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Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença
+
∫
Ω
Ω
Ω
( 1-N
D )
1 T T
1
T T
L ≡
∫
u N u N u u dΩ +
2
p ρ * δ δ
∫ D n
δε N EN δε dΩ +
2
2
ε ε
(31)
T T
δσ N
σ
iT
( C N )
u
δu
− N
ε
δε dΩ − F
∫
N uδu
dΩ −
∫
As condições ótimas do problema 31 são:
Ω
Γf
iT
f N
δu
dΓ
T i
+ C δσ F
(32)
L δu
=
δσ = E ~ n δε
Cu δ δε
u
(33)
= (34)
onde os seguintes vetores e matrizes generalizados são definidos:
L ≡
i
∫
Ω
ρ N
∫
T
T
u
N
dΩ;
C ≡
F ≡ N u F dΩ+
N u F dΓ;
Ω
Γ f
E ~ ≡ E ~ D
n
*
i
u
∫
dΩ;
2
T
( n) ≡
∫ ( 1 − N DDn) N ε EN ε dΩ;
Ω
T
∫
Ω
i
N
T
σ
CN
u
(35)
L, ρ , F e f foram já definidos. As equações 32-34 governam o problema discreto de
previsão. As equações 32 e 34 expressam o equilíbrio dinâmico e a compatibilidade na
forma fraca, enquanto a equação 33 é a lei de Hooke discretizada.
3.3.2 Fase de correção
O funcional da fase de correção, mostrado na equação 28, discretizado é dado por:
min
ΔD
L c
−
+
∫
Ω
∫
Ω
{ L } com ΔD
≥ 0
≡
∫
Ω
c
2 T T
T
( 1−
N ( D + ΔD
)) ε N E N ε − 2( b P N ε −b
) N ( D + ΔD
)
T
2 2 T
( b ( b −1)
P N ε −b
)( N ( D + ΔD
)) dΩ + b b P N ε ( N ( D + ΔD
))
c ∇
1
1
1
2
2
3
T
( N ( D + ΔD
)) ∇( N ( D + ΔD
))
D
D
n
ε
n
D
n
dΩ
As condições ótimas de Kuhn-Tucker do problema 36 são:
D
n
ε
ε
1
∫
Ω
3
1
ε
2
4
ε
D
D
n
n
dΩ
3
(36)
dΩ
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008