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Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença
Δu
= Δtu&
Δu&
= Δtu&&
n+
γ
n+
γ
= Δt
= Δt
[( 1 − γ ) u&
n + γ u&
n+
1]
[( 1 − γ ) u&&
+ γ u&&
]
n
n+
1
(18)
com parâmetro γ ∈] 0 1 ] (os subscritos n, n+1 e n + γ representam valores em t n ,
t n+1 e t n+γ respectivamente, e Δ • representa o incremento da variável • em t
Δ ).
As relações que descrevem o comportamento dinâmico em passo finito são obtidas
impondo-se equilíbrio dinâmico e compatibilidade geométrica no final do passo. Em
particular, resolvendo a equação 18 e integrando a lei constitutiva de acordo com um
esquema implícito obtém-se:
L T * *
σn+ 1 + Fn+ 1 = ρ un+
1
em Ω; m = f
σ n+
1 n+
1 em Γ (19)
f
Cu
σ
ε em Ω u = U 1 em Γ
(20)
n+ 1 = n+
1 ; n+
1 n+
u
( D )
2
n+ 1 n+ 1 n+
1
= 1 − E ε em Ω (21)
f n+1 ≤ 0 em Ω (22)
ΔD ≥ 0 Δ 0
c
1
[ ∇ D ⋅ n] D = 0emΓD
f n + 1 D =
em Ω (23)
& , para os modelos A e B. (24)
⎧
⎨c1ΔD
⎩
[ c ΔD
]
2
n+
1
n+
1
n − c ∇ Δ
n
2
∇ΔD
[ D ] ⋅ n + c ΔD
divn ( ) − div[ ΔD
n]
n+
1
n+
1
= 0 em Γ
D
2
⎡
⎢
⎣
n+
1
para modeloC.
s
s
n+
1
⎤⎫
⎥⎬ΔDn+
1 = 0
⎦⎭
em Γ
D
(25)
Nas relações acima, C é o operador diferencial de compatibilidade linear; m é a normal
à superfície Γ; U é o vetor de deslocamentos impostos. Convém lembrar que os modelos
A, B, C referem-se àqueles apresentados no item anterior, a partir da equação 5, para
valores particulares dos parâmetros de difusão c1, c2
e da constante a. Ainda,
ρ * e F *
n+1 são definidos como:
ρ
* ≡
γ
1
2 2
Δt
*
⎡ −
ρ ; Fn+ ≡ Fn+
+ ⎢
1 γ
⎤
1 1 ρ u&&
n + 1 u&
n +
1 u
2 2 2 n⎥
⎣ γ γ Δt
γ Δt
⎦
(26)
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008