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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano
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tanto os graus de liberdade Θ dos pontos internos quanto o número de multiplicadores
generalizados de Lagrange por elemento n e μ . Por exemplo, se μ é constante em um
elemento n e μ = 1, como para o elemento de treliça de três nós, TRU-3, uma variável
generalizada interna Θ i pode ser eliminada. Deste modo, as n Θ equações 43 permitem
calcular as n μ variáveis μ e as (nΘ − n μ ) variáveis restantes Θ como função de
todas as variáveis D . Devido à necessidade de continuidade do campo aproximado Θ ,
esta parte deve ser processada em escala estrutural, mas apenas uma vez na análise toda.
Finalmente, substituindo estes valores na função generalizada de danificação 41 obtémse
a fase de correção discretizada, na forma de um problema de complementariedade
não- linear, diretamente obtido do princípio da mínima energia:
( ) ( )
( ) ( )
f ≡ϕ ε − a ε + b D + d ε, D −k −GD ≤0
,
T
ΔD ≥ 0,
f ΔD=
0
(46)
onde a matriz G , que depende das matrizes de interpolação NΘ , N D e N μ ,
considera os termos gradientes.
O processo de solução do problema seguido neste trabalho para a fase de correção pode
ser interpretado como ‘Método de restrições discretas de Kirchhoff’ (discrete Kirchhoff
constraints approach). Tal método foi introduzido por Zienkiewicz & Taylor 31 no
contexto da formulação de elementos de viga, membrana e casca, desprezando-se a
deformação por cisalhamento.
Os problemas da fase de correção são facilmente resolvidos, uma vez que os conjuntos
de equações 37 e 41-42 têm a forma de um problema de complementariedade nãolinear
(PCNL). Caso d = 0 tem-se o problema de complementariedade linear (PCL) e
a solução é menos complexa.
4 Exemplos
4.1 Exemplo teórico unidimensional
Para o exemplo unidimensional, considerem-se as discretizações em 40 (malha 1), 80
(malha 2) e 160 (malha 3) elementos de uma barra dinamicamente tracionada, conforme
Figura 9. Para integração dinâmica, a amplitude do passo de tempo é Δt = 5x10 -7 . Com
relação à carga aplicada F(t), σ refere-se à tensão máxima, a partir da qual se inicia a
danificação do material e o regime de amolecimento.
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008