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Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano
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Por outro lado, ao empregar a modelagem fundamentada no pressuposto de meio
contínuo, como prescreve a mecânica do dano, o maior problema que se apresenta é o
da identificação de zonas de localização do dano e de suas orientações. Mesmo que seja
adotada a modelagem contínua e supondo que tenha sido possível identificar uma região
de localização, ainda uma outra questão surge: qual a largura da zona? Além disso,
numa simulação numérica, alguma forma de adaptação da malha deve ser adotada para
que se possa inserir dentro daquela zona elementos com lei de encruamento negativo
bem definida.
As questões anteriores relativas à abordagem contínua na verdade surgiram em
conseqüência das dificuldades evidenciadas quando nas análises numéricas se passaram
a incluir modelos constitutivos com encruamento negativo. Com o emprego de tais
modelos, baseados em uma descrição local do comportamento do material, a largura da
zona de localização tende progressivamente a zero, uma vez que a simulação procura
encontrar uma condição de evolução e localização do dano compatível com uma fratura
discreta. Para ilustrar essa dificuldade, basta imaginar, por simplicidade, uma malha
composta por elementos de deformação constante, para os quais necessariamente a
largura da zona de localização fica associada às suas dimensões. Repetindo-se uma
mesma análise com malhas progressivamente mais refinadas, observa-se que a largura
da zona tende a zero, obtendo-se soluções que convergem para uma resposta de energia
dissipada nula. Matematicamente, diz-se que o problema de valor de contorno resulta
mal colocado (no sentido de existência de um número finito de soluções linearmente
independentes que dependem continuamente dos dados). Matematicamente ocorre perda
de elipticidade das equações governantes se o tipo de análise for estática ou perda de
hiperbolicidade se for análise dinâmica, (Benallal et al. 7 ). Em qualquer caso, a
descrição numérica deixa de ser uma representação coerente da realidade física.
Entretanto, é possível introduzir na formulação contínua técnicas ditas de regularização
que preservam a condição matemática de elipticidade quando a zona de localização de
deformações se desenvolve, provendo soluções numéricas representativas de problemas
de valor de contorno envolvendo encruamento negativo e localização.
Uma técnica bastante simples de regularização consiste em impor à zona de localização
uma largura mínima e adotar uma condição de ruptura, ou de formação da fratura
discreta, quando o estado de deformação dentro dela atingir certo valor limite. Para que
a fixação de uma medida não pareça ser recurso sem fundamento, uma justificativa que
se encontra na literatura é admitir que tal medida seja uma ‘propriedade’, normalmente
referida como um “comprimento interno” do material.
Mas uma maneira mais elegante e ao mesmo tempo matematicamente correta de
implementar esta idéia consiste em formular o problema de modo que a largura da zona
esteja implícita no modelo resultante. Essa alternativa é proporcionada pelos chamados
modelos não-locais, como os modelos que introduzem gradientes de ordem superior da
deformação plástica ou da variável de dano na função de escoamento ou de danificação
- Frémond & Nedjar 8 , Peerlings et al. 9 , De Borst et al. 10 , Comi 11, 12 , Comi &
Driemeier 13,14 . Este trabalho trata exatamente desse tipo de modelo.
Há ainda outras técnicas de regularização que incluem um ‘comprimento interno’,
destacando-se as seguintes: teoria micropolar – de Borst & Muhlhaus 15 , Steinmann &
Stein 16 , Iordache & Willam 17 , integral não-local - Pijaudier-Cabot & Bazant 18 , energia
de fratura – Oliver 19 .
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 127-155, 2008