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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano
143
L c
+
⎡1
2 T
T
T
( ΔD) ≡
∫ ( 1 − D) ε Eε
− 2( b1P
ε − k) D − ( b1
( b2
− 1)
P ε − b3
)
∫
3
Ω
2
b b
1
2
P
Ω
T
⎢⎣ 2
3
εD
dΩ +
∫
Ω
c
1
T
2
( ∇D) ∇DdΩ +
∫c2
( ∇ D)
Ω
T
∇
2
DdΩ
D
2
⎤
dΩ
⎥⎦
(29)
para o modelo C apresentado no item anterior, são também solução da fase de correção.
P é o vetor de projeção isótropa ( P T ≡ { 1 1 1 0 0 0 } ) e K é o cone
convexo de funções não-negativas e contínuas em suas primeiras derivadas. Para
soluções fisicamente admissíveis, a solução deve ser restrita a D = D + ΔD
≤1 .
Uma formulação mista alternativa pode ser obtida para o modelo C pela introdução do
gradiente do dano Θ como uma variável independente, adicionando ao funcional a
restrição Θ = ∇D
, ponderada por um mutiplicador de lagrange μ.
Esta formulação requer continuidade C 0 para o campo de dano e é mais conveniente
para a formulação em elementos finitos.
* *
*
0
min max{ L c } ΔD
∈K
; ; K ≡
μ
{ ΔD
∈C
ΔD
≥ 0 em Ω}
ΔD
*
L c
+
⎡1
2 T
T
T
( ΔD,
Θ;
μ) ≡
∫ ( 1−
D) ε Eε
− 2( b1P
ε − k) D − ( b1
( b2
−1)
P ε −b3
)
∫
Ω
2
b1b
2P
3
T
εD
Ω
3
⎢⎣ 2
dΩ +
∫
Ω
c Θ
1
2
dΩ +
∫
Ω
c
2
T
( ∇Θ) ∇ΘdΩ + 2μ( ∇D
− Θ)
∫
Ω
n
dΩ
Uma importante característica da formulação é que o incremento de dano nos problemas
de mínimo 28-29 e de ponto-sela 30 possui a restrição somente de não ser negativo.
Além disso, pode-se provar que as condições de contorno (equações 24 e 25) são
satisfeitas implicitamente para os funcionais acima, conforme demonstram Comi &
Perego 37 para o caso de modelo elastoplástico com gradiente de segunda ordem, e
Comi 11 e Comi & Driemeier 13 para modelo elástico com dano com gradiente segundo e
gradientes segundo e quarto, respectivamente.
D
2
⎤
dΩ
⎥⎦
(30)
3.3 Implementação em elementos finitos com variáveis generalizadas
3.3.1 Fase de previsão
O funcional da fase de previsão discretizado tem a seguinte forma:
min max
δu,
δε
δσ
{ L p } com
δu
= 0 on Γu
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008