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Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença
outro lado, que a introdução da viscosidade impossibilita a formação de ondas
estacionárias. Needleman 27 demonstrou o modelo viscoso também introduz um
‘comprimento característico’ do material.
2 MODELO DE DANO ADOTADO
Considere-se o seguinte modelo de dano local, proposto por Comi et al. 28
formulação é baseada na termodinâmica dos sólidos:
cuja
1
ψ = ( − ) ε ε
2 1 2
D T E (1)
σ
∂ψ
2
∂ψ
= = ( 1− D) Eε
; Y =− = ( 1− D)
ε⋅Eε
(2)
∂ε
∂D
1
f = Y + b1( 1+ b2D)( 1− D)
ε v −b3D−k≤0
(3)
2
f ≤ 0 ; D& ≥ 0;
f D&
= 0
(4)
A equação 1 define a energia livre de Helmholtz escrita como função do tensor de
deformações ε e da variável isótropa de dano (D). Na equação 2, Y é a variável
termodinâmica associada ao dano, ou força termodinâmica, e que também pode ser
interpretada como energia disponibilizada em correspondência ao nível de dano criado.
O critério de danificação é definido pela função f e as condições de carregamentodescarregamento
são dadas pelas relações 4; εv
= I ⋅ ε é a deformação volumétrica (I é
o tensor identidade de segunda ordem), b i e k são parâmetros não-negativos do
material.
Na equação 3, a parcela envolvendo a deformação volumétrica permite levar em conta o
comportamento dissimétrico em tração e compressão, exibido em materiais como o
concreto. O parâmetro k é uma quantidade de referência para a energia disponibilizada
que define o aparecimento de dano. Os parâmetros b 1 e b 3 permitem definir a tensão de
pico, com a existência ou não de encruamento positivo (‘hardening’), bem como a
inclinação da curva durante o encruamento negativo (‘softening’).
Esta lei constitutiva é uma simplificação da versão proposta por Comi et al. 28 .
Importante observar que, de acordo com o modelo dado pelas equações 1-4, o dano
tende para o valor limite D=1 com deformações tendendo ao infinito, mas a
correspondente energia de fratura (definida conforme Bazant & Cedollin 29 ) é limitada.
Uma versão não-local do mesmo modelo pode ser obtida introduzindo-se na função de
escoamento gradientes espaciais da variável de dano D. Considera-se a seguinte forma
geral que inclui termos com ‘gradientes de segunda e quarta ordem’, implicitamente aos
laplacianos indicados:
f
c1 = flocal
+
aD D c 2
Δ − D ≤ 0
1 −
2Δ (5)
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008