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Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença
Para a fase de correção do modelo C de dano, adaptou-se uma formulação mista (Comi
& Driemeier 13 ), de modo que apenas continuidade C 0 é requerida para aproximação do
campo de dano, mesmo quando termos de quarta ordem estão presentes no funcional.
A formulação variacional mista pode ser obtida introduzindo o gradiente de dano Θ
como uma variável independente e adicionando ao funcional a restrição Θ =∇D ,
ponderada por um multiplicador de Lagrange μ.
O funcional discretizado assume a forma:
min
max
ΔD, Θ μ
+
*
{ } com ΔD
≥ 0
L c
* ⎡1
2 T
2 ⎤
L c ( ΔD,
Θ;
μ) ≡
∫ ( 1−
N DD
) ε Eε
+ 2k
N DD
+ b3
( N DD
) dΩ
(40)
⎢⎣ 2
⎥⎦
+
2
T
( N Θ) dΩ + c ( ∇N
Θ) ( ∇N
Θ)
∫c1
D ∫ 2 D
Ω
Ω
T
∫
2( N μ μ ) ( ∇N
DD
− N DΘ)
Ω
Ω
dΩ
D
dΩ
O problema de complementaridade da forma discreta da fase de correção é dado por:
( ) ( ( ) )( Δ ) ( Δ )
f ≡ϕ ε − a ε + b D + D + d ε, D + D −k − gμ
≤0 (41)
n
ΔD ≥ 0 ,
T
f ΔD=
0
(42)
c1Θ+ c2Θ
− hμ =0
(43)
T T
g D −h
Θ =0
(44)
n
onde:
g ≡
c
2
∫
Ω
≡
( ∇N
)
∫
Ω
c
2
D
T
N
μ
dΩ;
≡
T
( ∇N
Θ
) ∇N
ΘdΩ;
h ≡
∫
c
1
∫
Ω
c N
1
Ω
N
T
Θ
T
Θ
N
N
Θ
μ
dΩ;
dΩ
(45)
Considera-se n D , n Θ e n μ o número de variáveis generalizadas D , Θ e m,
e
respectivamente, considerando todo a malha de elementos finitos e n D , n
e
Θ e n e μ o
número das mesmas variáveis por elemento.
Na modelagem o multiplicador de lagrange μ é descontínuo através dos elementos. Tal
opção permite desacoplar a equação 44 ao nível de elemento, podendo-se condensar
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008