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Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença
2.1 Propagação de onda
As características de cada modelo proposto podem ser avaliadas no contexto de um
problema unidimensional de propagação de uma onda numa barra com dano.
Pode-se mostrar que partindo de um estado homogêneo, a propagação de uma onda
harmônica de freqüência ω, número de onda q, ao longo de uma barra com dano tem por
correspondência campos de velocidade e de evolução do dano expressos na forma:
( − ) ( − )
u&
v e iqx ω
= t D&
= D e
iqx ω t
(8)
0 0
Mediante a substituição direta nas equações de movimento, relação constitutiva e
condição de carregamento, dadas por:
& σ
, x
[ ]
= ρ&&&
u & σ = ( 1− DE ) ( 1− Du )& &
, x −2Dε
&f = 0
conclui-se que a velocidade de fase c ω q ω /( π / λ)
f ≡ =
2 depende do número de
onda q. Caracteriza-se, no caso, um meio dispersivo, onde a velocidade de fase varia e
as ondas se dispersam.
(9)
Assumindo, por simplificação, na função de escoamento, b 1 = 0 e b3 = b, a
velocidade de fase para os modelos A e B resulta:
c
f
ω
= = ( 1 − Dc )
q
e
aD
⎛ 3 2
b E
⎞
⎟ + a
⎡ 1 2
− D Eε
−bD −k ⎤
c q
⎝ ⎠ ⎣⎢
⎦⎥ + 1 2
2
2
aD
⎛ 1 2
b E
⎞
⎟ + a
⎡ 1 2
− D Eε
−bD −k ⎤
c q
⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ 2
⎦⎥ + 1 2 (10)
( 1−
) ⎜ − ε ( 1 )
( 1− ) ⎜ + ε ( 1 )
e para o modelo C:
c
f
ω
= = ce
−
q
( 1 D)
3
2
1
2
2
b− Eε
+ c q + c q
2
1 2 2 4
b+ Eε
+ c q + c q
1 2 2 4 (11)
onde ce ≡
E
ρ é a velocidade de propagação da onda na barra elástica.
Para o modelo local, a velocidade de propagação vale:
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008