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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano
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sendo c 1 um parâmetro de difusão com dimensão de força, c 2 outro parâmetro de
difusão com dimensão de força vezes comprimento ao quadrado e a um parâmetro
adimensional variando entre 0 e 1.
As parcelas não-locais da equação 5 são aqui referidas genericamente como termos de
gradientes de segunda e quarta ordem da variável interna de dano. Trata-se de uma
questão de afinidade com a nomenclatura adotada em toda a bibliografia estudada
(destaca-se, entre outros, Slyus 30 , Pamim 6 , Mühlhaus & Aifantis 23 , Comi 11 ). Na verdade,
Δ 2 da variável
aqueles termos envolvem o Laplaciano ( )
interna de dano, respectivamente.
Δ e Laplaciano segundo ( )
Três modelos diferentes, que são descritos a seguir, podem ser obtidos da equação (5)
impondo-se valores particulares para os parâmetros c 1 , c 2 e a:
• Modelo A - c = 0, a = 0, c > 0 - somente o termo com gradiente de segunda
2 1
ordem está presente no modelo, coincidindo com aquele proposto por Comi 10 ;
• Modelo B - c2 = 0, a > 0, c1
> 0 - somente o termo com gradiente de segunda
ordem está presente no modelo, mas a função de difusão c1 ( 1 − aD)
cresce com o
valor do dano. Em particular o valor a = 1 será considerado;
• Modelo C - c2 > 0, a = 0, c1
qualquer - o termo com gradiente de quarta ordem
também é considerado. Os dois parâmetros de difusão são constantes.
A presença de termos diferenciais na função de escoamento implica que apropriadas
condições de contorno da variável de dano devem ser especificadas. Neste trabalho, tais
condições de contorno são expressas na forma proposta por Mühlhaus & Aifantis 7 para
o caso de plasticidade, não havendo, porém, uma interpretação física para as mesmas:
c
1
[ ∇ D ⋅ n] D = 0 em ΓD
⎧
⎨c1ΔD
− c2∇ Δ
⎩
[ c ΔD]
2
n
& , para os modelos A e B. (6)
[ D] ⋅ n + c ΔDdivn
( ) − div[ ΔDn]
∇D&
= 0 em Γ
D
2
⎡
⎢
⎣
s
s
para modeloC.
⎤⎫
⎬D&
⎥ = 0
⎦⎭
em Γ
onde Γ D é o contorno da região com D& > 0 . O gradiente ∇ foi dividido em gradiente
de superfície ∇ s e gradiente normal n ∇ n : ∇ ≡ ∇+ n ∇ .
s
n
D
(7)
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008