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152 Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença dependência dos resultados com a discretização adotada. Em outras palavras, nos modelos constitutivos clássicos, baseados em uma descrição local do comportamento do material, a largura da zona de localização tende a zero, uma vez que a simulação procura encontrar uma condição compatível com uma fratura discreta. Entre as técnicas de regularização da resposta numérica propostas na literatura, o trabalho trata daquela que consiste na inclusão de gradientes de ordem superior na função de escoamento. Os parâmetros que acompanham os termos com gradiente são chamados parâmetros de difusão e são considerados neste trabalho, como características do material. Segue o estudo de regularização dos modelos elásticos com dano. Diferentemente do modelo elasto-plástico, regularizado com gradientes segundo e quarto e com parâmetros de difusão constantes, não se apresenta, no modelo de dano, uma largura de banda fixa e finita, sendo que a mesma tende a zero na medida que o valor do parâmetro de dano tende à unidade. Três modelos com gradiente foram estudados: gradiente segundo com parâmetro de difusão constante, gradiente segundo com parâmetro de difusão nãoconstante, gradientes segundo e gradiente quarto com parâmetros de difusão constantes. Novamente a questão da largura da banda de localização foi abordada via uma análise de propagação de ondas. Conclui-se que é possível reproduzir uma largura finita ao final da análise, no caso de parâmetros de difusão variáveis com o dano; o gradiente quarto tende a retardar o processo de formação da descontinuidade, ou largura nula. Os modelos apresentados foram implementados com o emprego do Método dos Elementos Finitos em sua formulação em variáveis generalizadas. A base variacional de tal técnica permite uma implementação numérica do modelo a gradiente sem a necessidade de impor a priori condições extra de contorno. Os exemplos ilustram os diversos aspectos do modelo, evidenciados nas análises teóricas, e apontam limites de aplicabilidade da técnica de regularização adotada. 6 REFERÊNCIAS ASARO, R. J. Material modeling and failure modes in metal plasticity. Mechanics of materials, n.4, p.343-373, 1985. BALBO, A. R. (1998). Contribuição à formulação matemática de modelos constitutivos para materiais com dano contínuo. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. BAZANT, Z. P.; CEDOLIN, L. Continuum stability of structures: elastic, inelastic, fracture, and damage theories. Oxford University Press, 1991. BENALLAL, A.; BILLARDON, R.; GEYMONAT, G. Some mathematical aspects of the damage softening problem. In: MAZARS, J.; BAZANT, Z. P. (Eds.). Cracking and damage. Amsterdam: Elsevier, 1988. p.247-258. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008
Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano 153 CEDOLIN, L.; DEI POLI, S.; IORI, I. Tensile behavior of concrete. J. eng. mech., ASCE, v.113, n.3, p.431-449, 1987. COMI, C. A gradient damage model for dynamic localization problems, Rend. Sc. Istituto Lombardo, (1997), to appear COMI, C. Computational modelling of gradient-enhanced damage in quasi-brittle materials, Mech. Cohes. - Frict. Mater., v.4, n.1, p.17-36, 1999. COMI, C.; BERTHAUD, Y.; BILLARDON, R. On localization in ductile-brittle materials under compressive loadings, Eur. j. mech. a/solids, v.14, n.1, p.19-43, 1995. COMI, C.; DRIEMEIER, L. On gradient regularization for numerical analyses in the presence of damage. In: DE BORST, R.; VAN DER GIESSEN, E. (Eds.). Material instabilities in solids, 1998. p.425-440. COMI, C.; DRIEMEIER, L. On gradient regularization of damage models. In: EUROMECH SOLID MECHANICS CONFERENCE, 3., Estocolmo, Suécia, 1997. COMI, C.; PEREGO, U. A generalized variable formulation for gradient-dependent softening plasticity, Int. j. num. meth. engng, n.39, p.3731-3755, 1996. COMI, C.; PEREGO, U. A unified approach for variationally consistent finite elements in elastoplasticity. Comp. meth. in appl. mech. and engng., n.121, p.323-344, 1995. COMI, C.; PEREGO, U. Formulazione di elementi finiti elasto-plastici in variabili generalizzate. In: CONVEGNO ITALIANO DI MECCANICA COMPUTAZIONALE, 6., 1991. COMI, C.; PEREGO, U. On visco-damage models for concrete at high strain rates. In: D.R.J.OWEN, E.ONATE, E.HINTON (Eds.). Computational plasticity: fundamentals and applications, 5., Barcelona: CIMNE, p.1551-1555, 1997. CORRADI, L. A displacement formulation for the finite element elastic-plastic problem, Meccanica, n.18, p.77-91, 1983. CORRADI, L. On compatible finite element models for elastic plastic analyses. Meccanica, p.133-150, Sep.1978. DE BORST, R.; HEERES, O. M.; BENALLAL, A. A gradient enhanced damage model: theory and computation. In: OWEN, D. R. J.; ONATE, E.; HINTON, E. (Eds.). Computational plasticity: fundamentals and applications, 4., Barcelona: Pineridge- Press, 1995. p.975-986. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008
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