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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano<br />
145<br />
( ) ( ( ) )( Δ ) ( Δ )<br />
f ≡ϕ ε − a ε + b + c D + D − d ε, D + D −k ≤0<br />
,<br />
T 0<br />
ΔD ≥ 0 , f ΔD=<br />
n<br />
n<br />
(37)<br />
onde os seguintes vetores e matrizes generalizados são definidos:<br />
T⎛<br />
1 T T T ⎞<br />
ϕ( ε)<br />
≡ ∫ N D⎜<br />
ε Nε<br />
ENεε + b1P N ε⎟<br />
⎝<br />
e dΩ;<br />
2<br />
⎠<br />
Ω<br />
⎛ 1 T T T ⎞ T<br />
a( ε) ≡∫<br />
⎜ ε Nε ENεε −b1( b2<br />
−1)<br />
P Nεε⎟<br />
N DN<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
b ≡<br />
c ≡<br />
d<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
b<br />
c<br />
1<br />
3<br />
Ω<br />
N<br />
N<br />
( ∇N<br />
)<br />
T<br />
dΩ;<br />
∇N<br />
D<br />
dΩ;<br />
T T<br />
T T<br />
( ε ,D + ΔD<br />
) ≡ b b P N εε N ( D + ΔD<br />
) N N ( D + ΔD<br />
)<br />
n<br />
T<br />
D<br />
D<br />
D<br />
∫<br />
Ω<br />
D<br />
1<br />
dΩ;<br />
k ≡<br />
2<br />
∫<br />
Ω<br />
N<br />
D<br />
T<br />
D<br />
k dΩ;<br />
n<br />
D<br />
D<br />
n<br />
dΩ<br />
(38)<br />
Para o caso de um parâmetro de difusão não constante ( a ≠ 0 ), optou-se por<br />
b1 = b2 = 0, e b3 = b. O funcional discretizado obtido é análogo ao anterior e, por<br />
brevidade, expõem-se aqui somente as matrizes finais:<br />
ϕ<br />
a<br />
( ε )<br />
( ε )<br />
b ≡<br />
c ≡<br />
d<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
≡<br />
≡<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
( 1 a)<br />
⎛ +<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
( b − ak)<br />
c<br />
1<br />
N<br />
( ∇N<br />
)<br />
⎛ 1<br />
⎜ ε<br />
⎝ 2<br />
N<br />
∇N<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
dΩ;<br />
dΩ;<br />
k ≡<br />
⎞<br />
ε ⎟ dΩ;<br />
⎠<br />
⎞<br />
ε ⎟N<br />
⎠<br />
dΩ;<br />
kdΩ;<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
T T<br />
T<br />
T T<br />
( ε,D<br />
+ ΔD<br />
) ≡ a ε N E N ε − b N ( D + ΔD<br />
) N N ( D + ΔD<br />
) dΩ<br />
n<br />
T<br />
D<br />
D<br />
T<br />
ε<br />
T<br />
D<br />
∫<br />
Ω<br />
T<br />
T<br />
N<br />
N<br />
N<br />
D<br />
D<br />
T<br />
ε<br />
T<br />
ε<br />
E N<br />
E N<br />
de acordo com a equação 37a.<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
∫<br />
Ω<br />
N<br />
T<br />
D<br />
T<br />
D<br />
ε<br />
N<br />
D<br />
D<br />
n<br />
D<br />
D<br />
n<br />
(39)<br />
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008
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