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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano
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* *
O algoritmo de integração acima apresenta os parâmetros de Newmark γ , β de
* *
modo que: γ β
= 2 ; ρ é a densidade de massa. Para γ = 12 (i.e. β * = 14,
γ * = 12) obtém-se o método de aceleração média, que faz parte do programa de
elementos finitos de Zienkiewicz & Taylor 31,32 .
3.2 Processo iterativo de solução
O problema não-linear do valor de contorno expresso em passo finito deve ser resolvido
através de um processo iterativo. No esquema adaptado, cada iteração consiste em duas
fases: uma fase linear de previsão e uma fase não-linear de correção (a Figura 5.1
mostra, de maneira sistemática, a seqüência implementada, para as duas fases), e um
teste de convergência:
• Fase de previsão - Na iteração i+1 para um valor de dano fixo, igual ao valor
encontrado no final do passo anterior D= D n , e com forças externas iguais às
forças residuais da iteração anterior i, calcula-se uma estimativa para o vetor dos
deslocamentos nodais u i+1 das equações lineares de equilíbrio e compatibilidade e
lei de Hooke.
• Fase de correção - com os valores das deformações da fase de previsão
ε i + 1
Lu
i + 1
= , determina-se o incremento de dano usando as condições de
carregamento-descarregamento e as condições de contorno com
i + 1
i+
1
D n+ 1 = Dn
+ ΔD
e εn+
1 = ε . Com o valor do dano calculado, atualizamse
as tensões.
• Teste de convergência – Calcula-se o vetor de forças residuais
i +1
F e
i +1
f com o
valor corrente das tensões e verifica-se a convergência comparando a norma dos
resíduos com um valor fixo da tolerância. Não se verificando convergência, realizase
nova iteração.
Utiliza-se uma formulação variacional para o problema em passo finito. Neste trabalho,
elaboram-se dois funcionais independentes para as fases de previsão e correção do
problema não-linear, conforme sugere Comi 11 para implementação numérica de
modelos com gradientes em variáveis generalizadas. Balbo 33 , sob uma análise
matemática, também propõe a resolução do problema procurando-se condições ótimas
de dois funcionais distintos.
Uma vez apresentados os funcionais, cada variável independentemente é discretizada,
conforme o método dos elementos finitos em variáveis generalizadas. Variáveis
generalizadas são discutidas em Corradi 34,35 , Comi & Perego 36,37 . As equações
resultantes das condições ótimas dos funcionais discretizados são implementadas no
programa em elementos finitos de Zienkiewicz & Taylor 31,32 .
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008