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São Carlos, v.9 n. 41 2007

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

Reitora: 

Profa. Dra. SUELY VILELA 

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Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO 

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 

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MARIA NADIR MINATEL 

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São Carlos, v.9 n. 41 2007

Departamento de Engenharia de Estruturas 

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site: http://www.set.eesc.usp.br

SUMÁRIO 

Métodos simplificados para a verificação de punção excêntrica 

Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 1 

Análise experimental de ligações duplo “T” com almas coplanares, 

perpendiculares e enrijecidas 

Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves 23 

Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas 

submetidos à ação de força centrada 

Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 47 

Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração 

da não-linearidade física – modelagem e metodologia de aplicação a projetos 

Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 77 

Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas 

por elementos unidimensionais com dois parafusos por nó 

André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr 109 

A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 

Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 129

ISSN 1809-5860 

MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO 

DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA 

Juliana Soares Lima 1 & Libânio Miranda Pinheiro 2 

Resumo 

Nas recomendações da NBR 6118:1978 relativas à punção, não eram previstos os 

casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados entre a laje e o pilar. 

Como a influência desses momentos pode ser bastante significativa para a análise da 

punção, algumas diretrizes foram incluídas na Revisão da NBR 6118, versão de 2000. 

Este trabalho apresenta um estudo dessas disposições sobre a chamada punção 

excêntrica, ressaltando-se algumas omissões quanto ao cálculo das tensões solicitantes 

na face do pilar e além da região armada para punção. São propostas 

complementações e métodos simplificados para a consideração dos efeitos dos 

momentos. Por fim, resolve-se um exemplo de cálculo, demonstrando os procedimentos 

apresentados e comparando-os com aqueles propostos pela Revisão da NBR 6118. 

Palavras-chave: lajes; punção; momentos desbalanceados; ligação laje-pilar. 

1 INTRODUÇÃO 

Quando um momento desbalanceado é transferido em uma ligação laje-pilar, 

parte se dá por flexão, parte por torção e parte por cisalhamento. Essa distribuição 

pode ser considerada por uma variedade de métodos e depende essencialmente das 

dimensões do pilar e da espessura da laje. 

Para a punção, em especial, interessa a parcela transferida por cisalhamento. 

Nas recomendações da NBR 6118:1978, relativas à punção, não eram previstos os 

casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados. Mas como a 

influência desses momentos pode ser bastante significativa, sua análise foi incluída na 

Revisão da NBR 6118 (2000). 

Em trabalho anterior, GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) apresentaram essas 

novas diretrizes da NBR 6118 (2000), resolvendo, inclusive, um exemplo de cálculo. 

Posteriormente, LIMA (2001) estudou mais detalhadamente esses procedimentos, 

identificando algumas omissões relacionadas ao cálculo das tensões solicitantes. 

Neste trabalho, são apresentadas algumas sugestões para contornar essas 

omissões, enfatizando-se a possibilidade de utilização de métodos simplificados. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jslima55@uol.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, libanio@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007

2 

Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 

2 PUNÇÃO EXCÊNTRICA SEGUNDO A REVISÃO DA NBR 6118 

O modelo empírico da NBR 6118 (2000) para a verificação da punção é 

baseado no método da superfície de controle, que consiste em comparar tensões de 

cisalhamento atuantes em superfícies consideradas críticas, com tensões resistentes 

do concreto. 

Essas superfícies críticas estão relacionadas às regiões com possibilidade de 

ruína por punção, localizadas entre a face do pilar e o início da armadura, dentro da 

região armada e além dela. 

Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser 

feitas: 

• verificação da compressão do concreto, no contorno C; 

• verificação da punção, no contorno C’. 

Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas: 

• verificação da compressão do concreto, no contorno C; 

• verificação da punção, no contorno C’; 

• verificação da punção, no contorno C”. 

Os contornos críticos C, C’ e C” encontram-se, respectivamente, na face do 

pilar, à distância 2d da face do pilar e à distância 2d da última linha de armadura de 

punção. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo 

com a posição do pilar na estrutura (Figura 1). 

Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 

C' 

C' 

C 

2d 

C" 

2d 

2d 

C" 

C 

2d 

C 

2d 

C' 

2d 

2d 

2d 

C" 

2d 

2d 

2d 

2d 

Figura 1 - Perímetros críticos. 


Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 

3 

O cálculo das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica foi 

apresentado por GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) e por LIMA (2001). Um resumo 

das expressões utilizadas encontra-se na Tabela 1. 

Vale lembrar que, no caso de pilares de canto, devem ser feitas verificações 

separadas para cada uma das direções, sendo estudadas duas situações de cálculo. 

Tabela 1 - Expressões para o cálculo das tensões solicitantes. 

Situação de Cálculo 

Tensão Solicitante 

Pilar interno 

com momento em uma direção 

Pilar interno 

com momentos nas duas direções 

Pilar de borda 

sem momento no plano paralelo à borda 

livre 

Pilar de borda 

com momento no plano paralelo à borda 

livre 

Pilar de canto 

τ 

τ 

τ 

τ 

τ 

Sd 

Sd 

Sd 

Sd 

Sd 

FSd 

K ⋅M 

= + 

u ⋅d 

W ⋅d 

p 

Sd 

FSd 

K1 

⋅M 

= + 

u ⋅d 

W ⋅d 

p1 

Sd1 

FSd 

K1 

⋅MSd 

= + 

u * ⋅d 

W ⋅d 

p1 

FSd 

K1 

⋅M 

= + 

u * ⋅d 

W ⋅d 

p1 

Sd 

FSd 

K1 

⋅MSd 

= + 

u * ⋅d 

W ⋅d 

p1 

K 2 ⋅M 

+ 

W ⋅d 

p2 

Sd2 

K 2 ⋅M 

+ 

W ⋅d 

p2 

Sd2 

Nas expressões da Tabela 1, têm-se: 

F Sd - força normal de cálculo; 

u - perímetro crítico do contorno considerado; 

u* - perímetro crítico reduzido do contorno considerado (Figura 2); 

d - altura útil da laje; 

K, K 1 e K 2 - coeficientes que fornecem a parcela de momento transferida por 

cisalhamento (Tabela 2), e que dependem da relação c 1 / c2 

entre as dimensões do 

pilar (Figura 3); para pilares de borda com momento no plano paralelo à borda livre, K 2 

depende da relação c 2 / 2c1; 

Tabela 2 - Valores do coeficiente K. 

c 1 /c 2 0,5 1 2 3 

K 0,45 0,60 0,70 0,80 

c 1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade ou na direção perpendicular à 

borda; 

c 2 - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade ou na direção da 

borda; 


4 


Borda livre 

da laje 

Perímetro crítico u 

2d 

2d 

c2 

c 1 

2d 

Borda livre 

da laje 

a ≤ 1,5d ou 0,5c 

c 1 

1 

2d 

2d 

c 2 

2d 

Perímetro crítico 

reduzido u* 

Bordas livres da laje 

c 

a ≤ 1,5d ou 0,5c 

2d 

2d 

2d 

Perímetro crítico u 

2d 

Perímetro crítico 

reduzido u* 

Figura 2 - Perímetros críticos reduzidos do contorno C’ para pilares de borda e de canto. 

M 

sd 

1 

c 

c 

2 

Figura 3 - Dimensões c 1 e c 2. 

M Sd , M Sd1 e M Sd2 - momentos desbalanceados de cálculo; para pilares de borda e de 

canto: 

M Sd2 - momento no plano paralelo à borda livre; 

M Sd - momento resultante de cálculo, dado pela expressão M = (M − M *) ≥ 0 ; 

M Sd1 - momento desbalanceado de cálculo, no plano perpendicular à borda livre; 

M Sd * - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em 

relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, M * = F ⋅e 

* ; 

e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (Figura 4), dada por 

u* 

u* 

∫ 

e * = 

∫ 

e ⋅dl dl 

. 

0 

0 

Sd 

Sd1 

Sd 

Sd 

Sd 

De acordo com esta definição, a NBR 6118 (2000) apresenta apenas as 

expressões da Tabela 3, correspondentes ao contorno crítico C’. Nenhuma indicação 

é feita para os contornos C e C”. 



5 

a ≤ 1,5d ou 0,5c 

1 

b 

a 

2d 

2d 

Borda livre da laje 

c 1 / 2 

e* 

2d 

2d 

c 1 

2 

Perímetro crítico reduzido u* 

c 

c1 

2d 

c2 e* 

2d 

a2 

2d 

a1 ≤ 1,5d ou 0,5c1 

a2 ≤ 1,5d ou 0,5c2 

a1 

2d 

Perímetro crítico reduzido u* 

Figura 4 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido do contorno C’, para pilares de borda e 

de canto. 

Tabela 3 - Valores de e* para o contorno C’. 


Excentricidade 

Pilares de borda 

Pilares de canto 

c1 

⋅a 

− a 

e* 

= 

c1 

⋅a 

e* 

= 

1 

2 

− a 

c1 

⋅c2 

+ + 2⋅c2 

⋅d 

+ 8⋅d 

2 

2⋅a 

+ c + 2⋅π⋅d 

2 

1 

+ a 

2 

2⋅ 

2 

⋅c 

+ 4⋅a 

1 

( a + a + π⋅d) 

1 

2 

2 

2 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ π⋅d⋅c 

2 

1 

+ π⋅d⋅c 

1 

Observa-se que, para pilares de borda e de canto, não é necessário utilizar o 

momento no plano perpendicular à borda livre com seu valor integral. A excentricidade 

do perímetro crítico provoca um momento M Sd * de sentido oposto ao de M Sd1 , podendo 

até anular o efeito deste. A favor da segurança, mesmo que M Sd * seja maior que M Sd1 , 

o que significaria “alívio” da tensão de cisalhamento atuante, esta situação não é 

considerada ( M − M * ≥ 0 ). 

Sd1 

a, a 1 e a 2 - menor valor entre 1, 5⋅d 

e 0,5⋅ c ; 

Sd 

W p , W p1 e W p2 - módulos de resistência plástica do perímetro crítico, nas direções 

paralelas aos momentos correspondentes, dados por W 

∫ 

e ⋅dl , onde dl é o 

comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro 

do pilar e em torno do qual atua M Sd . De acordo com essa definição, a NBR 6118 

p 

u 

= 

0 


6 


(2000) apresenta apenas as expressões da Tabela 4, relativas ao contorno crítico C’. 

Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C”. 

Tabela 4 - Valores de W p para o contorno C’. 


W p 

2 

c 

Pilares internos 1 

2 

Wp 

= + c1 

⋅c2 

+ 4⋅c2 

⋅d 

+ 16⋅d 

+ 2⋅π⋅d⋅c1 

2 

c 

Pilares de borda - W 1 c1 

⋅c2 

2 

p1 Wp1 

= + + 2⋅c2 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ π⋅d⋅c1 

2 2 

c 

Pilares de borda - W 2 

2 

p2 Wp2 

= + c1 

⋅c2 

+ 4⋅c1 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ π⋅d⋅c2 

4 

Pilares de canto 

W 

p1 

2 

2 

c1 

= 

4 

2 

c1 

⋅c 

+ 

2 

2 

+ 2⋅c 

2 

⋅d 

+ 4⋅d 

2 

π⋅d⋅c 

+ 

2 

1 

3 VALORES DE W p PARA OS CONTORNOS C E C” 

A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de W p para 

os contornos C e C” pode acarretar o uso de valores indevidos desse parâmetro para 

as verificações na face do pilar e além da região armada, não devendo persistir na 

versão definitiva da NBR 6118. 

No CEB MC-90 (1993), no qual a verificação de punção da NBR 6118 (2000) é 

baseada, não ocorre esse problema. Para o contorno C”, fica claro que deve ser 

calculado um W p ’ correspondente ao perímetro crítico u’, de forma análoga ao W p 

para o contorno u. Resolvendo-se a integral de definição, podem ser obtidas as 

expressões de W p ’ da Tabela 5, para cada situação de cálculo, sendo p a distância da 

face do pilar até a última linha de conectores. 

Para o contorno C, o CEB MC-90 (1993) apresenta a tensão solicitante em 

termos de uma força de compressão efetiva, F Sd,ef , que considera o efeitos dos 

momentos fletores. Rearrumando sua expressão para um formato similar ao da NBR 

6118 (2000), tem-se: 

τ 

Sd 

FSd 

K ⋅M 

= + 

u o ⋅d 

u o 

⋅ Wp 

u 

Sd 

⋅d 



7 

Tabela 5 - Valores de W p ’. 

Situação de Cálculo W p ’ 

Pilar interno (W p ’) 

Pilar de borda (W p1 ’) 

Pilar de borda (W p2 ’) 

Pilar de canto (W p1 ’) 

W 

W 

W 

W 

' 

p 

p1 

p2 

p1 

2 

c1 

= 

2 

2 

1 

c 

' = 

2 

2 

2 

c 

' = 

4 

2 

1 

c 

' = 

4 

+ c ⋅c 

1 

2 

c1 

⋅c 

+ 

2 

1 

2 

+ c ⋅c 

c1 

⋅c 

+ 

2 

+ 4⋅c 

2 

2 

2 

+ 2⋅c 

⋅d 

+ 16⋅d 

2 

1 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ 4⋅c 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ 2⋅c 

2 

2 

2 

2 

⋅d 

+ 4⋅d 

2 

+ 2⋅π⋅d 

⋅c 

+ π⋅d⋅c 

+ π⋅d⋅c 

1 

+ 2⋅c 

2 

+ 16⋅d 

⋅p 

+ 4⋅p 

1 

+ c 

2 

π⋅p⋅c 

+ 

2 

2 

π⋅d⋅c 

+ 

2 

1 

1 

⋅p 

+ 

2 

⋅p 

+ 8⋅d 

⋅p 

+ 

1 

π⋅p⋅c 

+ 

2 

+ 2⋅p 

2 

+ π⋅c 

⋅p 

+ 2⋅c 

⋅p 

+ 8⋅d 

⋅p 

+ 

+ c 

2 

π⋅p⋅c 

+ 

4 

1 

2 

+ 2⋅p 

⋅p 

+ 4⋅d 

⋅p 

+ 

+ p 

2 

1 

2 

Nota-se que o CEB MC-90 (1993), apesar de não fornecer expressão direta 

para o cálculo do W p no contorno C, utiliza uma redução do próprio W p do contorno C’ 

para o cálculo da tensão solicitante na face do pilar 3 . Pode-se escrever então: 

W 

po 

u o 

= ⋅ Wp 

(1) 

u 

Para pilares de borda e de canto, devem ser utilizados os perímetros críticos 

reduzidos: 

W 

po 

u o * 

= ⋅ W 

u * 

p 

(2) 

Mas assim como foi feita uma redução do W p para se calcular o W po , pode-se 

pensar numa majoração do W p para se obter o W p ’. Essa interpretação é bastante 

prática, pois permite que os valores de W p ’ sejam calculados de uma forma mais 

simples que aquela apresentada na Tabela 5. Assim sendo, pode-se escrever: 

u' 

Wp 

' = ηwp 

⋅ Wp 

(3) 

u 

Para pilares de borda e de canto: 

3 Deve-se ressaltar que essa redução do W p do contorno C’ não corresponde à aplicação da integral de 

definição ao perímetro crítico u o . 


8 


u'* 

Wp 

' = ηwp 

⋅ Wp 

(4) 

u * 

sendo η wp - coeficiente para correção do W p ’ em função da situação de cálculo. 

Para determinar os valores de η wp , foram utilizadas as expressões: 

W 

p 

' 

Wp 

η wp = 

u' 

para pilares internos; 

u 

W 

p 

' 

Wp 

η wp = u'* 

para pilares de borda e de canto. 

u * 

Foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondose 

W p ’ dado pela Tabela 5 e s e ≤ 2⋅d 

, sendo s e o espaçamento entre os conectores 

mais afastados do pilar. Variou-se a altura útil da laje entre 12 e 22 cm, a menor 

dimensão da seção do pilar entre 20 e 30 cm, a maior dimensão até cinco vezes a 

outra, e manteve-se a distância da última linha de armaduras à face do pilar em pelo 

menos 2d. Com base nesses dados e na análise estatística de LIMA (2001), observouse 

que podem ser adotados os valores de η wp apresentados na Tabela 6. Mas vale 

ressaltar que esses valores ainda podem ser melhorados, a partir de outras análises 

mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada. 

Tabela 6 - Valores de η wp . 

Situação de Cálculo c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2 

Pilar interno (W p ’) 1,6 1,3 

Pilar de borda (W p1 ’) 1,5 1,1 

Pilar de borda (W p2 ’) 1,3 1,3 

Pilar de canto (W p1 ’) 1,3 1,1 

Assim, tanto a redução quanto a majoração do W p , para a determinação de 

W po e W p ’, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 

6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das 

expressões completas de W p ’, apresentadas na Tabela 5. 

4 VALORES DE e* PARA OS CONTORNOS C E C” 

A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de e* para 

os contornos C e C”, assim como no caso do W p , também pode acarretar a escolha de 



9 

valores indevidos para as verificações na face do pilar e além da região armada, 

devendo ser solucionada na versão definitiva da NBR 6118. 

Uma primeira idéia seria aplicar a integral de definição de e* aos contornos C e 

C”. Com isso, são obtidas as expressões da Tabela 7, para pilares de borda, e da 

Tabela 8, para pilares de canto. 

Observa-se, entretanto, que o cálculo de e* segundo essas expressões pode 

se tornar um pouco trabalhoso. Fazendo-se uma analogia à solução apresentada para 

o Wp, pode-se propor que as excentricidades dos perímetros críticos reduzidos dos 

contornos C e C” sejam escritas da seguinte forma: 

sendo: 

u o * 

eo* 

= ηe1 

⋅ e * 

(5) 

u * 

u'* 

'* = η e ⋅ e * 

(6) 

u * 

e 2 

η e1 , η e2 - coeficientes para correção de e* em função do contorno estudado. 

Para a determinação de η e1 e η e2 , as seguintes expressões foram utilizadas: 

e 

o 

* 

η 

e * 

e 1 = 

e 

u * 

o 

u * 

η e 2 = 

e'* 

e * 

u'* 

u * 

Tabela 7 - Valores de e* para pilares de borda. 

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* 

C 

C” 

2 c1 

⋅c2 

c1 

⋅a 

−a 

+ 

e 

2 

o * = 

2⋅a 

+ c 

⎛ 

⎜c1 

⋅a 

− a 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

e '* = 

⎝ 

2 

2 

c1 

⋅c2 

2 

+ + 2⋅c2 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ π⋅d⋅c1 

+ 

2 

π⋅p⋅c1 

+ c2 

⋅p 

+ 8⋅d 

⋅p 

+ + 2⋅p 

2 

2⋅a 

+ c + 2⋅π⋅d 

+ π⋅p 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

Foram resolvidos diversos exemplos com as mesmas características citadas no 

item 3, supondo-se e o * e e’* calculados pela Tabela 7 e pela Tabela 8, e, novamente, 

s e ≤ 2 ⋅ d . Com base nesses dados e na análise estatística desenvolvida por LIMA 

(2001), observou-se que podem ser adotados os valores de η e1 e de η e2 apresentados 

na Tabela 9. Mas vale ressaltar que esses valores também podem ser melhorados, a 

partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e 

mais diversificada. 


10 


Tabela 8 - Valores de e* para pilares de canto. 

Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* 

C 

C” 

c 

e * = 

o 

1 

⋅ a 

⎛ 

⎜c1 

⋅a 

⎜ 

⎜ 

e '* = 

⎝ 

1 

− a 

2 ⋅ (a 

1 

− a 

2 

1 

1 

2 

1 

+ a 

+ a 

+ a 

2 

2 

2 

) 

⋅c 

⋅ c 

1 

1 

+ 4⋅a 

2 

⋅d 

+ 8⋅d 

+ π⋅d 

⋅c 

π⋅p⋅c 

+ 2⋅a 

2 ⋅p 

+ 8⋅d 

⋅p 

+ 

2 

⎛ 

π⋅p 

⎞ 

2⋅⎜a1 

+ a 2 + π⋅d 

+ ⎟ 

⎝ 

2 ⎠ 

2 

1 

1 

+ 2⋅p 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

Tabela 9 - Valores de η e1 e de η e2. . 

Coeficiente 

s 

c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2 

η e1 0,5 1,0 

η e2 1,0 0,8 

Assim, tanto a redução quanto a majoração do e*, para a determinação de e o * 

e e’*, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118. 

Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões 

completas, indicadas na Tabela 7 e na Tabela 8. 

5 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA A PUNÇÃO EXCÊNTRICA 

No item 2, foram apresentadas expressões para o cálculo das tensões 

solicitantes quando atuam momentos fletores desbalanceados, além da força normal. 

Essas expressões, entretanto, podem se tornar inconvenientes quando se desejar 

uma análise mais imediata do problema. 

Nesses casos, a utilização de um método mais simplificado para a verificação 

da punção excêntrica pode ser interessante. Uma alternativa é a adoção de um 

coeficiente majorador da tensão atuante causada pela força normal, que leve em 

consideração o efeito da excentricidade, como é permitido pela FIP (1999) e pelo EC-2 

(1999). Assim, 

sendo: 

F Sd 

τ Sd = β ⋅ 

(7) 

u ⋅ d 

β - coeficiente para a consideração do efeito da excentricidade. 

Pode-se imaginar que o valor de β sofre variações de acordo com a situação 

de cálculo e o contorno crítico estudados. De uma maneira geral, com base no cálculo 

de τ Sd pelo método mais rigoroso já apresentado, pode-se escrever: 



11 

• no contorno C’: 

FSd 

K 

+ 

u ⋅d 

β = 

1 

( M − F ⋅e* 

) 

Sd1 

W 

p1 

⋅d 

F 

Sd 

Sd 

u ⋅d 

• no contorno C: 

⋅ 

K 2 ⋅ M 

+ 

W ⋅d 

p2 

Sd2 

β = 

FSd 

K 

+ 

u ⋅d 

o 

1 

⋅ 

( M − F ⋅e 

*) 

Sd1 

W 

p1,o 

u 

F 

⋅d 

o 

Sd 

Sd 

⋅d 

o 

K 2 ⋅ MSd2 

+ 

W ⋅d 

p2,o 

• no contorno C”: 

FSd 

K 

+ 

u' ⋅d 

β = 

1 

⋅ 

( M − F ⋅e'* 

) 

Sd1 

W 

p1 

' ⋅d 

F 

Sd 

Sd 

u' ⋅d 

K 2 ⋅ M 

+ 

W ' ⋅d 

p2 

Sd2 

Para que os valores de β em cada contorno fossem obtidos a partir dessas 

expressões, foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, 

supondo-se s e ≤ 2 ⋅ d . As características desses exemplos foram as mesmas citadas 

no item 3, a menos da maior dimensão da seção do pilar, limitada a três vezes a outra. 

Com base nesses dados e na análise estatística feita por LIMA (2001), notou-se que 

podem ser adotados os valores de β da Tabela 10. Mas vale ressaltar, mais uma vez, 

que esses valores ainda podem ser melhorados a partir de outras análises mais 

refinadas, e que considerem, principalmente, uma variação maior do carregamento. 

Sugere-se, então, a introdução desse método simplificado para o cálculo de 

τ Sd , na versão definitiva da NBR 6118. 

Tabela 10 - Valores de β. 


c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2 

C C’ C” C C’ C” 

Pilar interno, com carregamento simétrico 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 

Pilar interno, com momento aplicado 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1 

Pilar de borda 1,5 1,3 1,2 1,7 1,4 1,1 

Pilar de canto 1,7 1,4 1,1 1,5 1,2 1,1 

6 EXEMPLO DE CÁLCULO 

Para exemplificar a utilização dos critérios para a verificação da punção, foram 

estudadas as regiões dos pilares P1, P5 e P6, indicados na Figura 5. Os arranjos das 

armaduras de punção encontram-se na Figura 6. Os esforços foram obtidos a partir da 


12 


resolução da placa por elementos finitos, utilizando o programa SAP 90. Adotaram-se 

os seguintes valores: 

f ck = 30 MPa , c = 2,0 cm e d = 14,75 cm 

30 

370 

P1 

(30/30) 

P2 

(40/30) 

P3 

(40/30) 

P4 

(30/30) 

30 

P5 

(40/30) 

P6 

(30/40) 

P7 

(30/40) 

P8 

(40/30) 

570 

h = 18 

30 

P9 

(40/30) 

P10 

(30/40) 

P11 

(30/40) 

P12 

(40/30) 

370 

30 

P13 

(30/30) 

P14 

(40/30) 

P15 

(40/30) 

P16 

(30/30) 

30 565 

40 560 40 565 30 

Figura 5 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) - LIMA (2001). 

10 cm 

10 cm 

10 cm 

7 cm 

7 cm 

10 cm 

10 cm 

10 cm 

28,32 cm 

7 cm 

10 cm 

10 cm 

10 cm 

so ≤ 0,5d = 7,375 ⇒ 7,0 cm 

sr ≤ 0,75d = 11,06 ⇒ 10 cm 

se ≤ 2d = 29,5 ⇒ 28,32 cm 

a = 15 cm 

so = 7 cm 

sr = 10 cm 

se = 28,32 cm 

= Armadura adicional 

a = 15 cm 

so = 7 cm 

sr = 10 cm 

se = 28,32 cm 

= Armadura adicional 

Figura 6 - Arranjo dos conectores tipo pino para os pilares estudados - LIMA (2001). 

6.1 Pilar P6 (pilar interno) 

F Sd = 1,4 ⋅329 

= 461kN 

M Sd1 

M Sd2 

= 1,4 ⋅1313 

= 1838 kN ⋅cm 

= 1,4 ⋅3002 

= 4203 kN ⋅ cm 



13 

u o = 140 cm , u = 325 cm e u ' = 558 cm 

K 1 = 0,525 e K 2 = 0, 633 

6.1.1 Contorno C 

Tensão solicitante (Tabela 1): 

Pela Tabela 4: 

2 

30 

2 

W p1 

= + 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75 

+ 16 ⋅14,75 

+ 2 ⋅ π ⋅14,75 

⋅ 30 = 10271cm 

2 

2 

40 

2 

W p2 

= + 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 16 ⋅14,75 

+ 2 ⋅ π ⋅14,75 

⋅ 40 = 10958 cm 

2 

Pela eq.(1): 

140 

W p1,o 

= ⋅10271 

= 4424 cm 

325 

140 

W p2,o 

= ⋅10958 

= 4720 cm 

325 

Assim, de acordo com a Tabela 1, obtém-se: 

2 

2 

461 0,525 ⋅1838 

0,633 ⋅ 4203 

τ Sd = + 

+ 

= 0,223 + 0,015 + 0,038 

140 ⋅14,75 

4424 ⋅14,75 

4720 ⋅14,75 

kN 

τ Sd = 0,276 = 2,76 MPa 

2 

cm 

Tensão solicitante (eq.7): 

Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim: 

τ 

461 

kN 

= 1,2 ⋅ = 0,268 

140 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

2,68 MPa 

2 

2 

Nota-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd conduziu a um bom 

resultado, apesar de sua grande simplificação. 

6.1.2 Contorno C’ 


461 0,525 ⋅1838 

0,633 ⋅ 4203 

τ Sd = + 

+ 

= 0,096 + 0,006 + 0,016 

325 ⋅14,75 

10271⋅14,75 

10958 ⋅14,75 

kN 

τ Sd = 0,118 = 1,18 MPa 

2 

cm 




14 


τ 

461 

kN 

= 1,2 ⋅ = 0,115 

325 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

1,15 MPa 

Observa-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd forneceu 

novamente um resultado próximo daquele obtido com a expressão da Tabela 1. 

6.1.3 Verificação do contorno C” 


Pela eq.(3), tomando-se η wp = 1, 6 para W p1’, e η wp = 1, 3 para W p2’, de acordo 

com a Tabela 6: 

558 

W p1' 

= 1,6 ⋅ ⋅10271 

= 28215 cm 

325 

558 

W p2 

' = 1,3 ⋅ ⋅10958 

= 24458 cm 

325 

2 

2 

Assim: 

461 0,525 ⋅1838 

0,633 ⋅ 4203 

τ Sd = + 

+ 

= 0,056 + 0,002 + 0,007 

558 ⋅14,75 

28215 ⋅14,75 

24458 ⋅14,75 

kN 

τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa 

2 

cm 

Calculando-se os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ a partir da expressão indicada na 

Tabela 5, tem-se: 

W 

W 

p1 

p2 

30 

' = 

2 

2 

40 

' = 

2 

2 

+ 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75 

+ 16 ⋅14,75 

+ 2 ⋅ 40 ⋅ 37 + 16 ⋅14,75 

⋅ 37 + 4 ⋅ 37 

+ 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 16 ⋅14,75 

+ 2 ⋅ 30 ⋅ 37 + 16 ⋅14,75 

⋅ 37 + 4 ⋅ 37 

2 

2 

+ 2 ⋅ π ⋅14,75 

⋅ 30 + 

2 

2 

+ π ⋅ 30 ⋅ 37 = 30926 cm 

+ 2 ⋅ π ⋅14,75 

⋅ 40 + 

+ π ⋅ 40 ⋅ 37 = 32036 cm 

2 

2 

E assim: 

461 0,525 ⋅1838 

0,633 ⋅ 4203 

τSd = + 

+ 

= 0,056 + 0,002 + 0,006 

558 ⋅14,75 

30926 ⋅14,75 

32036 ⋅14,75 

kN 

τ Sd = 0,064 = 0,64 MPa 

2 

cm 



τ 

461 

kN 

= 1,1 ⋅ = 0,062 

558 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

0,62 MPa 



15 

Observa-se que os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ obtidos pela eq.(3), apesar de 

conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, mas 

são muito mais facilmente calculados. 

O importante, entretanto, é que as tensões solicitantes obtidas nos dois casos 

são bastante parecidas. Acredita-se que a boa aproximação dos resultados justifica o 

uso do método simplificado, o mesmo ocorrendo para o cálculo de τ Sd pela eq.(7), que 

forneceu um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1. 

6.2 Pilar P5 (pilar de borda) 

F Sd = 1,4 ⋅178 

= 249 kN 

M Sd1 

M Sd2 

= 1,4 ⋅8536 

= 11950 kN ⋅ cm 

= 1,4 ⋅ 2049 = 2869 kN ⋅ cm 

M = M (perpendicular à borda livre) 

Sd1 

Sdx 

M Sd2 

= MSdy 

(paralelo à borda livre) 

c 1 = 40 cm (perpendicular à borda livre) 

c 2 = 30 cm (paralelo à borda livre) 

a = 20 cm 

u o * = 70 cm , u * = 163 cm e u '* = 279 cm 

K 1 = 0,633 e K 2 = 0, 45 




40 ⋅ 20 − 20 

e* = 

2 

40 ⋅ 30 

+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

2 

2 ⋅ 20 + 30 + 2 ⋅ π ⋅14,75 

2 

+ π ⋅14,75 

⋅ 40 

= 33,68 cm 

Pela eq.(5), tomando-se η 1, 0 , de acordo com a Tabela 9: 

70 

e o * = ⋅ 33,68 = 14,46 cm 

163 

e 1 = 

Logo, 

M 

M 

Sd 

Sd 

* = F 

Sd 

= (M 

⋅ e * = 249 ⋅14,46 

= 3600 kN ⋅ cm 

Sd1 

o 

− M 

Sd 

*) = (11950 − 3600) = 8350 kN ⋅cm 


2 

40 40 ⋅ 30 

2 

W p1 

= + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

+ π ⋅14,75 

⋅ 40 = 5879 cm 

2 2 

2 

30 

2 

W p2 

= + 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

+ π ⋅14,75 

⋅ 30 = 6916 cm 

4 

2 

2 

Pela eq.(1): 

70 

W p1,o 

= ⋅ 5879 = 2525 cm 

163 

2 


16 


70 

W p2,o 

= ⋅ 6916 = 2970 cm 

163 

2 

Assim, 

249 0,633 ⋅ 8350 0,45 ⋅ 2869 

τ Sd = + 

+ 

= 0,241 + 0,142 0,029 

70 ⋅14,75 

2525 ⋅14,75 

2970 ⋅14,75 

+ 

kN 

τ Sd = 0,412 = 4,12 MPa 

2 

cm 


Pela Tabela 10, β =1, 7 . Assim: 

τ 

249 kN 

= 1,7 ⋅ = 0,410 

70 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

4,10 MPa 

Considerando-se e o * calculado através da expressão da Tabela 7, tem-se: 

2 40 ⋅ 30 

40 ⋅ 20 − 20 + 

e * = 

2 

2 ⋅ 20 + 30 

o = 

14,29 cm 

Nota-se o valor obtido com a eq.(5) está bastante próximo deste, sendo, 

entretanto, muito mais facilmente calculado. O mesmo ocorre para o cálculo de τ Sd 

pela eq.(7), cujo resultado se aproxima bastante daquele obtido segundo a Tabela 1. 

6.2.2 Verificação do contorno C’ 


M 

M 

Sd 

Sd 

* = F 

Sd 

= (M 

⋅ e* = 249 ⋅ 33,68 = 8386 kN ⋅ cm 

Sd1 

− M 

Sd 

*) = (11950 −8386) 

= 3564 kN ⋅cm 

Assim: 

249 0,633 ⋅ 3564 0,45 ⋅ 2869 

τ Sd = + 

+ 

= 0,104 + 0,026 + 0,013 

163 ⋅14,75 

5879 ⋅14,75 

6916 ⋅14,75 

kN 

τ Sd = 0,143 = 1,43 MPa 

2 

cm 


Pela Tabela 10, β =1, 4 . Assim, 

τ 

249 kN 

= 1,4 ⋅ = 0,145 

163 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

1,45 MPa 

Observa-se que o cálculo de τ Sd pelo método simplificado conduziu novamente 

a um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1. 



17 

6.2.3 Verificação do contorno C” 



279 

e '* = 0,8 ⋅ ⋅ 33,68 = 46,12 

163 

Logo, 

M 

M 

Sd 

Sd 

* = F 

Sd 

= (M 

e 2 = 

cm 

⋅ e'* = 249 ⋅ 46,12 = 11484 kN ⋅ cm 

Sd1 

− M 

Sd 

*) = (11950 −11484) 

= 466 kN ⋅cm 

Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 1 para o W p1, e η wp = 1, 3 para o W p2, de 

acordo com a Tabela 6: 

279 

2 

W p1' 

= 1,1 ⋅ ⋅ 5879 = 11069 cm 

163 

279 

W p2 

' = 1,3 ⋅ ⋅ 6916 = 15389 cm 

163 

2 

Assim, 

249 0,633 ⋅ 466 0,45 ⋅ 2869 

τ Sd = + 

+ 

= 0,060 + 0,002 0,005 

279 ⋅14,75 

11069 ⋅14,75 

15389 ⋅14,75 

+ 

kN 

τ Sd = 0,067 = 0,67 MPa 

2 

cm 

Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 7, tem-se: 

⎛ 

2 40 ⋅ 30 

2 

⎜40 

⋅ 20 − 20 + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

+ 

⎜ 

2 

⎜ 

π ⋅ 37 ⋅ 40 

⎜ + π ⋅14,75 

⋅ 40 + 30 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75 

⋅ 37 + + 2 ⋅ 37 

2 

e'* = 

⎝ 

2 ⋅ 20 + 30 + 2 ⋅ π ⋅14,75 

+ π ⋅ 37 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

= 57,43 cm 

Logo: 

M 

Sd 

* = F 

Sd 

M sd = (M 

M sd = 0 

sd1 

⋅ e'* = 249 ⋅ 57,43 = 14300 kN ⋅ cm 

− M 

sd 

*) = (11950 −14300) 

= −2350 kN ⋅cm 

≤ 0 

Calculando-se W p1 ’ e W p2 ’ pelas expressões da Tabela 5, têm-se: 

W 

p1 

40 

' = 

2 

2 

40 ⋅ 30 

2 

+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

+ π ⋅14,75 

⋅ 40 + 

2 

π ⋅ 37 ⋅ 40 

+ 30 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75 

⋅ 37 + + 2 ⋅ 37 

2 

2 

= 16418 cm 

2 


18 


W 

p2 

30 

' = 

4 

2 

+ 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

π ⋅ 37 ⋅ 30 

+ 2 ⋅ 40 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75 

⋅ 37 + + 2 ⋅ 37 

2 

2 

+ π ⋅14,75 

⋅ 30 + 

2 

= 18723 cm 

2 

E assim, 

249 0,633 ⋅ 0 0,45 ⋅ 2869 

τ Sd = + 

+ 

= 0,060 + 0 0,005 

279 ⋅14,75 

16418 ⋅14,75 

18723 ⋅14,75 

+ 

kN 

τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa 

2 

cm 


Pela Tabela 10, β = 1, 1 . Assim, 

τ 

249 

kN 

= 1,1 ⋅ = 0,066 

279 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

0,66 MPa 

Observa-se que os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ obtidos pela eq.(4), apesar de 

conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, o 

mesmo ocorrendo para o e’* obtido pela eq.(6), em relação ao da Tabela 7. 

O mais importante, entretanto, é que novamente as tensões solicitantes 

calculadas para os dois casos são bastante parecidas, justificando, mais uma vez, o 

uso do método simplificado. E quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que o 

resultado obtido também ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da 

Tabela 1. 

6.3 Pilar P1 (pilar de canto) 

F Sd = 1,4 ⋅ 77 = 108 kN 

M Sdx 

M Sdy 

= 1,4 ⋅ 4344 = 6082 kN ⋅ cm 

= 1,4 ⋅1850 

= 2590 kN ⋅ cm 

a1 = a 2 = 15 cm 

u o * = 30 cm , u * = 76 cm e u '* = 134 cm 

K 1 = 0,6 

As duas situações de cálculo estão representadas na Figura 7. 

M Sd1 

= MSdx 

M Sd1 

= MSdy 

30 

30 

30 

30 

6082 

2590 

1 a situação 2 a situação 

Figura 7 - Situações de cálculo para o pilar P1. 



19 

Mas como o pilar é quadrado, c 1 = c2 

, e as excentricidades e os valores de K e 

de W p são iguais para as duas direções. O determinante da situação mais crítica é, 

portanto, apenas o valor do momento M sd , que é maior no primeiro caso. Se o pilar 

fosse retangular, seria necessário se calcular a tensão solicitante segundo as duas 

situações de cálculo, para então se descobrir a mais crítica. 



Pela 

Tabela 3: 

30 ⋅15 

−15 

e* = 

2 

+ 15 ⋅ 30 + 4 ⋅15 

⋅14,75 

+ 8 ⋅14,75 

2 ⋅ 

( 15 + 15 + π ⋅14,75) 

2 

+ π ⋅14,75 

⋅ 30 

= 30,72 cm 


e 1 = 

30 

e o * = 0,5 ⋅ ⋅ 30,72 = 6,06 cm 

76 

Logo: 

MSd 

* = F 

M = (M 

sd 

Sd 

sd1 

⋅ eo* 

= 108 ⋅ 6,06 = 655 kN ⋅ cm 

− M *) = (6082 − 655) = 5427 kN ⋅ cm 

sd 


2 

30 30 ⋅ 30 

2 π ⋅14,75 

⋅ 30 

W p1 

= + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 4 ⋅14,75 

+ 

= 3125 cm 

4 2 

2 

2 

Pela eq.(1): 

30 

W p1,o 

= ⋅ 3125 = 1234 cm 

76 

2 

Assim: 

τ 

108 0,6 ⋅5427 

kN 

= + 

= 0,244 + 0,179 = 0,423 

2 

30⋅14,75 

1234 ⋅14,75 

cm 

Sd = 

4,23 MPa 


2 

o = 

30 ⋅15 

− 15 + 15 ⋅ 30 

e * = 

2 ⋅ (15 + 15) 

11,25 cm 

Logo: 

M 

M 

Sd 

sd 

* = F 

= (M 

Sd 

sd1 

⋅ eo* 

= 108 ⋅11,25 

= 1215 kN ⋅ cm 

− M *) = (6082 −1215) 

= 4867 kN ⋅cm 

sd 


20 


E assim: 

τ 

108 0,6 ⋅ 4867 

kN 

= + 

= 0,244 + 0,160 = 0,404 

30 ⋅14,75 

1234 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

4,04 MPa 


Pela Tabela 10, β =1, 7 . Assim, 

τ 

108 kN 

= 1,7 ⋅ = 0,415 

30 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

4,15 MPa 

Mais uma vez percebe-se que, apesar do valor conservador de e o * obtido com 

o uso da eq.(5) não estar próximo daquele obtido a partir da Tabela 8, a diferença 

entre as tensões solicitantes calculadas nos dois casos é pequena. E quanto ao 

método simplificado para o cálculo de τ Sd , ele forneceu, novamente, um bom resultado 

em relação àqueles obtidos com a expressão da Tabela 1. 

6.3.2 Contorno C’ 


M 

M 

Sd 

sd 

* = F 

Sd 

= (M 

E assim, 

τ 

sd1 

⋅ e* = 108 ⋅ 30,72 = 3318 kN ⋅ cm 

− M 

sd 

*) = (6082 − 3318) = 2764 kN ⋅cm 

108 0,6 ⋅ 2764 

kN 

= + 

= 0,096 + 0,036 = 0,132 

76 ⋅14,75 

3125 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

1,32 MPa 


Pela Tabela 10, β =1, 4 . Assim: 

τ 

108 kN 

= 1,4 ⋅ = 0,135 

76 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

1,35 MPa 

Nota-se que o resultado da eq.(7) para τ Sd se aproxima bastante daquele 

obtido pela Tabela 1, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado. 

6.3.3 Contorno C” 



134 

e '* = ⋅ 30,72 = 54,16 cm 

76 

Logo: 

M 

M 

Sd 

sd 

* = F 

Sd 

= (M 

sd1 

e 2 = 

⋅ e'* = 108 ⋅ 54,16 = 5849 kN ⋅ cm 

− M 

sd 

*) = (6082 − 5849) = 233 kN ⋅cm 



21 

Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 3 , de acordo com a Tabela 6: 

134 

W p1 

' = 1,3 ⋅ ⋅ 3125 = 7163 cm 

76 

2 

Assim, 

τ 

108 0,6 ⋅ 233 

kN 

= + 

= 0,055 + 0,001 = 0,056 

134 ⋅14,75 

7163 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

0,56 MPa 


⎛ 

2 

2 

30 15 15 15 30 4 15 14,75 8 14,75 

⎞ 

⎜ 

⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + 

⎟ 

⎜ 

π ⋅ 37 ⋅ 30 2 ⎟ 

⎜ + π ⋅14,75 

⋅ 30 + 2 ⋅15 

⋅ 37 + 8 ⋅14,75 

⋅ 37 + + 2 ⋅ 37 ⎟ 

2 

e'* = 

⎝ 

⎠ 

= 54,47 cm 

⎛ 

π ⋅ 37 ⎞ 

2 ⋅ ⎜15 

+ 15 + π ⋅14,75 

+ ⎟ 

⎝ 

2 ⎠ 

Logo: 

M 

M 

Sd 

sd 

* = F 

Sd 

= (M 

⋅ e'* = 108 ⋅ 54,47 = 5883 kN ⋅ cm 

− M *) = (6082 − 5883) = 199 kN ⋅cm 

sd1 

sd 

Calculando-se W p1 ’ pela expressão da Tabela 5, tem-se: 

W 

p1 

30 

' = 

4 

E assim, 

τ 

2 

30 ⋅ 30 

2 π ⋅14,75 

⋅ 30 

+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75 

+ 4 ⋅14,75 

+ 

+ 

2 

2 

π ⋅ 37 ⋅ 30 2 

+ 30 ⋅ 37 + 4 ⋅14,75 

⋅ 37 + + 37 = 8659 cm 

4 

108 0,6 ⋅199 

kN 

= + 

= 0,055 + 0,001 = 0,056 

134 ⋅14,75 

8659 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

0,56 MPa 

2 


Pela Tabela 10, β = 1, 1 . Assim: 

τ 

108 

kN 

= 1,1 ⋅ = 0,060 

134 ⋅14,75 

2 

cm 

Sd = 

0,60 MPa 

Observa-se que valor do W p1 ’ obtido com a eq.(4), apesar de conservador, está 

novamente próximo daquele obtido a partir da expressão da Tabela 5, sendo muito 

mais facilmente calculado. O mesmo acontece com o valor de e’* obtido pela eq.(6), 

em relação àquele da Tabela 8. Desta vez, inclusive, nem se pode considerar 

diferenças entre os valores das tensões solicitantes calculadas nos dois casos. E 

quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que, mais uma vez, o resultado obtido 

ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1. 


22 


7 CONCLUSÕES 

Observou-se que a omissão da Revisão da NBR 6118 (2000) quanto ao cálculo 

do W p e do e* nos contornos C e C” poderia acarretar o uso de valores indevidos 

desses parâmetros para as verificações na face do pilar e a 2d da região armada. 

Sugeriu-se, então, um método simplificado para a determinação de W po , W p ’, e o * e e’*, 

a partir dos coeficientes η wp , η e1 e η e2 . 

Também se propôs um método simplificado para a obtenção das tensões 

solicitantes nos casos de punção excêntrica, através de um coeficiente majorador da 

tensão provocada pela força normal, chamado de β. A adoção desse coeficiente, 

apesar de conduzir a valores um pouco conservadores em alguns casos, facilita 

bastante avaliação dos efeitos da transferência de momentos desbalanceados. 

Apesar dos bons resultados obtidos, como demonstrado no exemplo do item 6, 

vale ressaltar que os valores dos coeficientes propostos ainda podem ser melhorados, 

através de análises que utilizem uma amostragem maior e mais diversificada que 

aquela adotada por LIMA (2001). 

8 AGRADECIMENTOS 

Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador. 

9 REFERÊNCIAS 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2000). Revisão da NBR 

6118 - Projeto de estruturas de concreto. 

COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. (1993). CEB-FIP model code 1990. 

London: Thomas Telford. 

COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. (1999). Eurocode 2 - Design of 

concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN. 

(1 st draft) 

FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE. (1999). Practical 

design of structural concrete. London: SETO. (FIP Recomendations). 

GUARDA, M. C. C.; LIMA, J. S.; PINHEIRO, L. M. (2000). Novas diretrizes para a 

análise da punção no projeto de lajes lisas. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE 

ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo. Anais... São Paulo: 2000. 1 CD-Rom. 

LIMA, J. S. (2001). Verificações da punção e da estabilidade global de edifícios de 

concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São 

Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade 

de São Paulo. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE EXPERIMENTAL DE LIGAÇÕES DUPLO 

“T” COM ALMAS COPLANARES, 

PERPENDICULARES E ENRIJECIDAS 

Yuri Ivan Maggi 1 & Roberto Martins Gonçalves 2 

Resumo 

Este trabalho apresenta e discute o comportamento de perfis “T” parafusados de 

acordo com os resultados obtidos durante o programa experimental desenvolvido como 

parte da Tese de Doutorado intitulada “Análise do Comportamento Estrutural de 

Ligações Parafusadas Viga-Pilar com Chapa de Topo Estendida” no programa de pósgraduação 

do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, 

USP. Três séries de ligações duplo “T”, com almas co-planares, perpendiculares e 

enrijecidas, totalizando 50 protótipos, foram testados à tração com o objetivo de 

simular possíveis configurações de vigas e pilares em ligações parafusadas com chapa 

de topo. Dentro de cada série, a espessura das mesas dos perfis “T” e o diâmetro dos 

parafusos foram variados, permitindo a obtenção de diferentes modos de colapso. Os 

deslocamentos e deformações nas mesas dos perfis “T” são apresentados e os 

resultados obtidos são analisados comparativamente entre os protótipos, discutindo-se 

os modos de falha, a influência da variação da geometria no comportamento dessas 

ligações, a interdependência do comportamento entre mesa e parafusos e o “efeito 

alavanca”, enfatizando-se os modelos analíticos adotados pelo Eurocode-3 e a 

utilização dos perfis “T” equivalentes no dimensionamento da chapa de topo à flexão. 

Palavras-chave: estruturas; aço; ligações; perfis “T”; análise experimental; Eurocode. 


O comportamento semi-rígido das ligações viga-pilar em estruturas metálicas 

– inicialmente introduzido nos procedimentos da AISC (1980) no início da década de 80 

e mais tarde na metodologia de dimensionamento do Eurocode-3 (1993) – tornou-se um 

aspecto de significativa importância na análise estrutural uma vez identificada sua 

influência no comportamento global das estruturas. 

Na busca de modelos capazes de representar as ligações com maior precisão 

quanto à rigidez e à resistência, inúmeros estudos têm sido realizados na tentativa de 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ymaggi@unicenp.edu.br 

2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 


24 

Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves 

incorporar o comportamento semi-rígido das ligações aos procedimentos de 

dimensionamento, estabelecendo-se as variáveis que o influenciam, sua 

interdependência e os estados limites últimos aplicáveis. No entanto, a natureza 

complexa das ligações parafusadas requer a aplicação de modelos avançados para sua 

representação, o que dificulta o desenvolvimento de metodologias que considerem 

modelos tridimensionais com todas as não-linearidades existentes. 

As ligações com chapa de topo, geralmente consideradas rígidas, podem ser 

utilizadas como exemplo para as considerações feitas acima já que podem apresentar os 

mais variados comportamentos rotacionais dependendo de parâmetros geométricos, 

como espessura da chapa de topo, diâmetro e posicionamento dos parafusos, entre 

outros, além do elevado grau de iteração dos diversos componentes que, geralmente, são 

tratados de forma isolada. Esse comportamento complexo é traduzido em modelos 

simplificados e, citando-se o dimensionamento da chapa de topo à flexão, o Eurocode-3 

(1993) propõe a utilização de perfis “T” equivalentes para os quais a determinação de 

resistência é mais simples. 

Atualmente, existem diversos métodos que podem ser utilizados no cálculo da 

resistência última de perfis “T” parafusados levando em consideração, principalmente, a 

identificação e quantificação dos esforços de alavanca. Segundo Swanson (1999), dentre 

os modelos existentes o proposto por Kulak et al. (1987) é o que provê melhores 

resultados quando comparado à resultados experimentais e, juntamente com o trabalho 

desenvolvido por Zoetemeijer & deBack (1972), foi aplicado aos modelos analíticos 

utilizados pelo Eurocode-3 (1993) para determinação dos modos de falha em perfis “T”. 

A metodologia proposta pelo Eurocode-3 (1993) para a modelagem e 

dimensionamento das ligações representa um marco de importante referência para os 

estudos desenvolvidos na última década com a introdução do “método das 

componentes”, extremamente didático e generalista. Com relação à flexão da chapa de 

topo e da mesa do pilar, especificamente, reproduz-se três possíveis modos de falha, 

esquematizados na figura 1, aplicáveis aos perfis “T” e relacionados ao comportamento 

conjunto entre chapa de topo e parafusos na região tracionada da ligação. A formulação 

analítica tem base em métodos de energia envolvendo a distribuição de tensões plásticas 

em torno dos parafusos, tanto na chapa de topo quanto na mesa do pilar, e a análise 

dessas linhas de escoamento leva à determinação do comprimento efetivo de um perfil 

“T” que representa a resistência de cada linha de parafusos, ou de um grupo de linhas, 

considerando: 

i. Modo 1 - Plastificação da mesa do perfil “T” na região dos parafusos; 

ii. Modo 2 - Colapso dos parafusos com plastificação da intersecção 

mesa/alma; e 

iii. Modo 3 - Colapso dos parafusos. 

Figura 1 - Modos de falha de perfis “T” parafusados. 


Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 

25 

A analogia proposta entre o comportamento dos perfis “T” e das chapas de 

topo sob flexão merece atenção por reproduzir, qualitativamente, os mecanismos 

envolvidos na região tracionada de ligações parafusadas com chapa de topo. No entanto, 

cabe ressaltar que se trata de uma simplificação para um comportamento altamente 

complexo, principalmente à medida que o comportamento da chapa de topo à flexão e a 

resposta dos parafusos à tração tornam-se interdependentes, passando do modo de falha 

3 para o modo 2 e 1 com significativo aumento do “efeito alavanca” o que, segundo 

Bursi & Jaspart (1998), demonstra a necessidade de refinamentos dos modelos 

analíticos, principalmente para ligações com chapas mais finas. 

Desta forma, este trabalho apresenta parte de um programa experimental 

desenvolvido com perfis “T” parafusados, comumente denominados de T-stubs, com o 

objetivo de gerar observações paramétricas sobre o comportamento dessas ligações, 

relacionando-as às ligações com chapa de topo. Assim, apresentam-se resultados 

referentes ao comportamento força-deslocamento, discutindo-se a influência da variação 

da espessura das mesas dos perfis “T”, do diâmetro dos parafusos, da posição relativa 

entre as almas dos perfis conectados e a presença ou não de enrijecedores, além das 

variações dos modos de falha. 

2 PROGRAMA EXPERIMENTAL 

Com relação à metodologia geral adotada no estudo experimental é 

importante ressaltar que o objetivo dessa série de ensaios não é a de caracterizar o perfil 

“T” como um componente isolado, mas sim de observar seu comportamento como parte 

de uma ligação, simulando a flexibilidade da chapa de topo conectada à mesa do pilar 

pelos parafusos. Por esse motivo os protótipos foram testados unindo-se os perfis “T” 

aos pares. A figura 2 apresenta, esquematicamente, uma ligação duplo “T”. 

Figura 2 - Tipologia usual da ligação duplo “T”. 

Ao todo foram realizados 50 ensaios com 25 configurações diferentes de 

ligação, testadas aos pares e divididas em três grupos. O primeiro grupo, denominado de 

TSC, é formado por perfis “T” com almas coplanares, sem enrijecimento, simulando a 

região da chapa de topo na altura da mesa tracionada da viga, com variações de 

geometria a fim de se obter diferentes modos de falha. 


26 


O segundo grupo, denominado de TSI, é formado por perfis “T” dispostos 

com as almas perpendiculares para simular o posicionamento da mesa da viga com 

relação à alma do pilar nas ligações com chapa de topo. O terceiro e último grupo, 

denominado de TSIE, utiliza a mesma formação do grupo TSC, com a inclusão de 

enrijecimento em um dos lados no plano perpendicular à alma. Ambos têm como 

objetivo fornecer dados para análises comparativas com o grupo TSC. A geometria dos 

protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE podem ser visualizadas na figura 3 e as 

configurações para cada grupo, respectivamente, nas tabelas 1, 2 e 3. 

A 

A 

168 

76 

76 

16 

38 

38 

38 38 

16 

TSC 

35 

155 

85 

35 

Furos (variáveis) 

400 

tch 

tch 

400 

38 

38 

168 

76 76 

16 

200 

300 

B 

100 

300 

t1 

t2 

38 

38 38 38 

16 

A 

300 

TSI 

19 

12,5 

35 

130 

Corte A 

155 

85 

35 

38 

16 

38 

12,5 

Furos (variáveis) 

38 

B 

A 

130 

92 

38 

168 

57 

16 

19 

57 

19 

100 

38 

38 38 38 

16 

TSIE 

19 

12,5 

130 

Corte B 

38 38 

16 

12,5 

400 

t1 

t2 

400 

Figura 3 - Geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE 

Dimensões em mm – t ch , t 1 e t 2 variáveis. 

Tabela 1 - Configurações do grupo TSC (dimensões em mm). 

Protótipo d b d Furo t ch quant. 

TSC1 12,5 14,0 12,5 2 

TSC2 12,5 14,0 16,0 2 

TSC3 12,5 14,0 19,0 2 

TSC4 16,0 18,0 12,5 2 

TSC5 16,0 18,0 16,0 2 

TSC6 16,0 18,0 19,0 2 

TSC7 16,0 18,0 22,4 2 

TSC8 19,0 21,0 16,0 2 

TSC9 19,0 21,0 19,0 2 

TSC10 19,0 21,0 22,4 2 

TSC11 19,0 21,0 25,0 2 



27 

Tabela 2 - Configurações do grupo TSI (dimensões em mm). 

Protótipo d b d Furo 

t 1 t 2 

quant. 

TSI1 16,0 18,0 12,5 19,0 2 

TSI2 16,0 18,0 16,0 19,0 2 

TSI3 16,0 18,0 19,0 19,0 2 

TSI4 16,0 18,0 22,4 19,0 2 

TSI5 19,0 21,0 16,0 22,4 2 

TSI6 19,0 21,0 19,0 22,4 2 

TSI7 19,0 21,0 22,4 22,4 2 

TSI8 19,0 21,0 25,0 22,4 2 

t ch 

Tabela 3 - Configurações do grupo TSIE (dimensões em mm). 

Protótipo d b d Furo 

t 1 t 2 

quant. 

TSIE1 16,0 18,0 16,0 16,0 2 

TSIE2 16,0 18,0 16,0 19,0 2 

TSIE3 19,0 21,0 16,0 22,4 2 

TSIE4 19,0 21,0 19,0 19,0 2 

TSIE5 19,0 21,0 19,0 22,4 2 

TSIE6 19,0 21,0 19,0 25,0 2 

t ch 

Chapas de aço ASTM-A36 foram utilizadas na confecção dos perfis “T”, 

conectados com parafusos de alta resistência ASTM-A325. Forças iniciais de protensão 

foram aplicadas nos parafusos de todos os modelos com o auxílio de torquímetros, 

segundo as recomendações da NBR-8800 (1986). 

Para a análise do comportamento das ligações ensaiadas, dois grupos de 

dados foram observados: as deformações das mesas dos perfis “T” em torno dos 

parafusos e as aberturas relativas em uma das bordas e na região central. Para a 

definição da distribuição dos extensômetros, inicialmente, foi realizado um ensaio 

piloto utilizando um protótipo da série TSC, com mesa de 16.0 mm de espessura e 

parafusos de 16.0 mm (TSC5), também utilizado para a verificação da simetria dos 

protótipos, da metodologia de fixação e protensão dos parafusos e da velocidade de 

ensaio. Extensômetros também foram utilizados nos parafusos para a verificação da 

protensão e calibração do torquímetro. Um esquema da instrumentação é apresentado na 

figura 4. 

De maneira geral, o comportamento do protótipo durante o ensaio foi o 

esperado, havendo uma abertura visível das mesas na intersecção mesa-alma. Com os 

dados coletados nas rosetas observou-se uma assimetria no protótipo, conseqüência da 

falta de alinhamento entre a mesa e a alma, o que ocorreu sistematicamente para todos 

os protótipos. No entanto, foi possível detectar padrões de deformação para as mesas, 

decidindo-se por concentrar extensômetros nas proximidades de um dos furos do lado 1, 

considerados suficientes para coletar dados de plastificação nessa região. 


28 


Figura 4 - Esquema da instrumentação do ensaio piloto. 

Como as solicitações máximas ocorreram nas proximidades da 

intersecção mesa-alma, dois extensômetros foram utilizados na posição das rosetas 2 e 

4, na direção perpendicular à alma. Adicionalmente, foram utilizados 4 transdutores de 

deslocamento, posicionados simetricamente em relação ao lado 1 e 2, para a obtenção 

do deslocamento relativo entre as mesas. A figura 5 apresenta um detalhe da 

instrumentação final em um protótipo da série TSC. 

Figura 5 - Visão geral da instrumentação e detalhes do posicionamento dos transdutores. 

3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 

3.1 Grupo TSC – almas coplanares 

Observando-se, inicialmente, a variação da espessura da mesa dos perfis “T”, 

a figura 6 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos TSC1, TSC2 e 

TSC3, com parafusos de 12,5 mm. A rigidez dos protótipos, por meio das curvas forçadeslocamento, 

será utilizada como indicativo do comportamento global dessas ligações 

e também de suas variações. 

Para o subgrupo dos protótipos TSC1 à TSC3 observa-se pouca variação da 

rigidez inicial, conseqüência da protensão dos parafusos. O protótipo TSC1, com mesa 

de 12,5 mm de espessura, é mais dúctil e apresenta maior contribuição da mesa na 



29 

deformabilidade da ligação. Com o aumento da espessura da mesa, os parafusos têm sua 

capacidade de deformação maximizada, havendo limitações para a deformabilidade do 

protótipo TSC3. 

Esse comportamento pode ser associado a dois fatores: o primeiro, com 

relação à solicitação dos parafusos, tem razão direta na diminuição do efeito alavanca 

uma vez que a mesa tem menor deformabilidade à flexão, aumentando a capacidade 

resistente dos protótipos TSC2 e TSC3; o segundo indica a grande dependência do 

comportamento da ligação à rigidez relativa entre a mesa e os parafusos, uma vez que a 

mesa do protótipo TSC3, de 19,0 mm, permite que os parafusos sejam solicitados 

preferencialmente à tração, com uma queda acentuada de resistência antes do colapso 

devida à plastificação mais uniforme da seção líquida dos parafusos. 

700 

600 

500 

TSC1 (tch=12,5 mm) 



Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 

Deslocamento (mm) 

Figura 6 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com 

parafusos de 12,5 mm. 

Na figura 6 representa-se o deslocamento total da ligação duplo “T”, 

incluindo-se as deformações da alma. Neste caso, representa-se o deslocamento do 

atuador hidráulico que foi utilizado como referência para as relações forçadeslocamento 

de todos os protótipos desta série. 

As figuras 7(a) e 7(b) apresentam, respectivamente, as deformações dos 

protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso, percebendo-se claramente a mudança de 

configuração das mesas com o aumento da espessura. 

Apesar de haver uma indicação visível do desaparecimento do “efeito 

alavanca” nos parafusos, a ductilidade do protótipo TSC3 é diminuída sensivelmente, 

reafirmando a rigidez elevada à flexão da mesa de 19,0 mm com relação à rigidez axial 

dos parafusos de 12,5 mm, que seguem o comportamento observado nos diagramas 

força-deslocamento da caracterização dos parafusos com solicitações predominantes de 

tração. 


30 


(a) TSC1 

(b) TSC3 

Figura 7 - Deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso. 

Dessa forma, é possível caracterizar o modo de falha 3, representando a 

ruptura dos parafusos como estado limite último, visível no protótipo TSC3. 

Convém ressaltar que todos os protótipos do programa experimental foram 

ensaiados até o colapso dos parafusos, mesmo para as ligações em que a mesa 

apresentou deformações elevadas, para as quais caracteriza-se o modo de falha 1. 

Devido às condições do ensaio e às imperfeições dos protótipos, não se observou a 

ruptura conjunta de todos os parafusos, caracterizando-se como colapso a ruptura de um 

ou mais parafusos tracionados na ligação. 

Dentro do sub-grupo com parafusos de 16,0 mm, as curvas forçadeslocamento 

dos protótipos TSC4, TSC5, TSC6 e TSC7 estão mostradas na figura 8. 

Chama-se a atenção para o fato de que os resultados dentro desse sub-grupo, 

considerando os protótipos de cada par, não são tão uniformes quanto os observados 

para o primeiro sub-grupo, com parafusos de 12,5 mm. 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 





0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 






31 

Analisando-se as curvas na figura 8 é possível se observar um pequeno 

escorregamento nos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6, causado pelas imperfeições de 

montagem comentadas no capítulo anterior. 

Como grande parte dos protótipos apresentou falta de alinhamento entre as 

almas e também falta de perpendicularidade entre mesa e alma, observou-se a 

ocorrência de solicitações de flexão nas mesas no momento da fixação no atuador. 

Neste caso, surgiram forças adicionais, paralelas às mesas, que devem ter provocado o 

escorregamento à medida que a força de protensão inicial nos parafusos era superada. 

Para o protótipo TSC7 não se observou esse escorregamento. No entanto, o 

primeiro protótipo do par não foi solicitado até a ruptura dos parafusos pois, antes disso, 

houve o esmagamento e deslizamento da rosca, conseqüência de se ter utilizado um 

parafuso com pequeno comprimento de rosca. 

Com relação à rigidez deste sub-grupo, comportamento semelhante aos 

observados entre os protótipos TSC2 e TSC3 ocorre entre os protótipos TSC4 e TSC5. 

Para os protótipos TSC6 e TSC7, o “efeito alavanca” é menor permitindo que os 

parafusos sejam solicitados predominantemente à tração, com aumento da capacidade 

de deformação. 

Para referenciar os modos de falha previstos para os protótipos descritos 

acima, na tabela 4 apresentam-se os valores da capacidade resistente à tração (T) e a 

quantificação das forças de alavanca (Q) das ligações duplo “T” calculados segundo o 

Eurocode 3 (1993) para cada parafuso. 

Tabela 4 - Capacidade resistente, forças de alavanca e modos de falha do grupo TSC 

calculados segundo o Eurocode 3 (1993). 

Protótipo T (kN) Q (kN) Modo de falha 

TSC1 56,73 19,21 2 

TSC2 68,65 7,28 2 

TSC3 75,93 - 3 

TSC4 65,43 26,17 1 

TSC5 95,58 28,82 2 

TSC6 106,44 17,96 2 

TSC7 119,16 5,25 2 

Analisando-se mais detalhadamente a resposta deste sub-grupo, o protótipo 

TSC4, assim como o protótipo TSC1 do sub-grupo anterior, tem na mesa a maior fonte 

de deformabilidade para a ligação. De fato, o estado limite último do protótipo TSC1 é 

previsto para o modo de falha 2, enquanto o protótipo TSC4 apresenta o modo de falha 

1. 

A variação do modo de falha e a variação da deformabilidade dos parafusos e 

da mesa dos perfis “T” pode ser visualizada na figura 9, que ilustra as deformações nas 

mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6. 


32 


(a) TSC4 (b) TSC5 (c) TSC6 

Figura 9 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5 

e TSC6 após o colapso. 

Com os gráficos das figuras 6 e 8 e os valores apresentados na tabela 4, as 

seguintes observações podem ser feitas com base na resistência e na deformabilidade 

dos protótipos. 

i. Os limites de resistência para os perfis “T” são função da capacidade 

resistente dos parafusos e do “efeito alavanca”, ou seja, do tipo de 

solicitação a que estão sujeitos os parafusos. Quanto maior o diâmetro dos 

parafusos e maior a espessura da mesa, maior a capacidade resistente à 

tração da ligação duplo “T”; 

ii. Os limites de deformação axial também são função do “efeito alavanca”, 

mas são influenciados, principalmente, pela relação entre a 

deformabilidade dos parafusos e a deformabilidade da mesa dos perfis 

“T”. Assim, quando a ligação passa do modo de falha 1 para o modo de 

falha 2, há uma diminuição da deformabilidade, observada entre os 

protótipos TSC4 e TSC5. No entanto, entre o modo de falha 2 e o modo 

de falha 3, duas situações distintas podem ocorrer: na primeira, quando a 

deformação à flexão da mesa é muito inferior à deformação axial dos 

parafusos, há uma queda contínua na ductilidade dos protótipos; na 

segunda, havendo uma relação mais equilibrada entre mesa e parafusos há 

também um ganho de ductilidade, devido à deformabilidade da mesa. 

Essas observações, apesar de qualitativas, indicam a existência de uma 

relação ótima entre espessura de mesa e diâmetro de parafusos para a maximização da 

deformabilidade e manutenção de requisitos mínimos de resistência. 

Outra observação interessante pode ser feita com as figuras 10 e 11 que 

indicam, respectivamente, as forças de tração (T) e a “força de alavanca” (Q) por 

parafuso, calculados segundo o Eurocode 3 (1993) e obtidas experimentalmente. Para os 

protótipos, a força de tração (T) é calculada dividindo-se a força máxima no ensaio pelo 

número de parafusos da ligação – neste caso, 4. As forças de alavanca são obtidas pela 

diferença entre a força de tração aplicada por parafuso e a força que o parafuso 

suportaria sob tração simples, ou seja, sem efeitos de alavanca. 



33 

150.0 

Força de tração por parafuso (kN) 

135.0 Eurocode 3 

120.0 Experimental 

105.0 

90.0 

75.0 

60.0 

45.0 

30.0 

15.0 

0.0 

TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7 

Protótipos 

Figura 10 - Forças de tração nos parafusos dos protótipos TSC. 

Força de alavanca por parafuso (kN) 

80.0 

70.0 Eurocode 3 

60.0 Experimental 

50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

0.0 

TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7 

Protótipos 

Figura 11 - Forças de alavanca nos parafusos dos protótipos TSC. 

Os resultados experimentais, nos gráficos acima, seguem um padrão bem 

definido para a capacidade resistente e para as forças de alavanca nos parafusos. Esse 

padrão refere-se a um aumento da resistência à medida que se aumenta a espessura da 

mesa dos perfis “T” e o diâmetro dos parafusos e uma diminuição quase proporcional 

das forças de alavanca com o aumento da espessura da mesa, dentro de um sub-grupo de 

parafusos. 

Neste caso, reforça-se a idéia de que a resistência dos protótipos e o “efeito 

alavanca” depende significativamente da interação entre parafusos e mesa dos perfis 

“T” como contribuintes na deformabilidade da ligação duplo “T”. 


34 


Os resultados analíticos, por sua vez, mostram valores desproporcionais com 

relação às forças de alavanca e, em geral, conservadores com relação à resistência dos 

perfis “T”. 

Tratando-se de modelos analíticos de dimensionamento, o fato de serem 

conservadores é um ponto positivo ao desconsiderarem imperfeições, tensões residuais 

e diferenças na resistência dos materiais utilizados, ressaltando-se que os valores 

analíticos e experimentais se aproximam na medida em que a ligação se aproxima do 

modo de falha 3. Por outro lado, reforça-se a complexidade de se tratar analiticamente 

os mecanismos de transferência de esforços e o “efeito alavanca”. 

Especificamente para o protótipo TSC4, a previsão da capacidade resistente 

pelo Eurocode 3 (1993) é significativamente menor que a resistência observada 

experimentalmente, o que indica uma previsão incorreta do modo de falha. 

Para complementar a observação dos modos de falha, a figura 12 ilustra, para 

os protótipos TSC4-1 e TSC5-2, as deformações nos extensômetros 1 e 2, posicionados 

perpendicularmente à alma nas mesas de um dos lados dos protótipos conforme 

indicado na figura. 

Para o protótipo TSC5-2, a deformação é significativamente maior no centro 

com relação à extremidade lateral, indicando a flexão nos dois planos da mesa para esse 

protótipo e uma tendência de plastificação dos furos para o centro e para a lateral, 

característica do modo de falha 2. 

Como o deslocamento axial do protótipo TSC5-2 é menor que a do protótipo 

TSC4-1 e as deformações no protótipo TSC4-1 são menores que as do TSC5-2, até 

com uma maior uniformidade, percebe-se uma modificação na plastificação da mesa, 

cuja flexão é acentuada na direção perpendicular à alma. 

700 

600 

500 

t ch = 12,5 mm 

t ch = 16,0 mm 

Ext(1) - TSC4-1 

Ext(2) - TSC4-1 

Ext(1) - TSC5-2 

Ext(2) - TSC5-2 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

0 

-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0 

Deformação (x10 3 ) 

Figura 12 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4 e TSC5. 

O protótipo TSC4-2 foi pintado com uma mistura de água e cal e, na figura 

13, é possível visualizar a formação de uma linha de plastificação entre os furos, 



35 

paralela à alma do perfil “T”, além de um detalhe da ruptura de um parafuso por 

solicitações de tração combinadas com flexão. 

Figura 13 - Linhas de plastificação na mesa do protótipo TSC4-2 e detalhe da ruptura do 

parafuso. 

As deformações para os protótipos TSC6 e TSC7 nas mesmas posições da 

mesa (figura 12) estão mostradas na figura 14. 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

t ch = 19,0 mm 

Ext(1) - TSC6-2 

Ext(2) - TSC6-2 

100 

t ch = 22,4 mm 

Ext(1) - TSC7-2 

Ext(2) - TSC7-2 

0 

-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0 


Figura 14 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC6 e TSC7. 

Para os protótipos TSC6 e TSC7, a flexão na mesa também é 

pronunciadamente maior na direção perpendicular à alma devido ao aumento da 

espessura da mesa. Neste caso, as deformações voltam a ser uniformes no centro e na 

lateral, havendo uma diminuição da flexão na mesa do protótipo TSC7, característica do 

modo de falha 3. 

No sub-grupo com parafusos de 19,0 mm não foi possível solicitar todos os 

modelos até o colapso devido à plastificação da alma dos perfis “T”, com exceção do 


36 


protótipo TSC8 no qual houve a ruptura dos parafusos, evidenciando a existência de 

forças de alavanca acentuadas neste protótipo, com mesa de 16,0 mm de espessura. 

Quanto à rigidez inicial, pequenas variações foram observadas neste subgrupo. 

Como o torquímetro utilizado na protensão dos parafusos de 19,0 mm possuía 

apenas controle visual do torque, por relógio graduado, pequenas variações da força de 

protensão podem ter ocorrido, influenciando o trecho inicial das curvas forçadeslocamento, 

apresentadas na figura 15 para os protótipos TSC8, TSC9, TSC10 e 

TSC11. 

Com o escoamento da alma, há uma limitação de resistência para os 

protótipos TSC9, TSC10 e TSC11, com um aumento significativo da deformabilidade 

devido ao patamar de escoamento do material da alma. Com o encruamento da alma, 

poderia se esperar um novo acréscimo de resistência e, possivelmente, a ruptura dos 

parafusos, mas os ensaios foram interrompidos uma vez que a plastificação da alma já 

caracteriza um estado limite último. Novamente, observam-se escorregamentos nos 

protótipos TSC8 e TSC9. 

Mantendo-se a espessura da mesa constante e variando-se o diâmetro dos 

parafusos, tem-se como padrão um aumento de resistência e de ductilidade em 

diferentes proporções, como pode ser observado na figura 16 para os protótipos TSC1 e 

TSC4, com mesa de 12,5 mm e parafusos de 12,5 e 16,0 mm, respectivamente, e na 

figura 17 para os protótipos TSC2, TSC5 e TSC8, com mesa de 16,0 mm e parafusos 

de 12,5, 16,0 e 19,0 mm, respectivamente. 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 





0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 




Para os protótipos com mesa de 12,5 mm, há um aumento proporcional entre 

resistência e ductilidade. Para os protótipos com mesa de 16,0 mm, no entanto, a 

proporção entre as curvas é observada apenas para o aumento de resistência e para a 

ductilidade entre os protótipos TSC5 e TSC8. A variação da ductilidade do protótipo 

TSC2 para o TSC5 é mínima, destacando-se que, no caso do protótipo TSC2, a 



37 

deformabilidade à flexão da mesa é maior com relação à deformabilidade axial dos 

parafusos. 

700 

600 

500 

TSC1-1 (db=12,5 mm) 

TSC4-1 (db=16,0 mm) 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 



mesa de 12,5 mm de espessura – variação dos parafusos. 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

TSC2-1 (db=12,5 mm) 

TSC5-2 (db=16,0 mm) 

TSC8-1 (db=19,0 mm) 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 



mesa de 16,0 mm de espessura – variação dos parafusos. 

3.2 Grupo TSI – almas perpendiculares 

Os resultados do grupo TSI são importantes para a verificação do 

comportamento da ligação duplo “T” com a mudança de posição entre as almas dos 


38 


perfis “T”, seguindo a configuração usual da ligação com chapa de topo se considerados 

a viga e o pilar. 

Enfatizando-se, novamente, aspectos globais, na figura 18 são apresentadas as 

curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. Como os resultados dos pares, para 

esse grupo, foram mais uniformes que no grupo TSC, indicam-se apenas as curvas 

obtidas no primeiro ensaio de cada par, a menos do protótipo TSI4-1 que apresentou 

interferências na coleta de dados, sendo substituído pelo protótipo TSI4-2. Para os 

protótipos TSI5 à TSI8, o ensaio foi interrompido pelos mesmos motivos dos protótipos 

TSC com parafusos de 19,0 mm. 

A representação esquemática da geometria dos protótipos da série TSI 

também é indicada na figura 18. 

Assim como para os protótipos do grupo TSC, não há modificação da rigidez 

inicial para o grupo TSI, inclusive para o aumento do diâmetro dos parafusos, 

conseqüência da força de protensão inicial aplicada. 

No entanto, ao contrário do grupo TSC, o aumento da espessura da mesa dos 

perfis “T” provocou pequenos acréscimos na ductilidade e na resistência das ligações 

dentro de cada sub-grupo de parafusos. Um ganho de resistência significativo pode ser 

visualizado com o aumento do diâmetro dos parafusos, de 16,0 para 19,0 mm. 

A figura 19 apresenta as deformações no protótipo TSI1-1 após o colapso e 

no protótipo TSI6-1 antes do término do ensaio. 

700 

650 

600 

d b = 19,0 mm 

550 

500 

Força (kN) 

450 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

d b = 16,0 mm 

t 2 = 19,0 mm 

d b = 19,0 mm 

t 2 = 22,4 mm 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 


d b = 16,0 mm 

TSI1-1 (t1=12,5 mm) 

TSI2-1 (t1=16,0 mm) 

TSI3-1 (t1=19,0 mm) 

TSI4-2 (t1=22,4 mm) 

TSI5-1 (t1=16,0 mm) 

TSI6-1 (t1=19,0 mm) 

TSI7-1 (t1=22,4 mm) 

TSI8-1 (t1=25,0 mm) 

Figura 18 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. 



39 

(a) TSI1-1 

(b) TSI6-1 

Figura 19 - Deformações das mesas dos protótipos TSI1-1 e TSI6-1. 

É interessante observar que, devido às diferenças de braço de alavanca para 

os parafusos e da espessura da mesa entre os perfis “T” desses protótipos, a deformação 

se concentra em uma das mesas, modificando a interação entre mesa e parafusos na 

caracterização do colapso. 

Comparando-se os grupos TSC e TSI pela consideração da menor espessura 

de mesa, o protótipo TSI1, com mesas de 12,5 e 19,0 mm de espessura e parafusos de 

16,0 mm, tem um pequeno ganho de ductilidade com relação ao protótipo TSC4, com 

mesas de 12,5 mm. O protótipo TSI2, com mesas de 16,0 e 19,0 mm, no entanto, 

apresenta um aumento significativo de ductilidade quando comparado ao protótipo 

TSC5, com mesas de 16,0 mm, como pode ser visualizado na figura 20. 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

d b = 16,0 mm 

TSC4-1 (tch=12,5 mm) 

TSC5-2 (tch=16,0 mm) 

TSI1-1 (t1=12,5 mm) 

TSI2-1 (t1=12,5 mm) 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 


Figura 20 - Variação de ductilidade entre os protótipos TSI e TSC. 

Enfatiza-se que, neste caso, a influência do “efeito alavanca” na variação do 

modo de falha dos perfis “T” é menor e a solicitação nos parafusos passa a ser menos 

influenciada por esforços de flexão quando comparadas aos protótipos TSC4 e TSC5. 


40 


Assim, caracteriza-se a flexão mais pronunciada na direção perpendicular à alma dos 

perfis “T” como um padrão de deformação para as mesas, não influenciada 

significativamente pela interação em mesa e parafusos. 

No entanto, é possível observar uma variação nos padrões de plastificação da 

mesa, que ocorreu de forma sistemática para o grupo TSI. A figura 21 ilustra a 

plastificação nas mesas do protótipo TSI1-2 juntamente com detalhes dos parafusos 

após a ruptura. 

Figura 21 - Plastificação e detalhes dos parafusos no protótipo TSI1-2. 

Na figura 21 identificam-se marcas que indicam a tendência de plastificação 

dos furos para a borda nas mesas, na direção perpendicular à alma do perfil “T” e para a 

região central da borda entre os furos. No detalhe dos parafusos, a seção de ruptura 

indica a menor influência da flexão destes componentes. Esse padrão foi verificado para 

todos os protótipos do grupo TSI. As linhas de plastificação nos protótipos TSI2 e TSI3 

podem ser visualizadas nas figuras 22(a) e 22(b). 

(a) TSI2-2 

(b) TSI3-2 

Figura 22 - Linhas de plastificação nas mesas dos protótipos TSI2-2 e TSI3-2. 

Para observar a variação nas deformações das mesas entre os protótipos TSC 

e TSI, apresenta-se, na figura 23, os dados coletados nos extensômetros 1, 2, 3, e 4, 

indicados na figura, na direção perpendicular à alma para cada lado da ligação dos 

protótipos TSI3-1 e TSC6-2, ambos com mesas de 19,0 mm de espessura e parafusos 

de 16,0 mm. 

Para o protótipo TSI3-1 há uma diminuição significativa para a deformação 

no lado 1, pelo aumento de flexibilidade da mesa no lado 2. As deformações no lado 2, 



41 

com relação ao protótipo TSC6-2, apresentam um aumento significativo no centro da 

mesa nos estágios iniciais de plastificação. 

No entanto a deformação no centro tende a uniformizar-se com a deformação 

na borda, o que indica a flexão predominante segundo a direção perpendicular à alma, 

apesar da plastificação ter iniciado na região central em direção aos furos. 

550 

500 

450 

400 

Força (kN) 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

d b = 16,0 mm 

t ch = t 1 = 19,0 mm 

Ext(1) - TSC6-2 

Ext(2) - TSC6-2 

Ext(1) - TSI3-1 

Ext(2) - TSI3-1 

Ext(3) - TSI3-1 

Ext(4) - TSI3-1 

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 


Figura 23 - Deformações nas mesas dos protótipos TSI3-1 e TSC6-2. 

Considerando-se a utilização dos modos de falha para os perfis “T” no 

dimensionamento da chapa de topo à flexão, aplicados usualmente às ligações duplo 

“T”, a variação da tipologia pela perpendicularidade entre as almas dos perfis “T” não 

modifica de forma significativa a resistência dos protótipos. 

No entanto, observou-se variações nos padrões de plastificação das mesas e 

na interação entre mesa e parafusos, o que conduziu à variações na magnitude do “efeito 

alavanca” e da ductilidade dos protótipos. 

3.3 Grupo TSIE – almas enrijecidas 

Para o grupo TSIE foi possível observar a influência do enrijecimento da 

alma que não modifica significativamente o comportamento global da ligação com 

relação ao grupo TSC, a menos de um ganho de resistência. 

A figura 24 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos do 

grupo TSIE, ressaltando que os protótipos com parafusos de 19,0 mm não foram 

ensaiados até o colapso. 


42 


700 

650 

d b = 19,0 mm 

600 

550 

500 

d b = 16,0 mm 

450 

Força (kN) 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

d b = 16,0 mm 

d b = 19,0 mm 

TSIE1-1 (t2=16,0 mm) 

TSIE2-2 (t2=19,0 mm) 

TSIE3-1 (t2=22,4 mm) 

TSIE4-2 (t2=19,0 mm) 

TSIE5-2 (t2=22,4 mm) 

TSIE6-1 (t2=25,0 mm) 

t 1 = 16,0 mm 

t 1 = 19,0 mm 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 


Figura 24 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSIE. 

Para os protótipos com parafusos de 16,0 mm, o aumento da espessura da 

mesa provoca uma leve diminuição da ductilidade, com um pequeno aumento de 

resistência. Para o sub-grupo com parafusos de 19,0 mm, o aumento da capacidade 

resistente é visível. 

Na figura 25 apresenta-se uma comparação entre as curvas forçadeslocamento 

dos protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, ambos com mesas e parafusos de 16,0 

mm. 

Para esses dois protótipos, observa-se o aumento da capacidade resistente 

com a inclusão do enrijecimento, ressaltando-se a manutenção da ductilidade entre os 

protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, o que também ocorre de maneira sistemática entre os 

dois grupos. 

A inclusão do enrijecimento diminui de forma significativa a deformabilidade 

da mesa para o lado enrijecido da ligação duplo “T”. Neste caso, espera-se que as 

deformações sejam concentradas na mesa não enrijecida, cuja plastificação deve 

acontecer em taxas mais elevadas. 

No entanto, não há indicações de que os padrões de plastificação na mesa dos 

protótipos TSIE sofram modificações quando comparados aos protótipos similares do 

grupo TSC, já que não há variações significativas de ductilidade como observado na 

figura 25. 

Outro indicativo de que os padrões de plastificação não são alterados é o 

aumento de resistência da ligação que, apesar de pequena, sugere uma diminuição do 

“efeito alavanca”. 



43 

700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

d b = 16,0 mm 

t ch = t 2 = 16,0 mm 

TSIE1-1 

TSC5-2 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 


Figura 25- Curvas força-deslocamento para os protótiopos TSIE1 e TSC5. 

Para exemplificar a configuração das deformações para o grupo TSIE, na 

figura 26 são ilustradas duas vistas para o protótipo TSIE1-1 logo após o colapso dos 

parafusos. 

(a) Visão lateral 

(b) Visão frontal 

Figura 26 - Deformações nas mesas do protótipo TSIE1-1 após o colapso. 

3.4 Comparação geral entre os grupos 

Apenas para ilustrar, de forma geral, a variação de comportamento entre os 

protótipos de ligações duplo “T”, a figura 27 apresenta as curvas força-deslocamento 

para os três grupos, especificamente para os protótipos com parafusos de 16,0 mm. 

Em uma comparação geral, é possível se concluir que a capacidade resistente 

das ligações duplo “T”, independentemente da tipologia analisada, tem uma faixa de 

variação cujo patamar superior é bem definido, em função da capacidade resistente dos 

parafusos à tração. 


44 


700 

600 

500 

Força (kN) 

400 

300 

200 

100 

0 

TSC4-1 (tch=12,5 mm) 

TSC5-2 (tch=16,0 mm) 

TSC6-2 (tch=19,0 mm) 

TSC7-2 (tch=22,4 mm) 

TSI1-1 (t1=12,5 mm) 

TSI2-1 (t1=16,0 mm) 

TSI3-1 (t1=19,0 mm) 

TSI4-2 (t1=22,4 mm) 

TSIE1-1 (t2=16,0 mm) 

TSIE2-2 (t2=19,0 mm) 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 


Figura 27 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC, TSI e TSIE com parafusos de 

16,0 mm. 

O patamar inferior é função da intensidade dos “efeitos de alavanca”, que 

dependem da interação entre as mesas dos perfis “T” e os parafusos e, portanto, não é 

facilmente determinada. No entanto, a tendência de crescimento da resistência com o 

aumento da espessura da mesa do perfil “T” é uniforme, mesmo considerando-se as 

mudanças de tipologia. 

O mesmo não ocorre com a ductilidade. De acordo com o exposto no capítulo 

3, os limites de ductilidade para essas ligações não são tratados pelos modelos analíticos 

e dependem, novamente, da intensidade dos “efeitos de alavanca” que, por sua vez, é 

função da deformabilidade da mesa dos perfis “T” com relação à deformabilidade dos 

parafusos. 

Como a variação de ductilidade não é uniforme, é coerente supor que há 

variações nos modos de falha em função das variações das linhas de plastificação, 

utilizadas na metodologia proposta por Zoetemeijer & deBack (1972) para a 

equivalência entre os perfis “T” e a chapa de topo. 

A observação dos resultados para as ligações duplo “T” também permite 

concluir que não há, pelo menos em termos do comportamento global, variações 

significativas da capacidade resistente e da ductilidade dos protótipos com a variação de 

tipologia. 

4 CONCLUSÕES 

Neste trabalho foram apresentados os resultados de um programa 

experimental no qual foram testadas diversas ligações formadas por perfis “T” 

parafusados, divididas em três grupos em função da tipologia da ligação. A rigidez axial 



45 

das ligações foi analisada, constatando-se a significativa influência da interdependência 

entre as características geométricas dos flanges e dos parafusos na determinação dos 

modos de falha, resistência e ductilidade dos perfis “T”, que são aplicados no 

dimensionamento das ligações parafusadas com chapa de topo por meio de modelos 

analíticos simplificados. 

O efeito alavanca, presente na maioria dos protótipos ensaiados, representa 

uma variável de difícil quantificação. Sua maior ou menor intensidade também é função 

da tipologia da ligação, que pode apresentar maior ductilidade à medida que a 

distribuição de tensões nos flanges é melhor distribuída entre borda e centro, como 

ocorreu para o grupo TSI com almas perpendiculares. 

Finalmente, é interessante ressaltar que os resultados gerados pelos ensaios com 

perfis “T” serão utilizados em conjunto com resultados numéricos dos modelos 

correspondentes para gerar discussões em torno do comportamento deste tipo de ligação 

e de sua representatividade no dimensionamento das ligações com chapa de topo, 

incluindo-se a análise detalhada das linhas de escoamento nos flanges e a discussão em 

torno dos modelos analíticos existentes. 

5 AGRADECIMENTOS 

Os autores agradecem o suporte financeiro provido pela FAPESP (Fundação 

de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) para o desenvolvimento do trabalho de 

Doutoramento, cujos resultados parciais foram apresentados nesta contribuição. 


AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. Manual of steel construction. 

8.ed. Chicago, 1980. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1986). NBR-8800 - 

Dimensionamento e construção de estruturas de aço em edifícios. Rio de 

Janeiro. 

BURSI, O.S.; JASPART, J.P. Basic issues in the finite element simulation of extended 

end plate connections. Computer & Structures, n. 69, p. 361-382, 1998. 

EUROCODE-3. Design of steel structures: Part 1.1 - General rules and rules for 

buildings - Revised Annex J: Joints in building frames, 1993. 

KULAK, G.L.; FISHER, J.W.; STRUIK, J.H.A. Guide to design criteria for bolted and 

riveted joints. 2. ed. John Wiley & Sons, 1987. 

MAGGI, Y.I. (2000). Análise numérica, via M.E.F., do comportamento de ligações 

parafusadas viga-coluna com chapa de topo. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – 

Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

MAGGI, Y.I. (2004). Análise do comportamento estrutural de ligações 

parafusadas viga-pilar com chapa de topo estendida. São Carlos. Tese 

(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 


46 


SWANSON, J.A. Characterization of the strength, stiffness, and ductility 

behavior of T-stub connections. Ph.D. Dissertation, Georgia Institute of Technology, 

1999. 

ZOETEMEIJER, P.; BACK, J. High strength bolted beam to column connections. 

The computation of bolts, T-stub flanges and column flanges. Report 6-72-13, 

Delft University of Technology, Stevin Laboratory, 1972. 


ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE BLOCOS DE 

CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS 

SUBMETIDOS À AÇÃO DE FORÇA CENTRADA 

Fabiana Stripari Munhoz 1 & José Samuel Giongo 2 

Resumo 

Este trabalho estuda o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre 

duas, três, quatro e cinco estacas, submetidos à ação de força centrada. Com o objetivo 

de contribuir na análise de critérios de projeto utilizaram-se resultados obtidos por 

meio de modelos analíticos e realizou-se análise numérica por meio de programa 

baseado no Método dos Elementos Finitos. Foi desenvolvida, ainda, uma análise 

comparativa entre os processos de dimensionamento adotados em projeto, na qual se 

verificou grande variabilidade dos resultados. Para análise numérica adotou-se 

comportamento do material como elástico linear e os resultados de interesse foram os 

fluxos de tensões em suas direções principais. Nos modelos adotados variaram-se os 

diâmetros de estacas e as dimensões dos pilares, a fim de se verificar as diferenças na 

formação dos campos e trajetórias de tensões. Concluiu-se que o modelo de treliça 

utilizado em projetos é simplificado e foram feitas algumas sugestões para a utilização 

de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado. Foi possível a verificação da 

influência da variação da geometria de estacas e de pilares no projeto de blocos sobre 

e a revisão dos critérios para os arranjos das armaduras principais. Para os modelos 

de blocos sobre cinco estacas com o centro geométrico de uma das estacas coincidente 

com o centro do pilar, concluiu-se que o comportamento não é exatamente como 

considerado na prática. 

Palavras-chave: blocos sobre estacas; fundações; concreto armado; bielas e tirantes. 


Os blocos sobre estacas são elementos estruturais de fundação cuja finalidade 

é transmitir às estacas as ações oriundas da superestrutura (figura 1). O uso deste 

tipo de fundação se justifica quando não se encontram camadas superficiais de solo 

local resistentes sendo necessário atingir camadas mais profundas que sirvam de 

apoio à fundação. 

São estruturas tridimensionais, ou seja, todas as dimensões têm a mesma 

ordem de grandeza, tornando seu funcionamento complexo. O comportamento 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, fs-munhoz@uol.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jsgiongo@sc.usp.br 


48 

Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 

mecânico do conjunto aço/concreto, a determinação de vinculações e a existência da 

interação solo/estrutura são problemas que agravam o grau de complexidade. Esses 

elementos estruturais, apesar de serem fundamentais para a segurança da 

superestrutura, geralmente, não permitem inspeção visual quando em serviço, sendo 

assim, importante o conhecimento de seu real comportamento. 

Figura 1 - Bloco sobre quatro estacas. 

Os métodos para dimensionamento destes elementos utilizados até os dias 

atuais tratam-os de modo simplificado, além disso, há diferentes parâmetros adotados 

pelas normas e processos. 

A norma brasileira NBR 6118:2003 considera os blocos sobre estacas como 

elementos estruturais especiais que não respeitam a hipótese de seções planas, por 

não serem suficientemente longos para que se dissipem as perturbações localizadas. 

Classifica o comportamento estrutural de blocos em rígidos e flexíveis. No caso de 

blocos rígidos o modelo estrutural adotado para cálculo e dimensionamento deve ser 

tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-tirante tridimensionais, sendo esses 

últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de forças nas bielas e tirantes. A 

NBR 6118:2003 não fornece em seu texto um roteiro para verificações e 

dimensionamento destes elementos. 

O código americano ACI-318 (1994) adota hipóteses bem simplificadas para o 

dimensionamento de blocos. Recomenda o uso da teoria da flexão e a verificação da 

altura mínima do bloco para resistir à força cortante. 

A norma espanhola EHE (2001) fornece expressões que permitem determinar 

as áreas das barras da armadura para os casos mais freqüentes de blocos sobre 

estacas, conforme o modelo de treliça adotado. 

A rotina de projeto de blocos sobre estacas utilizada pelo meio técnico no 

Brasil, conhecida como Método das Bielas é adaptada do trabalho de Blévot (1967), 

que indica um modelo de treliça para a determinação da força no tirante e verificações 

de tensões nas bielas comprimidas. As tensões de compressão são verificadas 

considerando as áreas do pilar e das estacas projetadas na direção perpendicular ao 

eixo da biela. 


Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à... 

49 

Outro procedimento que tem sido utilizado por alguns projetistas de estruturas 

de concreto é o processo sugerido pelo CEB-FIP (1970). 

Esse procedimento indica verificações de segurança para tensões normais e 

tangenciais com esforços solicitantes determinados em seções transversais 

particulares. Este procedimento diverge da norma brasileira que considera que blocos 

rígidos não respeitam a hipótese de seções planas. 

Uma análise criteriosa para definir o comportamento estrutural de blocos sobre 

estacas é a que considera o modelo de Bielas e Tirantes, afinal, tratam-se de regiões 

descontínuas, onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de Bielas e 

Tirantes as verificações de compressão nas bielas podem ser feitas com as 

considerações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), pois as regiões nodais têm 

geometria diferente das sugeridas por Blévot (1967). 

O modelo de Bielas e Tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de 

tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões 

podem ser obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos 

numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos. 

Segundo Tjhin e Kuchma (2002), a orientação mais adequada para a seleção 

de modelos apropriados de bielas e tirantes pode ser verificada em Schlaich et al. 

(1987) que propõem arranjar os elementos da treliça do modelo utilizando as 

trajetórias das tensões principais obtidas a partir de uma solução elástica linear. 

Essas aproximações permitem verificar os estados limites último e de serviço. 

O uso de trajetórias de tensões principais para guiar a construção de modelos 

de bielas e tirantes também foi estendido à geração automática de modelos. Um 

exemplo disto pode ser visto no trabalho de Harisis e Fardis (1991), que utilizaram 

uma análise estática de dados de tensões principais obtida de uma análise linear por 

elementos finitos para identificar localizações de bielas e tirantes. 

Longo (2000) utilizou campos e trajetórias de tensões principais em vigas prémoldadas 

obtidas de uma análise elástica linear por meio do Método dos Elementos 

Finitos e conseguiu bons resultados iniciais para adoção de modelos de bielas e 

tirantes. 

Autores como Iyer e Sam (1991) estudaram o comportamento de blocos sobre 

três estacas por meio de uma análise elástica linear tridimensional e concluíram que a 

analogia de treliça, aplicada a blocos sobre estacas utilizada por Blévot e Frémy 

(1967), não é satisfatória, pois não conferem com as localizações e magnitudes de 

tensões máximas com precisão. 

Em virtude dessas e outras divergências nos métodos analíticos utilizados 

para cálculo de blocos sobre estacas decidiu-se estudar modelos de blocos, sendo o 

objetivo deste trabalho, estudar o comportamento de blocos rígidos de concreto 

armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas submetidos à ação de força centrada 

para sugestão de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado do que o modelo de 

treliça utilizado atualmente em projetos. Para isto, utilizaram-se resultados obtidos por 

meio de modelos analíticos e realizou-se uma análise numérica utilizando-se o 

programa ANSYS ® (1998) baseado no Método dos Elementos Finitos. Nos modelos, 

adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões de pilar. 

Para análise numérica, adotou-se comportamento do material como elástico 

linear. Os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções 

principais a fim de se aplicar o modelo de Bielas e Tirantes. 


50 


Provavelmente uma análise não-linear ofereceria algumas vantagens por 

fornecer resultados mais realistas acerca dos efeitos de perda de rigidez dos 

elementos estruturais por causa da fissuração e escoamento das armaduras 

longitudinais, mas com a proposta de quantificar alguns parâmetros, acredita-se que a 

análise elástico-linear constitui-se em passo inicial imprescindível. 

2 MÉTODOS DE CÁLCULO PARA PROJETO DE BLOCOS SOBRE 

ESTACAS 

O Método das Bielas desenvolvido tomando por referência a análise de 

resultados experimentais de modelos ensaiados por Blévot (1967) considera no 

interior do bloco uma treliça composta por barras tracionadas e barras comprimidas. 

As forças de tração que atuam nas barras horizontais da treliça são resistidas pela 

armadura enquanto que as de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto. É 

recomendado para ações centradas, mas pode ser empregado no caso de ações 

excêntricas, desde que, admita-se que todas as estacas estão submetidas à maior 

força transferida. 

O Método do CEB-FIP (1970) é aplicável a blocos cuja distância entre a face 

do pilar até o eixo da estaca mais afastada varia entre um terço e a metade da altura 

do bloco. O método sugere um cálculo à flexão considerando uma seção de 

referência interna em relação à face do pilar e distante desta 0,15 da dimensão do 

pilar na direção considerada. Para verificações da capacidade resistente à força 

cortante, define-se uma seção de referência externa distante da face do pilar de um 

comprimento igual a metade da altura do bloco e, no caso de blocos sobre estacas 

vizinhas ao pilar, a seção é considerada na própria face do pilar. 

A norma espanhola EHE (2001) adota modelo de cálculo semelhante ao 

Método das Bielas. A diferença entre os dois métodos ocorre na adoção da altura da 

treliça para cada modelo e na questão da verificação das tensões de compressão. A 

EHE (2001) sugere que a verificação da resistência do concreto nos nós do modelo, 

em geral, não é necessária se as estacas são construídas “in loco” e se a resistência 

característica do concreto destas e do pilar forem iguais a do bloco. Nos outros casos 

deve-se realizar verificações adicionais. 

O código americano ACI-318 (1994) admite os blocos sobre estacas como um 

elemento semelhante a uma viga apoiada sobre estacas. O procedimento para 

dimensionamento sugerido é o dimensionamento considerando momento fletor e 

fazendo à verificação a força cortante em uma seção crítica. O máximo momento 

fletor é determinado em relação a um plano vertical localizado na face do pilar. A 

quantidade de armadura longitudinal é determinada pelos procedimentos usuais às 

vigas de concreto armado. O código indica como essa armadura deve ser distribuída 

e recomenda o valor de 30 cm para altura mínima de blocos sobre estacas. 

A verificação à força cortante em blocos sobre estacas, segundo o código 

americano, deve ser feita em uma seção crítica que é medida a partir da face do pilar 

com a localização definida conforme o comportamento do bloco, ou seja, quando 

ocorre comportamento de viga, o bloco é considerado uma viga extensa e a seção 

crítica é definida por um plano que dista d da face do pilar, sendo d a altura útil do 

bloco. Quando ocorre comportamento por “dois caminhos” cisalhantes, a ruína ocorre 

pela punção ao longo de um cone, a superfície crítica é definida a partir de d/2 do 

perímetro do pilar. 



51 

3 APLICAÇÃO DE MODELOS DE BIELAS E TIRANTES 

O modelo de bielas e tirantes é uma representação discreta de campos de 

tensões nos elementos estruturais de concreto armado. É idealizado o fluxo de forças 

internas nas regiões com a consideração de uma treliça que transfere o carregamento 

imposto no contorno para seus apoios. Esta treliça é composta por uma estrutura de 

barras comprimidas (bielas) e tracionadas (tirantes) interconectadas por nós. 

Os modelos de Bielas e Tirantes são fundamentados no Teorema do Limite 

Inferior da Teoria da Plasticidade. Uma das hipóteses para se aplicar esse teorema é 

o material exibir comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja, para fins de 

determinação da capacidade limite de carga de uma estrutura é possível dispensar 

uma análise evolutiva das tensões e das deformações, admitindo-se, 

simplificadamente, que o material tenha comportamento elasto-plástico perfeito. 

O projeto de regiões, utilizando o modelo de Bielas e Tirantes, pode oferecer 

mais do que uma treliça possível representando campos de tensões estaticamente em 

equilíbrio e plasticamente admissíveis sendo, cada solução, garantida pelo Teorema 

do Limite Inferior (ou Teorema Estático) da Teoria da Plasticidade (Análise Limite). 

Machado (1998) apresentou modelos de consolos curtos e muito curtos sem 

utilizar de maneira formal a Teoria da Plasticidade (Análise Limite), mas baseado em 

Modelos de Bielas e Tirantes. 

Os modelos propostos neste trabalho também não usam de maneira formal 

esta análise, embora o modelo sugerido seja baseado em um Modelo de Bielas e 

Tirantes, o qual tem solução garantida pelo Teorema do Limite Inferior. 

Como orientação inicial deve-se seguir de perto os contornos e as trajetórias 

de tensões elásticas na peça que são obtidas, inicialmente, empregando-se um 

programa de análise em Elementos Finitos Linear (regime elástico linear sem a 

consideração da fissuração). 

O Método dos Elementos Finitos pode ser usado em sua versão linear, a mais 

simplificada, em conjunto com Método das Bielas e Tirantes fornecendo as trajetórias 

das tensões para facilitar a definição dos modelos de treliça, os campos de tensões 

possíveis, ou pode ser usado na construção efetiva de um modelo para a análise 

aproximada, desconsiderando a fissuração da peça. 

O programa CAST, desenvolvido recentemente por Tjhin e Kuchma (2002) 

para projeto de regiões D, utiliza contornos de tensão e trajetórias de tensões 

principais obtidas de uma análise elástica linear para a seleção da treliça do modelo. 

Schlaich et al. (1987) explicam que este processo de orientar o modelo de 

bielas e tirantes ao longo dos caminhos de forças indicados pela teoria da elasticidade 

negligencia um pouco a capacidade última de carga que poderia ser utilizada por uma 

aplicação da teoria de plasticidade. Por outro lado, tem a vantagem principal que o 

mesmo modelo é usado para o estado limite último e de serviço. Se por alguma razão 

o propósito da análise é determinar a força última, o modelo pode ser adaptado 

facilmente a esta fase de carregamento trocando suas bielas e tirantes para obter um 

valor maior e mais real da resistência da estrutura. Neste caso, porém, a capacidade 

de rotação não elástica do modelo tem que ser considerada. 


52 


4 ANÁLISE NUMÉRICA 

Os modelos foram submetidos a uma análise elástica linear via Método dos 

Elementos Finitos utilizando o programa computacional ANSYS ® . 

4.1 Modelos adotados 

Foram analisados 29 modelos de blocos sobre duas, três e quatro estacas, 

submetidos à ação de força centrada. Os modelos foram agrupados em cinco séries 

conforme a quantidade de estacas e força aplicada, como pode ser visto na tabela 1: 

Tabela 1 - Modelos analisados. 

Tipo de Bloco Série 

Número de Força 

modelos aplicada (kN) 

2 estacas B 9 710 

3 estacas C 7 1000 

4 estacas D 7 1400 

5 estacas E 6 1900 

A fim de se estudar a formação dos campos de tensões, foram adotados 

modelos variando-se o diâmetro das estacas (30 cm, 35 cm e 40 cm) e as dimensões 

de pilares para blocos com a mesma geometria e carregamento. Para blocos sobre 

uma e cinco estacas alteraram-se também as alturas dos modelos. 

Foram adotados resistência característica do concreto de 20 MPa e aço 

CA-50. A ligação do bloco com a estaca foi considerada de 10 cm e as demais 

condições geométricas são apresentadas nas figuras 2. e 3. 

a=170 

l 

le =30 =110 le=30 

b=60 

bp 

ap 

lc 

d=40 

h=50 

d'=10 

φest 

φest 

Série B – duas estacas 

Figura 2 - Modelos de blocos sobre duas estacas (medidas em centímetros). 



53 

l=120 

lcy 

l√3/2=103,92 

bp 

ap 

lcx 

d=60 

h=70 

d'=10 

φest φest 

Série C – três estacas 

a=190 

a=190 

le=35 

l=120 le =35 

le=35 

l=120 le =35 

lcy 

b=190 

bp 

b=190 

bp 

ap 

ap 

d=70 

h=80 

d 

h 

d'=10 

d'=10 

φest 

φest 

φest 

φest 

Série D – quatro estacas 

Série E – cinco estacas 

Figura 3 - Modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas (medidas em centímetros). 

Na tabela 2 são apresentados os parâmetros geométricos de cada modelo, ou 

seja, dimensões do bloco (a, b), altura útil (d), distância entre eixos de estacas (l), 


54 


distância da face do pilar ao eixo da estaca mais afastada (l c ), dimensões de pilares 

(a p e b p ) e diâmetro das estacas (φ est ). 

Tabela 2 - Parâmetros Geométricos (medidas em centímetros). 

Bloco Distâncias Pilar e estaca 

Série Modelos 

a b d l l cx l cy a p b p φ est 

B 

C 

D 

E 

B1-1 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 30 

B1-2 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 35 

B1-3 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 40 

B2-1 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 30 

B2-2 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 35 

B2-3 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 40 

B3-1 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 30 

B3-2 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 35 

B3-3 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 40 

C1-1 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 30 

C1-2 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 35 

C1-3 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 40 

C2-1 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 30 

C2-3 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 40 

C3-1 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 30 

C3-3 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 40 

D1-1 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30 

D1-2 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 35 

D1-3 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40 

D2-1 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30 

D2-2 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 35 

D2-3 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40 

D3-1 190 190 70 120 50,00 15,00 20,00 90,00 30 

E1-1h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30 

E1-3h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40 

E1-1h95 190 190 85 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30 

E1-1h110 190 190 100 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30 

E2-1h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30 

E2-3h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40 

As siglas adotadas para representar os nomes dos blocos têm o seguinte 

significado: Wx-y, W relaciona a série do modelo (ver tabela 1) que foi dividida 

conforme o número de estacas, x está relacionada com a seção do pilar, y está 

relacionado com a seção da estaca (y=1 para φ est =30cm, y=2 para φ est =35cm, y=3 

para φ est =40cm). Em alguns modelos com as mesmas iniciais x e y e variação da 



55 

altura, acrescentou-se a letra h e o valor da altura em centímetros. Citando como 

exemplo o bloco B1-1, B significa que ele pertence à série B (blocos sobre duas 

estacas), o primeiro 1 significa que ele tem a mesma seção que os demais modelos 

da mesma série com x=1, e o outro 1 significa estacas com diâmetro de 30 cm. 

Para os modelos B1-x e C1-x a p e b p são as medidas do lado de um quadrado 

com uma área equivalente a do retângulo que foram adotadas para os demais 

modelos da mesma série, por isso têm valores com números com mais casas 

decimais. 

4.2 Modelagem numérica 

Para a análise seguiram-se algumas etapas: definição das propriedades dos 

materiais, do tipo de elemento finito a se utilizar, da malha, das ações e condições de 

contorno. 

Em quase todos os modelos foi possível aproveitar a simetria para a 

modelagem, apenas para os modelos de blocos sobre três estacas não foi possível. 

Para os modelos de blocos sobre quatro e cinco estacas aproveitou-se a simetria em 

uma direção, modelando-se metade do bloco; no caso de blocos sobre duas estacas 

aproveitou-se a simetria nas duas direções, modelando-se 1/4 dos blocos. 

Adotaram-se para os modelos de blocos estacas com seção quadrada, mas 

com área equivalente aos referidos diâmetros. Essa medida foi tomada para facilitar a 

construção da malha numérica, e foi muito útil, já que não interferiu nos resultados de 

interesse. Os pilares e as estacas foram modelados com a mesma altura do bloco, 

procedimento este, normalmente adotado em ensaios experimentais. 

As propriedades dos materiais, considerando avaliação global dos modelos, 

foram adotadas conforme a NBR 6118:2003, coeficiente de Poisson (ν) de 0,2 e 

módulo de elasticidade tangente do concreto conforme a expressão 1: 

c 

ck 

c 

2 

E = 5600 f → E = 2504 kN / cm 

(1) 

O programa ANSYS ® possui uma vasta biblioteca de elementos finitos com a 

finalidade de fornecer ao usuário condições para resolver problemas diversos. Neste 

trabalho o elemento SOLID 65 foi utilizado para discretizar o bloco, pilar e estacas. 

Este elemento é tridimensional constituído por oito nós, cada nó possuindo três graus 

de liberdade referentes às translações das coordenadas x, y e z. 

Para discretização dos elementos, adotou-se uma malha com espaçamento 

entre nós de aproximadamente 5 cm para os modelos da série B, 10 cm para modelos 

da série D e E e 14 cm para os modelos C. Não foi possível utilizar uma malha mais 

refinada, pois com o aumento do número de elementos, inviabilizou o processamento 

do modelo numérico. Os modelos da série C (blocos sobre três estacas) foram os 

mais difíceis de modelar por não ter simetria, utilizou-se uma malha grande, além 

disso, optou-se por excluir da modelagem os elementos triangulares que foram 

gerados na malha nas periferias, já que, nestes locais, não havia tensões 

significativas. Isso se justifica, pois, na modelagem inicial esses elementos 

triangulares não foram excluídos e causaram dificuldades no processamento dos 

modelos, já que exigiram uma malha mais refinada. 


56 


A figura 4 explicita as malhas utilizadas em um modelo de cada série de 

blocos analisados. 

Série B – duas estacas 

Série C – três estacas 

Série D – quatro estacas 

Série E – cinco estacas 

Figura 4 - Malha de elementos finitos utilizada. 

A ação foi aplicada como pressão na área referente ao pilar. 

Como condições de contorno restringiram-se todos os nós na face das estacas 

no plano xz, nas duas direções e na direção normal a este plano, ou seja, 

restringiram-se as três direções. A intenção de impedir a rotação dos modelos devese 

ao fato de analisar o comportamento do bloco, mantendo condições coerentes a de 

um ensaio experimental. 

O uso da simetria foi indispensável para a modelagem, pois sem esse recurso 

o número de elementos aumentaria, o que, conseqüentemente aumentaria o tempo e 

o trabalho computacional. A condição de simetria foi aplicada referente aos planos 

que foram cortados. 

5 ANÁLISE DE RESULTADOS 

As análises realizadas foram divididas em duas etapas. Primeiramente os 

modelos foram verificados por meio de três métodos analíticos. Nesta etapa 

verificaram-se as diferenças no cálculo das áreas das barras das armaduras. 

Na segunda etapa deste trabalho consideraram-se os resultados obtidos pela 

análise numérica. Foi feita análise gráfica dos campos de tensão de compressão e 



57 

com isso foram possíveis algumas comparações com os modelos analíticos. Além 

disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de 

compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração, quando são variadas 

dimensões de pilares e estacas. 

5.1 Resultados analíticos 

Os blocos sobre duas, três, quatro e cinco estacas foram dimensionados por 

três métodos analíticos, de BLÉVOT (1967), CEB-FIP(1970) e EHE (2001). 

Para as áreas de armaduras calculadas, é importante observar que neste 

trabalho não se verificou a ancoragem das mesmas em nenhum dos modelos. Os 

valores das forças nos tirantes (R st ) e das áreas de armadura são apresentados na 

tabela 3. O CEB-FIP não fornece o valor da força R st , por não ser baseado em modelo 

de Biela e Tirante e o cálculo da armadura foi feito com as expressões utilizadas para 

cálculo de flexão em vigas. 

Para os modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas a armadura foi 

calculada segundo os lados dos blocos, portanto os valores fornecidos na tabela 3 

referem-se à área de armadura que deve ser colocada em cada lado. O procedimento 

do CEB-FIP sugere verificações em duas direções, então, adotou-se a mesma 

armadura para as duas direções, escolhendo a maior delas. 

Tabela 3 - Valores de R st e A s . 

BLÉVOT CEB-FIP EHE 

Modelos 

R st (kN) A s (cm 2 ) A s (cm 2 ) R st (kN) A s (cm 2 ) 

2 estacas 

3 estacas 

4 estacas 

B1-1/ B1-2/ B1-3 473,0 9,46 8,00 483,8 9,68 

B2-1/ B2-2/ B2-3 408,3 8,17 6,28 417,7 8,35 

B3-1/ B3-2/ B3-3 382,7 7,65 5,61 391,5 7,83 

C1-1/ C1-2/ C1-3 186,9 3,74 3,66 228,2 4,56 

C2-1/ C2-3 204,9 4,10 4,01 245,9 4,92 

C3-1/ C3-3 150,05 3,00 4,09 192,1 3,84 

D1-1/ D1-2/ D1-3 250,0 5,00 4,65 294,0 5,88 

D2-1/ D2-2/ D2-3 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47 

D3-1 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47 

E1-1h80/ E1-3h80 271,4 5,43 5,05 235,3 4,71 

5 estacas 

E1-1h95 223,5 4,47 4,14 193,8 3,88 

E1-1h110 190,0 2,80 3,52 167,7 3,29 

E2-1h80/ E2-3h80 298,6 5,97 5,83 258,8 5,18 


58 


Os métodos analíticos para dimensionamento conduziram a diferentes 

resultados para a área de armadura, fornecendo valores com diferenças que 

chegaram até 30% para modelos de blocos sobre duas estacas. Para os blocos sobre 

duas, três e quatros estacas, o método da EHE (2001) apresentou as maiores áreas 

de armadura e o Método do CEB (1970), as menores, ou seja, as diferenças foram 

maiores entre esses dois métodos. Entre os Métodos de Blévot (1967) e CEB (1970) 

também ocorreram diferenças grandes, nos modelos de blocos sobre duas estacas 

chegaram a mais de 30%, para um dos modelos de blocos sobre três estacas houve 

uma diferença um pouco maior (a área de armadura calculada com os critérios do 

CEB foi 36% maior que a calculada com as indicações de Blévot), isso ocorreu por 

causa do posicionamento do pilar e das diferentes considerações dos dois métodos. 

Para os modelos de blocos sobre cinco estacas, de modo geral, o método que 

apresentou maiores áreas de armadura foi o de Blévot e as maiores diferenças 

ocorreram entre Blévot (1967) e EHE (2001), essa diferença foi da ordem de 15%. 

5.2 Resultados numéricos 

Os resultados numéricos de interesse neste trabalho são os campos de 

tensões com valores máximos e mínimos nas direções principais, que fornecem uma 

noção do funcionamento das estruturas. 

Por meio das trajetórias de tensões principais é possível montar um modelo de 

Bielas e Tirantes. As trajetórias mínimas principais (tensão principal direção 3), 

geralmente de compressão, podem orientar as posições das bielas comprimidas. As 

trajetórias máximas principais (tensão principal direção 1) podem orientar o 

posicionamento dos tirantes. No item 5.4.3 serão apresentadas essas trajetórias para 

os modelos analisados, e são, por meio delas, em conjunto com a análise dos campos 

de tensão, que serão apresentadas algumas sugestões para modelos de bielas e 

tirantes mais refinados para blocos sobre uma, duas, três, quatro e cinco estacas. 

Analisaram-se os campos de tensões principais máximas e mínimas. As 

tensões máximas representadas pelas tensões na direção 1 (tração) e as mínimas 

são representadas pelas tensões na direção 3 (compressão). 

Para cada série de modelos de estacas foram feitas algumas constatações 

quando se variam os diâmetros das estacas ou a dimensão dos pilares ou a altura dos 

blocos. 

5.2.1 Blocos sobre duas estacas 

5.2.1.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose 

diâmetro das estacas 

Neste item foram feitas comparações entre os modelos em que se variou o 

diâmetro das estacas, ou seja, dividindo-se os modelos em três grupos: (1) B1-1, B1-2 

e B1-3; (2) B2-1, B2-2 e B2-3 e (3) B3-1, B3-2 e B3-3. 

As constatações que seguem são as mesmas para os três grupos distintos, já 

que, nas análises feitas ocorreram as mesmas situações. 

Analisando primeiramente os campos de tensão na direção principal 3, que 

representam as tensões de compressão, pode-se observar a formação das bielas de 

compressão, como pode ser visto na figura 5. Além disso, observou-se a grande 



59 

concentração de tensões nas regiões nodais, próximas ao pilar e próximas às 

estacas. 

B1-1 (φ est = 30 cm) B1-2 (φ est = 35 cm) B1-3 (φ est = 40 cm) 



Figura 5 - Formação das bielas de compressão. 

Uma importante constatação refere-se à formação das bielas de compressão. 

Os campos de tensão de compressão na região nodal superior, obtidos com a análise 

numérica, formaram-se além da seção do pilar, como pode ser observado na figura 5. 

Conforme o Modelo de Blévot (1967), a biela se forma partindo da área do pilar e, no 

entanto, não foi isso que ocorreu. Por meio de uma aproximação gráfica pode-se 

notar melhor as diferenças que ocorreram entre o modelo numérico e o analítico, 

conforme figura 6. 

Na figura 6 as linhas contínuas em vermelho mostram a formação das bielas 

proposta pelo modelo de Blévot. As linhas em azul mostram uma idealização dos 

campos de compressão obtidos por análise numérica. Observa-se que o ângulo das 

bielas formado pelas linhas azuis tracejadas (modelo numérico) seria bem maior que 

o formado pelas linhas vermelhas contínuas. Além disso, conforme o modelo 

numérico a região nodal logo abaixo do pilar tem uma altura bem maior. É lógico que 

essas conclusões baseadas em análises gráficas são bem aproximadas, mas, mesmo 

assim são válidas. 

Uma outra constatação relaciona os campos de tensão de compressão com o 

diâmetro das estacas. Observou-se que a tensão de compressão ao longo da biela 


60 


diminuiu conforme se aumentou o diâmetro da estacas, esta diferença foi notada entre 

os blocos com estacas de diâmetros de 30 cm e 40 cm. 

45° 

Figura 6 - Bielas de compressão, modelo numérico e modelo de Blévot. 

Com relação às tensões principais na direção 1, observou-se que essas 

máximas tensões de tração ocorrem na face inferior do bloco, como era esperado, no 

local onde se posiciona a armadura principal do bloco. A figura 7 ilustra os campos de 

tensão máxima em um dos modelos adotados. 

Figura 7- Campos de tensão de tração. 

Relacionando as tensões máximas de tração com os diâmetros das estacas, 

observou-se que as tensões aumentaram conforme se diminuiram os diâmetros das 

estacas. A tabela 4 traz os valores de tensão máxima de tração obtidos para cada 

grupo de blocos analisados. 



61 

Tabela 4 - Tensões máximas de tração. 

Grupos Modelos φ est (cm) 

Tensão de tração 

máxima (MPa) 

B1-1 30 4,8 

1 B1-2 35 4,4 

B1-3 40 4,0 

B2-1 30 4,0 

2 B2-2 35 3,6 

B2-3 40 3,3 

B3-1 30 3,6 

3 B3-2 35 3,4 

B3-3 40 3,0 

As diferenças entre os valores de tensão máxima chegaram a 20%. No cálculo 

analítico isso não aconteceria, pois a força no tirante, com a qual se calcula a área de 

armadura, independe do diâmetro da estaca. 

5.2.1.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo 

diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares 

Esta análise refere-se aos modelos de blocos com mesmas dimensões e 

mesmo diâmetro de estaca, mas com dimensões de pilares diferentes. Os grupo de 

blocos analisados refere-se aos modelos: (1) B1-1, B2-1 e B3-1, (2) B1-2, B2-2 e B2-3 

e (3) B1-3, B2-3 e B3-3. 

Os modelos B1-x e B2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro 

com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área 

retangular mais alongada. A importância desta análise deve-se ao fato de, a maioria 

dos métodos de cálculo serem aplicados somente para blocos sobre estacas com 

pilares de seção quadrada. Ocorreu que, em um modelo de bloco com mesma 

geometria e seção de pilar diferente, as tensões de tração foram distintas, portanto, 

não é muito realista a consideração que muitos métodos fazem utilizando seções 

quadradas equivalentes para pilares retangulares. Estas constatações podem ser 

observadas na tabela 5 que mostra os valores de tensões máximas de tração para 

cada grupo de modelos analisados. 


Grupos Modelos 

Seção Pilar Tensão de tração 

(cmxcm) máxima (MPa) 

B1-1 34,64 x 34,64 4,8 

1 B2-1 20,00 x 60,00 4,0 

B3-1 20,00 x70,00 3,6 

B1-2 34,64 x 34,64 4,4 

2 B2-2 20,00 x 60,00 3,6 

B3-2 20,00 x70,00 3,4 

B1-3 34,64 x 34,64 4,0 

3 B2-3 20,00 x 60,00 3,3 

B3-3 20,00 x70,00 3,0 


62 


Observou-se que as máximas tensões de tração diminuem conforme se 

alonga a seção do pilar. Tomando como exemplo o modelo B2-1, aplicando o Método 

das Bielas e considerando uma seção quadrada equivalente, a armadura adotada 

seria a mesma que para o modelo B1-1, portanto, talvez seja conservativo adotar esta 

estratégia de seções equivalentes para blocos sobre duas estacas. 

5.2.2 Blocos sobre três estacas 

Para análise de bloco sobre três estacas adotaram-se modelos com estacas 

de diâmetros diferentes, e pilares de seção retangular e seção quadrada equivalentes, 

ou seja, os modelos C1-1, C1-2 e C1-3 têm pilares de seção quadrada; os modelos 

C2-1 e C2-3 pilares de seção retangular, com a mesma área que os anteriores, e, os 

modelos C3-1 e C3-3 a mesma seção retangular que os anteriores, mas agora no 

outro sentido. A intenção era observar os campos de tensão nestes modelos e notar 

as diferenças que existem nestes casos. 

Foram analisadas vistas e cortes pré-determinados para os modelos de blocos 

sobre três estacas, para melhor visualização dos campos de tensão, conforme a 

figura 8. 

B 

C 

A 

A 

PLANTA 

C 

B 

Vista1 

VISTA1 

Vista de Baixo 

Figura 8 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre três estacas. 


o diâmetro das estacas 

Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes diâmetros de 

estacas, dividindo-se os modelos em três grupos distintos: (1) C1-1, C2-1 e C3-1, (2) 

C1-2 e C2-3 e (3) C1-3 e C3-3. A figura 9 mostra os campos de tensão dos modelos 

do grupo (1). 

Analisando os campos de tensão para os modelos do grupo (1) constatou-se 

que a distribuição das forças de compressão é bem coerente com o modelo de Blévot 

(1967), mas as regiões nodais são bem distintas. Como era esperado, com o aumento 

do diâmetro das estacas, a tensão de compressão ao longo da biela diminuiu, isto se 



63 

justifica afinal com o aumento da área da biela ocorre uma diminuição de tensão. 

Estas mesmas constatações foram feitas para os grupos (2) e (3). 

CORTE AA 

C1-1(φ est = 30 cm) 

CORTE CC 

C1-2(φ est = 35 cm) 

C1-3(φ est = 40 cm) 

Figura 9 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas. 

Por meio da figura 10 pode se observar as formações dos campos de tensão 

de tração (direção principal) para os modelos de blocos sobre três estacas. 

CORTE AA 

C1-1(φ est = 30 cm) 

CORTE CC 

C1-2(φ est = 35 cm) 

C1-3(φ est = 40 cm) 

Figura 10 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas. 

Com relação às tensões de tração máximas para os modelos com pilares 

retangulares (grupo 1) constatou-se que essas aumentaram conforme se diminuíram 

os diâmetros das estacas, as diferenças entre os valores máximos, de forma geral, 

não foram significativas. Estas observações também se aplicam ao grupo 3; para o 

grupo 2, as tensões diminuíram conforme se diminuiu o diâmetro das estacas. Essas 

constatações têm sua validade, mas é importante ressaltar que os grupos de modelos 

têm seções diferentes de pilar e, essa variação na seção, tem grande importância na 

formação dos campos de tensão conforme será visto no item seguinte. 


64 


5.2.2.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro 

das estacas variando-se a dimensão de pilares 

Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes seções de pilares, 

dividindo-se os modelos em dois grupos distintos: (1) C1-1, C2-1, C3-1 e (2) C1-3, C2- 

3, C3-3. 

A figura 11 apresenta os campos de tensões de compressão dos modelos do 

grupo 1. É mostrada uma vista de cima (face superior) dos modelos onde pode se 

observar as diferentes formas de distribuição de um modelo para o outro. 

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18) 

Figura 11 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas (vista de cima). 

A figura 12 apresenta os campos de tensões de tração dos modelos do 

grupo 1. É mostrada uma vista da parte inferior dos modelos, onde pode se observar 

os contornos dos campos de tensão de tração para os modelos com diferentes 

seções de pilares. 

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18) 

Figura 12 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas (vista de baixo). 

Com relação às tensões de tração os valores máximos para todos os modelos 

estudados ocorreram aproximadamente no centro do bloco, mas sua formação, como 

era esperado, diferiu muito de acordo com as mudanças nas seções dos pilares. 

5.2.3 Blocos sobre quatro estacas 

Para melhor visualização dos campos de tensão foram analisados vistas e 

cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre quatro estacas, a figura 13 

ilustra quais foram as vistas e cortes feitos nos modelos. 



65 

Figura 13 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre quatro estacas. 


o diâmetro das estacas 

Neste item foi feita uma análise dos campos de tensão de compressão (tensão 

principal na direção 3) para modelos de blocos sobre quatro estacas e comparada 

com o modelo analítico que utiliza analogia de treliça. Além disso, observaram-se as 

divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos 

valores de tensão máxima de tração (tensão principal na direção 1), quando se variam 

dimensões de estacas. 

Para esta análise utilizaram-se apenas 6 dos 7 modelos dividindo-os em dois 

grupos: (1) D1-1, D1-2 e D1-3 e (2) D2-1, D2-2 e D2-3. 

Observando-se os elementos mostrados no corte AA obtiveram-se as 

configurações de campos de tensão de compressão mostrados na figura 14, as 

diferenças nas formações das bielas, devem-se às diferentes geometrias dos pilares. 

D1-1 (φ est = 30 cm) D1-2 (φ est = 35 cm) D1-3 (φ est = 40 cm) 

D2-1 (φ est = 30 cm) D2-2 (φ est = 35 cm) D2-3 (φ est = 40 cm) 

Figura 14 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 4 estacas 

(corte AA). 

Da mesma forma que para os blocos sobre duas estacas, constatou-se que os 

campos de tensão de compressão nas regiões nodais formam-se além da seção do 

pilar e estacas, conforme é considerado no Modelo de Blévot (1967). Observou-se 

ainda que, com o aumento do diâmetro das estacas, as intensidades das tensões de 


66 


compressão diminuíram, isso era esperado e se justifica, pois há uma dissipação 

maior das tensões de compressão, portanto, maiores intensidades. 

Com relação às tensões de tração, houve diferenças nos valores de tensões 

máximas de tração conforme aumentaram-se os diâmetros das estacas, mas não 

foram significativas como nos modelos de blocos sobre duas estacas. Os campos de 

tensão de tração apresentaram aspecto semelhante em todos os modelos, como é 

mostrado na figura 15. 

Vista de Baixo Vista 1 Corte AA 

Figura 15 - Campos de tensão de tração no modelo D1-1. 

5.2.3.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro 

das estacas variando-se a dimensão de pilares 

Os modelos D1-x e D2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro 

com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área 

retangular mais alongada. 

Observando-se a figura 14, pode-se perceber que, conforme mudou-se a 

geometria do pilar, houve diferença na distribuição de tensões de compressão. 

Ocorreram diferenças significativas entre os modelos de blocos com pilares 

quadrados e retangulares. A intensidade da tensão de compressão ao longo da biela 

foi maior nos modelos com pilares de seção quadrada e diminuiu conforme alongouse 

a seção do pilar. 

Comparando-se os modelos de blocos sobre quatro estacas com pilar 

retangular de área 20cm x 80cm e com pilar quadrado de área equivalente 40cm x 

40cm obtiveram-se valores máximos de tensões de tração muito próximos, o que não 

ocorreu nos modelos de blocos sobre duas estacas. Neste caso, seria possível a 

utilização de seções quadradas de área equivalente para blocos com pilares de seção 

retangular. Logicamente para o modelo B3-1, com seção um pouco mais alongada 

(20cm x 90cm), os valores foram um pouco menores, como era esperado. Estas 

constatações podem ser observadas na tabela 6, que mostra os valores de tensões 

máximas de tração para o grupo de modelos analisados. 



67 


Grupos Modelos 

Seção Pilar Tensão de tração 

(cmxcm) máxima (MPa) 

D1-1 40 x 40 1,898 

1 D2-1 20 x 80 1,890 

D3-1 20 x 90 1,540 

5.2.4 Blocos sobre cinco estacas 

Para os blocos sobre cinco estacas também foram feitas análises comparando 

modelos com diferentes diâmetros de estacas e seções de pilares, mas, a 

constatação mais importante foi na análise das reações das estacas em modelos com 

diferentes alturas. Ocorreram diferenças significativas na comparação dos modelos 

numéricos com o modelo analítico. Na adoção de modelos com diferentes alturas 

também pode-se comprovar as diferenças nas formações dos campos de tensão de 

compressão mostradas na figura 16, que ilustra um corte passando no centro dos 

modelos. 

E1-1h80 

θ=45º 

E1-1h95 

θ=50º 

E1-1h110 

θ=55º 

Figura 16 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 5 estacas. 

Os modelos foram adotados conforme o ângulo de inclinação das bielas, 

modelo E1-1h80 possui ângulo de inclinação de 45º, E1-1h95 de 50º e E1-1h110 de 

55º. Estes ângulos estão contidos no intervalo sugerido pelo Método das Bielas (45º a 

55º) 

A figura 16 mostra que, quando o ângulo de inclinação das bielas está em seu 

limite inferior (45º), uma parcela maior de tensões de compressão dirigem-se para a 

estaca central. Conforme aumenta-se este ângulo, as tensões são melhores 

distribuídas para as demais estacas. Esta constatação pode ser melhor conferida 

quando se compara as reações obtidas em cada estaca. 

Em cada um dos modelos de blocos sobre cinco estacas foi aplicada uma 

força centrada de 1900 kN. Portanto, a reação em cada estaca, considerada no 

modelo analítico, é igual a 380 kN, já que, para modelos de blocos com ação de força 

centrada a reação em cada estaca é considerada o valor da força aplicada dividido 

pelo número de estacas. 

A figura 17 mostra como foi considerada a numeração das estacas no modelo. 


68 


Figura 17 - Numeração das estacas nos modelos de blocos sobre cinco estacas. 

Nos modelos numéricos a reação obtida em cada estaca divergiu dos modelos 

analíticos, como é mostrado na tabela 7. 

Tabela 7 - Reações nas estacas dos modelos numéricos de blocos sobre três estacas. 

Modelos θº 

Reação nas estacas (kN) 

1 2 3 4 5 

E1-1h80 45 360,01 360,01 459,96 360,01 360,01 

E1-1h95 50 367,41 367,41 430,36 367,41 367,41 

E1-1h110 55 371,84 371,84 412,64 371,84 371,84 

E1-3h80 45 344,10 344,10 523,60 344,10 344,10 

E2-1h80 45 361,66 361,66 453,36 361,66 361,66 

E2-3h80 45 347,09 347,09 511,64 347,09 347,09 

Sendo: θ = ângulo de inclinação das bielas 

Conforme a tabela 7 nos modelos numéricos, a reação na estaca central 

(estaca 3) foi muito maior do que nas outras estacas. Notou-se, analisando os 

modelos E1-1h80, E1-1h95 e E1-1h110 que, conforme aumenta-se a altura do bloco, 

o valor da reação na estaca 3 é menor, ou seja, esse modelo de bloco sobre cinco 

estacas teria que ser muito mais rígido para que a distribuição de força normal fosse 

coerente com o modelo analítico. O modelo E1-1h110 tem o ângulo de inclinação das 

bielas de 55º, ou seja, o valor máximo que é permitido pelo Método de Blévot (1967) 

para que se garanta que a transmissão de forças se dê pelo Modelo de Bielas e 

Tirantes. 

Mediante as constatações decidiu-se pela modelagem de mais um modelo de 

blocos sobre cinco estacas que foi nomeado E1-1h150 (d = 140 cm) e que teve a 

mesma geometria do modelo E1-1h80, mas, neste caso, a altura adotada foi de 

150cm. Para essa altura adotada no novo modelo, o ângulo de inclinação das bielas é 

de aproximadamente 63º, ou seja, bem maior que o intervalo permitido. A tabela a 

seguir mostra as reações encontradas para estacas do bloco E1-1h150. 

As reações nas estacas obtidas no modelo E1-1h150 foram valores bem mais 

próximos do modelo numérico, mas ainda assim a estaca 3 (central) apresentou maior 

valor que as demais. 



69 

Tabela 8 - Reações nas estacas do modelo E1-1h150. 

Reação nas estacas (kN) 

Modelo θº 

1 2 3 4 5 

E1-1h150 63 377,23 377,23 391,08 377,23 377,23 

Após essas verificações pode-se constatar que esse modelo de bloco sobre 

cinco estacas não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a 

inclinação das bielas. 

6 MODELAGEM UTILIZANDO BIELAS E TIRANTES 

É fato que para a definição de um modelo de Bielas e Tirantes deve-se seguir 

como orientação inicial os contornos e as trajetórias elásticas de tensões na peça que 

são obtidas inicialmente empregando-se um programa de análise em Elementos 

Finitos Linear. 

Longo (2000) utilizou modelos numéricos obtidos do Método dos Elementos 

Finitos para obtenção de modelos de Bielas e Tirantes, sendo que os modelos foram 

desenhados na própria tela do computador sobre os desenhos de trajetórias de 

tensão. 

Da mesma maneira que Longo (2000), com os modelos obtidos neste trabalho 

procurou-se sugerir um modelo mais refinado do que os analíticos existentes, mas 

não se pode generalizar, já que, o modelo adotado é função da geometria e das 

ações atuantes em seu contorno; estruturas com mesmas ações e geometrias 

diferentes são modeladas diferentemente. Portanto, nos modelos sugeridos não se 

definiu, por exemplo, espessura das bielas já que isso dependeria da seção de 

estacas e pilares adotados. 

Neste item não foram analisados os modelos de blocos sobre cinco estacas, já 

que, concluiu-se que este tipo de disposição de estacas não é adequada. 

6.1.1 Blocos sobre duas estacas 

A figura 18 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1 

(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos. 

Tensão Principal 1 

(tração) 

Tensão Principal 2 

(compressão) 

Figura 18 -Trajetória de Tensões Principais – Modelo B1-1. 


70 


Nos modelos adotados para blocos sobre duas estacas, apesar das diferentes 

seções adotadas para estacas e pilares a trajetórias de tensão é semelhante, 

divergindo obviamente nas regiões nodais. A figura 19 mostra as trajetórias de 

tensões em todas as direções obtidas para alguns dos modelos. 

B1-1 B2-1 B3-1 

Figura 19 -Trajetórias de tensões principais. 

Fazendo uma análise conjunta dos campos de tensão e das trajetórias de 

tensões obtidas conclui-se, que o modelo sugerido por Adebar et al.(1990) mostrado 

na figura 20, seria bem coerente com os modelos estudados e estes para obteria-se a 

treliça mostrada na figura 21. O modelo refinado sugerido pelo autor sugere um tirante 

onde os campos de tensão de compressão se expandem e são produzidas tensões 

de tração. Essa constatação pode ser feita para os modelos estudados observando-se 

as trajetórias de tensão principal na direção 1. 

Figura 20 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes 

sugerido por Adebar et al. (1990). 



71 

Proposta de Modelo de Bielas e Tirantes para 

Trajetórias de tensões elástico-lineares 

blocos sobre duas estacas 

Figura 21 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes para 

blocos sobre duas estacas. 

Para a treliça apresentada é necessária a verificação das regiões nodais, 

conforme as recomendações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), para isto, é 

preciso definir as larguras das bielas que chegam nos nós. O arranjo da armadura fica 

definido pelo tirante localizado na parte inferior do modelo. O tirante inclinado pode 

ser considerado de concreto, e deve ser feita a verificação da resistência à tração do 

mesmo. 

6.1.2 Blocos sobre três estacas 


(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre três estacas. 

CORTE AA 

CORTE CC 

Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão) 

Figura 22 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo C1-1. 


72 


De forma geral, a distribuição de tensão de compressão (formação das bielas) 

foi semelhante para todos os modelos podendo-se adotar uma solução semelhante. 

As trajetórias de tensões de tração, para os blocos sobre duas estacas, foram mais 

intensas na parte superior do mesmo, apresentando tensões inclinadas ao longo da 

altura. Portanto, para a adoção de um modelo de bielas e tirantes poderia utilizar a 

mesma treliça, utilizada para blocos sobre duas estacas mudando, logicamente, o 

posicionamento do tirante inferior. A forma das bielas e o tirante inclinado no meio 

seriam iguais aos sugerido na figura 21. 

A posição dos tirantes na face inferior dos blocos deve ser estudada para cada 

caso. É mostrada na figura 23 uma vista de baixo das trajetórias de tensões principais 

de tração. 

C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18) 

C1-3 (36,74x36x74) C2-3 (18x75) C3-3 (75x18) 

Figura 23 - Trajetória de Tensões Principais Direção 1 (tração) – Vista Inferior. 

É possível imaginar como deve ser a disposição das armaduras dos tirantes 

com as trajetórias de tensão mostradas na figura 23. Para todos os modelos com a 

melhor disposição de armadura encontrada que atenderia a distribuição das trajetórias 

de tensões seria segundo os lados dos blocos (ligando as estacas). Havia dúvidas se, 

no caso de pilares alongados, a disposição de armadura seria a mesma que para 

pilares quadrados, mas concluiu-se que essa disposição pode atender aos dois 

modelos. Talvez, em conjunto com uma armadura de distribuição, os modelos 

trabalhariam melhor já que, as tensões máximas ocorrem no centro do bloco, essa 

armadura distribuiria melhor para a armadura principal disposta segundo os lados. O 

uso desse tipo de distribuição justifica-se também aos ensaios experimentais feitos 

por Miguel (2000) que utilizou, em um de seus modelos, uma disposição de armadura 

segundo os lados do bloco, somadas a uma armadura em malha e, constatou que o 

uso de barras distribuídas diminui as fissuras na base do bloco. 

6.1.3 Blocos sobre quatro estacas 


(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre quatro 

estacas. 



73 

Tensão Principal 1 (tração) 

Tensão Principal 3 (compressão) 

Figura 24 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo D1-1 (corte AA). 

Como era esperado, a trajetória de tensões principais nos modelos de blocos 

sobre quatro estacas foi semelhante para todos os modelos. Para o modelo de bielas 

e tirantes pode se adotar uma treliça semelhante a que foi adotada pra blocos sobre 

duas estacas, mas equilibrada, neste caso para quatro estacas. 

As tensões principais de tração ocorreram no centro do bloco. A figura 25 

mostra a configuração das trajetórias de tensões principais na direção 1 (tração), vista 

de baixo, para alguns modelos adotados. 

D1-1 D2-1 D3-1 

Figura 25 - Trajetória de tensões de tração – Vista Inferior. 

Com as trajetórias de tensões mostradas na figura 25 é possível a sugestão de 

uma disposição adequada para as armaduras dos tirantes inferiores. Para todos os 

modelos adotados notou-se que uma distribuição bem coerente seria armar o bloco 

segundo os lados (unindo as estacas), como pode ser visto na figura 26. 

Figura 26 - Trajetórias de tensões de tração e sugestão para disposição de armadura dos 

tirantes para blocos sobre quatro estacas. 

Da mesma maneira que para blocos sobre três estacas é interessante a 

adoção de uma armadura de distribuição em conjunto com a armadura principal 

distribuída segundo os lados. 


74 


A sugestão desse tipo de disposição de armadura atende aos requisitos 

propostos na NBR 6118:2003, que sugere que a armadura principal dos blocos deva 

ser disposta essencialmente em faixas definidas pelas estacas em proporção de 

equilíbrio com as bielas. 

7 CONCLUSÃO 

A importância deste trabalho foi mostrar que os métodos utilizados para 

projeto de blocos sobre estacas apresentam divergências entre si. Esta constatação 

pôde ser feita em virtude dos diferentes resultados encontrados no cálculo das áreas 

de barras de armadura e para as verificações de tensões de compressão. 

Os modelos numéricos apresentaram os resultados esperados demonstrando 

a importância em adotar-se um modelo analítico mais refinado que leve em 

consideração parâmetros como diâmetro de estacas e seções de pilares. Além disso, 

deve-se adotar uma verificação de compressão nas regiões nodais, próximos ao pilar 

e próximas às estacas, semelhantes aos modelos de Bielas e Tirantes. 

Ficou comprovado que a adoção de uma análise numérica simplificada, 

considerando comportamento elástico linear, era necessária, já que existem poucos 

trabalhos tratando desse assunto, e, além disso, é o primeiro passo para adoção de 

um modelo de Bielas e Tirantes. 

Constatou-se que a treliça adotada pelo Método das Bielas (Blévot, 1967) é 

um modelo coerente para projeto de blocos sobre estacas e é o mais simples. Por 

meio das trajetórias de tensões e com os contornos de tensão obtidos para cada 

modelo foi possível posicionar bielas e tirantes e sugerir um modelo mais refinado, 

além disso, foi possível a verificação da influência do diâmetro das estacas e das 

seções de pilares no projeto de blocos sobre estacas e pôde-se sugerir arranjos de 

armadura. 

Com relação ao comportamento dos modelos pôde-se verificar que o modelo 

de Biela e Tirante sugerido não é nenhuma novidade, já que outros autores já tinham 

constatado em trabalhos experimentais que as bielas de compressão romperam por 

esmagamento do concreto; acreditando-se que a ruptura do tirante diagonal de 

concreto era o mecanismo crítico envolvido nas ruínas por cisalhamento dos blocos 

ensaiados. 

Por isso, entende-se a importância em adotar-se a treliça sugerida, fazendo a 

verificação do tirante diagonal, se não for possível a adoção de tirante de concreto 

(fazendo-se a verificação à tração do concreto) deve-se adotar uma armadura 

diagonal. 

Outro ponto importante é a geometria da treliça que deve ser diferente 

conforme a seção do pilar; a maior parte dos métodos analíticos considera para 

blocos com pilares de seção retangular, uma seção quadrada equivalente, e essa 

pode ser uma solução conservativa, em alguns casos, portanto, deve-se estudar caso 

a caso. A seção da estaca também deve ser considerada, já que, nos modelos 

analisados, quando se aumenta a seção, as tensões nas bielas diminuem, e, 

conseqüentemente, diminuem as tensões nos tirantes. 

Com relação aos blocos sobre cinco estacas pôde-se constatar que, na 

adoção de modelos com estacas distribuídas segundo os vértices de um quadrado e 



75 

uma estaca no centro geométrico, o comportamento não é exatamente como 

considerado na prática. Considerando fatores como a fissuração, os resultados 

poderiam ser ainda piores, ou seja, a distribuição de tensão seria ainda mais distinta. 

Com as análises efetuadas foi possível verificar que o modelo de bloco sobre 

cinco estacas, adotado neste trabalho, não é confiável, já que teria que atingir ângulos 

maiores que 63º para a inclinação das bielas. Aumentando muito a altura ficaria 

descaracterizado o tratamento desse modelo como bloco sobre estacas, devendo-se 

talvez, ser tratado como viga-parede. Além disso, não é vantagem econômica utilizar 

um bloco de fundação com uma altura muito elevada. Sendo assim, o mais correto é 

adotar outra disposição de estacas, quando houver a necessidade de utilizar blocos 

sobre cinco estacas, como por exemplo, blocos com estacas dispostas nos vértices 

de um pentágono. 

8 AGRADECIMENTO 

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta 

pesquisa não poderia ter sido realizada. 


ADEBAR, P.; KUCHMA, D.; COLLINS, M. P. (1990). Strut-and-tie models for design of 

pile caps: an experimental study. ACI Structural Journal, v.87, p. 81-92, Jan./Feb. 

ANSYS User’s Manual - Theory Manual (1998). ANSYS revision 5.5. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 – Projeto de 

estruturas de concreto. Rio de Janeiro. 

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1994). ACI 318M – Building code 

requeriments for reinforced concrete. Detroit, USA. 

BLÉVOT, J.; FRÉMY, R. (1967). Semelles sur pieux. Annales d’Institut Technique 

du Bâtiment et des Travaux Pulblics, Paris, v.20, n. 230, p. 223-295, fev. 

COMITÉ EURO–INTERNATIONAL DU BÉTON (1970). CEB-FIP Recommandations 

particulières au calcul et à l’exécution dês semelles de fondation. Bulletin 

D’Information, Paris, n.73. 

COMITÉ EURO–INTERNATIONAL DU BÉTON (1990). CEB-FIP model code for 

concrete structures. Bulletin D’Information, Paris, n. 203-205, July. 

COMISIÓN PERMANENTE DEL HORMIGÓN (2001).Ministerio de Fomento. Centro 

de Publicaciones. Instrucción de hormigón estructural (EHE), Madrid. 

HARISIS, A., FARDIS, M. N. (1991). Computer-Aided Automatic Construction of Strutand-Tie 

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IYER, P. K.; SAM, C. (1991). 3-D elastic analysis of three-pile caps. Journal of 

Engineering Mechanics, ASCE, v. 117, n. 12, p. 2862-2883, Dec. 


76 


LONGO, H. I. (2000). Modelagem de estruturas de concreto pelo modelo de bielas e 

tirantes utilizando o método dos elementos finitos. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS 

DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, 29., 1 CD-ROM. 

MACHADO, C. P. (1998). Consolos curtos e muito curtos de concreto armado. 

São Paulo. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo. 

MIGUEL, M. G. (2000). Análise experimental e numérica de blocos sobre três 

estacas. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, 

Universidade de São Paulo. 

MUNHOZ, F. S. (2004). Análise do comportamento de blocos de concreto armado 

sobre estacas submetidos à ação de força centrada. São Carlos. Dissertação 

(Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 

SCHLAICH, J., SCHAFER, K., JENNEWEIN, M. (1987). Towards a consistent design 

of structural concrete. PCI Journal, v.32, n.3, p.74-150, May/June. 

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ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS DE 

CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA 

NÃO-LINEARIDADE FÍSICA – MODELAGEM E 

METODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJETOS 

Richard Sarzi Oliveira 1 & Márcio Roberto Silva Corrêa 2 

Resumo 

O presente trabalho objetiva colaborar na melhoria dos procedimentos destinados à 

aplicação dos modelos não-lineares ao dimensionamento estrutural. Os estudos 

desenvolvidos estão didaticamente divididos em duas áreas do conhecimento. Na 

primeira delas, dedicada às leis constitutivas que representam os materiais aço e 

concreto, são estudadas as possíveis abordagens da não-linearidade física, e 

desenvolvidos modelos uni e biaxiais destinados à análise do Estado Limite Último, 

bem como dos Estados Limites de Serviço de abertura de fissuras, e de deformação ao 

longo do tempo. Na segunda parte, voltada ao dimensionamento de elementos de 

pavimentos de edifícios, são apresentadas e discutidas as metodologias atualmente 

empregadas. O método semi-probabilístico é analisado quanto à sua aplicabilidade e, 

ao final, uma proposta original é apresentada. Em seguida, o método do coeficiente 

global de segurança é apresentado com maior ênfase, destacando-se os seus pontos 

favoráveis e desfavoráveis. São apresentados estudos originais envolvendo o 

comportamento do coeficiente global de segurança sob diversas solicitações de projeto. 

Palavras-chave: concreto armado; não-linearidade física; elementos finitos. 


O meio científico tem desenvolvido, no decorrer dos últimos tempos, 

importantes ferramentas para o processamento da análise não-linear de elementos 

estruturais de concreto armado. Em contrapartida, a exploração dessas teorias no campo 

prático, notadamente no dimensionamento de estruturas correntes (como, por exemplo, 

um pavimento de edifício), encontra-se pouco explorada. Da mesma forma os códigos 

modelo, responsáveis pela normalização do cálculo estrutural, não dispõem ainda de 

procedimentos seguros que auxiliem o dimensionamento considerando-se o 

comportamento não-linear dos materiais. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rsarzi@sc.usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mcorrea@sc.usp.br 


78 

Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 

2 ASPECTOS SOBRE A FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS 

2.1 Elemento finito de barra 

Neste trabalho são empregados os elementos finitos de barra de Euler com seis 

graus de liberdade (gdl) por nó na representação dos elementos estruturais lineares de 

pórtico tridimensional, como mostrado na Figura 2.1. 

Figura 2.1 - Elemento de barra de pórtico tridimensional - coordenadas locais. 

onde: u x , u y , u z - translações segundo os eixos x, y e z, respectivamente; 

θ x , θ y , θ z - rotações em torno dos eixos x, y e z respectivamente; 

x - coordenada genérica no domínio do elemento; 

l i - comprimento do elemento finito. 

Os elementos são dotados de campos de deslocamentos transversais (u y e u z ) 

cúbicos, e longitudinais (u x ) lineares em seu domínio: 

ux( x) = a1 + a2 x 

(2.1) 

uy x b b x 2 

b x 3 

1 2 3 b4 

x 

(2.2) 

uz ( x ) = c1 + c2x + c3x + c4 

x 

2 

3 

(2.3) 

As rotações θ x são descritas através de um campo linear no domínio do 

elemento, e as demais são dependentes das derivadas dos deslocamentos transversais: 

θ x (x) = d 1 + d 2 x (2.4) 

θ y (x) = c 2 + 2.c 3 x + 3.c 4 x 2 (2.5) 

θ z (x) = b 2 + 2.b 3 x + 3.b 4 x 2 (2.6) 

2.2 Modelos aplicados à análise de vigas 

Os modelos descritos a seguir são ambos aplicáveis às vigas usuais de 

pavimento, ou seja, vigas de seção transversal retangular, e tê (T). 


Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade... 

79 

2.2.1 Seção transversal não estratificada 

Esse modelo aborda o comportamento mecânico do elemento segundo relações 

entre o esforço interno de momento fletor e a curvatura. A matriz de rigidez [k i ], e os 

vetores de forças nodais equivalentes f e de forças internas f , são: 

ext 

i 

T 

T 

[ i ] = ∫ [ Bi 

] [ Ci 

][ Bi 

] dV = ∫ [ Bi 

] E.I[ Bi 

]. 

V 

l i 

k dx 

(2.7) 

⎛ 

ext ext 

{ } { } ⎜ 

T 

T 

f + [ N ] { b } dV + [ N ] { p } 

0 

⎞ 

f ⎟ 

i = concentrada,i 

⎜∫ 

i i ∫ i i dS 

(2.8) 

⎝ V 

S 

⎠ 

l i 

int 

T 

T 

{ } = ([ B ] { σ }) [ B ] { M }. 

i 

∫ i i = ∫ 

f dx 

(2.9) 

V 

0 

i 

onde: E - módulo de deformação longitudinal; 

I - momento de inércia; 

{M i } - campo de esforço interno de momento fletor do elemento i. 

i 

int 

i 

2.2.2 Seção transversal estratificada 

Permite a aplicação de modelos constitutivos individualizados à representação 

dos materiais e das sua inter-relações de interação (Figura 2.2). 

Figura 2.2 - Elemento de viga estratificado; diagrama de deformações normais. 

A integral de volume que origina a matriz de rigidez é desmembrada em uma 

integral no comprimento sobre um somatório discreto da contribuição de cada uma das 

camadas na rigidez da seção transversal. As propriedades físicas e mecânicas das 

camadas são constantes ao longo da largura do elemento. 

li 

m 

T 

T T j 

[ k ] [ B i ] [ C ][ B ] dV = ([ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ]) b. dx 

i 

∫ 

V 

i 

i 

∫ ∑ 

= (2.10) 

0 

onde: b = b w , b f - largura da alma e da mesa da viga, respectivamente; 

j 

{ Zi } = { 1 z 0 0} 

; 

i 

j= 

1 

i 

i 

i 

i 


80 


Os vetores são expressos como: 

l i 

⎛ 

m 

int 

T 

{ } [ ] { } ⎜ 

T T j 

= B σ dV = [ B ] { Z } { σ } 

∫ ∫ ∑ ⎟ ⎞ 

f i 

i i 

⎜ 

i i i 

dx 

(2.11) 

V 

0 ⎝ 

j= 

1 ⎠ 

l i 

ext ext 

T 

{ } = { f } + b. [ N ] .{ p }. 

i 

conc,i 

∫ 

f dx 

(2.12) 

0 

i 

i 

2.3 Modelos aplicados à análise de pilares 

A modelagem dos pilares submetidos à flexão oblíqua composta pode se dar 

através de modelos não-estratificados, segundo diagramas de interação momentonormal-curvatura 

(EL-METWALLY; EL-SHAHHAT; CHEN (1989)). Outra 

possibilidade, implementada neste trabalho, emprega a estratificação simultânea da 

seção transversal segundo suas direções principais (ASSAN (1990)). 

2.3.1 Seção transversal filamentada 

A Figura 2.3 ilustra uma seção transversal filamentada típica. 

Figura 2.3 - Elemento de pilar filamentado; diagrama de tensões normais. 

Matriz de rigidez de um filamento de concreto 

T 

T T j,k 

[ ] [ B i ] [ C ][ B ] dV [ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ] 

i 

= ∫ i i = ∫ 

V 

l 

i 

k dx 

(2.13) 

onde: { Z } { z jk , 

i 

i 

y jk , 

= 1 0 

i } 

jk , 

y i 

jk , 

, z i 

; 

0 

- coordenadas y e z do ponto médio do filamento j,k. 

i 

i 

i 

i 



81 

Matriz de rigidez de um filamento de aço 

li 

fs 

T 

T s 

[ ] [ B i ] [ C ][ B ] dV [ B i ] [ C ][ B ] 

k dx 

(2.14) 

i 

= ∫ i i = ∫ 

V 

⎡ 1 

l 

i 

2 

⎢ 

l l 

s l l 

onde: [ ] ⎢z 

( ) 

= 

i z 

E A 

i 

0 yiz 

i 

C i i i 

. 

⎢ 0 0 0 0 

⎢ 

l l l 

⎢⎣ 

yi 

yiz 

i 0 

z 

0 

0 

l 

i 

l l 

y 

⎤ 

( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ l 2 

yi 

⎦ 

Do mesmo modo, escreve-se o vetor de forças internas do elemento: 

li m j m 

l 

k 

i 

ms 

int 

T 

T j,k T 

j,k 

T s l 

{ } = [ B ] { σ } dV = [ B ] { Z } { σ } + [ B ] [ C ] { σ } 

i 

∫ 

V 

i 

i 

∫ 

0 

i 

i 

i 

i 

∑∑ 

f (2.15) 

j= 1 k= 

1 

i 

∫ 

0 

i 

i 

∑ 

l= 

1 

i 

2.4 Elemento finito de placa delgada T3AF 

Neste trabalho são empregados os elementos T3AF (Figura 2.4) de formulação 

livre, anteriormente implementados por CORRÊA (1991). 

Figura 2.4 - Elementos triangular T3AF, e quadrilateral - coordenadas locais. 

O campo dos deslocamentos transversais u z é cúbico, e composto por um 

conjunto de modos básicos aliado a modos superiores. 

[ ]{ } [ ]{ } 

u = N α + N α (2.16) 

z rc rc h h 

onde: u z - campo dos deslocamentos transversais no domínio do elemento; 

[ N rc ] = [ ξ1 ξ2 ξ3 ξ1ξ2 ξ2ξ3 ξ3ξ1 ] - polinômio completo até o grau que 

corresponde aos modos rígidos e de deformação constante; 

N h = ξξ 1 2 ξ1 −ξ2 ξ2ξ3 ξ2 −ξ3 ξ3ξ1 ξ3 −ξ1 - modos superiores; 

[ ] 

[ ] ( ) ( ) ( ) 

{ αrc} ,{ αh} 

- coeficientes associados; 

ξ i - coordenadas homogêneas de área. 

2.4.1 Seção transversal não estratificada 

O modelo de momento fletor por curvatura aplicado ao elemento de placa 

apresenta as mesmas características já comentadas no item referente à barra. 


82 


A matriz de rigidez generalizada [ k α ,i ] de um elemento finito i, consiste em 

T 

utilizarem-se modos básicos completos ([ k α rc,i 

] = ∫ [ Brc 

] [ C][ Brc 

]dV ) em conjunto com 

modos superiores ([ k α h,i 

] = ∫ [ Bh 

] [ C][ Bh 

]dV 

[ ] 

V 

T 

[ k ] [ ] ⎤ 

αrc,i 

PrcG 

h 

T 

⎥ 

[ G P ] [ k ] ⎥ 

T 

V 

) linearmente independentes: 

⎡ 

k α,i 

= ⎢ 

(2.17) 

⎢⎣ 

h rc αh,i 

⎦ 

onde: [ h T 

] [ 

rc 

rc ] [ ][ h ] 

T 

G P = ∫ B C B dV - submatriz de rigidez que acopla o modo básico ao 

V 

[P rc ] = [ kui][ Grc] 

, . 

superior. Para o elemento T3AF, essa matriz apresenta 

coeficientes nulos devido à imposição da ortogonalidade em 

força (CORRÊA (1991)); 

2.4.2 Seção transversal estratificada 

A Figura 2.5 ilustra um elemento genérico de concreto armado estratificado. 

Figura 2.5 - Elemento de placa estratificado; diagrama de tensões normais. 

Os conceitos apresentados neste item constituem uma pequena introdução ao 

assunto. Maiores esclarecimentos sobre as formulações apresentadas podem ser 

encontrados em CORRÊA (1991). 

3 TÓPICOS SOBRE AS IMPLEMENTAÇÕES 

Neste item são apresentados os modelos efetivamente implementados, bem 

como os aspectos relevantes dessas implementações no sistema computacional para 

ANáliSe de Estruturas Reticuladas (ANSER). 



83 

3.1 Modelos para as vigas 

Para a análise das vigas, foram implementados os modelos não-estratificados 

propostos pelo CEB-FIP MC90, e por CORRÊA (1991), além do modelo estratificado. 

3.2 Modelos para os pilares 

Para a análise dos pilares utiliza-se a seção transversal filamentada. Além dos 

modelos constitutivos para o aço e o concreto (Figura 3.1), são também incorporados os 

modelos de aderência, e os efeitos do tempo sobre o comportamento. 

Figura 3.1 - Modelos constitutivos uniaxiais para o concreto e o aço. 

onde: f y - resistência de escoamento do aço à tração; 

ε y = f y /E s - deformação específica de escoamento do aço; 

E s - módulo de deformação longitudinal do aço. 

Os parâmetros dos modelos podem ser calculados pelo CEB-FIP MC90, ou 

mesmo pela NBR-6118, de acordo com a classe de resistência de cada material (Tabela 

3.1). Já os parâmetros do modelo de dano não são relacionáveis à resistência 

característica do concreto e, por esse motivo, devem ser obtidos experimentalmente. 

É de extrema importância para a análise de estruturas de concreto armado o 

correto posicionamento da linha neutra na seção transversal com o progresso do 

carregamento. Existem pelo menos duas formas para a abordagem do problema, 

exemplificadas a seguir para o caso de um elemento de viga submetido à flexão simples, 

na 1 a iteração do 1 o incremento de um carregamento externo que lhe impõe um estado 

curvaturas. A cada um dos pontos de integração ou, simplesmente PGs, deverá 

corresponder um valor de curvatura, e um estado de deformações associado. Admitindose, 

inicialmente, que a linha neutra corte a seção transversal na metade da sua altura 

geométrica (Figura 3.2), e empregando os modelos constitutivos dos materiais, 

determinam-se as tensões e as forças internas correspondentes a cada PG. 


84 


Tabela 3.1 - Valores dos parâmetros do concreto e do aço. 

Parâmetro CEB-FIP Model Code 1990 NBR-6118 

ε c1 0,0022 0,0020 

ε cu σ c = 0,5.f c no diagrama do CEB-90 não consta 

ε m 0,0020 não consta 

f c =f cm f ck + Δf (com Δf ≅ 8MPa) f ck + Δf (com Δf ≅ 3,5 MPa) 

f t =f ctm 

2 

⎛ 

030 , .( fck 

) 3 ( MPa) 

k f ck ⎞ 

. ⎜ ⎟ para fck 

≤ 18MPa 

⎝ 10⎠ 

k. ( 006 , . fck 

+ 07 , ) para fck 

> 18MPa 

⎧12 

, → sec. re tangular 

k = ⎨ 

⎩ 15 , → sec. " T" 

⎛ f ⎞ 

⎝ 10 ⎠ 

1 

3 

E c 4 cm 

215 , x10 

⎜ ⎟ ( MPa) 

6600. f 3, 

5 ( MPa) 

E c1 

f cm 

0, 

0022 

ck + 

f cm 

(não consta) 

0, 

0020 

f y f yk (sugestão deste autor) f yk (sugestão deste autor) 

E s 210000 MPa 210000 MPa 

α 05 , ≤α ≤ 07 , 

não consta 

Figura 3.2 - Estados de deformação, tensão e forças (1 a iteração do 1 o incremento). 

Esse vetor de forças internas {N i , M i }, comparado ao vetor das forças externas 

{N e , M e }, resulta em um vetor de resíduos Ψ={ΔN, ΔM} composto por força normal e 

momento fletor, já que a força cortante é obtida pelo equilíbrio dos momentos fletores. 

Como se trata de flexão simples (N=0), o resíduo de normal nos dois PGs deve ser 

anulado através de um dos procedimentos a seguir (Figura 3.3): 

• a primeira alternativa, consiste em manter a curvatura obtida para a iteração 

em função do estado de deslocamentos, e movimentar a LN para até que seja satisfeita a 

condição de N i =0 (uma vez que N e =0). Estabelecida essa condição calcula-se, para a 

posição atualizada da LN, o vetor de forças internas e o respectivo vetor resíduo 

Ψ={ΔM} (pois ΔN=0). Obedecendo a esse procedimento são acertadas, 

independentemente, as posições das linhas neutras nos dois PGs; 



85 

• a segunda é mais simples, e consiste na reaplicação do vetor resíduo Ψ={ΔN, 

ΔM} à estrutura. Desse modo, a própria parcela do resíduo referente à normal (ΔN) fica 

responsável pelo reposicionamento da LN na seção transversal. 

Figura 3.3 - Ilustração do vetor resíduo sobre o domínio da barra. 

A primeira apresenta convergência com um menor número de iterações (cerca de 

70%) em relação à segunda. No entanto, a sua aplicação à casos de flexão composta 

(N i ≠0) se torna mais complexa devido à inclinação da LN com os eixos principais de 

inércia da seção transversal. A segunda alternativa é mais simples de ser implementada, 

porém apresenta convergência com maior número de iterações comparativamente à 

primeira alternativa. A utilização de um campo de deslocamentos longitudinais linear 

para o elemento finito gera um campo constante de forças normais. Desse modo, ao se 

realizarem as integrações das tensões normais no domínio do elemento segundo os dois 

PGs, chega-se a um resíduo de normal equivalente à média obtida nos dois PGs. 

⎡ 1 ⎤ 

li 

⎢ − ⎥ 

T 

l 

⎧ − N − N N + N 

ΔN 

= ∫ [ B ] { σ } dV = ⎢ 

i 

1 2 1 

i i ∫ ⎥{ ΔN1 

ΔN 

2} 

= ⎨ 

⎢ 1 ⎥ 

⎩ 2 2 

V 

0 

⎢⎣ 

l ⎥ 

i ⎦ 

2 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

(3.1) 

Esse valor médio, no entanto, é maior, em módulo, que o resíduo verificado no 

PG menos solicitado (Figura 3.3), o que na prática deve provocar um novo resíduo 

nessa seção transversal, de sinal contrário ao anterior. Sucessivamente, para o PG 

menos solicitado, há a inversão do sinal do resíduo a cada iteração, mas sempre 

convergindo para a solução. Por outro lado, sendo o valor médio menor, em módulo, 

que o resíduo observado no PG mais solicitado, o mesmo torna-se insuficiente para 

colocar a LN em uma posição capaz de anular o resíduo de normal nessa seção. Esse PG 

mais solicitado apresenta uma convergência monotônica para a LN, já que não ocorre a 

inversão de sinal do resíduo para essa seção transversal. Por esse motivo, a 

convergência para o elemento e para a própria estrutura torna-se mais dispendiosa em 

termos do número de iterações comparativamente à primeira alternativa. 

3.2.1 Atualização da matriz de rigidez 

A análise dos elementos lineares de concreto armado pode ser efetuada de 

acordo com três procedimentos de solução: matriz de rigidez inicial, método de 

Newton-Raphson, ou Newton-Raphson modificado. 


86 


3.3 Modelos para as lajes 

No campo dos momentos fletores e das curvaturas foram implementados os 

modelos propostos pelo CEB-FIP MC90 e por CORRÊA (1991), adotando o momento 

2 2 2 

2 

equivalente de von Mises ( M eq = .( M x + M y − M x .M y ) + 2. M xy ). 

3 

Doravante, especial destaque é dado à implementação do modelo estratificado. 

As armaduras longitudinais estão submetidas exclusivamente à ação de tensões normais 

e, como no caso das vigas, respondem à relação constitutiva elastoplástica perfeita. 

As camadas de concreto simples têm o comportamento mecânico regido por um 

modelo misto. Para os estados de compressão biaxial, aplica-se o critério de von Mises, 

que apresenta resultados bastante razoáveis na representação desse comportamento. 

Para os estados envolvendo a tração, emprega-se o modelo de fissuração dispersa fixa, 

monitorado pelo critério de Rankine, responsável pelo cut-off da superfície de von 

Mises (Figura 3.4). 

A superfície elástica do critério de von Mises (superfície 1) pode ser adotada no 

limite de 30% da resistência à ruptura (f c ). O encruamento é do tipo positivo isótropo, 

estabelecido em função da deformação plástica equivalente (strain-hardening), e a 

evolução (encruamento) das superfícies de carregamento até o limite da ruptura é regida 

pela parábola de Madrid. A regra da normalidade do vetor fluxo plástico, na qual 

r( { σ} ,{ q} 

) = fσ 

, é aqui adotada para o encruamento das duas superfícies. Sua 

aplicabilidade é mais indicada a materiais que não apresentem variação volumétrica 

com a plastificação, como é o caso do aço anteriormente à ruptura. No entanto, o 

emprego dessa regra à descrição do comportamento do concreto tem proporcionado 

bons resultados (CHEN;CHEN(1975)). 

Figura 3.4 - Superfícies do modelo implementado: von Mises e Rankine. 

3.3.1 Atualização da matriz de rigidez (von Mises) 

A parcela da atualização da matriz de rigidez referente às camadas de concreto 

que satisfazem ao critério de von Mises é obtida através da matriz elástica tangente 

modificada. 

d 

d 

{} σ 

{} ε 

= 

[ Ξ] () γ 

− 

([ Ξ] j+ 

1()[ γ P]{ σ} 

j+ 

1 

)[ Ξ] j+ 

1( γ)[ P]{ σ} 

j+ 

T 

{} σ [ P][ Ξ] j+ 

1()[ γ P]{} σ + 

j+ 

1 

( ) 

j+ 

1 

j+ 1 

j+ 

1 

j+ 

1 

β 

1 

T 

(3.2) 



87 

2 

2 

β e θ 2 = 1− 

k j+ 1. 

γ (para k variável). 

3 

T 

+ 

= k σ P σ 

3θ 

2 

onde: 

j 1 

( j+ 

1 ){} 

j+ 

1[ ]{} j + 1 

3.3.2 Aspectos sobre a formulação da superfície de Rankine 

A superfície elástica de Rankine (superfície 2) é definida pela resistência à 

tração do concreto (f t ). FEENSTRA;DE BORST (1995) trazem a formulação completa 

para o critério de Rankine, incluindo o amolecimento a partir da superfície de ruptura. 

No entanto, este trabalho apresenta um enfoque peculiar à análise das camadas de 

concreto submetidas a estados de tração. 

Admita-se uma camada de concreto solicitada por um determinado estado plano 

de tensões que gerem, pelo menos, uma tensão principal positiva superior ao limite de 

ruptura f t , promovendo o surgimento de uma ou mais fraturas do tipo I. Nessas 

condições, de acordo com a teoria de fissuras dispersas, a placa de concreto perde as 

características de comportamento bidimensional acoplado (pois ν → 0), e passa a se 

comportar independentemente nas duas direções principais. O comportamento mecânico 

segundo essas direções passa a ser governado por relações uniaxiais. Esse 

comportamento pós-fissuração também é previsto por autores cujos trabalhos estão 

ligados estritamente ao projeto de lajes de concreto armado. 

Além da hipótese de desacoplamento do comportamento biaxial apresentada no 

parágrafo anterior, observa-se que a superfície de Rankine é delimitada paralelamente 

aos eixos principais. Pela regra da normalidade, então, o retorno de um estado de 

tentativa elástica à superfície de carregamento se dá paralelamente a um desses eixos. 

No caso de o estado de tentativa exceder o limite f t nas duas direções principais, o 

retorno se daria ao vértice da superfície de carregamento, o que está de acordo com o 

proposto por FEENSTRA;DE BORST (1995), com base na generalização de KOITER 

(1953) 3 apud PROENÇA(1988) para a abordagem do escoamento de pontos com 

derivada indefinida (Figura 3.5). 

Figura 3.5 - Retornos à superfície de Rankine (FEENSTRA;DE BORST(1995)). 

A curva de amolecimento adotada para a superfície de Rankine é idêntica à do 

modelo uniaxial (Figura 3.1). No entanto essa curva deve agora ser calibrada com base 

no conceito de energia de fratura. O comprimento equivalente h eq é calculado de acordo 

com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1996): 

3 KOITER,W.T.(1953). Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a 

singular yield surface. Q. Appl. Math. n. 11, p.350-354. apud PROENÇA(1988). 


88 


h = α h . A 

(3.3) 

eq 

onde: 

⎧ 2 para elementos com campos lineares 

α = ⎨ 

⎩1 

para elementos com campos quadraticos 

A - área do elemento finito. 

h ; 

A energia de fratura G f utilizada para calcular os parâmetros da curva de 

amolecimento são os sugeridos pelo CEB-FIP MC90 (Tabela 3.2) de acordo com a 

classe do concreto e o diâmetro máximo do agregado graúdo. 

Tabela 3.2 - Energia de fratura G f (N.m/m 2 ). 

tamanho máximo do 

agregado 

classes do concreto 

(mm) C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 

8 30 40 50 60 70 75 85 90 

16 50 60 75 90 105 115 125 135 

32 80 105 130 150 170 190 200 220 

Cabe observar que a determinação do comprimento equivalente através da 

expressão 3.3 ameniza, mas não resolve o problema da dependência de malha. Os 

autores advertem que a expressão tem proporcionado bons resultados para malhas 

consideradas usuais, o que não é garantido para um refinamento qualquer. 

Para a análise do vértice entre as duas superfícies, cujas características são 

similares às do vértice da superfície de Rankine, é aplicada a generalização proposta por 

Koiter. Como resultado, o retorno de um estado de tentativa inicial pertencente à região 

delimitada pelos versores normais às duas superfícies concorrentes (Figura 3.6) se dá 

indiretamente ao vértice. Primeiro, há uma projeção intermediária do estado de tentativa 

{σ} t sobre a bissetriz do ângulo formado pelas direções dos vetores de fluxo plástico 

das duas superfícies naquele ponto. Em seguida, esse estado intermediário retorna ao 

vértice das superfícies de carregamento. 

Figura 3.6 - Procedimentos de retorno às superfícies - caso do vértice. 



89 

3.3.2.1 Atualização da matriz de rigidez (Rankine) 

Por ocasião da fissuração, o concreto passa a apresentar ortotropia, cuja 

orientação coincide com a dos eixos principais (1 e 2). A cada um dos eixos estão 

relacionados valores tangentes dos módulos de deformação do concreto (E T,1 , E T,2 e 

β cr .G T,12 ), obtidos da análise uniaxial de cada direção principal isoladamente (lembrando 

que, neste caso, ν →0). O ponderador β cr contempla a contribuição do engrenamento 

dos agregados na transmissão da tensão de cisalhamento na fissura. 

⎡C11 

0 0 ⎤ 

ep 

C = 

⎢ 

⎥ 

12 ⎢ 

0 C22 

0 

⎥ 

(3.4) 

⎢⎣ 

0 0 C33 

⎥⎦ 

[ ] 

ep 

A matriz de rigidez é atualizada através da matriz [ C] 

xy 

relacionada ao sistema de eixos principais da seguinte forma: 

onde: [ ] 

ep T ep 

[ C] [ T] [ C] [ T] 

devidamente 

xy = 12 

(3.5) 

2 

( α) 2 

sen ( α) sen( α) cos( α) 

2 

( α) 2 

cos ( α) − sen( α) cos( α) 

( α) cos( α) 2.sen( α) cos( α) 2 

2 

cos ( α) − sen ( α) 

⎡ cos 

⎤ 

⎢ 

T = ⎢ sen 

⎢ 

( )⎥ ⎥⎥ ; 

⎣ 

− 2.sen 

⎦ 

α - ângulo formado entre o eixo principal 1 e o eixo x (>0 se anti-horário). 

4 CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS NO TEMPO 

O objetivo deste item é a formulação de um modelo simples, mas 

suficientemente preciso para a análise dos esforços, deslocamentos, tensões e 

deformações de uma estrutura ao final de um determinado período de tempo. 

O fenômeno básico para a apresentação das formulações é a fluência à 

compressão manifestada desde um instante inicial t 0 , ao instante de interesse t (t=t 0 +Δt). 

Nos respectivos instantes, não havendo restrições às deformações específicas do 

concreto, as deformações podem ser escritas como: 

σ 

ε (4.1) 

c 

( t 0 ) = 

E c ( t 0 ) 

() t = ε ( t ) + ε ( t, t ) 

c 

ε (4.2) 

c 

c 

0 

onde: ε c ( t 0 ) - deformação instantânea em t 0 ; 

ε c () t - deformação no instante t; 

( t 0 , t) 

cc 

0 

ε - fluência específica do concreto entre t 0 e t; 

cc 

σ c - tensão de compressão no concreto (constante entre t 0 e t); 

E c ( t 0 ) - módulo de deformação longitudinal do concreto em t 0 . 


90 


A deformação do concreto no instante t também pode ser definida como a 

superposição da fluência ocorrida entre t 0 e t com a deformação inicial em t 0 , 

empregando-se o coeficiente de fluência: 

onde: ( t 0 , t) 

c 

() t = ε ( t ).1 

[ + ϕ( t, t )] 

ε (4.3) 

c 

0 

0 

ϕ - relação entre a deformação por fluência e a deformação inicial. 

A implementação dos efeitos do tempo tem como base os parâmetros do modelo 

de fluência proposto pelo CEB-FIP MC90. 

4.1 Fluência 

Retomando a expressão 4.3, a hipótese para o instante t 0 =28 dias, leva a um 

coeficiente de fluência ( ϕ 28 ) calculado pelo CEB-FIP MC90 como: 

( t , t) = ϕ β ( t − ) 

ϕ (4.4) 

28 0 0 c t 0 

onde: = ϕ . β( f ). 

β( ) 

ϕ ; 

0 UR cj t 0 

UR 

1 − 

ϕ UR = 1 + 

100 

; 

1 

0,215. ( h 0 )3 

16,8 

β ( f cJ ) = ; 

f 

cj 

1 

β ( t 0 ) = 

; 

0,1 + 

( t ) 0, 2 

0f 

t T - idade inicial fictícia; 

f cj - resistência média do concreto à compressão, prevista para os j dias; 

h 0 - espessura fictícia da peça. 

4.1.1 Aplicação aos elementos lineares 

A metodologia empregada neste trabalho baseia-se na decalagem do diagrama 

tensão-deformação do concreto entre os instantes t 0 e t. Com a hipótese da 

independência entre o coeficiente de fluência (ϕ) e a respectiva tensão no concreto (σ c ), 

FUSCO,P.B.(1981) sugere que, por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação 

do concreto deva sofrer uma transformação afim, de razão ϕ, paralelamente ao eixo de 

ε c (Figura 4.1). 



91 

Figura 4.1 - Influência da fluência sobre o modelo do concreto. 

4.1.2 Aplicação aos elementos de placa 

Para a análise dos elementos de placa submetidos aos efeitos da fluência, foram 

mantidas as mesmas premissas adotadas para os elementos lineares. As relações 

constitutivas que exprimem os comportamentos típicos de estado plano (tração-tração, 

tração-compressão e compressão-compressão), têm apenas alterada a rigidez no que 

concerne ao módulo de deformação longitudinal. Os estados desacoplados 

(tração+tração e tração+compressão) seguem as mesmas leis constitutivas uniaxiais 

apresentadas no item 4.1.1. 

5 ASPECTOS SOBRE O DIMENSIONAMENTO 

5.1 Introdução 

O dimensionamento de estruturas empregando-se modelos constitutivos mais 

representativos para os materiais tem sido, nos últimos anos, objeto de grande interesse 

dentre os órgãos internacionais de regulamentação. 

De acordo com o CEB: Bulletin d’Information n o 227, “. . . dados teóricos e 

experimentais atualmente demonstram que a hipótese da análise elástico-linear pode se 

apresentar tanto a favor como contra a segurança. Esse aspecto é inaceitável para a 

execução de um projeto seguro e econômico”. 

O objetivo desta parte do trabalho é o de apresentar o estado da arte da análise 

não-linear física aplicada ao projeto de estruturas, descrevendo as principais 

metodologias cujo emprego ao dimensionamento tem sido estudado. Ao final, são 

apresentados exemplos práticos envolvendo estruturais isolados. 

5.2 Métodos disponíveis 

Atualmente, são duas as correntes de pensamento que fundamentam as 

metodologias atualmente em pauta. A primeira delas, liderada pelo pesquisador Giorgio 

Macchi, defende a continuidade do método semi-probabilístico, apesar de não descartar 

a necessidade de algumas adaptações necessárias. A segunda, tendo à frente Gert König 

e Josef Eibl, adota uma postura revolucionária, e defende o conceito de um coeficiente 

de segurança global relativo aos materiais. 


92 


5.2.1 Método semi-probabilístico 

Os aspectos que dificultam a aplicação e, de certo modo, o entendimento da 

lógica implícita no método, estão relatados a seguir. 

5.2.1.1 Composição do carregamento 

Uma primeira possibilidade de consideração do carregamento surge da analogia 

com a análise de estruturas considerando-se a não-linearidade geométrica (NLG), onde 

é comum o particionamento de γ f (Figura 5.1). 

Figura 5.1 - Aspecto da majoração do esforço parcial de projeto (M d,parcial ). 

Aplicado à análise de estruturas cujos comportamentos atendam a uma lei 

constitutiva limitada por um valor último, esse procedimento pode levar ao estado 

ilustrado na Figura 5.1. Supondo que, ao final da análise a seção esteja submetida a um 

esforço suficientemente próximo a M u , tal que a pós multiplicação desse esforço por γ f3 

possa conduzir a M>M u , significa admitir que a capacidade resistente pré-estabelecida 

para a seção é incompatível com o valor do carregamento aplicado. Esse problema, já 

observado por OLIVEIRA (1997), gera um procedimento iterativo na busca da 

convergência entre o momento fletor de projeto (M d ), e o valor da capacidade última 

resistente arbitrada para a seção transversal (M d,u ). 

A opção mais plausível, então, parece ser a aplicação do carregamento total de 

projeto (majorado por γ f ) para a obtenção dos esforços, o que eliminaria o problema da 

possível superação de M d,u . 

5.2.1.2 Valores para as propriedades dos materiais 

Valores característicos, ou de projeto, envolvem aspectos probabilísticos ligados 

à segurança da estrutura no ELU, e por isso não exprimem o comportamento em serviço 

esperado. No ELU, no entanto, de acordo com o método semi-probabilístico, as 

características mecânicas dos materiais devem ser minoradas pelos coeficientes de 

segurança. Isso pode levar, na maioria dos casos, ao mesmo problema assinalado na 

Figura 5.2 pois, ao final da análise respeitando-se os valores dos esforços obtidos com 

as propriedades médias dos materiais, estes devem ser minorados pelos coeficientes de 

segurança. 

Por outro lado, a adoção das propriedades de projeto dos materiais em toda a 

estrutura pode conduzir a resultados pouco confiáveis e fisicamente distorcidos, uma 

vez que a análise contemplaria uma estrutura mais deformável que a estrutura real, 

prejudicando o aspecto da redistribuição de esforços. 



93 

Figura 5.2 - Aspecto da minoração do esforço característico (M k ). 

5.2.1.3 Propostas para o dimensionamento 

Ao definir as propriedades de projeto do concreto altera-se, além da capacidade 

resistente teórica (f ck → f cd ), também a relação constitutiva do material. Isso inviabiliza 

a caracterização de uma relação constitutiva que seja capaz de ambos: representar 

coerentemente as redistribuições de esforços (de acordo com as propriedades médias), e 

ainda estar limitada a um valor convencional (f cd ). 

A definição de uma relação constitutiva para o aço é menos conflitante, haja 

visto a invariabilidade (mesmo que convencional) de seu módulo de deformação 

longitudinal (E s ) com a resistência ao escoamento (Figura 5.3). 

Figura 5.3 - Diagrama tensão-deformação para o aço CA-50ª. 

5.2.1.4 Proposta de alteração da rigidez inicial 

Essa proposta, apresentada por CÂMARA et al. (1994) e depois adotada por 

SANTOS (1997) mantém, para o aço, o valor de projeto convencional obtido com 

γ s =1,15, mas promove uma modificação da lei constitutiva do concreto. O módulo de 

elasticidade, calculado na origem com base no valor médio da resistência, é afetado por 

um fator γ c =1,20 como preconiza o CEB-FIP MC90 consoante à determinação dos 

deslocamentos. A tensão de ruptura é a de projeto convencional (f cd =f ck / γ c, com 

γ c =1,50), como mostra a Figura 5.4 devidamente adaptada ao γ c =1,40. 


94 


5.2.1.5 Proposta da limitação da tensão máxima 

Neste trabalho, propõe-se a composição de duas relações constitutivas, ou seja, 

uma lei baseada no valor médio de resistência até que seja atingida a tensão de projeto 

(f cd ). Em seguida, a curva tensão-deformação segundo os valores médios é substituída 

por uma relação elastoplástica perfeita limitada (Figura 5.4). 

4,0 

3,5 

3,0 

CEB-FIP MC90 - val. médios 

CEB-FIP MC90 - val. de projeto 

proposta deste trabalho 

SANTOS (1997) 

2,5 

2,0 

1,5 

tensão (kN/cm 2 ) 

1,0 

0,5 

deform ação 

0,0 

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 

Figura 5.4 - Diagramas para o concreto C-30 (CEB-FIP MC90). 

5.2.2 Método dos coeficientes globais 

A proposta de emprego do método dos coeficientes globais tem o objetivo, 

segundo o texto do CEB: Bulletin d’Information n o 239, de estabelecer uma 

metodologia consistente que seja aplicável a todo tipo de modelo ou de estrutura. 

O conceito de coeficiente global (γ gl ) doravante empregado quer referir-se 

apenas à parcela da segurança relativa à resistência da estrutura, de modo que: 

( .Q + γ .G) 

R 

γ q g ≤ 

(5.1) 

γ 

gl 

onde: R é a capacidade resistente da estrutura empregando-se as propriedades médias 

dos materiais. 

A maior discussão quanto ao emprego do método restringe-se à definição do 

valor do coeficiente global a ser empregado. Se as propriedades médias dos materiais 

forem definidas simplificadamente como: 

f 

f 

cm 

ym 

= 1,1.f 

= 1,1.f 

ck 

yk 

(5.2) 

pode-se mostrar que o γ gl para uma seção transversal de concreto armado situa-se, 

aproximadamente, entre 1,265 (quando a ruptura se dá pela armadura de flexão) e 1,650 

(quando a ruptura se dá pelo concreto), se for empregado γ c =1,5. No entanto, quando a 



95 

ruptura da seção se dá pela concomitância dos dois modos, não existe uma descrição 

para o coeficiente (Figura 5.5). 

pl 

1,650 

M /M pl,d 

? 

1,265 

ρ 

ruptura pelo aço ruptura pelo concreto 

Figura 5.5 - Diagrama idealizado para o γ gl esperado para uma estrutura de concreto armado 

submetida à flexão. Carregamento proporcional. 

onde: M pl – momento de plastificação obtido com os valores médios dos materiais; 

M pl,d – momento de plastificação obtido com as propriedades de projeto. 

Esses valores, apresentados por EIBL;SCHMIDT-HURTIENNE (1997), 

também podem ser caracterizados analiticamente: 

aço 

concreto 

f yk 

f ck 

f yd = ; f ym = 1,10. f yk f cd = ; f cm = 1,10. f ck (5.3) 

1,15 

1,5 

f ym 

f cm 

onde: = 1,10.1,15 = 1, 265 

= 1,10.1,5 = 1, 650 

f 

f 

yd 

De um modo geral, as vigas são projetadas para um ELU definido pela 

deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto que os pilares, 

preferencialmente, pelo esmagamento do concreto. Nessa linha de raciocínio, 

LOURENÇO et al. (1992) propõem uma análise global segmentada, de acordo com o 

modo de ruptura: γ gl = 1,5 se a ruptura for pelo concreto (1,5 pois os autores propõem 

f cm =f ck ), e γ gl = 1,15 para a ruptura por deformação excessiva da armadura. 

A solução encontrada pelos membros do CEB Task Group 2.1 Non-linear design 

methods and safety concepts, e sobre a qual pesam as maiores críticas, foi a de adaptar o 

valor da resistência média do concreto (f cm ) de acordo com pesquisas finalizadas e em 

andamento na Universidade de Leipzig (KÖNIG et al. (1997) 4 apud CEB: Bulletin 

d’Information n o 239). Segundo os autores, o valor da resistência média do concreto, 

medido in-situ é de 0,85 do respectivo valor característico medido em laboratório. 

f cm = 0,85. f ck 

(5.4) 

Uma vez aceita a validade da relação 5.4, os coeficientes referidos a ambos os 

tipos de ruptura passam a ser bastante próximos e, para efeito prático, iguais a 1,27. 

aço 

concreto 

cd 

4 KÖNIG,G.;SHOUKOV,D.;JUNGWIRTH,F.(1997). Sichere beton production für stahlbetontragwerke, Intermediate 

report 2, March. apud CEB: Bulletin d’Information n o 239. 


96 


f 

f = 

1,15 

f 

= (5.5) 

1,5 

yk 

ck 

yd = ; f ym 1,10. f yk 

f cd ; f cm = 0,85. f ck 

f ym 

f cm 

onde: = 1,10.1,15 = 1, 265 

= 0,85.1,5 = 1, 275 

f 

f 

yd 

A adaptação do método aos coeficientes indicados pelos códigos de 

normalização brasileiros é apresentada a seguir. O coeficiente de segurança aplicado ao 

aço é γ s =1,15. O coeficiente aplicado ao concreto, de acordo com a NBR-8681/84 deve 

valer γ c =1,4, o que leva a um valor de ruptura pelo concreto de: 

f 

f 

cm 

cd 

= 0,85.1,4 = 1,19 

(5.6) 

Se o objetivo final é o de manter fixo o coeficiente de segurança, quer seja a 

ruptura pelo concreto ou pelo aço, deve-se agora alterar o valor médio para o 

escoamento do aço, de modo a se obter um coeficiente de 1,19. 

1,19 

f ym = .f ck = 1,035. f ck 

(5.7) 

1,15 

A seguir, são realizadas uma série de aferições com o objetivo de explorar 

melhor as respostas mecânicas de seções transversais, agora empregando-se γ c =1,4. A 

amplitude dos estudos constam da Tabela 5.3, e os resultados apresentados, convém 

ressaltar, dão apenas um indicativo sobre o comportamento estrutural. 

Tabela 5.3 - Resumo dos casos analisados com γ c =1,4. 

cd 

Os resultados obtidos são apresentados nas figuras a seguir. 



97 

1,200 

1,190 

sem armadura de compressão 

1,180 

1,170 

1,160 

Mpl / Mpl,d 

1,150 

1,140 

1,130 

1,120 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,110 

1,100 

1,090 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 

taxa de armadura - ρ 

Figura 5.6 - γ gl . FSr-01 a FSr-07. 

1,20 

1,19 

armadura de compressão (porta estribos: 2 φ 6,3 mm): ρ' = 0,05% 

1,18 

1,17 

1,16 

Mpl / Mpl,d 

1,15 

1,14 

1,13 

1,12 

1,11 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,10 

1,09 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 



1,20 

1,19 

armadura de compressão: ρ' = 0,25 % 

1,18 

1,17 

1,16 

Mpl / Mpl,d 

1,15 

1,14 

1,13 

1,12 

C-20 

C-25 

C-30 

1,11 

C-35 

C-40 

1,10 

C-45 

C-50 

1,09 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 




98 


1,20 

1,19 

armadura de compressão: ρ' = 0,50 % 

1,18 

Mpl / Mpl,d 

1,17 

1,16 

1,15 

1,14 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,13 

1,12 

1,11 

1,10 

1,09 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 



1,20 

sem armadura de compressão 

1,19 

1,18 

Mpl / Mpl,d 

1,17 

1,16 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,15 

1,14 

1,13 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 


Figura 5.10 - γ gl . FSt-01 a FSt-07. 

1,20 

armadura de compressão mínima: ρ'=0,100 a 0,197% 

1,19 

1,18 

Mpl / Mpl,d 

1,17 

1,16 

1,15 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,14 

1,13 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 





99 

1,20 

armadura de compressão: ρ'=0,50% 

1,19 

Mpl / Mpl,d 

1,18 

1,17 

1,16 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,15 

1,14 

1,13 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 



1,20 

armadura simétrica: ρ' = ρ 

Mpl / Mpl,d 

1,19 

1,18 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

1,17 

1,16 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 


Figura 5.13 - γ gl . FNC, e=10 cm. 

1,20 

1,19 


C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

Mpl / Mpl,d 

1,18 

1,17 

1,16 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 




100 


1,20 


1,19 

C-20 

C-25 

C-30 

C-35 

C-40 

C-45 

C-50 

Mpl / Mpl,d 

1,18 

1,17 

1,16 

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 



De um modo geral, os diagramas indicam que o emprego do coeficiente global 

de segurança relativo aos materiais apresenta um bom potencial a ser explorado, 

principalmente se resolvidos alguns dos problemas aqui observados. As seções 

submetidas à flexão simples mostraram-se bastante sensíveis à introdução de armadura 

negativa, revelando-se, para as seções retangulares, o menor coeficiente γ gl (1,092 para 

ρ’=0,5%). Nas seções T submetidas à flexão simples, o efeito da introdução da 

armadura foi menos intenso, e o coeficiente γ gl apresentou um valor mínimo igual a 1,13 

para ρ’=0,5%. As seções sob flexão normal composta apresentaram tanto maior 

variabilidade do coeficiente γ gl quanto maior a excentricidade da força normal. Há que 

se ressaltar que, em todos os casos estudados, houve uma maior estabilidade de γ gl à 

medida em foram empregados concretos de classes superiores. 

O comportamento descrito para γ gl , bem como as conclusões parciais, são 

aplicáveis tão somente à análise de seções ou de estruturas isostáticas cujo 

comportamento no ELU coincide com o de uma seção transversal típica. O emprego 

dessas idéias ao dimensionamento de estruturas hiperestáticas, onde a redistribuição dos 

esforços seja possível, pode levar a um comportamento ainda melhor para γ gl , mas que 

deve ser corretamente qualificado e quantificado através de análises de confiabilidade 

estrutural. HENRIQUES (1998) analisa dois casos de vigas de concreto armado sob o 

enfoque da confiabilidade empregando o método de simulação de Monte Carlo: viga 

biengastada e viga apoiada-engastada. Foram consideradas como variáveis aleatórias as 

resistências à compressão do concreto e de escoamento do aço à tração, além da altura 

da viga (podendo variar até 0,7 cm). A resistência média à compressão do concreto foi 

considerada de acordo com a CEB-FIP MC90, ou seja: f cm =f ck +8,0 MPa. Os resultados, 

para diversas classes de concreto, e diversas taxas de armadura, mostram que a relação 

entre o coeficiente global (referido aos materiais) para a estrutura (γ gl,est. ) e para a seção 

(γ gl ), dentre os casos analisados, é igual ou superior a 1 (parâmetro a). Um resumo das 

curvas propostas por Henriques, relativamente à profundidade da linha neutra (x/d) na 

seção onde ocorre o ELU, é apresentado na Figura 5.16. Nota-se que o parâmetro a 

supera a unidade para x/d entre 0,35 e 0,52. 



101 

Figura 5.16 - Relação a = γ gl,est. / γ gl. 

5.2.2.1 Particularização às lajes 

A natureza tensorial dos esforços observados nas lajes, que acabam por 

impossibilitar a caraterização de um comportamento mecânico típico de seção 

transversal, dificulta o avanço no estudo do coeficiente global de segurança relativo aos 

materiais para esse elemento estrutural. Um estudo (determinístico) sobre a segurança 

envolvendo as lajes de concreto armado deveria contemplar uma gama razoável de 

variáveis fartamente combinadas entre si, destacando-se: relação entre os lados, 

condições de apoio, espessura, resistência característica do concreto e do aço, e taxas de 

armadura. Obviamente, um estudo com essas características consumiria um período de 

tempo tal que, por si só, inviabilizaria a sua inclusão neste trabalho. O que se faz, 

paleativamente, com o objetivo único de mostrar a aplicabilidade do método também 

com relação às lajes, é estabelecer alguns valores para γ gl relacionados a uma laje 

quadrada (400cm x 400 cm) apoiada nos quatro lados. O concreto empregado é o C-30; 

o aço é o CA-50A. Foram empregadas apenas armaduras positivas, com as mesmas 

praticadas nas direções x e y. 

1,36 

1,35 

1,34 

M pl / M pl,d 

1,33 

1,32 

1,31 

1,30 

1,29 

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 


Figura 5.17 - γ gl para uma laje quadrada apoiada. 


102 


Os resultados retratam um bom comportamento de γ gl para a estrutura analisada 

(laje apoiada). O menor valor observado, de 1,293 (para uma taxa ρ=1,0%), é cerca de 

5% inferior ao maior deles: 1,350 para ρ=ρ min =0,116%. 

5.3 Exemplos de aplicação 

Os exemplos são baseados nas características mecânicas dos materiais: concreto 

C-30 (f ck =30 MPa); e aço CA-50A, cujas propriedades médias e de projeto constam da 

Tabela 5.4. Para o aço, os valores médios de resistência à tração e à compressão são os 

próprios valores característicos, uma vez que essas propriedades apresentam pequena 

variabilidade. O módulo de elasticidade pode ser considerado invariável. Os valores 

relativos ao concreto são obtidos através das relações do CEB-FIP MC90 sendo que, 

para o valor da resistência à tração característica (f ctk ), adota-se a média entre os valores 

superior e inferior indicados, o que na prática corresponde à própria resistência à tração 

média (f ctm ). 

Tabela 5.4 - Características mecânicas dos materiais empregados nos exemplos. 

concreto 

aço 

propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kN/cm 2 E s =21000 kN/cm 2 

médias resistência à compressão f cm =3,80 kN/cm 2 f yk =50,00 kN/cm 2 

resistência à tração f ctm =0,29 kN/cm 2 f yk =50,00 kN/cm 2 

propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kN/cm 2 E s =21000 kN/cm 2 

de resistência à compressão f cd =1,82 kN/cm 2 f yd =43,48 kN/cm 2 

projeto resistência à tração f ctd =0,21 kN/cm 2 f yd =43,48 kN/cm 2 

O carregamento é composto apenas de cargas uniformemente distribuídas: uma 

carga permanente g=25,0 kN/m, e uma sobrecarga q=5,0 kN/m. 

ELS (CQP): F d,serv = (1,0x25,0+0,2x5,0) kN/m 

F d,serv = 26,0 kN/m (5.8) 

ELS (CR): 

F d,serv = (1,0x25,0+1,0x5,0) kN/m 

F d,serv = 30,0 kN/m (5.9) 

ELU (última): F d,u = 1,4x25,0+1,4x5,0 kN/m 

F d,u = 42,0 kN/m (5.10) 

Nestes exemplos, a porcentagem de plastificação imposta estará sempre referida 

à porcentagem de diminuição da armadura de flexão tracionada. 

5.3.1 Viga apoiada-engastada 

O segundo exemplo refere-se à viga apresentada na Figura 5.18. 



103 

Figura 5.18 - Viga apoiada-engastada - exemplo 2. 

a) dimensiona-se a estrutura em regime elástico-linear atendendo ao ELU entre 

os domínios 3 e 4. 

M - , 

d = 18900 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s =13,19 cm 2 ; A s =0,62 cm 2 

M + , 

d = 10631 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s =0,62 cm 2 ; A s =6,28 cm 2 

b) determina-se a flecha instantânea e, principalmente, a flecha no tempo 

infinito, considerando-se: 

• a armadura do item a); 

• propriedades médias dos materiais; 

• carregamento de serviço (combinação quase-permanente) 

• por simplicidade, ϕ 28 =2,5 (adotado). 

f 0 = 0,77 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) 

f ∞ = 1,23 cm < l/250 (= 2,4 cm) 

c) para a combinação última normal, utilizando o diagrama tensão-deformação 

para o concreto proposto na Figura 5.4 (diagrama com as propriedades médias, 

seccionado no valor de f cd ) e as propriedades de projeto do aço, verificam-se as 

deformações máximas (nas seções críticas): 

seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00077 ; aço: ε s max = 0,00189 

seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00210 ; aço: ε s max = 0,00228 

Como ambas as deformações estão dentro do espectro permitido para o ELU, 

admite-se que a estrutura esteja segura para a configuração adotada. 

A NB1-revisão 2000 traz uma proposta para a verificação de possíveis 

redistribuições impostas à estrutura. Reduzindo-se um momento fletor de M para δM 

em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ 

e a posição da LN nessa seção (x/d), para o momento reduzido δM, é dada por: 

( x / d) 

( x / d) 

δ ≥ 0 ,44 + 1,25. para concretos com f ck ≤ 35 MPa (5.11) 

δ ≥ 0 ,56 + 1,25. para concretos com f ck > 35 MPa (5.12) 

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: 

δ ≥ 0,75 em qualquer caso; 

δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis. 

E a posição da linha neutra deve, no ELU, satisfazer aos seguintes limites: 

x/d ≤ 0,50 para concretos com f ck ≤ 35 MPa 


104 


x/d ≤ 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa 

Supondo que a seção do engaste esteja solicitada no estádio III, a profundidade 

da LN deve valer: x=21,40 cm, ou seja, x/d=0,486. Essa posição de LN satisfaz aos 

quesitos mínimos mas, de acordo com a expressão 5.11, não permite redistribuições, 

pois δ = 1,05. 

Estabelecendo uma a análise não-linear, torna-se possível a imposição de 

plastificações à viga quantificando-se, coerentemente, as redistribuições decorrentes. 

d) como foi dimensionada com os esforços obtidos em regime elástico-linear, a 

viga deve apresentar reservas quanto aos aspectos de flechas e de deformações. Isso 

pode viabilizar a imposição de plastificações em determinadas regiões, buscando um 

melhor aproveitamento das características geométricas e mecânicas da viga. Com esse 

objetivo, propõe-se uma plastificação de 18% (o que eqüivaleria a uma redução de 12% 

no momento de cálculo segundo as tabelas de dimensionamento) para a seção do 

engaste, mantendo-se a armadura da região de momento positivo. 

M d - = 16700 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s 

, 

M d + → A s 

, 

=0,62 cm 2 ; A s =9,30 cm 2 

=10,81 cm 2 ; A s =0,62 cm 2 

Com essa nova distribuição de armaduras, retorna-se ao item b) do 

procedimento de verificação, agora denominado b1) (primeira iteração): 

b1) f 0 = 0,67 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) 

f ∞ = 1,11 cm < l/250 (= 2,4 cm) 

c1) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00086 ; aço: ε s max = 0,00207 


Sugere-se um decréscimo de aproximadamente 37% na taxa de armadura, ou de 

29% em relação ao momento fletor (de acordo com a NB1-revisão 2000) para a região 

do engaste, que passaria a estar submetida à ação de um momento fletor M d =13387 

kN.cm (ΔM d =13387-18900=-5513 kN.cm). Essa plastificação acresce o momento fletor 

máximo positivo de aproximadamente ΔM d /2=2756,5 kN.cm. 

M d - = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s 

, 

M d + = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s 

, 

=8,22 cm 2 ;A s =0,62 cm 2 ; 

=0,62 cm 2 ;A s =8,22 cm 2 ; 

Como procedido anteriormente, retorna-se ao item b): 

b2) f 0 = 0,76 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) 

f ∞ = 1,21 cm < l/250 (= 2,4 cm) 

c2) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00088 ; aço: ε s max = 0,00172 


As aberturas de fissuras para as três opções analisadas (considerando-se Φ≅12 

mm), e para as regiões do vão e do engaste, constam da Tabela 5.5. 



105 

Tabela 5.5 - Abertura de fissuras para a viga apoiada-engastada (mm). 

opção w r - vão w r - engaste 

inicial 0,16 0,17 

1 0,13 0,17 

2 0,15 0,21 

As aberturas das fissuras apresentaram-se com diferentes valores para os três 

casos analisados. De um modo geral, a pior condição foi observada para a opção 2 na 

região do engaste, que apresentou uma abertura de 0,21 mm. 

Os resultados para o coeficiente global γ gl , apresentados na Tabela 5.6, 

confirmam a armadura inicial como uma das possíveis ao projeto seguro, e habilitam as 

demais opções como sendo seguras. 

Tabela 5.6 - Valores de γ gl para a viga apoiada-engastada. 

opção armaduras (cm 2 ) carregamento carregamento γ gl 

A s A’ s caract. médias caract. de proj. 

inicial 6,28 13,19 55,0 kN/m 43,6 kN/m 1,26 

1 9,30 10,81 63,0 kN/m 45,2 kN/m 1,39 

2 8,22 8,22 58,1 kN/m 41,6 kN/m 1,40 

5.3.2 Laje simplesmente apoiada 

A laje empregada neste exemplo é aquela apresentada na Figura 5.19. 

Figura 5.19 - Laje apoiada nos quatro lados - exemplo 4. 

Supondo ser uma laje de pavimento usual de concreto armado, o carregamento 

convencional, bem como a combinações empregadas para o dimensionamento no ELU e 

a verificação dos ELS devem ser: 

g: 2,5 kN/cm 2 (peso próprio, supondo h=10 cm); 

1,0 kN/cm 2 (revestimento); 

q: 3,0 kN/cm 2 (sobrecarga). 


106 


ELU: 1,4x(2,5+1,0)+1,4x3,0 = 9,1 kN/m 2 ; 

ELS: 1,0x(2,5+1,0)+0,2x3,0 = 4,1 kN/m 2 . 

O pré-dimensionamento, a partir dos esforços obtidos a partir das hipóteses da 

elasticidade, é feito de acordo com as tabelas de PINHEIRO (1996). 

M x = M y = 6,15 kN.m/m; 

A sx = A sy = 1,62 cm 2 /m. 

Considerando essa configuração de armaduras, as flechas calculadas nos 

instantes t 0 e t=∞ foram (considerando-se, simplificadamente, ϕ 28 =2,5): 

f 0 = 0,15 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) 

f ∞ = 0,50 cm < l/250 (= 2,3 cm) 

O dimensionamento considerando-se a espessura h=10 cm leva à uma taxa de 

armadura pequena, o que sugere o mau aproveitamento do concreto. Alternativamente, 

adota-se uma nova espessura para a laje, agora de 9 cm, o que significa uma altura útil 

d=8,1 cm. As novas armaduras são: 

A sx = A sy = 1,82 cm 2 /m. 

Para a nova configuração, os deslocamentos calculados são de: 

f 0 = 0,20 cm 

f ∞ = 0,66 cm 

Para as duas taxas de armadura, foram calculados os coeficientes globais γ gl , que 

ficaram em 1,31 para a opção h=10 cm, e 1,30 para h=9,0 cm. 

6 CONCLUSÃO 

Os elementos finitos, bem como os modelos constitutivos empregados na 

descrição do comportamento mecânico dos elementos estruturais, mostraram-se 

suficientemente precisos para a representação dos estados limites último e de serviço 

abordados neste trabalho. Devido à maior capacidade de representação, os elementos 

finitos estratificados receberam maior ênfase em detrimento daqueles formulados no 

campo dos momentos fletores e das curvaturas (elementos não-estratificados). 

A obtenção de uma metodologia segura para o dimensionamento considerandose 

as leis constitutivas não-lineares ainda está por ser consolidada. A metodologia semiprobabilística, 

ou mesmo a do coeficiente global, são ainda passíveis de duras críticas, e 

necessitam ser melhor estudadas antes que o seu uso prático seja estabelecido. O futuro 

dessa área aponta para a confiabilidade estrutural como ferramenta para a viabilização 

de uma metodologia determinística segura. 


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ISSN 1809-5860 

AVALIAÇÃO DA RIGIDEZ ROTACIONAL EM 

ESTRUTURAS PLANAS DE MADEIRA CONCEBIDAS 

POR ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS COM DOIS 

PARAFUSOS POR NÓ 

André Luis Christoforo 1 & Francisco Antonio Rocco Lahr 2 

Resumo 

Neste trabalho, é desenvolvido um programa através do método dos deslocamentos, em 

que o mesmo leva em consideração a influência do efeito da semi-rigidez rotacional nas 

ligações formadas por dois parafusos sobre o comportamento mecânico da estrutura. 

Esta configuração de parafusos é devidamente escolhida em função de sua corrente 

aplicação em estruturas de madeira, principalmente em estruturas auxiliares ou de 

cobertura. Vários exemplos de estruturas típicas de cobertura são executados 

considerando-se as três formas que o presente programa analisa, evidenciando-se a 

importância do comportamento semi-rígido sobre as ligações. 

Palavras-chave: ligações semi-rígidas; método dos deslocamentos; estruturas de 

madeira. 


As ligações são os elementos responsáveis pela redistribuição dos esforços 

entre os elementos estruturais. Na engenharia, foram elaborados alguns modelos 

teóricos ideais de cálculo para as ligações, baseando-se em algumas hipóteses 

simplificadoras de cálculo, como a que considera que os esforços solicitantes são 

transmitidos integralmente entre os elementos, evidenciando-se o comportamento 

teoricamente indeformável das ligações. Estes modelos ideais ou tradicionais são: a 

rótula e o engaste perfeito. 

Com o advento da análise experimental, o engenheiro descobriu que não só os 

materias empregados na construção da ligação eram responsáveis pela sua rigidez, 

em virtude desta variar de acordo com a disposição dos mesmos. 

De acordo com RIBEIRO (1997) o estudo das ligações teve início na Inglaterra 

no início do século XIX, com WILSON & MOORE, onde foram ensaiadas ligações 

rebitadas do tipo viga-coluna, com a finalidade de analisar o seu comportamento 

considerando a relação momento-rotação. 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas, frocco@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007

110 

André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr 

Um trabalho de suma importância foi o de JOHNSTON & MOUNT (1942), que 

analisaram pórticos com ligações semi-rígidas. Posteriormente, SHOROCHNIKOFF 

(1950) verificou a influência das forças por ação do vento em ligações semi-rígidas 

para o mesmo tipo de estrutura. 

LOTHERS (1951) propôs equações para representar a restrição elástica de 

ligações semi-rígidas. 

FRYE & MORRIS (1975) utilizaram processos iterativos para obter o 

comportamento das ligações. KRISHNAMURTHY ET al. (1979) aplicaram o método 

dos elementos finitos (MEF) na obtenção de curvas de momento-rotação para 

ligações com chapa de aço. JONES ET al. (1980) verificaram a influência das ligações 

semi-rígidas em colunas de aço. SIMITSES & VLAHINOS (1982), também estudaram 

a estabilidade de pórticos planos com ligações semi-rígidas. 

As características estruturais das ligações semi-rígidas foram obtidas a partir 

de ensaios em escala real. MARAGHECHI & ITANI (1984) verificaram que as rigidezes 

axial e rotacional das ligações têm influência apreciável nas solicitações das/ barras, 

enquanto que a rigidez ao cisalhamento tem seu efeito desprezível. 

A deformabilidade das ligações entre os elementos estruturais de madeira são 

geralmente determinadas por meio de resultados experimentais, e muito raramente 

são elaborados modelos analíticos que representem o comportamento da resistência e 

da rigidez da ligação. 

Os resultados baseados apenas em procedimentos puramente experimentais 

são na maioria das vezes muito caros e, além disso, existe limitação na aplicação dos 

resultados, por serem aplicados a ligações com as mesmas dimensões e 

detalhamentos. 

Uma outra forma da determinação qualitativa e quantitativa na rigidez da 

ligação é desenvolver uma modelagem analítica que consiga retratar o comportamento 

da mesma, entretanto, como ligação revela uma certa complexidade na questão do 

seu comportamento, é necessário que se faça juntamente com a modelagem uma 

análise experimental para a validação desta modelagem teórica. 

Uma outra alternativa para a determinação da deformabilidade das ligações é 

por meio de procedimentos numéricos, procedimentos estes utilizados para o estudo 

das ligações parafusadas, como proposta do presente trabalho. Esses surgiram e 

ganharam amplitude de uso a partir do advento dos computadores, quando então, 

vários métodos numéricos surgiram na tentativa da resolução de problemas estruturais 

que anteriormente eram calculados de forma analítica. 

A análise numérica do comportamento semi-rígido das ligações começou com 

WEAVER & GERE (1986) com o método da flexibilidade. A partir deste método, foi 

possível determinar os coeficientes de semi-rigidez rotacional e de translação na 

matriz de rigidez de um elemento de barra de pórtico. Posteriormente, foram feitas 

análises experimentais em estruturas de madeira, com o objetivo de testar e validar 

suas formulações teóricas desenvolvidas. 

GESUALDO (1987), estudou a contribuição das deformações das ligações na 

rigidez da estrutura por meio de um ensaio de um modelo de viga treliçada de 

madeira (Aspidosperma polyneuron), com dez metros de comprimento, em duas 

maneiras diferentes: interligadas por anéis de aço e interligadas por cavilhas partidas 

de madeira (Eucalyptus citriodora), com força abaixo do limite de proporcionalidade. O 

estudo teórico restringiu-se na implementação numérica de um algoritmo em um 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007

Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos... 

111 

programa para estruturas planas que contabilizasse a deformação pela não 

linearidade geométrica para um nó concebido por n parafusos. Foram contabilizados 

os efeitos de mola rotacional e axial, desprezando-se o efeito da mola com rigidez 

transversal ao elemento por causa da pequena influência que esta gera na ligação, 

quando comparada com as duas outras anteriormente citadas. A comparação dos 

resultados teóricos com as dos resultados experimentais mostrou-se aceitável, 

confirmando, portanto, a importância da contribuição das deformações das ligações 

na rigidez da estrutura. 

FERREIRA (1999) desenvolveu uma metodologia analítica para o cálculo de 

deformabilidades de ligações típicas de concreto pré-moldado, levando-se em conta 

os mecanismos básicos de deformação na ligação. Foram estudadas duas ligações 

típicas viga-pilar de concreto pré-moldado e posteriormente foram desenvolvidas as 

formulações analíticas que representavam o comportamento de ambas; a primeira 

ligação é formada com o auxílio de uma almofada de elastômero e chumbador (cálculo 

analítico da deformabilidade ao cisalhamento da ligação) e a segunda ligação é tida 

como resistente à flexão formada com o auxílio de chapas soldadas (cálculo analítico 

da deformabilidade à flexão da ligação). Para os protótipos com almofada de 

elastômero e chumbador, foram em média, 23 % superiores aos valores obtidos com 

relação aos dados experimentais, e a resistência ao cisalhamento atingiu valores entre 

96 e 100 % com relação aos obtidos experimentalmente. A ligação com chapa soldada 

apresentou uma rigidez da ordem de 83 % da rigidez monolítica e o valor calculado da 

rigidez à flexão secante foi de 5 % superior à rigidez apresentada pela ligação. Em 

função dos dados experimentais obtidos, chegou-se à conclusão de que a análise 

analítica das ligações desses tipos, na questão das medidas das suas 

deformabilidades, representaram o problema de forma coerente e concisa em função 

da pequena margem de erros entre os resultados analíticos e experimentais obtidos. 

ZHAO ET al (2000) introduziram o conceito e aplicação do sistema nodal 

Oktalok. O método de projeto proposto foi baseado na suposição que os nós são 

presos na extremidade e a rigidez rotacional é zero. Contudo, a capacidade estimada 

do pórtico pode aumentar significativamente, dependendo da rigidez rotacional dos 

nós. Os testes de rigidez e as simulações do elemento finito foram usados para 

determinar a rigidez rotacional dos nós Oktalok. Os testes de flambagem de coluna e 

análises de elemento finito não linear foram realizados para determinar a capacidade 

das colunas em condições últimas, utilizando ligações semi-rígidas. Uma simples 

fórmula para o fator efetivo de comprimento de flambagem da coluna foi baseada nas 

investigações teóricas e experimentais descritas acima. 

2 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ MODIFICADA 

A análise numérica do modelo será desenvolvida a partir da modificação da 

matriz de rigidez de um elemento prismático e unidimensional, analisado em um plano. 

Este elemento possui três graus de liberdade por nó, sendo dois graus quanto a 

translação e um grau quanto à rotação, de acordo com a figura 2.1.a. 

A modificação da rigidez rotacional nas extremidades do elemento estrutural 

será efetuada através da introdução de coeficientes, obtidos a partir da modificação 

matemática da rigidez das mola S ) , de acordo com a figura 2.1.b. 

( R 


112 


1 

3 

2 

4 

SRi 

6 

(a) 

5 

(b) 

SRj 

Figura 2.1 - Elemento com três graus de liberdade. 

Considerando-se para os valores desses coeficientes números grandes, isto é, 

9 

próximo de 10 , a matriz de rigidez modificada será aquela tradicionalmente utilizada 

para estruturas planas com três graus de liberdade. No caso dos valores dos 

9 

coeficientes serem considerados números pequenos, isto é, próximo de 10 − , a matriz 

de rigidez será aquela obtida para estruturas planas com dois graus de liberdade. 

Desta maneira, os valores intermediários têm o comportamento das estruturas 

planas com ligações semi-rígidas. 

A obtenção da matriz de rigidez do elemento para um elemento com ambas as 

extremidades semi-rígidas, será apresentada a seguir. A figura 2.2.a mostra um 

elemento com ligação semi-rígida, em ambas as extremidades. Será considerado 

S S 

( 

Ri ) como sendo a rigidez rotacional da extremidade "i" do elemento e ( 

Rj ) a rigidez 

rotacional da extremidade "j" do mesmo. 

O comprimento do elemento é (L), a área da seção transversal é (A), o 

momento de inércia em relação ao eixo 3 é (I) e o módulo de elasticidade é (E). A 

matriz de rigidez do elemento é determinada no seu sistema de coordenadas locais (1- 

2-3). Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento são obtidos a partir da matriz de 

flexibilidade, utilizando-se a compatibilidade de Weaver e Gere (1986). 

eixo2 

EI 

eixo1 

i 

AL 

j 

eixo3 

SRi , S Ai 

(a) 

SRj 

, SAj 

D 21 

1 

D 11 

(b) 

1 

D 22 

D 12 

(c) 

Figura 2.2 - Elemento com ambas as extremidades semi-rígidas: determinação da 

matriz de rigidez. 



113 

2.1 Matriz de rigidez considerando-se apenas a rigidez rotacional 

Para obter os coeficientes de flexibilidade da extremidade “j”, o elemento é 

engastado elasticamente na extremidade “i” e livre na extremidade “j” como mostrado 

nas figuras 2.2.b e 2.2.c. Uma força unitária é aplicada na direção 2 e na extremidade 

“j” como mostrado na figura 2.2.b. Os coeficientes de flexibilidade, ( 

D 

11 ) e ( 

D 

21 ), na 

extremidade “j” são obtidos como segue. 

O deslocamento vertical na extremidade “j” devido à força unitária é chamado 

de 

D11 

e será composto de duas partes: 

1) Deslocamento na extremidade “j” devido à força unitária F : 

u 

3 

F L 

D11 

u = 

(1) 

3EI 

2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por 

F : 

u 

3) Momento na extremidade ”i” devido à F : 

u 

Fu 

Fu 

M = F L ⇒ M L 

i u 

i 

= 

a) Rotação na extremidade “i” devido à F : 

u 

Fu 

F 

F 

F M 

i 

M 

i 

u u 

u 

= S 

Riθ 

i 

⇒ θ = i 

S 

Ri 

F L 

u 

θ 

i 

= 

S 

Ri 

(2) 

(3.a) 

(3.b) 

c) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por 

F : 

u 

D 

= 

L 

⇒ 

D 

⎛ 

= ⎜ 

⎝ 

θ Fu 

θ 

11 

θ 

i 

11 ⎜ 

L 

S ⎟ 

Ri 

L 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(4) 

Deslocamento vertical total na extremidade “j” é 

3 

L 

D 

11 

= + 

3EI 

L 

2 

S Ri 

D 

θ 

11 

D 

F u 

11 

+ D11 

= , portanto: 

(5) 

A rotação na extremidade “j” devido à força unitária F u 

é chamado de D 21 

e 

será composta de duas partes: 

1) Rotação na extremidade “j” devido à F : 

u 

θ 

F u 

21 

2 

L 

= 

2 EI 

(6) 

2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por F : 

u 


114 


θ θ = 21 

L 

S 

Ri 

(7) 

3) Rotação total na extremidade “j” é 

2 

L 

D 

21 

= + 

2 EI 

L 

S Ri 

D 

Fu 

θ 

21 

= θ 

21 

+ θ 

21 

, portanto: 

(8) 

Aplicando-se, agora, um momento unitário na direção do eixo 3 na extremidade 

“j” como mostrado em figura 2.2.c, os coeficientes de flexibilidade , D 12 e D 22 , na 

extremidade “j” são obtidos como segue. 

O deslocamento vertical na extremidade “j” devido ao momento unitário 

chamado de D 

12 e será composto de duas partes: 

1) Deslocamento na extremidade “j” devido à M : 

u 

D 

M 

12 

u 

2 

L 

= 

2 EI 

2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por 

M : 

u 

M 

u 

é 

(9) 

a) Momento na extremidade “i” devido à M : 

u 

M u 

M i 

= 1 

b) Rotação na extremidade “i” devido à M : 

u 

M 

M 

θ 

M 

i 

M 

i 

M u 

= S θ ⇒ θ 

R 

i 

M 

i 

u u 

= 

u 

= 

1 

S 

Ri 

S R 

u 

(10) 

(11.a) 

(12.b) 

c) Deslocamento na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por 

M : 

D 

u 

⎛ 1 

= 

⎜ 

⎝ S 

θ 

12 

L 

Ri 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(13) 

Deslocamento vertical total na extremidade “j” é 

2 

⎛ L ⎞ ⎛ L 

12 

2 

⎟ ⎞ 

D = 

⎜ 

⎟ + 

⎜ 

⎝ EI ⎠ ⎝ S Ri ⎠ 

D 

θ 

12 

D 

M u 

12 

+ D12 

= , portanto: 

(14) 

A rotação na extremidade “j” devido ao momento unitário 

D 

22 e será composta de duas partes: 

M 

u 

é chamado de 

1) Rotação na extremidade “j” devido à M : 

u 



115 

θ 

M u 

22 

= 

L 

EI 

(15) 

2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por M : 

u 

θ 1 

θ i 

= 

(16) 

22 

S Ri 

3) Rotação na extremidade “j” devido à própria rotação da mesma extremidade 

causada por M : 

u 

θ 1 

j 

θ = 

(17) 

22 

S Rj 

Rotação total na extremidade “j” é 

D 

θ 

22 

θ 

22 22 

+ 

22 

M u θi 

j 

= + θ θ , portanto: 

⎛ L ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 

22 

S ⎟ ⎞ 

D = ⎜ ⎟ + + ⎜ 

⎜ 

⎟ 

⎝ EI ⎠ 

⎝ S Ri ⎠ ⎝ Rj ⎠ 

(18) 

Para facilitar as expressões das equações e, posteriormente, as matrizes, 

foram introduzidos os parâmetros adimensionais conforme a seguir: 

e = 

Ri 

e = 

Rj 

Rij 

EI 

LS 

EI 

LS 

Ri 

; 

; 

Rj 

1 + e 

Ri 

e 

Rj 

e = + 

e = 1 + e 

Ri1 Ri 

e = 1 + e 

Rj 1 Rj 

e = 1 + 2e 

Ri 2 Ri 

e = 1 + 2e 

Rj 2 Rj 

e = 1 + 3e 

Ri 3 Ri 

e = 1 + 3e 

Rj 3 Rj 

; 

; 

; 

; 

; 

; 

; 

(19.a) 

(19.b) 

(19.c) 

(20.a) 

(20.b) 

(20.c) 

(20.d) 

(20.e) 

(20.f) 

Substituindo-se as equações (19 ) e ( 20 ) nas equações ( 5 ), ( 8 ), (14 ) e (18) 

e após algumas simplificações, os coeficientes de flexibilidade ficam da seguinte 

forma: 

D 

D 

D 

D 

11 

12 

21 

22 

3 

L e 

Ri 3 

= ; 

3EI 

2 

L e 

Ri 2 

= ; 

2EI 

2 

L e 

Ri 2 

= ; 

2EI 

Le 

Rij 

= . 

EI 

(21.a) 

(21.b) 

(21.c) 

(21.d) 


116 


[ ] jj 

A matriz de flexibilidade, F 

, para a extremidade ”j” será da seguinte forma: 

⎡D11 

D 

12 ⎤ 

[ ] = (22) 

D 

F jj 

⎢ 

⎣ 

21 

D 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ 

3Le 

22 

⎥ 

⎦ 

2 

L 2 L e 

Ri 3 

3Le 

Ri2 

[ F = ] (23) 

jj 

6e 

6 EI 

Ri 2 

Rij 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

F 

jj 

Invertendo a matriz [ ] da equação (23), obtem-se a matriz de rigidez 

S 

jj 

modificada [ ], para a extremidade “j”: 

⎡6e 

⎢ 

⎢⎣ 

- 3Le 

- 3Le 

Rij 

Ri2 

[ S ] = C 

(24.a) 

jj 

onde: C = 

L 

3 

Ri2 

2 

2 L e 

2 EI 

Ri 3 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

[ 4e 

+ 3( 4e 

e − 1) 

] 

Rij 

Ri 

Rj 

(24.b) 

A matriz de rigidez completa [ S´ 

M ], sem considerar a rigidez axial é obtida por 

Weaver e Gere (1986): 

⎡S 

ii 

S 

ij ⎤ 

S´ ]= ⎢ ⎥ 

(25) 

⎢⎣ 

S 

ji 

S 

jj ⎥⎦ 

[ 

M 

S S 

Onde: [ 

ii ], [ 

ij S ], [ 

ji 

S ] e [ 

jj ], são todas submatrizes de [ S´ 

M ]. Os 

S 

jj 

coeficientes em [ ] são definidos como as ações de restrição na extremidade “j” do 

elemento devido aos deslocamentos unitários na mesma extremidade. Os coeficientes 

S 

ij 

em [ ], são ações de restrição na extremidade “i” devido ao deslocamentos unitário 

S 

jj 

na extremidade “j” e eles estão em equilíbrio com os termos em [ ]. Os coeficientes 

S 

ji 

em [ ] consistem em ações de restrição na extremidade “j” devido aos 

S 

deslocamentos unitários na extremidade “i”. Os coeficientes em [ 

ii ] ‚ são ações de 

restrição na extremidade “i” devido ao deslocamento unitário na extremidade “i” e eles 

S 

ji 

estão em equilíbrio com os termos em [ ]. 

S 

jj 

A matriz de rigidez modificada [ ] foi determinada e é apresentada pela 

equação (24.a). As outras três submatrizes de [ S´ 

M ] podem ser determinadas pela 

transformação de eixos. Estaticamente equivalente, as forças na extremidade “i”, 

podem ser obtidas através da matriz de transformação [T ], onde: 

⎡1 

0 ⎤ 

T = ⎢ 

(26) 

L 1 

⎥ 

⎣ ⎦ 

[ ] 



117 

S ] − [ T ] 

[ ij 

S 

Nessas condições a submatriz [ ij ] pode ser determinada a partir da relação 

= [ S jj 

], assim tem-se: 

⎡− 

6e 

⎢ 

⎢⎣ 

− 3Le 

3Le 

Rij 

Ri 2 

[ S ] = C 

(27) 

ij 

Ri 2 

L 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

Como a matriz de rigidez [ 

S´ 

S 

M ] é simétrica à submatriz [ ji ], a mesma deve 

S 

ser igual à transposta de [ ij 

S ]. Assim, transpondo [ ji S ] = [ ij T ] tem-se: 

⎡− 

6e 

⎢ 

⎢⎣ 

3Le 

− 3Le 

Rij 

Ri 2 

[ S ] = C 

(28) 

ji 

Ri 2 

L 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

A submatriz restante [ 

S S 

ii ] pode ser determinada a partir de [ 

ji ] usando a 

[ S ] [ ] [ ] 

relação ii = − T S ji 

[ ] 

, isto dá: 

⎡6eRij 

3LeRi2 

⎤ 

S 

ii 

= C ⎢ 

2 

⎥ 

( 29) 

⎢⎣ 

3LeRi2 

2L 

eRj3 

⎥⎦ 

Desta forma, todas as submatrizes de [ S´ 

M ] da equação (25), foram 

determinadas. Assim, a matriz de rigidez modificada de um elemento, sem a inclusão 

da rigidez axial, é apresentada como: 

[ 

⎡ 6e 

⎢ 

⎢3Le 

] = C 

⎢−6e 

⎢ 

⎢ 

⎣3Le 

Rij 

Ri2 

3Le 

2Le 

Rij2 

−3Le 

2 

Rj2 

−6e 

−3Le 

2 

2 

Rj2 

Rj3 

Rj2 

(30) 

S ´ 

M 

Rij 

L 

−3Le 

−3Le 

2 

LeRi 

3 

Através do princípio da superposição de efeitos, as coordenadas axiais ao 

elemento de pórtico (figura 3.5.), desconsiderando-se sobre estas o efeito semi-rígido, 

serão determinadas através do método dos deslocamentos (coeficientes de rigidez) e 

posteriormente, estes coeficientes serão alocados na matriz de rigidez do elemento 

modificada. 

Para o elemento com dois graus de liberdade, observe a figura 2.2.1. 

6e 

Rij 

Rij 

Ri2 

3 Le 

2 

L 

Ri2 

Ri2 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 


118 


Figura 2.1.1 - Elemento com dois graus de liberdade. 

Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “1” e mantendo-se nulo 

o deslocamento na coordenada “4”, chega-se aos seguintes coeficientes re rigidez: 

EA 

K 11 = e 

L 

− EA 

K 14 

L 

= ( 31) 

Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “4”, e mantendo-se 

nulo o deslocamento na coordenada “1”, chega-se aos seguintes coeficientes de 

rigidez: 

− EA 

K 41 = e 

L 

EA 

K 44 = ( 32) 

L 

A matriz de rigidez para um elemento de barra de pórtico será representada 

0 

pela matriz [ 

S 

M ] da equação (33), com os termos da matriz 

[ S´ 

M 

] 

da equação (30), 

juntamente com os coeficientes rigidez axial provenientes das equações (31) e (32), 

dispostos corretamente em função da ordem seqüencial dos graus de liberdade 

atribuídos ao elemento. 

[ 

0 

S M 

⎡ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

] = 

⎢ 

⎢ 

⎢ - 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢⎣ 

AE 

L 

0 

0 

AE 

L 

0 

0 

0 

6Ce 

3CLe 

0 

Rij 

- 6Ce 

3CLe 

Rj2 

Rij 

Rj2 

3CLe 

2 

2CL e 

0 

0 

3CLe 

CL 

2 

Rj2 

Rj3 

Rj2 

AE 

- 

L 

0 

0 

AE 

L 

0 

0 

0 

- 6Ce 

- 3CLe 

0 

6Ce 

Rij 

Rij 

- 3CLe 

Rj2 

Rj2 

0 

0 

3CLe 

CL 

2 

- 3CLe 

Rj2 

2 

2CL e 

Rj2 

Ri3 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

(33) 

3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO SEMI-RÍGIDO PARA UM MODELO 

SIMPLES 

Para analisar o comportamento da ligação semi-rígida, foi considerado uma 

barra engastada nas duas extremidades e aplicada uma força concentrada (F) no seu 

centro, como mostrada na figura 3.1. Os dados obtidos nessa análise valem para o 



119 

comportamento individual de cada barra, independente do tamanho da estrutura ou da 

sua configuração. 

F (kN) 

i 

L 

2 

L 

2 

j 

Figura 3.1 - Barra bi-engastada nas extremidades. 

L 

Variou-se somente a rigidez rotacional ( 

S 

R ), mantendo a rigidez axial 

constante em toda a simulação. Obteve-se assim, a relação Momento x Rigidez para 

as extremidades da barra, apresentada no gráfico 3.1. Aproveitando-se a variação da 

rigidez rotacional ( 

S 

R ), obteve-se também os deslocamentos no ponto central da viga, 

onde a relação Deslocamento x Rigidez está apresentado no gráfico 3.2. Na ligação 

semi-rígida, a viga tem rotações nos nós “i” e “j” cujos valores variam em função da 

rigidez ( 

S 

R ) adotadas para os mesmos, conforme o gráfico 3.3. Pode-se verificar com 

os resultados das três relações, que a rigidez se comporta exponencialmente, sempre 

convergindo para as situações esperadas, que é a de engastamento perfeito ou de 

uma barra simplesmente apoiada. 

M en 

Momento 

Rigidez 

S en 

Gráfico 3.1 - Relação momento x rigidez. 

M PL / 8 

No gráfico 3.1, en 

= 

é o momento de engastamento perfeito de uma 

viga bi-engastada com forca aplicada no ponto central. Para valores de rigidez 

S 

menores do que ( 

en ), o momento comporta-se conforme a curva do mesmo gráfico. 

Caso a rigidez se aproxime de zero, o momento também converge para o mesmo 

valor. 


120 


d 1 

Deslocamento 

d 2 

S 1 

Rigidez 

S 2 

Gráfico 3.2 - Relação deslocamento x rigidez. 

O gráfico 3.2, mostra que para 

S 2 

→ ∞ 

3 

, deslocamento é d = PL / 192EI 

, ou 

seja, a viga é engastada. Para 

S 1 

→ 0 

3 

, o deslocamento é d = PL / 42EI 

, ou seja, a 

viga é bi-apoiada, ficando assim, a curva exponencial para o comportamento semirígido. 

Rotação 

θ 3 

θ 4 

S 3 

Rigidez 

S 4 

Gráfico 3.3 - Relação rotação x rigidez. 

O gráfico 3.3, mostra que para 

S 4 

→ ∞ 

, a rotação é θ = 0 , ou seja, a viga 

S 0 

engastadas. Para 3 

→ 2 

, a rotação é θ = PL / 16EI 

, ou seja, a viga é bi-apoiada. 

Neste caso, para valores da rigidez entre zero e 

S4 

o comportamento é semi-rígido. 

Ressalta-se ainda, que para qualquer estrutura, a rigidez da ligação é adotada 

inicialmente, 1000 vezes a rigidez da barra, isto é: 

( 4E I ) 

S = 1000. 

b 

/ 

R b 

L b 

onde: 

S 

R 

: Rigidez da ligação. 

E b 

: Módulo de elasticidade da barra. 

. 



121 

I b 

: 

Momento de inércia da barra. 

L b 

: Comprimento da barra. 

4 CONSIDERAÇÃO DA RIGIDEZ ATRAVÉS DA LIGAÇÃO PARAFUSADA 

Neste trabalho, foi adotada, para o detalhamento da estrutura, uma ligação 

típica, utilizando dois parafusos, figura 4.1. A utilização mínima para essa ligação é 

uma disposição construtiva da NBR 8800 (1986). O afastamento dos parafusos 

determina um momento resistente na extremidade da barra. Através da entrada de 

dados conveniente no programa, o mesmo irá verificar o quanto este momento 

influenciará na ligação e na estrutura como um todo. 

e p 

FR 

FR 

Figura 4.1 - Detalhe da ligação parafusada. 

onde: 

e 

p 

é o espaçamento entre parafusos; 

F 

R 

é a força resistente dos parafusos; 

4.1 Determinação do momento resistente 

onde: 

A força resistente ao corte do parafuso é igual a: 

Φ = 0,65 

para parafusos ASTM A325 e ASTM A490 

Φ = 0,60 

para parafusos ASTM A307 e ISO 898 

R = 0, 42A 

NV 

AP 

f u 

P 

f 

u 

F 

R 

= Φ 

é a área bruta, baseada no diâmetro nominal “dp“ do parafuso. 

é a resistência à tração do material do parafuso. 

A resistência à tração do material do parafuso depende da especificação do 

próprio parafuso. A tabela 4.1 apresenta os valores de f 

u 

aplicáveis. 

V 

R 

NV 


122 


Tabela 4.1 - Materiais usados nos parafusos. 

ESPECIFICAÇÃO RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (MPA) DIÂMETRO (MM) 

ASTM A307 415 100 

ASTM A325 

825 12,7< dp < 25,4 * 

725 25,4[ dp < 38,1 * 

ASTM A490 1035 12,7[ dp


123 

dimensionamento mínimo de parafusos previsto por norma, para que a confiabilidade 

dos resultados não seja prejudicada. 

Após calcular o momento solicitante e o momento resistente, o programa 

compara os dois valores: 

Se 

, então: 

S 

M R 

recalcula-se toda estrutura, até que os momentos solicitantes em todas as ligações 

sejam iguais ou inferiores ao momento resistente: 

Se 

M > 

M < M , então: 

S 

R 

M = M 

o valor do momento continua sendo M 

S . 

O programa reduz a rigidez da ligação que foi solicitada além do seu limite, 

fazendo com que o momento solicitante na mesma seja igual ao resistente, e assim, 

uma nova rigidez deverá ser computada nos cálculos. O processo iterativo elaborado 

no programa fará os cálculos de forma em que o momento excedente na ligação 

propague-se para as demais ligações vizinhas através dos elementos estruturais. 

Desta forma, a estrutura encontrará uma nova configuração de equilíbrio. 

S 

R 

6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 

A figura 6.1, mostra a geometria e o carregamento da estrutura Fink, com um 

vão de 10,80 m analisada nesse caso, sendo que, para esta estrutura, foi aplicada 

uma força concentrada no centro da mesma. 

Os valores dos momentos solicitantes, bem como o deslocamento no meio do 

vão, estão apresentados nas tabelas 6.1 e 6.2, respectivamente. 

Figura 6.1 - Estrutura Fink, L=10,80 m. 

Para a estrutura fink, mostrada na figura 6.1, foi-se efetuada sobre a mesma, 

uma análise mais completa do seu comportamento estrutural, isto é, em uma primeira 

avaliação, admitiu-se a rigidez das barras para verificar somente o comportamento da 

ligação semi-rígida. Em uma segunda avaliação, procurou-se obter qual o valor da 

ação externa responsável pelo início das primeiras iterações, isto é, quando a ligação 

foi solicitada ale’m do seu limite de resistência. 


124 


Posteriormente, numa terceira avaliação, admitiu-se um valor para a ação 

externa superior às anteriores para que houvessem as devidas iterações e, 

conseqüentemente, as distribuições dos momentos. Os valores das ações para as 

três situações descritas anteriormente foram de 15, 300, 700 kN, respectivamente. 

6.1 Obtendo-se um pré-dimensionamento das barras 

Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: 

Força concentrada nos nós: 15,00 kN. 

Área da seção transversal: 2,25 cm 2 . 

Momento de inércia: 0,4219 cm 4 . 

Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm 2 . 

Diâmetro do parafuso: 1,27 cm. 

Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm. 

O pré-dimensionamento das barras da estrutura foi realizado no Software SAP 

2000, conforme a figura 6.2. A única força externa concentrada, mencionada 

anteriormente de 15 kN, está aplicado no nó “10”. O Software SAP 2000 faz uma 

relação percentual das forças atuantes na estrutura e os seus valores limites para que 

as condições normativas sejam satisfeitas, sendo o valor 1, o coeficiente de 

solicitação máxima. No caso da estrutura Fink, mostrada na figura 6.2, pode-se 

verificar que os elementos do banzo superior próximos ao ponto de aplicação da força 

concentrada, encontram-se em seus respectivos limites de resistência. 

Observou-se que, após o processamento da estrutura no programa 

desenvolvido, não se verificou nenhuma iteração, porque o valor do momento 

resistente das ligações foram muito superiores aos solicitantes. 

Figura 6.2 - Pré-dimensionamento das barras. 

6.2 Sem a obtenção do dimensionamento das barras. 

Para se obter o processo de redistribuição entre os momentos que atuam na 

estrutura em função da ligação semi-rígida, admitiu-se um valor para a rigidez das 

barras na estrutura e aplicou-se também um valor de carga compatível para iniciar-se 

esse processo iterativo. 



125 

Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: 

Carga concentrada nos nós: 700,00 kN. 

Área da seção transversal: 2,25 cm 2 . 

Momento de inércia: 0,4219 cm 4 . 

Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm 2 . 

Diâmetro do parafuso: 1,27 cm. 

Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm. 

Tabela 6.1 - Valores dos momentos solicitantes nos elementos, L=10,80 m. 

barra Nó(i) Nó(j) Rotulada Semi-Rígida Rígida 

nó “i” nó “j” nó “i” nó “j” nó “i” nó “j” 

1 1 2 0,00 0,00 -1,95 62,55 -1,09 81,14 

2 2 3 0,00 0,00 -52,95 -19,25 -55,11 -23,05 

3 3 4 0,00 0,00 -19,52 19,52 -19,77 19,77 

4 5 4 0,00 0,00 52,95 19,25 55,11 23,05 

5 6 5 0,00 0,00 1,95 -62,55 1,09 -81,14 

6 1 7 0,00 0,00 1,95 62,15 1,09 82,24 

7 7 8 0,00 0,00 -61,96 -21,17 -91,06 -35,93 

8 8 9 0,00 0,00 35,42 61,80 55,74 108,62 

9 9 10 0,00 0,00 -61,90 -62,04 -113,73 -111,71 

10 11 10 0,00 0,00 61,90 62,04 113,73 111,71 

11 12 11 0,00 0,00 -35,42 -61,80 -55,74 -108,62 

12 13 12 0,00 0,00 61,96 21,17 91,06 35,93 

13 6 13 0,00 0,00 -1,95 -62,15 -1,09 -82,24 

14 2 7 0,00 0,00 51,98 -0,19 52,91 8,91 

15 2 8 0,00 0,00 -61,57 -34,31 -78,95 -43,26 

16 3 8 0,00 0,00 7,24 -1,14 1,60 -4,42 

17 8 14 0,00 0,00 21,21 61,30 27,88 67,89 

18 9 14 0,00 0,00 -1,90 -45,10 5,11 -1,48 

19 3 14 0,00 0,00 31,54 61,96 41,23 87,27 

20 10 14 0,00 0,00 -61,24 -62,16 -148,26 -153,68 

21 10 15 0,00 0,00 61,24 62,16 148,26 153,68 

22 4 15 0,00 0,00 -31,54 -61,96 -41,23 -87,27 

23 11 15 0,00 0,00 1,90 45,10 -5,11 1,48 

24 12 15 0,00 0,00 -21,21 -61,30 -27,88 -67,89 

25 4 12 0,00 0,00 -7,24 1,14 -1,60 4,42 

26 5 12 0,00 0,00 61,57 34,31 78,95 43,26 

27 5 13 0,00 0,00 -51,98 0,19 -52,91 -8,91 


126 


Tabela 6.2 - Valor do deslocamento no meio do vão, L=10,80 m. 

Nó Rotulada Semi-Rígida Rígida 

3 -3,3467 -3,2350 -3,1580 

7 CONCLUSÕES 

No item 6, a máxima carga para que a estrutura Fink verifique o 

dimensionamento para as barras, foi de 15 kN; neste caso não houve iteração. Isso 

acontece devido ao fato de que o momento resistente é muito superior ao momento 

solicitante, aproximadamente vinte vezes. Portanto, a conclusão primordial a que se 

pode chegar da análise do comportamento das ligações semi-rígidas, é que a mesma 

só tem uma influência significativa para estruturas de grande porte, pois a variação do 

momento para estruturas de pequenos vãos, não terão grande significativa em termos 

de dimensionamento e de custo. Porém, em termos percentuais, dependendo da 

configuração da estrutura, pode-se chegar a uma variação de até 40% ou mais, do 

momento aplicado nos extremos de certos elementos. 


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ISSN 1809-5860 

A AÇÃO DO VENTO EM SILOS CILÍNDRICOS DE 

BAIXA RELAÇÃO ALTURA/DIÂMETRO 

Luciano Jorge de Andrade Junior 1 & Carlito Calil Junior 2 

Resumo 

Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades 

mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares. As principais 

ações variáveis que atuam sobre os silos são as pressões devidas aos produtos 

armazenados e ao vento, sendo esta ação crítica quando o silo se encontra vazio. 

Devido à grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e à resistência elevada do 

aço, estas estruturas são leves e delgadas e, portanto, suscetíveis a perdas de 

estabilidade local e global e arrancamento. Com a finalidade de avaliar estes efeitos 

foram realizados estudos teóricos e experimentais sobre as ações do vento em silos. O 

trabalho foi desenvolvido com ensaios de modelos aerodinâmicos e aeroelásticos em 

um túnel de vento na Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o objetivo de 

determinar os coeficientes aerodinâmicos no costado e na cobertura. Os resultados 

mostram que os valores dos coeficientes recomendados pela Norma Brasileira de vento, 

NBR 6123 (1990), são adequados para o costado. Para a cobertura cônica, como não 

são especificados pela NBR, são recomendados valores dos coeficientes aerodinâmicos 

determinados nos ensaios. Conclui-se também que a colocação externa das colunas é a 

favor da segurança e que o uso de anéis enrijecedores no costado é indicado e muito 

importante para a estabilidade local e global da estrutura do silo. 

Palavras-chave: silos; ação do vento; modelos aerodinâmico; aeroelástico; 

coeficientes aerodinâmicos. 


Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as 

unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares, 

porque são eficientes, de baixo custo e de fácil montagem, seja em cooperativas ou 

agroindústrias. 

Este tipo de silo contém um arranjo estrutural de muitos elementos ligados por 

parafusos, sendo classificado em função da altura/diâmetro H/D: H/D≤0,5−curto; 

0,51,5−longo. O cilindro, ou costado, é composto em chapas 

metálicas corrugadas. A cobertura cônica é composta em painéis de chapas metálicas 

com dobras na direção da geratriz do cone. O costado é assumido rotulado à base, 

que pode ser rígida e, dependendo das dimensões do silo, é reforçado com colunas 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, landrade_jr@hotmail.com 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007

130 

Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 

metálicas de seção-U dispostas no perímetro e, opcionalmente, com anéis metálicos 

tubular ao longo da altura. A cobertura cônica também pode dispor de reforços com 

vigas radiais e circunferenciais. O fundo é, em geral, plano. Os silos têm dimensões 

comerciais que variam de 3 m a 32 m de diâmetro por 3 m a 30 m de altura, com 

volumes de 20 m 3 até 26.000 m 3 . Todo este conjunto encontra-se diretamente apoiado 

sobre uma base, com o costado fixo por parafusos a um anel rígido de concreto que é 

independente da base. 

1.1 Definição do problema 

Como conseqüência da grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e da 

resistência elevada do aço, são estruturas leves, de chapas delgadas e de grandes 

dimensões em relação ao peso-próprio, o que torna este tipo de silo susceptível ao 

problema de perda de estabilidade local e global da estrutura. 

Por conseguinte, os estados limites mais importantes para os silos metálicos 

são as perdas de estabilidade por compressão do costado devidas às ações de atrito 

com a parede dos produtos armazenados e devidas às pressões do vento (Figuras 1, 

2 e 3), e o arrancamento do costado (que se encontraria fixo à base) (Figura 4). 

Figura 1 - Perda de estabilidade do costado 

de silos na Austrália (ANSOURIAN 1985). 

Figura 2 - Perda de estabilidade do costado 

de um silo na Espanha (RAVENET 1992). 

Sobrepressão 

Vento 

Ponto de 

estagnação 

θ 

Sucção H/D = 10 

Sucção H/D < 2,5 

C = 1,0 

pe 

C = 0,5 

pe 

Figura 3 - Distribuições de pressões 

(NBR6123 1990). 

Figura 4 - Efeito de tombamento (RAVENET 

1992). 

Neste estudo são avaliados os efeitos do vento nos silos curtos e médios na 

condição de estarem vazios ou parcialmente preenchidos. Quando estão quase ou 



131 

totalmente carregados os silos metálicos de fundo plano e diretamente apoiados no 

solo possuem grande massa e dificilmente sofrem danos devidos ao vento. 

Deste modo, foi realizado um programa de ensaios junto à Universidade de 

Cranfield, Inglaterra, com o apoio do CNPq, no túnel de vento de camada limite da 

Faculdade de Aeronáutica (College of Aeronautics), de 9 m de comprimento e seção 

retangular na câmera de ensaios de 8x4-ft em unidades inglesas, ou 1,22 x 2,44 m. 

Com o estudo dos modelos em túnel de vento, é feita uma avaliação do 

comportamento deste tipo de estrutura e fornecido um roteiro ao engenheiro estrutural 

para o cálculo das estruturas dos silos à ação do vento. 

2 METODOLOGIA 

Este tópico contém as descrições dos materiais empregados para a geração do 

escoamento de ar no túnel de vento e à confecção dos modelos, bem como dos 

métodos utilizados na determinação dos parâmetros de similaridade, e nas medições 

das pressões e deslocamentos dos modelos. 

2.1 Materiais 

Os materiais que são empregados para a construção dos dispositivos de 

geração de turbulência no escoamento de ar são madeira, papelão, PVC e aço. 

Os dispositivos usados para se obter os perfis são barreira alta, em madeira, 

grade em barras horizontais de aço arredondadas, geradores de vórtices em madeira 

e, para a rugosidade do piso do túnel, uma prancha com copos em PVC, duas 

pranchas com caixas de ovos em papelão, uma prancha com peças formadas por três 

blocos plásticos de Lego©, e metade de uma prancha com peças de um bloco. 

A função da barreira é prover um déficit inicial de quantidade de movimento 

representando o efeito de um campo de rugosidade mais longo; a dos geradores de 

vórtices, é distribuir esta quantidadade pela camada limite em desenvolvimento e 

influencia na turbulência média e a grade é usada para gerar turbulência média. Os 

elementos de rugosidade representam a superfície na vizinhança da estrutura real, 

conforme z 0 . 

Para a determinação das dimensões iniciais dos dispositivos, o silo em escala 

real é considerado em um terreno típico de fazendas com muitas árvores, cercas e 

algumas edificações, sendo adotado z 0 = 80 mm conforme (BLESSMANN 1995). De 

acordo com FANG & SILL (1992) o z 0 é proporcional à dimensão h k dos obstáculos, 

com c ≅ 0,1: 

z 0 = c.h k ( 1) 

Considerando-se que os modelos estão a uma escala geométrica de 1/42, e os 

obstáculos em escala real são de h k = 80.(1/0,1) = 800 mm, então a altura exigida para 

os elementos de rugosidade dentro do túnel é em torno de 800/42, sendo adotado 19 

mm. Os geradores de vórtices são calculados de acordo com SIMIU & SCANLAN 

(1986), e a altura da barreira é obtida experimentalmente, pelo ajuste dos perfis de 

velocidade e de intensidade de turbulência. 

A disposição final correspondente é mostrada na figura 5, em que o túnel 

apresenta seção transversal igual a 2440 por 1220 mm e o comprimento do campo 

medido a partir dos geradores ao centro da mesa giratória é 7850 mm. 


132 


Grade 

Geradores de vórtices 

Campo com elementos de rugosidade 

Barreira 

Mesa giratória 

Figura 5 – Disposição geral dos dispositivos no túnel. 

Os modelos são rígido e flexível e os materiais usados são madeira, papel, 

cobre, PVC, PETP (Polyethlene terephthalate) e poliéster. 

O modelo rígido é feito em madeira e lâminas de madeira compensada, com 

pequenos tubos de cobre embutidos na lâmina e usados para tomadas de pressão, 

tubos em PVC para a conexão entre as tomadas e as válvulas, e entre estas e os 

transdutores de pressão. As colunas são feitas em madeira e PETP para simular as 

colunas no costado, e em fios roliços de cobre e φ=1,0 mm para simular as dobras 

radiais na cobertura cônica. 

O modelo flexível é composto em poliéster, Melinex©, na casca cilíndrica, em 

PETP nas colunas, com especificações dadas na tabela 1, e madeira balsa e papel na 

cobertura cônica. O emprego de madeira de baixa densidade (valor relativo à massa 

da água igual a 0,4) e papel na cobertura é justificado pelo fato de serem simuladas 

apenas as características de forma geométrica e de massa. 

Tabela 1 - Especificações para o material usado no Modelo 1,0. 

Melinex (casca cilíndrica) PETP (colunas) Propriedade 

E = 4414,5 Mpa E = 3000 Mpa Módulo de Elasticidade 

σ = 98,1 MPa σ = 80 MPa Tensão de escoamento 

γ = 1,4 g/cm 3 γ = 1,37 g/cm 3 Densidade 

2.2 Métodos 

Os métodos são análise dimensional e teoria da semelhança física, técnicas de 

ensaios em túnel de vento,medidas de pressões e visualização do escoamento na 

superfície dos modelos rígidos e medições de deslocamentos por imagens no modelo 

flexível. 

2.2.1 Análise dimensional 

O estudo do comportamento de silos cilíndricos à ação do vento envolve uma 

grande quantidade e diversidade de informações relacionadas às áreas de engenharia 

de estruturas e de engenharia do vento. A exeqüibilidade desta tarefa está ligada a 

condições e hipóteses simplificadoras que são obtidas com a análise dimensional, a 

qual abrange "os casos em que não é possível formular as equações diferenciais do 

fenômeno" (CARNEIRO 1996). 



133 

Admite-se que o deslocamento radial da parede do silo, δ, é função de onze 

parâmetros característicos: diâmetro do silo D, massa específica do ar ρ, velocidade 

média do escoamento U, módulo de elasticidade E, tensão σ k , pressão exercida pelo 

vento p, uma freqüência das flutuações da velocidade do vento η, a viscosidade 

dinâmica do ar μ, a massa total da estrutura M, momento de inércia da estrutura I, um 

intervalo de tempo T c . Os parâmetros E, σ k , p têm as mesmas dimensões. 

Como resultado da análise dimensional são obtidos os números Π, que são 

interpretados como relações de escalas das grandezas existentes no protótipo e no 

modelo, sendo condição de semelhança a igualdade dos Π em ambos modelo e 

protótipo. Esta condição é definida como fator de escala λ, que é a relação entre a 

magnitude de uma grandeza física no modelo e a magnitude correspondente no 

protótipo. Por exemplo, se o modelo é feito 10 vezes menor que o protótipo, então o 

fator de escala é geométrico e definido λ L = 1/10. São utilizados subscritos para definir 

as grandezas nas Tabelas 2 e 3 e os fatores de escala λ. Além desses subscritos, m 

indica modelo, e p protótipo. 

Tabela 2 - Fatores de escala. 

λ L = 

Tabela 3 - Condições de semelhança. 

FATOR DESCRIÇÃO CONDIÇÃO DE SEMELHANÇA 

Dm 

D p 

Fator de escala Geométrico 

λ I m 

I = Fator de escala para o 

I p Momento de inércia 

Número Π 

δ λ 

Π 1 = 

δ 

= 1 

D λ L 

Π 

Condição: 

im 

= 1 

Πi 

p 

λ δ = λL 

ρ 

λ 

m 

ρ = Fator de escala para a massa I λ 

Π 2 = 

I 

1 

ρ p específica do ar D 

4 4 = λ 4 

I = λ L 

λL 

λ U m 

U = Fator de escala da velocidade 

U p ou cinemático 

Dη λ 

Π 3 = 

Lλη 

= 1 

U λU 

σ k m 

UT c λ 

λ σ = 

k 

σ 

Fator de escala da tensão 

Π = 

U λT 

4 c 

k 

D 

= 1 

p 

λL 

η 

λη = 

m 

η p 

λ η = λ U λL 

λ U = λL 

λ 

M λ 

Fator de escala de freqüência 

Π5 

= 

M 

1 

ρD 

3 

3 = λ 3 

M = λρ λ L 

λρ λL 

M m 

μ 

λ M = 

M Fator de escala de Massa Π = 

λμ 

6 = 1 

p 

ρDU 

λρ λ L λ U 

μ 

λ 

m 

μ = Fator de escala para a 

μ p viscosidade dinâmica do ar 

T c 

λμ 

λ L = 

λρ λU 

σ k λ 

Π7 

= 

σ k 

ρU 

2 

1 

2 = λ 2 

σ = 

k 

λρ λU 

λρ λU 

T c 

λ 

m 

T c 

= 

T 

Fator de escala de tempo 

c p 

OBS.: O fator de escala serve às grandezas 

relacionadas pelos fatores de forma 

2.2.2 Simulação em túnel de vento 

Para propósitos da engenharia estrutural é suficiente modelar o escoamento às 

condições, admitidas localmente estacionárias, da camada limite atmosférica (ASCE 


134 


1997). No túnel, a turbulência é gerada com uma superfície rugosa e gradiente de 

pressão nulo. 

O principal critério é a verificação do perfil de velocidade e da escala de 

turbulência medidos do escoamento no túnel e comparados àqueles da NBR 6123 

(1990) e ESDU (1995). Entretanto, as regiões de separação são fortemente 

influenciadas pela turbulência, logo também é importante a medição da intensidade de 

turbulência (COOK 1982). 

A metodologia está de acordo com BLESSMANN (1995) e BENDAT e 

PIERSOL (1971), e está esclarecida à medida que os parâmetros são mostrados. 

Esses perfis são traçados com as respectivas curvas teóricas, dadas por: 

() 

( ) 

U z 

U z 

ref 

⎛ z 

= ⎜ 

⎝ 10 

α 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

A intensidade de turbulência é definida como o quociente entre o desvio padrão 

das flutuações e uma velocidade de referência. Se a velocidade de referência for 

definida com um valor fixo, então a intensidade da turbulência é normalizada (I N ). 

σ 

I N = (3) 

Uref 

Onde U ref é a velocidade de referência, tomada a 10 m de altura em escala 

real. 

A turbulência do vento é caracterizada pelos turbilhões ou redemoinhos, cujas 

dimensões são avaliadas a partir das funções de autocorrelação. A partir destas 

funções são definidas as escalas temporal para o estudo da repetição das rajadas do 

vento, e espacial, para a caracterização da não uniformidade das rajadas sobre as 

estruturas. 

A autocorrelação descreve a dependência de um valor medido no tempo t com 

outro valor medido no tempo t+τ, para um mesmo ponto. Fisicamente, isto representa 

a “memória” do fenômeno das rajadas. Se a curva de autocorrelação for alargada, 

então a memória é grande; se a curva for estreita, então a memória é curta. 

Para avaliar a escala temporal, a partir das curvas de autocorrelação 

normalizada, ρ(τ), calcula-se o tempo característico, T c , do processo aleatório do 

vento, que é numericamente igual à área sob a curva de autocorrelação longitudinal 

normalizada. 

(2) 

∞ 

∫ 

0 

T c ( z) 

= ρ ( z; 

τ dτ 

(4) 

1 ) 

A escala espacial é obtida a partir da escala temporal, considerando-se a 

hipótese de Taylor, em que os redemoinhos deslocam-se com a velocidade média do 

vento. Portanto, a escala espacial da turbulência, a uma certa altura z, é dada pelo 

comprimento médio dos maiores turbilhões na direção longitudinal, L 1 : 

L ( z) 

= U( 

z). 

T ( ) 

(5) 

1 c z 

2.2.3 Medidas de pressões nos modelos rígidos 

As medidas das pressões são obtidas da diferença entre uma pressão de 

referência, que é a pressão estática no escoamento livre, e a pressão estática na 

superfície do modelo. Esta diferença é chamada pressão externa. Onde a pressão 



135 

externa é numericamente igual à pressão ao longe é chamado ponto de estagnação. A 

pressão de referência é dada por um anel estático definido por três tomadas na seção 

de trabalho do túnel. O processo de medição é feito por meio de válvulas de busca 

automática, conhecidas como "scanivalves", e a pressão em cada tomada é medida 

por transdutores elétricos de pressão ligados a uma placa conversora AC/DC e 

armazenada no disco rígido de um microcomputador. 

Os parâmetros para o cálculo dos coeficientes de pressão externa C pe são 

pressão estática de referência p ref e pressão estática na superfície do modelo p m . 

A velocidade média de referência U é obtida a partir do perfil de velocidade 

medido dentro do túnel de vento, no centro da mesa giratória sem o modelo. 

O valor da pressão estática de referência é obtido com a tomada de pressão do 

anel estático de referência, ligada à válvula e daí ao transdutor, dentro do modelo. 

A equação para o cálculo dos coeficientes de pressão é: 

p m − p ref 

Cpe 

= (6) 

1 2 

ρ0U 

2 

2.2.4 Medições de deslocamentos por imagens 

Os deslocamentos na superfície cilíndrica do modelo flexível são medidos com 

o uso do Método do Reticulado, de acordo com SIROCHI & KRISHNA (1991), e a 

teoria dos pequenos deslocamentos como mostrada em JONES & WIKES (1989). 

2.2.4.1. Método do reticulado 

O método do reticulado requer linhas de referência sobre a superfície do objeto 

em observação. As distâncias entre as interseções das linhas são medidas antes e 

depois do modelo ser submetido à ação, no caso o escoamento de ar no túnel. 

As linhas de referência aplicadas ao modelo são na forma de um reticulado 

contínuo em padrão ortogonal, com circunferências ao longo da altura e linhas 

verticais em torno do perímetro. As linhas podem ser diretamente desenhadas ou 

aplicadas à superfície. 

Os deslocamentos normais são determinados pela diferença de medida do 

comprimento na diagonal e nas linhas laterais. São usadas câmeras de alta resolução, 

com lentes livres de distorção, para medir os deslocamentos normais e na superfície 

do modelo. 

2.2.4.2. Medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível 

No caso dos modelos cilíndricos em estudo são feitas medições apenas dos 

deslocamentos numa pequena área a meia altura do cilindro, que pode ser admitida 

plana. 

Na figura 6, as lentes das câmeras V 1 , V 2 e V 3 nas direções 0V 1 , 0V 2 e 0V 3 

gravam a imagem com um reticulado na superfície do objeto. As coordenadas das 

lentes das câmeras são (X 11 , X 12 , 0), (X 21 , 0, X 23 ) e (X 31 , X 32 , 0), respectivamente. 

Observe-se que 0V 1 = 0V 2 = 0V 3 e as lentes estão focalizadas no mesmo ponto. 


136 


Figura 6 - Posições V 1 , V 2 , V 3 das câmeras. 

É sabido que há três componentes de deslocamento d 1 , d 2 , d 3 e nove 

gradientes de deslocamento, tal que são necessárias doze medidas. Como em cada 

vista das câmeras podem ser medidos quatro deslocamentos, sendo dois em cada 

extremidade da linha, figura 7, então há o número necessário de medidas para o 

cálculo dos deslocamentos. 

Q 

Δx 

k 

i1 

Q' 

Δx 

k 

i2 

P P' 

Δx 

k-1 

i1 

Δx 

k-1 

i2 

Figura 7 - Deslocamentos para a vista de cada câmera. 

3 PROCEDIMENTOS PARA OS ENSAIOS 

O estudo dos silos sob a ação do vento inicia-se com a constatação do 

problema de perda de estabilidade do costado e a necessidade de caracterizar o 

comportamento do silo. 

Para tanto, o desenvolvimento dos ensaios abrange os dimensionamentos dos 

protótipos e dos modelos, a geração e caracterização do escoamento de ar, os 

ensaios dos modelos rígidos para a determinação das pressões externas atuantes, e 

os ensaios do modelo flexível para o estudo do comportamento da casca cilíndrica à 

ação do vento. 

3.1 Dimensionamento dos protótipos e dos modelos 

São escolhidas duas relações H/D aos protótipos − 0,5 e 1,0 − para 

representarem as estruturas usuais de silos metálicos cilíndricos de chapas 



137 

corrugadas, que são calculadas para suportarem os esforços devidos a qualquer um 

dos produtos arroz, feijão, milho e soja. 

A casca cilíndrica constitui-se em chapas metálicas corrugadas, ligadas entre si 

por parafusos, com a geometria dada nas figuras 8 e 9. 

As colunas metálicas são aparafusadas às chapas, e calculadas para 

suportarem os esforços verticais de compressão devidos ao peso da cobertura e ao 

atrito do produto. Desde que a cobertura não é objeto de estudo, são simuladas as 

características geométricas em todos os modelos, e a massa da cobertura do modelo 

flexível. 

Figura 8 - Geometria das chapas. 

Figura 9 - Geometria do silo. 

O cálculo das pressões dos produtos é realizado segundo a ISO 11.697 (1997), 

o dos esforços nos silos com base na formulação para o “Cálculo dos Esforços em 

Reservatórios Cilíndricos” (ANDRADE JR 1998). A verificação das chapas conforme 

TRAHAIR et al. (1983), as verificações dos elementos metálicos segundo o texto base 

para a norma brasileira "Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis 

formados a frio" da ASSOCIACAO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS - ABNT 

(2000). 

As dimensões e capacidade dos protótipos foram adotadas em função das 

maiores demandas comerciais deste tipo de silo, e estão indicadas na tabela 4. 

Tabela 4 - Dimensões dos protótipos 

H D b 

Vol. Total Capacidade dada em número de sacos 

H/D 

m m m 

m 3 de 50 kg, densidade 750 kg/m 3 

14,5 29,0 7,2 0,5 11.175 167.625 

21,5 21,5 5,3 1,0 8.456 126.840 

O dimensionamento dos modelos é feito de acordo com as leis de semelhança 

deduzidas no item 2.2.1. Análise dimensional, admitindo-se que: i) o fator de geometria 

é λ L = 1/42, e ii) o fator da velocidade do vento é λ U = 1/2. 

O fator geométrico é escolhido em função do tamanho da seção do túnel, das 

condições de simulação do vento e das respostas dos modelos. Para o flexível, uma 

escala pequena acarretaria em deslocamentos pouco perceptíveis da casca cilíndrica, 

e, para os rígidos, uma escala grande exigiria correções significativas das pressões. 


138 


Os modelos rígidos têm relação H/D=0,5 e 1,0 e são denominados modelo 0,5 

e modelo 1,0. As dimensões estão na tabela 5, considerando-se que altura da 

cobertura cônica é b = 0,25D, e uma taxa de bloqueio igual a 10% da área da seção 

do túnel. 

Tabela 5 - Dimensões dos modelos em função dos diâmetros dos protótipos. 

D 

Seção - mm 

b 

D H b 

protótipo 

H/D área - m 2 

mm mm mm 

mm 

do túnel 

H 

29.000 690 345 173 0,5 1220 x 2440 

D 

21.500 510 510 128 1,0 2,97 

Em cada modelo há um conjunto de tomadas de pressão continua e igualmente 

distribuídos a 10 mm a partir do topo do cilindro, até a base e até o ápice da cobertura, 

sendo definidos modelos com superfícies lisas e com elementos externos. A figura 10 

mostra os modelos com elementos externos - colunas no corpo e fios na cobertura. 

15,1 10 

5,72 

29 tomadas 

39 tomadas 

10 

10 

5 

35 tomadas 

10 10 

51 tomadas 

363,8 

227,36 

545,72 

690 

510 

Figura 10 - Modelos com tomadas de pressão e elementos externos. 

As dimensões das colunas para o corpo cilíndrico e dos fios para a cobertura 

cônica são mostradas na tabela 6. São 48 colunas no corpo do modelo 0,5 e 36 

colunas no corpo do modelo 1,0, sendo as de 4x7 mm na porção inferior e as de 7x2 



139 

mm na porção superior. Nas coberturas, são 12 fios grandes e 12 médios em ambos 

modelos, e 24 fios curtos adicionalmente à do modelo 0,5. 

Tabela 6 - Dimensões das colunas e dos fios para os modelos. 

Dimensões das colunas, mm 

A largura segue a direção tangencial 

Fio, 

φ = 1,0 mm 

Comprimento Largura Espessura Comprimento 

Modelo 0,5 

120 4 7 724 

225 7 2 365 e 161 

Modelo 1,0 

260 4 7 544 

250 7 2 316 

O modelo flexível é calculado para atender às condições de semelhança de 

geometria, de rigidez, de massa, e de aerodinâmica em relação ao protótipo H/D=1,0, 

e é constituído em uma casca cilíndrica de Melinex© com 510 mm de diâmetro e de 

altura, altura da cobertura igual a 128 mm, figura 11. A casca tem uma espessura 

nominal de 0,095 mm, correspondente à espessura média da porção intermediária do 

cilindro (0,4H < média (t) < 0,8H); 36 colunas de PETP de espessura nominal de 2,02 

mm, numeradas a partir da linha de estagnação e considerando-se a simetria, e 

largura variável em relação à altura, como mostrado na tabela 7. 

Tabela 7 - Largura variável das colunas do modelo flexível. 

z largura 

mm mm 

24 11,97 

47 11,28 

71 11,28 

95 10,83 

119 10,31 

142 10,03 

166 10,03 

190 8,63 

213 7,99 

237 7,44 

261 6,72 

285 5,01 

308 4,32 

332 3,99 

356 3,36 

380 2,94 

403 2,67 

427 2,67 

451 2,67 

474 2,67 

498 2,67 

510 2,67 


140 


θ 

1 

9 

8 

2 3 4 5 6 

7 

Vento 

510 

Figura 11 - Modelo flexível. 

A direção z é vertical e a largura tangencial à casca cilíndrica. A cobertura 

segue a redução das escalas de geometria e de massa, com a finalidade de enrijecer 

o topo do cilindro, sendo construída em madeira balsa, para manter a relação 

massa/volume, e em papel impermeável para o acabamento externo final. 

3.3 Geração e caracterização do escoamento no túnel de vento 

O escoamento de ar gerado no túnel de vento deve atender à redução de 

escala geométrica e cinemática, de tal modo que seja simulada a porção inferior da 

camada limite, e sejam definidos os fatores e as condições para o silo e o terreno de 

modo a serem traçados os perfis de velocidade e de intensidade de turbulência, de 

acordo com as normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990). Também é verificada a 

escala espacial do vento, que indica as dimensões médias dos maiores turbilhões e 

são da ordem de 400 mm. 

3.4 Ensaios aerodinâmicos dos modelos rígidos 

Os modelos rígidos atendem às condições aerodinâmica e geométrica, e é 

admitido que os testes em túnel de vento apresentam as pressões independentes do 

número de Reynolds. Isto significa que os coeficientes de pressão são iguais no 

modelo e no protótipo. 



141 

Cada teste constituiu-se em posicionar um modelo no centro da mesa giratória, 

submetê-lo ao escoamento de ar e medir as pressões à medida que o modelo era 

girado. 

3.5 Ensaios estáticos do modelo flexível 

Os ensaios estáticos com aplicação de força pontual são efetuados e medidos 

por meio de um transdutor mecânico linear no modelo flexível para servir de parâmetro 

às medições que são realizadas sob a ação do vento. As medições também são 

efetuadas a partir das imagens obtidas por câmeras de vídeo para três posições 

diferentes, V 1 , V 2 , V 3 , indicadas na figura 13, e focos diferentes, foco 1 e foco 2, 

conforme as figuras 12 (a, b, c). 

Foco 

Foco 

Figura 12 (a) - Vista V 1 do 

modelo flexível indeformado. 

Figura 12 (b) - Vista V 2 do 


Figura 12 (c) - Vista V 3 do 


Figura 13 - Posições para a câmera relativas à seção do túnel. 


142 


3.6 Ensaios aeroelásticos do modelo flexível 

Os ensaios aeroelásticos seguem o mesmo procedimento de filmagens do 

ensaio estático, sendo realizados no túnel de vento 8x4-ft, de seção 1220 x 2440 mm. 

As velocidades médias no túnel de vento, referidas a 510 mm de altura, são 

aumentadas gradualmente e o modelo é filmado para as velocidades de 1,8 m/s (6,5 

km/h), 3,8 m/s (13,7 km/h), 5,6 m/s (20,2 km/h) e 6,93 m/s (25 km/h). 

4 RESULTADOS 

A abordagem definida na metodologia e nos procedimentos define os 

processos dos ensaios para as medições das características do escoamento de ar 

gerado no túnel de vento, das distribuições de pressões nos modelos rígidos e das 

configurações de deflexão e dos deslocamentos do modelo flexível. A finalidade é 

processar e analisar todos os dados obtidos em cada ensaio. 

4.1 Perfis de velocidade e de intensidade de turbulência e escalas de 

turbulência 

Os dados obtidos no túnel consistem em respostas elétricas do anemômetro de 

fio quente em volts, convertidas para velocidade em m/s, e normalizadas em relação à 

velocidade média igual a 14,43 m/s a 238 mm de altura (10 m em escala real). 

Os resultados são apresentados para a velocidade e a intensidade de 

turbulência calculadas para atenderem às normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990). 

50,00 

y = 65,68x 2 - 81,09x + 24,61 

50,00 

45,00 

45,00 

40,00 

40,00 

NBR6123 

35,00 

35,00 

ESDU 

Altura z, m 

30,00 

25,00 

20,00 

15,00 

10,00 

NBR6123 

ESDU 

1/42 

Polinômio (1/42) 

Altura, m 

30,00 

25,00 

20,00 

15,00 

10,00 

1/42 

Ref 1/42 

Polinômio (Ref 

1/42) 

y = 2,6819x 2 - 104,76x + 1034,5 

5,00 

5,00 

0,00 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 

Velocidade Normalizada 

1,0 = 14,43 m/s 

Figura 14 (a) - Perfis de velocidade 

normalizada e linha de tendência. 

0,00 

10 15 20 25 30 

Intensidade de Turbulência, % 

Figura 14 (b) - Perfis da intensidade de 

turbulência normalizada. 

As escalas de turbulência são obtidas a partir da autocorrelação entre as 

componentes flutuantes em torno da velocidade média, para três faixas de 

velocidades: 1) baixa, U = 3,94 m/s, 2) média, U = 11,40 m/s, e 3) alta, U = 15,56 m/s. 

As velocidades de referência são medidas a 238 mm de altura. As figuras 14 (a, b) 

mostram os gráficos para as escalas temporal e espacial da turbulência. 



143 

Tempo, s 

0,12 

0,10 

0,08 

0,06 

0,04 

0,02 

0,00 

0,0995 

0,0366 

0,0254 

3,94 11,40 15,56 

Velocidade, m/s 

Figura 15 - Escalas temporais de 

turbulência. 

Comprimento, mm 

500,00 

400,00 

300,00 

200,00 

100,00 

0,00 

392 

417 

396 

3,94 11,40 15,56 

Velocidade, m/s 

Figura 16 - Escalas espaciais de 

turbulência. 

4.2 Distribuições de pressões nos modelos rígidos 

Os resultados são os coeficientes de pressões externas, calculados para os 

modelos 0,5 e 1,0, com a altura de referência igual a H para o cilindro e a H+b para a 

cobertura cônica, em que b=D/4, o modelo 0,5 - H=0,5D=345 mm, e o modelo 1,0 - 

H=D=510 mm. 

As pressões dinâmicas de referência para o cálculo dos coeficientes de 

pressão são 149 Pa a 345 mm, para o cilindro e 188 Pa a 517,5 mm, para a cobertura 

do modelo 0,5. Para o modelo 1,0 as pressões respectivas são 185 Pa - 510 mm, e 

198 Pa - 637,5 mm. 

4.2.1 Coeficientes de pressão para o modelo 0,5 

Os coeficientes de pressão para o modelo 0,5 são apresentados para o modelo 

com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na 

cobertura. 

Nas figuras 20 e 21 estão apresentadas as isobáricas dos coeficientes de 

pressão, C pe , para o modelo 0,5 com superfície lisa e com elementos externos, 

respectivamente. 


144 


4.2.2. Coeficientes de pressão para o modelo 1,0 

Os coeficientes de pressão para o modelo 1,0 são apresentados para o modelo 

com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na 

cobertura. 

Figura 17 - C pe para o modelo 1,0 liso. 

Figura 18 - C pe no modelo 1,0 nervurado. 

4.2.3. Coeficientes de arrasto e de sustentação para os modelos rígidos 

Conforme a literatura, a resistência de forma é praticamente igual à resistência 

global do corpo ao escoamento do ar. Deste modo, o cálculo dos coeficientes de 

arrasto, C a , e de sustentação, C s , é mais adequado pela integração dos coeficientes 

de pressão. 

O C a é a resultante dos componentes de C pe na direção do vento, vezes a área 

projetada do cilindro (HxD) ou da cobertura (Dxb/2). O C s é a resultante dos 

componentes dos C pe na direção perpendicular à do vento, vezes a área projetada da 

cobertura (πxD 2 /4). No cilindro o C s é considerado nulo devido à simetria do 

escoamento. 

A tabela 7 traz os valores de C a com U ref à altura H, de C s com U ref à altura 

H+b, e dos números de Reynolds. Os valores positivos de C a indicam força de arrasto 

na direção do vento e C s negativo indica força vertical com sentido para cima. 

Tabela 7 - Coeficientes de arrasto e de sustentação dos modelos. 

Modelo 

U ref , m/s C a , NBR C a 

H/D Superfície 

Cilindro Cilindro 

Cil. Cob. 

C a 

Cobertura 

C s 

Cobertura 

0,5 Lisa 0,50 0,51 -0,021 -0,55 

0,5 Elementos 15,58 17,50 0,70 0,61 0,033 -0,50 

1,0 Lisa 0,50 0,45 -0,030 -0,74 

1,0 Elementos 17,60 18,90 0,70 0,56 -0,019 -0,66 

R e 

7,36x10 5 

6,14x10 5 



145 

4.3. Configurações e medidas das deflexões no modelo flexível 

O modelo flexível foi estudado em dois casos: o primeiro para as forças 

estáticas aplicadas ao cilindro e o segundo para as forças exercidas pelo vento gerado 

no túnel. A finalidade é coletar informações sobre as configurações e os valores de 

deslocamentos estáticos característicos, para servir de base na comparação da ordem 

de grandeza dos demais deslocamentos devidos à ação do vento. 

4.3.1. Ensaios estáticos 

As configurações do corpo cilíndrico são mostradas no caso do ensaio estático, 

para a aplicação das forças nos pontos θ = 0º, z = 255 mm e z = 380 mm, como 

mostrado nas figuras 19 (a) e (b). Os resultados correspondentes estão na tabela 8, 

em que as forças aplicadas e os deslocamentos radiais foram efetuados com um 

transdutor. 

255 

510 

510 

380 

Figura 19 (a) - Modelo flexível com força 

aplicada em z = 255 mm. 

Figura 19 (b) - Modelo flexível com força 

aplicada em z = 380 mm. 

Tabela 8 - Valores médios dos deslocamentos radiais dos ensaios estáticos medidos com o 

transdutor. 

Cota z 

mm 

255 

380 

Força 

N 

Deslocamento radial, mm 

Média 

Desvio padrão 

0,49 3,4 0,15 

0,98 5,1 0,07 

1,37 6,2 0,18 

0,49 3,9 0,13 

0,98 5,4 0,22 

1,37 6,6 0,21 

Os deslocamentos por imagens foram calculados com o foco 1 a partir das três 

vistas 0V 1 , 0V 2 e 0V 3 , como mostrado na figura 15. O procedimento para as medidas 

dos deslocamentos começa com a superposição da imagem digitalizada do modelo 

deformado sobre a imagem do modelo indeformado. Então, a imagem da camada 

superior (modelo deformado) é modificada e fica translúcida. A partir deste estágio, a 

imagem do modelo deformado tem a sua opacidade aumentada até um percentual, em 

torno de 35%, em que é possível ver as duas imagens, a do modelo em repouso e a 

do modelo deformado. Os valores dos deslocamentos estáticos obtidos por imagens 

são mostrados na tabela 9. 


146 


Tabela 9 - Valores obtidos por imagens dos deslocamentos radiais estáticos. 

θ = 4,5º 

Cota z 

mm 

Força 

N 

Deslocamento radial, 

δ 

mm 

P 3 255 1,37 6,3 

P 6 300 1,37 6,7 

4.3.2 Ensaios aeroelásticos 

Os testes aeroelásticos foram gravados com a câmera em três posições 

diferentes para as velocidades em que é possível observar uma interação do modelo 

com o vento. As imagens foram digitalizadas com resolução de 2 pixels por mm, com 

um erro no deslocamento igual a 0,5 mm em cada imagem, a uma taxa de reprodução 

de 29,97 qps (quadros por segundo). 

A esta taxa, cada quadro ocupa 1/29,97 ≅ 0,033 s. A análise das imagens é 

feita quadro a quadro, o que significa que o erro de medida do tempo é dado por 

0,0167 s,. 

Para as velocidades de 1,8 m/s até quase 5,6 m/s o modelo não apresenta 

uma resposta visível. A partir de 5,6 m/s ocorrem os primeiros movimentos da coluna 4 

na região de mudança de pressões, aproximadamente a 35º da direção do vento. 

Na figura 23 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função 

do tempo de teste do modelo. O tempo médio de duração é igual a 0,14 s e o desvio 

padrão é igual a 0,08. Foram contadas 66 deflexões, ou 1,2 deflexão/s. 

A figura 24 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões 

consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento. 

O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,71 s e o desvio padrão é igual a 0,68 s. 

0,35 

3,00 

0,30 

35° 

35° 

2,50 

35° 

35° 

Duração, s 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

4 

4 

Intervalo, s 

2,00 

1,50 

1,00 

0,05 

0,50 

0,00 

0,00 

0 

4 

8 

12 

17 

21 

25 

29 

33 

37 

41 

46 

50 

54 

0 

4 

8 

12 

15 

19 

23 

27 

31 

35 

38 

42 

46 

50 

54 

4 

4 

Tempo, s 

Figura 23 - Tempo de duração das 

deflexões na coluna 4; velocidade 5,6 m/s. 

Tempo, s 

Figura 24- Intervalo entre as deflexões na 

coluna 4; velocidade 5,6 m/s. 

O modelo foi testado gradualmente de 5,6 a 6,9 m/s, em que foram observados 

movimentos crescentes em número e intensidade na região a barlavento. Acima de 

6,9 m/s os movimentos começaram a ficar muito pronunciados e, por isto, foi decidida 

a velocidade de 6,9 m/s como representativa, no sentido de prover informações sobre 

a máxima interação das forças do vento com o modelo. 



147 

Na figura 25 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função 

do tempo de teste do modelo sob a ação do vento. O tempo médio é igual a 0,23 s e o 

desvio padrão é igual a 0,15. Foram contadas 108 deflexões, ou 2,15 deflexão/s. 

A figura 26 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões 

consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento. 

O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,24 s e o desvio padrão é igual a 0,31 s. 

Duração, s 

0,70 

0,60 

0,50 

0,40 

0,30 

0,20 

0,10 

0,00 

35° 

11 

0 

4 

9 

13 

18 

22 

26 

31 

35 

40 

44 

48 

Tempo, s 

Figura 25 - Tempo de duração das 

deflexões na coluna 1; velocidade 6,9 m/s. 

35° 

Intervalo, s 

1,80 

1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 

3 

7 

10 

14 

17 

21 

24 

27 

31 

34 

38 

41 

45 

48 

Tempo, s 

Figura 26 - Intervalo entre as deflexões na 

coluna 1; velocidade 6,9 m/s. 

35° 

11 

35° 

As amplitudes dos deslocamentos foram medidas das imagens e os resultados 

estão na tabela 10, para os pontos definidos nas figuras 27, 28 e 29 (vide figuras 12, 

13 e 14). 

Tabela 10 - Deslocamentos radiais típicos da casca cilíndrica na região 255 < z < 300 mm, - 

4,5º < θ < +4,5º, velocidade 6,9 m/s. 

Pontos 1 2 3 4 5 6 

Deslocamento, mm 6,0 5,5 5,0 5,2 2,8 2,8 

P 4 

P 5 

P 4 

P 6 

P 5 P 6 

P 4 

P 5 

P 6 

P 1 P 3 

P 2 

P 1 P 3 

P 2 

P 2 

P 1 P 3 

Figura 27 - Área em foco 1, 

vista 1. 


vista 2. 


vista 3. 


148 


5 ANÁLISE DOS RESULTADOS 

Os valores dos C pe foram comparados com aqueles selecionados na literatura 

e indicam boa conformidade em relação aos pontos de separação do escoamento do 

costado, que são de 38º para o modelo 0,5 e 35º para o modelo 1,0. Para a cobertura 

lisa há menos resultados na literatura, mas comprovam os valores e a distribuição dos 

C pe obtidos neste trabalho. 

Para os modelos com superfície cilíndrica nervurada não há muitos artigos e os 

que foram encontrados não são recentes, com cerca de 40 e até 70 anos. Isto significa 

que a simulação das condições do escoamento de ar gerado no túnel não foi realizada 

e descrita conforme os métodos atuais, e faltam com detalhes e parâmetros 

estatísticos. Mesmo assim, os valores dos C pe não apresentam discrepâncias e a 

resposta geral e as mudanças dos coeficientes em decorrência das nervuras indicam 

um mesmo comportamento em relação aos resultados obtidos nos presentes ensaios. 

Deste modo, a contribuição é um conjunto de dados atualizados, com características 

de semelhança e simulação bem definidas, com repetições dos testes e aplicabilidade 

direta para os silos cilíndricos com coberturas cônicas. 

Para as coberturas dos modelos são obtidos resultados de pressão em 

superfícies lisas e com fios. A necessidade de dados para a superfície com fios é 

representar as dobras das chapas usadas em coberturas cônicas metálicas e seus 

efeitos nas distribuições de pressões. 

No geral, os resultados para a cobertura lisa estão em conformidade com 

aqueles comparados na literatura, o que indica que o método utilizado é adequado. 

Quanto à superfície cônica com fios, não havia resultados disponíveis para 

comparação. Os valores obtidos nos ensaios revelaram uma redução dos coeficientes 

de pressão na cobertura devida aos fios, o que é benéfico à estrutura. 

Também foram detalhados os valores dos C pe na junção do corpo cilíndrico à 

cobertura cônica. O efeito geral é uma redução significativa, em torno de 60%, destes 

coeficientes devido à colocação dos fios. 

Os valores derivados dos C pe , que são os coeficientes de arrasto e de 

sustentação, revelam que os valores da NBR 6123 (1990) são conservadores para os 

cilindros com nervuras externas, mas estão em conformidade para os cilindros lisos. 

Observa-se que o valor do C a obtido por SABRANSKY & MELBOURNE (1987) 

para um cilindro liso de H/D = 0,66, R e = 1,5x10 5 e cobertura cônica é cerca de 36% 

menor que o valor 0,51 obtido para o modelo 0,5 liso. Contudo, a NBR 6123 (1990) 

fornece um C a = 0,50 para um cilindro liso, R e ≥ 4,2x10 5 e H/D = 0,5. Portanto, o valor 

0,51 está em conformidade com o valor definido na norma brasileira de ventos. 

Para o modelo 0,5 com nervuras, o valor do C a da NBR 6123 (1990), para 

saliências 0,02D é 0,7, enquanto que o valor experimental obtido é igual a 0,61 para 

nervuras de saliências 0,01D para 0 ≤ z/H ≤ 0,35 e 0,006D para 0,35 ≤ z/H ≤ 1,0. Este 

valor 0,61 é justificado pelo fato que as relações 0,01D e 0,006D são menores que a 

definida pela norma. 

O modelo 1,0 liso apresenta um C a = 0,45, próximo ao valor 0,5 da NBR 6123 

(1990). É interessante que SABRANSKY & MELBOURNE (1987) para um silo de H/D 

= 1,16 e liso obtêm um C a = 0,28, muito inferior aos sugeridos pela NBR 6123 (1990). 

Para o modelo 1,0 com nervuras o C a = 0,56 é inferior ao 0,7 fornecido pela 

norma brasileira. Contudo, este valor está próximo ao 0,61 obtido por PRIS (1960), 

para um cilindro de H/D = 1,3 sob um R e = 3,0x10 5 . Ainda assim, o valor 0,56 é inferior 

ao da NBR, pois a relação das saliências é 0,014D para 0 ≤ z/H < 0,49 e 0,008D para 

0,49 ≤ z/H ≤ 1,0. 

A NBR 6123 (1990) não dispõe dos valores dos C pe e, conseqüentemente, dos 

coeficientes de sustentação C s para as coberturas cônicas. 



149 

Os valores dos C s para as coberturas cônicas encontrados na literatura são C s 

= -0,90 e C a = -0,13 de SABRANSKY & MELBOURNE (1987), para um modelo de H/D 

= 1,16 e cobertura cônica de 27º, de superfície lisa. Contudo, estes valores são 

maiores que C s = -0,55 e C a = -0,021 obtidos nos ensaios do modelo 1,0. 

A aposição de fios nas coberturas dos modelos reduziu o C s em 9% 

para o modelo 0,5 e em 11% para o modelo 1,0, e alterações pequenas nos valores 

dos C a . 

O modelo flexível foi construído em poliéster e em polietileno com relação 

H/D=1,0 e superfície externa com nervuras. 

Na literatura foram encontrados testes em modelos de alumínio em RESINGER 

& GREINER (1981), com superfície lisa, com o objetivo de serem medidas as 

pressões que provocam perda de estabilidade da casca cilíndrica. Com base nas 

constatações feitas para os modelos em alumínio e nos testes feitos com o modelo 

flexível, afirma-se que a configuração de deformação é de 2 semi-ondas para os silos 

metálicos de chapas corrugadas e colunas externas, mas sem anel de enrijecimento. 

Noutro estudo de UEMATSU & UCHIYAMA (1985) foi utilizado um modelo 

cilíndrico de H/D=2,0 e cobertura plana, também em poliéster, mas com superfície lisa, 

para o estudo do comportamento dinâmico do cilindro relacionado às características 

dos campos de pressões. Com base nestes autores, os resultados que foram obtidos 

para o modelo 1,0 indicam que as primeiras deflexões em um silo cilíndrico de chapas 

metálicas corrugadas com colunas externas podem ocorrer a partir de R e = 2,0x10 5 . 

6 CONCLUSÕES 

Na engenharia as estruturas dos silos são calculadas com a finalidade principal 

de suportarem as ações devidas aos produtos armazenados. A ação variável do vento 

é importante para o caso em que o silo é metálico e se encontra vazio e é necessário 

entender o seu comportamento para a verificação da estabilidade local e global do 

corpo cilíndrico. 

Os valores sugeridos pela NBR 6123 (1990) para os coeficientes de pressão no 

corpo do silo cilíndrico devem ser usados para um escoamento de ar acima da região 

crítica, ou seja, para número de Reynolds acima de 4,2x10 5 , ou seja, para D.U > 6,14 

m/s 2 , e com a pressão dinâmica q calculada à altura de referência igual a 10,0 m. 

Mantendo-se estas mesmas condições da norma, é proposta uma altura de 

referência em H porque se reporta diretamente à geometria do silo, e o valor da 

pressão dinâmica do vento pode ser facilmente calculado para esta altura. 

Para os cilindros com relação H/D = 0,5 os valores dos C pe da norma brasileira 

podem ser usados para a superfície lisa e, se usados para a superfície com elementos 

externos, ou saliências, os valores estão a favor da segurança. 

Para os cilindros com relação H/D = 1,0 os C pe positivos obtidos no presente 

trabalho estão de acordo com aqueles fornecidos pela norma brasileira, mas são muito 

diferentes na região de pressões negativas, principalmente para o cilindro liso. 

Deste modo, são fornecidos na tabela 11 os valores dos C pe para os cilindros 

de relação H/D = 0,5 e 1,0 para uma pressão dinâmica q calculada à altura de 

referência H, conforme o procedimento da NBR 6123 (1990). 

Na tabela 12 são apresentados os valores dos coeficientes de arrasto 

sugeridos para a relação de altura das nervuras próximas a 0,01.D e os valores da 

NBR 6123 (1990) para 0,02.D e 0,08D para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e 

1,0 

Os valores dos coeficientes de arrasto C a sugeridos pela NBR 6123 (1990) são 

mantidos para os silos lisos, porque estão em conformidade com os resultados 

obtidos. Para os cilindros com colunas externas de relação para a altura da coluna 

próximas a 0,01.D, é sugerido o valor 0,6, inferior ao da NBR 6123 (1990), que adota 


150 


0,7 para a relação 0,02.D. Para relações próximas a 0,08.D, os valores da NBR 6123 

(1990) são mantidos. Para relações intermediárias os coeficientes podem ser 

estimados por interpolação linear. 

Tabela 11 - Distribuição C pe para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e 1,0. 

Coeficientes de pressão externa C pe 

Pressão dinâmica q à altura H 

θ Superfície Lisa Superfície com Colunas 

0,5 1,0 0,5 1,0 

0º 

10º 

20º 

30º 

35º 

40º 

50º 

60º 

70º 

80º 

90º 

100º 

110º 

120º 

140º 

160º 

180º 

0,9 

0,8 

0,6 

0,3 

0,15 

0 

-0,4 

-0,75 

-1,00 

-1,14 

-1,14 

-0,95 

-0,39 

-0,39 

-0,39 

-0,39 

-0,39 

0,85 

0,8 

0,5 

0,2 

0 

-0,2 

-0,6 

-1,0 

-1,3 

-1,5 

-1,5 

-1,3 

-1,0 

-0,6 

-0,5 

-0,5 

-0,5 

0,80 

0,75 

0,6 

0,4 

0 

-0,3 

-0,5 

-0,7 

-0,8 

-0,6 

-0,6 

-0,5 

-0,5 

-0,45 

-0,4 

-0,4 

-0,4 

0,85 

0,7 

0,5 

0,2 

0 

-0,3 

-0,65 

-0,8 

-0,9 

-0,7 

-0,6 

-0,5 

-0,5 

-0,5 

-0,5 

-0,5 

-0,5 

Vento 

θ 

D 

D 

H 

b 

Tabela 12 - Valores dos C a para silos cilíndricos com relação H/D = 0,5 e 1,0. 

Re 

H/D 

Planta 

x 10 5 0,5 1,0 

Vento 

D 

Liso 

Com colunas de 

altura = 0,01D 





≤ 3,5 

≥ 4,2 

Todos 

valores 

Todos 

valores 

Todos 

valores 

0,7 

0,5 

0,7 

0,5 

0,6 0,6 

0,7 0,7 

0,8 0,8 

A norma brasileira não apresenta valores para os coeficientes de pressão 

externa na cobertura cônica. Com base nos resultados obtidos são propostas as 

distribuições dos coeficientes de pressão externa em coberturas cônicas, que estão 

apresentadas nas figuras 30, 31, 32 e 33. Estas distribuições servem para o cálculo 

das forças localizadas nas coberturas cônicas lisas e nervuradas, com fios de altura 

0,01.b. 



151 

1310 

11 12 

11 

12 

12 

10 

11 

11 

11 

10 

10 

42 

9 

4 

5 

8 7 

6 

8 

10 

9 

9 

9 10 

9 9 9 

10 

11 

11 

11 

11 

Nível C pe 

13 0 

12 -0,25 

11 -0,5 

10 -0,7 

9 -1 

8 -1,2 

7 -1,4 

6 -1,7 

5 -1,9 

4 -2,1 

3 -2,4 

2 -2,6 

1 -2,85 

9 

9 

9 

6 

12 

9 4 5 6 

11 10 8 6 

7 6 10 11 

109 9 

11 9 

11 

11 

7 

8 

11 

10 9 

10 

10 

9 

9 

9 

9 

9 

Nível C pe 

12 -0,1 

11 -0,3 

10 -0,5 

9 -0,7 

8 -0,9 

7 -1,1 

6 -1,3 

5 -1,5 

4 -1,7 

3 -1,9 

2 -2,1 

1 -2,3 

Figura 30 - C pe para cobertura cônica lisa 

com 27º em silos com H/D=0,5. 

Figura 31 - C pe para cobertura cônica 

nervurada com 27º em silos com H/D=0,5. 

11 

14 

12 

12 

13 

12 

12 

11 10 7 4 9 8 12 13 

10 

11 

12 

12 

Nível C pe 

14 -0,1 

13 -0,4 

12 -0,7 

11 -1,0 

10 -1,3 

9 -1,6 

8 -1,9 

7 -2,2 

6 -2,5 

5 -2,8 

4 -3,1 

3 -3,5 

2 -3,8 

1 -4,1 

7 

12 

8 

11 

9 

10 

9 9 

8 

7 6 3 3 9 10 

4 4 

7 

6 

8 

9 

10 

Nível C pe 

12 0 

11 -0,2 

10 -0,4 

9 -0,6 

8 -0,8 

7 -1,0 

6 - 

1,15 

5 -1,3 

4 -1,5 

3 -1,7 

2 -1,9 

1 -2,1 

Figura 32 - C pe para cobertura cônica lisa 

com 27º em silos com H/D=1,0. 

Figura 33 - C pe para cobertura cônica 

nervurada com 27º em silos com H/D=1,0. 

Na tabela 13 são propostos os coeficientes de arrasto e de sustentação para a 

determinação das forças globais que atuam nas coberturas cônicas. 

Tabela 13 - Valores dos coeficientes de arrasto e de sustentação para as coberturas cônicas 

de inclinação 27º (b/D=1/4) com relação H/D = 0,5 e 1,0. 

Superfície H/D C a C s 

Lisa 0,5 -0,02 -0,55 

Nervurada 0,01.b 0,5 0,03 -0,5 

Lisa 1,0 -0,03 -0,75 

Nervurada 0,01.b 1,0 -0,02 -0,65 

É vantajoso o posicionamento das colunas externamente, porque reduz pela 

metade as pressões nas laterais do corpo cilíndrico. Um ônus seria o acréscimo da 

força de arrasto, mas isto não aumenta a ancoragem do silo significativamente em 

relação ao benefício de se ter um alívio das pressões nas laterais do silo. 

Os testes no modelo flexível permitiram avaliar a formulação teórica para uma 

casca cilíndrica com colunas. O comportamento da casca somente com colunas foi 


152 


simulado no túnel de vento, mas as deflexões começaram a 5,6 m/s e, sem dúvida, 

para 6,9 m/s os deslocamentos extrapolaram a capacidade da estrutura. A conclusão 

é que o corpo do silo necessita de anéis de enrijecimento ao longo da altura. 

Como uma sugestão preliminar para que a estrutura suporte maiores 

velocidades do vento, fundamentada nos estudos de BRIASSOULIS & PECKNOLD 

(1986) e na formulação teórica de BRUSH & ALMROTH (1975), sugere-se que sejam 

conectados anéis de seção tubular para enrijecer o costado do silo. 

Supondo-se que o silo esteja com colunas externas, mas não seja enrijecido 

com anéis, estima-se que a perda de estabilidade ocorreria para uma pressão crítica 

igual a 375 N/m 2 , que, nas condições de terreno estabelecidas para os protótipos, 

equivale a V o = 25 m/s. Rememorando-se que o modelo flexível desenvolve um 

comportamento de deflexões máximas à velocidade de 6,9 m/s, o que dá 14 m/s em 

escala real, ou 120 N/m 2 , considera-se que é preciso rever essa formulação. A título 

de entendimento do efeito das colunas, caso fosse considerado o cilindro somente 

com as chapas corrugadas, a pressão crítica seria igual a 314 N/m 2 . Caso as chapas 

não fossem corrugadas, a pressão crítica no cilindro seria 6,5 N/m 2 . 


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