SÃ£o Carlos, v.7 n. 29 2005 - SET - USP

São Carlos, v.7 n. 29 2005

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

Reitor: 

Prof. Titular ADOLFO JOSÉ MELFI 

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MASAKI KAWABATA NETO 

MELINA BENATTI OSTINI 

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São Carlos, v.7 n. 29 2005

Departamento de Engenharia de Estruturas 

Escola de Engenharia de São Carlos – USP 

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SUMÁRIO 

Estudo da resistência e da deformabilidade da alvenaria de blocos de concreto 

submetidas a esforços de compressão 

Andrea Elizabeth Juste & Márcio Roberto Silva Corrêa 1 

Rigidez de nó de pórtico em estruturas de seção composta pregada utilizando 

chapas de compensado 

Guilherme Corrêa Stamato & Carlito Calil Junior 31 

Análise de vigas de madeira pregadas com seção composta I 

Jorge Luís Nunes de Góes & Antonio Alves Dias 57 

Análise dos mecanismos resistentes e das similaridades de efeitos da adição 

de fibras de aço na resistência e na ductilidade à punção de lajes-cogumelo e 

ao cisalhamento de vigas de concreto 

Kristiane Mattar Accetti Holanda & João Bento de Hanai 79 

Aplicação do acoplamento entre o MEC e o MEF para o estudo da interação dinâmica 

elastoplástica entre o solo e estruturas 

Francisco Patrick Araujo Almeida & Humberto Breves Coda 113 

Determinação da capacidade resistente de nós de pórtico externos de concreto 

armado 

Gerson Moacyr Sisniegas Alva & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 131

ISSN 1809-5860 

ESTUDO DA RESISTÊNCIA E DA 

DEFORMABILIDADE DA ALVENARIA DE BLOCOS 

DE CONCRETO SUBMETIDAS A ESFORÇOS DE 

COMPRESSÃO 

Andrea Elizabeth Juste 1 & Márcio Roberto Silva Corrêa 2 

Resumo 

O estudo da resistência à compressão e da deformabilidade de paredes de alvenaria de 

blocos de concreto é de fundamental importância para a caracterização desse material 

e o desenvolvimento de análises de estruturas compostas por esse tipo de painel. Este 

trabalho trata desse tema, objetivando prever com maior acuidade os principais 

parâmetros de deformação e de resistência de paredes de alvenaria de blocos de 

concreto, a saber: resistência à compressão e módulo de elasticidade longitudinal nas 

direções paralela e perpendicular à junta de assentamento. Foi desenvolvido um 

trabalho experimental para estimar a influência da resistência dos blocos, da 

resistência da argamassa e da direção de aplicação de forças no comportamento 

mecânico da alvenaria de blocos de concreto não-grauteada, quando submetida a 

esforços de compressão. Para tanto, realizaram-se ensaios de laboratório em blocos, 

argamassas, prismas de três blocos e paredinhas com dimensões de 80 cm x 80 cm. 

Por inferência estatística não foram obtidas correlações aceitáveis entre as variáveis 

estudadas. Porém, obtiveram-se tendências de comportamento dos corpos de prova 

estudados, confirmando a influência das características da argamassa e do bloco no 

comportamento estrutural da alvenaria quando submetida a esforços de compressão. 

Palavras-chave: alvenaria estrutural; análise experimental; blocos de concreto; curvas 

tensão-deformação; módulo de elasticidade; resistência à compressão. 

1 INTRODUÇÃO 

Por muitos anos a alvenaria estrutural foi pouco utilizada no Brasil devido a 

muitos fatores tais como: preconceito, maior domínio da tecnologia do concreto armado 

por parte de construtores e projetistas e pouca divulgação do assunto nas universidades 

durante o processo de formação dos engenheiros. Muitos projetistas são leigos no que 

diz respeito a este sistema construtivo e acabam, assim, optando pelo concreto armado. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, andreajuste@ig.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mcorrea@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 29, p. 1-30, 2005

2 

Andrea Elizabeth Juste & Márcio Roberto Silva Corrêa 

Isto é também influenciado pelo reduzido número de publicações sobre o assunto em 

português, pois a maior parte da bibliografia é estrangeira e voltada para as 

peculiaridades do país de origem. 

Nos últimos cinco anos essa situação tem se alterado de forma significativa. O 

interesse por esse sistema estrutural cresceu de forma notável, especialmente pelas 

condições nitidamente favoráveis que se obtêm em termos de economia. E, no 

momento, a demanda por tecnologias que possam garantir a execução de obras 

econômicas e seguras é realmente muito grande. 

Nesse aspecto, um ponto de grande importância a ser mais bem estudado é 

exatamente a deformabilidade de painéis de alvenaria de blocos, especialmente levandose 

em consideração as características dos materiais empregados no Brasil e as 

peculiaridades nacionais dos sistemas construtivos utilizados na confecção desses 

painéis. Devido à carência dessas informações, o projetista de estruturas é, em geral, 

obrigado a lançar mão da intuição ou adaptar tabelas presentes em Normas Técnicas 

Internacionais, produzidas para materiais e condições construtivas diferentes dos 

utilizados no Brasil. 

2 PROGRAMA EXPERIMENTAL 

2.1. Resumo dos ensaios realizados 

Durante o programa experimental foram ensaiados os componentes bloco e 

argamassa e os elementos com eles executados: prismas e paredinhas. 

A divisão do trabalho experimental consistiu em duas partes: ensaios-piloto 

utilizando apenas prismas e ensaios finais utilizando prismas e paredinhas. Os ensaiospiloto 

em prismas de três blocos foram realizados para determinar os parâmetros que 

deveriam ser considerados nos posteriores ensaios com paredinhas. 

Assim, definiu-se para os ensaios-piloto em prismas, a análise das seguintes 

variáveis: 

a) Resistência à compressão dos blocos 

Consideração das resistências de 4,5 MPa e 10,0 MPa para blocos de concreto, por 

serem representativos da utilização prática no Brasil. 

b) Argamassa 

Utilização de dois tipos de argamassa industrializada da empresa CIMPOR, a F07 e 

a F51. A escolha dessas argamassas baseou-se na distinção em relação ao módulo de 

elasticidade e à resistência à compressão relatada em boletins técnicos fornecidos 

pelo fabricante. 

Obs.: Foi realizado, paralelamente ao estudo em prismas, um estudo para a 

determinação da resistência e do módulo de elasticidade de um terceiro tipo de 

argamassa – a F11, através de ensaios utilizando-se apenas corpos de prova 

cilíndricos com dimensões de 5 cm x 10 cm, considerando-se a eventualidade de sua 

utilização, o que não ocorreu. 


Estudo da resistência e da deformabilidade da alvenaria de blocos de concreto submetidas... 

3 

c) Cordões de argamassa 

Moldagem dos prismas em duas situações: preenchimento de todos os septos dos 

blocos (assentamento total) e preenchimento apenas dos septos longitudinais dos 

blocos (assentamento lateral). 

Como será discutido mais adiante, o quesito argamassa foi prejudicado em 

função de problemas nos ensaios-piloto de prismas com a argamassa industrializada. 

Optou-se, então, pelo uso de argamassas comuns, com traços usualmente empregados 

na alvenaria, especificados pela BS 5628 (1992). Foi também descartada a variável 

relacionada ao tipo de assentamento da argamassa, devido a restrições de tempo, 

ocupação e espaço no laboratório do SET/EESC/USP. Cabe ressaltar que essa decisão 

foi tomada com o objetivo de reduzir o programa experimental, não tendo a pretensão 

de julgá-la sem importância no comportamento da alvenaria comprimida. 

Definiu-se que os ensaios finais deveriam contemplar os seguintes requisitos: 

a) Resistência à compressão dos blocos 

Consideração dos blocos de concreto com resistências de 4,5 MPa e 12,0 MPa. A 

alteração da resistência dos blocos de 10 MPa para os de 12 MPa deve-se a um 

engano ocorrido na entrega dos blocos. Pelo fato da análise dos corpos de prova 

necessitar da distinção de resistência à compressão e módulo de elasticidade, julgouse 

que esta mudança não afetaria o objetivo dos estudos. Dessa forma, manteve-se a 

modificação da resistência do bloco. 

b) Argamassa 

Utilização de dois traços alternativos de argamassa recomendados pela BS 5628 

(1978), usualmente empregados na alvenaria: 

Cimento:Cal:Areia (em volume) 

Tipo (ii) - 1:0,5:4,5 

Tipo (iii) - 1:1:6 

c) Cordões de argamassa 

Moldagem dos prismas e paredinhas feita apenas com o assentamento total dos 

blocos. 

d) Direção de aplicação de carregamento 

Consideração de duas situações de aplicação de carregamento: paralelo e 

perpendicular à junta de assentamento dos blocos. 

Quanto aos corpos de prova, foram utilizados prismas de três blocos e paredinhas 

com dimensões modulares de 80 cm x 80 cm, conforme indica a figura 2.1. 


4 


(a) 

(b) 

Figura 2.1 - Esquema dos corpos de prova utilizados nos ensaios finais – (a) Prisma (b) 

Paredinha (medidas em mm). 

2.2. Execução dos ensaios de caracterização mecânica 

2.2.1. Blocos 

Ensaios-Piloto 1 e Ensaios Finais 

A caracterização dos blocos, feita em termos de resistência média (f bm ) e de 

resistência característica (f bk ), seguiu as especificações da Norma Brasileira NBR 7186 

(1994). 

A determinação do módulo de elasticidade longitudinal dos blocos foi realizada 

simultaneamente com os ensaios de prismas. Para tanto, foram instalados transdutores 

de deslocamento com curso de 10 mm e base de 155 mm nos blocos centrais dos 

prismas, repetindo esse posicionamento na face oposta do prisma. A opção por este tipo 

de medição pode ser explicada pela tentativa de eliminar a influência do efeito da 

restrição da base da prensa e do capeamento utilizado, já que ensaios anteriores 

realizados pelo laboratório, onde eram utilizadas unidades individuais, indicaram 

dificuldades na obtenção de resultados satisfatórios. Além disso, o posicionamento dos 

transdutores no prisma permitiu que o estudo das deformações do bloco fosse feito 

numa situação semelhante ao seu comportamento na alvenaria. 

2.2.2. Argamassas 

Ensaio-Piloto 1 

Para cada tipo de argamassa do primeiro ensaio-piloto, executaram-se em 

moldes metálicos 6 corpos de prova cilíndricos com dimensões de 5cm x 10cm, 

seguindo as recomendações da Norma Brasileira NBR 7215 (1982). Destes 6 corpos de 

prova, 3 foram ensaiados para obter a resistência à compressão uniaxial, conforme a 

NBR 13279 (1995), e 3 para a determinação do módulo de elasticidade longitudinal, 

conforme as especificações da NBR 8522 (1984) e da Norma Americana ASTM E111- 

82. 



5 

As medições de deformações dos corpos de prova de argamassa foram obtidas 

através do uso de dois tipos de instrumentação: extensômetros, com base de 10 mm, e 

transdutores de deslocamentos, com curso de 10mm (ver figura 2.2). Dois 

extensômetros com base de 10 mm, colados longitudinalmente com massa plástica para 

a medição das deformações axiais, foram dispostos ao longo da geratriz do corpo de 

prova, igualmente espaçados no perímetro da seção transversal. A disposição dos dois 

transdutores foi a mesma dos extensômetros, sendo os encurtamentos tomados em 

relação aos pratos da prensa. Com o uso destes dois tipos de aparelhagem foi possível 

comparar os resultados obtidos pelos mesmos, de modo a escolher o mais adequado 

para a medição de deformações que iriam ser utilizados nos ensaios finais. 

Figura 2.2 - Posicionamento da instrumentação nos corpos de prova de argamassa (EP1). 


Nos ensaios das argamassas do segundo ensaio-piloto foram empregados corpos 

de prova cilíndricos com dimensões de 15 cm x 30 cm. Este tipo de corpo de prova foi 

usado para que fosse possível utilizar o dispositivo mostrado na figura 2.3, para a 

fixação dos transdutores de deslocamentos, sem que os mesmos ficassem em contato 

com os pratos da prensa. Essa medida teve como objetivo reduzir o efeito do 

capeamento nos resultados das deformações. 

Figura 2.3 - Dispositivo de fixação dos transdutores para corpos de prova com dimensões de 15 

cm x 30 cm. 


6 


Ensaios Finais 

Para os ensaios finais foram moldados 4 corpos de prova cilíndricos de 

argamassa, com dimensões de 5cm x 10cm, para cada preparo de argamassa de 

moldagem de 3 paredinhas e 6 prismas. 

Os corpos de prova foram ensaiados para determinar sua resistência à 

compressão. 

2.2.3. Prismas 


Os prismas dos ensaios-piloto foram moldados utilizando três blocos assentados 

a prumo, conforme especifica Norma Americana ASTM E 447 (1997). 

A moldagem dos prismas foi feita através de séries de 3 exemplares, sendo cada 

série diferenciada uma da outra pela variação de dois tipos de argamassa, duas 

resistência de blocos e duas formas de assentamento. Dessa maneira, foram ensaiadas 8 

séries de 3 prismas, totalizando 24 prismas. 

As formas de assentamento são o assentamento total e o lateral dos blocos. O 

assentamento total consiste em preencher com argamassa toda a seção transversal do 

bloco. Para o assentamento lateral o preenchimento é feito apenas nas faces 

longitudinais da seção transversal do bloco. Para efeito de notação neste trabalho, a 

nomeação dos prismas, com finalidade de facilitar a identificação durante os ensaios, foi 

feita utilizando uma letra e três números. A letra indica o tipo de argamassa utilizada (P, 

Q ou R). O primeiro número indica a classe de resistência do bloco utilizado (1 ou 2), o 

segundo a forma de assentamento da argamassa (1 ou 2) e o terceiro o número do 

exemplar da série (1, 2 ou 3). 

A figura 2.4 apresenta o esquema de posicionamento dos transdutores nos 

prismas para medições de deslocamentos no prisma e no bloco. 

(a) 

(b) 

Figura 2.4 - (a) Vista frontal (b) Vista oposta. Transdutores 1,2,3 e 4: medições de 

deslocamentos no prisma; transdutores 5 e 6 - medições de deslocamentos nos blocos (EP1) 

(medidas em mm). 



7 


Nos ensaios finais foram moldados 2 prismas com três blocos assentados a 

prumo para cada paredinha. A execução dos prismas obedeceu as especificações da 

NBR 8.215 (1983). Através destes prismas pretendeu-se obter correlações de resistência 

entre os mesmos e as paredinhas. 

A determinação do módulo de elasticidade dos blocos foi feita utilizando-se três 

prismas para cada classe de resistência de bloco. Os demais prismas foram ensaiados 

apenas para obter sua resistência à compressão. 

A denominação dos prismas durante os ensaios foi feita da seguinte maneira: 

As duas primeiras letras correspondem ao tipo de corpo de prova estudado (PR e 

PA), seguido do tipo de bloco (B1 e B2), tipo de argamassa (A1 e A2), direção de 

carregamento (EY e EX) e número do exemplar (1, 2 e 3). 

Exemplo: PRB1A1EY1 

2.2.4. Paredinhas 

Optou-se por realizar ensaios em paredinhas de blocos de concreto com 

dimensões 80 cm x 80 cm. Para tanto, foram moldadas 24 paredinhas, onde foram 

consideradas duas resistências de bloco, duas resistências de argamassa e duas direções 

de aplicação de carregamento, estando cada variação dividida em séries compostas por 

três exemplares, seguindo por analogia as recomendações da NBR 8522 (1984) para a 

determinação do módulo de elasticidade. 

Com o objetivo de realizar um controle de resistência, para cada paredinha 

foram moldados dois prismas de três blocos. E, para cada mistura de argamassa, 

calculada para ser suficiente na execução de três paredinhas e 6 prismas, foram 

moldados 4 corpos de prova. 

Os esquemas de instrumentação utilizados durante os ensaios para a paredinha 

ensaiada nas direções x e y são mostrados na figura 2.5 e 2.6, respectivamente. 

Os extensômetros 1, 2, 3 e 4 tiveram como objetivo medir os deslocamentos 

verticais dos blocos, de modo a possibilitar a obtenção do módulo de elasticidade 

longitudinal das paredinhas. Os extensômetros 5 e 6 foram utilizados para medir os 

deslocamentos horizontais nos blocos na região central da paredinha. Com isso, tinha-se 

como objetivo calcular o coeficiente de Poisson local nas paredes. 

A realização dos ensaios das paredinhas seguiu basicamente os mesmos 

procedimentos utilizados durante os ensaios de determinação do módulo de elasticidade 

longitudinal dos prismas. 


8 


(a) 

(b) 

Figura 2.5 - (a) Vista frontal (b) Vista oposta. Transdutores 1,2,3 e 4 - medições de 

deslocamentos verticais na parede; Transdutores 5 e 6 - medições de deslocamentos horizontais 

na parede (EF) (medidas em mm). 

(a) 

(b) 

Figura 2.6 - (a) Vista frontal (b) Vista oposta. Transdutores 1,2,3 e 4: medições de 

deslocamentos verticais na parede; Transdutores 5 e 6 - medições de deslocamentos horizontais 

na parede (EF) (medidas em mm). 

3 ANÁLISE DOS RESULTADOS 

3.1. Blocos 

Ensaios-Piloto 1 

Os valores das resistências médias à compressão são apresentados na tabela 3.1 

e os valores característicos estimados na tabela 3.2. 



9 

Tabela 3.1 - Valores médios de resistência à compressão dos blocos (EP1) 

Tipo de 

bloco 

Classe de 

resistência 

Idade dos 

blocos 

Área bruta 

(546 cm 2 ) 

Área líquida 

(300 cm 2 ) 

(MPa) (dias) f bm 

(MPa) 

S d 

(MPa) 

CV (%) f bm 

(Mpa) 

S d 

(MPa) 

CV 

(%) 

1 4,5 114 9,43 0,86 9,12 17,15 1,56 9,10 

2 10,0 206 22,55 1,01 4,48 41,00 1,84 4,49 

Tabela 3.2 - Valores característicos de resistência à compressão dos blocos (EP1) 

Tipo Classe de Área bruta (546 cm 2 ) Área líquida (300 cm 2 ) 

de 

bloco 

resistência (MPa) f bk,est 

(MPa) 

S d 

(Mpa) 

CV (%) f bk,est 

(MPa) 

S d 

(MPa) 

CV 

(%) 

1 4,5 8,37 0,86 10,27 15,22 1,56 10,25 

2 10,0 20,27 1,01 4,98 36,85 1,84 4,99 

A resistência à compressão média dos blocos foi cerca de 10% maior do que sua 

resistência característica. Além disso, pode-se perceber que os valores de resistência 

média dos blocos excederam em mais de 100% a resistência nominal dos mesmos. 

A determinação do módulo de elasticidade dos blocos foi feita a partir do gráfico 

tensão-deformação, utilizando-se a equação de uma parábola ajustada à curva obtida 

experimentalmente, com os valores médios entre os dois transdutores indutivos de 

deslocamento. Cabe ressaltar que esta curva foi determinada descartando-se o trecho de 

acomodação do corpo de prova e os pontos em que se percebeu grande distanciamento 

entre a parábola e os resultados dos ensaios, compreendendo níveis de carregamento 

superiores em torno de 50% da carga de ruptura. 

Segundo recomendação do ACI 530-92 (1995), o módulo de elasticidade 

longitudinal do bloco foi calculado a partir da inclinação de uma reta secante obtida no 

gráfico tensão-deformação, através da ligação entre os pontos correspondentes a 5% e 

33% da tensão de ruptura do bloco durante o ensaio à compressão. Com isso, pretendeuse 

minimizar as possíveis perturbações referentes ao início do ensaio. 

Na tabela 3.3 são apresentados os valores das relações entre o módulo de 

elasticidade e a resistência à compressão dos blocos. Segundo DRYSDALE et al. 

(1994), este valor para blocos de concreto pode variar entre 500 e 1000. Dessa forma, 

verificou-se que ambos os blocos atenderam as especificações do referido autor. Os 

valores também se encontram na faixa entre 500 a 1500, proposta por SAHLIN (1971). 

Além disso, pode-se concluir que a rigidez dos blocos aumenta proporcionalmente ao 

aumento das resistências dos mesmos. Esta tabela também apresenta a mesma relação 

ao utilizar as expressões sugeridas pelo CEB-FIP Model Code (1990) e pelo ACI – 

Building Code 318 (1990) para estimar o valor do módulo de elasticidade do concreto. 

Os valores obtidos através destas expressões mostraram grande distanciamento dos 

valores experimentais, exceto para a estimativa utilizando a expressão do CEB-FIP 

Mode Code (1990) para o bloco do tipo 2. 


10 


Tabela 3.3 - Valores das relações entre módulo de elasticidade e resistência à compressão dos 

blocos (EP1) 

Tipo de Valores obtidos E bm segundo ACI E bm segundo CEB-FIP 

Bloco Nos ensaios E bm =0,0428.f 1/2 1,5 

bm . γ b E bm =2,5.10 4 (.f bm /10) 1/3 

f bm 

* 

(MPa) 

E bm 

(MPa) 

E bm /f bm E bm (Mpa) E bm /f bm E bm (MPa) E bm /f bm 

1 17,15 16902 986 9066 529 29922 1745 

2 41,00 41391 1010 31340 764 40013 976 

* Resistência do bloco na área líquida. 


Os valores das resistências médias à compressão são apresentados na tabela 3.4 

e os valores característicos estimados na tabela 3.5. 

Nestes ensaios, podem-se perceber aumentos na resistência à compressão média 

dos blocos de até 150% quando comparada aos valores nominais. Foram obtidos baixos 

coeficientes de variação para os valores de resistência alcançados, encontrando-se na 

faixa entre 5 e 11%. 

O módulo de elasticidade dos blocos foi obtido do mesmo modo dos ensaiospiloto 

1, ou seja, a partir da equação de uma parábola ajustada à curva obtida 

experimentalmente no gráfico tensão-deformação. O ajuste desta curva foi feito até 

níveis de tensão da ordem de 60% do valor da carga de ruptura. Este valor foi estipulado 

por permitir o cálculo do módulo de elasticidade secante entre níveis de tensões entre 5 

e 33% da carga de ruptura e apresentar ótimos coeficientes de ajustes para as parábolas 

obtidas. 

Tabela 3.4 - Valores médios de resistência à compressão dos blocos (EF) 

Tipo 

de 

Classe de 

Resistência 

Idade dos 

blocos 

Área bruta 

(546 cm 2 ) 

Área líquida 

(289 cm 2 ) 

Bloco (MPa) (dias) f bm 

(MPa) 

S d 

(MPa) 

CV (%) f bm 

(Mpa) 

S d 

(Mpa) 

CV 

(%) 

B1 4,5 77 10,80 1,14 10,51 20,38 2,14 10,51 

B2 12,0 - 22,92 1,32 5,75 41,00 2,49 5,75 

Tabela 3.5 - Valores característicos de resistência à compressão dos blocos (EF) 

Tipo Classe de Área bruta (546 cm 2 ) Área líquida (289 cm 2 ) 

de 

Bloco resistência (MPa) f bk,est 

(MPa) 

S d 

(MPa) 

CV (%) f bk,est 

(MPa) 

S d 

(MPa) 

CV 

(%) 

B1 4,5 8,84 1,14 12,90 16,68 2,14 12,83 

B2 12,0 19,91 1,32 4,41 38,83 2,49 6,41 



11 

A figura 3.1 apresenta um gráfico com uma curva ajustada aos valores médios 

de deformações. 

Gráfico Tensão x Deformação PRB1A2E y 2 - Bloco de 4,5 MPa 

6,0 

5,0 

Tensão (MPa) 

4,0 

3,0 

2,0 

y = -3E+06x 2 + 7515,9x 

R 2 = 0,9938 

Média Transdutores 

Ajuste da curva (parábola) 

1,0 

0,0 

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018 

Deformação 

Figura 3.1 - Exemplo da curva ajustada para os valores médios de tensão-deformação para o 

bloco de 4,5 MPa (EF). 

Cabe ressaltar que, ao contrário dos ensaios-piloto, o módulo de elasticidade 

longitudinal foi calculado a partir da resistência à compressão em relação à área bruta 

dos corpos de prova. Admitiu-se esta convenção para que fosse possível fazer 

comparações coerentes entre blocos, prismas e paredinhas ensaiadas nas duas direções, 

sem a necessidade de determinação da área efetiva de cada corpo de prova. 

Os valores dos módulos de elasticidade longitudinal dos blocos, obtidos a partir 

da inclinação da reta secante entre os pontos correspondentes a 5% e 33% da tensão de 

ruptura são apresentados na tabela 3.6 para os blocos de 4,5 MPa e na tabela 4.10 para 

os blocos de 12,0 MPa. Os valores obtidos que se distanciaram muito em relação aos 

demais foram descartados. 

A tabela 3.6 também apresenta as relações entre módulo de elasticidade e 

resistência à compressão dos blocos para os valores obtidos nos ensaios, ao utilizar a 

expressão sugerida pelo ACI – Building Code 318 (1990) e a proposta pelo CEB-FIP 

Mode Code (1990), para estimar o valor do módulo de elasticidade do concreto. 

Verificou-se que, para os blocos de 4,5 MPa, a relação E bm /f bm obtida 

experimentalmente atendeu aos limites especificados por DRYSDALE et al. (1994), 

entre 500 e 1000, e SAHLIN (1971), entre 500 e1500. Porém, para os blocos de 12 MPa 

este valor ficou abaixo do esperado. 

Para estes ensaios, pode-se observar também que os valores calculados a partir 

da equação sugerida pelo CEB-FIP Mode Code (1990) ficaram bem distantes dos 

obtidos experimentalmente. 


12 


Tabela 3.6 - Valores das relações entre módulo de elasticidade e resistência à compressão dos 

blocos (EF) 

Tipo de Valores obtidos E bm segundo ACI E bm segundo CEB-FIP 

Bloco Nos ensaios E bm =0,0428.f 1/2 1,5 

bm . γ b E bm =2,5.10 4 (f bm /10) 1/3 

* 

f bm E bm E bm /f bm E bm (MPa) E bm /f bm E bm (Mpa) E bm /f bm 

(Mpa) (MPa) 

B1 10,80 6228 577 5557 515 25650 2375 

B2 22,92 7554 330 9208 402 32962 1438 

* Resistência do bloco na área bruta. 

3.2. Argamassas 


A tabela 3.7 apresenta as resistências à compressão dos corpos de prova 

cilíndricos de dimensões de 5 cm x 10 cm, referentes às argamassas industrializadas 

utilizadas nas séries do primeiro ensaio-piloto. 

A determinação do módulo de elasticidade obedeceu aos mesmos procedimentos 

usados para os blocos de concreto. Um exemplo de gráfico com as curvas de tensãodeformação, 

obtidas através do uso de extensômetros e transdutores, é mostrado na 

figura 3.2. Os valores obtidos pelas medições feitas através dos transdutores indutivos 

de deslocamentos e dos extensômetros estão apresentados na tabela 3.8. 

Através dos resultados fornecidos pela tabela 3.8, percebeu-se que os 

coeficientes de variação, na sua maioria, foram menores para as medições feitas 

utilizando extensômetros. A exceção para a argamassa do tipo P deveu-se ao fato de ter 

sido desconsiderado o resultado que apresentou um desvio grande em relação à média. 

Caso contrário essa variação teria sido de 28%, ou seja, bem superior à obtida com o 

uso do extensômetro. Assim, pode-se admitir a grande influência do capeamento na 

variação dos resultados ao se utilizar transdutores apoiados na base da prensa, 

concluindo que o uso de extensômetros para medições de deformações ainda é 

considerado o mais adequado. 

Tabela 3.7 - Resistência à compressão dos corpos de prova de argamassa cilíndricos 5 x 10 cm 

(EP1) 

Tipo de Resistência indicada F rup,am do Resistência à compressão (35 

dias) 

argamassa Pelo fabricante (28 dias) ensaio (kN) f am (MPa) S d (MPa) CV (%) 

P 6,0 10,3 5,2 0,28 5,4 

Q 4,2 11,1 5,7 0,48 8,4 

R 2,8 7,2 3,7 0,14 3,9 



13 

Tabela 3.8 - Módulo de elasticidade das argamassas industrializadas (EP1) 

Tipo de 

argamassa 

Módulo de elasticidade médio 

Extensômetro 


Transdutor 

E am (MPa) S d (MPa) CV (%) E am (MPa) S d (MPa) CV (%) 

P 7396 1244,35 16,82 5664 883,88 15,61 

Q 8879 671,75 7,57 9720 1000,98 10,30 

R 5903 444,43 7,53 8144 144,96 1,78 

A tabela 3.9 apresenta a relação entre o módulo de elasticidade e a resistência à 

compressão da argamassa, a partir dos valores obtidos através do uso de extensômetros 

e de transdutores. Esta mesma relação tem o valor proposto por HILDSDORF 1 apud 

ALY (1992) de 1000. 

Tabela 3.9 - Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão das argamassas 

(EP1) 

Tipo de 


Extensômetro 


Transdutor 

argamassa E am / f am S d CV (%) E am / f am S d CV (%) 

P 1142 130,67 9,74 890 169,88 19,09 

Q 1530 95,00 6,20 1685 261,53 15,52 

R 1633 188,43 11,55 1699 873,98 51,44 

Observa-se que os valores obtidos para as relações E am /f am foram bem próximos 

em ambos os casos, porém o coeficiente de variação teve um valor muito superior 

quando utilizado o transdutor. 


As tabelas 3.10 e 3.11 apresentam, respectivamente, as características de 

resistência à compressão e de deformabilidade das argamassas estudadas. 

A necessidade da escolha de duas argamassas com módulos de elasticidade 

distintos foi atendida. Dessa forma, julgou-se plausível utilizar a dosagem desenvolvida 

pela autora citada. 

1 

HILSDORF, H.K. (1969).Investigation into the Failure Mechanism of Brick Masonry Loaded in Axial 

Compression. Houston, Gulf. Londres. 


14 


Tabela 3.10 - Resistência à compressão das argamassas (EP2) 

Tipo de Resistência à 

compressão 

F rup,am do Resistência à compressão (16 

dias) 

Argamassa FONTE (28 dias) ensaio (kN) f am (MPa) S d (MPa) CV (%) 

A1 6,9 116 6,44 0,13 1,99 

A2 4,1 74 4,20 0,07 1,64 

Tabela 3.11- Módulo de elasticidade das argamassas (EP2) 

Tipo de argamassa E am (MPa) S d (MPa) CV (%) 

A1 9796 102,55 1,05 

A2 7598 359,56 4,73 

Tabela 3.12 - Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão das argamassas 

(EP2) 

Tipo de argamassa E am /f am (MPa) S d (MPa) CV (%) 

A1 1517 17,62 1,16 

A2 1809 74,03 4,09 

Média 1663 206,89 12,44 

Nota: Os módulos foram obtidos a partir do ajuste da curva tensão-deformação até 80% do 

valor da carga de ruptura. 

As relações entre o módulo de elasticidade e a resistência à compressão da 

argamassa, apresentadas na tabela 3.12, mostram que os coeficientes de variação foram 

bem menores que os obtidos nos ensaios-piloto 1. Porém, a média dos valores desta 

relação comprovou um certo distanciamento já indicado nos ensaios-piloto 1, no que diz 

respeito ao valor igual a 1000, proposto por HILDSDORF (1992). 


Já a tabela 3.13 indica os valores médios de cada tipo de argamassa para todos 

os corpos de prova ensaiados. 

Ao comparar os resultados de resistência à compressão dos ensaios finais e os 

valores estimados para os 28 dias dos ensaios-piloto 2, utilizando a expressão 4.1, 

observou-se aumentos de 44,4% para a argamassa do tipo 1 e 9,3% para a argamassa do 

tipo 2. 

Tabela 3.13 - Resistência à compressão média dos corpos de prova de argamassa (EF) 

Tipo de 

Resistência média à compressão 

Argamassa f am (MPa) S d (Mpa) CV (%) 

A1 10,24 0,82 8,00 

A2 5,05 0,88 17,31 



15 

3.3. Prismas 

Ensaios-Piloto 1 

A tabela 3.14 apresenta os valores obtidos nos ensaios das séries de prismas e os 

valores de carga de ruptura previstos teoricamente, baseados num valor médio de 

eficiência igual a 0,80, obtido pelos ensaios realizados por ALY & SABBATINI (1994), 

a diferença entre estes valores, em relação aos previstos teoricamente, além da sua 

resistência à compressão, obtida em função da área líquida dos blocos. 

Tabela 3.14 - Resistência à compressão dos prismas (EP1) 

Série F rup,prevista F rup,ensaio Diferença Resistência média à compressão 

(kN) (kN) (%) f pm * (MPa) S d (MPa) CV (%) 

Q11 260 255 -1,9 8,48 1,02 12,04 

Q12 260 227 -12,7 7,56 1,23 16,22 

Q21 579 503 -13,1 16,75 1,53 9,13 

Q22 579 344 -40,6 10,82 0,07 0,63 

* Resistência do prisma na área líquida. 

A tabela acima mostra uma proximidade nos valores previstos teoricamente e os 

obtidos nos ensaios para os prismas de blocos de resistência à compressão de 4,5 MPa. 

Porém, cabe ressaltar que estes valores teóricos referem-se aos blocos com suas 

resistências à compressão correspondentes aos valores característicos especificados 

pelo fabricante. Porém, notou-se que os mesmos representavam a resistência à 

compressão característica dos blocos aos 7 dias e não aos 28, como previsto. Com a 

realização do ensaio de resistência à compressão dos blocos, notou-se um ganho de 

resistência de 86 e 103% para os blocos de 4,5 MPa e 10 MPa, respectivamente. Dessa 

forma, deveriam ser obtidos valores bem superiores aos alcançados, o que resultou 

valores de eficiência extremamente baixos. 

Como citado no capítulo 3 do presente trabalho, os ensaios de prismas à 

compressão foram feitos utilizando-se as argamassas dos tipos P e Q. Os prismas com o 

tipo P apresentaram um esmagamento precoce da argamassa utilizada, ocorrendo o 

esboroamento da mesma com níveis de carregamento na faixa de 15 a 40% da carga de 

ruptura alcançada. Com isso, alguns corpos de prova chegaram ao final do ensaio com 

perda total da interface bloco-argamassa. Além disso, houve o descolamento de alguns 

blocos durante o transporte dos corpos de prova. Ambas as ocorrências indicaram que 

estes prismas tiveram problemas em relação à aderência bloco-argamassa quando usada 

a referida argamassa. 

A ruptura precoce levou os prismas a alcançarem módulos de elasticidade 

extremamente elevados para as argamassa do tipo P. Assim, optou-se por não 

considerar os módulos de elasticidade dos ensaios com esta argamassa, já que os 

mesmos resultaram em resultados insatisfatórios. 

Verificou-se, também, um comprometimento na aderência da interface blocoargamassa 

nos ensaios pilotos realizados com a argamassa industrializada do tipo Q, já 

que em vários dos prismas houve o descolamento dos blocos durante o transporte dos 

corpos de prova e algumas ocorrências de esboroamento em cargas muito baixas 

durante o ensaio. Porém, para este tipo de argamassa, o gráfico tensão–deformação 

apresentou um comportamento típico, sem a mudança brusca de inclinação da curva. 


16 


No presente trabalho, verificou-se que o uso da argamassa industrializada não 

resultou numa boa combinação argamassa/tipo de bloco. Além disso, a argamassa Q é 

recomendada pelo fabricante para assentar blocos sílico-calcáreos, o que pode explicar 

em parte a perda de aderência. 

Outro motivo que poderia explicar o comprometimento dos valores obtidos nos 

ensaios é o uso de aditivos incorporadores de ar na argamassa. Segundo SOLÓRZANO 

(1994), apesar de diminuir a quantidade de água que deve ser colocada na argamassa, 

melhorar a sua trabalhabilidade e beneficiar na retenção de água, diminui a resistência 

de aderência. 

A BS 4721 limita o teor de ar incorporado para argamassa pronta 

industrializada em um teor mínimo de 7% e máximo de 18%. As argamassas utilizadas 

do tipo P e Q apresentaram teores de 29 e 17%, respectivamente. De fato, a argamassa 

do tipo P, que não atende aos limites estipulados por essa norma, foi a que mais 

apresentou comprometimento na resistência de aderência, resultando em valores de 

resistência à compressão e módulo de elasticidade poucos satisfatórios. 

Tabela 3.15 - Módulo de elasticidade dos prismas da série Q (EP1) 

Série E pm (Mpa) S d (MPa) CV (%) 

Q11 4756 64 1,35 

Q12 7302 410 5,61 

Q21 13738 543 3,95 

Q22 12412 190 1,53 

* Resistência do prisma na área líquida. 

A média dos prismas apresentou baixos coeficientes de variação. Notou-se que, 

conforme é aumentada a resistência à compressão do bloco, a influência da forma de 

assentamento no módulo de elasticidade do prisma diminui. Assim, a diferença entre o 

módulo de elasticidade do prisma quando comparado o assentamento total e o lateral 

para o bloco de 4,5 MPa foi de 54%, sendo que para o bloco de 10 MPa esta diferença 

foi de 11%. Além disso, observou-se um aumento no módulo de elasticidade quando 

utilizado o assentamento lateral para o bloco de 4,5 MPa e uma diminuição deste valor 

para blocos de 10 MPa (ver tabela 3.15). 

A influência da resistência à compressão da argamassa na resistência à compressão 

do prisma não pode ser analisada, já que os ensaios referentes ao segundo tipo de 

argamassa foram desconsiderados. 

Tabela 3.16 - Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão dos prismas 

(EP1) 

Série de Prisma E pm /f pm S d CV (%) 

Q11 525* 10,36 1,97 

Q12 864 86,00 9,96 

Q21 964 243,25 25,23 

Q22 1145 26,32 2,30 

Média 991 116,45 11,75 

* Resultado descartado por apresentar um desvio grande em relação aos outros valores. 



17 

A tabela 3.16 apresenta a relação entre o módulo de elasticidade e a resistência 

média à compressão dos prismas. Por estes valores, descartando o valor da série Q11, 

que se afastou bastante da média, a relação fica em torno de 1000, próxima à obtida para 

os blocos. 

Influência da resistência à compressão do bloco na resistência à compressão do 

prisma 

A tabela 3.17 apresenta os valores de eficiência obtidos nos ensaios de prismas. 

As relações entre f pm e f bm mostradas nesta tabela diferem bastante dos valores 

esperados nos ensaios. Para a previsão teórica da resistência à compressão dos prismas, 

utilizou-se a relação de 0,80, assumida com no valor médio obtido nos ensaios em 

prismas de blocos de concreto realizados por ALY & SABBATINI (1994). 

OLIVEIRA (1997) alcançou em seus ensaios com prismas utilizando dois blocos 

de 4,5 MPa uma eficiência de 0,87. 

Atribuíram-se os baixos valores de eficiência alcançados à baixa aderência entre 

bloco e a argamassa. 

Tabela 3.17 - Relação entre resistência à compressão do prisma e dos blocos (EP1) 

Série de f pm (A l ) f pm (A b ) f bm (A l ) f bm (A b ) Eficiência 

Prisma (Mpa) (MPa) (MPa) (MPa) f pm / f bm 

P11 5,42 2,98 17,15 9,43 0,32 

P12 4,61 2,54 17,15 9,43 0,27 

P21 13,05 7,18 41,00 22,55 0,32 

P22 12,83 7,06 41,00 22,55 0,31 

Q11 8,48 4,67 17,15 9,43 0,49 

Q12 7,56 4,16 17,15 9,43 0,44 

Q21 15,09 8,30 41,00 22,55 0,37 

Q22 11,47 6,31 41,00 22,55 0,28 


Na tabela 3.18 são apresentados os valores de cargas de ruptura previstos 

teoricamente e os obtidos nas séries ensaiadas, a diferença entre estes valores, em 

relação aos previstos teoricamente, além de suas correspondentes resistências à 

compressão, calculada em relação à área bruta dos blocos. 

Para a previsão teórica da resistência à compressão dos prismas, utilizou-se a 

relação de 0,80, assumida com base no valor médio obtido nos ensaios em prismas de 

blocos de concreto realizados por ALY & SABBATINI (1994). 


18 


Tabela 3.18 - Resistência à compressão dos prismas (EF) 

Série F rup,prevista F rup,ensaio Diferença Resistência média à 

compressão 

Correspondente (kN) (kN) (%) f pm (MPa) S d (Mpa) CV (%) 

PRB1A1E y 422 437 3,6 7,96 0,67 8,39 

PRB1A1E x 422 377 -10,7 6,89 0,89 12,01 

PRB2A1E Y 1001 459 -54,2 7,75 0,78 10,03 

PRB2A1E X 1001 574 -42,7 10,48 1,37 12,74 

PRB1A2E Y 422 433 2,6 7,93 0,85 10,77 

PRB1A2E X 422 388 -8,1 7,07 0,84 11,91 

PRB2A2E y 1001 507 -49,4 9,22 1,23 13,38 

PRB2A2E x 1001 491 -51,0 9,44 1,46 15,44 

* Resistência do prisma na área bruta. 

Os valores apresentados na tabela acima mostram as resistências médias à 

compressão dos 6 prismas de cada série de paredes (2 prismas para cada parede). 

As séries moldadas com blocos do tipo 1 apresentaram variações de resistência à 

compressão desprezíveis ao variar os tipos de argamassa utilizados. Porém, pode-se 

perceber que os valores de resistência à compressão obtidos durante os ensaios finais 

distanciaram-se muito dos valores previstos teoricamente para os prismas que utilizaram 

o bloco do tipo 2. Esta ocorrência pode ter como motivo o uso de blocos de resistência à 

compressão muito elevada se comparada à resistência à compressão da argamassa. 

Desta forma, o esmagamento da argamassa ocorreu muito precocemente, fato este 

observado durante os ensaios. Com isso, comprova-se a observação de DRYSDALE et 

al. (1994), a respeito do aumento da influência da resistência à compressão da 

argamassa na resistência à compressão da alvenaria conforme se aumenta a resistência 

da unidade. 

Tabela 3.19 - Módulo de elasticidade dos prismas (EF) 

Série F pm Módulo de Elasticidade 

Correspondente (MPa) E pm (MPa) S d CV (%) 

(MPa) 

PRB1A2E y 7,74 6183 501 8,10 

PRB2A2E y 9,98 4870 487 10,00 

* Resistência do prisma na área bruta. 

Para estes ensaios, os valores médios de módulos de elasticidade dos prismas 

também apresentaram baixos coeficientes de variação. Vale lembrar que foram 

descartados os resultados que se distanciaram muito dos demais. 

A determinação do módulo de elasticidade foi realizada em apenas 3 prismas 

correspondentes a cada tipo de bloco estudado. Desta forma, procurou-se analisar os 

módulos de elasticidade das duas séries em que foram utilizadas duas resistências 

distintas de blocos, totalizando 6 prismas ensaiados. 

Observou-se que os prismas com resistência de blocos maiores tiveram seu 

módulo de elasticidade menor ao compará-los com os de menor resistência. Isto 

contradiz o que era esperado, partindo da hipótese de que resistências maiores tendem a 



19 

produzir um conjunto mais rígido, ou seja, com módulo de elasticidade mais elevado. 

Com isso, os resultados indicaram uma maior deformabilidade ao utilizar o bloco de 

maior resistência. Isto pode ter ocorrido pelo fato de ter sido realizado o ensaio usando a 

argamassa do tipo 2, que apresentou resistências de prismas bem inferiores à esperada 

quando combinada com o bloco do tipo 2, resultando numa ruptura por esmagamento da 

argamassa. Dessa forma, o módulo de elasticidade menor para esta série indica a 

deformabilidade da parede levando à ruptura por esmagamento da argamassa, enquanto 

a série PRB1A2Ey indica a deformabilidade da parede levando à ruptura por tração do 

bloco. 

Tabela 3.20 - Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão dos prismas (EF) 

Série de prisma E pm /f pm S d CV (%) 

B1A2E y 789 18,88 2,27 

B2A2E y 489 57,89 11,84 

A relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão média dos 

prismas, mostrada através da tabela 3.22, mostra que, provavelmente, a baixa resistência 

à compressão da argamassa em relação ao bloco tenha afetado o comportamento do 

conjunto. 

Influência da resistência à compressão do bloco na resistência à compressão do 

prisma 

Os valores de eficiência obtidos nos ensaios de prismas são apresentados na 

tabela 3.21. 

Tabela 3.21- Relação entre resistência à compressão do prisma e dos blocos (EF) 

Série f pm (A b ) f bm (A b ) Eficiência 

Correspondente (Mpa) (MPa) f pm /f bm 

PRB1A1E y 7,96 10,80 0,74 

PRB1A1E x 6,89 10,80 0,64 

PRB2A1E Y 7,75 22,92 0,34 

PRB2A1E X 10,48 22,92 0,46 

PRB1A2E Y 7,93 10,80 0,73 

PRB1A2E X 7,07 10,80 0,66 

PRB2A2E y 9,22 22,92 0,40 

PRB2A2E x 9,44 22,92 0,41 

As eficiências obtidas através dos ensaios de prismas aproximaram do valor 0,70 

quando usados prismas com blocos do tipo B1 e 0,40 quando usados blocos do tipo B2. 

Com isso, pode-se comprovar que para o primeiro caso os valores estão 14% abaixo da 

média obtida por ALY & SABBATINI (1994). No segundo caso o valor cai muito, 

indicando inadequação da argamassa para o bloco usado. 

O uso da argamassa de menor resistência à compressão teve pouquíssima 

interferência nos valores de resistências à compressão dos prismas, no caso do bloco 

B1, concordando com a consideração feita por ROMAGNA (2000). Esse autor afirma 


20 


não haver influência da resistência à compressão da argamassa na resistência à 

compressão do prisma para blocos de baixa resistência. 

3.4. Paredinhas 

3.4.1. Resistência à compressão 

Os valores médios de força de compressão de ruptura prevista teoricamente e os 

alcançados nos ensaios, a diferença entre estes valores, em relação aos estimados, e a 

resistência média à compressão obtida em função da área bruta das paredinhas podem 

ser encontrados na tabela 3.22. 

Tabela 3.22 - Resistência à compressão das paredinhas (EF) 

Série F rup,prevista F rup,ensaio Diferença Resistência média à compressão 

Correspondente (kN) (kN) (%) f pam * (MPa) S d CV (%) 

(MPa) 

PAB1A1E y 669 550 -17,8 4,97 0,35 7,12 

PAB1A1E x 335 238 -29,0 2,16 0,14 6,48 

PAB2A1E Y 1420 978 -31,1 8,84 0,96 10,89 

PAB2A1E X 710 576 -18,9 5,20 0,60 11,53 

PAB1A2E Y 669 456 -31,8 4,12 0,39 9,42 

PAB1A2E X 335 222 -33,7 2,01 0,06 2,99 

PAB2A2E y 1420 625** -56,0 5,65 - - 

PAB2A2E x 710 427 -39,9 3,38 0,35 10,45 

* Resistência do prisma na área bruta; 

** Nesta série não foi possível obter valores médios devido à ruptura de duas paredinhas 

durante o transporte. 

A previsão teórica da resistência à compressão das paredinhas ensaiadas com 

carregamento na direção Y foi de 0,56.f bm (0,7.f pm ), com base nos resultados médios de 

eficiência obtidos nos ensaios de ALY & SABBATINI (1994). Para as paredinhas com 

carregamento na direção X, admitiu-se que esse valor cairia pela metade, ou seja, 

0,28.f bm . 

Pode-se observar a existência de grandes diferenças entre as resistências à 

compressão previstas e as obtidas experimentalmente. 

A tabela 3.23 foi elaborada com o objetivo de verificar o fator de eficiência em 

paredinhas quando carregadas na direção Y e X, alcançando valores próximos de 0,40 e 

0,20, respectivamente, contra 0,56 e 0,28, utilizados para estimar as resistências à 

compressão. 

Ao comparar as paredinhas moldadas com blocos do tipo 1 (4,5 MPa) ensaiadas 

na direção Y e X, verificou-se diminuições de resistência de 17% e 7%, 

respectivamente, ao passar da argamassa do tipo 1 para a do tipo 2. Para as paredinhas 

de 12 MPa, esta diferença foi de 35% para as paredinhas ensaiadas na direção X. 



21 

Tabela 3.23 - Relação entre resistência à compressão da paredinha e dos blocos (EF) 

Série f pam (A b ) f bm (A b ) Eficiência 

Correspondente (MPa) (MPa) f pam /f bm 

PAB1A1E y 4,97 10,80 0,46 

PAB1A1E x 2,16 10,80 0,20 

PAB2A1E Y 8,84 22,92 0,39 

PAB2A1E X 5,20 22,92 0,23 

PAB1A2E Y 4,12 10,80 0,38 

PAB1A2E X 2,01 10,80 0,19 

PAB2A2E y 5,65 22,92 0,25 

PAB2A2E x 3,38 22,92 0,15 

Gráfico Eficiência x Resistência à compressão da paredinha 

0,6 

0,5 

Eficiência da paredinha 

0,4 

0,3 

0,2 

Bloco B1 

Bloco B2 

0,1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

f pa (MPa) 

Figura 3.2 - Gráfico de eficiência x resistência à compressão da paredinha (EF). 

A figura 3.2 apresenta um gráfico com a reta obtida a partir dos resultados de 

resistência à compressão das paredinhas ensaiada na direção Y e suas correspondentes 

ensaiadas na direção X, mostrando uma certa tendência destas últimas resistirem a cerca 

de 50% dos esforços suportados pelas primeiras. 


22 


Resistência à compressão da paredinha em Y x Resistência à compressão da paredinha em X 

10 

9 

8 

7 

f pam em Y (MPa) 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

f pam em X (MPa) 

Figura 3.3 - Gráfico de resistência à compressão da paredinha ensaiada em Y x resistência à 

compressão da paredinha ensaiada em X (EF). 

3.4.2. Módulo de elasticidade 

O módulo de elasticidade das paredinhas foi obtido da mesma maneira descrita 

para os demais ensaios, ou seja, através da inclinação da reta formada entre os pontos de 

5 a 33% da tensão de ruptura, a partir da equação de cada curva ajustada, obtida com os 

valores experimentais médios de tensão x deformação. 

Tabela 3.24 - Módulo de elasticidade das paredinhas (EF) 

Séries de paredes f pam Módulo de Elasticidade * 

Correspondentes (Mpa) E pam (Mpa) S d (Mpa) CV (%) 

PAB1A1E y 4,97 6383 160,62 2,52 

PAB1A1E x 2,16 3060 40,72 1,33 

PAB2A1E Y 8,84 9128 1105,50 12,11 

PAB2A1E X 5,20 8062 566,92 7,03 

PAB1A2E Y 4,12 6440 147,96 2,30 

PAB1A2E X 2,01 3125 173,94 5,57 

PAB2A2E y 3,86 8693** - - 

PAB2A2E x 3,38 6966 2552,04 36,64 

* Resistência do prisma na área bruta 

** Nesta série não foi possível obter valores médios devido a ruptura de duas paredinhas 


Analisando os resultados em paredinhas moldadas com blocos do tipo 1 é possível 

perceber que os módulos de elasticidade praticamente não sofreram aumentos 

significativos com a mudança do tipo de argamassa utilizada. Já nas paredinhas onde 

foram usados blocos do tipo B2, esta variação foi de 13%. Isto pode comprovar o que já 

concluído por FRANCO (1987) em seu trabalho experimental, que a diferença entre os 



23 

módulos de elasticidade se torna cada vez mais sensível com a alteração dos traços da 

argamassa, conforme maior o módulo de elasticidade da alvenaria. 

Entretanto, ao comparar os módulos de elasticidade obtidos nas séries de 

paredinhas com argamassa do tipo 1, observaram-se aumentos de 43 e 164% nas 

direções de ensaio Y e X, respectivamente, ao passar de blocos do tipo 1 para o tipo 2. 

Ao utilizar a argamassa do tipo 2, esse aumento foi de 123% para a parede ensaiada na 

direção X. 

As séries em que foram utilizados blocos do tipo 1 com as argamassas tanto do tipo 

1 quanto do tipo 2, sofreram redução média de 52% ao passar a direção de ensaio de X 

para Y. Já para a série em que se utilizou o bloco do tipo 2 e argamassa do tipo 1 esta 

redução foi de 12%. 

Tabela 3.25 - Comparação do módulo de elasticidade entre a expressão proposta por SHALIN 

(1971) e os obtidas no ensaio (EF) 

Séries de paredes E am 

* 

E bm E pam 

* 

E pam 

Correspondentes (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) 

PAB1A1E y 9796 6228 6380 6383 

PAB2A1E Y 9796 7554 7778 9128 

PAB1A2E Y 7598 6228 6425 6440 

PAB2A2E y 7598 7554 6425 8693** 

* Resistência do bloco na área bruta 

** Nesta série não foi possível obter valores médios devido a ruptura de duas paredinhas 


A partir dos valores de módulo de elasticidade médios da argamassa e do bloco 

calculadas a partir dos ensaios, montou-se a tabela 3.28 para que fosse possível 

comparar os resultados teóricos com o uso da equação proposta por SHALIN (1971) e 

os módulos obtidos nos ensaios de paredinhas. Com isso, verificou-se grande 

proximidade dos resultados estimados com os experimentais para os blocos do tipo 1, 

havendo uma variação de 17% para a série de blocos do tipo 2. 

Módulo de elasticidade da paredinha em Y x Módulo de elasticidade da paredinha em X 

10000 

9000 

8000 

7000 

E pam em Y (MPa) 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 

E pam em X (MPa) 

Figura 3.4 - Gráfico de módulo de elasticidade da paredinha ensaiada em Y x módulo de 

elasticidade da paredinha ensaiada em X (EF). 


24 


O gráfico 3.4 mostra a relação entre o módulo de elasticidade da paredinha 

ensaiada na direção Y em função da sua correspondente ensaiada na direção X. Para as 

paredinhas com blocos do tipo 1 a relação entre E pam em X tende a 50% do valor de 

E pam em Y. 

3.4.3. Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão da 

paredinha 

A figura 3.5 mostra um gráfico que relaciona o módulo de elasticidade da 

paredinha com a sua resistência à compressão, onde foram consideradas as paredinhas 

ensaiadas nas direções X e Y em conjunto. Esta opção foi adotada após verificar que a 

separação acarretaria pouca diferença em relação à média. 

Gráfico de Módulo de Elasticidade x Resistência à compressão da paredinha 

12000 

10000 

8000 

E pa (MPa) 

6000 

4000 

Bloco B1 

Bloco B2 

Li (Bl B1) 

2000 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

f pa (MPa) 

Figura 3.5 - Gráfico Módulo de elasticidade x Resistência à compressão da paredinha (EF). 

Através deste gráfico é possível perceber que as paredinhas com blocos dos tipos 

1 e 2 apresentaram a maioria dos seus valores de resistência à compressão próximos (na 

faixa entre 3,0 e 6,0 MPa), porém com um certo aumento na sua rigidez. 

Na média, a razão entre o módulo de elasticidade da paredinha e sua resistência 

à compressão alcançou o valor de 1500. 

A figura 3.26 apresenta um gráfico que relaciona a razão módulo de 

elasticidade/resistência à compressão da paredinha com a sua resistência à compressão. 

Através deste gráfico, pode-se perceber que as paredinhas com blocos do tipo 2 

apresentaram relações entre E pa /f pa maiores quando comparados às que utilizaram 

blocos do tipo 1. 



25 

Tabela 3.26 - Relação entre módulo de elasticidade e resistência à compressão das paredinhas 

(EF) 

Série de Prisma E pam /f pam S d CV (%) 

PAB1A1E y 1236 3,33 0,27 

PAB1A1E x 1469 84,84 5,77 

PAB2A1E Y 1272 80,92 6,36 

PAB2A1E X 1569 27,54 1,76 

PAB1A2E Y 1525 132,39 8,68 

PAB1A2E X 1573 145,47 9,25 

PAB2A2E y 1539* - - 

PAB2A2E x 1735 119,11 6,87 

Média 1501 352,85 23,51 

* Resultado descartado 

Gráfico de E pa /f pa x Resistência à compressão da paredinha 

2000 

1800 

1600 

1400 

1200 

E pa /f pa 

1000 

800 

600 

400 

200 

Bloco B1 

Bloco B2 

Li (Bl B1) 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

f pa (MPa) 

Figura 3.6 - Gráfico E pa /f pa x Resistência à compressão da paredinha (EF) 

3.4.4. Relação entre resistência à compressão do prisma e da paredinha 

A figura 3.27 mostra os resultados das relações entre as resistências à compressão 

dos prismas e a resistência à compressão das paredinhas. 

A relação média das resistências entre prismas e paredinhas nas direções X e Y foi 

de 0,58 e 0,36, respectivamente. 


26 


Tabela 3.27 - Relação entre a resistências à compressão dos prismas e das paredinhas (EF) 

Série f prm (A b ) f pam (A b ) f pam /f prm 

Correspondente (MPa) (MPa) 

PAB1A1E y 7,96 4,97 0,62 

PAB1A1E x 6,89 2,16 0,31 

PAB2A1E Y 7,75 8,84 1,14* 

PAB2A1E X 10,48 5,20 0,50 

PAB1A2E Y 7,93 4,12 0,51 

PAB1A2E X 7,07 2,01 0,28 

PAB2A2E y 9,22 5,65 0,61 

PAB2A2E x 9,44 3,38 0,36 

* Resultado descartado 

Coeficiente de Poisson 

Notou-se uma grande dificuldade em calcular o coeficiente de Poisson a partir 

dos resultados obtidos experimentalmente. Esta dificuldade deveu-se ao fato da 

ocorrência de grandes oscilações nos resultados experimentais, principalmente sob 

baixas tensões, que pode ter tido como causa a grande variabilidade das medidas de 

ensaio aliada à variabilidade intrínseca do material. Além disso, a grandeza das medidas 

(pequenos valores de leitura) também dificultou sua obtenção, sendo desta forma 

bastante influenciada por imprecisões de medida ligadas ao ensaio. 

3.4.5. Modo de ruptura das paredinhas 

De um modo geral, as paredinhas ensaiadas na direção Y apresentaram 

propagação de fissuras verticais, predominantemente através das juntas verticais na 

região central das paredes, sendo algumas desviadas pelas faces dos blocos. Observouse 

também a presença de fissuras verticais ao longo dos septos laterais das paredinhas. 

A ruptura ocorreu, na maioria das vezes, por tração transversal dos blocos. 

Porém, para as paredinhas que utilizaram blocos do tipo 2, as fissurações descritas 

acima ocorreram de maneira bem menos pronunciada, prevalecendo a ruptura por 

esmagamento da argamassa. 

As paredinhas ensaiadas na direção X apresentaram fissuração dos septos 

transversais ao longo do comprimento da parede dos blocos, tanto no topo quanto na 

base das paredinhas, conforme mostra a figura 3.7. O início da fissuração visível deu-se 

normalmente em carregamentos com valores de cerca de 60% da carga de ruptura. 

Nesse momento ouviu-se um estalo que se repetiu mais tarde por cerca de duas ou três 

vezes, o que caracterizava a ruptura dos septos transversais dos blocos, provavelmente 

pela presença de concentração de tensões nessa região. Também observou-se a presença 

de fissuras nos septos longitudinais dos blocos próximos ao topo da paredinha (ver 

figura 3.7a). Na maioria das vezes a ruptura ocorreu posteriormente ao descolamento 

das fiadas dos blocos. (fig 3.7b). 



27 

Figura 3.7 - Detalhe da fissuração ao longo dos septos laterais para a paredinha com 

carregamento na direção X (EF). 

Figura 3.8 - Detalhe da fissuração ao longo dos septos laterais para a paredinha com 

carregamento na direção X (EF). 

4 CONCLUSÕES 

Com base na análise experimental e na revisão bibliográfica, pode-se chegar às 

seguintes conclusões: 

A utilização das placas de fibra de madeira no capeamento dos corpos de prova 

mostrou-se bastante eficiente, pois permitiu o esmagamento da placa do capeamento, 

provocando o aparecimento de tensões laterais e o preenchimento dos vazios, 

acomodando as deformações iniciais. Entretanto, a comparação entre ensaios realizados 

com diferentes tipos de capeamento deve ser feita de maneira criteriosa, já que esta 

mudança pode alterar os valores de resistência e deformabilidade. 

O fato de não haver nenhum método de ensaio padronizado que possa ser 

utilizado para determinar o módulo de elasticidade da alvenaria, faz com que os valores 


28 


obtidos sejam afetados por diversos fatores, tais como: velocidade e intensidade de 

carregamento, dimensões dos corpos de prova. Dessa forma, a comparação direta dos 

resultados de deformabilidade em corpos de prova ensaiados por outros pesquisadores 

torna-se inviável, ressaltando a necessidade de uma norma brasileira específica sobre o 

assunto. 

Não se pode dizer que foram obtidas correlações, no que diz respeito à 

deformabilidade e às resistências à compressão dos corpos de prova, pela insuficiência 

de números de corpos de prova ensaiados e o grande número de variáveis envolvidas. 

Porém, pode-se afirmar que foram verificadas algumas importantes tendências de 

comportamento estruturais dos componentes e do conjunto envolvido neste estudo. 

Os valores de ruptura estimados teoricamente foram superiores aos obtidos 

através dos ensaios realizados na maioria dos corpos de prova. 

O ajuste da curva tensão-deformação através de uma parábola, até níveis de 

tensão na ordem de 60 a 70% da carga de ruptura, apresentou coeficientes de ajuste 

bastante satisfatórios para os valores obtidos experimentalmente. 

Os blocos alcançaram aumentos de até 150% nos valores de resistência à 

compressão média se comparados às resistências nominais indicadas pelo fabricante, 

notando-se que, para os blocos estudados, os valores característicos determinantes das 

classes de resistência dos blocos foram obtidos a partir de ensaios realizados aos 7 dias. 

O método para determinação dos valores de módulo de elasticidade do bloco a 

partir do ensaio de prisma mostrou-se bastante eficiente, já que, na maioria dos casos, os 

valores de relação entre E bm /f bm estavam dentro das faixas propostas pelos autores 

DRYSDALE et al. (1994) e SAHLIN (1971). Assim, acredita-se que a diminuição da 

influência da restrição lateral da base da máquina de ensaio, conseguida a partir da 

medida de deformações no bloco intermediário do prisma de três blocos, contribuiu de 

maneira significativa para a obtenção do módulo de elasticidade do bloco (E b ). 

Outra conclusão que pode ser obtida foi que a estimativa dos E bm feita através da 

utilização das expressões apresentadas pelo CEB-FIP Mode Code (1990) e pelo ACI – 

Building Code 318 (1990), para estimar o módulo de elasticidade do concreto, pode 

introduzir valores muito distantes dos reais. Dessa forma, é necessário que seja feito um 

estudo mais aprofundado para procurar obter expressões que representem o 

comportamento dos blocos utilizados na alvenaria estrutural de maneira mais realista. 

O papel da absorção inicial do bloco é importante, pois além de ajudar na 

produção de aderência, ajuda absorvendo água em excesso da argamassa, diminuindo a 

relação água/cimento e incrementando a resistência à compressão. O excesso é 

prejudicial, pois produz o efeito contrário, roubando água necessária para que ocorra a 

hidratação. Esta situação foi notada quando utilizadas as argamassas industrializadas 

para moldagem dos prismas dos ensaios-piloto 1. 

A afirmação feita por diversos autores citados durante este trabalho sobre a 

resistência à compressão depender principalmente da resistência e característica do 

bloco utilizado e em bem menor proporção das características da argamassa confirmouse 

neste trabalho experimental para blocos de baixa resistência à compressão. Assim, 

para esta situação deve-se escolher um tipo de argamassa com traço adequado, de modo 

a otimizar outras propriedades da argamassa, tais como trabalhabilidade e capacidade de 

absorver deformações. Porém, ao serem utilizados blocos de resistência à compressão 

elevada, deve ser tomado cuidado especial na escolha da argamassa, para que a mesma 

não interfira na resistência à compressão da alvenaria. 



29 

A utilização da argamassa industrializada na moldagem dos prismas não 

permitiu que os mesmos apresentassem o comportamento esperado durante os ensaios, 

provavelmente pelo comprometimento da resistência de aderência entre bloco e 

argamassa. 

A diferença de resistências em paredinhas carregadas nas duas direções (paralela 

e perpendicular à junta de assentamento) era esperada, já que as próprias unidades 

apresentam desigualdades geométricas em direções distintas. Dessa forma, se os blocos 

apresentam diferenças de resistência característica nas direções ortogonais, o mesmo 

deve ser esperado quando o conjunto bloco-argamassa é analisado. 

As medidas do coeficiente de Poisson não foram consideradas confiáveis devido 

à grande dispersão dos valores obtidos, o que comprova a dificuldade de obtenção deste 

parâmetro. 

Os resultados obtidos reforçam a idéia de que deve ser realizado um estudo 

mais aprofundado com os materiais utilizados no Brasil, com o objetivo de melhorar a 

segurança e a qualidade da alvenaria estrutural. 

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

ALY, V. L. C.; SABBATINI, F. H. (1992). Determinação de correlações de resistência 

mecânica de paredes de alvenaria estrutural de blocos de concreto. In: 

INTERNATIONAL SEMINAR ON STRUCTURAL MASONRY FOR 

DEVELOPING COUNTRIES, 5., Florianópolis, SC. Proceedings… Florianópolis. 

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1995). ACI 530-92 - Building code 

requirements for masonry structures. Detroid, Michigan. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS (1988). ASTM E 111 – 

82 – Standard test method for young’s modulus, tangent modulus, and chord 

modulus. Philadelphia. Annual book of ASTM standars. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS (1997). ASTM E 447 – 

97 – Standard test method for compressive strength of laboratory constructed 

masonry prisms. Philadelphia. Annual book of ASTM standars 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR 7.186 – Bloco 

vazado de concreto simples para alvenaria com função estrutural – Método de 

ensaio. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR 7.215 – 

Ensaio de cimento Portland – Método de ensaio. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1983). NBR 8.215 - 

Prismas de blocos vazados de concreto simples para alvenaria estrutural - Preparo 

e ensaio à compressão. Rio de Janeiro. 


30 


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1984). NBR 8522– 

Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensãodeformação. 

Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1989). NBR 13.279 – 

Argamassa para assentamento e revestimento de paredes e tetos – Determinação 

da resistência à compressão - Método de ensaio. Rio de Janeiro. 

BRITISH STANDARDS INSTITUTION (1992). BS 5628 – Code of practice for 

Structural use of masonry. Part 1. Unreinforced masonry. Londres, Inglaterra. 

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BETÓN (1990). CEB-FIP model code 

1990. Bulletin d’Information. 

DRYSDALE, R. G.; HAMID, A. A.; BAKER, L. R. (1994). Masonry structures: 

behavior and design. Enhllewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. 

FONTE, T. F. (2000). Influência da técnica de assentamento de blocos cerâmicos de 

parede de alvenaria estrutural, não armada, na resistência de aderência à flexão 

bloco-argamassa. São Carlos. Escola de Engenharia de São Carlos. Relatório final de 

Iniciação Científica – PIBIC/CNPq/EESC/USP. 

FRANCO, L. S. (1987). Desempenho estrutural do elemento parede de alvenaria 

empregado na alvenaria estrutural não armada, quando submetido a esforços de 

compressão. São Paulo. 136p. Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica - 

Universidade de São Paulo. 

JUSTE, A. E. (2001). Estudo da resistência e da deformabilidade da alvenaria de 

blocos de concreto submetida a esforços de compressão. São Carlos. Dissertação 

(Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

OLIVEIRA, F. (1997). Reabilitação de estruturas de alvenaria pela aplicação de 

revestimentos resistentes de argamassa armada. Escola de Engenharia de São Carlos 

- Universidade de São Paulo. Relatório parcial de doutorado. 

ROMAGNA, R. H. (2000). Resistência à compressão de prismas de blocos de 

concreto grauteados e não grauteados. Florianópolis. 193 p. Dissertação (Mestrado) - 

Universidade Federal de Santa Catarina. 

SAHLIN, S. (1971). Structural masony. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 

SOLORZANO, M. G. P. (1994). Características e desempenho de juntas de 

argamassa na alvenaria estrutural de blocos de concreto. São Paulo. 203 p. 

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica - Universidade de São Paulo. 


ISSN 1809-5860 

RIGIDEZ DE NÓ DE PÓRTICO EM ESTRUTURAS 

DE SEÇÃO COMPOSTA PREGADA UTILIZANDO 

CHAPAS DE COMPENSADO 

Guilherme Corrêa Stamato 1 & Carlito Calil Junior 2 

Resumo 

As estruturas de madeira compostas com alma em compensado já vêm sendo 

amplamente utilizadas em diversos países onde as estruturas de madeira estão 

tecnologicamente mais desenvolvidas, oferecendo aos engenheiros civis mais uma 

opção de sistema construtivo eficiente, seguro e duradouro. Nesse trabalho são 

apresentados estudos teóricos e experimentais referentes às ligações em nó de pórtico 

em estruturas de seção composta utilizando compensado nas almas, e em especial as 

estruturas cuja ligação alma mesa é feita por pinos metálicos. O objetivo desse 

trabalho é desenvolver critérios de dimensionamento para determinar a rigidez da 

ligação de nó de pórtico para complementar o dimensionamento de pórticos de seção 

composta. Os ensaios de rigidez de nó de pórtico de seção composta permitiram o 

desenvolvimento de metodologia para o cálculo da rigidez dessas ligações, visto que 

não existe formulação equivalente na bibliografia internacional. Conclui-se que as 

ligações de nó de pórtico com ligação alma/mesa pregada podem ser consideradas 

rígidas na maioria dos casos estudados, apresentando R M ≥0,85. 

Palavras chave: estruturas de madeira; ligações; rigidez; seções compostas; 

normalização. 


As estruturas compostas utilizando compensado nas almas representam um 

sistema construtivo eficiente e seguro e cujos produtos utilizados, ou seja, madeira 

maciça, compensado e pregos ou adesivo, são encontrados em todas as regiões do 

país, o que torna as estruturas compostas com alma em compensado uma excelente 

opção para a modernização das estruturas de madeira no Brasil. 

Devido ao desenvolvimento de novos materiais, sistemas construtivos e 

sistemas estruturais, os estudos das ligações entre os elementos na estrutura têm 

sido importante para o aperfeiçoamento dos critérios de dimensionamento, já que a 

transmissão dos esforços e as deformações na estrutura dependem do 

comportamento dessas ligações. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, gstamato@itapeva.unesp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br 


32 

Guilherme Corrêa Stamato & Carlito Calil Júnior 

As ligações de nó de pórtico ainda precisam ser bastante estudadas, já que 

esse sistema construtivo tem grande potencial para a construção de pórticos 

industriais, rurais ou residenciais. Para o dimensionamento desses pórticos é 

importante a escolha do modelo estático (bi-articulado, tri-articulado, etc.), e para a 

correta análise da distribuição das tensões pela estrutura é importante conhecer a 

rigidez de cada nó. Além da distribuição de tensões, a rigidez dos nós influencia 

também as deformações na estrutura. Assim, o comportamento das ligações de nós 

de pórtico é tão importante na análise dos Estados Limites de Utilização quanto dos 

Estados Limites Últimos. O estudo da rigidez das ligações vem se intensificando há 

algum tempo em todos os tipos de materiais; concreto, aço, madeira maciça, MLC, 

etc., porém essa lacuna ainda é muito grande nas estruturas compostas com 

compensado mesmo no âmbito internacional, demandando mais estudos a esse 

respeito. 

Com a evolução dos computadores e das técnicas e programas 

computacionais o cálculo dos esforços e deformações tornaram-se mais precisos, 

implementando alguns requintes de cálculo que antes eram aproximados devido à 

inviabilidade de serem considerados num dimensionamento manual. Com isso tem 

sido bastante estudada atualmente a rigidez das ligações de nó de pórtico, que antes 

era considerada no cálculo simplesmente como rótula perfeita ou engastamento 

perfeito, e que agora já pode ser calculada como semi-rígida, aproximando o cálculo 

das tensões com o comportamento real da estrutura. Conhecendo-se melhor a 

distribuição das tensões pode-se dimensionar uma estrutura de modo mais 

econômico. 

Não existem na bibliografia internacional referências a respeito da rigidez de 

ligações de nó de pórtico em estruturas compostas. O dimensionamento das ligações 

rígidas apresentadas pelo EUROCODE 5, cujo desenvolvimento é apresentado por 

RACHER(1995), é baseado na rigidez de ligações entre elementos de seção 

retangular maciças. WOODARD(1995) contesta a utilização de critérios baseados em 

seção retangulares maciças em seções compostas, visto que a transmissão das 

tensões entre elementos numa seção composta é diferente da seção retangular 

maciça. 

Nesse trabalho (STAMATO, 2002) foram realizados ensaios em corpos de 

prova estruturais de nó de pórtico, com ligação alma mesa pregada ou colada, cujos 

resultados serviram de base para o desenvolvimento de um método de 

dimensionamento de rigidez de nó de pórtico para ligações pregadas, observando-se 

as ligações pregadas se mostraram eficiente em comparação com os corpos de prova 

colados. 

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 

Da pesquisa bibliográfica sobre o compensado pode-se concluir que o 

compensado é um derivado da madeira que tem sido largamente utilizado em 

estruturas compostas em vários países, apresentando-se como uma possibilidade 

interessante para a atualização dos métodos construtivos utilizados no Brasil, tendo 

potencial para alavancar a industrialização das estruturas de madeira no país e 

fornecer novas alternativas para o setor da construção civil ainda bastante carente. 


Rigidez de nó de pórtico em estruturas de seção composta pregada utilizando chapas... 

33 

O compensado apresenta algumas vantagens em relação à madeira bruta e a 

outros materiais, entre essas vantagens pode-se citar: controle de qualidade das 

lâminas, evitando nós, falhas e rachaduras e resultando num material mais 

homogêneo; possibilidade de produção de elementos compostos de grandes 

dimensões a partir de toras de pequenos diâmetros; grande resistência ao 

cisalhamento, à compressão e a tração normal (no plano da chapa), devido à 

laminação cruzada; trabalhabilidade e; a grande produção dessas chapas no país. 

Essas particularidades fazem do compensado um material bastante adequado para a 

utilização como almas de vigas compostas. Entre as desvantagens do compensado 

pode-se citar: comprimento comercial reduzido (2,44m), que demanda ligação entre 

as peças da alma; a falta de classificação das chapas segundo sua resistência, 

existindo apenas classificação segundo a aparência das lâminas externas e internas e 

o adesivo utilizado; e a existência de muitas empresas produtoras de compensado 

que não seguem as recomendações e controles de qualidades previstos pelas normas 

ABNT. Isso pode ser resolvido com a classificação mecânica das chapas de 

compensado. 

Dezenas de estruturas utilizando compensado foram construídas entre as 

décadas de 40 e 60 no Brasil, e muitas dessas estruturas ainda estão em operação, o 

que comprova a durabilidade do compensado e a aplicabilidade desse sistema 

construtivo no país. A construção de estruturas modernas, versáteis e seguras 

utilizando seção composta com alma em compensado é facilmente observada em 

países como Alemanha, Finlândia, Austrália, Nova Zelândia, Estados Unidos entre 

outros que já dominam a tecnologia da construção desse tipo de estrutura. A 

existência de indústrias especializadas na produção dessas estruturas mostra a 

viabilidade desse sistema e a competitividade deste contra outros materiais. As 

figuras 1 e 2 ilustram algumas utilizações do compensado no Brasil e no exterior. 

Figura 1 - esq.: Estrutura em pórtico utilizando madeira compensada - fonte: INTERNATIONAL 

PANEL&LUMBER (IPL). Dir.: Estrutura em cúpula utilizando madeira compensada - fonte: FPI 


34 


Figura 2 - esq.: Estrutura de residência utilizando madeira compensada - fonte: IPL. Dir.: 

Pórtico composto de madeira maciça e almas em compensado construído pela CASEMA em 

Guaratinguetá - SP - fonte: do autor. 

Uma das principais aplicações das estruturas compostas cm alma em 

compensado são os galpões industriais, em pórticos bi-articulado ou tri-articulado. No 

dimensionamento dessas estruturas em pórtico, as ligações devem ser consideradas 

tanto na análise local quanto na análise global da estrutura. A rigidez das ligações 

pode afetar a distribuição de tensões internas da estrutura bem como os 

deslocamentos desta. Os critérios de dimensionamento atuais normalmente assumem 

que uma ligação é ou engaste perfeito ou rótula perfeita. Segundo STAMATO(1998), 

como as deformações por embutimento na madeira produzem grandes deformações 

nas ligações, a rigidez da ligação deveria ser considerada no dimensionamento, o que 

alteraria os cálculos dos deslocamentos da estrutura e a distribuição de tensões 

internas no caso de estruturas hiperestáticas. RACHER (1995) apresenta um estudo 

sobre a rigidez de ligação, onde desenvolve os conceitos utilizados pelo EUROCODE 

5:1993 no cálculo de estruturas com ligações resistentes ao momento. 

A classificação de uma ligação como rígida, semi-rígida ou rotulada esta 

apresentada a seguir utilizando como modelo um pórtico com duas ligações (Figura 

3a), onde foram desconsideradas as deformações devido aos esforços normais e de 

cisalhamento ao longo dos elementos por serem pequenas em relação às 

deformações devidas ao embutimento. O momento na ligação para esse pórtico 

considerado é dado pelas Equações 1 e 2. 

K 

r 

EI 

= βr 

(1) 

L 

M 

j 

2 

q × L 1 

= ⋅ 

(2) 

8 H 

c 3 

1,5 + α + 

L β 

r 

Onde q é a carga uniformemente distribuída aplicada na peça horizontal do 

pórtico e α a relação entre os módulos de rigidez da viga e da coluna. 

A eficiência da ligação é medida bela razão R M , que relaciona o momento M j 

com o momento de uma ligação perfeitamente rígida (K r = ∝). A figura 3b e 3c 

apresentam a influência da rigidez da ligação na razão R M para diferentes 

configurações de pórticos. 



35 

Figura 3 - a) Geometria do pórtico e b) e c) variações da eficiência das ligações. 

Uma diminuição substancial do momento na ligação ocorre quando o 

coeficiente de rigidez β r é menor que 6 (figura 3a e 3b). Considerando essa variação, 

a ligação pode ser considerada como rígida nos cálculos quando R M ≥ 0,85, o que 

requer valores de β r superiores a 8 e 12. No outro extremo, as ligações podem ser 

consideradas rotuladas se R M ≤ 0,20, relativo a um valor médio de β r = 0,5. Em todos 

os outros casos a estrutura deve ser dimensionada considerando ligações semirígidas. 

Considerando-se efeito de segunda ordem, essa classificação é relativa a 

estruturas contraventadas. Para estruturas não contraventadas, EC5 especifica um 

valor mínimo de 25 para β r para se considerar a ligação como rígida. (RACHER,1995) 

Além disso, a consideração de ligações semi-rígidas permite a redistribuição 

do momento na estrutura. Relacionado com a razão L/H c do pórtico e com o 

coeficiente β r , os valores relativos ao momento na ligação e a ao momento no meio do 

vão podem ser definidos para propiciar um dimensionamento mais econômico. 

RACHER apresenta um desenvolvimento das equações utilizadas pelo 

EUROCODE 5 para o dimensionamento de ligações rígidas. Nesse desenvolvimento 

RACHER(1995) baseia-se no comportamento de uma ligação entre peças de seção 

maciça retangular. Aplicável para estruturas em madeira maciça, madeira laminada 

colada e LVL. 

Para a análise da ligação, as peças de madeira devem ser suficientemente 

rígidas e resistentes para que suas deformações não afetem a análise das 

deformações da ligação. Portanto, a rotação da ligação é o resultado do 

deslocamento rotacional ϖ do pino (Figura 4c). Definindo o centro de rotação C como 

o centro geométrico da ligação, a condição de equilíbrio é dada pela Equação 3. 

M 

= 

n 

∑ 

j= 

1 

F M 

r 

, j j 

(3) 

Onde F M,j é a carga no conector j, e r j sua distância ao centro de rotação. 


36 


Figura 4 - Ligações resistentes ao momento. a) distribuição circular dos pinos metálicos. b) 

distribuição por linhas e colunas; c) definições geométricas e forças nos pinos. 

Com seu desenvolvimento, RACHER(1995) afirma que a rigidez rotacional K r 

pode ser determinada pela Equação 4: 

K 

n 

2 

r 

= ∑ K r 

j j 

j= 

1 

α 

(4) 

Onde K αj representa a rigidez ao embutimento na direção α do pino j e r j 

representa a distância do pino j ao centro de rotação da peça. 

Essas teorias apresentadas por RACHER são baseadas em ligações entre 

elementos de seção cheia, como madeira maciça, madeira laminada colada, etc. e 

segundo WOODARD(1995) vem sendo utilizadas por calculistas para estruturas 

compostas com compensado com ligações pregadas. A utilização desses critérios 

desenvolvidos para seção retangular cheia é questionável no caso de seções 

compostas, devido principalmente à natureza diferente dos elementos que compõem 

a seção e dos mecanismos de transferência de tensão entre esses elementos. 

Pesquisa detalhada realizada por WOODARD(1995) em ligações pregadas de nós de 

pórtico de estruturas de elementos seção caixão com alma em compensado 

confirmaram que as teorias existentes para ligações rígidas em peças maciças não 

são aplicáveis para pórticos de seção caixão. 

WOODARD(1995) descreve um método de dimensionamento específico para 

ligações rígidas ao momento em pórticos de seção composta com almas em 

compensado. Segundo ele, as pesquisas com elementos de seção maciça têm se 

concentrado na distribuição de tensões na cobrejunta e na quantidade de pregos 

necessários para a ligação e a partir desses resultados foram propostos vários 

procedimentos de cálculo por Pneuman (1964), Burgess (1970), Batchelar (1982, 

1983, 1984), Pierce (1982), Milner (1988), Walford (1988a&b), Bier(1989), Hutchings 

(1989) e Kermani&Lee (1991), apud MILNER&WOODARD(1995). Embora 

Walford(1988b) e Milner (1988) tenham recomendado seções caixão como alternativa 

aos pórticos de viga e coluna maciças, seus respectivos procedimentos de cálculo 

estão de acordo somente com seções de laminado colado. 



37 

3 MATERIAIS E MÉTODOS 

Os dispositivos e geometrias dos ensaios de nó de pórtico foram adotados em 

função de estudos realizados na bibliografia internacional, tais como: RODD E POPE 

(1999) e LEIJTEN et all. (1999), BATCHELAR & HUNT(1991) e WOODARD & 

MILNER (1995) entre outros, já que não foi encontrada normalização referente à 

esses ensaios. O ensaio de uma ligação, como mostra a Figura 5, é a melhor 

configuração de ensaio para a determinação da rigidez do nó, pois apresenta apenas 

um ponto onde a rigidez é indeterminada (no modelo em pórtico existem dois pontos). 

30 

122 

P 

Figura 5 - Esquema do ensaio de rigidez de ligação proposto. 

Os corpos de prova de ligações de nó de pórtico foram montados utilizando 

chapas de compensado de 12mm, com lâminas de pinus e adesivo a prova d’água. 

Para as mesas foram utilizadas peças de madeira maciça tratadas da espécie Pinus 

Taeda. Os pregos utilizados para ligações alma-mesa de 3mm de diâmetro com 6cm 

de comprimento, foram fixados por pregador pneumático, sem pré-furação. As 

dimensões das ligações de nó de pórtico estão apresentadas na Figura 6. A fotos da 

Figura 7 apresentam a montagem dos corpos de prova. 

3.1 Esquema estático dos ensaios 

Os ensaios de ligação em nó de pórtico foram montados segundo o esquema 

estático apresentado na Figura 5. A configuração do ensaio consiste na aplicação de 

carga por um cilindro hidráulico em uma das extremidades. Entre o cilindro hidráulico 

e o CP foi posicionado um anel dinamométrico para medir a força aplicada ao nó. A 

outra extremidade do CP foi fixada na laje de reação. Foram utilizadas barras 

metálicas circulares entre o CP e a laje de reação para permitir o movimento do CP 

sem gerar atrito. Foram utilizadas peças de contraventamento para evitar a perda de 

estabilidade do CP na vertical e uma guia metálica para direcionar a aplicação da 

força, evitando-se a perda de estabilidade do conjunto na horizontal. 


38 


CPs 0,0: s = 30mm 

CP 0,col 

CPs –1,+1: s = 40mm 

CPs –1,-1: s = 20mm; CP –1, col 

2 2 

3 1 

120 

97 4 

2 

12 

97 

12 

97 

3 

23 

4 

2 

46 

1 

12 

7 

23 

46 

CPs +1,+1: s = 40mm 

CPs +1,-1: s = 20mm 

120 

3 

1 

120 

CPs +1,-1b: s = 20mm 

CPs +1,-1ex: s = 20mm 

97 

4 

2 

74 

CPs +1,col: s = 40mm 

Figura 6 - Dimensões dos corpos de prova de nó de pórtico 

Figura 7 - Montagem dos corpos de prova de nó de pórtico. 

A montagem do ensaio na horizontal sobre a laje de reação do LaMEM 

mostrou-se muito eficiente e apresentou facilidades que não ocorreriam na montagem 

vertical. A Figura 8 apresenta foto com o dispositivo montado. 



39 

3.2 Instrumentação dos CPs de nós de pórtico 

Para instrumentação dos corpos de prova de nós de pórtico foram utilizados, 

em cada CP, quatro relógios comparadores igualmente espaçados a fim de medir os 

deslocamentos relativos entre as duas vigas que compõem o nó. Utilizou-se também 

quatro extensômetros elétricos para leituras de deformações com o objetivo de avaliar 

o momento atuante nas vigas. Os extensômetros elétricos foram posicionados nas 

mesas das vigas, na face externa, conforma apresentado na Figura 8. 

Contraventamento 

Extensômetro 

s elétricos 

Extremidade fixa 

4 

Relógios 

comparadores 

3 

2 

1 

Extensômetro 

s elétricos 

Cilindro 

hidráulico 

Perfil 

táli 

Anel 

dinamométrico 

Figura 8 - Dispositivos de ensaios de nó de pórtico 

3.3 Cálculo da rigidez rotacional K r 

A rigidez rotacional do nó de pórtico obtida nos ensaios foi calculada 

utilizando as leituras dos relógios 3 ou 4, conforme explicado no item 6.5.1. A rigidez 

rotacional da ligação é definida como sendo a razão entre o momento aplicado na 

ligação e a rotação causada por esse momento na ligação. 

M 

K r 

= 

θ 

Onde M é o momento na ligação, calculado como sendo a força aplicada 

vezes a distância da aplicação da carga ao centro geométrico da ligação, e θ o ângulo 

de rotação relativa entre os dois elementos que compõem a ligação 

4 RESULTADOS 

Os ensaios de nós de pórtico forneceram grande quantidade de dados que 

foram processados e as informações mais relevantes para a avaliação da rigidez 

dessas ligações estão apresentadas na tabela 1. A tabela 2 apresenta os valores das 

deformações lidas em cada extensômetro elétricos nos ensaios de nós de pórtico. 


40 


Tabela 1 - Valores de carga, deslocamentos e tensões atuantes obtidos nos ensaios de nó de 

pórtico 

∆ P ∆ desl. (mm) ∆σ N/mm 2 

Nó (N) 1 2 3 4 1 2 3 4 

0,0a 2926,4 1,732 -- -- 0,049 1,732 -- -- 0,049 

0,0b 2926,4 2,298 1,577 0,902 0,198 2,298 1,577 0,902 0,198 

0,0c 2926,4 2,952 1,998 1,061 0,219 2,952 1,998 1,061 0,219 

0,0d 2926,4 2,355 -- -- 0,216 2,355 -- -- 0,216 

0,0e 2926,4 2,436 1,609 0,887 0,156 2,436 1,609 0,887 0,156 

0,0f 2926,4 2,256 1,513 0,785 0,113 2,256 1,513 0,785 0,113 

-1,-1a 2926,4 2,256 1,513 0,785 0,113 2,256 1,513 0,785 0,113 

+1,-1b 2926,4 0,845 0,502 0,177 0,000 0,845 0,502 0,177 0,000 

-1,+1a 2926,4 2,121 1,400 0,721 0,113 2,121 1,400 0,721 0,113 

+1,+1 

a 

2926,4 2,005 1,220 0,495 0,000 2,005 1,220 0,495 0,000 

+1,-1a 2926,4 1,096 0,668 0,269 0,000 1,096 0,668 0,269 0,000 

+1,-1 

ex 2926,4 0,693 0,410 0,131 0,000 0,693 0,410 0,131 0,000 

m.mis 

,-1 2926,4 1,167 0,750 0,357 0,011 1,167 0,750 0,357 0,011 

0,col 2926,4 3,182 1,800 1,004 0,219 3,182 1,800 1,004 0,219 

-1,col 2926,4 1,100 0,714 0,375 0,081 1,100 0,714 0,375 0,081 

+1,col 2926,4 0,580 0,339 0,095 0,000 0,580 0,339 0,095 0,000 

Tabela 2 - Valores das deformações nos nós de pórticos lidas nos extensômetros elétricos 

∆ P 

∆ε 

nó (N) 1 2 3 4 

0,0a 292,64 135 -120 160 -180 

0,0b 292,64 125 -165 80 -180 

0,0c 292,64 130 -250 130 -215 

0,0d 292,64 0 0 0 0 

0,0e 292,64 140 -200 180 -230 

0,0f 292,64 150 -150 75 -205 

-1,-1a 292,64 150 -150 75 -205 

+1,-1b 292,64 110 -210 65 -125 

-1,+1a 292,64 135 -160 150 -180 

+1,+1a 292,64 230 -285 110 -110 

+1,-1a 292,64 190 -180 130 -180 

+1,-1 ex 292,64 0 0 0 0 

m.mis,-1 292,64 100 -145 140 -210 

0,col 292,64 200 -360 355 -330 

-1,col 292,64 140 -300 110 -220 

+1,col 292,64 265 -320 190 -365 

A figura 9 apresenta graficamente os deslocamentos medidos nos relógios 

comparados em função da carga aplicada ao nó 0,0e. A figura 10 apresenta 

graficamente as tensões medidas nos extensômetros elétricos em função da carga 

aplicada ao nó. Observa-se que em ambos os casos não ocorre plastificação para os 

níveis de carga utilizados no ensaio. 



41 

deslocamento (mm) 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

deslocamento x força, CP 0,0e 

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 

Força (N) 

relógio 1 

relógio 2 

relógio 3 

relógio 4 

Figura 9 - Curva padrão deslocamento×força 

4 

tensão x força, CP 0,0e 

3 

Tensão (N/mm2) 

2 

1 

0 

-1 

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 

canal1 

canal2 

canal3 

canal4 

-2 

Força (N) 

Figura 10 - Curva padrão tensões×força 

A figura 11 apresenta graficamente as curvas de força×deslocamento 

referente ao relógio comparador 1 para os vários nós de pórtico ensaiados. Observase 

na figura 11 a maior rigidez dos nós com mísula, e a pouca contribuição dos CPs “- 

1” para a rigidez dessas ligações. 


42 


Forçaxdeslocamento dos nós de pórtico 

Força (N) 

4000 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2 4 6 8 10 

deslocamento (mm) 

média 0,0 

-1,-1a 

+1,-1b 

-1,+1a 

+1,+1a 

0,col 

-1,col 

+1,col 

Figura 11 - Curvas força × deslocamento referente ao relógio comparador 1. 

A partir dos dados de deslocamentos obtidos nos ensaios e apresentados na 

tabela 1 foram calculados os módulos de rigidez rotacional das ligações: K r . Foram 

calculados os valores de K r referente às leituras dos 4 relógios. É importante observar 

porém, que os relógios 1 e 2 estão afastados do centro de rotação da ligação e, 

portanto, as deformações por flexão da viga podem ser significativas. Por outro lado, o 

relógio 4 está muito próximo do centro de rotação, e sua sensibilidade pode não ser 

suficiente para fornecer boas leituras. Observa-se que para os CPs “-1” e “+1”, os dois 

pontos de fixação do relógio 4 estão na mesma peça, não apresentando portando 

deformações relativas entre as duas vigas que compõem o nó. Diante dessas 

considerações, o módulo de rigidez rotacional das ligações calculados a partir das 

medidas do relógio 3 são as mais recomendadas. A tabela 3 apresenta os valores dos 

K r para os 4 relógios comparadores. 

O módulo de rigidez rotacional das ligações de nós de pórtico em estruturas 

compostas com alma em compensado é um dos principais objetivos de estudo deste 

trabalho, visto que na bibliografia internacional não existe referência ao cálculo dessa 

rigidez por meios teóricos. O EUROCODE 5 e outros autores já citados no capítulo 3 

apresentam critérios de cálculo para ligações em nós de pórtico de estruturas de 

elementos de seção retangular, como MLC, LVL ou mesmo madeira maciça. Nesses 

critérios os cálculos baseiam-se no giro relativo entre as peças em torno de um centro 

de rotação. Nas estruturas de seção maciça, somente a rigidez do pinos metálicos e 

que contribuem para a rigidez rotacional, e conseqüentemente o centro de rotação 

está no centro geométrico do conjunto de pregos. 

Nas ligações de nó de pórtico de estruturas compostas, além da rigidez dos 

pregos existe a rigidez do contato entre as mesas inferiores, conforme apresentado na 

figura 12. Com o acréscimo dessa rigidez, o centro de rotação deixa de ser o centro 

geométrico do conjunto de pregos. A partir dos ensaios de nó de pórtico realizados, 

observou-se após a ruptura que o centro de rotação da ligação pode ser considerado 

o ponto de compressão entre as mesas. A figura 13 apresenta detalhes de rupturas 

de corpos-de-prova onde se observa pelas deformações dos pregos e deslocamentos 



43 

das peças que o centro de rotação é a região de contato ente as mesas inferiores das 

vigas. 

Tabela 3 - Módulos de rigidez rotacional obtidos nos ensaios 

Rotaçã 

o (rad) K r 

(Nmm/ 

rad) 

Nó 1 2 3 4 1 2 3 4 

0,0a 0,00182 -- -- 0,00025 8,1E+08 -- -- 6,0E+09 

0,0b 0,00242 0,00225 0,00200 0,00099 7,1E+08 7,6E+08 8,6E+08 1,7E+09 

0,0c 0,00311 0,00285 0,00236 0,00110 5,5E+08 6,0E+08 7,3E+08 1,6E+09 

0,0d 0,00248 -- -- 0,00108 6,9E+08 -- -- 1,6E+09 

0,0e 0,00256 0,00230 0,00197 0,00078 6,7E+08 7,5E+08 8,7E+08 2,2E+09 

0,0f 0,00237 0,00216 0,00174 0,00057 7,2E+08 8,0E+08 9,9E+08 3,0E+09 

-1,-1a 0,00237 0,00216 0,00174 0,00057 7,2E+08 8,0E+08 9,9E+08 3,0E+09 

+1,-1b 0,00089 0,00072 0,00039 0,00000 1,9E+09 2,4E+09 4,4E+09 -- 

-1,+1a 0,00223 0,00200 0,00160 0,00057 7,7E+08 8,6E+08 1,1E+09 3,0E+09 

+1,+1a 0,00211 0,00174 0,00110 0,00000 8,2E+08 9,9E+08 1,6E+09 -- 

+1,-1a 0,00115 0,00095 0,00060 0,00000 1,5E+09 1,8E+09 2,9E+09 -- 

+1,-1 ex 0,00073 0,00059 0,00029 0,00000 1,7E+09 2,1E+09 4,2E+09 -- 

m.mis,-1 0,00123 0,00107 0,00079 0,00005 1,4E+09 1,6E+09 2,2E+09 3,2E+10 

0,col 0,00335 0,00257 0,00223 0,00110 5,1E+08 6,7E+08 7,7E+08 1,6E+09 

-1,col 0,00116 0,00102 0,00083 0,00041 1,5E+09 1,7E+09 2,1E+09 4,2E+09 

+1,col 0,00061 0,00048 0,00021 0,00000 2,6E+09 3,2E+09 7,4E+09 -- 

Região de 

compressão 

entre as 

mesas. 

Figura 12 - Figura esquemática da região de compressão entre as mesas inferiores das vigas 

que compõem o nó de pórtico. 

A partir dessas observações foram calculados os módulos de rigidez 

rotacional K r considerando como centro de rotação o contato entre as mesas 

inferiores das vigas. Para os CPs “+1”, ou seja, com mísula, considerou-se como 

centro de rotação o contato entre mesa inferior e mísula, conforme apresentado na 

figura 13. Os valores de K r encontrados estão apresentados na tabela 4, que também 


44 


apresenta os valores de K r obtidos nos ensaios e a diferença proporcional entre eles. 

Nota-se que os valores de K r de ensaio adotados são os referente às medidas do 

relógio 3, conforme mencionado anteriormente. Nos corpos-de-prova onde só foram 

instalados os relógios 1 e 4, utilizou-se o valor de K r referente ao relógio 1. 

Centro de 

rotação 

Centro de 

rotação 

Figura 13 - Ruptura de nó de pórtico apresentando o centro de rotação relativa entre as vigas. 

K 

n 

2 

r 

= ∑ Kα 

r 

j j 

j = 1 

Assim, K r foi calculado por: 

Onde K αj representa a rigidez ao embutimento na direção α do pino j e r j 

representa a distância do pino j ao centro de rotação da peça, conforme apresentado 

por RACHER (1995). 

Tabela 4 - Valores dos módulos de rigidez, carga de ruptura, módulo de rigidez rotacional 

calculados e de ensaio 

Nó EI ef Frup (Kgf) Kensaio Kprego 

0,0a 3,07E+11 860 8,08E+08 9,46E+08 

0,0b 3,38E+11 823 8,59E+08 9,03E+08 

0,0c 2,72E+11 567 7,3E+08 1,02E+09 

0,0d 3,06E+11 759 6,94E+08 1,03E+09 

0,0e 2,62E+11 823 8,72E+08 9,11E+08 

0,0f 3,03E+11 658 9,86E+08 1,16E+09 

-1,-1 a 3,77E+11 Não rompido 9,86E+08 3,29E+09 

+1,-1b 3,72E+11 1847 4,38E+09 4,2E+09 

-1,+1 a 2,6E+11 860 1,07E+09 1,81E+09 

+1,+1 a 2,81E+11 1107 1,56E+09 1,54E+09 

+1,-1 a 3,57E+11 1628 2,88E+09 2,44E+09 

+1,-1 ex 2,87E+11 1738 4,21E+09 3,15E+09 

m.mis,-1 3,72E+11 1353 2,17E+09 2,34E+09 

0,col 2,67E+11 745 7,71E+08 0 

-1,col 3,27E+11 1536 2,07E+09 0 

+1,col 2,85E+11 2097 7,38E+09 0 



45 

A Figura 14 apresenta os valores comparativos entre os módulos de rigidez 

medidos nos ensaios e os calculados referentes ao relógio 3, exceto para os CPs 

“0,0 a ”e “0,0d”, que utilizaram calores do relógio 1. 

Comparação entre Kr teórico e experimental 

Kr (Nxmm/rad) 

8,00E+09 

7,00E+09 

6,00E+09 

5,00E+09 

4,00E+09 

3,00E+09 

2,00E+09 

1,00E+09 

0,00E+00 

Kensaio 

Kprego 

0,0a 

0,0b 

0,0c 

0,0d 

0,0e 

0,0f 

-1,-1a 

+1,-1b 

-1,+1a 

+1,+1a 

Corpo de Prova 

+1,-1a 

+1,-1 ex 

m.mis,-1 

0,col 

-1,col 

+1,col 

Figura 14 - Valores do módulo de rigidez rotacional experimental e calculado. 

Na tabela 4 e na figura 14 observa-se que os valores calculados estão 

bastante próximos dos valores obtidos nos ensaios, com ressalvas para os valores 

dos CPs “-1” que apresentaram diferenças significativas. Diante da variabilidade da 

madeira e do compensado, as diferenças encontradas entre os valores de K r de 

ensaio e teóricos são pequenas, indicando que o método adotado apresenta bons 

resultados. 

Para uma análise mais rigorosa da confiabilidade da consideração do centro 

de rotação no cálculo da rigidez rotacional utilizou-se uma análise estatística cujo 

coeficiente de regressão resultou em: 63,1%. Considerando-se que os CPs “-1” 

apresentam valores muito diferentes, foi realizada outra regressão desconsiderandose 

os CPs “-1”. Nessa nova análise o coeficiente de regressão resultou em 94,2%. 

A fim de entender o comportamento das ligações “–1”, foram analisados seus 

modos de ruptura e observou-se, conforme a figura 15, que a ruptura desses CP se 

deu no centro do nó, indicando que a porção de compensado do L da ligação pouco 

contribui para a sua rigidez. Assim sendo, o módulo de rigidez rotacional K r foi 

novamente calculado considerando-se apenas os pregos do quadrado central da 

ligação. Os valores encontrados foram: K r (-1,-1) = 1,71E+09 Nmm/rad e K r (-1,+1) = 

1,07E+09 Nmm/rad. 


46 


Figura 15 - Modo de ruptura típico dos CPs “-1” 

Utilizando esses valores em uma nova análise, o coeficiente de regressão 

resultou em 92,1%, considerando aqui todas as ligações ensaiadas. 

Com esses valores pode-se concluir que o cálculo do módulo de rigidez 

rotacional da ligação de nó de pórtico considerando como centro de rotação o contato 

entre as mesas inferiores das vigas ou entre a mesa e a mísula fornece valores 

confiáveis para serem utilizados no dimensionamento de estruturas compostas. 

Ainda na tabela 4 e da figura 14, comparando-se K r das ligações pregadas 

com das ligações coladas observa-se que para os CPs “0” essa diferença é 

insignificante, para os CPs “-1” e “+1”, K r das ligações coladas é praticamente o dobro 

de K r das ligações pregadas. Observa-se ainda que K r da ligação “meia mísula” 

apresenta valor intermediário entre a ligação “0“ e a ligação “+1”, como era previsto. 

Outro ponto importante na análise de rigidez de ligações é a relação entre o 

momento transmitido pela ligação em questão e o momento transmitido por uma 

ligação hipotética de rigidez infinita (engastamento perfeito). O EUROCODE 5 

representa essa relação por R M , sendo: 

R 

M 

= 

M 

M 

j 

∞ 

Onde M j é o momento atuante na ligação real e M ∞ é o momento referente a 

uma ligação hipotética de rigidez infinita. 

Essa análise é válida para estruturas onde ocorre redistribuição dos esforços, 

o que não é o caso dos corpos-de-prova de ligações por nó de pórtico ensaiados. 

Optou-se então pela análise de uma estrutura com ligações semi-rígidas equivalentes 

às ensaiadas. Para essa análise utilizou-se então os valores de K r obtidos nos 

ensaios e calcularam-se os momentos M j em uma estrutura hipotética utilizando esses 

elementos segundo a metodologia apresentada por RACHER (1995), sendo a 



47 

estrutura um pórtico biarticulado apresentado na figura 3, com duas ligações semirígidas 

de rigidez rotacional K r igual ao respectivo corpo-de-prova de nó de pórtico. 

Considerou-se também a relação α =1 (α = EI viga /EI col ) e os módulos de rigidez das 

peças, (EI) ef igual ao dos elementos utilizados no respectivo corpo-de-prova. 

Outros dois parâmetros importantes para a análise da rigidez dos nós de 

pórtico segundo o método de RACHER (1995) são o vão do pórtico (L) e a altura das 

colunas(H). Para uma análise mais geral do comportamento dessas estruturas 

considerou-se valores extremos de L/H c =1 ou 10 e valores do vão em relação à altura 

das vigas de 5 a 25, que condizem com situações reais de dimensionamento. Assim, 

para os valores citados, encontrou-se os valores de R M para a combinação de três 

variáveis: Tipo de ligação (X1); Espaçamento entre pregos (X2) e relação L/h v (X3). 

RACHER (1995) apresenta a equação para o cálculo de M j do pórtico em 

questão, para a qual é necessário o parâmetro βr (coeficiente de rigidez) que é 

calculado por: 

β 

r 

= 

K × L 

r 

EI 

ef 

As tabelas 5 e 6 apresentam os valores de β r e R M para as combinações de 

variáveis do planejamento estatístico. 

Tabela 5 - Valores de β r referentes a cada ligação de nó de pórtico ensaiada 

β r (L/Hc=1) 

β r (L/Hc=10) 

Tipo de nó L/h v =5 15 25 5 15 25 

0,0a 3,03 9,08 15,14 3,03 9,08 15,14 

0,0b 2,92 8,76 14,59 2,92 8,76 14,59 

0,0c 3,08 9,25 15,41 3,08 9,25 15,41 

0,0d 2,61 7,82 13,03 2,61 7,82 13,03 

0,0e 3,84 11,51 19,18 3,84 11,51 19,18 

0,0f 3,74 11,21 18,68 3,74 11,21 18,68 

-1,-1a 3,00 9,01 15,02 3,00 9,01 15,02 

+1,-1b 13,54 40,62 67,70 13,54 40,62 67,70 

-1,+1a 4,74 14,23 23,71 4,74 14,23 23,71 

+1,+1a 4,04 12,12 20,21 4,04 12,12 20,21 

+1,-1a 9,28 27,85 46,42 9,28 27,85 46,42 

+1,-1 ex 16,85 50,56 84,27 16,85 50,56 84,27 

m.mis,-1 6,71 20,12 33,54 6,71 20,12 33,54 

0,col 3,32 9,97 16,62 3,32 9,97 16,62 

-1,col 7,26 21,77 36,29 7,26 21,77 36,29 

+1,col 29,81 89,43 149,05 29,81 89,43 149,05 

Segundo RACHER (1995) e o EUROCODE 5, pode-se considerar rígida para 

efeito de cálculo as ligações com R M ≥ 0,85. Dos gráficos apresentados na figura 16 

observa-se que as ligações “0,0”e “-1” podem ser consideradas rígidas quando a 

relação L/h for maior que 15. Já as ligações “+1” são consideradas rígidas mesmo 

para L/h v menores que 5. 


48 


A partir desses resultados montou-se a tabela 7 de resultados e variáveis para 

a análise estatística. A análise estatística foi realizada com o intuito de se conhecer as 

influências de cada variável na rigidez de uma ligação. Para a análise estatística 

considerou-se os valores de R M referentes à L/H = 10. 

Tabela 6 - Valores de R M referentes a cada ligação de nó de pórtico ensaiada 

R M (L/Hc=1) R M (L/Hc=10) 

Tipo de nó L/h v =5 15 25 5 15 25 

0,0a 0,72 0,88 0,93 0,62 0,83 0,89 

0,0b 0,71 0,88 0,92 0,61 0,82 0,89 

0,0c 0,72 0,89 0,93 0,62 0,83 0,89 

0,0d 0,68 0,87 0,92 0,58 0,81 0,87 

0,0e 0,76 0,91 0,94 0,67 0,86 0,91 

0,0f 0,76 0,90 0,94 0,67 0,86 0,91 

-1,-1a 0,71 0,88 0,93 0,62 0,83 0,89 

+1,-1b 0,92 0,97 0,98 0,88 0,96 0,97 

-1,+1a 0,80 0,92 0,95 0,72 0,88 0,93 

+1,+1a 0,77 0,91 0,94 0,68 0,87 0,92 

+1,-1a 0,89 0,96 0,97 0,83 0,94 0,96 

+1,-1 ex 0,93 0,98 0,99 0,90 0,96 0,98 

m.mis,-1 0,85 0,94 0,97 0,78 0,91 0,95 

0,col 0,73 0,89 0,93 0,64 0,84 0,90 

-1,col 0,86 0,95 0,97 0,79 0,92 0,95 

+1,col 0,96 0,99 0,99 0,94 0,98 0,99 



49 

0,0 b 

0,0 e 

1 

1 

0,9 

0,9 

Rm 

0,8 

0,7 

0,6 

L/Hc = 1 

L/Hc = 10 

Rm 

0,8 

0,7 

0,6 

L/Hc = 1 

L/Hc = 10 

0,5 

5 10 15 20 25 30 

L/hv 

0,5 

5 10 15 20 25 30 

L/hv 

Rm 

1 

0,95 

0,9 

0,85 

0,8 

0,75 

0,7 

0,65 

0,6 

0,55 

0,5 

-1,-1 

L/Hc = 1 

L/Hc = 10 

5 10 15 20 25 30 

L/hv 

Rm 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

+1,-1 b 

L/Hc = 1 

L/Hc = 10 

5 10 15 20 25 30 

L/hv 

Figura 16 - Curvas de R M × L/h v 

De forma gráfica pode-se observar na figura 16 que os valores de R M crescem 

tendendo a 1 com o aumento da razão L/h. Observa-se para os gráficos das ligações 

0,0 que para relações L/h maiores que 15 

Tabela 7 - Combinação de variáveis e resposta para análise estatística, considerando valores 

de R M referentes à L/H = 10 

X1 X2 X3 resposta 

Tipo de nó 

Espaçamento 

(mm) L/h v R M 

-1 20 5 0,62 

+1 20 5 0,88 

-1 40 5 0,72 

+1 40 5 0,68 

-1 20 25 0,89 

+1 20 25 0,97 

-1 40 25 0,93 

+1 40 25 0,92 

0 30 15 0,83 

0 30 15 0,82 

0 30 15 0,83 

0 30 15 0,81 

0 30 15 0,86 

0 30 15 0,86 


50 


Utilizando o software MINITAB, v. 10, fez-se a regressão multivariável cujos 

resultados estão apresentados a seguir: 

MTB > FFactorial c4 = c1 c2 c3 c1*c2 c1*c3 c2*c3 c1*c2*c3; 

SUBC> EPlot; 

SUBC> Fits 'FITS1'; 

SUBC> Residuals 'RESI1'. 

Fractional Factorial Fit 

Estimated Effects and Coefficients for C4 

Term Effect Coef Std Coef t-value P 

Constant 0.82936 0.005295 156.63 0.000 

C1 0.07310 0.03655 0.007005 5.22 0.002 

C2 -0.03007 -0.01503 0.007005 -2.15 0.075 

C3 0.20097 0.10049 0.007005 14.35 0.000 

C1*C2 -0.09891 -0.04946 0.007005 -7.06 0.000 

C1*C3 -0.03690 -0.01845 0.007005 -2.63 0.039 

C2*C3 0.01993 0.00997 0.007005 1.42 0.205 

C1*C2*C3 0.05109 0.02554 0.007005 3.65 0.011 

Analysis of Variance for C4 

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P 

Main Effects 3 0.093275 0.0932748 0.0310916 79.21 0.000 

2-Way Interactions 3 0.023085 0.0230855 0.0076952 19.60 0.002 

3-Way Interactions 1 0.005220 0.0052199 0.0052199 13.30 0.011 

Residual Error 6 0.002355 0.0023552 0.0003925 

Curvature 1 0.000280 0.0002800 0.0002800 0.67 0.449 

Pure Error 5 0.002075 0.0020753 0.0004151 

Total 13 0.123935 

Dessa análise de regressão múltipla, o modelo de regressão encontrado foi: 

R M = 0,8294 + 0,0366×X1 - 0.0150×X2 + 0,1005×X3 - 0.04946×X1×X2 - 

0,0185X1×X3 + 0,00997X2×X3 + 0,02554×X1×X2×X3 

Da análise residual do modelo de regressão múltipla conclui-se que o mesmo 

é adequado, portanto, podendo ser utilizado para estimar a rigidez da ligação. A 

tabela 8 apresenta os valores dos coeficientes, desvio padrão e valor de t calculado e 

tabelado para as variáveis. 

Da regressão múltipla observa-se que o efeito da variável X1 (tipo de ligação) 

é significativo, o que pode ser confirmado pelo valor de p, da distribuição de t-student, 

sendo p = 0,002 e efeito= 0.07310; a variável X2 (espaçamento entre pregos) 

apresenta pouca influência, com p = 0,075 e efeito= -0.03007; e X3 (razão L/h) com 

grande influência com p = 0,000 e efeito= 0.20097, o que já era esperado pois o 

equacionamento de Mj contém H/L e β r que por sua vez é correlata ao módulo de 

rigidez EI e conseqüentemente à altura da viga. Na análise estatística considera-se 

influência significativa valores de p ≤ 0,05. 



51 

Tabela 8 - Valores obtidos na análise de regressão múltipla 

Desvio 

variável efeito coeficiente padrão t-value P 

Constant 0.82936 0.005295 156.63 0.000 

C1 0.07310 0.03655 0.007005 5.22 0.002 

C2 -0.03007 -0.01503 0.007005 -2.15 0.075 

C3 0.20097 0.10049 0.007005 14.35 0.000 

C1*C2 -0.09891 -0.04946 0.007005 -7.06 0.000 

C1*C3 -0.03690 -0.01845 0.007005 -2.63 0.039 

C2*C3 0.01993 0.00997 0.007005 1.42 0.205 

C1*C2*C3 0.05109 0.02554 0.007005 3.65 0.011 

A relação entre variáveis X1×X2 apresenta também grande influência sobre a 

rigidez, com p= 0,000 e efeito= -0.09891, assim como a relação X1×X3 com p= 0,039 

e efeito= -0.03690. A relação X2×X3 apresenta pequena influência na rigidez, com p= 

0,205 e efeito= 0.01993 respectivamente. E, finalmente, a correlação entre as três 

variáveis apresenta influência na rigidez com p= 0,011 e efeito= 0.05109. Observa-se 

também pelo valor de p da curvatura que, por ser alto, demonstra que não existe 

efeito de curvatura significativo. 

Segundo a regressão múltipla, a rigidez da ligação poderia ser estimada de 

forma empírica, já desconsiderando as variáveis e combinações com pouca influência, 

por: 

R M = 0,8294+0,0366×X1+0,1005×X3-0.04946×X1×X2+0,02554×X1×X2×X3 

Para os níveis das variáveis adotados, a análise estatística múltipla indica que 

a rigidez rotacional de uma ligação de nó de pórtico é influenciada pela geometria 

adotada, ou seja, se esta possui mísula ou não, e pela geometria do pórtico e dos 

elementos. O espaçamento apresentou pouca influência nessa análise devido aos 

intervalos de espaçamentos de 6d a 13d entre pregos utilizados nos ensaios, que são 

espaçamentos viáveis do ponto de vista de dimensionamento. Espaçamentos maiores 

resultariam em baixa eficiência da seção composta, e por isso não são 

recomendáveis. É importante observar que o espaçamento entre pregos está 

diretamente relacionado com a quantidade de pregos na ligação, e conseqüentemente 

com o cálculo de K r , portanto são importantes para a rigidez da ligação. Essa 

influência pode ser observada comparando-se os valores de K r de ensaio das ligações 

“-1,-1”com “-1,+1” e “+1,-1” com “+1,+1” na tabela 4. 

Os corpos-de-prova com meia mísula e colados foram ensaiados com o intuito 

de fornecer parâmetros extras para avaliar a coerência do comportamento dessas 

ligações. Esses CPs não estavam previstos no planejamento estatístico e, seus 

resultados não foram utilizados na análise estatística assim como os corpos-de-prova 

“+1,-1 a” e “+1,-1 extra” por apresentarem problemas de montagem. 

Observando-se na tabela 6 os valores de R M para esses corpos-de-prova 

acima citados, observa-se que a diferença entre K r observada entre os corpos-deprova 

colados e pregados tipo “-1” e “+1”, que era de praticamente o dobro, deixa de 

ser significativa quando comparados os respectivos valores de R M , pois mesmo para 

as ligações pregadas os valores de R M já eram acima de 0,85, ou seja, já podiam ser 


52 


consideradas rígidas. Ainda na tabela 6 observa-se que a utilização de meia mísula já 

é suficiente para aumentar a rigidez da ligação para níveis considerados rígidos. 

Observa-se também que os CPs “+1,-1a” e ”+1,-1extra” apresentaram bons resultados 

mesmo com montagem irregular (mesa interrompida e falta de montantes 

respectivamente). Esse desempenho provavelmente se deve à grande rigidez da 

mísula. 

4.1 Modos de ruptura 

Apesar do foco desse trabalho ser a rigidez das ligações, aqui são 

apresentadas algumas considerações a respeito da carga máxima resistida e dos 

modos de ruptura observados nos CPs ensaiados. Com exceção do corpo-de-prova “- 

1,-1” todos os corpos-de-prova de ligação de nó de pórticos foram carregados até a 

ruptura, anotando-se a carga máxima de cada ensaio e o modo de ruptura.. 

Dos valores das cargas de ruptura apresentados na tabela 4, nota-se um 

grande aumento da carga última dos corpos-de-prova “0” para os corpos “+1”, que 

segue a tendência de aumento de K r . Nota-se também que o CP com meia mísula 

apresenta valores próximos da média entre “0” e “+1” tanto para a carga máxima 

quanto para K r . Observa-se pelos valores de ruptura um grande acréscimo da carga 

de ruptura dos corpos-de-prova “+1” quando se dobrou o número de pregos (CPs 

“+1,+1” e “+1,-1 b”). 

É interessante observar que as cargas de ruptura dos corpos-de-prova 

colados não foram muito superiores aos seus equivalentes pregados e que junto com 

a comparação relativa à rigidez mostra boa eficiência das ligações pregadas. 

Os modos de ruptura de todos os CPs rompidos estão apresentados nas 

fotos das figura 17 e 18, seguindo a seqüência da tabela 4. 



53 

Figura 17 - Modos de ruptura dos corpos-de-prova 0,0a; 0,0b; 0,0c; 0,0d; 0,0e; 0,0f; +1,-1b e 

-1,+1. 


54 


Figura 18 - Modos de ruptura dos corpos-de-prova +1,+1; +1,-1a; +1,-1ex; meia mísula; 0,col; - 

1,col e +1,col 



55 

Como pode ser observado na figura 17 os modos de ruptura encontrados para 

os CPs “0” pregados foram sempre por deformação excessiva da ligação, seguidos 

pela ruptura por flexão da mesa inferior após grande deformação. Já para os corposde-prova 

“+1” e “-1” os modos de ruptura final foram por ruptura na madeira das 

mesas ou das chapas de compensado. 

Essa mudança do modo de ruptura indica que o aumento da quantidade de 

pregos na região solicitada ao momento foi suficiente para que os pregos deixassem 

de ser o ponto crítico da ligação, permitindo um aumento de carga suficiente para que 

outros pontos rompessem antes dos pregos. É importante notar que pode ter ocorrido 

plastificação de alguns pregos durante o carregamento das ligações “+1” ou “-1”, 

porém não em escala perceptível a olho nu. 

Analisando-se os modos de ruptura das ligações coladas pode-se reforçar a 

afirmativa anterior, visto que as rupturas dos corpos-de-prova colados se deu 

praticamente igual às rupturas dos corpos-de-provas pregados “+1” e “-1”, sendo a 

carga de ruptura dos corpos-de-prova colados não muito superior às cargas de 

ruptura dos CPs pregados. 

5 CONCLUSÕES 

Dos ensaios de ligações por nó de pórtico observou-se um grande acréscimo 

da resistência e da rigidez com a utilização de mísulas. Essas mísulas permitem 

aumentar a quantidade de pregos na ligação e a seção da ligação na região mais 

solicitada, portanto aumentando a eficiência da ligação de nó de pórtico. 

O equacionamento utilizado na análise de rigidez de nó de pórtico, adaptado 

do proposto por RACHER (1995), considerando o centro de rotação como o contato 

entre as mesas inferiores das vigas, ou entre mísula e mesa inferior da viga 

apresentaram bons resultados. 

Segundo os resultados dos ensaios, as ligações de nó de pórtico de 

estruturas compostas com compensado podem ser consideradas como rígidas em 

quase todos os casos estudados, pois apresentam R M ≥ 0,85, que segundo RACHER 

é o suficiente para se considerar a ligação como rígida no cálculo da estrutura sem 

resultar em erro considerável. 

A eficiência das ligações pregadas, com rigidezes muito próximas das 

ligações coladas, justifica a utilização das ligações alma/mesa pregadas para a 

execução de estruturas “in loco”, sem necessidade de industrializar o sistema de 

montagem como é o caso das ligações coladas. 

6 AGRADECIMENTOS 

Os autores agradecem à Fundação de Aparo à Pesquisa do Estrado de São 

Paulo (FAPESP) pelo financiamento dessa pesquisa. 


56 



ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1997). NBR 7190/97 

- Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro. 

BATCHELAR, M. L.; HUNT, R. D. (1991). Composite plywood and steel gusset plates 

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RACHER, P. (1995). Moment resisting connections. Timber Engineering. STEP 1. 

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Engineering. Monash University. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DE VIGAS DE MADEIRA PREGADAS COM 

SEÇÃO COMPOSTA I 

Jorge Luís Nunes de Góes 1 & Antonio Alves Dias 2 

Resumo 

As vigas compostas de madeira pregadas possuem vasta aplicação como material 

estrutural, desde vigas para instalações residenciais e industriais até longarinas de 

pontes de pequenos vãos, apresentando como principais vantagens o baixo custo e a 

facilidade de execução, não exigindo mão-de-obra qualificada. Este trabalho tem como 

objetivo o estudo teórico e experimental de vigas de madeira com seção composta I 

formadas por peças de madeira serrada e solidarizadas por pregos. São apresentados 

os critérios das normas EUROCODE 5 e NBR 7190, bem como a teoria a respeito do 

assunto. É avaliado o procedimento de cálculo da NBR 7190, em comparação com o 

EUROCODE 5, sendo realizada verificação experimental dos critérios destas normas, 

por meio de ensaios de flexão em protótipos de vigas compostas. Os resultados obtidos 

demonstram que o modelo do EUROCODE 5 é o mais indicado para estimar a rigidez 

efetiva, tensões normais e de cisalhamento bem como a força nos conectores. 

Palavras-chave: peças compostas; rigidez de ligações; vigas de madeira. 


O emprego de peças compostas de madeira, formadas pela união de peças 

de dimensões comerciais, vem alcançando importância no setor de estruturas de 

madeira do Brasil, principalmente em virtude da gradativa escassez de peças de 

grandes dimensões. As peças compostas de madeira serrada, solidarizadas 

continuamente por pregos, possuem vasta aplicação como material estrutural, desde 

vigas para instalações residenciais e industriais até longarinas de pontes de pequenos 

vãos. O sistema em vigas composta apresenta como principais vantagens a facilidade 

e o baixo custo de produção. 

Estas formas de composição não permitem emendas longitudinais, tornando 

seu comprimento restrito ao tamanho usual das peças de madeira. A facilidade e o 

baixo custo de produção, fazem com que estas vigas compostas sejam extensamente 

utilizadas como vigas de uso doméstico (figura 1), para 4 a 6 metros de vão, como 

também para longarinas de pequenas pontes até 10 metros de vão. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jgoes@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, dias@sc.usp.br 


58 

Jorge Luís Nunes de Góes & Antonio Alves Dias 

Figura 1 - Exemplo de utilização de viga composta pregada. 

Os elementos de ligação mais utilizados para a solidarização das peças de 

madeira são os adesivos e os pinos metálicos. Apesar da indiscutível eficiência dos 

adesivos, existem maiores dificuldades na sua aplicação, o que torna os pinos 

metálicos os elementos de ligação mais utilizados no Brasil. Especialmente os pregos, 

devido à facilidade de aplicação e baixo custo. 

As ligações por pinos metálicos permitem deslizamento entre as peças 

unidas. Esse deslizamento, que é função da rigidez da ligação, causa redução nas 

propriedades mecânicas da peça composta. 

Fica caracterizada, assim, a importância da quantificação da rigidez das 

ligações para as peças compostas. Sabe-se que a rigidez é influenciada por vários 

fatores, dentre eles: o tipo, espaçamento e quantidade dos elementos de ligação, 

além das características físicas, de resistência e elasticidade da espécie da madeira 

utilizada. 

Em contradição ao exposto, a norma brasileira NBR 7190 “Projeto de 

Estruturas de Madeira”, apresenta uma metodologia simplificada de cálculo para o 

dimensionamento de peças com seção transversal composta, recomendando a 

redução da inércia da peça, por meio de coeficientes que consideram a não 

solidarização total das peças que compõem a seção transversal. Esses coeficientes 

são apresentados conforme o arranjo da seção transversal, não levando em conta a 

rigidez da ligação. 

O objetivo deste trabalho é fazer a avaliação teórica e experimental do modelo 

de cálculo para as peças justapostas de seção T, I e Caixão, da norma brasileira, 

permitindo um melhor conhecimento do comportamento e resistência de peças 

compostas, tornando as estruturas de madeira cada vez mais competitivas, 

divulgadas e aceitas pelos projetistas. 

2 CONCEITOS BÁSICOS 

Segundo a hipótese de Navier uma viga maciça apresenta, numa seção 

transversal qualquer, distribuição contínua de deformações longitudinais ao longo de 

sua altura, figura 2-(a). Por outro lado, numa peça de elementos sobrepostos 

independentes, isto é, sem nenhum tipo de conector interligando-os, a distribuição das 



59 

deformações é contínua somente ao longo da altura de cada elemento. Nas 

superfícies de separação são observadas descontinuidades decorrentes do 

comportamento individualizado (figura 2-(b)). 

Figura 2 - Deformação de uma barra fletida. (a) seção maciça; (b) barras sobrepostas; (c) 

seção composta interligada por pinos metálicos; (d) esforços solicitantes. Fonte: ALVIM (2002). 

Quando os elementos constituintes de uma viga composta estiverem 

interligados, os conectores restringem parte dos deslizamentos relativos que ocorrem 

entre as peças independentes, produzindo uma interação entre eles. A distribuição 

das deformações nessa viga, ainda apresenta as descontinuidades nas interfaces, 

entretanto, são inferiores às verificadas na peça de elementos independentes, figura 

2-(c). 

Diante do exposto, fica evidenciada a principal característica das vigas 

compostas: o comportamento mecânico interposto ao das vigas maciças e ao das 

peças de elementos independentes. 

O comportamento intermediário é influenciado diretamente pela rigidez dos 

elementos de ligação utilizados para a sua solidarização. Considerando o emprego de 

uma ligação “perfeitamente rígida”, não surgem deslocamentos relativos entre os 

pontos da borda que delimitam a zona de contato entre as peças. 

Na teoria, tais peças podem ser consideradas como de seção homogênea, 

supondo uma seção transversal equivalente à soma de todas as outras seções 

transversais individuais, aplicando-se a teoria clássica da flexão para vigas. Contudo, 

os dispositivos de ligação usados nos casos correntes de projeto são deformáveis. 

Com isto, tem-se uma “ligação elástica”, onde após a deformação da peça por flexão 


60 


ocorrem escorregamentos das porções interligadas, ocasionados pela 

deformabilidade dos conectores. 

O aparecimento de tais deslocamentos relativos produzem uma distribuição 

de esforços internos que difere consideravelmente daqueles correspondentes às 

ligações rígidas. Portanto, o momento de inércia e o módulo de resistência das peças 

compostas, unidas por conectores deformáveis, passam a ser uma fração daqueles 

das peças consideradas maciças. A magnitude dessa fração dependerá de 

parâmetros geométricos da viga, bem como de uma série de fatores que caracterizam 

a rigidez da ligação. 

O efeito da composição dessas peças é garantido pela transmissão dos 

esforços cortantes por meio da ligação. Os conectores devem suportar as tensões de 

cisalhamento distribuídas na região de contato entre as peças, figura 2-(d). Desse 

modo, é estabelecido um certo grau de monolitismo entre as peças justapostas. 

Então, fica evidente a necessidade de utilização de critérios especiais para o 

correto dimensionamento dos elementos estruturais formados de peças compostas. 

Atualmente são utilizados basicamente dois métodos distintos, adotados pelos 

principais documentos normativos do mundo, para o dimensionamento de peças 

compostas: o método dos coeficientes de minoração e o método analítico. 

3 MÉTODO DOS COEFICIENTES DE MINORAÇÃO 

Esse método consiste na aplicação de coeficientes redutores sobre as 

propriedades estáticas das peças compostas. Os coeficientes de minoração ou de 

eficiência têm a função de estabelecer a correspondência entre peças compostas e 

maciças. Para isso, são necessários dados experimentais adequados para 

estabelecer essa correspondência. 

As verificações das tensões normais e dos deslocamentos máximos são feitas 

considerando a redução do módulo de resistência e do momento de inércia. Já a 

verificação das tensões cisalhantes, bem como da força atuante nos conectores, é 

feita como se a viga fosse de seção maciça. 

A figura 3 ilustra o comportamento interposto das peças compostas e o uso 

dos coeficientes de minoração. 

h 

σ 

h 

h 

1 

1 

σ 

h1 

h1 

σ 

σ = 

W 0 = 

b 

M 

W 0 

2 I0 

h 

W 

σ 

M 

= (β) W 

0 

= 

(α) 

h 

0 

I 0 

1 

1 

σ = 

W = 

M 

2 W 1 

(a) (b) (c) 

Figura 3 - Comportamento interposto das peças compostas. (a) seção com dois elementos 

sobrepostos; (b) seção composta interligada por união deformável; (c) seção maciça 

equivalente. Fonte: GEHRI (1988). 

2 I 1 

h 1 



61 

Apesar de proporcionar agilidade no cálculo, tal método apresenta grande 

variabilidade e por este motivo alguns documentos normativos que anteriormente 

adotavam-no, após revisão optaram pelo método analítico. 

4 MÉTODO ANALÍTICO BASEADO NAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 

Este modelo consiste na análise da viga como sendo formada por elementos 

em equilíbrio solidarizados por equações de compatibilidade de deslocamento. 

Todo o desenvolvimento dessa teoria é baseado em hipóteses, nas quais a 

linearidade entre causa e efeito é sempre observada. Admite-se a validade das 

seguintes hipóteses: 

As uniões entre os elementos são contínuas, distribuídas uniformemente e 

apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todo o comprimento da viga. 

O deslocamento relativo da região correspondente à superfície de contato dos 

elementos é diretamente proporcional ao esforço atuante na conexão. 

As flechas dos elementos da viga composta, tomadas em qualquer posição ao 

longo do comprimento, são sempre as mesmas para todos os elementos. 

A distribuição das deformações ao longo da altura dos elementos da viga 

composta é linear. 

Os elementos constituintes da viga composta seguem a lei de Hooke. 

As flechas são pequenas. 

São desprezadas as deformações produzidas pelo esforço cortante, no 

cálculo dos deslocamentos das seções transversais. 

A adoção da primeira hipótese significa o estudo de um caso particular de 

vigas compostas. O fato de se considerar a superfície fictícia de interligação com 

propriedades mecânicas invariantes, implica em se ter os conectores aplicados em 

arranjos regulares por todo o plano de separação dos elementos. 

Com a segunda hipótese fica assumido um comportamento linear para o 

conector isolado. Tal fato, entretanto, por vezes não é confirmado experimentalmente 

em ensaios dos conectores isolados, porém a determinação da característica de 

rigidez com base na inclinação de reta secante à curva experimental do conector 

isolado, e o seu posterior emprego nas expressões teóricas, conduzem a resultados 

coerentes com os de experimentação de vigas. 

A integridade da viga composta é admitida na terceira hipótese. As demais se 

enquadram no grupo de hipóteses da modelagem de Bernoulli-Navier para a flexão de 

vigas ordinárias. 

Sendo assim, inicia-se a apresentação do método com referência à rigidez da 

união. Cada conector é solicitado por forças de cisalhamento, causando um 

deslocamento. A relação entre a força atuante e o deslocamento u entre os elementos 

individuais que compõem a seção transversal composta é definido pelo módulo de 

deslizamento K. A figura 4 ilustra a configuração padrão da união, apresentando o 

deslocamento u e o fluxo de cisalhamento ν. 


62 


Figura 4 – Deslocamento e força cisalhante entre os elementos individuais. Fonte: 

KREUZINGER (1995). 

O efeito da distribuição contínua de ligações como apresentado na figura 4 

pode ser expressa da seguinte forma: 

F s 

K 

ν = ; C = ; ν = C ⋅ u 

(1) 

s s 

onde: 

ν = fluxo de cisalhamento atuante na superfície de contato entre os elementos 

(N/mm); 

F s = força atuante no conector (N); 

u = deslocamento da ligação (mm); 

s = espaçamento entre conectores (mm); 

K = módulo de deslizamento (N/mm); 

C = rigidez da ligação (N/mm 2 ). 



63 

Figura 5 - Detalhes de uma viga composta e a configuração de equilíbrio de um elemento dx. 

Fonte: KREUZINGER (1995). 

Considerando uma peça composta de seção transversal tipo T, são ilustradas 

na figura 5 o sistema de carregamento, a configuração da seção transversal, a 

deformação e o elemento dx com as respectivas forças de equilíbrio. 

O deslocamento relativo entre as partes unidas é demostrado na figura 6. 

Figura 6 - Deformações. Fonte: KREUZINGER (1995). 

Onde, u 1 e u 2 são os deslocamentos longitudinais dos eixos 1 e 2 da seção 

transversal, w’ é a rotação causada pelo momento fletor e u é o deslocamento relativo 

entre as partes individuais no local da ligação. Essa análise de deslocamento 

apresentada é válida somente quando as deformações devido ao cisalhamento são 

desprezadas. 

⎛ h1 

h2 

⎞ 

= u2 − u1 

+ w′ 

⋅ ⎜ + ⎟ = u2 

− u + w′ 

⋅ a 

(2) 

⎝ 2 2 ⎠ 

u 1 


64 


Observando a equação (2) pode ser verificado que a dimensão crítica é a 

distância entre os eixos das peças; quanto maior for este valor, maior será a 

deformação relativa. 

Adicionando os princípios da elasticidade à teoria de flexão simples, tem-se: 

N 1 = E1 

⋅ A1 

⋅ u1′ 

e N 2 = E2 

⋅ A 2 ⋅ u′ 

2 

(3) 

1 = −E1 

⋅I 

⋅ w′ 

e M2 = −E 

2 ⋅I2 

⋅ w′ 

(4) 

M 1 

1 = −E1 

⋅I 

⋅ w′′ 

′ e V2 = −E 

2 ⋅I2 

⋅ w ′′ ′ 

(5) 

V 1 

( u − u + w′ 

a) 

ν = C ⋅ u = C ⋅ 2 1 ⋅ 

(6) 

A figura 7 apresenta os diagramas de tensões normais e cisalhantes para a 

seção composta. 

Figura 7 - Distribuição de tensões. Fonte: KREUZINGER (1995). 

Equilibrando os dois elementos na direção x e z: [p x = 0, (N 1 + N 2 ) ’ = 0] 

′ 

N 1 + ν = 0 

(7) 

′ 

N 2 + ν = 0 

(8) 

′ 

M = V 

1 1 − ν ⋅ 

h 

1 

2 

(9a) 

′ 

M = V 

2 2 − ν ⋅ 

h 

2 

2 

(9b) 

′ ′ 

1 + V = −p 

= V′ 

V 2 

(9c) 



65 

Somando os momentos e diferenciando em relação a x: 

″ ″ 

+ M + ν′⋅ 

a + p 

M1 2 

= 

0 

(10) 

Desta forma, existem três equações de equilíbrio (7), (9) e (10) e três 

deformações incógnitas u 1 , u 2 e w. Substituindo os princípios da elasticidade nestas 

equações de equilíbrio: 

( u − u + w′ 

⋅ a) 0 

E1 ⋅ A1 

⋅u1′′ 

+ C ⋅ 2 1 = 

(11) 

( u − u + w′ 

⋅ a) 0 

E2 ⋅ A 2 ⋅u′′ 

2 − C ⋅ 2 1 = 

(12) 

( I + E ⋅I 

) ⋅ w′′′′ 

− C ⋅a 

⋅ ( u′ 

− u′ 

+ w′′ 

⋅a) p 

E1 1 2 2 

2 1 = 

⋅ (13) 

Para a resolução das equações de equilíbrio são adotados carregamento e 

deformações senoidais. Além de facilitar a derivação, o autor afirma que esta 

consideração ainda proporciona soluções aplicáveis para as mais diferentes 

distribuições de carregamento. 

⎛ π ⎞ 

p = p0 ⋅ sen⋅ 

⎜ ⋅ x⎟ 

(14) 

⎝ L ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⎛ π ⎞ 

⎛ π ⎞ 

1 = u ⋅ cos⋅ 

⎜ ⋅ x⎟ 

; u2 = u20 

⋅ cos⋅ 

⎜ ⋅ x⎟ ; w = w 0 ⋅ sen⋅ 

⎜ ⋅ x⎟ (15a,b,c) 

⎝ L ⎠ 

⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ 

u 10 

Substituindo esses termos nas equações de equilíbrio (2), (3) e (4), resulta o 

sistema de equações apresentado abaixo. 

2 

⎡ π 

⎤ 

u ⋅ ⎢− 

⋅E1 

⋅ A1 

− C + u 

2 

⎥ 20 ⋅ 0 

⎣ L 

⎦ 

π 

L 

[ C] + w ⋅ C ⋅ ⋅ a 0 

10 = 

⎡ 

⎤ 

π 

[ C] + u ⋅ − ⋅E 

⋅ A − C + w ⋅ C a 0 

L 

⎢− 

⋅ ⋅ 

L 

⎥ 

⎣ 

⎦ ⎣ ⎦ 

⎡ 

⎤ 

u ⎢ 

= 

L 

⎥ ⎢ 

L 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ L 

L ⎦ 

A solução do sistema é apresentada a seguir. 

2 

π 

⎡ ⎤ 

u10 ⋅ 20 ⎢ 2 1 1 ⎥ 0 

= 

4 

2 

⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤ π 

π 

10 ⋅ − C ⋅ ⋅ a + u20 

⋅ C ⋅ ⋅ a + w 0 ⋅ ⎢ ⋅ 

p 

4 

2 ⎥ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2 

( E1 

⋅I1 

+ E2 

⋅I2 

) + C ⋅ ⋅ a 0 

w 

0 

4 

L 

1 

L 1 

= p0 

⋅ ⋅ 

= p 

2 0 ⋅ ⋅ 

(16a) 

4 

4 

π 

E 

( EI) 1 ⋅ A1 

⋅ γ1 

⋅ a π 

E 

ef 

1 ⋅I1 

+ E2 

⋅I2 

+ 

E1 

⋅ A1 

1+ γ1 

⋅ 

E ⋅ A 

2 

2 

4 

u 

w 

π 

a ⋅ γ 

⋅E 

⋅ A 

1 2 2 

10 = 0 ⋅ ⋅ 

(16b) 

L γ1 

⋅E1 

⋅ A1 

+ E2 

⋅ A 2 


66 


u 

20 

w 

π 

a ⋅ γ 

⋅E 

⋅ A 

1 1 1 

= − 0 ⋅ ⋅ 

(16c) 

L γ1 

⋅E1 

⋅ A1 

+ E2 

⋅ A 2 

k 

1 

2 

π E1 

⋅ A1 

= ⋅ ; 

2 

L k 

1 

γ = 

(17a,b) 

1 

( 1+ 

k ) 

1 

As tensões podem ser obtidas aplicando os princípios da elasticidade a estas 

deformações. A tensão no eixo do elemento 1 da seção transversal é: 

L 

π 

σ 1 = E1 

⋅u1′ 

(x = ) = −E1 

⋅u10 

(18) 

2 

L 

Usando os seguintes termos 

w 

0 

4 

L 1 

= p0 

⋅ ⋅ 

(19) 

4 

π 

( EI) ef 

M 

0 

2 

L 

= p0 

⋅ 

(20) 

2 

π 

a 

2 

1 1 1 

= (21) 

γ 

1 

γ ⋅E 

⋅ A ⋅ a 

⋅E 

⋅ A + E ⋅ A 

1 

1 

2 

2 

a 

= a − 

(22) 

1 a 2 

a tensão é: 

γ 

⋅E 

⋅a 

⋅M 

1 

σ 1 = 

(23) 

1 1 0 

( EI) ef 

Nota-se que a equação obtida é semelhante à equação de uma viga simples. 

No anexo B do EUROCODE 5 (1993) são apresentadas as equações de rigidez 

efetiva, tensões normais, tensão máxima cisalhante e carga atuante nos conectores 

para uma seção genérica composta com dois ou três elementos. 

5 RIGIDEZ DAS LIGAÇÕES 

O fenômeno característico das ligações por conectores metálicos em vigas 

compostas é o deslizamento entre os elementos adjacentes. No instante em que a 

viga é solicitada, forças de cisalhamento são induzidas e transferidas à interface dos 

elementos adjacentes, por meio de forças laterais desenvolvidas sobre os conectores. 

O comportamento da ligação (madeira e conector) pode ser descrito por um 

parâmetro de referência chamado Módulo de Deslizamento (Slip Modulus). 

EHLBECK & LARSEN (1991), abordam em seu trabalho os conceitos 

estabelecidos pelo EUROCODE 5 com referência às ligações de elementos 

estruturais de madeira. Os autores indicam que o EUROCODE 5 utiliza dois valores 



67 

de Módulo de Deslizamento, um para o dimensionamento nos Estados Limites 

Últimos (K u ) e outro para os Estados Limites de Utilização (K ser ). 

O Módulo de Deslizamento instantâneo para os Estados Limites de Utilização 

– denotado K ser – é assumido como o módulo secante da curva carga-deslocamento 

ao nível de carga de aproximadamente 40% da carga máxima da ligação (figura 8). 

Nesse baixo nível de carregamento, de 0 a 0,4 F max , a relação linear entre carga e 

deslocamento é assumida como aceitável para os propósitos de dimensionamento. 

Fmáx 

0,7 Fmáx 

Força (P) 

0,4 Fmáx 

Kser 

Ku 

Deslocamento (δ) 

Figura 8 - Módulo de Deslizamento secante. 

O módulo de deslizamento instantâneo para os Estados Limites Últimos – 

denotado K u – é assumido como o módulo secante da curva carga deslocamento a 

um nível de carga de aproximadamente 60 a 70% da carga máxima. Como uma 

razoável simplificação aplicável para os procedimentos de dimensionamento, K u pode 

ser dado por K u = 2/3 K ser . 

EHLBECK & LARSEN (1991) também indicam a expressão empírica 24 para 

estimar o valor do Módulo de Deslizamento (K ser ). 

K 

ser 

1,5 

ρk 

⋅ d 

= (24) 

20 

6 NORMAS TÉCNICAS 

Neste item são apresentados métodos de dimensionamento de vigas de 

madeira com seção composta unidas continuamente por conectores metálicos 

deformáveis da norma brasileira e européia de projeto de estruturas de madeira. 

6.1 Dimensionamento segundo a NBR 7190 

A norma brasileira não faz menção específica ao detalhamento das ligações 

em estruturas compostas. No entanto, apresenta critério que considera a redução da 


68 


inércia das peças compostas utilizando coeficientes em função do tipo de arranjo da 

seção transversal para considerar o efeito de composição parcial. 

No item 7.7.2 desta norma é recomendado que as peças compostas por 

peças serradas formando seção T, I ou Caixão, solidarizadas permanentemente por 

ligações rígidas por pregos podem ser dimensionadas como se a viga fosse de seção 

maciça, com área igual à soma das áreas das seções dos elementos componentes, 

admitindo um momento de inércia efetivo dado por: 

I 

ef 

= α ⋅I 

(25) 

r 

th 

Onde I th é o momento de inércia da seção total da peça como se ela fosse 

maciça, sendo 

- para seções T: α r = 0,95 

- para seções I ou Caixão: α r = 0,85 

Como pode-se observar, essa consideração independe de fatores como o 

diâmetro e o espaçamento entre conectores. 

6.2 Dimensionamento segundo o EUROCODE 5 

No anexo B desta norma européia é apresentado o critério de 

dimensionamento para vigas compostas unidas por conectores metálicos (ligações 

flexíveis). Recomenda que o efeito da deformabilidade da ligação seja levada em 

consideração, assumindo-se uma relação linear entre a carga de cisalhamento e o 

deslocamento longitudinal relativo entre os elementos da ligação. 

O módulo de deslizamento é determinado em função da densidade da 

madeira e do diâmetro do pino utilizado. No caso de ligações com pré-furação os 

valores de K são dados por: 

K 

2 

= ⋅ 

(26) 

3 

u K ser 

K 

ser 

1,5 

ρk 

⋅ d 

= (27) 

20 

onde: 

K = K u para os estados limites últimos (N/mm); 

K = K ser para os estados limites de utilização (N/mm); 

d é o diâmetro do prego em mm; 

ρ k é a densidade da madeira em kg/m 3 . Se as peças forem de madeiras 

diferentes deve-se utilizar uma densidade equivalente ρ k = ρk1 

⋅ ρk2 

. 

A partir deste módulo de deslizamento, é definido o fator de redução de 

inércia do conjunto, levando em consideração além do tipo de união, a disposição e 

espaçamento dos elementos de ligação, o tipo de madeira, a forma de montagem e 

proporção das peças individuais e o vão entre apoios da viga composta. 

γ 2 = 1 e 

−1 

2 

⎡ π ⋅Ei 

⋅ A i ⋅ s ⎤ 

i 

γ i = ⎢1 

+ 

2 ⎥ para i = 1 e 3 (28) 

K i ⋅L 

⎣ 

⎦ 

onde: 

E i = módulo de elasticidade de cada elemento da seção transversal; 

A i = área de cada parte da seção transversal; 



69 

s i = espaçamento dos pregos na interface do elemento i com o elemento 2; 

K i = módulo de deslizamento da ligação do elemento i com o elemento 2; 

L = vão efetivo da viga (L = vão, para vigas biapoiadas), (L = 0,8⋅vão, para 

vigas contínuas) e (L = 2⋅vão, para vigas em balanço). 

O espaçamento dos pregos pode ser uniforme ou variar conforme a força de 

cisalhamento, entre um valor mínimo s min e s max , sendo s max ≤ 4⋅s min . Nesse último caso 

um valor efetivo de espaçamento pode ser usado, dado por: 

s 

ef 

= 0,75 ⋅ s + 0,25 ⋅ s 

(29) 

min 

max 

A distância entre os centros de gravidade da seção até a linha neutra da peça 

(ver figura 9) é dado por: 

( h + h ) − γ ⋅E 

⋅ A ⋅ ( h + h ) 

γ1 

⋅E1 

⋅ A1 

⋅ 1 2 3 3 3 2 3 

a 2 = 

(30) 

3 

2 ⋅ γ ⋅E 

⋅ A 

∑ 

i= 

1 

i 

i 

i 

a 

⎛ h + h ⎞ 

⎛ h2 

+ h3 

⎞ 

= e a 3 = ⎜ ⎟ + a2 

(31) 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

1 2 

1 ⎜ ⎟ − a2 

onde: 

a i = distância do centróide da área de cada elemento que compõe a seção 

transversal até a linha neutra y-y, desde que a 2 não seja menor que zero e não maior 

que h 2 /2; 

h i = altura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal 

com h 3 nulo para seção T; 

b i = largura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal; 

Assim é possível o cálculo da rigidez efetiva levando em consideração a 

rigidez da ligação. 

3 

2 

( ) 

ef 

= ∑ ( Ei 

⋅Ii 

+ γ i ⋅Ei 

⋅ A i ⋅ ai 

) 

EI (32) 

i= 

1 

onde: 

I i = momento de inércia de cada elemento componente da seção transversal (I i 

= b i .h i 3 /12). 


70 


A , I 

1 1 

,E1 

b1 

s 1,K 

1, 

F1 

σ1 

σ m,1 

0,5 b 2 

a 

1 

a 2 

a 3 

A 2,I ,E2 

A,I 

2 

3 3, E3 

y 

b2 

b 

3 

h2 

y 2 σ m,2 

h2 

h 

2 2 

+ 

h3 

σ3 

σ m,3 

s 3, K3,F3 

- 

σ2 

h 

a 1 

a 2 

a 3 

b1 

b1 

2 2 

y 

b 

2 

3 

b2 

2 

b 

3 

y 

h 

h 

1 

3 

h2 

σ m,2 

σ1 

+ 

σ 

σ 

3 

m,3 

- 

σ2 

σ m,1 

h 

A1,I1, 

E1 

2 a 1 

a 

A 2, I2, 

E2 

y 

b1 

b2 

y 

s 1,K 

Figura 9 - Seções transversais e distribuição de tensões do EUROCODE 5. 

h2 

2 

h2 

2 

,F 

1 1 

h1 

h2 

σ 

σ1 

+ 

m,2 

- 

σ2 

σ m,1 

h 

Da mesma forma, são equacionadas as tensões normais e cisalhantes 

atuantes nas peças, bem como a força aplicada nos elementos de ligação ocasionada 

pelo deslizamento entre as peças. 

Para vigas com geometria de seção transversal conforme as da figura 9, as 

tensões normais devem ser calculadas como mostrado a seguir: 

M 

σ = γ ⋅E 

⋅ a ⋅ 

(33) 

i 

i 

i 

i 

( EI) ef 

M 

σ = 0,5 

⋅E 

⋅ h ⋅ 

(34) 

m,i 

i 

i 

( EI) ef 

onde: 

M = momento fletor; 

σ i e σ m,i = respectivamente as tensões no centróide e nas extremidades dos 

elementos da seção transversal. 

A máxima tensão cisalhante ocorre onde a tensão normal é nula. A tensão 

máxima de cisalhamento na alma da viga pode ser obtida como: 

2 

( γ ⋅E 

⋅ A ⋅ a + 0,5 ⋅E 

⋅b 

⋅h 

) 

V 

τ 2,max = 3 3 3 3 

2 2 ⋅ 

(35) 

b ⋅ 

2 

( EI) ef 

onde: 

V = força máxima de cisalhamento. 

E por fim apresenta-se a equação para o cálculo da carga aplicada no 

conector. 

V 

F = γ ⋅E 

⋅ A ⋅ a ⋅ s ⋅ para i = 1 e 3 (36) 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

( EI) ef 



71 

7 ENSAIOS EM VIGAS COMPOSTAS 

Para aferição dos modelos de dimensionamento de vigas compostas foram 

conduzidos ensaios experimentais de flexão em 9 protótipos (3 de cada espécie) de 

seção I simétrica, formadas por peças de seções comerciais, solidarizadas 

continuamente por pregos. As espécies nativas de madeira utilizadas foram o Angelim 

Pedra Verdadeiro – Dinizia excelsa (alta densidade) e o Cedrilho – Erisma spp (média 

densidade). A espécie de reflorestamento utilizada foi o Pinus Hondurensis – Pinus 

caribea var. hondurensis (baixa densidade). 

A tabela 1 apresenta a geometria da seção transversal, o comprimento, vão 

do ensaio, tipo de ligação e espécie de madeira utilizada para as vigas ensaiadas. 

Tabela 1 - Dados de projeto das vigas compostas 

Espécie 

de 

Madeira 

Viga 

Geometria da 

Seção 

Ligação 

Comp. 

(cm) 

Vão 

ensaio 

(cm) 

Instrumentação 

Angelim Pedra Verdadeiro 

A1 

A2 

A3 

5,60 

15,50 

2,50 15,10 2,50 

20,10 

18 x 30 

C/2,5 cm 

380 370 

Relógios 

comparadores e 

extensômetros 

elétricos 

Relógios 

comparadores 

Pinus Hondurensis 

P1 

P2 

5,80 

16,00 

5,65 

2,55 15,80 2,55 

20,90 

5,30 18,90 5,30 

29,50 

22 x 42 

C/5,0 cm 

22 x 48 

C/5,0 cm 

310 300 

400 390 

Relógios 



elétricos 

15,50 


72 


Tabela 1 - Continuação 

P3 

5,65 

5,05 19,65 5,05 


22 x 48 

C/2,4 cm 

400 390 

15,00 

Cedrilho 

C1 

C2 

5,00 

5,10 18,40 5,10 

28,60 

22 x 48 

C/5,0 cm 

400 390 

Relógios 



elétricos 

C3 

13,40 

Relógios 

comparadores 

Para auxiliar a análise precisa dos resultados, todas as peças de madeira que 

compõem a seção transversal composta foram previamente testadas por meio de 

ensaios não destrutivos de flexão estática. Destes ensaios são obtidos o módulo de 

elasticidade à flexão de cada peça que está sendo empregada na viga, garantindo 

maior precisão da análise dos resultados. 

Após a montagem, as vigas compostas foram testadas por ensaio de flexão 

com carregamento nos terços, leitura de flechas e deslizamento entre as peças, por 

meio de relógios comparadores e leitura de deformações por meio de extensômetros 

elétricos de resistência (ver esquema do ensaio na figura 2). 



73 

L/3 L/3 

L/3 

P/2 

Ext. 1 

Ext. 2 

P/2 

Ext. 3 

Ext. 4 

Ext. 5 

Ext. 6 

Rel. 1 

Rel. 2 

L 

extensômetros elétricos 

Figura 10 - Montagem do ensaio em vigas compostas instrumentadas com extensômetros 

elétricos. 

A figura 11 ilustra a realização dos ensaios de flexão das vigas compostas. 

Figura 11 - Ensaios de flexão em protótipo de peças compostas. 

Para avaliação da rigidez à flexão foram realizados três ciclos de 

carregamento, tendo sido registrados os valores observados no último ciclo. Estes 

carregamentos foram conduzidos até o limite de flecha L/200 para todas as vigas, de 

forma a não exceder o regime elástico do material. Ao final do terceiro ciclo, após a 

retirada dos relógios comparadores, as vigas foram conduzidas à ruptura. 

8 RESULTADOS E DISCUSSÕES 

Neste item são realizadas as avaliações da rigidez efetiva, deformações, 

tensões e força de ruptura das vigas compostas. 


74 


8.1 Rigidez efetiva 

Na tabela 2 encontram-se os valores de rigidez à flexão e os respectivos 

valores dos coeficientes de eficiência (α) para cada as vigas compostas. A coluna 

(α EC5 ) indica os valores do coeficiente de eficiência calculado pela equação 36, 

segundo a metodologia proposta pelo EUROCODE 5. A coluna (α exp. ) indica os 

valores do coeficiente de eficiência calculado pela equação 37. 

(EI) 

EC5 

α EC5 = (36) 

(EI) 

ríg 

(EI) 

exp 

α exp = (37) 

(EI) 

ríg 

Também é apresentado o valor do erro entre a estimativa do EUROCODE 5 e 

os resultados experimentais (vide equação 38). O sinal (-) indica que o valor de rigidez 

à flexão, obtido experimentalmente, foi menor que o estimado teoricamente pelo 

método do EUROCODE 5. 

(EI) 

exp 

-(EI) 

(EI) 

EC5 

EC5 

⋅ 100 

(38) 

Tabela 2 - Rigidez à flexão e coeficiente de eficiência das vigas compostas 

Viga 

(EI) ríg. 

(kN.cm 2 ) 

(EI) EC5 

(kN.cm 2 ) 

(EI) exp. 

(kN.cm 2 ) 

α EC5 α exp. Erro (%) 

A1 12389321 10993965 10660463 0,89 0,86 -3,0 

A2 12221476 10877689 10355724 0,89 0,85 -4,8 

A3 13384421 11837396 11445233 0,88 0,86 -3,3 

C1 20779163 15630796 13454931 0,75 0,65 -13,9 

C2 21980521 15881122 13743379 0,72 0,66 -13,5 

C3 17817781 13465536 12731707 0,76 0,72 -5,5 

P1 7733260 5943941 5789292 0,77 0,75 -2,6 

P2 28208205 16389020 16527848 0,58 0,59 0,8 

P3 20336034 16663170 17017367 0,82 0,84 2,1 

Na figura 12 é apresentado o diagrama de força x flecha para a viga A1. 

Neste diagrama são indicadas quatro curvas teóricas (Rígida, Livre, NBR e EC5) além 

dos valores experimentais obtidos dos ensaios. A curva “Rígida” considera ligação 

perfeitamente rígida. A curva “Livre” indica o comportamento da viga supondo não 

haver ligação. Também são apresentados, nas curvas “NBR” e “EC5”, os 

comportamentos da viga de acordo com os procedimentos de cálculo indicados pelas 

normas NBR 7190 e EUROCODE 5, respectivamente. 



75 

Viga A1 

Força (kN) 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 

Flecha (mm) 

Rígida NBR EC5 Experimental Livre 

Figura 12 - Diagrama força x flecha dos ensaios de flexão da viga de Angelim A1. 

Observando o diagrama da figura 12 e os valores de erro na tabela 2, pode-se 

notar a proximidade dos valores teóricos do EUROCODE 5 com os valores obtidos 

nos ensaios, principalmente nos instantes iniciais (até L/200). Nota-se também que a 

partir de um dado momento o sistema composto começa a perder eficiência e desse 

ponto em diante a teoria linear do EUROCODE 5 e da NBR 7190 torna-se inadequada 

para prever os deslocamentos e os esforços atuantes. 

8.2 Deformações e tensões 

A seguir são apresentados os diagramas de tensões e deformações para a 

viga A2, indicando os resultados experimentais e comparando-os com os obtidos da 

formulação do EUROCODE 5. As tensões e deformações apresentadas na figura 13 

referem-se aos valores obtidos através de extensômetros elétricos posicionados na 

seção transversal central, para o nível de força aplicada que produzia uma flecha 

teórica de L/200 considerando regime elástico. 

Viga A2 

Viga A2 

20 

20 

Altura na seção (cm) 

15 

10 

5 

Altura na seção (cm) 

15 

10 

5 

0 

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 

0 

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 

Deformações (µε) 

Tensões (MPa) 

Teórico 

Experimental 

Teórico 

Experimental 

Figura 13 - Diagramas de deformações e tensões da viga A2. 


76 


A figura 13 indica boa correspondência entre os valores teóricos calculados 

pelo método do EUROCODE 5 e os valores experimentais obtidos pelos 

extensômetros elétricos. 

8.3 Força de ruptura 

Em relação aos estados limites últimos, foram comparados os valores de força 

máxima calculados teoricamente pelo método do EUROCODE 5 e NBR 7190, e 

comparados com os resultados experimentais obtidos. 

Vigas de Angelim 

Força de Ruptura (kN) 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

A1 A2 A3 

Vigas 

EC5 

NBR 

Exp. 

Figura 14 - Diagrama de força de ruptura das vigas de Angelim. 

A figura 14 ilustra os valores teóricos da forças obtidas, bem como, o valor 

experimental, correspondente à ruptura da peça. Os valores de ruptura experimentais 

das vigas de Angelim são de 102% a 240% superiores quando comparados com os 

teóricos obtidos do cálculo do EUROCODE 5. A grande diferença têm fundamento na 

consideração do estado de ruptura da viga. Tanto o método do EUROCODE 5 quanto 

o método da NBR consideram, para estes exemplos particulares de vigas, que, 

quando a ligação mais solicitada (extremo da viga) atinge sua capacidade máxima, a 

viga atingiu o estado o estado limite último. Entretanto, pode ser observado que, após 

este ponto, ocorre uma redistribuição de esforços, devido a alta flexibilidade dos 

conectores, garantindo maior capacidade resistente para o elemento estrutural. Por 

fim, a ruptura das vigas foi caracterizada por de tração na mesa inferior ou tração na 

alma, por flexão. 

Comparando os valores teóricos da capacidade resistente obtidos pela norma 

EUROCODE 5 e NBR 7190, nota-se que esta conduz a valores inferiores. Isto é 

devido ao fato da norma brasileira considerar o fluxo de cisalhamento como se a viga 

fosse maciça. Já a norma européia admite um redução no valor do fluxo de 

cisalhamento, em função da eficiência da conexão. Em média esta diferença na 

resistência ficou por volta de 10 a 14%. 



77 

9 CONCLUSÕES 

As vigas compostas de madeira pregadas apresentam facilidade de execução 

e baixo custo de produção, podendo ser largamente empregadas nas construções de 

madeira principalmente quando é requerido um acréscimo de inércia sem a 

disponibilidade de peças de seção maciça. 

O modelo da NBR 7190, por meio de coeficientes de redução de inércia é 

simples mas impreciso para estimar o comportamento deste tipo de elemento 

estrutural. 

Já o método do EUROCODE 5 apresentou razoável concordância com os 

resultados experimentais. 


Os autores expressam seus agradecimentos à FAPESP – “Fundação de 

Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo”, pela concessão da bolsa de estudos e 

suporte financeiro para o desenvolvimento da pesquisa. 


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1997). NBR 7190 - Projeto 

de Estruturas de Madeira. Rio de Janeiro. 

ALVIM, R. C. (2002). A Resistência dos Pilares de Madeira Composta. São Paulo. 

Tese (Doutorado) – Escola Politécnica - Universidade de São Paulo. 

GEHRI, E. (1988). Zusammengesetzte Träger. In: Autographie Einführung in die 

Norm 164 (1981). p.285-298. 

GÓES, J. L. N. (2002). Análise de vigas de madeira pregadas com seção 

composta I. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 

KREUZINGER, H. (1995). Mechanically jointed beams e columns. Timber 

Engineering STEP 1, Lecture B11, Centrum Hout, The Netherlands. 

COMITÉ EUROPÉEN DE NORMALISATION (1993). EUROCODE 5 - Design of 

Timber Structures. Brussels. 

EHLBECK, J.; LARSEN, H. J. (1991). Eurocode 5 - Design of Timber Structures: 

Joints. p.9-23. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DOS MECANISMOS RESISTENTES E DAS 

SIMILARIDADES DE EFEITOS DA ADIÇÃO DE 

FIBRAS DE AÇO NA RESISTÊNCIA E NA 

DUCTILIDADE À PUNÇÃO DE LAJES-COGUMELO E 

AO CISALHAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO 

Kristiane Mattar Accetti Holanda 1 & João Bento de Hanai 2 

Resumo 

Um dos principais problemas das lajes-cogumelo refere-se à ruína por puncionamento 

da ligação laje-pilar. Esta forma de ruína deve ser evitada, proporcionando-se às lajes 

as melhores condições para o desenvolvimento de mecanismos de escoamento das 

armaduras e de ruína por flexão, antes da ocorrência da ruína por cisalhamento. A 

introdução de fibras de aço em elementos de concreto submetidos a solicitações 

tangenciais proporciona melhoria de desempenho, seja pelo aumento da capacidade 

resistente, seja pela alteração da forma de ruína. Pretende-se contribuir com o avanço 

do conhecimento sobre o assunto, explorando aspectos como a análise das 

similaridades dos efeitos da adição de fibras de aço na resistência e na ductilidade de 

lajes-cogumelo à punção, com aqueles que se observam no cisalhamento de vigas 

prismáticas análogas. Abordam-se os casos de ligações laje-pilar interno sem 

armadura de punção, variando-se a resistência do concreto, a taxa e o tipo de fibra 

utilizado. A partir dos resultados experimentais, verificou-se que existe uma 

similaridade de comportamento estrutural entre esses dois elementos e concluiu-se que 

é possível utilizar ensaios de cisalhamento em vigas prismáticas para se obter 

indicadores a serem utilizados nos ensaios de punção de lajes. Foi efetuada uma 

análise da adaptabilidade de modelos teóricos existentes sobre cisalhamento em vigas e 

punção em lajes, com vistas à consideração do efeito da adição de fibras de aço ao 

concreto. Com base nesses modelos, foram estabelecidos critérios quantitativos para 

avaliação da resistência e da ductilidade das ligações laje-pilar. 

Palavras-chave: concreto com fibras; punção; cisalhamento; similaridades; 

modelo teórico. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, accetti@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jbhanai@sc.usp.br 


80 

Kristiane Mattar Accetti Holanda & João Bento de Hanai 


Na ruína por punção, sendo a força cortante a ação predominante, a laje pode romper 

antes que a armadura de flexão atinja sua tensão de escoamento, observando-se então uma 

ruína de natureza frágil, abrupta, que não oferece qualquer aviso prévio. Esta forma de ruína 

deve, portanto, ser evitada, proporcionando-se às lajes as melhores condições para o 

desenvolvimento de mecanismos de escoamento das armaduras e de ruína por flexão, mais 

dúctil, antes da ocorrência da ruína por cisalhamento. Assim, é essencial que nos projetos de 

ligações laje-pilar se preocupe com os parâmetros tanto de resistência como de ductilidade. 

Pesquisas mais recentes têm mostrado a melhoria de desempenho devida à 

introdução de fibras de aço em elementos de concreto submetidos a solicitações tangenciais, 

seja pelo aumento da capacidade resistente, seja pela alteração da forma de ruína. O 

interesse despertado por esse estudo pode ser explicado pela expectativa de bons resultados 

no desenvolvimento de novos materiais, na economia de tempo para no preparo do concreto 

com fibras, em face ao tempo necessário para montagem e execução da armadura 

transversal, ou mesmo pela vantagem das fibras proporcionarem maior ductilidade à ligação. 

Deve-se salientar o particular interesse na associação de concreto de alta resistência 

com fibras de aço. O incremento da resistência do concreto aumenta a resistência da ligação à 

punção, mas ao mesmo tempo o concreto de alta resistência mostra-se mais frágil e leva à 

diminuição do efeito de engrenamento dos agregados na superfície de ruína, pois ela passa a 

se mostrar mais lisa. A adição de fibras de aço oferece, taticamente, maior tenacidade ao 

concreto e efeitos de costura, tanto na superfície de ruína como nas imediações das 

armaduras longitudinais e transversais (quando estas existirem). 

Os objetivos específicos da tese são: 

a) produzir novos dados experimentais e re-estruturar os dados existentes sobre a resistência 

e a ductilidade de ligações laje-pilar em lajes-cogumelo de concreto armado reforçado com 

fibras de aço; 

b) efetuar uma análise prospectiva da adaptabilidade de modelos mecânicos teóricos 

existentes sobre a punção em lajes, com vistas à consideração do efeito da adição de fibras de 

aço ao concreto; 

c) analisar e estabelecer conclusões sobre a similaridade de comportamento estrutural de lajes 

de concreto com fibras, sujeitas à punção, e de vigas análogas submetidas à força cortante; 

d) estabelecer, quando possível, correlações qualitativas entre a resistência e a ductilidade de 

lajes-cogumelo à punção, com a resistência e a ductilidade de vigas prismáticas ao 

cisalhamento; 

e) estabelecer, na medida do possível, método e critérios de seleção do tipo, volume e outras 

características das fibras de aço a serem usadas em ligações laje-pilar, por meio de 

indicadores obtidos em ensaios mais simples de cisalhamento em prismas; 

f) estabelecer critérios quantitativos para avaliação da ductilidade das ligações laje-pilar. 

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 

2.1 Aspectos teóricos do concreto com fibras 

A efetividade do reforço com fibras pode ser avaliada com base nos critérios de 

melhoria de resistência e de tenacidade do compósito, comparado com a matriz frágil. As 

fibras aumentam a resistência do material, promovendo meios de transferência de tensão 

através das fissuras. Além disso, elas aumentam a tenacidade do material, proporcionando 

mecanismos de absorção de energia, relacionados com o desligamento e o arrancamento das 

fibras que formam pontes nas fissuras. A eficácia das fibras na melhoria das propriedades 


Análise dos mecanismos resistentes e das similaridades de efeitos da adição de fibras... 

81 

mecânicas da matriz frágil de cimento é controlada pelos processos pelos quais a força é 

transferida para as fibras e pelo efeito de “costura” das fissuras, proporcionado pelas fibras em 

estágios avançados de carregamento. Estes dois aspectos serão estudados separadamente, 

nos próximos sub-itens. 

2.2 Mecanismos alternativos resistentes ao cisalhamento 

Segundo RUSSO & PULERI (1997), os dois principais mecanismos resistentes ao 

cisalhamento de vigas sem armadura transversal, isto é, os mecanismos provenientes da 

contribuição do concreto, são a ação de viga e a ação de arco (Equação 1). 

dT dj 

V jd + Td 

dx dx 

= (1) 

onde T é a força de tração na armadura, x é o comprimento da viga e j é um valor 

adimensional, menor do que 1, que faz reduzir o braço de alavanca de um valor igual a d para 

outro menor, igual a jd. Em vigas esbeltas (a/d ≥ 2,5), onde a ação de viga é predominante, 20 

a 40% da força cortante é resistida pelo concreto comprimido não fissurado (banzo 

comprimido), 33 a 55% pelo engrenamento dos agregados ao longo das superfícies rugosas 

do concreto em cada um dos lados da fissura, e 15 a 25% pela ação de pino da armadura 

longitudinal de flexão. Esses são os chamados mecanismos resistentes alternativos. De 

acordo com LIM & OH (1999), em vigas esbeltas sem estribos e reforçadas com fibras de aço, 

o esforço cortante é transmitido por meio das seguintes parcelas: efeito do concreto nãofissurado 

da região comprimida (V c ), efeito de engrenamento dos agregados ao longo da 

fissura diagonal (V a ), efeito de pino da armadura longitudinal que atravessa esta fissura (V p ) e 

componentes verticais da força de arrancamento das fibras ao longo da fissura inclinada (V fib ), 

conforme mostra a Figura 1. 

Figura 1 - Parcelas do esforço cortante resistido por uma viga de CRFA (LIM & OH, 1999). 

2.3 Resistência de lajes à punção 

Os diagramas força x deslocamento dos ensaios de lajes submetidas ao 

puncionamento normalmente exibem estágios de comportamento, delimitados por mudanças 

significativas da inclinação das curvas, conforme mostra a Figura 2. 


82 


I II 

III IV 

FORÇA 

Pu 

P y 

P 

fiss 

O 

δ 

fiss 

δy 

δ 

u 

DESLOCAMENTO 

Figura 2 - Comportamento geral de lajes ensaiadas à punção. 

O estágio I se refere ao concreto não fissurado, onde a força aplicada é proporcional 

ao deslocamento. As deformações da armadura são pequenas. O estágio II começa com a 

ocorrência de fissuração, que começa na superfície tracionada da laje, no contorno do pilar. A 

rigidez da laje diminui drasticamente. As tensões de tração no concreto são transferidas 

rapidamente para a armadura, conforme o carregamento aumenta. Mais fissuras aparecem na 

superfície tracionada e se propagam em direção às bordas da laje. As deformações da 

armadura aumentam rapidamente e eventualmente podem alcançar o limite de escoamento. 

Este estágio termina com a formação de curvaturas acentuadas na laje. No estágio III a rigidez 

da laje sofre outra redução devido ao aumento do carregamento. A laje sofre deformações 

plásticas elevadas devidas à propagação do escoamento ao longo da armadura de flexão. O 

aumento do carregamento só é possível devido à ação de membrana da armadura de flexão. 

Perto da carga última, a rigidez da laje diminui rapidamente e as fissuras começam a aparecer 

nas superfícies tracionada e comprimida, na direção circunferencial e ao redor da área 

carregada. A força concentrada começa a perfurar a laje e, quando as fissuras circunferenciais 

se tornam muito abertas, a capacidade portante da laje cai bruscamente. A região IV indica 

outra redução da capacidade portante da laje. Essa redução ocorre em várias etapas, 

simultaneamente ao lascamento do concreto da região tracionada da laje. 

3 MODELO MECÂNICO DE ALEXANDER & SIMMONDS (1991) 

ALEXANDER & SIMMONDS (1991) propuseram um modelo simplificado (“Bond 

Model”), denominado neste trabalho Modelo Viga-Arco, para punção em lajes sem armadura 

de punção. O Modelo Viga-Arco descreve a transferência da força cortante em uma ligação 

laje-pilar interno, em termos de dois mecanismos fundamentais de transferência de esforço 

cortante: ação de viga e ação de arco. A laje é dividida em faixas radiais e quadrantes (Figura 

3) radiais, o esforço cortante é suportado por um arco comprimido, e varia de um valor máximo 

na face do pilar a um valor próximo de zero, na interseção do arco com a armadura de flexão 

da laje. Portanto, a força é transferida dos quadrantes adjacentes para uma faixa radial por 

meio de ação de viga, e da faixa para o pilar por meio de ação de arco. 



83 

Figura 3 - Transferência de esforço cortante em uma ligação laje-pilar interno 

(AFHAMI et al., 1998). 

De acordo com o Modelo Viga-Arco, a resistência à punção de uma ligação laje-pilar é 

limitada pelo momento resistente da faixa radial e pela capacidade da laje de gerar gradiente 

de força na armadura de flexão positiva localizada na vizinhança do pilar. Os gradientes de 

força na armadura podem ser limitados pela perda de aderência ou pela difusão do 

escoamento ao longo do comprimento da barra. Qualquer que seja a causa, a perda do 

gradiente de força nas barras localizadas nos quadrantes das lajes reduz sua capacidade de 

resistir ao cisalhamento na vizinhança com o pilar. A laje rompe por punção antes da formação 

do mecanismo de linhas de escoamento, devido à perda da aderência da armadura localizada 

nos quadrantes adjacentes da laje, perpendicularmente às faixas radiais. 

Roteiro para aplicação do Modelo Viga-Arco 

1) Calcula-se o momento resistente da faixa radial. 

⎛ ρ f 

2 

y ⎞ 

M = ρ 

⎜ − 

⎟ 

s 

f 

y 

c d 1 

[kN.cm] (2) 

⎝ 1,7 f 

c ⎠ 

2) Calcula-se a resistência ao cisalhamento das faixas radiais pela equação do ACI 318/99. 

τ = ( 0,167 f 

c 

) /10 [kN/cm 2 ] (3) 

3) Calcula-se o máximo esforço cortante distribuído linearmente, atuante em cada face lateral 

de uma faixa radial, que pode ser transmitido dos quadrantes adjacentes a ela (solução de 

limite inferior). 

ω = d τ [kN/cm] (4) 

4) Calcula-se a resistência à punção da ligação, que é a soma da resistência ao cisalhamento 

das quatro faixas radiais. 

P 8 M ω [kN] (5) 

u 

= 

s 

Na Tabela 1 tem-se a aplicação do Modelo Viga-Arco para algumas lajes sem fibras, 

ensaiadas por autores citados na revisão bibliográfica. 


84 


Tabela 1 -– Aplicação do Modelo Viga-Arco para lajes sem fibras 

Autor 

f c f y 

d P 

ρ (%) 

u(exp) P u(calc) 

(MPa) (MPa) (cm) (kN) (kN) 

P u(exp) / P u(calc) 

Zambrana Vargas 26,00 602,00 1,73 4,0 80,00 52,69 1,52 

Harajli 29,60 501,00 1,12 3,9 62,53 41,47 1,51 

McHarg 30,00 434,00 0,87 12,5 306,00 299,91 1,02 

Harajli 31,40 501,00 1,12 5,5 99,36 70,74 1,40 

Alexander & Simmonds 35,60 438,00 0,46 10,5 264,00 169,58 1,56 

Azevedo 43,73 609,88 1,57 8,0 176,48 155,40 1,14 

Theodorakopoulos & Swamy 44,20 535,00 0,63 10,0 173,50 185,24 0,94 

Swamy & Ali 45,00 462,00 0,63 10,0 197,70 173,53 1,14 

Hughes & Xiao 52,00 558,00 1,00 5,2 89,00 86,48 1,03 

Azevedo 86,65 609,88 1,57 8,0 190,72 191,01 1,00 

Zambrana Vargas 88,70 602,00 1,73 4,0 88,70 79,03 1,12 

Média 1,22 

4 PROGRAMA EXPERIMENTAL 

4.1 Ensaios-piloto série 1 

Para a primeira série de ensaios-piloto optou-se por ensaiar vigas correspondentes a 

três lajes ensaiadas por AZEVEDO (1999). As vigas foram ensaiadas à flexão e 

dimensionadas para romperem por cisalhamento. Os ensaios das vigas, assim como os das 

lajes, foram feitos com deformação controlada, e velocidade igual a 0,005 mm/s. Procurou-se 

manter a mesma espessura, altura útil, e taxa de armadura das lajes, e as mesmas dimensões 

do pilar utilizado nos ensaios das ligações. O esquema de ensaio está ilustrado na Figura 4. 

Figura 4 - Ensaio das Vigas Piloto Série 1. 

De acordo com o esperado, para a relação a/d utilizada, a ruína das vigas foi por 

tração diagonal, sendo que uma das fissuras se propagou ao longo da alma da viga até ela se 

tornar instável devido ao aumento do carregamento e acontecer a ruína. Na Figura 5 

apresenta-se a configuração de ruína das vigas. Onde está escrito V1A entenda-se VP1A, e 

assim por diante. Nas vigas VP1 o volume percentual de fibras era 0%, nas vigas VP2 era 



85 

0,75% e nas vigas VP3 era 1,5%. Nas vigas VP3 apareceram fissuras de flexão, que se devem 

à presença das fibras em quantidade elevada (1,5%). As armaduras dessas vigas foram mais 

solicitadas, quase atingindo o escoamento; entretanto a ruína permaneceu caracterizada por 

cisalhamento, havendo a formação da fissura crítica inclinada. Nos modelos sem fibras a 

fissura diagonal formou-se em apenas um dos lados da viga, enquanto que em alguns 

modelos com fibras, principalmente os com 1,5%, houve a formação de fissura diagonal nos 

dois lados da viga. 

Figura 5 - Configuração de ruína das Vigas Piloto Série 1. 

Na Figura 6 apresenta-se o gráfico da força aplicada versus o deslocamento do ponto central, 

de onde se verifica o ganho de resistência e ductilidade proporcionado pela adição das fibras 

de aço ao concreto. 


86 


Força (kN) 

55 

50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

VP1A 

VP1B 

VP2A 

VP2B 

VP3A 

VP3B 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Deslocamento (mm) 

Figura 6 - Gráfico Força x Deslocamento das Vigas Piloto Série 1. 

A quantificação do ganho de resistência tanto para as vigas, como para as lajes, pode 

ser encontrada no gráfico da Figura 7. 

250 

200 

176,48 

191,96 

197,61 

Resistência 

150 

100 

Vigas 

Lajes 

50 

27,72 

40,44 

45,78 

0 

0 0,75 1,5 

V f (%) 

Figura 7 - Gráfico Resistência média x Volume de fibras para Lajes e Vigas Piloto Série 1. 

Plotando em um gráfico (Figura 8) a resistência média das vigas versus a resistência 

das lajes, verifica-se que a linha de tendência é do tipo linear, e o coeficiente de correlação é 

bem próximo da unidade. 



87 

Pu (kN) 

200 

195 

190 

185 

180 

y = 1,1785x + 143,92 

R 2 = 0,9991 

Experimental 

Linear 

175 

20 25 30 35 40 45 50 

F u (kN) 

Figura 8 - Gráfico Resistência das Lajes x Resistência média das Vigas Piloto Série 1. 

4.2 Ensaios-piloto série 2 

Para a segunda série de ensaios-piloto, optou-se por ensaiar vigas curtas 

correspondentes às mesmas três lajes ensaiadas por AZEVEDO (1999). Os ensaios das vigas, 

assim como os das lajes, foram feitos com deformação controlada, e velocidade igual a 

0,005 mm/s. Procurou-se manter a mesma espessura, altura útil, e taxa de armadura das lajes, 

e as mesmas dimensões do pilar utilizado nos ensaios das ligações. O esquema de ensaio 

está ilustrado na Figura 9. 

Figura 9 - Ensaio das Vigas Piloto Série 2. 

Na Figura 10 apresenta-se a configuração de ruína das vigas curtas. Nessas vigas a 

ação do efeito arco foi predominante. 


88 


Figura 10 - Configuração de ruína das Vigas Piloto Série 2. 

Na Figura 11 apresenta-se o gráfico da força aplicada versus o deslocamento do 

ponto central, de onde se observa que praticamente não houve ganho de resistência nem de 

ductilidade devido à adição das fibras de aço ao concreto. 

Força (kN) 

65 

60 

55 

50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

VP4A 

VP4B 

VP5A 

VP5B 

VP6A 

VP6B 

0 2 4 6 8 10 

Deslocamento (mm) 

Figura 11 - Gráfico Força x Deslocamento das Vigas Piloto Série 2. 



89 

No gráfico da Figura 12 foram plotados os valores de resistência ao cisalhamento de 

todas as vigas dos ensaios-piloto e de resistência à punção das lajes de referência. A 

similaridade de comportamento existente entre as lajes e as vigas da Série 1 não se 

manifestou entre as lajes e as vigas de Série 2. 

250 

Resistência 

200 

150 

100 

50 

0 

191,96 

197,61 

176,48 

Lajes 

Vigas S1 

Vigas S2 

54,26 

50,32 

56,68 

28,27 

40,92 

46,63 

0 0,75 1,5 

V f (%) 

Figura 12 - Gráfico Resistência média x Volume de fibras para Lajes e Vigas Piloto Série 2. 

4.3 Planejamento dos ensaios 

Os modelos de lajes eram quadrados de lados de 116 cm e possuíam espessura de 

10 cm. Na Figuras 13 e 14 encontram-se os detalhamentos das armaduras dos modelos de 

lajes. 

Armadura superior 

Armadura inferior 

9 Ø 5,0mm 

17 Ø 10,0mm 

9 Ø 5,0mm 

20 Ø 10,0mm 

Figura 13 - Detalhamento das armaduras dos modelos de laje. 

Os modelos foram moldados na posição invertida, para facilitar o posicionamento da 

armadura de flexão, garantindo-se o cobrimento definido no projeto. 


90 


20Ø10mm 

10 

116 

2,3 5,6 

13,8 

1 1 

1,5 

9Ø5mm 

113 

9 

7,5 1,5 

1,5 110 1,5 

Ø 10mm - 128 cm 

Ø 5mm - 111 cm 

17Ø10mm 

116 

7 

10 

13,8 

1 1 

1,5 

9Ø5mm 

113 

1,5 

1,5 

110 

1,5 

8 

6,5 

Ø 10mm - 126 cm 

Ø 5mm - 111 cm 

Figura 14 - Detalhamento das armaduras dos modelos de laje na posição da concretagem. 

Na Figura 15 encontra-se o esquema do sistema de ensaio dos modelos de ligação 

laje-pilar. Os ensaios foram feitos com deformação controlada, com a velocidade de 

deslocamento do pistão de 0,005 mm/s. O pilar foi simulado por uma chapa de aço de 

dimensões em planta de 8 x 8 cm, conforme procedimento utilizado por AZEVEDO (1999). 



91 

Atuador 

servo-hidráulico 

Viga " I" metálica 

Célula de 

carga 

Chapa 

Chapa de 

apoio 

Laje 

Bloco de 

concreto 

Figura 15 - Sistema de ensaio dos modelos de ligação laje-pilar. 

Na Figura 16 tem-se o esquema de instrumentação dos modelos de ligação laje-pilar. 


92 


Armadura inferior 

Armadura superior 

17 Ø 10,0mm 

1 2 3 

5 

6 

4 

7 8 

9 Ø 5,0mm 

13 

14 

15 

9 10 11 

16 

12 

20 Ø 10,0mm 

9 Ø 5,0mm 

23 

24 

22 

Legenda: 

17 

25 

21 

transdutor de deslocamento superior 

fundo de escala = 50 mm 

transdutor de deslocamento inferior 

18 

20 

fundo de escala = 100 mm 

19 

1160 mm 

170 

205 

115 

130 

55 

65 

1160 mm 

165 

100 

30 

5 

6 

7 

1 2 

3 

4 

8 

215 

145 

75 

9 10 11 

13 

14 

15 

16 

12 

80 

80 

Figura 16 - Esquema de instrumentação dos modelos de ligação laje-pilar. 

Na Figura 17 encontram-se o detalhamento e a instrumentação das armaduras dos 

modelos de vigas da Série 1, na posição da concretagem (invertida). 



93 

10 

2,3 

60 

1 1 

1,5 

10 

1 

1 

12 

9 

1 

2Ø5mm 

57 

28,5 

10,5 

2 6 

1 

5 

4 

3 

10 

9 

Ø 10mm 

Ø5mm 

Ø 5mm 

Ø5mm 

7 

11 

8 12 

9 

10 

10 

Figura 17 - Detalhamento e instrumentação das armaduras da vigas da Série1. 

Na Figura 18 encontram-se o detalhamento das armaduras e a instrumentação do aço 

dos modelos das vigas das Séries 2 e 4, na posição da concretagem. Na Série 2 em diante, 

passou-se a não mais instrumentar os pontos 7 a 10 da armadura comprimida, substituindo-os 

por rosetas coladas ao concreto. 

10 

2,3 

60 

1 1 

1,5 

10 

1 

1 

12 

9 

1 

2Ø5mm 

9 

57 

28,5 

10,5 10,5 

2 6 4 

Ø 10mm 

1 5 

Ø 5mm 

3 

Ø 10mm 

10 

Ø5mm 

Ø5mm 

10 

Ø 5mm 

Figura 18 - Detalhamento e instrumentação das armaduras da vigas das Séries 2 e 4. 


94 


Na Série 5 há uma pequena diferença na largura das vigas em relação ao desenho 

mostrado na Figura 4.14. Nessa série, a largura das vigas passa a ser 11 cm, pois precisavase 

obter taxa de armadura de flexão semelhante a utilizada por ZAMBRANA VARGAS (1997). 

Além disso, a instrumentação das barras longitudinais resume-se apenas aos pontos centrais 

(5 e 6) e o concreto não foi instrumentado. 

Na Figura 19 encontram-se o detalhamento das armaduras e a instrumentação do aço 

dos modelos das vigas da Série 3, na posição da concretagem. 

17 

2,3 

110 

1 1 

1 

13 

2 

17 

1 

1 

1 

2Ø5mm 

108 

1 

49 

5 

5 11 

16 

Ø 10mm 

Ø 5mm 

2 7 

Ø 10mm 

Ø5mm 

Ø5mm 

11 

Ø 5mm 

8 

3 

Ø 10mm 

Ø 5mm 

6 4 

Ø 10mm 

Ø 5mm 

Figura 19 - Detalhamento e instrumentação das armaduras da vigas da Série 3. 

Nas Figuras 20 e 21 encontram-se a instrumentação do concreto, por meio de rosetas 

coladas em uma das faces da viga, e o esquema da aplicação do carregamento. 



95 

F 

14,75 

10 

9 

8 

7 

45° 

12 11 

10 

1,25 

20,25 8 20,25 

1,25 

4,5 

60 

4,5 

Figura 20 - Instrumentação com rosetas do concreto das vigas das Séries 2 e 4. 

F 

27,25 

17 

11 10 

9 

45° 

14 13 

12 

1,25 45,25 

8 45,25 

1,25 

4,5 

110 

4,5 

Figura 21 - Instrumentação com rosetas do concreto das vigas da Série 3. 

Na Tabela 2 encontra-se detalhado o programa experimental. 


96 


Tabela 2 - Programa de ensaios 

Modelos 

h d 

Série 

(cm) (cm) 

Viga Laje 

c 

(cm) 

ρ 

(%) 

fc14 

(MPa) 

Tipo de 

fibra 

Vf 

(%) 

V1A 

V1B 

L1 10 8,5 8 1,57 25 -- 0 

S1 

V2A 

ZP-305 

L2 10 8,5 8 1,57 25 

V2B 

DRAMIX 

1 

V3A 

ZP-305 

L3 10 8,5 8 1,57 25 

V3B 

DRAMIX 

2 

V4A 

V4B 

L4 10 8,5 8 1,57 60 -- 0 

S2 

V5A 

ZP-305 

L5 10 8,5 8 1,57 60 

V5B 

DRAMIX 

1 

V6A 

ZP-305 

L6 10 8,5 8 1,57 60 

V6B 

DRAMIX 

2 

V7A 

V7B 

-- 17 15,5 8 1,59 60 -- 0 

S3 

V8A 

ZP-305 

-- 17 15,5 8 1,59 60 

V8B 

DRAMIX 

1 

V9A 

ZP-305 

-- 17 15,5 8 1,59 60 

V9B 

DRAMIX 

2 

S4 

V10A 

RL 45/50 BN 

L7 10 8,5 8 1,57 40(1) 

V10B 

DRAMIX 

0,75 

V11A 

RL 45/50 BN 

L8 10 8,5 8 1,57 40(1) 

V11B 

DRAMIX 

1,5 

V12A 

V12B 

-- 10 8,5 8 1,71 85(2) -- 0 

S5 

V13A 

HSCF-25 

-- 10 8,5 8 1,71 85(2) 

V13B 

HAREX 

0,75 

V14A 

HSCF-25 

-- 10 8,5 8 1,71 85(2) 

V14B 

HAREX 

1,5 

(1) 

traço utilizado por AZEVEDO (1999) 

(2) 

traço utilizado por ZAMBRANA VARGAS (1997) 

Variáveis 

estudadas 

fc 

Vf 

fc 

Vf 

d 

tipo de fibra 

fc 

d 

tipo de fibra 

área 

carregada 

Na Tabela 3 encontram-se as características das fibras utilizadas neste trabalho. 

Tabela 3 - Características das fibras utilizadas 

Fibra seção l (mm) D (mm) l/D f y (MPa) 

ZP-305 

DRAMIX 

circular 30 0,55 54,5 1150 

RL 45/50 BN 

DRAMIX 

circular 50 1,05 48 1000 

HSCF-25 

HAREX 

retangular 25(*) 0,667(*) 37,45(*) 770 

( * ) valores nominais 



97 

5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 

Na Figuras 22 a 24 apresentam-se fotografias do sistema de ensaio das ligações laje-pilar e 

das vigas. 

Figura 22 - Sistema de ensaio das ligações laje-pilar. 

Figura 23 - Sistema de ensaio das vigas de altura menor. 


98 


Figura 24 - Sistema de ensaio das vigas de altura maior. 

Nas Tabelas 4 a 7 encontram-se os traços dos concretos utilizados em todas as séries. 

Tabela 4 - Traço do concreto dos modelos 

da Série 1 

Traço 1:1,94:2,06:0,65 

Tabela 5 - Traço do concreto dos modelos 

de S2 e S3 

Traço 1:0,76:1,24:0,34 

Materiais 

Consumo (kg/m 3 ) 

L1 

V1A, 

V1B 

L2 

V2A, 

V2B 

L3 

V3A, 

V3B 

Cimento Ribeirão 

CP II-E-32 

424,77 424,77 424,77 

Areia 824,05 824,05 824,05 

Pedrisco 

(φ max =6,3 mm) 

875,03 875,03 875,03 

Água 276,10 276,10 276,10 

Aditivo 

Superplastificante 

REAX 3000 

(γ = 1,16 kg/m 3 ) 

-- 0,66% 0,99% 

Fibra ZP-305 

DRAMIX 

Materiais 

L4 

V4A/B 

V7A/B 


L5 

V5A/B 

V8A/B 

L6 

V6A/B 

V9A/B 


CP II-E-32 

718,56 718,56 718,56 

Areia 546,11 546,11 546,11 

Pedrisco 

(φ max =6,3 mm) 

891,01 891,01 891,01 

Água 244,31 244,31 244,31 

Aditivo 


REAX 3000 

(γ = 1,16 kg/m 3 ) 

1% 1,7% 2% 

Fibra ZP-305 

DRAMIX 

l = 30 mm 

D = 0,55 mm 

l / D = 54,5 

f y = 1150 MPa 

-- 78,5 157 

l = 30 mm 

D = 0,55 mm 

l / D = 54,5 

f y = 1150 MPa 

-- 78,5 157 



99 

Tabela 6 - Traço do concreto dos modelos da 

Série 4 

Traço 1:1,8:2,5:0,5 

Tabela 7 - Traço do concreto dos modelos da 

Série 5 

Traço 1:0,1:1,33:2,33:0,34 

Materiais 


CP II-E-32 

Consumo (kg/m3) 

L7 

V10A, 

V10B 

L8 

V11A, 

V11B 

423,15 423,15 

Areia 760,56 760,56 

Brita 1 

(φmax=19 mm) 

1056,30 1056,30 

Água 211,30 211,30 

Aditivo 


REAX 3000 

(γ = 1,16 kg/m3) 

Fibra RL 45/50 BN 

DRAMIX 

0,5% 1% 

Materiais 

V12A, 

V12B 


V13A, 

V13B 

V14A, 

V14B 

Cimento Ciminas 

CP V-ARI PLUS 

470,59 470,59 470,59 

Microssílica 

SILMIX 

47,06 47,06 47,06 

Areia 625,88 625,88 625,88 

Brita 1 

(φ max =19 mm) 

1096,47 1096,47 1096,47 

Água 160,00 160,00 160,00 

Aditivo 


REAX 3000 

(γ = 1,16 kg/m 3 ) 

-- 3% 3% 

Fibra HSCF-25 

HAREX 

l = 50 mm 

D = 1,05 mm 

l / D = 48 

fy = 1000 MPa 

59,85 119,70 

l = 25 mm 

D = 0,667 mm 

l / D = 37,48 

f y = 770 MPa 

-- 59,85 119,70 

Nas Tabelas 8 e 9 apresentam-se os dados e resultados principais de todas as séries de 

ensaios. 


100 


Tabela 8 – Dados e resultados principais de todos os modelos 

Modelos de lajes 

Modelos de vigas 

Série h d ρ f Laje 

c Tipo de 

(cm) (cm) (%) (MPa) fibra 

l/D 

V f P u 

b h d ρ f 

Viga 

c Tipo de 

(%) (kN) (cm) (cm) (cm) (%) (MPa) fibra 

l/D 

V f F u 

(%) (kN) 

L1 10 8 1,57 23,13 -- -- 0 137,20 V1A 

V1B 12 10 8,5 1,57 23,13 -- -- 0 24,86 


ZP-305 

S1 

S2 

S3 

L2 10 8 1,57 24,40 

L3 10 8 1,57 28,06 

DRAMIX 

ZP-305 

DRAMIX 

54,5 1 139,55 

V2A 

V2B 12 10 8,5 1,57 24,40 ZP-305 

DRAMIX 54,5 1 43,65 

47,17 

54,5 2 163,62 

V3A 

V3B 12 10 8,5 1,57 28,06 ZP-305 

DRAMIX 54,5 2 55,14 

51,05 

L4 10 8 1,57 56,98 -- -- 0 192,86 V4A 

V4B 12 10 8,5 1,57 56,98 -- -- 0 36,26 

36,35 

ZP-305 

L5 10 8 1,57 59,72 

L6 10 8 1,57 52,38 

-- 

-- 

-- 

DRAMIX 

ZP-305 

DRAMIX 

54,5 1 215,14 

V5A 

V5B 12 10 8,5 1,57 59,72 ZP-305 

DRAMIX 54,5 1 72,78 

66,60 

V6A 

54,5 2 236,17 

V6B 12 10 8,5 1,57 52,38 ZP-305 

DRAMIX 54,5 2 57,17 

53,85 

V7A 

V7B 13 17 15,5 1,59 56,98 -- -- 0 54,82 

46,44 

V8A 

V8B 13 17 15,5 1,59 59,72 ZP-305 

DRAMIX 54,5 1 68,32 

80,06 

V9A 

V9B 13 17 15,5 1,59 52,38 ZP-305 

DRAMIX 54,5 2 81,17 

104,93 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7. n. 29, p. 79-111, 2005


101 

Tabela 9 (continuação) – Dados e resultados principais de todos os modelos 

Modelos de lajes 

Série 

h d ρ f 

Laje 

c Tipo de V f P u 

(cm) (cm) (%) (MPa) fibra 

l/D 

Viga 

(%) (Kn) 

OSC.S1 10 8 1,57 43,73 -- -- 0 176,48 VP1A 

VP1B 

S4 

RL 45/50 

L7 10 8 1,57 36,55 48 0,75 182,85 V10A 

BN 

V10B 

RL 45/50 

L8 10 8 1,57 46,08 48 1,50 210,90 V11A 

BN 

V11B 

V12A 

L07 6 4 1,73 88,7 -- -- 0 101 

V12B 

S5 

HSCF-25 

V13A 

L08 6 4 1,73 79,0 

37,48 0,75 112 

HAREX 

V13B 

HSCF-25 

V14A 

L09 6 4 1,73 93,0 

37,48 1,50 136 

HAREX 

V14B 

b 

(cm) 

h 

(cm) 

d 

(cm) 

Modelos de vigas 

f c 

(Mpa) 

ρ 

(%) 

Tipo de 

fibra 

l/D 

V f 

(%) 

12 10 8,0 1,67 36,08 -- -- 0 

12 10 8,5 1,57 36,55 

12 10 8,5 1,57 46,08 

RL 45/50 

BN 

RL 45/50 

BN 

11 10 8,5 1,71 75,27 -- -- 0 

11 10 8,5 1,71 73,50 

11 10 8,5 1,71 73,10 

HSCF-25 

HAREX 

HSCF-25 

HAREX 

F u 

(kN) 

28,42 

27,01 

48 0,75 42,71 

38,99 

48 1,50 49,99 

61,79 

46,39 

50,80 

37,48 0,75 62,64 

51,43 

37,48 1,50 67,50 

55,09 


102 


Na maioria dos casos detectaram-se similaridades de comportamento estrutural entre 

lajes e vigas análogas. Em alguns puderam ser obtidas correlações numéricas entre as 

resistências dos dois elementos, conforme pode ser visto nas Figuras 25 a 27. 

35 

32,63 

30 

25,55 

27,84 

Resistência normalizada 

25 

20 

15 

10 

6,71 

9,60 

Lajes S2 

Vigas S3 

12,85 

5 

0 

0 1 2 

V f 

(%) 

Figura 1 - Gráfico Resistência normalizada x Volume de fibras para lajes e vigas de S2 e S3. 

35 

30,24 

31,07 

30 

26,69 


25 

20 

15 

10 

4,61 

6,76 

Lajes S4 

Vigas S4 

8,23 

5 

0 

0 0,75 1,5 

V f (%) 

Figura 2 - Gráfico Resistência normalizada x Volume de fibras para lajes e vigas de S4. 


Análise dos mecanismos resistentes e das similaridades de efeitos da adição de fibras... 103 

16 

14 

12,60 

14,10 


12 

10 

8 

6 

4 

10,72 

5,60 

6,65 

7,17 

Lajes S5 

2 

Vigas S5 

0 

0 0,75 1,5 

V f (%) 

Figura 3 - Gráfico Resistência normalizada x Volume de fibras para lajes e vigas de S5. 

6 ANÁLISES TEÓRICAS 

6.1 Análise global das lajes 

A resistência do concreto à compressão pode ser relacionada com sua resistência à 

tração por compressão diametral, segundo o ACI 318 (1999), como mostra a Equação 6. 

f 

sp 

= 0,5563 f c 

(6) 

sendo f c a resistência do concreto à compressão axial e f sp a resistência do concreto à tração 

por compressão diametral, ambas em [MPa]. 

Para relacionar a resistência à tração por compressão diametral com a resistência à 

compressão, no caso de concreto com fibras, efetuou-se uma regressão linear (Figura 28) dos 

resultados experimentais das lajes estudadas. Obteve-se a Equação 7, que relaciona a 

resistência média à tração com a resistência média à compressão e com o volume percentual 

de fibras (V f ). Para essa equação assumiu-se uma forma similar à Equação 6. 

f = (0,19 V + 0,53) f 

(7) 

sp 

f 

c 

sendo f sp e f c dados em [MPa] e V f em [%]. 

O ACI 318 (1999) fornece a seguinte equação para determinação da resistência à punção de 

lajes sem armadura de punção e pilares de seção quadrada: 

P = u 

(0,3321 f 

c 

b 

od) 

/10 

(8) 

onde: 

f c → resistência do concreto à compressão axial; 


104 


b o = 4(c+d) → perímetro onde ocorre a punção; 

d → altura útil da laje; 

c → largura do pilar; 

sendo f c em [MPa]; b o , d em [cm]. 

Para levar em conta o efeito da adição de fibras de aço, introduz-se na Equação 8 o 

valor de f sp obtido na Equação 7, de modo a se obter uma equação modificada do ACI 

318 (1999). Nesta operação, são efetuadas as devidas adaptações para que não sejam 

alterados os fatores de ajuste e de ponderação da segurança, que se encontram embutidos no 

coeficiente 0,3321 da Equação 8. Desta forma, considerando um volume percentual de fibras 

(V f ) igual a zero, a Equação 9 torna-se igual à Equação 8. 

P 

0,3321 

= [ (0,19 Vf 

+ 0,53) fcbod] /10 = [ 0,6266 (0,19 Vf 

0,53) fcbod] /10 (9) 

0,53 

u 

+ 

sendo f c em [MPa]; b o , d em [cm] e V f em [%]. 

1,0 

0,8 

y = 0,1903x + 0,5255 

R 2 = 0,9089 

fsp / Raiz (fc) 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

Valores experimentais 

Regressão linear 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 

V f (%) 

Figura 4 - Relação entre a resistência do concreto à tração por compressão diametral e 

o volume de fibras de aço das lajes. 

No gráfico da Figura 7, a Equação 9 foi testada para os dados experimentais obtidos 

nesta pesquisa (inclusive as lajes L2 e L3), juntamente com alguns de ZAMBRANA VARGAS 

(1997) e de AZEVEDO (1999), utilizados como referência. No gráfico observa-se que a 

Equação 9 oferece resposta razoável às tendências experimentais, à medida que se aumenta 

o volume de fibras adicionado. 

No entanto, como a regressão linear sobre os dados experimentais resulta em uma 

reta que se aproxima da ordenada unitária, o nível de segurança que havia nas lajes sem 

fibras não é mantido. Portanto, considerando os dados particulares desta análise, um 

coeficiente empírico da ordem de 0,3102 deve ser aplicado para reduzir o efeito de V f na 

Equação 9. Resulta então a Equação 10, denominada “Equação do ACI 318 Modificada” 

(Figura 29). 

P = 0,6266 (0,19× 

0,3102 V + 0,53) f b d = 0,6266 (0,06 V 0,53) f b d (10) 

u f 

c o 

f 

+ 

c 

o 



Em HOLANDA & HANAI (2002) determinou-se uma equação semelhante a esta 

(Equação 11), a partir de um maior número de resultados experimentais, encontrados na 

revisão bibliográfica pertencente ao Capítulo 2 desta tese. 

P 

= 0,65 (0,08 V 0,51) f b d 

(11) 

u f 

+ 

c 

o 

2,5 

2 

Pu (exp) / Pu (calc) 

1,5 

1 

0,5 

0 

ACI 318 (1999) 

Equação 6.4 

ACI 318 Modificada (Eq. 6.5) 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 

V f (%) 

Figura 5 - Aferição da Equação do ACI 318 Modificada para lajes 

(dados das lajes L2 e L3 eliminados). 

6.2 Análise global das vigas 

Para relacionar a resistência à tração por compressão diametral com a resistência à 

compressão, no caso de concreto com fibras, efetuou-se uma regressão linear dos resultados 

experimentais das vigas ensaiadas nesta pesquisa. Obteve-se a Equação 12, que relaciona a 

resistência média à tração com a resistência média à compressão e com o volume percentual 

de fibras (V f ). Para essa equação assumiu-se uma forma similar à Equação 6. 

f = (0,15 V + 0,51) f 

(12) 

sp 

f 

c 

sendo f sp , f c em [MPa] e V f em [%]. 

O ACI 318 (1999) fornece a seguinte equação para determinação do esforço cortante 

último de vigas sem estribos: 

V = u 

(0,166 f 

c 

b d) /10 

(13) 

onde: 

f c → resistência do concreto à compressão axial; 

d → altura útil da laje; 

b → largura da viga; 

sendo f c em [MPa]; b, d em [cm]. 




106 


318 (1999). Nessa operação são efetuadas as devidas adaptações para que não sejam 


coeficiente 0,166 da Equação 13: 

V 

0,166 

= [ (0,15 Vf 

+ 0,51) fc 

b d]/10 = [0,3255 (0,15 Vf 

0,51) fc 

b d] /10 (14) 

0,51 

u 

+ 

sendo f c em [MPa]; b, d em [cm] e V f em [%]. 

As resistências ao cisalhamento das vigas, obtidas utilizando-se a Equação 14, 

apresentam correlações razoáveis com os resultados experimentais, conforme mostra o 

gráfico da Figura 30. Neste gráfico a Equação do ACI Modificada (Equação 14) foi aplicada a 

todas as vigas ensaiadas nesta pesquisa. Observa-se que a equação testada oferece resposta 

razoável às tendências experimentais, pois a regressão linear resulta numa reta quase 

paralela ao eixo das abscissas, com valores em geral a favor da segurança. 

2,5 

2 

Fu (exp) / F u (calc) 

1,5 

1 

0,5 

0 

ACI 318 Modificada 

Regressão linear 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 

V f (%) 

Figura 6 - Aferição da Equação do ACI 318 Modificada para vigas. 

6.3 Modelo viga-arco modificado 

Neste item pretende-se contribuir com o aperfeiçoamento de um modelo mecânico 

existente que explica a transferência de força na ligação laje-pilar, o “Bond Model” de 

ALEXANDER & SIMMONDS (1991), incluindo a parcela de contribuição das fibras de aço 

adicionadas ao concreto. A partir da investigação experimental, concluiu-se que contribuição 

das fibras deve ser colocada na parcela proveniente da ação de viga, que ocorre na direção 

perpendicular às faixas radiais. 

ALEXANDER & SIMMONDS (1991) sugerem que se determine a tensão tangencial 

transmitida dos quadrantes para as faixas radiais, por ação de viga, por meio de equações 

normativas de resistência de vigas ao cisalhamento (uma única direção). Os autores 

recomendam a utilização da equação do ACI 318 (1999), para o cálculo da resistência ao 

cisalhamento das faixas radiais: 

τ = ( 0,166 f 

c 

) /10 

(15) 



sendo f c dado em [MPa]. 



318 (1999). Nessa operação são efetuadas as devidas adaptações para que não sejam 


coeficiente 0,166 da Equação 15: 

0,166 

τ = [ (0,15 Vf + 0,51) fc 

]/10 = [0,3255 (0,15 Vf 

+ 0,51) fc 

] /10 

(16) 

0,51 

sendo f c dado em [MPa] e V f em [%]. 

O esforço cortante atuante nas vigas, agora obtido teoricamente por intermédio da 

Equação 16, é considerado como sendo o esforço cortante que os quadrantes de laje 

transferem às faixas radiais por meio de ação de viga. Isto pode ser admitido porque lajes e 

vigas possuem as mesmas características (altura útil, taxa de armadura, resistência do 

concreto à compressão, taxa de fibras etc.) e foi verificado experimentalmente que nas vigas 

ocorreu de fato ação de viga. 

Roteiro para aplicação do Modelo Viga-Arco Modificado 

1) Calcula-se o momento resistente da faixa radial. 

⎛ ρ f 

2 

y ⎞ 

M ⎜ ⎟ 

s 

= ρ f 

y 

c d 

1− 

[kN.cm] (17) 

⎝ 1,7 f 

c ⎠ 

2) Calcula-se a resistência ao cisalhamento das faixas radiais pela equação do ACI 318 

Modificada. 

τ = 0,3255 (0,15 V 0,51) f ] /10 [kN/cm 2 ] (18) 

[ 

f 

+ 

c 

3) Calcula-se o máximo esforço cortante distribuído linearmente, atuante em cada face lateral 

de uma faixa radial, que pode ser transmitido dos quadrantes adjacentes a ela (solução de 

limite inferior). 

ω = d τ [kN/cm] (19) 

4) Calcula-se a resistência da ligação à punção, que é a soma da resistência ao cisalhamento 

das quatro faixas radiais. 

P 8 M ω [kN] (20) 

u 

= 

s 

Substituindo a Equação 18 na 19, e depois substituindo as Equações 17 e 19 na 

Equação 20, tem-se: 

P 

f 

y 

f 

2 

⎛ ρ 

y ⎞ 

= 8 ρ c d ⎜1 

⎟ ⋅ d ⋅[0,3255(0,15 Vf 

0,51) f 

c 

] /10 

10 

− 

(21) 

1,7 f 

⎝ 

c ⎠ 

u 

+ 

sendo f y e f c dados em [MPa], c e d em [cm], V f em [%] e ρ adimensional. 

Simplificando a Equação 21 obtém-se a seguinte expressão para o cálculo da carga 

de ruína à punção pelo Modelo Viga-Arco Modificado: 

P 

u 

' 

( 170−ω 

) kf 

' 

= 0,0035d c d fc 

ω 

(22) 

onde: 


108 


ρ f 

' y 

ω = 

(23) 

f 

c 

k = (0,15V + 0,51) f 

(24) 

f 

f 

c 

sendo f y e f c dados em [MPa], c e d dados em [cm], ρ e V f dados em [%]. 

No gráfico da Figura 31, o Modelo Viga-Arco Modificado foi aplicado a todos os 

resultados experimentais encontrados na revisão bibliográfica, mais os resultados obtidos 

nesta pesquisa. No gráfico observa-se que a dispersão dos resultados experimentais em 

relação à reta de regressão linear é muito pequena. Verifica-se que, para um volume de fibras 

de 2% (máximo para se conseguir trabalhabilidade adequada), o aumento de resistência à 

punção, em relação à laje sem fibras, chega a aproximadamente 25%. 

7 CONCLUSÕES 

A partir dos resultados experimentais, pode-se concluir que é possível utilizar ensaios 

de cisalhamento em vigas prismáticas para se obter indicadores a serem utilizados nos 

ensaios de lajes à punção. Verificou-se que existe uma similaridade de comportamento 

estrutural entre lajes de concreto com fibras sujeitas à punção e vigas prismáticas submetidas 

à força cortante e que, na maioria dos casos, existiu uma correlação entre suas resistências e 

suas ductilidades. Nestes ensaios foram testados apenas três tipos de fibras, devido à 

preocupação de se avaliar também outras variáveis, como resistência do concreto à 

compressão, volume percentual de fibras, altura útil do elemento e dimensão da chapa de 

carregamento. A execução de ensaios de vigas prismáticas, como foi feito nesta pesquisa, 

poderia também ter como finalidade selecionar o melhor tipo de fibra, de acordo com os 

requisitos de resistência e de ductilidade, a ser empregado na ligação laje-pilar. Seriam 

ensaios mais simples de se executar e menos onerosos, de onde se poderiam tirar boas 

conclusões sobre o comportamento da ligação laje-pilar a ser ensaiada posteriormente. 

As análises teóricas realizadas a partir das Equações do ACI Modificadas, tanto para 

lajes como para vigas, forneceram bons indicadores de previsão de resistência ao 

cisalhamento de vigas sem estribos e resistência à punção de lajes sem armadura de punção, 

considerando a contribuição da adição de fibras ao concreto. 

O Modelo Viga-Arco Modificado pode ser considerado um bom indicador para 

previsão de resistência e ductilidade de ligações laje-pilar interno, sem armadura transversal e 

reforçadas com fibras de aço, submetidas à punção. É um modelo simples de ser aplicado e, 

com base nos testes que foram feitos com os dados experimentais encontrados na revisão 

bibliográfica, parece fornecer bons resultados. Além disso, não se tinha, até o momento, 

conhecimento de um modelo de cálculo teórico que permitisse avaliar o efeito da adição de 

fibras e prognosticar a capacidade resistente de lajes-cogumelo à punção. 



2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 

V f (%) 

Holanda 

McHarg 

Azevedo 

Zambrana Vargas 

Harajli A 

Harajli B 

Hughes & Xiao 

Tan & Paramasivan 

Theodorakopoulos & 

Swamy 

Alexander & Simmonds 

Swamy & Ali 

Linear (Todos) 

Pu (calc) / Pu (exp) 

Figura 7 - Aferição do Modelo Viga-Arco Modificado (toda a bibliografia consultada). 


110 



Agradecemos ao CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa 

não poderia ter sido realizada. 


ACCETTI, K. M. (1998). Contribuições ao projeto estrutural de edifícios em alvenaria. São 

Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São 

Paulo. 

ALEXANDER, S. D. B.; SIMMONDS, S. H. (1991). Bond model for strength of slab-column 

joints. Department of Civil Engineering, University of Alberta. (Structural Engineering Report 

No. 174). 

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112

ISSN 1809-5860 

APLICAÇÃO DO ACOPLAMENTO ENTRE O MEC E 

O MEF PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO 

DINÂMICA ELASTOPLÁSTICA ENTRE O SOLO E 

ESTRUTURAS 

Francisco Patrick Araujo Almeida 1 & Humberto Breves Coda 2 

Resumo 

O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um código computacional que 

possibilite a análise dinâmica de estruturas tridimensionais em regime elástico-linear 

acopladas ao solo, tratado como meio infinito elastoplástico. As superestruturas são 

tratadas por elementos finitos simples de casca e de barra geral, as estruturas de 

fundações são tratadas por elementos de casca que simulam o contato com o solo, 

modelando radiers, túneis e reservatórios enterrados. Blocos são modelados por 

elementos de contorno tridimensionais. O solo é modelado de duas maneiras distintas: 

na região plastificada emprega-se a solução fundamental de Kelvin (estática) e na 

região não plastificada (elástica) adota-se a solução fundamental do problema de 

Stokes. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a técnica de sub-regiões. 

Deve ficar claro que todo procedimento estático equivalente foi implementado. Dois 

exemplos numéricos são apresentados, onde se percebe a eficiência do código 

computacional desenvolvido. 

Palavras-chave: interação solo-estrutura; Método dos Elementos de Contorno; Método 

dos Elementos Finitos; acoplamento MEC/MEF; dinâmica; não-linearidade física. 


O Método dos Elementos Finitos (MEF) é, atualmente, uma das ferramentas 

mais difundidas para solucionar diversos problemas da engenharia. Sua aplicação na 

mecânica estrutural já está consagrada pela prática. (VENTURINI, 1988). É de se 

observar, contudo, que por ser uma técnica de domínio, traz algumas complicações 

em análises que envolvem domínios infinitos, pois estes devem ser interrompidos 

para que se gere uma discretização finita, ocasionando a formação de um contorno 

fictício que usualmente é eliminado com o uso do Método dos Elementos de Contorno 

(MEC). Tal problema se agrava ainda mais em análises dinâmicas para domínios 

infinitos, onde reflexões indesejadas podem ocorrer no final da discretização, ou esta 

deve ser estendida exaustivamente para comportar o tempo de análise desejado. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, patrick@ctec.ufal.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 29, p. 113-129, 2005

114 

Francisco Patrick Araujo Almeida & Humberto Breves Coda 

Pesquisadores dos mais importantes centros de pesquisa do mundo têm se 

interessado pelo Método dos Elementos de Contorno, tanto no desenvolvimento de 

formulações próprias para diversos problemas, como em gerar formulações mistas 

com o Método dos Elementos Finitos, aproveitando conjuntamente o que cada 

método tem de melhor. Tal interesse tem resultado em um enorme progresso do 

método. Praticamente todos os centros importantes de pesquisa dos países mais 

avançados têm grupos de pesquisadores dedicados ao desenvolvimento desta 

técnica. 

Neste contexto, três vantagens principais são oferecidas pelo Método dos 

Elementos de Contorno: modelagem própria para domínios infinitos, grande redução 

do número de equações e volume de dados (principalmente quando se trata de meios 

tridimensionais infinitos como o solo) e a inexistência de erros de interpolação no 

domínio para problemas lineares. 

Em contrapartida, o Método dos Elementos de Contorno não apresenta 

nenhuma característica vantajosa, no que diz respeito à análise de estruturas 

reticuladas e cascas gerais, quando comparado ao MEF. Disso se conclui que uma 

medida natural para a análise da interação solo-estrutura é a composição de uma 

modelagem onde o MEF é usado para a estrutura (pórticos e cascas) e o MEC para o 

solo ou semi-espaço infinito. 

O principal objetivo do trabalho é o desenvolvimento de um código 

computacional que possibilite a análise dinâmica de estruturas tridimensionais em 

regime elástico-linear acopladas ao solo, que é tratado como não-linear. Todo o 

procedimento estático equivalente também foi implementado. 

O solo é tratado como meio infinito elastoplástico. As superestruturas são 

tratadas por elementos finitos simples de casca e de barra geral, as estruturas de 

fundações são tratadas por elementos de casca que simulam o contato com o solo, 

modelando radiers e túneis. Blocos são modelados por elementos de contorno 

tridimensionais. 

O solo é modelado de duas maneiras distintas, na região plastificada 

emprega-se a solução fundamental de Kelvin (estática) acompanhada de integrador 

temporal apropriado, dando origem ao chamado “non-linear mass matrix BEM” ou 

MEC não-linear dinâmico via matriz de massa. Na região não plastificada (elástica) 

adota-se a solução fundamental do problema de Stokes. O acoplamento entre os 

diferentes meios é feito aplicando-se a técnica de sub-regiões. 

Como justificativas para a escolha do tema da pesquisa, pode-se citar que 

enquanto os trabalhos voltados para plasticidade bidimensional, estática e dinâmica, 

através do MEC são abundantes na literatura, não existem muitas publicações 

disponíveis relativas à plasticidade tridimensional. 

Além do mais, acredita-se que o desenvolvimento de código computacional 

para a simulação numérica tridimensional dinâmica de estruturas conectadas ao solo 

suposto elastoplástico seja de grande importância para a engenharia, pois atualmente 

não se dispõe de ferramenta tão geral para se fazer tal tipo de análise. Os programas 

com os quais se poderia tentar tais simulações estão elaborados em elementos 

finitos, o que limita muito o seu emprego devido ao volume de informações que se 

precisa gerar e aos problemas relacionados à simulação de meios infinitos ou semiinfinitos 

quando de análises dinâmicas envolvendo propagação de ondas. 


Aplicação do acoplamento entre o MEC e o MEF para o estudo da interação... 

115 

Como contribuições do trabalho, pode-se citar: a utilização do algoritmo de 

Houbolt para a solução de problemas tridimensionais, o emprego do MMBEM para 

problemas elastoplásticos tridimensionais, os processos de integração para elementos 

de contorno e células, os estudos sobre a estabilização do acoplamento TDBEM/FEM 

e a utilização de integrais singulares no TDBEM. 

2 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICANDO MATRIZ 

DE MASSA (MMBEM) 

O surgimento do Método dos Elementos de Contorno (MEC) como uma 

alternativa para a resolução de diversos problemas da engenharia é um dos grandes 

avanços científicos nessa área do conhecimento dos últimos anos. Uma das principais 

vantagens deste método, para problemas lineares, quando comparado com os 

métodos de domínio usuais (como por exemplo o Método dos Elementos Finitos 

(MEF)) é a redução do número de variáveis do problema, pois enquanto nos métodos 

usuais o domínio a ser tratado precisa ser dividido em vários subdomínios, no Método 

dos Elementos de Contorno apenas o contorno do mesmo precisa ser discretizado. 

Além disso, para alguns problemas, já é comprovado que o MEC apresenta respostas 

mais precisas e confiáveis que os métodos tradicionalmente empregados para 

análises similares. 

Partindo-se das equações diferenciais de equilíbrio, representadas pela 

eq.(1), pode-se chegar à equação integral de contorno para deslocamentos 

dinâmicos, eq.(2). 

σ + b = ρ& u& 

+ cu& 

em Ω i, j = 1, 2, 3 (1) 

ij,j 

i 

i 

∫ 

Γ 

i 

∫ 

* 

* 

* 

c u (s,t) + p (s,q)u (Q,t)dΓ + ρu& 

(q,t)u (s,q)dΩ + cu& 

(q,t)u (s,q) dΩ 

ik 

∫ 

Γ 

k 

ik 

k 

∫ 

Ω 

Ω 

k 

* 

* 

* 

n 

= uik (s,q)p 

k(Q,t)dΓ + uik(s,q)b 

k(q,t)dΩ + εijk(s,q) 

σjk(q,t) 

dΩ 

(2) 

ik 

∫ 

Ω 

∫ 

Ω 

k 

ik 

Matricialmente, a eq.(2) poderia ser escrita como: 

n 

HU(t) + CU(t) & + MU(t) & 

= GP(t) + Bb(t) + Qσ 

(t) 

(3) 

A equação integral de contorno para tensões é escrita como: 

' 

' 

' 

' 

' 

' n 

σ (t) = G P(t) − HU(t) + B b(t) − C U(t) & − MU(t) & 

+ Q σ (t) 

(4) 


116 


3 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NO DOMÍNIO DO 

TEMPO (TDBEM) 

O Time Domain Boundary Element Method (TDBEM) ou Método dos 

Elementos de Contorno no Domínio do Tempo surge como uma alternativa ao 

chamado Mass Matrix Boundary Element Method (MMBEM), uma vez que, utilizando 

soluções fundamentais dependentes do tempo, elimina a necessidade da 

discretização do domínio para a geração de matriz de massa. Sendo assim, em 

análises elásticas, nenhuma discretização do domínio é necessária. 

Vale dizer que a implementação de pontos fonte singulares para os elementos 

de contorno triangulares planos foi desenvolvida integralmente neste trabalho. 

Igualmente ao que foi feito para o MMBEM, a equação integral de 

deslocamentos, para pontos fonte internos ou no contorno, para o TDBEM, pode ser 

deduzida a partir da eq.(1). 

C 

− 

t 

t 

* 

∫ u (s, τ)f(t 

− τ)dτ 

= ∫∫ u (Q,t − τ;s / f)p 

j(Q, 

τ)dΓdτ + 

kj kj 

0 j 

0 Γ 

t 

t 

* 

* 

∫∫ pkj(Q,t 

− τ;s / f)u 

j(Q, 

τ)dΓdτ + ∫∫ b 

j 

(q, τ)ukj(q,t 

− τ;s / f)dΩdτ 

+ 

0 Γ 

0 Ω 

* 

* 

+ ∫ ρu 

(q,t;s / f)u& kj j 

(q,0) dΩ 

− ρ 

Ω 

Ω ∫ u (q,t;s / f)u 

j 

(q,0) d 

Ω 

& kj 

(5) 

Para pontos fonte exteriores, a eq.(5) correspondente é escrita como: 

' 

t 

∫∫ Γ 

0 

' 

t 

p 

* 

kj 

(Q,t 

' 

+ 

e 

C 

1 

− τ;s / f)u ( τ)dΓdτ + 

j 

∫ Ω 

* 

ρu (0)u (q,t 

& 

j kj 

' 

+ 

e 

C 

1 

;s / f) dΩ 

' 

e 

t 

* ' 

* ' e 

ukj (Q,t + − τ;s / f)p 

j( 

τ)dΓ 

τ + + − τ τ Ω τ + 

C 

∫∫ ukj 

(q,t ;s / f)b 

j( 

)d d 

0 Ω C 

= ∫∫ Γ 

d 

0 

1 

e 

+ ∫ ρu 

& * ' 

j 

(0)ukj(q,t 

+ ;s / f) dΩ 

Ω C 

(6) 

1 

1 

4 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é utilizado no trabalho para a 

discretização das superestruturas. Vigas e pilares são modelados por elementos 

finitos simples de barra, e as cascas, modeladas por elementos finitos simples de 

casca. Para o tratamento desses elementos estruturais, o Método dos Elementos de 

Contorno (MEC) não tem apresentado maiores vantagens com relação ao MEF. 

Mais uma vez, as equações diferenciais de equilíbrio são o ponto de partida 

para a dedução da equação integral do MEF. 



117 

∫ 

Ω 

σ ε d Ω + ρu& u dΩ + cu& 

u dΩ = b u dΩ + p u dΓ 

+ Fu 

(7) 

' 

kj kj 

∫ 

Ω 

k 

' 

k 

∫ 

Ω 

k 

' 

k 

∫ 

Ω 

k 

' 

k 

∫ 

Γ 

k 

' 

k 

' 

j j 

A eq.(7) é conhecida como Princípio dos Trabalhos Virtuais para Problemas 

Dinâmicos e é a base para a construção do MEF dinâmico. Aplicando-se sobre uma 

aproximação em elementos finitos tal equação, chega-se à seguinte equação 

matricial: 

KU + CU& + MU& 

= Bb + GP + IF 

(8) 

4.1 Elemento finito de barra 

Como já foi comentado anteriormente, vigas e pilares serão modelados por 

elementos finitos de barra geral. Este elemento segue as hipóteses de Euler/Bernoulli. 

O elemento finito de barra utilizado no presente trabalho possui 6 graus de 

liberdade (gdl) por extremidade, sendo eles: translações em x 1 (U 1 ), x 2 (U 2 ) e x 3 (U 3 ), e 

rotações em torno de x 1 (θ 1 ), x 2 (θ 2 ) e x 3 (θ 3 ), nesta ordem. Figura 1. 

θ 3 

U 2 

θ 2 

U 1 

U 3 

θ 1 i 

L 

θ 3 

θ 2 

U 3 

U 2 

j U 1 θ 1 

Figura 1 - Graus de liberdade do elemento finito de barra. 

A partir das coordenadas locais dos elementos de barra, pode-se definir seus 

deslocamentos locais, bem como os esforços internos associados a eles. 

4.2 Elemento finito de placa 

O elemento finito de casca será considerado como uma composição de um 

elemento finito de placa e um elemento finito de chapa (ou membrana). Para o 

elemento finito de placa, decidiu-se utilizar o elemento finito DKT (discrete Kirchhoff 

triangle) por ter sido um elemento bastante utilizado e que tem apresentado bons 

resultados; sua matriz de rigidez pode ser escrita de forma explícita e trata-se de um 

elemento triangular com número de graus de liberdade (gdl) mínimo, 9. O 

desempenho do elemento finito DKT já foi amplamente verificado por diversos 


118 


autores, seja em casos de placas, cascas, pavimentos e edifícios de múltiplos 

pavimentos. 

O elemento finito DKT faz parte do grupo dos elementos finitos triangulares de 

placa com 9 graus de liberdade, sendo 3 por vértice (translação em z (w) e rotações 

em x (θ x ) e y (θ y )). Ver figura 2. 

z, w θ x = w ,y , θ y = -w ,x 

w 

NÓ 3 

θ x 

θ y 

0 

θ y 

y 

θ x 

x 

NÓ 1 

w 

θ x 

θ y 

h 

NÓ 2 

w 

θ x 

θ y 

Figura 2 - Elemento finito DKT. 

A teoria de pequenos deslocamentos de placas com deformações por esforço 

cortante incluídos, também conhecida como teoria das placas de Reissner-Mindlin, é 

utilizada na formulação do elemento finito DKT. Após as deduções das expressões de 

energia de deformação e antes de se chegar à matriz de rigidez do elemento DKT, 

admite-se que o elemento será utilizado na análise de placas delgadas, e assim, as 

deformações por esforço cortante, e conseqüentemente a energia de deformação 

causada por esse esforço, são desprezadas quando comparadas com a energia de 

deformação por flexão. 

A formulação do elemento finito DKT baseia-se nas seguintes hipóteses: as 

rotações β x e β y variam quadraticamente no elemento, sendo β x e β y as rotações da 

normal ao plano médio indeformado do elemento, segundo os planos x−z e y−z, 

respectivamente; a hipótese de Kirchhoff é imposta discretamente ao longo dos lados 

do elemento em seus pontos nodais, possibilitando relacionar as rotações com as 

primeiras derivadas dos deslocamentos transversais; a variação de w é cúbica e 

definida apenas ao longo dos lados do elemento; impõe-se uma variação linear de β n 

ao longo dos lados, onde β n é a rotação na direção normal aos lados. 



119 

4.3 Elemento finito de chapa 

O elemento finito de chapa adotado foi o CST (constant strain triangle), que, 

como o próprio nome diz, é um elemento triangular que considera aproximação 

constante para o campo de deformações do elemento, ou, campo de deslocamentos 

linear, conforme eq.(9) e figura 3. Esta escolha foi feita com o intuito de facilitar a 

adequação dos efeitos de membrana ao elemento de placa descrito no item anterior. 

u(x,y) = a1 

+ a2x 

+ a3y 

(9) 

v(x,y) = a + a x + a y 

4 

5 

6 

y(v) 

v 3 

(x ,y ) 

3 3 

u 3 

v 2 

v 1 

(x ,y ) 

2 2 

u 2 

(x ,y ) 

1 1 

u 1 

x(u) 

Figura 3 - Elemento finito de chapa CST. 

5 EXEMPLOS 

Dois problemas são estudados com o intuito principal de mostrar a aplicação 

dos desenvolvimentos descritos nos itens anteriores, bem como a potencialidade do 

código computacional desenvolvido na pesquisa. 

5.1 Exemplo 1 

No primeiro exemplo, analisa-se um sólido apoiado em uma face, sujeito a um 

carregamento súbito, uniformemente aplicado na face oposta. O material do sólido 

apresenta características não-lineares físicas. Ver figura 4. 

O sólido do presente exemplo foi analisado de duas formas distintas. Na 

primeira, utilizou-se o MMBEM para todo o sólido, e na segunda, utilizou-se o 

acoplamento MMBEM/TDBEM/FEM, onde a sub-região modelada pelo MMBEM 

correspondeu à metade do sólido e a outra metade foi igualmente dividida entre as 


120 


sub-regiões do TDBEM e do FEM. Para a modelagem do acoplamento, vale dizer que 

a região de plastificação do problema ficou naturalmente confinada na região do 

MMBEM. A sub-região modelada pelo MEF (ou FEM) compreende não apenas a 

barra, mas também uma casca de ligação. A figura 5 apresenta as discretizações 

utilizadas para ambos os casos. 

q = 1Pa 

4 m 

E = 100.000 Pa 

E = 10.000 Pa 

t 

ν = 0,25 

σ = 1,50 Pa 

y 

ρ = 0,002kg/m³ 

e3 

e2 

e1 

2 m 

2 m 

Figura 4 - Exemplo 1. 

MMBEM 

MMBEM/TDBEM/FEM 

Figura 5 - Discretizações do exemplo 1. 

É necessário ainda dizer que o passo de tempo (∆t) adotado para a análise 

com o MMBEM foi de 0,00012s, e para o acoplamento MMBEM/TDBEM/FEM, 

0,0002s. Esta diferença é justificada pelas condições de estabilidade para o TDBEM 

quando tratando de corpos finitos, e por questões de amortecimento numérico do 

MMBEM, já bem conhecidas. 

A figura 6 apresenta os resultados obtidos para o deslocamento longitudinal 

no nó localizado no centro da face carregada. 

Pode-se dizer que os resultados apresentaram ótima concordância, apesar da 

diferença das modelagens adotadas. Conclui-se que o acoplamento 



121 

MMBEM/TDBEM/FEM para análises dinâmicas não-lineares foi implementado com 

sucesso. Observa-se ainda que este exemplo é particularmente difícil de ser 

analisado pela utilização do TDBEM – por se tratar de meio finito – mostrando que a 

técnica foi bem implementada e se apresenta precisa e estável. Graças ao grau de 

dificuldade deste exemplo, a formulação resultante se mostra uma ferramenta 

poderosa para o estudo de problemas de interação solo-estruturas gerais e outros 

tipos de problema, como por exemplo, meios reforçados. 

Exemplo 1 

8,0E-05 

7,0E-05 

MMBEM 

Acoplamento 

6,0E-05 

Deslocamento (m) 

5,0E-05 

4,0E-05 

3,0E-05 

2,0E-05 

1,0E-05 

0,0E+00 

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 

Tempo (s) 

Figura 6 - Deslocamento longitudinal do exemplo 1. 

5.2 Exemplo 2 

O segundo exemplo estuda o problema de uma cavidade esférica em um 

meio infinito sujeita a uma pressão interna conforme figura 7, onde não se considerou 

unidade nos valores apresentados. 

Foram realizadas diversas análises do problema proposto, onde se 

considerou: carga p(t) de impacto, aplicação de reforço à parede da cavidade e 

plastificação da região próxima à cavidade. Para o reforço da parede, considerou-se 

uma casca de espessura t=5 e densidade ρ e coeficiente de Poisson ν iguais aos do 

meio infinito, e variou-se o valor do módulo de elasticidade da casca. As várias 

análises podem ser agrupadas em 10 tipos, por modelagem utilizada, descritos a 

seguir. 


122 


p(t) 

E=8,993E+6 

ρ=2,5E-4 

ν=0,25 

p0=1000 

R=212 

Figura 7 - Exemplo 2. 

1 o ) TDBEM elastodinâmico 

EC TDBEM 

Foram utilizados 480 elementos de contorno para a discretização da 

cavidade; dois valores para ∆t foram testados: 0,0003 e 0,0005. 

2 o ) FEM+TDBEM elastodinâmico 

Trata-se da mesma modelagem apresenta anteriormente, sendo que com a 

aplicação do reforço, com o mesmo número de elementos. Consideraram-se dois 

valores para o módulo de elasticidade do material da casca: 

Ec 

7 

⎧10 

⋅Es 

= 8,993 ⋅10 

⎨ 

⎩100 

⋅Es 

= 8,993 ⋅10 

= 

8 

sendo Ec o módulo de elasticidade da casca, e Es o módulo de elasticidade do meio 

infinito. A partir deste segundo tipo de análise, para as análises dinâmicas, utilizou-se 

apenas ∆t=0,0005. 



123 

3 o ) BEM elastostático 

EC BEM 

Neste tipo de análise, utilizou-se 480 elementos de contorno do BEM para a 

discretização da cavidade. 

4 o ) FEM+BEM elastostático 

Trata-se da análise anterior mais a casca de reforço. 

5 o ) MMBEM+TDBEM elastodinâmico 

EC MMBEM 

EC TDBEM 

Células MMBEM 

Nesta análise, utilizou-se 922 células do MMBEM, e 74 elementos de contorno 

para a superfície de acoplamento MMBEM/TDBEM, onde seu raio foi de 2R. 

6 o ) FEM+MMBEM+TDBEM elastodinâmico 

Trata-se da mesma modelagem anterior, sendo que com o reforço. 


124 


7 o ) MMBEM elastoplástico estático 

EC MMBEM 

Células MMBEM 

No lugar das células da análise dinâmica do tipo anterior, são consideradas 

células de plastificação para o MMBEM. Utilizou-se o critério de plastificação de von 

Mises, onde se adotou tensão de plastificação de valor 700 e módulo de elasticidade 

tangente (E t ) de 10% do valor de E do meio infinito. 

8 o ) FEM+MMBEM elastoplástico estático 

Consideração do reforço na modelagem anterior. 

9 o ) MMBEM+TDBEM elastoplástico dinâmico 

Trata-se da modelagem 5 considerando-se a plastificação da sub-região do 

MMBEM, para tanto, são consideradas as células de plastificação, coincidentes com 

as da montagem da matriz de massa. 

10 o ) FEM+MMBEM+TDBEM elastoplástico dinâmico 

Modelagem anterior reforçada. 

A figura 8 apresenta os resultados de deslocamento radial ao longo do tempo 

para as análises elásticas. A resposta analítica, sem a consideração de reforço, foi 

colhida de Timoshenko e Goodier (1980). Observa-se inicialmente que todos os 

valores dinâmicos convergiram para os seus correspondentes estáticos. Para as 

análises com o TDBEM, não houve grandes diferenças para os dois valores de ∆t 

utilizados. Nas análises com o FEM, o valor de β=0,25 não forneceu resultados 

estáveis; os valores que são apresentados na figura 8, foram obtidos com β=0,32. O 

comportamento obtido para a modelagem FEM+TDBEM se mostrou mais suave que 



125 

aquele apresentado para a modelagem FEM+MMBEM+TDBEM. Deve-se comentar 

que o estudo relativo à estabilidade do acoplamento TDBEM/FEM é uma contribuição 

original deste trabalho. Também se pode comentar, como era esperado, que o reforço 

da casca forneceu maior rigidez ao sistema, gerando assim, menores deslocamentos 

radiais. 

0.020 

Cavidade esférica 

Análise elastodinâmica 

0.018 

deslocamento radial 

0.016 

0.014 

0.012 

0.010 

0.008 

0.006 

analítica 

BEM 

TDBEM dt=0,0003 

TDBEM dt=0,0005 

MMBEM+TDBEM 

FEM+BEM Ec=10Es 

FEM+TDBEM Ec=10Es 

FEM+MMBEM+TDBEM Ec=10Es 

FEM+BEM Ec=100Es 

FEM+TDBEM Ec=100Es 

FEM+MMBEM+TDBEM Ec=100Es 

0.004 

0.002 

0.000 

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 

tempo 

Figura 8 - Análise elastodinâmica. 

A figura 9 apresenta os resultados de tensão x deformação radiais para as 

análises elastoplásticas estáticas, com e sem reforço. É interessante observar o 

quanto a ação do reforço diminui as deformações plásticas, chegando até à 

supressão da plastificação para a casca mais rígida. Os autores gostariam de informar 

que, para a análise sem reforço, apenas 3 nós – dos 39 – da superfície mais externa 

(nós de célula, uma vez que nesta região não existem elementos de contorno) 

chegaram a plastificar. Pelos resultados, observa-se que o efeito de explosão 

submersa (túneis) em edificações distantes será fortemente influenciado pela 

presença ou não de reforços. 

A figura 10 apresenta os deslocamentos radiais com a aplicação da pressão 

interna. 

Por fim, a figura 11 apresenta os deslocamentos radiais em função do tempo 

para uma aplicação súbita do carregamento. Observa-se que a não consideração de 

reforço, para análise elastoplástica, apresenta valores elevados de deslocamento, em 

comparação com aqueles obtidos para a análise elástica. Com a consideração do 

reforço para Ec=10Es esta diferença diminui, e, para a casca mais rígida, a diferença 

nem é perceptível, embora aconteça a plastificação. Como uma informação adicional, 

pode-se dizer que, para a casca menos rígida, a partir do sexto passo de tempo a 

análise foi elástica; e, para a casca mais rígida, a partir do décimo primeiro passo. 


126 


Pode-se afirmar ainda, a respeito do parágrafo anterior, que, se naquelas 

análises fosse considerada a não-linearidade física do reforço (MEF), os resultados 

poderiam ser bem diferentes. 

1200 


Análise elastoplástica estática 

1000 

800 

tensão radial 

600 

400 

elástica Ec=0Es 

plástica Ec=0Es 




200 

0 

0.0E+00 1.0E-04 2.0E-04 3.0E-04 4.0E-04 5.0E-04 6.0E-04 7.0E-04 8.0E-04 9.0E-04 1.0E-03 

deformação radial 

Figura 9 - Análise elastoplástica estática – tensão x deformação. 

1200 


Análise elastoplástica estática 

1000 

pressão radial 

800 

600 

400 






200 

0 

0.0E+00 5.0E-03 1.0E-02 1.5E-02 2.0E-02 2.5E-02 3.0E-02 3.5E-02 4.0E-02 4.5E-02 


Figura 10 - Análise elastoplástica estática – pressão x deslocamento. 



127 


Análise elatoplástica dinâmica 

0.080 

0.070 

0.060 


0.050 

0.040 

0.030 

Ec=0Es ED 

Ec=0Es EPD 

Ec=10Es ED 

Ec=10Es EPD 

Ec=100Es ED 

Ec=100Es EPD 

0.020 

0.010 

0.000 

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 

tempo 

Figura 11 - Análise elastoplástica dinâmica. 

6 CONCLUSÕES 

O principal objetivo do trabalho foi o desenvolvimento de um código 

computacional que possibilitasse a análise de estruturas tridimensionais em regime 

elástico-linear acopladas a meios infinitos ou semi-infinitos (como é o caso do solo), 

que foram tratados como físico não-lineares. Objetivou-se também a implementação 

de todo o procedimento estático equivalente. 

Analisando-se as aplicações apresentadas no trabalho, pode-se chegar à 

principal conclusão do mesmo, que é a de que os desenvolvimentos metodológicos 

propostos e utilizados conseguem descrever com boa aproximação os fenômenos 

estudados na pesquisa – sejam eles, a mecânica e dinâmica de estruturas elásticas 

acopladas a meios elastoplásticos infinitos ou semi-infinitos, como comentado acima – 

e que o código computacional elaborado está funcionando perfeitamente e 

apresentando bons resultados. 

Deve-se comentar que, para se atingir de forma completa o objetivo material 

mencionado anteriormente, foram necessárias implementações numéricas e análises 

muitas vezes inéditas, bem como a utilização de outras desenvolvidas por diferentes 

autores. A seguir, estas contribuições são esmiuçadas e permeadas com 

considerações conclusivas, comentando os comportamentos das respostas numéricas 

obtidas. 

Como conclusões complementares do trabalho, pode-se começar 

comentando a respeito da eficiência dos dois algoritmos empregados para as 

integrações temporais: Newmark β, para o Método dos Elementos Finitos (MEF), e 

Houlbolt, para o Método dos Elementos de Contorno aplicando matriz de massa, ou 

Mass Matrix Boundary Element Method (MMBEM). O emprego com sucesso deste 

último tinha sido verificado por vários outros pesquisadores, sendo que para análises 


128 


bidimensionais. A presente pesquisa vem trazer contribuições ao estudo do citado 

método aplicado a problemas 3D. Porém, é importante mencionar que, a depender da 

discretização utilizada e do intervalo de tempo (∆t) fornecido na análise, o algoritmo 

de Houbolt pode apresentar perda de estabilidade numérica. Isto ocorre porque ∆t 2 

pode assumir valores muito pequenos e, quando multiplicado pela matriz G, cujos 

elementos também podem ser muito pequenos, levam à perda de precisão no 

processo numérico que relaciona esta matriz com a matriz H . 

Outra conclusão importante do trabalho é com relação à utilização do Método 

dos Elementos de Contorno (MEC) à modelagem de problemas não-lineares físicos. 

Já se chegou a afirmar que o MEC não se apresentava como uma técnica apropriada 

ao estudo de tais problemas. A partir da observação dos desenvolvimentos 

apresentados para o tratamento de plasticidade, bem como dos resultados das 

implementações realizadas, pode-se concluir que o MEC também é uma ferramenta 

muito precisa para o tratamento de problemas inelásticos. A contribuição da presente 

pesquisa é ainda mais valorizada quando se considera que o estudo do tema em 

discussão foi feito tridimensionalmente, inclusive com a apresentação de diversos 

exemplos. Com relação à utilização de células tetraédricas, observa-se a 

possibilidade de variação linear de tensões (4 nós), o mesmo só seria possível no 

MEF para elementos com 8 nós. Além disso, para problemas onde uma pequena 

porção do corpo plastifica, tal como para o solo que circunda uma estrutura de 

fundação, apenas naquela região é necessária a utilização de células de plastificação. 

Ainda com relação aos problemas inelásticos, a formulação numérica encontrada na 

literatura bidimensional foi corrigida em Coda e Venturini (2000), e no presente 

trabalho foi implementada de forma original para problemas tridimensionais. 

Outra grande contribuição do trabalho foi o desenvolvimento e implementação 

dos diversos processos de integração utilizados na pesquisa: singular, não-singular e 

quase-singular para elementos de contorno triangulares planos com aproximação 

linear, e singular e não-singular para as células tetraédricas, também com 

aproximação linear. 

Com relação ao Método dos Elementos de Contorno no Domínio do Tempo ou 

Time Domain Boundary Element Method (TDBEM), os autores gostariam de dizer que 

a implementação de pontos fonte singulares para os elementos de contorno 

triangulares planos foi desenvolvida integralmente nesse trabalho, fazendo-se uso das 

técnicas comentadas anteriormente. Observou-se no trabalho que a aplicação do 

TDBEM a problemas de corpos fechados é bastante sensível ao valor do intervalo de 

tempo ∆t adotado. Para problemas infinitos ou semi-infinitos, esta dependência já se 

mostrou menor. 

A respeito do acoplamento entre o TDBEM e o MEF, observou-se em algumas 

análises perda de estabilidade. Tal problema foi resolvido com um aumento no valor 

de β do algoritmo de integração temporal do MEF (Newmark). Esta alteração gera um 

adiantamento da contribuição das forças inerciais das sub-regiões modeladas por esta 

técnica. Os autores consideram tal descoberta simples e ao mesmo tempo muito 

importante, uma vez que tal problema já chegou a ser encarado como um entrave ao 

acoplamento entre as duas técnicas. 

Uma conclusão a respeito do MEF é a de que os elementos finitos escolhidos 

se mostraram bastante eficientes para a análise dos elementos estruturais 

correspondentes. O algoritmo de Newmark β também se mostrou uma excelente 

opção para as análises dinâmicas onde o MEF foi empregado. 



129 

Finalmente, para o exemplo 2, concluiu-se que a ação de reforço na parede 

da cavidade pode diminuir bastante as deformações plásticas no solo, podendo 

chegar até à supressão da plastificação. Para a análise elastoplástica dinâmica, 

concluiu-se que a diferença entre os deslocamentos radiais obtidos, com e sem a 

consideração de plastificação do meio infinito, é inversamente proporcional à rigidez 

do reforço, lembrando-se que, se nestas análises fosse considerada a não-linearidade 

física do reforço (MEF), os resultados poderiam ser bem diferentes. 


À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP, pelo 

financiamento da pesquisa. 


ALMEIDA, F. P. A. (1999). Análise comparative de resultados de diferentes 

discretizações para as lajes de pavimentos utilizando os elementos finitos DKT e 

P15N. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade 

de São Paulo. 

ALMEIDA, F. P. A. (2003). Aplicação do acoplamento entre o MEC e o MEF para o 

estudo da interação dinâmica elastoplástica entre o solo e estruturas. Tese 

(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

CODA, H. B.; VENTURINI, W. S. (2000). Dynamic non-linear stress analysis by the 

mass matrix BEM. Engineering Analysis with Boundary Elements, v.24, p.623-32. 

TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. (1980). Teoria da elasticidade. 3.ed. Rio de 

Janeiro: Guanabara Dois. 

VENTURINI, W. S. (1988). Um estudo sobre o método dos elementos de contorno 

e suas aplicações em problemas de engenharia. Tese (Livre-docência) - Escola de 

Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 


130

ISSN 1809-5860 

DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE RESISTENTE 

DE NÓS DE PÓRTICO EXTERNOS DE CONCRETO 

ARMADO 

Gerson Moacyr Sisniegas Alva 1 & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 2 

Resumo 

Este trabalho apresenta alguns métodos de cálculo para a determinação da 

capacidade resistente de nós de pórtico externos, formados nas ligações viga-pilar de 

extremidade de concreto armado. Primeiramente, apresenta-se uma breve 

abordagem teórica sobre o comportamento mecânico dos nós externos, descrevendose 

a forma usual de determinação dos esforços solicitantes e de dimensionamento. 

Em seguida, apresentam-se as hipóteses e o equacionamento utilizados por dois 

modelos teóricos que se propõem a avaliar a capacidade resistente dos nós, a saber: 

o modelo de PAULAY & PRIESTLEY (1992) e o modelo de HWANG & LEE (1999). 

Ambos utilizam os conceitos dos modelos clássicos de biela e tirante. A capacidade 

resistente dos nós de pórtico também é avaliada por meio de expressões prescritas 

pelas principais normas que abordam o assunto, entre as quais se encontram as 

normas americanas ACI-352 (1991) e ACI-318 (1995), a norma neozelandesa NZS- 

3101 (1995) e a norma japonesa AIJ (1991). Por fim, são desenvolvidos alguns 

exemplos numéricos de aplicação dos modelos teóricos abordados para a 

determinação da resistência dos nós, incluindo-se comentários e análises pertinentes. 

Palavras-chave: Concreto armado; nós de pórtico; ligações viga-pilar; modelos de 

biela e tirante; cisalhamento. 


Nós de pórticos são definidos a partir das ligações entre vigas e pilares. São 

regiões (volumes) gerados pela interseção da viga com o pilar, tal como ilustra a figura 

1. Na realidade, o nó de pórtico é uma porção do pilar de altura igual à da seção da 

viga. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas – EESC-USP, alva@feciv.ufu.br 

2 Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, analucia@sc.usp.br 


132 

Gerson Moacyr Sisniegas Alva & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 

Nó 

Viga 

Pilar 

Figura 1 - Definição de nó de pórtico. 

Comumente, o termo nó de pórtico é utilizado para se referir à ligação viga-pilar 

como um todo. A rigor, a ligação é formada pelo nó e pelos elementos estruturais pilar, 

viga e laje. 

Nas estruturas em pórtico correntes, os nós de pórtico podem ser classificados 

em nós internos, nós externos e nós de canto, conforme indica a figura 2. 

c) Nó de canto 

(viga de cobertura-pilar de 

extremidade) 

a) Nó externo 

(viga-pilar de extremidade) 

b) Nó interno 

(viga-pilar interno) 

Figura 2 - Nomenclatura usualmente utilizada para a classificação de nós de pórtico. 

Nas últimas três décadas, pode-se dizer que houve uma maior preocupação 

com o comportamento mecânico dos nós de pórtico, fato confirmado pelo crescimento 

das pesquisas envolvendo tal região do sistema estrutural. Antes disso, em nível de 

projeto, admitia-se que as condições nos nós de pórtico não eram críticas. Ou seja, 

admitia-se que a resistência da ligação era igual à do elemento estrutural menos 

resistente. Entretanto, pode-se dizer que os nós de pórtico são, com freqüência, 


Determinação da capacidade resistente de nós de pórtico externos de concreto armado 

133 

regiões mais críticas do sistema estrutural como um todo, devido a uma série de 

fatores, entre os quais se incluem a mudança de direção de esforços e tensões, as 

elevadas tensões cisalhantes que ali surgem, além dos aspectos construtivos 

associados à ancoragem das armaduras. 

Em termos de desempenho estrutural, é desejável que o nó de pórtico 

apresente resistência suficiente de modo a não impedir o total desenvolvimento da 

capacidade resistente dos elementos que serão conectados. Levando em conta que a 

filosofia de projeto recomenda, em situação de ruína, que a plastificação ocorra antes 

nas vigas que nos pilares, o nó de pórtico deve resistir a ações maiores à 

correspondente ao momento último da viga. 

Em termos de execução em obra, é desejável também que o arranjo das 

armaduras na ligação não dificulte a sua colocação nem a compactação do concreto. 

De fato, deve haver a preocupação do projetista estrutural quanto ao problema de 

congestionamento das armaduras nessa região. 

Conhecendo-se a resistência ao cisalhamento do nó do pórtico torna-se 

possível avaliar se os elementos viga e pilar poderão alcançar a capacidade máxima. 

Essa grandeza pode ser obtida por meio dos modelos de PAULAY & PRIESTLEY 

(1992) e HWANG & LEE (1999) - os quais utilizam conceitos dos modelos de biela e 

tirante - e por expressões prescritas por normas de cálculo que tratam dos nós de 

pórtico. 

2 FORÇAS SOLICITANTES EM NÓS DE PÓRTICO EXTERNOS 

Os nós de pórticos, em função da geometria das ligações e em função da 

posição das armaduras longitudinais da viga, estão submetidos, essencialmente, a 

esforços de cisalhamento. 

A força cortante solicitante é obtida simplesmente por equilíbrio de forças no 

painel. Assim, em um nó externo, por exemplo, a força cortante horizontal atuante é 

expressa por (vide figura 3): 

V 

jh 

= T − V 

(1) 

v 

p 

onde 

T v é a resultante na armadura tracionada da viga; 

V p é a força cortante no pilar. 


134 


V p 

N 

C sp1 

C cp1 

V p 

T 

v 

Tv 

V v 

Vv 

Ccv 

C sv 

C cv 

C 

sv 

V p 

N+ V v 

V p 

T p2 

p1 

Ccp2T Csp2 

Figura 3 - Forças solicitantes em nós externos. 

Analogamente, podem ser obtidas as forças cortantes nos nós internos ou em 

outros tipos de nó de pórtico. 

σ 

τ 

τ 

τ 

τ 

σ 

Figura 4 - Estado simplificado de solicitação normalmente assumido para os nós externos. 

Usualmente, o nó de pórtico é encarado como um painel submetido a um 

estado plano de tensões (figura 4), embora o estado de solicitação real a que está 

sujeito o nó seja mais complexo. Resultados experimentais, entretanto, indicam que 

essa simplificação de cálculo é razoável na determinação da resistência dos nós. 

Utilizando as equações de equilíbrio e de compatibilidade nas seções da viga e 

do pilar, encontram-se as forças necessárias para a obtenção da força cortante no nó. 



135 

3 CAPACIDADE RESISTENTE DOS NÓS EXTERNOS 

3.1 Modelo de PAULAY & PRIESTLEY (1992) 

PAULAY & PRIESTLEY (1992) propõem que a resistência ao cisalhamento do 

nó seja composta pela contribuição de duas parcelas: uma parcela relativa ao 

concreto, promovida pela biela diagonal comprimida, e a outra relativa à armadura 

transversal. Assumem algumas hipóteses de cálculo com relação à transferência de 

esforços, as quais permitem determinar a área de estribos horizontais na região nodal. 

Embora a preocupação estivesse voltada para as ações cíclicas reversíveis, a 

formulação proposta pelos autores para o cálculo da armadura transversal em nós de 

pórtico pode nortear o dimensionamento sob ações monotônicas, como no caso dos 

nós externos. 

Algumas expressões apresentadas originalmente pelos autores foram 

novamente deduzidas e reescritas, ficando isentas de simplificações adicionais que 

não são comentadas neste trabalho. 

Nós externos: 

Segue-se a nomenclatura utilizada no equacionamento deste item: 

T é a resultante da armadura longitudinal de tração da viga; 

C 

s é a resultante da armadura longitudinal de compressão da viga; 

C é a resultante das tensões de compressão no concreto na seção da viga; 

c 

V 

p é a força cortante atuante no pilar; 

N é a força normal de compressão no pilar; 

A 

cp é a área bruta da seção do pilar; 

A é a área da armadura longitudinal de tração da viga; 

st 

A é a área da armadura longitudinal de compressão da viga; 

sc 

A é a área total de estribos horizontais necessários no nó; 

p 

sh 

x é a altura da zona comprimida do pilar; 

h 

p é a altura da seção do pilar; 

u 

0 é o fluxo de cisalhamento produzido pela transmissão das forças de compressão 

da armadura da viga ao interior do nó por aderência; 

f 

c é a resistência à compressão do concreto; 

f 

y é a resistência ao escoamento do aço para as armaduras principais de vigas e 

pilares; 

f é a resistência ao escoamento do aço para os estribos horizontais do nó. 

yh 


136 


N 

V p 

V p 

A st 

T 

T 

A sh 

D 

θ 

A sc 

C c 

u 

0 

V ch 

C c 

C s 

C s 

V p 

x p 

h p 

α hp 

Figura 5 - Ações em nós de pórtico externos. 

Com base no esquema de tensões internas e respectivas resultantes em nós 

de pórtico externos, ilustrado na figura 5, obtém-se, por equilíbrio de forças, a seguinte 

expressão para calcular a força cortante horizontal atuante no nó: 

V 

= T − 

(2) 

jh 

V p 

O valor desta força cortante é a soma da contribuição do concreto V ch e da 

contribuição da armadura (estribos horizontais) V sh : 

V = V + V 

(3) 

jh 

ch 

sh 

A contribuição de resistência do concreto pode ser deduzida por meio do 

equilíbrio de forças no volume de concreto definido pela interseção da biela 

comprimida com as zonas de compressão da viga e do pilar (figura 6): 

V 

ch 

= C + ∆T 

− V 

(4) 

c 

c 

p 

onde ∆ Tc 

é a parcela da resultante da armadura comprimida C 

s a ser transmitida à 

biela comprimida, com ∆ Tc 

< C 

s . Esta hipótese justifica-se pelo fato de os ganchos da 

armadura comprimida não serem totalmente eficientes na transmissão das resultantes 

de compressão para o interior do nó ou da biela. Em outras palavras, ∆ Tc 

representa 

a força que pode ser efetivamente transmitida à biela diagonal, por aderência, na zona 

comprimida do pilar x . 

p 



137 

θ 

V 

ch 

C c 

∆T c 

x p 

V p 

Figura 6 - Equilíbrio de forças para o cálculo de V ch. 

O fluxo de cisalhamento, ou a força total a ser ancorada no nó, por unidade de 

comprimento, é dada por: 

u 

0 

C 

αh 

s 

= (5) 

p 

onde 

α h p é o comprimento de ancoragem efetivo, com α < 1 em virtude da presença dos 

ganchos. Os autores propõem o valor de α igual à 0,7. 

Admite-se que a transferência das forças de aderência à biela comprimida 

ocorre efetivamente em apenas 80% da zona comprimida x do pilar. Dessa forma, 

c 

0 

( 0,8 x ) 

∆ T = u 

(6) 

p 

Com a expressão (5), obtém-se 

∆ Tc 

por: 

p 

C 

s 

∆ Tc 

= 0,8 xp 

(7) 

αhp 

Calcula-se a parcela de resistência à força cortante relativa ao concreto 

V 

ch : 

V 

C 

s 

ch 

= Cc 

+ 0,8x 

p 

− Vp 

(8) 

αhp 

De acordo com as expressões (3) e (8), tem-se que: 

V 

sh 

V 

V 

T 

V 

⎛ 

⎜C 

⎝ 

C 

0,8x 

V 

⎞ 

⎟ = T − C − 

⎠ 

0,8 x 

s 

s 

= 

jh 

− 

ch 

= − 

p 

− 

c 

+ 

p 

− 

⎜ 

p 

c 

p 

αh 

⎟ 

(9) 

p 

αhp 

C 

Sabendo que em vigas 

que: 

C 

s 

= T − C e substituindo este valor em (9), pode-se escrever 

c 


138 


⎛ 0,8x 

p 

⎞ 

V ⎜ ⎟ 

sh 

= Cs 

1− 

(10) 

⎝ αhp 

⎠ 

Finalmente, a área de estribos horizontais necessários é determinada por: 

V ⎛ ⎞ 

sh 

C 0,8x 

s 

p 

A = = ⎜ − ⎟ 

sh 

1 

(11) 

fyh 

fyh 

⎝ αhp 

⎠ 

As expressões (10) e (11) podem ser reescritas considerando-se que a altura 

da zona comprimida do pilar é razoavelmente estimada por meio da seguinte 

aproximação: 

⎛ 0,85N ⎞ 

x ⎜ 

p 

0,25 ⎟ 

N 

= + × h 

p 

fc 

A 

válida para > 0, 1 

(12) 

⎝ 

cp ⎠ 

fc 

A 

cp 

Substituindo o valor de 

α = 0,7 , obtém-se que: 

x 

p nas expressões (10) e (11) e adotando o valor sugerido de 

⎛ ⎞ 

⎜ 

N 

V ⎟ 

sh 

= Cs 

0,7 − 

(13) 

⎝ fcA 

cp ⎠ 

V ⎛ ⎞ 

sh 

Cs 

⎜ 

N 

A = = − ⎟ 

sh 

0,7 

(14) 

fyh 

fyh 

⎝ fcA 

cp ⎠ 

De acordo com o modelo de PAULAY & PRIESTLEY (1992), tanto na expressão (11) 

quanto na expressão (14), percebe-se que a força normal do pilar influencia o 

comportamento do nó, uma vez que o aumento da intensidade da normal reduz a 

quantidade de estribos necessários ao nó de pórtico. 

Notar que o modelo não é aplicável aos casos em que não existe armadura 

negativa na viga. Este fato decorre em virtude da força cortante V sh resistida pelos 

estribos depender da resultante de compressão C s . 

3.2 Modelo de HWANG & LEE (1999) 

Neste item aborda-se o modelo analítico proposto por HWANG & LEE (1999) 

para a avaliação da força cortante resistente em nós externos. 

A figura 7 ilustra a classificação dos modos típicos de colapso em modelos 

físicos de ligações viga-pilar extremidade, apresentada por HWANG & LEE (1999). 



139 

P / Py 

1,1 

1,0 

0,8 Pmax 

Pmax 

F1 

P 

J2 

J3 

∆ 

J1 

J: Colapso do nó 

F: Colapso por flexão da viga 

1 

4 

∆ / ∆y 

Figura 7 - Formas possíveis de colapso em nós externos – Adaptado de HWANG & LEE 

(1999). 

Pelo gráfico da figura 7, nota-se que a máxima força atingida na extremidade 

da viga e, conseqüentemente, a máxima força cortante atuante no nó, estão limitadas 

por uma das quatro possíveis formas de colapso da ligação: 

J1: Colapso por cisalhamento do nó antes de que se atinja a força de plastificação P y ; 

J2: Colapso por cisalhamento do nó após a força de plastificação: P/P y > 1,0; 

J3: Colapso por cisalhamento do nó para P/P y > 1,1 e ∆ (0,8Pmax) > 4∆ y , onde ∆ y é o 

deslocamento na plastificação; 

F1: Colapso por flexão da viga. 

O modelo proposto pelos autores deriva dos modelos de biela e tirante; no 

entanto, além de satisfazer apenas as condições de equilíbrio, também considera a 

compatibilidade de deformações e as leis constitutivas do material concreto. 

Os resultados do modelo proposto por HWANG & LEE (1999) apresentam uma 

correlação satisfatória com resultados experimentais obtidos por diversos 

pesquisadores. 

A seguir apresenta-se as hipóteses e a formulação matemática do referido 

modelo: 

O modelo é composto por três mecanismos. A resistência do nó se deve a 

participação da biela diagonal comprimida, dos estribos horizontais e das barras 

intermediárias do pilar (estribos verticais). O mecanismo promovido pela biela 

comprimida denomina-se mecanismo diagonal e os mecanismos promovidos pelos 

estribos horizontais e verticais, mecanismo horizontal e mecanismo vertical. A 

transferência de forças nesses mecanismos é ilustrada na figura 8. 


140 


h 2 

0,5h 

h 2 

0,5h 0,5h 

2 2 

1 

h 1 

D 

θ 

Fh 

0,5h 1 

h 1 

Fv 

a 

a) Mecanismo Diagonal 

b) Mecanismo Horizontal 

c) Mecanismo Vertical 

Figura 8 - Mecanismos de resistência ao cisalhamento. a) Mecanismo Diagonal. b) Mecanismo 

Horizontal. c) Mecanismo Vertical. 

O mecanismo diagonal é composto pela biela de compressão principal, cujo 

ângulo de inclinação é definido a partir da seguinte expressão: 

⎛ h1 

⎞ 

θ = arctan ⎜ 

⎟ 

(15) 

⎝ h2 

⎠ 

onde 

h 1 é a distância vertical entre o eixos das armaduras superior e inferior da viga; 

h 2 é a distância horizontal entre o eixo da armadura longitudinal mais próxima da face 

interna do pilar e o eixo da armadura da viga dobrada a 90 graus no nó, conforme a 

figura 8. 

Outro parâmetro referente ao mecanismo diagonal é a área efetiva da biela, 

definida por: 

A = a × 

(16) 

b 

b j 

onde 

a é a largura da biela; 

b j é a largura efetiva do nó. 

A largura da biela é definida a partir das zonas comprimidas da viga e do pilar. 

HWANG & LEE (1999) sugerem que essa largura seja estimada, com razoável 

precisão, a partir da expressão proposta por PAULAY & PRIESTLEY (1992): 

⎛ 0,85N ⎞ 

a x ⎜ 

p 

0,25 ⎟ 

N 

= = + h 

p 

A 

pf 

com > 0, 1 

(17) 

⎝ 

c ⎠ 

Apfc 

onde 

x p é a altura da zona comprimida do pilar; 



141 

N é a força normal no pilar; 

A p é a área da seção transversal do pilar; 

f c é a resistência à compressão do concreto em corpos de prova cilíndricos; 

h p é a altura da seção do pilar. 

O cálculo exato para a obtenção da largura da biela é dado pela seguinte 

expressão: 

⎛ 

⎞ 

2 2 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎜ 

x 

v 

a = x 

⎟⎟ 

v 

+ x 

p 

sen θ + arctg 

⎜ 

⎟ 

(18) 

⎝ ⎝ x 

p ⎠⎠ 

onde 

x v é a altura da zona comprimida na seção da viga. 

A largura efetiva do nó b j pode ser obtida com as recomendações das 

principais normas que tratam do assunto. Em suas análises, HWANG & LEE (1999) 

utilizaram a largura efetiva definida pelo ACI-318 (1995). 

O mecanismo horizontal consiste em um tirante (representando os estribos 

horizontais) e em duas bielas secundárias, mais abatidas que a biela principal. É 

importante citar que os diversos estudos experimentais realizados em nós de pórtico 

indicam que os estribos horizontais mais solicitados são os que se encontram mais 

próximos à metade da altura do nó, enquanto que os demais são menos solicitados. 

Por esse motivo, HWANG & LEE (1999) sugerem que os estribos centrais sejam 

considerados totalmente efetivos no cômputo da área da seção do tirante, devendo-se 

considerar, para os demais estribos, uma contribuição de apenas 50% da área. 

O mecanismo vertical é composto por um tirante vertical e duas bielas 

secundárias mais íngremes que a biela principal. O tirante vertical representa as 

barras longitudinais intermediárias do pilar. A forma de avaliar a área do tirante vertical 

é similar à indicada para o mecanismo horizontal. Evidentemente, quando o pilar não 

possui barras intermediárias, ou seja, quando contém apenas barras longitudinais 

próximas às faces externas do mesmo, o mecanismo vertical inexiste. 

A figura 9 ilustra o modelo de biela e tirante empregado por HWANG & LEE 

(1999). 

1 

2 

Vjh 

Fv 

V jv 

3 4 

F h 

6 

5 

biela 

tirante 

Figura 9 - Modelo de biela e tirante utilizado por HWANG & LEE (1999). 


142 


Segundo o modelo de HWANG & LEE (1999), o escoamento dos estribos não 

necessariamente interrompe o desenvolvimento da resistência ao cisalhamento do nó, 

pois a biela diagonal é capaz de transmitir esforços de cisalhamento sozinha. Portanto, 

a máxima resistência do nó é alcançada quando a tensão de compressão na biela 

atinge a capacidade resistente do concreto. 

Equilíbrio de forças 

Com base no modelo de biela e tirante da figura 9, por equilíbrio de forças, 

determina-se a força cortante horizontal a ser resistida pelo nó: 

Vjh = Dcosθ + Fh 

+ Fv 

cotgθ 

(19) 

onde 

D é a força resultante de compressão na biela; 

F h é a força resultante de tração no tirante horizontal; 

F v é a força resultante de tração no tirante vertical. 

De forma similar, a força cortante vertical é expressa por: 

V = Dsenθ + F tgθ 

+ F 

(20) 

jv 

h 

v 

por: 

A relação entre a força cortante vertical e a força cortante horizontal é dada 

V 

V 

jv 

jh 

= tgθ 

(21) 

A parcela de força cortante horizontal e vertical resistidas pelos estribos são 

obtidas conforme sugerido por JENNEWEIN & SCHÄFER (1992): 

F 

h 

= γ V 

onde 

h 

jh 

2tgθ −1 

γ 

h 

= 

para 0 

h 

1 

3 

≤ γ ≤ 

(22) 

O fator γ h representa a fração de força cortante horizontal transmitida pelo 

tirante horizontal sem a presença do tirante vertical. Da mesma maneira, 

F 

v 

= γ V 

onde 

v 

jv 

2cotgθ −1 

γ 

v 

= 

para 0 

v 

1 

3 

≤ γ ≤ 

(23) 

onde o fator γ v representa a fração de força cortante transmitida pelo tirante vertical 

sem a presença do tirante horizontal. 

Com base nas expressões (19), (22) e (23), as forças envolvidas nos três 

mecanismos (D, F h e F v ) podem ser convenientemente expressas em função da força 

cortante horizontal: 



143 

D 

F 

F 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

R 

⎞ 

⎟V 

⎠ 

= d 

jh 

cosθ 

⎜ R 

d 

+ Rh 

+ R ⎟ 

(24) 

v 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

R 

⎞ 

⎟V 

⎠ 

= h 

h ⎜ 

jh 

R 

d 

+ Rh 

+ R ⎟ 

(25) 

v 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

R 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= v 

v 

Vjh 

cot gθ 

⎜ R 

d 

+ Rh 

+ R ⎟ 

(26) 

v 

onde R d , R h e R v são termos adimensionais que indicam a parcela de força cortante 

horizontal resistida pelo mecanismo diagonal, horizontal e vertical, respectivamente. O 

valor desses termos são determinados por: 

R 

R 

R 

( 1− γ )( 1− γ ) 

h v 

d 

= (27) 

1− γ 

vγh 

γ 

( 1− γ ) 

h v 

h 

= (28) 

1− γ 

v 

γ 

h 

γ 

( 1− γ ) 

v h 

v 

= (29) 

1− γ 

vγ 

h 

Naturalmente, a soma dessas três parcelas adimensionais deve ser igual à 

unidade. Quando não houver barras longitudinais intermediárias no pilar, não há 

formação do mecanismo vertical, ou seja, γ v é igual a 0. A figura 10 indica como ocorre 

a distribuição das forças em nós de pórtico externos em função do ângulo de 

inclinação da biela. 

1,0 

Rh 

Mecanismo Horizontal 

Fração resistente 

0,5 

Rd 

Mecanismo Diagonal 

Mecanismo Vertical 

Rv 

0,0 

25 35 45 55 65 

Ângulo da biela diagonal (graus) 

Figura 10 - Distribuição da força cortante horizontal entre os três mecanismos. 

Para ângulos de inclinação da biela iguais a 45 graus, o mecanismo diagonal é 

o que mais participa da resistência ao cisalhamento. Nesta situação, R d assume valor 

igual a 0,5. A figura 10 também indica que a participação dos estribos horizontais na 

resistência à força cortante é maior à medida que a inclinação da biela aumenta. 


144 


Assim, em nós de pórtico formados por vigas de grande altura em relação à altura da 

seção do pilar, a presença de estribos horizontais é mais relevante. 

Para verificar se a resistência do nó foi alcançada, as tensões de compressão 

da região nodal (nó 6 da figura 9) devem ser verificadas. Com algum esforço algébrico, 

determina-se a máxima tensão normal de compressão na região nodal, atuante na 

direção principal d, por: 

σ 

d,max 

= 

1 

A 

b 

⎡ ⎛ ⎛ h ⎞ 

⎢ ⎜ 

1 

⎞ 

cos θ − arctg ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎢ ⎝ ⎝ 2h 

2 ⎠⎠ 

⎢D 

+ 

× F 

⎢ 

⎛ ⎛ h ⎞⎞ 

⎜ 

1 

cos arctg ⎟ 

⎢ 

⎜ 

⎟ 

⎣ ⎝ ⎝ 2h 

2 ⎠⎠ 

h 

⎛ ⎛ 2h ⎞ 

⎜ 

1 

⎞ 

cos arctg ⎟ 

⎜ 

⎟ − θ 

⎝ ⎝ h2 

⎠ 

+ 

⎠ 

× F 

⎛ ⎛ 2h ⎞⎞ 

⎜ 

1 

sen arctg ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ ⎝ h2 

⎠⎠ 

v 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

(30) 

Segundo HWANG & LEE (1999), é possível demonstrar que a direção principal 

d coincide com a direção da biela diagonal. 

Leis constitutivas 

Sabe-se que o concreto em zonas fissuradas apresenta resistência e rigidez 

menores que o concreto submetido apenas à compressão uniaxial, em virtude dos 

efeitos de tração da armadura que o atravessa. Um exemplo típico deste 

comportamento é o caso das bielas comprimidas em nós de pórtico. 

Uma vez que as atenções estão voltadas para a resistência, representa-se 

apenas o ramo ascendente da curva tensão-deformação do concreto fissurado (figura 

11) por: 

σ 

2 

⎡ ⎛ ε 

⎤ 

d 

⎞ ⎛ εd 

⎞ 

εd 

= ζf ⎢ − ⎥ 

c 

= 

⎢ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ para ≤ 1 

⎣ ⎝ ζε0 

⎠ ⎝ ζε0 

⎠ ⎥ 

ζε0 

⎦ 

d 

2 

(31) 

5,8 1 0,9 

ζ = 

≤ 

(32) 

f + ε 

ε 

c 

1 400 

r 

1+ 

400 

r 

onde 

σ 

d é a tensão principal de compressão na direção d. 

ζ é o coeficiente adimensional de redução da resistência; 

ε 

d e ε 

r são as deformações principais médias na direção d e r 

ε 

0 é a deformação correspondente à tensão de resistência à compressão (corpo de 

prova cilíndrico), a qual pode ser estimada por: 

⎛ fc 

− 20 ⎞ 

ε0 = −0,002 

− 0,001⎜ 

⎟ para 20MPa 

fc 100MPa 

⎝ 100 ⎠ 

≤ ≤ 

(33) 



145 

σ d 

cilindroσ d 

ε 

d 

σ d 

f 

c 

σ d 

ε r 

ζf 

c 

εd 

σ d 

concreto em 

zona fissurada 

ζε 0 ε 0 

ε d 

Figura 11 - Comportamento do concreto armado em zonas fissuradas em decorrência de 

deformações transversais. 

A máxima resistência ao cisalhamento é alcançada sempre que a tensão de 

compressão e a deformação na biela diagonal atingirem os valores máximos, ou seja: 

σ = ζ 

(34) 

d 

f c 

ε = 

(35) 

d 

ζε 0 

Para o aço, adota-se o modelo elasto-plástico perfeito. Assim, as relações 

entre as forças resultantes nas armaduras transversais e as respectivas deformações 

de tração podem se escritas da seguinte forma: 

F 

F 

h 

v 

= A 

shEsεh 

se h 

< εyh 

= A E ε se v 

< εyv 

sv 

s 

v 

ε F 

h 

Fyh 

= Ashfyh 

ε F 

v 

Fyv 

= Asvfyv 

= se ε 

h 

≥ εyh 

(36) 

= se ε 

v 

≥ εyv 

(37) 

onde 

A sh e A sv são as áreas de estribos horizontais e verticais, respectivamente; 

E s é o módulo de elasticidade do aço; 

ε h e ε v são as deformações nos estribos horizontais e verticais; 

ε yh e ε yv são as deformações nos estribos horizontais e verticais correspondentes ao 

início do escoamento; 

f yh e f yv são as tensões de escoamento do aço dos estribos horizontais e verticais. 

Compatibilidade 

São duas as equações de compatibilidade que relacionam as deformações 

médias nos diferentes sistemas de coordenadas. Uma vez conhecida a direção 

principal das tensões de compressão, a deformação principal de tração ε r pode ser 


146 


relacionada com a deformação horizontal ε h , a deformação vertical ε v e a deformação 

principal de compressão ε d da seguinte maneira: 

ε 

r 

= ε 

h 

+ 

2 

( ε − ε ) g θ 

h 

d 

cot (38) 

2 

( ε − ε ) θ 

εr = ε 

v 

+ 

v d 

tg (39) 

Procedimentos de resolução 

O algoritmo para a resolução do problema inicia-se com a adoção de um valor 

inicial para a resistência ao cisalhamento do nó V jh , seguida de três etapas: 

1) Empregam-se as equações de equilíbrio para encontrar a tensão máxima de 

compressão σ d,max que atua na região nodal (expressão 30). Assumindo-se que 

a resistência da biela tenha sido alcançada, obtém-se o valor do coeficiente ζ 

σd,max 

por meio de ζ = ; 

fc 

2) Utilizam-se as leis constitutivas dos materiais para determinar as deformações 

na biela e nos tirantes; 

3) Aplicando-se as equações de compatibilidade, obtém-se um novo valor para ζ. 

Se este valor estiver suficientemente próximo do valor calculado na etapa 1, 

então o valor atual de V jh é a resistência ao cisalhamento do nó; caso contrário, 

continua-se o procedimento iterativo. 

O algoritmo de resolução é encontrado detalhadamente em HWANG & LEE 

(1999). 

saber: 

Vale notar que o modelo contêm 10 variáveis que devem ser determinadas, a 

Quatro variáveis de forças: V jh , D, F h , F v ; 

Uma variável de tensão: σ d,max ; 

Uma variável associada ao material: ζ; 

Quatro variáveis de deformações: ε d, ε h, ε v , ε r 

Em função do número de variáveis envolvendo os tirantes, cinco situações de 

cálculo são possíveis na determinação de V jh : 

Situação E: A biela de compressão atinge a resistência máxima enquanto que os 

tirantes horizontais e verticais permanecem no regime elástico; 

Situação YH: Primeiramente, ocorre o escoamento do tirante horizontal. A força 

cortante restante é resistida apenas pelo mecanismo diagonal e vertical, até a biela de 

compressão atingir sua resistência máxima, permanecendo o estribo vertical em 

regime elástico; 

Situação YV: O escoamento do tirante vertical ocorre primeiro. Analogamente à 

situação YH, o acréscimo de força cortante deve ser redistribuído apenas para o 

mecanismo horizontal e diagonal, até que a biela atinja a resistência máxima, 

permanecendo o tirante horizontal em regime elástico; 

Situação YHV: O tirante horizontal atinge o escoamento, seguido do escoamento do 

tirante vertical após a redistribuição de forças. Após o escoamento dos tirantes, a biela 

atinge a resistência máxima; 

Situação YVH: Análoga a situação YHV, porém com o tirante vertical atingindo 

primeiro o escoamento. 



147 

3.3 Expressões das normas de cálculo 

Entre as principais normas encontradas na literatura que tratam do 

dimensionamento de nós de pórtico de concreto, tanto para o caso de carregamento 

cíclico quanto para o caso monotônico, estão as normas americanas ACI-352 (1991) e 

ACI-318 (1995), a norma japonesa AIJ (1991) e a norma neozelandesa NZS-3101 

(1995). 

Observa-se que as normas apresentam entre si algumas diferenças no 

dimensionamento das ligações, em especial sobre os mecanismos resistentes do nó 

frente ao cisalhamento imposto pelos elementos conectados. 

No modelo de cálculo adotado pelo ACI-318 (1995), assume-se que as forças 

cortantes são resistidas primariamente pelo núcleo de concreto (nó) e pela armadura 

longitudinal do pilar, sendo a integridade da ligação assegurada pela presença de 

estribos horizontais colocados na região do nó, os quais servem também para confinar 

o concreto. Com esse modelo, percebe-se que o nó é tratado como uma parte do pilar. 

Além disso, ignoram-se as tensões de cisalhamento verticais quando a armadura 

longitudinal do pilar é uniformemente distribuída ao longo do perímetro do nó. De 

qualquer modo, as tensões de cisalhamento verticais podem ser obtidas utilizando-se 

o mesmo raciocínio empregado na determinação da força cortante horizontal. Outra 

particularidade da norma americana é a consideração do efeito benéfico da presença 

de vigas transversais sobre o confinamento. 

No modelo adotado pelas normas NZS-3101 (1995) e pelo CEB (1985), as 

tensões cisalhantes horizontais e verticais são consideradas no dimensionamento. 

A norma brasileira NBR 6118:2003 trata os nós de pórtico como regiões 

especiais, não valendo nessas regiões a hipótese da permanência das seções planas. 

Prescreve que, em decorrência da mudança de direção dos elementos estruturais, a 

resistência do conjunto depende da resistência à tração do concreto e da disposição 

da armadura, as quais devem ser consideradas no dimensionamento. Entretanto, não 

apresenta modelos de cálculo para o dimensionamento dos nós. 

Resistência nominal ao cisalhamento 

Nas verificações associadas ao nó, é usual expressar as forças cortantes em 

termos de tensões cisalhantes, calculadas simplesmente por: 

Vjh 

τ 

n 

= 

(40) 

A 

j 

onde A j é a área efetiva do nó de pórtico. Tal área ainda pode ser escrita como: 

A = b h 

(41) 

j 

j 

j 

onde b j e h j são a largura efetiva e a altura efetiva do nó. 

Normalmente, adota-se para a altura efetiva h j o valor da altura da seção 

transversal do pilar na direção em que o cisalhamento é introduzido ao nó. Por outro 

lado, a obtenção da largura efetiva está ligada às diferenças de largura e de 

posicionamento entre as seções dos pilares e das vigas. É evidente que áreas de 

concreto muito afastadas das faces verticais das vigas não participam eficientemente 

na resistência às tensões cisalhantes introduzidos ao nó de pórtico. Por esse motivo, 

algumas normas fornecem recomendações simples para o cálculo de uma largura 

efetiva para o nó. 


148 


ACI 352 (1991) e ACI 318 (1995): 

A resistência nominal ao cisalhamento de um nó de pórtico é calculada pela 

seguinte expressão: 

V 

n 

τ 

n 

= = 0,083γ 

fc 

(42) 

A 

j 

onde 

γ é uma constante que depende da classificação do nó; 

f c é a resistência à compressão do concreto em MPa; 

A j é a área efetiva do nó, com A 

j 

= b 

jhp 

; 

b j é a largura efetiva do nó; 

h p é a altura da seção transversal do pilar na direção analisada. 

A constante γ é obtida a partir da tabela 1: 

Tabela 1 - Valores de γ em ligações viga-pilar – ACI 352 (1991) e ACI 318 (1995) 

Tipos de nós de pórtico 

Categoria 

(Tipo) 

Nós confinados por 4 

faces verticais (nós 

Nós confinados por três faces 

verticais ou por 2 faces 

Outros casos 

(nós de canto) 

internos) 

opostas (nós externos) 

1 24 20 15 

2 20 15 12 

NZS-3101 (1995) e AIJ (1991): 

Segundo as normas neozelandesa e a japonesa, a resistência nominal ao 

cisalhamento τ 

n assume o seguinte valor: 

τ 

n 

= kf c 

(43) 

onde 

k =0,2 para todos os tipos de nó, segundo a NZS-3101 (1995); 

k =0,3 para nós internos e k = 0,18 para nós externos, segundo a AIJ (1991). 

A figura 12 contém uma comparação da tensão nominal resistente em função 

da resistência à compressão do concreto, segundo as três normas aqui mencionadas. 



149 

Tensão nominal resistente (MPa) 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

ACI318(1995) 

NZS3101(1995) 

AIJ(1991) 

2 

20 25 30 35 40 45 50 

Resistência à compressão do concreto (MPa) 

Figura 12 - Resistência ao cisalhamento em função da resistência à compressão. 

4 EXEMPLOS NUMÉRICOS 

4.1 Exemplo numérico: aplicação do modelo de PAULAY & PRIESTLEY (1992) 

Neste exemplo, são dimensionados os estribos horizontais do nó indicado na 

figura 13, de modo que a viga possa atingir o momento último, dentro das hipóteses 

usuais assumidas no estado limite último e da norma brasileira NBR 6118:2003. As 

intensidades das solicitações procuraram simular uma situação real de edifício de 

múltiplos andares em pórtico de concreto armado, compatíveis com as dimensões e 

geometria dos elementos estruturais escolhidos. 

Dados do problema: 

Concreto: 

f ck 

= 30MPa ; 

coeficiente de minoração da resistência do concreto: γ = 1, c 

4 

Aço: 

barras longitudinais da viga e do pilar: 

estribos do nó: 

γ = 1,15 

s 

f yh 

= 500MPa 

Força normal no pilar: 360 N d 

= kN 

Altura entre pisos consecutivos: 300cm 

f y 

= 500MPa 

; 


150 


Figura 13 - Ligação viga-pilar de extremidade do exemplo numérico. 

f 

fck 

3,0 

= = 2,143 kN/cm 2 

γ 1,4 

cd 

= 

c 

f 

fy 

50 

= = 43,48 kN/cm 2 

γ 1,15 

yd 

= 

s 

Força cortante horizontal do nó 

A resultante de tração das barras principais da viga, assumindo que esta atinja a 

máxima capacidade à flexão, é igual a: 

T 

= A f = 8,00 × 43,48 347,8 kN 

v ,d st yd 

= 

Calcula-se o momento último na viga com as hipóteses usuais do estado limite último: 

M u , d 

= 

12070kN.cm 

Por equilíbrio, o momento fletor no pilar é igual a metade do momento último da viga: 

M u , d 

= 

6035kN.cm 



151 

A força cortante no pilar correspondente ao momento último da viga pode ser obtida 

pela razão entre a soma dos momentos de extremidade do pilar e a distância entre 

pisos consecutivos da estrutura. Logo: 

V , d 

V 

6035+ 

6035 

= 

40,2kN 

300 

= T − V = 347,8 − 40,2 307,6 kN 

p 

= 

jh ,d v,d p, d 

= 

Área de estribos horizontais no nó: 

Utilizando a expressão (11) do modelo de PAULAY & PRIESTLEY (1992), calcula-se a 

área de estribos 

C ⎛ ⎞ 

s,d 

0,8x 

p 

A = ⎜ − ⎟ 

sh 

1 

onde α = 0, 7 

fyh,d 

⎝ αhp 

⎠ 

Aplicando as equações de equilíbrio e de compatibilidade da seção da viga, obtém-se, 

para o momento último da viga: 

C , d 

s 

= 195,76 kN 

Utilizando a aproximação da expressão (12): 

⎛ 0,85 × 360 ⎞ 

x p 

= ⎜0,25 

+ 

⎟ × 30 = 14,64cm 

⎝ 600 × 3,0 /1,4 ⎠ 

195,76 ⎛ 0,8 × 14,64 ⎞ 

A 1 

= 1,99cm 

43,48 ⎝ 0,7 × 30 ⎠ 

2 

sh 

= ⎜ − ⎟ 

(2φ8mm) 

Os estribos calculados devem ser colocados entre a armadura tracionada da viga e a 

zona comprimida da mesma. 

A fim de evitar o esmagamento da biela diagonal do nó, PAULAY & 

PRIESTLEY (1992) sugerem que a tensão nominal de cisalhamento esteja limitada a 

0,25 vezes a resistência característica à compressão do concreto. Aplicando os 

coeficientes de minoração da resistência do concreto, a força cortante solicitante de 

cálculo deve atender a seguinte verificação 

V ≤ 0,25.f 

jh,d 

V , d 

cd 

. A 

3,0 

≤ 0,25 × × 

1,4 

j 

( 20 × 30) 321,4 kN 

jh 

= 

Como 

V , d 

jh 

= 307,6 kN , a verificação está atendida. 

4.2 Exemplo numérico: aplicação do modelo de HWANG & LEE (1999) 

Neste exemplo, determina-se a força cortante resistente com base no modelo 

de biela e tirante proposto por HWANG & LEE (1999) para nós externos. A geometria 

e os materiais são os mesmos do exemplo 4.1, variando-se apenas a área de estribos 

horizontais do nó. Os demais dados necessários estão contidos na tabela 2. 


152 


Tabela 2 - Dados relativos à geometria da ligação e aos materiais adotados 

Materiais Viga Pilar Nó 

f c = 30 MPa 

ε o = -0,002 

f yh = 500 MPa 

E s = 210.000 MPa 

b v = 20 cm 

h v = 40 cm 

h 1 = 34,0 cm 

b p = 20 cm 

h p = 30 cm 

h 2 = 22,8 cm 

N = 360 kN 

A b = 365 cm 2 

A j = 600 cm 2 

θ = 56,2° 

A área da biela A b foi calculada de acordo com a expressão (18), tomando-se, 

por facilidade, a profundidade da linha neutra da viga (x v ) como sendo à 

correspondente ao início de plastificação das barras longitudinais da viga. 

Procedendo-se ao cálculo da seção da viga, obtém-se que: 

x v 

= 10,87cm 

Logo: 

a = 

b 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 10,87 ⎞⎞ 

14,64 ⎟ 

⎝ ⎠⎠ 

2 

2 

( 10,87) + ( 14,64) sen⎜55,2 

+ arctg⎜ 

⎟⎟ 

= 18,23cm 

A = 18,23 × 20 = 

365cm 

2 

Vale ressaltar que os valores da resistência à compressão do concreto e da 

resistência ao escoamento do aço fornecidos ao modelo de biela e tirante foram 

minorados pelos coeficientes de ponderação da resistência de cada material. 

A tabela 3 contém os resultados fornecidos pelo modelo de HWANG & LEE 

(1999) para diferentes áreas de armadura transversal no nó. 

Tabela 3 - Resultados fornecidos pelo modelo de HWANG & LEE (1999) 

A sh V jh,d 

(kN) 

τ d 

(kN/cm 2 ) 

τ d / f cd D 

(kN) 

σ cd 

(kN/cm 2 ) 

F h 

(kN) 

σ sh,d 

(kN/cm 2 ) 

Sem estribos 252,6 0,421 0,196 453,6 1,243 0,000 0,000 

1φ8 (1,0 cm 2 ) 267,6 0,446 0,208 402,3 1,102 43,48 43,48 

2φ8 (2,0 cm 2 ) 282,6 0,471 0,220 351,2 0,962 87,00 43,48 

3φ8 (3,0 cm 2 ) 297,6 0,496 0,231 300,0 0,822 130,5 43,48 

4φ8 (4,0 cm 2 ) 312,6 0,521 0,243 248,8 0,682 174,0 43,48 

5φ8 (5,0 cm 2 ) 327,5 0,546 0,255 199,5 0,546 216,4 43,28 

6φ8 (6,0 cm 2 ) 338,8 0,565 0,264 206,3 0,565 223,9 37,31 

8φ8 (8,0 cm 2 ) 355,7 0,593 0,277 216,6 0,593 235,1 29,39 

A partir dos resultados da tabela 3, são feitas algumas análises e observações: 

• Para taxas de estribos pequenas, a resistência ao cisalhamento do nó é 

governada pelo escoamento dos estribos. Para taxas de estribos maiores, a 

resistência do nó acaba sendo governada pela resistência da biela comprimida, 

podendo os estribos trabalhar no regime elástico. 

• A resistência ao cisalhamento cresce linearmente com a área de estribos 

enquanto estes permanecem em regime de escoamento. Quando os estribos 

começam a trabalhar no regime elástico, observa-se um crescimento não-linear 

da resistência com a área de armadura transversal (figura 14). 



153 

370 

Força cortante resistente (kN) 

350 

330 

310 

290 

270 

250 

0 2 4 6 8 10 

Área de armadura transversal (cm2) 

Figura 14 - Resistência ao cisalhamento vs. Área de armadura transversal no nó – 

HWANG & LEE (1999). 

• A tensão normal na biela decresce linearmente com o aumento da área de 

estribos, enquanto estes ainda atingem o escoamento. Quando os estribos 

horizontais começam a trabalhar no regime elástico, a tensão normal da biela 

apresenta uma taxa de crescimento modesta, até que o nó não seja mais 

capaz de suportar o carregamento imposto (figura 15). 

Tensão na biela (kN/cm2) 

1,4 

1,2 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0 2 4 6 8 10 

Área de estribos (cm2) 

Figura 15 - Tensão de compressão na biela vs. Área de armadura transversal no nó – 

HWANG & LEE (1999). 

• Ao contrário do que propõem as principais normas de cálculo, a máxima tensão 

de cisalhamento associada ao esmagamento da biela diagonal também 

depende da taxa de armadura transversal e não somente da resistência à 

compressão do concreto. Na verdade, as taxas de armadura transversal 

prescritas por essas normas, em especial no caso de ações sísmicas, são 


154 


suficientes o bastante para assumir, com segurança, que a resistência ao nó 

de pórtico dependa apenas da resistência à compressão do concreto. 

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 

Neste trabalho, foram abordados alguns modelos de cálculo para a 

determinação da resistência de nós externos formados nas estruturas em pórtico de 

concreto armado. 

Em situação de projeto, recomenda-se que o nó de pórtico apresente uma 

capacidade resistente maior que a das vigas e a dos pilares. Em outras palavras, o nó 

de pórtico deve ser a região mais resistente da ligação viga-pilar. 

Conhecendo-se a resistência ao cisalhamento do nó de pórtico, avalia-se se tal 

região é a mais ou a menos resistente da ligação. Para isso, calcula-se o momento 

último da viga, determinando-se a resultante na armadura tracionada da viga e a força 

cortante no pilar. Com essas duas grandezas, calcula-se a força cortante solicitante no 

nó, a qual deve ser comparada com a resistência ao cisalhamento do mesmo. 

Com relação a determinação da força cortante resistente do nó, foram 

apresentados os modelos de PAULAY & PRIESTLEY (1992) e o modelo de HWANG & 

LEE (1999). Ambos baseiam-se nos conceitos dos modelos de biela e tirante. 

A determinação da força cortante resistente também pode ser feita por 

expressões recomendadas por normas de dimensionamento, devendo-se, entretanto, 

satisfazer os requisitos de detalhamento para a aplicação adequada dessas 

expressões. 

Com relação aos dois modelos teóricos abordados neste trabalho, as seguintes 

diferenças podem ser mencionadas: 

• Em situação de projeto, o modelo de PAULAY & PRIESTLEY é mais prático 

que o modelo de HWANG & LEE, pois com uma única expressão - que 

depende apenas da resultante de compressão da armadura da viga, da altura 

da zona comprimida do pilar e altura da seção do mesmo - é possível 

dimensionar ou verificar o nó de pórtico. O modelo de HWANG & LEE 

apresenta uma formulação mais sofisticada e utiliza um processo iterativo de 

resolução, sendo mais conveniente empregá-lo com o auxílio de computador. 

• O modelo de PAULAY & PRIESTLEY faz uso apenas de equações de 

equilíbrio de forças em sua formulação. O modelo de HWANG & LEE, além de 

utilizar equações de equilíbrio de forças, também faz uso de equações de 

compatibilidade de deformações e de leis constitutivas dos materiais, 

apresentando, em princípio, mais consistência em termos mecânicos. 

• Para as taxas de estribos não muito elevadas, o modelo de PAULAY & 

PRIESTLEY fornece uma resistência ao cisalhamento maior que o modelo de 

HWANG & LEE. 

• A determinação da resistência do nó empregando o modelo de PAULAY & 

PRIESTLEY depende das taxas de armaduras principais da viga e do emprego 

das equações de compatibilidade e equilíbrio na seção da mesma. Por sua 

vez, o modelo de HWANG & LEE não requer os valores das resultantes das 

armaduras longitudinais da viga, pois a área da seção da biela pode ser 

estimada apenas com o valor da força normal do pilar (expressões 16 e 17). 

• O modelo de PAULAY & PRIESTLEY não é aplicável aos casos em que não 

existe armadura negativa na viga. Este fato decorre em virtude da força 

cortante V sh resistida pelos estribos depender da resultante de compressão C s . 

O mesmo não ocorre com o modelo de HWANG & LEE. 



155 

• O modelo de PAULAY & PRIESTLEY também não é aplicável na ausência de 

estribos no nó. Neste caso, o modelo de HWANG & LEE deve ser utilizado, 

assumindo-se que a deformação ε h na expressão (38) seja igual à deformação 

das barras longitudinais de tração da viga. 


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(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

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mansory buildings. 2ed. New York: John Wiley & Sons. p.1-303. 


156

SÃ£o Carlos, v.7 n. 29 2005 - SET - USP

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