estudo e desenvolvimento de código computacional ... - SET - USP
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ISSN 1809-5860<br />
ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE CÓDIGO<br />
COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE IMPACTO ENTRE<br />
ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS LEVANDO EM<br />
CONSIDERAÇÃO EFEITOS TÉRMICOS<br />
Rogério Carrazedo 1 & Humberto Breves Coda 2<br />
Resumo<br />
Ao se estudar problemas <strong>de</strong> impacto <strong>de</strong> estruturas <strong>de</strong>formáveis (dúcteis) a consi<strong>de</strong>ração<br />
dos efeitos térmicos se faz muito importante, pois além <strong>de</strong> se observar a transformação<br />
<strong>de</strong> energia mecânica em calor po<strong>de</strong>-se consi<strong>de</strong>rar, ao longo do processo <strong>de</strong> análise, as<br />
mudanças das proprieda<strong>de</strong>s mecânicas do material <strong>de</strong>vido ao aquecimento do meio.<br />
Neste sentido, está em <strong>estudo</strong> uma formulação termodinamicamente consistente e sua<br />
implementação <strong>computacional</strong>, baseada no potencial <strong>de</strong> energia livre <strong>de</strong> Helmholtz e<br />
nas leis da termodinâmica, para se analisar, via elementos finitos, o impacto entre<br />
estruturas tridimensionais com comportamento termo-elástico e termo-plástico. O<br />
problema mecânico será tratado com formulação posicional <strong>de</strong>senvolvida em projetos<br />
<strong>de</strong> pesquisa anteriores, classificados como Lagrangeano total com cinemática exata.<br />
Palavras-chave: termo-elasto-plasticida<strong>de</strong>, método dos elementos finitos posicional.<br />
STUDY AND DEVELOPMENT OF COMPUTATIONAL CODE TO<br />
ANALISE IMPACT IN THREE DIMENSIONAL STRUCTURES<br />
CONSIDERING THERMAL EFFECTS<br />
Abstract<br />
It becomes quite important study the thermal effects when consi<strong>de</strong>ring impact in<br />
structures, because besi<strong>de</strong>s the mechanical energy changing into heat, one may<br />
consi<strong>de</strong>r the changes in the material properties due overheating. In this sense, it is<br />
un<strong>de</strong>r study a thermodynamic formulation and its implementation, based in the<br />
Helmholtz free-energy and in the laws of thermodynamics, to analyze three dimensional<br />
structures un<strong>de</strong>r impact. The mechanical problem is solved by a positional finite<br />
element application <strong>de</strong>veloped in past researches and it can be classified as a total<br />
Lagrangean with exact kinematics.<br />
Keywords: thermo-elasticity, thermo-plasticity, positional finite element method.<br />
Linha <strong>de</strong> Pesquisa: Métodos Numéricos.<br />
1 Doutorando em Engenharia <strong>de</strong> Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, rogcrzd@sc.usp.br<br />
2 Professor do Departamento <strong>de</strong> Engenharia <strong>de</strong> Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, hbcoda@sc.usp.br<br />
Ca<strong>de</strong>rnos <strong>de</strong> Engenharia <strong>de</strong> Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 161-164, 2006
162<br />
Rogério Carrazedo & Humberto Breves Coda<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
Tensões <strong>de</strong> origem térmica são geradas em situações não isotérmicas e em<br />
situações que venham a restringir o movimento da estrutura. Ao mesmo tempo,<br />
variações <strong>de</strong> temperatura ocorrem em situações <strong>de</strong> dissipação mecânica<br />
(plastificação, por exemplo). A termo-elasticida<strong>de</strong> e termo-plasticida<strong>de</strong> <strong>de</strong>screvem o<br />
comportamento <strong>de</strong> materiais sujeitos a tais situações, sendo assim generalizações da<br />
teoria da elasticida<strong>de</strong> e da elasto-plasticida<strong>de</strong>.<br />
Além da consi<strong>de</strong>ração do comportamento termo-mecânico do material<br />
constituinte das estruturas, o comportamento geométrico das mesmas é <strong>de</strong> extrema<br />
importância para uma boa simulação <strong>de</strong> aplicações avançadas. Assim, o <strong>estudo</strong> sobre<br />
não linearida<strong>de</strong> geométrica <strong>de</strong>verá seguir teoria Lagrangeana total exata, baseado na<br />
metodologia posicional estabelecida pelo orientador (H. B. Coda, 2003).<br />
2 METODOLOGIA<br />
A formulação da termo-elasticida<strong>de</strong> é baseada nos princípios da<br />
termodinâmica junto aos princípios da elasticida<strong>de</strong> para construir uma formulação<br />
acoplada entre os campos térmico e mecânico.<br />
Em primeiro lugar, a formulação se utiliza da lei da conservação <strong>de</strong> energia<br />
para estabelecer uma relação entre o calor gerado, a energia do sistema e o trabalho<br />
mecânico realizado. Então, o princípio da taxa <strong>de</strong> trabalho é aplicado para estabelecer<br />
uma relação que contenha a energia interna. Com isso e com os conceitos <strong>de</strong><br />
entropia e energia livre <strong>de</strong> Helmholtz, <strong>de</strong>fine-se uma forma da equação <strong>de</strong> condução<br />
<strong>de</strong> calor. Por último, utilize-se a relação constitutiva termo-elástica para estabelecer<br />
uma equação <strong>de</strong> equilíbrio para <strong>de</strong>terminar o comportamento mecânico da estrutura.<br />
Com relação à metodologia posicional para simulação do comportamento<br />
geométrico das estruturas, a formulação constrói o gradiente da função mudança <strong>de</strong><br />
configuração a partir das configurações inicial e final escritas em função <strong>de</strong> espaço<br />
adimensional auxiliar. Neste procedimento a geração <strong>de</strong> uma medida <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação<br />
objetiva (invariante a movimentos <strong>de</strong> corpo rígido) chamada <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação não linear<br />
<strong>de</strong> engenharia possibilita a criação <strong>de</strong> funcional <strong>de</strong> energia <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação simples e<br />
<strong>de</strong> fácil assimilação. A partir <strong>de</strong>sse funcional o teorema da mínima energia potencial<br />
total é aplicado e o método <strong>de</strong> Newton Raphson é utilizado para se solucionar o<br />
sistema não linear <strong>de</strong> equações resultante (H. B. Coda, 2003).<br />
3 DESENVOLVIMENTO<br />
A termo-elasticida<strong>de</strong> se utiliza do conceito do potencial termo-elástico, que<br />
nada mais é do que uma forma <strong>de</strong> <strong>de</strong>finir as proprieda<strong>de</strong>s elásticas <strong>de</strong> um corpo, para<br />
modificar as equações da termodinâmica e da elasticida<strong>de</strong> para criar uma formulação<br />
que tem termos que acoplam ambas as teorias. A teoria utilizada foi <strong>de</strong>senvolvida por<br />
Biot (1956) e está apresentada <strong>de</strong> forma mais elucidativa em Parkus (1976) e em<br />
Holzapfel (2004).<br />
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Estudo e <strong><strong>de</strong>senvolvimento</strong> <strong>de</strong> código <strong>computacional</strong> para análise <strong>de</strong> impacto entre...<br />
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3.1 Equação <strong>de</strong> condução <strong>de</strong> calor<br />
A equação <strong>de</strong> condução <strong>de</strong> calor termo-elástica, em sua forma mais<br />
conhecida, resulta em:<br />
on<strong>de</strong> k é a condutivida<strong>de</strong> térmica, θ é a variação <strong>de</strong> temperatura a partir <strong>de</strong> uma<br />
referência, G é o Módulo <strong>de</strong> Elasticida<strong>de</strong> Transversal, ν é o módulo <strong>de</strong> Poisson, α é<br />
o coeficiente <strong>de</strong> expansão térmica, T 0<br />
é a temperatura <strong>de</strong> referência, ε&<br />
ii<br />
é o traço do<br />
tensor <strong>de</strong> taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação, ρ é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do material, c é o calor específico,<br />
R é o calor gerado e & θ é o fluxo <strong>de</strong> calor.<br />
(1)<br />
3.2 Equação <strong>de</strong> equilíbrio termo-elástica<br />
A equação <strong>de</strong> equilíbrio termo-elástica resulta em<br />
On<strong>de</strong> ε<br />
ij<br />
é o tensor <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação, ε kk<br />
é o traço do tensor <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação, δ ij<br />
é o<br />
<strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Kronecker,<br />
F<br />
i<br />
é o vetor <strong>de</strong> forças externas e<br />
4 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS<br />
& y&<br />
i<br />
é a aceleração.<br />
(2)<br />
O programa foi elaborado em Fortran, sendo que, para a resolução do sistema<br />
não linear foi utilizado o método <strong>de</strong> Newton-Raphson, e para a resolução do problema<br />
dinâmico foi utilizado o método <strong>de</strong> Newmark, aplicando a regra do trapézio, e o<br />
método alfa <strong>de</strong> aproximação temporal. O programa foi validado através <strong>de</strong> exemplos<br />
apresentados na qualificação do autor (Carrazedo, Rog., 2006).<br />
4.1 Exemplo <strong>de</strong> Aplicação – Treliça Bidimensional Dinâmica<br />
O exemplo consiste em uma treliça bidimensional, formada por 48 elementos<br />
<strong>de</strong> barra, em um total <strong>de</strong> 26 nós, com apenas uma carga vertical, conforme a figura 1.<br />
No caso, não foram <strong>de</strong>sprezados os efeitos <strong>de</strong> inércia. O termo <strong>de</strong> acoplamento foi<br />
mantido para po<strong>de</strong>r comprovar a geração <strong>de</strong> calor a partir da taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação da<br />
estrutura.<br />
Figura 1 – Treliça bidimensional.<br />
A figura mostra as condições <strong>de</strong> contorno mecânicas. Com relação às<br />
condições <strong>de</strong> contorno para o problema térmico, não foram especificadas<br />
temperaturas nos nós, tampouco foram especificados fluxos nos nós. Apenas<br />
condições iniciais foram estabelecidas, <strong>de</strong> equilíbrio térmico.<br />
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Rogério Carrazedo & Humberto Breves Coda<br />
Com relação à discretização temporal, foram utilizados 500 passos <strong>de</strong> tempo<br />
o<br />
o<br />
<strong>de</strong> 0.001 segundo. Foi adotado k = 0.011kcal<br />
/ C m s , c = 450 J / C kg ,<br />
3<br />
ρ = 7850kg<br />
/ m , α = 0.000011m /<br />
o C m<br />
e<br />
2<br />
E = 21e9<br />
kgf / m .<br />
O efeito <strong>de</strong> Gough-Joule po<strong>de</strong> ser visto na figura 2, em que as barras que tem<br />
taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação negativa estão aquecendo e as que têm taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>formação<br />
positiva estão resfriando. Não foi utilizada uma escala fixa para a temperatura.<br />
5 CONCLUSÕES PARCIAIS<br />
Figura 2 – Evolução da temperatura na treliça.<br />
Preten<strong>de</strong>-se utilizar os conceitos <strong>de</strong>senvolvidos até o momento para incluir a<br />
parte térmica no aplicativo maior <strong>de</strong>senvolvido pelo orientador, Prof. Humberto Breves<br />
Coda, que contém elementos mais elaborados (como elemento <strong>de</strong> pórtico e casca).<br />
Na seqüência, será estudada a teoria da termo-plasticida<strong>de</strong>, através <strong>de</strong> potenciais<br />
dissipativos apresentados por Lanczos (1986) e o impacto termo-mecânico.<br />
6 REFERÊNCIAS<br />
BIOT, M. (1956) Thermoelasticity and irreversible thermo-dynamics. Journal of<br />
Applied Physics, v. 27, n. 3, p. 240-253.<br />
CARRAZEDO, R. (2006). Estudo e <strong><strong>de</strong>senvolvimento</strong> <strong>de</strong> código <strong>computacional</strong><br />
para análise <strong>de</strong> impacto entre estruturas tridimensionais levando em<br />
consi<strong>de</strong>ração efeitos térmicos. São Carlos. Projeto (Doutorado) - Escola <strong>de</strong><br />
Engenharia <strong>de</strong> São Carlos – Universida<strong>de</strong> <strong>de</strong> São Paulo.<br />
CODA, H. B. (2003). Análise não linear geométrica <strong>de</strong> sólidos e estruturas: uma<br />
formulação posicional baseada no MEF. Texto complementar para concurso <strong>de</strong><br />
professor titular. São Carlos: Escola <strong>de</strong> Engenharia <strong>de</strong> São Carlos.<br />
HOLZAPFEL, G. A. (2004). Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for<br />
engineering. 2. ed. Chichester, Inglaterra: John Wiley & Sons.<br />
LANCZOS, C. (1986). The variational principles of mechanics. Nova York: Dover<br />
Publications, Inc.<br />
PARKUS, H. (1976). Thermoelasticity. 2. ed. Austria: Springer-Verlag.<br />
Ca<strong>de</strong>rnos <strong>de</strong> Engenharia <strong>de</strong> Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 161-164, 2006