São Carlos, v.7 n. 29 2005 - SET - USP

Análise de vigas de madeira pregadas com seção composta I
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Somando os momentos e diferenciando em relação a x:
″ ″
+ M + ν′⋅
a + p
M1 2
=
0
(10)
Desta forma, existem três equações de equilíbrio (7), (9) e (10) e três
deformações incógnitas u 1 , u 2 e w. Substituindo os princípios da elasticidade nestas
equações de equilíbrio:
( u − u + w′
⋅ a) 0
E1 ⋅ A1
⋅u1′′
+ C ⋅ 2 1 =
(11)
( u − u + w′
⋅ a) 0
E2 ⋅ A 2 ⋅u′′
2 − C ⋅ 2 1 =
(12)
( I + E ⋅I
) ⋅ w′′′′
− C ⋅a
⋅ ( u′
− u′
+ w′′
⋅a) p
E1 1 2 2
2 1 =
⋅ (13)
Para a resolução das equações de equilíbrio são adotados carregamento e
deformações senoidais. Além de facilitar a derivação, o autor afirma que esta
consideração ainda proporciona soluções aplicáveis para as mais diferentes
distribuições de carregamento.
⎛ π ⎞
p = p0 ⋅ sen⋅
⎜ ⋅ x⎟
(14)
⎝ L ⎠
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
1 = u ⋅ cos⋅
⎜ ⋅ x⎟
; u2 = u20
⋅ cos⋅
⎜ ⋅ x⎟ ; w = w 0 ⋅ sen⋅
⎜ ⋅ x⎟ (15a,b,c)
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
u 10
Substituindo esses termos nas equações de equilíbrio (2), (3) e (4), resulta o
sistema de equações apresentado abaixo.
2
⎡ π
⎤
u ⋅ ⎢−
⋅E1
⋅ A1
− C + u
2
⎥ 20 ⋅ 0
⎣ L
⎦
π
L
[ C] + w ⋅ C ⋅ ⋅ a 0
10 =
⎡
⎤
π
[ C] + u ⋅ − ⋅E
⋅ A − C + w ⋅ C a 0
L
⎢−
⋅ ⋅
L
⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎡
⎤
u ⎢
=
L
⎥ ⎢
L
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ L
L ⎦
A solução do sistema é apresentada a seguir.
2
π
⎡ ⎤
u10 ⋅ 20 ⎢ 2 1 1 ⎥ 0
=
4
2
⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤ π
π
10 ⋅ − C ⋅ ⋅ a + u20
⋅ C ⋅ ⋅ a + w 0 ⋅ ⎢ ⋅
p
4
2 ⎥
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2
( E1
⋅I1
+ E2
⋅I2
) + C ⋅ ⋅ a 0
w
0
4
L
1
L 1
= p0
⋅ ⋅
= p
2 0 ⋅ ⋅
(16a)
4
4
π
E
( EI) 1 ⋅ A1
⋅ γ1
⋅ a π
E
ef
1 ⋅I1
+ E2
⋅I2
+
E1
⋅ A1
1+ γ1
⋅
E ⋅ A
2
2
4
u
w
π
a ⋅ γ
⋅E
⋅ A
1 2 2
10 = 0 ⋅ ⋅
(16b)
L γ1
⋅E1
⋅ A1
+ E2
⋅ A 2
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 29, p. 57-77, 2005