SÃ£o Carlos, v.8 n. 30 2006 - SET - USP

São Carlos, v.8 n. 30 2006

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

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São Carlos, v.8 n. 30 2006

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SUMÁRIO 

Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em 

perfis soldados 

Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 1 

Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por 

vigas-T 

Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 27 

Efeitos do confinamento em pilares de concreto armado encamisados com 

compósito de fibra de carbono 

Ricardo Carrazedo & João Bento de Hanai 59 

Tabuleiro ortótropo treliçado protendido transversalmente para aplicação em 

pontes de madeira 

Andrés Batista Cheung & Carlito Calil Junior 79 

Pilares de concreto de alta resistência confinados por estribos retangulares e com 

adição de fibras de aço 

Humberto Correia Lima Júnior & José Samuel Giongo 111 

Análise não linear física de placas e cascas anisotrópicas laminadas acopladas ou não 

com meio contínuo tridimensional viscoelástico através da combinação entre o MEC e 

o MEF 

Rodrigo Ribeiro Paccola & Humberto Breves Coda 135

ISSN 1809-5860 

ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE 

ELEMENTOS COMPRIMIDOS DE AÇO: ÊNFASE EM 

PERFIS SOLDADOS 

Geraldo Donizetti de Paula 1 & Roberto Martins Gonçalves 2 

Resumo 

Este trabalho apresenta resultados de uma análise teórico-experimental sobre a 

resistência à compressão de perfis I soldados de aço, formados por chapas cortadas 

a maçarico. A construção metálica no Brasil utiliza os perfis I soldados de aço 

formados por chapas cortadas a maçarico em virtude da pouca disponibilidade no 

mercado dos perfis laminados. Os perfis soldados brasileiros apresentam dimensões 

(altura, largura de mesa e espessura) diferentes das encontradas nos perfis 

laminados e soldados, fabricados em outros países. Apresentam-se os principais 

parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para 

perfis soldados de pequenas dimensões, tais como: tensões residuais, imperfeições 

geométricas iniciais e seus efeitos no cálculo da resistência à compressão dos perfis 

soldados compostos por chapas cortadas a maçarico. Os perfis ensaiados pertencem 

às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, sendo que foram obtidos resultados 

experimentais da força normal crítica e das imperfeições geométricas iniciais para três 

modelos de cada série com quatro índices de esbeltez diferente. 

Palavras-chave: perfis soldados de aço; resistência à compressão; imperfeições 

iniciais. 

1 INTRODUÇÃO 

Apresenta-se neste trabalho as formulações analíticas baseadas no modelo de 

2ª espécie, os principais parâmetros que regem as curvas de resistência à 

compressão dos perfis de aço estrutural e os resultados de uma análise teóricoexperimental 

sobre a resistência à compressão dos perfis I soldados de aço formados 

por chapas cortadas a maçarico (I – FC) das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e 

PS 225 x 29. 

A análise experimental consta-se do ensaio de caracterização do aço, do 

ensaio para medir as imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, geraldo@em.ufop.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006

2 

Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 

comprimento dos perfis e do ensaio à compressão dos perfis I – FC, com três 

modelos para cada série, sendo utilizados quatro índices de esbeltez λ diferente. 

Os resultados teóricos e experimentais se referem à força normal crítica dos 

modelos ensaiados à compressão. 

Utiliza-se a nomenclatura PS para representar as séries de perfis I soldados 

de aço duplamente simétricos, não relacionadas nas Tabelas do anexo B da norma 

NBR 5884: 2000, atendendo uma recomendação da própria norma. 

2 ANÁLISE TEÓRICA 

Apresenta-se nesta seção uma análise baseada no denominado modelo de 

2 a espécie, admitindo o equilíbrio do elemento comprimido em sua posição deslocada 

e as curvas de resistência à compressão recomendadas pelas normas brasileira 

NBR 8800:1986 e européia Eurocode 3:1992. 

A partir da análise do modelo de 2 a espécie pode-se definir os principais 

parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para as 

diversas famílias de perfis de aço estrutural. 

Os resultados da força normal crítica teórica de cada modelo analisado são 

determinados a partir das curvas b e c da norma Eurocode 3:1992, admitindo as 

imperfeições iniciais v 0 medidas em laboratório. 

2.1 Modelo de 2ª espécie 

O modelo de 2 a espécie, considerado nesta análise, representa um elemento 

comprimido com articulações nas extremidades em sua posição deslocada, ou seja, 

um elemento com um deslocamento inicial v 0 no meio do vão, conforme ilustra a 

Figura 1. 

N 

L/2 

posição 

deslocada 

L 

v 0 

L/2 

x 

y 

N 

(a) elemento comprimido 

(b) perspectiva 

Figura 1 - Modelo de 2 a espécie. 


Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 

3 

Admitindo o equilíbrio do elemento na posição deslocada, obtém-se a 

expressão para o momento de segunda ordem: 

⎡ 1 

( )⎥ ⎥ ⎤ 

M = Nv ⎢ 

(1) 

0 

⎢⎣ 

1− 

N Ne 

⎦ 

Para análise de um modelo de 2ª espécie, pode-se admitir a verificação da 

resistência na seção mais solicitada de um elemento comprimido na sua configuração 

deformada. 

Admitindo que a máxima tensão num elemento comprimido seja igual à tensão 

de escoamento do material f y , tem-se a expressão da flexão composta, definida como: 

N 

A 

g 

M 

f 

+ = y 

(2) 

W 

Substituindo a expressão (1) em (2) e introduzindo A g , obtém-se: 

N 

A 

g 

⎛ A ⎞ 

N ⎜ g ⎟ 

⎛ 1 ⎞ 

+ v ⎜ ⎟ 

0 

= f 

⎜ ⎟ 

y 

W 

⎜ 

A 

⎟ 

(3) 

⎝ g ⎠ ⎝1 

− N Ne 

⎠ 

Rearranjando a equação (3), tem-se: 

N 

A 

g 

N ⎛ 1 ⎞ 

+ η ⎜ ⎟ = f 

⎟ 

y 

(4) 

⎜ 

A g ⎝1 

− N N e ⎠ 

onde: 

A g v 0 

η = 

(5) 

W 

Reescrevendo a expressão (4), tem-se: 

⎛ 

⎜ N 

η 

⎜ 

⎝ 

A g 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

= 

⎟ 

⎜ 

f 

⎠ ⎝ 

y 

N 

− 

A 

g 

⎞ 

⎟ 

⎛ 

⎜ N 

− 

⎟ 

1 

⎜ 

⎠ ⎝ Ne 

⎞ 

⎟ 

(6) 

⎟ 

⎠ 

Dividindo os dois termos da equação (6) por f y e reescrevendo, tem-se: 

( 1 − N )( 1 − N ) 

η N = 

(7) 

onde: 

g 

y 

y 

N e 

N N 

N = ρ = = (força normal resistente) (8) 

A f N 

Rearranjando a expressão (7), obtém-se: 

2 

( 1− 

N )( 1− 

N λ ) 

η N = 

(9) 

onde: 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006

4 


N 

N 

e 

N y f y 

= ρ = ρ 

(10) 

N f 

e 

e 

f 

e 

2 

π E 

= (tensão crítica de Euler) (11) 

2 

λ 

2 

π E 

λ p = 

(índice de esbeltez correspondente a plastificação) (12) 

f 

λ p 

y 

λ 

λ = 

(índice de esbeltez reduzido) (13) 

A expressão (9) é conhecida como fórmula adimensional de “Ayrton-Perry”. 

Rearranjando esta, obtém-se: 

2 2 

2 

( ) ρ − ( 1+ η + λ ) ρ + 1 = 0 

λ (14) 

O valor de ρ possibilita o cálculo da força normal crítica, cuja solução é: 

2 

2 

( λ + η + 1 ) ± ( λ + η + 1 ) 

2 2 

− 4 λ 

ρ = 

(15) 

2 

2 

λ 

Deve-se desprezar a maior raiz da equação (15) para obter-se a menor força 

normal crítica de compressão. O parâmetro η representa matematicamente a 

influência das imperfeições iniciais v 0 e os efeitos de tensão residual. 

MAQUOI & RONDAL (1978) apresentaram sete (07) proposições para o 

parâmetro η. As proposições para η foram obtidas por meio de resultados de ensaios 

realizados na Europa, considerando tensões residuais e uma imperfeição inicial 

padrão v 0 = L / 1000. Propuseram-se inicialmente quatro curvas de resistência à 

compressão para diversas “famílias” de perfis de perfis de aço estruturais, “famílias” 

estas definidas pela distribuição das tensões residuais. 

A partir do parâmetro η pode-se determinar um coeficiente γ, o qual associa a 

uma imperfeição geométrica fictícia que considera o tipo da seção transversal e os 

eixos considerados. 

Dividindo o segundo termo da expressão (5) por y / y, obtém-se: 

A g v 0 

η = 

(16) 

( y y ) W 

Define-se y como a distância da fibra mais comprimida em relação ao eixo 

considerado, conforme o esquema da Figura 2. 



5 

x 

y 

x 

Figura 2 - Representação da distância y ao eixo x – x. 

Considerando-se que W.y = I, tem-se da expressão (17): 

A g v 0 

η = 

(17) 

I y 

Substituindo r = I A na expressão (17), obtém-se: 

g 

v0 

η = 

(18) 

2 

r y 

O fator v 0 representa as imperfeições geométricas iniciais, o qual pode ser 

expresso em função de uma imperfeição padrão. 

v = L 

0 (19) 

γ 

onde γ é um número definido para cada tipo de seção e dos eixos considerados. 

Substituindo a expressão (19) na equação (18), tem-se: 

η = 

γ ⎜ 

⎛ r 

⎝ 

L 

2 

y⎟ 

⎞ 

⎠ 

(20) 

Admitindo por definição λ = L / r e rearranjando a expressão (20), tem-se: 

λ 

η = 

(21) 

γ 

( r y ) 

Isolando γ na expressão (21), tem-se: 

λ 

γ = 

(22) 

η 

( r y ) 

Substituindo (12) e (13) na expressão (22) e rearranjando, obtém-se: 

( π E f ) 

λ 

y 

γ = 

(23) 

η 

( r y ) 


6 


Considerando o índice de esbeltez reduzido λ a partir do patamar de 

escoamento, ρ = 1,0 para λ ≤ λ0 

, a expressão (23) resulta em: 

( π E f ) 

λ − λ0 

γ = 

y 

(24) 

η 

( r y ) 

Substituindo η da expressão (24) por η = α( ) 

normalização européia - Eurocode 3: 1992, tem-se: 

( r y ) 

λ − λ 0 

, parâmetro utilizado pela 

π E f y 

γ = 

(25) 

α 

A Tabela 1 apresenta valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados à 

compressão no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 

Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos. 

Tabela 1 - Valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados 

Perfil Séries Eixo Valor de r / y 

x 

y 

y 

x 

CS 150 x 25 x – x 0,85 

y – y 0,50 

PS 200 x 25 x – x 0,83 

y – y 0,46 

PS 225 x 29 x – x 0,83 

y – y 0,46 

O parâmetro α considerado na expressão (25) representa as contribuições das 

tensões residuais α 1 e da imperfeição geométrica α 2 , respectivamente, como: 

α = α 1 + α 2 (26) 

Admitindo na expressão (25) α = α 2 e γ = 1000, tem-se que: 

π E f y 

α 2 = 

(27) 

1000 

( r y ) 

A partir das expressões (25), (26) e (27) pode-se estabelecer um parâmetro α * 

para determinar o fator de redução da força normal crítica ρ de um perfil de aço 

estrutural contendo tensões residuais e uma imperfeição geométrica inicial igual a 

L / γ, como: 

α 

* 

π 

= α + 

E 

f 

y ⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ − ⎟ 

( r y) γ 1000 ⎠ 

⎝ 

(28) 



7 

onde: 

α ⇒ coeficiente que representa a contribuição das tensões residuais; 

γ ⇒ número correspondente ao denominador da fração que representa uma 

imperfeição geométrica inicial (por exemplo: 500, 1000, 2000). 

Cabe salientar que o fator γ = 1000 foi adotado para o estabelecimento das 

curvas de resistência à compressão das diversas famílias de perfis de aço estrutural. 

MAQUOI & RONDAL (1979) recomendam considerar o valor de α da 

expressão (28) em função da curva de resistência à compressão correspondente ao 

perfil considerado. 

Por exemplo, utilizando a norma Eurocode 3: 1992 para a determinação da 

resistência à compressão dos perfis I – FC analisados neste trabalho, os valores de α 

para as curvas b e c são 0,339 e 0,489, conforme ilustra a Tabela 3. 

2.2 Curvas de resistência à compressão 

A representação matemática das curvas de resistência à compressão adotada 

pela normalização européia teve sua origem a partir da formulação analítica proposta 

por Aryton-Perry, ou seja, a menor raiz da expressão (15), ou seja, expressão (29). 

MAQUOI & RONDAL (1978) adotou expressão (29) ajustando esta com o 

parâmetro 

η = 

α 

λ 

2 

− λ 

2 

0 

, para diversas famílias de perfis de aço estrutural, de tal 

forma que os valores de α sejam os apresentados na Tabela 2. Esta formulação foi 

adotada pela norma Eurocode 3: 1978 (DRAFT). 

2 

2 

( λ + η + 1 ) − ( λ + η + 1 ) 

2 2 

− 4 λ 

ρ = 

(29) 

2 

Tabela 2 - Valores de α 

curva α 

a 0,158 

b 0,281 

c 0,384 

d 0,587 

2 

λ 

A norma brasileira NBR 8800: 1986 baseou-se nas recomendações do 

Eurocode 3: 1978 (DRAFT) para estabelecer suas curvas de resistência à compressão 

das diversas famílias de perfis de aço estrutural. 

MAQUOI & RONDAL (1979) admitiu o parâmetro η = α ( λ − λ 0 ) na expressão 

(29) ajustando esta para diversas famílias de perfis de aço estrutural, propondo novas 

curvas de resistência à compressão, com os valores de α ilustrados na Tabela 3. 


8 


Tabela 3 - Valores de α 

curva α 

a 0,206 

b 0,339 

c 0,489 

d 0,756 

Em 1983 a norma Eurocode 3 corrigiu suas curvas de resistência à 

compressão e recomendou-se a formulação proposta por MAQUOI & RONDAL (1979). 

Cabe salientar que a nova formulação é representada pela expressão (29) com o 

parâmetro η = α ( λ − λ 0 ) e os valores de α da Tabela 3. 

2.3 Seção transversal dos perfis analisados 

Os perfis formados por chapas cortadas a maçarico (I – FC) analisados neste 

trabalho, pertencem às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, cujas 

dimensões nominais e médias encontram-se ilustradas na Tabela 4 e suas 

respectivas propriedades geométricas na Tabela 5. 

Cabe salientar que as dimensões médias da seção transversal dos perfis 

foram medidas no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 

Estruturas da EESC - USP, com um paquímetro de sensibilidade igual a 0,01 mm. 

Tabela 4 - Seções transversais analisadas (dimensões nominais e médias) 

Seção Transversal 

y 

d x 

t 

x 

y 

b 

t f 

h 

t f 

Perfil 

CS 

150 x 25 

PS 

200 x 25 

PS 

225 x 29 

Dimensões nominais (mm) Dimensões médias (mm) 

d h b f t f t w d h b f t f t w 

150 134 150 8,0 6,3 152 135,8 152 8,1 6,7 

200 184 130 8,0 6,3 202 185,8 132 8,1 6,7 

225 209 150 8,0 6,3 227 210,8 152 8,1 6,7 

Tabela 5 - Propriedades geométricas dos perfis 

Perfil 

2 

A g I x I y I t W x W y r x r y r 0 C w 

(cm 2 ) (cm 4 ) (cm 4 ) (cm 4 ) (cm 3 ) (cm 3 ) (cm) (cm) (cm 2 ) (cm 6 ) 

CS 150 33,72 1415,91 474,43 6,75 186,30 62,43 6,48 3,75 56,06 24542,91 

PS 200 33,83 2369,24 310,96 6,54 234,58 47,12 8,37 3,03 79,23 29184,43 

PS 225 38,75 3474,13 474,62 7,50 306,09 62,45 9,47 3,50 101,90 56793,16 



9 

As propriedades geométricas apresentadas na Tabela 5 foram determinadas 

admitindo-se as dimensões médias dos perfis ilustradas na Tabela 4. 

2.4 Resultados da análise teórica 

Os resultados apresentados nesta seção correspondem aos valores da força 

normal crítica teórica, obtida por meio das curvas b e c norma Eurocode 3: 1992, de 

para cada modelo ensaiado com suas respectivas imperfeições iniciais v 0 . Salientando 

que v 0 corresponde às imperfeições transversais medidas ao longo do comprimento 

do perfil. 

Determina-se a força normal crítica teórica N T , para os modelos ensaiados à 

compressão, por meio da expressão (30). 

N ρ A 

T = g f y 

(30) 

Sendo A g a área bruta da seção transversal e f y a tensão de escoamento do 

aço. Os valores de A g para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200x25 

e PS 225x29 estão apresentados na Tabela 5. 

Determina-se o fator de redução da resistência ρ da expressão (30) por meio 

da expressão (29), apresentada na seção 2.2, admitindo nesta equação os seguintes 

parâmetros: 

( λ − λ ) 

* 

η = α 0 

(31) 

λ 0 = 0,2 

(32) 

1 ⎛ kL ⎞ f y 

λ = ⎜ ⎟ 

(33) 

π ⎝ r ⎠ E 

y 

α 

* 

π 

= α + 

E 

f 

y 

⎛ 

⎜ 

1 

− 

1 ⎞ 

( ) 

⎟ r y ⎝ γ 1000 ⎠ 

(34) 

Para o cálculo da força normal crítica teórica por meio das curvas b e c da 

norma Eurocode 3: 1992, considerando as imperfeições iniciais v 0 , utiliza-se o 

parâmetro α * da expressão (34) com os valores de α apresentados na Tabela 3. 

Admitiu-se para a determinação da força normal crítica teórica, o módulo de 

elasticidade E = 20500 kN / cm 2 e a tensão de escoamento do aço f y = 30 kN / cm 2 . Os 

valores de E e de f y correspondem aos valores médios, aproximados, obtidos a partir 

da caracterização do aço, por meio do ensaio à tração de corpos-de-prova retirados 

das mesas dos perfis soldados. 

A força normal crítica N T é obtida para uma imperfeição inicial v 0 / L = 1 / γ 

(medida no Laboratório para cada modelo) e a força normal crítica N T * é determinada 

para uma imperfeição inicial padrão v 0 * / L = 1 / 1000. 

As Tabelas 6, 7 e 8 apresentam os valores da força normal crítica teórica para 

os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 

Nas Tabelas 6, 7 e 8 as forças críticas (N T ) Eb e (N T ) Ec são determinadas por 

meio das curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992, com a imperfeição inicial 

v 0 / L = 1 / γ para cada modelo, enquanto que as forças (N T * ) Eb e (N T * ) Ec são obtidas 

com a imperfeição inicial padrão v 0 * / L = 1 / 1000. 


10 


Adotou-se para a determinação de λ e λ um fator comprimento efetivo 

k = 0,85, como sendo uma aproximação do valor médio obtido a partir da deformada 

dos os modelos ensaiados à compressão e a flambagem por flexão em torno do eixo 

de menor inércia (y-y). 

Tabela 6 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil CS 150 x 25 

Modelo 

L 

(cm) 

λ v 0 / L (N T ) Eb 

(kN) 

(N T * ) Eb 

(kN) 

(N T ) Ec 

(kN) 

(N T * ) Ec 

(kN) 

(N T ) Eb / (N T * ) Eb (N T ) Ec / (N T * ) Ec 

1 180 0,50 1/1593 915 893 871 851 1,025 1,024 

2 180 0,50 1/1895 920 893 876 851 1,030 1,029 

3 180 0,50 1/1698 916 893 873 851 1,026 1,026 

1 220 0,61 1/1264 858 840 803 786 1,021 1,022 

2 220 0,61 1/928* 839 840 786 786 0,999 1,000 

3 220 0,61 1/1196 854 840 799 786 1,017 1,017 

1 290 0,80 1/1534 762 727 692 664 1,048 1,042 

2 290 0,80 1/2266 782 727 707 664 1,076 1,065 

3 290 0,80 1/1629 766 727 695 664 1,054 1,047 

1 360 1,00 1/1698 642 600 574 543 1,070 1,057 

2 360 1,00 1/1818 645 600 577 543 1,075 1,063 

3 360 1,00 1/1423 632 600 567 543 1,053 1,044 

* Deslocamento inicial v 0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000. 

O modelo 2, de comprimento L = 220 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta um 

deslocamento inicial v 0 superior a L / 1000, porém a força N T iguala-se à força N T * . 

Tabela 7 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 200 x 25 

Modelo L λ v 0 / L (N T ) Eb (N * T ) Eb (N T ) Ec (N * T ) Ec (N T ) Eb / (N * T ) Eb (N T ) Ec / (N * T ) Ec 

(cm) 

(kN) (kN) (kN) (kN) 

1 150 0,51 1/1389 908 889 863 845 1,021 1,021 

2 150 0,51 1/1420 909 889 863 845 1,023 1,021 

3 150 0,51 1/1304 905 889 860 845 1,018 1,018 

1 200 0,68 1/1087 812 800 751 741 1,015 1,008 

2 200 0,68 1/1242 821 800 759 741 1,026 1,024 

3 200 0,68 1/1136 815 800 754 741 1,019 1,018 

1 240 0,82 1/1290 744 716 675 653 1,039 1,034 

2 240 0,82 1/938* 718 716 655 653 1,003 1,003 

3 240 0,82 1/1212 739 716 672 653 1,032 1,029 

1 300 1,02 1/787* 570 582 519 526 0,979 0,987 

2 300 1,02 1/1685 625 582 559 526 1,074 1,063 

3 300 1,02 1/1240 606 582 545 526 1,041 1,036 

* Deslocamento inicial v 0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000. 



11 

Tabela 8 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 225 x 29 

Modelo L λ v 0 / L (NT) Eb (NT*) Eb (N T ) Ec (N * T ) Ec (N T ) Eb / (N * T ) Eb (N T ) Ec / (N * T ) Ec 

(cm) 

(kN) (kN) (kN) (kN) 

1 160 0,47 1/1282 1054 1039 1009 994 1,014 1,015 

2 160 0,47 1/1695 1065 1039 1019 994 1,025 1,025 

3 160 0,47 1/1356 1057 1039 1011 994 1,017 1,017 

1 200 0,59 1/1980 1018 974 953 914 1,045 1,043 

2 200 0,59 1/1220 993 974 931 914 1,020 1,019 

3 200 0,59 1/1328 998 974 936 914 1,025 1,024 

1 250 0,74 1/1289 907 879 832 808 1,032 1,030 

2 250 0,74 1/1572 922 879 843 808 1,049 1,043 

3 250 0,74 1/1269 906 879 831 808 1,031 1,029 

1 350 1,04 1/1944 717 659 639 596 1,088 1,072 

2 350 1,04 1/1563 704 659 630 596 1,068 1,057 

3 350 1,04 1/1584 704 659 631 596 1,068 1,059 

O modelo 1, de L = 300 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta um deslocamento 

inicial v 0 / L = 1 / 717 superior ao deslocamento inicial v 0 * / L = 1 / 1000, permitido pela 

norma NBR 5884. Neste caso, como a resistência do modelo é inferior à permitida 

pela normalização, conforme ilustra a Tabela 7, o mesmo deve ser desprezado. 

O modelo 2, de L = 240 cm, do perfil PS 200 x 25 com uma imperfeição inicial 

v 0 / L = 1 / 938 superior à imperfeição inicial padrão v 0 * / L = 1 / 1000, porém da mesma 

ordem de grandeza, poderá ser utilizado, pois conforme ilustra a Tabelas 7 sua 

resistência não é inferior à permitida pela normalização. 

A influência das imperfeições iniciais v 0 na resistência à compressão dos 

modelos pertencentes às três séries em análise é clara e como já era previsto o maior 

efeito ocorre para os modelos mais esbeltos. 

3 ANÁLISE EXPERMENTAL 

Apresenta-se nesta seção, a metodologia adotada para realização dos ensaios 

de laboratório, bem como os principais resultados experimentais obtidos, os quais são 

utilizados para a determinação da força normal crítica à compressão dos modelos 

formados por perfis I – FC das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 

Durante a fase experimental foram executados os ensaios de caracterização 

do material, medição das imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do 

comprimento do perfil e o ensaio à compressão dos modelos. 

3.1 Ensaio de caracterização do aço 

As propriedades mecânicas de interesse do aço ASTM – A36, empregado na 

fabricação dos perfis, foram determinadas por meio do ensaio à tração de oito (08) 

corpos-de-prova, na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON. A partir destes 

ensaios determinou-se as resistências ao escoamento f y e à ruptura f u e o modulo de 

elasticidade E, estabelecendo-se os seguintes valores médios: f y = 300 MPa, 

f u = 400 MPa e E = 205000 MPa. 


12 


Os corpos-de-prova foram retirados de três (03) perfis I - FC, pertencentes ao 

lote de perfis destinados ao ensaio à compressão. Retirou-se destes perfis quatro (04) 

corpos-de-prova das mesas e quatro (04) da alma, totalizando-se oito (08). As 

dimensões foram admitidas segundo as recomendações da norma ASTM A370 – 96, 

as quais encontram-se ilustradas na figura 3. Onde t corresponde a espessura da 

chapa constituinte do perfil. 

800 mm 

230 

50 

w = 40 ± 2,0 

t 

R min = 25 

Figura 3 - Dimensões nominais do corpo-de-prova para o ensaio à tração. 

A figura 4 ilustra um diagrama tensão-deformação (σ x ε) padrão para os 

corpos-de-prova retirados das mesas dos perfis. Salientar-se que os corpos-de-prova 

apresentaram propriedades mecânicas diferentes, caracterizando que os perfis foram 

fabricados de chapas de aço de corrida diferente durante o processo de laminação. 

400 

350 

300 

σ (MPa) 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0,000 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013 

ε 

Figura 4 - Diagrama tensão-deformação. 

3.2 Medição das imperfeições iniciais 

As imperfeições geométricas iniciais dos perfis foram determinadas por meio 

da utilização de uma bancada, composta por um mancal devidamente ajustado sobre 

um perfil U laminado de 200 mm de altura construída para esta finalidade no 

Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de 

Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. 

A Figura 5 mostra um dispositivo utilizando a bancada, citada anteriormente, 

para a leitura das imperfeições geométricas transversais, as quais são medidas ao 

longo do comprimento longitudinal dos perfis. As imperfeições geométricas dos perfis 

foram obtidas por meio de um transdutor de deslocamento linear, que se desloca com 

o mancal, a fim de se obter as leituras nos pontos desejados. 



13 

Figura 5 - Dispositivo para leitura das imperfeições geométricas transversais. 

As imperfeições geométricas foram medidas na alma e nas mesas dos perfis, 

em três linhas, conforme ilustra a Figura 6. As medidas foram realizadas a cada 200 

mm, com o transdutor de deslocamento posicionado manualmente ao longo de cada 

ponto. 

A B C 

G 

H 

I 

D 

E 

F 

Figura 6 - Posições para medidas das deslocadas transversais. 

A figura 7 apresenta um ajuste das imperfeições transversais, medidas ao 

longo da linha média da alma, linha H. O ajuste foi realizado por meio da função 

senoidal, proposta por Young (1807), representada pela expressão (35): 

v0 0 π 

(x) = v sen ( x L) 

(35) 

onde v 0 é o valor da imperfeição inicial no meio do vão do modelo. 

A figura 7 ilustra a posição deslocada inicial do modelo 3 pertencente ao perfil 

PS 225 x 29, de comprimento L = 1600 mm. 


14 


v 0 (mm) 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 

L (mm) 

Figura 7 - Ajuste da imperfeição transversal na linha H do perfil. 

Os resultados experimentais dos deslocamentos iniciais v 0 ajustados no meio 

do vão dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29 

encontram-se ilustrados nas Tabelas 12, 13 e 14, sob a forma de v 0 / L = 1 / γ. 

3.3 Ensaio dos modelos à compressão 

Os elementos comprimidos foram ensaiados em modelos que se aproximam 

de pilares com articulações nas extremidades e a instabilidade prevista para o eixo de 

menor inércia y – y. 

Os ensaios de 36 modelos pertencentes às séries em estudo foram realizados 

na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON, com capacidade de 3000 kN e 

altura de 4000 mm, do Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 

Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. A 

figura 8 mostra uma foto da Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio. 

Figura 8 - Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio. 

A Tabela 9 apresenta o número de modelos, com seus respectivos 

comprimentos, para as séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29 ensaiadas. 



15 

Tabela 9 - Relação dos modelos ensaiados 

Perfil Série Comprimento (mm) Nº de Modelos 

1800 3 

CS 150 x 25 2200 3 

2900 3 

3600 3 

1500 3 

PS 200 x 25 2000 3 

2400 3 

3000 3 

1600 3 

PS 225 x 29 2000 3 

2500 3 

3500 3 

Os modelos foram instrumentados com transdutores de deslocamento, 

posicionados nas linhas médias da alma e de uma das mesas do perfil, para se obter 

os deslocamentos laterais nas posições indicadas, conforme ilustra a figura 9. 

A figura 9.a ilustra a posição dos transdutores 1 a 7 na alma e 8 a 10 na mesa 

do modelo, numerados a partir da extremidade superior do perfil, enquanto que, a 

figura 9.b mostra uma foto ilustrativa de um modelo instrumentado. 

z 

y 

x 

(a) 

(b) 

Figura 9 - Modelo instrumentado com transdutores de deslocamento. 


16 


As Tabelas 10 e 11 apresentam as cotas dos transdutores de deslocamento 

posicionados na alma e na mesa dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, 

PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 

Tabela 10 - Cotas dos transdutores posicionados na alma dos modelos 

Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm) 

T 1 

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 

CS 1800 1700 1300 900 500 367 233 100 

150 X 25 2200 2100 1600 1100 600 433 267 100 

T 2 

2900 2800 2125 1450 775 550 325 100 

3600 3500 2650 1800 950 667 383 100 

T 3 

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 

PS 1500 1400 1075 750 425 317 208 100 

T 4 

T 5 

T 6 

T 7 

200 x 25 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100 

2400 2300 1750 1200 650 467 283 100 

3000 2900 2200 1500 800 567 333 100 

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 

O 

z 

y 

PS 1600 1500 1150 800 450 333 217 100 

225 x 29 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100 

2500 2400 1825 1250 675 483 292 100 

3500 3400 2575 1750 925 650 375 100 



17 

Tabela 11 - Cotas dos transdutores posicionados na mesa dos modelos 

Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm) 

O 

z 

T 8 

T 9 

T 10 

x 

T 8 T 9 T 10 

CS 1800 1700 900 100 

150 X 26 2200 2100 1100 100 

2900 2800 1450 100 

3600 3500 1800 100 

T 8 T 9 T 10 

CVS 1500 1400 750 100 

200 x 26 2000 1900 1000 100 

2400 2300 1200 100 

3000 2900 1500 100 

T 8 T 9 T 10 

CVS 1600 1500 800 100 

225 x 30 2000 1900 1000 100 

2500 2400 1250 100 

3500 3400 1750 100 

3.4 Resultados da análise experimental 

Apresentam-se nas tabelas 12, 13 e 14 os valores experimentais da 

imperfeição inicial v 0 , dos deslocamentos laterais v, do fator comprimento efetivo de 

flambagem k e da força normal crítica experimental N E para os modelos pertencentes 

às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 

Os deslocamentos laterais v apresentados nas Tabelas 12, 13 e 14 referem-se 

aos deslocamentos medidos durante o ensaio à compressão dos modelos nos 

transdutores T 3 e T 9 , posicionados na altura média da alma e da mesa dos perfis. 

O fator comprimento efetivo de flambagem k encontra-se apresentado nas 

Tabelas 12, 13 e 14 em função de k y (obtido a partir da deformada do modelo na 

direção do eixo de menor inércia) e k x (determinado a partir da deformada do modelo 

na direção do eixo de maior inércia). 


18 


Tabela 12 - Valores experimentais para os modelos da série CS 150 x 25 

Modelo L (mm) v 0 / L N E (kN) v (mm) 

v (mm) 

k y 

k x 

T 3 T 9 

1 1800 1/1593 951 11 1 0,85 0,64 

2 1800 1/1895 1044 2 3 0,61 0,90 

3 1800 1/1698 959 8 1 0,78 0,47 

1 2200 1/1264 916 7 5 0,92 0,53 

2 2200 1/928 849 8 1 0,83 0,74 

3 2200 1/1196 924 4 0 0,81 0,74 

1 2900 1/1534 788 10 2 0,93 0,73 

2 2900 1/2266 894 3 2 0,77 0,62 

3 2900 1/1629 783 10 3 1,00 0,59 

1 3600 1/1698 699 11 3 0,83 0,67 

2 3600 1/1818 708 10 4 0,83 0,76 

3 3600 1/1423 676 11 3 0,78 0,62 

Tabela 13 - Valores experimentais para os modelos da série PS 200 x 25 


v (mm) 

k y 

k x 

T 3 T 9 

1 1500 1/1389 1029 2 1 0,50 0,17 

2 1500 1/1420 985 5 3 0,70 0,70 

3 1500 1/1304 964 4 1 0,58 0,34 

1 2000 1/1087 836 11 0 0,66 0,49 

2 2000 1/1242 1011 4 0 0,66 0,59 

3 2000 1/1136 859 7 0 0,68 0,71 

1 2400 1/1290 936 2 1 0,81 0,37 

2 2400 1/938 769 9 1 0,79 0,77 

3 2400 1/1212 850 3 3 0,75 0,70 

1 3000 1/787 573 18 14 1,00 0,88 

2 3000 1/1685 813 6 5 0,61 0,69 

3 3000 1/1240 785 8 0 0,77 0,44 



19 

Tabela 14 - Valores experimentais para os modelos da série PS 225 x 29 


v (mm) 

k y 

k x 

T 3 T 9 

1 1600 1/1282 1135 9 1 0,86 0,47 

2 1600 1/1695 1162 7 * 0,88 * 

3 1600 1/1356 1144 4 0 0,72 0,30 

1 2000 1/1980 1155 4 1 0,80 0,75 

2 2000 1/1220 978 13 0 1,00 0,69 

3 2000 1/1328 1055 10 0 0,85 0,69 

1 2500 1/1289 953 11 2 0,88 0,50 

2 2500 1/1572 917 13 0 0,94 0,60 

3 2500 1/1269 845 15 1 0,91 0,53 

1 3500 1/1944 850 0 1 0,77 0,82 

2 3500 1/1563 752 14 0 0,90 0,38 

3 3500 1/1584 763 15 2 0,87 0,87 

* As leituras foram desprezadas, devido a problemas no transdutor T 9 . 

Os resultados das imperfeições iniciais v 0 apresentados nas Tabelas 12, 13 e 

14 foram utilizados na seção 2.4, para a determinação da força normal crítica teórica. 

Os valores da força normal crítica experimental N E serão utilizados no item 4, 

seções 4.1 e 4.2, para comparações com a força normal crítica teórica N T e com as 

curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992. 

Os deslocamentos laterais v no meio do vão, medidos pelos transdutores T 3 e 

T 9 localizados na alma e na mesa dos perfis, mostram a influência das imperfeições 

iniciais na resistência à compressão dos elementos comprimidos e indicam que a 

flambagem ocorre em torno do menor eixo de inércia para a maioria dos modelos 

ensaiados. 

As séries CS 150x25, PS 200x25 e PS 225x29, apresentaram um fator 

comprimento efetivo de flambagem (k y ) médio , na direção do eixo de menor inércia, 

iguais a 0,83, 071 e 0,87, respectivamente. 

Considerando que a série PS 200x25 apresentou um fator comprimento efetivo 

(k y ) médio = 0,71 muito baixo, em virtude da grande influência das imperfeições iniciais, 

esta série foi desprezada para a determinação do fator k médio a ser utilizado na 

análise teórica. 

O fator comprimento efetivo (k) médio foi admitido como sendo a média aritmética 

entre (k y ) médio da série CS 150x25 e o (k y ) médio da série PS 225x29, ou seja, 

(k) médio = (0,83 + 0,87) / 2 = 0,85. 

O fator (k) médio = 0,85 foi utilizado para o cáculo da força normal crítica teórica 

N T apresentada na seção 2.4 e na determinação do índice de esbeltez λ e do índice 

de esbeltez reduzido λ utilizados nos gráficos apresentados na seção 4.4. 

Admitiu-se o fator k = 0,85 para as três séries ensaiadas, numa tentativa de se 

ajustar as posições dos modelos em relação às curvas de resistência à compressão 

adotadas pelas normas de cálculo. 


20 


4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS 

Discute-se neste item, por meio de uma análise comparativa, os resultados da 

força normal crítica obtidos teoricamente e experimentalmente. Compara-se também, 

em forma de gráficos, os valores da força normal crítica experimental N E com as 

curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992. 

4.1 Comparação entre a força crítica experimental e teórica 

Apresenta-se nesta seção uma comparação entre a força normal crítica 

experimental N E e a força normal crítica teórica N T , determinada a partir das curvas b 

e c da norma Eurocode 3: 1992, admitindo imperfeições iniciais v 0 / L = 1 / γ, conforme 

ilustram as tabela 15, 16 e 17. 

Tabela 15 - Valores da força crítica N E e N T – perfil CS 150 x 25 

Modelo L 

(cm) 

k λ v 0 / L (N T ) Eb 

(kN) 

(N T ) Ec 

(kN) 

N E 

(kN) 

N E / (N T ) Eb 

N E / (N T ) Ec 

1 180 0,85 0,50 1/1593 915 871 951 1,039 1,092 

2 180 0,85 0,50 1/1895 920 876 1044 1,135 1,192 

3 180 0,85 0,50 1/1698 916 873 959 1,047 1,099 

1 220 0,85 0,61 1/1264 858 803 916 1,068 1,141 

2 220 0,85 0,61 1/928 839 786 849 1,012 1,080 

3 220 0,85 0,61 1/1196 854 799 924 1,082 1,156 

1 290 0,85 0,81 1/1534 762 692 788 1,034 1,139 

2 290 0,85 0,81 1/2266 782 707 894 1,143 1,265 

3 290 0,85 0,81 1/1629 766 695 783 1,022 1,127 

1 360 0,85 1,01 1/1698 642 574 699 1,088 1,218 

2 360 0,85 1,01 1/1818 645 577 708 1,098 1,227 

3 360 0,85 1,01 1/1423 632 567 676 1,069 1,192 

Tabela 16 - Valores da força crítica N E e N T – perfil PS 200 x 25 

Modelo L k λ v 0 / L (N T ) Eb (N T ) Ec 

(cm) 

(kN) (kN) 

N E 

(kN) 

N E / (N T ) Eb N E / (N T ) Ec 

1 150 0,85 0,52 1/1389 908 863 1029 1,133 1,192 

2 150 0,85 0,52 1/1420 909 863 985 1,084 1,141 

3 150 0,85 0,52 1/1304 905 860 964 1,065 1,121 

1 200 0,85 0,69 1/1087 812 751 836 1,030 1,113 

2 200 0,85 0,69 1/1242 821 759 900 1,096 1,186 

3 200 0,85 0,69 1/1136 815 754 859 1,054 1,139 

1 240 0,85 0,83 1/1290 744 675 850 1,143 1,259 

2 240 0,85 0,83 1/938 718 655 769 1,071 1,174 

3 240 0,85 0,83 1/1212 739 672 850 1,150 1,265 

1 300 0,85 1,04 1/787 570 519 573 1,005 1,104 

2 300 0,85 1,04 1/1685 625 559 813 1,301 1,454 

3 300 0,85 1,04 1/1240 606 545 785 1,295 1,440 



21 

Tabela 17 - Valores da força crítica N E e N T – perfil PS 225 x 29 

Modelo L k λ v 0 / L (N T ) Eb (N T ) Ec 

(cm) 

(kN) (kN) 

N E 

(kN) 

N E / (N T ) Eb N E / (N T ) Ec 

1 160 0,85 0,48 1/1282 1054 1009 1135 1,077 1,125 

2 160 0,85 0,48 1/1695 1065 1019 1162 1,091 1,140 

3 160 0,85 0,48 1/1356 1057 1011 1144 1,082 1,132 

1 200 0,85 0,60 1/1980 1018 953 1155 1,135 1,212 

2 200 0,85 0,60 1/1220 993 931 978 0,985 1,051 

3 200 0,85 0,60 1/1328 998 936 1055 1,057 1,127 

1 250 0,85 0,75 1/1289 907 832 953 1,051 1,145 

2 250 0,85 0,75 1/1572 922 843 917 0,995 1,088 

3 250 0,85 0,75 1/1269 906 831 845 0,933 1,017 

1 350 0,85 1,05 1/1944 717 639 850 1,186 1,330 

2 350 0,85 1,05 1/1563 704 630 752 1,068 1,194 

3 350 0,85 1,05 1/1584 704 631 763 1,084 1,209 

Nas Tabelas 15, 16 e 17, N E corresponde a força normal crítica experimental, 

(N T ) Eb a força normal crítica teórica para v 0 / L = 1 / γ - curva b do Eurocode 3 e (N T ) Ec 

a força normal crítica teórica para v 0 / L = 1 / γ - curva c do Eurocode 3. 

O modelo 2, de comprimento L = 180 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta na 

Tabela 15 uma força normal crítica experimental N E da ordem de grandeza da força 

normal crítica de escoamento N y , caracterizando o escoamento da seção transversal. 

Os deslocamentos laterais nos transdutores T 3 e T 9 e os próprios valores de k y e k x , 

ilustrados na Tabela 12, indicam que não ocorre predominância de flambagem em 

torno do eixo de menor inércia. 

O modelo 1, de comprimento L = 150 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta na 



Os deslocamentos laterais nos transdutores T 3 e T 9 , ilustrados na Tabela 13, indicam 

que não ocorre predominância de flambagem em torno do eixo de menor inércia. 

O modelo 2, de comprimento L = 160 cm, do perfil PS 225 x 29 apresenta na 



4.2 Força normal reduzida para os modelos ensaiados 

Apresenta-se nesta seção uma comparação entre os resultados de ensaio e as 

curvas b e c do Eurocode 3: 1992. Os resultados de ensaios são representados pela 

força normal reduzida ρ. 

A força normal reduzida ρ é definida pela a razão entre a força normal crítica 

experimental N E e a força normal teórica de escoamento N y = A g . f y , conforme a 

expressão (36). 

N 

E 

ρ = 

(36) 

N y 


22 


Admite-se na expressão (36) a tensão de escoamento f y = 30 kN/cm 2 e os 

valores da área bruta A g iguais aos apresentados, anteriormente, na Tabela 5. 

Os gráficos apresentados nas figuras 10, 11 e 12 ilustram os valores da força 

normal reduzida ρ para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e 

PS 225 x 29, admitindo o fator comprimento efetivo de flambagem k = 0,85 e a 

flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia y – y. 

ρ 

1,2 

1,0 

0,8 

λ = 41 

λ = 50 

λ = 66 

λ = 82 

curva b 

curva c 

modelos 

média 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 

Figura 10 - Força normal reduzida, perfil CS 150 x 25.Curvas b e c - Eurocode 3. 

λ 

ρ 

1,2 

λ = 42 

λ = 56 

1,0 

0,8 

λ = 67 

λ = 84 

curva b 

curva c 

modelos 

média 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 

Figura 11 - Força normal reduzidal, perfil PS 200 x 25. Curvas b e c – Eurocode 3. 

λ 



23 

ρ 

1,2 

1,0 

0,8 

λ = 39 

λ = 49 

λ = 61 

λ = 85 

curva b 

curva c 

modelos 

média 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 

λ 

Figura 12 - Força normal reduzida, perfil PS 225 x 29. Curvas b e c – Eurocode 3. 

Analisando o gráfico da figura 10, observa-se que a média dos resultados da 

força normal crítica experimental N E dos modelos da série CS 150 x 25 situa-se acima 

da curva b da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa 

melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. 

Percebe-se ainda, do gráfico da figura 10 que ocorre uma grande dispersão 

entre os resultados experimentais da força normal crítica, para o índice de esbeltez 

λ = 84, isto ocorre em virtude da grande influência das imperfeições geométricas 

iniciais e de alguma provável perturbação ocorrida na direção do eixo de maior 

inércia. 

O gráfico da figura 11 mostra que a média dos resultados da força normal 

crítica experimental N E dos modelos da série PS 200 x 25 situa-se acima da curva b 

da norma Eurocode 3: 1992, entretanto, verifica-se que os resultados desta série 

encontram-se mais dispersos, em virtude de uma maior influência das imperfeições 

iniciais. Este maior efeito ocorre porque os modelos da série PS 200 x 25 apresentam 

maiores valores dos deslocamentos iniciais v 0 , quando comparados com as outras 

duas séries. 

Verifica-se a partir do gráfico da figura 12, que a média dos resultados da força 

normal crítica experimental N E dos modelos da série PS 225 x 29 aproxima-se mais 

da curva b da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa 

melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. Percebe-se ainda que os 

modelos de esbeltez λ = 39 apresentaram a força normal crítica experimental N E 

próxima da força normal de escoamento N y e que o modelo 1, de comprimento 

L = 350 cm e esbeltez λ = 85, com uma imperfeição v 0 pequena e uma força crítica N E 

bem superior ao valor estimado pela análise teórica deverá ser desprezado. 

5 CONCLUSÕES 

Os resultados da análise teórica, baseada no modelo de 2 a espécie, 

fundamentam a verificação da resistência na seção mais solicitada do elemento 


24 


comprimido na sua configuração deformada e indica resultados com boa correlação 

quando comparados com os obtidos experimentalmente. 

Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica 

experimental N E e a força normal crítica teórica N T , que os resultados obtidos 

experimentalmente são coerentes e satisfatórios. 

Comparando a força normal crítica experimental N E com a força normal crítica 

determinada pela norma Eurocode 3: 1992, admitindo as imperfeições geométricas 

iniciais v 0 / L = 1 / γ, apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, pode-se perceber a grande 

influência das imperfeições iniciais na resistência à compressão dos elementos 

comprimidos de aço formados pelos perfis I – FC de pequenas dimensões. 

Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica 

experimental N E e a força normal crítica N T apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, que 

a maior influência das imperfeições iniciais v 0 ocorre para os modelos com maiores 

índices de esbeltez λ, pois os modelos mais esbeltos situam na faixa de esbeltez com 

maior efeito das imperfeições geométricas iniciais na resistência à compressão. 

Levando em consideração a posição da média dos resultados da força normal 

crítica de compressão dos modelos ensaiados, em relação às curvas b e c, conclui-se 

que a curva b é a mais adequada, quando a flambagem ocorre por flexão em torno do 

eixo de menor inércia y – y, para o cálculo da resistência à compressão dos perfis 

I – FC de pequenas dimensões. 

Analisando as três séries ensaiadas, considerando a posição da média dos 

valores da força normal crítica experimental N E em relação às curvas do Eurocode 3, 

percebe-se que a série CS 150 x 25 apresenta melhores resultados em relação às 

demais séries. Dentre as séries PS, perfis que não constam nas Tabelas apresentadas 

no anexo B da norma NBR 5884: 2000, a série PS 225 x 29 é a que se comporta 

melhor. 

É importante ressaltar que há necessidade de ampliar o número de modelos a 

serem ensaiados e avaliar as condições e resultados quando a flambagem não ocorre 

em torno do eixo de menor inércia e que seja realizado um trabalho efetivo de 

caracterização de tensões residuais, para permitir uma conclusão definitiva sobre os 

procedimentos adotados quanto ao dimensionamento de perfis I soldados de aço, 

formados por chapas cortadas a maçarico, comprimidos. 

6 AGRADECIMENTOS 

Agradecemos a CAPES pela concessão da bolsa de estudos e a empresa 

USIMINAS pelo apoio financeiro na compra dos perfis estruturais de aço, sem o qual 

esta pesquisa poderia não ter sido realizada. 

7 REFERÊNCIAS 

ALPSTEN, G. A.; TALL, L. (1970). Residual stresses in heavy welded shapes. 

Welding Journal, v.49, n.3, Research Suppl., p. 93s-105s, Mar. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1986). NBR 8800/86 

- Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (2000). Texto base 

para revisão da NBR 5884 – Elementos estruturais de aço soldados por arco 

elétrico – Parte I – Perfil I. Rio de Janeiro. 



25 

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test methods and definitions for mechanical testing of steel products. 

Philadelphia. 

BALLIO, G.; MAZZOLANI, F. M. (1983). Theory and design of steel structures. 

London: Chapman and Hall. 

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welded wide flange columns. Canadian Journal of Civil Engineering, v.18, n.4, 

p.537-555, Aug. 

COMITÉ EUROPEO DE NORNALIZACIÓN. (1992). Eurocódigo 3 - Projecto de 

estructuras de acervo. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación. 

Bruxelles, CEN. (ENV 1993-1-1). 

GALAMBOS, T. V. (Ed.). (1988). Guide to stability design criteria for metal 

structures. 4.ed. New York: John Wiley & Sons. 

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flame-cut plates. Welding Journal, v.48, n.4, Research Suppl, p.141s-153s, Apr. 

MAQUOI, R.; RONDAL, J. (1978). Analytical formulation of the new European buckling 

curves. Acier Stahl Steel, n.1, p.23-28. 

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européennes de flambament. Construction Métallique, n.1. 

MAQUOI, R.; RONDAL, J. (1979). Formulations d’ Airton - Perry pour flambement de 

barres métalliques. Construction Métallique, n.4, Paris. 

PAULA, G. D. (2002). Estudo teórico-experimental de elementos comprimidos de 

aço. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – 

Universidade de São Carlos. 

PAULA, G. D. (1994). Alguns aspectos da fundamentação teórica e 

dimensionamento de elementos comprimidos de aço. São Carlos. Dissertação 

(Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Carlos. 

PIMENTA, R. J. (1997). Proposição de uma curva de flambagem para perfis I 

soldados formados por chapas cortadas a maçarico. Belo Horizonte. Dissertação 

(Mestrado) – Universidade Federal de Minas Gerais. 

SALMON, C. G.; JOHNSON, J. E. (1996). Steel Structures: design and behavior. 

4.ed. New York: HarperCollins. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DE PONTES DE MADEIRA PROTENDIDAS 

TRANSVERSALMENTE FORMADAS POR VIGAS-T 

Nívea Mara Pereira Alves 1 & Antonio Alves Dias 2 

Resumo 

Neste trabalho é estudada uma variação do sistema estrutural de ponte de madeira 

com tabuleiro laminado protendido, em que a seção transversal é formada por vigas-T. 

As nervuras destas vigas são de madeira laminada colada e o tabuleiro de madeira 

serrada. São analisadas pontes da classe 30, com uma ou duas faixas de tráfego, 

dimensionando-se os elementos estruturais para diversas situações de projeto, e 

avaliando-se as influências das espécies e classes de resistência das madeiras e dos 

fatores geométricos (largura da nervura, altura do tabuleiro e espaçamento entre 

nervuras) na altura das nervuras. O procedimento de cálculo utilizado no 

dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T baseia-se no método 

WVU. Para o desenvolvimento deste trabalho, o método foi adaptado aos critérios da 

Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes 

Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de 

Madeira”, e programado em software MATHCAD©. Os resultados obtidos indicam que 

não existe influência significativa na altura da nervura, ao se utilizar madeira da classe 

C 30 ou C 40 no tabuleiro, ou ao se variar a altura do tabuleiro de 15 até 25 cm. O 

modelo teórico é avaliado experimentalmente, por meio de modelo reduzido na escala 

geométrica de 1:5, obtendo-se boa concordância entre os valores experimentais e os 

teóricos. 

Palavras-chave: pontes de madeira; protensão transversal; vigas-T. 


O sistema estrutural de pontes de madeira com tabuleiro protendido se originou 

no Canadá, em 1976, como uma forma de recuperar tabuleiros pregados, que 

apresentavam problemas de delaminação. O bom desempenho estrutural dos 

tabuleiros recuperados com esta técnica incentivou a sua aplicação na construção de 

novas pontes. 

O sistema laminado protendido consiste em peças de madeira posicionadas ao 

longo do vão, umas adjacentes às outras, e protendidas transversalmente por barras 

ou cabos de aço de alta resistência. Esta protensão transversal permite que o esforço 

1 Mestre em Engenharia de Estrutura – EESC-USP. 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC – USP, dias@sc.usp.br 


28 

Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 

cortante vertical seja transmitido lateralmente entre as lâminas, por meio do atrito. 

Com isto, o sistema comporta-se como uma placa ortotrópica capaz de distribuir 

lateralmente as cargas dos veículos e de resistir à flexão transversal. 

Os tabuleiros protendidos com seção transversal constituído por peças de 

mesma altura são os mais utilizados para vãos menores que 10 m. Devido à 

necessidade de se construir pontes para vencer vãos maiores, foram estudadas 

derivações deste sistema, utilizando formas estruturais mais eficientes para a seção 

transversal (sistema T, sistema sanduíche, seção caixão e outras). O sistema T, 

mostrado na figura 1, consiste na introdução de vigas intermediárias com maiores 

dimensões no tabuleiro. 

Figura 1 - Ponte de madeira com vigas-T (OKIMOTO, 1997). 

Neste trabalho são avaliadas as pontes formadas por vigas-T, utilizando 

nervuras de madeira laminada colada (MLC) e tabuleiro de madeira serrada. 

Inicialmente. Inicialmente, são efetuados os dimensionamentos destas pontes, para 

diversas situações de projeto, seguindo o procedimento de cálculo baseado no método 

WVU (Método desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Civil da West Virginia 

University e apresentado por DAVALOS & SALIM (1992)) para o sistema T das pontes 

de madeira protendidas transversalmente, e um estudo para verificar a influência das 

espécies e classes de resistência das madeiras e das variações dos fatores 

geométricos na altura das nervuras. Por último, é realizado o ensaio de um modelo 

reduzido de ponte formada por vigas-T, para se avaliar o modelo teórico utilizado no 

dimensionamento destas pontes. 

Para o desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos 

critérios da Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis 

em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de 

Estruturas de Madeira”, e programado em software MATHCAD©. 

2 ANÁLISE NUMÉRICA DO SISTEMA T 

O procedimento de cálculo utilizado para a análise numérica do sistema T das 

pontes de madeira baseia-se no método WVU para o dimensionamento da altura e 

largura das nervuras, da altura do tabuleiro e do espaçamento entre nervuras. Para o 

desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos critérios da 

Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes 

Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de 

Madeira”, e programado em software MATHCAD©. 

Este estudo é conduzido a partir da definição preliminar do vão, da largura e 

classe da ponte, das espécies e classes de resistência das madeiras utilizadas para as 

nervuras e o tabuleiro. São analisadas diversas configurações de pontes, variando-se 


Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 

29 

a altura do tabuleiro, a largura das nervuras, o número de nervuras e determinando-se 

a altura das mesmas para cada configuração. 

2.1 Características das pontes 

As pontes analisadas numericamente são da classe 30, por se tratar do 

emprego mais comum das pontes de madeira protendidas. 

Os vãos utilizados para a análise destas pontes foram iguais a 10, 15, 20 e 25 

m. O limite inferior é escolhido porque para vãos menores que 10 m empregam-se 

pontes com seção transversal de altura constante e o limite superior é o vão máximo 

empregado para as pontes de madeira formadas por vigas-T. Estas pontes têm uma 

ou duas faixas de tráfego, de larguras iguais a 5,5 e 10,0 m respectivamente. 

As figuras 2 e 3 apresentam os desenhos esquemáticos de uma ponte com 5 

nervuras e uma faixa de tráfego e de uma ponte com 9 nervuras e duas faixas de 

tráfego. 

Unidade: cm 

100 350 100 

t 

D 

S 

bw 

550 

Figura 2 - Ponte com uma faixa de tráfego. 

Unidade: cm 

150 

700 150 

t 

D 

S 

1000 

Figura 3 - Ponte com duas faixas de tráfego. 

bw 

Com relação às dimensões dos elementos estruturais, foram adotadas larguras 

das nervuras e alturas dos tabuleiros iguais a 15, 20 e 25 cm. As dimensões menores 

que 15 cm tornam a seção transversal delgada em relação à altura da nervura, e as 

dimensões maiores que 25 cm dificultam a obtenção das peças de madeira serrada. 

O espaçamento mínimo entre duas nervuras deve ser maior ou igual a 70 cm, 

resultando em um número máximo de nervuras igual a 8 para pontes com uma faixa 

de tráfego e 14 para pontes com duas faixas de tráfego. O espaçamento máximo deve 

ser menor ou igual a 200 cm, resultando em um número mínimo de nervuras igual a 8 

para ponte com uma faixa de tráfego e 14 para ponte com duas faixas de tráfego. 


30 


2.2 Procedimento de cálculo 

Neste tópico está descrito e exemplificado o procedimento de cálculo utilizado 

no dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T. 

Após a definição do vão, da largura e da classe da ponte, das espécies e das 

classes de resistência das madeiras utilizadas para as nervuras e o tabuleiro, é 

calculado o módulo de elasticidade na direção transversal do tabuleiro. 

O número mínimo de nervuras é determinado, segundo DAVALOS et al (1993), 

em função do deslocamento máximo da porção do tabuleiro entre duas nervuras 

adjacentes, sob a ação da carga de uma roda (Figura 4). Segundo GANGARAO & 

RAJU (1992), este deslocamento deve ser menor ou igual a 0,5 cm para que não 

ocorra fissuração do pavimento asfáltico, sendo este o limite utilizado no presente 

trabalho. Deste modo, o espaçamento máximo entre nervuras deve ser menor ou igual 

a 2,0 m para que apenas uma roda se posicione entre duas nervuras. 

δ ≤ 0,5 cm 

Smáx ≤ 2,0 m 

Figura 4 - Número mínimo de nervuras. 

O número máximo de nervuras é determinado, de modo que o espaçamento 

mínimo entre nervuras seja maior ou igual a 0,7 m (Figura 5). Este valor foi definido 

como premissa do trabalho, pois os espaçamentos menores que 0,7 m conduzem ao 

tabuleiro com altura constante. 

Smín ≥ 0,7 m 

Figura 5 - Número máximo de nervuras. 

Após a determinação do número de nervuras, são feitas as verificações dos 

efeitos localizados no tabuleiro e os cálculos da largura efetiva da mesa de uma viga-T 

interna e do fator de distribuição da carga, que determina a parcela da carga 

transmitida para a nervura mais solicitada. A partir de então, o projeto do sistema T 

resume-se ao dimensionamento de uma viga-T. Com as equações de flexão simples, 

são calculados os momentos fletores e os esforços cortantes máximos devidos às 

ações permanentes e variáveis, e verificados os estados limites últimos e de utilização 



31 

correspondentes. Por último, calcula-se o volume de madeira do tabuleiro e das 

nervuras, para efeito de comparação. 

2.3 Descrição e resultados da análise numérica 

A seguir são descritos os métodos das análises efetuadas numericamente e 

apresentados os resultados correspondentes. Estas análises referem-se ao 

dimensionamento das pontes formadas com vigas-T; ao estudo das influências da 

altura do tabuleiro e da largura das nervuras, e da espécie de madeira do tabuleiro e 

das nervuras na altura D. 

As pontes formadas com vigas-T foram dimensionadas para vãos L iguais a 10, 

15, 20 e 25 m, larguras b iguais a 5,5 (1 faixa de tráfego) e 10,0 m (2 faixas de 

tráfego), larguras das nervuras B w e alturas dos tabuleiros t iguais a 15, 20 e 25 cm e 

número de nervuras n variando de 4 até 8 (1 faixa de tráfego) e de 7 até 14 (2 faixas 

de tráfego). 

O estudo das influências da altura do tabuleiro e da largura das nervuras, da 

espécie de madeira do tabuleiro e das nervuras na altura D foram realizados a partir 

dos resultados numéricos do dimensionamento de pontes com os mesmos parâmetros 

supracitados, porém fixando-se o vão L em 15 m. 

2.3.1 Dimensionamento das pontes formadas por vigas-T 

Com o objetivo de se conhecer as dimensões das seções transversais das 

pontes formadas com vigas-T, as alturas D foram calculadas considerando-se a 

madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o tabuleiro, e as combinações das 

variações de L, b, B w , t, e n, conforme descritos no item 3.3. 

Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 1, que apresenta as alturas 

das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Estes resultados também podem 

ser visualizados na figura 6. 

Os resultados referentes às pontes com 2 faixas de tráfego são apresentados 

na tabela 2 e na figura 7. 


32 


Tabela 1 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (B w , t, D em cm) 

n 

B w 

t 

4 15 

20 

25 

VÃOS DAS PONTES 

L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m 

15 20 25 

- 

145 

145 

- 

128 

128 

- 

117 

116 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

192 

192 

- 

170 

169 

- 

154 

153 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

241 

239 

- 

213 

210 

- 

193 

191 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

289 

286 

- 

256 

252 

- 

233 

229 

B w 

t 

5 15 

20 

25 

15 20 25 

126 

126 

126 

112 

112 

112 

102 

102 

102 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

171 

169 

168 

151 

150 

148 

138 

136 

135 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

215 

212 

210 

191 

188 

185 

174 

171 

168 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

260 

255 

251 

231 

226 

222 

211 

206 

202 

B w 

t 

6 15 

20 

25 

15 20 25 

114 

114 

114 

101 

101 

101 

92 

92 

92 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

155 

154 

152 

138 

136 

134 

126 

124 

122 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

196 

193 

190 

174 

171 

168 

159 

156 

153 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

237 

232 

227 

211 

206 

201 

193 

188 

183 

B w 

t 

7 15 

20 

25 

15 20 25 

106 

105 

105 

94 

93 

93 

85 

85 

85 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

144 

142 

140 

128 

126 

124 

117 

115 

113 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

182 

178 

175 

162 

158 

155 

148 

144 

141 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

220 

214 

209 

196 

190 

185 

179 

174 

169 

B w 

t 

8 15 

20 

25 

15 20 25 

99 

98 

98 

88 

87 

86 

80 

79 

79 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

135 

133 

131 

120 

118 

116 

110 

108 

105 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

170 

166 

163 

152 

148 

144 

139 

135 

132 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

206 

200 

195 

184 

178 

173 

169 

164 

159 



33 

n = 4 

n = 5 

290 

265 

254 

232 

D (cm) 

218 

182 

D (cm) 

199 

166 

146 

133 

110 

10 15 20 25 

100 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 

n = 6 

n = 7 

240 

225 

210 

196 

D (cm) 

180 

150 

D (cm) 

167 

138 

120 

109 

90 

10 15 20 25 

80 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 

n = 8 

210 

183 

D (cm) 

156 

129 

102 

75 

10 15 20 25 

L (m) 

t = 15 cm, Bw = 15 cm t = 15 cm, Bw = 20 cm t = 15 cm, Bw = 25 cm 



Figura 6 - Gráficos D x L para pontes com 1 faixa de tráfego. 


34 


Tabela 2 - Alturas das nervuras D para pontes com 2 faixas de tráfego (B w , t, D em cm) 

n 

B w 

t 

7 15 

20 

25 

VÃOS DAS PONTES 

L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m 

15 20 25 

- 

118 

119 

- 

104 

105 

- 

95 

96 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

157 

158 

- 

139 

140 

- 

127 

128 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

198 

198 

- 

175 

176 

- 

160 

160 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

239 

239 

- 

212 

212 

- 

194 

193 

B w 

t 

8 15 

20 

25 

15 20 25 

- 

110 

111 

- 

97 

98 

- 

89 

89 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

147 

148 

- 


131 

- 

119 

119 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

185 

186 

- 

164 

164 

- 

150 

150 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

- 

224 

224 

- 

199 

198 

- 

182 

181 

B w 

t 

9 15 

20 

25 

15 20 25 

102 

103 

104 

90 

92 

92 

83 

84 

84 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

139 

139 

139 

123 

123 

123 

113 

112 

112 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

176 

175 

175 

156 

155 

155 

143 

142 

142 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

213 

212 

211 

190 

188 

188 

174 

173 

172 

B w 

t 

10 15 

20 

25 

15 20 25 

97 

98 

99 

86 

87 

88 

78 

79 

80 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

132 

132 

132 

117 

117 

117 

107 

107 

107 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

168 

167 

167 

149 

149 

148 

136 

135 

135 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

203 

202 

201 

181 

180 

179 

166 

165 

164 

B w 

t 

11 15 

20 

25 

15 20 25 

93 

93 

94 

82 

83 

84 

75 

76 

76 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

127 

126 

127 

112 

112 

112 

103 

102 

102 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

160 

159 

159 

143 

142 

141 

131 


129 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

195 

193 

192 

174 

172 

171 

160 

158 

157 

B w 

t 

12 15 

20 

25 

15 20 25 

89 

89 

90 

79 

80 

80 

72 

73 

73 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

122 

121 

121 

108 

108 

108 

99 

99 

98 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

154 

153 

153 

138 

136 

136 

126 

125 

124 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

188 

186 

185 

168 

166 

165 

154 

152 

151 

B w 

t 

13 15 

20 

25 

15 20 25 

86 

86 

87 

76 

77 

77 

70 

70 

70 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

117 

117 

117 

104 

104 

104 

96 

95 

95 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

149 

148 

147 

133 

132 

131 

122 

121 

120 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

181 

179 

178 

162 

160 

159 

149 

147 

146 

B w 

t 

14 15 

20 

25 

15 20 25 

83 

83 

84 

74 

74 

74 

67 

68 

68 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

114 

113 

113 

101 

101 

100 

93 

92 

92 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

144 

143 

142 

129 

128 

127 

118 

117 

116 

B w 

t 

15 

20 

25 

15 20 25 

176 

174 

172 

157 

155 

154 

145 

143 

141 



35 

n = 7 

n = 8 

240 

225 

210 

197 

D (cm) 

180 

150 

D (cm) 

169 

141 

120 

113 

90 

10 15 20 25 

85 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 

n = 9 

n = 10 

215 

210 

188 

183 

D (cm) 

161 

134 

D (cm) 

156 

129 

107 

102 

80 

10 15 20 25 

75 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 

n = 11 

n = 12 

200 

190 

174 

166 

D (cm) 

148 

122 

D (cm) 

142 

118 

96 

94 

70 

10 15 20 25 

70 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 

n = 13 

n = 14 

185 

180 

161 

156 

D (cm) 

137 

113 

D (cm) 

132 

108 

89 

84 

65 

10 15 20 25 

60 

10 15 20 25 

L (m) 

L (m) 




Figura 7 - Gráficos D x L para pontes com 2 faixas de tráfego. 


36 


2.3.2 Influência da altura do tabuleiro e da largura das nervuras na altura D 

Com o objetivo de se verificar a influência da largura B w e da altura t na altura 

D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas características (largura 

da ponte, número de nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o 

tabuleiro), e então comparadas inicialmente fixando-se a largura B w e variando-se a 

altura t e, posteriormente, fixando-se a altura t e variando-se a largura B w . 

Com os resultados obtidos, foram montadas as tabelas 3 e 4, que apresentam, 

respectivamente, as alturas das nervuras para as pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 

Estes resultados também podem ser visualizados na figura 8. 

Tabela 3 - Alturas D para pontes com 1 faixa de tráfego (B w , t, D em cm) 

TABULEIRO E NERVURAS 

n 

CLASSE C 30 (CONÍFERA) 

t 

4 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

192 

192 

- 

170 

169 

- 

154 

153 

t 

5 15 

20 

25 

t 

6 15 

20 

25 

t 

7 15 

20 

25 

t 

8 15 

20 

25 

B w 

B w 

B w 

B w 

15 20 25 

171 

169 

168 

151 

150 

148 

138 

136 

135 

15 20 25 

155 

154 

152 

138 

136 

134 

126 

124 

122 

15 20 25 

144 

142 

140 

128 

126 

124 

117 

115 

113 

15 20 25 

135 

133 

131 

120 

118 

116 

110 

108 

105 



37 

Tabela 4 - Alturas D para pontes com 2 faixas de tráfego (B w , t, D em cm) 

TABULEIRO E NERVURAS 

n 


t 

7 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

157 

158 

- 

139 

140 

- 

127 

128 

t 

8 15 

20 

25 

t 

9 15 

20 

25 

t 

10 15 

20 

25 

t 

11 15 

20 

25 

t 

12 15 

20 

25 

t 

13 15 

20 

25 

t 

14 15 

20 

25 

B w 

B w 

B w 

B w 

B w 

B w 

B w 

15 20 25 

- 

147 

148 

- 


131 

- 

119 

119 

15 20 25 

139 

139 

139 

123 

123 

123 

113 

112 

112 

15 20 25 

132 

132 

132 

117 

117 

117 

107 

107 

107 

15 20 25 

127 

126 

127 

112 

112 

112 

103 

102 

102 

15 20 25 

122 

121 

121 

108 

108 

108 

99 

99 

98 

15 20 25 

117 

117 

117 

104 

104 

104 

96 

95 

95 

15 20 25 

114 

113 

113 

101 

101 

100 

93 

92 

92 


38 


D (cm) 

Influência de Bw (1 faixa) 

160 

148 

136 

124 

112 

100 

15 20 25 

Bw (cm) 

t = 15 cm, n = 6 

t = 15 cm, n = 7 

t = 15 cm, n = 8 

t = 20 cm, n = 6 

t = 20 cm, n = 7 

t = 20 cm, n = 8 

t = 25 cm, n = 6 

t = 25 cm, n = 7 

t = 25 cm, n = 8 

D (cm) 

Influência de Bw (2 faixas) 

145 

134 

123 

112 

101 

90 

15 20 25 

Bw (cm) 

t = 15 cm, n = 9 

t = 15 cm, n = 11 

t = 15 cm, n = 14 

t = 20 cm, n = 9 

t = 20 cm, n = 11 

t = 20 cm, n = 14 

t = 25 cm, n = 9 

t = 25 cm, n = 11 

t = 25 cm, n = 14 

D (cm) 

Influência de t (1 faixa) 

160 

148 

136 

124 

112 

100 

15 20 25 

t (cm) 

t = 15 cm, n = 6 

t = 15 cm, n = 7 

t = 15 cm, n = 8 

t = 20 cm, n = 6 

t = 20 cm, n = 7 

t = 20 cm, n = 8 

t = 25 cm, n = 6 

t = 25 cm, n = 7 

t = 25 cm, n = 8 

D (cm) 

Influência de t (2 faixas) 

145 

134 

123 

112 

101 

90 

15 20 25 

t (cm) 

t = 15 cm, n = 9 

t = 15 cm, n = 11 

t = 15 cm, n = 14 

t = 20 cm, n = 9 

t = 20 cm, n = 11 

t = 20 cm, n = 14 

t = 25 cm, n = 9 

t = 25 cm, n = 11 

t = 25 cm, n = 14 

Figura 8 - Gráficos D x B w e D x t para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 



39 

2.3.3 Influência da espécie de madeira do tabuleiro na altura D 

Com o objetivo de se verificar a influência da espécie de madeira do tabuleiro 

na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas 

características (largura da ponte, largura das nervuras, altura do tabuleiro, número de 

nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras), e então comparadas 

entre si, mudando-se apenas a madeira do tabuleiro (Classe C 30 - Conífera, Classe C 

30 - Dicotiledônea e Classe C 40 - Dicotiledônea). 


das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Os resultados referentes às pontes 

com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 6. 



n 

B w 

t 

4 15 

20 

25 

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DO TABULEIRO 

CLASSE C 30 

(CONÍFERA) 

15 20 25 

- 

192 

192 

- 

170 

169 

- 

154 

153 

t 


(DICOTILEDÔNEA) 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

194 

194 

- 

171 

171 

- 

155 

155 

t 

CLASSE C 40 


15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

192 

192 

- 

169 

170 

- 

153 

154 

B w 

t 

5 15 

20 

25 

15 20 25 

171 

169 

168 

151 

150 

148 

138 

136 

135 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

172 

171 

170 

152 

151 

150 

139 

137 

136 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

169 

168 

168 

149 

148 

148 

136 

135 

135 

B w 

t 

6 15 

20 

25 

15 20 25 

155 

154 

152 

138 

136 

134 

126 

124 

122 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

156 

155 

154 

139 

137 

136 

127 

125 

124 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

153 

152 

152 

136 

135 

134 

124 

123 

121 

B w 

t 

7 15 

20 

25 

15 20 25 

144 

142 

140 

128 

126 

124 

117 

115 

113 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

145 

143 

142 

129 

127 

125 

117 

116 

114 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

142 

141 

139 

126 

124 

123 

115 

113 

112 

B w 

t 

8 15 

20 

25 

15 20 25 

135 

133 

131 

120 

118 

116 

110 

108 

105 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

136 

134 

132 

121 

119 

117 

110 

108 

107 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

133 

131 


118 

116 

115 

108 

106 

104 


40 



CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DO TABULEIRO 

n CLASSE C 30 

(CONÍFERA) 



CLASSE C 40 


B w 

t 

7 15 

20 

25 

15 20 25 

- 

157 

158 

- 

139 

140 

- 

127 

128 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

159 

160 

- 

141 

142 

- 

128 

129 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

158 

160 

- 

140 

142 

- 

127 

129 

B w 

t 

8 15 

20 

25 

15 20 25 

- 

147 

148 

- 


131 

- 

119 

119 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

149 

150 

- 

132 

132 

- 

120 

121 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

147 

149 

- 


132 

- 

119 

120 

B w 

t 

9 15 

20 

25 

15 20 25 

139 

139 

139 

123 

123 

123 

113 

112 

112 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

140 

140 

141 

124 

124 

125 

113 

113 

114 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

138 

139 

140 

122 

123 

124 

111 

112 

113 

B w 

t 

10 15 

20 

25 

15 20 25 

132 

132 

132 

117 

117 

117 

107 

107 

107 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

133 

134 

134 

118 

118 

119 

108 

108 

108 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

131 

132 

133 

116 

117 

118 

106 

106 

107 

B w 

t 

11 15 

20 

25 

15 20 25 

127 

126 

127 

112 

112 

112 

103 

102 

102 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

128 

128 

128 

113 

113 

114 

104 

103 

104 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

126 

126 

127 

111 

112 

112 

102 

102 

102 

B w 

t 

12 15 

20 

25 

15 20 25 

122 

121 

121 

108 

108 

108 

99 

99 

98 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

123 

123 

123 

109 

109 

109 

100 

99 

99 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

121 

121 

122 

107 

107 

108 

98 

98 

98 

B w 

t 

13 15 

20 

25 

15 20 25 

117 

117 

117 

104 

104 

104 

96 

95 

95 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

118 

118 

118 

105 

105 

105 

96 

96 

96 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

116 

117 

117 

103 

103 

104 

95 

94 

94 

B w 

t 

14 15 

20 

25 

15 20 25 

114 

113 

113 

101 

101 

100 

93 

92 

92 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

114 

114 

114 

102 

102 

102 

93 

93 

93 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

112 

113 

113 

100 

100 

100 

92 

92 

91 



41 

t = 15 cm (1 faixa) 

t = 15 cm (2 faixas) 

180 

165 

165 

150 

D (cm) 

150 

135 

D (cm) 

135 

120 

120 

105 

105 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 



200 

165 

180 

150 

D (cm) 

160 

140 

D (cm) 

135 

120 

120 

105 

100 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 



200 

165 

180 

150 

D (cm) 

160 

140 

D (cm) 

135 

120 

120 

105 

100 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Con) 

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Dic) 

Bw = 15 cm, Tab C 40 (Dic) Bw = 20 cm, Tab C 40 (Dic) Bw = 25 cm, Tab C 40 (Dic) 

Figura 9 - Gráficos D x n para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 

2.3.4 Influência da espécie de madeira das nervuras na altura D 

Com o objetivo de se verificar a influência da espécie de madeira das nervuras 

na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas 

características (largura, largura das nervuras, altura do tabuleiro, número de nervuras 

e madeira Classe C 30 - Conífera para o tabuleiro), e então comparadas entre si, 

mudando-se apenas a madeira das nervuras (Classe C 30 - Conífera e Classe C 30 - 

Dicotiledônea). 


42 



das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Os resultados referentes às pontes 

com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 8. 



n 

t 

4 15 

20 

25 

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DAS NERVURAS 

CLASSE C 30 (CONÍFERA) CLASSE C 30 (DICOTILEDÔNEA) 

B w 

15 20 25 

- 

192 

192 

- 

170 

169 

- 

154 

153 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

194 

193 

- 

171 

170 

- 

156 

155 

t 

5 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

171 

169 

168 

151 

150 

148 

138 

136 

135 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

172 

171 

170 

153 

151 

150 

140 

138 

136 

t 

6 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

155 

154 

152 

138 

136 

134 

126 

124 

122 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

157 

155 

154 

139 

138 

136 

127 

126 

124 

t 

7 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

144 

142 

140 

128 

126 

124 

117 

115 

113 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

145 

143 

142 

129 

127 

126 

118 

116 

115 

t 

8 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

135 

133 

131 

120 

118 

116 

110 

108 

105 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

136 

134 

132 

122 

119 

117 

111 

109 

107 



43 


n 

t 

7 15 

20 

25 

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DAS NERVURAS 


B w 

15 20 25 

- 

157 

158 

- 

139 

140 

- 

127 

128 

t 

CLASSE C 30 (DICOTILEDÔNEA) 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

159 

159 

- 

140 

141 

- 

128 

129 

t 

8 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

147 

148 

- 


131 

- 

119 

119 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

- 

149 

149 

- 

132 

132 

- 

120 

121 

t 

9 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

139 

139 

139 

123 

123 

123 

113 

112 

112 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

140 

140 

141 

125 

125 

125 

114 

114 

114 

t 

10 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

132 

132 

132 

117 

117 

117 

107 

107 

107 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

134 

134 

134 

119 

119 

119 

109 

109 

108 

t 

11 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

127 

126 

127 

112 

112 

112 

103 

102 

102 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

128 

128 

128 

114 

114 

114 

104 

104 

104 

t 

12 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

122 

121 

121 

108 

108 

108 

99 

99 

98 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

123 

123 

123 

110 

109 

109 

101 

100 

100 

t 

13 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

117 

117 

117 

104 

104 

104 

96 

95 

95 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

119 

118 

118 

106 

106 

105 

97 

97 

96 

t 

14 15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

114 

113 

113 

101 

101 

100 

93 

92 

92 

t 

15 

20 

25 

B w 

15 20 25 

115 

115 

114 

103 

102 

102 

94 

94 

93 


44 




175 

165 

161 

150 

D (cm) 

147 

133 

D (cm) 

135 

120 

119 

105 

105 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 



200 

165 

180 

150 

D (cm) 

160 

140 

D (cm) 

135 

120 

120 

105 

100 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 



200 

165 

180 

150 

D (cm) 

160 

140 

D (cm) 

135 

120 

120 

105 

100 

4 5 6 7 8 

90 

7 8 9 10 11 12 13 14 

n 

n 

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Con) 

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) 

Figura 10 - Gráficos D x n para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 

2.4 Discussões sobre a análise numérica 

No processo de dimensionamento das nervuras, o fator limitante foi o estado 

limite último de tração nas fibras inferiores das nervuras, para todas as situações 

analisadas. O critério estipulado pela NBR 7190/97, para o estado limite de utilização, 

conduz a resultados distintos dos que eram obtidos anteriormente à implantação desta 

norma, quando se observava que o fator limitante era o deslocamento vertical da 

estrutura. Deste modo, podem-se esperar reduções significativas na altura das 

nervuras ao se utilizar resistências de cálculo à tração superiores às empregadas 

neste trabalho, por meio de critérios de dimensionamento que permitam considerar a 

maior resistência à tração da madeira. 



45 

No processo de avaliação da influência dos fatores geométricos, observa-se 

que a variação da altura do tabuleiro de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no 

máximo, 3% para a altura das nervuras, e que a variação da largura das nervuras de 

15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 12% para a altura das mesmas. 

Em relação à influência da madeira do tabuleiro (conífera C 30 ou dicotiledônea 

C 30 ou C 40) na altura das nervuras, observa-se uma ligeira vantagem para as 

coníferas quando são comparadas espécies de madeira com a mesma resistência à 

compressão paralela às fibras e o mesmo módulo de elasticidade na direção 

longitudinal (Classe C 30). Isto ocorre porque a distribuição lateral das cargas é mais 

favorável (menor W f ) devido ao efeito da protensão na rigidez à flexão transversal ser 

mais eficiente para madeiras de menor densidade. Deste modo, ocorre uma 

diminuição de, no máximo, 2% para a altura das nervuras. A utilização de espécies de 

madeira com maior módulo de elasticidade na direção longitudinal (Classe C 40) 

conduz a uma diminuição de, no máximo, 3% para a altura das nervuras. 

Deve ser considerado que as estruturas mais eficientes, em termos de 

consumo de madeira, são aquelas que apresentam nervuras com maior altura. 

Entretanto, devido ao custo de fabricação da madeira laminada colada ser muito 

superior ao da madeira serrada utilizada no tabuleiro, a definição da geometria mais 

eficiente depende da análise de custos e da possível limitação na altura das vigas 

laminadas. 

3 EXPERIMENTAÇÃO DO MODELO REDUZIDO 

Neste capítulo está descrito o ensaio estático de um modelo reduzido de ponte 

formada por vigas-T. Estes ensaios foram realizados com o objetivo de se avaliar o 

modelo teórico utilizado no dimensionamento destas pontes, principalmente quanto à 

comparação entre as rigidezes à flexão longitudinal experimental e teórica da seção 

transversal e ao fator de distribuição da carga (W f ). 

3.1 Características do modelo reduzido 

A estrutura avaliada é uma ponte classe 30 com comprimento L igual a 10 m, 

uma faixa de tráfego com largura b igual a 5,5 m e madeira classe C 30 (conífera) para 

as nervuras e o tabuleiro. O dimensionamento utilizando o procedimento de cálculo 

baseado no método WVU conduziu a uma ponte formada por 6 nervuras com largura 

B w igual a 25 cm, altura D igual a 100 cm e espaçamento entre os eixos igual a 105 

cm, e tabuleiro com 80 lâminas de espessura igual a 5 cm e altura t igual a 25 cm. 

A análise experimental desta ponte foi efetuada por meio de um modelo 

reduzido na escala 1:5, cujas dimensões estão apresentadas na figura 11. 

Este modelo foi construído utilizando a espécie Pinus Hondurensis (Pinus 

caribaea var. hondurensis) para as nervuras e a espécie Pinus Taeda (Pinus taeda) 

para as lâminas do tabuleiro. 


46 


Unidade: cm 

200 

20 

5 

10 

5 21 

110 

Figura 11 - Dimensões do modelo reduzido. 

3.1.1 Caracterização das nervuras 

O módulo de elasticidade de cada nervura, cujas dimensões nominais são 

5x20x200 cm, foi determinado experimentalmente por meio de ensaio à flexão. Os 

ensaios foram realizados com uma repetição para cada nervura, e o módulo de 

elasticidade da mesma E L,n foi calculado pela equação 1: 

3 

k ⋅L 

EL,n 

= (1) 

48 ⋅I 

sendo: 

k = P 

(2) 

δ 

Os valores de E L,n estão apresentados na tabela 9. 

Tabela 9 - Módulos de elasticidade na direção longitudinal E L,n das nervuras 

Nervura E L,n (MPa) 

A 6523 

B 7744 

C 5236 

D 7216 

E 6940 

F 5172 

3.1.2 Caracterização das lâminas do tabuleiro 

O módulo de elasticidade de cada lâmina, cujas dimensões nominais são 

1x5x200 cm, foi determinado experimentalmente por meio de ensaio à flexão. Os 

ensaios foram realizados com uma repetição para cada lâmina, e o módulo de 

elasticidade da mesma E L,t foi calculado no intervalo 5 - 35 N pela equação 3: 

3 

P ⋅ L 

EL,t 

= (3) 

48 ⋅ δ ⋅I 



47 

Os valores de E L,t estão apresentados na tabela 10. 

Tabela 10 - Módulos de elasticidade na direção longitudinal das lâminas do tabuleiro E L,t 

N° da 

lâmina 

E L,t 

(MPa) 

N° da 

lâmina 

E L,t 

(MPa) 

N° da 

lâmina 

E L,t 

(MPa) 

N° da 

lâmina 

E L,t 

(MPa) 

1 10123 21 9418 41 7611 61 7768 

2 7067 22 7370 42 9099 62 9746 

3 7778 23 11606 43 10318 63 9282 

4 5490 24 7656 44 8283 64 7048 

5 7890 25 8781 45 9974 65 9480 

6 8829 26 10154 46 8726 66 8238 

7 9795 27 7363 47 7661 67 8702 

8 7624 28 7506 48 9429 68 6424 

9 6168 29 8379 49 11866 69 10254 

10 9992 30 6797 50 10617 70 10690 

11 6416 31 6986 51 8450 71 12242 

12 7034 32 8848 52 10558 72 11315 

13 7608 33 8328 53 9021 73 8080 

14 7054 34 6661 54 12483 74 6400 

15 8106 35 9373 55 9856 75 7326 

16 9547 36 6946 56 11984 76 7571 

17 7394 37 7557 57 12291 77 10514 

18 7099 38 7523 58 8904 78 6507 

19 6693 39 7842 59 6106 79 8938 

20 8533 40 11510 60 7939 80 6374 

3.1.3 Classificação das nervuras e das lâminas do tabuleiro 

As classes de resistência das nervuras e das lâminas foram determinadas 

experimentalmente por meio de ensaio de compressão paralela às fibras. 

Os resultados indicaram que as nervuras e as lâminas do tabuleiro pertencem 

à classe C 30 (conífera). 

3.2 Montagem do modelo 

A seguir são descritas as etapas realizadas na montagem do modelo. Estas 

etapas referem-se à distribuição das nervuras e das lâminas do tabuleiro, aos apoios 

do modelo, ao sistema de protensão, aos dispositivos utilizados na experimentação e 

às formas de aplicação das forças. 

3.2.1 Distribuição das nervuras e das lâminas do tabuleiro 

A distribuição adequada das nervuras e das lâminas do tabuleiro tem como 

objetivo uniformizar a rigidez longitudinal do modelo. 

As nervuras foram distribuídas o mais simetricamente possível em relação ao 

eixo longitudinal do modelo reduzido, posicionando-se externamente as nervuras com 

os módulos de elasticidade E L,n maiores (Figura 12). 


48 


1 

B 

2 

A 

3 

C 

4 

F 

5 

E 

6 

D 

Figura 12 - Distribuição das nervuras no modelo reduzido. 

A distribuição das lâminas do tabuleiro se fez em conjuntos de 4 peças (Figura 

13 e 14), de modo que as médias dos módulos de elasticidade na direção longitudinal 

de cada conjunto fossem próximas entre si e também próximas da média do módulo 

de elasticidade de todas as lâminas. 

Conjunto 

S 

Figura 13 - Conjunto de lâminas formado por quatro peças. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13141516 171819 

20 

Figura 14 - Distribuição dos conjuntos de lâminas no modelo reduzido. 

3.2.2 Apoios do modelo 

O modelo reduzido foi apoiado sobre um sistema composto de perfis metálicos 

e roletes de aço montados sobre a laje de reação. Estes roletes permitem a rotação no 

ponto de apoio e não impedem o deslocamento horizontal do modelo. 

3.2.3 Sistema de protensão 

O sistema de protensão foi constituído por 21 barras de aço espaçadas 10 cm 

entre si e com diâmetros nominais igual a 9,5 mm. 

Para a aplicação da força de protensão no modelo, as barras de aço foram 

tensionadas pelo rosqueamento manual das porcas sextavadas e então ancoradas por 

um conjunto de placa de ancoragem de aço comum e bloco de distribuição de 

madeira. Para estabelecer a tensão de protensão no tabuleiro igual a 0,7 MPa, cada 

barra estava tensionada de modo a aplicar uma força de 3,5 kN em uma área de 50 

cm 2 (distância entre as barras igual a 10 cm e altura do tabuleiro igual a 5 cm). 



49 

3.2.4 Formas de aplicação das forças 

Com o objetivo de se obter a rigidez efetiva do modelo, foi realizado um ensaio 

preliminar aplicando-se uma força no meio do vão do modelo e distribuída ao longo da 

largura (Figura 15). 

Figura 15 - Força uniformemente distribuída. 

Posteriormente, os ensaios foram realizados simulando a atuação de um eixo 

do veículo-tipo. Para isto, foram aplicadas duas forças concentradas no meio do vão 

do modelo e em várias posições ao longo de sua largura (Figura 16). 

Figura 16 - Simulação de um eixo centrado. 

Em cada ensaio, os deslocamentos verticais foram medidos a cada incremento 

de 4,58 kN na força aplicada, até o valor máximo de 45,8 kN para o carregamento 

distribuído; 4,25 na força aplicada, até o valor máximo de 34 kN para o carregamento 

de um eixo com a roda externa na nervura 2 ou 5; 3,84 na força aplicada, até o valor 

máximo de 23 kN para o carregamento centrado de um eixo e o carregamento de um 

eixo com a roda externa na nervura 1 ou 6. Todos os ensaios foram realizados com 

uma repetição para cada carregamento. 

Para se ter noção da magnitude da força aplicada no modelo em relação à 

carga móvel, foram determinados os momentos fletores no meio do vão da estrutura 

real, acrescidos do efeito do impacto, devidos ao carregamento móvel na faixa 

ocupada pelo veículo-tipo M real = 78120 kN.cm e ao carregamento móvel em toda a 

largura da ponte M real = 81995 kN.cm. 


50 


Os momentos fletores equivalentes no modelo, em termos de se obter tensões 

normais da mesma magnitude, são determinados dividindo-se os momentos fletores 

na estrutura real pelo cubo do fator de redução de escala (M modelo = M real /5 3 ), sendo 

M modelo = 625 kN.cm e M modelo = 656 kN.cm. Estes momentos são provocados por 

forças concentradas iguais a 12,5 kN e 13,12 kN, respectivamente. 

3.3 Resultados obtidos e análises 

A seguir são apresentados os resultados experimentais dos ensaios estáticos 

do modelo reduzido de ponte com seção-T e as análises numéricas correspondentes. 

Estes resultados são a média dos valores observados no primeiro ciclo de 

leituras e na sua repetição. É importante salientar que não ocorreram diferenças 

significativas entre os valores do primeiro ciclo em relação aos da repetição. 

3.3.1 Resultados 

Para cada carregamento, foi efetuada a regressão linear entre as forças 

aplicadas e os deslocamentos correspondentes, obtendo-se a equação abaixo: 

δ ( mm) = a + b ⋅ P(kN) 

(4) 

As tabelas 11 a 16 apresentam os resultados obtidos para todos os ensaios, os 

valores das constantes a e b e o coeficiente de correlação obtidos em cada regressão. 

Tabela 11 - Força uniformemente distribuída – (I) 

p 

1 2 3 4 

5 6 

Força aplicada p.b 

Deslocamentos no meio do modelo 

(kN) δ 1 (mm) δ 2 (mm) δ 3 (mm) δ 4 (mm) δ 5 (mm) δ 6 (mm) 

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

4,58 0,79 0,54 0,38 0,64 0,61 0,35 

9,16 1,17 0,92 0,73 1,01 0,96 0,66 

13,74 1,55 1,30 1,07 1,38 1,30 0,98 

18,32 1,93 1,68 1,42 1,76 1,65 1,29 

22,90 2,31 2,06 1,77 2,13 2,00 1,60 

27,48 2,68 2,44 2,11 2,50 2,34 1,92 

32,03 3,06 2,82 2,46 2,87 2,69 2,23 

36,64 3,44 3,20 2,80 3,24 3,04 2,55 

41,22 3,82 3,58 3,15 3,62 3,38 2,86 

45,80 4,20 3,96 3,49 3,99 3,73 3,18 

Resultados obtidos nas regressões 

a (mm) 0,4133 0,1600 0,0367 0,2667 0,2640 0,0333 

b (mm/kN) 0,0826 0,0830 0,0755 0,0813 0,0757 0,0686 

r 2 (%) 99,99 100 99,99 99,99 99,99 99,99 

Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 2290 kN.cm 



51 

Tabela 12 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 1 – (II) 

P 

P 

40 cm 

1 2 3 4 

5 6 

Força aplicada 2P 

Deslocamento no meio do vão do modelo 


0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

3,84 1,10 0,65 0,59 0,34 0,12 0,05 

7,68 1,83 1,13 1,08 0,55 0,13 -0,04 

11,52 2,56 1,60 1,57 0,76 0,15 -0,12 

15,36 3,29 2,08 2,07 0,97 0,17 -0,20 

19,20 4,02 2,56 2,56 1,18 0,19 -0,29 

23,00 4,75 3,04 3,05 1,39 0,20 -0,37 


a (mm) 0,3675 0,1697 0,0943 0,1293 0,0999 0,1316 

b (mm/kN) 0,1904 0,1246 0,1285 0,0548 0,0045 -0,0218 

r 2 (%) 100 100 100 100 98,92 99,97 


Tabela 13 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 2 – (III) 

P 

P 

40 cm 

1 2 3 4 5 6 




0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

4,25 0,54 0,79 0,59 0,71 0,35 0,11 

8,50 0,77 1,42 1,05 1,22 0,55 0,05 

12,75 1,01 2,06 1,51 1,74 0,75 -0,01 

17,00 1,24 2,69 1,96 2,25 0,96 -0,07 

21,25 1,48 3,32 2,42 2,77 1,16 -0,14 

25,50 1,72 3,95 2,87 3,28 1,36 -0,20 

29,75 1,95 4,58 3,33 3,80 1,56 -0,26 

34,00 2,19 5,21 3,79 4,31 1,76 -0,32 


a (mm) 0,3007 0,1611 0,1361 0,1936 0,1482 0,1736 

b (mm/kN) 0,0555 0,1486 0,1074 0,1211 0,0475 -0,0146 

r 2 (%) 100 100 100 100 100 99,97 



52 


Tabela 14 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 5 – (IV) 

P 

P 

40 cm 

1 2 3 4 

5 6 




0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

4,25 -0,01 0,28 0,69 0,73 0,66 0,20 

8,50 -0,14 0,46 1,21 1,21 1,21 0,40 

12,75 -0,26 0,65 1,74 1,69 1,77 0,61 

17,00 -0,39 0,84 2,27 2,17 2,33 0,81 

21,25 -0,52 1,03 2,80 2,65 2,89 1,01 

25,50 -0,64 1,22 3,32 3,12 3,44 1,21 

29,75 -0,77 1,41 3,85 3,60 4,00 1,41 

34,00 -0,90 1,60 4,38 4,08 4,56 1,61 


a (mm) 0,1168 0,085 0,1593 0,2543 0,0993 0,0011 

b (mm/kN) -0,0298 0,0445 0,1241 0,1125 0,1311 0,0474 

r 2 (%) 100 100 100 100 100 100 


Tabela 15 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 6 – (V) 

P 

P 

40 cm 

1 2 3 4 5 6 




0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

3,84 -0,10 0,04 0,30 0,69 0,53 0,79 

7,68 -0,36 0,07 0,50 1,19 0,90 1,42 

11,52 -0,61 0,11 0,70 1,68 1,28 2,06 

15,36 -0,87 0,13 0,90 2,18 1,66 2,69 

19,20 -1,12 0,17 1,09 2,67 2,04 3,32 

23,00 -1,37 0,19 1,29 3,16 2,42 3,95 


a (mm) 0,1516 0,0112 0,1040 0,1976 0,1454 0,1565 

b (mm/kN) -0,0662 0,0080 0,0516 0,1288 0,0987 0,1649 

r 2 (%) 100 99,24 100 100 100 100 




53 

Tabela 16 - Carregamento centrado de um eixo – (VI) 

P 

40 cm 

P 

1 2 3 4 

5 6 




0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 

3,84 0,25 0,67 0,71 0,73 0,60 0,17 

7,68 0,30 1,15 1,30 1,29 1,03 0,23 

11,52 0,36 1,62 1,89 1,86 1,46 0,29 

15,36 0,41 2,10 2,48 2,42 1,89 0,35 

19,20 0,46 2,58 3,07 2,98 2,33 0,41 

23,00 0,52 3,05 3,66 3,55 2,76 0,47 


a (mm) 0,1952 0,1930 0,1180 0,1654 0,1638 0,1098 

b (mm/kN) 0,0140 0,1242 0,1539 0,1470 0,1127 0,0156 

r 2 (%) 99,91 100 100 100 100 100 


3.3.2 Análise da rigidez à flexão longitudinal do modelo 

Este item apresenta a comparação entre as rigidezes à flexão longitudinal 

experimental e teórica (método WVU) do modelo. 

A rigidez à flexão longitudinal experimental ( E ⋅ I) exp erimental 

foi calculada com base 

nos resultados do carregamento em que a força é uniformemente distribuída no meio 

do vão e ao longo da largura do modelo. Para este carregamento, não há influência da 

rigidez à flexão transversal e a ponte se comporta como um conjunto de vigas 

longitudinais. Então: 

3 

P ⋅L 

(E ⋅I) 

exp erimental 

= 

(5) 

48 ⋅ δ 

A relação P/δ foi tomada como o inverso da média dos valores “b” 

apresentados na tabela 11: 

P = 128,56 kN/cm 

δ 

Substituindo este valor na equação 5 tem-se: 

3 

128,56 ⋅ 200 

(E ⋅ I) 

exp erimental 

= 

= 21.426.667 kN.cm 2 

48 

A rigidez à flexão longitudinal teórica ( E ⋅ I) 

teórica 

foi calculada a partir da soma 

dos momentos de inércia transformados das vigas do modelo reduzido. 

Inicialmente, as larguras efetivas das abas de cada viga-T do modelo foram 

determinadas de acordo com o método WVU. 

Posteriormente, a seção transversal do modelo foi uniformizada adotando-se 

um valor único para o módulo de elasticidade na direção longitudinal das nervuras e 

das lâminas do tabuleiro (E adotado = 1000 kN/cm 2 ), e foram determinadas as larguras 

transformadas das nervuras e das abas. 


54 


Por último, foram determinados os momentos de inércia, para cada uma destas 

vigas, em relação ao eixo horizontal que passa pelo CG da seção transformada total 

do modelo. 

A rigidez à flexão longitudinal da seção transversal transformada é dada por: 

2 

Itransforma da 

= ∑ [ Ii 

+ A 

i 

⋅ ( yCG 

− yi 

) ] = ( 21792 + 258) = 22050 cm 4 

E ⋅ I) = 1000 ⋅ 22050 22.050.000 kN.cm 2 

( 

transforma da 

= 

Comparando o valor teórico com o experimental, observa-se que este é cerca 

de 97 % do valor do primeiro, indicando uma composição da seção transversal com 

uma eficiência praticamente equivalente à prevista pelo método WVU. 

3.3.3 Análise do fator de distribuição da carga (W f ) 

Este item apresenta a comparação entre os fatores de distribuição da carga 

experimental e teórica (método WVU) do modelo. 

Para o cálculo do fator W f experimental do modelo, determinou-se a parcela de 

carga absorvida por cada nervura (P i ) quando foram aplicados os carregamentos em 

que a roda do eixo ficou sobre uma das nervuras externas. Estes carregamentos são 

as situações mais desfavoráveis em termos de distribuição transversal das cargas. 

No cálculo de P i foi feita uma simplificação na qual admitiu-se que cada 

nervura absorveu uma parcela de carga proporcional ao produto do deslocamento 

desta nervura por sua rigidez à flexão. 

Deste modo, W f experimental foi determinado pela relação entre a parcela de 

carga máxima (P i,máx ) e o somatório das parcelas de carga (ΣP i ) de cada nervura: 

Pi,máx 

W 

f 

= 

(6) 

∑Pi 

sendo: 

48 ⋅ δi 

⋅ Eadotado 

⋅Ii,transformada 

Pi 

= (7) 

3 

L 

Substituindo P i na equação 6 tem-se: 

Ii,transformada 

⋅ δi 

W 

f 

= 

(8) 

∑ ( Ii,transformada 

⋅ δi 

) 

Inicialmente, calculou-se o fator (W f1 ) com os resultados apresentados na 

tabela 12, caso em que a roda ficou sobre a nervura externa 1: 

I1,transformada 

⋅ δ1 

3793 ⋅ 0,475 

Wf 1 

= = 

⋅100 

= 41 % 

∑ I ⋅ δ 4376 

( ) 

i,transformada 

i 

Posteriormente, calculou-se o fator (W f6 ) com os resultados apresentados na 

tabela 15, caso em que a roda ficou sobre a nervura externa 6: 

I6,transformada 

⋅ δ6 

3548 ⋅ 0,395 

Wf 6 

= = 

⋅100 

= 41 % 

∑ I ⋅ δ 3377 

( ) 

i,transformada 

i 

E, finalmente, calculou-se o fator de distribuição da carga (W f ): 

Wf1 

+ W 

6 

W 

f 

f 

= ⇒ W f 

= 41 % 

2 

O fator W f teórico do modelo foi determinado de acordo com o método WVU, 

conforme descrito abaixo: 



55 

sendo: 

W 

C 

f 

1+ 

C0 

= (9) 

2 

n ⋅ C0 

+ ⋅ ( n − 1) 

π 

(b − B 

) 

D 

[8 ⋅ ( λ) 

+ 1] 

2 

0 

= 

π 

w T 

⋅ ⋅ 

Be 

4 

( λ) 

(10) 

3 

t 

DT 

= ET 

⋅ 

12 

(11) 

( b − BW 

) 

λ = 

L 

(12) 

B = E ⋅Iex 

(13) 

e 

L, n 

Calculando, tem-se que: 

3 

5 

DT = 18,78 ⋅ = 196 kN.cm 

12 

( 110 − 5) 

λ = = 0,525 

200 

B e 

= 647,2 ⋅5814 

= 3.762.821 kN.cm 2 2 

(110 − 5) 196 [8 ⋅(0,525) 

+ 1] 

C0 = ⋅ ⋅ 

= 0, 0734 

4 

π 3.762.821 (0,525) 

1+ 

0,0734 

W f 

= ⋅1,6 

= 47 % 

2 

6 ⋅ 0,0734 + ⋅ ( 6 −1) 

π 

Comparando o valor teórico com o experimental, observa-se que este (W f = 41 

%) é ligeiramente menor que o obtido pelo método WVU (W f = 47 %), indicando que a 

parcela de carga absorvida pela nervura mais solicitada do modelo é menor que a 

parcela de carga determinada pelo método WVU. 

4 CONCLUSÕES 

O desenvolvimento do sistema T das pontes de madeira protendidas 

transversalmente surgiu devido à necessidade de se construir pontes que vencessem 

vãos maiores que os alcançados pelas pontes com tabuleiros protendidos de altura 

constante. O procedimento de cálculo, utilizado na determinação das dimensões 

efetivas das pontes formadas por vigas-T, possibilitou efetuar a análise numérica 

destas pontes para diversas situações de projeto. 

Estas pontes classe 30 foram dimensionadas para vãos iguais a 10, 15, 20 e 

25 m, larguras iguais a 5,5 (1 faixa de tráfego) e 10,0 m (2 faixas de tráfego), larguras 

das nervuras e alturas dos tabuleiros iguais a 15, 20 e 25 cm, número de nervuras 

variando de 4 até 8 (1 faixa de tráfego) e de 7 até 14 (2 faixas de tráfego), e 

espaçamento entre nervuras variando de 70 até 200 cm. 

A partir das discussões desenvolvidas ao longo do trabalho, conclui-se que: 

- No processo de dimensionamento das nervuras realizado na análise numérica, o 

fator limitante foi o estado limite último de tração nas fibras inferiores das nervuras, 

para todas as situações analisadas. Deste modo, podem-se esperar reduções 

significativas na altura das nervuras ao se utilizar resistências de cálculo à tração 

superiores às empregadas neste trabalho, por meio de critérios de dimensionamento 

que permitam considerar a maior resistência à tração da madeira. 


56 


- A altura do tabuleiro não influencia de maneira significativa na altura das nervuras, 

pois a variação da altura do tabuleiro de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no 

máximo, 3% para a altura das nervuras. 

- A largura das nervuras influencia de maneira significativa na altura das mesmas, pois 

a variação desta largura de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 12% para a 

sua altura. 

- Em relação ao tabuleiro, observa-se que a utilização de madeira conífera C 30 ou 

dicotiledônea C 30 ou C 40 não influencia de maneira significativa na altura das 

nervuras. Para as madeiras classe C 30, que apresentam o mesmo módulo de 

elasticidade na direção longitudinal, observa-se uma melhor distribuição transversal 

das cargas para as coníferas devido à protensão transversal proporcionar um maior 

módulo de elasticidade na direção transversal para estas madeiras; para as madeiras 

classe C 40, que apresentam maior módulo de elasticidade na direção longitudinal, 

observa-se uma diminuição de, no máximo, 3% para a altura das nervuras. 

- Na análise experimental do modelo foram obtidos valores para a rigidez à flexão 

longitudinal e para o fator de distribuição da carga muito próximos dos valores teóricos 

determinados pelo método WVU, indicando que o método possibilita um 

dimensionamento adequado para as pontes de madeira protendidas transversalmente 

formadas por vigas-T. 


Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. 


ALVES, N. M. P. (2002). Análise de pontes de madeira protendidas 

transversalmente formadas por vigas – T. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – 

Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1984). NBR 7188 - Cargas 

Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1997). NBR 7190 - Projeto 

de Estruturas em Madeira. Rio de Janeiro. 

DAVALOS, J. F; SALIM, H. A. (1992). Design of Stress-Laminated T-System Timber 

Bridges. National Hardwood Timber Bridge Conference 1992, Timber Bridge 

Information Resource Center–TBIRC, USDA-FS-Northeastern Area. 

DAVALOS, J. F.; SALIM, H. A.; DICKSON, B. (1993). Development and Field 

Testing of the Camp Arrowhead Modular Stress-Laminated T-System Timber 

Bridge. Annual Meeting, TRB, 72., National Research Council, Washington, D.C., 

n.93-0663. 



57 

GANGARAO, H. V. S.; RAJU, P. R. (1992). Transverse Wheel Load Distribution for 

Deck-Stringer Bridges. In: NSF WORKSHOP ON BRIDGE ENGINEERING 

RESEARCH IN PROGRESS, 3., La Jolla, CA, 1992. Proceedings... University of CA, 

p.109-112. 

OKIMOTO, F. S. (1997). Pontes Protendidas de Madeira: parâmetros elásticos 

para o projeto. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São 

Carlos - Universidade de São Paulo. 


ISSN 1809-5860 

EFEITOS DO CONFINAMENTO EM PILARES DE 

CONCRETO ARMADO ENCAMISADOS COM 

COMPÓSITO DE FIBRAS DE CARBONO 

Ricardo Carrazedo 1 & João Bento de Hanai 2 

Resumo 

Sabe-se que o confinamento pode aumentar significativamente a resistência e a 

ductilidade de pilares de concreto armado. Normalmente utiliza-se o confinamento 

passivo, desenvolvido por armaduras transversais e camisas que restringem a expansão 

lateral do concreto. Nas últimas décadas diversas pesquisas abordaram o confinamento 

com armaduras transversais. Recentemente observou-se na literatura diversos 

trabalhos sobre o confinamento em pilares de concreto encamisados com compósitos de 

fibras de carbono e vidro, sendo na maior parte destes trabalhos realizados ensaios de 

corpos-de-prova sem armaduras. A partir destas pesquisas foram elaborados modelos 

teóricos. O presente trabalho apresenta e discute os resultados de uma análise 

experimental de pilares de concreto armado encamisados com compósitos de fibras de 

carbono e ensaiados à compressão axial. Foram ensaiados pilares de seção circular 

com diferentes taxas de armadura transversal e pilares de seção quadrada não 

armados, envolvidos por camisas de diferentes espessuras. Pôde-se observar os ganhos 

de resistência e ductilidade devidos ao efeito de confinamento da camisa de reforço e 

da armadura transversal pré-existente. Verificou-se também a importância da forma da 

seção transversal sobre o desempenho do reforço, comparando-se os resultados obtidos 

nos pilares de seção circular e quadrada. 

Palavras-chave: pilares; reforço; compósitos; fibra de carbono; confinamento; 

concreto armado. 


As primeiras pesquisas sobre confinamento datam do início do século XX e 

relacionaram o ganho de resistência à compressão do concreto confinado linearmente 

com a pressão lateral, segundo a formulação a seguir: 

f 

cc 

= f + k ⋅ f 

(1) 

co 

1 

l 

onde: 

f cc – resistência à compressão do concreto confinado; 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rczedo@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jbhanai@sc.usp.br 


60 

Ricardo Carrazedo & João Bento de Hanai 

f co – resistência à compressão do concreto não confinado; 

f l – pressão lateral; 

k 1 – coeficiente obtido experimentalmente. 

RICHART et al. (1929) encontraram k 1 =4,1 em ensaios do concreto submetido 

ao confinamento ativo por meio de fluidos e no confinamento passivo com armaduras 

em espirais. 

Observaram também um grande aumento da deformação axial última do 

concreto confinado (ε cc ), que foi relacionada à pressão lateral por meio da expressão: 

f 

l 

ε 

cc 

= εco 

+ k 

2 

⋅ 

(2) 

fco 

onde: 

ε cc – deformação última do concreto confinado; 

ε co - deformação última do concreto não confinado; 

k 2 = 5⋅k 1 - coeficiente obtido experimentalmente. 

2 DEFINIÇÕES 

Suponha-se que o pilar circular da Figura 1 esteja envolvido por um tubo de 

parede fina e submetido a um esforço de compressão axial. Aplicada a carga P o tubo 

restringe a expansão lateral, desenvolvendo-se no interior do tubo uma pressão f l . 

Considerando-se que o tubo tenha parede fina, a relação entre a pressão interna e o 

esforço de tração no tubo pode ser obtida por meio de um simples equilíbrio de 

esforços da seção transversal. 

P 

2R 

t 

L=1 

Seção transversal 

fl 

α 

y 

x 

F 

Esforços atuantes 

F 

P 

Figura 1 - Pilar circular envolvido por parede fina. 

Considerando-se o equilíbrio dos esforços da seção transversal atuantes na 

direção y da Figura 1 obtém-se: 


Efeitos do confinamento em pilares de concreto armado encamisados com compósitos... 

61 

− 2 ⋅ F + 

π 

∫ 

0 

fl ⋅ R ⋅ sen α ⋅ dα 

= 

0 

(3) 

onde: 

• F - esforço de tração por unidade de comprimento do tubo; 

• R é o raio médio do tubo e α o ângulo central do pilar. 

Por meio da Equação 3 e admitindo-se que a tensão no tubo (f p ) é constante 

ao longo da espessura (t), a relação entre a pressão lateral e a tensão no tubo 

dependem apenas das características geométricas: 

f 

p 

fl 

⋅R 

= 

t 

Pode-se então chegar a uma relação entre a pressão lateral, a tensão no tubo 

e a taxa volumétrica de material do tubo (ρ p ) válida para pilares circulares: 

f 

l 

= 

ρ 

p 

2 

⋅ f 

p 

A equação 5 se aplica também a pilares de seção circular com armaduras 

transversais, onde a taxa de material do tubo é substituída pela taxa volumétrica de 

armadura transversal, dada por: 

ρ 

p 

4 ⋅ A 

sφ 

= 

D ⋅ s 

c 

sendo: 

• A sø - área da seção de uma barra da armadura transversal; 

• D c - diâmetro do núcleo confinado (de centro a centro das barras transversais); 

• s - espaçamento da armadura transversal (de centro a centro das barras 

transversais). 

(4) 

(5) 

(6) 

3 MODELOS TEÓRICOS DE CONFINAMENTO 

Existem diversos modelos teóricos para prever o comportamento do concreto 

confinado por armaduras transversais e por compósitos na compressão axial 

centrada. No confinamento com armaduras transversais alguns pesquisadores 

adotaram coeficientes de efetividade (k e ) para reduzir a pressão lateral calculada pela 

Equação 5, levando em conta a influência do espaçamento da armadura transversal. 

Os modelos teóricos são baseados em resultados de análises experimentais. 

No caso de pilares envolvidos por camisas de compósitos os modelos foram 

elaborados com base em ensaios de corpos-de-prova de pequenas dimensões à 

compressão axial centrada. 

As principais variáveis para representar o comportamento do concreto 

confinado são a sua resistência (f cc ) e a deformação última (ε cc ). Na Tabela 1 são 

apresentadas as formulações de alguns modelos teóricos para estimar f cc e ε cc . Estas 


62 


formulações são na maioria restritas a pilares de concreto de resistência normal, de 

seção circular e submetidos à compressão axial centrada. 

Tabela 1 - Modelos teóricos de confinamento 

Modelo Tipo f cc ε cc 

Mander 

f ⎛ 

et al. 1 ⎟ ⎞ 

cc 

⎜ 

7,94 ⋅ fle 

f 

⎡ ⎛ f ⎤ 

le 

cc 

⎞ 

= fco 

⋅ 

− 1,254 + 2,254 ⋅ 1+ 

− 2 ⋅ ε cc = ε co ⋅ ⎢1 

+ 5 ⋅ ⎥ 

fco 

(1988) 

⎝ 

fco 

f 

⎜ − 1 

⎟ 

co ⎠ 

⎣ ⎝ fco 

⎠ 

⎦ 

Cusson & 

0,7 

1,7 

fcc 

⎛ fle 

⎞ 

⎛ f 

Paultrè 1 

= 1,0 + 2,1 ⋅ 

(1995) 

f 

⎜ 

co 

f 

⎟ 

le 

⎞ 

εcc 

= εco 

+ 0,21⋅ 

⎜ 

⎝ co ⎠ 

f 

⎟ 

⎝ co ⎠ 

Razvi & 

0,83 

−0,17 

Saatcioglu 1 

fcc 

= fco 

+ 6,7 ⋅ fle 

εcc 

= εco 

⋅ (1+ 

33,5 ⋅ fle 

) 

(1999) 

Miyauchi et 

al. (1997) 

Samaan et 

al. (1998) 

2 

2 

f 

f 

f 

cc 

cc 

co 

fl 

= 1+ 

3,50 ⋅ 

f 

= f 

co 

+ 6,0 ⋅ f 

co 

0,7 

l 

fo = 0,872 ⋅ fco 

+ 0,371⋅ 

fl 

+ 6,258 

0,2 Ef 

⋅ t 

f 

⋅ n 

E2 

= 245,61⋅ 

fco 

+ 1,3456 ⋅ 

D 

ε 

ε 

cc 

co 

⎛ f ⎞ 

l 

= 1,0 + 10,6 ⋅ 

⎜ 

f 

⎟ 

⎝ co ⎠ 

fcc 

− f0 

ε 

cc 

= 

E 

Tipo 1: Modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com armaduras 

transversais de aço. A pressão lateral efetiva (f le ) é obtida multiplicando-se a pressão 

lateral pelo coeficiente de efetividade (k e ). As formulações aqui apresentadas se 

aplicam apenas a pilares de seção transversal circular. 

Tipo 2: Modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com camisas de 

compósitos, como os de fibras de vidro ou carbono. As formulações destes modelos 

se aplicam somente a pilares de seção transversal circular. 

c 

2 

0,373 

onde: 

• t f é a espessura da camada de compósito; 

• n é o número de camadas de compósito; 

• ε fu é a deformação última do compósito; 

• E f é o módulo de elasticidade do compósito. 

4 ANÁLISE EXPERIMENTAL 

4.1 Materiais e métodos 

4.1.1 Concreto 

Utilizou-se areia natural como agregado miúdo e brita nº 1 de origem basáltica 

como agregado graúdo. Como aglomerante foi utilizado cimento Portland do tipo CP II 

E 32, da marca Itaú. As características do concreto são apresentadas na Tabela 2, 

incluindo-se o traço unitário, resistência à compressão e módulo de elasticidade. 



63 

Tabela 2 - Características do concreto 

Material 

Traço unitário em 

massa 

Resistência 

(MPa) 

Módulo de 

elasticidade 

(GPa) 

Cimento CP II E – 

Itaú 

1,000 Série 1 32,0 28,55 

Areia natural 2,762 Série 2 35,3 26,32 

Brita 1 3,238 

Valores obtidos com o ensaio de corpos de 

Água 0,610 

prova de 10 x 20 cm (diâmetro x altura) na 

data de ensaio dos pilares 

A cura foi realizada em câmara úmida por 7 dias. 

4.1.2 Armaduras 

Foram confeccionados 9 pilares circulares de concreto armado, sendo que em 

6 destes utilizou-se armaduras nas direções longitudinal e transversal. O diâmetro das 

armaduras transversais foi de 5 mm enquanto o das longitudinais foi de 8 mm. 

Utilizou-se diferentes espaçamentos de armaduras transversais para obter as taxas 

volumétricas necessárias (0, 1 e 2%). A tensão de escoamento da armadura 

transversal foi de 756 MPa e o módulo de elasticidade de 204,7 GPa. A armadura 

longitudinal apresentou uma tensão de escoamento de 554,8 MPa e módulo de 

elasticidade de 201,5 GPa. 

4.1.3 Sistema de reforço por encamisamento 

Os pilares foram encamisados com o sistema SIKAWRAP ® , que consiste na 

colagem de tecidos unidirecionais de fibras de carbono (SIKAWRAP HEX-230 C) com 

resina epóxi (SIKADUR-330). As características das fibras de carbono e da resina são 

apresentadas na Tabela 3, segundo dados fornecidos pelo fabricante. 

Tabela 3 - Propriedades dos materiais do reforço – dados do fabricante 

Fibras: SIKAWRAP HEX-230 C 

0º 

Orientação das fibras 

(unidirecional) 

Resina epóxi: SIKADUR-330 

1,31 

Massa específica 

kg/dm³ 

Massa / área 225 g/m² Dosagem A:B 1:4 

Espessura* 0,13 mm Pot-life (5 kg) 

Módulo de elasticidade à 

tração 

230 GPa 

Resistência à tração 3500 MPa Resistência à tração 

Alongamento de ruptura 1,5% 

*Baseada na área total das fibras de carbono 

Módulo de elasticidade à 

tração 

90 min 

(15ºC) 

30 min 

(35ºC) 

30 MPa 

(7 dias) 

3,8 GPa 

(7 dias) 


64 


A resina foi preparada com um misturador elétrico até se obter uma mistura 

homogênea e de coloração uniforme e então aplicada sobre as superfícies a serem 

encamisadas. O consumo de epóxi foi de 1,0 kg/m 2 para as superfícies de concreto e 

de 0,75 kg/m 2 para as superfícies já cobertas com fibras (2ª ou 3ª camadas). Após a 

impregnação da superfície aplicou-se os tecidos unidirecionais, expulsando-se o ar 

com um pequeno rolo plástico. 

4.1.4 Ensaios à compressão axial 

Após a preparação da instrumentação aplicou-se uma fina camada de massa 

plástica sobre as superfícies que receberam o carregamento, de maneira a diminuir as 

imperfeições e melhorar a planicidade. Os pilares foram então ensaiados à 

compressão axial centrada com crescimento linear do deslocamento em uma máquina 

universal de ensaios servo-hidráulica da marca INSTRON, Modelo 8506, com 

capacidade de 2500 kN. 

4.1.5 Ensaios de caracterização do compósito 

Os ensaios de caracterização do compósito foram realizados em duas etapas: 

preliminar e definitiva. Observou-se uma grande variação das propriedades do 

compósito entre as duas etapas. Inicialmente verificou-se que as frações volumétricas 

dos materiais constituintes (resina e fibras) mudaram significativamente, 

provavelmente devido à variação da quantidade de resina ou alguma mudança no 

processo de moldagem. A espessura do compósito conseqüentemente também 

apresentou variação. Desta maneira as propriedades mecânicas do compósito obtidas 

nestas duas etapas divergiram significativamente, como se pode observar na Figura 

2, comparando os resultados de PRFC 1 e PRFC 2. 

Optou-se então por desprezar a colaboração da matriz sobre as propriedades 

mecânicas do compósito. As tensões foram calculadas dividindo-se a carga atuante 

na amostra pela área das fibras de carbono. Este procedimento é recomendado por 

FIORELLI & DIAS (2001). Por meio desta hipótese as propriedades mecânicas 

apresentaram uma variabilidade muito pequena nas duas situações, como é 

observado na Figura 2 comparando-se os resultados de Fibras 1 e Fibras 2. 



65 


2500 

Fibras 1 

Fibras 2 

Tensão (MPa) 

2000 

1500 

1000 

PRFC 1 

PRFC 2 

500 

0 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Deformação ( . /..) 

Figura 2 - Pilar circular envolvido por parede fina. 

Na etapa definitiva foram ensaiadas 5 amostras do compósito de fibras de 

carbono à tração conforme recomendações da ASTM D 3039 (1995). Utilizou-se uma 

máquina de ensaio da marca DARTEC, modelo M1000 RK, com capacidade de 100 

kN, do Laboratório de Madeiras e Estruturas de Madeira da Escola de Engenharia de 

São Carlos / Universidade de São Paulo. Na Tabela 4 são apresentados os resultados 

obtidos nesta caracterização das propriedades mecânicas. 

Tabela 4 - Resultados dos ensaios de tração – propriedades das fibras 

Amostra Tensão (MPa) ε fu (‰) E f (GPa) 

1 2981,07 13,232 218,43 

2 2679,07 12,015 220,81 

3 2621,55 11,887 217,64 

4 2922,41 13,021 218,93 

Média 2801,02 12,539 218,95 

Deve-se observar que nestes ensaios à tração a resistência e a deformação 

última das fibras foram menores que os valores fornecidos pelo fabricante. Esta 

redução provavelmente ocorreu devido à ocorrência de flexão no ensaio. No entanto o 

módulo de elasticidade das fibras apresentou uniformidade e foi um parâmetro de 

dimensionamento importante. A utilização das propriedades das fibras (e não do 

compósito) para o estudo do confinamento foi adotada por alguns pesquisadores em 

seus modelos teóricos. 

4.1.6 Pilares de seção transversal circular 

Os pilares foram preparados em duas séries referentes a duas concretagens. 

À série 1 pertencem os pilares circulares C0, C1, C2, C0S50, C1S50 e C2S50. À serie 

2 pertencem o C0S25, C1S25 e C2S25. Os pilares de seção circular foram 


66 


confeccionados com diferentes taxas volumétricas da armadura transversal (ρ s ) e 

número de camadas de compósito (n). Na Tabela 5 apresenta-se um esquema da 

nomenclatura adotada para os pilares de seção circular. 

Tabela 5 - Nomenclatura dos pilares circulares 

ρ s (%) 

Número de camadas de compósito 

0 1 2 

0 C0 C1 C2 

1 C0S50 C1S50 C2S50 

2 C0S25 C1S25 C2S25 

Na Figura 3 são apresentadas as dimensões, instrumentação e o esquema de 

colagem dos tecidos. 

190 mm 

n=0 n=1 n=2 

Detalhe da instrumentação 

190 

1 

4 

T 

8 

5 

T 

L 3 

1 

L 

3 

L 

2 

6 7 

T 

(cobrimento = 15 mm) 

9 

T 

2 

LEGENDA 

L 

T 

Transdutor 

Extensômetro na 

camisa de reforço 


armadura longitudinal 


armadura transversal 

Figura 3 - Características dos pilares de seção circular. 

570 

190 

190 

190 

n+1 

n 

n+1 

(Dimensões em mm) 

4.1.7 Pilares de seção transversal quadrada 

A nomenclatura dos pilares de seção quadrada consiste na letra Q seguida do 

número de camadas de reforço. Os modelos de seção transversal quadrada 

receberam 4 transdutores na região central. Os modelos Q1 e Q2 receberam ainda 

extensômetros na camisa de reforço na região central, colocados nos cantos e no 

meio das faces. As dimensões e a instrumentação utilizadas estão indicadas na 



67 

Figura 4. Observou-se um raio mínimo de curvatura de 3 cm nos cantos do pilar para 

evitar rupturas localizadas por concentrações de tensões. Na Figura 4 são 

apresentadas as características geométricas e a instrumentação utilizada nos 

modelos de seção transversal quadrada. 

4 

150 mm 

3 

3 

Q0 Q1 Q2 

Detalhe da instrumentação 

150 

150 

150 

n+1 

4 

1 

1 

(raio dos cantos = 30 mm) 

2 

2 

LEGENDA 

Transdutor 


camisa de reforço 

450 

150 150 

Figura 4 - Modelos de seção transversal quadrada. 

(Dimensões em mm) 

n 

n+1 

4.1.8 Instrumentação 

Utilizou-se extensômetros elétricos de resistência da marca KYOWA, sendo 

que para a camisa de reforço foram empregados extensômetros do tipo KFG-10-C1- 

120-11 e para as armaduras o KFG-5-C1-120-11. 

Para registrar os deslocamentos da região central dos modelos empregou-se 

transdutores de deslocamento da marca KYOWA, com curso de 10 mm e 

sensibilidade de 0,03 mm. A base de leitura dos transdutores foi de 210 mm. 

4.2 Resultados e discussões 

4.2.1 Resultados dos pilares de seção circular 

Observou-se significativos ganhos de resistência e ductilidade com o aumento 

do número de camadas do compósito para todas as taxas de armaduras transversais. 

O comportamento força-deslocamento foi próximo do bi-linear até a ruptura da camisa 


68 


de reforço. Nas Figuras 5 a 7 são apresentados os diagramas força x deslocamento 

dos modelos agrupados para cada taxa de armadura transversal. A base de leitura do 

deslocamento é de 570 mm (comprimento do pilar). 

No caso dos pilares de seção transversal circular não armados é possivel 

calcular a tensão no concreto confinado dividindo-se a força atuante pela área da 

seção de concreto (28353 mm 2 ) e a deformação dividindo-se o deslocamento do pilar 

pelo comprimento (570 mm). Assim verifica-se que o diagrama tensão-deformação do 

concreto confinado por camisas de compósitos em pilares de seção circular é 

aproximadamente bi-linear. A Figura 5 indica este comportamento, porém em termos 

de força x deslocamento. A inclinação do segundo trecho linear depende do número 

de camadas de reforço. 

-1600 

-1400 

-1200 

Força (kN) 

-1000 

-800 

-600 

-400 

-200 

c0 

c1 

c2 

0 

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 

Deslocamento axial do modelo (mm) 

Figura 5 - Diagramas força x deslocamento – pilares com ρ s = 0. 



69 

-2000 Modelo 

C0S50 

-1500 

C1S50 

C2S50 

Força (kN) 

-1000 

-500 

0 

0 -5 -10 -15 


Figura 6 - Diagramas força x deslocamento - pilares com ρ s = 1%. 

-2000 Modelo 

C0S25 

C1S25 

-1500 

C2S25 

Força (kN) 

-1000 

-500 

0 

0 -5 -10 -15 -20 


Figura 7 - Diagramas força x deslocamento - pilares com ρ s = 2%. 

Foram observados significativos ganhos de capacidade resistente com o 

aumento do número de camadas de fibras de carbono, para todas as taxas de 

armadura transversal. Ocorreram também grandes aumentos da deformação última 

destes pilares. A Tabela 6 apresenta as capacidades resistentes dos pilares e a 

comparação dos pilares reforçados com os pilares de referência. 


70 


Tabela 6 - Capacidade resistente dos pilares de seção transversal circular 

ρ s = 0 ρ s = 1% ρ s = 2% 

n F u (kN) F u /F u * F u (kN) F u /F u ** F u (kN) F u /F u *** 

0 741,7* 1,000 903,7** 1,000 1291,0*** 1,000 

1 1100,5 1,484 1481,5 1,639 1691,5 1,310 

2 1507,55 2,033 1854,7 2,052 2097,4 1,625 

F u é a força última do pilar 

Observou-se menores ganhos de capacidade resistente pelo efeito de 

confinamento da camisa de reforço para os pilares com taxa de armadura transversal 

pré existente ρ s = 2%. O concreto confinado com elevadas taxas de armadura 

transversal já apresenta por si só um considerável ganho de resistência em relação 

ao concreto não confinado. Com o acréscimo das camadas de compósito o ganho 

relativo de resistência observado foi menor. Outra variável que pode ter influenciado 

estas comparações de capacidade resistente foi a presença de armaduras apenas 

nos modelos com ρ s = 1% e 2%. 

Foram significativos os aumentos da deformação última com a aplicação da 

camisa de reforço para os pilares com menores taxas de armadura transversal e 

principalmente nos modelos sem armaduras. Para ρ s = 2% o aumento da deformação 

última com o encamisamento foi muito pequeno. Admitindo-se que a deformação 

última seja um parâmetro indicador da ductilidade, pode-se dizer que para maiores 

valores de ρ s ocorreram menores ganhos de ductilidade com o aumento do numero de 

camadas de compósito. As deformações foram obtidas dividindo-se o deslocamento 

total do modelo por seu comprimento (570 mm). A Tabela 7 apresenta a deformação 

última dos pilares e a comparação entre modelos reforçados e de referência. 

Tabela 7 - Comparação da deformação última 

Deformação última 

ρ s = 0 ρ s = 1% ρ s = 2% 

N ε cc (‰) ε cc /ε cc * ε cc (‰) ε cc /ε cc ** ε cc (‰) ε cc /ε cc *** 

0 2,028* 1,000 8,552** 1,000 15,231*** 1,000 

1 11,180 5,513 11,643 1,361 16,482 1,082 

2 16,196 7,986 15,837 1,852 19,185 1,260 

4.2.2 Resultados dos pilares de seção quadrada 

Na Tabela 8 são apresentados a força última e o deslocamento último dos 

pilares de seção quadrada. Apresenta-se também a deformação de ruptura das fibras 

de carbono adotada do pilar C1. 

É importante ressaltar que as maiores deformações da camisa foram 

registradas no meio das faces do pilar e não nos cantos, como observado na 

literatura. A ruptura da camisa, conseqüentemente, ocorreu no meio das faces laterais 

dos pilares. No entanto, com a ruptura localizada da camisa de reforço na região da 

instrumentação não foram obtidas leituras até o final do ensaio. Desta maneira 

considerou-se adequado utilizar a deformação de ruptura da camisa observada no 

pilar C1. 



71 

Tabela 8 - Resultados experimentais 

Modelo n F u (kN) δ u 

ε fu 

(10 -3 ) 

Q0 0 512,08 0,840 - 

Q1 1 770,59 3,724 11,92* 

Q2 2 1009,32 6,953 11,92* 

*Adotados do pilar C1 

Por meio dos resultados apresentados na Tabela 8 foram calculadas a 

resistência à compressão do concreto confinado e a pressão lateral de duas maneiras 

distintas. 

Na primeira supõe-se que a pressão lateral seja uniforme ao longo do 

perímetro do pilar (como em pilares circulares). Calcula-se uma pressão lateral 

idealizada (f li ) por meio da expressão: 

f 

li 

2 ⋅ t 

= ⋅ ε 

fu 

⋅ E 

f 

(7) 

b 

onde b é a largura do pilar. 

Na segunda estimou-se uma pressão lateral efetiva (f le ) considerando a 

envoltória de ruptura do concreto confinado, por meio da expressão 8, baseada no 

modelo de RICHART et al. (1929). 

f 

le 

f 

− f 

cc co 

= (8) 

4,1 

A Tabela 9 apresenta as pressões f li e f le , e também um coeficiente de 

efetividade k e dado por: 

fle 

k e = (9) 

f 

li 

Tabela 9 - Resultados dos pilares de seção quadrada 

ε 

Modelo f cc (MPa) fu f li f le k e 

(10 -3 ε 

) (MPa) (MPa) 

cc (‰) 

Q0 23,57 - - - - 1,867 

Q1 35,47 11,92 4,545 2,902 0,639 8,275 

Q2 46,45 11,92 9,091 5,580 0,614 15,453 

Como se pode observar o coeficiente de efetividade foi da ordem de 62%. O 

mesmo procedimento para o cálculo das pressões laterais foi utilizado para 

comparação com os resultados obtidos por SHEHATA et al. (2001). Os modelos de 

seção transversal quadrada ensaiados por SHEHATA et al. (2001) possuíam lados de 

15 cm e os cantos arredondados com um raio de 1 cm. A Tabela 10 resume os 

resultados obtidos e as comparações. 


72 


Tabela 10 - Pilares de seção transversal quadrada, SHEHATA et al (2001) 

f 

Nomenclatura co 

(MPa) n f cc f li f le 

(MPa) (MPa) (MPa) 

k e 

S1-25 23,7 

1 27,4 7,81 0,90 0,12 

2 36,5 15,62 3,12 0,20 

S2-30 29,5 

1 40,4 7,81 2,66 0,34 

2 43,7 15,62 3,46 0,22 

SHEHATA et al. (2001) relata que a ruptura das camisas dos pilares de seção 

quadrada ocorreu nos cantos, devido a concentração de tensões nestes pontos. O 

menor raio de curvatura adotado (1 cm) talvez explique esta forma de ruptura e os 

menores coeficientes de efetividade obtidos. 

Os diagramas tensão-deformação dos modelos de seção transversal 

quadrada apresentaram algumas diferenças em relação aos modelos de seção 

circular, como se pode observar na Figura 8. Uma das diferenças foi a maior não 

linearidade no segundo trecho, suposto linear para pilares de seção circular. Outra 

diferença foi uma zona de transição mais acentuada em relação à observada nos 

pilares de seção circular. 

-50 

Tensão (MPa) 

-45 

-40 

-35 

-30 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

0 

Q0 

Q1 

Q2 

0 -5 -10 -15 -20 -25 

Deformação axial ( . /..) 

Figura 8 - Diagramas tensão-deformação dos pilares de seção quadrada. 

5 SIMULAÇÕES TEÓRICAS 

5.1 Confinamento com compósitos 

Na Tabela 11 são apresentados os resultados obtidos para o concreto confinado 

apenas com compósito de fibras de carbono (ρ s = 0) em termos de tensões e 

deformações. Nestes pilares a pressão lateral (f l ) foi calculada com as deformações de 

ruptura das fibras (ε fu ) registradas nos respectivos ensaios conforme a Expressão 10. 



73 

f 

l 

2 ⋅ t 

⋅ n ⋅ ε 

D 

f fu f 

= (10) 

c 

⋅ E 

Tabela 11 - Resultados experimentais 

ε fu 

Modelo n F u (kN) 

(‰) (MPa) 

f cc (MPa) ε cc (‰) 

C0 0 741,66 - - 26,16 2,028 

C1 1 1100,50 11,92 3,571 38,81 11,180 

C2* 2 1505,08 10,89 6,526 53,08 16,196 

*Valores do 1º pico de resistência 

f l 

Na Tabela 12 são apresentadas a resistência e a deformação última do 

concreto confinado com compósito obtidas experimentalmente e as previsões dadas 

por alguns dos modelos teóricos. O módulo de elasticidade tangente do concreto (E co ) 

obtido do modelo de referência C0 foi de 28,616 GPa. Como este valor foi muito 

próximo ao obtido com os corpos-de-prova de controle este foi utilizado para as 

análises e comparações. 

Tabela 12 - Comparação: resultados experimentais x modelos teóricos 

C0 

C1 (1 camada de reforço) C2 (2 camadas de reforço) 

f co = 26,16 MPa 

f cc f 

ε 

cc 

cc f 

ε co = 2,028 

(MPa) 

f ε 

cc. exp cc (‰) 

cc f 

ε 

cc 

cc 

ε 

cc.exp (MPa) 

f ε 

cc. exp cc (‰) 

ε 

cc.exp 

Experimental 38,81 - 11,180 - 53,08 - 16,196 - 

Richart et al. (1929) 40,80 1,051 7,703 0,689 52,92 0,997 12,400 0,766 

Mander et al. (1988) 45,17 1,164 9,397 0,841 55,94 1,054 13,573 0,838 

Cusson & Paultrè (1995) 39,79 1,025 9,140 0,818 50,27 0,947 18,801 1,161 

Razvi &Saatcioglu (1999) 45,43 1,171 9,497 0,849 57,95 1,092 14,349 0,886 

Miyauchi et al. (1997) 38,61 0,995 12,256 1,096 48,90 0,921 14,835 0,916 

Saaman et al. (1998) 40,78 1,051 15,431 1,380 48,46 0,913 19,399 1,198 

Em geral os modelos teóricos tiveram melhor desempenho na previsão da 

resistência do que da deformação última do concreto confinado. Os modelos de 

confinamento para aço de MANDER et al. (1988) e de RAZVI & SAATCIOGLU (1999) 

superestimaram o ganho de resistência do concreto confinado. Os modelos de 

RICHART et al. (1929) e CUSSON & PAULTRÈ (1995) obtiveram resistências 

próximas da experimental. Os modelos de confinamento com compósitos obtiveram 

previsões mais conservadoras, no entanto satisfatórias. Quanto à deformação última 

apenas os modelos de confinamento com compósitos deram resultados satisfatórios. 

Observou-se nos pilares reforçados um diagrama tensão-deformação 

praticamente bi-linear, concordando com o proposto por alguns modelos teóricos. O 

aumento do número de camadas do compósito provocou uma alteração significativa 

na inclinação do segundo trecho do diagrama tensão-deformação. 


74 


5.2 Confinamento com armaduras transversais 

Os modelos C0S50 e C0S25 tiveram apenas o confinamento das armaduras 

transversais. Na Tabela 13 são apresentadas a resistência e a deformação última do 

concreto confinado, bem como a pressão lateral, calculada com a Equação 5, 

admitindo-se o escoamento da armadura transversal. A área de concreto considerada 

para o cálculo de f cc é a do núcleo confinado. 

Tabela 13 - Resultados experimentais - modelos com armadura transversal 

Modelo 

Espaçamento 

entre espirais 

(mm) 

ρ s 

(%) 

f co 

(MPa) 

F u 

(kN) 

δ u 

(mm) 

f l 

(MPa) 

f cc.exp 

(MPa) 

ε cc.exp 

(‰) 

C0S50* 50 1,01 26,16 899,6 4,875 3,831 39,44 8,552 

C0S25 25 2,03 28,86 1291,0 8,682 7,661 60,52 15,231 

*referente ao 2º pico do diagrama 

No modelo C0S50 a resistência do concreto confinado foi calculada com o 

resultado do 2º pico do diagrama tensão-deformação (C0S50), onde se sabe que a 

carga é distribuída apenas na área do núcleo (ver Figura 6). Para o cálculo da tensão 

no concreto confinado descontou-se a força nas armaduras longitudinais, que após 

seu escoamento atingiu o valor máximo de 167,3 kN. A área de concreto confinado é 

de 18567,6 mm 2 . As Tabelas 14 e 15 apresentam os resultados experimentais e as 

previsões dos modelos teóricos. São apresentados também os coeficientes k e dos 

respectivos modelos de confinamento. 

Tabela 14 - Pilar C0S50: resultados experimentais x teóricos 

C0S50 

f co = 26,16 MPa 

ε co = 2,028 k e f le 

f cc 

(MPa) 

f 

f 

cc 

cc. exp 

ε cc (‰) 

Experimental - - 39,44 - 8,552 - 

Richart et al. (1929) 1,000 3,831 41,87 1,062 8,116 0,949 

Mander et al. (1988) 0,869 3,328 44,14 1,119 8,996 1,052 

Cusson & Paultrè (1995) 0,869 3,328 39,13 0,992 8,337 0,975 

Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 3,831 46,59 1,181 9,946 1,163 

Miyauchi et al. (1997) 0,869 3,328 37,76 0,957 11,991 1,402 

Samaan et al. (1998) 0,869 3,328 40,08 1,016 - - 

Obs.: Nos modelos para PRFC adotou-se k e de MANDER et al. (1988) 

ε 

ε 

cc 

cc.exp 

As previsões mais próximas dos resultados experimentais do pilar C0S50 

foram as de CUSSON & PAULTRÈ (1995). O modelo de RICHART et al. (1929) 

também obteve bons resultados. Os modelos de MANDER et al. (1988) e de RAZVI & 

SAATCIOGLU (1999) superestimaram a resistência e a deformação última. As 

envoltórias de ruptura dos modelos para compósitos deram boas previsões da 

resistência. 



75 

Tabela 15 - Pilar C0S25: resultados experimentais x teóricos 

C0S25 

f co = 28,86 MPa 

ε co = 2,028 k e f le 

f cc 

(MPa) 

f 

f 

cc 

cc. exp 

ε cc (‰) 

Experimental - - 60,52 - 15,231 - 

Richart et al. (1929) 1,000 7,661 60,27 0,996 13,064 0,856 

Mander et al. (1988) 0,951 7,284 61,99 1,024 13,667 0,888 

Cusson & Paultrè (1995) 0,951 7,284 51,98 0,859 22,246 1,461 

Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 7,661 65,17 1,077 14,786 0,971 

Miyauchi et al. (1997) 0,951 7,284 52,24 0,863 14,891 0,978 

Samaan et al. (1998) 0,951 7,284 52,95 0,875 - - 

Obs.: Nos modelos para PRFC adotou-se k e de MANDER et al. (1988) 

ε 

ε 

cc 

cc.exp 

Os modelos de RICHART et al. (1929), MANDER et al. (1988) e RAZVI & 

SAATCIOGLU (1999) foram os de melhor desempenho na previsão da resistência e 

deformação última do pilar C0S25. CUSSON & PAULTRÈ (1995) previram resistência 

inferior à experimental e deformação última exagerada. Os modelos de confinamento 

com compósitos conduziram a ganhos de resistência inferiores aos obtidos 

experimentalmente. 

5.3 Efeito conjunto de confinamento 

Quatro dos pilares ensaiados possuíam armaduras transversais e camisa de 

reforço. Na Tabela 16 são apresentados os resultados experimentais de capacidade 

resistente, deslocamento e deformação axial última destes pilares. 

Tabela 16 - Resultados experimentais dos modelos encamisados e com armaduras 

Modelo n Espaçamento 

entre espirais (mm) ρ s (%) ε fu (‰) f co (MPa) F u (kN) ε cc.exp 

(‰) 

C1S50 1 50 1,01 11,00 26,16 1481,5 11,643 

C2S50 2 50 1,01 8,78 26,16 1854,7 15,837 

C1S25 1 25 2,03 10,63 28,86 1691,5 16,482 

C2S25 2 25 2,03 10,65 28,86 2097,4 19,185 

Foram realizadas comparações em termos de capacidade resistente dos 

resultados experimentais com as previsões dos modelos teóricos. Para obter a 

capacidade resistente por meio dos modelos teóricos calculou-se os ganhos de 

resistência do concreto devido ao confinamento no núcleo e na região externa ao 

núcleo. Adotou-se a superposição de pressões laterais de confinamento no núcleo. 

Adicionou-se aos esforços resistidos pelo concreto o esforço total das armaduras 

longitudinais (167,3 kN). Na Tabela 17 são apresentados os erros cometidos pelos 

modelos teóricos na previsão da capacidade resistente. 


76 


Tabela 17- Comparação - simulações teóricas x resultados experimentais 

ρs = 1% ρs = 2% 

Modelos teóricos 

C1S50 C2S50 

C1S25 C2S25 Média 

k e espiral k Erro (%) e espiral 

Erro (%) 

Richart et al. (1929) 1,000 6,09 -3,06 1,000 13,89 9,38 6,58 

Mander et al. (1988) 0,869 9,97 -2,48 0,951 12,83 4,06 6,10 

Cusson & Paultrè (1995) 0,869 -4,60 -17,05 0,951 -2,27 -12,11 -9,01 

Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 15,23 4,08 1,000 20,77 13,83 13,48 

Miyauchi et al. (1997) 0,869 -2,89 -12,08 0,951 4,02 -1,22 -3,04 

Samaan et al. (1998) 0,869 -2,07 -14,55 0,951 -0,60 -10,38 -6,90 

Média 4,30 -6,97 Média 8,97 1,12 1,85 

A utilização dos modelos teóricos na previsão da capacidade resistente dos 

pilares ensaiados forneceu bons resultados. Com exceção do modelo de CUSSON & 

PAULTRÈ (1995), os modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com aço 

obtiveram estimativas um pouco exageradas do ganho de resistência. A utilização de 

modelos de confinamento para compósitos resultou nas melhores previsões. 

6 CONCLUSÕES 

Observou-se significativos ganhos de capacidade resistente em todos os 

pilares reforçados com compósito de fibras de carbono, mesmo naqueles com 

maiores taxas de armadura transversal. O ganho de capacidade resistente com o 

encamisamento foi relativamente menor em pilares com maiores taxas de armadura 

transversal. O aumento da deformação última foi muito elevado nos pilares não 

armados. Nos pilares armados observou-se que para maiores taxas de armadura 

transversal ocorreram menores aumentos da ductilidade com o acréscimo do número 

de camadas de reforço. 

A deformação de ruptura das fibras de carbono nos pilares foi inferior à dos 

ensaios de caracterização. Ainda não foi possível identificar todas as variáveis que 

influenciam a deformação de ruptura das fibras. Observou-se nesta pesquisa que o 

aumento da taxa de armadura transversal provocou uma redução da deformação de 

ruptura das fibras, porém seria necessário um número maior de ensaios para 

comprovar esta influência. 

A sobreposição das pressões laterais no núcleo confinado demonstrou-se um 

procedimento adequado, tendo em vista os resultados obtidos com as simulações 

teóricas. Observou-se que os modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com 

aço tenderam a superestimar o ganho de resistência dos pilares reforçados com 

compósitos. 

Existem ainda outros aspectos, como a influência da forma da seção 

transversal, da excentricidade do carregamento e a deformação de ruptura das fibras, 

que merecem ser objeto de investigações futuras. 



77 


AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. (1995). ASTM D 3039/ D 

3039M - Standard test method for tensile properties of polymer matrix composite 

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ISSN 1809-5860 

TABULEIRO ORTÓTROPO TRELIÇADO 

PROTENDIDO TRANSVERSALMENTE PARA 

APLICAÇÃO EM PONTES DE MADEIRA 

Andrés Batista Cheung 1 & Carlito Calil Junior 2 

Resumo 

Este trabalho apresenta o estudo teórico e experimental do comportamento de placas 

ortótropas treliçadas protendidas transversalmente, sendo as ligações das barras das 

treliças com conector de chapas com dentes estampados (CDE), para aplicação em 

pontes de madeira observando as principais características do sistema como: avaliação 

do elemento estrutural e do modelo estrutural para verificação dos deslocamentos da 

placa. Para esta finalidade foram determinadas as propriedades dos materiais, 

elementos estruturais e níveis de protensão da placa. A avaliação das propriedades 

elásticas da placa foi realizada utilizando dois modelos numéricos, sendo um baseado 

no Método dos Elementos Finitos e o segundo em séries de Levy-Nadai. A aferição do 

modelo proposto foi realizado com o ensaio de um protótipo em escala real. Os 

resultados indicaram que a placa tem um ótimo comportamento para a utilização em 

pontes apresentando elevada rigidez e baixo consumo de madeira, e que os modelos 

propostos apresentaram-se consistentes para aplicação nos sistemas de placas 

ortótropas treliçadas com ligações de chapas com dentes estampados 

Palavras-chave: tabuleiro; ortótropo; treliçado; protendido; pontes. 


Para uma adequação da realidade nacional em níveis internacionais de 

desenvolvimento tecnológico e construção de pontes, é necessária a pesquisa de 

tecnologias já consagradas em outros países. O sistema protendido transversalmente, 

originário do Canadá em 1976, vem sendo empregado em países como Austrália, 

Canadá, EUA, Japão e Europa. No Brasil, os estudos sobre esta nova tecnologia 

ainda são bastantes recentes e buscam a adaptação tecnológica com madeiras 

nacionais e de reflorestamento. 

Porém o sistema laminado protendido transversalmente encontra limitações 

quanto ao vão (L

80 

Andrés Batista Cheung & Carlito Calil Junior 

transversalmente torna-se uma alternativa viável na construção de pontes com vãos 

maiores que 10m. 

O sistema é leve e de boa característica de resistência e rigidez para uso em 

pontes industrializadas de madeira. Além destas características, oferece outras 

vantagens: garantia de segurança, rapidez e economia no custo, possibilitando que os 

elementos estruturais sejam fabricados em série com produtividade maior que aquela 

verificada nos sistemas de carpintaria convencionais utilizados nas pontes de madeira 

no Brasil. 

Este sistema é constituído por treliças e espaçadores adjacentes uns aos 

outros que são associados a um sistema de protensão transversal que os mantém 

unidos apresentando um comportamento de placa ortótropa (Figura 1). Os sistemas 

protendidos são geralmente constituídos por barras de aço de diâmetros de 16mm à 

32mm, laminado a quente de alta resistência (ST 85/105 ou ST 105/125) da Dywidag. 

Porém outros sistemas de protensão podem ser utilizados como as cordoalhas de aço 

e fios de fibra de carbono. 

Barra Dywidag 

Espaçador 

Treliça 

Figura 1 - Sistema treliçado protendido transversalmente. 


Tabuleiro ortótropo treliçado protendido transversalmente para aplicação em pontes... 

81 

2 OBJETIVOS 

Dando continuidade aos estudos já existentes, este trabalho pretende 

contribuir para o projeto e construção de tabuleiros ortótropos treliçados protendidos 

transversalmente, investigando o comportamento de placa, por meio de ensaios em 

protótipo em escala real e ensaios complementares, enfatizando: 

1- Comparação dos métodos de classificação em peças com dimensões 

estruturais; 

2- Estudo da rigidez e resistência das ligações de chapas com dentes 

estampados; 

3- Avaliação de esforços e deslocamentos nos elementos estruturais 

treliçados e proposição de um modelo; 

4- Distribuição de carga no tabuleiro treliçado protendido; 

5- Elaboração de um protótipo da ponte para a avaliação dos deslocamentos 

e esforços; 

6- Adequação de um modelo estrutural para a avaliação dos deslocamentos e 

dos esforços solicitantes. 

Para investigar a perda de protensão que é um dos fatores importantes no 

comportamento da placa ao longo do tempo de serviço, avaliou-se em faixas 

representativas a influência da chapa com dentes estampados na perda de protensão 

final do sistema. 

3 TABULEIRO TRELIÇADO PROTENDIDO TRANSVERSALMENTE 

O sistema treliçado protendido é uma alternativa na construção de pontes de 

vãos médios de até 15m com seção transversal constante podendo ter várias 

combinações de geometria. O sistema apresenta elevada rigidez e um 

comportamento de placa. 

Espaçador 

Treliça 

Barras 

Protensão 

CDE 

Figura 2 - Arranjo do tabuleiro treliçado protendido transversalmente. 

Os estudos de distribuição transversal para pontes treliçadas protendidas não 

são suficientes para uma formulação mais consistente, afetando principalmente os 

modelos de análise estrutural que avaliam as tensões dos elementos e deslocamento 

da estrutura. O modelo sugerido pela AASHTO não apresenta resultados satisfatórios 

para serem adotados em projetos com este sistema e apresenta-se bastante 

conservador conforme descrito por RITTER (1992), DAGHER (1995). 


82 


Evidencia-se nos estudos experimentais admissões de níveis de protensão 

menores contribuindo para a diminuição da quantidade e diâmetro das barras de 

protensão. A perda de protensão é uma das desvantagens do sistema e apresenta-se 

como um importante ponto para a avaliação da estabilização do nível de protensão. 

Os modelos de Burger e empíricos demonstram-se como os mais adequados para a 

avaliação da perda de protensão, porém os modelos empíricos são mais aplicáveis 

devido à facilidade de utilização. O modelo empírico logarítmico é o que representa 

melhor a estabilização das forças de protensão porque possui a forma da perda de 

protensão, ou seja, obtêm-se a melhor correlação entre os dados. 

A industrialização é uma realidade para o sistema com a utilização de 

espécies de reflorestamento com peças de dimensões comerciais. Os tabuleiros 

podem ser facilmente pré-fabricados e içados através de guindastes colocando-os 

sobre os apoios (meso-estrutura). 

4 TRELIÇAS COM LIGAÇÕES DE CHAPAS COM DENTES ESTAMPADOS 

As ligações com chapas com dentes estampados possuem seu 

dimensionamento omitido pela NBR 7190:1997 e que confere aos fabricantes o 

fornecimento e a responsabilidade dos valores de resistência para os diversos modos 

de ruptura. Porém estabelece métodos de ensaios para determinações destas 

resistências para três modos de ruptura que são: tração, arrancamento e 

cisalhamento. 

Os modelos numéricos que foram utilizados para a consideração da 

deformabilidade das ligações foram baseados no EUROCODE 5-STEP (1991) e nos 

ensaios de tração nos conectores. 

Para a obtenção da rigidez axial (K) tem-se o resultado do ensaio de 

caracterização da ligação obtida nos ensaios de tração. Para a obtenção da rigidez à 

rotação é admitida a rigidez por dente de conector e elaborada a proporcionalidade da 

rigidez a partir de um centro de rotação. 

K 

R 

∑ 

= n 

j= 

1 

K 

dente 

. r 

2 

j 

(1) 

Considerando a geometria das ligações com CDE, a rigidez rotacional pode 

ser expressa segundo a expressão de Kessel. 

2 

2 

K 

R 

= K 

dente 

.( µ 

X 

eX 

+ µ 

Y 

eY 

) 

(2) 

µ 

m X 

X 

= 4 mY 

, 

i= 

1 

(3) 

µ 

∑( i − 0 5) 

mY 

Y 

= 4 m 

X 

, 

j= 

1 

(4) 

2 

∑( j − 0 5) 

2 



83 

m 

Y 

(5) 

= 

⎡ nY 

+ 1⎤ 

ABS⎢ 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ 

eX 

C 

C 

eY 

nY 

KR 

K 

nX 

Figura 3 - Geometria rotacional dos banzos. 

eX 

nX 

C 

nY 

eY 

KR 

C 

Figura 4 - Geometria rotacional das diagonais. 

Onde: 

e X 

e y 

n X 

n y 

C 

espaçamento dos dentes na direção “x”; 

espaçamento dos dentes na direção “y”; 

número de dentes na direção “x”; 

número de dentes na direção “y”; 

centros de rotações. 

5 SOLUÇÃO PARA PLACA ORTÓTROPA BI-APOIADA 

Para estudar o comportamento do tabuleiro houve a necessidade de 

investigar a solução de placa ortótropa. É utilizada a solução baseada em séries de 

Levy-Nadai que foram desenvolvidas por CUSENS & PAMA (1975) para um caso 

especial de placa bi-apoiada com rigidez na borda livre. A solução apresenta 

simplicidade sendo utilizada para o desenvolvimento de um programa para a 

aplicação em pontes treliçadas protendidas transversalmente. 


84 


6 MODELOS NUMÉRICOS PARA O PROJETO 

Pontes treliçadas protendidas transversalmente podem ser modeladas como 

placa ortótropa, com parâmetros elásticos equivalentes para tamanhos, formas, e 

materiais constituintes. A complexidade do material anisotrópico de painéis e 

tabuleiros pode ser reduzida para uma placa equivalente com propriedades elásticas 

em duas direções principais: paralela (x) e transversal (y) como mostrado na Figura 5. 

Estas propriedades de placa ortótropa equivalente podem ser diretamente utilizadas 

no projeto e análise de sistemas de pontes, servindo como simplificação dos modelos 

segundo ALTIMORRE (1995). 

REAL 

EQUIVALENTE 

y 

x 

DY 

Treliça 

Espaçador 

contribuinte 

DX 

DXY 

Figura 5 - Transformação da placa em uma equivalente elasticamente. 

Porém para a modelagem da placa ortótropa é necessária a obtenção dos 

parâmetros elásticos equivalentes que são obtidos através da determinação da rigidez 

da placa ( D 

X 

, DY 

, DXY 

). Uma ótima alternativa é a utilização da transformação da 

seção caixão multicelular já pesquisada por diversos autores. É importante lembrar 

que a determinação da rigidez longitudinal seja elaborada com o máximo de 

refinamento possível, pois a abordagem simplificada do elemento estrutural pode 

afetar no comportamento global da placa. 

A rigidez longitudinal do tabuleiro na direção x é expressa como o somatório da 

rigidez dos elementos. 

D 

x 

= nT 

DT 

(6) 

sendo n 

T 

o número de treliças; 

D 

T 

a rigidez de cada treliça. 

Um valor aproximado para a rigidez na direção transversal, D Y 

, pode ser 

obtido negligenciando o efeito dos diafragmas transversais e a rigidez obtida pela eq. 

(7), BROWN (1998). 

2 

E Lth 

D = 

Y 

Y 

2 

(7) 

onde 

Y 

E é o módulo de elasticidade na direção “y”; 

L é o comprimento da placa; 

t é a espessura dos banzos; 



85 

h é a altura da placa entre os centros geométricos da seção. 

A rigidez torsional da seção multi-celular, GJ, é avaliado pelo fluxo de 

cisalhamento em torno da seção transversal de tabuleiros multicelulares. Para uma 

estrutura onde as diagonais são pequenas quando comparadas as outras dimensões 

da seção, CUSENS & PAMA (1975) sugerem uma rigidez torsional expressa na eq. 

(8). 

2 

2( bh ) G .t 

XY 

2 

3 

GJ = 

+ G ( b + h )t 

XY 

b + h 3 

(8) 

Aplicando a geometria particular do problema pode-se simplifica-la na eq. (9). 

D 

XY 

(9) 

2 

bh G .t 

XY 

1 

= + G 

b + h 3 

XY 

( b + h ) 

t 

b 

3 

Para utilizar uma placa equivalente é necessária a obtenção dos novos 

parâmetros elásticos. Que podem ser obtidos através das eqs. (10), (11) e (12) 

descritas por TROITSKY (1987) para placa ortotrópica natural ou física. 

DX 

( E 

X 

) 

p 

= 12 ( 

XY YX 

) 

t 

3 

1− ν ν 

p 

.b 

p 

(10) 

DY 

( EY 

) 

p 

= 12 ( 

XY YX 

) 

t 

3 

1− ν ν 

p 

.L 

p 

(11) 

DXY 

( G 

XY 

) 

p 

= 6 

3 

t 

p 

(12) 

Desta forma os parâmetros elásticos ( E X 

) 

p 

e ( E Y 

) 

p 

representam os módulos 

elásticos para a placa equivalente ortotrópica, t p 

é a espessura da placa, b p 

é a 

largura da placa e L 

p 

o comprimento da placa. 

Assim é proposto como modelo mais adequado para a abordagem do 

problema a equivalência dos parâmetros elásticos para uma placa de ortotropia 

natural de solução conhecida. É apresentada a metodologia de transformação 

adaptada para o caso em questão, resultado de pesquisas de alguns autores como 

TROITSKY (1987), CUSENS & PAMA. (1975), BROWN (1998) e VELOSO (1999). 

7 MATERIAIS E MÉTODOS 

Para a utilização de madeiras de reflorestamento neste trabalho houve a 

necessidade da classificação devido ao alto índice de defeitos contidos nas peças 

estruturais. Assim foram conduzidos cinco tipos de ensaios de classificações nas 


86 


peças com dimensões estruturais: classificação visual, estática (MOE), mecânica por 

tensões (MSR), vibração transversal e ultra-som. 

Para a avaliação dos elementos estruturais treliçados foi necessário o estudo 

das ligações com chapas com dentes estampados onde se verificou a rigidez axial e a 

influência da geometria no modo de ruptura ao arrancamento. Sendo também 

investigada qualitativamente a deformação lenta dos conectores ao longo do tempo. 

Também foram efetuados 21 ensaios de flexão de elementos estruturais treliçados 

para a comparação dos resultados experimentais com os resultados teóricos. 

Esperando-se propor a melhor modelo para representar os deslocamentos das 

treliças. 

Como em todos os sistemas protendidos, os tabuleiros treliçados possuem 

perdas de protensão sendo uma das desvantagens do sistema. Com isso foram 

avaliadas através de faixas representativas essas perdas verificando a influência dos 

conectores na perda de protensão e sugerindo uma expressão de previsão. 

Como principal objetivo do trabalho foi investigado em uma faixa 

representativa de escala real diversos fatores como: força de protensão, 

deslocamentos e distribuição de cargas, através da instrumentação com transdutores 

de deslocamentos, extensometria e células de carga. 

7.1 Classificação das peças com dimensões estruturais 

Os lotes da pesquisa passaram por 5 classificações para a avaliação do módulo de 

elasticidade: 

1. classificação visual; 

2. classificação mecânica por tensões (MSR); 

3. classificação por vibração transversal; 

4. classificação por ultra-som; 

5. classificação estática. 

7.2 Caracterização das ligações 

Ensaio dos corpos-de-prova do aço das chapas 

Os corpos de prova foram realizados com as dimensões sugeridas pela ASTM 

E 8/96a para os ensaios de chapas metálicas que é sugerida pela ANSI/TPI (1995). 

Foi determinada a tensão ao escoamento da chapa, o alongamento total e a 

resistência dos corpos de prova. Foram ensaiados 20 CP’s, sendo 3 corpos de prova 

de um outro fabricante que será utilizado para comparação dos resultados. 

e 

59,40 

12,5 

81 

59,40 

Figura 6 - Corpo de prova do aço do CDE. 



87 

o 

o 

Ensaio de arrancamento nos conectores ( α = 0 e β = 0 ) 

Para a investigação do comportamento do conector deve-se conhecer a 

rigidez das ligações e o comportamento quando submetida a diferentes situações. 

Neste trabalho foram realizados somente ensaios de tração paralela ao eixo com α=0° 

e β=0°, sendo elaborados 6 ensaios preliminares e 32 ensaios definitivos para avaliar 

o efeito dimensão do conector na resistência última da ligação. A resistência foi 

estabelecida para uma deformação específica residual da ligação de 2%o, medida em 

uma base de referência padronizada, igual ao comprimento da chapa metálica como 

prescreve a NBR 7190:1997. 

7.3 Ensaio dos elementos estruturais 

Os testes de flexão estática foram elaborados segundo a norma ASTM 

D198/84 e a velocidade de 10 Mpa por minuto. Foram determinados os produtos de 

rigidez (EI) para a caracterização de 21 treliças com banzos paralelos previstos para a 

confecção da faixa do módulo do protótipo. 

Extensômetros 

P/2 

Cilindro Hidráulico (250kN) 

Célula de 

carga 

P/2 

12,5 

3.8 

51 

Rel. 01 

Rel. 02 Extensômetros 

Rel. 03 

600 

Figura 7 - Esquema para flexão estática para determinação do produto de rigidez. 

A montagem é apresentada na Figura 8. 

(a) 

(b) 

Figura 8 - (a) Prensagem (b) Furação para posterior passagem das barras de protensão. 


88 


7.4 Ensaio de perda de protensão 

Para o entendimento do comportamento final da perda de protensão foi 

realizado um ensaio em uma faixa para representar a influência da chapa na perda de 

protensão do tabuleiro protendido treliçado. Foram construídos 5 tabuleiros de 

95cmX160cmX20cm na tentativa de controlar melhor as variáveis mais perceptíveis 

nos corpos de prova de pequena dimensão. 

Os ensaios foram realizados com Pinus elliotti em uma sala climatizada com 

umidade de 65% e temperatura de 25ºC com o intuito de fixar as variáveis U e T, 

representando a classe de umidade 1 da NBR 7190:1997. Foi aplicada uma tensão de 

0,7 Mpa e não foram feitas reprotensões para a avaliação da perda protensão total e a 

tensão de estabilização do tabuleiro. 

20 

CP 1 

Relação (área de contato CDE/área da madeira) 

0,18 

Célula de carga 

DT 

(250kN) 

Barra Dywidag 

Ø 16mm 

CP 2 

DT 

DT 

19.75 

14.5 

Relação (área de contato CDE/área da madeira) 

0,074 


(250kN) 


(250kN) 

20 

60 

Barra Dywidag 

Ø 16mm 

DT 

16 

7.25 

160 

CP 3 

Controle ( sem chapas ) 


DT 

(250kN) 

95 

Barra Dywidag 

Ø 16mm 

DT 

Figura 9 - Esquema da instrumentação da faixa de perda de protensão. 

Para quantificar a distribuição de carga foi construída e instrumentada uma 

faixa da ponte em laboratório, para a realização de simulação do trem-tipo com o 

auxílio de cilindros hidráulicos. A faixa com 143,5cm de largura por 600cm de 

comprimento, foi composta por 21 treliças e 20 espaçadores. A instrumentação e o 

esquema de carregamento são apresentados nas Figuras 10, 11 e 12. 

147 

147 

147 

147 

(10 e 7) 

(1 e 4) 

(11 e 8) 

(2 e 5) 

(12 e 9) 

(3 e 6) 

EXTENSÔMETROS 

Figura 10 - Localização dos extensômetros elétricos. 



89 

147 

147 

147 

147 

10 

9 

13 

8 

72 

7 

6 

11 

5 

14 

4 

72 

3 

2 

12 

1 

15 

TRANSDUTORES DE DESLOCAMENTOS 

Figura 11 - Posicionamento dos transdutores de deslocamento (DT's). 

Figura 12 - Posições de carregamento distribuído, centrado e excêntricos. 

8 ANÁLISES DOS RESULTADOS 

8.1 Classificação das peças com dimensões estruturais 

Os dados da Tabela 1 representam o módulo de elasticidade, sob 4 tipos de 

tratamentos: Classificação por tensões (MSR), Classificação por Vibração 

Transversal, Classificação por Ultra-som. A Classificação Visual para efeito de análise 

não foi analisado, pois é assunto de outra dissertação de mestrado. 

Tabela 1 - Resumo das classificações 

ρ 

(kg/m³) 

MSR 

Módulos de Elasticidades (GPa) 

Vibração 

transversal 

Estático 

Ultra-som 

Média 555,8 13,1 13,2 13,1 13,9 

Desvio Padrão 91,9 5,0 4,0 4,1 4,1 

COV (%) 17% 38% 30% 31% 29% 


90 


Tabela 2 - Análise de variância 

Fonte de Variação SQ gl QM Fcal p 

Entre Classificação 

(Madeira) 

0,184 3 0,061 3,350 0,018 

Dentro das Classificações 

(Resíduos) 

40,913 2244 0,018 

Assim, pode-se testar que as médias dos três tratamentos não são iguais, 

sendo assim, considerar o seguinte teste de hipóteses, em termos dos efeitos de 

tratamentos: 

⎧H0 : τ1 

= τ2 

= L = τk 

= 0 

⎨ 

⎩H1 

: τt 

≠ 0, para pelo menos uma i 

(13) 

Portanto, para um nível de significância α = 0, 05 . A hipótese deve ser rejeitada se F cal 

> F tab , Fcal 

> F0,05;( 

k −1);( 

n−k 

) , isto é, a região de rejeição é R : F cal > F0,05;( 

k −1);( 

n−k 

) , assim 

da tabela F com (4-1) = 3 graus de liberdade e (2244-3) = 2241 graus de liberdade, 

tem-se F 0 , 05;( 

3; 

2241) 

= 2, 

60 , isto é, a região de rejeição é R : Fcal > 2, 60 . 

Dos dados observados, a estatística do teste, com objetivo de rejeitar ou não a 

hipótese nula dos tratamentos é dada pela razão F cal , isto é: 

0, 

061 

F cal 

= = 3, 

35 

0, 

0182 

(14) 

Decisão estatística: Como F cal 

= 3 , 35 > 2, 

60 rejeitar H 0 ao nível de significância 

α = 0,05 . 

De acordo com os dados a um nível de significância de α = 0, 05 , pode-se 

concluir que existe evidência estatística de que os 4 tipos de tratamentos produzem 

resultados de módulos médios diferentes. 

Observe que, considerando o p-valor da Tabela 12 e um nível α = 0, 05 , se 

obtém as mesmas conclusões, para tratamentos, isto é, rejeita-se H 0 . Neste caso o 

p-valor de tratamentos é 0,000. Lembrando que, rejeita-se H 0 se o p-valor do teste é 

menor que um nível α ( 0 ,01 < α < 0, 05 ). 

Portanto, para verificar quais são as médias que diferem entre si, utiliza-se o 

método de Tukey para verificação de todos os tratamentos. 

a) Teste de Tukey. 

Em geral, os resultados das comparações múltiplas pareadas ( k médias) são 

apresentados em uma tabela, tal como é ilustrado na Tabela 3. 



91 

Tabela 3 - Comparação múltiplas pareadas para as médias 

IC 95% (y i -y j ) MSR 

Vibração 

transversal 

Estático 

Vibração 

transversal 

Estático 

Ultra-som 

-0,0330 

0,0084 

-0,0210 -0,0088 

0,0203 0,0326 

-0,0424* -0,0301 -0,042* 

-0,0010 0,0112 -0,0007 

As diferenças estatisticamente significantes estão destacadas na Tabela 3 

com asterisco (*). Isto é, existe diferença estatisticamente significativa da classificação 

utilizando o ultra-som quando se compara a média do estático com o MSR. Porém 

percebe-se pelo teste F e pelo teste de Tukey que as médias estão muito próximas e 

que o limite superior dos intervalos de confiança do ultra-som podem se admitidos 

como 0 e sendo assim não existe diferença estatisticamente significativa entre as 

classificações. 

As análises demonstraram que os métodos apresentam-se como ótima 

alternativa de classificação de madeiras. O melhor desempenho foi da classificação 

por vibração transversal apresentando a menor dispersão e o melhor ajuste. Nos 

ajustes foi necessária a transformação dos dados para a escala logarítmica na base 

“e” pois os dados não apresentavam normalidade obtendo assim uma normalidade 

aproximada. 

Os demais métodos apresentaram resultados satisfatórios e confiáveis, sendo 

que o ultra-som apresentou resultados melhores que a classificação por tensões 

(MSR). Determinou-se os intervalos de previsão para um nível de confiança ( α ) de 

95 % para visualizar as dispersões dos resultados quando comparados com o modelo 

estatístico proposto. 

8.2 Ensaio dos corpos-de-prova do aço das chapas 

As chapas da GANG-NAIL apresentaram uma dispersão maior nos resultados 

possuindo um coeficiente de variação superior aos da chapa da COFAR. As chapas 

da COFAR apresentaram uma homogeneidade e resistência maior. Contudo o 

alongamento da chapa COFAR apresentou resultados inferiores (Figura 67) aos 

recomendados pela ASTM A446 Grau A que é um alongamento superior a 20%. O 

alongamento é o principal parâmetro na distribuição dos esforços em todos os dentes 

dando uma homogeneidade na ligação e caracterizando uma ruptura dúctil do 

elemento estrutural, ou seja, representa a ductibilidade do material. 

A chapa da GANG-NAIL apresentou as propriedades superiores a exigência 

da ASTM A446 Grau A, com tensões características f yk 

= 257, 

8MPa 

e 

fruptura, 

média = 315, 

5MPa 

com um alongamento de 21,1%. 


92 


A chapa da COFAR apresentou as propriedades de resistências superiores a 

exigência da ASTM A446 Grau A, com tensões características f yk 

= 554, 

0MPa 

e 

fruptura, 

média = 558, 

5MPa 

porém apresentou um alongamento 5,5% inferior ao 

recomendado. Contudo o número de corpos-de-prova foi muito pequeno não podendo 

concluir a respeito das propriedades mecânicas da chapa COFAR. As Figuras 13 e 

14. 

σ (Mpa) 

600 

500 

COFAR 

400 


GANG-NAIL 

(G80) 

200 

100 

0 

0,00 0,05 0,10 0,15 ε mm/mm 

0,20 

Figura 13 - Posições de carregamento distribuído, centrado e excêntricos. 

8.3 Ensaio de arrancamento nos conectores ( α = 0 

o 

e β = 0 o 

) 

Os 32 ensaios restantes foram realizados para investigar o fator dimensão na 

resistência ao arrancamento. Com isso fez-se testes estatísticos (ANOVA) para o 

estudo das médias comparando conectores de dimensões diferentes em ensaio de 

tração. Foi utilizada a máquina de tração Metriguard com capacidade de 890 KN com 

velocidade de carregamento recomendada pela NBR 7190:1997. 

(a) 

(b) 

Figura 14 - (a) Máquina de tração em peças estruturais (b) Esquema do ensaio realizado. 

A análise residual indicou que o modelo da distribuição normal é adequado 

para análise dos dados, sendo assim, a tabela de análise de variância pode ser 

utilizada para fazer inferências. 



93 

Tabela 4 - Análise de variância 

Fonte de variação SQ gl QM F cal p 

Entre as ligações 0,01441 1 0,0144 18,03 0,00 

Dentro das ligações 

(Resíduos). 

0,02398 30 0,0008 

Total 0,03838 31 

Com os dados pode-se testar que as médias dos três tratamentos não são 

iguais, sendo assim, considerar o seguinte teste de hipóteses, em termos dos efeitos 

de tratamentos: 

⎧H0 : τ1 

= τ2 

= L = τk 

= 0 

⎨ 

⎩H1 

: τt 

≠ 0, para pelo menos uma i 

(15) 

Assim, para um nível de significância α = 0, 05 . A hipótese deve ser rejeitada 

se F cal > F tab , Fcal 

> F0,05;( 

k −1);( 

n−k 

) , isto é, a região de rejeição é R : F cal > F0,05;( 

k −1);( 

n−k 

) , 

assim da tabela F com (4-1) = 1 graus de liberdade e (32-1) = 31 graus de liberdade, 

tem-se F 0 , 05;( 

1; 

31) 

= 4, 

17 , isto é, a região de rejeição é R : Fcal > 4, 17 . 

Dos dados observados, a estatística do teste, com objetivo de rejeitar ou não 

a hipótese nula dos tratamentos é dada pela razão F cal , isto é: 

0, 

0144 

F cal 

= = 18, 

03 

0, 

00079 

(16) 

Decisão estatística: Como F cal 

= 18 , 03 > 4, 

17 rejeitar H 0 ao nível de significância 

α = 0,05 . 

De acordo com os dados a um nível de significância de α = 0, 05 , pode-se 

concluir que existe evidência estatística de que os 2 tipos de tratamentos produzem 

resultados de resistências médias diferentes. 

Observe que, considerando o p-valor da Tabela 4 e um nível α = 0, 05 , se 

obtém as mesmas conclusões, para tratamentos, isto é, rejeita-se H 0 . Neste caso o 

p-valor de tratamentos é 0,000. Lembrando que, rejeita-se H 0 se o p-valor do teste é 

menor que um nível α ( 0 ,01 < α < 0, 05 ). 

Isto é, a tensão de arrancamento decresce à medida que se aumenta o 

número de dentes do conector evidenciando o efeito de grupo nos dentes. Os ensaios 

mostraram que a chapa 10,7x23,8cm apresentou 79,5% da tensão de arrancamento 

médio da chapa 10,7x13,7cm. Comprovando estatisticamente que existe diferença 

significativa entre as médias na tensão de arrancamento utilizando o teste estatístico 

“F” com um nível de significância de 5% e apresenta tensões características de 

f a , k 

= 0, 

149kN / dente para a chapa 10,7x13,7cm e f a , k 

= 0, 

128kN / dente para a 

chapa 10,7x23,8cm. 


94 


8.4 Ensaio dos elementos estruturais 

Os resultados teóricos obtidos através da modelagem sugerida para a 

consideração da deformabilidade das ligações mostraram-se como uma ótima 

alternativa. Na Figura 15 são apresentadas quatro (4) modelagens distintas: banzos 

contínuos e diagonais articuladas (sem deformabilidade das ligações – Tipo 1), 

banzos contínuos e diagonais articuladas com ligação dos banzos articuladas (Tipo 

2), pórtico (Tipo 3) e banzos contínuos com deformabilidade das ligações (Tipo 4). 

A Figura 15 indica que a abordagem de treliça ou pórtico sem a influência da 

deformabilidade das ligações apresenta resultados incompatíveis quando comparados 

aos resultados experimentais obtidos. Assim, após várias simulações optou-se pelo 

modelo que computa a rotação das diagonais com relação ao banzo e a 

deformabilidade axial das emendas dos banzos. Fica evidente que o modelo sugerido 

avalia os deslocamentos com uma melhor acurácia . 

0 

comprimento (cm) 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 

2 

4 

6 

8 

deslocamento (mm) 

10 

12 

14 

Tipo 1 

Tipo 2 

Tipo 3 

Tipo 4 

Experimental 

Figura 15 - Deslocamentos experimentais e numéricos da treliça 08. 

A investigação indicou que do modelo Tipo 2 (diagonais articuladas e 

emendas de banzo articuladas) apresentou uma diferença de 20% nos deslocamentos 

quando comparados com o resultado experimental. Já o modelo proposto apresenta 

uma diferença de 1,9% nos deslocamentos quando comparados com os resultados 

experimentais obtidos para a treliça 08, como mostrado na Figura 15. 

Desta forma, para analisar a importância da deformabilidade nas emendas 

dos banzos foi elaborado um segundo modelo sem a consideração da mesma, 

levando em consideração apenas a deformabilidade rotacional das diagonais. Foram 

realizadas simulações para os quatro tipos de carregamento para todas as 21 treliças 

confeccionadas. Posteriormente foi aplicado um teste estatístico para comparar os 

dados. 

Para verificar a contribuição da deformabilidade nas emendas dos banzos, foi 

feita uma análise estatística para cada carregamento entre o experimental e os dois 

modelos utilizados na análise. E ficou evidente que o melhor modelo para o 

carregamento de 12 kN é o modelo do tipo 2. Assim conclui-se que à medida que a 

força aumenta o modelo 1 fica menos representativo e o modelo 2 torna-se 

compatível, ou seja, a deformabilidade axial tem influência significativa para esforços 

mais elevados. Sendo assim o modelo 2 é mais adequado, pois é a favor da 



95 

segurança e mesmo não sendo estatisticamente compatível para pequenos esforços 

apresenta resultados bons para avaliação de deslocamentos em elementos 

estruturais treliçados (CDE). 

8.5 Ensaio de perda de protensão 

Os ensaios foram conduzidos em duas etapas devido ao espaço físico na sala 

climatizada, sendo 5 o total de faixas ensaiadas (2 CP1, 2 CP2 e 1 CP3) conforme 

descrito no item 7.4. O nível utilizado foi de 0,70 Mpa, pois é recomendado para 

projetos de sistemas protendidos. As Figuras 16 e 17 apresentam apenas os 

comportamentos de duas faixas, pois para a análise completa das perdas de 

protensão serão ajustados através da expressão logarítmica empírica. 

P 

P 

0 

(17) 

= a.ln( t ) + b 

O método utilizado é o dos mínimos quadrados que consiste em minimizar a 

⎛ P ⎞ 

função objetivo eq.(17), sendo a variável dependente a perda de protensão 

⎜ 

⎟ e a 

⎝ P 0 ⎠ 

variável independente (t) o tempo em dias e (d) o desvio, resíduo ou erro. 

2 2 

2 

d1 

+ d 

2 

+ ... + d 

n 

= mínimo 

(18) 

1,00 

P/Po 

0,95 

0,90 

0,85 

0,80 

0,75 

0,70 

0,65 

0,60 

0,55 

Barra 1 

Barra 2 

Barra 3 

0,50 

0 10 20 30 40 50 60 

Dias 

Figura 16 - Avaliação da perda de protensão tipo CP1. 


96 


P/Po 

1,00 

0,95 

0,90 

Barra 9 

Barra 8 

Barra 7 

0,85 

0,80 

0,75 

0,70 

0,65 

0,60 

0,55 

0,50 

0 10 20 30 40 50 60 

Dias 

Figura 17 - Avaliação da perda de protensão tipo CP2. 

A Tabela 5 apresenta resumidamente os 5 ensaios realizados nas faixas, 

sendo que os ensaios 1 e 2 apresentam CDE’s maiores que os ensaios 3 e 4. Já no 

ensaio 5 o tabuleiro é protendido sem a presença de CDE’s. 

Tabela 5 - Resultados da perda de protensão nas faixas representativas 

nº TIPO barra 

Perda de 

protensão 

(3dias) 

Desloc. 

Tabuleiro 

tempo: 3 dias 

(mm) 

Perda de 

protensão 

(7dias) 

Desloc. 

Tabuleiro 

tempo: 7 dias 

(mm) 

Perda de 

protensão 

(60dias) 

Desloc. 

Tabuleiro 

tempo: 60 dias 

(mm) 

1 15,90% 19,99% 36,51% 

1 CP1 2 16,90% 0,71 20,97% 1,02 34,91% 2,09 

3 14,40% 18,30% 36,46% 

4 14,80% 17,50% 26,20% 

2 CP1 5 16,30% 0,36 19,20% 0,40 27,50% 0,93 

6 11,50% 13,90% 22,60% 

7 13,44% 16,24% 34,02% 

3 CP2 8 18,39% 0,53 21,34% 0,75 36,36% 1,90 

9 18,13% 20,98% 38,38% 

10 13,90% 16,40% 25,10% 

4 CP2 11 15,10% -0,38 18,10% -0,35 26,60% 0,86 

12 10,00% 12,50% 21,80% 

13 22,40% 25,50% 32,80% 

5 CP3 14 17,90% -0,12 21,20% 0,44 26,70% 0,70 

15 18,10% 21,40% 29,00% 

(+) Encurtamento do tabuleiro 

(-) Alongamento do tabuleiro 

Devido o número de corpos-de-prova ser pequeno, foram analisados os 

resultados através das médias. Observa-se que a barra central possui uma perda de 

protensão maior que as barras das extremidades e que quando se compara os 

ensaios 1,2 e 5 nota-se que as perdas seguem a mesma tendência. A investigação 



97 

demonstrou que a faixa tem metade de suas perdas nos três primeiros dias, e 

apresentaram uma perda média de 30% no valor de protensão inicial em 60 dias. 

Verifica-se que o efeito de deformação lenta no tabuleiro quando submetido a 

tensões normais é importante na avaliação da perda de protensão, pois todos os 

tabuleiros apresentaram deslocamentos e que foram determinados através de 2 

transdutores de deslocamento. Pode-se visualizar que os ensaios 1 e 3 apresentaram 

perdas de protensões próximas e deslocamentos também muito próximos. 

As faixas com conectores apresentaram uma perda de protensão 18,30% 

maior que a faixa sem conectores, porém o aumento da área de conectores 

representou um acréscimo da perda de protensão em relação ao ensaio 3 em 0,82% 

e que pode ser desprezado. 

Após o ajustamento das curvas logarítmicas para cada barra, foi realizado um 

ajustamento com os dados médios dos ensaios 1 e 3 que resultaram na eq. (19). 

P 

P 

0 

(19) 

= −0, 

045.ln( t ) + 0, 

879 + 

Onde ( ε) 

f ( ε ) 

f é a função do erro. Para fins práticos de aplicação foi considerado 

que o erro tem um comportamento normalizado, ou seja, segue uma distribuição 

normal apesar da não realização de um teste de normalidade devido ao pequeno 

número de corpos-de-prova. Assim pode-se dizer que como a variância é constante e 

a média dos resíduos tende a zero f ( ε) = 0 . Podendo ser utilizado na estimativa das 

perdas nos tabuleiros treliçados a eq. (20). 

P 

P 

0 

(20) 

= −0, 

045.ln( t ) + 0, 

879 

8.6 Protótipo 

A montagem do protótipo é semelhante à montagem do tabuleiro de uma ponte 

treliçada protendida transversalmente e é apresentada nas Figuras 102,103 e 104, 

com os detalhes de protensão do protótipo e equipamentos utilizados para 

instrumentação conforme descrito no item 7.6. 

Figura 18 - Montagem por justaposição das treliças e espaçadores. 


98 


Figura 19 - Aplicação de protensão no protótipo através de bomba manual. 

Alguns cuidados são fundamentais na elaboração destas etapas: 

1. Deve ser mantida a verticalidade dos elementos, para não ocorrer tombamento 

progressivo dos elementos estruturais; 

2. A força de protensão deve ser aplicada de forma gradativa e alternada ao 

longo do tabuleiro e a estabilização do nível de protensão é um processo 

iterativo; 

3. Deve-se fazer a protensão no sentido centro do vão para extremidades para 

evitar diminuição das extremidades da placa; 

4. As barras de protensão devem ser colocadas na montagem, evitando 

problemas na passagem das barras posteriormente; 

5. É recomendada a proteção das barras por intermédio de bainhas de PVC 

imersos em graxa, para evitar o contato direto com a madeira tratada; 

A furação deve ser adequada para possíveis erros de furação nos banzos, geralmente 

o furo deve ser de no mínimo 2 .φ . 

BARRA 

Foram efetuados 4 tipos de posicionamento de carregamento sendo mostrados na 

Figura 20 e 21, porém para a análise das variações das forças de protensão serão 

importantes somente às variações obtidas no carregamento centrado e no 

carregamento excêntrico. 

Figura 20 - (a) Carregamento centrado (b) Carregamento excêntrico. 



99 

Figura 21 - (a) Carregamento direito (b) Carregamento distribuído. 

Nível de protensão 

Em todos os ensaios do protótipo as barras de protensão foram monitoradas 

com o intuito de controlar e identificar as forças de protensão atuantes, investigando 

11 barras de um total de 12 barras devido à limitação na aquisição de dados do 

sistema. A Tabela 6 mostra os níveis obtidos nos ensaios e o controle da força de 

protensão nas barras monitoradas com células de carga e observa-se que os níveis 

obtidos nos ensaios foram muito bons e próximos dos idealizados. 

Tabela 6 - Níveis de protensão obtidos nos ensaios do protótipo 

Condição 

Carregamento 


(MPa) 

idealizado 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,350 0,500 

centrada 0,000 0,055 0,110 0,168 0,197 0,363 0,491 

direita 0,000 0,055 0,104 0,160 0,195 0,362 0,502 

esquerda 0,000 0,053 0,103 0,168 0,195 0,360 0,473 

distribuída 0,000 0,056 0,109 0,168 0,198 0,362 0,482 

média 0,000 0,054 0,105 0,163 0,197 0,360 0,490 

A investigação indicou um comportamento de placa ao longo da seção 

transversal ficando evidente pelos deslocamentos apresentados na Figura 22. 

Observa-se que os deslocamentos diminuem à medida que se eleva o nível de 

protensão, porém os ganhos de rigidez tendem a estabilizar com baixas tensões de 

protensão quando comparados aos tabuleiros protendidos laminados serrados. 

A Figura 23 apresenta a diminuição da taxa de distribuição ( β 

i 

) à medida que se 

eleva o nível de protensão para os elementos em baixo do carregamento e uma 

elevação da taxa de distribuição para os elementos afastados do carregamento. 


100 


βi 

0,35 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0 MPa 

0,054MPa 

0,105 MPa 

0,163 MPa 

0,197 MPa 

0,360 MPa 

0,490 MPa 

0 20 40 60 80 100 120 140 

Distância da borda direita (cm) 

σpi 

Deslocamento no meio do vão (mm) 

0 20 40 60 80 100 120 140 

0,0 

-1,0 

-2,0 

-3,0 

-4,0 

-5,0 

-6,0 

-7,0 

-8,0 

-9,0 

-10,0 

262% 

Distância da borda direita (cm) 

σpi 

0 MPa 

0,054MPa 

0,105 MPa 

0,163 MPa 

0,197 MPa 

0,360 MPa 

0,490 MPa 

(a) 

(b) 

Figura 22 - (a) Distribuição de cargas (b) Deslocamentos com P=50kN para carregamento 

centrado. 

βi 

0,30 

0,28 

0,26 

0,24 

0,22 

0,20 

P= 50kN 

P=100kN 

P=150kN 

βi 

0,14 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,18 

0,16 

0,14 

0,12 

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 

σpi (MPa) 

0,04 

0,02 

P= 50kN 

P=100kN 

P=150kN 

0,00 

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 

σpi (MPa) 

(a) 

(b) 

Figura 23 - (a) Taxa de distribuição na posição 71,8cm (b) Taxa de distribuição na posição 

35,9cm para carregamento centrado. 

Comparação do modelo proposto com os resultados experimentais 

Para a validade dos modelos propostos, é necessária uma análise mais 

refinada com o objetivo de comparar os resultados obtidos experimentalmente com os 

resultados numéricos obtidos através do modelo proposto para avaliação das pontes 

protendidas através de transformação em placa equivalente. Foram utilizados dois 

programas para o cálculo dos deslocamentos da placa equivalente (SAP2000N e o 

AEP2.0). 

O SAP2000N é um software baseado no método dos elementos finitos, onde 

o elemento utilizado será o do tipo Shell com ortotropia. O elemento de SHELL é 

usado para modelar estruturas planas ou tridimensionais com comportamento de 

casca, membrana ou placas. O elemento de casca é montado a partir de três ou 

quatro nós que combina separadamente os comportamentos de membrana e de 

flexão de placas. Os elementos de quatro nós não necessariamente precisam ser coplanares. 

Para o comportamento de placas à flexão, existe um componente rotacional 

de rigidez nas duas direções fora do plano, e um componente translacional de rigidez 

na direção normal do plano do elemento. 



101 

Para cada elemento de SHELL na estrutura, pode-se escolher entre modela-lo 

como um elemento puro de membrana, placa ou comportamento total de casca. 

Normalmente, é recomendado que se use o comportamento de casca, a menos que 

toda estrutura seja plana e esteja adequadamente restringida. 

Como em todos elementos, ele possui seu próprio sistema de coordenadas, 

para definição das propriedades do material e direções das cargas, e interpretação 

dos resultados. Cada elemento pode ser carregado por gravidade e cargas uniformes 

em qualquer direção atuando na superfície, além de cargas devido a variações de 

temperatura. É utilizada uma formulação de integral numérica de 8 (oito) pontos para 

a rigidez dos elementos. 

EIXO 3 

EIXO 1 

EIXO 2 

EIXO 3 

EIXO 1 

EIXO 2 

FACE 3 

J4 

FACE 2 

FACE 1 

J2 

J3 

FACE 2 

FACE 1 

J2 

FACE 3 

J3 

FACE 4 

J1 

J1 

Figura 24 - Sistema local de coordenadas para o elemento tipo SHELL. 

Para a simulação foi utilizado o elemento do tipo SHELL com sua formulação 

baseada em placas (Plate) com influência da cortante (Thick). 

O AEP 2.0 é um programa baseado na formulação de placa ortótropa de 

Huber e sua resolução segue a metodologia sugerida por CUSENS & PAMA (1975) 

descrita no trabalho de CHEUNG (2003). 

O problema principal consiste em determinar as propriedades elásticas do 

tabuleiro sem a necessidade da realização de ensaios de placa em laboratório. Assim 

analisar-se-á primeiramente a obtenção da rigidez longitudinal através dos modelos 

sugeridos no item 6. 

Características geométricas do protótipo 

12.5 

50 

143.5 

Figura 25 - Geometria do protótipo. 


102 


Tabela 7 - Dados geométricos 

Geometria (cm) 

Espessura da placa equivalente 

Largura de placa 

Comprimento da placa 

Espessura dos banzos 

Altura das treliças CG 

30,0 

143,5 

587,5 

12,5 

37,5 

Tabela 8 - Coeficientes de rigidez propostos pelo modelo 

Par 

conector 

geometria 

K 

(kN/mm) 

Kdente 

(kN/mm) 

KR 

(kN/rad) 

10,7x13,7 fig. 87 101,6 5,6 7206,7 

23,8x10,7 fig. 88 179,6 5,4 19684,7 

Rigidez longitudinal ( D ) 

X 

Para a análise dos deslocamentos da treliça utilizar-se-á o modelo proposto 

no item 6.0 e que considera a deformabilidade das ligações. Os coeficientes de rigidez 

das ligações utilizados serão aqueles obtidos pelos modelos sugeridos e fornecidos 

na Tabela 7. O módulo de elasticidade dos banzos e das diagonais será a média de 

todos os banzos utilizados no protótipo e de todas diagonais e é dado pelas eqs. (21) 

e (22). 

E 

M ( BANZOS ) 

= 14108, 

0 MPa 

(21) 

E 

M ( DIAGONAIS ) 

= 13994, 

0 MPa 

(22) 

∆ u = 0 ,55cm 

→ F = 319, 9daN 

(23) 

Da eq. (24) obtêm-se D . 

T 

2 

D = 4,32E + 09 daN/cm 

T 

(24) 

Aplicando a eq. (6). 

2 

D = 90 , 76E 

+ 09 daN/cm 

X 

(25) 

Para comparar a rigidez obtida pelo modelo utiliza-se o ensaio de 

carregamento distribuído expresso na Tabela 9. 



103 

Tabela 9 - Resultados do carregamento distribuído 

Força (daN) 

σpi 

Dx 

5000 10000 15000 

(MPa) 

(daN.cm²) 

Deslocamentos (cm) 

0 0,265 0,558 0,873 7,98E+10 

0,054 0,226 0,428 0,632 9,34E+10 

0,105 0,216 0,416 0,611 9,77E+10 

0,163 0,216 0,413 0,607 9,77E+10 

0,197 0,228 0,432 0,63 9,25E+10 

0,36 0,232 0,433 0,626 9,11E+10 

0,49 0,242 0,455 0,648 8,71E+10 

Média 9,13E+10 


O valor obtido pelo modelo sugerido é 0,05% menor que o valor médio obtido pelo 

ensaio de carregamento distribuído ao longo da seção transversal, isto demonstra que 

o modelo proposto para a avaliação dos deslocamentos da treliça é adequado para a 

avaliação da rigidez longitudinal do tabuleiro. 

Rigidez transversal ( D ) 

Y 

A rigidez transversal pode ser estimada pela eq. (7), porém para a aplicação 

da equação é necessária a obtenção do E . Sugere-se então a expressão obtida por 

Y 

OKIMOTO (1997) em seu trabalho experimental de ensaio de placas, que avalia a 

rigidez transversal com o nível de protensão do tabuleiro (Tabela 10). Para 

comparação dos resultados serão sugeridos 3 níveis de protensão utilizados no 

ensaio do protótipo, e com isso determinar-se-á os coeficientes de rigidez 

transversais. 

Tabela 10 - Resultados dos coeficientes de rigidez transversal 

σpi 

(Mpa) 

E Y 

(daN/cm²) 

D Y 

(daN.cm²) 

0,105 231,9 1,20E+09 

0,163 329,3 1,70E+09 

0,197 386,3 1,99E+09 

Rigidez torsional ( D ) 

XY 

A rigidez torsional pode ser estimada pela eq. (9), porém para a aplicação da 

equação é necessária a obtenção do G . Sugere-se então a expressão obtida por 

XY 

OKIMOTO (1997) em seu trabalho experimental de ensaio de placas, que avalia a 

rigidez transversal com o nível de protensão do tabuleiro (Tabela 11). Para 

comparação dos resultados são sugeridos 3 níveis de protensão utilizados no ensaio 

do protótipo, e com isso determinar-se-á os coeficientes de rigidez torsionais. 


104 


Tabela 11 - Resultados dos coeficientes de rigidez torsionais 

σpi 

(Mpa) 

G XY 

(daN/cm²) 

D XY 

(daN.cm³/cm²) 

0,105 179,6 2,65E+06 

0,163 232,3 3,43E+06 

0,197 263,3 3,89E+06 

Transformação dos coeficientes de rigidez em propriedades elásticas 

equivalentes 

Para a avaliação dos deslocamentos e esforços na placa é necessária a 

transformação dos coeficientes de rigidez em propriedades elásticas de uma placa de 

espessura constante. Esta espessura deve ser escolhida arbitrariamente de forma 

que na transformação as propriedades transformadas dependerão da espessura 

adotada. Para transformação serão utilizadas as eqs. (10), (11) e (12) contidas no 

Capítulo 6, e serão mostradas em forma de tabela variando com o nível de protensão. 

Tabela 12 - Resultados da placa transformada 

σpi 

(Mpa) 

E X(P) 

(daN/cm²) 

E Y(P) 

(daN/cm²) 

G XY(P) 

(daN/cm²) 

0,105 281124,5 905,8 588,8 

0,163 281124,5 1286,2 761,9 

0,197 281124,5 1509,2 863,4 

Resultados experimentais vs. resultados numéricos (SAP e AEP) 

Os resultados foram obtidos utilizando 3 carregamentos centrados 

(50kN,100kN e 150kN) para as simulações com elementos finitos SAP e AEP 2.0 

(solução em séries). Para a solução em elementos finitos será apresentada a 

discretização da placa mostrando os elementos Shell (tipo plate) posicionados. 

Figura 24 - Discretização da faixa em elementos finitos do tipo SHELL (elemento plate). 



105 

Figura 25 - Deformada e diagrama de tensões na direção longitudinal. 

Tabela 13 - Resultados das comparações teórico vs. experimental para σ 

pi 

= 0, 

105MPa 

Distâncias da borda direita (cm) 

0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5 

Deslocamento vertical transversal (mm) 

P=50kN 

Experimental -1,9 -1,9 -2,3 -2,8 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,3 

SAP2000N -1,5 -1,9 -2,3 -2,7 -2,9 -2,7 -2,3 -1,9 -1,5 

AEP 2.0 -1,5 -1,9 -2,4 -2,4 -2,9 -2,4 -2,4 -1,9 -1,5 

Experimental -3,4 -3,5 -4,2 

P=100kN 

-5,6 -6,0 -5,0 -3,8 -3,0 -2,5 

SAP2000N -2,9 -3,8 -4,6 -5,4 -5,8 -5,4 -4,6 -3,8 -2,9 

AEP 2.0 -2,9 -3,9 -4,7 -4,8 -5,9 -4,8 -4,7 -3,9 -2,9 

P=150kN 

Experimental -4,5 -4,8 -5,9 -9,4 -10,0 -8,3 -5,4 -4,1 -3,5 

SAP2000N -4,4 -5,7 -7,0 -8,1 -8,6 -8,1 -7,0 -5,7 -4,4 

AEP 2.0 -4,4 -5,8 -7,1 -7,2 -8,8 -7,2 -7,1 -5,8 -4,4 


pi 

= 0, 

163MPa 


0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5 


P=50kN 

Experimental -1,8 -1,9 -2,2 -2,7 -2,9 -2,4 -2,0 -1,6 -1,4 

SAP2000N -1,6 -2,0 -2,3 -2,6 -2,7 -2,6 -2,3 -2,0 -1,6 

AEP 2.0 -1,7 -2,0 -2,3 -2,4 -2,8 -2,4 -2,3 -2,0 -1,7 


P=100kN 

-5,4 -6,1 -5,1 -4,2 -3,3 -3,1 

SAP2000N -3,3 -3,9 -4,6 -5,2 -5,4 -5,2 -4,6 -3,9 -3,2 

AEP 2.0 -3,3 -4,0 -4,6 -4,8 -5,6 -4,8 -4,6 -4,0 -3,3 

P=150kN 

Experimental -4,8 -5,1 -6,1 -8,0 -8,8 -7,2 -5,6 -4,3 -3,9 

SAP2000N -4,9 -5,9 -6,9 -7,8 -8,2 -7,8 -6,9 -5,9 -4,9 

AEP 2.0 -5,0 -6,1 -6,9 -7,1 -8,3 -7,1 -6,9 -6,1 -5,0 


106 



pi 

= 0, 

197MPa 


0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5 


P=50kN 

Experimental -1,8 -1,9 -2,2 -2,8 -3,1 -2,7 -2,3 -1,8 -1,7 

SAP2000N -1,7 -2,0 -2,3 -2,5 -2,7 -2,5 -2,3 -2,0 -1,7 

AEP 2.0 -1,8 -2,1 -2,3 -2,4 -2,7 -2,4 -2,3 -2,1 -1,8 


P=100kN 

-5,2 -5,8 -4,8 -3,8 -3,3 -2,7 

SAP2000N -3,4 -4,0 -4,6 -5,1 -5,3 -5,0 -4,6 -4,0 -3,4 

AEP 2.0 -3,5 -4,1 -4,5 -4,7 -5,5 -4,7 -4,5 -4,1 -3,5 

P=150kN 

Experimental -4,8 -5,1 -6,1 -8,0 -9,2 -7,6 -6,0 -4,7 -4,4 

SAP2000N -5,1 -6,0 -6,9 -7,6 -8,0 -7,6 -6,9 -6,0 -5,1 

AEP 2.0 -5,3 -6,2 -6,8 -7,1 -8,2 -7,1 -6,8 -6,2 -5,3 

Os modelos numéricos apresentaram-se próximos dos resultados 

experimentais, sendo que os melhores resultados foram obtidos para um nível de 

protensão de 0,1 Mpa apresentando diferenças de 5%. 

Além disso para 0,1 Mpa a rigidez transversal estabiliza com baixos níveis de 

protensões e a rigidez encontrada no modelo aumenta à medida que se aumenta os 

parâmetros elásticos E Y 

e G XY 

que são obtidas pelas expressões sugeridas por 

OKIMOTO (1997). Portanto conforme pode ser observado os resultados obtidos pelo 

SAP e pelo AEP são da mesma ordem de grandeza e considerando o trabalho 

necessário para a modelagem no SAP, recomenda-se a utilização do modelo 

proposto no AEP 2.0. 

Portanto, o modelo proposto que foi sugerido e investigado mostra-se como 

uma ótima alternativa de avaliação de deslocamentos e esforços como pode ser 

observado nos resultados obtidos e o programa AEP 2.0 mostrou-se como uma das 

alternativas na avaliação dos deslocamentos. 

9 CONCLUSÕES 

O sistema em tabuleiros ortótropos treliçados protendidos apresentam-se 

como uma ótima alternativa na aplicação em pontes utilizando madeiras de 

reflorestamento para confecção do sistema estrutural. O sistema possui uma 

modulação que pode ser facilmente utilizada para industrialização das pontes de 

madeira e uma solução para demanda de reconstrução e substituição destas no 

Brasil. 

Como o sistema utiliza-se de madeiras de reflorestamento é necessária uma 

classificação adequada devido à presença de defeitos. O trabalho mostrou que os 

métodos de classificação existentes são adequados para a estimativa do módulo de 

elasticidade em peças estruturais e identificou que a vibração transversal apresenta 

os melhores resultados quando comparados aos métodos analisados. Porém cada 



107 

método possui sua característica e vantagem como: automação, praticidade e 

mobilidade. 

Os ensaios no protótipo mostraram que o um sistema é bastante rígido o que 

melhora o desempenho do revestimento do tabuleiro com pavimentos flexíveis ou 

rígidos eliminando as fissuras evidenciadas nos tabuleiros protendidos serrado e 

laminado colado (MLC). 

A perda de protensão no sistema não é um problema de grande preocupação. 

A influência da chapa na perda de protensão foi percebida mais apresentou pouca 

variação quando comparada ao tabuleiro de controle (tabuleiros sem conectores). 

Nas ligações evidenciou-se que o tamanho dos conectores influencia a 

resistência final ao arrancamento, pois surgem efeitos de grupo e alinhamento dos 

dentes que reduzem a resistência. 

O sistema apresentou um comportamento de placa ortótropa e evidenciou a 

necessidade de um nível menor de protensão devido sua grande rigidez longitudinal e 

transversal quando submetida a níveis baixos de protensão. Recomenda-se que o 

nível de projeto para o sistema seja de no mínimo 0,1 Mpa, pois com este nível o 

sistema já apresenta grande capacidade de distribuição de cargas e mobiliza 

deslocamentos em toda seção transversal como pode ser visualizado nos ensaios 

realizados. Desta maneira o sistema apresenta uma economia no número e seção 

das barras de protensão. É recomendada a utilização de peças de alta densidade nas 

regiões de ancoragem devido ao problema de empenamento apresentado no 

protótipo quando este foi submetido a altas tensões de protensão. 

O modelo proposto para avaliação da rigidez das treliças utilizando CDE’s, 

computou a deformabilidade das emendas de banzos e das diagonais com os banzos 

devido à excentricidade das diagonais que convergem no “nó”. O modelo mostrou-se 

adequado e adota para a estimativa da rotação o modelo sugerido no STEP 5 

partindo da rigidez axial avaliada no ensaio de ligação. Os resultados apresentaram 

diferenças (2-15%) já que a variabilidade da rigidez no nó causa perturbações no 

modelo, e a rigidez axial foi admitida como sendo a média dos ensaios realizados 

para cada tipo de conector e que apresentaram coeficientes de variação conector 

(10,7x23,8cm) CV=21% e (10,7x13,7cm) CV=26%. 

O modelo proposto para o tabuleiro adota uma transformação da placa real 

em uma placa equivalente com parâmetros elásticos compatíveis para a equivalência 

da rigidez da placa. Os resultados apresentaram diferenças (5-10%) quando 

comparados com os valores experimentais obtidos no ponto central da placa. 

O programa AEP 2.0 é uma boa alternativa para o cálculo do tabuleiro 

ortótropo treliçado, pois apresentou resultados compatíveis com os resultados 

experimentais. O seu desenvolvimento para adequação do sistema tornou-o mais 

versátil e completo incluindo as transformações necessárias no seu código. Incluiu o 

perfil transversal de deslocamento automático retirando a entrada de dados de 

resultados no meio da seção transversal e facilitando a utilização. 


A Battistella Indústria e Comércio de Madeiras Ltda e a Gang-Nail pela 

doação de madeiras e conectores para realização deste trabalho. 


108 


Agradecemos ao Laboratório de Produtos Florestais/IBAMA pela concessão 

da máquina classificadora. 

Agradecemos à CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta 

pesquisa não poderia ter sido realizada. 


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ISSN 1809-5860 

PILARES DE CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA 

CONFINADOS POR ESTRIBOS RETANGULARES E 

COM ADIÇÃO DE FIBRAS DE AÇO 

Humberto Correia Lima Júnior 1 & José Samuel Giongo 2 

Resumo 

Neste trabalho apresentam-se os resultados de uma investigação experimental a 

respeito de pilares de concreto de alta resistência com adição de fibras metálicas e 

confinados com pequenas taxas de armadura transversais. Foram ensaiados 24 pilares 

de concreto de alta resistência com resistências à compressão de 68MPa e 91MPa, e 2 

pilares de resistência de 40MPa. Os pilares foram ensaiados à compressão centrada 

em equipamento com controle de deslocamento. As variáveis investigadas foram a taxa 

de armadura transversal, a taxa volumétrica de adição de fibras metálicas e a 

resistência do concreto. Os resultados indicam que a adição de fibras de aço não só 

melhora a ductilidade dos pilares com concretos de alta resistência, como também evita 

o desprendimento prematuro do cobrimento de concreto. Os resultados mostram ainda 

que, para se atingir um mesmo índice de ductilidade estabelecido para os pilares de 

concreto de alta resistência, a quantidade de aço empregada é a mesma quando são 

utilizados fibras ou estribos. Com base no estudo experimental propõe-se um modelo 

matemático para modelagem do comportamento dos pilares com concretos de alta 

resistência com adição de fibras metálicas e confinados com baixas taxas de armadura 

transversais. 

Palavras chaves: pilares; confinamento; fibras de aço; concreto de alta resistência; 

resistência à compressão; modelo matemático. 


A utilização do concreto de alta resistência (CAR) tem crescido nos últimos 

anos. Esse progresso pode ser explicado pelas melhores propriedades mecânicas 

deste material quando comparadas com as do concreto de resistência usual. As 

vantagens da utilização do CAR em elementos estruturais incluem maior capacidade 

resistente, menores dimensões, economia em fôrmas, menores deslocamentos, 

menor fluência e etc. Apesar das inúmeras vantagens, o concreto de alta resistência 

apresenta um comportamento frágil quando atingida a sua resistência, o que tem 

1 Professor do Departamento de Engenharia - Unioeste, correialima@unieoste.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jsgiongo@sc.usp.br 


112 

Humberto Correia Lima Júnior & José Samuel Giongo 

despertado o interesse de estudo de diversos pesquisadores (Bjerkeli et alii, 1990; 

Ibrahim e MacGregor, 1996; e Cusson e Paultre, 1994). Uma técnica bastante 

difundida para o aumento da ductilidade de pilares com CAR é o confinamento da 

seção transversal por meio de estribos metálicos (Samaan et alii, 1998; Razvi e 

Saatcioglu, 1999; e Lee e Son, 2000). Outra técnica para melhorar a ductilidade do 

CAR consiste na adição de fibras metálicas à massa do concreto. O maior problema 

desta última técnica reside na redução de trabalhabilidade do concreto fresco, quando 

elevadas taxas volumétricas de fibras são utilizadas (Bentur e Mindess, 1990). Este 

fato tem limitado a utilização de fibras metálicas em estruturas de concretos a taxas 

volumétricas inferiores a 2%. Para adições de fibras limitadas a este valor, observa-se 

que os aumentos da resistência, do módulo de elasticidade e da deformação 

correspondente à resistência do concreto são desprezíveis; contudo, observa-se uma 

considerável elevação dos índices de ductilidade do CAR, sendo possível garantir a 

este material os mesmos índices de ductilidade dos concretos de resistências usuais 

(Taerwe, 1992 e Hsu e Hsu, 1994). 

A maioria das pesquisas desenvolvidas a respeito da ductilização dos pilares 

com CAR, objetivava recomendar as normas nacionais e internacionais 

procedimentos para a aplicação desses elementos em condições de sismos. 

Entretanto, em países onde a atividade sísmica tem baixa intensidade, como no 

Brasil, as normas em geral desprezam os efeitos sísmicos nos procedimentos de 

cálculo e apenas sugerem quantidades mínimas de reforço para assegurar aos pilares 

uma deformabilidade aceitável. Baseado nesses fatos, uma investigação analíticoexperimental 

tem sido desenvolvida na Universidade de São Paulo – EESC visando 

estabelecer procedimentos de cálculo que garantam os mesmos índices de 

ductilidade dos pilares com concretos de resistências usuais aos com concretos de 

alta resistência. 

Deste modo, este trabalho relata uma investigação relativa ao comportamento 

estrutural de pilares com CAR com adição de fibras metálicas e com baixas taxas de 

confinamento transversal por meio de estribos. Os principais objetivos desta 

investigação foram: 1 – estudar o comportamento mecânico do reforço do concreto 

por meio de fibras metálicas e estribos; 2 – estudar a potencialidade do uso de fibras 

metálicas na substituição dos estribos na ductilização dos pilares com CAR; e 3 – 

investigar as quantidades mínimas de armadura transversal e taxas de adição de 

fibras capazes de garantir os mesmos índices de ductilidade dos pilares com 

concretos de resistências usuais aos com concretos de alta resistência. 

2 PROGRAMA EXPERIMENTAL 

2.1 Descrição dos pilares e procedimentos utilizados 

Na Figura 1 é ilustrada a geometria típica dos pilares ensaiados. Vinte e seis 

pilares foram moldados e ensaiados sob compressão centrada aplicada de modo 

monotônico. Os pilares apresentavam altura de 50cm e seção transversal quadrada 

com dimensão de 15cm. Os pilares foram dimensionados considerando um programa 

estatístico de experimento, no qual os efeitos de três fatores na ductilidade dos pilares 

foram avaliados: resistência do concreto; taxa volumétrica de armadura transversal; e 

índice de reforço pela adição de fibras metálicas. Duas condições de análises com 

uma réplica foram escolhidas para os dois primeiros fatores e três condições com uma 


Pilares de concreto de alta resistência confinados por estribos retangulares e com... 

113 

réplica para o último fator resultando em uma programação fatorial de 2x2x3x2=24 

pilares. Ainda, dois pilares com concreto de resistência usual (43MPa) foram incluídos 

no estudo com o objetivo de fornecer índices de ductilidade de referência. As 

resistências dos concretos de alta resistência foram 68 e 91MPa. Todos os pilares 

possuíam quatro barras, uma em cada canto da seção transversal, compondo a 

armadura longitudinal. As barras longitudinais tinham diâmetro de 12,5mm, tensão de 

escoamento do aço de 597MPa e módulo de elasticidade de 198GPa. A armadura 

transversal foi composta por estribos de 6,3mm de diâmetro, com ganchos dobrados a 

135 o e comprimento de 10 diâmetros. As barras de aço dos estribos apresentou 

resistência de escoamento de 656MPa e módulo de elasticidade de 201GPa, 

respectivamente. Dois espaçamentos entre estribos foram utilizados: 15cm e 5cm. As 

fibras de aço apresentavam baixo teor de carbono, com ganchos nas extremidades e 

fornecidas pelo fabricante coladas em grupos de 30 fibras. O fator de forma (l/d) e a 

tensão de escoamento das fibras eram de 80MPa e 1015MPa, respectivamente. Duas 

dosagens foram utilizadas: 40kg/m 3 e 80kg/m 3 . 

Figura 1 - Detalhes da geometria dos pilares. 

Sete dosagens de concretos foram utilizadas e suas proporções são 

apresentadas na Tabela 1. Os concretos eram constituídos por areia de origem local, 

agregado graúdo de origem basáltica com diâmetro máximo de 19mm, cimento tipo I 

segundo a ASTM 150, sílica ativa e super-plastificante. Três corpos-de-prova 

cilíndricos (150mm x 300mm) foram moldados para cada dosagem e as curvas tensão 

vs. deformação dos diversos concretos são apresentadas na Figura 2. Na Figura 3 

apresentam-se as curvas tensão vs. deformação das armaduras utilizadas. 

Os pilares foram concretados três a três, na vertical, em fôrma de madeira 

compensada, escorada por sarrafo de pinus, sendo o concreto lançado através da 

face superior das mesmas, e vibrado mecanicamente por meio de vibrador de agulha. 

Após a concretagem, os pilares permaneceram nas fôrmas por um período de 24h. 

Durante esse período foram dispostas nas extremidades expostas dos pilares 

espumas umidificadas. Após o período de 24h, os pilares foram retirados das fôrmas 

e levados à uma câmara úmida, onde permaneceram por sete dias. 


114 


Tabela 1 - Proporções dos materiais dos concretos 

Mistura 

Água/ 

cimento 

Dosagem 

Dosagem 

de Fibras 

(kg/m 3 ) 

Teor de 

sílica ativa 

Superplastificante/ 

cimento 

Resistência à 

compressão 

(MPa) 

1 0,54 1:2,14:2,37 0 0,1 0,025 68 

2 0,54 1:2,14:2,37 40 0,1 0,025 68 

3 0,54 1:2,14:2,37 80 0,1 0,025 68 

4 0,38 1:1,13:1,61 0 0,1 0,025 91 

5 0,38 1:1,13:1,61 40 0,1 0,025 91 

6 0,38 1:1,13:1,61 80 0,1 0,025 91 

7 0,58 1:1,96:2,84 0 - - 43 

Figura 2 - Diagramas tensão vs. deformação dos concretos. 

Figura 3 - Diagrama tensão vs. deformação da armadura. 



115 

Os pilares foram nomeados segundo suas propriedades físicas de P-N-X-Y-Z, 

sendo N correspondente ao número da réplica, X à resistência do concreto, Y ao 

espaçamento entre estribos e Z à taxa volumétrica de adição de fibras. Deste modo, o 

pilar com o código P268150, é o segundo pilar com 68MPa de resistência do 

concreto, com estribos espaçados a cada 15cm e 0% de adição de fibras. Na Tabela 

2 são apresentadas as propriedades de todos os pilares ensaiados. 

Ao término do período de cura, os pilares foram retirados da câmara úmida e 

tiveram suas extremidades capeadas com enxofre de modo a corrigir pequenas 

imperfeições e garantir o paralelismo das mesmas. Para garantir que os colapsos dos 

pilares ocorressem na região de análise, nas extremidades dos pilares foram 

colocados colares metálicos constituídos por chapas de aço 1020 com 12,5mm de 

espessura e estribos a cada 2,5cm. 

Tabela 2 - Resumo das propriedades dos pilares 

f’ 

Pilar 

c S V f ε c σ s 

α 

P 

(MPa) (mm) (%) (‰) (MPa) (kN) (kN) test /P 2 

ε 

o ID h 

exp pós 

(‰) 

P14315 2,49 493,2 983 1033 0,95 0,783 1,102 0,702 

43 150 0,0 

P24315 

2,73 539,6 1016 1056 0,96 0,794 1,098 1,338 

P168150 2,55 503,5 1480 1404 1,05 0,838 1,051 1,062 

68 150 0,0 

P268150 

2,48 491,2 1438 1398 1,03 0,801 0,927 1,599 

P16850 2,83 559,4 1557 1432 1,09 0,871 1,411 0,752 

68 50 0,0 

P26850 

3,25 597,5 1525 1450 1,05 0,837 1,339 1,838 

P1681505 2,41 476,0 1629 1391 1,17 0,901 1,125 0,471 

68 150 0,5 

P2681505 

2,80 553,7 1661 1429 1,16 0,904 1,330 0,946 

P168505 2,62 517,5 1588 1411 1,13 0,864 1,777 1,097 

68 50 0,5 

P268505 

2,79 551,5 1799 1428 1,26 0,980 1,449 0,798 

P168151 2,90 574,3 1741 1439 1,21 0,969 1,304 1,088 

68 150 1,0 

P268151 

2,58 509,4 1640 1407 1,17 0,927 1,446 1,191 

P16851 2,79 552,3 1678 1428 1,17 0,939 1,871 1,151 

68 50 1,0 

P26851 

3,96 597,5 1760 1303 1,21 0,979 1,688 3,156 

P191150 2,57 508,6 1882 1719 1,09 0,760 0,872 0,656 

91 150 0,0 

P291150 

3,32 597,8 1924 1763 1,09 0,760 0,704 0,665 

P19150 3,15 597,5 1853 1762 1,05 0,727 1,390 1,950 

91 50 0,0 

P29150 

3,46 597,5 1891 1762 1,07 0,744 1,313 2,154 

P1911505 2,70 534,1 1793 1731 1,04 0,738 1,019 0,934 

91 150 0,5 

P2911505 

2,54 503,3 1724 1716 1,00 0,708 1,031 1,418 

P191505 3,62 597,5 2019 1762 1,15 0,835 1,600 1,304 

91 50 0,5 

P291505 

2,78 549,7 1906 1739 1,10 0,781 1,340 2,155 

P191151 2,97 586,5 1828 1757 1,04 0,872 1,455 1,120 

91 150 1,0 

P291151 

3,43 597,5 1748 1762 0,99 0,823 1,057 1,121 

P19151 3,66 597,5 1993 1762 1,13 0,962 1,451 1,046 

91 50 1,0 

P29151 

3,68 597,5 1909 1762 1,08 0,915 1,383 1,483 

P test 

P o 

A instrumentação dos pilares foi composta por dois extensômetros de 

resistência, dispostos em dois ramos do estribo e localizados no ponto médio ao longo 

da altura do modelo; dois extensômetros de resistência posicionados em duas barras 

da armadura longitudinal, também localizados próximos à seção transversal média ao 

longo da altura do modelo, como apresentado na Figura 1. Quatro LVDTs foram 

posicionados, um em cada face dos pilares, presos a colares de aço fixados aos 

pilares por meio de 4 parafusos de 19mm de aço de alta resistência. O comprimento 


116 


de avaliação dos deslocamentos foi de 300mm. Os pilares foram ensaiados com 

controle de deslocamento em uma prensa hidráulica com capacidade de força de 

3000kN. O deslocamento foi aplicado de modo quase estático automaticamente a 

uma taxa de deformação de 0,005mm/m·s até a etapa correspondente a 70% da força 

máxima, localizado no trecho descendente do diagrama força vs. deformação e de 

0,01mm/m.s para o resto do ensaio. As leituras dos instrumentos foram realizadas 

automaticamente na freqüência de 10Hz. O ensaio era finalizado quando a 

deformação do pilar atingia cerca de 2%. Na Figura 4 apresentam-se detalhes do 

modo de ensaio. 

2.2 Comportamento geral 

Os colares metálicos apresentaram excelente desempenho, em nenhum 

ensaio foi detectado escorregamento dos mesmos, nem tampouco fissuras e ruína 

das extremidades dos pilares. Na Figura 5 apresentam-se detalhes dos pilares após 

ensaio. Todos os pilares apresentaram respostas similares até a força máxima. As 

primeiras fissuras foram observadas quando as deformações axiais atingiram 

aproximadamente 2‰. Após esta deformação observou-se que as fissuras 

propagavam-se verticalmente e suas aberturas aumentavam progressivamente. Nos 

pilares sem adição de fibras e com espaçamento de 15cm entre estribos observaramse 

desprendimentos de grandes massas de concretos, tanto nos pilares com 

concretos de alta resistência, como nos de resistência usual. Nos pilares sem adição 

de fibras e com espaçamento entre estribos de 5cm observou-se o completo 

descolamento do cobrimento logo após ser atingida a força máxima resistida por 

esses elementos. Entretanto, não foi observado desprendimento de grandes massas 

de concreto da região do núcleo dos pilares. Ao término dos ensaios, esses pilares 

apresentavam toda a região do núcleo de concreto íntegra. Finalmente, durante os 

ensaios dos pilares com adições de fibras não foi observado desprendimento do 

cobrimento, nem tampouco de grandes massas de concreto do núcleo, mesmo para 

aqueles com espaçamentos entre estribos de 15cm. Apesar do elevado grau de 

fissuração, esses pilares permaneceram íntegros após o termino dos ensaios. 

Os pilares com concreto com resistência de 91MPa rompeu de modo muito 

mais frágil que os de 68MPa, especialmente aqueles com espaçamento entre estribos 

de 15cm e sem adição de fibras. Nesses pilares o colapso foi tão brusco que foi 

impossível obter o completo comportamento pós-pico do pilar P291150. 

Apenas nos pilares sem adições de fibras foi possível detectar planos de 

cisalhamento de ruptura definidos, como apresentado na Figura 6. Os pilares com 

concretos de resistência média de 43MPa apresentaram plano de cisalhamento com 

inclinação média (α) de 57 o e desvio padrão de ±2,5 o . Os pilares com concreto de 

resistência média à compressão de 68MPa e espaçamento entre os estribos de 15cm 

e 5cm apresentaram ângulos de cisalhamento médios de 57 o e 53 o , respectivamente 

e desvios padrão de ±1,8 o e ±1,2 o , respectivamente. Já os pilares com concreto de 

resistência média à compressão de 91MPa e espaçamento entre os estribos de 15cm 

e 5cm apresentaram ângulos de cisalhamento médios de 59 o e 50 o , respectivamente, 

e desvios padrão de ±2,8 o e ±2,2 o , respectivamente. Verificou-se que o ângulo de 

inclinação do plano de ruptura diminuiu com o aumento da taxa de armadura 

transversal e que praticamente permanece inalterado com a elevação da resistência à 

compressão do concreto. 



117 

Figura 4 - Detalhes do ensaio dos pilares. 

a) 

b) 

Figura 5 - Aparência dos pilares após serem ensaiados: a) Pilares sem adição de fibras e b) 

Pilares com adição de fibras. 


118 


Figura 6 - Plano de cisalhante de colapso dos pilares. 

As flambagens das barras da armadura longitudinais sempre ocorreram 

depois de ter sido atingida a força máxima dos pilares, e se mostraram mais críticas 

nos pilares com espaçamento entre estribos de 15cm. Nos pilares com espaçamento 

entre estribos de 5cm, as barras longitudinais flambaram apenas para grandes 

deformações. Nos pilares com adição de fibras, constatou-se que, como não houve 

perda de massa de concreto, e, deste modo, as barras de aço permaneceram 

encapsuladas por um período mais longo, as flambagens destas foram retardadas. 

Finalmente, observou-se uniformidade nas forças máximas resistidas e nos 

trechos ascendentes do diagrama força vs. deformação entre os pilares gêmeos; 

contudo, observou-se certa discrepância nos trechos descendentes dos diagramas 

desses pilares, como evidenciado nas Figuras 7 e 8. 

2.3 Análise da força máxima 

A grande maioria das normas de dimensionamento de estruturas de concreto 

armado sugere que a capacidade de resistência de pilares curtos pode ser calculada 

pela Eq.(1): 

P 

o 

= f ⋅( 

A − A ) + σ ⋅ A 

Eq.(1) 

c 

g 

s 

s 

s 

na qual A g é a área da seção transversal do pilar, A s é a área da seção transversal da 

amadura longitudinal e σ s é a tensão na armadura longitudinal correspondente à 

deformação do pilar no instante em que é atingida a força máxima, e f c é a resistência 

do concreto na estrutura dada pela Eq.(2): 

f c ⋅ f ' c 

= α Eq.(2) 



119 

a) 

b) 

Figura 7 - Diagramas força vs. deformação dos pilares ensaiados: a) pilares com concretos 

com resistência 68MPa e b) pilares com concretos com resistência 91MPa. 

na qual f’ c é a resistência à compressão média do concreto obtida por meio de ensaio 

em corpos-de-prova cilíndricos (15cm x 30cm) e α um coeficiente dado pela Eq.(3): 

α = α 

Eq.(3) 

1 ⋅α 

2 ⋅α 

3 

na qual, por sua vez, α 1 é um coeficiente que leva em conta o acréscimo de 

resistência do concreto após 28 dias, α 2 é um coeficiente que leva em consideração a 

estimativa da resistência do concreto nas estruturas quando avaliadas por meio de 

corpos-de-prova e α 3 considera a diminuição da resistência do concreto para ações 

de longa duração. A maioria das normas internacionais assume α 1 , α 2 e α 3 como 1,2, 

0,95 e 0,75, respectivamente, resultando α igual a 0,85 (ACI, 1995; CSA, 1994; FIB, 

1999 e NBR 6118:2003). Entretanto, como no presente trabalho, especificamente, a 

resistência do concreto foi avaliada no dia do ensaio e a força foi aplicada de modo 

quase estático em um curto intervalo de tempo, os valores α 1 e α 3 foram considerados 

iguais à unidade. Usualmente, o valor de α 2 é assumido constante; contudo, Lima 

Junior. (2003) mostrou que este coeficiente varia com a resistência do concreto. 

Assumindo que α 1 e α 3 são iguais a 1,2 e 0,75, e usando a Eq.(3), o autor (op. cit.) 

mostrou que os valores mais realistas de α 2 são os sugeridos pela Norma Norueguesa 

(NBR, 1989), os quais podem ser calculados pela Eq.(4): 

( ′) 

α =−0,136 ⋅ l n f + 1,347 

Eq.(4) 

2 c 


120 


a) 

b) 

Figura 8 - Comportamento experimental dos pilares com resistência usual: a) Diagrama força 

vs. deformação axial e b) Diagrama deformação na armadura transversal vs. 

deformação axial. 

Na Tabela 2 são apresentadas as forças máximas experimentais e teóricas 

dos pilares calculadas. As forças teóricas foram calculadas com base nas Eq.(1) e 

Eq.(4). Não foi observado ganho na capacidade resistente dos pilares com a adição 

de fibras metálica, nem tampouco, com a elevação da taxa de armadura transversal. 

A discrepância entre as forças experimentais dos pilares gêmeos foi pequena. As 

relações entre as forças experimentais e teóricas variaram entre 0,95 e 1,26, com 

valor médio de 1,09. Considerando apenas os pilares sem adição de fibras o valor 

médio entre as forças experimentais e teóricas foi de 1,04, o que indica excelente 

concordância entre os valores experimentais e as equações Eq.(1) e Eq.(4). Já 

considerando apenas os pilares com adição de fibras o valor médio foi de 1,13. 

Com o intuito de verificar a influência da taxa de adição de fibra (fator X1), da 

resistência do concreto (fator X2) e da taxa de armadura transversal (fator X3) nos 

coeficiente α 2 , foi realizada uma análise de variância com os valores desse coeficiente 

obtidos experimentalmente. Assim, para calcular os valores experimentais de α 2 , 

adotaram-se os seguintes procedimentos: a força última resistida apenas pelo 

concreto é dada como sendo a força última experimental resistida pelos pilares, 



121 

menos a parcela resistida pela armadura longitudinal; a tensão última resistida pelo 

concreto é calculada dividindo-se a força última resistida por este material pela área 

total da seção transversal dos pilares menos a área da armadura longitudinal; e α 2 é 

calculado dividindo-se o valor obtido para tensão no concreto nos pilares pela 

resistência à compressão do concreto obtida por meio de corpos-de-prova cilíndricos 

15cm x 30cm. Na Tabela 2 apresentam-se os valores experimentais de α 2 . 

Para realizar a análise de variância, os graus de significância do efeito de 

cada fator foram testados para graus de confiabilidade de 95% e 99%, usando-se o F 

teste (Montgomery, 1984). Na Tabela 3 apresentam-se os resultados da análise de 

variância realizada. Verifica-se que a taxa de adição de fibras e a resistência do 

concreto influenciam os valores do coeficiente α 2 para um grau de confiabilidade de 

99% e a taxa de armadura transversal para um grau de confiabilidade de 95%. 

Entretanto, os acoplamentos entre esses fatores não mostraram influência 

significativa nos valores de α 2 , considerando-se também um grau de confiabilidade de 

99% e 95%. Constatou-se ainda que, o fator de maior relevância é a resistência do 

concreto seguido da taxa de adição de fibras e da taxa de armadura transversal. Com 

base nesses resultados pode-se afirmar que os valores de α 2 são influenciados pelos 

três fatores analisados; contudo, a grande maioria das normas não considera esta 

influência. 

2.4 Ductilidade 

Para avaliação da ductilidade dos concretos dos pilares ensaiados, o índice 

de ductilidade proposto por Lima Júnior e Giongo (2001) foi usado. Este índice é 

baseado na análise de todos os pontos do trecho descendente do diagrama tensão 

vs. deformação do concreto dos pilares, limitados entre a deformação correspondente, 

a tensão de pico e a deformação igual a três vezes àquela deformação. Deste modo, 

inicialmente, uma deformação paramétrica é calculada com base na Eq.(5): 

DPós 

3⋅ε 

c 

σ c ( ε )dε 

∫ 

εc 

= 

f c 

Eq.(5) 

na qual, ε c é a deformação correspondente à resistência do concreto na estrutura e 

σ c (ε) é a função que governa o diagrama tensão vs. deformação do concreto na 

estrutura. O índice de ductilidade pós-pico é definido como sendo a relação entre a 

deformação paramétrica calculada com base na Eq.(5) e a deformação de pico, e 

pode ser expressa pela Eq.(6): 

IDPós 

DPós 

= Eq.(6) 

ε 

c 

Seguindo este modelo de análise de ductilidade, os índices de ductilidade 

pós-pico dos concretos foram calculados para todos os pilares e são apresentados na 

Tabela 2. O índice de ductilidade médio para os pilares com concretos com 

resistência de 43MPa foi de 1,10. Foi observado que quando a resistência do concreto 

é elevada, o índice de ductilidade do concreto diminui; entretanto, menores 

espaçamentos e certas taxas de adição de fibras foram capazes de compensar este 


122 


efeito, garantindo ao concreto o mesmo índice de ductilidade dos concretos com 

resistência usual. 

Tabela 3 - Análise de variância do coeficiente α 2 

Variável 

Soma dos 

quadrados 

Graus de 

liberdade 

Média dos 

quadrados 

Fator 

(F o ) 

Mínimo valor requerido 

para o fator ser significante 

(F 0.05,n,23 ) e (F 0.01,n,23 ) 

Fatores 

principais 

X 1 0,07054 2 0,0353 30,16 3,42 - 5,66 

X 2 0,05851 1 0,0585 50,03 4,28 - 7,88 

X 3 0,00781 1 0,0078 6,68 4,28 - 7,88 

Interação 

dos fatores 

X 1 × X 2 0,00772 2 0,0039 3,30 3,42 - 5,66 

X 1 × X 3 0,00290 2 0,0015 1,24 3,42 - 5,66 

X 2 × X 3 0,00125 1 0,0012 1,07 4,28 - 7,88 

X 1 × X 2 × X 3 0,00584 2 0,0029 2,50 3,42 - 5,66 

Erro 0,01400 12 0,0012 - - 

Total 0,16861 23 - - - 

Para verificar a influência da taxa de adição de fibra (fator X 1 ), da resistência 

do concreto (fator X 2 ) e do espaçamento entre estribos (fator X 3 ) no índice de 

ductilidade do concreto, realizou-se uma análise de variância com os dados 

apresentados na Tabela 4. Com base nos resultados desta análise, verifica-se que os 

três fatores estudados influenciam a ductilidade dos pilares para graus de 

confiabilidade de 99%. O fator mais influente é a taxa de armadura transversal, 

seguido pela resistência do concreto e pela taxa de adição de fibras. A taxa de adição 

de fibras tem praticamente a mesma influência da resistência do concreto, isto 

significa que a perda de ductilidade com o aumento da resistência do concreto pode 

ser compensada com adição de fibras metálicas. Não se constatou influencia 

significativa dos acoplamentos dos fatores analisados para graus de confiabilidade de 

99%. Este fato implica que a superposição de efeitos é válida para a avaliação do 

ganho de ductilidade dos pilares, quando do aumento da taxa de armadura 

transversal e da taxa de adição de fibras. 

Com o objetivo de estabelecer uma equação para obtenção das taxas ideais 

de adição de fibra e de armadura transversal, realizou-se uma regressão polinomial 

linear com os valores dos índices de ductilidade dos concretos. Obteve-se uma 

equação polinomial com coeficiente de correlação, r 2 , de 94,6%. Assim, com base 

nesta análise, pode-se escrever que o índice de ductilidade pós-pico dos pilares 

submetidos à compressão centrada pode ser expresso pela Eq.(7): 

ID 

pós 

= 1,176 + 0,602 ⋅ 

−3 

ρ 

h 

+ 0,439 ⋅ R − 5, 762 ⋅10 

⋅ f ' 

Eq.(7) 

c 

na qual, ρ h é a taxa de armadura transversal dada pela Eq.(8), R é o índice de reforço 

da adição de fibras metálicas pela Eq.(9): 

( Astx 

+ Asty 

) 

ρ h = 

⋅100% 

Eq.(8) 

S ⋅( c + c ) 

x 

y 



123 

V f ⋅l f 

R = Eq.(9) 

φ 

f 

na qual, A stx e A sty são as áreas da seção transversal das armaduras de 

confinamento paralelas aos eixos x e y, respectivamente; c x e c y são as larguras do 

núcleo do pilar nas direções x e y, respectivamente; S é o espaçamento entre dois 

estribos consecutivos, V f é a taxa volumétrica de fibras de aço; l f e φ f são o 

comprimento e o diâmetro da fibra de aço, respectivamente. 

Para que os concretos de alta resistência dos pilares apresentem o mesmo 

índice de ductilidade do concreto de resistência usual, a taxa volumétrica de armadura 

transversal e/ou o índice de reforço da taxa volumétrica de adição fibras de aço 

devem ser calculados com base na Eq.(7), considerando o índice de ductilidade igual 

a 1,10. Assim, considerando um pilar com concreto com resistência de 80MPa, com 

as mesmas propriedades físicas dos pilares ensaiados, é possível utilizar apenas 

estribos espaçados a cada 8cm ou estribos espaçados a cada 15cm mais uma taxa 

de adição de fibras de aço de 0,52%. Nos dois casos, a massa de aço utilizada é a 

mesma, 1,9kg de aço por metro linear de pilar, e o concreto irá apresentar o mesmo 

índice de ductilidade do concreto com 43MPa. 

Tabela 4 - Análise de variância para os índices de ductilidade dos concretos dos pilares 

Variável 

Soma dos 

quadrados 

Graus de 

liberdade 

Média dos 

quadrados 

Fator 

(F o ) 

Mínimo valor requerido 

para o fator ser significante 

(F 0.05,n,23 ) e (F 0.01,n,23 ) 

Fatores 

principais 

X 1 0,447877 2 0,2239 10,997 3,42 - 5,66 

X 2 0,184275 1 0,1843 9,049 4,28 - 7,88 

X 3 0,916895 1 0,9169 45,024 4,28 - 7,88 

Interação 

dos fatores 

X 1 × X 2 0,016531 2 0,0083 0,406 3,42 - 5,66 

X 1 × X 3 0,038640 2 0,0193 0,949 3,42 - 5,66 

X 2 × X 3 0,000007 1 0,0000 0,000 4,28 - 7,88 

X 1 × X 2 × X 3 0,047162 2 0,0236 1,158 3,42 - 5,66 

Erro 0,244374 12 0,0204 - - 

Total 1,895762 23 - - - 

2.5 Deformação na armadura transversal 

Para analisar as deformações na armadura transversal, utilizou-se a média 

das duas leituras dos dois extensômetros dispostos no estribo a meia altura dos 

pilares. Na Tabela 2 apresentam-se as deformações médias do estribo central para a 

máxima força resistida pelos pilares. A deformação média nos estribos dos pilares de 

referência foi de aproximadamente de 0,1%, o que corresponde a apenas 31% da 

resistência de escoamento do aço (ε y =3,26‰). Para os pilares com concretos de alta 

resistência e espaçamento entre estribos de 15cm e 5cm, as deformações médias 

foram cerca de 31% e 48% da deformação de escoamento do aço, respectivamente. 


124 


Constata-se, assim, que o valor médio das deformações dos pilares de referência é 

exatamente igual ao obtido para os pilares com concreto de alta resistência e mesma 

taxa de armadura transversal. Ainda, observa-se que em nenhum caso foi verificado 

escoamento da armadura transversal para o instante em que foram atingidas as 

forças máximas dos pilares. 

Nas Figuras 8 e Figuras 9 apresentam-se os diagramas deformação na 

armadura transversal vs. deformação axial dos pilares. Apenas em quatro pilares os 

estribos não escoaram: P2681505, P168505, P191151 e P191505. Entretanto, 

observa-se que os estribos escoaram em todos os respectivos pilares gêmeos. Este 

fato aparentemente ocorreu de modo aleatório. Finalmente, observa-se que as 

armaduras transversais apenas atingiram o escoamento para deformação axial média 

da ordem de 6,5‰, deformação esta igual a, aproximadamente, duas vezes a 

deformação correspondente à força máxima resistida pelos pilares. 

Procurando avaliar a influência dos fatores estudados na deformação da 

armadura transversal, novamente foi realizada uma análise de variância, utilizando-se 

o mesmo procedimento anterior. Na Tabela 5 apresentam-se os resultados desta 

análise, na qual constata-se que, tanto a taxa de adição de fibra quanto a resistência 

do concreto, não influenciam a deformação da armadura transversal no instante em 

que é atingida a força máxima dos pilares, considerando um grau de confiabilidade de 

99%. Ainda, verifica-se que a taxa de armadura transversal interfere nos valores 

dessas deformações, para um grau de confiabilidade de 95%. Não é verificada 

influência de nenhum acoplamento entre os fatores, para um grau de confiabilidade de 

99%. Estas observações significam que, apesar da adição de fibras de aço 

aumentarem o coeficiente de Poisson do concreto e do aumento da resistência 

diminuir o coeficiente de Poisson do concreto, as influências desses dois fatores são 

insignificantes na deformação da armadura transversal correspondente à máxima 

força resistida pelos pilares com baixa taxa de confinamento. 



125 

a) 

b) 

Figura 9 - Diagrama deformação na armadura transversal vs. deformação axial dos pilares: a) 

Pilares com concretos de resistência 68MPa e b) Pilares com concretos de 

resistência 91MPa. 

Tabela 5 - Análise de variância das deformações na armadura transversal 

Variável 

Soma dos 

quadrados 

Graus de 

liberdade 

Média dos 

quadrados 

Fator 

(F o ) 

Mínimo valor requerido para 

o fator ser significante 

(F 0.05,n,23 ) e (F 0.01,n,23 ) 

Fatores 

principais 

X 1 0.32752 2 0.1638 0.561 3.42 - 5.66 

X 2 0.03060 1 0.0306 0.105 4.28 - 7.88 

X 3 1.82215 1 1.8222 6.243 4.28 - 7.88 

Interação dos 

fatores 

X 1 × X 2 1.16604 2 0.5830 1.998 3.42 - 5.66 

X 1 × X 3 0.08172 2 0.0409 0.140 3.42 - 5.66 

X 2 × X 3 0.12658 1 0.1265 0.434 4.28 - 7.88 

X 1 × X 2 × X 3 1.31948 2 0.6597 2.261 3.42 - 5.66 

Erro 3.50227 12 0.2919 - - 

Total 8.37638 23 - - - 


126 


3 MODIFICAÇÃO DO MODELO DE CUSSON E PAULTRE (1995) 

Baseado nos resultados experimentais apresentados nos itens anteriores, 

algumas modificações são propostas para que o modelo de Cusson e Paultre (1995) 

seja capaz de modelar pilares com CAR e adição de fibras. Deste modo, a resistência 

do concreto no elemento estrutural deve ser calculada por meio da Eq.(2). Na falta de 

resultados experimentais pode-se assumir os valores de α 1 e α 3 iguais a 1,2 e 0,75, 

respectivamente e α 2 calculado segundo a Eq.(4). 

Para o trecho ascendente do diagrama tensão vs. deformação do concreto 

confinado e/ou com adição de fibra, continua-se sugerindo a utilização da equação 

proposta por Popovics (1973) e que pode ser escrita pela Eq.(10): 

σ 

f 

c 

ccf 

= 

⎛ ε ⎞ 

β ⎜ 

c 

⋅ ⎟ 

ε 

⎝ ccf ⎠ 

( β −1) 

⎛ 

⎜ 

ε 

c 

+ 

⎝ ε 

ccf 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

β 

Eq.(10) 

sendo que, ε c é a deformação em um ponto qualquer do diagrama, ε ccf é a deformação 

correspondente à tensão máxima do concreto confinado e/ou adição de fibra, e, 

finalmente, β é um coeficiente expresso pela Eq.(11): 

E 

β = E − 

Eq.(11) 

c 

c 

( f / ε ) 

ccf 

ccf 

sendo que E c é o módulo de elasticidade do concreto. Para o trecho descendente do 

diagrama tensão vs. deformação do concreto confinado e/ou com adição de fibra, 

sugere-se, também, a equação proposta por Fafitis e Shah (1985), cuja formulação 

matemática é escrita por meio da Eq.(12): 

σ 

f 

c 

ccf 

k22 

( k ⋅ ( ε − ε ) ) 

= exp 

Eq.(12) 

11 

c 

ccf 

na qual k 22 é o coeficiente responsável pela curvatura da curva, e k 11 responsável pela 

inclinação da mesma, tendo sido ajustado por meio do ponto (ε 0,5ccf , 0,5f ccf ). Para o 

cálculo de k 22 utilizaram-se os pilares ensaiados por Cusson e Paultre (1993) e os 

ensaiados no presente trabalho. Para tanto, realizou-se uma análise de regressão 

não-linear e a equação resultante apresentou coeficiente de correlação, r 2 , da ordem 

de 92%. O coeficiente k 22 é dado na Eq.(13) e as representações gráficas da variação 

deste coeficiente com relação ao índice de reforço da taxa de adição das fibras e com 

relação ao índice de confinamento são apresentadas nas Figuras 10 e 11, 

respectivamente. 

k 

le 

le 

0,789 

22 

1,344 − 8,864 ⋅⎜ 

41,455 + 0,525⋅ 

R 

f ⎟ + ⋅⎜ 

c 

f ⎟ 

c 

2 

= 

⎛ f 

⎜ 

⎞ 

⎟ 

⎛ f 

⎜ 

⎞ 

⎟ 

Eq.(13) 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Na Eq. 13, f le é a pressão efetiva de confinamento. 



127 

Figura 10 - Variação de k 22 em relação ao índice de reforça da adição de fibra de aço. 

Figura 11 - Variação de k 22 em relação a pressão efetica de confinamento. 

O coeficiente k 11 pode é expresso pela equação Eq.(14): 

k 

11 

= 

ln(0,5 ) 

k 

( ε −ε ) 22 

0,5ccf 

ccf 

Eq.(14) 

sendo que ε 0,5ccf é a deformação no ramo descendente do diagrama tensão vs. 

deformação correspondente a 50% da tensão máxima. 

Utilizando os resultados experimentais dos trabalhos de Cusson e Paultre 

(1993), Nagashima et alii (1992) e deste trabalho, calculou-se o ganho de resistência 

do concreto confinado realizando-se análise de regressão. Este ganho de resistência 

é expresso pela Eq.(15) e sua variação com relação ao índice de confinamento é 

mostrada na Figura 12. 

f 

ccf 

f 

c 

1,0 

2,203 

⎛ f 

⎜ 

⎝ fc 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0,863 

le 

= + ⋅ 

Eq.(15) 


128 


Figura 12 - Variação do ganho de resistência em relação ao índice de confinamento. 

Para calcular o ganho de deformação correspondente à tensão máxima, 

novamente os ensaios de Cusson e Paultre (1993), de Nagashima et alii (1992) e do 

presente trabalho foram utilizados. Com base na regressão realizada pode-se 

escrever que o ganho de deformação pode ser expresso pela Eq.(16): 

1,7 

⎛ f ⎞ 

le 

−4 

ε 

ccf 

−ε 

co 

= 0,266 ⋅ 

⎜ + 3,2 ⋅10 

⋅ R 

f 

⎟ 

Eq.(16) 

⎝ c ⎠ 

A representação gráfica do efeito do índice de reforço da taxa volumétrica de 

adição de fibras na deformação ε 0,5fccf é apresentada na Figura 13. Novamente, os 

ensaios de Cusson e Paultre (1993), Nagashima et alii (1992) e deste trabalho foram 

utilizados para determinar o ganho na deformação ε 0,5fccf , o qual pode ser dado pela 

Eq.(17): 

1,1 

0 ⎛ f ⎞ ⎛ 

le 

R 

0,5ccf 0,5 fc 

,175 0,134 

fc 

f ⎟ ⎞ 

ε − ε = ⋅ 

⎜ 

⎟ + ⋅ 

⎜ 

Eq.(17) 

⎝ ⎠ ⎝ c ⎠ 

Na falta de resultados experimentais, a deformação correspondente à máxima 

tensão e a 50% da tensão máxima, as equações do FIB (1999) podem ser utilizadas. 

Deste modo, estas deformações podem ser expressas pelas Eq.(18) e Eq.(19), 

respectivamente: 

⎛ f ⎞ 

c 

ε = − − 

⎜ 

⎟ 

co 

0,0017 0,0010 

Eq.(18) 

⎝ fcmo 

⎠ 

0,701 

ε 

0, 

5 fc 

ε 

co 

1 ⎛ 1 E 

= ⋅⎜ 

2 

⋅ 

⎝ 2 E 

c 

co 

⎞ 

+ 1⎟ 

+ 

⎠ 

1 ⎛ 1 E 

⋅⎜ 

4 

⋅ 

⎝ 2 E 

c 

co 

⎞ 

+ 1⎟ 

⎠ 

2 

− 

1 

2 

Eq.(19) 



129 

Figura 13 - Variação do ganho de deformação ε c0,5fcf em relação ao índice de reforço. 

nas quais, 

E 

E 

E 

co 

co 

c 

f 

c 

= (MPa) 

Eq.(20) 

ε 

co 

f 

c 

= (MPa) 

Eq.(21) 

ε 

co 

= 

e 

⋅α 

β 

[ f / f ] 1 3 

(MPa) 

α ⋅ 

Eq.(22) 

c 

cmo 

na qual, por sua vez f cmo é igual a 70MPa, α e é igual a 21500MPa e α β é um 

coeficiente que depende do tipo de agregado graúdo que constitui o concreto – para o 

agregado basáltico, α β é igual a 1,2. 

Para o cálculo da deformação na armadura transversal correspondente ao 

segundo pico de força, sugere-se o procedimento de Cusson e Paultre (1995) sem 

nenhuma alteração. Deste modo, com base nesse procedimento, a deformação na 

armadura de confinamento pode ser expressa pela Eq.(23): 

⎛ f ⎞ 

⎜ le −ν 

⋅ fle 

ε tcc = ν ⋅ε 

cc − 

⎟ 

Eq.(23) 

⎝ Esecc 

⎠ 

na qual ν é o coeficiente de Poisson do concreto confinado no ponto correspondente à 

máxima tensão e que pode ser tomado como 0,5; E secc é o módulo de elasticidade 

secante no segundo ponto de máxima tensão do concreto confinado; e f le é a pressão 

efetiva de confinamento, dada pela Eq.(24): 

f 

le 

= K ⋅ f 

Eq.(24) 

e 

l 

na qual K e e f l são dados pelas Eq.(25) e Eq.(26), respectivamente: 




K 

e 

∑ 

2 

⎛ wi 

⎜ 

i 

⎜1− 

⎜ 6 ⋅cx 

⋅c 

= 

⎝ 

y 

⎞ 

⎟ ⎛ 

t 

⎟⋅ 

⎜1− 

⎟ ⎝ 2⋅cx 

⎠ 

1− 

ρ 

( s −φ 

) ⎞ ⎛ ( s −φ 

) 

l 

⎜ 

⎟⋅ 

1− 

⎠ ⎝ 

2⋅c 

t 

y 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Eq.(25) 

f ⎛ Astx 

+ A ⎞ 

tcc 

sty 

f = ⋅⎜ 

⎟ 

l 

Eq.(26) 

s 

⎝ cx 

+ c 

y ⎠ 

nas quais f tcc é a tensão na armadura transversal de confinamento; s é a distância de 

centro a centro entre estribos; A stx e A sty são as áreas da seção transversal das 

armaduras de confinamento, paralelas aos eixos x e y, respectivamente; c x e c y são as 

larguras do núcleo do pilar, nas direções x e y, respectivamente; w i são os espaços 

entre as armaduras longitudinais; φ t é o diâmetro dos estribos; e ρ l é a taxa de 

armadura longitudinal, em relação ao núcleo do pilar. 

3.1 Procedimento para utilização modelo de Cusson e Paultre 

modificado 

Para modelagem do diagrama força vs. deformação dos pilares com 

concretos de alta resistência, por meio do modelo modificado de Cusson e Paultre 

(1995) apresentado acima, os pilares devem ser analisados seguindo os seguintes 

procedimentos: 

1) Considera-se a seção transversal resistente do pilar como sendo a 

seção íntegra, ignorando-se o efeito do confinamento. 

2) Considera-se a seção transversal resistente do pilar como sendo 

apenas a seção do núcleo do pilar delimitada pelos ramos mais 

externos dos estribos, e a pressão lateral de confinamento deve ser 

calculada considerando a deformação da armadura transversal 

dada pela Eq.(23). 

3) O diagrama resultante será formado pelas linhas externas dos dois 

diagramas obtidos nos procedimentos 1 e 2. Um exemplo deste 

procedimento é apresentado na Figura 14. 

Na Figura 15 apresentam-se as curvas experimentais e teóricas obtidas com o 

modelo de Cusson e Paultre modificado, onde são observadas boas correlações entre 

essas. 



131 

Figura 14 - Procedimento de modelagem por meio do modelo modificado de Cusson e Paultre. 

a) 

b) 

Figura 15 - Modelagem dos pilares ensaiados: a) Pilares com concretos de 68MPa e b) 

Pilares com concretos de 91MPa. 


132 


4 CONCLUSÕES 

Com base no que se apresentou no presente trabalho, as seguintes 

conclusões podem ser tecidas: 

1. A adição de fibras ao concreto evita o descolamento prematuro do 

cobrimento dos pilares e perdas de grandes massas do núcleo dos 

pilares, mesmo aqueles com espaçamento entre estribos de 15cm. 

Após serem ensaiados, os pilares com adição de fibras 

apresentaram-se com elevado grau de fissuração, porém íntegros. 

Ainda, foi constato que a adição de fibras retardou a flambagem das 

barras da armadura longitudinal. 

2. A formação do núcleo resistente apenas foi observada para os 

pilares com espaçamento entre estribos de 5cm e sem adição de 

fibras metálicas. Os pilares sem adição de fibras e espaçamento 

entre estribos de 15cm apresentaram resposta pós-pico bastante 

frágil, especialmente os pilares com concretos de 91MPa. 

3. O coeficiente α 2 que correlaciona a resistência à compressão do 

concreto na estrutura e as obtidas por meio de corpos-de-prova 

cilíndricos é significantemente influenciado pela resistência do 

concreto, pela taxa de armadura transversal e pela taxa volumétrica 

de adição de fibras. Deste modo, fazem-se necessários mais 

estudos sobre o assunto. 

4. Os três fatores estudados influenciam diretamente os índices de 

ductilidade dos concretos dos pilares; contudo, a influência dos 

acoplamentos dos três fatores é insignificante. A adição de fibras 

metálicas é capaz de aumentar a ductilidade dos pilares com 

concretos de alta resistência, utilizando-se a mesma quantidade de 

aço quando estribos metálicos são aplicados. 

5. Ficou evidenciado que entre os fatores estudados, apenas a taxa 

volumétrica de armadura transversal influencia a deformação dos 

estribos para o instante em que é atingida a força máxima resistida 

dos pilares com concretos de alta resistência com baixa taxa de 

confinamento. 

6. Finalmente, modificações foram sugeridas para o modelo de 

Cusson e Paultre (1995), de modo que permitisse ao mesmo tempo 

analisar pilares com concreto de alta resistência com adição de 

fibras de aço. Observou-se que as modificações sugeridas 

mostraram-se consistentes, sendo observada boa concordância 

entre as curvas força vs. deformação experimental dos pilares e as 

fornecidas pelo modelo modificado. 


O trabalho relatado faz parte da tese de doutorado do primeiro autor e foi 

desenvolvida na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo 



133 

sob a direção do segundo autor. Esta pesquisa foi financiada pela Fundação de 

Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP e pela Coordenação de 

Aperfeiçoamento do Pessoal do Ensino Superior – CAPES, as quais os autores são 

gratos. 


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ISSN 1809-5860 

ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE PLACAS E 

CASCAS ANISOTRÓPICAS LAMINADAS 

ACOPLADAS OU NÃO COM MEIO CONTÍNUO 

TRIDIMENSIONAL VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DA 

COMBINAÇÃO ENTRE O MEC E O MEF 

Rodrigo Ribeiro Paccola 1 & Humberto Breves Coda 2 

Resumo 

Uma análise de cascas laminadas ortotrópicas enrijecidas ou não, considerando-se 

não-linearidade física com lei de fluxo não-associativa e acoplamento com sólido 

tridimensional viscoelástico é apresentada neste trabalho. Para tanto, são utilizados 

elementos finitos com 6 graus de liberdade por nó, sendo triangulares planos com 

aproximação cúbica de variáveis para modelagem das cascas e elementos de barra de 

mesma aproximação para os enrijecedores. A cinemática de laminados, ou Mindlin 

geral, é utilizada para ambos com a finalidade de possibilitar a representação de 

estruturas enrijecidas excentricamente, tornando-se assim a formulação aplicável a um 

maior número de problemas. Com relação à plasticidade na casca, adota-se o critério 

de Tsai-Wu para materiais anisotrópicos gerais. Nas barras, critérios uniaxiais são 

considerados, desprezando-se a contribuição do cisalhamento na plastificação. Para 

estes elementos, permite-se a utilização de diagrama multilinear para a relação tensão 

x deformação. Por se tratar de uma formulação de laminados, os elementos podem ser 

compostos de camadas com diferentes propriedades físicas e espessuras. A modelagem 

do meio contínuo viscoelástico é realizada utilizando-se elementos de contorno 

triangulares com aproximação linear de variáveis para solução fundamental de Kelvin 

e de Mindlin. O acoplamento é realizado utilizando-se técnica de matriz de rigidez 

equivalente, proporcionando uma contribuição direta das matrizes do MEC na matriz 

de rigidez do MEF. Exemplos são apresentados para verificação do comportamento da 

formulação implementada. 

Palavras-chave: elementos finitos; elementos de contorno; acoplamento MEC/MEF; 

plasticidade; viscosidade; estruturas laminadas; interação solo-estrutura. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rpaccola@sc.usp.br 

2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br 


136 

Rodrigo Ribeiro Paccola & Humberto Breves Coda 


O acoplamento entre elementos finitos laminados de barra e de casca é 

apresentado neste trabalho. A formulação de estruturas laminadas através da 

cinemática de Reissner geral, como pode ser visto em alguns autores tais como 

YANG et al. (1966), MINDLIN (1951) - apud YANG (1966) -, REISSNER & STAVSKY 

(1961) e posteriormente em WHITNEY & PAGANO (1970), onde foram considerados 

os efeitos do cisalhamento na deformação, considera a rotação da seção transversal 

como parâmetro independente da derivada do deslocamento vertical no ponto, 

diferentemente da cinemática clássica de placas que assume o giro como dependente 

(mesmo que indiretamente) de tal deslocamento como pode ser visto em REDDY 

(1993) entre outros. Tal cinemática leva em consideração que os deslocamentos no 

contínuo são tomados em função de deslocamentos em um plano de referência não 

necessariamente coincidente com o plano médio do elemento de casca, possibilitando 

a formulação desses elementos laminados. Desta forma, cada camada que compõe o 

elemento contribui de forma particular na rigidez do conjunto. A cinemática utilizada é 

apresentada na seqüência do artigo, sendo que outras informações sobre a 

formulação do elemento de casca utilizado podem ser encontradas no trabalho de 

PACCOLA et al. (2003b). 

Utiliza-se lei de fluxo não-associativa para determinação da direção de retorno 

das deformações no modelo elastoplástico para o elemento de casca, diferenciandose 

assim do que se encontra em geral nos trabalhos existentes na literatura. O critério 

de plastificação adotado foi o de Tsai-Wu para materiais anisotrópicos, sendo 

determinadas expressões fechadas para o cálculo do multiplicador plástico, tal como 

no trabalho de MESQUITA (2002). 

Para modelagem dos elementos de barra, utilizou-se um elemento finito 

laminado 3D, PACCOLA et al. (2003a), baseado em deslocamentos, com 

aproximação cúbica e comportamento elastoplástico para os materiais, baseado 

também na cinemática de laminados de Reissner geral. 

Para modelagem do meio contínuo viscoelástico utilizou-se elementos de 

contorno triangulares com aproximação linear de variáveis para solução fundamental 

de Kelvin e de Mindlin. A formulação integral e o equacionamento algébrico foi 

realizado com base no trabalho desenvolvido por SOUZA (2001), que utilizou solução 

fundamental de Kelvin para meios infinitos, cujas implementações foram utilizadas e 

adaptadas para solução fundamental de Mindlin de acordo com as necessidades do 

presente trabalho. 

Em SOUZA (2001), o contorno é discretizado utilizando-se elementos 

triangulares planos com aproximação linear e as integrais singulares são 

desenvolvidas semi-analiticamente, sendo ainda introduzidas na formulação técnicas 

de integração de contorno considerando-se a eficiência e a precisão para a integral 

quase singular. 

Neste artigo, as integrais analíticas para solução fundamental de Mindlin 

foram obtidas com a utilização da propriedade de movimento de corpo rígido, não se 

utilizando da integração semi-analítica proposta por SOUZA (2001) para o tratamento 

da solução fundamental de Kelvin. 

O acoplamento entre o Método dos Elementos de Contorno e o Método dos 

Elementos Finitos pode ser realizado de diferentes maneiras, destacando-se a técnica 

de sub-regiões, tradicionalmente utilizada no acoplamento entre várias regiões 


Análise não linear física de placas e cascas anisotrópicas laminadas acopladas ou... 

137 

modeladas pelo MEC, onde deslocamentos e esforços são compatibilizados na 

interface do acoplamento entre os diferentes domínios modelados, sendo também 

esta a idéia geral para as outras formas de acoplamento. Neste trabalho optou-se por 

aplicar a transformação das matrizes de contorno em matriz de rigidez equivalente ao 

MEF, de forma similar ao apresentado em BREBBIA & DOMINGUEZ (1992). 

2 CINEMÁTICA DE LAMINADOS 

2.1 Elementos de barra 

Apresenta-se na Figura 1 a cinemática adotada para o elemento finito de 

barra, baseada na cinemática de laminados de Reissner geral. O sistema de 

coordenadas no centro da lamina é denominado por x, y e z, e o sistema global por X, 

Y e Z. O eixo X é localizado no eixo de referência da seção. 

z 

y 

z 

y 

x 

x 

Z 

f z 

f y 

Y 

X 

Z 

f z 

f y 

Y 

X 

Figura 1 - Posição de uma fibra geral (retangular ou triangular) inserida no domínio prismático 

da barra. 

Os 3 deslocamentos de um ponto qualquer de uma fibra geral inserida no 

domino podem ser escritos em função dos deslocamentos e rotações de um ponto 

sobre a linha de referência como: 

( ) ( ) 

z( ) 

Y( ) 

( ) = ( 

X 

) −θ ( ) − + 

( ) = ( 

X 

) +θ ( ) − + 

u x,y,x = u X −θ X .(f + y) +θ X .(f + z) 

P 0 0 Y 0 Z 

v x,y,x v X X .(f f z) 

P 0 0 Z Zcc_cg 

w x,y,x w X X .(f f y) 

P 0 0 Y Ycc_cg 

Onde 

f 

z cc _ cg 

e 

relação ao centro de gravidade. 

f 

y cc _ cg 

são coordenadas do centro de cisalhamento da seção em 

(1) 

2.2 Elementos de casca 

A cinemática de laminados fornece os deslocamentos no plano médio da 

lâmina em função dos deslocamentos em relação a um plano de referência 

previamente adotado paralelo, porém excêntrico, ao plano médio do elemento finito. 

Portanto, tem-se a cinemática expressa na forma apresentada na Eq. (2). 


138 


( ) ( ) 

Y 

( ) 

( ) ( ) 

X 

( ) 

( ) = ( ) 

u x,y,x = u X +θ X .(f + z) 

P 0 0 Z 

v x,y,x = v X −θ X .(f + z) 

P 0 0 Z 

w x,y,x w X,Y 

P 0 

(2) 

Para facilitar a visualização dos deslocamentos equacionados na cinemática 

das expressões da Eq. (2), apresenta-se a Figura 2 a seguir: 

Z 

Z 

Y 

θ 0 

f 

h 

z=h/2 

z=-h/2 

z 

z 

P 

x 

f+z 

z 

P' 

x 

w 0 

X u0 

X 

Figura 2 - Cinemática para um ponto “P” qualquer. 

3 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA 

3.1 Elementos de barra 

Modelos não-lineares foram introduzidos na formulação do elemento de 

pórtico 3D, considerando apenas um critério de plastificação que leva em 

consideração somente as tensões normais na seção transversal, ou seja, modelos 

não-lineares uniaxiais. Não se considera o efeito do cisalhamento na plastificação. 

O modelo introduzido permite que se adote comportamentos diferentes na 

tração e na compressão e permite ainda que em cada uma delas este comportamento 

seja multilinear, ou seja, composto de vários trechos com comportamento plástico 

diferente. Desta forma possibilita-se uma melhor representação das curvas de 

plastificação de materiais quaisquer (tanto matriz como reforço) obtidas em ensaios 

de laboratório. 

3.1.1 Modelos elastoplásticos uniaxiais 

A não-linearidade física pode ser considerada na análise da estrutura 

segundo 4 modelos elastoplásticos uniaxiais usuais, que são: elastoplasticidade 

perfeita, elastoplástico com encruamento isotrópico, cinemático ou misto, sendo este 

último utilizado na formulação e obtido através da combinação do isotrópico e do 

cinemático. Portanto, dependendo das constantes adotadas na análise do problema, o 

modelo adotado pode degenerar para qualquer um dos demais modelos citados, pois 

a elastoplasticidade perfeita é uma particularização do modelo com encruamento 

isotrópico. 

A seguir apresenta-se o critério de plastificação para o modelo com 

encruamento misto como sendo, CHEN & HAN (1988): 



139 

( ) ( y ) 

f σα , ,q =σ−q − σ + k. α ≤0 (3) 

Os parâmetros que aparecem na Eq. (3) tem o seguinte significado: 

• K é denominado “módulo plástico de encruamento isotrópico”; 

• é a evolução da deformação plástica até o instante da análise; 

• q define a evolução da tensão de escoamento em cada instante; 

• H é o “módulo plástico de encruamento cinemático”. 

3.1.2 Multilinearidade do diagrama tensão x deformação 

Com relação ao comportamento dos materiais, assim como foi dito 

anteriormente, tem-se implementado no procedimento a possibilidade de se 

considerar um comportamento multilinear para o diagrama tensão x deformação dos 

materiais. Isso possibilita uma melhor representação do comportamento real dos 

materiais em caso de ocorrência de plastificação. Esse comportamento multilinear 

pode ser melhor visualizado na Figura 3 apresentada a seguir. 

σ 

σ 

ε 

ε 

Ensaio de 

Laboratório 

Aproximação 

adotada 

Figura 3 - Comportamento de um material frágil (concreto por exemplo). 

Como pode ser visto Figura 3, a aproximação adotada para o comportamento 

do material pode ser bem próxima do comportamento encontrado em laboratório. 

Essa aproximação pode ser cada vez mais próxima da real à medida que um maior 

número de trechos é introduzido no diagrama aproximado. 

3.2 Elementos de casca 

Para o caso de materiais ortotrópicos e anisotrópicos, o critério de Tsai-Wu, 

proposto por TSAI & WU (1971), é tido como o mais completo em termos de 

consideração da anisotropia geral dos materiais. Trabalhos como os de BRÜNIG 

(1995), CLOUSTON & LAM (2001) e KOLAKOWSKI (2003) podem ser citados como 

exemplo da utilização do critério de Tsai-Wu na análise de materiais anisotrópicos 

gerais. Por este motivo, apesar do fato de se estar considerando materiais 

ortotrópicos neste trabalho, optou-se por utilizar o presente critério. 

O critério proposto por TSAI & WU (1971) baseia-se na teoria de ruptura 

representada por tensores polinomiais sugerida inicialmente por Gol´denblat e Koprov 

em 1965. Os autores procuraram simplificar e ao mesmo tempo melhorar essa versão 


140 


sugerida por Gol´denblat e Koprov. A superfície de ruptura no espaço das tensões é 

descrita pela seguinte expressão: 

Lσ + Fσσ =1 ⇒ (i, j = 1,2,...,6) (4) 

i i ij i j 

Expandindo-se a Eq. (4) e considerando-se materiais ortotrópicos tem-se: 

Lσ + Lσ + Lσ 

+ 

1 1 2 2 3 3 

+ F σ + 2F σσ + 2F σσ + F σ + 2F 

σσ + 

2 2 

11 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 

+ F σ + F σ + F σ + F σ = 1 

2 2 2 2 

33 3 44 4 55 5 66 6 

(5) 

σ , σ 

onde as tensões 4 5 e σ 6 são, respectivamente, as tensões de cisalhamento 

τ13, τ23 e τ 

12 . 

Matricialmente, o critério pode ser representado da seguinte forma: 

T 

T 

( ) 

f = f % ( σ) − 1= σ Fσ + L σ − 1= 

0 

(6) 

onde F e L assumem a forma descrita em (7): 

F 

⎡F F F 

⎢ 

⎢ 

F F F 

⎢F F F 

11 12 13 

21 22 23 

0 0 0 ⎤ 

0 0 0 

⎥ 

⎥ 

0 0 0 ⎥ 

31 32 33 

= ⎢ ⎥ 

0 0 0 F44 

0 0 

⎢ 

⎥ 

⎢ 0 0 0 0 F55 

0 ⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎢⎣ 

0 0 0 0 0 F66 

⎥⎦ 

e 

L 

⎡ L1 

⎤ 

⎢ 

L 

⎥ 

⎢ 

2 

⎥ 

⎢L 

⎥ 

3 

= ⎢ ⎥ 

⎢ 0 ⎥ 

⎢ 0 ⎥ 

⎢⎣ 

0 ⎥⎦ 

(7) 

Os termos lineares σ 

i 

consideram tensões que descrevem rupturas induzidas 

por diferenças entre tensões positivas e negativas e, em conjunto com os termos 

quadráticos σσ 

i j, definem um elipsóide no espaço de tensões principais. De acordo 

com TSAI & WU (1971) os valores dos termos de interação F ij são limitados pela 

desigualdade: 

FF −F ≥0 

1 2 

2 ii jj ij 

(8) 

condição esta que, geometricamente, assegura que a superfície de ruptura intercepte 

cada eixo de tensão e que sua forma seja de um elipsóide, Figura 4. 

A representação gráfica da superfície do critério de Tsai-Wu segundo as 

direções de tensões principais é apresentada na Figura 4. 



141 

Figura 4 - Superfície do critério de Tsai-Wu. 

Os elementos de L i e F ij são determinados em laboratório através de ensaios 

de tração e de compressão simples, bem como, de cisalhamento puro. Portanto, os 

parâmetros de resistência podem ser escritos por: 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

L1 = − L2 = − L3 = − L4 = − L5 = − L6 

= − 

X X´ Y Y´ Z Z´ Q Q´ R R´ S S´ 

1 1 1 1 1 1 

F11 = F22 = F33 = F44 = F55 = F66 

= 

X ⋅X´ Y⋅Y´ Z⋅Z´ Q⋅Q´ R⋅R´ S⋅S´ 

(9) 

onde X e X´; Y e Y´; Z e Z´ são, respectivamente, as resistências à tração e a 

compressão nas direções das fibras 1, 2 e 3; Q e Q´; R e R´; S e S´ são, 

respectivamente, as resistências positiva e negativa ao cisalhamento puro nos planos 

1-3, 2-3 e 1-2. Informações mais detalhadas sobre esses ensaios podem ser 

encontrados em TSAI & WU (1971), SHIH & LEE (1978) e HYER (1998), bem como 

informações complementares sobre o critério de um modo geral. 

4 ELEMENTOS DE CONTORNO 

4.1 Equação integral de contorno 

As equações integrais de contorno que relacionam deslocamentos de um 

ponto qualquer do domínio com deslocamentos e esforços no contorno de um 

determinado corpo através de integrais que envolvem as soluções fundamentais, são 

a base para a formulação do método dos elementos de contorno. 

A obtenção dessas equações pode se dar através da aplicação do teorema da 

reciprocidade de Betti ou da técnica dos resíduos ponderados, utilizando-se a solução 

fundamental do problema como função ponderadora, tendo sido esta última utilizada 

no trabalho de SOUZA (2001). Outros trabalhos que utilizaram esta técnica podem ser 

consultados como CODA (1990), CODA (2000) e VENTURINI (1988). 


142 


4.2 Equação integral para pontos do domínio e do contorno 

Seja considerado um espaço infinito que contenha um sólido tridimensional de 

domínio Ω e contorno Γ dividido em Γ 1 (deslocamentos prescritos) e Γ 2 (forças de 

superfície prescritas). 

= ui 

em Γ 

1 

p = p em Γ 

ui 

i 

i 

2 

(condições de contorno essenciais) 

(condições de contorno naturais) 

O traço em cima dos valores u i e p i indica valores prescritos de 

deslocamentos e forças de superfície respectivamente. 

Utilizando-se a técnica dos resíduos ponderados e também a solução 

fundamental como função ponderadora sobre a equação de equilíbrio da estática 

obtém-se: 

* 

ij, i + j j = 

( σ b ) ⋅u 

0 

(10) 

Efetuando-se as devidas manipulações na equação (10), SOUZA (2001), 

obtém-se 

= * * 

⋅ ⋅ Γ − ⋅ ⋅ Γ + 

∫ 

* 

ui ( s) 

∫ 

p j ( Q) 

uij 

( s, 

Q) 

d 

∫u 

j ( Q) 

pij 

( s, 

Q) 

d bj 

( q) 

⋅ uij 

( s, 

q) 

⋅ dΩ 

(11) 

Γ 

Γ 

Esta equação é chamada de Identidade Somigliana que determina valores de 

deslocamentos para pontos internos através de deslocamentos e forças de superfície 

do contorno, u j e p j respectivamente. 

A equação integral para pontos no contorno (trecho suave) tem o seguinte 

aspecto: 

c ( S) 

⋅u 

ij 

j 

Onde: 

∫ 

* 

∫ 

* 

( S) 

+ u j ( Q) 

⋅ p ij ( S, 

Q) 

⋅ dΓ( 

Q) 

= p j ( Q) 

⋅ u ij ( S, 

Q) 

⋅ dΓ( 

Q) 

Γ Γ 

(12) 

* 

+ b ( q) 

⋅ u ( S, 

q) 

⋅ dΩ( 

q) 

∫ 

Ω 

j 

1 

cij ( S) 

= δij 

i, 

j = 1,2,3 

(13) 

2 

Para pontos externos ao domínio pode-se obter uma expressão semelhante à 

(11), mas com o coeficiente c ij igual a zero. Assim a expressão (12) torna-se uma 

expressão geral cujo coeficiente c ij possui os seguintes valores: 

Ω 

ij 

c ( S) 

= δ 

ij 

1 

cij 

( S) 

= ⋅ δ 

2 

c ( S) 

= 0 

ij 

ij 

ij 

p/ 

p/ 

p/ 

pontos 

pontos 

pontos 

internos 

do contorno 

externos 

suave 

(14) 



143 

4.3 Equacionamento algébrico 

As equações integrais de contorno são transformadas em equações 

algébricas para serem utilizadas e isso se dá com a discretização do contorno em 

elementos com determinada aproximação e forma, a fim de que possam ser 

resolvidas numericamente. 

Em geral, os elementos utilizados para a discretização de um sólido 

tridimensional possuem a forma triangular ou quadrangular, podendo ser planos ou 

curvos. Estes elementos possuem funções interpoladoras, definidas por polinômios 

que podem ser constantes, lineares, quadráticos ou de ordem superior. 

Para se escrever o equacionamento algébrico do método é necessário 

inicialmente escrever as coordenadas cartesianas de um ponto P qualquer de um 

elemento em função das coordenadas dos nós que o definem. Portanto tem-se: 

x 

i 

k 

k 

i 

= Φ ⋅ X 

(15) 

x 

Onde: 

x i : coordenadas cartesianas do ponto P 

Φ k : funções interpoladoras 

k 

X 

i : coordenadas cartesianas dos nós do elemento 

Que em forma matricial pode ser expressa da seguinte forma: 

T n 

= Φ X 

(16) 

De maneira análoga são determinadas expressões para deslocamentos e 

forças de superfície: 

T 

u = Φ U 

T 

p = Φ P 

n 

n 

(17) 

b 

Da mesma forma, as forças volumétricas são dadas pela seguinte expressão: 

T n 

= Φc 

B 

(18) 

Onde: 

Φ e Φ 

c : funções interpoladoras do elemento e da célula, respectivamente. 

U 

n 

n 

e P : valores de deslocamentos e forças de superfície nodais do 

elemento, respectivamente. 

n 

B : valores de forças volumétricas nodais da célula. 

Substituindo-se as aproximações apresentadas sobre a Identidade Somigliana 

de (11) para um ponto S qualquer, uma discretização do contorno em L elementos e 

uma discretização do domínio em M células, determina-se a seguinte equação 

algébrica: 


144 


L 

* T N 

c(S) u(S) p (S,Q) Φ (Q) d Γ(Q) U (Q) 

L 

∑ 

i= 

1 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎤ 

⋅ + ∑ ⎢ ∫ ⋅ ⋅ ⎥⋅ = 

i= 

1⎣ 

Γ 

⎦ 

∫ 

Γ 

i 

j 

i 

⎤ 

⋅ ⋅ ⎥⋅ 

⎦ 

* T N 

u (S,Q) Φ (Q) d Γ(Q) P (Q) 

M 

⎡ * T ⎤ N 

+ ∑ ⎢ ∫ u (S,q) ⋅Φc 

(q) ⋅d Ω(q) ⎥⋅B (q) 

j= 

1⎣ 

Ω 

⎦ 

(19) 

Onde o índice N nos vetores U, P e B indica que se trata dos vetores com os 

valores de todos os elementos ou células, e não somente do elemento i ou da célula j. 

Tomando-se o número de pontos fonte igual ao número de nós do contorno, a 

equação (19) pode-se escrever matricialmente: 

CU + HU ˆ = GP + DB 

(20) 

Onde Ĥ , G e D: matrizes determinadas através das integrais numéricas 

sobre os elementos e células, e C é a matriz dos termos livres dados em (14) para as 

linhas referentes à equação (19). 

Adicionando-se a matriz C à matriz Ĥ , obtém-se: 

HU = GP + DB 

(21) 

O sistema algébrico de equações apresentado em (21) é o sistema para 

solução do problema elástico tridimensional, utilizando-se soluções fundamentais de 

Kelvin e Mindlin, adaptando-se para Mindlin a questão da determinação das integrais 

singulares com a utilização da propriedade do movimento de corpo rígido. 

Com aplicação das condições de contorno em (21) através da troca de 

colunas entre as matrizes H e G e dos valores prescritos dos vetores U e P, 

consegue-se obter um sistema algébrico onde as incógnitas ficam todas do lado 

esquerdo da igualdade e assim torna-se possível a utilização de procedimentos para 

resolução de sistemas lineares para se determinar a resposta do problema. 

AX 

= F 

(22) 

Onde: 

A : matriz cujas colunas correspondem a valores incógnitos. 

X : vetor das incógnitas de deslocamentos e forças de superfície. 

F : vetor obtido através da multiplicação da matriz G e o vetor P com os 

valores já trocados, podendo este ainda ser acrescido da contribuição das forças de 

volume DB . 

Os processos de integração utilizados são os apresentados em SOUZA 

(2001), uma vez que, como dito anteriormente, as implementações relacionadas ao 

Método dos Elementos de Contorno foram obtidas do referido trabalho e adaptadas 

para o problema que se deseja tratar. 



145 

5 ACOPLAMENTO MEC / MEF 

Fazendo-se uso da equação algébrica obtida para o MEC no item 4, a menos 

dos termos de carregamentos de domínio, tem-se: 

HU = GP (23) 

Para o MEF, a equação de equilíbrio algébrica pode ser escrita por: 

KU = F (24) 

O vetor dos carregamentos nodais F pode ser escrito em função das forças de 

superfície P da seguinte forma: 

F 

= ef 

G P 

(25) 

Onde G ef é a matriz originada da integração das funções de forma ao longo 

dos elementos que transforma forças de superfície em carregamentos nodais 

concentrados tal como descrito tradicionalmente no MEF, CODA et al. (1999). 

Fazendo-se uso da relação (25) na sua forma inversa, pode-se escrever o vetor de 

forças de superfície como: 

P= 

G F 

−1 

ef 

(26) 

Substituindo-se (26) em (23), obtém-se a equação de equilíbrio algébrica do 

MEC escrita em função dos carregamentos nodais concentrados, ou seja: 

HU 

= GG F 

−1 

ef 

(27) 

1 

Assumindo-se que G = GG − 

ef 

e multiplicando-se a equação (27) por 

dois lados da igualdade, resulta: 

1 

G − 

nos 

= 

−1 

G HU F (28) 

Deve-se comentar que para problemas infinitos e semi-infinitos (Solução 

fundamental de Mindlin) as matrizes “G” são sempre pequenas. 

Com estas manipulações, as equações (23) e (24) puderam ser escritas de 

forma similar. Efetuando-se uma última simplificação, obtém-se a expressão final do 

MEC a ser acoplada com as equações de equilibro algébricas do MEF, sendo dadas 

por: 

KU = F (29) 

Onde 

K 

1 

= G − H . 

O acoplamento entre as variáveis obtidas pelos métodos se dá de forma direta 

(somando termos), naturalmente respeitando-se os graus de liberdade existentes em 

cada uma das formulações independentemente, sendo 3 translações comuns entre 

ambos e mais 3 rotações para o MEF. Salienta-se que, da maneira que o 


146 


acoplamento foi implementado, permite-se qualquer combinação dos graus de 

liberdade que se deseja realizar, por exemplo, acoplando-se somente o grau de 

liberdade vertical no caso de uma placa apoiada em um solo. Esta flexibilidade torna a 

formulação um tanto quanto mais geral para realização da combinação entre os 

métodos. 

As matrizes do MEC sofreram as modificações apresentadas antes de se 

efetuar a imposição das condições de contorno através da troca de colunas das 

matrizes H e G, como tradicionalmente se faz no MEC. As condições de contorno de 

força e deslocamento serão aplicadas após a realização do acoplamento entre os 

métodos, fazendo-se uso da técnica de zeros e 1 ou troca de colunas de acordo com 

o problema que se esteja analisando. 

A equação de equilíbrio algébrica para o problema acoplado assume portanto 

a forma estabelecida em (30): 

( K + K) 

U = F 

Introduzindo-se a viscosidade na formulação baseando-se nos estudos 

apresentados por MESQUITA e CODA (2002) e MESQUITA (2002) utilizando-se de 

algoritmos de integração temporal, a expressão (30) assume a forma de (31) para o 

caso mais simples da consideração da viscosidade, ou seja, considerando que todas 

as camadas e elementos finitos possuam o mesmo parâmetro de viscosidade. 

. . 

KU + γKU+ KU + γ KU = F 

(31) 

(30) 

O vetor de velocidade de deslocamento U . , adotando-se uma aproximação 

linear, é dado por: 

. 

U 

U = 

U 

∆t 

t+ 1− 

t 

Substituindo-se (32) em (31) e isolando apenas as incógnitas no lado 

esquerdo da equação, resulta em: 

(32) 

⎛⎛ γ ⎞ ⎛ γ ⎞ ⎞ ⎛ γ γ ⎞ 

⎜⎜1+ ⎟K + ⎜1+ ⎟K⎟Ut+ 

1= F + ⎜ K + K⎟U 

⎝⎝ ∆t⎠ ⎝ ∆t⎠ ⎠ ⎝∆t ∆t 

⎠ 

t 

(33) 

6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 

6.1 Exemplo 01 

Neste exemplo, o comportamento elastoplástico de uma placa quadrada 

engastada e submetida a uma carga concentrada no ponto central é considerado. 

Aproveitando-se da simetria do problema, ¼ da placa é modelado utilizando-se 10x10 

divisões de elementos finitos triangulares e composta de 8 camadas de igual 

espessura para melhor representação da plasticidade. As características da geometria 



147 

do problema e grandezas físicas do material isotrópico empregado, bem como 

parâmetros de plastificação, podem ser verificadas na Figura 5. 

Y Y 

L 

Dados gerais para o exemplo: (MN, m) 

A 

L 

X 

E = 30000.0; G = 11540.0; 

ν = 0.3; E t = 300.0; 

σ 0x = σ 0y = 30.0; 

τ 0xy = τ 0xz = τ 0yz = 17.32; 

h = 0.20; L = 6.0; 

P total = 4.0 – ponto “A”; 

Figura 5 - Placa quadrada. 

Os resultados são comparados com respostas obtidas por OWEN & 

FIGUEIRAS (1983) onde foi utilizado o critério de plastificação tridimensional de 

Huber-Mises no qual as componentes de tensão são modificadas pela introdução de 

parâmetros anisotrópicos. Os autores utilizaram lei de fluxo associativa para as 

deformações plásticas e propuseram uma correção das tensões cisalhantes para 

serem usadas no critério de plastificação em função da adoção de distribuição 

constante de tensões cisalhantes ao longo da espessura da placa. 

Para a formulação aqui utilizada, foram analisados dois casos: (a) isotrópico - 

primeiramente adotando-se os parâmetros utilizados no critério de plastificação 

idênticos aos apresentados na Figura 5 e retorno na direção elástica, e (b) 

anisotrópico - onde foram adotados σ 0y = 40.0 e τ 0xy = 20.0, para diferentes direções 

de retorno para a superfície do critério de plastificação e diferentes valores para “E y ”. 

Na Figura 6, são apresentados os valores de deslocamento vertical, no ponto 

“A”, nó central da placa, em função da carga concentrada aplicada, para o caso de 

parâmetros de plastificação isotrópicos. Na Figura 7 são apresentados os resultados 

de OWEN & FIGUEIRAS (1983) com parâmetros plásticos anisotrópicos, porém com 

constantes elásticas isotrópicas. Nesta figura apresentam-se também os resultados 

obtidos pela formulação apresentada segundo os mesmos parâmetros de OWEN & 

FIGUEIRAS (1983), chamado “direção elástica”. Além disso varia-se o módulo de 

elasticidade na direção “Y” para E Y = 40000 e a direção do fluxo plástico conforme 

informado na própria Figura 7. Isto foi feito visando mostrar a influência dos diversos 

parâmetros elásticos e elastoplásticos no comportamento geral da placa analisada. As 

unidades apresentadas para as grandezas do problema foram consideradas iguais as 

apresentadas na referência utilizada para comparação dos resultados. 


148 


3.5 

3.0 

2.5 

Carga "P" 

2.0 

1.5 

1.0 

0.5 

OWEN & FIGUEIRAS (1983b) 

Presente Trabalho 

0.0 

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

Deslocamento Vertical no Ponto "A" 

Figura 6 - Deslocamento vertical “w” em “A” x carga concentrada “P” - isotrópico. 

Para a Figura 6, acredita-se que a diferença encontrada nos resultados 

é devida à distribuição da tensão de cisalhamento adotada constante ao longo da 

espessura das camadas da placa para este trabalho, bem como da malha utilizada na 

modelagem do problema e uma significativa diferença entre os critérios de 

plastificação e lei de fluxo adotados. Os autores OWEN & FIGUEIRAS (1983), como 

dito anteriormente, propuseram uma correção para as tensões de cisalhamento para 

serem consideradas no critério de plastificação. 

Para a Figura 7, observou-se que a direção do fluxo plástico tem pouca 

influência no comportamento geral da estrutura. 

Carga "P" 

4.0 

3.5 

3.0 

2.5 

2.0 

1.5 

OWEN & FIGUEIRAS (1983b) 

1.0 

Ret. Dir. Elástica 

0.5 

n p21 

= 0.5 - E y 

= 40000 

n p 

= 0.0 - E y 

= 40000 

0.0 

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 

Deslocamento Vertical no Ponto "A" 

Figura 7 - Deslocamento vertical “w” em “A” x carga “P” - anisotrópico. 



149 


Este exemplo apresenta o comportamento de uma placa quadrada e 

isotrópica, com um enrijecedor no centro e na direção do eixo “y”, submetida a um 

carregamento uniformemente distribuído, tal como em KOLLI & 

CHANDRASHEKHARA (1996). Adotou-se como referência para a placa e para a viga 

o plano médio da placa. A geometria do problema, bem como as demais 

características da análise, estão apresentadas na Figura 8. 

Foram utilizadas 16 x 16 divisões de elementos finitos triangulares para 

modelagem de ½ da placa, sendo que a discretização dos elementos de barra 

acompanha a divisão da malha triangular. 

y,v 

C 

A 

C 

B 

x,u 

a 

Corte C-C 

c 

b 

A: u = w = θy = 0 

B: v = w = θx = 0 

Dados gerais para o exemplo: 

(placa e viga) 

E = 11713 kN/cm 2 ; 

G = 4505 kN/cm 2 ; 

ν = 0.3; q = 6.89x10 -4 kN/cm 2 ; 

A = B = 2.54 cm; 

a = b = 0.0254 cm; c = 0.254 

cm; 

Figura 8 - Placa isotrópica enrijecida. 

Os resultados de deslocamento vertical medidos no centro da placa são 

apresentados na Tabela 1, comparando-se os valores obtidos com KOLLI & 

CHANDRASHEKHARA (1996) onde utiliza-se também a cinemática de laminados na 

formulação e com ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & 

CHANDRASHEKHARA (1996), onde utilizou-se o Método da Restrição para obtenção 

dos resultados. 

Tabela 1 - Deslocamento vertical no centro da placa (x10-4 cm) 

Carga Ref.[*] Ref.[**] Ref.[***] Presente Trabalho 

w centro 3.472 3.441 3.357 3.538 

[*] - ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) 

[**] - KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) 

[***] - ANSYS® - DIAS et al. (2001) 

A Figura 9 apresenta a configuração deformada da placa enrijecida, 

evidenciando um menor deslocamento no centro da placa em função da contribuição 

do enrijecedor. Os resultados apresentados na Tabela 1 estão totalmente de acordo 

com aqueles apresentados pelos referidos autores, usando também da teoria de 

laminados e do Método da Restrição. 


150 


Figura 9 - Configuração deformada da placa enrijecida. 


Este exemplo, também obtido em KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996), 

simula o comportamento de uma placa retangular e isotrópica, submetida a dois casos 

de carregamento: uniformemente distribuído e concentrado no centro da placa. A 

placa é ortogonalmente enrijecida por duas nervuras centrais. Novamente, a 

referência adotada para ambos os elementos, placa e viga, foi a camada central da 

placa. As características gerias para o problema estão apresentadas na Figura 10. 

y,v 

C 

C 

A 

A: u = w = θy = 0 

B: v = w = θx = 0 

D 

D 

B 

u, w 

a 

a = 0.635 cm; 

b = 1.27 cm; 

c = 12.7 cm; 

d = 7.62 cm; 

A = 152.4 cm; 

B = 76.2 cm; 

Corte C-C 

b 

c 

Corte D-D 

a 

E = 20670 kN/cm 2 ; 

d 

G = 7950 kN/cm 2 ; 

ν = 0.3; 

q = 6.89x10 -3 kN/cm 2 ; b 

P = 4.45 kN; 

Figura 10 - Placa retangular ortogonalmente enrijecida. 

Analogamente ao exemplo anterior, foram utilizadas 14 x 14 divisões de 

elementos finitos triangulares para modelagem da placa inteira, sendo que, da mesma 

forma, a discretização dos elementos de barra acompanha a divisão da malha 

triangular. 

São apresentado na Tabela 2 os deslocamentos verticais no centro da placa, 

comparados aos resultados apresentados em KOLLI & CHANDRASHEKHARA 

(1996). 



151 

Tabela 2 - Deslocamento vertical no centro da placa (x10-4 cm) 

Carga 

Solução em 

Série - Ref.[*] 

Ref.[**] Ref.[***] Ref.[****] 

Presente 

Trabalho 

distribuída 224.790 224.510 221.031 212.000 221.248 

concentrada 32.260 32.180 31.500 29.870 32.520 

[*] - CHANG (1973) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) 

[**] - ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) 

[***] - KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) 

[****] - ANSYS® - DIAS et al. (2001) 


Este exemplo apresenta a simulação do comportamento de um tubo vazado 

de concreto armado, submetido a um carregamento uniformemente distribuído ao 

longo da direção do eixo do tubo e do raio. Utiliza-se o elemento de pórtico laminado 

na modelagem deste exemplo, pois este permite que seja adotado diagrama 

multilinear para a relação entre tensão e deformação, representando o concreto de 

forma mais adequada. 

Os resultados são comparados com a resposta do ensaio experimental obtida 

em CHAMA NETO (2002). A curva tensão x deformação adotada para o exemplo, 

Figura 12 e Figura 13, também foi obtida em CHAMA NETO (2002), juntamente com 

as demais características para o problema. A Figura 11 fornece a configuração de 

geometria para o exemplo. 

q 

Dados gerais para o exemplo: (kN e cm) 

R 

z 

y 

x 

L 

E conc = 2970.00 e G conc = 1485.00; 

E aço = 21000.00 e G aço = 10500.00; 

L = 100; R = 44.5; 

Recalque de 1.50 na direção da carga q; 

Área de aço na seção transversal: 3.32; 

Figura 11 - Tubo vazado. 

A seção transversal do tubo possui uma armadura de área igual 3.32 cm 2 , 

posicionada a uma distância de 3.50 cm da face interna do tubo. Para a modelagem, 

adotou-se uma faixa de aço ao longo da seção transversal, com espessura 

equivalente para se manter a mesma área de aço do experimento. 

A parcela referente ao concreto foi subdividida em 50 camadas para melhor 

representação da plasticidade, enquanto que a de aço manteve-se inalterada. Foram 


152 


utilizados 20 elementos de barra de aproximação cúbica na discretização de ½ do 

tubo. 

As condições de contorno nas duas extremidades da parte modelada são de 

engastamento, sendo que na extremidade do carregamento, a exemplo do ensaio 

laboratorial, aplicou-se um deslocamento de 1.50 cm na direção deste. 

Para o diagrama tensão x deformação do concreto, foram adotados 4 trechos 

para a tração e 9 para a compressão, buscando representar o diagrama obtido em 

laboratório, Figura 12 e Figura 13. 

σ (x10 -1 ) 

ε 

Figura 12 - Curva tensão x deformação para a tração (kN e cm). 

A tensão de plastificação adotada para o concreto é de 0.9823 kN/cm 2 para a 

compressão e 0.2210 kN/cm 2 para a tração, sendo que para o aço assumiu-se o valor 

de 78.65 kN/cm 2 para ambas. 

ε 

σ (x10 -1 ) 

Figura 13 - Curva tensão x deformação para a compressão (kN e cm). 

A Figura 14 apresenta os resultados experimentais encontrados em CHAMA 

NETO (2002), sendo que a curva em maior destaque é a média das respostas 

experimentais obtidas. 

Os resultados apresentados na Figura 15, comparados com o ensaio de 

laboratório, média dos valores experimentais da Figura 14, mostram uma boa 

concordância entre as curvas obtidas. O aspecto dentado na curva da resposta 

numérica se dá devido à característica discreta do posicionamento dos pontos de 

Gauss na consideração da contribuição do material. 



153 

Os valores adotados na análise numérica foram obtidos diretamente da 

referência e utilizados na modelagem sem nenhuma calibração. Portanto, acredita-se 

que os resultados apresentados são totalmente satisfatórios do ponto de vista de 

engenharia. 

Figura 14 - Deslocamento vertical x carga – resultado experimental. 

120 

Carga Aplicada (kN) 

100 

80 

60 

40 

20 

Numérico 

Experimental 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

Deslocamento Vertical (cm) 

Figura 15 - Deslocamento vertical x carga aplicada. 


Este exemplo serve para verificar o acoplamento entre elementos finitos de 

casca e elementos de contorno 3D no que diz respeito a transmissão de forças. Neste 

caso, um sólido engastado e discretizado com elementos de contorno (MEC - Figura 


154 


16) é acoplado a um conjunto composto por uma placa e uma chapa (MEF - Figura 

16) rígidas. Na extremidade livre da chapa de elementos finitos aplica-se um 

carregamento distribuído “q”. A geometria para o problema, bem como as 

características físicas dos materiais são apresentadas na Figura 16. Por se tratar de 

um domínio fechado, utilizou-se solução fundamental de Kelvin na modelagem do 

contorno. 

A 

A 

MEC 

MEF 

Dados gerais para o exemplo: 

E MEC = 1x10 5 N/m 2 ; 

E MEF ≅ ∞; 

ν MEC = ν MEF = 0.0; 

L 1 

q = 3.765 N/m; 

L 2 

q 

L 1 = L 2 = 9 m; A = 3 m 

h MEF = 0.3 m 

Figura 16 - Sólido tracionado – MEC x MEF. 

A Tabela 3 apresenta o resultado de deslocamento na interface do 

acoplamento entre a região do MEC e do MEF, mostrando a total concordância entre 

a resposta analítica obtida de forma simples para este exemplo e a resposta 

numérica. 

Tabela 3 - Deslocamento na interface do acoplamento 

Analítico 0.00016 

Numérico 0.00016 

Deslocamento (m) 


Os autores agradecem à FAPESP – Fundação de Amparo à Pesquisa do 

Estado de São Paulo – pelo financiamento desta pesquisa. 


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