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São Carlos, v.9 n. 41 2007
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO<br />
Reitora:<br />
Profa. Dra. SUELY VILELA<br />
Vice-Reitor:<br />
Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO<br />
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS<br />
Diretor:<br />
Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI<br />
Vice-Diretor:<br />
Prof. Dr. EDUARDO MORGADO BELO<br />
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS<br />
Chefe do Departamento:<br />
Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA<br />
Suplente do Chefe do Departamento:<br />
Prof. Dr. MOUNIR KHALIL EL DEBS<br />
Coordenador de Pós-Graduação:<br />
Prof. Dr. MARCIO ANTONIO RAMALHO<br />
Editor Responsável:<br />
Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA<br />
Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico:<br />
MARIA NADIR MINATEL<br />
e-mail: minatel@sc.usp.br<br />
Editoração e Diagramação:<br />
FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO<br />
MARIA NADIR MINATEL<br />
MASAKI KAWABATA NETO<br />
MELINA BENATTI OSTINI<br />
RODRIGO RIBEIRO PACCOLA<br />
TATIANE MALVESTIO SILVA
São Carlos, v.9 n. 41 2007
Departamento de Engenharia de Estruturas<br />
Escola de Engenharia de São Carlos – <strong>USP</strong><br />
Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro<br />
CEP: 13566-590 – São Carlos – SP<br />
Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482<br />
site: http://www.set.eesc.usp.br
SUMÁRIO<br />
Métodos simplificados para a verificação de punção excêntrica<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 1<br />
Análise experimental de ligações duplo “T” com almas coplanares,<br />
perpendiculares e enrijecidas<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves 23<br />
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas<br />
submetidos à ação de força centrada<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 47<br />
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração<br />
da não-linearidade física – modelagem e metodologia de aplicação a projetos<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 77<br />
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas<br />
por elementos unidimensionais com dois parafusos por nó<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr 109<br />
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 129
ISSN 1809-5860<br />
MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO<br />
DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA<br />
Juliana Soares Lima 1 & Libânio Miranda Pinheiro 2<br />
Resumo<br />
Nas recomendações da NBR 6118:1978 relativas à punção, não eram previstos os<br />
casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados entre a laje e o pilar.<br />
Como a influência desses momentos pode ser bastante significativa para a análise da<br />
punção, algumas diretrizes foram incluídas na Revisão da NBR 6118, versão de 2000.<br />
Este trabalho apresenta um estudo dessas disposições sobre a chamada punção<br />
excêntrica, ressaltando-se algumas omissões quanto ao cálculo das tensões solicitantes<br />
na face do pilar e além da região armada para punção. São propostas<br />
complementações e métodos simplificados para a consideração dos efeitos dos<br />
momentos. Por fim, resolve-se um exemplo de cálculo, demonstrando os procedimentos<br />
apresentados e comparando-os com aqueles propostos pela Revisão da NBR 6118.<br />
Palavras-chave: lajes; punção; momentos desbalanceados; ligação laje-pilar.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
Quando um momento desbalanceado é transferido em uma ligação laje-pilar,<br />
parte se dá por flexão, parte por torção e parte por cisalhamento. Essa distribuição<br />
pode ser considerada por uma variedade de métodos e depende essencialmente das<br />
dimensões do pilar e da espessura da laje.<br />
Para a punção, em especial, interessa a parcela transferida por cisalhamento.<br />
Nas recomendações da NBR 6118:1978, relativas à punção, não eram previstos os<br />
casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados. Mas como a<br />
influência desses momentos pode ser bastante significativa, sua análise foi incluída na<br />
Revisão da NBR 6118 (2000).<br />
Em trabalho anterior, GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) apresentaram essas<br />
novas diretrizes da NBR 6118 (2000), resolvendo, inclusive, um exemplo de cálculo.<br />
Posteriormente, LIMA (2001) estudou mais detalhadamente esses procedimentos,<br />
identificando algumas omissões relacionadas ao cálculo das tensões solicitantes.<br />
Neste trabalho, são apresentadas algumas sugestões para contornar essas<br />
omissões, enfatizando-se a possibilidade de utilização de métodos simplificados.<br />
1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, jslima55@uol.com.br<br />
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, libanio@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
2<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
2 PUNÇÃO EXCÊNTRICA SEGUNDO A REVISÃO DA NBR 6118<br />
O modelo empírico da NBR 6118 (2000) para a verificação da punção é<br />
baseado no método da superfície de controle, que consiste em comparar tensões de<br />
cisalhamento atuantes em superfícies consideradas críticas, com tensões resistentes<br />
do concreto.<br />
Essas superfícies críticas estão relacionadas às regiões com possibilidade de<br />
ruína por punção, localizadas entre a face do pilar e o início da armadura, dentro da<br />
região armada e além dela.<br />
Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser<br />
feitas:<br />
• verificação da compressão do concreto, no contorno C;<br />
• verificação da punção, no contorno C’.<br />
Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas:<br />
• verificação da compressão do concreto, no contorno C;<br />
• verificação da punção, no contorno C’;<br />
• verificação da punção, no contorno C”.<br />
Os contornos críticos C, C’ e C” encontram-se, respectivamente, na face do<br />
pilar, à distância 2d da face do pilar e à distância 2d da última linha de armadura de<br />
punção. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo<br />
com a posição do pilar na estrutura (Figura 1).<br />
Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto<br />
C'<br />
C'<br />
C<br />
2d<br />
C"<br />
2d<br />
2d<br />
C"<br />
C<br />
2d<br />
C<br />
2d<br />
C'<br />
2d<br />
2d<br />
2d<br />
C"<br />
2d<br />
2d<br />
2d<br />
2d<br />
Figura 1 - Perímetros críticos.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
3<br />
O cálculo das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica foi<br />
apresentado por GUARDA, LIMA & PINHEIRO (2000) e por LIMA (2001). Um resumo<br />
das expressões utilizadas encontra-se na Tabela 1.<br />
Vale lembrar que, no caso de pilares de canto, devem ser feitas verificações<br />
separadas para cada uma das direções, sendo estudadas duas situações de cálculo.<br />
Tabela 1 - Expressões para o cálculo das tensões solicitantes.<br />
Situação de Cálculo<br />
Tensão Solicitante<br />
Pilar interno<br />
com momento em uma direção<br />
Pilar interno<br />
com momentos nas duas direções<br />
Pilar de borda<br />
sem momento no plano paralelo à borda<br />
livre<br />
Pilar de borda<br />
com momento no plano paralelo à borda<br />
livre<br />
Pilar de canto<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
τ<br />
Sd<br />
Sd<br />
Sd<br />
Sd<br />
Sd<br />
FSd<br />
K ⋅M<br />
= +<br />
u ⋅d<br />
W ⋅d<br />
p<br />
Sd<br />
FSd<br />
K1<br />
⋅M<br />
= +<br />
u ⋅d<br />
W ⋅d<br />
p1<br />
Sd1<br />
FSd<br />
K1<br />
⋅MSd<br />
= +<br />
u * ⋅d<br />
W ⋅d<br />
p1<br />
FSd<br />
K1<br />
⋅M<br />
= +<br />
u * ⋅d<br />
W ⋅d<br />
p1<br />
Sd<br />
FSd<br />
K1<br />
⋅MSd<br />
= +<br />
u * ⋅d<br />
W ⋅d<br />
p1<br />
K 2 ⋅M<br />
+<br />
W ⋅d<br />
p2<br />
Sd2<br />
K 2 ⋅M<br />
+<br />
W ⋅d<br />
p2<br />
Sd2<br />
Nas expressões da Tabela 1, têm-se:<br />
F Sd - força normal de cálculo;<br />
u - perímetro crítico do contorno considerado;<br />
u* - perímetro crítico reduzido do contorno considerado (Figura 2);<br />
d - altura útil da laje;<br />
K, K 1 e K 2 - coeficientes que fornecem a parcela de momento transferida por<br />
cisalhamento (Tabela 2), e que dependem da relação c 1 / c2<br />
entre as dimensões do<br />
pilar (Figura 3); para pilares de borda com momento no plano paralelo à borda livre, K 2<br />
depende da relação c 2 / 2c1;<br />
Tabela 2 - Valores do coeficiente K.<br />
c 1 /c 2 0,5 1 2 3<br />
K 0,45 0,60 0,70 0,80<br />
c 1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade ou na direção perpendicular à<br />
borda;<br />
c 2 - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade ou na direção da<br />
borda;<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
4<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
Borda livre<br />
da laje<br />
Perímetro crítico u<br />
2d<br />
2d<br />
c2<br />
c 1<br />
2d<br />
Borda livre<br />
da laje<br />
a ≤ 1,5d ou 0,5c<br />
c 1<br />
1<br />
2d<br />
2d<br />
c 2<br />
2d<br />
Perímetro crítico<br />
reduzido u*<br />
Bordas livres da laje<br />
c<br />
a ≤ 1,5d ou 0,5c<br />
2d<br />
2d<br />
2d<br />
Perímetro crítico u<br />
2d<br />
Perímetro crítico<br />
reduzido u*<br />
Figura 2 - Perímetros críticos reduzidos do contorno C’ para pilares de borda e de canto.<br />
M<br />
sd<br />
1<br />
c<br />
c<br />
2<br />
Figura 3 - Dimensões c 1 e c 2.<br />
M Sd , M Sd1 e M Sd2 - momentos desbalanceados de cálculo; para pilares de borda e de<br />
canto:<br />
M Sd2 - momento no plano paralelo à borda livre;<br />
M Sd - momento resultante de cálculo, dado pela expressão M = (M − M *) ≥ 0 ;<br />
M Sd1 - momento desbalanceado de cálculo, no plano perpendicular à borda livre;<br />
M Sd * - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em<br />
relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, M * = F ⋅e<br />
* ;<br />
e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (Figura 4), dada por<br />
u*<br />
u*<br />
∫<br />
e * =<br />
∫<br />
e ⋅dl dl<br />
.<br />
0<br />
0<br />
Sd<br />
Sd1<br />
Sd<br />
Sd<br />
Sd<br />
De acordo com esta definição, a NBR 6118 (2000) apresenta apenas as<br />
expressões da Tabela 3, correspondentes ao contorno crítico C’. Nenhuma indicação<br />
é feita para os contornos C e C”.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
5<br />
a ≤ 1,5d ou 0,5c<br />
1<br />
b<br />
a<br />
2d<br />
2d<br />
Borda livre da laje<br />
c 1 / 2<br />
e*<br />
2d<br />
2d<br />
c 1<br />
2<br />
Perímetro crítico reduzido u*<br />
c<br />
c1<br />
2d<br />
c2 e*<br />
2d<br />
a2<br />
2d<br />
a1 ≤ 1,5d ou 0,5c1<br />
a2 ≤ 1,5d ou 0,5c2<br />
a1<br />
2d<br />
Perímetro crítico reduzido u*<br />
Figura 4 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido do contorno C’, para pilares de borda e<br />
de canto.<br />
Tabela 3 - Valores de e* para o contorno C’.<br />
Situação de Cálculo<br />
Excentricidade<br />
Pilares de borda<br />
Pilares de canto<br />
c1<br />
⋅a<br />
− a<br />
e*<br />
=<br />
c1<br />
⋅a<br />
e*<br />
=<br />
1<br />
2<br />
− a<br />
c1<br />
⋅c2<br />
+ + 2⋅c2<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
2<br />
2⋅a<br />
+ c + 2⋅π⋅d<br />
2<br />
1<br />
+ a<br />
2<br />
2⋅<br />
2<br />
⋅c<br />
+ 4⋅a<br />
1<br />
( a + a + π⋅d)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ π⋅d⋅c<br />
2<br />
1<br />
+ π⋅d⋅c<br />
1<br />
Observa-se que, para pilares de borda e de canto, não é necessário utilizar o<br />
momento no plano perpendicular à borda livre com seu valor integral. A excentricidade<br />
do perímetro crítico provoca um momento M Sd * de sentido oposto ao de M Sd1 , podendo<br />
até anular o efeito deste. A favor da segurança, mesmo que M Sd * seja maior que M Sd1 ,<br />
o que significaria “alívio” da tensão de cisalhamento atuante, esta situação não é<br />
considerada ( M − M * ≥ 0 ).<br />
Sd1<br />
a, a 1 e a 2 - menor valor entre 1, 5⋅d<br />
e 0,5⋅ c ;<br />
Sd<br />
W p , W p1 e W p2 - módulos de resistência plástica do perímetro crítico, nas direções<br />
paralelas aos momentos correspondentes, dados por W<br />
∫<br />
e ⋅dl , onde dl é o<br />
comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro<br />
do pilar e em torno do qual atua M Sd . De acordo com essa definição, a NBR 6118<br />
p<br />
u<br />
=<br />
0<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
6<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
(2000) apresenta apenas as expressões da Tabela 4, relativas ao contorno crítico C’.<br />
Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C”.<br />
Tabela 4 - Valores de W p para o contorno C’.<br />
Situação de Cálculo<br />
W p<br />
2<br />
c<br />
Pilares internos 1<br />
2<br />
Wp<br />
= + c1<br />
⋅c2<br />
+ 4⋅c2<br />
⋅d<br />
+ 16⋅d<br />
+ 2⋅π⋅d⋅c1<br />
2<br />
c<br />
Pilares de borda - W 1 c1<br />
⋅c2<br />
2<br />
p1 Wp1<br />
= + + 2⋅c2<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ π⋅d⋅c1<br />
2 2<br />
c<br />
Pilares de borda - W 2<br />
2<br />
p2 Wp2<br />
= + c1<br />
⋅c2<br />
+ 4⋅c1<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ π⋅d⋅c2<br />
4<br />
Pilares de canto<br />
W<br />
p1<br />
2<br />
2<br />
c1<br />
=<br />
4<br />
2<br />
c1<br />
⋅c<br />
+<br />
2<br />
2<br />
+ 2⋅c<br />
2<br />
⋅d<br />
+ 4⋅d<br />
2<br />
π⋅d⋅c<br />
+<br />
2<br />
1<br />
3 VALORES DE W p PARA OS CONTORNOS C E C”<br />
A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de W p para<br />
os contornos C e C” pode acarretar o uso de valores indevidos desse parâmetro para<br />
as verificações na face do pilar e além da região armada, não devendo persistir na<br />
versão definitiva da NBR 6118.<br />
No CEB MC-90 (1993), no qual a verificação de punção da NBR 6118 (2000) é<br />
baseada, não ocorre esse problema. Para o contorno C”, fica claro que deve ser<br />
calculado um W p ’ correspondente ao perímetro crítico u’, de forma análoga ao W p<br />
para o contorno u. Resolvendo-se a integral de definição, podem ser obtidas as<br />
expressões de W p ’ da Tabela 5, para cada situação de cálculo, sendo p a distância da<br />
face do pilar até a última linha de conectores.<br />
Para o contorno C, o CEB MC-90 (1993) apresenta a tensão solicitante em<br />
termos de uma força de compressão efetiva, F Sd,ef , que considera o efeitos dos<br />
momentos fletores. Rearrumando sua expressão para um formato similar ao da NBR<br />
6118 (2000), tem-se:<br />
τ<br />
Sd<br />
FSd<br />
K ⋅M<br />
= +<br />
u o ⋅d<br />
u o<br />
⋅ Wp<br />
u<br />
Sd<br />
⋅d<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
7<br />
Tabela 5 - Valores de W p ’.<br />
Situação de Cálculo W p ’<br />
Pilar interno (W p ’)<br />
Pilar de borda (W p1 ’)<br />
Pilar de borda (W p2 ’)<br />
Pilar de canto (W p1 ’)<br />
W<br />
W<br />
W<br />
W<br />
'<br />
p<br />
p1<br />
p2<br />
p1<br />
2<br />
c1<br />
=<br />
2<br />
2<br />
1<br />
c<br />
' =<br />
2<br />
2<br />
2<br />
c<br />
' =<br />
4<br />
2<br />
1<br />
c<br />
' =<br />
4<br />
+ c ⋅c<br />
1<br />
2<br />
c1<br />
⋅c<br />
+<br />
2<br />
1<br />
2<br />
+ c ⋅c<br />
c1<br />
⋅c<br />
+<br />
2<br />
+ 4⋅c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ 2⋅c<br />
⋅d<br />
+ 16⋅d<br />
2<br />
1<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ 4⋅c<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ 2⋅c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅d<br />
+ 4⋅d<br />
2<br />
+ 2⋅π⋅d<br />
⋅c<br />
+ π⋅d⋅c<br />
+ π⋅d⋅c<br />
1<br />
+ 2⋅c<br />
2<br />
+ 16⋅d<br />
⋅p<br />
+ 4⋅p<br />
1<br />
+ c<br />
2<br />
π⋅p⋅c<br />
+<br />
2<br />
2<br />
π⋅d⋅c<br />
+<br />
2<br />
1<br />
1<br />
⋅p<br />
+<br />
2<br />
⋅p<br />
+ 8⋅d<br />
⋅p<br />
+<br />
1<br />
π⋅p⋅c<br />
+<br />
2<br />
+ 2⋅p<br />
2<br />
+ π⋅c<br />
⋅p<br />
+ 2⋅c<br />
⋅p<br />
+ 8⋅d<br />
⋅p<br />
+<br />
+ c<br />
2<br />
π⋅p⋅c<br />
+<br />
4<br />
1<br />
2<br />
+ 2⋅p<br />
⋅p<br />
+ 4⋅d<br />
⋅p<br />
+<br />
+ p<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Nota-se que o CEB MC-90 (1993), apesar de não fornecer expressão direta<br />
para o cálculo do W p no contorno C, utiliza uma redução do próprio W p do contorno C’<br />
para o cálculo da tensão solicitante na face do pilar 3 . Pode-se escrever então:<br />
W<br />
po<br />
u o<br />
= ⋅ Wp<br />
(1)<br />
u<br />
Para pilares de borda e de canto, devem ser utilizados os perímetros críticos<br />
reduzidos:<br />
W<br />
po<br />
u o *<br />
= ⋅ W<br />
u *<br />
p<br />
(2)<br />
Mas assim como foi feita uma redução do W p para se calcular o W po , pode-se<br />
pensar numa majoração do W p para se obter o W p ’. Essa interpretação é bastante<br />
prática, pois permite que os valores de W p ’ sejam calculados de uma forma mais<br />
simples que aquela apresentada na Tabela 5. Assim sendo, pode-se escrever:<br />
u'<br />
Wp<br />
' = ηwp<br />
⋅ Wp<br />
(3)<br />
u<br />
Para pilares de borda e de canto:<br />
3 Deve-se ressaltar que essa redução do W p do contorno C’ não corresponde à aplicação da integral de<br />
definição ao perímetro crítico u o .<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
8<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
u'*<br />
Wp<br />
' = ηwp<br />
⋅ Wp<br />
(4)<br />
u *<br />
sendo η wp - coeficiente para correção do W p ’ em função da situação de cálculo.<br />
Para determinar os valores de η wp , foram utilizadas as expressões:<br />
W<br />
p<br />
'<br />
Wp<br />
η wp =<br />
u'<br />
para pilares internos;<br />
u<br />
W<br />
p<br />
'<br />
Wp<br />
η wp = u'*<br />
para pilares de borda e de canto.<br />
u *<br />
Foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondose<br />
W p ’ dado pela Tabela 5 e s e ≤ 2⋅d<br />
, sendo s e o espaçamento entre os conectores<br />
mais afastados do pilar. Variou-se a altura útil da laje entre 12 e 22 cm, a menor<br />
dimensão da seção do pilar entre 20 e 30 cm, a maior dimensão até cinco vezes a<br />
outra, e manteve-se a distância da última linha de armaduras à face do pilar em pelo<br />
menos 2d. Com base nesses dados e na análise estatística de LIMA (2001), observouse<br />
que podem ser adotados os valores de η wp apresentados na Tabela 6. Mas vale<br />
ressaltar que esses valores ainda podem ser melhorados, a partir de outras análises<br />
mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada.<br />
Tabela 6 - Valores de η wp .<br />
Situação de Cálculo c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2<br />
Pilar interno (W p ’) 1,6 1,3<br />
Pilar de borda (W p1 ’) 1,5 1,1<br />
Pilar de borda (W p2 ’) 1,3 1,3<br />
Pilar de canto (W p1 ’) 1,3 1,1<br />
Assim, tanto a redução quanto a majoração do W p , para a determinação de<br />
W po e W p ’, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR<br />
6118. Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das<br />
expressões completas de W p ’, apresentadas na Tabela 5.<br />
4 VALORES DE e* PARA OS CONTORNOS C E C”<br />
A omissão da NBR 6118 (2000) sobre a obtenção das expressões de e* para<br />
os contornos C e C”, assim como no caso do W p , também pode acarretar a escolha de<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
9<br />
valores indevidos para as verificações na face do pilar e além da região armada,<br />
devendo ser solucionada na versão definitiva da NBR 6118.<br />
Uma primeira idéia seria aplicar a integral de definição de e* aos contornos C e<br />
C”. Com isso, são obtidas as expressões da Tabela 7, para pilares de borda, e da<br />
Tabela 8, para pilares de canto.<br />
Observa-se, entretanto, que o cálculo de e* segundo essas expressões pode<br />
se tornar um pouco trabalhoso. Fazendo-se uma analogia à solução apresentada para<br />
o Wp, pode-se propor que as excentricidades dos perímetros críticos reduzidos dos<br />
contornos C e C” sejam escritas da seguinte forma:<br />
sendo:<br />
u o *<br />
eo*<br />
= ηe1<br />
⋅ e *<br />
(5)<br />
u *<br />
u'*<br />
'* = η e ⋅ e *<br />
(6)<br />
u *<br />
e 2<br />
η e1 , η e2 - coeficientes para correção de e* em função do contorno estudado.<br />
Para a determinação de η e1 e η e2 , as seguintes expressões foram utilizadas:<br />
e<br />
o<br />
*<br />
η<br />
e *<br />
e 1 =<br />
e<br />
u *<br />
o<br />
u *<br />
η e 2 =<br />
e'*<br />
e *<br />
u'*<br />
u *<br />
Tabela 7 - Valores de e* para pilares de borda.<br />
Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e*<br />
C<br />
C”<br />
2 c1<br />
⋅c2<br />
c1<br />
⋅a<br />
−a<br />
+<br />
e<br />
2<br />
o * =<br />
2⋅a<br />
+ c<br />
⎛<br />
⎜c1<br />
⋅a<br />
− a<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
e '* =<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
c1<br />
⋅c2<br />
2<br />
+ + 2⋅c2<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ π⋅d⋅c1<br />
+<br />
2<br />
π⋅p⋅c1<br />
+ c2<br />
⋅p<br />
+ 8⋅d<br />
⋅p<br />
+ + 2⋅p<br />
2<br />
2⋅a<br />
+ c + 2⋅π⋅d<br />
+ π⋅p<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Foram resolvidos diversos exemplos com as mesmas características citadas no<br />
item 3, supondo-se e o * e e’* calculados pela Tabela 7 e pela Tabela 8, e, novamente,<br />
s e ≤ 2 ⋅ d . Com base nesses dados e na análise estatística desenvolvida por LIMA<br />
(2001), observou-se que podem ser adotados os valores de η e1 e de η e2 apresentados<br />
na Tabela 9. Mas vale ressaltar que esses valores também podem ser melhorados, a<br />
partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e<br />
mais diversificada.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
10<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
Tabela 8 - Valores de e* para pilares de canto.<br />
Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e*<br />
C<br />
C”<br />
c<br />
e * =<br />
o<br />
1<br />
⋅ a<br />
⎛<br />
⎜c1<br />
⋅a<br />
⎜<br />
⎜<br />
e '* =<br />
⎝<br />
1<br />
− a<br />
2 ⋅ (a<br />
1<br />
− a<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
⋅c<br />
⋅ c<br />
1<br />
1<br />
+ 4⋅a<br />
2<br />
⋅d<br />
+ 8⋅d<br />
+ π⋅d<br />
⋅c<br />
π⋅p⋅c<br />
+ 2⋅a<br />
2 ⋅p<br />
+ 8⋅d<br />
⋅p<br />
+<br />
2<br />
⎛<br />
π⋅p<br />
⎞<br />
2⋅⎜a1<br />
+ a 2 + π⋅d<br />
+ ⎟<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
2<br />
1<br />
1<br />
+ 2⋅p<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Tabela 9 - Valores de η e1 e de η e2. .<br />
Coeficiente<br />
s<br />
c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2<br />
η e1 0,5 1,0<br />
η e2 1,0 0,8<br />
Assim, tanto a redução quanto a majoração do e*, para a determinação de e o *<br />
e e’*, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR 6118.<br />
Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões<br />
completas, indicadas na Tabela 7 e na Tabela 8.<br />
5 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA A PUNÇÃO EXCÊNTRICA<br />
No item 2, foram apresentadas expressões para o cálculo das tensões<br />
solicitantes quando atuam momentos fletores desbalanceados, além da força normal.<br />
Essas expressões, entretanto, podem se tornar inconvenientes quando se desejar<br />
uma análise mais imediata do problema.<br />
Nesses casos, a utilização de um método mais simplificado para a verificação<br />
da punção excêntrica pode ser interessante. Uma alternativa é a adoção de um<br />
coeficiente majorador da tensão atuante causada pela força normal, que leve em<br />
consideração o efeito da excentricidade, como é permitido pela FIP (1999) e pelo EC-2<br />
(1999). Assim,<br />
sendo:<br />
F Sd<br />
τ Sd = β ⋅<br />
(7)<br />
u ⋅ d<br />
β - coeficiente para a consideração do efeito da excentricidade.<br />
Pode-se imaginar que o valor de β sofre variações de acordo com a situação<br />
de cálculo e o contorno crítico estudados. De uma maneira geral, com base no cálculo<br />
de τ Sd pelo método mais rigoroso já apresentado, pode-se escrever:<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
11<br />
• no contorno C’:<br />
FSd<br />
K<br />
+<br />
u ⋅d<br />
β =<br />
1<br />
( M − F ⋅e*<br />
)<br />
Sd1<br />
W<br />
p1<br />
⋅d<br />
F<br />
Sd<br />
Sd<br />
u ⋅d<br />
• no contorno C:<br />
⋅<br />
K 2 ⋅ M<br />
+<br />
W ⋅d<br />
p2<br />
Sd2<br />
β =<br />
FSd<br />
K<br />
+<br />
u ⋅d<br />
o<br />
1<br />
⋅<br />
( M − F ⋅e<br />
*)<br />
Sd1<br />
W<br />
p1,o<br />
u<br />
F<br />
⋅d<br />
o<br />
Sd<br />
Sd<br />
⋅d<br />
o<br />
K 2 ⋅ MSd2<br />
+<br />
W ⋅d<br />
p2,o<br />
• no contorno C”:<br />
FSd<br />
K<br />
+<br />
u' ⋅d<br />
β =<br />
1<br />
⋅<br />
( M − F ⋅e'*<br />
)<br />
Sd1<br />
W<br />
p1<br />
' ⋅d<br />
F<br />
Sd<br />
Sd<br />
u' ⋅d<br />
K 2 ⋅ M<br />
+<br />
W ' ⋅d<br />
p2<br />
Sd2<br />
Para que os valores de β em cada contorno fossem obtidos a partir dessas<br />
expressões, foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo,<br />
supondo-se s e ≤ 2 ⋅ d . As características desses exemplos foram as mesmas citadas<br />
no item 3, a menos da maior dimensão da seção do pilar, limitada a três vezes a outra.<br />
Com base nesses dados e na análise estatística feita por LIMA (2001), notou-se que<br />
podem ser adotados os valores de β da Tabela 10. Mas vale ressaltar, mais uma vez,<br />
que esses valores ainda podem ser melhorados a partir de outras análises mais<br />
refinadas, e que considerem, principalmente, uma variação maior do carregamento.<br />
Sugere-se, então, a introdução desse método simplificado para o cálculo de<br />
τ Sd , na versão definitiva da NBR 6118.<br />
Tabela 10 - Valores de β.<br />
Situação de Cálculo<br />
c 1 ≤ c 2 c 1 > c 2<br />
C C’ C” C C’ C”<br />
Pilar interno, com carregamento simétrico 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0<br />
Pilar interno, com momento aplicado 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1<br />
Pilar de borda 1,5 1,3 1,2 1,7 1,4 1,1<br />
Pilar de canto 1,7 1,4 1,1 1,5 1,2 1,1<br />
6 EXEMPLO DE CÁLCULO<br />
Para exemplificar a utilização dos critérios para a verificação da punção, foram<br />
estudadas as regiões dos pilares P1, P5 e P6, indicados na Figura 5. Os arranjos das<br />
armaduras de punção encontram-se na Figura 6. Os esforços foram obtidos a partir da<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
12<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
resolução da placa por elementos finitos, utilizando o programa SAP 90. Adotaram-se<br />
os seguintes valores:<br />
f ck = 30 MPa , c = 2,0 cm e d = 14,75 cm<br />
30<br />
370<br />
P1<br />
(30/30)<br />
P2<br />
(40/30)<br />
P3<br />
(40/30)<br />
P4<br />
(30/30)<br />
30<br />
P5<br />
(40/30)<br />
P6<br />
(30/40)<br />
P7<br />
(30/40)<br />
P8<br />
(40/30)<br />
570<br />
h = 18<br />
30<br />
P9<br />
(40/30)<br />
P10<br />
(30/40)<br />
P11<br />
(30/40)<br />
P12<br />
(40/30)<br />
370<br />
30<br />
P13<br />
(30/30)<br />
P14<br />
(40/30)<br />
P15<br />
(40/30)<br />
P16<br />
(30/30)<br />
30 565<br />
40 560 40 565 30<br />
Figura 5 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) - LIMA (2001).<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
7 cm<br />
7 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
28,32 cm<br />
7 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
10 cm<br />
so ≤ 0,5d = 7,375 ⇒ 7,0 cm<br />
sr ≤ 0,75d = 11,06 ⇒ 10 cm<br />
se ≤ 2d = 29,5 ⇒ 28,32 cm<br />
a = 15 cm<br />
so = 7 cm<br />
sr = 10 cm<br />
se = 28,32 cm<br />
= Armadura adicional<br />
a = 15 cm<br />
so = 7 cm<br />
sr = 10 cm<br />
se = 28,32 cm<br />
= Armadura adicional<br />
Figura 6 - Arranjo dos conectores tipo pino para os pilares estudados - LIMA (2001).<br />
6.1 Pilar P6 (pilar interno)<br />
F Sd = 1,4 ⋅329<br />
= 461kN<br />
M Sd1<br />
M Sd2<br />
= 1,4 ⋅1313<br />
= 1838 kN ⋅cm<br />
= 1,4 ⋅3002<br />
= 4203 kN ⋅ cm<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
13<br />
u o = 140 cm , u = 325 cm e u ' = 558 cm<br />
K 1 = 0,525 e K 2 = 0, 633<br />
6.1.1 Contorno C<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela Tabela 4:<br />
2<br />
30<br />
2<br />
W p1<br />
= + 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75<br />
+ 16 ⋅14,75<br />
+ 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
⋅ 30 = 10271cm<br />
2<br />
2<br />
40<br />
2<br />
W p2<br />
= + 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 16 ⋅14,75<br />
+ 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
⋅ 40 = 10958 cm<br />
2<br />
Pela eq.(1):<br />
140<br />
W p1,o<br />
= ⋅10271<br />
= 4424 cm<br />
325<br />
140<br />
W p2,o<br />
= ⋅10958<br />
= 4720 cm<br />
325<br />
Assim, de acordo com a Tabela 1, obtém-se:<br />
2<br />
2<br />
461 0,525 ⋅1838<br />
0,633 ⋅ 4203<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,223 + 0,015 + 0,038<br />
140 ⋅14,75<br />
4424 ⋅14,75<br />
4720 ⋅14,75<br />
kN<br />
τ Sd = 0,276 = 2,76 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim:<br />
τ<br />
461<br />
kN<br />
= 1,2 ⋅ = 0,268<br />
140 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
2,68 MPa<br />
2<br />
2<br />
Nota-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd conduziu a um bom<br />
resultado, apesar de sua grande simplificação.<br />
6.1.2 Contorno C’<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
461 0,525 ⋅1838<br />
0,633 ⋅ 4203<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,096 + 0,006 + 0,016<br />
325 ⋅14,75<br />
10271⋅14,75<br />
10958 ⋅14,75<br />
kN<br />
τ Sd = 0,118 = 1,18 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β = 1,2. Assim:<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
14<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
τ<br />
461<br />
kN<br />
= 1,2 ⋅ = 0,115<br />
325 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
1,15 MPa<br />
Observa-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd forneceu<br />
novamente um resultado próximo daquele obtido com a expressão da Tabela 1.<br />
6.1.3 Verificação do contorno C”<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela eq.(3), tomando-se η wp = 1, 6 para W p1’, e η wp = 1, 3 para W p2’, de acordo<br />
com a Tabela 6:<br />
558<br />
W p1'<br />
= 1,6 ⋅ ⋅10271<br />
= 28215 cm<br />
325<br />
558<br />
W p2<br />
' = 1,3 ⋅ ⋅10958<br />
= 24458 cm<br />
325<br />
2<br />
2<br />
Assim:<br />
461 0,525 ⋅1838<br />
0,633 ⋅ 4203<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,056 + 0,002 + 0,007<br />
558 ⋅14,75<br />
28215 ⋅14,75<br />
24458 ⋅14,75<br />
kN<br />
τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Calculando-se os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ a partir da expressão indicada na<br />
Tabela 5, tem-se:<br />
W<br />
W<br />
p1<br />
p2<br />
30<br />
' =<br />
2<br />
2<br />
40<br />
' =<br />
2<br />
2<br />
+ 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75<br />
+ 16 ⋅14,75<br />
+ 2 ⋅ 40 ⋅ 37 + 16 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + 4 ⋅ 37<br />
+ 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 16 ⋅14,75<br />
+ 2 ⋅ 30 ⋅ 37 + 16 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + 4 ⋅ 37<br />
2<br />
2<br />
+ 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
⋅ 30 +<br />
2<br />
2<br />
+ π ⋅ 30 ⋅ 37 = 30926 cm<br />
+ 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
⋅ 40 +<br />
+ π ⋅ 40 ⋅ 37 = 32036 cm<br />
2<br />
2<br />
E assim:<br />
461 0,525 ⋅1838<br />
0,633 ⋅ 4203<br />
τSd = +<br />
+<br />
= 0,056 + 0,002 + 0,006<br />
558 ⋅14,75<br />
30926 ⋅14,75<br />
32036 ⋅14,75<br />
kN<br />
τ Sd = 0,064 = 0,64 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β = 1,1. Assim:<br />
τ<br />
461<br />
kN<br />
= 1,1 ⋅ = 0,062<br />
558 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
0,62 MPa<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
15<br />
Observa-se que os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ obtidos pela eq.(3), apesar de<br />
conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, mas<br />
são muito mais facilmente calculados.<br />
O importante, entretanto, é que as tensões solicitantes obtidas nos dois casos<br />
são bastante parecidas. Acredita-se que a boa aproximação dos resultados justifica o<br />
uso do método simplificado, o mesmo ocorrendo para o cálculo de τ Sd pela eq.(7), que<br />
forneceu um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1.<br />
6.2 Pilar P5 (pilar de borda)<br />
F Sd = 1,4 ⋅178<br />
= 249 kN<br />
M Sd1<br />
M Sd2<br />
= 1,4 ⋅8536<br />
= 11950 kN ⋅ cm<br />
= 1,4 ⋅ 2049 = 2869 kN ⋅ cm<br />
M = M (perpendicular à borda livre)<br />
Sd1<br />
Sdx<br />
M Sd2<br />
= MSdy<br />
(paralelo à borda livre)<br />
c 1 = 40 cm (perpendicular à borda livre)<br />
c 2 = 30 cm (paralelo à borda livre)<br />
a = 20 cm<br />
u o * = 70 cm , u * = 163 cm e u '* = 279 cm<br />
K 1 = 0,633 e K 2 = 0, 45<br />
6.2.1 Contorno C<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela Tabela 3:<br />
40 ⋅ 20 − 20<br />
e* =<br />
2<br />
40 ⋅ 30<br />
+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
2<br />
2 ⋅ 20 + 30 + 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
2<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 40<br />
= 33,68 cm<br />
Pela eq.(5), tomando-se η 1, 0 , de acordo com a Tabela 9:<br />
70<br />
e o * = ⋅ 33,68 = 14,46 cm<br />
163<br />
e 1 =<br />
Logo,<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
Sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
⋅ e * = 249 ⋅14,46<br />
= 3600 kN ⋅ cm<br />
Sd1<br />
o<br />
− M<br />
Sd<br />
*) = (11950 − 3600) = 8350 kN ⋅cm<br />
Pela Tabela 4:<br />
2<br />
40 40 ⋅ 30<br />
2<br />
W p1<br />
= + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 40 = 5879 cm<br />
2 2<br />
2<br />
30<br />
2<br />
W p2<br />
= + 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 30 = 6916 cm<br />
4<br />
2<br />
2<br />
Pela eq.(1):<br />
70<br />
W p1,o<br />
= ⋅ 5879 = 2525 cm<br />
163<br />
2<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
16<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
70<br />
W p2,o<br />
= ⋅ 6916 = 2970 cm<br />
163<br />
2<br />
Assim,<br />
249 0,633 ⋅ 8350 0,45 ⋅ 2869<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,241 + 0,142 0,029<br />
70 ⋅14,75<br />
2525 ⋅14,75<br />
2970 ⋅14,75<br />
+<br />
kN<br />
τ Sd = 0,412 = 4,12 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β =1, 7 . Assim:<br />
τ<br />
249 kN<br />
= 1,7 ⋅ = 0,410<br />
70 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
4,10 MPa<br />
Considerando-se e o * calculado através da expressão da Tabela 7, tem-se:<br />
2 40 ⋅ 30<br />
40 ⋅ 20 − 20 +<br />
e * =<br />
2<br />
2 ⋅ 20 + 30<br />
o =<br />
14,29 cm<br />
Nota-se o valor obtido com a eq.(5) está bastante próximo deste, sendo,<br />
entretanto, muito mais facilmente calculado. O mesmo ocorre para o cálculo de τ Sd<br />
pela eq.(7), cujo resultado se aproxima bastante daquele obtido segundo a Tabela 1.<br />
6.2.2 Verificação do contorno C’<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
Sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
⋅ e* = 249 ⋅ 33,68 = 8386 kN ⋅ cm<br />
Sd1<br />
− M<br />
Sd<br />
*) = (11950 −8386)<br />
= 3564 kN ⋅cm<br />
Assim:<br />
249 0,633 ⋅ 3564 0,45 ⋅ 2869<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,104 + 0,026 + 0,013<br />
163 ⋅14,75<br />
5879 ⋅14,75<br />
6916 ⋅14,75<br />
kN<br />
τ Sd = 0,143 = 1,43 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β =1, 4 . Assim,<br />
τ<br />
249 kN<br />
= 1,4 ⋅ = 0,145<br />
163 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
1,45 MPa<br />
Observa-se que o cálculo de τ Sd pelo método simplificado conduziu novamente<br />
a um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
17<br />
6.2.3 Verificação do contorno C”<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela eq.(6), tomando-se η 0, 8 , de acordo com a Tabela 9:<br />
279<br />
e '* = 0,8 ⋅ ⋅ 33,68 = 46,12<br />
163<br />
Logo,<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
Sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
e 2 =<br />
cm<br />
⋅ e'* = 249 ⋅ 46,12 = 11484 kN ⋅ cm<br />
Sd1<br />
− M<br />
Sd<br />
*) = (11950 −11484)<br />
= 466 kN ⋅cm<br />
Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 1 para o W p1, e η wp = 1, 3 para o W p2, de<br />
acordo com a Tabela 6:<br />
279<br />
2<br />
W p1'<br />
= 1,1 ⋅ ⋅ 5879 = 11069 cm<br />
163<br />
279<br />
W p2<br />
' = 1,3 ⋅ ⋅ 6916 = 15389 cm<br />
163<br />
2<br />
Assim,<br />
249 0,633 ⋅ 466 0,45 ⋅ 2869<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,060 + 0,002 0,005<br />
279 ⋅14,75<br />
11069 ⋅14,75<br />
15389 ⋅14,75<br />
+<br />
kN<br />
τ Sd = 0,067 = 0,67 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 7, tem-se:<br />
⎛<br />
2 40 ⋅ 30<br />
2<br />
⎜40<br />
⋅ 20 − 20 + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
+<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
π ⋅ 37 ⋅ 40<br />
⎜ + π ⋅14,75<br />
⋅ 40 + 30 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + + 2 ⋅ 37<br />
2<br />
e'* =<br />
⎝<br />
2 ⋅ 20 + 30 + 2 ⋅ π ⋅14,75<br />
+ π ⋅ 37<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
= 57,43 cm<br />
Logo:<br />
M<br />
Sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
M sd = (M<br />
M sd = 0<br />
sd1<br />
⋅ e'* = 249 ⋅ 57,43 = 14300 kN ⋅ cm<br />
− M<br />
sd<br />
*) = (11950 −14300)<br />
= −2350 kN ⋅cm<br />
≤ 0<br />
Calculando-se W p1 ’ e W p2 ’ pelas expressões da Tabela 5, têm-se:<br />
W<br />
p1<br />
40<br />
' =<br />
2<br />
2<br />
40 ⋅ 30<br />
2<br />
+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 40 +<br />
2<br />
π ⋅ 37 ⋅ 40<br />
+ 30 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + + 2 ⋅ 37<br />
2<br />
2<br />
= 16418 cm<br />
2<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
18<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
W<br />
p2<br />
30<br />
' =<br />
4<br />
2<br />
+ 40 ⋅ 30 + 4 ⋅ 40 ⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
π ⋅ 37 ⋅ 30<br />
+ 2 ⋅ 40 ⋅ 37 + 8 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + + 2 ⋅ 37<br />
2<br />
2<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 30 +<br />
2<br />
= 18723 cm<br />
2<br />
E assim,<br />
249 0,633 ⋅ 0 0,45 ⋅ 2869<br />
τ Sd = +<br />
+<br />
= 0,060 + 0 0,005<br />
279 ⋅14,75<br />
16418 ⋅14,75<br />
18723 ⋅14,75<br />
+<br />
kN<br />
τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa<br />
2<br />
cm<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β = 1, 1 . Assim,<br />
τ<br />
249<br />
kN<br />
= 1,1 ⋅ = 0,066<br />
279 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
0,66 MPa<br />
Observa-se que os valores de W p1 ’ e de W p2 ’ obtidos pela eq.(4), apesar de<br />
conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, o<br />
mesmo ocorrendo para o e’* obtido pela eq.(6), em relação ao da Tabela 7.<br />
O mais importante, entretanto, é que novamente as tensões solicitantes<br />
calculadas para os dois casos são bastante parecidas, justificando, mais uma vez, o<br />
uso do método simplificado. E quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que o<br />
resultado obtido também ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da<br />
Tabela 1.<br />
6.3 Pilar P1 (pilar de canto)<br />
F Sd = 1,4 ⋅ 77 = 108 kN<br />
M Sdx<br />
M Sdy<br />
= 1,4 ⋅ 4344 = 6082 kN ⋅ cm<br />
= 1,4 ⋅1850<br />
= 2590 kN ⋅ cm<br />
a1 = a 2 = 15 cm<br />
u o * = 30 cm , u * = 76 cm e u '* = 134 cm<br />
K 1 = 0,6<br />
As duas situações de cálculo estão representadas na Figura 7.<br />
M Sd1<br />
= MSdx<br />
M Sd1<br />
= MSdy<br />
30<br />
30<br />
30<br />
30<br />
6082<br />
2590<br />
1 a situação 2 a situação<br />
Figura 7 - Situações de cálculo para o pilar P1.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
19<br />
Mas como o pilar é quadrado, c 1 = c2<br />
, e as excentricidades e os valores de K e<br />
de W p são iguais para as duas direções. O determinante da situação mais crítica é,<br />
portanto, apenas o valor do momento M sd , que é maior no primeiro caso. Se o pilar<br />
fosse retangular, seria necessário se calcular a tensão solicitante segundo as duas<br />
situações de cálculo, para então se descobrir a mais crítica.<br />
6.3.1 Contorno C<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela<br />
Tabela 3:<br />
30 ⋅15<br />
−15<br />
e* =<br />
2<br />
+ 15 ⋅ 30 + 4 ⋅15<br />
⋅14,75<br />
+ 8 ⋅14,75<br />
2 ⋅<br />
( 15 + 15 + π ⋅14,75)<br />
2<br />
+ π ⋅14,75<br />
⋅ 30<br />
= 30,72 cm<br />
Pela eq.(5), tomando-se η 0, 5 , de acordo com a Tabela 9:<br />
e 1 =<br />
30<br />
e o * = 0,5 ⋅ ⋅ 30,72 = 6,06 cm<br />
76<br />
Logo:<br />
MSd<br />
* = F<br />
M = (M<br />
sd<br />
Sd<br />
sd1<br />
⋅ eo*<br />
= 108 ⋅ 6,06 = 655 kN ⋅ cm<br />
− M *) = (6082 − 655) = 5427 kN ⋅ cm<br />
sd<br />
Pela Tabela 4:<br />
2<br />
30 30 ⋅ 30<br />
2 π ⋅14,75<br />
⋅ 30<br />
W p1<br />
= + + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 4 ⋅14,75<br />
+<br />
= 3125 cm<br />
4 2<br />
2<br />
2<br />
Pela eq.(1):<br />
30<br />
W p1,o<br />
= ⋅ 3125 = 1234 cm<br />
76<br />
2<br />
Assim:<br />
τ<br />
108 0,6 ⋅5427<br />
kN<br />
= +<br />
= 0,244 + 0,179 = 0,423<br />
2<br />
30⋅14,75<br />
1234 ⋅14,75<br />
cm<br />
Sd =<br />
4,23 MPa<br />
Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 8, tem-se:<br />
2<br />
o =<br />
30 ⋅15<br />
− 15 + 15 ⋅ 30<br />
e * =<br />
2 ⋅ (15 + 15)<br />
11,25 cm<br />
Logo:<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
sd<br />
* = F<br />
= (M<br />
Sd<br />
sd1<br />
⋅ eo*<br />
= 108 ⋅11,25<br />
= 1215 kN ⋅ cm<br />
− M *) = (6082 −1215)<br />
= 4867 kN ⋅cm<br />
sd<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
20<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
E assim:<br />
τ<br />
108 0,6 ⋅ 4867<br />
kN<br />
= +<br />
= 0,244 + 0,160 = 0,404<br />
30 ⋅14,75<br />
1234 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
4,04 MPa<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β =1, 7 . Assim,<br />
τ<br />
108 kN<br />
= 1,7 ⋅ = 0,415<br />
30 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
4,15 MPa<br />
Mais uma vez percebe-se que, apesar do valor conservador de e o * obtido com<br />
o uso da eq.(5) não estar próximo daquele obtido a partir da Tabela 8, a diferença<br />
entre as tensões solicitantes calculadas nos dois casos é pequena. E quanto ao<br />
método simplificado para o cálculo de τ Sd , ele forneceu, novamente, um bom resultado<br />
em relação àqueles obtidos com a expressão da Tabela 1.<br />
6.3.2 Contorno C’<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
E assim,<br />
τ<br />
sd1<br />
⋅ e* = 108 ⋅ 30,72 = 3318 kN ⋅ cm<br />
− M<br />
sd<br />
*) = (6082 − 3318) = 2764 kN ⋅cm<br />
108 0,6 ⋅ 2764<br />
kN<br />
= +<br />
= 0,096 + 0,036 = 0,132<br />
76 ⋅14,75<br />
3125 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
1,32 MPa<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β =1, 4 . Assim:<br />
τ<br />
108 kN<br />
= 1,4 ⋅ = 0,135<br />
76 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
1,35 MPa<br />
Nota-se que o resultado da eq.(7) para τ Sd se aproxima bastante daquele<br />
obtido pela Tabela 1, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado.<br />
6.3.3 Contorno C”<br />
Tensão solicitante (Tabela 1):<br />
Pela eq.(6), tomando-se η 1, 0 , de acordo com a Tabela 9:<br />
134<br />
e '* = ⋅ 30,72 = 54,16 cm<br />
76<br />
Logo:<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
sd1<br />
e 2 =<br />
⋅ e'* = 108 ⋅ 54,16 = 5849 kN ⋅ cm<br />
− M<br />
sd<br />
*) = (6082 − 5849) = 233 kN ⋅cm<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica<br />
21<br />
Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 3 , de acordo com a Tabela 6:<br />
134<br />
W p1<br />
' = 1,3 ⋅ ⋅ 3125 = 7163 cm<br />
76<br />
2<br />
Assim,<br />
τ<br />
108 0,6 ⋅ 233<br />
kN<br />
= +<br />
= 0,055 + 0,001 = 0,056<br />
134 ⋅14,75<br />
7163 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
0,56 MPa<br />
Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 8, tem-se:<br />
⎛<br />
2<br />
2<br />
30 15 15 15 30 4 15 14,75 8 14,75<br />
⎞<br />
⎜<br />
⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +<br />
⎟<br />
⎜<br />
π ⋅ 37 ⋅ 30 2 ⎟<br />
⎜ + π ⋅14,75<br />
⋅ 30 + 2 ⋅15<br />
⋅ 37 + 8 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + + 2 ⋅ 37 ⎟<br />
2<br />
e'* =<br />
⎝<br />
⎠<br />
= 54,47 cm<br />
⎛<br />
π ⋅ 37 ⎞<br />
2 ⋅ ⎜15<br />
+ 15 + π ⋅14,75<br />
+ ⎟<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
Logo:<br />
M<br />
M<br />
Sd<br />
sd<br />
* = F<br />
Sd<br />
= (M<br />
⋅ e'* = 108 ⋅ 54,47 = 5883 kN ⋅ cm<br />
− M *) = (6082 − 5883) = 199 kN ⋅cm<br />
sd1<br />
sd<br />
Calculando-se W p1 ’ pela expressão da Tabela 5, tem-se:<br />
W<br />
p1<br />
30<br />
' =<br />
4<br />
E assim,<br />
τ<br />
2<br />
30 ⋅ 30<br />
2 π ⋅14,75<br />
⋅ 30<br />
+ + 2 ⋅ 30 ⋅14,75<br />
+ 4 ⋅14,75<br />
+<br />
+<br />
2<br />
2<br />
π ⋅ 37 ⋅ 30 2<br />
+ 30 ⋅ 37 + 4 ⋅14,75<br />
⋅ 37 + + 37 = 8659 cm<br />
4<br />
108 0,6 ⋅199<br />
kN<br />
= +<br />
= 0,055 + 0,001 = 0,056<br />
134 ⋅14,75<br />
8659 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
0,56 MPa<br />
2<br />
Tensão solicitante (eq.7):<br />
Pela Tabela 10, β = 1, 1 . Assim:<br />
τ<br />
108<br />
kN<br />
= 1,1 ⋅ = 0,060<br />
134 ⋅14,75<br />
2<br />
cm<br />
Sd =<br />
0,60 MPa<br />
Observa-se que valor do W p1 ’ obtido com a eq.(4), apesar de conservador, está<br />
novamente próximo daquele obtido a partir da expressão da Tabela 5, sendo muito<br />
mais facilmente calculado. O mesmo acontece com o valor de e’* obtido pela eq.(6),<br />
em relação àquele da Tabela 8. Desta vez, inclusive, nem se pode considerar<br />
diferenças entre os valores das tensões solicitantes calculadas nos dois casos. E<br />
quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que, mais uma vez, o resultado obtido<br />
ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
22<br />
Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro<br />
7 CONCLUSÕES<br />
Observou-se que a omissão da Revisão da NBR 6118 (2000) quanto ao cálculo<br />
do W p e do e* nos contornos C e C” poderia acarretar o uso de valores indevidos<br />
desses parâmetros para as verificações na face do pilar e a 2d da região armada.<br />
Sugeriu-se, então, um método simplificado para a determinação de W po , W p ’, e o * e e’*,<br />
a partir dos coeficientes η wp , η e1 e η e2 .<br />
Também se propôs um método simplificado para a obtenção das tensões<br />
solicitantes nos casos de punção excêntrica, através de um coeficiente majorador da<br />
tensão provocada pela força normal, chamado de β. A adoção desse coeficiente,<br />
apesar de conduzir a valores um pouco conservadores em alguns casos, facilita<br />
bastante avaliação dos efeitos da transferência de momentos desbalanceados.<br />
Apesar dos bons resultados obtidos, como demonstrado no exemplo do item 6,<br />
vale ressaltar que os valores dos coeficientes propostos ainda podem ser melhorados,<br />
através de análises que utilizem uma amostragem maior e mais diversificada que<br />
aquela adotada por LIMA (2001).<br />
8 AGRADECIMENTOS<br />
Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador.<br />
9 REFERÊNCIAS<br />
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2000). Revisão da NBR<br />
6118 - Projeto de estruturas de concreto.<br />
COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. (1993). CEB-FIP model code 1990.<br />
London: Thomas Telford.<br />
COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. (1999). Eurocode 2 - Design of<br />
concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN.<br />
(1 st draft)<br />
FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE. (1999). Practical<br />
design of structural concrete. London: <strong>SET</strong>O. (FIP Recomendations).<br />
GUARDA, M. C. C.; LIMA, J. S.; PINHEIRO, L. M. (2000). Novas diretrizes para a<br />
análise da punção no projeto de lajes lisas. In: SIMPÓSIO EP<strong>USP</strong> SOBRE<br />
ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo. Anais... São Paulo: 2000. 1 CD-Rom.<br />
LIMA, J. S. (2001). Verificações da punção e da estabilidade global de edifícios de<br />
concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São<br />
Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade<br />
de São Paulo.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-22, 2007
ISSN 1809-5860<br />
ANÁLISE EXPERIMENTAL DE LIGAÇÕES DUPLO<br />
“T” COM ALMAS COPLANARES,<br />
PERPENDICULARES E ENRIJECIDAS<br />
Yuri Ivan Maggi 1 & Roberto Martins Gonçalves 2<br />
Resumo<br />
Este trabalho apresenta e discute o comportamento de perfis “T” parafusados de<br />
acordo com os resultados obtidos durante o programa experimental desenvolvido como<br />
parte da Tese de Doutorado intitulada “Análise do Comportamento Estrutural de<br />
Ligações Parafusadas Viga-Pilar com Chapa de Topo Estendida” no programa de pósgraduação<br />
do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos,<br />
<strong>USP</strong>. Três séries de ligações duplo “T”, com almas co-planares, perpendiculares e<br />
enrijecidas, totalizando 50 protótipos, foram testados à tração com o objetivo de<br />
simular possíveis configurações de vigas e pilares em ligações parafusadas com chapa<br />
de topo. Dentro de cada série, a espessura das mesas dos perfis “T” e o diâmetro dos<br />
parafusos foram variados, permitindo a obtenção de diferentes modos de colapso. Os<br />
deslocamentos e deformações nas mesas dos perfis “T” são apresentados e os<br />
resultados obtidos são analisados comparativamente entre os protótipos, discutindo-se<br />
os modos de falha, a influência da variação da geometria no comportamento dessas<br />
ligações, a interdependência do comportamento entre mesa e parafusos e o “efeito<br />
alavanca”, enfatizando-se os modelos analíticos adotados pelo Eurocode-3 e a<br />
utilização dos perfis “T” equivalentes no dimensionamento da chapa de topo à flexão.<br />
Palavras-chave: estruturas; aço; ligações; perfis “T”; análise experimental; Eurocode.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
O comportamento semi-rígido das ligações viga-pilar em estruturas metálicas<br />
– inicialmente introduzido nos procedimentos da AISC (1980) no início da década de 80<br />
e mais tarde na metodologia de dimensionamento do Eurocode-3 (1993) – tornou-se um<br />
aspecto de significativa importância na análise estrutural uma vez identificada sua<br />
influência no comportamento global das estruturas.<br />
Na busca de modelos capazes de representar as ligações com maior precisão<br />
quanto à rigidez e à resistência, inúmeros estudos têm sido realizados na tentativa de<br />
1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, ymaggi@unicenp.edu.br<br />
2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, goncalve@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
24<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
incorporar o comportamento semi-rígido das ligações aos procedimentos de<br />
dimensionamento, estabelecendo-se as variáveis que o influenciam, sua<br />
interdependência e os estados limites últimos aplicáveis. No entanto, a natureza<br />
complexa das ligações parafusadas requer a aplicação de modelos avançados para sua<br />
representação, o que dificulta o desenvolvimento de metodologias que considerem<br />
modelos tridimensionais com todas as não-linearidades existentes.<br />
As ligações com chapa de topo, geralmente consideradas rígidas, podem ser<br />
utilizadas como exemplo para as considerações feitas acima já que podem apresentar os<br />
mais variados comportamentos rotacionais dependendo de parâmetros geométricos,<br />
como espessura da chapa de topo, diâmetro e posicionamento dos parafusos, entre<br />
outros, além do elevado grau de iteração dos diversos componentes que, geralmente, são<br />
tratados de forma isolada. Esse comportamento complexo é traduzido em modelos<br />
simplificados e, citando-se o dimensionamento da chapa de topo à flexão, o Eurocode-3<br />
(1993) propõe a utilização de perfis “T” equivalentes para os quais a determinação de<br />
resistência é mais simples.<br />
Atualmente, existem diversos métodos que podem ser utilizados no cálculo da<br />
resistência última de perfis “T” parafusados levando em consideração, principalmente, a<br />
identificação e quantificação dos esforços de alavanca. Segundo Swanson (1999), dentre<br />
os modelos existentes o proposto por Kulak et al. (1987) é o que provê melhores<br />
resultados quando comparado à resultados experimentais e, juntamente com o trabalho<br />
desenvolvido por Zoetemeijer & deBack (1972), foi aplicado aos modelos analíticos<br />
utilizados pelo Eurocode-3 (1993) para determinação dos modos de falha em perfis “T”.<br />
A metodologia proposta pelo Eurocode-3 (1993) para a modelagem e<br />
dimensionamento das ligações representa um marco de importante referência para os<br />
estudos desenvolvidos na última década com a introdução do “método das<br />
componentes”, extremamente didático e generalista. Com relação à flexão da chapa de<br />
topo e da mesa do pilar, especificamente, reproduz-se três possíveis modos de falha,<br />
esquematizados na figura 1, aplicáveis aos perfis “T” e relacionados ao comportamento<br />
conjunto entre chapa de topo e parafusos na região tracionada da ligação. A formulação<br />
analítica tem base em métodos de energia envolvendo a distribuição de tensões plásticas<br />
em torno dos parafusos, tanto na chapa de topo quanto na mesa do pilar, e a análise<br />
dessas linhas de escoamento leva à determinação do comprimento efetivo de um perfil<br />
“T” que representa a resistência de cada linha de parafusos, ou de um grupo de linhas,<br />
considerando:<br />
i. Modo 1 - Plastificação da mesa do perfil “T” na região dos parafusos;<br />
ii. Modo 2 - Colapso dos parafusos com plastificação da intersecção<br />
mesa/alma; e<br />
iii. Modo 3 - Colapso dos parafusos.<br />
Figura 1 - Modos de falha de perfis “T” parafusados.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
25<br />
A analogia proposta entre o comportamento dos perfis “T” e das chapas de<br />
topo sob flexão merece atenção por reproduzir, qualitativamente, os mecanismos<br />
envolvidos na região tracionada de ligações parafusadas com chapa de topo. No entanto,<br />
cabe ressaltar que se trata de uma simplificação para um comportamento altamente<br />
complexo, principalmente à medida que o comportamento da chapa de topo à flexão e a<br />
resposta dos parafusos à tração tornam-se interdependentes, passando do modo de falha<br />
3 para o modo 2 e 1 com significativo aumento do “efeito alavanca” o que, segundo<br />
Bursi & Jaspart (1998), demonstra a necessidade de refinamentos dos modelos<br />
analíticos, principalmente para ligações com chapas mais finas.<br />
Desta forma, este trabalho apresenta parte de um programa experimental<br />
desenvolvido com perfis “T” parafusados, comumente denominados de T-stubs, com o<br />
objetivo de gerar observações paramétricas sobre o comportamento dessas ligações,<br />
relacionando-as às ligações com chapa de topo. Assim, apresentam-se resultados<br />
referentes ao comportamento força-deslocamento, discutindo-se a influência da variação<br />
da espessura das mesas dos perfis “T”, do diâmetro dos parafusos, da posição relativa<br />
entre as almas dos perfis conectados e a presença ou não de enrijecedores, além das<br />
variações dos modos de falha.<br />
2 PROGRAMA EXPERIMENTAL<br />
Com relação à metodologia geral adotada no estudo experimental é<br />
importante ressaltar que o objetivo dessa série de ensaios não é a de caracterizar o perfil<br />
“T” como um componente isolado, mas sim de observar seu comportamento como parte<br />
de uma ligação, simulando a flexibilidade da chapa de topo conectada à mesa do pilar<br />
pelos parafusos. Por esse motivo os protótipos foram testados unindo-se os perfis “T”<br />
aos pares. A figura 2 apresenta, esquematicamente, uma ligação duplo “T”.<br />
Figura 2 - Tipologia usual da ligação duplo “T”.<br />
Ao todo foram realizados 50 ensaios com 25 configurações diferentes de<br />
ligação, testadas aos pares e divididas em três grupos. O primeiro grupo, denominado de<br />
TSC, é formado por perfis “T” com almas coplanares, sem enrijecimento, simulando a<br />
região da chapa de topo na altura da mesa tracionada da viga, com variações de<br />
geometria a fim de se obter diferentes modos de falha.<br />
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26<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
O segundo grupo, denominado de TSI, é formado por perfis “T” dispostos<br />
com as almas perpendiculares para simular o posicionamento da mesa da viga com<br />
relação à alma do pilar nas ligações com chapa de topo. O terceiro e último grupo,<br />
denominado de TSIE, utiliza a mesma formação do grupo TSC, com a inclusão de<br />
enrijecimento em um dos lados no plano perpendicular à alma. Ambos têm como<br />
objetivo fornecer dados para análises comparativas com o grupo TSC. A geometria dos<br />
protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE podem ser visualizadas na figura 3 e as<br />
configurações para cada grupo, respectivamente, nas tabelas 1, 2 e 3.<br />
A<br />
A<br />
168<br />
76<br />
76<br />
16<br />
38<br />
38<br />
38 38<br />
16<br />
TSC<br />
35<br />
155<br />
85<br />
35<br />
Furos (variáveis)<br />
400<br />
tch<br />
tch<br />
400<br />
38<br />
38<br />
168<br />
76 76<br />
16<br />
200<br />
300<br />
B<br />
100<br />
300<br />
t1<br />
t2<br />
38<br />
38 38 38<br />
16<br />
A<br />
300<br />
TSI<br />
19<br />
12,5<br />
35<br />
130<br />
Corte A<br />
155<br />
85<br />
35<br />
38<br />
16<br />
38<br />
12,5<br />
Furos (variáveis)<br />
38<br />
B<br />
A<br />
130<br />
92<br />
38<br />
168<br />
57<br />
16<br />
19<br />
57<br />
19<br />
100<br />
38<br />
38 38 38<br />
16<br />
TSIE<br />
19<br />
12,5<br />
130<br />
Corte B<br />
38 38<br />
16<br />
12,5<br />
400<br />
t1<br />
t2<br />
400<br />
Figura 3 - Geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE<br />
Dimensões em mm – t ch , t 1 e t 2 variáveis.<br />
Tabela 1 - Configurações do grupo TSC (dimensões em mm).<br />
Protótipo d b d Furo t ch quant.<br />
TSC1 12,5 14,0 12,5 2<br />
TSC2 12,5 14,0 16,0 2<br />
TSC3 12,5 14,0 19,0 2<br />
TSC4 16,0 18,0 12,5 2<br />
TSC5 16,0 18,0 16,0 2<br />
TSC6 16,0 18,0 19,0 2<br />
TSC7 16,0 18,0 22,4 2<br />
TSC8 19,0 21,0 16,0 2<br />
TSC9 19,0 21,0 19,0 2<br />
TSC10 19,0 21,0 22,4 2<br />
TSC11 19,0 21,0 25,0 2<br />
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Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
27<br />
Tabela 2 - Configurações do grupo TSI (dimensões em mm).<br />
Protótipo d b d Furo<br />
t 1 t 2<br />
quant.<br />
TSI1 16,0 18,0 12,5 19,0 2<br />
TSI2 16,0 18,0 16,0 19,0 2<br />
TSI3 16,0 18,0 19,0 19,0 2<br />
TSI4 16,0 18,0 22,4 19,0 2<br />
TSI5 19,0 21,0 16,0 22,4 2<br />
TSI6 19,0 21,0 19,0 22,4 2<br />
TSI7 19,0 21,0 22,4 22,4 2<br />
TSI8 19,0 21,0 25,0 22,4 2<br />
t ch<br />
Tabela 3 - Configurações do grupo TSIE (dimensões em mm).<br />
Protótipo d b d Furo<br />
t 1 t 2<br />
quant.<br />
TSIE1 16,0 18,0 16,0 16,0 2<br />
TSIE2 16,0 18,0 16,0 19,0 2<br />
TSIE3 19,0 21,0 16,0 22,4 2<br />
TSIE4 19,0 21,0 19,0 19,0 2<br />
TSIE5 19,0 21,0 19,0 22,4 2<br />
TSIE6 19,0 21,0 19,0 25,0 2<br />
t ch<br />
Chapas de aço ASTM-A36 foram utilizadas na confecção dos perfis “T”,<br />
conectados com parafusos de alta resistência ASTM-A325. Forças iniciais de protensão<br />
foram aplicadas nos parafusos de todos os modelos com o auxílio de torquímetros,<br />
segundo as recomendações da NBR-8800 (1986).<br />
Para a análise do comportamento das ligações ensaiadas, dois grupos de<br />
dados foram observados: as deformações das mesas dos perfis “T” em torno dos<br />
parafusos e as aberturas relativas em uma das bordas e na região central. Para a<br />
definição da distribuição dos extensômetros, inicialmente, foi realizado um ensaio<br />
piloto utilizando um protótipo da série TSC, com mesa de 16.0 mm de espessura e<br />
parafusos de 16.0 mm (TSC5), também utilizado para a verificação da simetria dos<br />
protótipos, da metodologia de fixação e protensão dos parafusos e da velocidade de<br />
ensaio. Extensômetros também foram utilizados nos parafusos para a verificação da<br />
protensão e calibração do torquímetro. Um esquema da instrumentação é apresentado na<br />
figura 4.<br />
De maneira geral, o comportamento do protótipo durante o ensaio foi o<br />
esperado, havendo uma abertura visível das mesas na intersecção mesa-alma. Com os<br />
dados coletados nas rosetas observou-se uma assimetria no protótipo, conseqüência da<br />
falta de alinhamento entre a mesa e a alma, o que ocorreu sistematicamente para todos<br />
os protótipos. No entanto, foi possível detectar padrões de deformação para as mesas,<br />
decidindo-se por concentrar extensômetros nas proximidades de um dos furos do lado 1,<br />
considerados suficientes para coletar dados de plastificação nessa região.<br />
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28<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
Figura 4 - Esquema da instrumentação do ensaio piloto.<br />
Como as solicitações máximas ocorreram nas proximidades da<br />
intersecção mesa-alma, dois extensômetros foram utilizados na posição das rosetas 2 e<br />
4, na direção perpendicular à alma. Adicionalmente, foram utilizados 4 transdutores de<br />
deslocamento, posicionados simetricamente em relação ao lado 1 e 2, para a obtenção<br />
do deslocamento relativo entre as mesas. A figura 5 apresenta um detalhe da<br />
instrumentação final em um protótipo da série TSC.<br />
Figura 5 - Visão geral da instrumentação e detalhes do posicionamento dos transdutores.<br />
3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS<br />
3.1 Grupo TSC – almas coplanares<br />
Observando-se, inicialmente, a variação da espessura da mesa dos perfis “T”,<br />
a figura 6 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos TSC1, TSC2 e<br />
TSC3, com parafusos de 12,5 mm. A rigidez dos protótipos, por meio das curvas forçadeslocamento,<br />
será utilizada como indicativo do comportamento global dessas ligações<br />
e também de suas variações.<br />
Para o subgrupo dos protótipos TSC1 à TSC3 observa-se pouca variação da<br />
rigidez inicial, conseqüência da protensão dos parafusos. O protótipo TSC1, com mesa<br />
de 12,5 mm de espessura, é mais dúctil e apresenta maior contribuição da mesa na<br />
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Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
29<br />
deformabilidade da ligação. Com o aumento da espessura da mesa, os parafusos têm sua<br />
capacidade de deformação maximizada, havendo limitações para a deformabilidade do<br />
protótipo TSC3.<br />
Esse comportamento pode ser associado a dois fatores: o primeiro, com<br />
relação à solicitação dos parafusos, tem razão direta na diminuição do efeito alavanca<br />
uma vez que a mesa tem menor deformabilidade à flexão, aumentando a capacidade<br />
resistente dos protótipos TSC2 e TSC3; o segundo indica a grande dependência do<br />
comportamento da ligação à rigidez relativa entre a mesa e os parafusos, uma vez que a<br />
mesa do protótipo TSC3, de 19,0 mm, permite que os parafusos sejam solicitados<br />
preferencialmente à tração, com uma queda acentuada de resistência antes do colapso<br />
devida à plastificação mais uniforme da seção líquida dos parafusos.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
TSC1 (tch=12,5 mm)<br />
TSC2 (tch=16,0 mm)<br />
TSC3 (tch=19,0 mm)<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 6 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com<br />
parafusos de 12,5 mm.<br />
Na figura 6 representa-se o deslocamento total da ligação duplo “T”,<br />
incluindo-se as deformações da alma. Neste caso, representa-se o deslocamento do<br />
atuador hidráulico que foi utilizado como referência para as relações forçadeslocamento<br />
de todos os protótipos desta série.<br />
As figuras 7(a) e 7(b) apresentam, respectivamente, as deformações dos<br />
protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso, percebendo-se claramente a mudança de<br />
configuração das mesas com o aumento da espessura.<br />
Apesar de haver uma indicação visível do desaparecimento do “efeito<br />
alavanca” nos parafusos, a ductilidade do protótipo TSC3 é diminuída sensivelmente,<br />
reafirmando a rigidez elevada à flexão da mesa de 19,0 mm com relação à rigidez axial<br />
dos parafusos de 12,5 mm, que seguem o comportamento observado nos diagramas<br />
força-deslocamento da caracterização dos parafusos com solicitações predominantes de<br />
tração.<br />
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30<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
(a) TSC1<br />
(b) TSC3<br />
Figura 7 - Deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso.<br />
Dessa forma, é possível caracterizar o modo de falha 3, representando a<br />
ruptura dos parafusos como estado limite último, visível no protótipo TSC3.<br />
Convém ressaltar que todos os protótipos do programa experimental foram<br />
ensaiados até o colapso dos parafusos, mesmo para as ligações em que a mesa<br />
apresentou deformações elevadas, para as quais caracteriza-se o modo de falha 1.<br />
Devido às condições do ensaio e às imperfeições dos protótipos, não se observou a<br />
ruptura conjunta de todos os parafusos, caracterizando-se como colapso a ruptura de um<br />
ou mais parafusos tracionados na ligação.<br />
Dentro do sub-grupo com parafusos de 16,0 mm, as curvas forçadeslocamento<br />
dos protótipos TSC4, TSC5, TSC6 e TSC7 estão mostradas na figura 8.<br />
Chama-se a atenção para o fato de que os resultados dentro desse sub-grupo,<br />
considerando os protótipos de cada par, não são tão uniformes quanto os observados<br />
para o primeiro sub-grupo, com parafusos de 12,5 mm.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
TSC4 (tch=12,5 mm)<br />
TSC5 (tch=16,0 mm)<br />
TSC6 (tch=19,0 mm)<br />
TSC7 (tch=22,4 mm)<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 8 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com<br />
parafusos de 16,0 mm.<br />
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Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
31<br />
Analisando-se as curvas na figura 8 é possível se observar um pequeno<br />
escorregamento nos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6, causado pelas imperfeições de<br />
montagem comentadas no capítulo anterior.<br />
Como grande parte dos protótipos apresentou falta de alinhamento entre as<br />
almas e também falta de perpendicularidade entre mesa e alma, observou-se a<br />
ocorrência de solicitações de flexão nas mesas no momento da fixação no atuador.<br />
Neste caso, surgiram forças adicionais, paralelas às mesas, que devem ter provocado o<br />
escorregamento à medida que a força de protensão inicial nos parafusos era superada.<br />
Para o protótipo TSC7 não se observou esse escorregamento. No entanto, o<br />
primeiro protótipo do par não foi solicitado até a ruptura dos parafusos pois, antes disso,<br />
houve o esmagamento e deslizamento da rosca, conseqüência de se ter utilizado um<br />
parafuso com pequeno comprimento de rosca.<br />
Com relação à rigidez deste sub-grupo, comportamento semelhante aos<br />
observados entre os protótipos TSC2 e TSC3 ocorre entre os protótipos TSC4 e TSC5.<br />
Para os protótipos TSC6 e TSC7, o “efeito alavanca” é menor permitindo que os<br />
parafusos sejam solicitados predominantemente à tração, com aumento da capacidade<br />
de deformação.<br />
Para referenciar os modos de falha previstos para os protótipos descritos<br />
acima, na tabela 4 apresentam-se os valores da capacidade resistente à tração (T) e a<br />
quantificação das forças de alavanca (Q) das ligações duplo “T” calculados segundo o<br />
Eurocode 3 (1993) para cada parafuso.<br />
Tabela 4 - Capacidade resistente, forças de alavanca e modos de falha do grupo TSC<br />
calculados segundo o Eurocode 3 (1993).<br />
Protótipo T (kN) Q (kN) Modo de falha<br />
TSC1 56,73 19,21 2<br />
TSC2 68,65 7,28 2<br />
TSC3 75,93 - 3<br />
TSC4 65,43 26,17 1<br />
TSC5 95,58 28,82 2<br />
TSC6 106,44 17,96 2<br />
TSC7 119,16 5,25 2<br />
Analisando-se mais detalhadamente a resposta deste sub-grupo, o protótipo<br />
TSC4, assim como o protótipo TSC1 do sub-grupo anterior, tem na mesa a maior fonte<br />
de deformabilidade para a ligação. De fato, o estado limite último do protótipo TSC1 é<br />
previsto para o modo de falha 2, enquanto o protótipo TSC4 apresenta o modo de falha<br />
1.<br />
A variação do modo de falha e a variação da deformabilidade dos parafusos e<br />
da mesa dos perfis “T” pode ser visualizada na figura 9, que ilustra as deformações nas<br />
mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6.<br />
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32<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
(a) TSC4 (b) TSC5 (c) TSC6<br />
Figura 9 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5<br />
e TSC6 após o colapso.<br />
Com os gráficos das figuras 6 e 8 e os valores apresentados na tabela 4, as<br />
seguintes observações podem ser feitas com base na resistência e na deformabilidade<br />
dos protótipos.<br />
i. Os limites de resistência para os perfis “T” são função da capacidade<br />
resistente dos parafusos e do “efeito alavanca”, ou seja, do tipo de<br />
solicitação a que estão sujeitos os parafusos. Quanto maior o diâmetro dos<br />
parafusos e maior a espessura da mesa, maior a capacidade resistente à<br />
tração da ligação duplo “T”;<br />
ii. Os limites de deformação axial também são função do “efeito alavanca”,<br />
mas são influenciados, principalmente, pela relação entre a<br />
deformabilidade dos parafusos e a deformabilidade da mesa dos perfis<br />
“T”. Assim, quando a ligação passa do modo de falha 1 para o modo de<br />
falha 2, há uma diminuição da deformabilidade, observada entre os<br />
protótipos TSC4 e TSC5. No entanto, entre o modo de falha 2 e o modo<br />
de falha 3, duas situações distintas podem ocorrer: na primeira, quando a<br />
deformação à flexão da mesa é muito inferior à deformação axial dos<br />
parafusos, há uma queda contínua na ductilidade dos protótipos; na<br />
segunda, havendo uma relação mais equilibrada entre mesa e parafusos há<br />
também um ganho de ductilidade, devido à deformabilidade da mesa.<br />
Essas observações, apesar de qualitativas, indicam a existência de uma<br />
relação ótima entre espessura de mesa e diâmetro de parafusos para a maximização da<br />
deformabilidade e manutenção de requisitos mínimos de resistência.<br />
Outra observação interessante pode ser feita com as figuras 10 e 11 que<br />
indicam, respectivamente, as forças de tração (T) e a “força de alavanca” (Q) por<br />
parafuso, calculados segundo o Eurocode 3 (1993) e obtidas experimentalmente. Para os<br />
protótipos, a força de tração (T) é calculada dividindo-se a força máxima no ensaio pelo<br />
número de parafusos da ligação – neste caso, 4. As forças de alavanca são obtidas pela<br />
diferença entre a força de tração aplicada por parafuso e a força que o parafuso<br />
suportaria sob tração simples, ou seja, sem efeitos de alavanca.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
33<br />
150.0<br />
Força de tração por parafuso (kN)<br />
135.0 Eurocode 3<br />
120.0 Experimental<br />
105.0<br />
90.0<br />
75.0<br />
60.0<br />
45.0<br />
30.0<br />
15.0<br />
0.0<br />
TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7<br />
Protótipos<br />
Figura 10 - Forças de tração nos parafusos dos protótipos TSC.<br />
Força de alavanca por parafuso (kN)<br />
80.0<br />
70.0 Eurocode 3<br />
60.0 Experimental<br />
50.0<br />
40.0<br />
30.0<br />
20.0<br />
10.0<br />
0.0<br />
TSC1 TSC2 TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7<br />
Protótipos<br />
Figura 11 - Forças de alavanca nos parafusos dos protótipos TSC.<br />
Os resultados experimentais, nos gráficos acima, seguem um padrão bem<br />
definido para a capacidade resistente e para as forças de alavanca nos parafusos. Esse<br />
padrão refere-se a um aumento da resistência à medida que se aumenta a espessura da<br />
mesa dos perfis “T” e o diâmetro dos parafusos e uma diminuição quase proporcional<br />
das forças de alavanca com o aumento da espessura da mesa, dentro de um sub-grupo de<br />
parafusos.<br />
Neste caso, reforça-se a idéia de que a resistência dos protótipos e o “efeito<br />
alavanca” depende significativamente da interação entre parafusos e mesa dos perfis<br />
“T” como contribuintes na deformabilidade da ligação duplo “T”.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
34<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
Os resultados analíticos, por sua vez, mostram valores desproporcionais com<br />
relação às forças de alavanca e, em geral, conservadores com relação à resistência dos<br />
perfis “T”.<br />
Tratando-se de modelos analíticos de dimensionamento, o fato de serem<br />
conservadores é um ponto positivo ao desconsiderarem imperfeições, tensões residuais<br />
e diferenças na resistência dos materiais utilizados, ressaltando-se que os valores<br />
analíticos e experimentais se aproximam na medida em que a ligação se aproxima do<br />
modo de falha 3. Por outro lado, reforça-se a complexidade de se tratar analiticamente<br />
os mecanismos de transferência de esforços e o “efeito alavanca”.<br />
Especificamente para o protótipo TSC4, a previsão da capacidade resistente<br />
pelo Eurocode 3 (1993) é significativamente menor que a resistência observada<br />
experimentalmente, o que indica uma previsão incorreta do modo de falha.<br />
Para complementar a observação dos modos de falha, a figura 12 ilustra, para<br />
os protótipos TSC4-1 e TSC5-2, as deformações nos extensômetros 1 e 2, posicionados<br />
perpendicularmente à alma nas mesas de um dos lados dos protótipos conforme<br />
indicado na figura.<br />
Para o protótipo TSC5-2, a deformação é significativamente maior no centro<br />
com relação à extremidade lateral, indicando a flexão nos dois planos da mesa para esse<br />
protótipo e uma tendência de plastificação dos furos para o centro e para a lateral,<br />
característica do modo de falha 2.<br />
Como o deslocamento axial do protótipo TSC5-2 é menor que a do protótipo<br />
TSC4-1 e as deformações no protótipo TSC4-1 são menores que as do TSC5-2, até<br />
com uma maior uniformidade, percebe-se uma modificação na plastificação da mesa,<br />
cuja flexão é acentuada na direção perpendicular à alma.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
t ch = 12,5 mm<br />
t ch = 16,0 mm<br />
Ext(1) - TSC4-1<br />
Ext(2) - TSC4-1<br />
Ext(1) - TSC5-2<br />
Ext(2) - TSC5-2<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0<br />
Deformação (x10 3 )<br />
Figura 12 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4 e TSC5.<br />
O protótipo TSC4-2 foi pintado com uma mistura de água e cal e, na figura<br />
13, é possível visualizar a formação de uma linha de plastificação entre os furos,<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
35<br />
paralela à alma do perfil “T”, além de um detalhe da ruptura de um parafuso por<br />
solicitações de tração combinadas com flexão.<br />
Figura 13 - Linhas de plastificação na mesa do protótipo TSC4-2 e detalhe da ruptura do<br />
parafuso.<br />
As deformações para os protótipos TSC6 e TSC7 nas mesmas posições da<br />
mesa (figura 12) estão mostradas na figura 14.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
t ch = 19,0 mm<br />
Ext(1) - TSC6-2<br />
Ext(2) - TSC6-2<br />
100<br />
t ch = 22,4 mm<br />
Ext(1) - TSC7-2<br />
Ext(2) - TSC7-2<br />
0<br />
-1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0 13.0<br />
Deformação (x10 3 )<br />
Figura 14 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC6 e TSC7.<br />
Para os protótipos TSC6 e TSC7, a flexão na mesa também é<br />
pronunciadamente maior na direção perpendicular à alma devido ao aumento da<br />
espessura da mesa. Neste caso, as deformações voltam a ser uniformes no centro e na<br />
lateral, havendo uma diminuição da flexão na mesa do protótipo TSC7, característica do<br />
modo de falha 3.<br />
No sub-grupo com parafusos de 19,0 mm não foi possível solicitar todos os<br />
modelos até o colapso devido à plastificação da alma dos perfis “T”, com exceção do<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
36<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
protótipo TSC8 no qual houve a ruptura dos parafusos, evidenciando a existência de<br />
forças de alavanca acentuadas neste protótipo, com mesa de 16,0 mm de espessura.<br />
Quanto à rigidez inicial, pequenas variações foram observadas neste subgrupo.<br />
Como o torquímetro utilizado na protensão dos parafusos de 19,0 mm possuía<br />
apenas controle visual do torque, por relógio graduado, pequenas variações da força de<br />
protensão podem ter ocorrido, influenciando o trecho inicial das curvas forçadeslocamento,<br />
apresentadas na figura 15 para os protótipos TSC8, TSC9, TSC10 e<br />
TSC11.<br />
Com o escoamento da alma, há uma limitação de resistência para os<br />
protótipos TSC9, TSC10 e TSC11, com um aumento significativo da deformabilidade<br />
devido ao patamar de escoamento do material da alma. Com o encruamento da alma,<br />
poderia se esperar um novo acréscimo de resistência e, possivelmente, a ruptura dos<br />
parafusos, mas os ensaios foram interrompidos uma vez que a plastificação da alma já<br />
caracteriza um estado limite último. Novamente, observam-se escorregamentos nos<br />
protótipos TSC8 e TSC9.<br />
Mantendo-se a espessura da mesa constante e variando-se o diâmetro dos<br />
parafusos, tem-se como padrão um aumento de resistência e de ductilidade em<br />
diferentes proporções, como pode ser observado na figura 16 para os protótipos TSC1 e<br />
TSC4, com mesa de 12,5 mm e parafusos de 12,5 e 16,0 mm, respectivamente, e na<br />
figura 17 para os protótipos TSC2, TSC5 e TSC8, com mesa de 16,0 mm e parafusos<br />
de 12,5, 16,0 e 19,0 mm, respectivamente.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
TSC8 (tch=16,0 mm)<br />
TSC9 (tch=19,0 mm)<br />
TSC10 (tch=22,4 mm)<br />
TSC11 (tch=25,0 mm)<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 15 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com<br />
parafusos de 19,0 mm.<br />
Para os protótipos com mesa de 12,5 mm, há um aumento proporcional entre<br />
resistência e ductilidade. Para os protótipos com mesa de 16,0 mm, no entanto, a<br />
proporção entre as curvas é observada apenas para o aumento de resistência e para a<br />
ductilidade entre os protótipos TSC5 e TSC8. A variação da ductilidade do protótipo<br />
TSC2 para o TSC5 é mínima, destacando-se que, no caso do protótipo TSC2, a<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
37<br />
deformabilidade à flexão da mesa é maior com relação à deformabilidade axial dos<br />
parafusos.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
TSC1-1 (db=12,5 mm)<br />
TSC4-1 (db=16,0 mm)<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 16 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com<br />
mesa de 12,5 mm de espessura – variação dos parafusos.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
TSC2-1 (db=12,5 mm)<br />
TSC5-2 (db=16,0 mm)<br />
TSC8-1 (db=19,0 mm)<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 17 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com<br />
mesa de 16,0 mm de espessura – variação dos parafusos.<br />
3.2 Grupo TSI – almas perpendiculares<br />
Os resultados do grupo TSI são importantes para a verificação do<br />
comportamento da ligação duplo “T” com a mudança de posição entre as almas dos<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
38<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
perfis “T”, seguindo a configuração usual da ligação com chapa de topo se considerados<br />
a viga e o pilar.<br />
Enfatizando-se, novamente, aspectos globais, na figura 18 são apresentadas as<br />
curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. Como os resultados dos pares, para<br />
esse grupo, foram mais uniformes que no grupo TSC, indicam-se apenas as curvas<br />
obtidas no primeiro ensaio de cada par, a menos do protótipo TSI4-1 que apresentou<br />
interferências na coleta de dados, sendo substituído pelo protótipo TSI4-2. Para os<br />
protótipos TSI5 à TSI8, o ensaio foi interrompido pelos mesmos motivos dos protótipos<br />
TSC com parafusos de 19,0 mm.<br />
A representação esquemática da geometria dos protótipos da série TSI<br />
também é indicada na figura 18.<br />
Assim como para os protótipos do grupo TSC, não há modificação da rigidez<br />
inicial para o grupo TSI, inclusive para o aumento do diâmetro dos parafusos,<br />
conseqüência da força de protensão inicial aplicada.<br />
No entanto, ao contrário do grupo TSC, o aumento da espessura da mesa dos<br />
perfis “T” provocou pequenos acréscimos na ductilidade e na resistência das ligações<br />
dentro de cada sub-grupo de parafusos. Um ganho de resistência significativo pode ser<br />
visualizado com o aumento do diâmetro dos parafusos, de 16,0 para 19,0 mm.<br />
A figura 19 apresenta as deformações no protótipo TSI1-1 após o colapso e<br />
no protótipo TSI6-1 antes do término do ensaio.<br />
700<br />
650<br />
600<br />
d b = 19,0 mm<br />
550<br />
500<br />
Força (kN)<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
d b = 16,0 mm<br />
t 2 = 19,0 mm<br />
d b = 19,0 mm<br />
t 2 = 22,4 mm<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
d b = 16,0 mm<br />
TSI1-1 (t1=12,5 mm)<br />
TSI2-1 (t1=16,0 mm)<br />
TSI3-1 (t1=19,0 mm)<br />
TSI4-2 (t1=22,4 mm)<br />
TSI5-1 (t1=16,0 mm)<br />
TSI6-1 (t1=19,0 mm)<br />
TSI7-1 (t1=22,4 mm)<br />
TSI8-1 (t1=25,0 mm)<br />
Figura 18 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSI.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
39<br />
(a) TSI1-1<br />
(b) TSI6-1<br />
Figura 19 - Deformações das mesas dos protótipos TSI1-1 e TSI6-1.<br />
É interessante observar que, devido às diferenças de braço de alavanca para<br />
os parafusos e da espessura da mesa entre os perfis “T” desses protótipos, a deformação<br />
se concentra em uma das mesas, modificando a interação entre mesa e parafusos na<br />
caracterização do colapso.<br />
Comparando-se os grupos TSC e TSI pela consideração da menor espessura<br />
de mesa, o protótipo TSI1, com mesas de 12,5 e 19,0 mm de espessura e parafusos de<br />
16,0 mm, tem um pequeno ganho de ductilidade com relação ao protótipo TSC4, com<br />
mesas de 12,5 mm. O protótipo TSI2, com mesas de 16,0 e 19,0 mm, no entanto,<br />
apresenta um aumento significativo de ductilidade quando comparado ao protótipo<br />
TSC5, com mesas de 16,0 mm, como pode ser visualizado na figura 20.<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
d b = 16,0 mm<br />
TSC4-1 (tch=12,5 mm)<br />
TSC5-2 (tch=16,0 mm)<br />
TSI1-1 (t1=12,5 mm)<br />
TSI2-1 (t1=12,5 mm)<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 20 - Variação de ductilidade entre os protótipos TSI e TSC.<br />
Enfatiza-se que, neste caso, a influência do “efeito alavanca” na variação do<br />
modo de falha dos perfis “T” é menor e a solicitação nos parafusos passa a ser menos<br />
influenciada por esforços de flexão quando comparadas aos protótipos TSC4 e TSC5.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
40<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
Assim, caracteriza-se a flexão mais pronunciada na direção perpendicular à alma dos<br />
perfis “T” como um padrão de deformação para as mesas, não influenciada<br />
significativamente pela interação em mesa e parafusos.<br />
No entanto, é possível observar uma variação nos padrões de plastificação da<br />
mesa, que ocorreu de forma sistemática para o grupo TSI. A figura 21 ilustra a<br />
plastificação nas mesas do protótipo TSI1-2 juntamente com detalhes dos parafusos<br />
após a ruptura.<br />
Figura 21 - Plastificação e detalhes dos parafusos no protótipo TSI1-2.<br />
Na figura 21 identificam-se marcas que indicam a tendência de plastificação<br />
dos furos para a borda nas mesas, na direção perpendicular à alma do perfil “T” e para a<br />
região central da borda entre os furos. No detalhe dos parafusos, a seção de ruptura<br />
indica a menor influência da flexão destes componentes. Esse padrão foi verificado para<br />
todos os protótipos do grupo TSI. As linhas de plastificação nos protótipos TSI2 e TSI3<br />
podem ser visualizadas nas figuras 22(a) e 22(b).<br />
(a) TSI2-2<br />
(b) TSI3-2<br />
Figura 22 - Linhas de plastificação nas mesas dos protótipos TSI2-2 e TSI3-2.<br />
Para observar a variação nas deformações das mesas entre os protótipos TSC<br />
e TSI, apresenta-se, na figura 23, os dados coletados nos extensômetros 1, 2, 3, e 4,<br />
indicados na figura, na direção perpendicular à alma para cada lado da ligação dos<br />
protótipos TSI3-1 e TSC6-2, ambos com mesas de 19,0 mm de espessura e parafusos<br />
de 16,0 mm.<br />
Para o protótipo TSI3-1 há uma diminuição significativa para a deformação<br />
no lado 1, pelo aumento de flexibilidade da mesa no lado 2. As deformações no lado 2,<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
41<br />
com relação ao protótipo TSC6-2, apresentam um aumento significativo no centro da<br />
mesa nos estágios iniciais de plastificação.<br />
No entanto a deformação no centro tende a uniformizar-se com a deformação<br />
na borda, o que indica a flexão predominante segundo a direção perpendicular à alma,<br />
apesar da plastificação ter iniciado na região central em direção aos furos.<br />
550<br />
500<br />
450<br />
400<br />
Força (kN)<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
d b = 16,0 mm<br />
t ch = t 1 = 19,0 mm<br />
Ext(1) - TSC6-2<br />
Ext(2) - TSC6-2<br />
Ext(1) - TSI3-1<br />
Ext(2) - TSI3-1<br />
Ext(3) - TSI3-1<br />
Ext(4) - TSI3-1<br />
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0<br />
Deformação (x10 3 )<br />
Figura 23 - Deformações nas mesas dos protótipos TSI3-1 e TSC6-2.<br />
Considerando-se a utilização dos modos de falha para os perfis “T” no<br />
dimensionamento da chapa de topo à flexão, aplicados usualmente às ligações duplo<br />
“T”, a variação da tipologia pela perpendicularidade entre as almas dos perfis “T” não<br />
modifica de forma significativa a resistência dos protótipos.<br />
No entanto, observou-se variações nos padrões de plastificação das mesas e<br />
na interação entre mesa e parafusos, o que conduziu à variações na magnitude do “efeito<br />
alavanca” e da ductilidade dos protótipos.<br />
3.3 Grupo TSIE – almas enrijecidas<br />
Para o grupo TSIE foi possível observar a influência do enrijecimento da<br />
alma que não modifica significativamente o comportamento global da ligação com<br />
relação ao grupo TSC, a menos de um ganho de resistência.<br />
A figura 24 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos do<br />
grupo TSIE, ressaltando que os protótipos com parafusos de 19,0 mm não foram<br />
ensaiados até o colapso.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
42<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
700<br />
650<br />
d b = 19,0 mm<br />
600<br />
550<br />
500<br />
d b = 16,0 mm<br />
450<br />
Força (kN)<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
d b = 16,0 mm<br />
d b = 19,0 mm<br />
TSIE1-1 (t2=16,0 mm)<br />
TSIE2-2 (t2=19,0 mm)<br />
TSIE3-1 (t2=22,4 mm)<br />
TSIE4-2 (t2=19,0 mm)<br />
TSIE5-2 (t2=22,4 mm)<br />
TSIE6-1 (t2=25,0 mm)<br />
t 1 = 16,0 mm<br />
t 1 = 19,0 mm<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 24 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSIE.<br />
Para os protótipos com parafusos de 16,0 mm, o aumento da espessura da<br />
mesa provoca uma leve diminuição da ductilidade, com um pequeno aumento de<br />
resistência. Para o sub-grupo com parafusos de 19,0 mm, o aumento da capacidade<br />
resistente é visível.<br />
Na figura 25 apresenta-se uma comparação entre as curvas forçadeslocamento<br />
dos protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, ambos com mesas e parafusos de 16,0<br />
mm.<br />
Para esses dois protótipos, observa-se o aumento da capacidade resistente<br />
com a inclusão do enrijecimento, ressaltando-se a manutenção da ductilidade entre os<br />
protótipos TSIE1-1 e TSC5-2, o que também ocorre de maneira sistemática entre os<br />
dois grupos.<br />
A inclusão do enrijecimento diminui de forma significativa a deformabilidade<br />
da mesa para o lado enrijecido da ligação duplo “T”. Neste caso, espera-se que as<br />
deformações sejam concentradas na mesa não enrijecida, cuja plastificação deve<br />
acontecer em taxas mais elevadas.<br />
No entanto, não há indicações de que os padrões de plastificação na mesa dos<br />
protótipos TSIE sofram modificações quando comparados aos protótipos similares do<br />
grupo TSC, já que não há variações significativas de ductilidade como observado na<br />
figura 25.<br />
Outro indicativo de que os padrões de plastificação não são alterados é o<br />
aumento de resistência da ligação que, apesar de pequena, sugere uma diminuição do<br />
“efeito alavanca”.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
43<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
d b = 16,0 mm<br />
t ch = t 2 = 16,0 mm<br />
TSIE1-1<br />
TSC5-2<br />
0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 25- Curvas força-deslocamento para os protótiopos TSIE1 e TSC5.<br />
Para exemplificar a configuração das deformações para o grupo TSIE, na<br />
figura 26 são ilustradas duas vistas para o protótipo TSIE1-1 logo após o colapso dos<br />
parafusos.<br />
(a) Visão lateral<br />
(b) Visão frontal<br />
Figura 26 - Deformações nas mesas do protótipo TSIE1-1 após o colapso.<br />
3.4 Comparação geral entre os grupos<br />
Apenas para ilustrar, de forma geral, a variação de comportamento entre os<br />
protótipos de ligações duplo “T”, a figura 27 apresenta as curvas força-deslocamento<br />
para os três grupos, especificamente para os protótipos com parafusos de 16,0 mm.<br />
Em uma comparação geral, é possível se concluir que a capacidade resistente<br />
das ligações duplo “T”, independentemente da tipologia analisada, tem uma faixa de<br />
variação cujo patamar superior é bem definido, em função da capacidade resistente dos<br />
parafusos à tração.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
44<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
700<br />
600<br />
500<br />
Força (kN)<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
TSC4-1 (tch=12,5 mm)<br />
TSC5-2 (tch=16,0 mm)<br />
TSC6-2 (tch=19,0 mm)<br />
TSC7-2 (tch=22,4 mm)<br />
TSI1-1 (t1=12,5 mm)<br />
TSI2-1 (t1=16,0 mm)<br />
TSI3-1 (t1=19,0 mm)<br />
TSI4-2 (t1=22,4 mm)<br />
TSIE1-1 (t2=16,0 mm)<br />
TSIE2-2 (t2=19,0 mm)<br />
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0<br />
Deslocamento (mm)<br />
Figura 27 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC, TSI e TSIE com parafusos de<br />
16,0 mm.<br />
O patamar inferior é função da intensidade dos “efeitos de alavanca”, que<br />
dependem da interação entre as mesas dos perfis “T” e os parafusos e, portanto, não é<br />
facilmente determinada. No entanto, a tendência de crescimento da resistência com o<br />
aumento da espessura da mesa do perfil “T” é uniforme, mesmo considerando-se as<br />
mudanças de tipologia.<br />
O mesmo não ocorre com a ductilidade. De acordo com o exposto no capítulo<br />
3, os limites de ductilidade para essas ligações não são tratados pelos modelos analíticos<br />
e dependem, novamente, da intensidade dos “efeitos de alavanca” que, por sua vez, é<br />
função da deformabilidade da mesa dos perfis “T” com relação à deformabilidade dos<br />
parafusos.<br />
Como a variação de ductilidade não é uniforme, é coerente supor que há<br />
variações nos modos de falha em função das variações das linhas de plastificação,<br />
utilizadas na metodologia proposta por Zoetemeijer & deBack (1972) para a<br />
equivalência entre os perfis “T” e a chapa de topo.<br />
A observação dos resultados para as ligações duplo “T” também permite<br />
concluir que não há, pelo menos em termos do comportamento global, variações<br />
significativas da capacidade resistente e da ductilidade dos protótipos com a variação de<br />
tipologia.<br />
4 CONCLUSÕES<br />
Neste trabalho foram apresentados os resultados de um programa<br />
experimental no qual foram testadas diversas ligações formadas por perfis “T”<br />
parafusados, divididas em três grupos em função da tipologia da ligação. A rigidez axial<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
Análise experimental de ligações duplo “T”com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas<br />
45<br />
das ligações foi analisada, constatando-se a significativa influência da interdependência<br />
entre as características geométricas dos flanges e dos parafusos na determinação dos<br />
modos de falha, resistência e ductilidade dos perfis “T”, que são aplicados no<br />
dimensionamento das ligações parafusadas com chapa de topo por meio de modelos<br />
analíticos simplificados.<br />
O efeito alavanca, presente na maioria dos protótipos ensaiados, representa<br />
uma variável de difícil quantificação. Sua maior ou menor intensidade também é função<br />
da tipologia da ligação, que pode apresentar maior ductilidade à medida que a<br />
distribuição de tensões nos flanges é melhor distribuída entre borda e centro, como<br />
ocorreu para o grupo TSI com almas perpendiculares.<br />
Finalmente, é interessante ressaltar que os resultados gerados pelos ensaios com<br />
perfis “T” serão utilizados em conjunto com resultados numéricos dos modelos<br />
correspondentes para gerar discussões em torno do comportamento deste tipo de ligação<br />
e de sua representatividade no dimensionamento das ligações com chapa de topo,<br />
incluindo-se a análise detalhada das linhas de escoamento nos flanges e a discussão em<br />
torno dos modelos analíticos existentes.<br />
5 AGRADECIMENTOS<br />
Os autores agradecem o suporte financeiro provido pela FAPESP (Fundação<br />
de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) para o desenvolvimento do trabalho de<br />
Doutoramento, cujos resultados parciais foram apresentados nesta contribuição.<br />
6 REFERÊNCIAS<br />
AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. Manual of steel construction.<br />
8.ed. Chicago, 1980.<br />
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1986). NBR-8800 -<br />
Dimensionamento e construção de estruturas de aço em edifícios. Rio de<br />
Janeiro.<br />
BURSI, O.S.; JASPART, J.P. Basic issues in the finite element simulation of extended<br />
end plate connections. Computer & Structures, n. 69, p. 361-382, 1998.<br />
EUROCODE-3. Design of steel structures: Part 1.1 - General rules and rules for<br />
buildings - Revised Annex J: Joints in building frames, 1993.<br />
KULAK, G.L.; FISHER, J.W.; STRUIK, J.H.A. Guide to design criteria for bolted and<br />
riveted joints. 2. ed. John Wiley & Sons, 1987.<br />
MAGGI, Y.I. (2000). Análise numérica, via M.E.F., do comportamento de ligações<br />
parafusadas viga-coluna com chapa de topo. São Carlos. Dissertação (Mestrado) –<br />
Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.<br />
MAGGI, Y.I. (2004). Análise do comportamento estrutural de ligações<br />
parafusadas viga-pilar com chapa de topo estendida. São Carlos. Tese<br />
(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
46<br />
Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves<br />
SWANSON, J.A. Characterization of the strength, stiffness, and ductility<br />
behavior of T-stub connections. Ph.D. Dissertation, Georgia Institute of Technology,<br />
1999.<br />
ZOETEMEIJER, P.; BACK, J. High strength bolted beam to column connections.<br />
The computation of bolts, T-stub flanges and column flanges. Report 6-72-13,<br />
Delft University of Technology, Stevin Laboratory, 1972.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 23-46, 2007
ISSN 1809-5860<br />
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE BLOCOS DE<br />
CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS<br />
SUBMETIDOS À AÇÃO DE FORÇA CENTRADA<br />
Fabiana Stripari Munhoz 1 & José Samuel Giongo 2<br />
Resumo<br />
Este trabalho estuda o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre<br />
duas, três, quatro e cinco estacas, submetidos à ação de força centrada. Com o objetivo<br />
de contribuir na análise de critérios de projeto utilizaram-se resultados obtidos por<br />
meio de modelos analíticos e realizou-se análise numérica por meio de programa<br />
baseado no Método dos Elementos Finitos. Foi desenvolvida, ainda, uma análise<br />
comparativa entre os processos de dimensionamento adotados em projeto, na qual se<br />
verificou grande variabilidade dos resultados. Para análise numérica adotou-se<br />
comportamento do material como elástico linear e os resultados de interesse foram os<br />
fluxos de tensões em suas direções principais. Nos modelos adotados variaram-se os<br />
diâmetros de estacas e as dimensões dos pilares, a fim de se verificar as diferenças na<br />
formação dos campos e trajetórias de tensões. Concluiu-se que o modelo de treliça<br />
utilizado em projetos é simplificado e foram feitas algumas sugestões para a utilização<br />
de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado. Foi possível a verificação da<br />
influência da variação da geometria de estacas e de pilares no projeto de blocos sobre<br />
e a revisão dos critérios para os arranjos das armaduras principais. Para os modelos<br />
de blocos sobre cinco estacas com o centro geométrico de uma das estacas coincidente<br />
com o centro do pilar, concluiu-se que o comportamento não é exatamente como<br />
considerado na prática.<br />
Palavras-chave: blocos sobre estacas; fundações; concreto armado; bielas e tirantes.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
Os blocos sobre estacas são elementos estruturais de fundação cuja finalidade<br />
é transmitir às estacas as ações oriundas da superestrutura (figura 1). O uso deste<br />
tipo de fundação se justifica quando não se encontram camadas superficiais de solo<br />
local resistentes sendo necessário atingir camadas mais profundas que sirvam de<br />
apoio à fundação.<br />
São estruturas tridimensionais, ou seja, todas as dimensões têm a mesma<br />
ordem de grandeza, tornando seu funcionamento complexo. O comportamento<br />
1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, fs-munhoz@uol.com.br<br />
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, jsgiongo@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
48<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
mecânico do conjunto aço/concreto, a determinação de vinculações e a existência da<br />
interação solo/estrutura são problemas que agravam o grau de complexidade. Esses<br />
elementos estruturais, apesar de serem fundamentais para a segurança da<br />
superestrutura, geralmente, não permitem inspeção visual quando em serviço, sendo<br />
assim, importante o conhecimento de seu real comportamento.<br />
Figura 1 - Bloco sobre quatro estacas.<br />
Os métodos para dimensionamento destes elementos utilizados até os dias<br />
atuais tratam-os de modo simplificado, além disso, há diferentes parâmetros adotados<br />
pelas normas e processos.<br />
A norma brasileira NBR 6118:2003 considera os blocos sobre estacas como<br />
elementos estruturais especiais que não respeitam a hipótese de seções planas, por<br />
não serem suficientemente longos para que se dissipem as perturbações localizadas.<br />
Classifica o comportamento estrutural de blocos em rígidos e flexíveis. No caso de<br />
blocos rígidos o modelo estrutural adotado para cálculo e dimensionamento deve ser<br />
tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-tirante tridimensionais, sendo esses<br />
últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de forças nas bielas e tirantes. A<br />
NBR 6118:2003 não fornece em seu texto um roteiro para verificações e<br />
dimensionamento destes elementos.<br />
O código americano ACI-318 (1994) adota hipóteses bem simplificadas para o<br />
dimensionamento de blocos. Recomenda o uso da teoria da flexão e a verificação da<br />
altura mínima do bloco para resistir à força cortante.<br />
A norma espanhola EHE (2001) fornece expressões que permitem determinar<br />
as áreas das barras da armadura para os casos mais freqüentes de blocos sobre<br />
estacas, conforme o modelo de treliça adotado.<br />
A rotina de projeto de blocos sobre estacas utilizada pelo meio técnico no<br />
Brasil, conhecida como Método das Bielas é adaptada do trabalho de Blévot (1967),<br />
que indica um modelo de treliça para a determinação da força no tirante e verificações<br />
de tensões nas bielas comprimidas. As tensões de compressão são verificadas<br />
considerando as áreas do pilar e das estacas projetadas na direção perpendicular ao<br />
eixo da biela.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
49<br />
Outro procedimento que tem sido utilizado por alguns projetistas de estruturas<br />
de concreto é o processo sugerido pelo CEB-FIP (1970).<br />
Esse procedimento indica verificações de segurança para tensões normais e<br />
tangenciais com esforços solicitantes determinados em seções transversais<br />
particulares. Este procedimento diverge da norma brasileira que considera que blocos<br />
rígidos não respeitam a hipótese de seções planas.<br />
Uma análise criteriosa para definir o comportamento estrutural de blocos sobre<br />
estacas é a que considera o modelo de Bielas e Tirantes, afinal, tratam-se de regiões<br />
descontínuas, onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de Bielas e<br />
Tirantes as verificações de compressão nas bielas podem ser feitas com as<br />
considerações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), pois as regiões nodais têm<br />
geometria diferente das sugeridas por Blévot (1967).<br />
O modelo de Bielas e Tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de<br />
tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões<br />
podem ser obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos<br />
numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos.<br />
Segundo Tjhin e Kuchma (2002), a orientação mais adequada para a seleção<br />
de modelos apropriados de bielas e tirantes pode ser verificada em Schlaich et al.<br />
(1987) que propõem arranjar os elementos da treliça do modelo utilizando as<br />
trajetórias das tensões principais obtidas a partir de uma solução elástica linear.<br />
Essas aproximações permitem verificar os estados limites último e de serviço.<br />
O uso de trajetórias de tensões principais para guiar a construção de modelos<br />
de bielas e tirantes também foi estendido à geração automática de modelos. Um<br />
exemplo disto pode ser visto no trabalho de Harisis e Fardis (1991), que utilizaram<br />
uma análise estática de dados de tensões principais obtida de uma análise linear por<br />
elementos finitos para identificar localizações de bielas e tirantes.<br />
Longo (2000) utilizou campos e trajetórias de tensões principais em vigas prémoldadas<br />
obtidas de uma análise elástica linear por meio do Método dos Elementos<br />
Finitos e conseguiu bons resultados iniciais para adoção de modelos de bielas e<br />
tirantes.<br />
Autores como Iyer e Sam (1991) estudaram o comportamento de blocos sobre<br />
três estacas por meio de uma análise elástica linear tridimensional e concluíram que a<br />
analogia de treliça, aplicada a blocos sobre estacas utilizada por Blévot e Frémy<br />
(1967), não é satisfatória, pois não conferem com as localizações e magnitudes de<br />
tensões máximas com precisão.<br />
Em virtude dessas e outras divergências nos métodos analíticos utilizados<br />
para cálculo de blocos sobre estacas decidiu-se estudar modelos de blocos, sendo o<br />
objetivo deste trabalho, estudar o comportamento de blocos rígidos de concreto<br />
armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas submetidos à ação de força centrada<br />
para sugestão de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado do que o modelo de<br />
treliça utilizado atualmente em projetos. Para isto, utilizaram-se resultados obtidos por<br />
meio de modelos analíticos e realizou-se uma análise numérica utilizando-se o<br />
programa ANSYS ® (1998) baseado no Método dos Elementos Finitos. Nos modelos,<br />
adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões de pilar.<br />
Para análise numérica, adotou-se comportamento do material como elástico<br />
linear. Os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções<br />
principais a fim de se aplicar o modelo de Bielas e Tirantes.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
50<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
Provavelmente uma análise não-linear ofereceria algumas vantagens por<br />
fornecer resultados mais realistas acerca dos efeitos de perda de rigidez dos<br />
elementos estruturais por causa da fissuração e escoamento das armaduras<br />
longitudinais, mas com a proposta de quantificar alguns parâmetros, acredita-se que a<br />
análise elástico-linear constitui-se em passo inicial imprescindível.<br />
2 MÉTODOS DE CÁLCULO PARA PROJETO DE BLOCOS SOBRE<br />
ESTACAS<br />
O Método das Bielas desenvolvido tomando por referência a análise de<br />
resultados experimentais de modelos ensaiados por Blévot (1967) considera no<br />
interior do bloco uma treliça composta por barras tracionadas e barras comprimidas.<br />
As forças de tração que atuam nas barras horizontais da treliça são resistidas pela<br />
armadura enquanto que as de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto. É<br />
recomendado para ações centradas, mas pode ser empregado no caso de ações<br />
excêntricas, desde que, admita-se que todas as estacas estão submetidas à maior<br />
força transferida.<br />
O Método do CEB-FIP (1970) é aplicável a blocos cuja distância entre a face<br />
do pilar até o eixo da estaca mais afastada varia entre um terço e a metade da altura<br />
do bloco. O método sugere um cálculo à flexão considerando uma seção de<br />
referência interna em relação à face do pilar e distante desta 0,15 da dimensão do<br />
pilar na direção considerada. Para verificações da capacidade resistente à força<br />
cortante, define-se uma seção de referência externa distante da face do pilar de um<br />
comprimento igual a metade da altura do bloco e, no caso de blocos sobre estacas<br />
vizinhas ao pilar, a seção é considerada na própria face do pilar.<br />
A norma espanhola EHE (2001) adota modelo de cálculo semelhante ao<br />
Método das Bielas. A diferença entre os dois métodos ocorre na adoção da altura da<br />
treliça para cada modelo e na questão da verificação das tensões de compressão. A<br />
EHE (2001) sugere que a verificação da resistência do concreto nos nós do modelo,<br />
em geral, não é necessária se as estacas são construídas “in loco” e se a resistência<br />
característica do concreto destas e do pilar forem iguais a do bloco. Nos outros casos<br />
deve-se realizar verificações adicionais.<br />
O código americano ACI-318 (1994) admite os blocos sobre estacas como um<br />
elemento semelhante a uma viga apoiada sobre estacas. O procedimento para<br />
dimensionamento sugerido é o dimensionamento considerando momento fletor e<br />
fazendo à verificação a força cortante em uma seção crítica. O máximo momento<br />
fletor é determinado em relação a um plano vertical localizado na face do pilar. A<br />
quantidade de armadura longitudinal é determinada pelos procedimentos usuais às<br />
vigas de concreto armado. O código indica como essa armadura deve ser distribuída<br />
e recomenda o valor de 30 cm para altura mínima de blocos sobre estacas.<br />
A verificação à força cortante em blocos sobre estacas, segundo o código<br />
americano, deve ser feita em uma seção crítica que é medida a partir da face do pilar<br />
com a localização definida conforme o comportamento do bloco, ou seja, quando<br />
ocorre comportamento de viga, o bloco é considerado uma viga extensa e a seção<br />
crítica é definida por um plano que dista d da face do pilar, sendo d a altura útil do<br />
bloco. Quando ocorre comportamento por “dois caminhos” cisalhantes, a ruína ocorre<br />
pela punção ao longo de um cone, a superfície crítica é definida a partir de d/2 do<br />
perímetro do pilar.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
51<br />
3 APLICAÇÃO DE MODELOS DE BIELAS E TIRANTES<br />
O modelo de bielas e tirantes é uma representação discreta de campos de<br />
tensões nos elementos estruturais de concreto armado. É idealizado o fluxo de forças<br />
internas nas regiões com a consideração de uma treliça que transfere o carregamento<br />
imposto no contorno para seus apoios. Esta treliça é composta por uma estrutura de<br />
barras comprimidas (bielas) e tracionadas (tirantes) interconectadas por nós.<br />
Os modelos de Bielas e Tirantes são fundamentados no Teorema do Limite<br />
Inferior da Teoria da Plasticidade. Uma das hipóteses para se aplicar esse teorema é<br />
o material exibir comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja, para fins de<br />
determinação da capacidade limite de carga de uma estrutura é possível dispensar<br />
uma análise evolutiva das tensões e das deformações, admitindo-se,<br />
simplificadamente, que o material tenha comportamento elasto-plástico perfeito.<br />
O projeto de regiões, utilizando o modelo de Bielas e Tirantes, pode oferecer<br />
mais do que uma treliça possível representando campos de tensões estaticamente em<br />
equilíbrio e plasticamente admissíveis sendo, cada solução, garantida pelo Teorema<br />
do Limite Inferior (ou Teorema Estático) da Teoria da Plasticidade (Análise Limite).<br />
Machado (1998) apresentou modelos de consolos curtos e muito curtos sem<br />
utilizar de maneira formal a Teoria da Plasticidade (Análise Limite), mas baseado em<br />
Modelos de Bielas e Tirantes.<br />
Os modelos propostos neste trabalho também não usam de maneira formal<br />
esta análise, embora o modelo sugerido seja baseado em um Modelo de Bielas e<br />
Tirantes, o qual tem solução garantida pelo Teorema do Limite Inferior.<br />
Como orientação inicial deve-se seguir de perto os contornos e as trajetórias<br />
de tensões elásticas na peça que são obtidas, inicialmente, empregando-se um<br />
programa de análise em Elementos Finitos Linear (regime elástico linear sem a<br />
consideração da fissuração).<br />
O Método dos Elementos Finitos pode ser usado em sua versão linear, a mais<br />
simplificada, em conjunto com Método das Bielas e Tirantes fornecendo as trajetórias<br />
das tensões para facilitar a definição dos modelos de treliça, os campos de tensões<br />
possíveis, ou pode ser usado na construção efetiva de um modelo para a análise<br />
aproximada, desconsiderando a fissuração da peça.<br />
O programa CAST, desenvolvido recentemente por Tjhin e Kuchma (2002)<br />
para projeto de regiões D, utiliza contornos de tensão e trajetórias de tensões<br />
principais obtidas de uma análise elástica linear para a seleção da treliça do modelo.<br />
Schlaich et al. (1987) explicam que este processo de orientar o modelo de<br />
bielas e tirantes ao longo dos caminhos de forças indicados pela teoria da elasticidade<br />
negligencia um pouco a capacidade última de carga que poderia ser utilizada por uma<br />
aplicação da teoria de plasticidade. Por outro lado, tem a vantagem principal que o<br />
mesmo modelo é usado para o estado limite último e de serviço. Se por alguma razão<br />
o propósito da análise é determinar a força última, o modelo pode ser adaptado<br />
facilmente a esta fase de carregamento trocando suas bielas e tirantes para obter um<br />
valor maior e mais real da resistência da estrutura. Neste caso, porém, a capacidade<br />
de rotação não elástica do modelo tem que ser considerada.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
52<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
4 ANÁLISE NUMÉRICA<br />
Os modelos foram submetidos a uma análise elástica linear via Método dos<br />
Elementos Finitos utilizando o programa computacional ANSYS ® .<br />
4.1 Modelos adotados<br />
Foram analisados 29 modelos de blocos sobre duas, três e quatro estacas,<br />
submetidos à ação de força centrada. Os modelos foram agrupados em cinco séries<br />
conforme a quantidade de estacas e força aplicada, como pode ser visto na tabela 1:<br />
Tabela 1 - Modelos analisados.<br />
Tipo de Bloco Série<br />
Número de Força<br />
modelos aplicada (kN)<br />
2 estacas B 9 710<br />
3 estacas C 7 1000<br />
4 estacas D 7 1400<br />
5 estacas E 6 1900<br />
A fim de se estudar a formação dos campos de tensões, foram adotados<br />
modelos variando-se o diâmetro das estacas (30 cm, 35 cm e 40 cm) e as dimensões<br />
de pilares para blocos com a mesma geometria e carregamento. Para blocos sobre<br />
uma e cinco estacas alteraram-se também as alturas dos modelos.<br />
Foram adotados resistência característica do concreto de 20 MPa e aço<br />
CA-50. A ligação do bloco com a estaca foi considerada de 10 cm e as demais<br />
condições geométricas são apresentadas nas figuras 2. e 3.<br />
a=170<br />
l<br />
le =30 =110 le=30<br />
b=60<br />
bp<br />
ap<br />
lc<br />
d=40<br />
h=50<br />
d'=10<br />
φest<br />
φest<br />
Série B – duas estacas<br />
Figura 2 - Modelos de blocos sobre duas estacas (medidas em centímetros).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
53<br />
l=120<br />
lcy<br />
l√3/2=103,92<br />
bp<br />
ap<br />
lcx<br />
d=60<br />
h=70<br />
d'=10<br />
φest φest<br />
Série C – três estacas<br />
a=190<br />
a=190<br />
le=35<br />
l=120 le =35<br />
le=35<br />
l=120 le =35<br />
lcy<br />
b=190<br />
bp<br />
b=190<br />
bp<br />
ap<br />
ap<br />
d=70<br />
h=80<br />
d<br />
h<br />
d'=10<br />
d'=10<br />
φest<br />
φest<br />
φest<br />
φest<br />
Série D – quatro estacas<br />
Série E – cinco estacas<br />
Figura 3 - Modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas (medidas em centímetros).<br />
Na tabela 2 são apresentados os parâmetros geométricos de cada modelo, ou<br />
seja, dimensões do bloco (a, b), altura útil (d), distância entre eixos de estacas (l),<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
54<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
distância da face do pilar ao eixo da estaca mais afastada (l c ), dimensões de pilares<br />
(a p e b p ) e diâmetro das estacas (φ est ).<br />
Tabela 2 - Parâmetros Geométricos (medidas em centímetros).<br />
Bloco Distâncias Pilar e estaca<br />
Série Modelos<br />
a b d l l cx l cy a p b p φ est<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
B1-1 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 30<br />
B1-2 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 35<br />
B1-3 170 60 40 110 37,68 - 34,64 34,64 40<br />
B2-1 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 30<br />
B2-2 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 35<br />
B2-3 170 60 40 110 25,00 - 60,00 20,00 40<br />
B3-1 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 30<br />
B3-2 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 35<br />
B3-3 170 60 40 110 20,00 - 70,00 20,00 40<br />
C1-1 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 30<br />
C1-2 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 35<br />
C1-3 - - 60 120 41,63 50,95 36,74 36,74 40<br />
C2-1 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 30<br />
C2-3 - - 60 120 51,00 31,82 18,00 75,00 40<br />
C3-1 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 30<br />
C3-3 - - 60 120 22,50 60,32 75,00 18,00 40<br />
D1-1 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30<br />
D1-2 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 35<br />
D1-3 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40<br />
D2-1 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30<br />
D2-2 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 35<br />
D2-3 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40<br />
D3-1 190 190 70 120 50,00 15,00 20,00 90,00 30<br />
E1-1h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30<br />
E1-3h80 190 190 70 120 40,00 40,00 40,00 40,00 40<br />
E1-1h95 190 190 85 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30<br />
E1-1h110 190 190 100 120 40,00 40,00 40,00 40,00 30<br />
E2-1h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 30<br />
E2-3h80 190 190 70 120 50,00 20,00 20,00 80,00 40<br />
As siglas adotadas para representar os nomes dos blocos têm o seguinte<br />
significado: Wx-y, W relaciona a série do modelo (ver tabela 1) que foi dividida<br />
conforme o número de estacas, x está relacionada com a seção do pilar, y está<br />
relacionado com a seção da estaca (y=1 para φ est =30cm, y=2 para φ est =35cm, y=3<br />
para φ est =40cm). Em alguns modelos com as mesmas iniciais x e y e variação da<br />
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Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
55<br />
altura, acrescentou-se a letra h e o valor da altura em centímetros. Citando como<br />
exemplo o bloco B1-1, B significa que ele pertence à série B (blocos sobre duas<br />
estacas), o primeiro 1 significa que ele tem a mesma seção que os demais modelos<br />
da mesma série com x=1, e o outro 1 significa estacas com diâmetro de 30 cm.<br />
Para os modelos B1-x e C1-x a p e b p são as medidas do lado de um quadrado<br />
com uma área equivalente a do retângulo que foram adotadas para os demais<br />
modelos da mesma série, por isso têm valores com números com mais casas<br />
decimais.<br />
4.2 Modelagem numérica<br />
Para a análise seguiram-se algumas etapas: definição das propriedades dos<br />
materiais, do tipo de elemento finito a se utilizar, da malha, das ações e condições de<br />
contorno.<br />
Em quase todos os modelos foi possível aproveitar a simetria para a<br />
modelagem, apenas para os modelos de blocos sobre três estacas não foi possível.<br />
Para os modelos de blocos sobre quatro e cinco estacas aproveitou-se a simetria em<br />
uma direção, modelando-se metade do bloco; no caso de blocos sobre duas estacas<br />
aproveitou-se a simetria nas duas direções, modelando-se 1/4 dos blocos.<br />
Adotaram-se para os modelos de blocos estacas com seção quadrada, mas<br />
com área equivalente aos referidos diâmetros. Essa medida foi tomada para facilitar a<br />
construção da malha numérica, e foi muito útil, já que não interferiu nos resultados de<br />
interesse. Os pilares e as estacas foram modelados com a mesma altura do bloco,<br />
procedimento este, normalmente adotado em ensaios experimentais.<br />
As propriedades dos materiais, considerando avaliação global dos modelos,<br />
foram adotadas conforme a NBR 6118:2003, coeficiente de Poisson (ν) de 0,2 e<br />
módulo de elasticidade tangente do concreto conforme a expressão 1:<br />
c<br />
ck<br />
c<br />
2<br />
E = 5600 f → E = 2504 kN / cm<br />
(1)<br />
O programa ANSYS ® possui uma vasta biblioteca de elementos finitos com a<br />
finalidade de fornecer ao usuário condições para resolver problemas diversos. Neste<br />
trabalho o elemento SOLID 65 foi utilizado para discretizar o bloco, pilar e estacas.<br />
Este elemento é tridimensional constituído por oito nós, cada nó possuindo três graus<br />
de liberdade referentes às translações das coordenadas x, y e z.<br />
Para discretização dos elementos, adotou-se uma malha com espaçamento<br />
entre nós de aproximadamente 5 cm para os modelos da série B, 10 cm para modelos<br />
da série D e E e 14 cm para os modelos C. Não foi possível utilizar uma malha mais<br />
refinada, pois com o aumento do número de elementos, inviabilizou o processamento<br />
do modelo numérico. Os modelos da série C (blocos sobre três estacas) foram os<br />
mais difíceis de modelar por não ter simetria, utilizou-se uma malha grande, além<br />
disso, optou-se por excluir da modelagem os elementos triangulares que foram<br />
gerados na malha nas periferias, já que, nestes locais, não havia tensões<br />
significativas. Isso se justifica, pois, na modelagem inicial esses elementos<br />
triangulares não foram excluídos e causaram dificuldades no processamento dos<br />
modelos, já que exigiram uma malha mais refinada.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
56<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
A figura 4 explicita as malhas utilizadas em um modelo de cada série de<br />
blocos analisados.<br />
Série B – duas estacas<br />
Série C – três estacas<br />
Série D – quatro estacas<br />
Série E – cinco estacas<br />
Figura 4 - Malha de elementos finitos utilizada.<br />
A ação foi aplicada como pressão na área referente ao pilar.<br />
Como condições de contorno restringiram-se todos os nós na face das estacas<br />
no plano xz, nas duas direções e na direção normal a este plano, ou seja,<br />
restringiram-se as três direções. A intenção de impedir a rotação dos modelos devese<br />
ao fato de analisar o comportamento do bloco, mantendo condições coerentes a de<br />
um ensaio experimental.<br />
O uso da simetria foi indispensável para a modelagem, pois sem esse recurso<br />
o número de elementos aumentaria, o que, conseqüentemente aumentaria o tempo e<br />
o trabalho computacional. A condição de simetria foi aplicada referente aos planos<br />
que foram cortados.<br />
5 ANÁLISE DE RESULTADOS<br />
As análises realizadas foram divididas em duas etapas. Primeiramente os<br />
modelos foram verificados por meio de três métodos analíticos. Nesta etapa<br />
verificaram-se as diferenças no cálculo das áreas das barras das armaduras.<br />
Na segunda etapa deste trabalho consideraram-se os resultados obtidos pela<br />
análise numérica. Foi feita análise gráfica dos campos de tensão de compressão e<br />
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Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
57<br />
com isso foram possíveis algumas comparações com os modelos analíticos. Além<br />
disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de<br />
compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração, quando são variadas<br />
dimensões de pilares e estacas.<br />
5.1 Resultados analíticos<br />
Os blocos sobre duas, três, quatro e cinco estacas foram dimensionados por<br />
três métodos analíticos, de BLÉVOT (1967), CEB-FIP(1970) e EHE (2001).<br />
Para as áreas de armaduras calculadas, é importante observar que neste<br />
trabalho não se verificou a ancoragem das mesmas em nenhum dos modelos. Os<br />
valores das forças nos tirantes (R st ) e das áreas de armadura são apresentados na<br />
tabela 3. O CEB-FIP não fornece o valor da força R st , por não ser baseado em modelo<br />
de Biela e Tirante e o cálculo da armadura foi feito com as expressões utilizadas para<br />
cálculo de flexão em vigas.<br />
Para os modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas a armadura foi<br />
calculada segundo os lados dos blocos, portanto os valores fornecidos na tabela 3<br />
referem-se à área de armadura que deve ser colocada em cada lado. O procedimento<br />
do CEB-FIP sugere verificações em duas direções, então, adotou-se a mesma<br />
armadura para as duas direções, escolhendo a maior delas.<br />
Tabela 3 - Valores de R st e A s .<br />
BLÉVOT CEB-FIP EHE<br />
Modelos<br />
R st (kN) A s (cm 2 ) A s (cm 2 ) R st (kN) A s (cm 2 )<br />
2 estacas<br />
3 estacas<br />
4 estacas<br />
B1-1/ B1-2/ B1-3 473,0 9,46 8,00 483,8 9,68<br />
B2-1/ B2-2/ B2-3 408,3 8,17 6,28 417,7 8,35<br />
B3-1/ B3-2/ B3-3 382,7 7,65 5,61 391,5 7,83<br />
C1-1/ C1-2/ C1-3 186,9 3,74 3,66 228,2 4,56<br />
C2-1/ C2-3 204,9 4,10 4,01 245,9 4,92<br />
C3-1/ C3-3 150,05 3,00 4,09 192,1 3,84<br />
D1-1/ D1-2/ D1-3 250,0 5,00 4,65 294,0 5,88<br />
D2-1/ D2-2/ D2-3 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47<br />
D3-1 275,0 5,50 5,36 323,5 6,47<br />
E1-1h80/ E1-3h80 271,4 5,43 5,05 235,3 4,71<br />
5 estacas<br />
E1-1h95 223,5 4,47 4,14 193,8 3,88<br />
E1-1h110 190,0 2,80 3,52 167,7 3,29<br />
E2-1h80/ E2-3h80 298,6 5,97 5,83 258,8 5,18<br />
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Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
Os métodos analíticos para dimensionamento conduziram a diferentes<br />
resultados para a área de armadura, fornecendo valores com diferenças que<br />
chegaram até 30% para modelos de blocos sobre duas estacas. Para os blocos sobre<br />
duas, três e quatros estacas, o método da EHE (2001) apresentou as maiores áreas<br />
de armadura e o Método do CEB (1970), as menores, ou seja, as diferenças foram<br />
maiores entre esses dois métodos. Entre os Métodos de Blévot (1967) e CEB (1970)<br />
também ocorreram diferenças grandes, nos modelos de blocos sobre duas estacas<br />
chegaram a mais de 30%, para um dos modelos de blocos sobre três estacas houve<br />
uma diferença um pouco maior (a área de armadura calculada com os critérios do<br />
CEB foi 36% maior que a calculada com as indicações de Blévot), isso ocorreu por<br />
causa do posicionamento do pilar e das diferentes considerações dos dois métodos.<br />
Para os modelos de blocos sobre cinco estacas, de modo geral, o método que<br />
apresentou maiores áreas de armadura foi o de Blévot e as maiores diferenças<br />
ocorreram entre Blévot (1967) e EHE (2001), essa diferença foi da ordem de 15%.<br />
5.2 Resultados numéricos<br />
Os resultados numéricos de interesse neste trabalho são os campos de<br />
tensões com valores máximos e mínimos nas direções principais, que fornecem uma<br />
noção do funcionamento das estruturas.<br />
Por meio das trajetórias de tensões principais é possível montar um modelo de<br />
Bielas e Tirantes. As trajetórias mínimas principais (tensão principal direção 3),<br />
geralmente de compressão, podem orientar as posições das bielas comprimidas. As<br />
trajetórias máximas principais (tensão principal direção 1) podem orientar o<br />
posicionamento dos tirantes. No item 5.4.3 serão apresentadas essas trajetórias para<br />
os modelos analisados, e são, por meio delas, em conjunto com a análise dos campos<br />
de tensão, que serão apresentadas algumas sugestões para modelos de bielas e<br />
tirantes mais refinados para blocos sobre uma, duas, três, quatro e cinco estacas.<br />
Analisaram-se os campos de tensões principais máximas e mínimas. As<br />
tensões máximas representadas pelas tensões na direção 1 (tração) e as mínimas<br />
são representadas pelas tensões na direção 3 (compressão).<br />
Para cada série de modelos de estacas foram feitas algumas constatações<br />
quando se variam os diâmetros das estacas ou a dimensão dos pilares ou a altura dos<br />
blocos.<br />
5.2.1 Blocos sobre duas estacas<br />
5.2.1.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose<br />
diâmetro das estacas<br />
Neste item foram feitas comparações entre os modelos em que se variou o<br />
diâmetro das estacas, ou seja, dividindo-se os modelos em três grupos: (1) B1-1, B1-2<br />
e B1-3; (2) B2-1, B2-2 e B2-3 e (3) B3-1, B3-2 e B3-3.<br />
As constatações que seguem são as mesmas para os três grupos distintos, já<br />
que, nas análises feitas ocorreram as mesmas situações.<br />
Analisando primeiramente os campos de tensão na direção principal 3, que<br />
representam as tensões de compressão, pode-se observar a formação das bielas de<br />
compressão, como pode ser visto na figura 5. Além disso, observou-se a grande<br />
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Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
59<br />
concentração de tensões nas regiões nodais, próximas ao pilar e próximas às<br />
estacas.<br />
B1-1 (φ est = 30 cm) B1-2 (φ est = 35 cm) B1-3 (φ est = 40 cm)<br />
B2-1 (φ est = 30 cm) B2-2 (φ est = 35 cm) B2-3 (φ est = 40 cm)<br />
B3-1 (φ est = 30 cm) B3-2 (φ est = 35 cm) B3-3 (φ est = 40 cm)<br />
Figura 5 - Formação das bielas de compressão.<br />
Uma importante constatação refere-se à formação das bielas de compressão.<br />
Os campos de tensão de compressão na região nodal superior, obtidos com a análise<br />
numérica, formaram-se além da seção do pilar, como pode ser observado na figura 5.<br />
Conforme o Modelo de Blévot (1967), a biela se forma partindo da área do pilar e, no<br />
entanto, não foi isso que ocorreu. Por meio de uma aproximação gráfica pode-se<br />
notar melhor as diferenças que ocorreram entre o modelo numérico e o analítico,<br />
conforme figura 6.<br />
Na figura 6 as linhas contínuas em vermelho mostram a formação das bielas<br />
proposta pelo modelo de Blévot. As linhas em azul mostram uma idealização dos<br />
campos de compressão obtidos por análise numérica. Observa-se que o ângulo das<br />
bielas formado pelas linhas azuis tracejadas (modelo numérico) seria bem maior que<br />
o formado pelas linhas vermelhas contínuas. Além disso, conforme o modelo<br />
numérico a região nodal logo abaixo do pilar tem uma altura bem maior. É lógico que<br />
essas conclusões baseadas em análises gráficas são bem aproximadas, mas, mesmo<br />
assim são válidas.<br />
Uma outra constatação relaciona os campos de tensão de compressão com o<br />
diâmetro das estacas. Observou-se que a tensão de compressão ao longo da biela<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
60<br />
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diminuiu conforme se aumentou o diâmetro da estacas, esta diferença foi notada entre<br />
os blocos com estacas de diâmetros de 30 cm e 40 cm.<br />
45°<br />
Figura 6 - Bielas de compressão, modelo numérico e modelo de Blévot.<br />
Com relação às tensões principais na direção 1, observou-se que essas<br />
máximas tensões de tração ocorrem na face inferior do bloco, como era esperado, no<br />
local onde se posiciona a armadura principal do bloco. A figura 7 ilustra os campos de<br />
tensão máxima em um dos modelos adotados.<br />
Figura 7- Campos de tensão de tração.<br />
Relacionando as tensões máximas de tração com os diâmetros das estacas,<br />
observou-se que as tensões aumentaram conforme se diminuiram os diâmetros das<br />
estacas. A tabela 4 traz os valores de tensão máxima de tração obtidos para cada<br />
grupo de blocos analisados.<br />
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61<br />
Tabela 4 - Tensões máximas de tração.<br />
Grupos Modelos φ est (cm)<br />
Tensão de tração<br />
máxima (MPa)<br />
B1-1 30 4,8<br />
1 B1-2 35 4,4<br />
B1-3 40 4,0<br />
B2-1 30 4,0<br />
2 B2-2 35 3,6<br />
B2-3 40 3,3<br />
B3-1 30 3,6<br />
3 B3-2 35 3,4<br />
B3-3 40 3,0<br />
As diferenças entre os valores de tensão máxima chegaram a 20%. No cálculo<br />
analítico isso não aconteceria, pois a força no tirante, com a qual se calcula a área de<br />
armadura, independe do diâmetro da estaca.<br />
5.2.1.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo<br />
diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares<br />
Esta análise refere-se aos modelos de blocos com mesmas dimensões e<br />
mesmo diâmetro de estaca, mas com dimensões de pilares diferentes. Os grupo de<br />
blocos analisados refere-se aos modelos: (1) B1-1, B2-1 e B3-1, (2) B1-2, B2-2 e B2-3<br />
e (3) B1-3, B2-3 e B3-3.<br />
Os modelos B1-x e B2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro<br />
com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área<br />
retangular mais alongada. A importância desta análise deve-se ao fato de, a maioria<br />
dos métodos de cálculo serem aplicados somente para blocos sobre estacas com<br />
pilares de seção quadrada. Ocorreu que, em um modelo de bloco com mesma<br />
geometria e seção de pilar diferente, as tensões de tração foram distintas, portanto,<br />
não é muito realista a consideração que muitos métodos fazem utilizando seções<br />
quadradas equivalentes para pilares retangulares. Estas constatações podem ser<br />
observadas na tabela 5 que mostra os valores de tensões máximas de tração para<br />
cada grupo de modelos analisados.<br />
Tabela 5 - Tensões máximas de tração.<br />
Grupos Modelos<br />
Seção Pilar Tensão de tração<br />
(cmxcm) máxima (MPa)<br />
B1-1 34,64 x 34,64 4,8<br />
1 B2-1 20,00 x 60,00 4,0<br />
B3-1 20,00 x70,00 3,6<br />
B1-2 34,64 x 34,64 4,4<br />
2 B2-2 20,00 x 60,00 3,6<br />
B3-2 20,00 x70,00 3,4<br />
B1-3 34,64 x 34,64 4,0<br />
3 B2-3 20,00 x 60,00 3,3<br />
B3-3 20,00 x70,00 3,0<br />
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Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
Observou-se que as máximas tensões de tração diminuem conforme se<br />
alonga a seção do pilar. Tomando como exemplo o modelo B2-1, aplicando o Método<br />
das Bielas e considerando uma seção quadrada equivalente, a armadura adotada<br />
seria a mesma que para o modelo B1-1, portanto, talvez seja conservativo adotar esta<br />
estratégia de seções equivalentes para blocos sobre duas estacas.<br />
5.2.2 Blocos sobre três estacas<br />
Para análise de bloco sobre três estacas adotaram-se modelos com estacas<br />
de diâmetros diferentes, e pilares de seção retangular e seção quadrada equivalentes,<br />
ou seja, os modelos C1-1, C1-2 e C1-3 têm pilares de seção quadrada; os modelos<br />
C2-1 e C2-3 pilares de seção retangular, com a mesma área que os anteriores, e, os<br />
modelos C3-1 e C3-3 a mesma seção retangular que os anteriores, mas agora no<br />
outro sentido. A intenção era observar os campos de tensão nestes modelos e notar<br />
as diferenças que existem nestes casos.<br />
Foram analisadas vistas e cortes pré-determinados para os modelos de blocos<br />
sobre três estacas, para melhor visualização dos campos de tensão, conforme a<br />
figura 8.<br />
B<br />
C<br />
A<br />
A<br />
PLANTA<br />
C<br />
B<br />
Vista1<br />
VISTA1<br />
Vista de Baixo<br />
Figura 8 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre três estacas.<br />
5.2.2.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose<br />
o diâmetro das estacas<br />
Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes diâmetros de<br />
estacas, dividindo-se os modelos em três grupos distintos: (1) C1-1, C2-1 e C3-1, (2)<br />
C1-2 e C2-3 e (3) C1-3 e C3-3. A figura 9 mostra os campos de tensão dos modelos<br />
do grupo (1).<br />
Analisando os campos de tensão para os modelos do grupo (1) constatou-se<br />
que a distribuição das forças de compressão é bem coerente com o modelo de Blévot<br />
(1967), mas as regiões nodais são bem distintas. Como era esperado, com o aumento<br />
do diâmetro das estacas, a tensão de compressão ao longo da biela diminuiu, isto se<br />
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Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
63<br />
justifica afinal com o aumento da área da biela ocorre uma diminuição de tensão.<br />
Estas mesmas constatações foram feitas para os grupos (2) e (3).<br />
CORTE AA<br />
C1-1(φ est = 30 cm)<br />
CORTE CC<br />
C1-2(φ est = 35 cm)<br />
C1-3(φ est = 40 cm)<br />
Figura 9 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas.<br />
Por meio da figura 10 pode se observar as formações dos campos de tensão<br />
de tração (direção principal) para os modelos de blocos sobre três estacas.<br />
CORTE AA<br />
C1-1(φ est = 30 cm)<br />
CORTE CC<br />
C1-2(φ est = 35 cm)<br />
C1-3(φ est = 40 cm)<br />
Figura 10 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas.<br />
Com relação às tensões de tração máximas para os modelos com pilares<br />
retangulares (grupo 1) constatou-se que essas aumentaram conforme se diminuíram<br />
os diâmetros das estacas, as diferenças entre os valores máximos, de forma geral,<br />
não foram significativas. Estas observações também se aplicam ao grupo 3; para o<br />
grupo 2, as tensões diminuíram conforme se diminuiu o diâmetro das estacas. Essas<br />
constatações têm sua validade, mas é importante ressaltar que os grupos de modelos<br />
têm seções diferentes de pilar e, essa variação na seção, tem grande importância na<br />
formação dos campos de tensão conforme será visto no item seguinte.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
64<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
5.2.2.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro<br />
das estacas variando-se a dimensão de pilares<br />
Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes seções de pilares,<br />
dividindo-se os modelos em dois grupos distintos: (1) C1-1, C2-1, C3-1 e (2) C1-3, C2-<br />
3, C3-3.<br />
A figura 11 apresenta os campos de tensões de compressão dos modelos do<br />
grupo 1. É mostrada uma vista de cima (face superior) dos modelos onde pode se<br />
observar as diferentes formas de distribuição de um modelo para o outro.<br />
C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)<br />
Figura 11 - Campos de tensão de compressão – blocos sobre três estacas (vista de cima).<br />
A figura 12 apresenta os campos de tensões de tração dos modelos do<br />
grupo 1. É mostrada uma vista da parte inferior dos modelos, onde pode se observar<br />
os contornos dos campos de tensão de tração para os modelos com diferentes<br />
seções de pilares.<br />
C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)<br />
Figura 12 - Campos de tensão de tração – blocos sobre três estacas (vista de baixo).<br />
Com relação às tensões de tração os valores máximos para todos os modelos<br />
estudados ocorreram aproximadamente no centro do bloco, mas sua formação, como<br />
era esperado, diferiu muito de acordo com as mudanças nas seções dos pilares.<br />
5.2.3 Blocos sobre quatro estacas<br />
Para melhor visualização dos campos de tensão foram analisados vistas e<br />
cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre quatro estacas, a figura 13<br />
ilustra quais foram as vistas e cortes feitos nos modelos.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
65<br />
Figura 13 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre quatro estacas.<br />
5.2.3.1 Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose<br />
o diâmetro das estacas<br />
Neste item foi feita uma análise dos campos de tensão de compressão (tensão<br />
principal na direção 3) para modelos de blocos sobre quatro estacas e comparada<br />
com o modelo analítico que utiliza analogia de treliça. Além disso, observaram-se as<br />
divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos<br />
valores de tensão máxima de tração (tensão principal na direção 1), quando se variam<br />
dimensões de estacas.<br />
Para esta análise utilizaram-se apenas 6 dos 7 modelos dividindo-os em dois<br />
grupos: (1) D1-1, D1-2 e D1-3 e (2) D2-1, D2-2 e D2-3.<br />
Observando-se os elementos mostrados no corte AA obtiveram-se as<br />
configurações de campos de tensão de compressão mostrados na figura 14, as<br />
diferenças nas formações das bielas, devem-se às diferentes geometrias dos pilares.<br />
D1-1 (φ est = 30 cm) D1-2 (φ est = 35 cm) D1-3 (φ est = 40 cm)<br />
D2-1 (φ est = 30 cm) D2-2 (φ est = 35 cm) D2-3 (φ est = 40 cm)<br />
Figura 14 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 4 estacas<br />
(corte AA).<br />
Da mesma forma que para os blocos sobre duas estacas, constatou-se que os<br />
campos de tensão de compressão nas regiões nodais formam-se além da seção do<br />
pilar e estacas, conforme é considerado no Modelo de Blévot (1967). Observou-se<br />
ainda que, com o aumento do diâmetro das estacas, as intensidades das tensões de<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
66<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
compressão diminuíram, isso era esperado e se justifica, pois há uma dissipação<br />
maior das tensões de compressão, portanto, maiores intensidades.<br />
Com relação às tensões de tração, houve diferenças nos valores de tensões<br />
máximas de tração conforme aumentaram-se os diâmetros das estacas, mas não<br />
foram significativas como nos modelos de blocos sobre duas estacas. Os campos de<br />
tensão de tração apresentaram aspecto semelhante em todos os modelos, como é<br />
mostrado na figura 15.<br />
Vista de Baixo Vista 1 Corte AA<br />
Figura 15 - Campos de tensão de tração no modelo D1-1.<br />
5.2.3.2 Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro<br />
das estacas variando-se a dimensão de pilares<br />
Os modelos D1-x e D2-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro<br />
com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área<br />
retangular mais alongada.<br />
Observando-se a figura 14, pode-se perceber que, conforme mudou-se a<br />
geometria do pilar, houve diferença na distribuição de tensões de compressão.<br />
Ocorreram diferenças significativas entre os modelos de blocos com pilares<br />
quadrados e retangulares. A intensidade da tensão de compressão ao longo da biela<br />
foi maior nos modelos com pilares de seção quadrada e diminuiu conforme alongouse<br />
a seção do pilar.<br />
Comparando-se os modelos de blocos sobre quatro estacas com pilar<br />
retangular de área 20cm x 80cm e com pilar quadrado de área equivalente 40cm x<br />
40cm obtiveram-se valores máximos de tensões de tração muito próximos, o que não<br />
ocorreu nos modelos de blocos sobre duas estacas. Neste caso, seria possível a<br />
utilização de seções quadradas de área equivalente para blocos com pilares de seção<br />
retangular. Logicamente para o modelo B3-1, com seção um pouco mais alongada<br />
(20cm x 90cm), os valores foram um pouco menores, como era esperado. Estas<br />
constatações podem ser observadas na tabela 6, que mostra os valores de tensões<br />
máximas de tração para o grupo de modelos analisados.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
67<br />
Tabela 6 - Tensões máximas de tração.<br />
Grupos Modelos<br />
Seção Pilar Tensão de tração<br />
(cmxcm) máxima (MPa)<br />
D1-1 40 x 40 1,898<br />
1 D2-1 20 x 80 1,890<br />
D3-1 20 x 90 1,540<br />
5.2.4 Blocos sobre cinco estacas<br />
Para os blocos sobre cinco estacas também foram feitas análises comparando<br />
modelos com diferentes diâmetros de estacas e seções de pilares, mas, a<br />
constatação mais importante foi na análise das reações das estacas em modelos com<br />
diferentes alturas. Ocorreram diferenças significativas na comparação dos modelos<br />
numéricos com o modelo analítico. Na adoção de modelos com diferentes alturas<br />
também pode-se comprovar as diferenças nas formações dos campos de tensão de<br />
compressão mostradas na figura 16, que ilustra um corte passando no centro dos<br />
modelos.<br />
E1-1h80<br />
θ=45º<br />
E1-1h95<br />
θ=50º<br />
E1-1h110<br />
θ=55º<br />
Figura 16 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 5 estacas.<br />
Os modelos foram adotados conforme o ângulo de inclinação das bielas,<br />
modelo E1-1h80 possui ângulo de inclinação de 45º, E1-1h95 de 50º e E1-1h110 de<br />
55º. Estes ângulos estão contidos no intervalo sugerido pelo Método das Bielas (45º a<br />
55º)<br />
A figura 16 mostra que, quando o ângulo de inclinação das bielas está em seu<br />
limite inferior (45º), uma parcela maior de tensões de compressão dirigem-se para a<br />
estaca central. Conforme aumenta-se este ângulo, as tensões são melhores<br />
distribuídas para as demais estacas. Esta constatação pode ser melhor conferida<br />
quando se compara as reações obtidas em cada estaca.<br />
Em cada um dos modelos de blocos sobre cinco estacas foi aplicada uma<br />
força centrada de 1900 kN. Portanto, a reação em cada estaca, considerada no<br />
modelo analítico, é igual a 380 kN, já que, para modelos de blocos com ação de força<br />
centrada a reação em cada estaca é considerada o valor da força aplicada dividido<br />
pelo número de estacas.<br />
A figura 17 mostra como foi considerada a numeração das estacas no modelo.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
68<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
Figura 17 - Numeração das estacas nos modelos de blocos sobre cinco estacas.<br />
Nos modelos numéricos a reação obtida em cada estaca divergiu dos modelos<br />
analíticos, como é mostrado na tabela 7.<br />
Tabela 7 - Reações nas estacas dos modelos numéricos de blocos sobre três estacas.<br />
Modelos θº<br />
Reação nas estacas (kN)<br />
1 2 3 4 5<br />
E1-1h80 45 360,01 360,01 459,96 360,01 360,01<br />
E1-1h95 50 367,41 367,41 430,36 367,41 367,41<br />
E1-1h110 55 371,84 371,84 412,64 371,84 371,84<br />
E1-3h80 45 344,10 344,10 523,60 344,10 344,10<br />
E2-1h80 45 361,66 361,66 453,36 361,66 361,66<br />
E2-3h80 45 347,09 347,09 511,64 347,09 347,09<br />
Sendo: θ = ângulo de inclinação das bielas<br />
Conforme a tabela 7 nos modelos numéricos, a reação na estaca central<br />
(estaca 3) foi muito maior do que nas outras estacas. Notou-se, analisando os<br />
modelos E1-1h80, E1-1h95 e E1-1h110 que, conforme aumenta-se a altura do bloco,<br />
o valor da reação na estaca 3 é menor, ou seja, esse modelo de bloco sobre cinco<br />
estacas teria que ser muito mais rígido para que a distribuição de força normal fosse<br />
coerente com o modelo analítico. O modelo E1-1h110 tem o ângulo de inclinação das<br />
bielas de 55º, ou seja, o valor máximo que é permitido pelo Método de Blévot (1967)<br />
para que se garanta que a transmissão de forças se dê pelo Modelo de Bielas e<br />
Tirantes.<br />
Mediante as constatações decidiu-se pela modelagem de mais um modelo de<br />
blocos sobre cinco estacas que foi nomeado E1-1h150 (d = 140 cm) e que teve a<br />
mesma geometria do modelo E1-1h80, mas, neste caso, a altura adotada foi de<br />
150cm. Para essa altura adotada no novo modelo, o ângulo de inclinação das bielas é<br />
de aproximadamente 63º, ou seja, bem maior que o intervalo permitido. A tabela a<br />
seguir mostra as reações encontradas para estacas do bloco E1-1h150.<br />
As reações nas estacas obtidas no modelo E1-1h150 foram valores bem mais<br />
próximos do modelo numérico, mas ainda assim a estaca 3 (central) apresentou maior<br />
valor que as demais.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
69<br />
Tabela 8 - Reações nas estacas do modelo E1-1h150.<br />
Reação nas estacas (kN)<br />
Modelo θº<br />
1 2 3 4 5<br />
E1-1h150 63 377,23 377,23 391,08 377,23 377,23<br />
Após essas verificações pode-se constatar que esse modelo de bloco sobre<br />
cinco estacas não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a<br />
inclinação das bielas.<br />
6 MODELAGEM UTILIZANDO BIELAS E TIRANTES<br />
É fato que para a definição de um modelo de Bielas e Tirantes deve-se seguir<br />
como orientação inicial os contornos e as trajetórias elásticas de tensões na peça que<br />
são obtidas inicialmente empregando-se um programa de análise em Elementos<br />
Finitos Linear.<br />
Longo (2000) utilizou modelos numéricos obtidos do Método dos Elementos<br />
Finitos para obtenção de modelos de Bielas e Tirantes, sendo que os modelos foram<br />
desenhados na própria tela do computador sobre os desenhos de trajetórias de<br />
tensão.<br />
Da mesma maneira que Longo (2000), com os modelos obtidos neste trabalho<br />
procurou-se sugerir um modelo mais refinado do que os analíticos existentes, mas<br />
não se pode generalizar, já que, o modelo adotado é função da geometria e das<br />
ações atuantes em seu contorno; estruturas com mesmas ações e geometrias<br />
diferentes são modeladas diferentemente. Portanto, nos modelos sugeridos não se<br />
definiu, por exemplo, espessura das bielas já que isso dependeria da seção de<br />
estacas e pilares adotados.<br />
Neste item não foram analisados os modelos de blocos sobre cinco estacas, já<br />
que, concluiu-se que este tipo de disposição de estacas não é adequada.<br />
6.1.1 Blocos sobre duas estacas<br />
A figura 18 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1<br />
(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos.<br />
Tensão Principal 1<br />
(tração)<br />
Tensão Principal 2<br />
(compressão)<br />
Figura 18 -Trajetória de Tensões Principais – Modelo B1-1.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
70<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
Nos modelos adotados para blocos sobre duas estacas, apesar das diferentes<br />
seções adotadas para estacas e pilares a trajetórias de tensão é semelhante,<br />
divergindo obviamente nas regiões nodais. A figura 19 mostra as trajetórias de<br />
tensões em todas as direções obtidas para alguns dos modelos.<br />
B1-1 B2-1 B3-1<br />
Figura 19 -Trajetórias de tensões principais.<br />
Fazendo uma análise conjunta dos campos de tensão e das trajetórias de<br />
tensões obtidas conclui-se, que o modelo sugerido por Adebar et al.(1990) mostrado<br />
na figura 20, seria bem coerente com os modelos estudados e estes para obteria-se a<br />
treliça mostrada na figura 21. O modelo refinado sugerido pelo autor sugere um tirante<br />
onde os campos de tensão de compressão se expandem e são produzidas tensões<br />
de tração. Essa constatação pode ser feita para os modelos estudados observando-se<br />
as trajetórias de tensão principal na direção 1.<br />
Figura 20 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes<br />
sugerido por Adebar et al. (1990).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
71<br />
Proposta de Modelo de Bielas e Tirantes para<br />
Trajetórias de tensões elástico-lineares<br />
blocos sobre duas estacas<br />
Figura 21 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes para<br />
blocos sobre duas estacas.<br />
Para a treliça apresentada é necessária a verificação das regiões nodais,<br />
conforme as recomendações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), para isto, é<br />
preciso definir as larguras das bielas que chegam nos nós. O arranjo da armadura fica<br />
definido pelo tirante localizado na parte inferior do modelo. O tirante inclinado pode<br />
ser considerado de concreto, e deve ser feita a verificação da resistência à tração do<br />
mesmo.<br />
6.1.2 Blocos sobre três estacas<br />
A figura 22 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1<br />
(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre três estacas.<br />
CORTE AA<br />
CORTE CC<br />
Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão)<br />
Figura 22 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo C1-1.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
72<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
De forma geral, a distribuição de tensão de compressão (formação das bielas)<br />
foi semelhante para todos os modelos podendo-se adotar uma solução semelhante.<br />
As trajetórias de tensões de tração, para os blocos sobre duas estacas, foram mais<br />
intensas na parte superior do mesmo, apresentando tensões inclinadas ao longo da<br />
altura. Portanto, para a adoção de um modelo de bielas e tirantes poderia utilizar a<br />
mesma treliça, utilizada para blocos sobre duas estacas mudando, logicamente, o<br />
posicionamento do tirante inferior. A forma das bielas e o tirante inclinado no meio<br />
seriam iguais aos sugerido na figura 21.<br />
A posição dos tirantes na face inferior dos blocos deve ser estudada para cada<br />
caso. É mostrada na figura 23 uma vista de baixo das trajetórias de tensões principais<br />
de tração.<br />
C1-1 (36,74x36x74) C2-1 (18x75) C3-1 (75x18)<br />
C1-3 (36,74x36x74) C2-3 (18x75) C3-3 (75x18)<br />
Figura 23 - Trajetória de Tensões Principais Direção 1 (tração) – Vista Inferior.<br />
É possível imaginar como deve ser a disposição das armaduras dos tirantes<br />
com as trajetórias de tensão mostradas na figura 23. Para todos os modelos com a<br />
melhor disposição de armadura encontrada que atenderia a distribuição das trajetórias<br />
de tensões seria segundo os lados dos blocos (ligando as estacas). Havia dúvidas se,<br />
no caso de pilares alongados, a disposição de armadura seria a mesma que para<br />
pilares quadrados, mas concluiu-se que essa disposição pode atender aos dois<br />
modelos. Talvez, em conjunto com uma armadura de distribuição, os modelos<br />
trabalhariam melhor já que, as tensões máximas ocorrem no centro do bloco, essa<br />
armadura distribuiria melhor para a armadura principal disposta segundo os lados. O<br />
uso desse tipo de distribuição justifica-se também aos ensaios experimentais feitos<br />
por Miguel (2000) que utilizou, em um de seus modelos, uma disposição de armadura<br />
segundo os lados do bloco, somadas a uma armadura em malha e, constatou que o<br />
uso de barras distribuídas diminui as fissuras na base do bloco.<br />
6.1.3 Blocos sobre quatro estacas<br />
A figura 24 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1<br />
(tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre quatro<br />
estacas.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
73<br />
Tensão Principal 1 (tração)<br />
Tensão Principal 3 (compressão)<br />
Figura 24 - Trajetória de Tensões Principais – Modelo D1-1 (corte AA).<br />
Como era esperado, a trajetória de tensões principais nos modelos de blocos<br />
sobre quatro estacas foi semelhante para todos os modelos. Para o modelo de bielas<br />
e tirantes pode se adotar uma treliça semelhante a que foi adotada pra blocos sobre<br />
duas estacas, mas equilibrada, neste caso para quatro estacas.<br />
As tensões principais de tração ocorreram no centro do bloco. A figura 25<br />
mostra a configuração das trajetórias de tensões principais na direção 1 (tração), vista<br />
de baixo, para alguns modelos adotados.<br />
D1-1 D2-1 D3-1<br />
Figura 25 - Trajetória de tensões de tração – Vista Inferior.<br />
Com as trajetórias de tensões mostradas na figura 25 é possível a sugestão de<br />
uma disposição adequada para as armaduras dos tirantes inferiores. Para todos os<br />
modelos adotados notou-se que uma distribuição bem coerente seria armar o bloco<br />
segundo os lados (unindo as estacas), como pode ser visto na figura 26.<br />
Figura 26 - Trajetórias de tensões de tração e sugestão para disposição de armadura dos<br />
tirantes para blocos sobre quatro estacas.<br />
Da mesma maneira que para blocos sobre três estacas é interessante a<br />
adoção de uma armadura de distribuição em conjunto com a armadura principal<br />
distribuída segundo os lados.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
74<br />
Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo<br />
A sugestão desse tipo de disposição de armadura atende aos requisitos<br />
propostos na NBR 6118:2003, que sugere que a armadura principal dos blocos deva<br />
ser disposta essencialmente em faixas definidas pelas estacas em proporção de<br />
equilíbrio com as bielas.<br />
7 CONCLUSÃO<br />
A importância deste trabalho foi mostrar que os métodos utilizados para<br />
projeto de blocos sobre estacas apresentam divergências entre si. Esta constatação<br />
pôde ser feita em virtude dos diferentes resultados encontrados no cálculo das áreas<br />
de barras de armadura e para as verificações de tensões de compressão.<br />
Os modelos numéricos apresentaram os resultados esperados demonstrando<br />
a importância em adotar-se um modelo analítico mais refinado que leve em<br />
consideração parâmetros como diâmetro de estacas e seções de pilares. Além disso,<br />
deve-se adotar uma verificação de compressão nas regiões nodais, próximos ao pilar<br />
e próximas às estacas, semelhantes aos modelos de Bielas e Tirantes.<br />
Ficou comprovado que a adoção de uma análise numérica simplificada,<br />
considerando comportamento elástico linear, era necessária, já que existem poucos<br />
trabalhos tratando desse assunto, e, além disso, é o primeiro passo para adoção de<br />
um modelo de Bielas e Tirantes.<br />
Constatou-se que a treliça adotada pelo Método das Bielas (Blévot, 1967) é<br />
um modelo coerente para projeto de blocos sobre estacas e é o mais simples. Por<br />
meio das trajetórias de tensões e com os contornos de tensão obtidos para cada<br />
modelo foi possível posicionar bielas e tirantes e sugerir um modelo mais refinado,<br />
além disso, foi possível a verificação da influência do diâmetro das estacas e das<br />
seções de pilares no projeto de blocos sobre estacas e pôde-se sugerir arranjos de<br />
armadura.<br />
Com relação ao comportamento dos modelos pôde-se verificar que o modelo<br />
de Biela e Tirante sugerido não é nenhuma novidade, já que outros autores já tinham<br />
constatado em trabalhos experimentais que as bielas de compressão romperam por<br />
esmagamento do concreto; acreditando-se que a ruptura do tirante diagonal de<br />
concreto era o mecanismo crítico envolvido nas ruínas por cisalhamento dos blocos<br />
ensaiados.<br />
Por isso, entende-se a importância em adotar-se a treliça sugerida, fazendo a<br />
verificação do tirante diagonal, se não for possível a adoção de tirante de concreto<br />
(fazendo-se a verificação à tração do concreto) deve-se adotar uma armadura<br />
diagonal.<br />
Outro ponto importante é a geometria da treliça que deve ser diferente<br />
conforme a seção do pilar; a maior parte dos métodos analíticos considera para<br />
blocos com pilares de seção retangular, uma seção quadrada equivalente, e essa<br />
pode ser uma solução conservativa, em alguns casos, portanto, deve-se estudar caso<br />
a caso. A seção da estaca também deve ser considerada, já que, nos modelos<br />
analisados, quando se aumenta a seção, as tensões nas bielas diminuem, e,<br />
conseqüentemente, diminuem as tensões nos tirantes.<br />
Com relação aos blocos sobre cinco estacas pôde-se constatar que, na<br />
adoção de modelos com estacas distribuídas segundo os vértices de um quadrado e<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à...<br />
75<br />
uma estaca no centro geométrico, o comportamento não é exatamente como<br />
considerado na prática. Considerando fatores como a fissuração, os resultados<br />
poderiam ser ainda piores, ou seja, a distribuição de tensão seria ainda mais distinta.<br />
Com as análises efetuadas foi possível verificar que o modelo de bloco sobre<br />
cinco estacas, adotado neste trabalho, não é confiável, já que teria que atingir ângulos<br />
maiores que 63º para a inclinação das bielas. Aumentando muito a altura ficaria<br />
descaracterizado o tratamento desse modelo como bloco sobre estacas, devendo-se<br />
talvez, ser tratado como viga-parede. Além disso, não é vantagem econômica utilizar<br />
um bloco de fundação com uma altura muito elevada. Sendo assim, o mais correto é<br />
adotar outra disposição de estacas, quando houver a necessidade de utilizar blocos<br />
sobre cinco estacas, como por exemplo, blocos com estacas dispostas nos vértices<br />
de um pentágono.<br />
8 AGRADECIMENTO<br />
Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta<br />
pesquisa não poderia ter sido realizada.<br />
9 REFERÊNCIAS<br />
ADEBAR, P.; KUCHMA, D.; COLLINS, M. P. (1990). Strut-and-tie models for design of<br />
pile caps: an experimental study. ACI Structural Journal, v.87, p. 81-92, Jan./Feb.<br />
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 47-76, 2007
ISSN 1809-5860<br />
ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS DE<br />
CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA<br />
NÃO-LINEARIDADE FÍSICA – MODELAGEM E<br />
METODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJETOS<br />
Richard Sarzi Oliveira 1 & Márcio Roberto Silva Corrêa 2<br />
Resumo<br />
O presente trabalho objetiva colaborar na melhoria dos procedimentos destinados à<br />
aplicação dos modelos não-lineares ao dimensionamento estrutural. Os estudos<br />
desenvolvidos estão didaticamente divididos em duas áreas do conhecimento. Na<br />
primeira delas, dedicada às leis constitutivas que representam os materiais aço e<br />
concreto, são estudadas as possíveis abordagens da não-linearidade física, e<br />
desenvolvidos modelos uni e biaxiais destinados à análise do Estado Limite Último,<br />
bem como dos Estados Limites de Serviço de abertura de fissuras, e de deformação ao<br />
longo do tempo. Na segunda parte, voltada ao dimensionamento de elementos de<br />
pavimentos de edifícios, são apresentadas e discutidas as metodologias atualmente<br />
empregadas. O método semi-probabilístico é analisado quanto à sua aplicabilidade e,<br />
ao final, uma proposta original é apresentada. Em seguida, o método do coeficiente<br />
global de segurança é apresentado com maior ênfase, destacando-se os seus pontos<br />
favoráveis e desfavoráveis. São apresentados estudos originais envolvendo o<br />
comportamento do coeficiente global de segurança sob diversas solicitações de projeto.<br />
Palavras-chave: concreto armado; não-linearidade física; elementos finitos.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
O meio científico tem desenvolvido, no decorrer dos últimos tempos,<br />
importantes ferramentas para o processamento da análise não-linear de elementos<br />
estruturais de concreto armado. Em contrapartida, a exploração dessas teorias no campo<br />
prático, notadamente no dimensionamento de estruturas correntes (como, por exemplo,<br />
um pavimento de edifício), encontra-se pouco explorada. Da mesma forma os códigos<br />
modelo, responsáveis pela normalização do cálculo estrutural, não dispõem ainda de<br />
procedimentos seguros que auxiliem o dimensionamento considerando-se o<br />
comportamento não-linear dos materiais.<br />
1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, rsarzi@sc.usp.br<br />
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, mcorrea@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
78<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
2 ASPECTOS SOBRE A FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS<br />
2.1 Elemento finito de barra<br />
Neste trabalho são empregados os elementos finitos de barra de Euler com seis<br />
graus de liberdade (gdl) por nó na representação dos elementos estruturais lineares de<br />
pórtico tridimensional, como mostrado na Figura 2.1.<br />
Figura 2.1 - Elemento de barra de pórtico tridimensional - coordenadas locais.<br />
onde: u x , u y , u z - translações segundo os eixos x, y e z, respectivamente;<br />
θ x , θ y , θ z - rotações em torno dos eixos x, y e z respectivamente;<br />
x - coordenada genérica no domínio do elemento;<br />
l i - comprimento do elemento finito.<br />
Os elementos são dotados de campos de deslocamentos transversais (u y e u z )<br />
cúbicos, e longitudinais (u x ) lineares em seu domínio:<br />
ux( x) = a1 + a2 x<br />
(2.1)<br />
uy x b b x 2<br />
b x 3<br />
1 2 3 b4<br />
x<br />
(2.2)<br />
uz ( x ) = c1 + c2x + c3x + c4<br />
x<br />
2<br />
3<br />
(2.3)<br />
As rotações θ x são descritas através de um campo linear no domínio do<br />
elemento, e as demais são dependentes das derivadas dos deslocamentos transversais:<br />
θ x (x) = d 1 + d 2 x (2.4)<br />
θ y (x) = c 2 + 2.c 3 x + 3.c 4 x 2 (2.5)<br />
θ z (x) = b 2 + 2.b 3 x + 3.b 4 x 2 (2.6)<br />
2.2 Modelos aplicados à análise de vigas<br />
Os modelos descritos a seguir são ambos aplicáveis às vigas usuais de<br />
pavimento, ou seja, vigas de seção transversal retangular, e tê (T).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
79<br />
2.2.1 Seção transversal não estratificada<br />
Esse modelo aborda o comportamento mecânico do elemento segundo relações<br />
entre o esforço interno de momento fletor e a curvatura. A matriz de rigidez [k i ], e os<br />
vetores de forças nodais equivalentes f e de forças internas f , são:<br />
ext<br />
i<br />
T<br />
T<br />
[ i ] = ∫ [ Bi<br />
] [ Ci<br />
][ Bi<br />
] dV = ∫ [ Bi<br />
] E.I[ Bi<br />
].<br />
V<br />
l i<br />
k dx<br />
(2.7)<br />
⎛<br />
ext ext<br />
{ } { } ⎜<br />
T<br />
T<br />
f + [ N ] { b } dV + [ N ] { p }<br />
0<br />
⎞<br />
f ⎟<br />
i = concentrada,i<br />
⎜∫<br />
i i ∫ i i dS<br />
(2.8)<br />
⎝ V<br />
S<br />
⎠<br />
l i<br />
int<br />
T<br />
T<br />
{ } = ([ B ] { σ }) [ B ] { M }.<br />
i<br />
∫ i i = ∫<br />
f dx<br />
(2.9)<br />
V<br />
0<br />
i<br />
onde: E - módulo de deformação longitudinal;<br />
I - momento de inércia;<br />
{M i } - campo de esforço interno de momento fletor do elemento i.<br />
i<br />
int<br />
i<br />
2.2.2 Seção transversal estratificada<br />
Permite a aplicação de modelos constitutivos individualizados à representação<br />
dos materiais e das sua inter-relações de interação (Figura 2.2).<br />
Figura 2.2 - Elemento de viga estratificado; diagrama de deformações normais.<br />
A integral de volume que origina a matriz de rigidez é desmembrada em uma<br />
integral no comprimento sobre um somatório discreto da contribuição de cada uma das<br />
camadas na rigidez da seção transversal. As propriedades físicas e mecânicas das<br />
camadas são constantes ao longo da largura do elemento.<br />
li<br />
m<br />
T<br />
T T j<br />
[ k ] [ B i ] [ C ][ B ] dV = ([ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ]) b. dx<br />
i<br />
∫<br />
V<br />
i<br />
i<br />
∫ ∑<br />
= (2.10)<br />
0<br />
onde: b = b w , b f - largura da alma e da mesa da viga, respectivamente;<br />
j<br />
{ Zi } = { 1 z 0 0}<br />
;<br />
i<br />
j=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
80<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
Os vetores são expressos como:<br />
l i<br />
⎛<br />
m<br />
int<br />
T<br />
{ } [ ] { } ⎜<br />
T T j<br />
= B σ dV = [ B ] { Z } { σ }<br />
∫ ∫ ∑ ⎟ ⎞<br />
f i<br />
i i<br />
⎜<br />
i i i<br />
dx<br />
(2.11)<br />
V<br />
0 ⎝<br />
j=<br />
1 ⎠<br />
l i<br />
ext ext<br />
T<br />
{ } = { f } + b. [ N ] .{ p }.<br />
i<br />
conc,i<br />
∫<br />
f dx<br />
(2.12)<br />
0<br />
i<br />
i<br />
2.3 Modelos aplicados à análise de pilares<br />
A modelagem dos pilares submetidos à flexão oblíqua composta pode se dar<br />
através de modelos não-estratificados, segundo diagramas de interação momentonormal-curvatura<br />
(EL-METWALLY; EL-SHAHHAT; CHEN (1989)). Outra<br />
possibilidade, implementada neste trabalho, emprega a estratificação simultânea da<br />
seção transversal segundo suas direções principais (ASSAN (1990)).<br />
2.3.1 Seção transversal filamentada<br />
A Figura 2.3 ilustra uma seção transversal filamentada típica.<br />
Figura 2.3 - Elemento de pilar filamentado; diagrama de tensões normais.<br />
Matriz de rigidez de um filamento de concreto<br />
T<br />
T T j,k<br />
[ ] [ B i ] [ C ][ B ] dV [ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ]<br />
i<br />
= ∫ i i = ∫<br />
V<br />
l<br />
i<br />
k dx<br />
(2.13)<br />
onde: { Z } { z jk ,<br />
i<br />
i<br />
y jk ,<br />
= 1 0<br />
i }<br />
jk ,<br />
y i<br />
jk ,<br />
, z i<br />
;<br />
0<br />
- coordenadas y e z do ponto médio do filamento j,k.<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
81<br />
Matriz de rigidez de um filamento de aço<br />
li<br />
fs<br />
T<br />
T s<br />
[ ] [ B i ] [ C ][ B ] dV [ B i ] [ C ][ B ]<br />
k dx<br />
(2.14)<br />
i<br />
= ∫ i i = ∫<br />
V<br />
⎡ 1<br />
l<br />
i<br />
2<br />
⎢<br />
l l<br />
s l l<br />
onde: [ ] ⎢z<br />
( )<br />
=<br />
i z<br />
E A<br />
i<br />
0 yiz<br />
i<br />
C i i i<br />
.<br />
⎢ 0 0 0 0<br />
⎢<br />
l l l<br />
⎢⎣<br />
yi<br />
yiz<br />
i 0<br />
z<br />
0<br />
0<br />
l<br />
i<br />
l l<br />
y<br />
⎤<br />
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ l 2<br />
yi<br />
⎦<br />
Do mesmo modo, escreve-se o vetor de forças internas do elemento:<br />
li m j m<br />
l<br />
k<br />
i<br />
ms<br />
int<br />
T<br />
T j,k T<br />
j,k<br />
T s l<br />
{ } = [ B ] { σ } dV = [ B ] { Z } { σ } + [ B ] [ C ] { σ }<br />
i<br />
∫<br />
V<br />
i<br />
i<br />
∫<br />
0<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
∑∑<br />
f (2.15)<br />
j= 1 k=<br />
1<br />
i<br />
∫<br />
0<br />
i<br />
i<br />
∑<br />
l=<br />
1<br />
i<br />
2.4 Elemento finito de placa delgada T3AF<br />
Neste trabalho são empregados os elementos T3AF (Figura 2.4) de formulação<br />
livre, anteriormente implementados por CORRÊA (1991).<br />
Figura 2.4 - Elementos triangular T3AF, e quadrilateral - coordenadas locais.<br />
O campo dos deslocamentos transversais u z é cúbico, e composto por um<br />
conjunto de modos básicos aliado a modos superiores.<br />
[ ]{ } [ ]{ }<br />
u = N α + N α (2.16)<br />
z rc rc h h<br />
onde: u z - campo dos deslocamentos transversais no domínio do elemento;<br />
[ N rc ] = [ ξ1 ξ2 ξ3 ξ1ξ2 ξ2ξ3 ξ3ξ1 ] - polinômio <strong>completo</strong> até o grau que<br />
corresponde aos modos rígidos e de deformação constante;<br />
N h = ξξ 1 2 ξ1 −ξ2 ξ2ξ3 ξ2 −ξ3 ξ3ξ1 ξ3 −ξ1 - modos superiores;<br />
[ ]<br />
[ ] ( ) ( ) ( )<br />
{ αrc} ,{ αh}<br />
- coeficientes associados;<br />
ξ i - coordenadas homogêneas de área.<br />
2.4.1 Seção transversal não estratificada<br />
O modelo de momento fletor por curvatura aplicado ao elemento de placa<br />
apresenta as mesmas características já comentadas no item referente à barra.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
82<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
A matriz de rigidez generalizada [ k α ,i ] de um elemento finito i, consiste em<br />
T<br />
utilizarem-se modos básicos <strong>completo</strong>s ([ k α rc,i<br />
] = ∫ [ Brc<br />
] [ C][ Brc<br />
]dV ) em conjunto com<br />
modos superiores ([ k α h,i<br />
] = ∫ [ Bh<br />
] [ C][ Bh<br />
]dV<br />
[ ]<br />
V<br />
T<br />
[ k ] [ ] ⎤<br />
αrc,i<br />
PrcG<br />
h<br />
T<br />
⎥<br />
[ G P ] [ k ] ⎥<br />
T<br />
V<br />
) linearmente independentes:<br />
⎡<br />
k α,i<br />
= ⎢<br />
(2.17)<br />
⎢⎣<br />
h rc αh,i<br />
⎦<br />
onde: [ h T<br />
] [<br />
rc<br />
rc ] [ ][ h ]<br />
T<br />
G P = ∫ B C B dV - submatriz de rigidez que acopla o modo básico ao<br />
V<br />
[P rc ] = [ kui][ Grc]<br />
, .<br />
superior. Para o elemento T3AF, essa matriz apresenta<br />
coeficientes nulos devido à imposição da ortogonalidade em<br />
força (CORRÊA (1991));<br />
2.4.2 Seção transversal estratificada<br />
A Figura 2.5 ilustra um elemento genérico de concreto armado estratificado.<br />
Figura 2.5 - Elemento de placa estratificado; diagrama de tensões normais.<br />
Os conceitos apresentados neste item constituem uma pequena introdução ao<br />
assunto. Maiores esclarecimentos sobre as formulações apresentadas podem ser<br />
encontrados em CORRÊA (1991).<br />
3 TÓPICOS SOBRE AS IMPLEMENTAÇÕES<br />
Neste item são apresentados os modelos efetivamente implementados, bem<br />
como os aspectos relevantes dessas implementações no sistema computacional para<br />
ANáliSe de Estruturas Reticuladas (ANSER).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
83<br />
3.1 Modelos para as vigas<br />
Para a análise das vigas, foram implementados os modelos não-estratificados<br />
propostos pelo CEB-FIP MC90, e por CORRÊA (1991), além do modelo estratificado.<br />
3.2 Modelos para os pilares<br />
Para a análise dos pilares utiliza-se a seção transversal filamentada. Além dos<br />
modelos constitutivos para o aço e o concreto (Figura 3.1), são também incorporados os<br />
modelos de aderência, e os efeitos do tempo sobre o comportamento.<br />
Figura 3.1 - Modelos constitutivos uniaxiais para o concreto e o aço.<br />
onde: f y - resistência de escoamento do aço à tração;<br />
ε y = f y /E s - deformação específica de escoamento do aço;<br />
E s - módulo de deformação longitudinal do aço.<br />
Os parâmetros dos modelos podem ser calculados pelo CEB-FIP MC90, ou<br />
mesmo pela NBR-6118, de acordo com a classe de resistência de cada material (Tabela<br />
3.1). Já os parâmetros do modelo de dano não são relacionáveis à resistência<br />
característica do concreto e, por esse motivo, devem ser obtidos experimentalmente.<br />
É de extrema importância para a análise de estruturas de concreto armado o<br />
correto posicionamento da linha neutra na seção transversal com o progresso do<br />
carregamento. Existem pelo menos duas formas para a abordagem do problema,<br />
exemplificadas a seguir para o caso de um elemento de viga submetido à flexão simples,<br />
na 1 a iteração do 1 o incremento de um carregamento externo que lhe impõe um estado<br />
curvaturas. A cada um dos pontos de integração ou, simplesmente PGs, deverá<br />
corresponder um valor de curvatura, e um estado de deformações associado. Admitindose,<br />
inicialmente, que a linha neutra corte a seção transversal na metade da sua altura<br />
geométrica (Figura 3.2), e empregando os modelos constitutivos dos materiais,<br />
determinam-se as tensões e as forças internas correspondentes a cada PG.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
84<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
Tabela 3.1 - Valores dos parâmetros do concreto e do aço.<br />
Parâmetro CEB-FIP Model Code 1990 NBR-6118<br />
ε c1 0,0022 0,0020<br />
ε cu σ c = 0,5.f c no diagrama do CEB-90 não consta<br />
ε m 0,0020 não consta<br />
f c =f cm f ck + Δf (com Δf ≅ 8MPa) f ck + Δf (com Δf ≅ 3,5 MPa)<br />
f t =f ctm<br />
2<br />
⎛<br />
030 , .( fck<br />
) 3 ( MPa)<br />
k f ck ⎞<br />
. ⎜ ⎟ para fck<br />
≤ 18MPa<br />
⎝ 10⎠<br />
k. ( 006 , . fck<br />
+ 07 , ) para fck<br />
> 18MPa<br />
⎧12<br />
, → sec. re tangular<br />
k = ⎨<br />
⎩ 15 , → sec. " T"<br />
⎛ f ⎞<br />
⎝ 10 ⎠<br />
1<br />
3<br />
E c 4 cm<br />
215 , x10<br />
⎜ ⎟ ( MPa)<br />
6600. f 3,<br />
5 ( MPa)<br />
E c1<br />
f cm<br />
0,<br />
0022<br />
ck +<br />
f cm<br />
(não consta)<br />
0,<br />
0020<br />
f y f yk (sugestão deste autor) f yk (sugestão deste autor)<br />
E s 210000 MPa 210000 MPa<br />
α 05 , ≤α ≤ 07 ,<br />
não consta<br />
Figura 3.2 - Estados de deformação, tensão e forças (1 a iteração do 1 o incremento).<br />
Esse vetor de forças internas {N i , M i }, comparado ao vetor das forças externas<br />
{N e , M e }, resulta em um vetor de resíduos Ψ={ΔN, ΔM} composto por força normal e<br />
momento fletor, já que a força cortante é obtida pelo equilíbrio dos momentos fletores.<br />
Como se trata de flexão simples (N=0), o resíduo de normal nos dois PGs deve ser<br />
anulado através de um dos procedimentos a seguir (Figura 3.3):<br />
• a primeira alternativa, consiste em manter a curvatura obtida para a iteração<br />
em função do estado de deslocamentos, e movimentar a LN para até que seja satisfeita a<br />
condição de N i =0 (uma vez que N e =0). Estabelecida essa condição calcula-se, para a<br />
posição atualizada da LN, o vetor de forças internas e o respectivo vetor resíduo<br />
Ψ={ΔM} (pois ΔN=0). Obedecendo a esse procedimento são acertadas,<br />
independentemente, as posições das linhas neutras nos dois PGs;<br />
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Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
85<br />
• a segunda é mais simples, e consiste na reaplicação do vetor resíduo Ψ={ΔN,<br />
ΔM} à estrutura. Desse modo, a própria parcela do resíduo referente à normal (ΔN) fica<br />
responsável pelo reposicionamento da LN na seção transversal.<br />
Figura 3.3 - Ilustração do vetor resíduo sobre o domínio da barra.<br />
A primeira apresenta convergência com um menor número de iterações (cerca de<br />
70%) em relação à segunda. No entanto, a sua aplicação à casos de flexão composta<br />
(N i ≠0) se torna mais complexa devido à inclinação da LN com os eixos principais de<br />
inércia da seção transversal. A segunda alternativa é mais simples de ser implementada,<br />
porém apresenta convergência com maior número de iterações comparativamente à<br />
primeira alternativa. A utilização de um campo de deslocamentos longitudinais linear<br />
para o elemento finito gera um campo constante de forças normais. Desse modo, ao se<br />
realizarem as integrações das tensões normais no domínio do elemento segundo os dois<br />
PGs, chega-se a um resíduo de normal equivalente à média obtida nos dois PGs.<br />
⎡ 1 ⎤<br />
li<br />
⎢ − ⎥<br />
T<br />
l<br />
⎧ − N − N N + N<br />
ΔN<br />
= ∫ [ B ] { σ } dV = ⎢<br />
i<br />
1 2 1<br />
i i ∫ ⎥{ ΔN1<br />
ΔN<br />
2}<br />
= ⎨<br />
⎢ 1 ⎥<br />
⎩ 2 2<br />
V<br />
0<br />
⎢⎣<br />
l ⎥<br />
i ⎦<br />
2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(3.1)<br />
Esse valor médio, no entanto, é maior, em módulo, que o resíduo verificado no<br />
PG menos solicitado (Figura 3.3), o que na prática deve provocar um novo resíduo<br />
nessa seção transversal, de sinal contrário ao anterior. Sucessivamente, para o PG<br />
menos solicitado, há a inversão do sinal do resíduo a cada iteração, mas sempre<br />
convergindo para a solução. Por outro lado, sendo o valor médio menor, em módulo,<br />
que o resíduo observado no PG mais solicitado, o mesmo torna-se insuficiente para<br />
colocar a LN em uma posição capaz de anular o resíduo de normal nessa seção. Esse PG<br />
mais solicitado apresenta uma convergência monotônica para a LN, já que não ocorre a<br />
inversão de sinal do resíduo para essa seção transversal. Por esse motivo, a<br />
convergência para o elemento e para a própria estrutura torna-se mais dispendiosa em<br />
termos do número de iterações comparativamente à primeira alternativa.<br />
3.2.1 Atualização da matriz de rigidez<br />
A análise dos elementos lineares de concreto armado pode ser efetuada de<br />
acordo com três procedimentos de solução: matriz de rigidez inicial, método de<br />
Newton-Raphson, ou Newton-Raphson modificado.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
86<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
3.3 Modelos para as lajes<br />
No campo dos momentos fletores e das curvaturas foram implementados os<br />
modelos propostos pelo CEB-FIP MC90 e por CORRÊA (1991), adotando o momento<br />
2 2 2<br />
2<br />
equivalente de von Mises ( M eq = .( M x + M y − M x .M y ) + 2. M xy ).<br />
3<br />
Doravante, especial destaque é dado à implementação do modelo estratificado.<br />
As armaduras longitudinais estão submetidas exclusivamente à ação de tensões normais<br />
e, como no caso das vigas, respondem à relação constitutiva elastoplástica perfeita.<br />
As camadas de concreto simples têm o comportamento mecânico regido por um<br />
modelo misto. Para os estados de compressão biaxial, aplica-se o critério de von Mises,<br />
que apresenta resultados bastante razoáveis na representação desse comportamento.<br />
Para os estados envolvendo a tração, emprega-se o modelo de fissuração dispersa fixa,<br />
monitorado pelo critério de Rankine, responsável pelo cut-off da superfície de von<br />
Mises (Figura 3.4).<br />
A superfície elástica do critério de von Mises (superfície 1) pode ser adotada no<br />
limite de 30% da resistência à ruptura (f c ). O encruamento é do tipo positivo isótropo,<br />
estabelecido em função da deformação plástica equivalente (strain-hardening), e a<br />
evolução (encruamento) das superfícies de carregamento até o limite da ruptura é regida<br />
pela parábola de Madrid. A regra da normalidade do vetor fluxo plástico, na qual<br />
r( { σ} ,{ q}<br />
) = fσ<br />
, é aqui adotada para o encruamento das duas superfícies. Sua<br />
aplicabilidade é mais indicada a materiais que não apresentem variação volumétrica<br />
com a plastificação, como é o caso do aço anteriormente à ruptura. No entanto, o<br />
emprego dessa regra à descrição do comportamento do concreto tem proporcionado<br />
bons resultados (CHEN;CHEN(1975)).<br />
Figura 3.4 - Superfícies do modelo implementado: von Mises e Rankine.<br />
3.3.1 Atualização da matriz de rigidez (von Mises)<br />
A parcela da atualização da matriz de rigidez referente às camadas de concreto<br />
que satisfazem ao critério de von Mises é obtida através da matriz elástica tangente<br />
modificada.<br />
d<br />
d<br />
{} σ<br />
{} ε<br />
=<br />
[ Ξ] () γ<br />
−<br />
([ Ξ] j+<br />
1()[ γ P]{ σ}<br />
j+<br />
1<br />
)[ Ξ] j+<br />
1( γ)[ P]{ σ}<br />
j+<br />
T<br />
{} σ [ P][ Ξ] j+<br />
1()[ γ P]{} σ +<br />
j+<br />
1<br />
( )<br />
j+<br />
1<br />
j+ 1<br />
j+<br />
1<br />
j+<br />
1<br />
β<br />
1<br />
T<br />
(3.2)<br />
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Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
87<br />
2<br />
2<br />
β e θ 2 = 1−<br />
k j+ 1.<br />
γ (para k variável).<br />
3<br />
T<br />
+<br />
= k σ P σ<br />
3θ<br />
2<br />
onde:<br />
j 1<br />
( j+<br />
1 ){}<br />
j+<br />
1[ ]{} j + 1<br />
3.3.2 Aspectos sobre a formulação da superfície de Rankine<br />
A superfície elástica de Rankine (superfície 2) é definida pela resistência à<br />
tração do concreto (f t ). FEENSTRA;DE BORST (1995) trazem a formulação completa<br />
para o critério de Rankine, incluindo o amolecimento a partir da superfície de ruptura.<br />
No entanto, este trabalho apresenta um enfoque peculiar à análise das camadas de<br />
concreto submetidas a estados de tração.<br />
Admita-se uma camada de concreto solicitada por um determinado estado plano<br />
de tensões que gerem, pelo menos, uma tensão principal positiva superior ao limite de<br />
ruptura f t , promovendo o surgimento de uma ou mais fraturas do tipo I. Nessas<br />
condições, de acordo com a teoria de fissuras dispersas, a placa de concreto perde as<br />
características de comportamento bidimensional acoplado (pois ν → 0), e passa a se<br />
comportar independentemente nas duas direções principais. O comportamento mecânico<br />
segundo essas direções passa a ser governado por relações uniaxiais. Esse<br />
comportamento pós-fissuração também é previsto por autores cujos trabalhos estão<br />
ligados estritamente ao projeto de lajes de concreto armado.<br />
Além da hipótese de desacoplamento do comportamento biaxial apresentada no<br />
parágrafo anterior, observa-se que a superfície de Rankine é delimitada paralelamente<br />
aos eixos principais. Pela regra da normalidade, então, o retorno de um estado de<br />
tentativa elástica à superfície de carregamento se dá paralelamente a um desses eixos.<br />
No caso de o estado de tentativa exceder o limite f t nas duas direções principais, o<br />
retorno se daria ao vértice da superfície de carregamento, o que está de acordo com o<br />
proposto por FEENSTRA;DE BORST (1995), com base na generalização de KOITER<br />
(1953) 3 apud PROENÇA(1988) para a abordagem do escoamento de pontos com<br />
derivada indefinida (Figura 3.5).<br />
Figura 3.5 - Retornos à superfície de Rankine (FEENSTRA;DE BORST(1995)).<br />
A curva de amolecimento adotada para a superfície de Rankine é idêntica à do<br />
modelo uniaxial (Figura 3.1). No entanto essa curva deve agora ser calibrada com base<br />
no conceito de energia de fratura. O comprimento equivalente h eq é calculado de acordo<br />
com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1996):<br />
3 KOITER,W.T.(1953). Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a<br />
singular yield surface. Q. Appl. Math. n. 11, p.350-354. apud PROENÇA(1988).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
88<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
h = α h . A<br />
(3.3)<br />
eq<br />
onde:<br />
⎧ 2 para elementos com campos lineares<br />
α = ⎨<br />
⎩1<br />
para elementos com campos quadraticos<br />
A - área do elemento finito.<br />
h ;<br />
A energia de fratura G f utilizada para calcular os parâmetros da curva de<br />
amolecimento são os sugeridos pelo CEB-FIP MC90 (Tabela 3.2) de acordo com a<br />
classe do concreto e o diâmetro máximo do agregado graúdo.<br />
Tabela 3.2 - Energia de fratura G f (N.m/m 2 ).<br />
tamanho máximo do<br />
agregado<br />
classes do concreto<br />
(mm) C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80<br />
8 30 40 50 60 70 75 85 90<br />
16 50 60 75 90 105 115 125 135<br />
32 80 105 130 150 170 190 200 220<br />
Cabe observar que a determinação do comprimento equivalente através da<br />
expressão 3.3 ameniza, mas não resolve o problema da dependência de malha. Os<br />
autores advertem que a expressão tem proporcionado bons resultados para malhas<br />
consideradas usuais, o que não é garantido para um refinamento qualquer.<br />
Para a análise do vértice entre as duas superfícies, cujas características são<br />
similares às do vértice da superfície de Rankine, é aplicada a generalização proposta por<br />
Koiter. Como resultado, o retorno de um estado de tentativa inicial pertencente à região<br />
delimitada pelos versores normais às duas superfícies concorrentes (Figura 3.6) se dá<br />
indiretamente ao vértice. Primeiro, há uma projeção intermediária do estado de tentativa<br />
{σ} t sobre a bissetriz do ângulo formado pelas direções dos vetores de fluxo plástico<br />
das duas superfícies naquele ponto. Em seguida, esse estado intermediário retorna ao<br />
vértice das superfícies de carregamento.<br />
Figura 3.6 - Procedimentos de retorno às superfícies - caso do vértice.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
89<br />
3.3.2.1 Atualização da matriz de rigidez (Rankine)<br />
Por ocasião da fissuração, o concreto passa a apresentar ortotropia, cuja<br />
orientação coincide com a dos eixos principais (1 e 2). A cada um dos eixos estão<br />
relacionados valores tangentes dos módulos de deformação do concreto (E T,1 , E T,2 e<br />
β cr .G T,12 ), obtidos da análise uniaxial de cada direção principal isoladamente (lembrando<br />
que, neste caso, ν →0). O ponderador β cr contempla a contribuição do engrenamento<br />
dos agregados na transmissão da tensão de cisalhamento na fissura.<br />
⎡C11<br />
0 0 ⎤<br />
ep<br />
C =<br />
⎢<br />
⎥<br />
12 ⎢<br />
0 C22<br />
0<br />
⎥<br />
(3.4)<br />
⎢⎣<br />
0 0 C33<br />
⎥⎦<br />
[ ]<br />
ep<br />
A matriz de rigidez é atualizada através da matriz [ C]<br />
xy<br />
relacionada ao sistema de eixos principais da seguinte forma:<br />
onde: [ ]<br />
ep T ep<br />
[ C] [ T] [ C] [ T]<br />
devidamente<br />
xy = 12<br />
(3.5)<br />
2<br />
( α) 2<br />
sen ( α) sen( α) cos( α)<br />
2<br />
( α) 2<br />
cos ( α) − sen( α) cos( α)<br />
( α) cos( α) 2.sen( α) cos( α) 2<br />
2<br />
cos ( α) − sen ( α)<br />
⎡ cos<br />
⎤<br />
⎢<br />
T = ⎢ sen<br />
⎢<br />
( )⎥ ⎥⎥ ;<br />
⎣<br />
− 2.sen<br />
⎦<br />
α - ângulo formado entre o eixo principal 1 e o eixo x (>0 se anti-horário).<br />
4 CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS NO TEMPO<br />
O objetivo deste item é a formulação de um modelo simples, mas<br />
suficientemente preciso para a análise dos esforços, deslocamentos, tensões e<br />
deformações de uma estrutura ao final de um determinado período de tempo.<br />
O fenômeno básico para a apresentação das formulações é a fluência à<br />
compressão manifestada desde um instante inicial t 0 , ao instante de interesse t (t=t 0 +Δt).<br />
Nos respectivos instantes, não havendo restrições às deformações específicas do<br />
concreto, as deformações podem ser escritas como:<br />
σ<br />
ε (4.1)<br />
c<br />
( t 0 ) =<br />
E c ( t 0 )<br />
() t = ε ( t ) + ε ( t, t )<br />
c<br />
ε (4.2)<br />
c<br />
c<br />
0<br />
onde: ε c ( t 0 ) - deformação instantânea em t 0 ;<br />
ε c () t - deformação no instante t;<br />
( t 0 , t)<br />
cc<br />
0<br />
ε - fluência específica do concreto entre t 0 e t;<br />
cc<br />
σ c - tensão de compressão no concreto (constante entre t 0 e t);<br />
E c ( t 0 ) - módulo de deformação longitudinal do concreto em t 0 .<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
90<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
A deformação do concreto no instante t também pode ser definida como a<br />
superposição da fluência ocorrida entre t 0 e t com a deformação inicial em t 0 ,<br />
empregando-se o coeficiente de fluência:<br />
onde: ( t 0 , t)<br />
c<br />
() t = ε ( t ).1<br />
[ + ϕ( t, t )]<br />
ε (4.3)<br />
c<br />
0<br />
0<br />
ϕ - relação entre a deformação por fluência e a deformação inicial.<br />
A implementação dos efeitos do tempo tem como base os parâmetros do modelo<br />
de fluência proposto pelo CEB-FIP MC90.<br />
4.1 Fluência<br />
Retomando a expressão 4.3, a hipótese para o instante t 0 =28 dias, leva a um<br />
coeficiente de fluência ( ϕ 28 ) calculado pelo CEB-FIP MC90 como:<br />
( t , t) = ϕ β ( t − )<br />
ϕ (4.4)<br />
28 0 0 c t 0<br />
onde: = ϕ . β( f ).<br />
β( )<br />
ϕ ;<br />
0 UR cj t 0<br />
UR<br />
1 −<br />
ϕ UR = 1 +<br />
100<br />
;<br />
1<br />
0,215. ( h 0 )3<br />
16,8<br />
β ( f cJ ) = ;<br />
f<br />
cj<br />
1<br />
β ( t 0 ) =<br />
;<br />
0,1 +<br />
( t ) 0, 2<br />
0f<br />
t T - idade inicial fictícia;<br />
f cj - resistência média do concreto à compressão, prevista para os j dias;<br />
h 0 - espessura fictícia da peça.<br />
4.1.1 Aplicação aos elementos lineares<br />
A metodologia empregada neste trabalho baseia-se na decalagem do diagrama<br />
tensão-deformação do concreto entre os instantes t 0 e t. Com a hipótese da<br />
independência entre o coeficiente de fluência (ϕ) e a respectiva tensão no concreto (σ c ),<br />
FUSCO,P.B.(1981) sugere que, por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação<br />
do concreto deva sofrer uma transformação afim, de razão ϕ, paralelamente ao eixo de<br />
ε c (Figura 4.1).<br />
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Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
91<br />
Figura 4.1 - Influência da fluência sobre o modelo do concreto.<br />
4.1.2 Aplicação aos elementos de placa<br />
Para a análise dos elementos de placa submetidos aos efeitos da fluência, foram<br />
mantidas as mesmas premissas adotadas para os elementos lineares. As relações<br />
constitutivas que exprimem os comportamentos típicos de estado plano (tração-tração,<br />
tração-compressão e compressão-compressão), têm apenas alterada a rigidez no que<br />
concerne ao módulo de deformação longitudinal. Os estados desacoplados<br />
(tração+tração e tração+compressão) seguem as mesmas leis constitutivas uniaxiais<br />
apresentadas no item 4.1.1.<br />
5 ASPECTOS SOBRE O DIMENSIONAMENTO<br />
5.1 Introdução<br />
O dimensionamento de estruturas empregando-se modelos constitutivos mais<br />
representativos para os materiais tem sido, nos últimos anos, objeto de grande interesse<br />
dentre os órgãos internacionais de regulamentação.<br />
De acordo com o CEB: Bulletin d’Information n o 227, “. . . dados teóricos e<br />
experimentais atualmente demonstram que a hipótese da análise elástico-linear pode se<br />
apresentar tanto a favor como contra a segurança. Esse aspecto é inaceitável para a<br />
execução de um projeto seguro e econômico”.<br />
O objetivo desta parte do trabalho é o de apresentar o estado da arte da análise<br />
não-linear física aplicada ao projeto de estruturas, descrevendo as principais<br />
metodologias cujo emprego ao dimensionamento tem sido estudado. Ao final, são<br />
apresentados exemplos práticos envolvendo estruturais isolados.<br />
5.2 Métodos disponíveis<br />
Atualmente, são duas as correntes de pensamento que fundamentam as<br />
metodologias atualmente em pauta. A primeira delas, liderada pelo pesquisador Giorgio<br />
Macchi, defende a continuidade do método semi-probabilístico, apesar de não descartar<br />
a necessidade de algumas adaptações necessárias. A segunda, tendo à frente Gert König<br />
e Josef Eibl, adota uma postura revolucionária, e defende o conceito de um coeficiente<br />
de segurança global relativo aos materiais.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
92<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
5.2.1 Método semi-probabilístico<br />
Os aspectos que dificultam a aplicação e, de certo modo, o entendimento da<br />
lógica implícita no método, estão relatados a seguir.<br />
5.2.1.1 Composição do carregamento<br />
Uma primeira possibilidade de consideração do carregamento surge da analogia<br />
com a análise de estruturas considerando-se a não-linearidade geométrica (NLG), onde<br />
é comum o particionamento de γ f (Figura 5.1).<br />
Figura 5.1 - Aspecto da majoração do esforço parcial de projeto (M d,parcial ).<br />
Aplicado à análise de estruturas cujos comportamentos atendam a uma lei<br />
constitutiva limitada por um valor último, esse procedimento pode levar ao estado<br />
ilustrado na Figura 5.1. Supondo que, ao final da análise a seção esteja submetida a um<br />
esforço suficientemente próximo a M u , tal que a pós multiplicação desse esforço por γ f3<br />
possa conduzir a M>M u , significa admitir que a capacidade resistente pré-estabelecida<br />
para a seção é incompatível com o valor do carregamento aplicado. Esse problema, já<br />
observado por OLIVEIRA (1997), gera um procedimento iterativo na busca da<br />
convergência entre o momento fletor de projeto (M d ), e o valor da capacidade última<br />
resistente arbitrada para a seção transversal (M d,u ).<br />
A opção mais plausível, então, parece ser a aplicação do carregamento total de<br />
projeto (majorado por γ f ) para a obtenção dos esforços, o que eliminaria o problema da<br />
possível superação de M d,u .<br />
5.2.1.2 Valores para as propriedades dos materiais<br />
Valores característicos, ou de projeto, envolvem aspectos probabilísticos ligados<br />
à segurança da estrutura no ELU, e por isso não exprimem o comportamento em serviço<br />
esperado. No ELU, no entanto, de acordo com o método semi-probabilístico, as<br />
características mecânicas dos materiais devem ser minoradas pelos coeficientes de<br />
segurança. Isso pode levar, na maioria dos casos, ao mesmo problema assinalado na<br />
Figura 5.2 pois, ao final da análise respeitando-se os valores dos esforços obtidos com<br />
as propriedades médias dos materiais, estes devem ser minorados pelos coeficientes de<br />
segurança.<br />
Por outro lado, a adoção das propriedades de projeto dos materiais em toda a<br />
estrutura pode conduzir a resultados pouco confiáveis e fisicamente distorcidos, uma<br />
vez que a análise contemplaria uma estrutura mais deformável que a estrutura real,<br />
prejudicando o aspecto da redistribuição de esforços.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
93<br />
Figura 5.2 - Aspecto da minoração do esforço característico (M k ).<br />
5.2.1.3 Propostas para o dimensionamento<br />
Ao definir as propriedades de projeto do concreto altera-se, além da capacidade<br />
resistente teórica (f ck → f cd ), também a relação constitutiva do material. Isso inviabiliza<br />
a caracterização de uma relação constitutiva que seja capaz de ambos: representar<br />
coerentemente as redistribuições de esforços (de acordo com as propriedades médias), e<br />
ainda estar limitada a um valor convencional (f cd ).<br />
A definição de uma relação constitutiva para o aço é menos conflitante, haja<br />
visto a invariabilidade (mesmo que convencional) de seu módulo de deformação<br />
longitudinal (E s ) com a resistência ao escoamento (Figura 5.3).<br />
Figura 5.3 - Diagrama tensão-deformação para o aço CA-50ª.<br />
5.2.1.4 Proposta de alteração da rigidez inicial<br />
Essa proposta, apresentada por CÂMARA et al. (1994) e depois adotada por<br />
SANTOS (1997) mantém, para o aço, o valor de projeto convencional obtido com<br />
γ s =1,15, mas promove uma modificação da lei constitutiva do concreto. O módulo de<br />
elasticidade, calculado na origem com base no valor médio da resistência, é afetado por<br />
um fator γ c =1,20 como preconiza o CEB-FIP MC90 consoante à determinação dos<br />
deslocamentos. A tensão de ruptura é a de projeto convencional (f cd =f ck / γ c, com<br />
γ c =1,50), como mostra a Figura 5.4 devidamente adaptada ao γ c =1,40.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
94<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
5.2.1.5 Proposta da limitação da tensão máxima<br />
Neste trabalho, propõe-se a composição de duas relações constitutivas, ou seja,<br />
uma lei baseada no valor médio de resistência até que seja atingida a tensão de projeto<br />
(f cd ). Em seguida, a curva tensão-deformação segundo os valores médios é substituída<br />
por uma relação elastoplástica perfeita limitada (Figura 5.4).<br />
4,0<br />
3,5<br />
3,0<br />
CEB-FIP MC90 - val. médios<br />
CEB-FIP MC90 - val. de projeto<br />
proposta deste trabalho<br />
SANTOS (1997)<br />
2,5<br />
2,0<br />
1,5<br />
tensão (kN/cm 2 )<br />
1,0<br />
0,5<br />
deform ação<br />
0,0<br />
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005<br />
Figura 5.4 - Diagramas para o concreto C-30 (CEB-FIP MC90).<br />
5.2.2 Método dos coeficientes globais<br />
A proposta de emprego do método dos coeficientes globais tem o objetivo,<br />
segundo o texto do CEB: Bulletin d’Information n o 239, de estabelecer uma<br />
metodologia consistente que seja aplicável a todo tipo de modelo ou de estrutura.<br />
O conceito de coeficiente global (γ gl ) doravante empregado quer referir-se<br />
apenas à parcela da segurança relativa à resistência da estrutura, de modo que:<br />
( .Q + γ .G)<br />
R<br />
γ q g ≤<br />
(5.1)<br />
γ<br />
gl<br />
onde: R é a capacidade resistente da estrutura empregando-se as propriedades médias<br />
dos materiais.<br />
A maior discussão quanto ao emprego do método restringe-se à definição do<br />
valor do coeficiente global a ser empregado. Se as propriedades médias dos materiais<br />
forem definidas simplificadamente como:<br />
f<br />
f<br />
cm<br />
ym<br />
= 1,1.f<br />
= 1,1.f<br />
ck<br />
yk<br />
(5.2)<br />
pode-se mostrar que o γ gl para uma seção transversal de concreto armado situa-se,<br />
aproximadamente, entre 1,265 (quando a ruptura se dá pela armadura de flexão) e 1,650<br />
(quando a ruptura se dá pelo concreto), se for empregado γ c =1,5. No entanto, quando a<br />
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Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
95<br />
ruptura da seção se dá pela concomitância dos dois modos, não existe uma descrição<br />
para o coeficiente (Figura 5.5).<br />
pl<br />
1,650<br />
M /M pl,d<br />
?<br />
1,265<br />
ρ<br />
ruptura pelo aço ruptura pelo concreto<br />
Figura 5.5 - Diagrama idealizado para o γ gl esperado para uma estrutura de concreto armado<br />
submetida à flexão. Carregamento proporcional.<br />
onde: M pl – momento de plastificação obtido com os valores médios dos materiais;<br />
M pl,d – momento de plastificação obtido com as propriedades de projeto.<br />
Esses valores, apresentados por EIBL;SCHMIDT-HURTIENNE (1997),<br />
também podem ser caracterizados analiticamente:<br />
aço<br />
concreto<br />
f yk<br />
f ck<br />
f yd = ; f ym = 1,10. f yk f cd = ; f cm = 1,10. f ck (5.3)<br />
1,15<br />
1,5<br />
f ym<br />
f cm<br />
onde: = 1,10.1,15 = 1, 265<br />
= 1,10.1,5 = 1, 650<br />
f<br />
f<br />
yd<br />
De um modo geral, as vigas são projetadas para um ELU definido pela<br />
deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto que os pilares,<br />
preferencialmente, pelo esmagamento do concreto. Nessa linha de raciocínio,<br />
LOURENÇO et al. (1992) propõem uma análise global segmentada, de acordo com o<br />
modo de ruptura: γ gl = 1,5 se a ruptura for pelo concreto (1,5 pois os autores propõem<br />
f cm =f ck ), e γ gl = 1,15 para a ruptura por deformação excessiva da armadura.<br />
A solução encontrada pelos membros do CEB Task Group 2.1 Non-linear design<br />
methods and safety concepts, e sobre a qual pesam as maiores críticas, foi a de adaptar o<br />
valor da resistência média do concreto (f cm ) de acordo com pesquisas finalizadas e em<br />
andamento na Universidade de Leipzig (KÖNIG et al. (1997) 4 apud CEB: Bulletin<br />
d’Information n o 239). Segundo os autores, o valor da resistência média do concreto,<br />
medido in-situ é de 0,85 do respectivo valor característico medido em laboratório.<br />
f cm = 0,85. f ck<br />
(5.4)<br />
Uma vez aceita a validade da relação 5.4, os coeficientes referidos a ambos os<br />
tipos de ruptura passam a ser bastante próximos e, para efeito prático, iguais a 1,27.<br />
aço<br />
concreto<br />
cd<br />
4 KÖNIG,G.;SHOUKOV,D.;JUNGWIRTH,F.(1997). Sichere beton production für stahlbetontragwerke, Intermediate<br />
report 2, March. apud CEB: Bulletin d’Information n o 239.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
96<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
f<br />
f =<br />
1,15<br />
f<br />
= (5.5)<br />
1,5<br />
yk<br />
ck<br />
yd = ; f ym 1,10. f yk<br />
f cd ; f cm = 0,85. f ck<br />
f ym<br />
f cm<br />
onde: = 1,10.1,15 = 1, 265<br />
= 0,85.1,5 = 1, 275<br />
f<br />
f<br />
yd<br />
A adaptação do método aos coeficientes indicados pelos códigos de<br />
normalização brasileiros é apresentada a seguir. O coeficiente de segurança aplicado ao<br />
aço é γ s =1,15. O coeficiente aplicado ao concreto, de acordo com a NBR-8681/84 deve<br />
valer γ c =1,4, o que leva a um valor de ruptura pelo concreto de:<br />
f<br />
f<br />
cm<br />
cd<br />
= 0,85.1,4 = 1,19<br />
(5.6)<br />
Se o objetivo final é o de manter fixo o coeficiente de segurança, quer seja a<br />
ruptura pelo concreto ou pelo aço, deve-se agora alterar o valor médio para o<br />
escoamento do aço, de modo a se obter um coeficiente de 1,19.<br />
1,19<br />
f ym = .f ck = 1,035. f ck<br />
(5.7)<br />
1,15<br />
A seguir, são realizadas uma série de aferições com o objetivo de explorar<br />
melhor as respostas mecânicas de seções transversais, agora empregando-se γ c =1,4. A<br />
amplitude dos estudos constam da Tabela 5.3, e os resultados apresentados, convém<br />
ressaltar, dão apenas um indicativo sobre o comportamento estrutural.<br />
Tabela 5.3 - Resumo dos casos analisados com γ c =1,4.<br />
cd<br />
Os resultados obtidos são apresentados nas figuras a seguir.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
97<br />
1,200<br />
1,190<br />
sem armadura de compressão<br />
1,180<br />
1,170<br />
1,160<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,150<br />
1,140<br />
1,130<br />
1,120<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,110<br />
1,100<br />
1,090<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.6 - γ gl . FSr-01 a FSr-07.<br />
1,20<br />
1,19<br />
armadura de compressão (porta estribos: 2 φ 6,3 mm): ρ' = 0,05%<br />
1,18<br />
1,17<br />
1,16<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,15<br />
1,14<br />
1,13<br />
1,12<br />
1,11<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,10<br />
1,09<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.7 - γ gl . FSr-08 a FSr-14.<br />
1,20<br />
1,19<br />
armadura de compressão: ρ' = 0,25 %<br />
1,18<br />
1,17<br />
1,16<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,15<br />
1,14<br />
1,13<br />
1,12<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
1,11<br />
C-35<br />
C-40<br />
1,10<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,09<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.8 - γ gl . FSr-15 a FSr-21.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
98<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
1,20<br />
1,19<br />
armadura de compressão: ρ' = 0,50 %<br />
1,18<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,17<br />
1,16<br />
1,15<br />
1,14<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,13<br />
1,12<br />
1,11<br />
1,10<br />
1,09<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.9 - γ gl . FSr-22 a FSr-28.<br />
1,20<br />
sem armadura de compressão<br />
1,19<br />
1,18<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,17<br />
1,16<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,15<br />
1,14<br />
1,13<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.10 - γ gl . FSt-01 a FSt-07.<br />
1,20<br />
armadura de compressão mínima: ρ'=0,100 a 0,197%<br />
1,19<br />
1,18<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,17<br />
1,16<br />
1,15<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,14<br />
1,13<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.11 - γ gl . FSt-08 a FSt-14.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
99<br />
1,20<br />
armadura de compressão: ρ'=0,50%<br />
1,19<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,18<br />
1,17<br />
1,16<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,15<br />
1,14<br />
1,13<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.12 - γ gl . FSt-15 a FSt-21.<br />
1,20<br />
armadura simétrica: ρ' = ρ<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,19<br />
1,18<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
1,17<br />
1,16<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.13 - γ gl . FNC, e=10 cm.<br />
1,20<br />
1,19<br />
armadura simétrica: ρ' = ρ<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,18<br />
1,17<br />
1,16<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.14 - γ gl . FNC, e=30 cm.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
100<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
1,20<br />
armadura simétrica: ρ' = ρ<br />
1,19<br />
C-20<br />
C-25<br />
C-30<br />
C-35<br />
C-40<br />
C-45<br />
C-50<br />
Mpl / Mpl,d<br />
1,18<br />
1,17<br />
1,16<br />
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.15 - γ gl . FNC, e=40 cm.<br />
De um modo geral, os diagramas indicam que o emprego do coeficiente global<br />
de segurança relativo aos materiais apresenta um bom potencial a ser explorado,<br />
principalmente se resolvidos alguns dos problemas aqui observados. As seções<br />
submetidas à flexão simples mostraram-se bastante sensíveis à introdução de armadura<br />
negativa, revelando-se, para as seções retangulares, o menor coeficiente γ gl (1,092 para<br />
ρ’=0,5%). Nas seções T submetidas à flexão simples, o efeito da introdução da<br />
armadura foi menos intenso, e o coeficiente γ gl apresentou um valor mínimo igual a 1,13<br />
para ρ’=0,5%. As seções sob flexão normal composta apresentaram tanto maior<br />
variabilidade do coeficiente γ gl quanto maior a excentricidade da força normal. Há que<br />
se ressaltar que, em todos os casos estudados, houve uma maior estabilidade de γ gl à<br />
medida em foram empregados concretos de classes superiores.<br />
O comportamento descrito para γ gl , bem como as conclusões parciais, são<br />
aplicáveis tão somente à análise de seções ou de estruturas isostáticas cujo<br />
comportamento no ELU coincide com o de uma seção transversal típica. O emprego<br />
dessas idéias ao dimensionamento de estruturas hiperestáticas, onde a redistribuição dos<br />
esforços seja possível, pode levar a um comportamento ainda melhor para γ gl , mas que<br />
deve ser corretamente qualificado e quantificado através de análises de confiabilidade<br />
estrutural. HENRIQUES (1998) analisa dois casos de vigas de concreto armado sob o<br />
enfoque da confiabilidade empregando o método de simulação de Monte Carlo: viga<br />
biengastada e viga apoiada-engastada. Foram consideradas como variáveis aleatórias as<br />
resistências à compressão do concreto e de escoamento do aço à tração, além da altura<br />
da viga (podendo variar até 0,7 cm). A resistência média à compressão do concreto foi<br />
considerada de acordo com a CEB-FIP MC90, ou seja: f cm =f ck +8,0 MPa. Os resultados,<br />
para diversas classes de concreto, e diversas taxas de armadura, mostram que a relação<br />
entre o coeficiente global (referido aos materiais) para a estrutura (γ gl,est. ) e para a seção<br />
(γ gl ), dentre os casos analisados, é igual ou superior a 1 (parâmetro a). Um resumo das<br />
curvas propostas por Henriques, relativamente à profundidade da linha neutra (x/d) na<br />
seção onde ocorre o ELU, é apresentado na Figura 5.16. Nota-se que o parâmetro a<br />
supera a unidade para x/d entre 0,35 e 0,52.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
101<br />
Figura 5.16 - Relação a = γ gl,est. / γ gl.<br />
5.2.2.1 Particularização às lajes<br />
A natureza tensorial dos esforços observados nas lajes, que acabam por<br />
impossibilitar a caraterização de um comportamento mecânico típico de seção<br />
transversal, dificulta o avanço no estudo do coeficiente global de segurança relativo aos<br />
materiais para esse elemento estrutural. Um estudo (determinístico) sobre a segurança<br />
envolvendo as lajes de concreto armado deveria contemplar uma gama razoável de<br />
variáveis fartamente combinadas entre si, destacando-se: relação entre os lados,<br />
condições de apoio, espessura, resistência característica do concreto e do aço, e taxas de<br />
armadura. Obviamente, um estudo com essas características consumiria um período de<br />
tempo tal que, por si só, inviabilizaria a sua inclusão neste trabalho. O que se faz,<br />
paleativamente, com o objetivo único de mostrar a aplicabilidade do método também<br />
com relação às lajes, é estabelecer alguns valores para γ gl relacionados a uma laje<br />
quadrada (400cm x 400 cm) apoiada nos quatro lados. O concreto empregado é o C-30;<br />
o aço é o CA-50A. Foram empregadas apenas armaduras positivas, com as mesmas<br />
praticadas nas direções x e y.<br />
1,36<br />
1,35<br />
1,34<br />
M pl / M pl,d<br />
1,33<br />
1,32<br />
1,31<br />
1,30<br />
1,29<br />
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010<br />
taxa de armadura - ρ<br />
Figura 5.17 - γ gl para uma laje quadrada apoiada.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
102<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
Os resultados retratam um bom comportamento de γ gl para a estrutura analisada<br />
(laje apoiada). O menor valor observado, de 1,293 (para uma taxa ρ=1,0%), é cerca de<br />
5% inferior ao maior deles: 1,350 para ρ=ρ min =0,116%.<br />
5.3 Exemplos de aplicação<br />
Os exemplos são baseados nas características mecânicas dos materiais: concreto<br />
C-30 (f ck =30 MPa); e aço CA-50A, cujas propriedades médias e de projeto constam da<br />
Tabela 5.4. Para o aço, os valores médios de resistência à tração e à compressão são os<br />
próprios valores característicos, uma vez que essas propriedades apresentam pequena<br />
variabilidade. O módulo de elasticidade pode ser considerado invariável. Os valores<br />
relativos ao concreto são obtidos através das relações do CEB-FIP MC90 sendo que,<br />
para o valor da resistência à tração característica (f ctk ), adota-se a média entre os valores<br />
superior e inferior indicados, o que na prática corresponde à própria resistência à tração<br />
média (f ctm ).<br />
Tabela 5.4 - Características mecânicas dos materiais empregados nos exemplos.<br />
concreto<br />
aço<br />
propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kN/cm 2 E s =21000 kN/cm 2<br />
médias resistência à compressão f cm =3,80 kN/cm 2 f yk =50,00 kN/cm 2<br />
resistência à tração f ctm =0,29 kN/cm 2 f yk =50,00 kN/cm 2<br />
propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kN/cm 2 E s =21000 kN/cm 2<br />
de resistência à compressão f cd =1,82 kN/cm 2 f yd =43,48 kN/cm 2<br />
projeto resistência à tração f ctd =0,21 kN/cm 2 f yd =43,48 kN/cm 2<br />
O carregamento é composto apenas de cargas uniformemente distribuídas: uma<br />
carga permanente g=25,0 kN/m, e uma sobrecarga q=5,0 kN/m.<br />
ELS (CQP): F d,serv = (1,0x25,0+0,2x5,0) kN/m<br />
F d,serv = 26,0 kN/m (5.8)<br />
ELS (CR):<br />
F d,serv = (1,0x25,0+1,0x5,0) kN/m<br />
F d,serv = 30,0 kN/m (5.9)<br />
ELU (última): F d,u = 1,4x25,0+1,4x5,0 kN/m<br />
F d,u = 42,0 kN/m (5.10)<br />
Nestes exemplos, a porcentagem de plastificação imposta estará sempre referida<br />
à porcentagem de diminuição da armadura de flexão tracionada.<br />
5.3.1 Viga apoiada-engastada<br />
O segundo exemplo refere-se à viga apresentada na Figura 5.18.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
103<br />
Figura 5.18 - Viga apoiada-engastada - exemplo 2.<br />
a) dimensiona-se a estrutura em regime elástico-linear atendendo ao ELU entre<br />
os domínios 3 e 4.<br />
M - ,<br />
d = 18900 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s =13,19 cm 2 ; A s =0,62 cm 2<br />
M + ,<br />
d = 10631 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s =0,62 cm 2 ; A s =6,28 cm 2<br />
b) determina-se a flecha instantânea e, principalmente, a flecha no tempo<br />
infinito, considerando-se:<br />
• a armadura do item a);<br />
• propriedades médias dos materiais;<br />
• carregamento de serviço (combinação quase-permanente)<br />
• por simplicidade, ϕ 28 =2,5 (adotado).<br />
f 0 = 0,77 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento)<br />
f ∞ = 1,23 cm < l/250 (= 2,4 cm)<br />
c) para a combinação última normal, utilizando o diagrama tensão-deformação<br />
para o concreto proposto na Figura 5.4 (diagrama com as propriedades médias,<br />
seccionado no valor de f cd ) e as propriedades de projeto do aço, verificam-se as<br />
deformações máximas (nas seções críticas):<br />
seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00077 ; aço: ε s max = 0,00189<br />
seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00210 ; aço: ε s max = 0,00228<br />
Como ambas as deformações estão dentro do espectro permitido para o ELU,<br />
admite-se que a estrutura esteja segura para a configuração adotada.<br />
A NB1-revisão 2000 traz uma proposta para a verificação de possíveis<br />
redistribuições impostas à estrutura. Reduzindo-se um momento fletor de M para δM<br />
em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ<br />
e a posição da LN nessa seção (x/d), para o momento reduzido δM, é dada por:<br />
( x / d)<br />
( x / d)<br />
δ ≥ 0 ,44 + 1,25. para concretos com f ck ≤ 35 MPa (5.11)<br />
δ ≥ 0 ,56 + 1,25. para concretos com f ck > 35 MPa (5.12)<br />
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:<br />
δ ≥ 0,75 em qualquer caso;<br />
δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis.<br />
E a posição da linha neutra deve, no ELU, satisfazer aos seguintes limites:<br />
x/d ≤ 0,50 para concretos com f ck ≤ 35 MPa<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
104<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
x/d ≤ 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa<br />
Supondo que a seção do engaste esteja solicitada no estádio III, a profundidade<br />
da LN deve valer: x=21,40 cm, ou seja, x/d=0,486. Essa posição de LN satisfaz aos<br />
quesitos mínimos mas, de acordo com a expressão 5.11, não permite redistribuições,<br />
pois δ = 1,05.<br />
Estabelecendo uma a análise não-linear, torna-se possível a imposição de<br />
plastificações à viga quantificando-se, coerentemente, as redistribuições decorrentes.<br />
d) como foi dimensionada com os esforços obtidos em regime elástico-linear, a<br />
viga deve apresentar reservas quanto aos aspectos de flechas e de deformações. Isso<br />
pode viabilizar a imposição de plastificações em determinadas regiões, buscando um<br />
melhor aproveitamento das características geométricas e mecânicas da viga. Com esse<br />
objetivo, propõe-se uma plastificação de 18% (o que eqüivaleria a uma redução de 12%<br />
no momento de cálculo segundo as tabelas de dimensionamento) para a seção do<br />
engaste, mantendo-se a armadura da região de momento positivo.<br />
M d - = 16700 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s<br />
,<br />
M d + → A s<br />
,<br />
=0,62 cm 2 ; A s =9,30 cm 2<br />
=10,81 cm 2 ; A s =0,62 cm 2<br />
Com essa nova distribuição de armaduras, retorna-se ao item b) do<br />
procedimento de verificação, agora denominado b1) (primeira iteração):<br />
b1) f 0 = 0,67 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento)<br />
f ∞ = 1,11 cm < l/250 (= 2,4 cm)<br />
c1) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00086 ; aço: ε s max = 0,00207<br />
seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00331 ; aço: ε s max = 0,00391<br />
Sugere-se um decréscimo de aproximadamente 37% na taxa de armadura, ou de<br />
29% em relação ao momento fletor (de acordo com a NB1-revisão 2000) para a região<br />
do engaste, que passaria a estar submetida à ação de um momento fletor M d =13387<br />
kN.cm (ΔM d =13387-18900=-5513 kN.cm). Essa plastificação acresce o momento fletor<br />
máximo positivo de aproximadamente ΔM d /2=2756,5 kN.cm.<br />
M d - = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s<br />
,<br />
M d + = 13387 kN.cm → d=44 cm; h=47 cm; A s<br />
,<br />
=8,22 cm 2 ;A s =0,62 cm 2 ;<br />
=0,62 cm 2 ;A s =8,22 cm 2 ;<br />
Como procedido anteriormente, retorna-se ao item b):<br />
b2) f 0 = 0,76 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento)<br />
f ∞ = 1,21 cm < l/250 (= 2,4 cm)<br />
c2) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00088 ; aço: ε s max = 0,00172<br />
seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00304 ; aço: ε s max = 0,00425<br />
As aberturas de fissuras para as três opções analisadas (considerando-se Φ≅12<br />
mm), e para as regiões do vão e do engaste, constam da Tabela 5.5.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade...<br />
105<br />
Tabela 5.5 - Abertura de fissuras para a viga apoiada-engastada (mm).<br />
opção w r - vão w r - engaste<br />
inicial 0,16 0,17<br />
1 0,13 0,17<br />
2 0,15 0,21<br />
As aberturas das fissuras apresentaram-se com diferentes valores para os três<br />
casos analisados. De um modo geral, a pior condição foi observada para a opção 2 na<br />
região do engaste, que apresentou uma abertura de 0,21 mm.<br />
Os resultados para o coeficiente global γ gl , apresentados na Tabela 5.6,<br />
confirmam a armadura inicial como uma das possíveis ao projeto seguro, e habilitam as<br />
demais opções como sendo seguras.<br />
Tabela 5.6 - Valores de γ gl para a viga apoiada-engastada.<br />
opção armaduras (cm 2 ) carregamento carregamento γ gl<br />
A s A’ s caract. médias caract. de proj.<br />
inicial 6,28 13,19 55,0 kN/m 43,6 kN/m 1,26<br />
1 9,30 10,81 63,0 kN/m 45,2 kN/m 1,39<br />
2 8,22 8,22 58,1 kN/m 41,6 kN/m 1,40<br />
5.3.2 Laje simplesmente apoiada<br />
A laje empregada neste exemplo é aquela apresentada na Figura 5.19.<br />
Figura 5.19 - Laje apoiada nos quatro lados - exemplo 4.<br />
Supondo ser uma laje de pavimento usual de concreto armado, o carregamento<br />
convencional, bem como a combinações empregadas para o dimensionamento no ELU e<br />
a verificação dos ELS devem ser:<br />
g: 2,5 kN/cm 2 (peso próprio, supondo h=10 cm);<br />
1,0 kN/cm 2 (revestimento);<br />
q: 3,0 kN/cm 2 (sobrecarga).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
106<br />
Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa<br />
ELU: 1,4x(2,5+1,0)+1,4x3,0 = 9,1 kN/m 2 ;<br />
ELS: 1,0x(2,5+1,0)+0,2x3,0 = 4,1 kN/m 2 .<br />
O pré-dimensionamento, a partir dos esforços obtidos a partir das hipóteses da<br />
elasticidade, é feito de acordo com as tabelas de PINHEIRO (1996).<br />
M x = M y = 6,15 kN.m/m;<br />
A sx = A sy = 1,62 cm 2 /m.<br />
Considerando essa configuração de armaduras, as flechas calculadas nos<br />
instantes t 0 e t=∞ foram (considerando-se, simplificadamente, ϕ 28 =2,5):<br />
f 0 = 0,15 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento)<br />
f ∞ = 0,50 cm < l/250 (= 2,3 cm)<br />
O dimensionamento considerando-se a espessura h=10 cm leva à uma taxa de<br />
armadura pequena, o que sugere o mau aproveitamento do concreto. Alternativamente,<br />
adota-se uma nova espessura para a laje, agora de 9 cm, o que significa uma altura útil<br />
d=8,1 cm. As novas armaduras são:<br />
A sx = A sy = 1,82 cm 2 /m.<br />
Para a nova configuração, os deslocamentos calculados são de:<br />
f 0 = 0,20 cm<br />
f ∞ = 0,66 cm<br />
Para as duas taxas de armadura, foram calculados os coeficientes globais γ gl , que<br />
ficaram em 1,31 para a opção h=10 cm, e 1,30 para h=9,0 cm.<br />
6 CONCLUSÃO<br />
Os elementos finitos, bem como os modelos constitutivos empregados na<br />
descrição do comportamento mecânico dos elementos estruturais, mostraram-se<br />
suficientemente precisos para a representação dos estados limites último e de serviço<br />
abordados neste trabalho. Devido à maior capacidade de representação, os elementos<br />
finitos estratificados receberam maior ênfase em detrimento daqueles formulados no<br />
campo dos momentos fletores e das curvaturas (elementos não-estratificados).<br />
A obtenção de uma metodologia segura para o dimensionamento considerandose<br />
as leis constitutivas não-lineares ainda está por ser consolidada. A metodologia semiprobabilística,<br />
ou mesmo a do coeficiente global, são ainda passíveis de duras críticas, e<br />
necessitam ser melhor estudadas antes que o seu uso prático seja estabelecido. O futuro<br />
dessa área aponta para a confiabilidade estrutural como ferramenta para a viabilização<br />
de uma metodologia determinística segura.<br />
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 77-108, 2007
ISSN 1809-5860<br />
AVALIAÇÃO DA RIGIDEZ ROTACIONAL EM<br />
ESTRUTURAS PLANAS DE MADEIRA CONCEBIDAS<br />
POR ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS COM DOIS<br />
PARAFUSOS POR NÓ<br />
André Luis Christoforo 1 & Francisco Antonio Rocco Lahr 2<br />
Resumo<br />
Neste trabalho, é desenvolvido um programa através do método dos deslocamentos, em<br />
que o mesmo leva em consideração a influência do efeito da semi-rigidez rotacional nas<br />
ligações formadas por dois parafusos sobre o comportamento mecânico da estrutura.<br />
Esta configuração de parafusos é devidamente escolhida em função de sua corrente<br />
aplicação em estruturas de madeira, principalmente em estruturas auxiliares ou de<br />
cobertura. Vários exemplos de estruturas típicas de cobertura são executados<br />
considerando-se as três formas que o presente programa analisa, evidenciando-se a<br />
importância do comportamento semi-rígido sobre as ligações.<br />
Palavras-chave: ligações semi-rígidas; método dos deslocamentos; estruturas de<br />
madeira.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
As ligações são os elementos responsáveis pela redistribuição dos esforços<br />
entre os elementos estruturais. Na engenharia, foram elaborados alguns modelos<br />
teóricos ideais de cálculo para as ligações, baseando-se em algumas hipóteses<br />
simplificadoras de cálculo, como a que considera que os esforços solicitantes são<br />
transmitidos integralmente entre os elementos, evidenciando-se o comportamento<br />
teoricamente indeformável das ligações. Estes modelos ideais ou tradicionais são: a<br />
rótula e o engaste perfeito.<br />
Com o advento da análise experimental, o engenheiro descobriu que não só os<br />
materias empregados na construção da ligação eram responsáveis pela sua rigidez,<br />
em virtude desta variar de acordo com a disposição dos mesmos.<br />
De acordo com RIBEIRO (1997) o estudo das ligações teve início na Inglaterra<br />
no início do século XIX, com WILSON & MOORE, onde foram ensaiadas ligações<br />
rebitadas do tipo viga-coluna, com a finalidade de analisar o seu comportamento<br />
considerando a relação momento-rotação.<br />
1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong><br />
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas, frocco@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
110<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
Um trabalho de suma importância foi o de JOHNSTON & MOUNT (1942), que<br />
analisaram pórticos com ligações semi-rígidas. Posteriormente, SHOROCHNIKOFF<br />
(1950) verificou a influência das forças por ação do vento em ligações semi-rígidas<br />
para o mesmo tipo de estrutura.<br />
LOTHERS (1951) propôs equações para representar a restrição elástica de<br />
ligações semi-rígidas.<br />
FRYE & MORRIS (1975) utilizaram processos iterativos para obter o<br />
comportamento das ligações. KRISHNAMURTHY ET al. (1979) aplicaram o método<br />
dos elementos finitos (MEF) na obtenção de curvas de momento-rotação para<br />
ligações com chapa de aço. JONES ET al. (1980) verificaram a influência das ligações<br />
semi-rígidas em colunas de aço. SIMITSES & VLAHINOS (1982), também estudaram<br />
a estabilidade de pórticos planos com ligações semi-rígidas.<br />
As características estruturais das ligações semi-rígidas foram obtidas a partir<br />
de ensaios em escala real. MARAGHECHI & ITANI (1984) verificaram que as rigidezes<br />
axial e rotacional das ligações têm influência apreciável nas solicitações das/ barras,<br />
enquanto que a rigidez ao cisalhamento tem seu efeito desprezível.<br />
A deformabilidade das ligações entre os elementos estruturais de madeira são<br />
geralmente determinadas por meio de resultados experimentais, e muito raramente<br />
são elaborados modelos analíticos que representem o comportamento da resistência e<br />
da rigidez da ligação.<br />
Os resultados baseados apenas em procedimentos puramente experimentais<br />
são na maioria das vezes muito caros e, além disso, existe limitação na aplicação dos<br />
resultados, por serem aplicados a ligações com as mesmas dimensões e<br />
detalhamentos.<br />
Uma outra forma da determinação qualitativa e quantitativa na rigidez da<br />
ligação é desenvolver uma modelagem analítica que consiga retratar o comportamento<br />
da mesma, entretanto, como ligação revela uma certa complexidade na questão do<br />
seu comportamento, é necessário que se faça juntamente com a modelagem uma<br />
análise experimental para a validação desta modelagem teórica.<br />
Uma outra alternativa para a determinação da deformabilidade das ligações é<br />
por meio de procedimentos numéricos, procedimentos estes utilizados para o estudo<br />
das ligações parafusadas, como proposta do presente trabalho. Esses surgiram e<br />
ganharam amplitude de uso a partir do advento dos computadores, quando então,<br />
vários métodos numéricos surgiram na tentativa da resolução de problemas estruturais<br />
que anteriormente eram calculados de forma analítica.<br />
A análise numérica do comportamento semi-rígido das ligações começou com<br />
WEAVER & GERE (1986) com o método da flexibilidade. A partir deste método, foi<br />
possível determinar os coeficientes de semi-rigidez rotacional e de translação na<br />
matriz de rigidez de um elemento de barra de pórtico. Posteriormente, foram feitas<br />
análises experimentais em estruturas de madeira, com o objetivo de testar e validar<br />
suas formulações teóricas desenvolvidas.<br />
GESUALDO (1987), estudou a contribuição das deformações das ligações na<br />
rigidez da estrutura por meio de um ensaio de um modelo de viga treliçada de<br />
madeira (Aspidosperma polyneuron), com dez metros de comprimento, em duas<br />
maneiras diferentes: interligadas por anéis de aço e interligadas por cavilhas partidas<br />
de madeira (Eucalyptus citriodora), com força abaixo do limite de proporcionalidade. O<br />
estudo teórico restringiu-se na implementação numérica de um algoritmo em um<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
111<br />
programa para estruturas planas que contabilizasse a deformação pela não<br />
linearidade geométrica para um nó concebido por n parafusos. Foram contabilizados<br />
os efeitos de mola rotacional e axial, desprezando-se o efeito da mola com rigidez<br />
transversal ao elemento por causa da pequena influência que esta gera na ligação,<br />
quando comparada com as duas outras anteriormente citadas. A comparação dos<br />
resultados teóricos com as dos resultados experimentais mostrou-se aceitável,<br />
confirmando, portanto, a importância da contribuição das deformações das ligações<br />
na rigidez da estrutura.<br />
FERREIRA (1999) desenvolveu uma metodologia analítica para o cálculo de<br />
deformabilidades de ligações típicas de concreto pré-moldado, levando-se em conta<br />
os mecanismos básicos de deformação na ligação. Foram estudadas duas ligações<br />
típicas viga-pilar de concreto pré-moldado e posteriormente foram desenvolvidas as<br />
formulações analíticas que representavam o comportamento de ambas; a primeira<br />
ligação é formada com o auxílio de uma almofada de elastômero e chumbador (cálculo<br />
analítico da deformabilidade ao cisalhamento da ligação) e a segunda ligação é tida<br />
como resistente à flexão formada com o auxílio de chapas soldadas (cálculo analítico<br />
da deformabilidade à flexão da ligação). Para os protótipos com almofada de<br />
elastômero e chumbador, foram em média, 23 % superiores aos valores obtidos com<br />
relação aos dados experimentais, e a resistência ao cisalhamento atingiu valores entre<br />
96 e 100 % com relação aos obtidos experimentalmente. A ligação com chapa soldada<br />
apresentou uma rigidez da ordem de 83 % da rigidez monolítica e o valor calculado da<br />
rigidez à flexão secante foi de 5 % superior à rigidez apresentada pela ligação. Em<br />
função dos dados experimentais obtidos, chegou-se à conclusão de que a análise<br />
analítica das ligações desses tipos, na questão das medidas das suas<br />
deformabilidades, representaram o problema de forma coerente e concisa em função<br />
da pequena margem de erros entre os resultados analíticos e experimentais obtidos.<br />
ZHAO ET al (2000) introduziram o conceito e aplicação do sistema nodal<br />
Oktalok. O método de projeto proposto foi baseado na suposição que os nós são<br />
presos na extremidade e a rigidez rotacional é zero. Contudo, a capacidade estimada<br />
do pórtico pode aumentar significativamente, dependendo da rigidez rotacional dos<br />
nós. Os testes de rigidez e as simulações do elemento finito foram usados para<br />
determinar a rigidez rotacional dos nós Oktalok. Os testes de flambagem de coluna e<br />
análises de elemento finito não linear foram realizados para determinar a capacidade<br />
das colunas em condições últimas, utilizando ligações semi-rígidas. Uma simples<br />
fórmula para o fator efetivo de comprimento de flambagem da coluna foi baseada nas<br />
investigações teóricas e experimentais descritas acima.<br />
2 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ MODIFICADA<br />
A análise numérica do modelo será desenvolvida a partir da modificação da<br />
matriz de rigidez de um elemento prismático e unidimensional, analisado em um plano.<br />
Este elemento possui três graus de liberdade por nó, sendo dois graus quanto a<br />
translação e um grau quanto à rotação, de acordo com a figura 2.1.a.<br />
A modificação da rigidez rotacional nas extremidades do elemento estrutural<br />
será efetuada através da introdução de coeficientes, obtidos a partir da modificação<br />
matemática da rigidez das mola S ) , de acordo com a figura 2.1.b.<br />
( R<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
112<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
1<br />
3<br />
2<br />
4<br />
SRi<br />
6<br />
(a)<br />
5<br />
(b)<br />
SRj<br />
Figura 2.1 - Elemento com três graus de liberdade.<br />
Considerando-se para os valores desses coeficientes números grandes, isto é,<br />
9<br />
próximo de 10 , a matriz de rigidez modificada será aquela tradicionalmente utilizada<br />
para estruturas planas com três graus de liberdade. No caso dos valores dos<br />
9<br />
coeficientes serem considerados números pequenos, isto é, próximo de 10 − , a matriz<br />
de rigidez será aquela obtida para estruturas planas com dois graus de liberdade.<br />
Desta maneira, os valores intermediários têm o comportamento das estruturas<br />
planas com ligações semi-rígidas.<br />
A obtenção da matriz de rigidez do elemento para um elemento com ambas as<br />
extremidades semi-rígidas, será apresentada a seguir. A figura 2.2.a mostra um<br />
elemento com ligação semi-rígida, em ambas as extremidades. Será considerado<br />
S S<br />
(<br />
Ri ) como sendo a rigidez rotacional da extremidade "i" do elemento e (<br />
Rj ) a rigidez<br />
rotacional da extremidade "j" do mesmo.<br />
O comprimento do elemento é (L), a área da seção transversal é (A), o<br />
momento de inércia em relação ao eixo 3 é (I) e o módulo de elasticidade é (E). A<br />
matriz de rigidez do elemento é determinada no seu sistema de coordenadas locais (1-<br />
2-3). Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento são obtidos a partir da matriz de<br />
flexibilidade, utilizando-se a compatibilidade de Weaver e Gere (1986).<br />
eixo2<br />
EI<br />
eixo1<br />
i<br />
AL<br />
j<br />
eixo3<br />
SRi , S Ai<br />
(a)<br />
SRj<br />
, SAj<br />
D 21<br />
1<br />
D 11<br />
(b)<br />
1<br />
D 22<br />
D 12<br />
(c)<br />
Figura 2.2 - Elemento com ambas as extremidades semi-rígidas: determinação da<br />
matriz de rigidez.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
113<br />
2.1 Matriz de rigidez considerando-se apenas a rigidez rotacional<br />
Para obter os coeficientes de flexibilidade da extremidade “j”, o elemento é<br />
engastado elasticamente na extremidade “i” e livre na extremidade “j” como mostrado<br />
nas figuras 2.2.b e 2.2.c. Uma força unitária é aplicada na direção 2 e na extremidade<br />
“j” como mostrado na figura 2.2.b. Os coeficientes de flexibilidade, (<br />
D<br />
11 ) e (<br />
D<br />
21 ), na<br />
extremidade “j” são obtidos como segue.<br />
O deslocamento vertical na extremidade “j” devido à força unitária é chamado<br />
de<br />
D11<br />
e será composto de duas partes:<br />
1) Deslocamento na extremidade “j” devido à força unitária F :<br />
u<br />
3<br />
F L<br />
D11<br />
u =<br />
(1)<br />
3EI<br />
2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por<br />
F :<br />
u<br />
3) Momento na extremidade ”i” devido à F :<br />
u<br />
Fu<br />
Fu<br />
M = F L ⇒ M L<br />
i u<br />
i<br />
=<br />
a) Rotação na extremidade “i” devido à F :<br />
u<br />
Fu<br />
F<br />
F<br />
F M<br />
i<br />
M<br />
i<br />
u u<br />
u<br />
= S<br />
Riθ<br />
i<br />
⇒ θ = i<br />
S<br />
Ri<br />
F L<br />
u<br />
θ<br />
i<br />
=<br />
S<br />
Ri<br />
(2)<br />
(3.a)<br />
(3.b)<br />
c) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por<br />
F :<br />
u<br />
D<br />
=<br />
L<br />
⇒<br />
D<br />
⎛<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
θ Fu<br />
θ<br />
11<br />
θ<br />
i<br />
11 ⎜<br />
L<br />
S ⎟<br />
Ri<br />
L<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4)<br />
Deslocamento vertical total na extremidade “j” é<br />
3<br />
L<br />
D<br />
11<br />
= +<br />
3EI<br />
L<br />
2<br />
S Ri<br />
D<br />
θ<br />
11<br />
D<br />
F u<br />
11<br />
+ D11<br />
= , portanto:<br />
(5)<br />
A rotação na extremidade “j” devido à força unitária F u<br />
é chamado de D 21<br />
e<br />
será composta de duas partes:<br />
1) Rotação na extremidade “j” devido à F :<br />
u<br />
θ<br />
F u<br />
21<br />
2<br />
L<br />
=<br />
2 EI<br />
(6)<br />
2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por F :<br />
u<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
114<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
θ θ = 21<br />
L<br />
S<br />
Ri<br />
(7)<br />
3) Rotação total na extremidade “j” é<br />
2<br />
L<br />
D<br />
21<br />
= +<br />
2 EI<br />
L<br />
S Ri<br />
D<br />
Fu<br />
θ<br />
21<br />
= θ<br />
21<br />
+ θ<br />
21<br />
, portanto:<br />
(8)<br />
Aplicando-se, agora, um momento unitário na direção do eixo 3 na extremidade<br />
“j” como mostrado em figura 2.2.c, os coeficientes de flexibilidade , D 12 e D 22 , na<br />
extremidade “j” são obtidos como segue.<br />
O deslocamento vertical na extremidade “j” devido ao momento unitário<br />
chamado de D<br />
12 e será composto de duas partes:<br />
1) Deslocamento na extremidade “j” devido à M :<br />
u<br />
D<br />
M<br />
12<br />
u<br />
2<br />
L<br />
=<br />
2 EI<br />
2) Deslocamento da extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por<br />
M :<br />
u<br />
M<br />
u<br />
é<br />
(9)<br />
a) Momento na extremidade “i” devido à M :<br />
u<br />
M u<br />
M i<br />
= 1<br />
b) Rotação na extremidade “i” devido à M :<br />
u<br />
M<br />
M<br />
θ<br />
M<br />
i<br />
M<br />
i<br />
M u<br />
= S θ ⇒ θ<br />
R<br />
i<br />
M<br />
i<br />
u u<br />
=<br />
u<br />
=<br />
1<br />
S<br />
Ri<br />
S R<br />
u<br />
(10)<br />
(11.a)<br />
(12.b)<br />
c) Deslocamento na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causado por<br />
M :<br />
D<br />
u<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝ S<br />
θ<br />
12<br />
L<br />
Ri<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(13)<br />
Deslocamento vertical total na extremidade “j” é<br />
2<br />
⎛ L ⎞ ⎛ L<br />
12<br />
2<br />
⎟ ⎞<br />
D =<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⎜<br />
⎝ EI ⎠ ⎝ S Ri ⎠<br />
D<br />
θ<br />
12<br />
D<br />
M u<br />
12<br />
+ D12<br />
= , portanto:<br />
(14)<br />
A rotação na extremidade “j” devido ao momento unitário<br />
D<br />
22 e será composta de duas partes:<br />
M<br />
u<br />
é chamado de<br />
1) Rotação na extremidade “j” devido à M :<br />
u<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
115<br />
θ<br />
M u<br />
22<br />
=<br />
L<br />
EI<br />
(15)<br />
2) Rotação na extremidade “j” devido à rotação na extremidade “i” causada por M :<br />
u<br />
θ 1<br />
θ i<br />
=<br />
(16)<br />
22<br />
S Ri<br />
3) Rotação na extremidade “j” devido à própria rotação da mesma extremidade<br />
causada por M :<br />
u<br />
θ 1<br />
j<br />
θ =<br />
(17)<br />
22<br />
S Rj<br />
Rotação total na extremidade “j” é<br />
D<br />
θ<br />
22<br />
θ<br />
22 22<br />
+<br />
22<br />
M u θi<br />
j<br />
= + θ θ , portanto:<br />
⎛ L ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1<br />
22<br />
S ⎟ ⎞<br />
D = ⎜ ⎟ + + ⎜<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ EI ⎠<br />
⎝ S Ri ⎠ ⎝ Rj ⎠<br />
(18)<br />
Para facilitar as expressões das equações e, posteriormente, as matrizes,<br />
foram introduzidos os parâmetros adimensionais conforme a seguir:<br />
e =<br />
Ri<br />
e =<br />
Rj<br />
Rij<br />
EI<br />
LS<br />
EI<br />
LS<br />
Ri<br />
;<br />
;<br />
Rj<br />
1 + e<br />
Ri<br />
e<br />
Rj<br />
e = +<br />
e = 1 + e<br />
Ri1 Ri<br />
e = 1 + e<br />
Rj 1 Rj<br />
e = 1 + 2e<br />
Ri 2 Ri<br />
e = 1 + 2e<br />
Rj 2 Rj<br />
e = 1 + 3e<br />
Ri 3 Ri<br />
e = 1 + 3e<br />
Rj 3 Rj<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
;<br />
(19.a)<br />
(19.b)<br />
(19.c)<br />
(20.a)<br />
(20.b)<br />
(20.c)<br />
(20.d)<br />
(20.e)<br />
(20.f)<br />
Substituindo-se as equações (19 ) e ( 20 ) nas equações ( 5 ), ( 8 ), (14 ) e (18)<br />
e após algumas simplificações, os coeficientes de flexibilidade ficam da seguinte<br />
forma:<br />
D<br />
D<br />
D<br />
D<br />
11<br />
12<br />
21<br />
22<br />
3<br />
L e<br />
Ri 3<br />
= ;<br />
3EI<br />
2<br />
L e<br />
Ri 2<br />
= ;<br />
2EI<br />
2<br />
L e<br />
Ri 2<br />
= ;<br />
2EI<br />
Le<br />
Rij<br />
= .<br />
EI<br />
(21.a)<br />
(21.b)<br />
(21.c)<br />
(21.d)<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
116<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
[ ] jj<br />
A matriz de flexibilidade, F<br />
, para a extremidade ”j” será da seguinte forma:<br />
⎡D11<br />
D<br />
12 ⎤<br />
[ ] = (22)<br />
D<br />
F jj<br />
⎢<br />
⎣<br />
21<br />
D<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
3Le<br />
22<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
L 2 L e<br />
Ri 3<br />
3Le<br />
Ri2<br />
[ F = ] (23)<br />
jj<br />
6e<br />
6 EI<br />
Ri 2<br />
Rij<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
F<br />
jj<br />
Invertendo a matriz [ ] da equação (23), obtem-se a matriz de rigidez<br />
S<br />
jj<br />
modificada [ ], para a extremidade “j”:<br />
⎡6e<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
- 3Le<br />
- 3Le<br />
Rij<br />
Ri2<br />
[ S ] = C<br />
(24.a)<br />
jj<br />
onde: C =<br />
L<br />
3<br />
Ri2<br />
2<br />
2 L e<br />
2 EI<br />
Ri 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
[ 4e<br />
+ 3( 4e<br />
e − 1)<br />
]<br />
Rij<br />
Ri<br />
Rj<br />
(24.b)<br />
A matriz de rigidez completa [ S´<br />
M ], sem considerar a rigidez axial é obtida por<br />
Weaver e Gere (1986):<br />
⎡S<br />
ii<br />
S<br />
ij ⎤<br />
S´ ]= ⎢ ⎥<br />
(25)<br />
⎢⎣<br />
S<br />
ji<br />
S<br />
jj ⎥⎦<br />
[<br />
M<br />
S S<br />
Onde: [<br />
ii ], [<br />
ij S ], [<br />
ji<br />
S ] e [<br />
jj ], são todas submatrizes de [ S´<br />
M ]. Os<br />
S<br />
jj<br />
coeficientes em [ ] são definidos como as ações de restrição na extremidade “j” do<br />
elemento devido aos deslocamentos unitários na mesma extremidade. Os coeficientes<br />
S<br />
ij<br />
em [ ], são ações de restrição na extremidade “i” devido ao deslocamentos unitário<br />
S<br />
jj<br />
na extremidade “j” e eles estão em equilíbrio com os termos em [ ]. Os coeficientes<br />
S<br />
ji<br />
em [ ] consistem em ações de restrição na extremidade “j” devido aos<br />
S<br />
deslocamentos unitários na extremidade “i”. Os coeficientes em [<br />
ii ] ‚ são ações de<br />
restrição na extremidade “i” devido ao deslocamento unitário na extremidade “i” e eles<br />
S<br />
ji<br />
estão em equilíbrio com os termos em [ ].<br />
S<br />
jj<br />
A matriz de rigidez modificada [ ] foi determinada e é apresentada pela<br />
equação (24.a). As outras três submatrizes de [ S´<br />
M ] podem ser determinadas pela<br />
transformação de eixos. Estaticamente equivalente, as forças na extremidade “i”,<br />
podem ser obtidas através da matriz de transformação [T ], onde:<br />
⎡1<br />
0 ⎤<br />
T = ⎢<br />
(26)<br />
L 1<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
[ ]<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
117<br />
S ] − [ T ]<br />
[ ij<br />
S<br />
Nessas condições a submatriz [ ij ] pode ser determinada a partir da relação<br />
= [ S jj<br />
], assim tem-se:<br />
⎡−<br />
6e<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
− 3Le<br />
3Le<br />
Rij<br />
Ri 2<br />
[ S ] = C<br />
(27)<br />
ij<br />
Ri 2<br />
L<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
Como a matriz de rigidez [<br />
S´<br />
S<br />
M ] é simétrica à submatriz [ ji ], a mesma deve<br />
S<br />
ser igual à transposta de [ ij<br />
S ]. Assim, transpondo [ ji S ] = [ ij T ] tem-se:<br />
⎡−<br />
6e<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
3Le<br />
− 3Le<br />
Rij<br />
Ri 2<br />
[ S ] = C<br />
(28)<br />
ji<br />
Ri 2<br />
L<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
A submatriz restante [<br />
S S<br />
ii ] pode ser determinada a partir de [<br />
ji ] usando a<br />
[ S ] [ ] [ ]<br />
relação ii = − T S ji<br />
[ ]<br />
, isto dá:<br />
⎡6eRij<br />
3LeRi2<br />
⎤<br />
S<br />
ii<br />
= C ⎢<br />
2<br />
⎥<br />
( 29)<br />
⎢⎣<br />
3LeRi2<br />
2L<br />
eRj3<br />
⎥⎦<br />
Desta forma, todas as submatrizes de [ S´<br />
M ] da equação (25), foram<br />
determinadas. Assim, a matriz de rigidez modificada de um elemento, sem a inclusão<br />
da rigidez axial, é apresentada como:<br />
[<br />
⎡ 6e<br />
⎢<br />
⎢3Le<br />
] = C<br />
⎢−6e<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣3Le<br />
Rij<br />
Ri2<br />
3Le<br />
2Le<br />
Rij2<br />
−3Le<br />
2<br />
Rj2<br />
−6e<br />
−3Le<br />
2<br />
2<br />
Rj2<br />
Rj3<br />
Rj2<br />
(30)<br />
S ´<br />
M<br />
Rij<br />
L<br />
−3Le<br />
−3Le<br />
2<br />
LeRi<br />
3<br />
Através do princípio da superposição de efeitos, as coordenadas axiais ao<br />
elemento de pórtico (figura 3.5.), desconsiderando-se sobre estas o efeito semi-rígido,<br />
serão determinadas através do método dos deslocamentos (coeficientes de rigidez) e<br />
posteriormente, estes coeficientes serão alocados na matriz de rigidez do elemento<br />
modificada.<br />
Para o elemento com dois graus de liberdade, observe a figura 2.2.1.<br />
6e<br />
Rij<br />
Rij<br />
Ri2<br />
3 Le<br />
2<br />
L<br />
Ri2<br />
Ri2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
118<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
Figura 2.1.1 - Elemento com dois graus de liberdade.<br />
Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “1” e mantendo-se nulo<br />
o deslocamento na coordenada “4”, chega-se aos seguintes coeficientes re rigidez:<br />
EA<br />
K 11 = e<br />
L<br />
− EA<br />
K 14<br />
L<br />
= ( 31)<br />
Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada “4”, e mantendo-se<br />
nulo o deslocamento na coordenada “1”, chega-se aos seguintes coeficientes de<br />
rigidez:<br />
− EA<br />
K 41 = e<br />
L<br />
EA<br />
K 44 = ( 32)<br />
L<br />
A matriz de rigidez para um elemento de barra de pórtico será representada<br />
0<br />
pela matriz [<br />
S<br />
M ] da equação (33), com os termos da matriz<br />
[ S´<br />
M<br />
]<br />
da equação (30),<br />
juntamente com os coeficientes rigidez axial provenientes das equações (31) e (32),<br />
dispostos corretamente em função da ordem seqüencial dos graus de liberdade<br />
atribuídos ao elemento.<br />
[<br />
0<br />
S M<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
] =<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢ -<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
AE<br />
L<br />
0<br />
0<br />
AE<br />
L<br />
0<br />
0<br />
0<br />
6Ce<br />
3CLe<br />
0<br />
Rij<br />
- 6Ce<br />
3CLe<br />
Rj2<br />
Rij<br />
Rj2<br />
3CLe<br />
2<br />
2CL e<br />
0<br />
0<br />
3CLe<br />
CL<br />
2<br />
Rj2<br />
Rj3<br />
Rj2<br />
AE<br />
-<br />
L<br />
0<br />
0<br />
AE<br />
L<br />
0<br />
0<br />
0<br />
- 6Ce<br />
- 3CLe<br />
0<br />
6Ce<br />
Rij<br />
Rij<br />
- 3CLe<br />
Rj2<br />
Rj2<br />
0<br />
0<br />
3CLe<br />
CL<br />
2<br />
- 3CLe<br />
Rj2<br />
2<br />
2CL e<br />
Rj2<br />
Ri3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(33)<br />
3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO SEMI-RÍGIDO PARA UM MODELO<br />
SIMPLES<br />
Para analisar o comportamento da ligação semi-rígida, foi considerado uma<br />
barra engastada nas duas extremidades e aplicada uma força concentrada (F) no seu<br />
centro, como mostrada na figura 3.1. Os dados obtidos nessa análise valem para o<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
119<br />
comportamento individual de cada barra, independente do tamanho da estrutura ou da<br />
sua configuração.<br />
F (kN)<br />
i<br />
L<br />
2<br />
L<br />
2<br />
j<br />
Figura 3.1 - Barra bi-engastada nas extremidades.<br />
L<br />
Variou-se somente a rigidez rotacional (<br />
S<br />
R ), mantendo a rigidez axial<br />
constante em toda a simulação. Obteve-se assim, a relação Momento x Rigidez para<br />
as extremidades da barra, apresentada no gráfico 3.1. Aproveitando-se a variação da<br />
rigidez rotacional (<br />
S<br />
R ), obteve-se também os deslocamentos no ponto central da viga,<br />
onde a relação Deslocamento x Rigidez está apresentado no gráfico 3.2. Na ligação<br />
semi-rígida, a viga tem rotações nos nós “i” e “j” cujos valores variam em função da<br />
rigidez (<br />
S<br />
R ) adotadas para os mesmos, conforme o gráfico 3.3. Pode-se verificar com<br />
os resultados das três relações, que a rigidez se comporta exponencialmente, sempre<br />
convergindo para as situações esperadas, que é a de engastamento perfeito ou de<br />
uma barra simplesmente apoiada.<br />
M en<br />
Momento<br />
Rigidez<br />
S en<br />
Gráfico 3.1 - Relação momento x rigidez.<br />
M PL / 8<br />
No gráfico 3.1, en<br />
=<br />
é o momento de engastamento perfeito de uma<br />
viga bi-engastada com forca aplicada no ponto central. Para valores de rigidez<br />
S<br />
menores do que (<br />
en ), o momento comporta-se conforme a curva do mesmo gráfico.<br />
Caso a rigidez se aproxime de zero, o momento também converge para o mesmo<br />
valor.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
120<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
d 1<br />
Deslocamento<br />
d 2<br />
S 1<br />
Rigidez<br />
S 2<br />
Gráfico 3.2 - Relação deslocamento x rigidez.<br />
O gráfico 3.2, mostra que para<br />
S 2<br />
→ ∞<br />
3<br />
, deslocamento é d = PL / 192EI<br />
, ou<br />
seja, a viga é engastada. Para<br />
S 1<br />
→ 0<br />
3<br />
, o deslocamento é d = PL / 42EI<br />
, ou seja, a<br />
viga é bi-apoiada, ficando assim, a curva exponencial para o comportamento semirígido.<br />
Rotação<br />
θ 3<br />
θ 4<br />
S 3<br />
Rigidez<br />
S 4<br />
Gráfico 3.3 - Relação rotação x rigidez.<br />
O gráfico 3.3, mostra que para<br />
S 4<br />
→ ∞<br />
, a rotação é θ = 0 , ou seja, a viga<br />
S 0<br />
engastadas. Para 3<br />
→ 2<br />
, a rotação é θ = PL / 16EI<br />
, ou seja, a viga é bi-apoiada.<br />
Neste caso, para valores da rigidez entre zero e<br />
S4<br />
o comportamento é semi-rígido.<br />
Ressalta-se ainda, que para qualquer estrutura, a rigidez da ligação é adotada<br />
inicialmente, 1000 vezes a rigidez da barra, isto é:<br />
( 4E I )<br />
S = 1000.<br />
b<br />
/<br />
R b<br />
L b<br />
onde:<br />
S<br />
R<br />
: Rigidez da ligação.<br />
E b<br />
: Módulo de elasticidade da barra.<br />
.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
121<br />
I b<br />
:<br />
Momento de inércia da barra.<br />
L b<br />
: Comprimento da barra.<br />
4 CONSIDERAÇÃO DA RIGIDEZ ATRAVÉS DA LIGAÇÃO PARAFUSADA<br />
Neste trabalho, foi adotada, para o detalhamento da estrutura, uma ligação<br />
típica, utilizando dois parafusos, figura 4.1. A utilização mínima para essa ligação é<br />
uma disposição construtiva da NBR 8800 (1986). O afastamento dos parafusos<br />
determina um momento resistente na extremidade da barra. Através da entrada de<br />
dados conveniente no programa, o mesmo irá verificar o quanto este momento<br />
influenciará na ligação e na estrutura como um todo.<br />
e p<br />
FR<br />
FR<br />
Figura 4.1 - Detalhe da ligação parafusada.<br />
onde:<br />
e<br />
p<br />
é o espaçamento entre parafusos;<br />
F<br />
R<br />
é a força resistente dos parafusos;<br />
4.1 Determinação do momento resistente<br />
onde:<br />
A força resistente ao corte do parafuso é igual a:<br />
Φ = 0,65<br />
para parafusos ASTM A325 e ASTM A490<br />
Φ = 0,60<br />
para parafusos ASTM A307 e ISO 898<br />
R = 0, 42A<br />
NV<br />
AP<br />
f u<br />
P<br />
f<br />
u<br />
F<br />
R<br />
= Φ<br />
é a área bruta, baseada no diâmetro nominal “dp“ do parafuso.<br />
é a resistência à tração do material do parafuso.<br />
A resistência à tração do material do parafuso depende da especificação do<br />
próprio parafuso. A tabela 4.1 apresenta os valores de f<br />
u<br />
aplicáveis.<br />
V<br />
R<br />
NV<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
122<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
Tabela 4.1 - Materiais usados nos parafusos.<br />
ESPECIFICAÇÃO RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (MPA) DIÂMETRO (MM)<br />
ASTM A307 415 100<br />
ASTM A325<br />
825 12,7< dp < 25,4 *<br />
725 25,4[ dp < 38,1 *<br />
ASTM A490 1035 12,7[ dp
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
123<br />
dimensionamento mínimo de parafusos previsto por norma, para que a confiabilidade<br />
dos resultados não seja prejudicada.<br />
Após calcular o momento solicitante e o momento resistente, o programa<br />
compara os dois valores:<br />
Se<br />
, então:<br />
S<br />
M R<br />
recalcula-se toda estrutura, até que os momentos solicitantes em todas as ligações<br />
sejam iguais ou inferiores ao momento resistente:<br />
Se<br />
M ><br />
M < M , então:<br />
S<br />
R<br />
M = M<br />
o valor do momento continua sendo M<br />
S .<br />
O programa reduz a rigidez da ligação que foi solicitada além do seu limite,<br />
fazendo com que o momento solicitante na mesma seja igual ao resistente, e assim,<br />
uma nova rigidez deverá ser computada nos cálculos. O processo iterativo elaborado<br />
no programa fará os cálculos de forma em que o momento excedente na ligação<br />
propague-se para as demais ligações vizinhas através dos elementos estruturais.<br />
Desta forma, a estrutura encontrará uma nova configuração de equilíbrio.<br />
S<br />
R<br />
6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO<br />
A figura 6.1, mostra a geometria e o carregamento da estrutura Fink, com um<br />
vão de 10,80 m analisada nesse caso, sendo que, para esta estrutura, foi aplicada<br />
uma força concentrada no centro da mesma.<br />
Os valores dos momentos solicitantes, bem como o deslocamento no meio do<br />
vão, estão apresentados nas tabelas 6.1 e 6.2, respectivamente.<br />
Figura 6.1 - Estrutura Fink, L=10,80 m.<br />
Para a estrutura fink, mostrada na figura 6.1, foi-se efetuada sobre a mesma,<br />
uma análise mais completa do seu comportamento estrutural, isto é, em uma primeira<br />
avaliação, admitiu-se a rigidez das barras para verificar somente o comportamento da<br />
ligação semi-rígida. Em uma segunda avaliação, procurou-se obter qual o valor da<br />
ação externa responsável pelo início das primeiras iterações, isto é, quando a ligação<br />
foi solicitada ale’m do seu limite de resistência.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
124<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
Posteriormente, numa terceira avaliação, admitiu-se um valor para a ação<br />
externa superior às anteriores para que houvessem as devidas iterações e,<br />
conseqüentemente, as distribuições dos momentos. Os valores das ações para as<br />
três situações descritas anteriormente foram de 15, 300, 700 kN, respectivamente.<br />
6.1 Obtendo-se um pré-dimensionamento das barras<br />
Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são:<br />
Força concentrada nos nós: 15,00 kN.<br />
Área da seção transversal: 2,25 cm 2 .<br />
Momento de inércia: 0,4219 cm 4 .<br />
Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm 2 .<br />
Diâmetro do parafuso: 1,27 cm.<br />
Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm.<br />
O pré-dimensionamento das barras da estrutura foi realizado no Software SAP<br />
2000, conforme a figura 6.2. A única força externa concentrada, mencionada<br />
anteriormente de 15 kN, está aplicado no nó “10”. O Software SAP 2000 faz uma<br />
relação percentual das forças atuantes na estrutura e os seus valores limites para que<br />
as condições normativas sejam satisfeitas, sendo o valor 1, o coeficiente de<br />
solicitação máxima. No caso da estrutura Fink, mostrada na figura 6.2, pode-se<br />
verificar que os elementos do banzo superior próximos ao ponto de aplicação da força<br />
concentrada, encontram-se em seus respectivos limites de resistência.<br />
Observou-se que, após o processamento da estrutura no programa<br />
desenvolvido, não se verificou nenhuma iteração, porque o valor do momento<br />
resistente das ligações foram muito superiores aos solicitantes.<br />
Figura 6.2 - Pré-dimensionamento das barras.<br />
6.2 Sem a obtenção do dimensionamento das barras.<br />
Para se obter o processo de redistribuição entre os momentos que atuam na<br />
estrutura em função da ligação semi-rígida, admitiu-se um valor para a rigidez das<br />
barras na estrutura e aplicou-se também um valor de carga compatível para iniciar-se<br />
esse processo iterativo.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos...<br />
125<br />
Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são:<br />
Carga concentrada nos nós: 700,00 kN.<br />
Área da seção transversal: 2,25 cm 2 .<br />
Momento de inércia: 0,4219 cm 4 .<br />
Módulo de elasticidade: 20500 kN/cm 2 .<br />
Diâmetro do parafuso: 1,27 cm.<br />
Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm.<br />
Tabela 6.1 - Valores dos momentos solicitantes nos elementos, L=10,80 m.<br />
barra Nó(i) Nó(j) Rotulada Semi-Rígida Rígida<br />
nó “i” nó “j” nó “i” nó “j” nó “i” nó “j”<br />
1 1 2 0,00 0,00 -1,95 62,55 -1,09 81,14<br />
2 2 3 0,00 0,00 -52,95 -19,25 -55,11 -23,05<br />
3 3 4 0,00 0,00 -19,52 19,52 -19,77 19,77<br />
4 5 4 0,00 0,00 52,95 19,25 55,11 23,05<br />
5 6 5 0,00 0,00 1,95 -62,55 1,09 -81,14<br />
6 1 7 0,00 0,00 1,95 62,15 1,09 82,24<br />
7 7 8 0,00 0,00 -61,96 -21,17 -91,06 -35,93<br />
8 8 9 0,00 0,00 35,42 61,80 55,74 108,62<br />
9 9 10 0,00 0,00 -61,90 -62,04 -113,73 -111,71<br />
10 11 10 0,00 0,00 61,90 62,04 113,73 111,71<br />
11 12 11 0,00 0,00 -35,42 -61,80 -55,74 -108,62<br />
12 13 12 0,00 0,00 61,96 21,17 91,06 35,93<br />
13 6 13 0,00 0,00 -1,95 -62,15 -1,09 -82,24<br />
14 2 7 0,00 0,00 51,98 -0,19 52,91 8,91<br />
15 2 8 0,00 0,00 -61,57 -34,31 -78,95 -43,26<br />
16 3 8 0,00 0,00 7,24 -1,14 1,60 -4,42<br />
17 8 14 0,00 0,00 21,21 61,30 27,88 67,89<br />
18 9 14 0,00 0,00 -1,90 -45,10 5,11 -1,48<br />
19 3 14 0,00 0,00 31,54 61,96 41,23 87,27<br />
20 10 14 0,00 0,00 -61,24 -62,16 -148,26 -153,68<br />
21 10 15 0,00 0,00 61,24 62,16 148,26 153,68<br />
22 4 15 0,00 0,00 -31,54 -61,96 -41,23 -87,27<br />
23 11 15 0,00 0,00 1,90 45,10 -5,11 1,48<br />
24 12 15 0,00 0,00 -21,21 -61,30 -27,88 -67,89<br />
25 4 12 0,00 0,00 -7,24 1,14 -1,60 4,42<br />
26 5 12 0,00 0,00 61,57 34,31 78,95 43,26<br />
27 5 13 0,00 0,00 -51,98 0,19 -52,91 -8,91<br />
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126<br />
André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr<br />
Tabela 6.2 - Valor do deslocamento no meio do vão, L=10,80 m.<br />
Nó Rotulada Semi-Rígida Rígida<br />
3 -3,3467 -3,2350 -3,1580<br />
7 CONCLUSÕES<br />
No item 6, a máxima carga para que a estrutura Fink verifique o<br />
dimensionamento para as barras, foi de 15 kN; neste caso não houve iteração. Isso<br />
acontece devido ao fato de que o momento resistente é muito superior ao momento<br />
solicitante, aproximadamente vinte vezes. Portanto, a conclusão primordial a que se<br />
pode chegar da análise do comportamento das ligações semi-rígidas, é que a mesma<br />
só tem uma influência significativa para estruturas de grande porte, pois a variação do<br />
momento para estruturas de pequenos vãos, não terão grande significativa em termos<br />
de dimensionamento e de custo. Porém, em termos percentuais, dependendo da<br />
configuração da estrutura, pode-se chegar a uma variação de até 40% ou mais, do<br />
momento aplicado nos extremos de certos elementos.<br />
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 9, n. 41, p.109-128, 2007
ISSN 1809-5860<br />
A AÇÃO DO VENTO EM SILOS CILÍNDRICOS DE<br />
BAIXA RELAÇÃO ALTURA/DIÂMETRO<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior 1 & Carlito Calil Junior 2<br />
Resumo<br />
Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades<br />
mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares. As principais<br />
ações variáveis que atuam sobre os silos são as pressões devidas aos produtos<br />
armazenados e ao vento, sendo esta ação crítica quando o silo se encontra vazio.<br />
Devido à grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e à resistência elevada do<br />
aço, estas estruturas são leves e delgadas e, portanto, suscetíveis a perdas de<br />
estabilidade local e global e arrancamento. Com a finalidade de avaliar estes efeitos<br />
foram realizados estudos teóricos e experimentais sobre as ações do vento em silos. O<br />
trabalho foi desenvolvido com ensaios de modelos aerodinâmicos e aeroelásticos em<br />
um túnel de vento na Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o objetivo de<br />
determinar os coeficientes aerodinâmicos no costado e na cobertura. Os resultados<br />
mostram que os valores dos coeficientes recomendados pela Norma Brasileira de vento,<br />
NBR 6123 (1990), são adequados para o costado. Para a cobertura cônica, como não<br />
são especificados pela NBR, são recomendados valores dos coeficientes aerodinâmicos<br />
determinados nos ensaios. Conclui-se também que a colocação externa das colunas é a<br />
favor da segurança e que o uso de anéis enrijecedores no costado é indicado e muito<br />
importante para a estabilidade local e global da estrutura do silo.<br />
Palavras-chave: silos; ação do vento; modelos aerodinâmico; aeroelástico;<br />
coeficientes aerodinâmicos.<br />
1 INTRODUÇÃO<br />
Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as<br />
unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares,<br />
porque são eficientes, de baixo custo e de fácil montagem, seja em cooperativas ou<br />
agroindústrias.<br />
Este tipo de silo contém um arranjo estrutural de muitos elementos ligados por<br />
parafusos, sendo classificado em função da altura/diâmetro H/D: H/D≤0,5−curto;<br />
0,51,5−longo. O cilindro, ou costado, é composto em chapas<br />
metálicas corrugadas. A cobertura cônica é composta em painéis de chapas metálicas<br />
com dobras na direção da geratriz do cone. O costado é assumido rotulado à base,<br />
que pode ser rígida e, dependendo das dimensões do silo, é reforçado com colunas<br />
1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-<strong>USP</strong>, landrade_jr@hotmail.com<br />
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-<strong>USP</strong>, calil@sc.usp.br<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
130<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
metálicas de seção-U dispostas no perímetro e, opcionalmente, com anéis metálicos<br />
tubular ao longo da altura. A cobertura cônica também pode dispor de reforços com<br />
vigas radiais e circunferenciais. O fundo é, em geral, plano. Os silos têm dimensões<br />
comerciais que variam de 3 m a 32 m de diâmetro por 3 m a 30 m de altura, com<br />
volumes de 20 m 3 até 26.000 m 3 . Todo este conjunto encontra-se diretamente apoiado<br />
sobre uma base, com o costado fixo por parafusos a um anel rígido de concreto que é<br />
independente da base.<br />
1.1 Definição do problema<br />
Como conseqüência da grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e da<br />
resistência elevada do aço, são estruturas leves, de chapas delgadas e de grandes<br />
dimensões em relação ao peso-próprio, o que torna este tipo de silo susceptível ao<br />
problema de perda de estabilidade local e global da estrutura.<br />
Por conseguinte, os estados limites mais importantes para os silos metálicos<br />
são as perdas de estabilidade por compressão do costado devidas às ações de atrito<br />
com a parede dos produtos armazenados e devidas às pressões do vento (Figuras 1,<br />
2 e 3), e o arrancamento do costado (que se encontraria fixo à base) (Figura 4).<br />
Figura 1 - Perda de estabilidade do costado<br />
de silos na Austrália (ANSOURIAN 1985).<br />
Figura 2 - Perda de estabilidade do costado<br />
de um silo na Espanha (RAVENET 1992).<br />
Sobrepressão<br />
Vento<br />
Ponto de<br />
estagnação<br />
θ<br />
Sucção H/D = 10<br />
Sucção H/D < 2,5<br />
C = 1,0<br />
pe<br />
C = 0,5<br />
pe<br />
Figura 3 - Distribuições de pressões<br />
(NBR6123 1990).<br />
Figura 4 - Efeito de tombamento (RAVENET<br />
1992).<br />
Neste estudo são avaliados os efeitos do vento nos silos curtos e médios na<br />
condição de estarem vazios ou parcialmente preenchidos. Quando estão quase ou<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
131<br />
totalmente carregados os silos metálicos de fundo plano e diretamente apoiados no<br />
solo possuem grande massa e dificilmente sofrem danos devidos ao vento.<br />
Deste modo, foi realizado um programa de ensaios junto à Universidade de<br />
Cranfield, Inglaterra, com o apoio do CNPq, no túnel de vento de camada limite da<br />
Faculdade de Aeronáutica (College of Aeronautics), de 9 m de comprimento e seção<br />
retangular na câmera de ensaios de 8x4-ft em unidades inglesas, ou 1,22 x 2,44 m.<br />
Com o estudo dos modelos em túnel de vento, é feita uma avaliação do<br />
comportamento deste tipo de estrutura e fornecido um roteiro ao engenheiro estrutural<br />
para o cálculo das estruturas dos silos à ação do vento.<br />
2 METODOLOGIA<br />
Este tópico contém as descrições dos materiais empregados para a geração do<br />
escoamento de ar no túnel de vento e à confecção dos modelos, bem como dos<br />
métodos utilizados na determinação dos parâmetros de similaridade, e nas medições<br />
das pressões e deslocamentos dos modelos.<br />
2.1 Materiais<br />
Os materiais que são empregados para a construção dos dispositivos de<br />
geração de turbulência no escoamento de ar são madeira, papelão, PVC e aço.<br />
Os dispositivos usados para se obter os perfis são barreira alta, em madeira,<br />
grade em barras horizontais de aço arredondadas, geradores de vórtices em madeira<br />
e, para a rugosidade do piso do túnel, uma prancha com copos em PVC, duas<br />
pranchas com caixas de ovos em papelão, uma prancha com peças formadas por três<br />
blocos plásticos de Lego©, e metade de uma prancha com peças de um bloco.<br />
A função da barreira é prover um déficit inicial de quantidade de movimento<br />
representando o efeito de um campo de rugosidade mais longo; a dos geradores de<br />
vórtices, é distribuir esta quantidadade pela camada limite em desenvolvimento e<br />
influencia na turbulência média e a grade é usada para gerar turbulência média. Os<br />
elementos de rugosidade representam a superfície na vizinhança da estrutura real,<br />
conforme z 0 .<br />
Para a determinação das dimensões iniciais dos dispositivos, o silo em escala<br />
real é considerado em um terreno típico de fazendas com muitas árvores, cercas e<br />
algumas edificações, sendo adotado z 0 = 80 mm conforme (BLESSMANN 1995). De<br />
acordo com FANG & SILL (1992) o z 0 é proporcional à dimensão h k dos obstáculos,<br />
com c ≅ 0,1:<br />
z 0 = c.h k ( 1)<br />
Considerando-se que os modelos estão a uma escala geométrica de 1/42, e os<br />
obstáculos em escala real são de h k = 80.(1/0,1) = 800 mm, então a altura exigida para<br />
os elementos de rugosidade dentro do túnel é em torno de 800/42, sendo adotado 19<br />
mm. Os geradores de vórtices são calculados de acordo com SIMIU & SCANLAN<br />
(1986), e a altura da barreira é obtida experimentalmente, pelo ajuste dos perfis de<br />
velocidade e de intensidade de turbulência.<br />
A disposição final correspondente é mostrada na figura 5, em que o túnel<br />
apresenta seção transversal igual a 2440 por 1220 mm e o comprimento do campo<br />
medido a partir dos geradores ao centro da mesa giratória é 7850 mm.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
132<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
Grade<br />
Geradores de vórtices<br />
Campo com elementos de rugosidade<br />
Barreira<br />
Mesa giratória<br />
Figura 5 – Disposição geral dos dispositivos no túnel.<br />
Os modelos são rígido e flexível e os materiais usados são madeira, papel,<br />
cobre, PVC, PETP (Polyethlene terephthalate) e poliéster.<br />
O modelo rígido é feito em madeira e lâminas de madeira compensada, com<br />
pequenos tubos de cobre embutidos na lâmina e usados para tomadas de pressão,<br />
tubos em PVC para a conexão entre as tomadas e as válvulas, e entre estas e os<br />
transdutores de pressão. As colunas são feitas em madeira e PETP para simular as<br />
colunas no costado, e em fios roliços de cobre e φ=1,0 mm para simular as dobras<br />
radiais na cobertura cônica.<br />
O modelo flexível é composto em poliéster, Melinex©, na casca cilíndrica, em<br />
PETP nas colunas, com especificações dadas na tabela 1, e madeira balsa e papel na<br />
cobertura cônica. O emprego de madeira de baixa densidade (valor relativo à massa<br />
da água igual a 0,4) e papel na cobertura é justificado pelo fato de serem simuladas<br />
apenas as características de forma geométrica e de massa.<br />
Tabela 1 - Especificações para o material usado no Modelo 1,0.<br />
Melinex (casca cilíndrica) PETP (colunas) Propriedade<br />
E = 4414,5 Mpa E = 3000 Mpa Módulo de Elasticidade<br />
σ = 98,1 MPa σ = 80 MPa Tensão de escoamento<br />
γ = 1,4 g/cm 3 γ = 1,37 g/cm 3 Densidade<br />
2.2 Métodos<br />
Os métodos são análise dimensional e teoria da semelhança física, técnicas de<br />
ensaios em túnel de vento,medidas de pressões e visualização do escoamento na<br />
superfície dos modelos rígidos e medições de deslocamentos por imagens no modelo<br />
flexível.<br />
2.2.1 Análise dimensional<br />
O estudo do comportamento de silos cilíndricos à ação do vento envolve uma<br />
grande quantidade e diversidade de informações relacionadas às áreas de engenharia<br />
de estruturas e de engenharia do vento. A exeqüibilidade desta tarefa está ligada a<br />
condições e hipóteses simplificadoras que são obtidas com a análise dimensional, a<br />
qual abrange "os casos em que não é possível formular as equações diferenciais do<br />
fenômeno" (CARNEIRO 1996).<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
133<br />
Admite-se que o deslocamento radial da parede do silo, δ, é função de onze<br />
parâmetros característicos: diâmetro do silo D, massa específica do ar ρ, velocidade<br />
média do escoamento U, módulo de elasticidade E, tensão σ k , pressão exercida pelo<br />
vento p, uma freqüência das flutuações da velocidade do vento η, a viscosidade<br />
dinâmica do ar μ, a massa total da estrutura M, momento de inércia da estrutura I, um<br />
intervalo de tempo T c . Os parâmetros E, σ k , p têm as mesmas dimensões.<br />
Como resultado da análise dimensional são obtidos os números Π, que são<br />
interpretados como relações de escalas das grandezas existentes no protótipo e no<br />
modelo, sendo condição de semelhança a igualdade dos Π em ambos modelo e<br />
protótipo. Esta condição é definida como fator de escala λ, que é a relação entre a<br />
magnitude de uma grandeza física no modelo e a magnitude correspondente no<br />
protótipo. Por exemplo, se o modelo é feito 10 vezes menor que o protótipo, então o<br />
fator de escala é geométrico e definido λ L = 1/10. São utilizados subscritos para definir<br />
as grandezas nas Tabelas 2 e 3 e os fatores de escala λ. Além desses subscritos, m<br />
indica modelo, e p protótipo.<br />
Tabela 2 - Fatores de escala.<br />
λ L =<br />
Tabela 3 - Condições de semelhança.<br />
FATOR DESCRIÇÃO CONDIÇÃO DE SEMELHANÇA<br />
Dm<br />
D p<br />
Fator de escala Geométrico<br />
λ I m<br />
I = Fator de escala para o<br />
I p Momento de inércia<br />
Número Π<br />
δ λ<br />
Π 1 =<br />
δ<br />
= 1<br />
D λ L<br />
Π<br />
Condição:<br />
im<br />
= 1<br />
Πi<br />
p<br />
λ δ = λL<br />
ρ<br />
λ<br />
m<br />
ρ = Fator de escala para a massa I λ<br />
Π 2 =<br />
I<br />
1<br />
ρ p específica do ar D<br />
4 4 = λ 4<br />
I = λ L<br />
λL<br />
λ U m<br />
U = Fator de escala da velocidade<br />
U p ou cinemático<br />
Dη λ<br />
Π 3 =<br />
Lλη<br />
= 1<br />
U λU<br />
σ k m<br />
UT c λ<br />
λ σ =<br />
k<br />
σ<br />
Fator de escala da tensão<br />
Π =<br />
U λT<br />
4 c<br />
k<br />
D<br />
= 1<br />
p<br />
λL<br />
η<br />
λη =<br />
m<br />
η p<br />
λ η = λ U λL<br />
λ U = λL<br />
λ<br />
M λ<br />
Fator de escala de freqüência<br />
Π5<br />
=<br />
M<br />
1<br />
ρD<br />
3<br />
3 = λ 3<br />
M = λρ λ L<br />
λρ λL<br />
M m<br />
μ<br />
λ M =<br />
M Fator de escala de Massa Π =<br />
λμ<br />
6 = 1<br />
p<br />
ρDU<br />
λρ λ L λ U<br />
μ<br />
λ<br />
m<br />
μ = Fator de escala para a<br />
μ p viscosidade dinâmica do ar<br />
T c<br />
λμ<br />
λ L =<br />
λρ λU<br />
σ k λ<br />
Π7<br />
=<br />
σ k<br />
ρU<br />
2<br />
1<br />
2 = λ 2<br />
σ =<br />
k<br />
λρ λU<br />
λρ λU<br />
T c<br />
λ<br />
m<br />
T c<br />
=<br />
T<br />
Fator de escala de tempo<br />
c p<br />
OBS.: O fator de escala serve às grandezas<br />
relacionadas pelos fatores de forma<br />
2.2.2 Simulação em túnel de vento<br />
Para propósitos da engenharia estrutural é suficiente modelar o escoamento às<br />
condições, admitidas localmente estacionárias, da camada limite atmosférica (ASCE<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
134<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
1997). No túnel, a turbulência é gerada com uma superfície rugosa e gradiente de<br />
pressão nulo.<br />
O principal critério é a verificação do perfil de velocidade e da escala de<br />
turbulência medidos do escoamento no túnel e comparados àqueles da NBR 6123<br />
(1990) e ESDU (1995). Entretanto, as regiões de separação são fortemente<br />
influenciadas pela turbulência, logo também é importante a medição da intensidade de<br />
turbulência (COOK 1982).<br />
A metodologia está de acordo com BLESSMANN (1995) e BENDAT e<br />
PIERSOL (1971), e está esclarecida à medida que os parâmetros são mostrados.<br />
Esses perfis são traçados com as respectivas curvas teóricas, dadas por:<br />
()<br />
( )<br />
U z<br />
U z<br />
ref<br />
⎛ z<br />
= ⎜<br />
⎝ 10<br />
α<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
A intensidade de turbulência é definida como o quociente entre o desvio padrão<br />
das flutuações e uma velocidade de referência. Se a velocidade de referência for<br />
definida com um valor fixo, então a intensidade da turbulência é normalizada (I N ).<br />
σ<br />
I N = (3)<br />
Uref<br />
Onde U ref é a velocidade de referência, tomada a 10 m de altura em escala<br />
real.<br />
A turbulência do vento é caracterizada pelos turbilhões ou redemoinhos, cujas<br />
dimensões são avaliadas a partir das funções de autocorrelação. A partir destas<br />
funções são definidas as escalas temporal para o estudo da repetição das rajadas do<br />
vento, e espacial, para a caracterização da não uniformidade das rajadas sobre as<br />
estruturas.<br />
A autocorrelação descreve a dependência de um valor medido no tempo t com<br />
outro valor medido no tempo t+τ, para um mesmo ponto. Fisicamente, isto representa<br />
a “memória” do fenômeno das rajadas. Se a curva de autocorrelação for alargada,<br />
então a memória é grande; se a curva for estreita, então a memória é curta.<br />
Para avaliar a escala temporal, a partir das curvas de autocorrelação<br />
normalizada, ρ(τ), calcula-se o tempo característico, T c , do processo aleatório do<br />
vento, que é numericamente igual à área sob a curva de autocorrelação longitudinal<br />
normalizada.<br />
(2)<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
T c ( z)<br />
= ρ ( z;<br />
τ dτ<br />
(4)<br />
1 )<br />
A escala espacial é obtida a partir da escala temporal, considerando-se a<br />
hipótese de Taylor, em que os redemoinhos deslocam-se com a velocidade média do<br />
vento. Portanto, a escala espacial da turbulência, a uma certa altura z, é dada pelo<br />
comprimento médio dos maiores turbilhões na direção longitudinal, L 1 :<br />
L ( z)<br />
= U(<br />
z).<br />
T ( )<br />
(5)<br />
1 c z<br />
2.2.3 Medidas de pressões nos modelos rígidos<br />
As medidas das pressões são obtidas da diferença entre uma pressão de<br />
referência, que é a pressão estática no escoamento livre, e a pressão estática na<br />
superfície do modelo. Esta diferença é chamada pressão externa. Onde a pressão<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
135<br />
externa é numericamente igual à pressão ao longe é chamado ponto de estagnação. A<br />
pressão de referência é dada por um anel estático definido por três tomadas na seção<br />
de trabalho do túnel. O processo de medição é feito por meio de válvulas de busca<br />
automática, conhecidas como "scanivalves", e a pressão em cada tomada é medida<br />
por transdutores elétricos de pressão ligados a uma placa conversora AC/DC e<br />
armazenada no disco rígido de um microcomputador.<br />
Os parâmetros para o cálculo dos coeficientes de pressão externa C pe são<br />
pressão estática de referência p ref e pressão estática na superfície do modelo p m .<br />
A velocidade média de referência U é obtida a partir do perfil de velocidade<br />
medido dentro do túnel de vento, no centro da mesa giratória sem o modelo.<br />
O valor da pressão estática de referência é obtido com a tomada de pressão do<br />
anel estático de referência, ligada à válvula e daí ao transdutor, dentro do modelo.<br />
A equação para o cálculo dos coeficientes de pressão é:<br />
p m − p ref<br />
Cpe<br />
= (6)<br />
1 2<br />
ρ0U<br />
2<br />
2.2.4 Medições de deslocamentos por imagens<br />
Os deslocamentos na superfície cilíndrica do modelo flexível são medidos com<br />
o uso do Método do Reticulado, de acordo com SIROCHI & KRISHNA (1991), e a<br />
teoria dos pequenos deslocamentos como mostrada em JONES & WIKES (1989).<br />
2.2.4.1. Método do reticulado<br />
O método do reticulado requer linhas de referência sobre a superfície do objeto<br />
em observação. As distâncias entre as interseções das linhas são medidas antes e<br />
depois do modelo ser submetido à ação, no caso o escoamento de ar no túnel.<br />
As linhas de referência aplicadas ao modelo são na forma de um reticulado<br />
contínuo em padrão ortogonal, com circunferências ao longo da altura e linhas<br />
verticais em torno do perímetro. As linhas podem ser diretamente desenhadas ou<br />
aplicadas à superfície.<br />
Os deslocamentos normais são determinados pela diferença de medida do<br />
comprimento na diagonal e nas linhas laterais. São usadas câmeras de alta resolução,<br />
com lentes livres de distorção, para medir os deslocamentos normais e na superfície<br />
do modelo.<br />
2.2.4.2. Medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível<br />
No caso dos modelos cilíndricos em estudo são feitas medições apenas dos<br />
deslocamentos numa pequena área a meia altura do cilindro, que pode ser admitida<br />
plana.<br />
Na figura 6, as lentes das câmeras V 1 , V 2 e V 3 nas direções 0V 1 , 0V 2 e 0V 3<br />
gravam a imagem com um reticulado na superfície do objeto. As coordenadas das<br />
lentes das câmeras são (X 11 , X 12 , 0), (X 21 , 0, X 23 ) e (X 31 , X 32 , 0), respectivamente.<br />
Observe-se que 0V 1 = 0V 2 = 0V 3 e as lentes estão focalizadas no mesmo ponto.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
136<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
Figura 6 - Posições V 1 , V 2 , V 3 das câmeras.<br />
É sabido que há três componentes de deslocamento d 1 , d 2 , d 3 e nove<br />
gradientes de deslocamento, tal que são necessárias doze medidas. Como em cada<br />
vista das câmeras podem ser medidos quatro deslocamentos, sendo dois em cada<br />
extremidade da linha, figura 7, então há o número necessário de medidas para o<br />
cálculo dos deslocamentos.<br />
Q<br />
Δx<br />
k<br />
i1<br />
Q'<br />
Δx<br />
k<br />
i2<br />
P P'<br />
Δx<br />
k-1<br />
i1<br />
Δx<br />
k-1<br />
i2<br />
Figura 7 - Deslocamentos para a vista de cada câmera.<br />
3 PROCEDIMENTOS PARA OS ENSAIOS<br />
O estudo dos silos sob a ação do vento inicia-se com a constatação do<br />
problema de perda de estabilidade do costado e a necessidade de caracterizar o<br />
comportamento do silo.<br />
Para tanto, o desenvolvimento dos ensaios abrange os dimensionamentos dos<br />
protótipos e dos modelos, a geração e caracterização do escoamento de ar, os<br />
ensaios dos modelos rígidos para a determinação das pressões externas atuantes, e<br />
os ensaios do modelo flexível para o estudo do comportamento da casca cilíndrica à<br />
ação do vento.<br />
3.1 Dimensionamento dos protótipos e dos modelos<br />
São escolhidas duas relações H/D aos protótipos − 0,5 e 1,0 − para<br />
representarem as estruturas usuais de silos metálicos cilíndricos de chapas<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
137<br />
corrugadas, que são calculadas para suportarem os esforços devidos a qualquer um<br />
dos produtos arroz, feijão, milho e soja.<br />
A casca cilíndrica constitui-se em chapas metálicas corrugadas, ligadas entre si<br />
por parafusos, com a geometria dada nas figuras 8 e 9.<br />
As colunas metálicas são aparafusadas às chapas, e calculadas para<br />
suportarem os esforços verticais de compressão devidos ao peso da cobertura e ao<br />
atrito do produto. Desde que a cobertura não é objeto de estudo, são simuladas as<br />
características geométricas em todos os modelos, e a massa da cobertura do modelo<br />
flexível.<br />
Figura 8 - Geometria das chapas.<br />
Figura 9 - Geometria do silo.<br />
O cálculo das pressões dos produtos é realizado segundo a ISO 11.697 (1997),<br />
o dos esforços nos silos com base na formulação para o “Cálculo dos Esforços em<br />
Reservatórios Cilíndricos” (ANDRADE JR 1998). A verificação das chapas conforme<br />
TRAHAIR et al. (1983), as verificações dos elementos metálicos segundo o texto base<br />
para a norma brasileira "Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis<br />
formados a frio" da ASSOCIACAO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS - ABNT<br />
(2000).<br />
As dimensões e capacidade dos protótipos foram adotadas em função das<br />
maiores demandas comerciais deste tipo de silo, e estão indicadas na tabela 4.<br />
Tabela 4 - Dimensões dos protótipos<br />
H D b<br />
Vol. Total Capacidade dada em número de sacos<br />
H/D<br />
m m m<br />
m 3 de 50 kg, densidade 750 kg/m 3<br />
14,5 29,0 7,2 0,5 11.175 167.625<br />
21,5 21,5 5,3 1,0 8.456 126.840<br />
O dimensionamento dos modelos é feito de acordo com as leis de semelhança<br />
deduzidas no item 2.2.1. Análise dimensional, admitindo-se que: i) o fator de geometria<br />
é λ L = 1/42, e ii) o fator da velocidade do vento é λ U = 1/2.<br />
O fator geométrico é escolhido em função do tamanho da seção do túnel, das<br />
condições de simulação do vento e das respostas dos modelos. Para o flexível, uma<br />
escala pequena acarretaria em deslocamentos pouco perceptíveis da casca cilíndrica,<br />
e, para os rígidos, uma escala grande exigiria correções significativas das pressões.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
138<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
Os modelos rígidos têm relação H/D=0,5 e 1,0 e são denominados modelo 0,5<br />
e modelo 1,0. As dimensões estão na tabela 5, considerando-se que altura da<br />
cobertura cônica é b = 0,25D, e uma taxa de bloqueio igual a 10% da área da seção<br />
do túnel.<br />
Tabela 5 - Dimensões dos modelos em função dos diâmetros dos protótipos.<br />
D<br />
Seção - mm<br />
b<br />
D H b<br />
protótipo<br />
H/D área - m 2<br />
mm mm mm<br />
mm<br />
do túnel<br />
H<br />
29.000 690 345 173 0,5 1220 x 2440<br />
D<br />
21.500 510 510 128 1,0 2,97<br />
Em cada modelo há um conjunto de tomadas de pressão continua e igualmente<br />
distribuídos a 10 mm a partir do topo do cilindro, até a base e até o ápice da cobertura,<br />
sendo definidos modelos com superfícies lisas e com elementos externos. A figura 10<br />
mostra os modelos com elementos externos - colunas no corpo e fios na cobertura.<br />
15,1 10<br />
5,72<br />
29 tomadas<br />
39 tomadas<br />
10<br />
10<br />
5<br />
35 tomadas<br />
10 10<br />
51 tomadas<br />
363,8<br />
227,36<br />
545,72<br />
690<br />
510<br />
Figura 10 - Modelos com tomadas de pressão e elementos externos.<br />
As dimensões das colunas para o corpo cilíndrico e dos fios para a cobertura<br />
cônica são mostradas na tabela 6. São 48 colunas no corpo do modelo 0,5 e 36<br />
colunas no corpo do modelo 1,0, sendo as de 4x7 mm na porção inferior e as de 7x2<br />
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A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
139<br />
mm na porção superior. Nas coberturas, são 12 fios grandes e 12 médios em ambos<br />
modelos, e 24 fios curtos adicionalmente à do modelo 0,5.<br />
Tabela 6 - Dimensões das colunas e dos fios para os modelos.<br />
Dimensões das colunas, mm<br />
A largura segue a direção tangencial<br />
Fio,<br />
φ = 1,0 mm<br />
Comprimento Largura Espessura Comprimento<br />
Modelo 0,5<br />
120 4 7 724<br />
225 7 2 365 e 161<br />
Modelo 1,0<br />
260 4 7 544<br />
250 7 2 316<br />
O modelo flexível é calculado para atender às condições de semelhança de<br />
geometria, de rigidez, de massa, e de aerodinâmica em relação ao protótipo H/D=1,0,<br />
e é constituído em uma casca cilíndrica de Melinex© com 510 mm de diâmetro e de<br />
altura, altura da cobertura igual a 128 mm, figura 11. A casca tem uma espessura<br />
nominal de 0,095 mm, correspondente à espessura média da porção intermediária do<br />
cilindro (0,4H < média (t) < 0,8H); 36 colunas de PETP de espessura nominal de 2,02<br />
mm, numeradas a partir da linha de estagnação e considerando-se a simetria, e<br />
largura variável em relação à altura, como mostrado na tabela 7.<br />
Tabela 7 - Largura variável das colunas do modelo flexível.<br />
z largura<br />
mm mm<br />
24 11,97<br />
47 11,28<br />
71 11,28<br />
95 10,83<br />
119 10,31<br />
142 10,03<br />
166 10,03<br />
190 8,63<br />
213 7,99<br />
237 7,44<br />
261 6,72<br />
285 5,01<br />
308 4,32<br />
332 3,99<br />
356 3,36<br />
380 2,94<br />
403 2,67<br />
427 2,67<br />
451 2,67<br />
474 2,67<br />
498 2,67<br />
510 2,67<br />
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140<br />
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θ<br />
1<br />
9<br />
8<br />
2 3 4 5 6<br />
7<br />
Vento<br />
510<br />
Figura 11 - Modelo flexível.<br />
A direção z é vertical e a largura tangencial à casca cilíndrica. A cobertura<br />
segue a redução das escalas de geometria e de massa, com a finalidade de enrijecer<br />
o topo do cilindro, sendo construída em madeira balsa, para manter a relação<br />
massa/volume, e em papel impermeável para o acabamento externo final.<br />
3.3 Geração e caracterização do escoamento no túnel de vento<br />
O escoamento de ar gerado no túnel de vento deve atender à redução de<br />
escala geométrica e cinemática, de tal modo que seja simulada a porção inferior da<br />
camada limite, e sejam definidos os fatores e as condições para o silo e o terreno de<br />
modo a serem traçados os perfis de velocidade e de intensidade de turbulência, de<br />
acordo com as normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990). Também é verificada a<br />
escala espacial do vento, que indica as dimensões médias dos maiores turbilhões e<br />
são da ordem de 400 mm.<br />
3.4 Ensaios aerodinâmicos dos modelos rígidos<br />
Os modelos rígidos atendem às condições aerodinâmica e geométrica, e é<br />
admitido que os testes em túnel de vento apresentam as pressões independentes do<br />
número de Reynolds. Isto significa que os coeficientes de pressão são iguais no<br />
modelo e no protótipo.<br />
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A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
141<br />
Cada teste constituiu-se em posicionar um modelo no centro da mesa giratória,<br />
submetê-lo ao escoamento de ar e medir as pressões à medida que o modelo era<br />
girado.<br />
3.5 Ensaios estáticos do modelo flexível<br />
Os ensaios estáticos com aplicação de força pontual são efetuados e medidos<br />
por meio de um transdutor mecânico linear no modelo flexível para servir de parâmetro<br />
às medições que são realizadas sob a ação do vento. As medições também são<br />
efetuadas a partir das imagens obtidas por câmeras de vídeo para três posições<br />
diferentes, V 1 , V 2 , V 3 , indicadas na figura 13, e focos diferentes, foco 1 e foco 2,<br />
conforme as figuras 12 (a, b, c).<br />
Foco<br />
Foco<br />
Figura 12 (a) - Vista V 1 do<br />
modelo flexível indeformado.<br />
Figura 12 (b) - Vista V 2 do<br />
modelo flexível indeformado.<br />
Figura 12 (c) - Vista V 3 do<br />
modelo flexível indeformado.<br />
Figura 13 - Posições para a câmera relativas à seção do túnel.<br />
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142<br />
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3.6 Ensaios aeroelásticos do modelo flexível<br />
Os ensaios aeroelásticos seguem o mesmo procedimento de filmagens do<br />
ensaio estático, sendo realizados no túnel de vento 8x4-ft, de seção 1220 x 2440 mm.<br />
As velocidades médias no túnel de vento, referidas a 510 mm de altura, são<br />
aumentadas gradualmente e o modelo é filmado para as velocidades de 1,8 m/s (6,5<br />
km/h), 3,8 m/s (13,7 km/h), 5,6 m/s (20,2 km/h) e 6,93 m/s (25 km/h).<br />
4 RESULTADOS<br />
A abordagem definida na metodologia e nos procedimentos define os<br />
processos dos ensaios para as medições das características do escoamento de ar<br />
gerado no túnel de vento, das distribuições de pressões nos modelos rígidos e das<br />
configurações de deflexão e dos deslocamentos do modelo flexível. A finalidade é<br />
processar e analisar todos os dados obtidos em cada ensaio.<br />
4.1 Perfis de velocidade e de intensidade de turbulência e escalas de<br />
turbulência<br />
Os dados obtidos no túnel consistem em respostas elétricas do anemômetro de<br />
fio quente em volts, convertidas para velocidade em m/s, e normalizadas em relação à<br />
velocidade média igual a 14,43 m/s a 238 mm de altura (10 m em escala real).<br />
Os resultados são apresentados para a velocidade e a intensidade de<br />
turbulência calculadas para atenderem às normas ESDU (1995) e NBR 6123 (1990).<br />
50,00<br />
y = 65,68x 2 - 81,09x + 24,61<br />
50,00<br />
45,00<br />
45,00<br />
40,00<br />
40,00<br />
NBR6123<br />
35,00<br />
35,00<br />
ESDU<br />
Altura z, m<br />
30,00<br />
25,00<br />
20,00<br />
15,00<br />
10,00<br />
NBR6123<br />
ESDU<br />
1/42<br />
Polinômio (1/42)<br />
Altura, m<br />
30,00<br />
25,00<br />
20,00<br />
15,00<br />
10,00<br />
1/42<br />
Ref 1/42<br />
Polinômio (Ref<br />
1/42)<br />
y = 2,6819x 2 - 104,76x + 1034,5<br />
5,00<br />
5,00<br />
0,00<br />
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6<br />
Velocidade Normalizada<br />
1,0 = 14,43 m/s<br />
Figura 14 (a) - Perfis de velocidade<br />
normalizada e linha de tendência.<br />
0,00<br />
10 15 20 25 30<br />
Intensidade de Turbulência, %<br />
Figura 14 (b) - Perfis da intensidade de<br />
turbulência normalizada.<br />
As escalas de turbulência são obtidas a partir da autocorrelação entre as<br />
componentes flutuantes em torno da velocidade média, para três faixas de<br />
velocidades: 1) baixa, U = 3,94 m/s, 2) média, U = 11,40 m/s, e 3) alta, U = 15,56 m/s.<br />
As velocidades de referência são medidas a 238 mm de altura. As figuras 14 (a, b)<br />
mostram os gráficos para as escalas temporal e espacial da turbulência.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
143<br />
Tempo, s<br />
0,12<br />
0,10<br />
0,08<br />
0,06<br />
0,04<br />
0,02<br />
0,00<br />
0,0995<br />
0,0366<br />
0,0254<br />
3,94 11,40 15,56<br />
Velocidade, m/s<br />
Figura 15 - Escalas temporais de<br />
turbulência.<br />
Comprimento, mm<br />
500,00<br />
400,00<br />
300,00<br />
200,00<br />
100,00<br />
0,00<br />
392<br />
417<br />
396<br />
3,94 11,40 15,56<br />
Velocidade, m/s<br />
Figura 16 - Escalas espaciais de<br />
turbulência.<br />
4.2 Distribuições de pressões nos modelos rígidos<br />
Os resultados são os coeficientes de pressões externas, calculados para os<br />
modelos 0,5 e 1,0, com a altura de referência igual a H para o cilindro e a H+b para a<br />
cobertura cônica, em que b=D/4, o modelo 0,5 - H=0,5D=345 mm, e o modelo 1,0 -<br />
H=D=510 mm.<br />
As pressões dinâmicas de referência para o cálculo dos coeficientes de<br />
pressão são 149 Pa a 345 mm, para o cilindro e 188 Pa a 517,5 mm, para a cobertura<br />
do modelo 0,5. Para o modelo 1,0 as pressões respectivas são 185 Pa - 510 mm, e<br />
198 Pa - 637,5 mm.<br />
4.2.1 Coeficientes de pressão para o modelo 0,5<br />
Os coeficientes de pressão para o modelo 0,5 são apresentados para o modelo<br />
com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na<br />
cobertura.<br />
Nas figuras 20 e 21 estão apresentadas as isobáricas dos coeficientes de<br />
pressão, C pe , para o modelo 0,5 com superfície lisa e com elementos externos,<br />
respectivamente.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
144<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
4.2.2. Coeficientes de pressão para o modelo 1,0<br />
Os coeficientes de pressão para o modelo 1,0 são apresentados para o modelo<br />
com a superfície lisa e com os elementos externos – colunas no cilindro e fios na<br />
cobertura.<br />
Figura 17 - C pe para o modelo 1,0 liso.<br />
Figura 18 - C pe no modelo 1,0 nervurado.<br />
4.2.3. Coeficientes de arrasto e de sustentação para os modelos rígidos<br />
Conforme a literatura, a resistência de forma é praticamente igual à resistência<br />
global do corpo ao escoamento do ar. Deste modo, o cálculo dos coeficientes de<br />
arrasto, C a , e de sustentação, C s , é mais adequado pela integração dos coeficientes<br />
de pressão.<br />
O C a é a resultante dos componentes de C pe na direção do vento, vezes a área<br />
projetada do cilindro (HxD) ou da cobertura (Dxb/2). O C s é a resultante dos<br />
componentes dos C pe na direção perpendicular à do vento, vezes a área projetada da<br />
cobertura (πxD 2 /4). No cilindro o C s é considerado nulo devido à simetria do<br />
escoamento.<br />
A tabela 7 traz os valores de C a com U ref à altura H, de C s com U ref à altura<br />
H+b, e dos números de Reynolds. Os valores positivos de C a indicam força de arrasto<br />
na direção do vento e C s negativo indica força vertical com sentido para cima.<br />
Tabela 7 - Coeficientes de arrasto e de sustentação dos modelos.<br />
Modelo<br />
U ref , m/s C a , NBR C a<br />
H/D Superfície<br />
Cilindro Cilindro<br />
Cil. Cob.<br />
C a<br />
Cobertura<br />
C s<br />
Cobertura<br />
0,5 Lisa 0,50 0,51 -0,021 -0,55<br />
0,5 Elementos 15,58 17,50 0,70 0,61 0,033 -0,50<br />
1,0 Lisa 0,50 0,45 -0,030 -0,74<br />
1,0 Elementos 17,60 18,90 0,70 0,56 -0,019 -0,66<br />
R e<br />
7,36x10 5<br />
6,14x10 5<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
145<br />
4.3. Configurações e medidas das deflexões no modelo flexível<br />
O modelo flexível foi estudado em dois casos: o primeiro para as forças<br />
estáticas aplicadas ao cilindro e o segundo para as forças exercidas pelo vento gerado<br />
no túnel. A finalidade é coletar informações sobre as configurações e os valores de<br />
deslocamentos estáticos característicos, para servir de base na comparação da ordem<br />
de grandeza dos demais deslocamentos devidos à ação do vento.<br />
4.3.1. Ensaios estáticos<br />
As configurações do corpo cilíndrico são mostradas no caso do ensaio estático,<br />
para a aplicação das forças nos pontos θ = 0º, z = 255 mm e z = 380 mm, como<br />
mostrado nas figuras 19 (a) e (b). Os resultados correspondentes estão na tabela 8,<br />
em que as forças aplicadas e os deslocamentos radiais foram efetuados com um<br />
transdutor.<br />
255<br />
510<br />
510<br />
380<br />
Figura 19 (a) - Modelo flexível com força<br />
aplicada em z = 255 mm.<br />
Figura 19 (b) - Modelo flexível com força<br />
aplicada em z = 380 mm.<br />
Tabela 8 - Valores médios dos deslocamentos radiais dos ensaios estáticos medidos com o<br />
transdutor.<br />
Cota z<br />
mm<br />
255<br />
380<br />
Força<br />
N<br />
Deslocamento radial, mm<br />
Média<br />
Desvio padrão<br />
0,49 3,4 0,15<br />
0,98 5,1 0,07<br />
1,37 6,2 0,18<br />
0,49 3,9 0,13<br />
0,98 5,4 0,22<br />
1,37 6,6 0,21<br />
Os deslocamentos por imagens foram calculados com o foco 1 a partir das três<br />
vistas 0V 1 , 0V 2 e 0V 3 , como mostrado na figura 15. O procedimento para as medidas<br />
dos deslocamentos começa com a superposição da imagem digitalizada do modelo<br />
deformado sobre a imagem do modelo indeformado. Então, a imagem da camada<br />
superior (modelo deformado) é modificada e fica translúcida. A partir deste estágio, a<br />
imagem do modelo deformado tem a sua opacidade aumentada até um percentual, em<br />
torno de 35%, em que é possível ver as duas imagens, a do modelo em repouso e a<br />
do modelo deformado. Os valores dos deslocamentos estáticos obtidos por imagens<br />
são mostrados na tabela 9.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
146<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
Tabela 9 - Valores obtidos por imagens dos deslocamentos radiais estáticos.<br />
θ = 4,5º<br />
Cota z<br />
mm<br />
Força<br />
N<br />
Deslocamento radial,<br />
δ<br />
mm<br />
P 3 255 1,37 6,3<br />
P 6 300 1,37 6,7<br />
4.3.2 Ensaios aeroelásticos<br />
Os testes aeroelásticos foram gravados com a câmera em três posições<br />
diferentes para as velocidades em que é possível observar uma interação do modelo<br />
com o vento. As imagens foram digitalizadas com resolução de 2 pixels por mm, com<br />
um erro no deslocamento igual a 0,5 mm em cada imagem, a uma taxa de reprodução<br />
de 29,97 qps (quadros por segundo).<br />
A esta taxa, cada quadro ocupa 1/29,97 ≅ 0,033 s. A análise das imagens é<br />
feita quadro a quadro, o que significa que o erro de medida do tempo é dado por<br />
0,0167 s,.<br />
Para as velocidades de 1,8 m/s até quase 5,6 m/s o modelo não apresenta<br />
uma resposta visível. A partir de 5,6 m/s ocorrem os primeiros movimentos da coluna 4<br />
na região de mudança de pressões, aproximadamente a 35º da direção do vento.<br />
Na figura 23 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função<br />
do tempo de teste do modelo. O tempo médio de duração é igual a 0,14 s e o desvio<br />
padrão é igual a 0,08. Foram contadas 66 deflexões, ou 1,2 deflexão/s.<br />
A figura 24 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões<br />
consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento.<br />
O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,71 s e o desvio padrão é igual a 0,68 s.<br />
0,35<br />
3,00<br />
0,30<br />
35°<br />
35°<br />
2,50<br />
35°<br />
35°<br />
Duração, s<br />
0,25<br />
0,20<br />
0,15<br />
0,10<br />
4<br />
4<br />
Intervalo, s<br />
2,00<br />
1,50<br />
1,00<br />
0,05<br />
0,50<br />
0,00<br />
0,00<br />
0<br />
4<br />
8<br />
12<br />
17<br />
21<br />
25<br />
29<br />
33<br />
37<br />
41<br />
46<br />
50<br />
54<br />
0<br />
4<br />
8<br />
12<br />
15<br />
19<br />
23<br />
27<br />
31<br />
35<br />
38<br />
42<br />
46<br />
50<br />
54<br />
4<br />
4<br />
Tempo, s<br />
Figura 23 - Tempo de duração das<br />
deflexões na coluna 4; velocidade 5,6 m/s.<br />
Tempo, s<br />
Figura 24- Intervalo entre as deflexões na<br />
coluna 4; velocidade 5,6 m/s.<br />
O modelo foi testado gradualmente de 5,6 a 6,9 m/s, em que foram observados<br />
movimentos crescentes em número e intensidade na região a barlavento. Acima de<br />
6,9 m/s os movimentos começaram a ficar muito pronunciados e, por isto, foi decidida<br />
a velocidade de 6,9 m/s como representativa, no sentido de prover informações sobre<br />
a máxima interação das forças do vento com o modelo.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
147<br />
Na figura 25 são apresentados os tempos de duração das deflexões em função<br />
do tempo de teste do modelo sob a ação do vento. O tempo médio é igual a 0,23 s e o<br />
desvio padrão é igual a 0,15. Foram contadas 108 deflexões, ou 2,15 deflexão/s.<br />
A figura 26 apresenta os tempos de intervalo entre duas deflexões<br />
consecutivas em função do tempo decorrido do teste do modelo sob a ação do vento.<br />
O intervalo médio entre deflexões é igual a 0,24 s e o desvio padrão é igual a 0,31 s.<br />
Duração, s<br />
0,70<br />
0,60<br />
0,50<br />
0,40<br />
0,30<br />
0,20<br />
0,10<br />
0,00<br />
35°<br />
11<br />
0<br />
4<br />
9<br />
13<br />
18<br />
22<br />
26<br />
31<br />
35<br />
40<br />
44<br />
48<br />
Tempo, s<br />
Figura 25 - Tempo de duração das<br />
deflexões na coluna 1; velocidade 6,9 m/s.<br />
35°<br />
Intervalo, s<br />
1,80<br />
1,60<br />
1,40<br />
1,20<br />
1,00<br />
0,80<br />
0,60<br />
0,40<br />
0,20<br />
0,00<br />
0<br />
3<br />
7<br />
10<br />
14<br />
17<br />
21<br />
24<br />
27<br />
31<br />
34<br />
38<br />
41<br />
45<br />
48<br />
Tempo, s<br />
Figura 26 - Intervalo entre as deflexões na<br />
coluna 1; velocidade 6,9 m/s.<br />
35°<br />
11<br />
35°<br />
As amplitudes dos deslocamentos foram medidas das imagens e os resultados<br />
estão na tabela 10, para os pontos definidos nas figuras 27, 28 e 29 (vide figuras 12,<br />
13 e 14).<br />
Tabela 10 - Deslocamentos radiais típicos da casca cilíndrica na região 255 < z < 300 mm, -<br />
4,5º < θ < +4,5º, velocidade 6,9 m/s.<br />
Pontos 1 2 3 4 5 6<br />
Deslocamento, mm 6,0 5,5 5,0 5,2 2,8 2,8<br />
P 4<br />
P 5<br />
P 4<br />
P 6<br />
P 5 P 6<br />
P 4<br />
P 5<br />
P 6<br />
P 1 P 3<br />
P 2<br />
P 1 P 3<br />
P 2<br />
P 2<br />
P 1 P 3<br />
Figura 27 - Área em foco 1,<br />
vista 1.<br />
Figura 28 - Área em foco 1,<br />
vista 2.<br />
Figura 29 - Área em foco 1,<br />
vista 3.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
148<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
5 ANÁLISE DOS RESULTADOS<br />
Os valores dos C pe foram comparados com aqueles selecionados na literatura<br />
e indicam boa conformidade em relação aos pontos de separação do escoamento do<br />
costado, que são de 38º para o modelo 0,5 e 35º para o modelo 1,0. Para a cobertura<br />
lisa há menos resultados na literatura, mas comprovam os valores e a distribuição dos<br />
C pe obtidos neste trabalho.<br />
Para os modelos com superfície cilíndrica nervurada não há muitos artigos e os<br />
que foram encontrados não são recentes, com cerca de 40 e até 70 anos. Isto significa<br />
que a simulação das condições do escoamento de ar gerado no túnel não foi realizada<br />
e descrita conforme os métodos atuais, e faltam com detalhes e parâmetros<br />
estatísticos. Mesmo assim, os valores dos C pe não apresentam discrepâncias e a<br />
resposta geral e as mudanças dos coeficientes em decorrência das nervuras indicam<br />
um mesmo comportamento em relação aos resultados obtidos nos presentes ensaios.<br />
Deste modo, a contribuição é um conjunto de dados atualizados, com características<br />
de semelhança e simulação bem definidas, com repetições dos testes e aplicabilidade<br />
direta para os silos cilíndricos com coberturas cônicas.<br />
Para as coberturas dos modelos são obtidos resultados de pressão em<br />
superfícies lisas e com fios. A necessidade de dados para a superfície com fios é<br />
representar as dobras das chapas usadas em coberturas cônicas metálicas e seus<br />
efeitos nas distribuições de pressões.<br />
No geral, os resultados para a cobertura lisa estão em conformidade com<br />
aqueles comparados na literatura, o que indica que o método utilizado é adequado.<br />
Quanto à superfície cônica com fios, não havia resultados disponíveis para<br />
comparação. Os valores obtidos nos ensaios revelaram uma redução dos coeficientes<br />
de pressão na cobertura devida aos fios, o que é benéfico à estrutura.<br />
Também foram detalhados os valores dos C pe na junção do corpo cilíndrico à<br />
cobertura cônica. O efeito geral é uma redução significativa, em torno de 60%, destes<br />
coeficientes devido à colocação dos fios.<br />
Os valores derivados dos C pe , que são os coeficientes de arrasto e de<br />
sustentação, revelam que os valores da NBR 6123 (1990) são conservadores para os<br />
cilindros com nervuras externas, mas estão em conformidade para os cilindros lisos.<br />
Observa-se que o valor do C a obtido por SABRANSKY & MELBOURNE (1987)<br />
para um cilindro liso de H/D = 0,66, R e = 1,5x10 5 e cobertura cônica é cerca de 36%<br />
menor que o valor 0,51 obtido para o modelo 0,5 liso. Contudo, a NBR 6123 (1990)<br />
fornece um C a = 0,50 para um cilindro liso, R e ≥ 4,2x10 5 e H/D = 0,5. Portanto, o valor<br />
0,51 está em conformidade com o valor definido na norma brasileira de ventos.<br />
Para o modelo 0,5 com nervuras, o valor do C a da NBR 6123 (1990), para<br />
saliências 0,02D é 0,7, enquanto que o valor experimental obtido é igual a 0,61 para<br />
nervuras de saliências 0,01D para 0 ≤ z/H ≤ 0,35 e 0,006D para 0,35 ≤ z/H ≤ 1,0. Este<br />
valor 0,61 é justificado pelo fato que as relações 0,01D e 0,006D são menores que a<br />
definida pela norma.<br />
O modelo 1,0 liso apresenta um C a = 0,45, próximo ao valor 0,5 da NBR 6123<br />
(1990). É interessante que SABRANSKY & MELBOURNE (1987) para um silo de H/D<br />
= 1,16 e liso obtêm um C a = 0,28, muito inferior aos sugeridos pela NBR 6123 (1990).<br />
Para o modelo 1,0 com nervuras o C a = 0,56 é inferior ao 0,7 fornecido pela<br />
norma brasileira. Contudo, este valor está próximo ao 0,61 obtido por PRIS (1960),<br />
para um cilindro de H/D = 1,3 sob um R e = 3,0x10 5 . Ainda assim, o valor 0,56 é inferior<br />
ao da NBR, pois a relação das saliências é 0,014D para 0 ≤ z/H < 0,49 e 0,008D para<br />
0,49 ≤ z/H ≤ 1,0.<br />
A NBR 6123 (1990) não dispõe dos valores dos C pe e, conseqüentemente, dos<br />
coeficientes de sustentação C s para as coberturas cônicas.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
149<br />
Os valores dos C s para as coberturas cônicas encontrados na literatura são C s<br />
= -0,90 e C a = -0,13 de SABRANSKY & MELBOURNE (1987), para um modelo de H/D<br />
= 1,16 e cobertura cônica de 27º, de superfície lisa. Contudo, estes valores são<br />
maiores que C s = -0,55 e C a = -0,021 obtidos nos ensaios do modelo 1,0.<br />
A aposição de fios nas coberturas dos modelos reduziu o C s em 9%<br />
para o modelo 0,5 e em 11% para o modelo 1,0, e alterações pequenas nos valores<br />
dos C a .<br />
O modelo flexível foi construído em poliéster e em polietileno com relação<br />
H/D=1,0 e superfície externa com nervuras.<br />
Na literatura foram encontrados testes em modelos de alumínio em RESINGER<br />
& GREINER (1981), com superfície lisa, com o objetivo de serem medidas as<br />
pressões que provocam perda de estabilidade da casca cilíndrica. Com base nas<br />
constatações feitas para os modelos em alumínio e nos testes feitos com o modelo<br />
flexível, afirma-se que a configuração de deformação é de 2 semi-ondas para os silos<br />
metálicos de chapas corrugadas e colunas externas, mas sem anel de enrijecimento.<br />
Noutro estudo de UEMATSU & UCHIYAMA (1985) foi utilizado um modelo<br />
cilíndrico de H/D=2,0 e cobertura plana, também em poliéster, mas com superfície lisa,<br />
para o estudo do comportamento dinâmico do cilindro relacionado às características<br />
dos campos de pressões. Com base nestes autores, os resultados que foram obtidos<br />
para o modelo 1,0 indicam que as primeiras deflexões em um silo cilíndrico de chapas<br />
metálicas corrugadas com colunas externas podem ocorrer a partir de R e = 2,0x10 5 .<br />
6 CONCLUSÕES<br />
Na engenharia as estruturas dos silos são calculadas com a finalidade principal<br />
de suportarem as ações devidas aos produtos armazenados. A ação variável do vento<br />
é importante para o caso em que o silo é metálico e se encontra vazio e é necessário<br />
entender o seu comportamento para a verificação da estabilidade local e global do<br />
corpo cilíndrico.<br />
Os valores sugeridos pela NBR 6123 (1990) para os coeficientes de pressão no<br />
corpo do silo cilíndrico devem ser usados para um escoamento de ar acima da região<br />
crítica, ou seja, para número de Reynolds acima de 4,2x10 5 , ou seja, para D.U > 6,14<br />
m/s 2 , e com a pressão dinâmica q calculada à altura de referência igual a 10,0 m.<br />
Mantendo-se estas mesmas condições da norma, é proposta uma altura de<br />
referência em H porque se reporta diretamente à geometria do silo, e o valor da<br />
pressão dinâmica do vento pode ser facilmente calculado para esta altura.<br />
Para os cilindros com relação H/D = 0,5 os valores dos C pe da norma brasileira<br />
podem ser usados para a superfície lisa e, se usados para a superfície com elementos<br />
externos, ou saliências, os valores estão a favor da segurança.<br />
Para os cilindros com relação H/D = 1,0 os C pe positivos obtidos no presente<br />
trabalho estão de acordo com aqueles fornecidos pela norma brasileira, mas são muito<br />
diferentes na região de pressões negativas, principalmente para o cilindro liso.<br />
Deste modo, são fornecidos na tabela 11 os valores dos C pe para os cilindros<br />
de relação H/D = 0,5 e 1,0 para uma pressão dinâmica q calculada à altura de<br />
referência H, conforme o procedimento da NBR 6123 (1990).<br />
Na tabela 12 são apresentados os valores dos coeficientes de arrasto<br />
sugeridos para a relação de altura das nervuras próximas a 0,01.D e os valores da<br />
NBR 6123 (1990) para 0,02.D e 0,08D para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e<br />
1,0<br />
Os valores dos coeficientes de arrasto C a sugeridos pela NBR 6123 (1990) são<br />
mantidos para os silos lisos, porque estão em conformidade com os resultados<br />
obtidos. Para os cilindros com colunas externas de relação para a altura da coluna<br />
próximas a 0,01.D, é sugerido o valor 0,6, inferior ao da NBR 6123 (1990), que adota<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
150<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
0,7 para a relação 0,02.D. Para relações próximas a 0,08.D, os valores da NBR 6123<br />
(1990) são mantidos. Para relações intermediárias os coeficientes podem ser<br />
estimados por interpolação linear.<br />
Tabela 11 - Distribuição C pe para os silos cilíndricos de relação H/D = 0,5 e 1,0.<br />
Coeficientes de pressão externa C pe<br />
Pressão dinâmica q à altura H<br />
θ Superfície Lisa Superfície com Colunas<br />
0,5 1,0 0,5 1,0<br />
0º<br />
10º<br />
20º<br />
30º<br />
35º<br />
40º<br />
50º<br />
60º<br />
70º<br />
80º<br />
90º<br />
100º<br />
110º<br />
120º<br />
140º<br />
160º<br />
180º<br />
0,9<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,3<br />
0,15<br />
0<br />
-0,4<br />
-0,75<br />
-1,00<br />
-1,14<br />
-1,14<br />
-0,95<br />
-0,39<br />
-0,39<br />
-0,39<br />
-0,39<br />
-0,39<br />
0,85<br />
0,8<br />
0,5<br />
0,2<br />
0<br />
-0,2<br />
-0,6<br />
-1,0<br />
-1,3<br />
-1,5<br />
-1,5<br />
-1,3<br />
-1,0<br />
-0,6<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
0,80<br />
0,75<br />
0,6<br />
0,4<br />
0<br />
-0,3<br />
-0,5<br />
-0,7<br />
-0,8<br />
-0,6<br />
-0,6<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,45<br />
-0,4<br />
-0,4<br />
-0,4<br />
0,85<br />
0,7<br />
0,5<br />
0,2<br />
0<br />
-0,3<br />
-0,65<br />
-0,8<br />
-0,9<br />
-0,7<br />
-0,6<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
-0,5<br />
Vento<br />
θ<br />
D<br />
D<br />
H<br />
b<br />
Tabela 12 - Valores dos C a para silos cilíndricos com relação H/D = 0,5 e 1,0.<br />
Re<br />
H/D<br />
Planta<br />
x 10 5 0,5 1,0<br />
Vento<br />
D<br />
Liso<br />
Com colunas de<br />
altura = 0,01D<br />
Com colunas de<br />
altura = 0,02D<br />
Com colunas de<br />
altura = 0,08D<br />
≤ 3,5<br />
≥ 4,2<br />
Todos<br />
valores<br />
Todos<br />
valores<br />
Todos<br />
valores<br />
0,7<br />
0,5<br />
0,7<br />
0,5<br />
0,6 0,6<br />
0,7 0,7<br />
0,8 0,8<br />
A norma brasileira não apresenta valores para os coeficientes de pressão<br />
externa na cobertura cônica. Com base nos resultados obtidos são propostas as<br />
distribuições dos coeficientes de pressão externa em coberturas cônicas, que estão<br />
apresentadas nas figuras 30, 31, 32 e 33. Estas distribuições servem para o cálculo<br />
das forças localizadas nas coberturas cônicas lisas e nervuradas, com fios de altura<br />
0,01.b.<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro<br />
151<br />
1310<br />
11 12<br />
11<br />
12<br />
12<br />
10<br />
11<br />
11<br />
11<br />
10<br />
10<br />
42<br />
9<br />
4<br />
5<br />
8 7<br />
6<br />
8<br />
10<br />
9<br />
9<br />
9 10<br />
9 9 9<br />
10<br />
11<br />
11<br />
11<br />
11<br />
Nível C pe<br />
13 0<br />
12 -0,25<br />
11 -0,5<br />
10 -0,7<br />
9 -1<br />
8 -1,2<br />
7 -1,4<br />
6 -1,7<br />
5 -1,9<br />
4 -2,1<br />
3 -2,4<br />
2 -2,6<br />
1 -2,85<br />
9<br />
9<br />
9<br />
6<br />
12<br />
9 4 5 6<br />
11 10 8 6<br />
7 6 10 11<br />
109 9<br />
11 9<br />
11<br />
11<br />
7<br />
8<br />
11<br />
10 9<br />
10<br />
10<br />
9<br />
9<br />
9<br />
9<br />
9<br />
Nível C pe<br />
12 -0,1<br />
11 -0,3<br />
10 -0,5<br />
9 -0,7<br />
8 -0,9<br />
7 -1,1<br />
6 -1,3<br />
5 -1,5<br />
4 -1,7<br />
3 -1,9<br />
2 -2,1<br />
1 -2,3<br />
Figura 30 - C pe para cobertura cônica lisa<br />
com 27º em silos com H/D=0,5.<br />
Figura 31 - C pe para cobertura cônica<br />
nervurada com 27º em silos com H/D=0,5.<br />
11<br />
14<br />
12<br />
12<br />
13<br />
12<br />
12<br />
11 10 7 4 9 8 12 13<br />
10<br />
11<br />
12<br />
12<br />
Nível C pe<br />
14 -0,1<br />
13 -0,4<br />
12 -0,7<br />
11 -1,0<br />
10 -1,3<br />
9 -1,6<br />
8 -1,9<br />
7 -2,2<br />
6 -2,5<br />
5 -2,8<br />
4 -3,1<br />
3 -3,5<br />
2 -3,8<br />
1 -4,1<br />
7<br />
12<br />
8<br />
11<br />
9<br />
10<br />
9 9<br />
8<br />
7 6 3 3 9 10<br />
4 4<br />
7<br />
6<br />
8<br />
9<br />
10<br />
Nível C pe<br />
12 0<br />
11 -0,2<br />
10 -0,4<br />
9 -0,6<br />
8 -0,8<br />
7 -1,0<br />
6 -<br />
1,15<br />
5 -1,3<br />
4 -1,5<br />
3 -1,7<br />
2 -1,9<br />
1 -2,1<br />
Figura 32 - C pe para cobertura cônica lisa<br />
com 27º em silos com H/D=1,0.<br />
Figura 33 - C pe para cobertura cônica<br />
nervurada com 27º em silos com H/D=1,0.<br />
Na tabela 13 são propostos os coeficientes de arrasto e de sustentação para a<br />
determinação das forças globais que atuam nas coberturas cônicas.<br />
Tabela 13 - Valores dos coeficientes de arrasto e de sustentação para as coberturas cônicas<br />
de inclinação 27º (b/D=1/4) com relação H/D = 0,5 e 1,0.<br />
Superfície H/D C a C s<br />
Lisa 0,5 -0,02 -0,55<br />
Nervurada 0,01.b 0,5 0,03 -0,5<br />
Lisa 1,0 -0,03 -0,75<br />
Nervurada 0,01.b 1,0 -0,02 -0,65<br />
É vantajoso o posicionamento das colunas externamente, porque reduz pela<br />
metade as pressões nas laterais do corpo cilíndrico. Um ônus seria o acréscimo da<br />
força de arrasto, mas isto não aumenta a ancoragem do silo significativamente em<br />
relação ao benefício de se ter um alívio das pressões nas laterais do silo.<br />
Os testes no modelo flexível permitiram avaliar a formulação teórica para uma<br />
casca cilíndrica com colunas. O comportamento da casca somente com colunas foi<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p. 129-155, 2007
152<br />
Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior<br />
simulado no túnel de vento, mas as deflexões começaram a 5,6 m/s e, sem dúvida,<br />
para 6,9 m/s os deslocamentos extrapolaram a capacidade da estrutura. A conclusão<br />
é que o corpo do silo necessita de anéis de enrijecimento ao longo da altura.<br />
Como uma sugestão preliminar para que a estrutura suporte maiores<br />
velocidades do vento, fundamentada nos estudos de BRIASSOULIS & PECKNOLD<br />
(1986) e na formulação teórica de BRUSH & ALMROTH (1975), sugere-se que sejam<br />
conectados anéis de seção tubular para enrijecer o costado do silo.<br />
Supondo-se que o silo esteja com colunas externas, mas não seja enrijecido<br />
com anéis, estima-se que a perda de estabilidade ocorreria para uma pressão crítica<br />
igual a 375 N/m 2 , que, nas condições de terreno estabelecidas para os protótipos,<br />
equivale a V o = 25 m/s. Rememorando-se que o modelo flexível desenvolve um<br />
comportamento de deflexões máximas à velocidade de 6,9 m/s, o que dá 14 m/s em<br />
escala real, ou 120 N/m 2 , considera-se que é preciso rever essa formulação. A título<br />
de entendimento do efeito das colunas, caso fosse considerado o cilindro somente<br />
com as chapas corrugadas, a pressão crítica seria igual a 314 N/m 2 . Caso as chapas<br />
não fossem corrugadas, a pressão crítica no cilindro seria 6,5 N/m 2 .<br />
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