o ponto 

1 apresentou comportamento similar enquanto os pontos 9 e 17 apresentaram uma diferença 

significativa em seu comportamento, mostrando que os elementos de concreto possuem uma 

transferência gradual para as tensões, pois as tensões do ponto 8 são maiores que as do ponto 17. Já 

os elementos de contato apresentaram um comportamento diferente, pois as tensões no ponto 17 

foram maiores que as do ponto 8. 

A Figura 16 ilustra a comparação entre as tensões provenientes dos resultados das 

deformações dos extensômetros elétricos de resistência do modelo experimental e as tensões do 

modelo numérico. 

Tensão (MPa) 

700 

600 

500 

400 

300 


200 




100 



0 

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 


Tensão (MPa) 

700 

600 

500 

400 

300 


200 




100 



0 

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 



A Figura 17 mostra a diferença entre os resultados obtidos para tensão na barra de aço. 

2,5 

Fator Bias (λ) 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 







0,0 

Figura 17 – Diferença entre as tensões na barra de aço do modelo experimental e numérico. 

De acordo com a Figura 17, pode-se ver que o modelo numérico foi mais deformável que o 

modelo experimental, entretanto o comportamento foi satisfatório na representação das tensões no 

ponto 2, pois foi possível se estimar as tensões na barra de aço com uma diferença máxima de 17% 

para o modelo em CAA, e em 0,7% para o modelo em CC, entretanto o ponto 3 se mostrou muito 

deformável e a aproximação do modelo em CAA ficou em 28% e a aproximação para o modelo em CC 

ficou em 39%. A deformação no ponto 1 apresentou muita diferença uma vez que no modelo numérico 

houve pouca transferência de esforços para esta região da barra (σy máximo do ensaio no ponto 1 foi 

de 30 MPa) e por isso, se encontram fora de escala na Figura 17. 


90 


4 CONCLUSÕES 

Neste trabalho o objetivo principal foi a de propor um modelo numérico consistente para a 

representação dos ensaios estudados, de forma a permitir uma análise paramétrica mais abrangente 

do fenômeno estudado. 

De acordo com os resultados da simulação numérica, pode-se concluir que: 

i. Os resultados das simulações apresentaram uma previsão satisfatória da força de ruptura do 

ensaio. 

ii. Os modelos com barra de 16 mm apresentaram comportamentos satisfatórios, entretanto, a 

aproximação destes modelos foi menor que os modelos com barra de 10 mm. Isso pode ser explicado 

pelo tamanho da superfície de contato existente, que provavelmente, necessitaria uma maior 

discretização para uma melhor aproximação dos resultados. 

iii. Foi verificado que, à medida que se aumenta o diâmetro da barra de aço, o comportamento do 

modelo numérico tendia para o linear. Isso significa que, são necessárias mais investigações com 

relação ao nível de discretização da malha do contato e com relação aos parâmetros que influenciam 

o comportamento da interface, para uma melhor representação da tensão de aderência quando da 

utilização de barras de diâmetro de 16 mm. 

iv. Com relação à representação da tensão de aderência e das tensões nas barras de aço, 

embora não existissem dados para corroborar os resultados numéricos, a representação da superfície 

de contato pode dar uma idéia do comportamento e da variação da tensão de aderência; já as tensões 

nas barras de aço apresentaram uma aproximação satisfatória mostrando que os pontos de maior 

concentração de tensões foram bem representados e, somente o ponto 1, que representa o ponto 

após o comprimento de ancoragem, que possuía pouca transferência de tensões, se mostrou muito 

flexível em relação ao modelo experimental. 

Assim, o modelo numérico proposto se mostrou adequado para representar a força de ruptura 

e a flecha do ensaio, bem como uma boa aproximação do deslizamento existente na barra. Entretanto, 

os modelos de viga com barra de 16 mm necessitam uma melhor discretização de modo a ser 

aumentar sua aproximação com o resultado experimental. 

5 NOTAÇÃO 

P u 

δ 

s u 

τ u 

D 

FKN 

FKT 

Força de ruptura do modelo de viga, em kN; 

Flecha do ensaio no instante da força de ruptura, em mm; 

Deslizamento no instante da força de ruptura P u , em mm; 

Tensão de aderência no instante da força de ruptura P u , em MPa; 

Deslizamento aplicado pelo pistão da máquina de ensaios no modelo de viga, em mm; 

Fator de resistência normal ao deslizamento (normal contact stiffness factor), adimensional; 

Fator de resistência tangente ao deslizamento (tangent contact stiffness factor), adimensional; 


Os autores gostariam de expressar seu profundo agradecimento ao CNPq e a CAPES pelo 

apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. A FAPESP (Fundação de 

Amparo à Pesquisa de São Paulo) pelo auxílio financeiro para os ensaios, às empresas Holdercim, 

Brasil Minas S.A., Elken e Grace Brasil pela doação de material para a pesquisa e aos técnicos do 

Laboratório de Estruturas. 


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ISSN 1809-5860 

ANÁLISE TERMO-ESTRUTURAL DE PILARES DE AÇO EM SITUAÇÃO DE 

INCÊNDIO 

Érica Fernanda Aiko Kimura 1 & Jorge Munaiar Neto 2 

Resumo 

O presente trabalho tem como objetivo analisar numericamente o comportamento de pilares de aço em situação 

de incêndio, considerando condições de compartimentação do ambiente em chamas. A investigação utiliza o 

código ANSYS v9.0 por meio de análise transiente do gradiente térmico nos elementos estruturais. Foram 

elaborados modelos tridimensionais para obtenção do gradiente de temperatura e para a análise termoestrutural, 

que levam em conta as não-linearidades do material e geométrica. Os resultados foram comparados aos métodos 

propostos pela ABNT NBR 14323:1999 e EC3-1.2, nas quais se utilizam o parâmetro chamado fator de 

massividade (F), para a determinação da temperatura máxima do elemento estrutural e, conseqüentemente, para 

o dimensionamento em temperaturas elevadas. De acordo com os resultados apresentados, para as situações em 

que ocorra distribuição não-uniforme da temperatura, o fator de massividade pode conduzir a valores de 

temperatura que não condizem satisfatoriamente com a real situação de interesse na análise. 

Palavras-chave: Estruturas de aço. Incêndio. Análise térmica. Análise termoestrutural. 

COUPLED THERMAL AND STRUCTURAL ANALYSIS OF STEEL COLUMNS 

UNDER FIRE CONDITION 

Abstract 

The objective of the presented work is to develop steel columns numerical analysis considering its behavior under 

fire situation, including compartment condition of the room. The thermal and coupled thermal structural 

numerical analyses were carried out using the computational code ANSYS v9.0. Three-dimensional models taking 

account coupled thermal and structural analysis, considering material and geometric non-linearity were showed. 

The results were compared with method proposed by standard ABNT NBR: 14323-1999 and EC3-1.2, in which 

are used the section factor in order to determine the maximum structural element temperature and, consequently, 

the design in elevated temperature with respect to the collapse load. As the numerical results shows, for situations 

where non-uniform heating conditions occurs, the section factor (F), can carry out to an unsatisfactory response 

if compared with a real fire situation. 

Keywords: Steel structures. Steel columns. Fire condition. Thermal. Structural analysis. 


O objetivo do presente estudo se voltou para a análise, em caráter puramente numérico, do 

comportamento de pilares de aço constituídos de perfis pesados (soldados ou laminados) em situação 

de incêndio, com ênfase a compartimentação do ambiente proporcionado pela interação desses com 

paredes de alvenaria. Neste trabalho, também foi considerada a influência das imperfeições 

geométricas iniciais do modo global sobre o tempo de resistência ao fogo (TRF). 

O método simplificado de cálculo adotado por algumas normas nacionais, como a ABNT NBR 

14323:1999 [1], utiliza o parâmetro denominado fator de massividade para determinar a temperatura 

máxima do elemento exposto à ação térmica com base numa curva de incêndio (padronizada por 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ekimura@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jmunaiar@sc.usp.br 


94 

Érica Fernanda Aiko Kimura & Jorge Munaiar Neto 

normas técnicas) após um determinado tempo. Para barras prismáticas, o fator de massividade é 

dado pela relação entre o perímetro exposto ao fogo (u) e a área total da seção transversal (A g ). 

A aplicação do fator de massividade por meio do método simplificado foi proposta para 

situações em que o aquecimento seja simétrico e uniforme. Nas situações em que não haja simetria 

ou uniformidade na propagação do calor no elemento estrutural, este método pode conduzir a 

resultados que podem não estar em concordância com aqueles que de fato venham a ocorrer na 

prática. 

No contexto deste trabalho, para a análise acoplada termo-estrutural, foram elaborados 

modelos tridimensionais, inicialmente para fins de obtenção e validação do campo térmico. 

Posteriormente, foram construídos modelos estruturais 3-D compatíveis com os térmicos para os 

quais foram transferidos os campos térmicos com distribuição não-uniforme de temperatura. Nos 

mesmos elementos também é aplicado um carregamento estático juntamente com a consideração de 

imperfeição geométrica global, obtida por meio de “análise de autovalor” com vistas a determinar os 

esforços resistentes de pilares de aço submetidos à ação térmica em ambientes compartimentados. 

As análises numéricas foram realizadas com base nas seguintes simplificações: 

● a força de compressão é aplicada de forma centrada; 

● o gradiente de temperatura é uniforme ao longo do comprimento; 

● as vinculações em ambas as extremidades são do tipo apoio fixo na base e apoio móvel no topo. 

2 ANÁLISE PURAMENTE TÉRMICA 

A temperatura dos gases aquecidos variou conforme a curva de incêndio-padrão proposta 

pela norma internacional ISO 834 [2]. Essa curva de temperatura dos gases é adotada tanto pela 

ABNT NBR14323:1999 como pelo EC3-1.2 [3] e, de acordo com sua formulação, a temperatura média 

do forno deverá ser monitorada e controlada de acordo com a equação 1. 

g 

( ) 

θ (t)=345log 8t+1 +20 (1) 

A ação térmica na estrutura é descrita pelo fluxo de calor provocado pela diferença de 

temperatura entre os gases quentes do ambiente e os componentes da estrutura. O aumento da 

temperatura nos elementos estruturais, em conseqüência da ação térmica, causa redução da 

resistência, da rigidez e o aparecimento dos esforços solicitantes adicionais nas estruturas 

hiperestáticas. Na maioria das vezes, pode haver um colapso prematuro de um dado elemento 

estrutural (ou mesmo da estrutura), o que pode não garantir a desocupação total da edificação com o 

mínimo de segurança. 

A análise térmica realizada é do tipo transiente, a qual, por definição, é aquela que determina 

temperatura e outras grandezas térmicas em função do tempo, conforme citado em Regobello (2007) 

[4]. As propriedades térmicas fornecidas na estratégia numérica elaborada utilizando o código 

computacional ANSYS v9.0 e seus respectivos valores são citados: 

● Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67 x 10 -8 W/(m 2 K 4 ) 

● Emissividade: ε = 5,67·10 -8 

● Coeficiente de transferência de calor por convecção: α c = 25W/m 2 K (valor adotado pelo EC3-1.2 e 

pela ABNT-NBR 14323:1999). O valor de α c pode variar dependendo de fatores como a geometria e 

rugosidade da superfície, além da natureza do fluxo. 

● Condutividade térmica: segue a variação em função da temperatura descrita pela equação 2. 

a 

λ 

a=54- 300 

λ =27,3 

a 

θ 

para 

20°C ≤θ 800°C 

a 

800°C ≤θ 1200°C 

a 

(2) 

● Alongamento térmico: valores conforme conjunto de equações 3. 



95 

Δ l = 1,2.10 θ + 0,4.10 . θ − 2,416.10 

l 

Δ l = 

−2 

1,1.10 

l 

Δ l = 

−5 θ − 

−3 

2.10 

a 

6,2.10 

l 

−5 −8 −4 

a 

a 

para 

● Calor específico: valores conforme conjunto de equações 4. 

c = 425 + 0,773θ −1,69.10 θ + 2,22.10 θ 

−3 2 −6 −3 

a a a a 

13002 

ca 

= 666 + 738 −θ 

17820 

ca 

= 545 + θ − 731 

c = 650 

a 

● Densidade do aço: ρ: 7850kg/m 3 . 

a 

a 

para 

20°C< θ ≤750°C 

a 

750°C< θ ≤860°C 

a 

860°C< θ ≤1200°C 

a 

20° C ≤θ ≤ 600° 

C 

a 

600° C

96 


valores obtidos via código SuperTempCalc (STC), cujos resultados foram gentilmente cedidos por 

Valdir Pignatta e Silva, atualmente professor da Escola Politécnica da USP. Outro exemplo é tomado 

com base na edificação pertencente ao Instituto Fábrica do Milênio – EESC/USP. As tabelas 1 e 2, 

bem como as figuras 1, 2 e 3 descrevem as configurações aqui analisadas. 

Tabela 2 – Nomenclatura adotada para o exemplo ilustrado na figura 3 

Perfis analisados com base no Instituto Fábrica do Milênio: 

Pilar externo de canto submetido ao aquecimento pelo lado mais exposto à 

P – W310 x 38,7 L3811 mm 

ação térmica; 

y 

z 

X 

X 

(a) 

Figura 2 – Nomenclaturas adotadas para os exemplos de pilares analisados: (a) P - UC 203 x 203 x 46 – A, (b) P 

- UC 203 x 203 x 46 – M_[+e] e (c) P - UC 203 x 203 x 46 – M_[-e]. 

Z 

Y 

(b) 

Z 

Y 

(c) 

Figura 3 – Nomenclaturas adotadas para os exemplos de pilares analisados: P – W310 x 38,7 L3811 mm. 

(a) 

Figura 4 – Campo térmico (em o C) do perfil UC 203 x 203 x 46 –I: (a) via SuperTempcalc e (b) via ANSYS, para 

um TRF igual a 60 minutos. 

(b) 



97 

As figuras 4, 5, 6, 7 e 8 ilustram situações de campos térmicos obtidos para as configurações 

aqui analisadas. 

Figura 5 – Campo térmico (em o C) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – C, para um TRF igual a 60 minutos obtido: 

(a) via SuperTempcalc e (b) via ANSYS. 

(a) 

(b) 

(a) 

(b) 

Figura 6 – Campo térmico (em o C) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – A, para um TRF de 60 minutos, via: (a) 

SuperTempcalc e (b) via ANSYS. 

(a) 

Figura 7 – Campo térmico (em o C) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – M obtido: (a) via STC e (b) via ANSYS para 

um TRF igual a 60 minutos. 

(b) 


98 


Figura 8 – Campo térmico (em o C) do perfil P – W310 x 38,7-L3811 mm obtido pelo código ANSYS para um TRF 

igual a 60 minutos. 

3 ANÁLISE ESTRUTURAL EM TEMPERATURA AMBIENTE 

Para o desenvolvimento da análise estrutural em temperatura ambiente, já visando o 

acoplamento com o modelo térmico para análise termo-estrutural, optou-se pela modelagem utilizando 

o elemento finito SOLID45. A barra (pilar de aço) é inicialmente considerada com imperfeição 

geométrica inicial do tipo global. A configuração deslocada é obtida a partir de uma perturbação na 

sua geometria introduzida por meio de uma análise de flambagem por autovalor, como descrito em 

Almeida (2007) [5]. Por definição, essa analise prevê a resistência teórica à flambagem (o ponto de 

bifurcação) de uma estrutura, considerando a fase elástica linear. 

3.1 Relação constitutiva 

O perfil de aço segue o critério de plastificação de von Mises para materiais isotrópicos elastoplásticos 

com encruamento, representada por uma curva multilinear. A figura 9 informa o valor da 

resistência de escoamento dos exemplos em questão, bem como as relações constitutivas do aço 

utilizadas pelo EUROCODE 3-1.2 e introduzida como dado de entrada na análise numérica via 

ANSYS. A figura 10 ilustra a redução das propriedades do material, expressas como a relação entre a 

resistência e a rigidez a uma determinada temperatura θ e em temperatura ambiente, respectivamente 

para o módulo de elasticidade, tensão de escoamento e tensão de plastificação, em função da 

temperatura. 

Pilar f y [kN/cm 2 ] 

UC 203 x 203 x 46 

L=3170 mm 

W 310 x 38,1 

L=3811 mm 

27,5 

25 

(a) 

Figura 9 – (a) Tensão de escoamento dos exemplos analisados e (b) a relação constitutiva do aço-carbono em 

função da temperatura θ, fornecida ao ANSYS com base no EC3-1.2. 

(b) 



99 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

kE,θ = Eθ/ Ea 

ky,θ = fy,θ/fy 

kp,θ = fp,θ/fy 

Fator de redução 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 

Temperatura 

Figura 10 – Redução das propriedades mecânicas do aço, em função da temperatura (em o C). 

3.2 Condições de contorno 

As condições de contorno nas extremidades adotaram o modelo de rotula cilíndrica, fixo na 

base e móvel no topo, com as restrições impostas na linha paralela ao eixo y (de menor inércia). Para 

evitar o deslocamento relativo entre os nós pertencentes a essa linha na direção axial, estes foram 

acoplados em relação à mesma direção. 

3.3 Aplicação do carregamento estático 

O método de resolução seguiu a estratégia incremental-iterativa ou estratégia de Newton- 

Raphson. No caso da análise estrutural em temperatura ambiente, optou-se por controlar o tamanho 

do deslocamento incremental, o qual é aplicado no nó de menor numeração entre os nós acoplados. 

A máxima reação de apoio (em módulo), fornecida pela curva reação x deslocamento, 

corresponde à força de colapso do pilar a ser considerada como valor de referência para fins de 

comparação com aquelas a serem obtidas quando das análises termo-estruturais. A tabela 3 ilustra os 

valores de força nominal obtidas pela análise numérica e por meio dos procedimentos normativos da 

ABNT NBR 8800:2008 [6], ANSI/AISC:2005 [7]e EC3-1.1 [8], bem como os valores de cálculo obtidos 

pelas mesmas normas. 

Tabela 3 – Força máxima obtidas pela análise numérica e pelos códigos normativos, em kN 

Pilar 

Análise numérica 

ABNT-NBR 8800:2008 / 

ANSI/AISC:2005 

Eurocode 3 part 1 

UC 203 x 203 x 46 - 

L=3170 mm 

W 310 x 38,1 - 

L=3811 mm 

W 310 x 38,1 - 

L=3890 mm 

1215 1292 1255 

675 734 738 

661 718 718 

4 ANÁLISE ACOPLADA TERMO-ESTRUTURAL 

Na análise termo-estrutural, além da influência da disposição de paredes na determinação do 

campo térmico, procurou-se observar o sentido da imperfeição geométrica inicial em relação à 

localização da fonte de calor. A aplicação dos esforços solicitantes tomou a seguinte ordem: 


100 


● Inicialmente são aplicadas forças estáticas nodais em todos os nós no topo da alma, para obter as 

respostas estruturais. Sobre cada exemplo, foram realizadas nove análises acopladas termoestruturais, 

em que os níveis de carregamento aplicados respeitaram o intervalo de 10% a 90% da 

força de colapso do pilar, considerando múltiplos de 10; 

● Em seguida, já processada a parte estrutural, é aplicada a ação térmica de forma transiente, por 

meio do acoplamento com o modelo térmico. Para isso, faz-se a chamada do arquivo de respostas da 

análise térmica. As respostas finais têm influência da parcela estrutural inicialmente imposta e da parte 

térmica. 

A chapa de topo (extremidades) não recebe ação térmica. A ela são atribuídas apenas as 

propriedades físicas em regime elástico e em temperatura ambiente. Para os pilares com menor 

superfície em contato com o campo térmico, o tempo crítico (TRF) ultrapassava 150 minutos. 

4.1 Influência do sentido da imperfeição geométrica global 

No presente trabalho foi observado se o sentido do deslocamento inicial interfere no tempo 

crítico do pilar exposto ao incêndio, para situações de gradiente térmico assimétrico. O estudo sobre 

os exemplos apresentados mostrou que, situações onde o campo térmico atua no sentido oposto do 

deslocamento inicial apresentaram ligeira vantagem no TRF (tempo de resistência ao fogo), em razão 

de o lado do pilar exposto à situação de incêndio apresentar deformação de compressão no mesmo 

lado, em decorrência da força de compressão aplicada e do sentido do deslocamento inicial. 

Na presença da ação térmica, esse lado tende a apresentar deformações provocadas pela 

dilatação térmica no sentido oposto ao da compressão. A deformação axial decorrente da dilatação 

térmica é inicialmente nula e cresce com o aumento da temperatura. Em uma determinada 

temperatura, a deformação por dilatação anulará e, posteriormente, superará a deformação por 

compressão. 

Quando o pilar se encontra com imperfeição global e em situação de incêndio no mesmo 

sentido, este já tem o lado com deformação de tração em contato com a ação térmica. Logo, a 

deformação por dilatação térmica será somada a essa deformação de tração ocasionada pelo 

deslocamento inicial. Assim sendo, o TRF tende a ser mais baixo quando comparado a ambos atuando 

em sentidos opostos. O pilar se deforma por efeito da ação térmica até que este apresente uma 

temperatura tal que suas propriedades de rigidez e resistência não sejam mais suficientes para 

suportar o carregamento estático imposto. 

Na seqüência, são apresentados os gráficos relativos aos deslocamentos axial e lateral para 

os níveis de força externa aplicada entre 10% e 90% daquela força de colapso obtida em temperatura 

ambiente. Por último, é apresentado o fator de redução em função do tempo (N fi /N), definido pela 

relação entre o carregamento imposto na análise em situação de incêndio e o carregamento máximo 

alcançado pela estrutura em temperatura ambiente. 

● Exemplo 1: P - UC 203 x 203 x 46 – I 

(a) 

(b) 

Figura 11 – Deslocamento (a) axial e (b) lateral em situação de incêndio para uma força aplicada igual 727,7 kN, 

para TRF igual a 8 minutos. 



101 

35 

30 

30 

25 

25 

Deslocamento axial [mm] 

20 

15 

10 

5 

0 

-5 

0 5 10 15 20 25 30 

Tempo [minuto] 

121 kN 243 kN 364 kN 

488 kN 603 kN 728 kN 

850 kN 973 kN 1093 kN 

Tempo [minutos] 

20 

15 

10 

5 

0 

124,490 kN 

242,890 kN 

364,400 kN 

488,421 kN 

603,303 kN 

727,720 kN 

850,180 kN 

972,560 kN 

1093,300 kN 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 

Deslocamento lateral [mm] 

(a) 

(b) 

Figura 12 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral para os níveis de força aplicados correspondentes de 0,1·N a 

0,9·N. 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

y 

0,6 

z 

N fi /N 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 10 20 30 40 50 60 


TCD ANSYS NBR14323 EC 3 - 2 

Figura 13 – Fator de redução para a força axial de plastificação em relação ao TRF, obtido pelo ANSYS, TCD e 

pelos métodos simplificados da ANBT NBR 14323 e do EC3-1.2. 

●Exemplo 2: P - UC 203 x 203 x 46 – C_[+e] 

(a) 

(b) 

Figura 14 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar submetido a força axial de 728 kN, para um TRF igual a 

42 minutos, considerando imperfeição global no sentido em que foi aplicada a ação térmica. 


102 


20 

50 

40 

15 

30 


10 

5 

Deslocamento lateral da alma [mm] 

20 

10 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 

-10 

-20 

0 

-30 

0 20 40 60 80 100 120 140 

-40 

-5 


121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN 

(a) 

-50 


121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN 

Figura 15 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para níveis força aplicados entre 0,1·N e 0,9·N, com 

múltiplos de 0,1. 

(b) 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

Z 

X 

N fi /N 

0,5 

0,4 

Y 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


TCD ANSYS NBR 14323 EC 3 - 1.2 


pelos métodos simplificados da ANBT-NBR14323 e do EC3-1.2. 

● Exemplo 3: P - UC 203 x 203 x 46 – C_[-e] 

(a) 

Figura 17 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para força aplicada igual a 728 kN, considerando 

imperfeição global no mesmo sentido em que foi aplicada a ação térmica. 

(b) 



103 

20 

5 


15 

10 

5 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


0 20 40 60 80 100 120 140 

-5 

-15 

-25 

-35 

-45 

-5 


-55 



(a) 

243 kN 364 kN 488 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN 

Figura 18 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar obtido para níveis de força aplicada variando entre 0,1N 

e 0,9N, com múltiplos de 0,1. 

(b) 

1 

0,9 

0,8 

N fi,pl /N pl 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

Z 

X 

Y 

0,2 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


TCD ANSYS NBR 14323 EC 3 - 1.2 

Figura 19 – Comparação entre o TCD, o ANSYS e os métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3- 

1.2, relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF. 

Para o pilar de canto, considerando forças aplicadas variando entre 0,2·N e 0,5·N, o tempo 

obtido com campo térmico e imperfeição global aplicados no mesmo sentido resultou num TRF menor 

se comparado a imperfeição no lado oposto. O inverso aconteceu para forças aplicadas 

correspondentes a 0,6·N e 0,7·N. 

● Exemplo 4: P - UC 203 x 203 x 46 – A 

(a) 

Figura 20 – Deslocamentos (a) axial e (b) do pilar submetido à força de compressão igual a 728 kN para TRF 

igual a 14 minutos, correspondente ao tempo critico. 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 93-109, 2009 

(b)

104 


20 

60 

15 

50 


10 

5 

Deslocamento latral na alma [mm] 

40 

30 

20 

0 

10 

0 20 40 60 80 100 120 140 

-5 


0 

0 20 40 60 80 100 120 140 




(a) 

(b) 

Figura 21 – Deslocamento (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados. 

1 

0,9 

y 

0,8 

z 

0,7 

0,6 

N fi /N 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


TCD ANSYS NBR14323 EC3 - 1.2 


pelos métodos simplificados da ANBT NBR14323 e do EC3-1.2. 

● Exemplo 5: P - UC 203 x 203 x 46 – M_[+e] 

(a) 

Figura 23 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5N, ou seja, 

603 kN e TRF igual a 16 minutos. 

(b) 



105 

30 

10 

25 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 

20 

-10 


15 

10 

5 


-20 

-30 

-40 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 

-50 

-5 

-60 





(a) 

(b) 

Figura 24 – Deslocamentos (a) axial e (b) do pilar para os nove níveis de força aplicados. 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

N fi /N 

0,5 

Z 

X 

0,4 

Y 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


TCD ANSYS NBR 14323 EC3 - 1.2 

Figura 25 – Comparação entre o TCD, ANSYS e os métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3-1.2 

relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF. 

● Exemplo 6: P - UC 203 x 203 x 46 – M_[-e] 

(a) 

Figura 26 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5·N, ou seja, 

603kN e TRF igual a 14 minutos. 

(b) 


106 


30 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 

25 

-10 


20 

15 

10 

5 


-20 

-30 

-40 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 

-50 

-60 

-5 



603 kN 121,5 kN 242,3 kN 364,4 kN 488,4 kN 603,3 kN 727,7 kN 850,2 kN 927,7 kN 1093,3 kN 

121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 728 kN 850 kN 972 kN 1093 kN 

(a) 

(b) 

Figura 27 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados. 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

Nfi/N 

0,5 

0,4 

X 

0,3 

Z 

0,2 

Y 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


ANSYS TCD NBR 14323 EC 3 - 1.2 

Figura 28 – Comparação entre o TCD, ANSYS e métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3-1.2, 

relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF. 

Para os pilares mais expostos ao campo térmico, como no presente caso, com paredes de 

alvenaria em contato com a mesa do perfil, para níveis mais baixos de força aplicada (entre 10% e 

20% de N) e pequenos valores de deslocamento lateral, não foi registrada diferença significativa no 

valor do tempo crítico para ambas as configurações. 

A partir de valores de compressão aplicada equivalentes a 0,3·N até 0,9·N, o pilar submetido ao 

campo térmico e imperfeição global inicial no mesmo sentido apresenta TRF mais baixo. 

● Exemplo 7: P – W310 x 38,7 L3811 mm 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 93-109, 2009 

(a) 

Figura 29 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5N, ou seja, 

337kN e TRF igual a 7,5. 

(b)


107 

40 

30 

35 

20 

30 

10 


25 

20 

15 

10 


0 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

-10 

-20 

-30 

5 

-40 

0 

-50 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

-5 

-60 

Tempo[minutos] 




(a) 

(b) 

Figura 30 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados. 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

N fi/N 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 10 20 30 40 50 60 


ANSYS TCD EC 3 -1.2 NBR 14323 

Figura 31 – Comparação entre o fator de redução obtido via ANSYS, SuperTempcalc, métodos simplificados do 

Eurocode 3-2 e da ABNT-NBR14323:1999. 

Os gráficos das figuras 32 e 33 comparam as curvas dos fatores de redução obtidas para cada 

exemplo analisado, por meio das análises numéricas e dos métodos simplificados propostos pelos 

códigos normativos considerados. 

1 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

P - UC 203 x 203 x 46 – I 

P - UC 203 x 203 x 46 – C_+e 

P - UC 203 x 203 x 46 – C_-e 

P - UC 203 x 203 x 46 – A 

P - UC 203 x 203 x 46 – M_+e 

P - UC 203 x 203 x 46 – M_-e 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

P - UC 203 x 203 x 46 – I 

P - UC 203 x 203 x 46 – C 

P - UC 203 x 203 x 46 – A 

P - UC 203 x 203 x 46 – M 

P – W310 x 38,7 L3811 mm 

N fi/N 

0,5 

P – W310 x 38,7 L3811 mm 

N fi/N 

0,5 

0,4 

0,4 

0,3 

0,3 

0,2 

0,2 

0,1 

0,1 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


0 

0 20 40 60 80 100 120 140 


(a) 

Figura 32 – Fatores de redução dos exemplos estudados obtidos por meio do código computacional (a) ANSYS 

v9.0 e (b) TCD. 

(b) 


108 


1 

1 

0,9 

P - UC 203 x 203 x 46 – I 

P - UC 203 x 203 x 46 – C 

P - UC 203 x 203 x 46 – A 

P - UC 203 x 203 x 46 – M 

P – W310 x 38,7 L3811 mm 

0,9 

P - UC 203 x 203 x 46 – I 

0,8 

0,7 

0,6 

0,8 

0,7 

0,6 

P - UC 203 x 203 x 46 – C 

P - UC 203 x 203 x 46 – A 

P - UC 203 x 203 x 46 – M 

P – W310 x 38,7 L3811 mm 

N fi/N 

0,5 

N fi/N 

0,5 

0,4 

0,4 

0,3 

0,3 

0,2 

0,2 

0,1 

0,1 

0 

0 10 20 30 40 50 60 


0 

0 10 20 30 40 50 60 


(a) 

(b) 

Figura 33 – Fatores de redução obtidos por meio do método simplificado (a) ABNT-NBR14323:1999 e (b) 

Eurocode 3-1.2. 

5 CONCLUSÕES 

Com relação às análises puramente térmicas aqui realizadas, a semelhança dos resultados do 

ANSYS quando comparados àqueles obtidos pelo TCD, tanto para perfis isolados como para aqueles 

em contato com as paredes, comprovam a eficiência da estratégia apresentada no presente trabalho, 

possibilitando o acoplamento com o modelo estrutural em análises posteriores. 

As características relacionadas às imperfeições geométricas iniciais mostraram ter influência na 

determinação do tempo crítico de resistência ao fogo (TRF). Em condições assimétricas ou 

monossimétricas em que ambos, ação térmica e imperfeição global, respeitam o mesmo eixo de 

simetria, a imperfeição global na mesma direção e sentido em que ocorre o incêndio pode resultar num 

valor diferente de TRF quando comparado a ambos atuando em sentidos opostos. 

Nos pilares de canto dos exemplos 2 e 3, com exposição ao incêndio e imperfeição global 

inicial segundo o mesmo eixo de simetria, para os níveis mais baixos de compressão aplicada, o 

deslocamento inicial na mesma direção e sentido em que está aplicada a ação térmica resultou em 

menores valores de TRF quando comparado a ambos aplicados em sentidos opostos. No entanto, 

para os valores de força aplicada mais altos, houve uma inversão e essa configuração resultou em 

maior TRF. 

Os mesmos exemplos sugerem que, para um nível de força mais baixo, o pilar tende a 

apresentar maior deformação por dilatação antes que a redução da resistência e rigidez, proveniente 

do aumento de temperatura, seja suficiente para que ocorra o colapso. Dessa forma, pilares que 

apresentam imperfeição inicial global no mesmo sentido onde ocorre a ação térmica têm somado ao 

deslocamento inicial, aquele provocado pela dilatação. Em contrapartida, quando a compressão 

aplicada é de maior magnitude, o pilar pode atingir o colapso, devido a redução de f y e E, para baixos 

valores de deformação térmica. 

Nos exemplos 5 e 6 (paredes em contato com ambas as mesas), pode-se concluir que a 

configuração menos favorável é aquela em que a face tracionada se encontra em contato com a ação 

térmica de incêndio, pois resultou em menor TRF. Observa-se que o caso apresentado nos exemplos 

5 e 6 apresenta superfície exposta a ação térmica maior que aquela dos exemplos 2 e 3. 

A comparação entre a magnitude dos TRFs resultantes das duas configurações implica em 

conhecer o carregamento externo imposto e o gradiente de temperatura que ocorre no pilar. Os 

resultados apresentados deixam clara a necessidade de se explorar de maneira mais aprofundada a 

questão das imperfeições geométrica iniciais, tanto locais quanto globais, em magnitude e sentido, em 

estruturas onde se tem somado o fator temperatura. 

Para as análises apresentadas, foram obtidas também a curva de redução “N fi /N x tempo” e 

comparadas com as curvas obtidas pelo pacote computacional SupertempCalc (STC), e com os 

métodos simplificados da NBR14323:1999 e EC3-1.2. Embora a análise numérica do ANSYS indique 

diferentes valores de TRF para os exemplos P - UC 203 x 203 x 46 – A e P - UC 203 x 203 x 46 – M, o 

resultado obtido por meio dos métodos simplificados tanto do EC3-1.2 e NBR14323:1999 não mostra 

distinção entre ambas as configurações na resposta estrutural. Isso se deve ao fato de ambas 



109 

apresentarem o mesmo valor de fator de massividade. Nestes métodos não são considerados fatores 

a exemplo da forma de incidência da ação térmica sobre o elemento. 

Exceto para o exemplo P - UC 203 x 203 x 46 – I, os fatores de redução obtidos pelo ANSYS 

resultaram menores que aqueles obtidos via SupertempCalc, e bem diferentes das curvas obtidas por 

meio dos procedimentos simplificados nos códigos normativos. Tal fato está relacionado à maior 

precisão do ANSYS, que permite levar em conta as condições de vinculação, bem como os modos e 

amplitudes de imperfeições geométricas iniciais. 


Ao CNPq, à FAPESP e ao Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de 

Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. 


ALMEIDA, S. J. C. Análise numérica de perfis de aço formados a frio comprimidos considerando 

as imperfeições geométricas iniciais. 2007. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 2007. 

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. ANSI/AISC 360-05 – Specifications for 

structural steel buildings. Chicago, 2005. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT-NBR 8800 – Projeto e execução de 

estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro, 2008. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT-NBR 14323 – Dimensionamento de 

estruturas de aço de edifícios em situação de incêndio – Procedimento. Rio de Janeiro, 1999. 

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1993-1-2:2005 Eurocode 3 – Design of 

Steel Structures. Part 1-2: General rules – Structural Fire Design. Brussels, 2005. 

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1993-1-1:2005 Eurocode 3 – Design of 

steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings. Stage 34 draft. Brussels, 2005. 

INTERNATIONAL STANDARD. Fire-resistance tests — Elements of building construction — Part 1: 

General requirements. ISO 834-1:1999. 1999. 

KIMURA, E. F. A. Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de incêndio. 2009. 

Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos – 

Universidade de São Paulo. 2009. 

REGOBELLO, R. Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e 

mistos de aço e concreto em situação de incêndio. 2007. Dissertação (Mestrado em Engenharia de 

Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 2007. 


110

ISSN 1809-5860 

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL APLICADO À NÃO 

LINEARIDADE GEOMÉTRICA DE SÓLIDOS 

Daniel Nelson Maciel 1 & Humberto Breves Coda 2 

Resumo 

Neste trabalho uma formulação não linear geométrica alternativa do método dos elementos finitos é apresentada. 

É chamada de elementos finitos posicional por conta que as variáveis nodais são posições, ao invés de 

deslocamentos. Outra novidade da formulação proposta é a aplicação da medida de deformação de engenharia, 

facilitando a compreensão do problema não linear em face das aplicações na engenharia. Elementos tetraédricos 

isoparamétricos de ordem cúbica são empregados evitando assim o fenômeno de travamento. Vários exemplos 

são mostrados a fim de se validar a formulação aqui proposta. 

Palavras-chave: Não linearidade geométrica. Sólidos. Elementos finitos. 

POSITIONAL FINITE ELEMENT METHOD APPLIED TO GEOMETRIC 

NONLINEAR TRIDIMENSIONAL PROBLEMS 

Abstract 

An alternative nonlinear finite element approach is presented herein in this work. It called positional finite 

element method because it is considered nodal positions as variables of the non linear system instead of 

displacements. Moreover, the proposed approach applies the engineering strain measure which turns the 

nonlinear problem familiar with linear engineering problems. Isoparametric tetrahedral finite elements with 

cubic polynomial interpolation of positions and stresses are applied in order to avoid locking. Many examples are 

shown and compared with results obtained in the specialized literature. 

Keywords: Nonlinear geometric. Solids. Finite Elements. 

1 INTRODUCTION 

The good numerical representation of solids exhibiting large displacement and large strain is a 

continuous activity of a considerable number of research works. It is well known (SIMO & ARMERO, 

1992) that a lot off effort has been invested in the development of low order finite elements to obtain 

robust and non-locking three and two-dimensional elements to solve geometrically and physically nonlinear 

problems of solid mechanics. To solve the so called locking, related to low order finite elements, 

strategies based on mixed stress and strain formulations have been proposed as one can see in SIMO 

et al (1985), SIMO & TAYLOR (1985), SUSSMAN & BATHE (1987), BRINK & STEIN (1996), 

ZIENKIEWICZ & TAYLOR (2000) and SANSOUR & KOLLMANN (2000) for example. 

Hopefully, works as the ones proposed by DÜSTER et al (2003) and RANK et al (2003) revels 

that high order finite elements are locking free and less sensible to mesh geometry distortion, desirable 

properties for geometrically non-linear and large strain analysis. As mentioned by these authors, SURI 

(1996) and SZABOO & BABUSKA (1991) have shown that, for small strains, high order elements are 

locking free. High order polynomials elements have been successfully used for hyper-elastic material 

modeling in the works of DÜSTER et al (2003) and RANK et al (2002). 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, dnmaciel@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br 


112 

Daniel Nelson Maciel & Humberto Breves Coda 

This study intends to contribute with the overall research effort dedicated to geometrically nonlinear 

analysis investigating the use of the non-linear engineering strain measure as in CODA & 

GRECO (2004) to simulate three-dimensional solids subjected to large displacements. A constitutive 

relation for compressive materials is proposed for the engineering strain measure. Moderated high 

order finite elements are used avoiding locking and taking advantage of mesh generation packages. 

For three-dimensional problems an isoperimetric tetrahedron with cubic approximation element is 

adopted. The positional formulation i.e., nodal parameters are positions instead of displacements, will 

be proposed here for solid analysis. 

To solve large systems of equations the MA27 solver is used, resulting in a robust method able 

to consider thin solids and to solve complicated geometries by using any structured or non-structured 

mesh generation for hexahedral finite elements. Some examples are explored to show the versatility 

and accuracy of the proposed procedure. 

2 STRAIN MEASURE 

In this section both vector and index notations are used. The first is used to clarify the 

illustrations and the second is preferred to be used in computational implementations. 

The strain measure to be adopted in this study is called engineering strain due to its relation with 

the so called "strain gates" used at laboratory to study deformed specimen. This strain measure is the 

first object of study of almost all structural engineering courses. It is important to mention that the strain 

measure adopted in text books of linear elasticity is not the engineering strain, but its primary 

description. At undergraduate curses for example, before the linear simplifications, it is exactly the 

engineering strain concept, see HIGDON et al (1978), for instance. However, the primary concept is not 

enough to develop the proposed formulation. In order to do so its mathematical description, given for 

example in OGDEN (1984), should be resumed. 

 

Figure 1 describes two infinitesimal vectors dx and dy fixed in the initial and actual continuum 

 

configurations, respectively. Vector dx can be written as a function of its modulus and direction, called 

u , as follows: 

 

dx = u dx = udx 

(1a) 

or for index notation: 

dxi = ui dx 

jdx j 

= uidx 

(1b) 

 

The same can be done for dy , as: 

 

dy = v dy = vdy 

(2a) 

dyi = vi dy 

jdy j 

= vidy 

(2b) 

where v is a unit vector. 

e 3 

BR 

Δ x 

x 

B 0 

B 1 

f ( x ) 

y 

Δy 

y 0 

e 2 

x 0 

B 

e 1 

Figure 1 – Engineering strain definition. 


Método dos Elementos Finitos Posicional aplicado à não linearidade geométrica de sólidos 

113 

 

The vector dy is the vector dx after the configuration change, represented by the vector 

 

function f . This change of configuration is usually called deformation function; this name is avoided 

here due to misunderstandings generated among Latin speakers. As it can be seen at figure 1 letter x 

is used to represent coordinates of initial configuration and letter y to represent coordinates of actual 

configuration. Relation among these infinitesimal vectors is done directly by the gradient of the change 

of configuration function, represented by letter A, given as follows: 

 

A = Grad( f ) 

(3a) 

∂fi 

Aij 

= (3b) 

dp 

j 

Where capital letter indicates Lagrangean operation. 

 

dy = Adx 

(4a) 

dyi = Aijdx 

j 

(4b) 

substituting equations (1) and (2) into equation (4) one writes: 

 

dyv = dxAu 

(5a) 

dyvi = dxAiju 

j 

(5b) 

Making the internal product of equation (5) by itself, one writes: 

 

2 2 t t 

dy = dx u A Au 

(6a) 

2 2 

dy = dx ukAkiA iju 

j 

(6b) 

t 

where the index t means transpose. It should be mentioned that C = A A is usually called the right 

Cauchy-Green stretch tensor and it is positive definite. 

From equation (6) one achieves the stretch at any point of any fiber following a general direction u in 

the initial configuration, as: 

dy 

{ } t t 

λ (u) = = u A Au 

1/ 2 

(7a) 

dx 

dy 

λ ( u) = = { u } 1/ 2 

kAkiAijuj 

(7b) 

dx 

It is important to remember that expression (7) does not mean derivative, but the relation 

between two infinitesimal lengths, and that λ (u) is a strictly positive quantity. For more detailed 

description one can see OGDEN (1984). 

The Lagrangean longitudinal engineering strain at a point, following direction u , is defined as: 

dy − dx 

t t 

ε(u) = = { u A Au} 1/2 

− 1 = λ(u) −1 

(8a) 

dx 

dy − dx 

1/ 2 

ε( u) = = { ukAkiAijuj} − 1= λ( u) 

− 1 

(8b) 

dx 

For the sake of completeness, one can make the same for an Eulerian representation: 

 

−1 

dx = A dy 

(9a) 

t 

dxi = B 

ijdy 

j 

(9b) 

 

2 2 t −1t −1 

dx = dy v A A v 

(10a) 

2 2 −1t 

dx = dy vkAki Aijv 

j 

(10b) 

dx 

t −1t −1 

{ } 1/ 2 1 

λ′ (v) = = v A A v = 

(11a) 

dy 

λ 

dx 

λ′ ( v) = = { v } 1/ 2 

kBkiBjivj 

(11b) 

dy 


114 


Where λ′ (v) is the stretch of a fiber initially in direction u and finally in direction v , related to the final 

t 

position, i.e., Eulerian stretch. In equations (9) and (11) the tensor B is the inverse of A . 

The Eulerian engineering strain is therefore: 

dy − dx 

1 

ε′ (v) = = 1 −λ′ 

(v) = 1− 

(12) 

dy 

λ ( u ) 

To complete the engineering strain components it is necessary to define distortion. The 

Lagrangean engineering distortion is the difference between the final angle defined by two fibers θ and 

the initial angle defined by them, π /2, see figure 2. 

π 

γu 

(1) u 

= θ − 

(2) 

2 

(13) 

Figure 2 – Definition of distortion. 

The angle θ is easily calculated by the internal product of the final vectors, as: 

cos( θ ) = v (1) 

v 

(2) 

(14a) 

cos( θ ) = v(1)i 

v(2)i 

(14b) 

Using equation (5), these final vectors are given by: 

 

 

Au(1) 

Au(2) 

v(1) 

= ; v(2) 

= 

λ(u 

(1) 

) λ(u 

(2)) 

(15a) 

Au 

ij ( 1 ) j 

Au 

ij ( 2 ) j 

v(1)i 

= ; v(2)i 

= 

λ(u 

(1) 

) λ(u 

(2)) 

(15b) 

From equations (14) and (15) one achieves: 

t 

t 

⎛ u A Au ⎞ 

2 1 π 

γ 

u 1 u 2 

= a cos⎜ 

⎟ 

− 

λ( u1 

) λ( u2 

) 

(16a) 

⎝ 

⎠ 2 

⎛ u(2)kAkiAij u ⎞ 

(1)j π 

γ 

u(1) u 

= acos 

− 

(2) ⎜ λ(u (1) 

) λ(u (2) 

) ⎟ 

⎝ 

⎠ 2 

(16b) 

It is simple to write a similar expression for Eulerian distortion, however the relation among 

nominal stress and true stress (Cauchy) will be done following the principal directions (polar 

decomposition theorem) avoiding this calculation. 

For a three dimensional representation one needs six independent strain components to 

 

complete its physical representation. They are calculated choosing u1 = e1 

, u2 = e2 

and u3 = e3 

, where 

 

( e,e,e 

1 2 3) 

γ 

12 21 

is the orthonormal Cartesian base. From these considerations one finds ε 1 

, ε 

2 

, ε 

3 

, 

= γ , γ 

13 

= γ 

31 

and γ 

32 

= γ 

23 

. 



115 

For the sake of completeness it is necessary to recall that 

C 

t 

= A A or Ckj Aki Aij 

= is the right 

Cauchy-Green stretch tensor. It is positive definite, symmetric and has six independent values, OGDEN 

(1984). Any strain measure written as a function of the Cauchy-Green stretch is objective, i.e., invariant 

regarding rotations and translations and complete, see CAMPELLO et al (2003) and GREEN & 

NAGHDI (1979) for instance. 

To simplify notation, in the next developments, it is interesting to call distortion ( γ 

ij 

) for i ≠ j and 

longitudinal strain, for i = j, simply by ε ij 

. It is important to mention that ε ij 

does not respect usual 

tensor rotation; it is necessary to apply it over the Cauchy-Green stretch and, after that, calculates 

expressions (8) and (16). The value ε 

ij 

is then called pseudo-tensor of engineering strain. 

3 THE SPECIFIC STRAIN ENERGY AND NOMINAL STRESS 

From this section to the end of the paper, only index notation will be employed. As described by 

various references like OGDEN (1984), MALVERN (1969), CIARLET (1993) etc., a general hyperelastic 

material can be fully described by a specific strain energy potential u e 

written as a function of 

any objective strain measure. A classical strain energy potential for hyperelastic material will be 

discussed in the appropriate section. In our case we choose the engineering strain and write the 

specific energy potential as follows. 

1 

2 2 

2 3 

u 

e( ε ) = εkl C( a )klijεij + bεkl C( b )klij ( εij ) + c( εkl ) C( c )klij ( εij ) + d εkl C 

( d )klij ( εij 

) + .... (17) 

2 

The letters (a), (b), (c), (d),… are coefficients that can be calculated via inverse analyses to adequate 

the specific energy strain to the physical behavior of the body. The values C α 

are second order tensors 

that establish the interdependence of strains for a specific material. As it will be seen later, C ( α ) 

establishes the relation between nominal stress and engineering strain. The simplest material, the one 

to be implemented here, is the linear elastic one and, as a consequence, equation (17) reduces to: 

1 

u( 

e 

ε ) = εkl C( a )klijεij 

(20) 

2 

where C 

(a) 

is the simple Hokes' Law tensor for isotropic materials given by: 

⎡K(1 −ν ) Kν Kν 

0 0 0 ⎤ 

⎢ 

⎥ 

⎢ Kν K(1 −ν ) Kν 

0 0 0⎥ 

⎢ Kν Kν K(1 −ν 

) 0 0 0⎥ 

Ca 

= ⎢ ⎥ 

(21) 

⎢ 0 0 0 G 0 0⎥ 

⎢ 0 0 0 0 G 0⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 

0 0 0 0 0 G⎥⎦ 

where ν is the Poisson ratio and the other constants are given by, 

E 

G = 

(22) 

2( 1 + ν ) 

E 

K = 

(23) 

(1 + ν )(1 − 2 ν ) 

with E being the well known Young modulus. The bulk modulus is then achieved by K = ν K . 

It is easy to observe that the proposed strain measure has much more meaning to the ones 

accustomed to linear elasticity than any other proposed in literature to solve non-linear problems. 

To find the energy conjugate stress of the engineering strain measure, i.e., the nominal stress, 

one needs only to differentiate equation (20) regarding each strain component, i.e.: 


116 


σ 

kl 

= C( a )klijεij 

(24) 

The pseudo-tensor σ 

kl 

is called nominal engineering stress. 

By a simple comparison between equation (24) and the Hokes' Law for linear elasticity one 

concludes that each component of the nominal engineering stress has exactly the same physical 

meaning of the True Stress, Cauchy Stress, but referred to the initial configuration. This is the reason it 

is called nominal engineering stress. This stress measure and the engineering strain are physical 

quantities that can be easily evaluated at any laboratory of material characterization. 

4 POLAR DECOMPOSITION THEOREM AND TRUE STRESS 

If u 1 , u 2 and u 

3 are the principal directions of the Cauchy-Green stretch at the initial 

configuration, then, from equation (16), one concludes that γ 

12 

= γ13 = γ23 = 0 . By the Polar 

Decomposition Theorem one knows that the corresponding directions for u 1 

, u 2 

and u 3 

in the actual 

 

configuration ( v,v,v 

1 2 3) 

are also orthogonal and are the principal directions of true strain and true 

stress, see for example OGDEN (1984). 

The relation between the principal nominal stress and the principal true stress is captured 

directly by the initial and final areas relation, i.e.: 

true σ 

i 

σ 

i 

= (25) 

λ 

jλk 

where i,j,k follow cyclic permutation rule. Expression (25) informs that the area initially orthogonal to a 

principal direction at initial configuration remains orthogonal to the 'new' principal direction at the actual 

configuration. It also informs that the ratio between nominal principal stress and principal true stress is 

the inverse to the ratio between initial and actual principal areas. 

This is an important property of the nominal stress and it brings an easy physical meaning to this 

Lagrangean quantity. 

To confirm the assumed relation one writes the strain energy for initial and final configurations 

as a function of principal stress and strain as follows: 

⎧ 

0 ⎪ ε1 ε2 ε ⎫ 

3 ⎪ 

Ue = ⎨∫∫ σ 

0 

1dε1dV0 + ∫∫ σ 

0 

2dε2dV0 + ∫∫ σ 

0 

3dε3dV0⎬ 

(26) 

⎪⎩V0 V0 V0 

⎪⎭ 

true true true 

⎧ 

true ⎪ 1 true true 1 true true 1 

U ε true true 

e 1 

d 

1 

dV ε 2 

d 

2 

dV ε 

⎫⎪ 

= ⎨∫∫ σ ε + σ ε σ3 dε3 

dV 

0 ∫∫ + 

0 ∫∫ ⎬ 

(27) 

0 

⎪⎩V V V 

⎪⎭ 

0 

where U 

e 

and U true 

e 

are, respectively, the strain energy written for Lagrangian and Eulerian 

descriptions. 

For the principal axes the Jacobian of the change of configuration is easily written, resulting 

dV = JdV0 = λ1λλ 

2 3dV0 

(29) 

For any conservative mechanical system, the elastic energy should be the same despite the 

adopted material description, so: 

0 true 

Ue 

= Ue 

(30) 

Considering that the strain energy is arbitrary, using equations (25) trough (30) one achieves the 

differential relation among principal engineering and true strain, i.e: 

true dεi 

dεi 

= (31) 

λ(i) 

true 

For a Lagrangian referential one can integrate equation (31) achieving εi 

= ln( λi 

) . 

This expression corresponds exactly to the true longitudinal strain definition mentioned, for 

example, in OGDEN (1984) and CRISFIELD (1991). 



117 

5 KINEMATICAL APPROXIMATION AND POSITIONAL MAPPING 

To build the positional finite element method the engineering strain should be calculated for 

approximated configurations. Lets' define a general solid finite element. For initial configuration any 

point position belonging to this element can be calculated by the following usual mapping, see figure 3. 

0 

fi = x( 

i 

ξ1, ξ2, ξ3,X i 

) = φ ( ξ1, ξ2, ξ3 )X 

(40) 

i 

where x 

i 

is the ith coordinate of the desired point, X i 

is the ith coordinate of node , φ 

is the shape 

function associated with node and ( ξ1, ξ2, ξ3 

) are non-dimensional Gauss coordinates. The vector 

 

0 

function f can be understood as a fictitious change of configuration from the non-dimensional space 

to the initial one. 

For actual configuration a similar expression is written, changing x by y, i.e.: 

1 

fi = y( 

i 

ξ1, ξ2, ξ3,X i 

) = φ ( ξ1, ξ2, ξ3 )Y 

(41) 

i 

 

1 

The vector function f can be understood as a fictitious change of configuration from the nondimensional 

space to the actual one. 

B 0 

A0 

ξ 2 

A1 

B 1 

ξ 1 

Figure 3 – Positional mapping. 

 

The real mapping ( f ), from initial configuration to the actual one is given by: 

 

1 0 1 

f = f ( f ) − 

(42) 

 

 

1 

0 1 

where the symbol means that function f is applied over the image of (f ) − . The domain of the 

total function is B 0 

and its image is B 1 

. Function f is the change of configuration described in the 

previous section, applied here to the adopted FEM approximation. Its gradient is easily computed as 

follows. 

1 0 1 

A= A (A ) − 

(43) 

where 

j j j 

⎡∂f1 ∂f1 ∂f 

⎤ 

1 

⎢ 

⎥ 

⎢ 

∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3⎥ 

⎢ j j j j 

j ∂f2 ∂f2 ∂f 

⎥ 

2 

∂fi 

j 

Aik 

= ⎢ 

⎥ = = fi,k 

(44) 

⎢∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3⎥ 

∂ξk 

⎢ j j j 

f3 f3 f 

⎥ 

⎢ 

∂ ∂ ∂ 

3 ⎥ 

⎢⎣∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3⎥⎦ 

In equation (44) j means initial or actual (0 or 1) i means direction, k means one of the nondimensional 

variables and comma means partial differentiation. Equation (44) can be written from 

equations (40) and (41) as follows: 

0 0 

A = f = φ 

( ξ , ξ , ξ )X 

(45) 

ik i,k ,k 1 2 3 i 


118 


A = f = φ 

( ξ , ξ , ξ )Y 

(46) 

1 1 

ik i,k ,k 1 2 3 i 

It is important to mention that equation (43) is calculated numerically for each Gauss station. As 

a consequence, it is possible to calculate trials (for arbitrary actual positions) for the engineering strain 

components using equations (8) and (16). 

6 THE NUMERICAL POSITIONAL PROCEDURE 

In this section the simplicity of the technique will become clear, as no additional considerations 

regarding kinematics needs to be done to solve the geometrical non-linear problem. The principle of 

minimum potential energy can be written, for a conservative elastostatic problem, using position 

considerations (not displacements) as follows: 

Π = U e 

− Ρ 

(47) 

Where Π is the total potential energy, U e is the strain energy and Ρ is the potential energy of 

the applied forces. 

Figure 4 – Total potential energy written for a body in two different positions. 

Adopting linear constitutive relation for elastic materials, the specific strain energy is the one 

shown in equation (20) and, as it is a Lagrangean quantity, the whole strain energy stored in the body is 

written for the reference volume V 0 as: 

1 

U = e ∫uedV = 0 ∫ kl 

C( a )klij ijdV0 

2 ε ε 

(48) 

V 

V 

0 0 

The potential energy of conservative applied forces is written as 

P= Y F 

(49) 

k 

k 

In equation (41) Y k 

is the actual position occupied by all points of the body, and F k 

is its 

corresponding force. It is interesting to note that the potential energy of the applied forces may not be 

zero in the reference configuration. The total potential energy is written as 

1 

Π = ∫ εkl C( a )klijεijdV0 −FY 

k k 

(50) 

2 

V0 

From equations (45), (46), (8) and (16) it is possible to write equation (50) as a function of actual 

positions and applied external forces. From this reasoning the problem of achieving the equilibrium of 

the elastic system is the determination of the minimum of total potential energy regarding positions. It is 



119 

done by deriving equation (50) regarding positions and making it equal to zero. These steps are done 

as follows, 

∂Π 

1 ∂ 

g 

j 

= = ( εkl C( a )k limεim ) dV0 −Fj 

∂Y ∫ (51) 

j 

2 ∂Y 

V0 

j 

In equation (51) g i is a vector which for an exact situation assume null value. Splitting the 

derivative of the specific strain energy, one writes: 

1 ∂ 

1 ∂ 

∂εαβ ∂εαβ ∂εαβ 

( εklCk limεim ) = ( εklCk limεim ) = Cαβimεim 

= σαβ 

(52) 

2 ∂Yj 2 ∂εαβ 

∂Yj ∂Yj ∂Yj 

Substituting equation (52) into equation (51), results 

∂εαβ 

int 

g 

j 

= ∫ Cαβimεim dV0 − Fj = Fj − Fj 

= 0 

(53) 

∂Y 

V0 

j 

int 

where F j is the first gradient vector of the strain energy potential, understood as internal force. 

Equation (53) means that if the internal force vector is equal to the applied one the solid is at 

equilibrium. If not, vector g can be understood as the unbalanced force of the mechanical system. 

j 

It is important to remember that in this study the applied forces are conservative. Nonconservative 

forces can be introduced directly in equation (53) if desired. As mentioned before the 

actual position is the unknown of the problem, so it is necessary to solve equation (53). As the vector 

function g( 

j 

εαβ 

(Y)) 

 

is non-linear regarding nodal parameters it is necessary to expand it from an 

0 

initial trial solution, called here Y 

, as follows: 

∂g 

g ( Y) = g ( Y ) + Δ Y + O = 0 

(54) 

0 j 

2 

j j k j 

∂Yk 

0 

( Y 

) 

Remembering that forces are conservative one concludes that 

∂g 

∂Y 

j 

k 

( Y 

∂Fj 

= 

0 ∂Y 

 

) 

int 

k 

( Y 

0 

 

) 

= 

∫ 

V0 

∂ 

∂Y 

k 

⎛ ∂ε 

⎞ 

C ε dV = H 

⎜ 

⎝ 

αβ 

0 

αβim im 0 kj 

∂Y 

⎟ 

j ⎠ 0 

Y 

(55) 

where the matrix 

0 

H 

kj 

is the Hessian matrix of the total potential energy. 

The derivative inside the integral term of equation (55) is written as: 

2 

∂ ⎛ ∂εαβ ε ε 

im 

αβ 

εαβ 

Cαβ imε 

⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ 

im = Cαβim + εimC 

⎞ 

αβim 

∂Y ⎜ 

k 

Y ⎟ ⎜ 

j 

Yk Yj Yj Y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ∂ ∂ 

k ⎠ 

(56) 

Neglecting higher order errors ( O ) equation (54) is rewritten as: 

0 −1 

0 0 −1 

int 0 

( H ) g (Y ) = ( H ) ( F − F (Y )) 

2 

i 

Δ Y = − 

(57) 

k 

kj 

j 

 

kj 

j 

resulting into the Newton-Rapson procedure to solve non-linear system of equations. 

j 

 

The Newton-Rapson procedure is summarized as: One chooses a trial position Y 0 

and 

0 

calculates the unbalanced force vector g j(Y ) according to equation (51). By applying equation (57) 

0 

one finds the variation of position Δ Yk 

to correct Y . With this new position vector, one repeats the 

0 

procedure until Δ Yk 

or g j(Y ) becomes small. The error, that is, the final unbalanced force 

(residuum) is applied into the next load step if the analyzed problem is divided into load steps, if not the 

problem is solved. 


120 


To finalize the technique description the derivative of strain regarding actual nodal positions 

should be done. To be short it will be shown the derivative of the Cauchy-Green stretch tensor and the 

rest of arithmetic operations are left for the reader. 

Recalling that the Cauchy-Green stretch tensor is given by: 

t 

C = A A 

(58) 

and omitting, for simplicity, extra indices, one applies the positional FEM mapping and writes: 

0 t −1 1 t 1 0 −1 

C = [(A ) ] (A )(Y 

i 

)A(Y 

i 

)(A ) 

(59) 

Remembering that A 0 is constant regarding the actual position, the desired derivative is performed as: 

1 t 1 

∂C 0 t 1 (A )(Y 

i 

) 1 1 0 t 1 1 t A(Y 

i 

) 

[( A ) ] 

− ∂ A (Y 

0 1 

i )( A 

0 ) 

− [( A ) ] 

− ∂ ( A ) (Y 

i ) ( A ) 

− 

= + 

(60) 

∂Yj ∂Yj ∂Yj 

and, from equation (46), one has: 

∂A 

∂ 

∂Y 

∂Y 

1 i 

= ( φ ,k 

( ξ1, 

ξ2 

, ξ3 

)Y i 

) = φ,k 

( ξ1 

, ξ2 

, ξ3 

) = φ,k 

( ξ1 

, ξ2 

, ξ3 

) 

j ∂Y 

j 

∂Y 

j 

δ ( i ) j 

where the Kronecker delta assumes one if the global degree of freedom j is equal to the local (to 

the finite element) degree of freedom i and zero otherwise. The variable is the element node and 

i is the degree of freedom. It is important to mention that the present technique can be applied to any 

strain measure that is based on the Cauchy-Green stretch. 

Equation (61) indicates that the proposed procedure can be operated by means of creating 

Hessian matrix and internal forces for finite elements and composing the global matrix and internal 

force vector by summation of coincident degrees of freedom, as it is done for usual FEM procedures. 

One should remember that all operations are done in the global system of equation avoiding the use of 

rotations. 

δ 

( i 

) j 

(61) 

7 NUMERICAL EXAMPLES 

The proposed formulation is tested mainly regarding its ability of representing large 

displacement situations, using the engineering strain measure together with the positional mapping. 

One example is also provided to show the possibilities of the technique regarding hyperelastic 

materials. 

7.1 Cantilever beam subject to a transversal load applied at free end 

The structure is discretized into 48 finite elements, totalizing 319 nodes or 957 degrees of 

freedom. The analytical solution achieved by reference MATTIASSON (1981) is used to compare 

results at figure 4. In the numerical analysis the load is divided into 100 steps, in order to show the 

results at different load levels. This example is similar to the one proposed by SURI (1996) and solved 

using high order finite elements by DÜSTER et al (2003). The beam has a square cross section of 

7 

1x1m and a length of 10m. The adopted Young modulus is E = 1.27x10 

Pa and Poison Ratio ν = 0.0 . 

Following the convention of Fig. 5, in Fig. 6 and 7 the responses UX, UY are compared with the 

analytical solution. In Fig. 7 two deformed shapes for selected load levels are presented. 



121 

Figure 5 – Loading, discretization and convention. 

0.8 

Tip Displacement U y 

/L 

0.6 

0.4 

0.2 

Numerical Result 

Mattiasson 

0.0 

0 2 4 6 8 10 

Load Parameter PL 2 /EI 

Figure 6 – Comparison of results for vertical displacements. 

0.6 

0.5 

Numerical Result 

Mattiasson 

Tip Displacement U x 

/L 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0 2 4 6 8 10 

Load Parameter PL 2 /EI 

Figure 7 – Comparison of results for horizontal displacements. 


122 


As one can see the results are in perfect agreement, showing that the formulation is able to 

describe large displacements for this simple structure. It is interesting to mention that the adopted 

constitutive relation is the linear engineering one, (expression (20)). 

2 4 6 10 

Figure 8 – Some selected configurations for reference load PL 

2 / EI (no scaling). 

7.2 Clamped column 

This example is introduced to show the ability of the proposed formulation to capture instability 

configuration and its corresponding critical load. A clamped column subjected to a growing compressive 

load is analyzed, see figure 9. The adopted discretization uses sixty tetrahedral finite elements, as 

depicted in figure 10. The length of the column is L= 2m. The cross section is square with sides 

a = 0.13m. An initial lateral eccentricity of L/100 is assumed at the top of the column. The adopted 

material properties are: E = 210GPa and ν = 0 . 

P 

2 m 

Figure 9 – Analyzed column. 

Figure 10 – Finite element discretization. 



123 

The lateral displacements for the loaded point is depicted in figure 11 and compared with results 

obtained using 10 cubic frame elements based on Reissner kinematics. 

40000 

35000 

30000 

FEM 3D 

Reissner Kinematics 

Pcr - First Mode 

25000 

P (kN) 20000 

15000 

10000 

5000 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 

Lateral displacement (m) 

Figure 11 – Lateral displacement versus applied load. 

From figure 11 it is possible to identify the larger flexibility of the 3D model when compared with 

the 2D Reissner kinematics formulation. The first critical load is depicted in figure 11 and shows the 

accuracy of the proposed technique in capturing the instability of the system. At figure 12, for 

completeness, some configurations for specific load steps are depicted. 

Figure 12 – Some deformed configurations (no scaling). 

7.3 Lateral instability of a clamped beam 

This example shows the ability of the formulation on reproducing coupled instability modes. In 

this example the lateral instability of a clamped beam is studied, see figure 13. The critical load for this 

2 

problem has analytical solution ( Pcr 

= 4.013 EIGJ / L ), given by TIMOSHENKO & GERE (1961). It is 

3 

3 

important to mention that I = bh / 12 and J = hb / 3. For this example it has been 

adopted: E = 100000 , G = 50000 , L= 100, b= 1 and h= 10, where b and h are, respectively, the 

thickness and the height of the beam. Applying the analytical solution one achieves P cr 

= 47.3 . This 

value is depicted in figure 14 as a reference value for the numerical response. To run this problem 74 


124 


finite elements (543 nodes) are employed and an initial defect for torsion angle, 

adopted. 

ϕ = 0.16rad 

, is 

Figure 13 – geometry of the analyzed problem. 

The z direction is along the beam axis and y direction is the vertical one. As it can be seen, the 

discretized structure behaves as expected passing trough the critical load region with more flexibility. 

100 

80 

-U Y 

-U Z 

U X 

P CR 

60 

Load 

40 

20 

0 

0 10 20 30 40 50 

Displacement 

Figure 14 – Displacements versus applied force for the free end of the bar. 

At figure 15 one can see some one selected configuration for the analyzed problem. 

y 

x 

z 

Figure 15 – Selected deformed configuration (no scaling) 



125 

7.4 Ringed-plate 

This example is introduced to test the formulation regarding locking when leading with thin 

structures. This benchmark is used by PETCHSASITHON & GOSLING (2005) and other cited therein 

to investigate the performance of finite rotation formulations for shell structures. The ring plate is 

clamped at one edge and loaded at the other, where these edges are divided by cutting (or splitting) a 

circular (doughnut) plate (e.g. along the line AB in figure 16). The geometry, loading and material 

properties of the plate are also given in figure 16. The adopted discretization is depicted in figure 17 

and the deformed shape of the ringed plate subjected to a load factor of 80 is illustrated in figure 18. 

The number of finite elements and nodes are: 420 and 2803, respectively. The relationship between the 

incremented load (load factor) and de displacement at points A, B and C (defined in figure 15) are 

plotted and compared with those obtained by PETCHSASITHON & GOSLING (2005) at Fig. 19. From 

solutions, it is inferred that the proposed formulation is more flexible than the presented by 

PETCHSASITHON & GOSLING (2005) revealing the absence of locking for this example. 

Figure 16 – Geometry, physical parameters and loading [33]. 

Figure 17 – Discretization. 


126 


Figure 18 – Deformed configuration for load factor 80 (no scaling). 

Vertical Displacement 

2.0 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

-0.2 

Present Work: 

Point A 

Point B 

Point C 

Reference No.[23]: 

Point A 

Point B 

Point C 

0 20 40 60 80 

Load Factor 

Figure 19 – Displacement versus load factor. 

7.5 Pinched cylinder with rigid diaphragms 

A more complex thin shell is solved this time. A cylinder with rigid diaphragms is pinched by 

concentrated loads at two opposite points at its top and bottom, see figure 20. Two discretizations are 

employed to run this problem (figure 20). Taking advantage of symmetry only an octant of the cylinder 

4 

is discretized. The adopted constants are: R = 100 , h= 1, 

E = 3x10 , L = 200 and υ = 0 . At figure 21 

the results are compared with reference SANSOUR & KOLLMANN (2000) that employed an enhanced 

strain based shell finite element. 



127 

Figure 20 – Pinched cylinder geometry, loading and discretizations for 7092 DOF and 19893 DOF respectively. 

For completeness, at figure 22 two deformed configurations are depicted. 

12000 

10000 

8000 

Present Work: 

Node A (7092 DOF) 

Node B (7072 DOF) 

Node A (19893 DOF) 

Node B (19893 DOF) 

Reference [32]: 

Node A 

Node B 

Load 

6000 

4000 

2000 

0 

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 

Displacement 

Figure 21 – Displacements for points A and B. 

Figure 22 – Selected configurations (Intermediates and Final Load) no scaling. 


128 


From the results one understands that a more fine mesh is required and also a better 

distribution of it, especially by refining where big curvatures occur during deformation. 

8 CONCLUSIONS 

The positional FEM for geometrical non-linear analysis of solids has been presented and 

successfully implemented. The theory is simple and consistent. The engineering strain measure, based 

on the Cauchy Stretch Tensor, is objective and complete. The nominal stress measure is the conjugate 

of the proposed engineering strain, it is symmetric and posses an understandable physical meaning. 

Six examples demonstrate the good behavior of the formulation. In particular, the ringed plate example 

demonstrates the ability of the formulation on treating thin solids. However, the pinched cylinder case 

presents a result that, even being better than expected, shows the limitation of using solids to simulate 

shells exhibiting complicated deformations. Very good convergence for the iterative process has been 

achieved and the stress profile is reliable. Some interesting features of the formulation should be 

detached. As it is a strain based formulation it can be directly used for non-linear constitutive relations. 

The adopted stress-strain conjugate is precisely the one used at engineering laboratories, making easy 

the necessary calibration of constitutive relations for any material. A rubber-like constitutive relation has 

been implemented to demonstrate the possibilities of the formulation for future applications. Further 

developments as position control and arch length control are required to achieve good solutions at 

unstable bifurcations, snaps troughs and snap backs. The positional formulation deserves further 

studies and developments to incorporate shell elements. 

9 AKNOWLEDGEMENTS 

The Authors would like to thank CAPES and CNPq for the financial support. 

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ISSN 1809-5860 

ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM 

ENRIQUECIMENTO NODAL 

Wesley Góis 1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2 

Resumo 

Trata-se do desenvolvimento de variantes não-convencionais do Método dos Elementos Finitos (MEF), para a 

elasticidade plana, tendo-se como base a combinação das Formulações Híbrida (FHT) e Híbrida-Mista de 

Tensão (FHMT) com a técnica de enriquecimento nodal de partições da unidade. Elementos planos 

quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós foram implementados para avaliação numérica destas 

duas variantes formuladas. Ainda entre os desenvolvimentos realizados, destaca-se o estudo das condições 

necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas para a classe de problemas lineares 

considerada. Finalmente, alguns exemplos numéricos são apresentados para ilustrar o desempenho de ambas as 

abordagens, especialmente quando a técnica de enriquecimento nodal é aplicada. 

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizado. Formulação 

híbrida de tensão. Formulação híbrido-mista de tensão. Estabilidade do Método dos Elementos Finitos. 

STRESS HYBRID AND HYBRID-MIXED FINITE ELEMENTS WITH NODAL 

ENRICHMENT 

Abstract 

This work address the development of non-conventional variants of the finite element method for plane elasticity 

based on the combination of Stress Hybrid Formulation (SHF) and Stress Hybrid-Mixed Formulation (SHMF) 

with the technique of nodal enrichment of a partition of unity. Plane four-node quadrilateral and triangular threenode 

elements were implemented aiming numerical evaluation of the two variants formulated. Also among the 

developments conduced, a study on the necessary and sufficient conditions for the convergence of the 

approximate solutions to the class of linear problems considered is highlighted. Finally, some numerical 

examples are presented to illustrate the performance of both approaches, especially when the nodal enrichment 

technique is explored. 

Keywords: Finite Element Method. Generalized Finite Element Method. Stress hybrid formulation. Stress hybridmixed 

formulation. Finite Element Method Stability. 


O trabalho proposto tem por objetivo oferecer contribuições para o desenvolvimento e 

implementação computacional de duas formulações não-convencionais do Método dos Elementos 

Finitos (MEF), denominadas de Formulação Híbrida de Tensão (FHT) e Formulação Híbrido-Mista de 

Tensão. 

O tema tem origem na idéia de aplicação da técnica de enriquecimento nodal de 

aproximações para a formulação Híbrido-mista de Tensão (FHMT), proposto em Pimenta, Proença e 

Freitas (2002) e Góis (2004). Os estudos incluindo a FHT com enriquecimento nodal tiveram 

continuidade em Góis e Proença (2005, 2006a, 2006b, 2007a, 2007b, 2007c). 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, wesley@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, persival@sc.usp.br 


132 

Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença 

Vale ressaltar que na FHMT, três campos são aproximados de forma independente: tensões e 

deslocamentos no domínio e deslocamentos no contorno. Já para a FHT, dois campos são 

independentemente aproximados: as tensões no domínio e os deslocamentos no contorno. 

O enriquecimento nodal pode ser definido como a ampliação das bases aproximativas 

envolvidas, sem a necessidade de introduzir novos nós na discretização. Essa estratégia difere, 

portanto, do processo p-adaptativo do MEF clássico, onde, para certa classe de elementos finitos, 

exige-se a inserção de pontos nodais extras nos elementos em correspondência ao aumento do grau 

de interpolação, Duarte e Oden (1995, 1996). 

A análise numérica da FHMT e FHT com enriquecimento nodal foi desenvolvida utilizando-se 

dois elementos planos: o elemento quadrilateral de quatro nós e o triangular de três nós. Nas 

aproximações envolvidas na FHMT, aplica-se o conceito da partição da unidade (PU), para garantir 

continuidade em todos os campos da FHMT. O conceito da PU também é aplicado aos deslocamentos 

no contorno da FHT para, igualmente aos elementos da FHMT, garantir continuidade dos 

deslocamentos entre elementos do contorno. As aproximações das tensões no domínio da FHT não 

estão atreladas a nós e não contemplam o conceito da PU. 

Para enriquecer nodalmente as aproximações envolvidas na FHMT foram utilizadas funções 

polinomiais. Como as aproximações das tensões no domínio para a FHT não estão vinculadas aos 

nós do domínio, desenvolveu-se uma metodologia original que possibilita o enriquecimento nodal das 

aproximações das tensões no domínio da FHT que originalmente não estão atreladas a nós. Na FHT 

ambos os campos foram também enriquecidos com funções polinomiais. 

Mas um questionamento pode ser levantado no tocante à aplicação dessas formas nãoconvencionais 

do MEF: elas sempre possibilitarão soluções convergentes? 

Assim, o estudo detalhado das condições necessárias e suficientes para convergência das 

soluções obtidas com as FHT e FHMT com enriquecimento nodal é um aspecto complementar 

abordado neste trabalho. 

Dessa forma, a análise dos aspectos matemáticos relacionados às condições necessárias e 

suficientes para estabilidade e convergência das soluções obtidas para a FHT e FHMT com 

enriquecimento nodal, fundamenta-se na implementação numérica da condição de Babuška-Brezzi 

(Babuška,1971,1973; Brezzi, 1974). 

2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA E HÍBRIDO-MISTA DE TENSÃO PARA ELASTICIDADE 

Baseando-se em Freitas, Almeida e Pereira (1996), com oportuna escolha de funções peso, 

realizam-se as seguintes ponderações de Galerkin das equações de compatibilidade, equilíbrio e da 

condição de contorno de Neumann: 

T 

( ) 

∫ (1) 

T 

δσ Lu − fσ dΩ = 0 

Ω 

( ) 

∫ (2) 

T 

δu Lσ + b dΩ = 0 

Ω 

( ) 

T 

∫ δu 

Γ 

Γ 

t − Nσ dΓ = 0 

(3) 

t 

t 

Nas Eq. (1), (2) e (3) Ω é um domínio de contorno Γ e 

impostas as forças de superfícies. 

Γ 

t 

é a parte do contorno Γ onde são 

Da Eq.(1), com u− u= 0, em Γ u 

(parte do Γ onde são impostos os deslocamentos) e com o 

auxílio do teorema do Divergente, vem: 

T 

T 

T 

∫ δσ fσdΩ + ∫ ( Lδσ) udΩ − ∫ ( Nδσ) 

udΓ = 0 

(4) 

Ω Ω Γ 



133 

O contorno Γ para as formas híbridas é por definição Γ = Γi + Γu + Γt 

e considerando a 

nulidade dos deslocamentos prescritos no contorno Γ 

u 

, a Eq.(4) assume a seguinte forma: 

T T T 

T 

∫ δσ fσdΩ + ∫ ( Lδσ) udΩ −∫ ( Nδσ) udΓ 

Γ 

− ( Nδσ) 

udΓ 

t ∫ Γ 

= 0 

(5) 

i 

Ω Ω Γ Γ 

t 

onde Γ 

e 

= Γu + Γt 

é o contorno externo e Γ 

i 

é definido como contorno interno entre elementos, quando 

se introduz uma discretização do domínio Ω em elementos finitos. 

Aqui será admitida a continuidade dos deslocamentos u 

Γ i 

entre as fronteiras Γ i 

, e assim, 

estas serão interpretadas como fronteiras estáticas. 

Dessa forma, é necessário estender a ponderação de Galerkin da equação de equilíbrio Eq.(3) 

para incluir a fronteira Γ 

i 

. Com a consideração que não existem forças de superfícies t aplicadas no 

T 

contorno interno Γ 

i 

, soma-se à eq.(3) a parcela ∫ δuΓ 

( Nσ) 

dΓ referente ao equilíbrio na fronteira Γ 

i 

i 

, 

assim: 

Γ 

i 

T T T 

∫ δuΓ ( Nσ) dΓ + ( ) ( ) 

t ∫ δuΓ Nσ dΓ− δu 

i ∫ Γ 

t dΓ = 0 

(6) 

t 

Γ Γ Γ 

t i t 

As Eq.(2), (5) e (6) governam o Modelo Híbrido-Misto de Tensão e envolvem três campos 

independentes: as tensões σ e deslocamentos u incompatíveis definidas no domínio Ω e os 

deslocamentos u 

Γ t 

e u 

Γ i 

sobre o contorno. Nas Eq.(2), (5) e (6) assume-se que: N é a matriz 

constituída com as componentes do vetor normal tanto para o contorno interno Γ i 

quanto para o 

contorno externo Γ 

e 

, f representa a matriz de flexibilidade para materiais elásticos lineares isótropos, 

t é o vetor de forças superficiais aplicadas na parte Γ t 

do contorno externo e b é o vetor de forças 

volúmicas. Ainda nas Eq.(2), (5) e (6), por simplificação, admite-se a seguinte consideração: 

deslocamentos no contorno Γ 

u 

prescritos com valor nulo. 

As seguintes aproximações para os campos de tensão σ e deslocamento u no domínio Ω e 

deslocamentos u e u nos contornos Γ 

t 

e Γ 

i 

, respectivamente, podem ser introduzidas: 

Γ t 

Γ i 

σ% 

= Ss 

(7) 

Ω 

Ω 

i 

u% = U q 

(8) 

Ω 

Ω 

u% = U q 

(9) 

Γt Γt Γt 

u% = U q 

(10) 

Γi Γi Γi 

Onde 

S 

Ω 

, 

U 

Ω 

, 

U 

Γ t 

e 

U 

Γ i 

são, respectivamente, matrizes que guardam aproximações das 

tensões e deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. Já s 

Ω 

, q 

Ω 

, 

q 

Γ t 

e qΓ i 

são, respectivamente, vetores que guardam os pesos das aproximações das tensões e 

deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. 

Vale ressaltar que todas as aproximações envolvidas na FHMT são construídas pela técnica 

do MEF e consequentemente estão atreladas a nós, no caso da utilização de uma malha de cobertura 

em elementos finitos. 

Aplicando-se as aproximações das Eq. (7) a (10) nas Eq.(2), (5) e (6), gera-se o sistema de 

equações lineares que governa a FHMT: 


134 


⎡ F AΩ −AΓ −A t Γ ⎤⎧s i Ω ⎫ ⎧ 0 ⎫ 

⎢ ⎥⎪ 

A 0 0 0 q 

⎪ 

− −Q 

⎢ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎢ ⎥ − 

⎢ ⎥ 

⎢ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎣ ⎦⎩ ⎭ 

T 

Ω 

⎥ Ω 

Ω 

T 

⎨ 

q 

⎬= 

⎨ ⎬ 

−AΓ 

0 0 0 Γ Q 

t 

⎪ t ⎪ ⎪ Γt 

⎪ 

T 

−A q 

Γ 

0 0 0 ⎥ 

Γ 0 

i 

i ⎩ ⎭ 

(11) 

Na Eq.(11) foram introduzidas as seguintes matrizes: 

F= ∫ S fS 

(12) 

Ω 

T 

Ω 

Ω 

( ) T 

A = ∫ LS U dΩ 

(13) 

Ω 

Ω 

Ω Ω 

( ) 

T 

A = ∫ NS U dΓ 

(14) 

Γt 

Γ 

Ω Γt 

t 

i 

( ) 

T 

A = ∫ NS U dΓ 

(15) 

Γi 

Γ 

Ω Γi 

Q 

Ω 

Ω 

T 

= ∫ U bdΩ 

(16) 

Ω 

Q 

Γt 

= ∫ U tdΓ 

(17) 

Γt 

T 

Γt 

Especificamente para a FHT, as funções aproximativas das tensões no domínio S 

Ω 

devem 

satisfazer localmente a equação de equilíbrio, ou seja, as aproximações das tensões são autoequilibradas. 

Considerando-se que a equação de equilíbrio correspondente é identicamente satisfeita 

na hipótese de forças volúmicas nulas, tem-se: 

LSΩ 

= 0 

(18) 

Nessa condição, as matrizes 

seguinte forma: 

A Ω 

e 

Q Ω 

se anulam e a Eq.(11) se simplifica e assume a 

⎡ F −AΓ −A ⎤⎧ 

t Γ s ⎫ ⎧ 

i Ω 

0 ⎫ 

⎢ ⎥⎪⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎢− A 0 0 ⎥⎨q ⎬= ⎨−Q 

⎬ 

T 

Γ Γ Γ 

t t t 

⎢ T 

⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎣⎢− AΓ 

0 0 q 

i 

⎥⎪ ⎦⎩ Γ 

0 

i⎭⎪ 

⎩ ⎭ 

(19) 

3 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM 


Como na FHMT e FHT há aproximações definidas no domínio e contorno dos elementos, para 

aplicação do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) definem-se suportes ou nuvens 

associadas tanto ao domínio quanto ao contorno do elemento. Assim, considere-se uma malha de 

elementos finitos como apresenta a Figura 1. 



135 

Figura 1 – Nuvens de influência para as malhas de cobertura: domínio (bidimensional) e contorno 

(unidimensional). 

A malha de cobertura é utilizada para definir as nuvens de domínio ω 

j 

e as nuvens de 

contorno ω 

j Γ 

. As nuvens de domínio e contorno em destaque na Figura 1 são formadas, 

respectivamente, por elementos 

Ωe 

e Γ 

i 

que possuem nós em comum de domínio 

x 

j 

e contorno 

Nesta pesquisa os elementos quadrilaterais de quatro nós (ver Figura 2) e os triangulares de 

três nós (ver Figura 3) são os elementos utilizados para composição das nuvens de domínio da FHT e 

da FHMT. Os elementos das nuvens de contorno são definidos nos lados de cada um dos 

elementos quadrilaterais e triangulares de domínio. 

Em ambas as formulações a geometria do elemento quadrilateral (ver Figura 2) é construída 

com a utilização de funções bilineares Lagrangianas convencionais, definidas nas Eq.(20) a Eq.(23). 

x 

j Γ 

. 

Figura 2 – Elemento quadrilateral de quatro nós. 

1 

φ1 

= ( ξ−1)( η − 1) 

(20) 

4 


136 


1 

φ2 

=− ( ξ+ 1)( η − 1) 

(21) 

4 

1 

φ3 

= ( ξ+ 1)( η + 1) 

(22) 

4 

1 

φ4 

=− ( ξ− 1)( η + 1) 

(23) 

4 

onde ξ e η são as coordenadas adimensionais entre -1 e 1. 

Para a construção da geometria do elemento triangular (ver Figura 3) é comum a utilização 

das coordenadas triangulares normalizadas, como mostram as Eq.(24) a Eq.(26). 

Figura 3 – Elemento triangular de três nós. 

ξ 

A 

1 

1 

= (24) 

Ae 

ξ 

ξ 

2 

3 

A 

A 

2 

= (25) 

A 

A 

e 

3 

= (26) 

e 

onde A 

1, A 

2 

e A 

3 

são as áreas identificadas na Figura 3 e 

mesma figura. 

A 

e 

é a área total do triângulo desta 

A geometria dos elementos de contorno da FHT/FHMT é desenvolvida com as funções 

lineares Lagrangianas clássicas. Para os elementos do contorno nos lados dos elementos 

quadrilaterais, escreve-se: 

1 

ψ1 

=− ( ξ− 1) 

(27) 

2 



137 

1 

ψ2 

= ( ξ+ 1) 

(28) 

2 

Já para os elementos do contorno nos lados dos elementos triangulares, tem-se: 

1 

( ) 

ψ = 1− ξ 

(29) 

ψ2 

= ξ 

(30) 

onde ξ para as Eq.(27) e (28) varia entre -1 e 1 e nas Eq.(29) e (30) varia entre 0 e 1. 

Para aproximações das variáveis de tensão e deslocamentos no domínio e deslocamentos no 

contorno dos elementos quadrilateral e triangular da FHMT serão adotadas as mesmas funções 

utilizadas na aproximação da geometria destes elementos, Eq.(20) a Eq.(30). Assim, as matrizes 

aproximativas definidas nas Eq.(12) a Eq.(17), são agora tomadas para os domínios Ω 

e 

e contorno Γ 

( Γ ou ) dos elementos. 

t eΓt 

Γ 

i eΓi 

O enriquecimento dos campos de domínio Ω da FHMT, que estão atreladas aos nós de uma 

malha de cobertura, pode ser conduzido com auxílio de funções polinomiais h , j = 1,...,N e 

ne 

= 1,...,I() 

j . Aqui Né o número total de nós no domínio Ω e ( ) 

I j é o contador para o número de 

funções adicionadas a cada nó de índice j . Assim, escreve-se a família de funções típicas do MEFG 

para as tensões no domínio: 

N 

N 

{ S } { S h } : j 1,...,N;n 1,...,I() 

j 

j j e 

} 

j= 1 j= 

1 

I = ∪ = = (31) 

2 

N Ω Ω jn e 

utilizada para construir a seguinte aproximação: 

N 

ne 

⎧ 

⎫ 

ˆσ = SΩ ⎨s j Ω 

+ h 

j jibji 

⎬ 

j= 1 ⎩ i= 

1 ⎭ 

∑ ∑ (32) 

jn e 

onde 

S 

Ω j 

são as aproximações das tensões atreladas ao nó j , 

s 

Ω j 

são os graus de liberdade de 

tensões associadas às funções de forma originais e b 

ji 

são os novos parâmetros nodais 

correspondentes a cada uma das parcelas de enriquecimento. 

No que diz respeito ao enriquecimento dos campos de deslocamentos no domínio e contorno, 

aplica-se um procedimento análogo ao enriquecimento das tensões no domínio. 

Assim, considerando especificamente o elemento quadrilateral de quatro nós, as matrizes de 

aproximação das tensões e deslocamentos no domínio são representadas, respectivamente, da 


[ ] 

S = φΔ φΔ φΔ φΔ 

(33) 

Ωe 

1 1 2 2 3 3 4 4 

[ ] 

U = φΔ φΔ φΔ φΔ 

(34) 

Ωe 

1 1 2 2 3 3 4 4 

onde φ 

j, j = 1,...,4 são as funções bilineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó j de domínio. A 

matriz de interpolação dos deslocamentos no contorno Γ 

t 

e Γ 

i 

é dada por: 

U ou U = ⎡ψΔ ψΔ ⎤ 

⎣ ⎦ 

(35) 

Γi Γt 1 Γ1 2 Γ2 


138 


onde ψ 

j 

,j 

Γ Γ 

= 1,2 são as funções lineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó j Γ 

da malha de 

contorno. 

Nas Eq.(33) a (35), Δ j 

e são as matrizes de enriquecimento polinomial atreladas, 

ΔΓ jΓ 

respectivamente, ao nó de domínio j e ao nó de contorno j Γ 

. 

Considere-se agora que as matrizes de enriquecimento polinomial sejam dadas por: 

Δ 

j 

= ⎡I3 h113 I hjkI3 hjn I ⎤ 

⎣ 

K K 

e 3 ⎦ 

(36) 

quando do enriquecimento do campo de tensões no domínio; 

Δ 

j 

= ⎡I2 h112 I hjkI2 hjn I ⎤ 

⎣ 

K K 

e 2 ⎦ 

(37) 

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no domínio; e 

Δ = ⎡I h I K h I K h I ⎤ 

(38) 

Γ j 2 112 j Γ ⎣ Γ k 2 j Γ n e 2 Γ ⎦ 

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no contorno. 

Nas Eq.(36) a (38), I 2 

e I 3 

são as matrizes identidades de segunda e terceira ordem 

respectivamente, uma vez que em cada nó são definidos três graus de liberdade de tensão no 

domínio e dois de deslocamentos de domínio e contorno. 

Claramente, se as funções hjn e 

e hjn eΓ 

são nulas, preserva-se, com as matrizes I 2 

e I 3 

, a 

estrutura convencional do MEF. 

Formas habituais para as funções bolhas hjn e 

e h 

jn eΓ 

(expressas em coordenadas naturais) 

são: 

• x 

• y 

( ) ( ) 

h ξ,η = φ x + φ x + φ x + φ x − x 

(39) 

jne 

1 1 2 2 3 3 4 4 j 

• xy 

( ) ( ) 

h ξ,η = φ y + φ y + φ y + φ y − y 

(40) 

jne 

1 1 2 2 3 3 4 4 j 

2 

• x 

2 

• y 

( ) ( ) ( ) 

hjn ξ,η = ⎡ 

e ⎣ φ1x1+ φ2x2 + φ3x3 + φ4x4 − x ⎤⎡ 

j⎦⎣ φ1y1+ φ2y2 + φ3y3 + φ4y4 −y 

⎤ 

j⎦ (41) 

( ) ⎡( ) 

hjn ξ,η = 

e ⎣ φ1x1 + φ2x2 + φ3x3 + φ4x4 −x 

⎤ 

j ⎦ (42) 

2 



139 

• x 

• y 

( ) ⎡( ) 

hjn ξ,η = 

e ⎣ φ1y1 + φ2y2 + φ3y3 + φ4y4 −y 

⎤ 

j ⎦ (43) 

eΓ 

( ) ( ) 

h ξ,η = ψ x + ψ x − x 

(44) 

jn 1 1 2 2 j 

( ) ( ) 

jne 

1 1 2 2 j 

Γ 

Γ 

Γ 

h ξ,η = ψ y + ψ y − y 

(45) 

2 

Considerando agora o elemento triangular de três nós, as matrizes que guardam as 

aproximações dos campos da FHMT podem ser escritas da seguinte forma: 

[ ] 

S = ξΔ ξΔ ξΔ 

(46) 

Ωe 

1 1 2 2 3 3 

[ ] 

U = ξΔ ξΔ ξΔ 

(47) 

Ωe 

1 1 2 2 3 3 

U ou U = ⎡ψΔ ψΔ ⎤ 

⎣ ⎦ 

(48) 

Γi Γt 1 Γ1 2 Γ2 

onde ξ 

j 

, j 

Γ Γ 

= 1,...,3 e ψ 

j 

,j 

Γ Γ 

= 1,2 são as funções lineares atreladas, respectivamente, ao nó j da 

malha de domínio e ao nó j Γ 

da malha de contorno. 

Como já pontuado, as aproximações do campo de tensões para a FHT devem ser autoequilibradas. 

No trabalho são utilizadas funções polinomiais para aproximação dos campos de tensões 

nos elementos planos quadrilaterais e triangulares que compõem as nuvens de domínio. 

Para garantir que o conjunto de funções polinomiais empregadas são auto-equilibradas, foram 

A x,y . Dessa forma, podem-se definir vários níveis de 

( ) 

adotadas convenientes funções de Airy ( ) 

aproximações das tensões 

SΩ e 

nos elementos triangulares e quadrilaterais, como por exemplo: 

Aproximação constante no elemento 

⎡1 0 0⎤ 

SΩ e 

= 

⎢ 

0 1 0 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢⎣0 0 1⎥⎦ 

(49) 

Aproximação linear no elemento 

⎡1 0 0 M y −x 0 0⎤ 

S 

⎢ 

Ω e 

0 1 0 0 0 y x 

⎥ 

= ⎢ 

M − 

⎥ 

⎢⎣0 0 1 M 0 y x 0⎥⎦ 

(50) 

Aproximação quadrática no elemento 

2 2 

⎡1 0 0 M y −x 0 0 M y −2xy x 0 0 ⎤ 

⎢ 

2 2⎥ 

SΩ 

0 1 0 0 0 y x 0 0 y 2xy x 

e = ⎢ M − M 

− ⎥ 

⎢ 

2 2 

0 0 1 0 y x 0 0 y −2xy x 0 ⎥ 

⎣ 

M 

M 

⎦ 

(51) 


140 


é dada por: 

A matriz de interpolação do campo de deslocamentos no contorno dos elementos ( Γ 

[ ψ12 I ψ22 

I ] 

(52) 

onde ψ 

γ, γ = 1, 2 são Partições da Unidade (PU) lineares apresentadas nas Eq.(27) a (30) e I 2 

é a 

matriz de identidade de segunda ordem, uma vez que em cada nó definem-se dois graus de 

liberdade de deslocamento. 

Diferentemente das funções aproximativas para o campo de deslocamentos no contorno 

que estão atreladas a nós, as aproximações das tensões na FHT não estão atrelados a pontos 

nodais. Então, como aplicar a técnica de enriquecimento nodal às aproximações do campo de 

tensão, se elas não são interpoladas nodalmente? 

Seja a função de Airy dada por: 

A 

3 

= gh 

(53) 

onde gx,y ( ) tem suporte compacto dado pela malha de elementos finitos da malha de cobertura e 

h é uma função enriquecedora polinomial ou não. Assim: 

t eΓt 

ou 

Γ 

i eΓi 

) 

⎡ 

⎤ 

σ 3gh 2⎜ 

⎟ g 6g g 

∂y ⎢ ⎝∂y⎠ 

∂y ⎥ ∂y ∂y ∂y 

⎣ 

⎦ 

2 

2 

2 2 

∂ A ⎛∂g⎞ 

∂ g 2 ∂g∂h 3 ∂ h 

x 

= = ⎢ + ⎥+ + 

2 2 2 

(54) 

⎡ 

⎤ 

σ 3gh 2 g 6g g 

∂x ⎜ 

x 

⎟ 

⎢⎣ 

⎝∂ ⎠ ∂x ⎥⎦ 

∂x ∂x ∂x 

2 2 2 2 

∂ A ⎛∂g⎞ 

∂ g 2 ∂g ∂h 3 ∂ h 

y 

= = 

2 

⎢ + + + 

2⎥ 

2 

(55) 

2 2 2 

∂ A ⎡ ⎛∂g ∂g⎞ ∂ g ⎤ 

2⎛∂g ∂h ∂g ∂h⎞ 

3 ∂ h 

τxy 

=− =− 3gh ⎢2⎜ ⎟+ g ⎥− 3g ⎜ + ⎟−g 

∂∂ xy ⎣ ⎝∂x∂y⎠ ∂∂ xy⎦ 

⎝∂x∂y ∂y∂x⎠ 

∂∂ xy 

(56) 

Como no trabalho as força volúmicas foram consideradas nulas, logo 

3 3 

⎡∂σ ∂τ 

x xy ⎤ ⎡ ∂ A ∂ A ⎤ 

⎢ + ⎥ ⎢ − 

2 2 ⎥ 

⎢ 

∂x ∂y ⎥ 

∂∂ xy ∂∂ xy ⎡0⎤ 

= ⎢ ⎥ = 

⎢ 3 3 

∂τxy 

∂σ ⎥ ⎢ ⎢ 

y A A 0 ⎥ 

∂ ∂ ⎥ ⎣ ⎦ 

⎢ + ⎥ ⎢− + 

2 2 ⎥ 

⎣ ∂x 

∂y 

⎦ ⎣ ∂x ∂y ∂x ∂y⎦ 

(57) 

SΩ e 

Assim, os diferentes níveis de aproximações do campo de tensões nos elementos finitos 

dadas pelas Eq.(49) a (51) podem ser ampliadas da seguinte forma: 

∗ 

S = ⎡S Σ Σ Σ Σ ⎤ 

⎣ ⎦ 

, para o elemento quadrilateral (58) 

Ωe 

Ωe 

1 2 3 4 

ou 

∗ 

S = ⎡S Σ Σ Σ ⎤ 

⎣ ⎦ 

, para o elemento triangular (59) 

Ωe 

Ωe 

1 2 3 

onde 

S ∗ 

Ω e 

é a matriz de interpolação das tensões enriquecidas e 


( α= 

1,...,4) 


2 

⎡ 

⎡ 

2 2 

⎛∂gα ⎞ ∂ g ⎤ 

α 2 ∂gα ∂hα 3 ∂ h ⎤ 

α 

⎢ 3gαhα ⎢2⎜ 

⎟ + gα ⎥+ 6g 

2 α 

+ g 

⎥ 

α 2 

⎢ 

⎢ ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 

⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

2 

⎢ 

⎡ 

2 2 

⎛∂gα ⎞ ∂ g ⎤ 

α 2 ∂gα ∂hα 3 ∂ h ⎥ 

α 

Σα = ⎢ 3gαhα ⎢2⎜ 

+ gα 6g 

2 

⎥+ α 

+ gα 

2 

∂x ⎟ 

⎥ 

⎢ 

⎢⎣ 

⎝ ⎠ ∂x ⎥⎦ 

∂x ∂x ∂x 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

2 

∂gα ∂hα ⎞ 3 ∂ hα 

⎥ 

⎢ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ + ⎟−gα 

⎣ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x∂y⎦ 

∂x 

∂y ∂y ∂x ∂x∂y⎥ 

⎢ 

⎝ 

⎠ 

⎣ 

⎥⎦ 

ou 

( α= 

1,...,3) 

2 

⎢ ⎡ ⎛∂gα ∂gα ⎞ ∂ g ⎤ 

α 2 ⎛∂gα ∂hα 

− 3gαhα 2 + gα −3gα 

141 

(60) 

reúne as interpolações de suporte compacto com x,y centrados nos nós α (( α = 1,...4) 

- para o 

elemento quadrilateral e ( α = 1,...3) 

- para o elemento triangular) da malha de elementos finitos 

triangulares ou quadrilaterais. Nota-se que 

S ∗ 

Ω e 

também é auto-equilibrada. 

4 ESTUDO DAS CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DA FHT E FHMT COM 


Neste item a ênfase é inicialmente dada à solvabilidade dos sistemas de equações lineares, 

representados nas Eq.(11) e (19), como condição necessária para a convergência de soluções da 

FHT e FHMT com enriquecimento nodal. Essencialmente, adapta-se a técnica definida no trabalho de 

Zienkiewicz et al. (1986) que propõe condição algébrica simples para garantir a solvibilidade dos 

sistemas de equações de formulações mistas convencionais. Em seguida, um estudo numérico é 

proposto para avaliação da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), que se caracteriza como condição 

suficiente para a convergência de soluções numéricas. 

4.1 O ‘Teste por Inspeção’ aplicado à FHMT e FHT com enriquecimento nodal 

Para aplicar os conceitos fundamentais do trabalho de Zienkiewicz et al. (1986) à FHT e 

FHMT sem enriquecimento nodal, considere-se o sistema de equações dado pelas Eq.(11) - FHMT e 

(19) - FHT. Assim, definem-se as seguintes condições algébricas necessárias para existência de uma 

solução numérica. 

s 

Ω 

≥ q 

(61) 

Ω 

s 

≥ q ou 

Ω Γ t 

s 

≥ q 

(62) 

Ω Γ i 

As Eq.(61) e (62) são aplicadas a FHMT e para a FHT só a Eq.(62) faz sentido. 

Quando se considera o enriquecimento dos campos de tensão e deslocamento no domínio e 

contorno do elemento, respectivamente, o ‘Teste por Inspeção’ é ampliado pela inclusão dos novos 

parâmetros de tensões no domínio b ji 

(FHMT) e b j 

(FHT), deslocamentos no domínio c ji 

(FHMT) e 

deslocamentos no contorno d 

ji 

(FHMT) e d 

jl 

(FHT). 

Assim as Eq.(61) e (62) passam a ser escritas da seguinte forma: 

sΩ + bij ≥ qΩ + cji 

, para a FHMT (63) 

s + b ≥ q + d ou 

Ω ij Γt 

ji 

s + b ≥ q + d , para a FHMT (64) 

Ω ij Γi 

ji 

s + b ≥ q + d ou 

Ω j Γt 

jl 

s + b ≥ q + d , para a FHT (65) 

Ω j Γi 

jl 


142 


Deste modo, escolhidas as discretizações do problema, investigam-se as condições dadas 

nas Eq.(63) a (65) para essas malhas de elementos finitos. Vale ressaltar que esse teste é uma 

condição necessária, mas não suficiente para garantia da solvibilidade das Eq.(11) e (19). A condição 

suficiente para solvibilidade do sistema discreto da FHT e FHMT com enriquecimento é observada 

pela análise do significado físico dos autovalores da matriz dos coeficientes das Eq.(11) e (19). 

4.2 Estudo da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicada à FHT e FHMT 

A condição de Babuška-Brezzi ou inf-sup, Babuška (1971, 1973) e Brezzi (1974), é condição 

necessária e suficiente para garantir convergência de aproximações numéricas, obtida com o MEF, de 

toda uma classe de problemas caracterizada por certo operador linear. Baseado em Babuška (1996) 

and Chapelle e Bathe (1993), desenvolve-se uma avaliação numérica desta condição aplicada a FHT 

e FHMT com enriquecimento nodal. 

A condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) 

Seja um problema variacional geral caracterizado por uma forma bilinear B( φ,ψ) 

definida em 

W× W , onde W é um espaço de Hilbert (um espaço vetorial, munido de um produto interno, e 

completo em relação à norma definida com esse produto interno, Bathe (1996), Schwab (1998) e 

Brezzi e Fortin (1991)). 

O primeiro argumento da forma bilinear B ( ⋅, 

⋅ ) é denominado função admissível ou solução e o 

segundo função peso ou teste. 

Além disso, admita-se que para a classe de problemas a ser considerada, defina-se o espaço 

de Hilbert como: 

⎧⎪ 

∂u 

( ) ( ) 

2 2 

W = ⎨uu∈L Ω ; ∈ L Ω ,j= 1,2,3;u = 0 emΓu 

∂x 

j 

⎪⎩ 

⎫⎪ 

⎬ 

⎪⎭ 

(66) 

2 

onde L ( ) 

Ω é o espaço das funções quadrado integráveis no domínio Ω do corpo considerado e se 

assume que a condição de contorno de Dirichlet é zero em Γ u 

. Formalmente, representa-se o espaço 

2 

L 

( ) 

Ω como: 

⎧ 

⎫ 

= ∫ = < +∞⎬ 

(67) 

⎩ 

⎭ 

2 

( ) ⎨ 

2 

L ( Ω) 

2 2 

L Ω w w é definido em Ω e w dΩ w 

Ω 

Isto posto, dado um funcional linear contínuo F( ψ ) : W → 

contorno pode ser representado na seguinte forma: 

Determinar φ ∈ W tal que 

( ) F( ψ) 

B φ,ψ 

, um problema de valor de 

= ∀ ψ ∈ W 

(68) 

Admitindo-se que a abordagem adotada para gerar uma aproximação para a forma bilinear 

seja tipo Galerkin, então o espaço das funções admissíveis é igual ao espaço das funções peso. Além 

disso, o emprego do método dos elementos finitos para a geração das aproximações acaba por 

atribuir uma dimensão finita ao espaço solução. 

Assim sendo, pode-se introduzir o subespaço de W , de dimensão finita, como: 



143 

( m) 

( ) 

⎪⎧ 

2 ∂u 

⎫ 

n 2 

⎪ 

Wn = ⎨un un∈L ( Ω ); ∈ L ( Ω ),j= 1,2,3;u 

n∈ Qn Ω ;un = 0 em Γu⎬ 

⎪⎩ 

∂x 

j 

⎪⎭ 

( m) 

onde Qn 

( Ω ) indica o caráter polinomial de grau “n ” da aproximação global u n quando restrita ao 

elemento m do domínio discretizado. Nessas condições, tem-se que a solução por Elementos Finitos 

da Eq. (68) é obtida resolvendo-se o seguinte problema: 

Encontrar φn∈ Wn 

tal que 

( ) F( ψ ) 

B φ ,ψ 

= ∀ ψ n 

∈ W n 

(70) 

n n n 

Para medir a qualidade da aproximação por Elementos Finitos, no sentido de erro em relação 

à solução exata, é necessário introduzir normas, representadas por: ⋅ e ⋅ 

S T 

nos espaços das 

funções admissíveis e teste, respectivamente. Assim, como o auxílio das normas no espaço das 

funções admissíveis podem ser introduzidas as seguintes relações: 

e 

( φ− φ n S 

) 

(71) 

ηn∈Wn 

( ) 

inf φ− η , com ηn ∈ Wn 

(72) 

n S 

A norma representada pela Eq.(71) mede o erro entre a solução exata φ e uma solução 

aproximada φ 

n 

. Tal norma pode ser empregada como uma medida de convergência de uma 

seqüência de soluções se: φ−φn →0p/n→∞. 

S 

Já a norma da Eq.(72) mede o menor erro possível entre todas as possíveis aproximações η 

n 

do espaço discretizado W 

n 

. Um aspecto importante que se pode demonstrar é que a solução por 

Elementos Finitos é aquela que apresenta o menor erro de aproximação. Assim sendo, uma vez 

adotado o MEF, a convergência passa a depender da ordem do espaço de aproximação adotado e da 

própria solução exata, isto é: 

h 

h 

( ) 

n 

inf φ ηh Φ φ 0 para n 

η ∈W 

S 

− = → →∞ (73) 

Ao se aplicar uma alternativa numérica como o MEF a expectativa é que a metodologia de 

geração de aproximações produza soluções convergentes não somente em relação à certa solução 

exata, mas para todo conjunto de soluções exatas de uma classe de problemas. Assim sendo, a 

análise de convergência deve assumir um sentido mais amplo, passando a depender da capacidade 

de aproximação do espaço de funções escolhido e, também, da densidade da forma bilinear que rege 

a classe de problemas. Nesse sentido, Bathe (1996), Brezzi e Bathe (1990) e Brezzi e Fortin (1991), 

levam em conta a forma bilinear na definição da norma e demonstram a seguinte expressão que 

relaciona as medidas de convergência (71) e (72) mencionadas, envolvendo uma constante 

relacionada à classe de problemas: 

(69) 

⎛ 

k ⎞ 

λ ⎠ 

m 

φ−φn 

≤ 

S ⎜1+ ⎟ inf φ−ηn 

ηn∈Wn 

⎝ 

S 

(74) 

onde k 

m 

vem da condição de continuidade da forma bilinear, que pode ser expressa por: 


144 


B( η,ψ) ≤ km η ψ ∀ η,ψ ∈ W 

(75) 

S T 

Aliás, um requisito mínimo sobre B( η,ψ ) e F(ψ) , para que a Eq.(70) tenha sentido, é a sua 

continuidade. 

Ainda na Eq.(74), a constante λ é obtida da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), e se 

apresentar um valor positivo aponta para a densidade da forma bilinear. Para espaços de dimensão 

finita a condição inf-sup passa a ser definida por: 

( ) 

B η ,ψ 

h h 

inf sup λ 0 

ηh∈Wh 

ψ h∈ 

W h ηh ψ 

S h T 

= > (76) 

Claramente o valor de λ está associado à forma bilinear que rege a classe de problemas. 

Pode-se mostrar, ainda, que as Eq.(75) (continuidade) e Eq.(76) (condição inf-sup) implicam 

na Eq.(74). Assim, se a Eq.(76) é atendida, conclui-se pela Eq.(74) que as soluções por elementos 

finitos apresentam-se convergentes pra toda solução exata da classe de problemas governada pela 

forma bilinear. 

Ao contrário, se λ → 0 + a análise da Eq.(74) mostra que haverá convergência somente para 

n 

⎛ k 

soluções em relação às quais Φ ( φ ) tenda a zero mais rapidamente do que o multiplicador 1 m ⎞ 

⎜ + 

λ 

⎟ 

⎝ ⎠ 

tender ao infinito. Isto não é sempre garantido, podendo haver ao menos uma solução φ da classe de 

problemas para a qual essa situação se inverta e a solução por elementos finitos não apresente 

convergência. 

Em termos do emprego prático das condições anteriores, numa primeira situação se a 

condição de Babuška-Brezzi indicar ( λ > 0 ) para certa solução aproximada de um dado problema 

então a eq.(74) fornece uma medida do erro de aproximação. Numa segunda etapa a constatação de 

λ → 0 para sucessivas aproximações mais refinadas indica que pode haver problemas de 

convergência em relação à solução exata daquele problema. 

Numa situação mais geral, pode-se, em última análise, comprovar, ou não, a robustez de 

determinado elemento finito, avaliando pela eq.(76) a evolução das constantes de estabilidade para as 

seqüências de soluções, de todos os problemas de uma classe, obtidas por discretizações realizadas 

com aquele elemento. Esta situação é, porém, impraticável, podendo ser conduzida parcialmente em 

termos operacionais, mas ainda assim em grau suficiente para oferecer um indicativo de robustez, 

conforme se mostra no capítulo de aplicações. 

4.2.2 Determinação numérica de λ 

Babuška (1996) apresenta um desenvolvimento matemático provando que a determinação 

numérica de λ corresponde à raiz quadrada do menor autovalor positivo do seguinte problema de 

autovalor: 

T −1 

BT Bη 

= μSη 

(77) 

Na Eq.(77) S e T são matrizes simétricas positivo-definidas obtidas das normas 

2 T 

= ( η Sη) 

e ψ ( ψ Tψ) 

2 T 

n S 

η 


( ) 

T 

B η ,ψ 

n 

n 

n T 

= e a matriz B pode ser obtida da parte bilinear da Eq.(70), escrita da 

= ψ Bη 

(78) 

onde η e ψ são vetores que reúnem os valores nodais de η 

n 

e 

ψ 

n 

. 



145 

4.2.3 O teste numérico da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicado à FHMT e FHT com 

enriquecimento nodal 

Sejam as equações que governam a FHMT escritas da seguinte forma: 

T T T T T 

∫ δσ fσdΩ + ∫ u ( Lδσ) dΩ −∫ uΓ 

( Nδσ) dΓ − u ( ) ( ) 

t ∫ Γ 

Nδσ dΓ = u Nδσ dΓ 

i ∫ (79) 

Ω Ω Γt Γi Γu 

T 

T 

∫ δu ( Lσ) 

dΩ =−∫ δubdΩ 

(80) 

Ω 

Ω 

T 

T 

∫ δuΓ 

( Nσ) 

dΓ = δu 

t ∫ Γ 

tdΓ 

(81) 

t 

Γt 

Γt 

T 

T 

∫ δuΓ 

( N ) ( ) 

i + 

σ dΓ + ∫ δuΓ 

Nσ dΓ = 0 

(82) 

i 

Γi 

Γi 

Baseado em Schwab (1998), para a FHMT, pode-se definir para as Eq.(79) a Eq.(82) uma 

forma bilinear B(.,.) e um funcional linear F(.) , como segue abaixo: 

T T T 

∫ ∫ ( ) ∫ Γ ( ) L 

t 

B(η,ψ) = δσ fσdΩ + u Lδσ dΩ − u Nδσ dΓ + 

∫ 

Γi 

T 

Γi 

Ω Ω Γt 

T T T 

∫ ( ) ∫ Γ ( ) ( ) 

t ∫ Γi 

L+ δu Lσ dΩ+ δu Nσ dΓ − u Nδσ dΓ + L (83) 

T 

( + ) ∫ Γ ( ) 

i 

L + δu N σ dΓ + δu Nσ dΓ 

Γi 

Ω Γt 

Γi 

T T T 

( ) = ∫ ( ) − ∫ + ∫ Γ 

(84) 

t 

F ψ u Nδσ dΓ δubdΩ δu tdΓ 

Γu 

Ω Γt 

onde η= ( σ,u,u 

Γ,uΓ 

) e ψ ( δσ,δu,δu 

Γ,δuΓ 

) 

t 

i 

2 2 

{( Γ ) ( ) ( )} 

t Γi Γt Γi 

= são definidos em de S × T com: 

t 

i 

S = σ,u,u ,u : σ,u∈L Ω ;u ,u ∈ L Γ 

(85) 

2 2 

{( Γ ) ( ) ( )} 

t Γi Γt Γi 

T = δσ,δu,δu ,δu :δσ,δu∈L Ω ;δu ,δu ∈ L Γ 

(86) 

Pode-se, ainda, definir as seguintes normas: 

( ) 

2 

2 

2 2 2 2 

= 

Γt Γ 

= + + 

i Γ 

+ 

S Ω Ω Γ t Γi 

S 

t 

Γi 

∫ ∫ ∫ ∫ (87) 

η σ,u,u ,u σ dΩ udΩ u dΓ udΓ 

( ) 

2 

2 

2 2 2 2 

= 

Γt Γ 

= + + 

i Γ 

+ 

S Ω Ω Γ t Γi 

T 

t 

Γi 

∫ ∫ ∫ ∫ (88) 

ψ δσ,δu,δu ,δu δσ dΩ δudΩ δudΓ δudΓ 

Para aplicação do “teste inf-sup” a certa malha de cobertura com elementos finitos 

quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da FHMT com enriquecimento é preciso 

determinar todas as matrizes envolvidas na Eq.(77). Para isso, consideram-se as mesmas bases 

aproximativas para os campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno, 

apresentadas no capítulo 3. 

A matriz de coeficientes da Eq.(11) é a matriz B da Eq.(77). As matrizes S e T são obtidas 

com auxílio das normas dadas nas Eq.(87) e (88). Assim, estão definidos todos os parâmetros da 

Eq.(77) necessários para o cálculo de λ 

n 

. Agora, para a determinação de S=T e B dentro das várias 


146 


condições de enriquecimento basta ampliar da forma desejada as bases aproximativas iniciais dos 

campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno. 

Como a aplicação da condição inf-sup para avaliar a robustez dos elementos é impraticável, 

opta-se por verificar a estabilidade das soluções obtidas em cada um dos diferentes problemas, de 

uma mesma classe, abordados no capítulo de exemplos; nesse sentido, realiza-se uma espécie de 

“teste inf-sup”. Para tanto, a metodologia adotada é similar à sugerida no trabalho de Chapelle e Bathe 

(1993), isto é: em problema da FHMT com enriquecimento nodal será considerada uma seqüência de 

malhas com elementos quadrilaterais e triangulares. Para cada malha o valor de λ n 

= μ min 

será 

calculado. Se os μ 

min 

não tenderem a zero, o elemento quadrilateral e triangular da FHMT com 

enriquecimento nodal será considerado estável. 

A estabilidade em todos os problemas testados, se constatada pode ser interpretada como um 

bom indicativo da robustez dos elementos. 

Para aplicar o “teste inf-sup” à FHT segue a mesma metodologia descrita anteriormente para a 

FHMT, com a consideração dada pela Eq.(18). 

5 O TESTE “INF-SUP” APLICADO À FHT/FHMT COM ENRIQUECIMENTO NODAL: 

RESULTADOS NUMÉRICOS 

5.1 Introdução 

A aplicação do teste “inf-sup” exige a consideração de variações sobre as condições de 

contorno e seqüência de malhas utilizadas na discretização de uma classe de problemas. Isto implica 

que se os elementos finitos quadrilaterais e triangulares da FHT/FHMT com enriquecimento nodal 

satisfaz o teste “inf-sup” para certo conjunto de malhas, não é possível garantir que esses mesmos 

elementos finitos satisfaçam aquela condição para qualquer problema da classe discretizado com 

outras seqüências de malhas. 

O teste “inf-sup” é, portanto, de difícil aplicação. No entanto, entende-se que é possível aplicálo 

para obter indicativos de desempenho dos elementos da FHT/FHMT avaliados aqui nesta pesquisa, 

considerando-se um número limitado de testes. 

Por isso, para a análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT 

com o teste “inf-sup”, selecionaram-se dois casos: 

u = 0,u = 0 e 

O primeiro é uma chapa quadrada com a borda vertical esquerda engastada ( x y ) 

bordas horizontais com deslocamentos verticais nulos ( uy 

= 0) 

, ver Figura 4. 

Figura 4 – Chapa tracionada. 



147 

O segundo modelo é uma chapa retangular com fenda central, como mostra a Figura 5. Devido 

à dupla simetria do problema, para efeitos do estudo do ‘Teste por Inspeção’, será analisado apenas 

1 

( 4 ) desta chapa (Figura 6). 

Figura 5 – Chapa tracionada com fenda central. 

Figura 6 – Simetria da chapa tracionada com fenda central. 

Nos dois exemplos propostos, adota-se E = 1000 para o módulo de Young, ν = 0,3 para o 

coeficiente de Poisson e ainda regime de comportamento elástico-linear. Ambas as chapas são 

tracionadas por p= 10 unidades de força distribuída por unidade de comprimento. Vale lembrar que 

para o teste “inf-sup” a carga p não tem influência alguma. 

Figura 7 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada. 


148 


Figura 8 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada. 

Chapelle e Bathe (1993) sugerem que um elemento seja avaliado com o teste “inf-sup” 

utilizando-se malhas com refinamentos sucessivos. Ao menos três refinamentos são recomendados 

para prever se λ 

n 

será limitado inferiormente por uma constante positiva. Seguindo as recomendações 

daquele trabalho, para aplicação do teste “inf-sup” na FHT/FHMT com enriquecimento nodal 

considera-se em cada um dos problemas uma seqüência de malhas de elementos quadrilaterais e 

triangulares. 

As malhas apresentadas nas Figuras 7 e 8 ( 1× 1, 2× 2, 4× 4, 8× 8 e 16 × 16 ) serão 

utilizada na avaliação da chapa tracionada. Já para o problema da chapa com fenda adotam-se as 

malhas das Figuras 9 e 10 ( 3× 3,6× 6, 12 × 12 e 24 × 24 ). 

Figura 9 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada com fenda central. 

Primeiramente, considerou-se nos dois problemas a situação sem enriquecimento. 

Posteriormente, as condições de enriquecimento sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT com 

funções polinomiais foram avaliadas. 



149 

Figura 10 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada com fenda central. 

Para cada uma das malhas regulares apresentadas (com ou sem enriquecimento) as matrizes 

S = Te B foram montadas e o valor de λ n 

(inf-sup) calculado. Os resultados obtidos estão aqui 

plotados na forma de gráficos log( 1 N ) × log( λ 

n ) (N é a soma do número total de parâmetros de 

tensão e de graus de liberdade em deslocamentos). Se a curva log( 1 N ) × log( λ 

n ) converge 

assimptoticamente para um determinado valor λ n 

> 0 , conclui-se que os elementos quadrilaterais e 

triangulares da FHT/FHMT satisfazem o teste “inf-sup”, indicando para a convergência da solução. 

Vale ressaltar que todas as combinações de enriquecimento utilizadas no teste “inf-sup” satisfazem as 

Eq.(63) a (65). 

5.2 Chapa tracionada 

Os resultados do teste “inf-sup” para o conjunto de malhas regulares quadrilaterais da 

FHT/FHMT sem enriquecimento, utilizadas na discretização deste problema, são apresentados nas 

Figuras 11 e 12. 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6 

-2,95 

-3,00 

-3,05 

-3,10 

-3,15 

log(inf-sup) 

-3,20 

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem Enriquecimento 

FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem Enriquecimento 

FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem Enriquecimento 

Figura 11 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento. 


150 


Na Figura 11, verifica-se que o elemento quadrático da FHT sem enriquecimento (em todos os 

níveis da aproximação das tensões no domínio) satisfaz o teste “inf-sup” com λn 

> 0 . Com o elemento 

quadrilateral da FHMT, igualmente ao da FHT, consegue-se claramente λn 

> 0 ver Figura 12. 

, 

O elemento quadrilateral da FHT enriquecido, nos três níveis de aproximação do campo de 

tensão, satisfez o teste “inf-sup” para o problema da chapa tracionada, pois todas as curvas 

apresentam tendência de convergência para um λ n 

> 0 , ver Figura 13. Ressalta-se que para este 

problema, os enriquecimentos foram realizados na totalidade dos nós de domínio e em todos os nós 

de contorno que não possuam condição de contorno essencial prescrita. 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 

-2 

-2,5 

-3 

-3,5 

-4 

-4,5 

-5 

-5,5 

-6 

FHMT-Sem Enriquecimento 

log(inf-sup) 

Figura 12 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento. 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6 

-2,95 

-3,00 

-3,05 

log(inf-sup) 

-3,10 

-3,15 




FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x) 

FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x) 

FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x) 

-3,20 

Figura 13 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento. 

Com a seleção de algumas combinações de enriquecimento aplicada ao elemento quadrilateral 

da FHMT, manteve-se a tendência de λ > 0 apresentada por este mesmo elemento sem 

enriquecimento, como mostra a Figura 14. 

n 



151 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 

-2,98 

-3 

-3,02 

-3,04 

-3,06 

-3,08 

-3,1 

-3,12 

-3,14 

-3,16 

-3,18 


FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x) 

FHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x) 

log(inf-sup) 

Figura 14 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento. 

log(1/N) 

-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 

-2,95 

-3,00 

-3,05 

-3,10 

-3,15 

log(inf-sup) 

-3,20 




Figura 15 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento. 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 

-2 

-2,5 

-3 

-3,5 

-4 

-4,5 

-5 

-5,5 

-6 


log(inf-sup) 

Figura 16 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento. 


152 


A Figura 15 mostra que, mesmo sem enriquecimento algum sobre as bases aproximativas do 

elemento triangular da FHT, é possível convergir λn 

> 0 para uma constante positiva. 

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento também foi possível obter λ n 

> 0 , 

como destaca a Figura 16. 

O enriquecimento polinomial exclusivo sobre os deslocamentos no contorno ou simultâneo 

sobre as tensões no domínio e deslocamentos no contorno do elemento quadrilateral da FHT 

conduziu a resultados satisfatórios, λn 

> 0 , nos casos da aproximação constante, linear e quadrática 

do campo de tensão, ver Figura 17. 

log(1/N) 

-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8 

-3,00 

-3,05 

-3,10 

log(inf-sup) 

-3,15 




FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x) 



Figura 17 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento. 

-3,20 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 

-2,98 

-3 

-3,02 

-3,04 

-3,06 

-3,08 

log(inf-sup) 

-3,1 

-3,12 

-3,14 

-3,16 




Figura 18 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento. 



153 

A Figura 18 destaca que as condições de enriquecimento testadas para ampliar os campos de 

tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno do elemento triangular da FHMT 

foram suficientes para alcançar λn 

> 0 . 

5.3 Chapa tracionada com fenda central 

Neste exemplo, com relação à análise do teste “inf-sup”, são aplicados enriquecimentos 

seletivos sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT. Os nós escolhidos para o enriquecimento 

seletivo deste exemplo são os nós sem condição de contorno essencial prescrita em torno da ponta da 

fenda. 

A aproximação constante das tensões no domínio sem enriquecimento gerou resposta 

λn 

→ 0 . Nos demais níveis de aproximação do campo de tensão no domínio observaram-se 

convergência assintótica do λ 

n 

para um valor positivo, ver Figura 19. 

log(1/N) 

-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6 

-2,95 

-3 

-3,05 

-3,1 

-3,15 

log(inf-sup) 




-3,2 

Figura 19 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento. 

log(1/N) 

-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 

0 

-0,5 

-1 

-1,5 

-2 

-2,5 

-3 

-3,5 


log(inf-sup) 

Figura 20 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento. 

A Figura 20 indica que o elemento quadrilateral da FHMT sem enriquecimento satisfaz o teste 

“inf-sup”, pois λ 

n 

tende para um valor positivo. 


154 


log(1/N) 

-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 

-3,00 

-3,05 

-3,10 

-3,15 

log(inf-sup) 

-3,20 




Figura 21 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento. 

O elemento triangular da FHT (todas as bases aproximativas das tensões no domínio) sem 

enriquecimento satisfaz o teste “inf-sup” com λ 

n 

tendendo para uma constante positiva, como mostra 

a Figura 21. 

log(1/N) 

-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 

0 

-0,5 

-1 

-1,5 

-2 

-2,5 

-3 

-3,5 


log(inf-sup) 

Figura 22 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento. 

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento claramente se alcança λ n 

> 0 , ver 

Figura 22. 

Como apresenta a Figura 23, para todas as combinações de enriquecimentos testados no 

elemento triangular da FHMT é possível à convergência para λn 

> 0 . 

O elemento quadrilateral enriquecido da FHMT apresentou o mesmo comportamento do 

elemento triangular enriquecido da mesma formulação (Figura 23), ou seja, foi possível convergir λ 

n 

para uma constante positiva, ver Figura 24. 



155 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 

-2,98 

-3 

-3,02 

-3,04 

-3,06 

-3,08 

-3,1 

-3,12 

-3,14 

-3,16 

-3,18 




FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x) 

log(inf-sup) 

Figura 23 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento. 

log(1/N) 

-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 

-2,98 

-3 

-3,02 

-3,04 

-3,06 

-3,08 

-3,1 

-3,12 

-3,14 

-3,16 

-3,18 

log(inf-sup) 



FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x) 

Figura 24 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento. 

As Figuras 25 e 26 indicam que os elementos quadrilateral e triangular da FHT enriquecidos 

foram muito eficientes, pois em todas as possibilidades de enriquecimento testadas, conseguiu-se 

convergência para λn 

> 0 . 


156 


log(1/N) 

-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6 

-2,95 

-3 

-3,05 

-3,1 

log(inf-sup) 

-3,15 

-3,2 




FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) 



Figura 25 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento. 

log(1/N) 

-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 

-3,00 

-3,05 

-3,10 

log(inf-sup) 

-3,15 




FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocmentos no Contorno (x) 



-3,20 

Figura 26 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento. 

6 CONCLUSÕES 

Os estudos realizados constituem uma contribuição ao desenvolvimento das formulações nãoconvencionais 

em elementos finitos, em particular aquelas fundamentadas em formulações Híbridas 

(FHT) e Híbrido-Mistas de Tensão (FHMT). 

A aplicação do MEFG a FHT/FHMT foi constituído pela utilização de malhas formadas por 

elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós aliada à técnica de enriquecimento 

nodal. Especificamente para os elementos da FHT, as aproximações dos campos de tensão no 

domínio são auto-equilibradas e não estão atreladas a nós. Já as aproximações para o deslocamento 

no contorno são obtidas por interpolação de valores nodais, tanto na FHT como na FHMT. As 

aproximações dos deslocamentos no domínio (exclusivo da FHMT) também são obtidas por 

interpolação de valores nodais. 



157 

Uma contribuição original do trabalho foi a inserção de uma estratégia de enriquecimento para 

as aproximações das tensões no domínio atreladas a malhas formadas da FHT. A metodologia de 

enriquecimento proposta possibilita a ampliação das aproximações do campo de tensão da FHT tendo 

por referência os nós da malha, já que originalmente estas não são atreladas a nós. 

Todas as bases aproximativas envolvidas nas FHT/FHMT foram ampliadas via enriquecimento 

nodal por meio de funções polinomiais. 

A combinação dos elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da 

FHT/FHMT com a técnica de enriquecimento nodal apresentou grande potencial para a solução, com 

precisão numérica e baixo custo computacional, dos problemas tratados neste trabalho, mesmo sob 

forte distorção de malha. 

Por outro lado, objetivando garantir eficiência no processo de enriquecimento das 

aproximações dos campos envolvidos na FHT/FHMT, iniciou-se um estudo sobre as condições 

necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas obtidas com os métodos 

propostos. 

Primeiramente estas condições foram avaliadas com auxílio do ‘Teste por Inspeção’ 

consistindo, basicamente, em verificar se o vetor incógnito do sistema de equações lineares satisfaz as 

Eq.(63) a (65). Observou-se claramente que este teste é somente condição necessária para 

convergência, mesmo assim, o ‘Teste por Inspeção’ foi de grande valia na escolha de combinações de 

enriquecimento dos campos envolvidos na FHT/FHMT. 

Finalmente, desenvolveu-se um teste numérico, baseado no trabalho de Chapelle e Bathe 

(1993), para análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT com 

enriquecimento nodal. Esse teste é outra contribuição original do trabalho. 

Desta contribuição original, conclui-se que os elementos quadrilateral e triangular da FHMT 

com enriquecimento nodal são estáveis. Já para a FHT, somente o elemento quadrilateral com 

enriquecimento nodal, mostrou-se estável. 


Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro concedido. 


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160

ISSN 1809-5860 

ESTRATÉGIA BASEADA EM DOMÍNIO DE FALHA COMPOSTO APLICADA 

PARA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM GRELHAS DE CONCRETO 

ARMADO 

Rodrigo de Azevedo Neves 1 & Wilson Sérgio Venturini 2 

Resumo 

Os métodos probabilísticos desenvolvem-se cada vez mais e tendem a servir de referência para a avaliação da 

segurança nos projetos e verificações de estruturas. Como exemplo, os métodos de simulação têm sido 

largamente utilizados para prever a segurança estrutural, o que é possível hoje graças à capacidade dos atuais 

computadores. Porém, mesmo com o enorme progresso da informática, os tempos de processamento ainda são 

altos, já que as simulações requerem grande quantidade de cálculos. Para ultrapassar estas barreiras surgiram 

os métodos aproximados de confiabilidade. Dentre eles destaca-se o método da superfície de resposta, que 

permite realizar eficientes análises de confiabilidade. Na maioria de suas aplicações busca-se o ponto de projeto, 

que define o ponto de falha mais provável da estrutura. Com a crescente demanda por análises probabilísticas, as 

aplicações cresceram e hoje se realizam cálculos de confiabilidade de sistemas complexos como a grelha de 

concreto armado. Nelas os projetistas objetivam otimizar os consumos de material a fim de reduzir custos, 

levando a uma situação em que vários pontos da grelha tornam-se pontos potenciais de falha, podendo aumento 

o tempo computacional. Assim, apresenta-se neste trabalho uma proposta de determinação da probabilidade 

global de falha de uma grelha de concreto armado que considera vários modos de falha possíveis. Um domínio 

de falha composto foi usado para melhor determinar as probabilidades de falha e reduzir o tempo de cálculo. 

Palavras-chave: Confiabilidade estrutural. Múltiplos modos de falha. Concreto armado. Análise não-linear. 

MULTI-PART FAILURE DOMAIN STRATEGY APPLIED TO REINFORCED 

CONCRETE GRIDS RELIABILITY ANALYSIS 

Abstract 

Probabilistic methods have been experiencing a great development and they tend to become reference methods in 

projecting and verifying civil structures. As an example, we can see the huge expansion of simulation methods to 

predict structural safety. This growth is only possible due to the great development of the personal computers, 

seeing that the methods require extensive iterative calculation. However, even with the large computational 

evolution, the wasted time in processing refined Finite Element Models is still high. To go beyond these 

difficulties, approximated reliability methods emerged, and between them, we can draw attention to response 

surface method (RSM), which allows formulating very efficient reliability analysis. In its essence, the main idea of 

RSM is to search for the most probable failure point. This assumption has shown great results, but, with the 

increasing exigency for refined structural analysis, models are getting bigger and models like reinforced concrete 

grids have been widely used. Here, structural engineers seek to optimize concrete and steel weight, searching for 

the optimum cost. This evidence leads to the failure possibility in several system components, which can once 

more increase computing time. So, in this work, a new approach of reinforced concrete grid reliability analysis is 

proposed, accounting many critical cross-section failure probabilities. To reach this goal, a multi-part failure 

domain was adopted to improve failure probability accuracy and reduce computing time. 

Keywords: Structural reliability analysis. Multiple failure modes. Reinforced concrete. Non-linear analysis. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rodrigoneves.fa@gmail.com 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br 


162 

Rodrigo de Azevedo Neves & Wilson Sérgio Venturini 


Há muito tempo os profissionais da área de Engenharia vêm buscando fornecer uma solução 

precisa para o problema da segurança de suas estruturas. O uso de modelos não lineares, já bastante 

difundidos na literatura para representar melhor o comportamento das estruturas, levou a um melhor 

conhecimento do comportamento estrutural. A principal característica do uso desses modelos é que 

com a redistribuição dos esforços e danificação dos materiais, certas seções ou elementos respondem 

de maneira não linear às solicitações externas. Essa redistribuição é verificada nas estruturas 

hiperestáticas, que constituem a maioria das estruturas correntes de engenharia. Devido ao caráter 

não linear dos modelos constitutivos dos materiais, eles passam a perder rigidez em certo nível de 

carga à medida que aumentam as tensões a que estão submetidos. Dependendo do modelo escolhido 

e do material estrutural, as perdas de rigidez podem começar mesmo com baixas tensões. Tudo isso 

forma um conjunto de cuidados que devem ser tomados nas fases de projeto e verificação, pois após 

as devidas tensões de pico os materiais tendem a se deformar muito rapidamente e os colapsos 

estruturais, da mesma maneira, são bruscos. 

Assim, com a crescente evolução dos materiais e também a ousadia dos projetistas, os 

sistemas estruturais projetados e verificados atualmente apresentam uma tendência de se aproximar 

cada vez mais de seus próprios limites. Tudo isso torna necessário que os níveis de segurança sejam 

bem conhecidos, o que não é permitido com o uso dos atuais métodos que fazem uso de coeficientes 

parciais. Não existem ainda códigos que permitam projeto e/ou verificações estruturais baseados em 

métodos totalmente probabilísticos, o que leva ao desconhecimento dos valores das probabilidades de 

falha das estruturas correntemente projetadas. 

Buscando esse melhor conhecimento da segurança, o meio científico encontrou na teoria da 

confiabilidade uma maneira para tentar diminuir as incertezas com relação às probabilidades de 

ocorrência de colapsos. Com esta abordagem tenta-se modelar as incertezas das variáveis de projeto 

por meio de distribuições estatísticas que levem em conta informações disponíveis sobre as variáveis. 

Enfim, fazendo-se uso de procedimentos matemáticos convenientes são determinadas as 

probabilidades de falhas dos elementos, seções ou sistemas. Nesse cenário, as aplicações da 

confiabilidade aplicadas à segurança de estruturas tiveram grandes avanços. Hoje, o assunto é tema 

de pesquisa prioritário em diversos centros de pesquisa em países desenvolvidos. 

Historicamente, desde o trabalho de Freudenthal (1947), vêm sendo aperfeiçoados inúmeros 

estudos no campo da segurança estrutural através da adaptação de técnicas estatísticas. Esse autor 

tentou desenvolver um estudo onde um coeficiente pudesse comparar dois sistemas distintos. No 

artigo publicado por Ang & Amin (1968) já foi apresentado um estimador da probabilidade de falha de 

um sistema através da combinação das probabilidades de seus elementos. Mas, foi no trabalho de 

Hasofer & Lind (1974) que foram estabelecidas as bases da teoria da confiabilidade da maneira que 

ela vem sendo estudada e desenvolvida até os dias atuais. Mohamed & Lemaire (1995) expuseram 

uma análise de confiabilidade de um modelo mecânico complexo com o uso de estados limites e 

modelos constitutivos lineares ou com trechos linearizados. Lin & Frangopol (1996) publicaram um dos 

primeiros trabalhos a utilizar a confiabilidade como base para uma otimização de elementos de 

concreto armado. Nos trabalhos de Imaib & Frangopol (2000) e Frangopol & Imaib (2000) várias 

contribuições foram concretizadas: eles mostraram o estudo de confiabilidade de estruturas com nãolinearidade 

geométrica utilizando formulação lagrangeana total, e ainda utilizaram acoplamento entre 

elementos finitos (MEF) e o método de superfícies de resposta (RSM) para determinar a superfície de 

falha com métodos numéricos para o cálculo das probabilidades de falha. Introduziram ainda 

dificuldades matemáticas de simulação, como a correlação entre os carregamentos, a correlação entre 

as resistências e o comportamento frágil e/ou dúctil dos materiais. Soares et al. (2002) realizaram 

análises de confiabilidade de pórticos de concreto armado com acoplamento MEF-RSM, mostrando 

resultados do índice de confiabilidade para o modo de falha mais provável. Uma comparação entre 

técnicas de simulação e as de superfícies de resposta pode ser vista em Neves et al. (2004). Já a tese 

de Neves (2004) mostrou avanços na tentativa de determinar a probabilidade de falha de um sistema, 


Estratégia baseada em domínio de falha composto aplicada para análise de confiabilidade em grelhas de concreto... 163 

considerando-se outros modos de ruptura diferentes do modo mais provável. Existem ainda inúmeros 

textos propondo e descrevendo diversas abordagens e formulações para o estudo de confiabilidade 

estrutural, dentre os quais os trabalhos Mohamed et al. (2001) e Soares (2001) se destacam por tratar 

de assuntos como calibração de coeficientes parciais de segurança, consideração de correlação 

estatística, influência da seqüência de aplicação do carregamento, introdução de aleatoriedade no 

carregamento, otimização baseada em confiabilidade, acoplamento MEF-RSM, técnicas de simulação, 

redução de variância, dentre outros. 

Efetuando-se uma simples leitura nos artigos técnicos publicados citados anteriormente ou 

mesmo em outros nos periódicos relevantes no contexto internacional, pode-se perceber que a 

comunidade científica trilha um caminho possivelmente irreversível no sentido de abandonar as 

verificações de segurança baseadas em coeficientes parciais. Conforme já comprovado por 

renomados pesquisadores, esta prática conduz a índices de confiabilidade não uniformes e 

geralmente desconhecidos, podendo haver situações anti-econômicas de dimensionamento ou, ao 

contrário, casos com baixa confiabilidade. Este último fato por si só já constitui motivação suficiente 

para a realização de pesquisas no assunto. Além disso, ainda não existe uma abordagem definitiva 

que considere os múltiplos modos de falha estruturais presentes num sistema hiperestático otimizado. 

Quando o sistema (aqui o sistema é a grelha de concreto armado) tem sua geometria otimizada, 

numerosas seções tornam-se pontos potenciais de falha e esses modos potenciais de ruptura não 

devem ser negligenciados, pois a soma de suas probabilidade de falha pode até ser maior do que a 

probabilidade isolada do modo principal. 

Neste trabalho foi usado um modelo físico não-linear para representar o comportamento 

estrutural da grelha de concreto armado. Para a obtenção dos resultados mecânicos da estrutura, 

traduzidos no coeficiente de carga crítica, utilizou-se o método dos elementos finitos. Um elemento 

finito de barra usual com função de forma do terceiro grau descrevendo os deslocamentos ao longo do 

eixo de cada barra foi adotado. O comportamento não-linear dos elementos de concreto armado foi 

simulado através da introdução de diferentes modelos representativos das respostas dos materiais 

submetidos à tração e à compressão. Para a solução do sistema não-linear de equações, utilizou-se 

método do tipo Newton modificado, com matriz secante. 

2 METODOLOGIA 

A adoção do modelo de grelha para a modelagem de pisos de concreto armado conduz a 

modelos de sistemas estruturais suficientemente precisos, embora modelagens melhores possam ser 

obtidas considerando-se os efeitos conjuntos de elementos de barra e placa ao mesmo tempo. Na 

grelha otimizada os modelos estruturais são caracterizados por um grande número de pontos 

prováveis de falha em várias seções transversais. 

Elementos unidimensionais estruturais de concreto armado, tais como vigas, são largamente 

empregados na prática corrente da Engenharia Civil. Nas últimas três décadas, os modelos para 

concreto armado progrediram bastante, o que permitiu que os Engenheiros e pesquisadores 

conseguissem simular melhor o seu comportamento. Numerosos livros e trabalhos técnicos 

apresentam estudos aprofundados sobre o seu comportamento teórico e modelagem numérica, e os 

processos usuais de dimensionamento de sistemas e elementos estruturais estão amplamente 

difundidos. Entretanto, mesmo com a grande quantidade disponível de informações e estudos sobre o 

seu comportamento mecânico, a modelagem do concreto armado ainda hoje consiste em um campo 

de pesquisa bastante ativo, tal é a complexidade física e a heterogeneidade do material. Ele apresenta 

um conhecido comportamento não-linear frente às solicitações a que é submetido; comportamento 

este governado pelos diferentes fenômenos relacionados aos seus materiais e interação entre eles. 

Até mesmo em uma modelagem simplificada, assumindo hipóteses simplistas, uma determinação 

precisa de deslocamentos, deformações e fissuras em estruturas submetidas às ações correntes deve 

levar em consideração, no mínimo os efeitos de plastificação, perdas de rigidez e contribuição do 


164 


concreto não fissurado. Modelos mais elaborados podem levar em conta os efeitos de aderência na 

interface aço-concreto (Rossello & Elices, 2004), amolecimento do concreto, interação mecânica entre 

os agregados, etc.. Essas considerações podem ainda se estender às ações cíclicas, por exemplo, os 

sismos, introduzindo outros problemas relacionados à degradação do concreto e aos efeitos do 

carregamento e descarregamento (Kratzig & Polling, 2004). Respostas ainda mais complexas e 

precisas podem ser baseadas em modelos fundamentados na mecânica da fratura ou na mecânica do 

dano contínuo. Conforme pode ser verificado na literatura, estes últimas teorias trazem previsões 

acuradas do comportamento do concreto (Bazant, 2002) e (Scotta et al, 2001). Modelos como o de 

Ghali & Favre (1986) e Debernardi (1989) provaram ser precisos o suficiente para representar o 

material. O uso de modelos separados para os dois materiais tem se mostrado como a melhor saída 

para o problema. Modelos baseados em mecânica do dano, tais como os de Lemaitre (1992) e 

Lemaitre & Chaboche (1994) são viáveis para descrever com mais precisão a lei constitutiva do 

concreto (Figura 1). Paralelamente, modelos elastoplásticos com encruamento vem sendo utilizados 

com sucesso para representar o comportamento do aço (Figura 2). 

Neste trabalho, o comportamento do concreto no ramo comprimido foi simulado com o modelo 

publicado no CEB-90, enquanto que o ramo tracionado foi representado com o modelo de Figueiras 

(1983), por ter a capacidade de simular os efeitos globais de enrijecimento do elemento devidos à 

contribuição do concreto intacto entre fissuras. Para as barras de armadura de aço, o comportamento 

foi assumido elasto-plástico com encruamento. 

Strain ‰ 

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

-35 

-40 

-45 

Stress(Mpa) 

Figura 1 – Diagrama tensão-deformação para diferentes concretos. 

Strain ‰ 

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

-200 

-400 

-600 

-800 

-1000 

Figura 2 – Diagrama tensão-deformação para diferentes aços. 

Stress(Mpa) 



Depois da escolha do modelo não-linear para os materiais, os esforços resistentes podem ser 

determinados com precisão através da integração das tensões no domínio da seção transversal. Para 

a solução desse problema não-linear, o equilíbrio é encontrado iterativamente através de algoritmos 

conhecidos, do tipo previsão e correção. O procedimento baseado em matrizes secantes assegura a 

estabilidade da solução frente aos problemas de descontinuidades de tangentes, que existem em 

razão da presença de inflexões e de funções não-contínuas nos modelos constitutivos adotados para 

os materiais. O comportamento do material perante às componentes de cisalhamento e torção foi 

considerado linear, apenas para a manutenção do equilíbrio, o que quer dizer, portanto, que não há 

aplicação de correção não linear nas direções correspondentes às solicitações tangenciais. Assim, o 

comportamento do concreto é governado por um critério uniaxial de ruptura baseado na máxima 

tensão normal presente na seção. Dessa maneira são importantes apenas os cálculos das curvaturas 

e da posição da linha neutra em uma seção transversal para que se determine unicamente o estado 

de tensões nessa seção. Esta distribuição de tensões é determinada assumindo-se a hipótese de 

Bernoulli. 

Hoje, a técnica mais comum usada para realizar análises de concreto armado é o 

acoplamento de modelos materiais com o método dos elementos finitos. Um dos aspectos mecânicos 

mais importantes é a redistribuição de momentos fletores devida à adoção de modelos materiais nãolineares. 

Modelar corretamente as perdas de rigidez é importante para estimar o comportamento dos 

elementos. Em relação ao material concreto, um ponto importante é a heterogeneidade de suas 

propriedades mecânicas, que muito embora sejam assumidas como valores determinísticos, 

fisicamente não respeitam essa condição de não-variabilidade. Assim, devem-se considerá-las como 

aleatórias e, portanto, uma análise probabilística deve ser realizada para avaliar a probabilidade de 

violação de um estado limite qualquer. Na grelha, a principal conseqüência dessa aleatoriedade é a 

presença de várias seções capazes de se transformar no ponto mais frágil da estrutura. Daí conclui-se 

que o comportamento intrínseco da grelha de concreto armado leva, por si só, à definição de inúmeros 

modos potenciais de falha. 

A abordagem confiabilística proposta no presente trabalho requer a determinação da carga 

crítica da estrutura, representada pela mínima carga que leva o sistema a atingir um estado limite. A 

carga encontrada é dividida pelo carregamento aplicado P APL , de onde se obtém um coeficiente 

adimensional de carga crítica λ. Seja por exemplo uma seção genérica “i” de um elemento de concreto 

armado, cuja curvatura é 1/r e a posição da linha neutra define as deformações no concreto e no aço 

ε C (i) e ε S (i), conforme mostra a Figura 3: 

ε c (i) 

i 

1 r 

LN 

ε s (i) 

Figura 3 – Seção de concreto armado representativa de um nó qualquer da grelha. 

O procedimento para a determinação da carga crítica é executado dividindo-se o 

carregamento por um fator real η e aplicando-se essas parcelas de carga em incrementos sucessivos, 

até que seja superada uma deformação limite em uma seção qualquer “i” da estrutura. O fator η pode 

inclusive ser subdividido para aumento da precisão na deformação última, já que ela é extremamente 

sensível aos incrementos de carga na região próxima ao seu limite. 

A carga crítica fica então definida da seguinte maneira: 


166 


P 

ULT 

=λ× P 

APL 

onde λ∈R/ ε (i) =ε (i) ou ε (i) =ε (i) 

c cULT s sULT 

(1) 

onde as deformações limite são escolhidas para todas as “i” seções conforme segue: 

ε 

cULT 

=− ⎫ 

⎬ = 

ε 

sULT 

(i) = 1,00% ⎭ 

(i) 0,35% i 1,N 

Seções 

(2) 

Depois de esquematizados os principais pontos do modelo mecânico usado, na seção 

seguinte apresenta-se a teoria para cálculo da probabilidade de falha da grelha de concreto armado 

com a utilização da técnica proposta. 


3.1 Generalidades sobre confiabilidade estrutural 

O trabalho dos pesquisadores que buscam as modelagens com métodos baseados em teoria 

da confiabilidade é árduo: de um lado eles necessitam de numerosas chamadas aos modelos de 

elementos finitos para a aplicação de suas técnicas; do outro existem estudantes, engenheiros, 

profissionais e também pesquisadores tentando modelar estruturas cada vez maiores e mais 

complexas, com milhares de graus de liberdade, buscando simular da maneira mais fiel possível os 

fenômenos naturais através de seus softwares, tornando cada vez mais lenta a determinação 

computacional de uma resposta estrutural. O que se constata, porém, é que mesmo com as 

dificuldades adicionais geradas para o uso de métodos confiabilísticos, o embasamento matemático e 

a quantidade de benefícios aportados pela confiabilidade são tais, que a previsão da segurança 

estrutural por meio do acoplamento de métodos numéricos com essas devidas técnicas se faz cada 

vez mais presente no meio técnico e científico. 

A confiabilidade estrutural é definida estritamente como a probabilidade que uma estrutura tem 

de desempenhar a função para a qual foi designada, ao longo de toda a sua vida útil. A sua definição 

matemática é: 

R = 1− P f 

(3) 

onde P f denota uma probabilidade de falha durante a vida útil, caracterizada por uma situação onde se 

atinge algum estado limite pré-estabelecido. 

Portanto, estatisticamente, a confiabilidade é o evento complementar à probabilidade de falha. 

Como geralmente os valores da confiabilidade são grandes, usa-se trabalhar com a probabilidade de 

falha, que nos casos de estruturas civis é um valor normalmente compreendido entre 10 -7 e 10 -3 . 

Inúmeros fatores contribuem para o desempenho de uma estrutura, como por exemplo, a 

geometria, as ações, a quantidade e o posicionamento de armaduras, etc. Essas são normalmente as 

variáveis de projeto. O que o estudo da confiabilidade vai dizer é qual a chance de existir uma 

combinação dessas variáveis de projeto que conduz o sistema a uma situação de estado limite. 

Para isso deve-se iniciar posicionando todas as variáveis de projeto em um espaço cartesiano, 

onde se sabe que uma região desse espaço concentra pontos que atendem todas as exigências do 

projeto. Nessa região a estrutura está segura. Na região complementar a essa, nem todos aqueles 

requisitos são atendidos, o que acontece em virtude das incertezas inerentes às variáveis de projeto. 

Somando-se as regiões do espaço que não atendem aos requisitos de projeto, virá a definição 

matemática da probabilidade de falha. Atribuindo-se distribuições estatísticas convenientes para as 

variáveis de projeto, denotam-se por X i i=1,2...n essas “n” variáveis para as quais deveremos 



considerar as incertezas. Uma situação qualquer (evento probabilístico) ou realização será 

denominada de x i . A associação de uma variável a uma distribuição estatística pode ser feita através 

de estudos estatísticos, de observações físicas, de análises de laboratório, ou apenas através da 

opinião de especialistas. Cabe observar, porém, que a qualidade da informação disponível e da 

aproximação escolhida reflete diretamente na precisão dos resultados. 

Em seguida, desenvolve-se o método da seguinte forma: se existem duas regiões 

complementares, existe então uma função G(x i ), desconhecida a priori, que mede a resposta estrutural 

do sistema e determina se a realização x i pertence ou não ao conjunto de pontos que satisfazem os 

requisitos de segurança. Ela é chamada de função de desempenho e divide o espaço das variáveis de 

projeto nessas duas partes: uma dessas regiões, onde G(x i )>0, convencionou-se chamar de domínio 

seguro. Já a zona onde a equação G(x i )

168 


computacionais impostas pelos cada vez mais refinados modelos mecânicos. Dentre esses métodos, 

conforme já mencionado, destaca-se o método da superfície de resposta (RSM), que fornece rápida e 

eficiente aproximação de P f . 

Na grande maioria dos casos a falha de um sistema estrutural não pode ser escrita em termos 

de uma função explícita das variáveis aleatórias, sendo que apenas uma definição implícita da função 

de estado limite é possível. Mesmo em casos mais simples, onde a representação da superfície é 

possível, a aproximação numérica implícita pode ser mais conveniente pelo caráter generalista que 

fornece ao procedimento. A solução pode ser obtida com a construção da superfície de resposta 

baseada em um certo número de realizações do modelo mecânico, aproximando a função de estado 

limite na vizinhança do ponto de projeto. 

Constata-se facilmente na literatura especializada que o uso de superfícies de resposta em 

confiabilidade não é recente, mas fica claro que mais estudos são necessários para contribuir com os 

avanços em termos de eficiência, performance, e generalidade da técnica. 

A grande vantagem do RSM é permitir a construção rápida de uma função de estado limite e a 

determinação do ponto de projeto, ambos desconhecidos a priori. Isso é feito por meio da substituição 

da função de estado limite real por hipersuperfícies aproximadoras em torno da vizinhança do ponto 

de projeto em um processo iterativo. Este procedimento torna a busca do ponto de projeto bastante 

simples, rápida e eficiente, já que a superfície real é substituída por um simples polinômio. Faz-se uso 

de uma transformação isoprobabilística, como indicada na Figura 4, para a definição do ponto de 

projeto como o ponto P*, situado no espaço de variáveis transformadas, onde a ocorrência de uma 

falha é mais provável. Nessa abordagem, esse ponto define que a probabilidade de falha do sistema é 

igual à probabilidade do seu ponto mais frágil. Aqui, os outros modos de falha são negligenciados em 

favor da probabilidade obtida com o ponto de projeto. 

x 2 

0 

Domínio de falha 

( xi 

) = 0 

Domínio de falha 

( u i ) 

2 

P * 

( i ) = 0 

f x 

( ) 

i 

x 1 

0 

1 

Figura 4 – Transformação isoprobabilística do espaço físico para o espaço normalizado. 

A definição de um índice adimensional para medir a segurança foi introduzida por Hasofer & 

Lind (1974), que propuseram trabalhar no espaço de variáveis gaussianas independentes, ao invés de 

fazê-lo no espaço das variáveis físicas. Com esta transformação, o trabalho em questão mostrou que 

o índice é invariável e vem sendo utilizado com sucesso até hoje, o que para os autores indica que o 

índice de Hasofer & Lind deverá realmente se firmar como uma unanimidade na comunidade 

internacional. 

A transformação isoprobabilística do espaço físico Xi para o espaço normalizado Ui dá-se por 

meio da expressão: 

U 

( ) 

= T X 

(5) 

i i i 

No novo espaço, a função de desempenho tem a seguinte forma: 



( ) ( ) 

−1 

( ) ( ) 

G X = G T U ≡ H U = 0 

(6) 

i i i i 

Para traçar as superfícies de resposta, é necessário que se lance mão da análise da estrutura 

em um conjunto de situações pré-definidas, que é denominado de plano de experiência (PE), conceito 

que não é recente e é advindo da teoria de planejamento de experimentos. Esse conjunto é o principal 

fundamento do RSM. Cada ponto do plano será responsável por uma resposta mecânica do modelo 

de elementos finitos. Tendo-se em mãos o conjunto de pontos e as devidas respostas mecânicas, 

constrói-se a superfície de resposta, calculando-se os coeficientes de seu polinômio por meio de 

técnicas de aproximação de pontos a superfícies. Adotou-se a técnica dos mínimos quadrados. A 

superfície é escrita em função das variáveis de projeto e dos coeficientes obtidos nesta regressão. 

O índice de confiabilidade β pode então ser definido como a mínima distância entre a origem e 

o domínio de falha no espaço normalizado. Esta distância, bem como a sua direção define o ponto P*, 

mostrado na Figura 4, que é o chamado ponto de projeto, onde ocorre a maior probabilidade de falha. 

De acordo com essa representação física, o índice de confiabilidade β é calculado através da solução 

do seguinte problema de otimização restrita: 

∑ 

i 

( ) 

β= min u 

i 

( ) 

Sujeito a G u ≤ 0 

i 

2 

(7) 

Para a solução deste problema um dos algoritmos mais conhecidos no campo da 

confiabilidade é o algoritmo de Rackwitz & Fiessler (1978). Este método não é sempre aplicável, pois 

é falho em alguns casos que dependem da forma da superfície de resposta e da continuidade de suas 

derivadas. No presente estudo não existem problemas deste tipo. Embora o algoritmo requeira o 

cálculo das derivadas parciais da função de falha, o que poderia elevar o tempo computacional, ele 

apresenta rápida convergência, pois se utiliza de polinômios simples e conhecidos. 

Depois de determinado o ponto de projeto P*, deve-se calcular a probabilidade de falha P f . 

Para esta operação utilizam-se também métodos aproximados. A chamada aproximação em primeira 

ordem para P f é obtida substituindo-se a função de estado limite no ponto P* por um hiper-plano 

tangente. Na literatura, essa aproximação é chamada de First Order Reliability Method (FORM). A 

probabilidade P f é aproximada por: 

f 

( ) 

P ≈Φ −β (8) 

onde Φ(•) é a função de distribuição normal cumulativa. 

A precisão da aproximação FORM depende da curvatura da função de estado limite na 

vizinhança de P f . Aproximações melhores podem ser obtidas levando-se em conta essa curvatura, 

hipótese básica do Second Order Reliability Method (SORM). 

O erro na aproximação FORM e sua relação com a segurança da aproximação dependem da 

concavidade da superfície de ruína. Se esta for côncava, a aproximação é a favor da segurança e 

vice-versa. Normalmente uma aproximação desse tipo é suficiente se a curvatura da superfície de 

ruína e a probabilidade de ruína têm valores pequenos. Como na prática geralmente ocorrem casos 

como esses, a aproximação FORM é bem aceita e correntemente utilizada. 

A idéia do RSM é construir uma aproximação polinomial da função de estado limite, seja no 

espaço físico G(x i ) ou no espaço normalizado H(u i ). A escolha de uma superfície de grau dois é 

aconselhável porque ela permite o cálculo de curvaturas e evita as oscilações inerentes aos 

polinômios de ordem mais elevada. Por simplificação escolheu-se construir a aproximação 

diretamente no espaço normalizado. A aproximação para a superfície H(u i ) é dada por um polinômio 

completo do tipo: 


170 


N N N 

∑ ∑∑ (9) 

H(u ) = c + b u + a u u 

i i i ij i j 

i= 1 

i= 1 j= 

i 

onde c, b i e a ij são constantes a serem determinadas. 

H(u i ) é definida por pelo menos [(N+1)(N+2)/2] pontos, mas normalmente um grande número 

de pontos é tomado e a aproximação é obtida por mínimos quadrados. 

Dois passos são considerados essenciais: A escolha de um modelo mecânico adequado para 

representar a resposta estrutural, já descrito no item 2, e a seleção do PE conveniente que forneça 

uma representação precisa das variações do comportamento mecânico. A convergência do algoritmo 

de busca é diretamente relacionada à qualidade do PE selecionado. Recomenda-se também o uso de 

um procedimento iterativo para aumentar a precisão na busca do ponto de projeto. 

Na literatura técnica podem ser encontradas numerosas propostas de PE. Cabe observar que 

o uso de um único PE para qualquer modelo estrutural é praticamente impossível, devendo-se 

analisar a melhor opção de PE em cada caso. A Figura 5 mostra os PE usados no presente estudo. O 

PE estrela é obtido calculando-se duas respostas mecânicas simétricas para cada variável. O PE 

hiper-cubo apresenta dois níveis para cada variável. O PE fatorial completo tem três níveis de 

mapeamento para cada variável. O PE mínimo corresponde ao número mínimo de pontos obtidos na 

resposta numérica que permite definir unicamente os coeficientes de um polinômio quadrático 

completo. O PE composto é obtido a partir de uma fusão do PE estrela com o PE hiper-cubo, 

permitindo cinco níveis diferentes de experimentação para cada variável. 

Estrela Hiper-Cubo Fatorial Completo 

Mínimo 

Composto 

Figura 5 – Planos de experiência para 3 variáveis aleatórias. 

O procedimento assim se sucede: na iteração “k”, constrói-se a superfície de resposta 

aproximando-a pelo número de respostas requeridas pelo PE escolhido para representar H(u i ). A 

equação H(u i )=0 permite a determinação de um β(k), além de um ponto de projeto u i *(k) com o uso do 

algoritmo de Rackwitz-Fiesler. Em seguida constrói-se um novo polinômio na iteração “k+1” a partir da 

determinação da função implícita situada na vizinhança de u i *(k).Várias iterações permitem que seja 

obtida uma aproximação do índice de confiabilidade e do ponto de projeto. 

O problema geral de análise de confiabilidade utilizando o RSM, conforme descrito na Figura 

6, resume-se em três passos: Inicialmente é escolhido o conjunto de pontos do plano de experiência e 

obtém-se uma reposta estrutural para cada um dos pontos, assumindo-se uma distribuição estatística 

para cada variável estrutural. Em cada resposta mecânica, encontra-se um ponto no espaço físico ou 

normalizado. O conjunto desses vários pontos permite a construção da superfície de reposta. O 

segundo passo consiste em aplicar o algoritmo de otimização no espaço normalizado para encontrar o 



ponto P*. A distância deste ponto à origem é o índice de confiabilidade β. Depois de determiná-lo, o 

passo final é resolver a integral da Eq. (4). Uma boa aproximação pode ser obtida com um dos 

métodos FORM/SORM. 

Outras dificuldades podem ser encontradas se as correlações estatísticas entre as variáveis 

de projeto forem consideradas ou se distribuições não gaussianas forem adotadas. É possível que 

surjam dificuldades adicionais relacionadas à forma da função de estado limite, como por exemplo, o 

caso onde ela se aproxima de uma hiper-esfera, onde todos os pontos são mínimos. 

Plano de 

Experiência 

+ 

Elementos 

Finitos 

Superfície de 

Resposta 

+ 

Algoritmo de 

Otimização 

Ponto ui 

Índice β 

+ 

Form / Sorm 

Probabilidade 

de falha 

Figura 6 – Procedimento geral para análise de confiabilidade com RSM. 

No presente caso, a definição da resposta mecânica é feita de acordo com as expressões 

descritas em Eq. (1) e Eq. (2). Como foi imposta uma variação estatística para as variáveis de projeto, 

a resposta estrutural passa a depender dos pontos do PE. A carga crítica é dada pela Eq. (1) 

modificada: 

P 

ULT 

=λ (x 

i 

) × PAPL 

(10) 

A função de estado limite, necessária para definir os domínios de falha e segurança, pode ser escrita 

tanto no espaço físico como no espaço normalizado: 

G(x) 

i 

= P 

ULT 

(x) 

i 

− P 

APL 

=λ (x) 

i 

× PAPL − PAPL 

= 0 

(11) 

H(u ) =λ(u ) − 1= 0 

(12) 

i 

i 

3.3 Múltiplos estados limites 

No presente estudo, a consideração de múltiplos modos de ruptura foi realizada a partir da 

introdução de várias funções de estado limite, formando um domínio de falha composto de sub-áreas. 

Cada uma das curvas de estado limite corresponde a um modo de falha. Estas curvas são construídas 

de maneira independente, a partir da imposição de se atingir a deformação limite apenas nos modos 

escolhidos. Computacionalmente o processo é feito negligenciando-se as deformações limite atingidas 

nos modos diferentes do desejado e com o conjunto dessas funções constrói-se o domínio composto. 

Obviamente este domínio não corresponde ao domínio exato de falha, mas, sem dúvida, é uma 

aproximação melhor do que aquelas obtidas com métodos FORM/SORM, visto que ele define uma 

região mais precisa. Propõe-se neste trabalho que a probabilidade final de falha seja calculada através 

de métodos de simulação sobre esse domínio composto. O tempo ganho é significante na maioria dos 

casos, já que as simulações são testadas com polinômios simples, contrapondo-se às custosas 

simulações feitas diretamente com o uso de refinados modelos de elementos finitos. 


172 


Uma outra observação importante é que o índice de confiabilidade pode ser calculado 

separadamente para medir a importância de cada modo de falha de maneira isolada. Este 

procedimento permite a seleção dos modos de falha importantes para a simulação, já que apenas as 

“n” primeiras funções de estado limite são consideradas. O valor de quantos “n” modos deve-se 

escolher, fica a determinar, conforme a importância dos modos secundários, o que introduz certa 

subjetividade à análise, pois esse número depende da sensibilidade do analista. Os autores sugerem 

que sejam feitos testes para medir a sensibilidade do modelo ao tamanho dessa amostra. Além disso, 

sabe-se que as probabilidades decrescem muito rapidamente com a distância da origem do espaço 

normalizado e por isso a escolha criteriosa de “n” pode evitar simulações desnecessárias. Um critério 

razoável, sugerido pelos autores, é descartar os modos secundários cujos índices de confiabilidade 

conduzam a probabilidades menores do que 10 -3 vezes a probabilidade obtida com o primeiro modo. 

Na próxima seção, pode-se observar um exemplo simples mostrando o uso da confiabilidade 

para a determinação da probabilidade de falha de um sistema. 

4 RESULTADOS OBTIDOS 

4.1 Viga com dois modos de falha 

Para demonstrar uma aplicação do uso de estados limites múltiplos em um sistema simples, 

uma viga como a da Figura 7 foi utilizada. Por simplificação não se discretizou a viga ao longo do 

comprimento. Assim, o modelo apresenta somente um elemento finito cujo carregamento consiste em 

dois momentos fletores concentrados em suas extremidades. Para possibilitar o traçado dos 

diagramas, foram consideradas apenas duas variáveis aleatórias, o que permite construir e visualizar 

em duas dimensões as funções de estado limite. Admitiu-se que a viga apresenta um concreto com 

distribuição estatística gaussiana igual em todo o seu comprimento, com uma média denotada por f C e 

um desvio padrão σ C . Da mesma maneira, a armadura também foi considerada constante e igual ao 

longo do comprimento, com distribuição gaussiana de média f Y e desvio padrão σ Y . Os coeficientes de 

variação do concreto e do aço foram tomados como de 18% e 12% respectivamente. Dois modos de 

falha foram considerados: o esmagamento do concreto e o escoamento do aço. Nesse exemplo a 

superfície de reposta foi traçada a partir de planos de experiência e para isso um PE composto foi 

escolhido. Os dados adicionais utilizados no exemplo estão descritos na Tabela 1: 

M 

Aço 

M 

Concreto 

L 

Figura 7 – Viga do exemplo. 

A análise mecânica da viga indicou falha ocorrendo nos dois modos de ruptura escolhidos. 

Dependendo das resistências do aço e do concreto fornecidas pelos pontos do plano de experiência, a 

redistribuição de esforços internos conduziu a diferentes seqüências de falha, ora por escoamento da 

armadura, ora por esmagamento do concreto. 



Tabela 1 – Dados do exemplo 

Parâmetro 

Valor 

Parâmetro 

Valor 

L 1.000,0 mm As Sup 17 φ10mm 

f y 500,0 N/mm 2 d 875,0 mm 

f c 30,0 N/mm 2 ε slim 0,0100 

E y 210.000,0 N/mm 2 ε clim -0,0035 

b 120,0 mm σ y 60,0 N/mm 2 

h 1.000,0 mm σ c 5,4 N/mm 2 

M 250.000.000,0 N.mm Grau 2 

Inicialmente foi realizada a análise sem considerar os múltiplos estados limites. Isso foi 

realizado para permitir a realização de uma comparação entre as duas abordagens, pois, devido ao 

grau de dificuldade dos modelos mais refinados, não foram realizadas comparações com maior 

complexidade. 

O ponto de projeto foi encontrado com onze chamadas ao modelo de elementos finitos. Como 

o plano de experiência escolhido necessita de nove respostas mecânicas iniciais, conclui-se que 

durante o algoritmo dois pontos foram substituídos por pontos mais próximos à função. As linhas de 

isovalores da função de desempenho adimensional H(u i ) podem ser vistas na Figura 8, traçadas no 

espaço normal padrão. A variável u 1 corresponde ao concreto e a variável u 2 ao aço. Nomeou-se a 

curva onde H(u i ) = 0 de função de estado limite envoltória, já que a probabilidade obtida é a do modo 

preponderante. 

Figura 8 – Isolinhas da superfície de resposta no espaço normalizado. 


174 


O cálculo do índice de confiabilidade foi efetuado através do algoritmo de Rackwitz & Fiessler. 

Com esse algoritmo é possível também determinar as coordenadas do ponto de projeto indicado 

acima, que corresponde à mínima distância da curva H(u i ) = 0 à origem. A Tabela 2 indica as 

coordenadas do ponto de projeto P* e o valor do índice de confiabilidade: 

Tabela 2 – Resultados da análise de confiabilidade 

Índice β 4,423 

Coordenadas do ponto de projeto 

u 1 = -1,515 

u 2 = 4,155 

O índice de confiabilidade encontrado foi de aproximadamente 4,423, correspondente a P f = 

0,00000487 para uma aproximação FORM. As coordenadas do ponto de projeto mostram que a 

segurança da estrutura é mais sensível às variações na resistência do aço, pois a variação do índice 

de confiabilidade é maior com relação à variável u 2 . Esse fenômeno é também devido à redistribuição 

de esforços, já que os valores da carga última do sistema são mais sensíveis às variações no valor da 

resistência do aço, interferindo na forma da função de estado limite. 

A interpretação física da probabilidade de falha é o significado concreto de toda análise 

probabilística. Além da sensibilidade já contida nas informações dos co-senos diretores do ponto de 

projeto, o número obtido nos informa que aproximadamente 487 em cada 100.000.000 de 

combinações possíveis para o par formado pela resistência do concreto e resistência do aço 

conduzirão a estrutura a uma situação de falha. 

Figura 9 – Funções de estado limite dos múltiplos modos de falha. 



Depois da realização da análise com um estado limite único, deseja-se determinar qual a 

diferença na confiabilidade se vários estados limites forem considerados. Assim, realizou-se em 

seguida a abordagem proposta no presente trabalho, onde se consideram os múltiplos estados limites. 

Nesse exemplo, a determinação das curvas foi realizada com o emprego da imposição de ruptura 

segundo um determinado modo com o uso de planos de experiência, conforme descrito na tese de 

Neves (2004). Isso leva à construção de uma função de estado limite para cada um dos modos, 

conforme pode ser visto na Figura 9. As superfícies são adimensionais. 

As equações das três funções foram estabelecidas conforme a Eq. (13): 

H = 0.7142 - 0.1746u - 0.0054u -0.0059u -0.0160u u - 0.0056u = 0 

2 2 

Env 2 2 1 1 2 1 

H = 0.7687 + 0.1741u - 0.0011u -0.0130u -0.0054u u +0.0018u = 0 

2 2 

Y 2 2 1 1 2 1 

H = 0.7123 + 0.1733u +0.0066u -0.0054u -0.0171u u +0.0059u = 0 

2 2 

C 2 2 1 1 2 1 

(13) 

onde as funções H Env , H C e H Y representam, respectivamente, as funções de estado limite envoltória, 

do concreto e do aço. 

Fica evidente ao observar-se a Figura 9 que o domínio de falha definido pelas curvas de 

estado limite do aço e do concreto é mais preciso do que aquele determinado pela envoltória dos 

modos. A função de estado limite envoltória não consegue contemplar a área destacada com 

hachuras inclinadas, ao passo que o domínio composto é capaz de fazê-lo. 

Em seguida, em uma segunda fase de simulações, foram processadas 108 realizações, 

gerando-se pontos aleatoriamente no espaço das variáveis normalizadas, levando-se em conta o 

domínio de falha limitado pelas funções H C e H Y . O valor calculado para a probabilidade de falha final 

da viga foi de P f = 1,683x10 -5 , que é cerca de 3,5 vezes maior do que o valor obtido com a 

aproximação FORM. 

Conforme mencionado anteriormente, o tempo computacional dispensado é uma das barreiras 

no estudo da confiabilidade de modelos mais complexos. No presente exemplo, o tempo gasto na 

obtenção das curvas de estado limite individuais é aproximadamente o produto do tempo de gasto 

para o traçado de um estado limite pelo número de curvas a ser considerado. Isso quer dizer que em 

relação à análise com um estado limite, o algoritmo demanda mais tempo. Porém, na segunda fase da 

simulação, onde foram realizadas as 108 realizações no domínio composto, o ganho de tempo é 

extraordinário. Isso porque que cada reposta mecânica proveniente do modelo de elementos finitos 

deste exemplo consome em média três segundos e com isso o tempo consumido para realizar as 

simulações da segunda fase através de um modelo baseado em elementos finitos seria extremamente 

alto, enquanto que a segunda fase de simulações da presente proposta foi realizada em um tempo de 

apenas três horas. Além desse ganho de tempo a precisão obtida na determinação do domínio de 

falha foi melhor e a possibilidade de processamento de modelos mais complexos torna-se mais 

factível. 

5 CONCLUSÕES 

O uso da teoria da confiabilidade aplicada às estruturas consiste em uma tentativa de se 

considerar as incertezas presentes nas variáveis envolvidas no projeto. Há hoje uma grande tendência 

para a diversificação das aplicações de confiabilidade em vários ramos da ciência e a Engenharia de 

Estruturas, em particular, inicia no uso de modelos baseados em confiabilidade para realizar a 

previsão das probabilidades de falha de seus sistemas. Além disso, existe também uma forte 

tendência à realização do acoplamento de processos de otimização com índices de confiabilidade 

para a realização de projetos e verificações otimizadas, ambos submetidos a índices de confiabilidade 

pré-estabelecidos. 


176 


Na abordagem com um estado limite único, o ponto de projeto denominado de P* é o ponto de 

falha mais provável e a sua falha representa a falha do sistema. Em estudos anteriores verificou-se 

que o estado limite único representa uma envoltória dos estados limites dos modos de falha 

secundários e por isso não permite que as probabilidades desses modos sejam levadas em 

consideração. Esse método é bastante utilizado e fornece boas aproximações do índice de 

confiabilidade, como visto na literatura. Para as grelhas (ou outras estruturas otimizadas), no entanto, 

o inconveniente maior da técnica é que uma perturbação em qualquer das variáveis modifica o cenário 

de falha, isto é, a seção e o tipo de ruína. Isso ocorre principalmente em razão da otimização de 

seções e armaduras feitas por projetistas. 

Já na presente abordagem, o uso de estados múltiplos conduziu a uma obtenção mais precisa 

da probabilidade de falha, pois o domínio de falha foi definido de uma maneira mais refinada do que 

com o emprego de aproximações em primeira ou segunda ordem. 

A técnica aqui utilizada para o cálculo da confiabilidade permitiu a seleção dos modos de falha 

mais importantes e conduziu a resultados coerentes da probabilidade de falha do sistema. Além disso, 

seleção realizada acarretou um grande ganho de tempo de processamento, uns dos maiores entraves 

dos métodos de simulação hoje. A vantagem da simulação feita no presente trabalho em relação ao 

Monte Carlo puro é que ela é realizada apenas sobre polinômios e não sobre modelos mecânicos 

complexos, o que permite o processamento de exemplos maiores. Mais ainda, o procedimento 

mostrou-se bom do ponto de vista da generalização da técnica, pois forneceu resultados coerentes 

mesmo com elevado número de variáveis aleatórias, conforme pode ser constatado na tese de Neves 

(2004). 

Pode-se afirmar ainda que essa abordagem permite uma extensão para a determinação de 

probabilidades de falha de sistemas de modo global, podendo-se avaliar as probabilidades globais de 

colapso (isso não foi realizado neste trabalho). Acredita-se que essa contribuição pode ser 

rapidamente incorporada definindo-se as regiões cujas intersecções conduzem a estrutura a essa 

situação. A rigor, como a teoria da confiabilidade se constitui em uma ferramenta estritamente 

matemática, ela pode ser acoplada a qualquer modelo mecânico baseado em qualquer hipótese 

cinemática e em problemas dependentes ou não de sua variação no tempo. 

Por todo o exposto, pode-se concluir que a consideração de incertezas através das devidas 

associações estatísticas para o cálculo da confiabilidade consiste em um tema atual, relevante e está 

se tornando uma das linhas de pesquisa mais procuradas nos grandes centros de pesquisa mundiais, 

e deverá em breve fazer parte de procedimentos usuais do meio técnico. 


Agradecemos à FAPESP pelo apoio financeiro durante o Doutorado no Brasil, sem o qual esta 

pesquisa não poderia ter sido realizada, e ao CNPq, pelo fomento da bolsa de doutorado-sanduíche 

na França. 


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