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São Carlos, v.10 n. 46 2008

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

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São Carlos, v.10 n. 46 2008

Departamento de Engenharia de Estruturas 

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SUMÁRIO 

Dimensionamento de elementos estruturais em alumínio 

Didiane Victoria Buzinelli & Maximiliano Malite 1 

Sistema computacional com geração de dados e visualização de resultados para 

estrutura de edifícios 

Luiz Liserre & Marcio Antonio Ramalho 33 

Análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes 

Daniel dos Santos & José Samuel Giongo 61 

Contribuição para o projeto e dimensionamento de edifícios de múltiplos andares 

com elementos estruturais mistos aço-concreto 

Marcela de Arruda Fabrizzi & Roberto Martins Gonçalves 91 

Um algoritmo estocástico para detecção de dano 

Oscar Javier Begambre Carrillo & José Elias Laier 111 

Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo 

constitutivo de dano 

Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença 127

ISSN 1809-5860 

DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS 

ESTRUTURAIS EM ALUMÍNIO 

Didiane Victoria Buzinelli 1 & Maximiliano Malite 2 

Resumo 

O alumínio, ou mais precisamente as ligas de alumínio, vem ganhando significativo 

espaço no mercado das construções metálicas, com aplicação nas estruturas e em 

componentes como telhas e painéis em geral. Características como a leveza, boa 

trabalhabilidade, elevada resistência mecânica e à corrosão colocam as estruturas de 

alumínio como vantajosas em relação às estruturas de aço em muitas situações. 

Enfatizando as características do material e o projeto estrutural, são apresentadas as 

ligas de alumínio, suas características e produtos disponíveis, e os fundamentos 

teóricos que constituem a base do dimensionamento das barras e das ligações. Com a 

ausência de norma brasileira para projeto de estruturas de alumínio, são apresentados 

e discutidos os requisitos da norma americana da Aluminum Association e as 

recomendações das usinas produtoras. 

Palavras-chave: estruturas metálicas; estruturas de alumínio; alumínio; 

dimensionamento. 

1 INTRODUÇÃO 

1.1 Obtenção e aspectos gerais 

O setor de produção de alumínio, um dos mais versáteis metais utilizados pelo 

homem, é hoje a segunda indústria metalúrgica do mundo, superada apenas pela 

siderurgia. O alumínio é um metal que apresenta vasta gama de aplicação pois 

apresenta elevada resistência mecânica e à corrosão, possuindo excelente aspecto 

estético e sua densidade corresponde a um terço da densidade do aço. 

Entretanto os estudos desenvolvidos no Brasil, na área de estruturas metálicas, 

têm-se limitado às estruturas de aço, deixando a um segundo plano o alumínio enquanto 

material estrutural. A literatura nacional sobre o assunto restringe-se basicamente a 

catálogos e manuais das usinas produtoras. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, cezdidinaba@ig.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mamalite@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 46, p. 1-31, 2008

2 

Didiane Victoria Buzinelli & Maximiliano Malite 

Segundo ABDO (1993), as estruturas de alumínio, em comparação com as 

estruturas de aço, apresentam reduções no peso de 40% a 70%. Desta forma, 

admitindo-se estruturas mais leves e com custos de manutenção mais baixos, as 

estruturas de alumínio podem, em certos casos, apresentar custos globais inferiores aos 

das estruturas de aço correspondentes. 

A economia associada ao custo de manutenção para a qual o alumínio apresenta 

vantagens em função de sua grande resistência à corrosão, faz deste um material 

adequado para ambientes corrosivos. 

O alumínio apresenta baixo módulo de elasticidade, se comparado com o aço, 

correspondendo a um terço do valor do aço. Este fator faz com que as estruturas em 

alumínio apresentem uma satisfatória resposta sob o efeito de tensões oriundas de 

impactos, deformações e ajustes. Em contrapartida, o baixo módulo de elasticidade 

determina a necessidade de uma cuidadosa avaliação da rigidez dos elementos e da 

estrutura globalmente. 

O coeficiente de dilatação térmica do alumínio corresponde ao dobro do valor 

para o aço, entretanto em função do baixo módulo de elasticidade, as tensões 

provenientes das variações de temperatura em geral não alcançam valores 

significativos. 

Outra vantagem fundamental dos elementos estruturais em alumínio está no 

processo de fabricação de perfis através do processo de extrusão. Este processo permite 

a fabricação de perfis com diversas seções transversais, oferecendo facilidade de 

montagem, maior eficiência estrutural pela melhor distribuição de massa e melhorias de 

aparência estética. 

Para o projetista, este processo de fabricação de perfis permite maior liberdade 

para o dimensionamento, com a utilização de um maior número possível de seções 

transversais. 

O alumínio pode ser ainda forjado, usinado, cortado, estampado, furado e 

soldado, conferindo-lhe maior trabalhabilidade. Em determinadas ligas, é um material 

soldável e para a viabilidade econômica das estruturas soldadas em alumínio faz-se 

necessário o aumento das velocidades de soldagem, bem menores se comparadas com 

as correspondentes em estruturas de aço. O preparo das superfícies de alumínio também 

encarece o processo. 

Com relação aos processos de acabamento o alumínio pode ser submetido a 

vários tipos de tratamento, cuja principal finalidade é apenas estética. 

Exemplos de estruturas com utilização de elementos estruturais em alumínio 

podem ser vistos nos painéis de alumínio dos edifícios da United Nations Secretariat 

em Nova Iorque e Alcoa Building em Pittsburg e na cobertura da cúpula de entrada do 

Walt Disney World’s Epcot Center na Flórida. 

Uma das maiores aplicações do alumínio em estruturas está na construção de 

coberturas, como por exemplo a estrutura de cobertura do Hospital Radcliffe em Oxford 



3 

e da Cúpula do Descobrimento construída na Inglaterra para o Festival Britânico de 

1951. 

Destaca-se ainda, também em Pittsburg, a ponte Smithfield Street Bridge, que 

foi recuperada com a colocação de novo tabuleiro em vigas de alumínio, diminuindo o 

peso próprio da estrutura. 

No contexto nacional, a construção do Pavilhão Anhembi em São Paulo, que 

consiste na maior área coberta em estrutura de alumínio no mundo, retrata uma 

realidade diferente em um país onde as estruturas em alumínio ocupam um lugar 

extremamente modesto. 

Dentre os avanços na utilização do alumínio em estruturas no Brasil, destacamse 

suas recentes aplicações no estado de Pernambuco com a conclusão em 1997 do 

Shopping Center Caruaru, que soma 63 toneladas de alumínio e 20.000 metros 

quadrados de área construída. 

1.2 Histórico sobre as normas de dimensionamento de elementos 

estruturais em alumínio 

O alumínio tem uma história comercial muito mais recente que a do aço, com a 

primeira produção de alumínio na data de 1888. A primeira norma para construções em 

aço foi publicada em 1923 (AISC) enquanto que a correspondente norma para alumínio 

data de 1967. 

As primeiras recomendações para dimensionamento de estruturas de alumínio 

começaram a ser desenvolvidas pela ALCOA por volta de 1930. Em maio de 1952, a 

ASCE publicou um artigo intitulado “Specifcations for Structures of Moderate Strength 

Aluminum Alloy of High Resistance to Corrosion”. Especificações similares surgiram 

em 1956 e 1962 ao mesmo tempo que os maiores produtores de alumínio 

desenvolveram manuais para dimensionamento de seus produtos. 

A primeira “Specifications for Aluminum Structures” foi publicada em 1967, 

pela ALUMINUM ASSOCIATION (AA), com base nos trabalhos da ASCE, e foi 

reconhecida pela indústria do alumínio. 

A norma da AA foi revisada em 1971, 1976, 1982 e 1986, mas muitas das 

prescrições permaneceram sem modificações. 

Em 1994, na sexta edição, a norma do AA introduziu várias alterações. A 

novidade mais relevante foi a inserção do método dos estados limites (LRFD) para 

alumínio nos Estados Unidos. 

Em 1999, destaca-se a publicação do Eurocode 9: Design of Aluminum 

Structures com prescrições gerais e prescrições para edificações. 


4 


2 LIGAS ESTRUTURAIS DE ALUMÍNIO 

2.1 Tipos e classificação 

O alumínio puro é um material com propriedades mecânicas inadequadas para 

uso estrutural. Para melhorar estas propriedades adicionam-se ao alumínio outros 

materiais, constituindo as ligas estruturais de alumínio. 

As ligas estruturais de alumínio dividem-se entre ligas tratáveis termicamente e 

ligas não tratáveis termicamente. Sendo as diversas ligas de alumínio designadas por 

quatro dígitos seguidos pela letra que indica sua têmpera. 

Em função das características dos elementos da liga, as ligas são agrupadas em 

séries. As ligas da série 6000 são as mais utilizadas estruturalmente destacando-se as 

ligas 6061, 6063 e 6351. 

Com relação ao tratamento das ligas destas séries pode-se agrupar as séries 1000, 3000, 

4000 e 5000 como ligas não tratáveis termicamente e as séries 2000, 6000 e 7000 como 

ligas tratáveis termicamente. 

Os fabricantes de alumínio apresentam para cada liga a sua curva de 

flambagem, no entanto esta não considera os fatores de segurança empregados no 

dimensionamento, ou seja, não são as tensões admissíveis. 

2.2 Propriedades do material 

A ausência de normalização nacional sobre o assunto implica na consulta a 

normas estrangeiras, as quais especificam o alumínio, enquanto material estrutural, 

estabelecendo valores mínimos das propriedades mecânicas. 

Diferentemente dos aços normalmente utilizados em estruturas, o alumínio não 

apresenta patamar de escoamento no gráfico tensão x deformação, sendo a tensão de 

escoamento do material determinada de maneira convencional (por exemplo através do 

método off set 0,2 %). 



5 

Figura 2.1- Comparação entre as curvas tensão x deformação para o aço ASTM A36 e a liga 

de alumínio 6061-T6. 

O módulo de elasticidade à compressão varia de 7.000 kN/cm2 a 7.600 kN/cm2, 

(variação em torno de 10% para as ligas comumente utilizadas) sendo razoavelmente 

adotado como um valor convencional de 7.000 kN/cm2 . 

O coeficiente de Poisson é assumido como 0,33, conduzindo ao seguinte valor 

para o módulo de elasticidade transversal: 

G = 0,375E 

(2.1) 

A soldagem afeta significativamente as propriedades mecânicas das ligas 

estruturais de alumínio. Nesta situação, as propriedades mecânicas mínimas são 

apresentadas na norma da AA distinguidas pelo índice subscrito w. 

Tabela 2.1- Propriedades mecânicas de algumas ligas. 

Propriedades Mecânicas 

Liga / Têmpera Alcoa Resistência à ruptura por Resistência ao escoamento alongamento dureza 

tração - f tu (MPa) por tração - f ty (MPa) (%) 50 mm Brinell 

mín. máx. mín. máx. mín. máx. 

6061-O - 152,3 - 111,7 16 30 

6061-T4 182,8 - 111,7 - 16 65 

6061-T6 264,0 - 243,7 - 8 95 

6061-T8 345,2 - 264,0 - - - 

6061-T9 355,4 - 289,4 - - - 

6063-O - 132,0 - - 18 25 

6063-T4 126,9 - 60,9 - 14 50 

6063-T4A 111,7 - 55,8 - 15 48 

6063-T5 147,2 - 106,6 - 8 60 

6063-T6 208,2 - 172,6 - 8 73 

6262-T6 264,0 - 243,7 - 10 90 

6262-T9 350,3 - 319,8 - 5 120 

6351-O 101,5 152,3 50,8 101,5 16 35 

6351-T4 223,4 - 132,0 - 16 60 

6351-T6 294,5 - 258,9 - 8 95 


6 


A tabela 2.1 apresenta as propriedades mecânicas de algumas ligas de alumínio 

e a tabela 2.2 as propriedades físicas das ligas de alumínio empregadas em projeto. 

Tabela 2.2 - Propriedades físicas das ligas de alumínio empregadas em projeto. 

PROPRIEDADES FÍSICAS 

VALOR 

módulo de elasticidade 

70.000 MPa 

módulo de deformação transversal 26.300 MPa 

coeficiente de Poisson 0,33 

densidade 2700 kg/m 3 

coeficiente de dilatação térmica 23,9x10 -6 / o C 

3 BARRAS SUBMETIDAS À TRAÇÃO 

A especificação da AA estabelece que a tensão calculada com base na área 

líquida não deve ultrapassar os seguintes valores admissíveis: 

f 

ty 

(FS) 

y 

e 

f 

tu 

(k 

t)(FS) 

u (3.1) 

Onde: 

(FS)y - fator de segurança no escoamento, igual a 1,65, 

(FS)u - fator de segurança na ruptura, igual a 1,95 e 

kt - coeficiente de modificação do fator de segurança sendo igual a 1,0 para a maioria 

das ligas, exceto para a liga 2014-T6 cujo valor é igual a 1,25. 

Observa-se que autores como KISSEL & FERRY (1995) analisam o 

escoamento admitindo a seção bruta da barra ao contrário da norma da AA que não 

reconhece este fenômeno. 

A determinação da resistência de barras tracionadas em alumínio, descrita na 

norma da AA, é similar à determinação da resistência de barras tracionadas em aço 

estabelecida no AISC-ASD (1989). 

As considerações apresentadas pela AA com relação à área líquida efetiva de 

perfis parcialmente conectados, juntamente com as considerações de MARSH (1983) e 

as especificações do AISC-ASD (1989) podem ser resumidas em um coeficiente que 

multiplica a área líquida da seção transversal (Ct), que estão apresentados na tabela 3.1. 



7 

Tabela 3.1 - Comparação entre os valores de Ct para o cálculo da área efetiva. 

CASO AA AISC MARSH 

cantoneira de abas iguais com 1 aba 

conectada e com 2 parafusos em linha 0,67 0,75 0,62 

dupla cantoneiras de abas iguais com 2 

parafusos em linha 0,83 0,75 0,75 

cantoneiras de abas iguais com 1 aba 

conectada e com 3 parafusos em linha 0,67 0,85 0,62 

dupla cantoneiras de abas iguais com 3 

parafusos em linha 0,83 0,85 0,75 

T com a aba conectada 

não 

previsto 

0,75 ou 

0,85 

não 

previsto 

Assim como nos elementos estruturais em aço, é usual também nas estruturas 

em alumínio limitar a esbeltez dos elementos tracionados. Valores típicos podem ser 

tomados como 250 para estruturas internas e protegidas (sem risco de vibração) e 150 

para estruturas externas nas quais pode ocorrer vibração. 

4 BARRAS SUBMETIDAS À COMPRESSÃO 

As especificações da AA estabelecem que as tensões críticas no caso de barras 

comprimidas devem ser calculadas em função dos modos de falha da barra (flambagem 

global) e dos componentes da seção transversal (flambagem local). Em ambos os casos 

a tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão crítica pelo fator de segurança na 

compressão. 

A AA estabelece o fator de segurança no escoamento (FS)y igual a 1,65 e na 

flambagem (FS)u igual a 1,95. Estes valores são próximos aos tradicionalmente 

propostos pelo AISC-ASD: 1,67 para escoamento (λ=0) e 1,92 flambagem elástica, 

sendo que na flambagem inelástica calcula-se um valor entre 1,67 e 1,92, em função da 

esbeltez da barra. No caso do escoamento aplica-se ainda um coeficiente de 

modificação do fator de segurança empregado em algumas ligas e denominado kc. 

Deste modo tem-se: 

- no escoamento: 

Onde: 

k 

f cy 

(FS) 

c y 

- na flambagem: 

σ c 

(FS) u (4.1) 

fcy - resistência ao escoamento por compressão, 


8 


σc - tensão crítica na compressão, 

kc - coeficiente de modificação do fator de segurança 1,12 para a liga 2014-T6 e 

algumas ligas da série 6000 e 1,1 para todas as outras. 

4.1 Flambagem em barras sujeitas à compressão centrada 

4.1.1 Flambagem global 

A classificação das peças comprimidas é função do seu índice de esbeltez (λ) 

dado por: 

λ= kL r (4.2) 

Onde: 

kL - comprimento efetivo de flambagem e 

r - raio de giração . 

A resistência de barras esbeltas, isto é, sujeitas à flambagem elástica, é 

determinada pela expressão de Euler, cuja tensão crítica é dada por: 

σ 

c 

2 

π E 

= 

2 

λ 

(4.3) 

A flambagem inelástica ocorre quando a tensão crítica de flambagem elástica 

supera a tensão de proporcionalidade, o que ocorre geralmente em barras de esbeltez 

intermediária. 

Assim, emprega-se expressões aproximadas, calibradas experimentalmente, 

para o trecho de flambagem inelástica e a relação entre tensão crítica e esbeltez é dada 

para a flambagem inelástica por uma aproximação linear, com bons resultados. 

σ 

= B − D λ 

(4.4) 

c c c 

Os valores de Bc e Dc são determinados por meio de expressões que relacionam 

a resistência ao escoamento por compressão e o módulo de elasticidade, para cada liga 

e têmpera, e são experimentalmente calibradas. 

Deste modo, tem-se: 

- para as ligas nas têmperas envelhecidas artificialmente: 

⎛ ⎞ 

B 

c 

= ⎜ + fcy 

⎝ 

1 2 a ⎟ 

⎠ 

(4.5) 



9 

C 4,1 E c 

= = C 

B 

c 

2 

(4.6) 

D 

c 

= 0,41 B C 

c 

c 

(4.7) 

- para as ligas nas têmperas não envelhecidas artificialmente: 

⎛ ⎞ 

B 

c 

= ⎜ + fcy 

⎝ 

1 3 a ⎟ 

⎠ 

(4.8) 

C 

D 

c 

c 

E 

= 544 , = C 

B 

= 0,67 B C 

c 

c 

c 

2 

(4.9) 

(4.10) 

Onde: 

a = 

E 

f cy 

(4.11) 

E - módulo de elasticidade 

fcy - resistência ao escoamento por compressão 

As expressões para o cálculo destas constantes são apresentadas na norma da 

AA, sendo que, para dimensionamento, estas constantes já se encontram devidamente 

tabeladas para várias ligas, como por exemplo, no ALUMINUM DESIGN MANUAL. 

Como ocorre no escoamento de barras tracionadas, também nas barras 

comprimidas a resistência ao escoamento é reduzida por um fator kc tabelado na norma 

da AA como 1,12 para a liga 2014-T6 e algumas ligas da série 6000 e 1,1 para as 

demais ligas. 

σ c 

= 

f 

k 

cy 

c 

(4.12) 

A figura 4.1 apresenta as curvas de flambagem para a liga 6351 nas têmperas 

T4 e T6. 


10 


Figura 4.1 - Curva de flambagem para a liga 6351 nas têmperas T4 e T6. 

Figura 4.2 - Curva de flambagem para a liga 6351 -T6 e aço ASTM-A36. 

A figura 4.2 apresenta a comparação entre as curvas de flambagem para a liga 

6351 na têmpera T6 e para o aço ASTM-A36. Nota-se que para fins comparativos a 

curva para o aço foi construída utilizando-se os valores de módulo de elasticidade e 

resistência ao escoamento na compressão da liga 6351 têmpera T6. 

Em se tratando de seções abertas e de paredes delgadas, o caso geral de 

instabilidade deve ser verificado (flambagem por flexo-torção). 



11 

Nestes casos as especificações da AA apresentam o conceito de esbeltez 

equivalente para as seções monossimétricas - flambagem por flexo-torção, ou seções 

duplamente simétricas - flambagem por torção. Entretanto estas especificações não 

apresentam um método de determinação da esbeltez equivalente para seções 

assimétricas. 

Para a flambagem por torção, a norma da AA apresenta o cálculo da esbeltez 

equivalente pela expressão 4.13. 

λ φ 

= 

Ar 

0 

2 

[ w ( φ ) ] 

0, 

038I + C k L 

t 

2 

(4.13) 

Onde: 

λφ - índice de esbeltez equivalente para flambagem por torção 

A - área da seção transversal 

r0 - raio polar de giração da seção transversal em relação ao centro de torção, 

dado pela expressão 4.14. 

2 2 2 

( 2 

x y 0 0 ) 

r = r + r + x + y 

0 

(4.14) 

x0 e y0 - distância entre o centróide e o centro de torção, nas direções dos eixos 

principais x e y, respectivamente 

rx e ry - raios de giração da seção transversal para os eixos principais de inércia 

It - momento de inércia à torção 

Cw - constante de empenamento 

kφ - coeficiente para cálculo do comprimento efetivo à torção da barra 

L - comprimento livre da barra à torção 

No caso da flambagem por flexo-torção, sugere-se a determinação da tensão na 

flexo-torção, caso geral, (σFT) e a partir desta obter-se o índice de esbeltez equivalente 

na flexo-torção (λFT), analogamente ao procedimento empregado nas normas de aço. 

Ou seja: 

λ 

FT 

2 

fcy 

kc 

π E 

E 

= λeq 

= × ⇒ λFT 

= π 

σ f k 

σ 

FT cy c 

Sendo σFT a tensão na flexo-torção e dada pela expressão 4.16. 

FT 

(4.15) 


12 


[( ) 

σ = σ σ + σ σ + σ σ − 

FT ex ey ex t ey t 

2 

( σexσey σexσt σeyσt ) 4( σexσeyσ )( γσex βσey σt 

) 

⎛ 

− ⎜ + + − + + 

⎝ 

⎞ 

⎟ ⎤ ⎠⎦ ⎥ × ⎡ 1 

⎢ 

⎣⎢ 

2 + + 

( γσex βσey σt 

) 

⎤ 

⎥ 

⎦⎥ 

Onde: 

(4.16) 

σex , σey - tensões críticas de flambagem elástica por flexão em torno dos eixos 

x e y, respectivamente 

σt - tensão crítica de flambagem elástica por torção 

β, γ - parâmetros definidos a seguir: 

β = 1-(x0 / r0)2 

γ = 1-(y0 / r0)2 

A expressão 4.16 vale para todas as seções, podendo ser simplificada, no caso 

das seções monossimétricas, pela expressão 4.17. 

σ 

1 

= ⎡( ) ( ) 

β σ + σ − σ + σ 2 

−4 

2 ⎣⎢ 

βσ σ 

FT ex t ex t ex t 

⎤ 

⎦⎥ 

(4.17) 

4.1.2 Flambagem local 

O outro caso de instabilidade que deve ser verificado é a flambagem local, na 

qual a seção transversal da barra é subdividida em elementos bidimensionais 

considerando a largura e a espessura da chapa, além das vinculações das bordas. 

KISSEL & FERRY (1995) descrevem três casos de flambagem local, em 

função da esbeltez do elemento (relação largura - espessura b/t): escoamento, 

flambagem local no regime inelástico e flambagem local no regime elástico. Sendo os 

fatores de segurança os mesmos da flambagem global : 1,65 para o escoamento e 1,95 

para a flambagem. 

As expressões usadas para o cálculo da flambagem local são similares às 

empregadas no cálculo da flambagem global, sendo a esbeltez global (kL/r) substituída 

pela esbeltez do local (b/t), multiplicada pelo fator α. 

O fator α, multiplicando a relação largura - espessura, considera a vinculação 

do elemento e a distribuição de tensões. 

Assim a tensão crítica de flambagem local pode ser determinada da seguinte 

maneira: 



13 

escoamento: 

σ c 

= 

f 

k 

cy 

c 

(4.18) 

flambagem inelástica: 

σ 

= B −D 

c p p 

⎛ αb⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ t ⎠ 

(4.19) 

Onde: 

b/t - é a relação largura - espessura 

Bp e Dp - constantes definidas para cada liga e têmpera. 

α - fator que expressa a condição de vinculação da chapa. 

flambagem elástica: 

2 

π E 

σ 

c 

= 

⎛ αb 

⎝ ⎜ ⎞ 

⎟ 

t ⎠ 

2 

(4.20) 

Deve-se atentar para o fato da AA considerar como largura de um elemento 

apenas a parte plana deste elemento, o que difere da consideração do AISC. No caso de 

elementos com espessura variável adota-se, de maneira análoga ao aço, uma espessura 

média. 

Nos elementos em que é permitido considerar o comportamento pós-flambagem 

existe um ganho de resistência do elemento e a expressão 4.20 é modificada para: 

k2 BpE 

σ 

c 

= ⎛ αb 

⎝ ⎜ ⎞ 

⎟ 

t ⎠ 

(4.21) 

A constante k2 é determinada para cada liga. Por exemplo, para a liga 6061-T6 

seu valor é igual a 2,27. A figura 4.3 ilustra este comportamento, com as expressões 

para a liga 6061-T6, no caso de uma chapa com uma das bordas livre. 

σ c (kN / cm 2 ) 


14 


Figura 4.3 - Curva de flambagem local para elemento na liga 6061-T6, no caso de uma chapa 

com uma das bordas livre. 

A norma da AA permite ainda, que após o cálculo das tensões admissíveis à 

flambagem local de cada elemento que formam a seção transversal, calcule-se uma 

tensão admissível média dada pela expressão 4.22, que será a tensão admissível à 

flambagem local para a barra comprimida. 

σ 

ca 

= 

A1σ 1 

+ A2σ 2+ K+ 

A σ 

A 

c c n cn 

(4.22) 

Onde: 

Ai - área do elemento i, 

σci - tensão admissível à flambagem local para o elemento i, 

A - área da seção transversal (= A1 + A2 + ... + An ), e 

σca - tensão admissível média à flambagem local. 

4.1.2.1 Elementos com enrijecedores de borda 

Assim como nos perfis de aço formados a frio, é usual em alumínio empregar 

perfis com enrijecedores de borda nas. Os enrijecedores de borda conferem um vínculo 

à borda livre da chapa, cuja eficiência, evidentemente, depende de sua “rigidez”. 

A norma da AA apresenta uma expressão para o cálculo da tensão admissível à 

flambagem local de elementos com enrijecedores de borda (4.23). 



15 

( ) 

σ = σ + σ −σ 

as uT sT uT 

R 

(4.23) 

Onde: 

borda; 

σas - tensão admissível à flambagem local do elemento com enrijecedor de 

σuT - tensão admissível à flambagem local admitindo o elemento apoiado com 

borda livre (sem enrijecedor de borda); 

σsT - tensão admissível à flambagem local admitindo o elemento apoiado em 

ambas as bordas; 

R - é o parâmetro que depende da rigidez do enrijecedor de borda e da esbeltez 

do elemento a ser enrijecido, dado por: 

R = 10 , se b/t ≤ S/3 (4.24) 

R = 

rs 

⎛ bt 1⎞ 

9t⎜ 

− ⎟ 

⎝ S 3⎠ 

≤ 

10 , 

se S/3 < b/t ≤ S (4.25) 

rs 

R = 

⎛ bt ⎞ 

15 , t⎜ 

+ 3⎟ 

⎝ S ⎠ 

Sendo: 

≤ 10 , 

se S < b/t ≤ 2S (4.26) 

rs - raio de giração do enrijecedor em relação à linha esqueleto do elemento a 

ser enrijecido; 

b, t - largura e espessura, respectivamente, do elemento a ser enrijecido; 

S 

= 128 , 

E 

f cy 

(4.27) 

Os enrijecedores de borda dos perfis tabelados, em geral apresentam baixa 

eficiência, como é possível comprovar no exemplo a seguir. 

Seja o perfil U enrijecido apresentado na figura 4.4, com suas propriedades 

geométricas. 


16 


y 

47,5 

2 ,5 

2 ,5 

7,5 

A = 5,22 cm 2 

I x = 93,97 cm 4 

107,0 

x 

14,0 

x 

I y = 13,92 cm 4 

r x = 4,24 cm 

r y = 1,63 cm 

3,0 

W x = 17,56 cm 3 

W y = 4,16 cm 3 

y 

Figura 4.4 - Perfil U enrijecido disponível comercialmente (dimensões em mm), adotado no 

exemplo. 

Inicialmente calcula-se a esbeltez do elemento a ser enrijecido e do enrijecedor: 

b 42 

⎧ mesa ⇒ = = 16, 

8 

⎪ 

t 25 , 

⎨ 

⎪enrijecedor 

b 

⎩ 

⇒ 75 , 

= = 25 , < C = 52 compacto 

1 

, ( ) 

t 3 

Determina-se o momento de inércia e o raio de giração do enrijecedor em 

relação a linha esqueleto do elemento a ser enrijecido: 

I 

r 

s 

s 

= × 3 

3 75 , 

+ ( 3 × 7, 5) 

. 2, 

5 = 246mm 

12 

Is 

= = 331 , mm = 033 , cm 

A 

s 

2 4 

No caso da liga 6061-T6 tem-se da expressão 4.27: 

S = 128 7 . 

, 

000 = 16, 

7 

25 

b 

= 16, 

8 ≈ S 

t 

cálculo de “R” pela expressão 4.25 



17 

R = 

331 , 

⎛ ⎞ 

9× 25 , ⎜1− 

1 ⎟ 

⎝ 3⎠ 

= 0, 221 < 1, 

0 

As tensões admissíveis à flambagem local para a mesa com uma das bordas 

livre (σuT) e com as duas bordas apoiadas (σsT), resultam: 

σ 

σ 

uT 

sT 

106 

2 

= = 637 , kN / cm 

bt 

= 16 − 0, 174 = 1312 , kN/ 

cm 

( bt) 

Calcula-se a seguir, a tensão admissível à flambagem local para a mesa 

considerando a contribuição do enrijecedor: 

2 

σ 

σ 

as 

as 

= 6, 37 + ( 1312 , − 6, 37) 0, 221 = 6, 37 + 1, 

49 

= 786 , kN cm 

2 

Observa-se que, em comparação com a mesa com borda livre, houve um ganho 

de resistência de 23% , que corresponde a 60% do valor da tensão admissível no caso 

de elemento com as duas bordas apoiadas. 

4.1.3 Interação entre flambagem global e flambagem local 

Nos casos em que a seção é constituída por elementos esbeltos, ou seja, a 

relação b/t é superior a C2 , o comportamento pós-flambagem que implica em aumento 

da tensão nas extremidades vinculadas dos elementos, pode constituir-se num fator 

redutor da capacidade da barra em termos de flambagem global. 

Se a tensão admissível à flambagem local for menor que a tensão admissível a 

flambagem global, havendo então a possibilidade de redução da capacidade da barra 

pela interação entre os dois modos de flambagem, deve-se calcular uma tensão 

admissível reduzida (σa,r ) dada pela expressão (4.28). 

σ 

ar , 

= 

1 1 

σ 3 

cg 

. σ 3 

cl 

FS 

(4.28) 

Onde: 

σcg - tensão crítica da flambagem global, 

σcl - tensão crítica de flambagem local, 

FS - fator de segurança aplicado à flambagem (1,95 para barras comprimidas e 

1,65 para barras fletidas) 

A expressão 4.28 é aplicável somente se a seção possuir elementos esbeltos (b/t 

σ σ 

cl 

cg 

> C2 ), e se FS 

< 

FS . 


18 


5 BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES 

Quando uma barra está submetida a flexão, sua capacidade está relacionada com 

a sua resistência ao momento fletor e à força cortante. Para estes esforços têm-se 

diferentes modos de ruína aplicáveis. 

Com relação ao momento fletor, os modos de ruína aplicáveis são: plastificação 

ou ruptura da região tracionada, as instabilidades locais (mesa comprimida e alma) e a 

instabilidade global (flambagem lateral com torção). Para a força cortante poderá 

ocorrer um estado de plastificação ou de instabilidade da alma. 

Além dos modos de ruína anteriormente relacionados, é necessário verificar 

também a condição de serviço (utilização), como deslocamentos excessivos (flechas) e 

vibrações. 

BRIMELOW (1971) recomenda limitar os valores das flechas em 1/180 do vão 

para terças e longarinas, e em 1/325 do vão para as vigas em geral. 

5.1 Momento fletor: vigas estáveis lateralmente e de seção compacta 

A verificação da região tracionada das vigas é similar à verificação das barras 

tracionadas, onde a máxima tensão de tração calculada para a seção transversal líquida 

da viga não deve superar a tensão admissível ao escoamento ou à ruptura (fty /1,65 ou 

ftu /(kt 1,95) ). 

De maneira análoga ao previsto no AISC-ASD (1989), a tensão admissível ao 

escoamento pode ser majorada para levar em consideração a plastificação da seção. 

Tabela 5.1 - Tensão admissível para vigas de alumínio segundo a norma da AA. 

SEÇÃO ESCOAMENTO ESCOAMENTO RUPTURA 

À COMPRESSÃO A TRAÇÃO 

I e U fletidos f cy / 1,65 = 0,6 f cy f ty / 1,65 = 0,6 f cy f tu / 1,95 k t = 0,6 f tu / k t 

em relação ao eixo 

de maior inércia 

I fletidos em 

relação ao eixo de 

menor inércia e 

barras maciças 

1,30 f cy / 1,65 = 

= 0,79 f cy 

1,30 f cy / 1,65 = 1,42 f tu / 1,95 k t = 

= 0,79 f cy = 0,73 f tu / k t 

tubos retangulares f cy / 1,65 = 0,6 f cy f cy / 1,65 = 0,6 f cy f tu / 1,95 k t = 0,6 f tu / k t 

tubos circulares 1,17 f cy /1,65 = 

= 0,71 f cy 

1,17 f cy /1,65 = 

= 0,71 f cy 

1,24 f tu / 1,95 k t = 

= 0,63 f cy 



19 

5.2 Flambagem lateral com torção (FLT) 

A flambagem lateral com torção pode ocorrer em vigas que apresentam flexão 

em torno do eixo de maior inércia e neste caso a tensão de flambagem elástica é obtida 

dividindo-se o momento de flambagem elástica (Mc ) pelo módulo de resistência 

elástico em relação à fibra mais comprimida (Wc ). 

A norma da AA apresenta uma expressão simplificada para o cálculo da tensão 

de flambagem elástica (5.1), desprezando-se os efeitos de torção e empenamento, de 

maneira análoga ao procedimento tradicionalmente empregado pelo AISC-ASD. Desta 

forma, a tensão de flambagem elástica na flexão é calculada por uma expressão idêntica 

à da flambagem elástica de barras comprimidas, tomando como esbeltez a relação Lb / 

(1,2ry). 

σ 

c 

2 

π E 

= 

⎛ Lb 

⎝ ⎜ ⎞ 

12 , r 

⎟ 

⎠ 

y 

2 

(5.1) 

Onde: 

Lb - distância entre dois pontos travados lateralmente (vínculo de garfo) 

O momento (ou a tensão) de flambagem elástica pode ser majorada para levar 

em consideração a variação do momento fletor ao longo da viga, uma vez que a 

expressão 5.3 refere-se a caso mais desfavorável de momento uniforme. A majoração é 

feita pelo coeficiente de equivalência de momento na flexão (Cb). A expressão 

recomendada pela AA é a mesma do AISC-LRFD, 2a edição (1993) - expressão 5.4, 

mais abrangente que a conhecida expressão das edições anteriores do AISC e da NBR 

8800 (1986). 

C 

b 

Onde: 

12,5M 

max. 

= 

2,5 M 3M + 4 M + 3M 

max. A B C 

Mmáx - valor absoluto do máximo momento no trecho analisado, 

(5.2) 

MA - valor absoluto de momento no primeiro quarto do trecho analisado, 

MB - valor absoluto de momento no ponto médio do trecho analisado, 

MC - valor absoluto de momento no terceiro quarto do trecho analisado. 

A expressão 5.1 é conservadora, uma vez que despreza os efeitos de torção e 

empenamento. A norma da AA permite que o raio de giração em relação ao eixo de 

menor inércia ry , seja substituído por rye , calculado pela expressão 5.3, onde são 

considerados os efeitos de torção e empenamento para o caso de carregamento aplicado 

no centro de torção. 


20 


r 

ye 

C I 

1,7 W 1 0,152 I b yd 

= + 

I 

c 

t 

y 

⎛ KL 

y 

⎜ 

⎝ d 

b 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

(5.3) 

A norma da AA apresenta outra expressão que leva em consideração o ponto de 

aplicação do carregamento em relação ao centro de torção (5.4). Para o caso de 

carregamento aplicado na mesa superior (desfavorável) o termo 0,5 deve ser tomado 

como negativo, e quando aplicado na mesa inferior (favorável), como positivo. 

r 

ye 

C I ⎡ 

1,7 W 0,5 1,25 0,152 ⎛ I b yd 

= ⎢± + + ⎜ 

c ⎢ 

⎝ I 

⎣ 

t 

y 

⎞ KL 

y b 

⎟ ⎛ ⎠⎝ ⎜ ⎞ 

⎟ 

d ⎠ 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

(5.4) 

Onde: 

rye - raio efetivo de giração utilizado no lugar de ry, 

Cb - coeficiente de equivalência de momentos na flexão, 

Iy - momento de inércia em relação ao eixo de menor inércia da viga, 

Cw - constante de empenamento da seção, 

It - momento de inércia à torção, ou constante de St. Venant, 

Ky - coeficiente do comprimento efetivo para a mesa comprimida em relação ao 

menor eixo de inércia, sendo igual a 1,0 para o caso de não haver restrição ao giro nos 

pontos de travamento lateral. 

d - comprimento da viga. 

A flambagem inelástica, ou seja, sob tensão superior ao limite de 

proporcionalidade do material é admitida de maneira similar ao caso de barras 

comprimidas. Na curva de flambagem no caso de vigas o fator de segurança único, 

igual a 1,65, para todos os trechos. 



21 

Figura 5.1 - Curva de flambagem na flexão (FLT), em termos de tensões admissíveis, para a 

liga 6061-T6. Aplicável a perfis I e U fletidos em relação ao eixo de maior inércia. 

5.3 Flambagem local em elementos de viga 

Os conceitos e procedimentos já abordados para o caso de elementos 

pertencentes a barras comprimidas também são aplicáveis aos elementos de viga, 

ocorrendo agora dois “grupos de elementos”: os submetidos à compressão uniforme, 

como por exemplo a mesa de perfis I e U fletidos em torno do eixo de maior inércia; e 

os não submetidos à compressão uniforme, como por exemplo a alma de perfis I e U 

fletidos em torno do eixo de maior inércia e as mesas de perfis I e U fletidos em torno 

do eixo de menor inércia. 

A figura 5.2 apresenta as curvas de flambagem local da AA, em termos de 

tensão admissível, para elementos com borda livre e compressão uniforme (mesa de 

perfis I e U), e elementos com bordas apoiadas sob flexão simétrica (alma de perfis I e 

U simétricos em relação ao eixo de maior inércia), para a liga 6061-T6. Notar que nessa 

figura foi incluída a curva para elementos com borda livre e compressão uniforme, 

pertencentes a barras axialmente comprimidas. Na flexão o fator de segurança é único e 

igual a 1,65. 


22 


Figura 5.2 - Curvas de flambagem local para a liga 6061-T6. 

A tensão admissível à flambagem local das barras submetidas à flexão pode ser 

tomada, a favor da segurança, igual ao menor valor obtido com base na análise de todos 

os elementos que compõem a seção. A norma da AA permite ainda que seja adotado 

um valor correspondente à média ponderada das tensões de flambagem local. 

Assim como no caso das barras comprimidas, a interação entre os dois modos 

de flambagem deve também ser verificada, considerando-se agora o fator de segurança 

empregado na flexão, igual a 1,65. 

5.4 Enrugamento da alma 

O enrugamento da alma é um fenômeno localizado que pode ocorrer em almas 

não enrijecidas, sujeitas à força concentrada. 

Para os casos usuais de perfis I ou U, com a alma paralela ao plano que contém 

a força concentrada e o raio interno de concordância entre mesa e alma admitido como 

nulo, Tem-se a expressão 5.5. 

F a w 

2 

Onde: 

( cy 

cy )( ) 

= 0,412β t 0,667f + 2,426 

f N + C 

Fa - força concentrada (ou reação de apoio) admissível, em kN; 

β = 1,0 para forças fora da extremidade da viga; 

β = 1,2 para forças na extremidade da viga; 

(5.5) 



23 

tw - espessura da alma, em cm; 

fcy - resistência ao escoamento na compressão, em kN/cm2; 

N - extensão de região de aplicação da força ou da reação de apoio, em cm; 

C = 13,7 cm para forças fora da extremidade da viga; 

C = 3,3 cm para forças na extremidade da viga; 

5.5 Enrugamento da alma e flexão combinados 

A última edição da norma da AA (6a edição) apresenta uma expressão de 

interação para tal verificação (5.6), o que não era previsto nas edições anteriores. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

M 

M 

a 

1,5 

⎞ F 

⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ 

⎟ 

F ⎠ 

a 

1 , 5 

≤ 

1,0 

(5.6) 

Onde: 

M - momento fletor na seção onde atua a força concentrada, 

Ma - momento fletor admissível, calculado para a flexão isoladamente, 

F - força concentrada na seção analisada, 

Fa - força concentrada admissível conforme expressão 5.5. 

5.6 Cisalhamento por flexão 

A verificação da força cortante em vigas de alumínio é similar à das vigas de 

aço, constituindo uma análise da alma sujeita ao escoamento ou à flambagem local. 

norma da AA aborda dois casos: alma sem enrijecedores e almas com enrijecedores. 

A curva de flambagem para almas sem enrijecedores é constituída por três 

trechos (com fator de segurança igual a 1,65) para os três trechos: 

escoamento por cisalhamento: 

τ a 

ty 

= 06f , 

165 , (5.7) 

flambagem inelástica: 

B −125 , D ( h t) 

p p 

τ a 

= 

165 , (5.8) 

a 

165125 ( ht) 

flambagem elástica: , , 

τ 

= 

π 

2 

E 

2 

(5.9) 


24 


No caso de almas com enrijecedores, a curva de flambagem é constituída por 

apenas dois trechos: escoamento por cisalhamento e flambagem elástica. 

Figura 5.3 - Curvas de flambagem para cisalhamento - liga 6061-T6. 

A esbeltez das almas sem enrijecedores é dada pela relação entre a altura da 

alma (distância livre entre mesas) e a espessura, h/t. Para as almas com enrijecedores, a 

esbeltez é dada pela relação ae/t, sendo ae calculado pela expressão 5.10. 

a 

e 

= 

a 

1+ 

0, 

7 

1 

( a a ) 

1 2 

2 

(5.10) 

Onde a1 e a2 são respectivamente a menor e a maior distância tomada entre a 

altura da alma e o espaçamento entre os enrijecedores. 

6 BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO COMPOSTA 

O procedimento de verificação das barras de alumínio submetidas à flexão 

composta é similar ao aplicado no projeto de estruturas de aço, consistindo de 

expressões de interação envolvendo os efeitos da força normal e do momento fletor. 

A norma da AA, assim como as normas de estruturas de aço, consideram o 

efeito de segunda ordem (amplificador) na flexo-compressão e, a favor da segurança 

desprezam-no na flexo-tração (restaurador). 



25 

7 LIGAÇÕES 

As ligações entre elementos estruturais em alumínio são similares às ligações 

entre elementos de aço, entretanto requerem alguns cuidados em função das 

propriedades deste material, principalmente com relação à marcação e preparação das 

superfícies a serem ligadas e com a adequação do material a ser utilizado. 

Pode-se agrupar as ligações, de modo geral, em dois grandes grupos, os das 

ligações com conectores e o das ligações soldadas. 

As ligações com conectores são muito utilizadas nas estruturas metálicas, 

sobressaindo-se nas estruturas de alumínio. Os elementos mais empregados nestes tipos 

de ligações são os parafusos com porcas e arruelas, os rebites, os pinos e os parafusos 

de rosca soberba (auto-atarraxantes). 

7.1 Modos de falha nas ligações parafusadas ou rebitadas 

Os modos de falha para solicitação perpendicular ao eixo do parafuso ou rebite, 

prováveis nas ligações entre elementos de alumínio, são os comumente encontrados nas 

ligações de elementos metálicos de modo geral destacando-se: 

1. Cisalhamento do conector 

2. Esmagamento do metal base 

3. Ruptura do metal base na seção líquida 

4. Rasgamento do metal base entre furo e borda 

7.2 Parafusos submetidos à tração 

O cálculo da área efetiva à tração é diferente no caso de parafusos de aço e de 

alumínio. Para os parafusos de aço, conforme ASTM - rosca UNC, a área efetiva à 

tração é dada pela expressão 7.1. 

A 

r 

= 

Onde: 

⎛ 0,9743⎞ 

0,7854⎜d 

− ⎟ 

⎝ n ⎠ 

Ar - área efetiva à tração (pol2) 

d - diâmetro nominal do parafuso (pol) 

n - número de fios de rosca por pol. 

2 

(7.1) 


26 


O resultado desta equação é tabelado no AISC-ASD (1989) para o caso de 

parafusos com rosca grossa e é o mesmo apresentado para conectores de aço inoxidável 

tabelado na ASTM F593 “Stainless Steel Bolts, Hex Cap, Screws and Studs” (1991), 

para as séries de roscas grossa e fina. 

No caso de parafusos de alumínio a da área efetiva à tração é calculada pela 

expressão 7.2, resultando em valores 10% menores que para os parafuso de aço. 

A = ⎛ 

0,7854 d − 1,2269 ⎞ 

r ⎜ ⎟ 

⎝ n ⎠ 

2 

(7.2) 

7.3 Parafusos submetidos à força cortante 

O procedimento para determinação da resistência à força cortante em parafusos 

de alumínio é diferente do tradicionalmente empregado pelo AISC-ASD, que adota 

sempre como referência a área bruta do parafuso, diferenciando a tensão admissível 

para os casos de rosca inclusa ou exclusa ao plano de corte. 

Por outro lado, a norma da AA estabelece sempre a mesma tensão admissível ao 

cisalhamento, diferenciando a área efetiva ao cisalhamento do parafuso. Assim para o 

caso de rosca exclusa, a área efetiva ao cisalhamento é a própria área bruta (nominal) 

do parafuso, enquanto que no caso de rosca inclusa, emprega-se uma área efetiva que 

evidentemente é menor que a área bruta. 

Observa-se que a norma da AA não apresenta requisitos para a verificação de 

parafusos de alumínio submetidos à tração e força cortante combinados. 

7.4 Pressão de contato em furos e distância entre furo e borda 

De acordo com a norma da AA, a pressão de contato não pode ultrapassar a 

tensão admissível ao esmagamento, dada pelo menor valor entre: 

fby 

(FS) y 

fby 

= 

1,65 

ou 

f 

bu 

f 

bu 

= 

12 , ( FS) 12 , ( 195 , ) 

u 

(7.3) 

As tensões admissíveis devem ser reduzidas em 33% no caso de parafusos em 

furos alongados ou no caso de pinos. 

7.5 Parafusos auto-atarraxantes 

A última edição da norma da AA (6a edição) apresenta requisitos para a 

verificação de ligações ente elementos de alumínio empregando os parafusos auto- 



27 

atarraxantes (com rosca soberba). Os modos de falha observados nesse tipo de ligação 

estão descritos a seguir: 

1. Pull-out: é o arrancamento do parafuso por tração associado à ruptura do 

elemento que não está em contato com a cabeça do parafuso. 

2. Pull-over: é o arrancamento do parafuso por tração associado à ruptura do 

elemento que está em contato com a cabeça do parafuso. 

3. Tiltting: é a inclinação excessiva do parafuso por efeito de cisalhamento. 

7.6 Ligações soldadas 

A soldagem dos metais altera as propriedades mecânicas na região da solda, 

devido principalmente às elevadas temperaturas aplicadas nessa região, necessárias 

para fundir o metal base e o metal da solda. 

Nas estruturas de alumínio, a preocupação deve ser ainda maior. O calor 

introduzido pela soldagem altera de maneira significativa a resistência das ligas, 

reduzindo no caso da liga 6061-T6 por exemplo, em torno de 40% a resistência ao 

escoamento e resistência à ruptura por tração. 

A norma da AA apresenta a resistência ao cisalhamento dos eletrodos mais 

utilizados (tabela 7.1), e a tabela 7.2 as resistências de algumas ligas (metal base) na 

região da solda. 

Tabela 7.1 - Resistências ao cisalhamento para os eletrodos mais empregados. 

Liga do eletrodo Resistência ao cisalhamento - f su (MPa) 

1100 52,5 

4043 80 

5183 130 

5356 119 

5554 119 

5556 140 

5654 84 


28 


Tabela 7.2 - Resistências de algumas ligas na região da solda. 

Liga f tyw (MPa) f tuw (MPa) f syw (MPa) f suw (MPa) 

5005-H14 49 98 28 63 

5052-H34 91 175 52,5 112 

5083-H111 147 273 84 161 

5083-H116 168 280 98 168 

5086-H34 133 245 77 147 

5086-H111 126 245 70 147 

5454-H111 112 217 66,5 133 

5454-H34 112 217 66,5 133 

5456-H111 168 287 98 168 

5456-H114 182 294 105 175 

6005-T5 119 168 70 105 

6061-T6 140 167 83 104 

6063-T5 77 119 45,5 77 

6063-T6 77 119 45,5 77 

Solda de topo: são empregadas para ligação de topo entre dois elementos sendo a 

resistência admissível de uma solda de topo tomada como o menor valor entre: 

09 , f 

e f tuw tyw 

( FS) u 

( FS) 

y 

(7.4) 

Onde: 

ftuw : resistência à ruptura por tração do metal base na região da solda 

ftyw : resistência ao escoamento do metal base na região da solda 

(FS)u = 1,95 (fator de segurança na ruptura) 

(FS)y = 1,65 (fator de segurança no escoamento) 

Solda de filete: são empregadas nas juntas em T e nas juntas por sobreposição, não 

requerendo preparo da superfície. A resistência das soldas de filete é determinada com 

base em dois modos de falha: ruptura da solda na garganta efetiva , ou ruptura do metal 

base junto à solda. O fator de segurança é igual a 2,34 (20% maior que o fator de 

segurança na ruptura, empregado no dimensionamento de barras). Portanto a resistência 

admissível de uma solda de filete deve ser tomada como o menor valor entre: 

- ruptura por cisalhamento do filete na garganta efetiva 

R 

w 

fsu 

= 234 , (7.5) 

- ruptura por cisalhamento do metal base na face da fusão 



29 

R 

MB 

fsuw 

= 14 , 

234 , (7.6) 

Onde: 

Rw - resistência admissível da solda 

RMB - resistência admissível do metal base na face de fusão 

fsu - resistência ao cisalhamento da solda, conforme tabela 7.1 

fsuw - resistência à ruptura do metal base, conforme tabela 7.2 

8 COMENTÁRIOS FINAIS E CONCLUSÕES 

Destaca-se as vantagens de utilização de elementos estruturais em alumínio em 

função do alumínio ser um material três vezes mais leve que o aço com elevada 

resistência a corrosão e módulo de elasticidade três vezes menor que o do aço. 

Entretanto, observou-se uma carência de referências bibliográficas sobre a 

aplicação do alumínio em estruturas, inclusive por parte das usinas produtoras. 

As ligas de alumínio não apresentam patamar de escoamento no diagrama 

tensão - deformação, sendo a resistência ao escoamento determinada de maneira 

convencional com base no método off set 0,2%. 

O dimensionamento das barras tracionadas em alumínio é feito com base no 

escoamento ou ruptura na seção líquida efetiva, com fatores de segurança 1,65 para o 

escoamento e 1,95 para a ruptura, valores próximos aos adotados pelo AISC, 1,67 e 2,0 

para o escoamento e ruptura respectivamente. É importante notar que a norma da AA 

não estabelece a verificação do escoamento na seção bruta, empregando a área líquida 

efetiva nas duas verificações. 

A norma da AA estabelece curvas de flambagem, em termos de tensões 

admissíveis, constituídas de três trechos: escoamento, flambagem inelástica (reta) e 

flambagem elástica (hipérbole de Euler), com fatores de segurança igual a 1,65 para 

escoamento e 1,95 para flambagem. 

Outro aspecto importante observado, diz respeito aos enrijecedores de borda de 

perfis comerciais, que apresentam dimensões muito reduzidas e portanto baixa 

eficiência estrutural como elemento enrijecedor de mesa. 

Analogamente à verificação das barras comprimidas, a flambagem local (FLM e 

FLA) é analisada com base em tensões admissíveis à flambagem local, não sendo 

previsto o conceito de largura efetiva. 

No caso de barras submetidas a flexão, diferentemente da norma do AISC, a 

norma da AA prevê os casos de carregamento atuando no centro de torção, na mesa 


30 


superior e na mesa inferior, podendo conduzir a valores bem diferentes da tensão crítica 

em alguns casos. 

Assim como nas estruturas de aço, as estruturas de alumínio podem ser 

rebitadas, parafusadas e soldadas. Nas ligações com conectores, destaca-se a rebitagem 

a frio, processo ainda muito empregado no alumínio. 

Com relação a soldagem, se nas estruturas de aço simplifica os detalhes e 

consiste num processo relativamente barato e muito difundido, no alumínio o custo é 

relativamente elevado e requer mão-de-obra muito especializada, o que tem 

inviabilizado economicamente a soldagem como dispositivo de ligação nas estruturas 

voltadas a construção civil. 

Destaca-se a necessidade de um estudo aprofundado de sistemas estruturais para 

elementos em alumínio buscando a viabilidade de utilização deste material. 

9 REFERÊNCIAS 

ABDO, N. A. (1983). Estruturas de alumínio. São Paulo: Pini. 

ALUMINUM ASSOCIATION, (1993). Aliminum standards and data. 11. ed., 

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ed., Canada, Aug. 

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NARAYANAN, R. (Ed.). INTERNATIONAL CONFERENCE OF STEEL AND 

ALUMINUM STRUCTURES. Proceedings… Cardiff, UK, July, 1987. 

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by: LEE, S. L.; SHANMUGAM, N. E. (Ed.). INTERNATIONAL CONFERENCE OF 

STEEL AND ALUMINUM STRUCTURES. Proceedings… Singapore, May, 1991. 

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testing wrought and casting aluminum and aluminum-alloy rivets and coldheading 

wire and roads. 

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. (1993). ASTM B565 - Shear 

testing of aluminum and aluminum-alloy, rivets and cold-heading wire and roads. 



31 

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Standard Test Methods for Tension Testing of Materials [Metric]. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMA TÉCNICAS - ABNT (1986). NBR 8800 - 

Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro. 

BRIMELOW, E. I. (1971). Aluminio en la construccion. Espanha: Ediciones URMO. 

BUZINELLI, D. V. (2000). Dimensionamento de elementos estrutruais em 

alumínio. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos 

– Universidade de São Paulo. 

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design in aluminum. Rexdale, Ontario. Dec. 

CANADIAN STANDARDS ASSOCIATION. (1984). CAN3-S136-M84. Cold formed 

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specifications and design. New York, USA/Canada: John Wiley and Sons, Inc. 

MAGALHÃES, J. R. M. (1996). Sobre o projeto e a construção de estruturas 

metálicas espaciais. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de 

São Carlos - Universidade de São Paulo. 

MARSH, C. (1983). Strengh of aluminum. Canada: ALCAN Canada Products Limited. 


ISSN 1809-5860 

SISTEMA COMPUTACIONAL COM GERAÇÃO 

DE DADOS E VISUALIZAÇÃO DE RESULTADOS 

PARA ESTRUTURA DE EDIFÍCIOS 

Luiz Liserre 1 & Marcio Antonio Ramalho 2 

Resumo 

Este trabalho trata do desenvolvimento de um sistema computacional, para a geração de dados 

e apresentação de resultados, específico para as estruturas de edifícios. As rotinas 

desenvolvidas devem trabalhar em conjunto com um sistema computacional para análise de 

estruturas com base no Método dos Elementos Finitos, contemplando tanto as estruturas de 

pavimentos; com a utilização de elementos de barra, placa/casca e molas; como as estruturas 

de contraventamento; com a utilização de elementos de barra tridimensional e recursos 

especiais como nó mestre e trechos rígidos. A linguagem computacional adotada para a 

elaboração das rotinas mencionadas é o Object Pascal do DELPHI, um ambiente de 

programação visual estruturado na programação orientada a objetos do Object Pascal. Essa 

escolha tem como objetivo, conseguir um sistema computacional onde alterações e adições de 

funções possam ser realizadas com facilidade, sem que o todo o conjunto de programas precise 

ser analisado e modificado. Por fim, o programa deve servir como um verdadeiro ambiente 

para análise de estruturas de edifícios, controlando através de uma interface amigável com o 

usuário uma série de outros programas já desenvolvidos em FORTRAN, como por exemplo o 

dimensionamento de vigas, pilares, etc. 

Palavras-chave: estruturas de edifícios; método dos elementos finitos; estruturas de 

contraventamento; pré-processador; pós-processador. 


A análise de edifícios é um tópico de grande importância para engenharia de 

estruturas. Qualquer desenvolvimento técnico obtido para essa área produz, por efeito 

de escala, um benefício sensível para toda a sociedade. Isso porque esses edifícios 

são em número tão expressivo que deixam as outras estruturas em situação de menor 

destaque. 

Durante muito tempo as análises eram feitas de forma simplificada, 

considerando os elementos estruturais, pilares, vigas e lajes, isolados uns dos outros. 

No entanto, com o aparecimento dos microcomputadores, tornou-se viável a aplicação 

de procedimentos sofisticados que consideram a interação entre os diversos 

componentes estruturais que constituem um edifício. Dessa forma, pouco a pouco as 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, luiz.liserre@directnet.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, ramalho@sc.usp.br 


34 

Luiz Liserre & Marcio Antonio Ramalho 

estruturas calculadas foram se aproximando do seu comportamento real, através da 

consideração do comportamento conjunto dos seus elementos componentes. 

Entretanto, para se realizar análises eficientes com a consideração do 

comportamento conjunto dos diversos elementos estruturais, é necessário o 

desenvolvimento de ferramentas específicas para a geração dos dados e visualização 

dos resultados. Essas ferramentas devem permitir a utilização dessas técnicas mais 

sofisticadas sem grandes complicações para os usuários. 

Aqueles que já estiveram envolvidos com essas análises sabem que a 

utilização de pacotes computacionais genéricos não é totalmente viável. Mesmo com 

os recursos de geração e visualização de resultados neles existentes, torna-se pouco 

confortável a análise das referidas estruturas devido as particularidades que 

necessariamente devem ser consideradas. Assim, é de grande importância que 

possam ser desenvolvidas essas ferramentas, possibilitando um avanço cada vez 

mais expressivo dos procedimentos de análise de edifícios. Nesse caso melhora-se a 

segurança dos dimensionamentos e também a economia dos diversos sistemas 

construtivos envolvidos. 

Exatamente com esse intuito é que se propõe este trabalho, o de se 

desenvolver todo um sistema de geração de dados e visualização de resultados 

voltados especificamente para as estruturas de edifícios. 

Para o desenvolvimento do sistema, a linguagem computacional adotada foi o 

Object Pascal, utilizando o ambiente de programação visual Delphi. O Delphi é 

ambiente de programação extremamente amigável ao desenvolvedor e que fornece 

todos os recursos de uma linguagem visual com suporte à programação orientada a 

objeto. Requisitos esses fundamentais para permitir a construção de aplicativos 

complexos, facilmente modificáveis e com o mínimo de codificação. 

2 JUSTIFICATIVAS 

Na Engenharia atual, em especial na Engenharia de Estruturas e no 

desenvolvimento de projetos, a utilização de computadores se faz obrigatória. 

Também é evidente a necessidade de que os modelos sejam aperfeiçoados de forma 

que o comportamento das estruturas possa ser avaliado de forma cada vez mais 

acurado. 

Essa complexidade dos modelos leva a uma evidente maior complexidade dos 

dados de entrada e também na necessidade que recursos especiais para a 

observação dos resultados obtidos. É completamente impensável se fornecer dados 

para todos os nós e elementos que deverão constituir o modelo e obter resultados em 

termos de listagens de valores numéricos para deslocamentos nodais e esforços nas 

extremidades de elementos. 


Sistema computacional com geração de dados e visualização de resultados para estrutura 

35 

Por esses motivos, todos os programas de análise de estruturas que são 

voltados para uma utilização mais profissional possuem geradores de dados e 

recursos especiais para a visualização de resultados, como por exemplo o 

SAP90(1991), o SUPERSAP, o ANSYS(1996) e o NASTRAN(1995). Até mesmo 

programas que tem uma utilização mais voltada para o ambiente acadêmico, como o 

LUSAS(1995), também possuem esses recursos que, conforme já se mencionou, são 

fundamentais para a viabilidade de sua utilização. 

Entretanto, os usuários desses sistemas, que costumam analisar edifícios, 

sabem que a utilização dos mesmos para esse tipo de estrutura está longe de ser 

confortável. Diversos detalhes específicos fazem com que os edifícios sejam muito 

mais facilmente tratados quando se dispõem de funções especiais. A geração do 

pavimento, que normalmente possui aberturas, a colocação de vigas, pilares e o 

próprio carregamento proveniente de paredes são exemplos típicos que podem ser 

citados. Além disso, a rapidez e a confiabilidade do modelo aumentam bastante, se a 

geração do pavimento servir para a definição automática do modelo da estrutura de 

contraventamento; incluindo seus detalhes intrínsecos, como os nós mestres para a 

simulação dos diafragmas e os trechos rígidos para as vigas. 

Exatamente pelos motivos ressaltados nos parágrafos anteriores é que se 

justifica a importância deste trabalho, no qual pretende colocar num só sistema todas 

essas ferramentas de grande importância e, o que é mais importante, possibilitando 

que atualizações e adições de recursos possam ser executadas com relativa 

facilidade. Isso fará com que programas já desenvolvidos para determinadas funções 

específicas tenham uma utilização muito maior, evitando-se que caiam em desuso 

pela dificuldade de aperfeiçoamento e utilização isolada. Além disso, há ainda o fato 

de se estar desenvolvendo um aplicativo para as plataformas Windows 95/98 e 

Windows 2000/NT evitando também, o desuso dos programas anteriormente 

desenvolvidos que dependem do sistema operacional DOS, que é uma interface cada 

vez menos utilizada e conhecida dos novos usuários. 

3 HISTÓRICO 

O MEF - Método dos Elementos Finitos, ou FEM – Finite Element Method, 

surgiu no início da década de 50 e hoje constitui um método de grande aplicação nas 

mais diversas áreas, tais como: estruturas metálicas, concreto armado, geotecnia, 

automobilística, mecânica naval, aeronáutica, etc. Entretanto, apesar das inúmeras 

vantagens do Método dos Elementos Finitos, os usuários deparam-se com um grande 

inconveniente: a grande quantidade de dados de entrada. 

Segundo HABER et al. (1981), normalmente 80% do tempo gasto na análise de 

estruturas calculadas pelo Método dos Elementos Finitos é consumido pela entrada 

dos dados quando se utiliza o método convencional. Por esse motivo tem-se 

continuamente procurado desenvolver e aperfeiçoar programas para geração 

automática de malhas. 


36 


Diante da relevância desse fato, foi realizado um levantamento das pesquisas 

realizadas no Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de 

São Carlos-USP, sobre o problema de entrada de dados para modelagens de 

estruturas de pavimentos utilizando o Método dos Elementos Finitos. Entre elas podese 

citar o programa de SOUZA JR. (1996). Nesse trabalho, desenvolveu-se um 

método de geração de malha utilizando a técnica de triangulação automática em que a 

estrutura é dividida em macro elementos. Essa técnica exige pouco tempo de 

processamento e define elementos bem distribuídos. 

Tem-se também o programa desenvolvido por REZENDE (1990), onde se 

propôs um método que consiste em gerar malhas quadrilaterais onde pode haver a 

junção de duas ou mais malhas até formar o desenho desejado. 

E dispõe-se, principalmente, do programa Geração de Redes Básicas para 

Pavimentos, desenvolvido originalmente por BAPTISTA(1994) em C. Esse programa 

trata da geração da rede básica de nós e elementos de placa ou casca para o 

pavimento de um edifício através do fornecimento de poligonais que descrevem 

contorno externo e contornos internos (vazios), além de pontos e segmentos de retas 

para eventuais posições pré-estabelecidas para nós ou mesmo linhas de nós. 

Como o objetivo deste trabalho não foi o de desenvolver novas técnicas para 

geração de malha, mas sim de utilizar as técnicas mais adequadas disponíveis até o 

momento, melhorando e facilitando sua utilização pelo usuário através de recursos 

gráficos avançados, todas essas pesquisas foram de bastante utilidade. 

Um segundo problema levantado trata da geração da estrutura de 

contraventamento. Para isso foi utilizado o trabalho de PEREIRA (1997) que trata de 

detalhes de modelagem de estruturas de contraventamento de edifícios de concreto 

armado. PEREIRA (1997) fornece um procedimento para a modelagem das estruturas 

de contraventamento que utiliza os arquivos que contém as informações sobre cada 

pavimento. Dessa forma, pode-se gerar em detalhes todo o contraventamento através 

da conveniente montagem dos pavimentos da edificação. 

Assim como ocorre para o Método dos Elementos Finitos, para a análise de 

estruturas de contraventamento, a principal preocupação refere-se justamente à 

geração do modelo. A entrada de dados é a fase mais demorada e sujeita a erros, o 

que torna necessário o desenvolvimento de geradores com a finalidade de conferir 

maior rapidez, eficiência e confiabilidade. 

Finalmente, vale a pena destacar que todos os processamentos dos 

pavimentos em elementos finitos realizados neste trabalho são realizados através do 

programa LASER – “Linguagem para Análise de Estruturas Reticuladas” RAMALHO 

(1990), que é um sistema computacional geral em elementos finitos que permite a 

utilização de oito tipos diferentes de elementos, inclusive os elementos de placa e de 

barra, que interessam mais diretamente a essa pesquisa. 



37 

4 METODOLOGIA ADOTADA 

O sistema desenvolvido teve que englobar quatro conjuntos de programas: 

I) Geração de dados 

II) Processamento dos modelos 

III) Visualização de resultados 

IV) Dimensionamento de componentes 

Somente os conjuntos I e III são compostos por programas que foram 

elaborados ou reescritos em Object Pascal. Os conjuntos II e IV são compostos por 

programas já desenvolvidos em FORTRAN, sendo que no caso do conjunto II, apenas 

são executados através do programa controlador do sistema para que sua utilização 

seja facilitada. 

A seguir faz-se uma breve descrição dos programas que compõem os grupos I 

e II, para explicitar melhor como o sistema em questão foi desenvolvido. 

4.1 Programas para geração dos dados 

São os seguintes os programas que dizem respeito à geração de dados para 

pavimentos e estruturas de contraventamento. 

4.1.1 Geração de redes básicas para pavimentos – Programa GeraMalha 

Este programa foi originalmente desenvolvido por BAPTISTA(1994), em C, e 

trata da geração da rede básica de nós e elementos de placa ou casca para o 

pavimento de um edifício através do fornecimento de poligonais que descrevem o 

contorno externo e os contornos internos (vazios), além de pontos e retas para 

eventuais posições pré-estabelecidas para nós ou mesmo linhas de nós. 

É um programa que já atingiu uma boa eficiência de funcionamento, gerando 

com grande facilidade e rapidez modelos básicos para pavimentos de relativa 

complexidade. Um item que foi melhorado nessa pesquisa, permite que seus dados de 

entrada sejam gerados a partir de um arquivo do tipo DXF do AutoCAD, 

AUTODESK(1992). Dessa maneira, o sistema permite ao usuário fornecer esses 

dados a partir da própria arquitetura de um pavimento que tenha sido desenhada 

através do AutoCAD ou qualquer outro aplicativo que produza arquivos no formato 

DXF. 

4.1.2 Geração de elementos, detalhes especiais e carregamento para 

pavimentos 

Existe um programa denominado GLS, desenvolvido em FORTRAN, que 

coloca sobre o modelo básico gerado pelo GeraMalha, as vigas, os pilares, as molas e 

as cargas pontuais ou lineares, além de executar algumas outras funções especiais 


38 


como o levantamento ou abaixamento de grupos de elementos de placa de forma a 

simular trechos independentes do pavimento que se está gerando. 

Essa operação gera um arquivo final, que pode ser chamado de modelo final, 

pronto para o processamento pelo Sistema LASER. Só que para realizar essa tarefa, 

esse programa necessita dos arquivos com as informações específicas de cada objeto 

citado, como o arquivo de pilares *.P, o de vigas *.V, o de cargas *.C, e assim por 

diante. Estes por sua vez, necessitam de ferramentas próprias para serem gerados de 

forma eficiente. 

De posse desses arquivos, o programa GLS extrai a definição do nó inicial e 

final de cada elemento ou carga a serem gerados. E, a partir desses dados, o 

programa executa automaticamente uma série de operações que simplificam 

sobremaneira o processo. Por exemplo, se um pilar é definido do nó i ao nó j o 

programa realiza as seguintes operações: 

Identifica todos os nós contidos no trecho. 

Coloca, se necessário, um nó adicional no centro. 

Gera a barra, perpendicular ao pavimento, que vai simular o pilar. 

Gera as barras, ou apenas modifica as características geométricas das que já 

existirem, sobre o trecho considerado de forma a considerar o trecho rígido que simula 

o comprimento do pilar. 

Realiza rebaixamento ou levantamento de grupos de elementos placa ou casca com a 

geração automática de elementos barra perpendiculares ao pavimento para simular a 

ligação entre as partes. 

Como se pode perceber, tais operações são absolutamente importantes para a 

consideração de um modelo bem elaborado e que causam um grande desconforto se 

não puderem ser implementadas de forma automática. Entretanto, para que se possa 

utilizar o GLS de uma forma automatizada, é necessário fornecer uma ferramenta que, 

a partir da malha básica, permita ao usuário a montagem dos arquivos de entrada 

requisitados pelo programa GLS. 

Para atender a essa deficiência é que foi proposto e elaborado um programa 

no ambiente DELPHI. Esse sistema permite ao usuário definir todo o modelo utilizando 

o desenho da malha básica no próprio vídeo do computador, oferecendo, para isso, os 

seguintes recursos: 

Criação e modificação de pontos nodais. 

Criação e modificação de elementos placa ou casca. 

Criação de vigas. 

Criação de pilares. 

Criação de molas. 

Criação de cargas nodais e linhas de cargas nodais. 

Criação de Lajes. 

Definição de espessuras e cargas distribuídas para elementos placa. 



39 

Visualização para o conjunto de elementos gerados, inclusive cargas, com recursos de 

“zoom”. 

Geração dos arquivos de saída para o programa GLS. 

4.1.1 Geração da estrutura de contraventamento 

Para a modelagem das estruturas de contraventamento é fundamental que se 

possa utilizar os arquivos que contém informações sobre cada pavimento. Somente 

através da conveniente montagem dos pavimentos da edificação e dados sobre os 

pés-direito a serem considerados é que se pode gerar todo o contraventamento em 

detalhes. Esse procedimento encontra-se desenvolvido em PEREIRA(1997) e produz 

resultados muito satisfatórios, permitindo inclusive que se façam modificações para a 

retirada e inclusão de barras e nós, modificações de trechos rígidos, etc. 

Entretanto, trata-se de um programa escrito em FORTRAN que obtêm seus 

dados de entrada de arquivos em formato ASCII, dificultando a sua utilização. Além 

disso, tal programa não oferece visualizador gráfico próprio, obrigando o usuário a 

gerar arquivos no formato DXF e visualizar o resultado através de outros aplicativos. 

Neste trabalho, boa parte deste programa foi reescrita em DELPHI melhorando 

significativamente a interface com o usuário. 

A diferença é que se decidiu por dar ênfase na entrada de dados de forma 

amigável e na automatização da montagem dos pavimentos com a visualização 

tridimensional do conjunto gerado, sem entrar no âmbito da edição ou modificação dos 

elementos. Por esse motivo o sistema não contempla, diretamente no desenho 

apresentado no vídeo, recurso para retirada e adição de barras e nós a partir do 

conjunto básico formado pela sucessão de pavimentos. 

No entanto, ele oferece recurso para geração automática do carregamento 

devido à ação dos ventos, segundo a NBR6123(1988), e ações devidas ao 

desaprumo, de acordo com a DIN1053 (1974) e da revisão da NBR-6118 (NB-1). 

4.2 Programas para visualização dos resultados 

São os seguintes os programas que dizem respeito à visualização dos 

resultados para pavimentos e estruturas de contraventamento. 

4.2.1 Visualização de resultados para pavimentos – Programa CPLS 

A base para este visualizador de resultados é o programa desenvolvido pelo 

próprio autor em seu trabalho de iniciação científica, LISERRE(1993). Trata-se de um 

traçador de curvas de isovalor para momentos, tensões e deslocamentos, de 

funcionamento muito rápido e eficiente. O programa foi escrito em PASCAL e tem sido 

extensivamente utilizado desde a sua elaboração, funcionando basicamente para 

elementos placa ou casca. 


40 


Neste trabalho, tal programa foi reescrito em DELPHI para tornar sua interface 

com o usuário ainda mais confortável e para traçar curvas para o esforço cortante, que 

pode ser interessante principalmente quando se resolve pavimentos em laje nervurada 

utilizando-se elementos de placa com espessura equivalente. 

Outro ponto de suma importância foi o de acrescentar rotinas para desenhar os 

diagramas de elementos barras, recurso que o programa não dispunha. Esses 

diagramas são apresentados através uma visualização tridimensional. 

Todos esses resultados podem ser montados em arquivos DXF, de forma que 

possam ser impressos, na escala desejada, em impressoras ou “plotters”. 

4.2.2 Visualização de resultados para estruturas de contraventamento 

Neste caso, a base para o programa que foi desenvolvido encontra-se em duas 

dissertações, PEREIRA(1997) e BARBIRATO(1997). Trata-se de um programa escrito 

em FORTRAN, que produz desenhos para esforços, momentos fletores e força 

cortante segundo os dois eixos principais dos elementos barra tridimensional, e 

configuração deslocada da estrutura. Todos esses resultados, entretanto, são 

montados em arquivos tipo DXF para posterior visualização através do AutoCAD. Esse 

procedimento se deve ao fato do FORTRAN, que fora utilizado, não possuir recursos 

gráficos convenientes para que a visualização pudesse ser realizada através do 

próprio programa. 

Neste trabalho, a proposta foi de se reescrever as rotinas já existentes no 

DELPHI de modo a permitir uma melhor interface com o usuário e, principalmente, 

para que todas as visualizações pudessem ser feitas através do próprio programa. 

Dessa forma consegue-se uma agilidade muito maior na análise dos resultados, uma 

vez que possibilita, de forma instantânea, a seleção de vistas que podem ser 

impressas em escala para compor a memória de cálculo. 

5 CONCEPÇÃO DO SISTEMA 

Conforme se pôde perceber pelos itens anteriores, o sistema desenvolvido vem 

suprir uma série de deficiências. Principalmente no que diz respeito à entrada de 

dados que dependem de geometria, e da integração entre os diversos módulos já 

existentes que compõem o processo da geração e análise dos pavimentos e da 

estrutura de contraventamento de um edifício em concreto armado. 

Nesse processo, a primeira etapa do trabalho caracteriza-se pelo 

desenvolvimento de uma plataforma totalmente interativa com o usuário para 

possibilitar, a partir do desenho de um pavimento, a montagem da malha básica e 

complementação do modelo mediante a adição de vigas, pilares, molas, lajes e 

carregamentos. Essa primeira etapa deve ser realizada para cada um dos diferentes 

pavimentos, térreo, tipo, ático, etc, que integram o edifício em análise e é finalizada 

com o processamento do modelo de elementos finitos realizado pelo sistema LASER. 



41 

A malha básica citada refere-se à discretização do pavimento em elementos 

finitos que podem ser triangulares ou quadrangulares. Para a geração desse modelo, 

conforme citado anteriormente, aproveitou-se um programa já existente e 

desenvolvido em C. Trata-se do programa Geração de Redes Básicas para 

Pavimentos ou GeraMalha, desenvolvido originalmente por BAPTISTA(1994), e 

atualmente denominado GMA (Gerador de Malhas). 

Definiu-se essa etapa de geração da malha básica como sendo o módulo 1. 

A razão por se ter optado em utilizar o programa GMA na geração da malha, 

deve-se pelo fato de evitar o retrabalho computacional de se reescrever as mesmas 

rotinas em uma outra linguagem, por mostrar pocessamento consistente e eficiente, e 

principalmente, por oferecer uma entrada de dados simples e prática, necessitando 

apenas do fornecimento de poligonais que descrevem contorno externo e contornos 

internos (aberturas), além de pontos e retas, estas últimas denominadas no programa 

de segmentos. 

Os segmentos são úteis para a indicação do posicionamento de uma carga 

linear ou mesmo de uma viga através da geração de uma linha de nós, figura 1. A 

presença do objeto segmento faz o programa GMA gerar no modelo, uma seqüência 

de nós no local onde o mesmo se encontra posicionado, para que, na fase seguinte, 

que é o módulo 2, o usuário possa dispor dos nós para o adequado posicionamento de 

uma viga ou de um carregamento linearmente distribuído. 

Diante do exposto, conclui-se que, para a geração da malha básica, há a 

necessidade de se oferecer ferramentas específicas para que o usuário possa 

fornecer de maneira automatizada os parâmetros de entrada para a geração do 

arquivo de entrada, e posterior processamento pelo programa GMA. 


42 


Contorno 

Externo 

Objeto Ponto – 

faz existir um 

Nó 

Desenho Básico 

Arquivo DXF 

Contorno 

Interno 

(Aberturas) 

Objeto Segmento que 

define uma Linha Nodal 

para posteriormente, no 

módulo 2, indicar a 

posição de uma viga ou 

carregamento 

linearmente distribuído 

Figura 1 - Objetos que definem o modelo GMA. 

Figura 2 - À esquerda malha obtida após o processamento GMA do modelo da figura 1, e à 

direita mesma malha já acrescentado de vigas e pilares. 



43 

A fase seguinte, módulo 2, corresponde à leitura do arquivo de resultados 

gerado pelo programa GMA, isto é, a malha básica de elementos finitos, e sua edição 

pelo usuário, figura 2. Essa edição deve possibilitar a adição ou exclusão de nós e 

elementos, bem como completar o modelo com a definição de pilares, vigas, 

carregamentos, etc. Feito isso, é realizado um processamento utilizando-se um 

programa denominado GLS, também escrito em FORTRAN, que prepara efetivamente 

o arquivo final para o Sistema LASER. 

Na seqüência desse processo, passa-se para a segunda etapa que 

compreende um terceiro módulo, que é o da definição da estrutura de 

contraventamento, e um quarto, que é de visualização de resultados. Destaca-se que 

o módulo 3, apenas é utilizado após terem sido devidamente montados e processados 

todos os diferentes pavimentos que compõem o edifício. Já o módulo 4, para 

visualização de resultados, pode ser utilizado a qualquer momento tanto pelo módulo 2 

quanto pelo módulo 3, bastando, para isso, dispor dos resultados do processamento 

provenientes do sistema LASER. 

Para a implementação dos módulos 1 e 2 conforme descrito anteriormente, foi 

necessário conceber um sistema capaz de gerenciar de forma eficiente todas as 

etapas do processo, isto é, de se fornecer as ferramentas necessárias para o usuário 

executar as tarefas relacionadas da forma mais automatizada possível. 

O mesmo ocorreu para os módulos 3 e 4 que foram desenvolvidos em 

sistemas a parte. Destaca-se a importância dessa abordagem para o módulo 4, já que, 

estando totalmente independente dos módulos de geração de dados, acaba facilitando 

futuras modificações de tal sorte que o mesmo possa ser utilizado para a análise de 

resultados provenientes de outros programas de cálculo estrutural. 

Tudo isso originou os seguintes sistemas desenvolvidos no ambiente de 

programação Delphi: Sistema MESTRE, para geração do modelo de elementos finitos 

de cada pavimento e o respectivo processamento pelo sistema LASER, contemplando 

os módulos 1 e 2; Sistema Edifício, para o módulo 3, com a montagem do modelo de 

contraventamento e o respectivo processamento pelo Sistema LASER; e o Sistema 

Visualiza3D, módulo 4, para a visualização de resultados dos pavimentos e do edifício. 

6 PROJETO EXEMPLO 

Com o objetivo de ilustrar o processo para geração de modelos no sistema 

Mestre, apresenta-se a modelagem de um pavimento tipo e a montagem da estrutura 

de contraventamento de um edifício residencial em concreto armado composto de 10 

pavimentos tipo e o ático. Para o cálculo do vento, supôs-se que tal edifício será 

construído em terreno plano na região central de uma cidade de médio porte, sendo a 

velocidade básica de 40 m/s. 


44 


Figura 3 - Edifício exemplo: planta baixa pavimento tipo (x10). 

Figura 4 - Edifício exemplo: forma estrutural para o pavimento tipo. 



45 

Para facilitar o processo de montagem dos pavimentos no sistema Mestre, 

pode-se seguir o roteiro descrito a seguir: 

1) Criar um diretório para o edifício e sub-diretórios para cada pavimento 

- C:\Projetos\EdificioExemplo Diretório do edifício 

- ...\EdificioExemplo\Terreo 

- ...\EdificioExemplo\Tipo 

- ...\EdificioExemploAtico 

- ...\EdificioExemplo\Contraventamento 

Subdiretórios 

para cada 

pavimento e para 

a análise do 

vento 

2) Caso se disponha das plantas arquitetônicas no AutoCAD, pode-se utilizálos 

diretamente para a construção do modelo. Para isso, basta criar uma 

camada denominada GMA contendo as linhas que definem a forma e as 

posições dos elementos estruturais e carregamentos a serem gerados no 

sistema Mestre. Destaca-se que tal desenho deve ser exportado no formato 

DXF para que o mesmo possa ser lido pelo sistema Mestre. 

Figura 5 - Visualização das linhas criadas na camada GMA para o pavimento tipo. 

O arquivo deve se gerado no formato DXF do AutoCAD para ser lido posteriormente 

pelo Sistema Mestre. O símbolo ⊕ indica a origem do sistema de coordenadas. 

3) Etapas a completar para cada um dos pavimentos : 


46 


a) Entrar no sistema Mestre e criar um novo modelo no subdiretório 

correspondente. 

b) Módulo 1 – Preparação do arquivo para o processamento GMA – 

Montagem da malha básica de elementos finitos 

I) Importar o arquivo DXF com as linhas básicas do 

pavimento 

II) Especificar no sistema Mestre o contorno externo, os 

contornos internos, linhas e pontos nodais que serão 

utilizados no processamento GMA para a construção 

da malha básica de elementos finitos (formada apenas 

pelos elementos placa). 

III) Gerar o arquivo .GMA e executar o processamento 

GMA para a montagem da malha básica. 

c) Módulo 2 – Edição da malha básica e adição de vigas, pilares e 

carregamentos. 

I) Importar o arquivo gerado pelo módulo anterior 

II) Checar a malha básica gerada e editá-la se necessário. 

III) Inserir os pilares, vigas com suas respectivas 

propriedades e materiais 

IV) Inserir os carregamentos 

V) Acertar as vinculações caso necessário 

VI) Realizar o processamento GLS para gerar os arquivos 

para o processamento final a ser realizado pelo 

programa LS5H.EXE (Sistema LASER). O programa 

GLS gera um arquivo com os offsets para as vigas, 

trechos rígidos dos pilares, e com os devidos 

carregamentos associados. 

VII) Processamento final Programa LS5H para gerar os 

resultados de tensões e deslocamentos para a 

visualização de resultados. 

d) Módulo 4 – Visualização dos Resultados. Esse módulo permite 

visualizar, no caso dos pavimentos, as curvas de isovalor para 

deslocamentos, momentos, cortantes e tensões, através de 

recursos 2D e 3D. 

e) Módulo 3 – Estrutura de Contraventamento. Ao final de todas as 

análises e acertos nos modelos, parte-se para a montagem da 

estrutura de contraventamento onde se define como o edifício é 

constituído. Para isso cria-se o modelo que representa o edifício no 

subdiretório Contraventamento utilizando os arquivos existentes nos 

demais subdiretórios que representam os pavimentos. 

A seguir é apresentada uma série de ilustrações mostrando o resultado dos 

passos descritos neste tópico, bem como algumas informações adicionais. 



47 

6.1 Etapas realizadas para a geração do Pavimento TIPO 

6.1.1 Criando o modelo 

Nessa tela são fornecidas as informações 

gerais do modelo, tais como: nome do 

projeto, nome do cliente, unidades de 

trabalho, Fck e Fyk, módulo de 

elasticidade, peso específico e módulo de 

Poisson. 

6.1.2 Carregando o arquivo DXF 

Uma vez criado o modelo DXF com a camada GMA com as 

linhas de esqueleto do pavimento, pode-se importá-lo no 

sistema Mestre através do menu Arquivos opção 

Importar. 

Após a importação, o Sistema Mestre permite obter 

diretamente com o mouse informações de coordenadas 

para o posicionamento das entidades geométricas que 

representam o contorno externo, contornos internos, 

segmentos e pontos nodais. Essas entidades 

geométricas são utilizadas no processamento GMA para 

a geração da malha básica de elementos finitos, isto é, a 

malha composta apenas pelos elementos placa. 

6.1.3 Definindo o contorno externo, contornos internos e linhas e pontos nodais 

Utilizando os recursos do sistema Mestre: Criar Contorno Externo, Contornos 

Internos, Segmentos e Pontos Nodais; foi possível gerar o resultado ilustrado na figura 

ao lado para o posterior processamento do programa GMA. 


48 


6.1.4 Gerando e processando o arquivo GMA 

Adicionalmente, antes da execução do processamento GMA, são solicitadas 

algumas informações adicionais, tais como: espessura desejada para os elementos 

placa (espessuras das lajes), carregamento vertical aplicado e espaçamento desejado 

para o reticulado básico (dimensão dos elementos). Opcionalmente é possível 

especificar outros parâmetros para controlar a geração da malha, onde o valor 0.00 

(recomendado) é o padrão. 

6.1.5 Passando para o Módulo 2 



49 

6.1.6 Carregando o arquivo com a malha básica gerada pelo Módulo 1 

Após o processamento GMA, deve-se importar a 

malha básica gerada para realizar os ajustes 

necessários e incluir os componentes estruturais 

pilares e vigas, bem como os demais carregamentos. 

Destaca-se que todos os parâmetros da malha gerada 

podem ser editados pelo módulo 2, desde 

coordenadas e vinculações de nós, incidência de 

elementos, até espessura e carregamentos 

associados aos elementos. 

6.1.7 Carregando o arquivo DXF com a planta de arquitetura 

Para facilitar a adição dos componentes estruturais 

pilares, vigas, bem como dos carregamentos 

linearmente distribuídos, pode-se carregar um DXF com 

a planta arquitetônica proveniente do AutoCAD. 

Destaca-se que, diferentemente do que ocorre no 

módulo 1, onde o sistema lê apenas a camada GMA, a 

interface de importação do DXF no módulo 2 permite 

especificar as camadas desejadas para a visualização. 


50 


6.1.8 Definindo e renumerando os pilares 

Os pilares são preferencialmente definidos antes 

das vigas. Para a geração e posicionamento de 

um Pilar basta, estando o modo Pilar ativo, clicar 

em Adicionar, o que fará o sistema abrir uma 

interface especializada. Essa interface conduz o 

usuário nas operações necessárias para a 

geração do pilar, onde é importante destacar 

algumas particularidades. Um pilar pode ser 

definido com 1 ou dois nós. No caso de pilares 

definidos com 1 nó, é necessário especificar o 

Nó k referente á definição do eixo y do elemento. 

No entanto essa operação é facilitada pelo 

sistema, uma vez que ele permite especificar 

diretamente pela movimentação do mouse, ou 

seleção de um nó, a orientação desejada. Para 

os pilares com dois nós o Nó K é definido 

automaticamente e, durante o processamento 

GLS, uma barra rígida com um nó intermediário é criada automaticamente de 

forma a simular o comportamento do pilar. A qualquer momento, durante as 

adições dos pilares, pode-se executar o comando renumerar para refazer a 

numeração dos mesmos. 

6.1.9 Definindo e renumerando as vigas 

Assim como para os pilares, as vigas 

são geradas com o botão adicionar 

estando o modo Viga ativo. Neste caso, 

o sistema também disponibiliza uma 

interface especializada que conduz o 

usuário no processo de geração da 

viga. Destaca-se que, para o caso das 

vigas, o Nó K é definido 

automaticamente, isto é, o eixo y do 

sistema local é orientado na direção Z 

do sistema global. 

Uma observação importante é com 

relação à especificação de vigas 

contínuas. Mesmo havendo pilares de 

canto na direção da viga formados por 

2 nós, pode-se definir a incidência da 

viga a partir do nó de canto fazendo a 

viga atravessar o pilar. Isso é possível 

pois o sistema gerencia 

automaticamente estas situações e realiza os acertos necessários com relação 

aos vãos teóricos. 



51 

Da mesma forma que ocorre com os pilares, a qualquer momento, durante as 

adições das vigas, pode-se executar o comando renumerar para refazer a 

numeração das mesmas. 

6.1.10 Executando o processamento GLS e o processamento final LS5H 

(LASER) 

Após a finalização do modelo, 

com os componentes viga, pilar 

e carregamentos adicionais 

quando houver necessidade, 

basta realizar o processamento 

GLS e na seqüência o 

processamento final (LS5H). 

Destaca-se que antes de realizar 

o processamento GLS, é 

necessário gerar os arquivos 

com as informações do modelo 

através da geração dos 

arquivos: .B, .P, .V, .M e .C. 

6.1.11 Visualizando os resultados no Módulo 4 

Uma vez finalizado o processamento final, pode-se 

utilizar o módulo 4, Vizualiza 3D, para a 

visualização dos resultados gerados referentes a 

tensões, momentos, cortantes e deslocamentos 

para os elementos do modelo. Tal módulo permite 

definir desde os elementos a serem considerados 

na visualização, até a combinação dos casos de 

carregamento com a aplicação de multiplicadores 

específicos para cada caso. 


52 


6.2 Etapas realizadas para a geração da estrutura de contraventamento 

Ao finalizar a montagem e processamento dos pavimentos em estudo, pode-se 

acessar o módulo 3 para definir a estrutura de contraventamento. 

6.2.1 Definir os dados para o cálculo do vento do edifício e carregar os arquivos 

com as informações de cada pavimento. 

- Definição da cota inicial para consideração do efeito do vento, 

- Número de pavimentos diferentes, 

- Consideração ou não dos efeitos de desaprumo 

- Dimensões da edificação segundo as direções x,y e z, 

- Coeficiente de arrasto (combinação dos efeitos de baixa e alta turbulência), 

- Velocidade básica e fatores topográfico S1, de rugosidade S2 e estatístico 

S3, 

- Selecionar os pavimentos e definir o número de repetições a ser aplicado 

em cada pavimento, 



53 

OBS: A ordem de entrada dos pavimentos define a seqüência da montagem da 

estrutura do edifício. 

6.2.2 Visualizando a estrutura gerada botão Visualizar 


54 


6.2.3 Visualizando o relatório de geração botão Relatório de Geração 

6.2.4 Visualizando os resultados pelo módulo de visualização 

Botões Processar e Visualizar Resultados 



55 

7 CONCLUSÔES 

Como pôde ser visto através do projeto exemplo, o aplicativo atende de forma 

satisfatória no que se refere a ferramentas de modelagem e visualização de resultados 

para modelos de elementos finitos. Desde a construção da malha básica até a 

inclusão ou edição de componentes estruturais no modelo, o usuário é sempre bem 

assistido, podendo intervir na construção do modelo de forma a representar o 

comportamento estrutural da forma mais correta possível. Facilidades como 

visualização de plantas arquitetônicas, consideração de recursos especiais como o nó 

mestre e os trechos rígidos, e geração e processamento dos modelos de forma 

integrada num único ambiente, oferece potencialidade, agilidade e confiabilidade na 

manipulação das informações. 

Além disso o módulo para montagem da estrutura de contraventamento 

oferece facilidades sem precedentes, já que, com poucas informações de entrada, 

gera toda a estrutura, incluindo os carregamentos devidos à ação do vento e do 

desaprumo, processa o modelo e ainda permite a visualização dos resultados, tudo 

em questão de minutos. 

Com a experiência adquirida neste trabalho, percebe-se que com os recursos 

computacionais disponíveis atualmente é possível avançar muito mais no 

desenvolvimento de ferramentas para facilitar o trabalho do engenheiro. Com uma 

arquitetura visando a integração com outros sistemas já desenvolvidos, a lista de 

diferentes problemas que podem ser tratados e automatizados torna-se bastante 

extensa. 

Por fim, acredita-se também que as ferramentas desenvolvidas neste trabalho 

podem auxiliar em muito o desenvolvimento de outros trabalhos mais específicos, que 

necessitem de ferramentas de geração e visualização de dados para análise por 

elementos finitos. Foi inclusive com esse intuito que optou-se por fazer módulos 

separados para a geração e visualização de dados. 


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ISSN 1809-5860 

ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 

UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES 

Daniel dos Santos 1 & José Samuel Giongo 2 

Resumo 

O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens a generalidade, 

ou seja, é capaz de representar, de modo aproximado, porém realista e sistemático, 

grande parte dos elementos de concreto estrutural da atualidade. Além disso, permite 

ao engenheiro fácil visualização físico-intuitiva do comportamento do concreto 

estrutural. Por outro lado, o modelo ainda tem um enorme potencial não aproveitado. 

Ainda não existe um critério exato para determinação dos nós e das seções transversais 

das bielas de alguns elementos. Apesar de haver certas incertezas no caso de vigasparede 

e principalmente de blocos de fundação, nas vigas esses elementos do modelo 

podem ser determinados sem grandes dificuldades. Este trabalho consiste na análise de 

uma viga de concreto armado utilizando modelo de bielas e tirantes. Foi realizada a 

modelagem da viga no programa computacional CAST (2000) e as verificações da 

mesma segundo o MC CEB-FIP (1990), a fim de garantir a segurança estrutural do 

elemento e comparar resultados. 

Palavras-chave: concreto armado; modelo de bielas e tirantes; viga. 


Ao se projetarem vigas de concreto armado, o procedimento empregado é o 

que utiliza o dimensionamento relativo à teoria da flexão (momento fletor e força 

cortante). Porém, não só no aspecto científico, mas também em outros aspectos, 

como prático e até didático, o cálculo de vigas de concreto armado utilizando o 

modelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso. Este modelo tem como principais 

vantagens a melhor visualização do comportamento da estrutura, podendo-se verificar 

de modo mais claro a distribuição das tensões, e a facilidade na identificação das 

regiões mais solicitadas da estrutura. O modelo também permite que o projetista o 

utilize em toda a estrutura, tanto nas regiões sem descontinuidades, quanto nas 

regiões com descontinuidades. 

Um dos elementos estruturais mais comuns em vários tipos de construções, a 

viga é elemento fundamental de sustentação da maioria das edificações de concreto 

armado. Ao mesmo tempo, o modelo de bielas e tirantes é uma das mais geniais 

idéias de concepção e análise estrutural do século XX e até da própria história do 

concreto. Esse modelo passou por evoluções e até hoje é proposto por códigos e 

normas para o cálculo de estruturas não usuais de concreto armado, apesar de poder 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, danielsantoscivil@yahoo.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jsgiongo@sc.usp.br 


62 

Daniel dos Santos & José Samuel Giongo 

ser usado, também, para dimensionar estruturas usuais, como vigas biapoiadas sem 

descontinuidades geométricas. 

2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES 

2.1 Preliminares 

Ao se estudar o equilíbrio da treliça de MÖRSCH, idealizada no século 

retrasado, podem ser determinados os deslocamentos no diagrama de momentos 

fletores, a fim de estabelecer os corretos pontos de interrupção das barras 

longitudinais da viga. Segundo a NBR 6118:2003, “o dimensionamento das armaduras 

longitudinais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes (N Rd , M Rd ) que 

constituam envoltória dos esforços solicitantes (N Sd , M Sd ) determinados na análise 

estrutural”. 

O modelo de bielas e tirantes, por sua vez, analisa a viga como um todo, sem 

a necessidade de separar os esforços solicitantes e as forças internas para equilibrálos, 

constituindo-se em modelo mais realista. Assim, permite que a determinação dos 

comprimentos das barras longitudinais seja realizada de maneira mais simples do que 

pelo modo tradicional - análise do momento fletor resistido por barra e consideração 

do diagrama de momentos fletores deslocado. Ao se aplicar o modelo, os pontos de 

interrupção das barras longitudinais podem ser determinados facilmente, de acordo 

com as forças aplicadas em cada barra do banzo da treliça, ou seja, determina-se a 

área de armadura necessária para resistir a força resultante em cada tramo do banzo 

que esteja tracionado. Sabendo-se que a força varia para cada barra da treliça, os 

pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal podem ser definidos, 

portanto, a partir dos nós da treliça interna da viga. 

A análise da segurança da viga adotando o modelo de bielas e tirantes 

permite as verificações relativas aos banzos tracionado e comprimido, às diagonais 

comprimidas, aos pendurais e às regiões nodais. 

Para as verificações das vigas de concreto armado utilizando o modelo de 

bielas e tirantes, é necessário elaborar rotina de projeto que considere 

convenientemente: 

1. a segurança das regiões nodais; 

2. as verificações das diagonais comprimidas, considerando os critérios de 

resistência do concreto; 

3. as verificações dos pendurais (estribos), considerando os critérios de 

resistência das barras ou fios de aço; 

4. os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais. 

2.2 A analogia clássica da treliça 

A treliça clássica de RITTER & MÖRSCH foi concebida no início do século XX 

e, desde então, vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas de 

concreto armado. Apesar de algumas pesquisas sugerirem alterações em sua teoria, 

seu aspecto geral foi mantido e está distante de ser superado, pois o mecanismo 

resistente desses elementos estruturais pode ser associado ao de treliças. 



63 

A Analogia Clássica da Treliça faz a analogia entre uma viga de concreto 

armado, depois de fissurada, e uma treliça de banzos paralelos e, apesar de 

apresentar certas imperfeições, resultantes da incompatibilidade entre modelo e viga 

real, ainda hoje é empregada em grande escala. Nas últimas décadas propostas vêm 

sendo feitas por pesquisadores e engenheiros sugerindo alterações no modelo 

original, a fim de aperfeiçoá-lo e, principalmente, ajustar os resultados experimentais 

aos teóricos. 

Atualmente, como importantes incrementos ao modelo de RITTER & 

MÖRSCH, destacam-se os modelos de bielas e tirantes, nos quais regiões da viga 

real são denotados como elementos da treliça. Neste caso, as armaduras transversais 

são os montantes tracionados da treliça, atuando tipicamente como tirantes na viga de 

concreto armado. Por sua vez, as diagonais comprimidas, situadas entre duas 

fissuras consecutivas, trabalham como as barras das diagonais comprimidas da 

treliça, atuando como as bielas. Por fim, citam-se os banzos da treliça, nos quais a 

armadura longitudinal de tração da viga funciona como o banzo tracionado e a faixa 

superior de concreto como o banzo comprimido. 

As hipóteses admitidas pela treliça clássica baseiam-se no panorama 

fissurado da viga, a partir do qual se pode determinar o mecanismo de funcionamento 

da mesma. O modelo propõe uma treliça de banzos paralelos em quase toda a 

extensão da viga, sendo que apenas nas regiões dos apoios o banzo superior inclinase 

até se encontrar com o inferior. 

As diagonais comprimidas apresentam inclinação θ menor ou igual a 45º em 

relação ao eixo longitudinal da viga, sendo que θ varia conforme a largura da alma e a 

taxa de armadura transversal. A delimitação das diagonais se dá pelas fissuras, pois 

cada diagonal está compreendida no espaço entre duas fissuras. Experimentalmente, 

observa-se que as inclinações das fissuras diminuem em direção aos apoios, valendo 

aproximadamente 90º na região central da viga. Porém, os modelos de cálculo 

determinam um ângulo de inclinação e consideram-no constante em toda a extensão 

da viga. 

O ângulo de inclinação mínimo é especificado segundo cada norma, porém 

usualmente admite-se θ = 45º, a fim de simplificar as considerações para o 

dimensionamento. A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de cálculo: o modelo I, 

que considera o ângulo θ = 45º, e o modelo II, que considera o ângulo θ arbitrado 

livremente entre 30º e 45º. 

A armadura transversal pode apresentar inclinação α entre 45º e 90º em 

relação ao eixo longitudinal da peça. Na prática, a grande maioria dos casos 

apresenta armadura transversal na posição vertical, ou seja, com α = 90º, em função 

da dificuldade de modelagem das barras da armadura com diferentes inclinações. 

Pode-se citar, porém, que tais inclinações, apesar de não usuais, melhoram a 

eficiência da armadura transversal. 

Segundo a NBR 6118:2003, a tensão nas barras da armadura transversal f ywd 

precisa respeitar os seguintes limites: 

Estribos: fywd = fyd = fyk / γs ≤ 435 MPa (1) 

Barras dobradas: fywd = 0,70 fyd = 0,70 fyk / γs ≤ 435 MPa (2) 

sendo: 

γ s = 1,15 


64 


2.3 Deslocamento do diagrama de momentos fletores 

Os esforços solicitantes relativos à flexão que atuam em uma viga de concreto 

de alma cheia não são exatamente iguais aos atuantes numa treliça. Na viga de 

concreto armado a resultante de compressão, que atua no banzo comprimido, e a de 

tração, que atua na armadura tracionada, para uma mesma seção, são proporcionais 

ao momento fletor atuante. Sendo assim, na viga, por se tratar de um elemento 

geometricamente contínuo, as intensidades das forças atuantes nos banzos variam 

ponto a ponto, ou seja, a cada diferença infinitesimal de espaço. Por outro lado, na 

treliça as forças apresentam valores constantes entre dois nós consecutivos, ou seja, 

em cada uma de suas barras. 

Por conta dessa diferença, precisa-se realizar uma translação a l do diagrama 

de momentos fletores de cálculo, a fim de compatibilizar modelo e viga real. Para o 

modelo II da NBR 6118:2003, tal translação admite os valores dados pela seguinte 

expressão: 

a l = (z / 2) (cotgθ - cotgα) + s t / 2 (3) 

sendo: 

z = distância entre a resultante de compressão e a de tração nos banzos 

(braço de alavanca); 

α = inclinação da armadura transversal; 

θ = inclinação das bielas de concreto comprimido; 

s t = espaçamento longitudinal entre os estribos. 

Para vigas no modelo I, ou seja, com estribos a 90º e inclinação das bielas 

igual a 45º, a expressão anterior resulta: 

a l = s t / 2 (4) 

A figura a seguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor sugerida 

pela NBR 6118:2003. 

Figura 1 - Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente [NBR 

6118:2003]. 



65 

2.4 Determinação da inclinação das bielas 

No projeto da viga, o ângulo θ formado entre as bielas e o eixo longitudinal do 

elemento pode ser arbitrado livremente no intervalo θ min ≤ θ ≤ θ max . 

À medida que o ângulo escolhido se aproxima do valor máximo, maior é a 

taxa de armadura transversal necessária e, por outro lado, menor é a tensão nas 

bielas. Contrariamente, ao se adotar um valor de θ próximo a θ min , diminui-se a área 

de armadura transversal, resultando, porém, em acréscimo nas tensões de 

compressão atuantes nas bielas. Em vista disso, sugere-se a adoção de valores da 

inclinação das bielas (θ) os mais próximos possíveis de θ min , pois as tensões de 

compressão são verificadas diretamente, pois deve-se apenas garantir que tais 

tensões estejam dentro dos limites estabelecidos. O valor mínimo que pode ser 

utilizado para a inclinação θ das bielas varia de acordo com as normas, os códigos e 

os pesquisadores. O MC CEB-FIP (1990) recomenda utilizar inclinação mínima θ min = 

18,4º (cotgθ min = 3). 

Porém, alguns pesquisadores discordam desse valor, justificando ser um valor 

muito baixo. Sugestões baseadas em investigações experimentais indicam valores 

para inclinação mínima das bielas comprimidas em torno de θ min = 26,5º. A NBR 

6118:2003 admite, em seu modelo de cálculo II, no qual a inclinação θ das diagonais 

de compressão pode ser diferente de 45º, valor mínimo igual a 30º. Admite ainda que 

a parcela complementar V c sofra redução com o aumento de V Sd . 

Deve-se salientar que bielas com baixas inclinações resultam em alta tensão 

na armadura transversal entre o início da fissuração e o estado limite último, além de 

requererem maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal. Nesse caso, 

o controle da fissuração pode ser limitante no projeto podendo, então, impedir valores 

de θ próximos a θ min . Além disso, aconselha-se não utilizar pequenas inclinações em 

elementos submetidos a tração axial. 

2.5 O modelo de bielas e tirantes 

Durante décadas, pesquisadores apenas sugeriram modificações no modelo 

proposto por Ritter e Mörsch, porém mantendo seus conceitos básicos. Sugestões e 

modificações propostas buscaram adaptar melhor o modelo original aos resultados 

experimentais. Resultados de ensaios levaram à adoção da “Treliça de Mörsch 

Generalizada”, em que a inclinação das bielas comprimidas em relação ao eixo da 

viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios. 

Uma grande evolução se observou nos anos 80, quando SCHLAICH & 

SCHÄFER (1988), pesquisadores de Stuttgart, Alemanha, passaram a aplicar os 

modelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais, como vigas-parede, 

consolos, sapatas, blocos de fundação, ligações entre viga e pilar, aberturas em vigas 

e apoios em dente. 

MARTI (1985) utilizou-se da teoria da plasticidade e de critérios básicos, que 

envolviam conceitos de nós, bielas, tirantes, arcos e leques, para propor a aplicação 

dos modelos ao dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de uma 

viga. 

Assim sendo, pode-se dizer que o modelo de bielas e tirantes teve 

significativo avanço e ampla divulgação somente a partir da década de 80, quando 


66 


Schlaich, Schäfer e Marti conduziram à generalização da Analogia da Treliça e 

criaram uma base científica refinada, proporcionando considerável avanço para uma 

aplicação racional dos modelos em vigas. 

TJHIN & KUCHMA (2002) discutiram avanços e desafios do dimensionamento 

utilizando o modelo de bielas e tirantes com o auxílio de programas computacionais. 

SOUZA (2004) analisou amplamente o dimensionamento de elementos de 

concreto armado com descontinuidades, não apenas pelo modelo de bielas e tirantes, 

o qual o autor denomeia Método das Bielas, como também pelo Método Corda-Painel. 

Em seu trabalho foram realizadas análises em relação à determinação de parâmetros 

polêmicos, como a resistência adequada para bielas e nós, bem como a configuração 

geométrica das regiões nodais dependente das forças que nelas atuam. 

Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por RONCATTO & 

CAMPOS (2005), utilizando programa computacional desenvolvido pelos próprios 

autores. O programa “Furos em Vigas de Concreto” é capaz de estabelecer de forma 

automatizada o modelo de bielas e tirantes mais adequado para a situação sob 

análise, determinar as solicitações nos elementos, realizar as verificações de bielas e 

nós e as áreas de armaduras necessárias para os tirantes. 

2.6 Considerações iniciais sobre o modelo 

Sabe-se que a qualidade e a confiabilidade de um projeto estrutural, em geral, 

estão relacionadas não com seu comportamento global, mas sim com a precisão com 

que são dimensionadas as regiões de descontinuidade de seus elementos 

isoladamente. O que se verifica, corriqueiramente, é o uso de métodos e rotinas 

consagrados e confiáveis para o dimensionamento da maior parte dos elementos, 

mas isso não acontece quando se trata de regiões descontínuas, pois tais regiões 

geralmente são projetadas por modelos relativamente simples e ainda não 

consagrados, baseados, muitas vezes, na “experiência” do projetista. O modelo de 

bielas e tirantes é um método racional cientificamente comprovado, recomendado 

pela norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para o 

dimensionamento de regiões descontínuas de elementos de concreto armado, que 

atende às necessidades de tais análises. 

A NBR 6118:2003 aborda superficialmente o modelo de bielas e tirantes, 

permitindo sua utilização no dimensionamento de vigas-parede, consolos e dentes 

Gerber. 

Apesar de o CEB-FIP Model Code (1978) já tratar do modelo de bielas e 

tirantes, somente na versão de 1990 é que foram disponibilizadas informações 

suficientes para se desenvolver projetos de elementos estruturais utilizando o modelo. 

No modelo de bielas e tirantes as bielas são representadas por campos de 

tensões de compressão, resistidas pelo concreto, e os tirantes são representados por 

campos de tensões de tração, usualmente resistidas pela armadura. Ocasionalmente, 

o concreto pode absorver as tensões de tração, desde que sejam respeitadas as 

condições de segurança relativas à resistência a tração do concreto. 

Buscando-se representar a estrutura real, constrói-se um modelo idealizado, o 

qual é constituído por barras, comprimidas e tracionadas, unidas por nós. As forças 

nas bielas e nos tirantes são calculadas por equilíbrio entre as forças atuantes 

internas e externas. 



67 

O processo do caminho de carga permite que se criem modelos analisando-se 

os fluxos de tensões na estrutura. Utilizando métodos numéricos, como o método dos 

elementos finitos, podem ser expressas as tensões elásticas e suas direções 

principais, o que permite uma direta determinação do modelo. As bielas podem ter as 

direções das linhas médias dos campos de compressão e os tirantes as direções das 

linhas médias dos campos de tração. Um exemplo simplificado do processo do 

caminho de carga, e suas etapas básicas, pode ser observado na viga-parede da 

Figura 2. 

Figura 2 - Processo do caminho de carga. 

2.7 Princípios básicos do modelo de bielas e tirantes 

Pode-se entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de treliça 

mais abrangente. Esse modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas de 

concreto armado, resultando em representações dos campos de tração e compressão 

das mesmas. Os campos comprimidos são as diagonais de concreto limitadas por 

duas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de concreto (banzo superior, no 

caso de carregamento na face superior da viga), o qual pode apresentar barras de 

aço no caso de vigas com armadura dupla. Os campos tracionados correspondem à 

armadura transversal (pendurais ou montantes das treliças) e ao banzo tracionado 

(banzo inferior, no caso de carregamento na face superior da viga), composto pela 

armadura longitudinal da viga. O modelo propõe analisar a viga de concreto armado 

como uma treliça, estrutura formada por barras, em que as bielas e os tirantes estão 

ligados por nós, como mostrado na Figura 4 - b. 

Em outras palavras, o modelo consiste na representação discreta dos campos 

de tensão de tração e dos campos de tensão de compressão nos elementos 

estruturais, sendo que as bielas representam os campos principais de compressão e 

os tirantes representam os campos principais de tração. A tração pode ser absorvida 

por uma ou mais camadas de armadura. As bielas e os tirantes são interligados por 

elementos pontuais denominados de nós, os quais dão origem às regiões nodais. 

Estas, por suas vezes, constituem um volume de concreto que envolve os pontos de 

intersecção dos elementos do modelo. A Figura 3 apresenta um modelo de bielas e 

tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga, com todos os seus elementos 

básicos descritos. 


68 


O modelo de bielas e tirantes adotado é função da geometria da estrutura e 

das ações atuantes em seu contorno. Segundo SILVA & GIONGO (2000), 

normalmente pode-se obter a geometria do modelo analisando-se os seguintes 

aspectos: 

1. tipos de ações atuantes; 

2. ângulos entre bielas e tirantes; 

3. áreas de aplicação de ações e reações; 

4. número de camadas das armaduras; 

5. cobrimento das armaduras. 

Modelos de bielas e tirantes podem ser obtidos por meio do fluxo de tensões 

elásticas existentes na estrutura, pelo processo do caminho de carga ou por modelos 

padronizados. Caso se realize uma análise elástica da estrutura, a fim de se 

determinar as tensões elásticas e suas respectivas direções principais, torna-se muito 

simples e imediato o desenvolvimento de um modelo adequado. 

Figura 3 - Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga. 

2.8 Definição geométrica do modelo 

A determinação da geometria de um modelo de bielas e tirantes deve levar 

em conta as ações atuantes na estrutura, no que diz respeito aos tipos e áreas de 

aplicação, suas respectivas áreas de reações, ângulos entre bielas e tirantes. 

Segundo análise do fluxo de tensões pelo elemento, por meio do processo do 

caminho de carga, a definição geométrica do modelo apresenta como principais 

fatores: 

1. Considerações sobre regiões contínuas e descontínuas; 

2. Ângulos entre bielas e tirantes; 

3. Tipos de ações atuantes; 

4. Esforços solicitantes no contorno; 

5. Área de aplicação das ações e das reações; 

6. Número de camadas da armadura; 

7. Cobrimento da armadura. 



69 

As dimensões das bielas e das regiões nodais dependem das áreas de 

aplicação das ações e reações e também da armadura, quanto ao número de 

camadas e ao cobrimento. Já o ângulo formado entre biela e tirante está relacionado 

com a distribuição de tensões elásticas devida às ações atuantes. 

2.9 Regiões contínuas (B) e descontínuas (D) 

As estruturas em geral ou seus elementos estruturais podem ser divididos em 

regiões contínuas (B) e descontínuas (D), a fim de refinar suas análises quando da 

aplicação de modelos. 

Tal divisão baseia-se nas hipóteses de Bernoulli, relativas à distribuição linear 

de deformações ao longo da seção transversal. Classificam-se como contínuas as 

regiões nas quais tais hipóteses são válidas e, descontínuas, nas quais não são. As 

regiões D são originárias de descontinuidades geométricas e/ou estáticas. 

Os modelos de treliça usuais são capazes de analisar as regiões B fissuradas, 

enquanto que os modelos de bielas e tirantes representam, simplificadamente, o fluxo 

interno de tensões em regiões D, possibilitando uma análise simultânea dessas e das 

contínuas. Em vista disso, o modelo de bielas e tirantes mostra-se como um 

procedimento não só mais abrangente ou geral, como também mais sofisticado na 

análise e no projeto de estruturas. 

As vigas usuais apresentam regiões descontínuas apenas nas regiões de 

aplicação de forças concentradas e nos apoios, sendo o restante composto por 

regiões contínuas, como mostra a Figura 4 - a. 

F d 

D B D B D 

a) 

Tirantes 

Bielas 

b) 

Figura 4 - Regiões (B) e (D) e modelo de treliça para uma viga (SILVA & GIONGO, 2000). 


70 


2.10 Tipos fundamentais de nós 

Um nó é uma idealização de uma região de concreto na qual ocorrem 

mudanças bruscas nas direções das forças, provindas das bielas comprimidas, dos 

tirantes tracionados, de forças de ancoragem e forças externas – ações concentradas 

ou reações de apoio. Porém, essa mudança brusca de direção das forças, a qual se 

idealiza, simplificadamente, acontecer pontualmente, na realidade ocorre num 

determinado comprimento e numa determinada largura do elemento estrutural de 

concreto armado. 

Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988), os nós dos modelos de bielas e 

tirantes podem ser de dois tipos, adiante discutidos: 

Nós singulares ou concentrados (“concentrated” ou “singular”): são nós onde 

forças concentradas são aplicadas e o desvio da força é feito localizadamente. Estes 

nós são críticos e devem ter as suas tensões verificadas, a fim de equilibrar as forças 

oriundas das bielas e dos tirantes sem produzir deformações excessivas capazes de 

provocar fissuração. Para o dimensionamento, é necessário se dispor da geometria 

do nó, do estado de tensões ao qual está submetido, da resistência do concreto e das 

condições de ancoragem das armaduras; 

Nós contínuos (“continuous” ou “smeared”): nestes nós o desvio da força 

ocorre em comprimentos satisfatórios, em que as armaduras podem ser ancoradas 

sem maiores problemas. Desde que os critérios de ancoragem sejam verificados, 

estes nós usualmente não são críticos, não necessitando de verificações adicionais. 

Nó singular 

Nó contínuo 

Figura 5 - Exemplo básico de nós contínuos e nós singulares em modelo de bielas e tirantes. 

Há muitas alternativas sugeridas por pesquisadores para a definição 

geométrica dos nós concentrados, tais quais as sugeridas por MARTI (1985), 

SCHLAICH & SCHÄFER (1988) e TJHIN & KUCHMA (2002). 

Segundo MARTI (1985), deve-se adotar as larguras das bielas de tal forma 

que todas as que concorrem num mesmo nó apresentem a mesma intensidade de 

tensão. Dessa forma, a tensão no interior do nó será igual à tensão das bielas, 

configurando, assim, um estado de tensões pseudo-hidrostático. Neste caso em 

particular, os lados das regiões nodais serão perpendiculares às direções dos eixos 



71 

das bielas e, para a verificação da segurança, bastará apenas a verificação das bielas 

concorrentes em cada nó. 

De acordo com TJHIN & KUCHMA (2002), tradicionalmente procura-se 

estabelecer um arranjo nodal de maneira que as tensões em todos os seus lados 

sejam iguais. Isso pode ser feito dimensionando-se as fronteiras do nó, de maneira 

que elas sejam proporcionais e perpendiculares às forças atuantes naquele nó. 

Para a definição da largura do nó no qual concorre um tirante pode-se admitir 

que a força do tirante seja de compressão e que ela esteja atuando além do nó. Os 

nós considerados dessa maneira são denominados de hidrostáticos, pois o estado 

biaxial de tensão resultante no interior do nó também será hidrostático. Essa 

recomendação é idêntica àquela proposta por MARTI (1985), citada anteriormente. 

Ainda segundo TJHIN & KUCHMA (2002), principalmente em situações em 

que os nós são formados pelo encontro de mais de três elementos, a idealização 

como hidrostático pode ser muito trabalhosa, pois os eixos dos elementos tendem a 

não ser coincidentes. 

SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) propuseram um método simplificado 

para configurações típicas de nós. Segundo os pesquisadores, o nó tem sua 

geometria definida pela intersecção das dimensões das bielas e dos tirantes, cujos 

eixos devem coincidir. Assim, as tensões planas atuantes em todos os lados da região 

nodal não precisam ser iguais, porém as tensões em cada lado do nó devem ser 

constantes e devem permanecer abaixo de um limite pré-estabelecido para a tensão 

nodal. 

2.11 Parâmetros de resistência das regiões nodais 

Os nós são elementos que merecem atenção especial, pois precisam garantir 

adequada transferência de forças entre bielas e tirantes. Um fator limitante para a 

segurança e a confiabilidade de um nó é o ângulo formado pelas bielas e tirantes que 

nele concorrem. Quanto menor este ângulo, menor a resistência à compressão da 

biela. 

A tabela seguinte apresenta os intervalos permitidos para o ângulo formado 

entre uma biela e um tirante, segundo recomendações das principais normas 

internacionais e alguns pesquisadores. 


72 


Tabela 1 - Limites inferior e superior para o ângulo formado entre as diagonais comprimidas e a 

armadura longitudinal da viga. 

Norma ou pesquisador 

NBR 6118:2003 

ACI 318 (2002) 

EUROCODE 2 (1992) 

Projeto de revisão do EUROCODE 2 (1999) 

CEB-FIP Model Code (1990) 

FUSCO (1984) 

SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) 

Ângulo permitido 

30 o ≤ θ ≤ 45 o 

25 o ≤ θ ≤ 65 o 

31 o ≤ θ ≤ 59 o 

21 o ≤ θ ≤ 45 o 

18,4 o ≤ θ ≤ 45 o 

26 o ≤ θ ≤ 63 o 

45 o ≤ θ ≤ 60 o 

Para a classificação das regiões nodais serão adotados os parâmetros da 

ASCE-ACI (1998) e da ACI 318 (2002), haja vista que o próprio CAST (2000) toma 

por base a norma norte-americana. Suas prescrições sugerem a classificação das 

regiões nodais como: 

CCC: região nodal circundada somente por bielas; 

CCT: região nodal circundada por bielas e por um único tirante; 

CTT: região nodal circundada por uma única biela e por tirantes em uma ou 

mais direções; 

TTT: região nodal circundada por três ou mais tirantes. 

De acordo com o Apêndice A do ACI 318 (2002), os critérios de resistência da 

região nodal são: 

φ.F nn ≥ F u (5) 

F nn = f cu .A n (6) 

f cu = 0,85.β s .f c ’ (7) 

sendo: 

f c ’ = resistência característica do concreto; 

φ = 0,85; 

βs = 1,0 para regiões nodais circundadas por bielas e/ou placas de apoio (nós 

tipo CCC); 

βs = 0,80 para regiões nodais ancorando somente um tirante (nós tipo CCT); 

βs = 0,60 para regiões nodais ancorando dois ou mais tirantes (nós tipo CTT). 



73 

2.12 Parâmetros de resistência das bielas 

Resistência das bielas segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) 

Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo SCHLAICH & 

SCHÄFER (1988, 1991), são: 

0,85 f cd para estado de tensão uniaxial e sem perturbação; (8) 

0,68 f cd para campos de compressão com fissuras paralelas às tensões de 

compressão; (9) 

0,51 f cd para campos de compressão com fissuras inclinadas. (10) 

Resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 (2002) 

Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo o Apêndice A do ACI 

318 (2002), são: 

φ.F ns ≥ F u (11) 

F ns = f cu .A c (12) 

f cu = 0,85.β s .f c ’ (13) 

sendo: 

f c ’ = resistência característica do concreto; 

φ = 0,85; 

βs = 1,0 para bielas uniformes de seção constante; 

βs = 0,75 para bielas do tipo garrafa que satisfaçam o item A.3.3 de 

distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002); 

βs = 0,60.λ para bielas do tipo garrafa que não satisfaçam o item A.3.3 de 

distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002). 

2.13 Parâmetros de resistência dos tirantes 

Quase sempre as forças internas de tração na estrutura resultantes do modelo 

adotado são absorvidas por tirantes constituídos por uma ou mais camadas de barras 

de aço, devido à limitada capacidade resistente do concreto em absorver esforços de 

tração. Ainda assim, caso se necessite, pode-se prover a estrutura de tirantes de 

concreto. Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991), deve-se considerar a 

resistência à tração do concreto somente quando se esperar ruptura frágil ou zonas 

de ruptura localizadas. 

A seguir são fornecidas as expressões para o dimensionamento de tirantes de 

concreto e tirantes de aço: 

A s = γ f .R st / f yd (14) 

Ac = γ f .R st / f td (15) 

sendo: 

A s = área necessária do tirante de aço; 

A c = área necessária do tirante de concreto; 


74 


R st = força de tração atuante; 

f yd = resistência ao escoamento de cálculo do aço; 

f td = resistência à tração de cálculo do concreto; 

γ f = coeficiente de majoração das ações. 

3 VERIFICAÇÃO DE VIGAS SEGUNDO O MC CEB-FIP (1990) 

As expressões para verificação da segurança de vigas submetidas a força 

cortante fornecidas pelo Código Modelo CEB-FIP (1990), apesar de apresentarem 

nomenclatura diferente daquelas fornecidas pela NBR 6118:2003, são do mesmo 

gênero, mostrando que os esquemas de forças internas e externas aplicadas à treliça 

considerados pelo MC CEB-FIP (1990) são do mesmo gênero dos considerados pela 

norma brasileira. Serão apresentadas, a seguir, as expressões para dimensionamento 

segundo o MC CEB-FIP (1990), o qual considera, no equilíbrio da treliça, a inclinação 

θ das bielas livre, não necessariamente θ = 45 o como o modelo de cálculo I da NBR 

6118:2003. 

A verificação da compressão diagonal do concreto deve obedecer à seguinte 

condição de segurança: 

R Scw < R Rcw (16) 

R Scw = (V d / senθ) [cotgθ / (cotgθ + cotgα)] (17) 

e 

R Rcw = f cd2 b w z cosθ (18) 

sendo: 

f cd2 = 0,6 (1 - f ck / 250) f cd (19) 

f cd = f ck / γ c (20) 

γ c = 1,5 

A condição de segurança para o cálculo da armadura transversal é: 

R Stw < R Rtw (21) 

R Stw = V d / senα (22) 

e 

R Rtw = A sw f yd z (cotgθ + cotgα) / s (23) 

4 O PROGRAMA CAST 

4.1 Conceitos gerais 

O programa computacional gráfico CAST, Computer Aided Strut and Tie 

(2000), é capaz de realizar a análise e o dimensionamento de uma estrutura de 



75 

concreto armado ou protendido com base no modelo de bielas e tirantes. O programa 

começou a ser desenvolvido em 1997 na Universidade de Illinois at Urbana- 

Champaign, nos Estados Unidos da América, e passou por atualizações. Uma versão 

inicial do programa foi introduzida pela primeira vez no Congresso do ACI de 2000, 

em Toronto, Canadá, por Dan Kuchma e Tjen Tjhin, após a apresentação do trabalho 

"Advances and Challenges to Design by the Strut-and-Tie Method". 

A interface utilizada é simples e possibilita a criação e a modificação de 

elementos estruturais e de possíveis modelos de bielas e tirantes, os quais precisam 

ser determinados pelo usuário. Esse aspecto chama a atenção, pois o programa não 

dispõe de um processo de otimização que determina automaticamente o modelo mais 

adequado e, sendo isso tarefa exclusiva do usuário, é necessário embasamento 

teórico acerca do modelo de bielas e tirantes, suas limitações e peculiaridades. Por 

outro lado, não exige solução única, possibilitando grande variedade de soluções para 

cada estrutura. Nesse aspecto, entram o conhecimento técnico-científico e a 

experiência do usuário do programa a fim de encontrar o modelo mais adequado, que 

leve em consideração economia e aspectos construtivos da estrutura. Além disso, sua 

facilidade em variar o modelo de bielas e tirantes adotado para um mesmo 

carregamento, a disponibilidade de rotinas para o dimensionamento de modelos de 

bielas e tirantes submetidos a múltiplos casos de carregamento e a simples 

automatização dos cálculos são fatores que vão ao encontro das necessidades do 

projetista de estruturas. 

4.2 Definição das propriedades dos elementos 

Para a verificação de nós e bielas, há a possibilidade de se utilizar valores das 

resistências propostos por pesquisadores e normas, predefinidos pelo programa, 

como também é possível determinar valores desejados. A Tabela 2 e a Tabela 3 

apresentam todos os valores predefinidos pelo programa para nós e bielas, os quais 

podem ser arbitrariamente adotados pelo usuário. 

Tabela 2 - Propriedades dos nós segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 

(2000). 

Propriedades dos nós 

Fator 

f ck (MPa) 

Fator 

Fator 

Eq. Códigos 

Redução 

Eficiência 

Resultante 20 30 40 50 

Resistência 

ACI CCC 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88 

ACI CCT 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50 

ACI CTT 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13 

Marti (1985) CCC 0,600 0,750 0,450 9,00 13,50 18,00 22,50 

Schlaich (1987) CCC 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88 

Schlaich (1987) CCT / CTT 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50 

MacGregor (1997) CCC 0,777 0,750 0,583 11,66 17,48 23,31 29,14 

MacGregor (1997) CCT 0,661 0,750 0,496 9,92 14,87 19,83 24,79 

MacGregor (1997) CTT 0,583 0,750 0,437 8,75 13,12 17,49 21,86 


76 


Tabela 3 - Propriedades das bielas segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 

(2000). 

Propriedades das Bielas 

Eq. Códigos 

Fator 

Eficiência 

Fator 

Redução 

Resistência 

f ck (MPa) 

Fator 

Resultante 20 30 40 50 

ACI Prismatic 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88 

ACI "Forma Garrafa" c/ Armad. 0,637 0,750 0,478 9,56 14,33 19,11 23,89 

ACI "Forma Garrafa" s/ Armad. 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13 

ACI Bielas em Elem. Tracionados 0,340 0,750 0,255 5,10 7,65 10,20 12,75 

ACI Bielas para todos os outros casos 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13 

Nielsen (1978) 0,550 0,750 0,413 8,25 12,38 16,50 20,63 

Ramirez & Breen (1983) 0,515 0,750 0,386 7,73 11,59 15,45 19,31 

Marti (1985) 0,600 0,750 0,450 9,00 13,50 18,00 22,50 

Schlaich (1987) Biela não Fissurada 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88 

Schlaich (1987) Biela c/ Armad. Tracionada 

Perpendicular ao seu eixo 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50 

Schlaich (1987) Biela c/ Armad. Tracionada 

Perpendicular ao seu eixo 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50 

Schlaich (1987) Biela c/ Fissuras de grande 

abertura 0,340 0,750 0,255 5,10 7,65 10,20 12,75 

MacGregor (1997) Biela não Fissurada 0,777 0,750 0,583 11,66 17,48 23,31 29,14 

MacGregor (1997) Biela Fissurada c/ Armad. 

Perpendicular ao seu Eixo 0,622 0,750 0,467 9,33 14,00 18,66 23,33 

MacGregor (1997) Biela Fissurada s/ Armad. 

Perpendicular ao seu Eixo 0,505 0,750 0,379 7,58 11,36 15,15 18,94 

MacGregor (1997) Biela em Zona 

T i d 

0,466 0,750 0,350 6,99 10,49 13,98 17,48 

Cita-se que o projetista pode, como alternativa, limitar a tensão em cada 

membro do modelo. Para isso, ao invés de estabelecer as dimensões dos membros, 

há a possibilidade de apenas determinar a porcentagem a ser atingida da capacidade 

(resistência) última do membro, sendo que, no passo de análise automática da treliça 

pelo CAST (2000), ao invés de o programa verificar a tensão no membro, ele irá 

definir automaticamente suas propriedades geométricas a fim de configurar a 

intensidade de tensão definida pelo projetista. 

5 MODELAGEM DA VIGA VB E ANÁLISE DOS RESULTADOS 

A seguir estão expressas as propriedades geométricas e as demais 

características da viga. O carregamento unifomemente distribuído a que a viga está 

submetida foi distribuído pelos nós da treliça, excetuando-se os dois nós das 

extremidades. Foi considerado, para isso, o comprimento efetivo da viga, 3,60 m, e os 

carregamentos aplicados em cada nó do banzo superior foram determinados de 

acordo com suas áreas de influência. A carga distribuída aplicada sobre as áreas de 

influência dos nós extremos foi distribuída por toda a extensão restante da viga. Vale 

lembrar que a força aplicada na treliça já foi majorada, ou seja, já foi aplicada com seu 

valor de projeto. 



77 

A partir dos resultados, foram realizadas comparações entre os valores 

obtidos na modelagem e os obtidos nos dimensionamentos realizados manualmente 

segundo o MC CEB-FIP (1990) 

Aço: CA-50 ⇒ f y = 500 MPa 

Coeficiente de ponderação das ações: 

γ f = 1,4 

Coeficiente de ponderação da resistência do concreto, para as verificações 

segundo o MC CEB-FIP (1990): 

γ c = 1,4 

Coeficiente de ponderação da resistência do aço, para as verificações 

segundo o MC CEB-FIP (1990): 

γ s = 1,15 

Nas modelagens, foram atribuídos coeficientes de ponderação dos materiais 

ligeiramente diferentes dos utilizados nas verificações das normas. O CAST (2000) 

utiliza como padrão para todas as verificações e, portanto, para todos os coeficientes, 

os valores e recomendações do ACI, referentes à versão de janeiro de 2000. Sendo 

assim, o coeficiente de ponderação dos materiais é fator multiplicador de suas 

resistências. 

Nas modelagens optou-se por admitir as considerações e as verificações 

referentes ao ACI, exceto para os valores dos coeficientes de ponderação do concreto 

(φ c ) e do aço (φ s ) que assumiram, respectivamente: 

φ c ≈ γ -1 c ⇒ φ c = 0,75 

φ s ≈ γ -1 s ⇒ φ s = 0,85 

O modelo VB constitui-se de uma viga de concreto armado, biapoiada, 

submetida a um carregamento uniformemente distribuído em toda a sua extensão. 

Possui seção transversal retangular de 20 cm x 40 cm. A Figura 6 mostra o 

comprimento efetivo da viga VB, suas condições de apoio e o carregamento a que ela 

está submetida. 

Figura 6 - VB - carregamento e comprimento efetivo. 

Seção transversal: b w = 20 cm 

h = 40 cm 

Comprimento efetivo da viga: l efetivo,viga = 360 cm = 3,6 m 

Concreto: C25 ⇒ f ck = 25 MPa 


78 


Resultantes características nos apoios: 

R k = 22 [kN/m] . (3,6 / 2) [m] = 39,6 kN 

Momento flertor solicitante caracteístico e de cálculo: 

M k = p.l 2 / 8 = 22 . 3,6 2 / 8 M d = 1,4.M k = 49,90 kN.m 

Força cortante solicitante caracteístic e de cálculo: 

V k = 39,6 kN 

V d = 4,1.V k = 55,44 kN 

A seguir, são calculados os parâmetros k c e k s , a fim de se determinar a área 

de armadura longitudinal da viga, As, para resistir ao momento fletor. 

k c = b.d 2 /M d = 20 . 36 2 / 4990 = 5,19 

C25 ⇒ k s = 0,025 

k s = A s .d / M d ⇒ A s = k s .M d / d = 0,025 . 4990 / 36 = 3,47 cm 2 

Conhecidos os parâmetros geométricos da viga, podem ser determinados 

M d,lim , V d,u e V d,min : 

M d,lim = b.d 2 / k c,lim = 20 . 36 2 / 1,8 = 14400 kN.cm = 144,00 kN.m 

V d,u = 0,1.τ wu .b.d = 0,1 . 4,500 . 20 . 36 = 324,0 kN 

V d,min = 0,1.τ wmin .b.d = 0,1 . 1,182 . 20 . 36 = 85,1 kN 

V d,max = 55,5 kN < V d,u = 324,0 kN ⇒ condição ok! 

A verificação acima indica que a força cortante máxima atuante na viga é 

inferior à força cortante última a qual a viga é capaz de suportar. 

5.1 Verificações segundo o MC CEB-FIP (1990) 

A seguir é realizada a verificação das bielas segundo o MC CEB-FIP (1990): 

R Scw = (V d / senθ).[cotgθ / (cotgθ + cotgα)] (24) 

sendo: 

α = inclinação dos estribos = 90 o ⇒ cotgα = 0; 

θ = inclinação das bielas = 45 o ⇒ senθ = 2 1/2 / 2 ; cotgθ = 1; 

Quando V d = V d,max , temos: 

R Scw = (55,5 . 2 1/2 / 2).[1 / (1 + 0)] 

O cálculo da força solicitante de compressão atuante nas bielas da viga 

também visa estabelecer comparação, a fim de verificar a validade da modelagem. Os 

valores das forças nos elementos podem ser conferidos adiante, na Figura 11 e na 

Tabela 6. A Figura 12 apresenta os fatores de utilização dos elementos da treliça. 

R Scw = 78,5 kN 

R Scw,CAST = 78,4 kN (Figura 11; Tabela 6) 

A diferença entre as forças solicitantes de compressão nas bielas, tomando-se 

o valor obtido segundo verificação do MC CEB-FIP (1990) e o valor da biela mais 

solicitada da treliça, segundo modelagem no CAST (2000), é praticamente nula 

(0,1%). 

A seguir, realiza-se o cálculo da resistência das bielas segundo o MC CEB- 

FIP (1990): 



79 

R Rcw = f cd2 .b.z.cosθ (25) 

f cd2 = 0,60.(1 - f ck / 250).f cd = 0,60.(1 - 25 / 250).(2,5 / 1,4) = 

= 0,964 kN/cm 2 

k c = b.d 2 / M d = 5,19 ⇒ β x = 0,17 

β x = x / d ⇒ x = β x .d = 0,17 . 36 = 6,1 cm 

z = d - 0,4.x = 36 - 0,4 . 6,1 = 33,56 cm obs: z/d = 0,93 

R Rcw = 0,964 . 20 . 33,56 . 2 1/2 / 2 

R Scw = 78,5 < R Rcw = 457,5 kN ⇒ condição ok! 

A condição anterior indica que a capacidade resistente das bielas de concreto 

da viga é maior do que a solicitação a que elas estão submetidas. 

Conhecendo-se o braço do momento z, de acordo com o próprio momento 

máximo atuante, pode-se determinar a força solicitante de tração no banzo inferior da 

viga (R st ), relativa ao valor do momento aplicado, a fim de estabelecer comparação 

com o valor da força de tração determinada pela modelagem (R st,CAST ). É considerada 

a força de tração atuante nas barras mais solicitadas do banzo inferior da viga, que 

são as duas barras centrais. 

R st = M d / z + N d (26) 

N d = 0 

R st = 4990 / 33,56 

R st = 148,7 kN 

R st,CAST = 181,4 kN (Figura 11; Tabela 6) 

Portanto, o CAST (2000) está 18% a favor da segurança. 

5.2 Resultados da modelagem 

Neste primeiro modelo serão apresentadas inúmeras figuras e tabelas, a fim 

de representar de maneira completa todas as características da modelagem no CAST 

(2000) e de mostrar a grande variedade de respostas, gráficas ou numéricas, que o 

programa é capaz de fornecer. Ressalta-se que, para os modelos seguintes, serão 

apresentadas apenas as figuras e tabelas de maior relevância para análise. A Figura 

7 apresenta as propriedades da treliça, onde as bielas estão representadas por linhas 

azuis descontínuas e os tirantes por linhas alaranjadas contínuas. Os pontos 

vermelhos são os nós internos da viga, pertencentes à treliça, e os pontos cinzas são 

os nós situados nas faces a viga, nos quais são aplicados os carregamentos e 

definidos os apoios. As barras vermelhas descontínuas são os estabilisadores, 

elementos pertencentes à treliça definida pelo usuário que, para as determinadas 

condições de apoio e ações atuantes, não estão solicitados. Como, para as três 

primeiras modelagens, há simetria na viga, na treliça e no carregamento, será exibida 

apenas meia viga, quando se considerar conveniente. 


80 


Figura 7 - VB - a treliça e seus elementos. 

A Figura 8 exibe os carregamentos nos nós da viga, de acordo com as áreas 

de influência e dos critérios anteriormente discutidos. 

Figura 8 - VB - aplicação das forças aos nós. 

A Figura 9 exibe as propriedades atribuídas aos elementos e a Figura 10 aos 

nós, ambas as tarefas de responsabilidade do projetista. 

Figura 9 - VB - propriedades dos elementos. 



81 

Figura 10 - VB - propriedades dos nós. 

Definidas todas as características necessárias para se realizar as verificações 

convenientes, o próximo passo é analisar as solicitações que estão submetidos os 

elementos do modelos de bielas e tirantes. Apesar de o programa ser capaz de 

fornecer uma grande variedade de dados para análise, os principais são constituídos 

pelas porcentagens das capacidades resistentes de cada elemento e de cada nó, o 

que já é suficiente para se verificar a segurança do modelo. Caso as verificações de 

todos os elementos e nós apontem que em nenhum elemento a solicitação é maior 

que a capacidade resistente, pode-se garantir que, ao menos em relação ao modelo 

de bielas e tirantes adotado, está garantida a segurança estrutural da viga. 

Ressalta-se que, para que o modelo seja seguro, o projetista deve se 

assegurar de que todas as condições por ele determinadas sejam válidas. Há 

inúmeros fatores que podem gerar incompatibilidades entre o modelo e a viga real. Os 

principais são: 

1) Concepção incorreta do tipo de biela definida, ou do tipo de nó definido 

pelo projetista. Vale lembrar que bielas e nós assumem coeficientes de segurança 

dependentes de suas configurações na treliça. Portanto, determinções equivocadas 

ou duvidosas podem estar contra a segurança estrutural; 

2) Inadequada ancoragem das armaduras que atravessam os nós. Há 

configurações de nós que consideram tirantes os atravessando. Porém, para se 

garantir o esperado funcionamento e, consequentemente, a validade das capacidades 

resistentes, deve-se garantir que os tirantes estejam corretamente ancorados a essas 

regiões nodais; 

3) Insuficientes comprimentos de ancoragem necessários para armaduras. O 

comprimento de ancoragem é um fator muito importante que também deve ser 

considerado no modelo de bielas e tirantes. Portanto, devem ser consideradas todas 

as prescrições pertinentes a cada caso. No caso das barras da armadura longitudinal 

das vigas, deve-se considerar o comprimento de ancoragem básico além dos pontos 

de interrupção de cada barra determinado pelas forças nas barras das treliças; 

4) Determinação de dimensões - largura e espessura - incorretas para bielas e 

tirantes. As barras da treliça têm as áreas de suas seções transversais definidas pelos 


82 


comprimentos de suas larguras e pela espessura da estrutura. Considerando que a 

espessura é um fator que dificilmente gera dúvidas, pois pode-se considerar como 

espessura efetiva dos elementos a espessura total da estrutura, as dúvidas recaem 

nas determinações das larguras efetivas de bielas e tirantes. Deve-se verificar se as 

larguras adotadas não ultrapassam os limites da estrutura. Em seguida, é interessante 

dispor corretamente as barras das armaduras dos tirantes, em camadas quando 

necessário, a fim de garantir que os tirnates da treliça tenham espessuras suficientes 

para que não ocorra ruptura localizada na face de encontro entre o tirante e o nó ao 

qual ele está conectado; 

5) Definição de nós como contínuos ou singulares. Até hoje não existem 

critérios bem definidos para distinguir nós contínuos e nós concentrados. Tendo em 

vista que nós singulares, que são aqueles em que há espaço suficiente para que os 

desvios das forças neles atuantes sejam suaves, não são críticos e, portanto, não 

precisam ser verificados, é necessário muita cautela para se definir um nó como 

contínuo. 

Além desses aspectos principais, todas as demais verificações necessárias às 

vigas devem ser realizadas, como as verificações para Estados Limites de Serviço. 

Cita-se que, caso a treliça adotada não seja estaticamente determinada ou caso não 

haja correta disposição de suas barras, o CAST (2000) indicará que há algum 

problema e não fornecerá ao projetista nenhuma resposta. 

A seguir apresentam-se as respostas obtidas na modelagem da viga VB. 

Essas respostas são apresentadas em porcentagens de solicitação dos elementos, ou 

seja, em foma da relação solicitação dividida pela resistência. Valores iguais ou 

superiores à unidade indicam que a capacidade última resistente do elemento foi 

atingida. 

A Figura 11 apresenta as forças solicitantes aplicadas em cada membro da 

treliça. Valores positivos indicam tração e negativos indicam compressão. 

Figura 11 - VB - forças nos membros da treliça. 

A Figura 12 apresenta a envoltória resistência a que está submetida a viga. 

Os valores entre parênteses representam a razão entre a solicitação no elemento e a 

resistência do mesmo, também chamada de fator de utilização. Valores baixos 

tendem às cores frias (azul) e valores altos tendem às quentes (vermelho). 



83 

Figura 12 - VB - fatores de utilização dos elementos. 

A Tabela 4 apresenta os fatores de utilização de todos os elementos da treliça 

e a Tabela 5 de todos os nós. 

Tabela 4 - VB - fatores de utilização dos elementos da treliça. 

Row # Element ID Force (kN) Stress (MPa) Stress Ratio f'c Ratio 

1 E1 0,0 NA NA NA 

2 E2 45,4 319,44 0,75 NA 

3 E3 35,3 248,45 0,59 NA 

4 E4 25,2 177,46 0,42 NA 

5 E5 15,1 106,48 0,25 NA 

6 E6 5,0 35,49 0,08 NA 

7 E7 0,0 NA NA NA 

8 E8 5,0 35,49 0,08 NA 

9 E9 15,1 106,48 0,25 NA 

10 E10 25,2 177,46 0,42 NA 

11 E11 35,3 248,45 0,59 NA 

12 E12 45,4 319,44 0,75 NA 

13 E13 0,0 NA NA NA 

14 E14 0,0 NA NA NA 

15 E15 -55,4 2,77 0,17 0,11 

16 E16 -100,8 5,04 0,32 0,20 

17 E17 -136,1 6,80 0,43 0,27 

18 E18 -161,3 8,06 0,51 0,32 

19 E19 -176,4 8,82 0,55 0,35 

20 E20 -176,4 8,82 0,55 0,35 

21 E21 -161,3 8,06 0,51 0,32 

22 E22 -136,1 6,80 0,43 0,27 

23 E23 -100,8 5,04 0,32 0,20 

24 E24 -55,4 2,77 0,17 0,11 

25 E25 0,0 NA NA NA 

26 E26 55,4 214,88 0,51 NA 

27 E27 100,8 390,70 0,92 NA 

28 E28 136,1 263,72 0,62 NA 

29 E29 161,3 312,56 0,74 NA 

30 E30 176,4 341,86 0,80 NA 

31 E31 181,4 351,63 0,83 NA 

32 E32 181,4 351,63 0,83 NA 

33 E33 176,4 341,86 0,80 NA 

34 E34 161,3 312,56 0,74 NA 


84 


Continuação 

35 E35 136,1 263,72 0,62 NA 

36 E36 100,8 390,70 0,92 NA 

37 E37 55,4 214,88 0,51 NA 

38 E38 -55,4 2,77 0,17 0,11 

39 E39 0,0 NA NA NA 

40 E40 -10,1 2,52 0,16 0,10 

41 E41 -10,1 2,52 0,16 0,10 

42 E42 -10,1 2,52 0,16 0,10 

43 E43 -10,1 2,52 0,16 0,10 

44 E44 -10,1 2,52 0,16 0,10 

45 E45 -10,1 2,52 0,16 0,10 

46 E46 -10,1 2,52 0,16 0,10 

47 E47 -10,1 2,52 0,16 0,10 

48 E48 -10,1 2,52 0,16 0,10 

49 E49 -10,1 2,52 0,16 0,10 

50 E50 -10,1 2,52 0,16 0,10 

51 E51 0,0 NA NA NA 

52 E52 -55,4 2,77 0,17 0,11 

53 E53 -78,4 3,92 0,25 0,16 

54 E54 -64,1 3,21 0,20 0,13 

55 E55 -49,9 2,49 0,16 0,10 

56 E56 -35,6 1,78 0,11 0,07 

57 E57 -21,4 1,07 0,07 0,04 

58 E58 -7,1 0,36 0,02 0,01 

59 E59 -7,1 0,36 0,02 0,01 

60 E60 -21,4 1,07 0,07 0,04 

61 E61 -35,6 1,78 0,11 0,07 

62 E62 -49,9 2,49 0,16 0,10 

63 E63 -64,1 3,21 0,20 0,13 

64 E64 -78,4 3,92 0,25 0,16 

Tabela 5 - VB - fatores de utilização dos nós da treliça. 

Row # Element ID Force (kN) Stress (MPa) Stress Ratio f'c Ratio 

1 E1 0,0 NA NA NA 

2 E2 45,4 319,44 0,75 NA 

3 E3 35,3 248,45 0,59 NA 

4 E4 25,2 177,46 0,42 NA 

5 E5 15,1 106,48 0,25 NA 

6 E6 5,0 35,49 0,08 NA 

7 E7 0,0 NA NA NA 

8 E8 5,0 35,49 0,08 NA 

9 E9 15,1 106,48 0,25 NA 

10 E10 25,2 177,46 0,42 NA 

11 E11 35,3 248,45 0,59 NA 

12 E12 45,4 319,44 0,75 NA 

13 E13 0,0 NA NA NA 

14 E14 0,0 NA NA NA 

15 E15 -55,4 2,77 0,17 0,11 

16 E16 -100,8 5,04 0,32 0,20 

17 E17 -136,1 6,80 0,43 0,27 

18 E18 -161,3 8,06 0,51 0,32 



85 

Continuação 

19 E19 -176,4 8,82 0,55 0,35 

20 E20 -176,4 8,82 0,55 0,35 

21 E21 -161,3 8,06 0,51 0,32 

22 E22 -136,1 6,80 0,43 0,27 

23 E23 -100,8 5,04 0,32 0,20 

24 E24 -55,4 2,77 0,17 0,11 

25 E25 0,0 NA NA NA 

26 E26 55,4 214,88 0,51 NA 

27 E27 100,8 390,70 0,92 NA 

28 E28 136,1 263,72 0,62 NA 

29 E29 161,3 312,56 0,74 NA 

30 E30 176,4 341,86 0,80 NA 

31 E31 181,4 351,63 0,83 NA 

32 E32 181,4 351,63 0,83 NA 

33 E33 176,4 341,86 0,80 NA 

34 E34 161,3 312,56 0,74 NA 

35 E35 136,1 263,72 0,62 NA 

36 E36 100,8 390,70 0,92 NA 

37 E37 55,4 214,88 0,51 NA 

38 E38 -55,4 2,77 0,17 0,11 

39 E39 0,0 NA NA NA 

40 E40 -10,1 2,52 0,16 0,10 

41 E41 -10,1 2,52 0,16 0,10 

42 E42 -10,1 2,52 0,16 0,10 

43 E43 -10,1 2,52 0,16 0,10 

44 E44 -10,1 2,52 0,16 0,10 

45 E45 -10,1 2,52 0,16 0,10 

46 E46 -10,1 2,52 0,16 0,10 

47 E47 -10,1 2,52 0,16 0,10 

48 E48 -10,1 2,52 0,16 0,10 

49 E49 -10,1 2,52 0,16 0,10 

50 E50 -10,1 2,52 0,16 0,10 

51 E51 0,0 NA NA NA 

52 E52 -55,4 2,77 0,17 0,11 

53 E53 -78,4 3,92 0,25 0,16 

54 E54 -64,1 3,21 0,20 0,13 

55 E55 -49,9 2,49 0,16 0,10 

56 E56 -35,6 1,78 0,11 0,07 

57 E57 -21,4 1,07 0,07 0,04 

58 E58 -7,1 0,36 0,02 0,01 

59 E59 -7,1 0,36 0,02 0,01 

60 E60 -21,4 1,07 0,07 0,04 

61 E61 -35,6 1,78 0,11 0,07 

62 E62 -49,9 2,49 0,16 0,10 

63 E63 -64,1 3,21 0,20 0,13 

64 E64 -78,4 3,92 0,25 0,16 

A Tabela 6 apresenta as armaduras necessárias para a viga calculadas 

segundo as forças atuantes em cada tirante, determindas pelo CAST (2000). 


86 


Tabela 6 - VB - armaduras necessárias para a viga determinadas pelo CAST (2000). 

Arm. longitudinal 

F st (kN) f yd (kN/cm 2 ) A s,nec (cm 2 ) 1,1 A s,nec (cm 2 ) A s,ef # A s,ef (cm 2 ) Stress ratio 

181,40 43,5 4,17 4,59 4 φ 13 1 5,16 0,81 

176,40 43,5 4,06 4,46 4 φ 13 1 5,16 0,79 

161,30 43,5 3,71 4,08 4 φ 13 1 5,16 0,72 

136,10 43,5 3,13 3,44 4 φ 13 1 5,16 0,61 

100,80 43,5 2,32 2,55 2 φ 13 2 2,58 0,90 

55,40 43,5 1,27 1,40 2 φ 13 2 2,58 0,49 

Arm. transversal 

F sw (kN) f yd (kN/cm 2 ) A sw,nec (cm 2 ) 1,1 A s,nec (cm 2 ) A s,ef # A s,ef (cm 2 ) Stress ratio 

45,40 43,5 1,04 1,15 2 φ 10 1 1,42 0,73 

35,30 43,5 0,81 0,89 2 φ 10 1 1,42 0,57 

25,20 43,5 0,58 0,64 2 φ 10 1 1,42 0,41 

15,10 43,5 0,35 0,38 2 φ 10 1 1,42 0,24 

5,00 43,5 0,11 0,13 2 φ 10 1 1,42 0,08 

A Figura 13 mostra a disposição das armaduras dos tirantes da treliça 

calculadas pelo CAST (2000). Vale lembrar que o programa não considera os 

comprimentos de ancoragem. 

Figura 13 - VB - disposição das armaduras dos tirantes da treliça. 

Por fim é apresentado o resumo da viga, conforme a Figura 14, onde constam 

os dados de geometria, carregamento e reações com valores característicos, 

diagramas de força cortante e momento fletor, ambos de cálculo, cobrimento do 

diagrama pelas barras da armadura longitudinal, já acrescidas dos comprimentos de 

ancoragem necessários, treliça do modelo de bielas e tirantes e disposição das barras 

da armadura longitudinal, também já acrescidas dos respectivos comprimentos de 

ancoragem. A representação das barras da armadura longitudinal determinadas 

segundo o modelo de bielas e tirantes aparece como boa alternativa em relação ao 

método tradicional, pois não há a necessidade do cobrimento do diagrama de 

momentos fletores. 

Cita-se que, também nas determinações das armaduras pelo método 

tradicional, foram utilizadas as bitolas e as respectivas áreas das seções transversais 

das barras relativas ao ACI 318 (1995) pois, como para as armaduras do modelo no 

CAST (2000) foram utilizadas tais características, visou-se padronizar e facilitar as 

comparações. 



87 

22,0 kN/m 

3,60 m 

Rk (kN) 

55,4 kN 

55,4 

55,4 kN 

Vd (kN) 

-55,4 

Md (kN.m) 

49,9 

2 Ø 13 (352) 

15 

2 Ø 13 (400) 

15 

5 360 

5 

CORTE A-A 

A 

l b 

A 2 Ø 13 (286) 

15 2 Ø 13 (400) 

15 

5 360 5 

Figura 14 - VB1 – resumo. 

l b 

6 CONCLUSÃO 

O modelo de bielas e tirantes proporciona ao projetista ótima representação 

da estrutura e de seu comportamento. Além disso, pode ser aplicado não somente 

nas regiões contínuas de uma estrutura, mas também em suas regiões descontínuas, 

onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. 

Apesar de suas significativas vantagens, o modelo apresenta um grande 

inconveniente: sua aplicação. A falta de consenso a respeito dos valores limites para 

as intensidades das tensões das inúmeras configurações de nós, bem como da 

própria geometria dos mesmos; das corretas configurações geométricas das bielas e 

suas respectivas resistências, dependentes da geometria da região D e do 


88 


caminhamento das ações são fatores que dificultam sua aplicabilidade e difusão. 

Também por esses motivos, várias normas e códigos tratam desses assuntos de 

maneira superficial ou até mesmo nem tratam. 

O modelo de bielas e tirantes já é, para muitas estruturas – ou parte delas –, 

em geral as mais complexas, a única alternativa de determinação e verificação 

estrutural, mas dificilmente é empregado em estruturas comuns, como em vigas 

usuais. Em vista disso tudo, a utilização do CAST (2000) aparece como alternativa 

muito interessante na verificação e no dimensionamento de vigas de concreto armado 

usuais. Sua interface agradável e sua fácil e rápida utilização configuram excelente 

auxílio a projetistas que fazem uso de computador, ao passo que o programa é de 

domínio público na rede mundial de computadores. Ao utilizar o CAST (2000), o 

projetista pode desfrutar da maior vantagem do modelo de bielas e tirantes, que é a 

ótima visualização do comportamento da estrutura. Além disso, como característica 

inerente ao modelo, o projetista tem o poder de determinar, de certa forma, o 

comportamento estrutural e, assim, definir a geometria da treliça de acordo com o 

comportamento desejado. 

Outra grande vantagem da modelagem de estruturas utilizando bielas e 

tirantes é a possibilidade de múltipas soluções. Sabe-se que a qualidade e a 

experiência do projetista são fundamentais na modelagem, pois há a necessidade de 

se prever o comportamento estrutural a fim de se construir o modelo mais adequado, 

ou seja, o que possibilitará o melhor comportamento. No caso das vigas, essa tarefa é 

simples. Como seu comportamento é bem conhecido, não há grande variedade de 

possíveis soluções e, consequentemente, isso minimiza a chance de erro por parte do 

projetista, outro fator estimulante para a utilização do CAST (2000). Porém, sem 

dúvida alguma, a maior vantagem apresentada pelo programa é sua capacidade de 

verificar automaticamente as regiões nodais. Tendo em vista que a verificação de nós 

é a tarefa mais complicada quando da aplicação de um modelo de bielas e tirantes, 

certamente o CAST (2000) mostra-se como um enorme auxílio aos projetos 

estruturais por modelos de bielas e tirantes. 

É necessário ressaltar a importância de se distribuir adequadamente as barras 

das armaduras dos tirantes em camadas quando possível, a fim de se garantir as 

larguras efetivas dos mesmos, visando diminuir as tensões nas faces dos nós aos 

quais cada tirante está conectado. Como são realizadas verificações para cada face 

do nó, é interessante que as áreas de cada um dos elementos conectados a cada nó 

sejam suficientes para resistir a tensão ali existente. Portanto, como as áreas efetivas 

dos tirantes são determinadas pela espessura da estrutura, que é um valor fixo, e 

pelas larguras efetivas dos respectivos tirantes, visa-se distribuir as barras da 

armadura de forma que se obtenha a maior espessura efetiva para cada elemento. 

Quanto aos valores da força cortante, pôde-se comprovar a validade das 

expressões para o dimensionamento do MC CEB-FIP (1990), pois elas aparentam 

representar perfeitamente o esquema resistente das diagonais. 

Com a configuração que se optou para transformar o carregamento distribuído 

em cargas nodais, com a desconsideração dos dois nós extremos, foi possível 

comprovar a idéia de que, para vigas com essa configuração, muito usual nas 

estruturas, as regiões superiores das extremidades praticamente não têm função 

estrutural, confirmando o conceito de que o banzo superior, paralelo ao inferior na 

região central da viga, tende a se inclinar até se encontrar com o banzo inferior na 

região do apoio. 



89 

Por fim, cita-se que as normas para dimensionamento de estruturas de 

concreto armado estabelecem critérios para se prover a estrutura de uma taxa de 

armadura mínima. Esse fator, em alguns casos, pode comprometer o comportamento 

do modelo de bielas e tirantes adotado. Como a idealização da treliça depende da 

disposição, prevista ou desejada (proposital), dos elementos que ela compõem, em 

casos em que, segundo o modelo, deveria haver tirantes com taxas de armadura 

inferiores às mínimas, a necessidade de se dispor a quantidade mínima de armadura 

pode alterar o comportamento inicialmente esperado pelo engenheiro. 

7 AGRADECIMENTOS 

Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. 


AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1995). ACI 318/95 - Building code 

requeriments for structural concrete. Detroit, Michigan. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2004). NBR 6118:2003 – 

Projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro. 

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON (1990). CEB-FIP model code 1990: 

first draft, Addendum, Bulletim D’Information, n.198, Sep. 

MARTI, P.(1985). Basic Tools of Reinforced Concrete Beam Design. ACI Journal. 

Proceedings. v. 82, n. 1. Jan./Feb. p. 45-56. 

RONCATTO, C.; CAMPOS FILHO, A. (2005). Aplicação do método das bielas e 

tirantes ao projeto automático de furos na alma de vigas de concreto armado. In: 

CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, 47, Recife, 2005. Anais... 

SANTOS, D. (2006) Análise das vigas de concreto armado utilizando modelos de 

bielas e tirantes. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 

SCHAFER, K.; SCHLAICH, J. (1988). Consistent design of structural concrete using 

strut and tie models. In: COLÓQUIO SOBRE COMPORTAMENTO E PROJETO DE 

ESTRUTURAS, 5., Rio de Janeiro, 1988. Anais... PUC/RJ. 

SCHLAICH, J.; SCHAFER, K. (1991). Design and detailing of structural concrete using 

strut and tie models. The Structural Engineer, v.69, n.6, Mar. 

SILVA, R. C.; GIONGO, J. S. (2000). Modelos de bielas e tirantes aplicados a 

estruturas de concreto armado. São Carlos: EESC-USP. 

SOUZA, R. A. (2004). Concreto estrutural: análise e dimensionamento de 

elementos com descontinuidades. São Paulo. 379 p. Tese (Doutorado). Escola 

Politécnica – Universidade de São Paulo. 


90 


TJHIN, T. N.; KUCHMA, D. A. (2002). Computer-based tools by design by strut-and-tie 

method: advances and challenges. ACI Structural Journal, v.99, n.5, p.586-594, 

2002. 


ISSN 1809-5860 

CONTRIBUIÇÃO PARA O PROJETO E 

DIMENSIONAMENTO DE EDIFÍCIOS DE 

MÚLTIPLOS ANDARES COM ELEMENTOS 

ESTRUTURAIS MISTOS AÇO - CONCRETO 

Marcela de Arruda Fabrizzi 1 & Roberto Martins Gonçalves 2 

Resumo 

Este trabalho objetivou o estudo dos edifícios de múltiplos andares constituídos por 

elementos mistos aço-concreto, com enfoque acadêmico, porém abordando aspectos e 

recomendações normativas diretamente aplicadas na prática corrente da engenharia 

estrutural. A revisão bibliográfica foi realizada com base em estudos acadêmicos e 

normativos além do estudo de um edifício exemplo constituído por elementos mistos. Os 

elementos mistos lajes, vigas e pilares foram abordados inicialmente de forma isolada, 

com base nas recomendações normativas, sendo que ao final os conceitos foram 

interligados, apresentando ao leitor os principais aspectos teóricos e normativos para o 

dimensionamento de um edifício completo constituído de elementos estruturais mistos. 

Palavras-chave: estruturas mistas aço-concreto; estruturas de aço; elementos mistos 

aço-concreto; lajes mistas aço-concreto; vigas mistas aço-concreto; pilares mistos açoconcreto; 

edifícios. 


Os materiais aço e concreto são a combinação mais utilizada, atualmente, 

para compor as estruturas de edificações. Eles podem ser utilizados em uma estrutura 

com elementos compostos por um dos materiais e também formando elementos 

mistos, trabalhando em conjunto. 

As características dos dois materiais são diferentes e complementares. O 

concreto alia resistência à compressão, elevada rigidez e proteção contra corrosão e 

incêndio. O aço, como características complementares, apresenta elevada resistência 

à tração e esbeltez dos elementos. Além disso, ambos os materiais apresentam 

coeficientes de dilatação térmicos próximos, não ocasionando deformações térmicas 

diferenciais. 

Os dois materiais já são utilizados em um mesmo edifício em larga escala, 

porém, muitas vezes, não se utiliza seu trabalho conjunto. Até poucos anos, nos 

pilares mistos revestidos, o concreto era considerado apenas como elemento de 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, marcela@laser.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 


92 

Marcela de Arruda Fabrizzi & Roberto Martins Gonçalves 

proteção contra incêndio e em pilares tubulares preenchidos de concreto, o aço era 

considerado apenas uma fôrma permanente para o pilar de concreto. 

No caso de pavimentos mistos, a laje de concreto ou mista aço-concreto é um 

elemento quase sempre presente, porém, a sua resistência à flexão no plano da viga 

era desprezada. Com a introdução dos conectores, que são elementos de custo 

relativamente baixo, pode-se considerar os elementos trabalhando em conjunto com 

grande eficiência. 

Logicamente que os materiais e as combinações de materiais têm suas 

diferentes aplicações dentro da Engenharia e o melhor sistema estrutural depende de 

vários fatores, como: 

• Utilização da edificação; 

• Projeto arquitetônico; 

• Carregamentos; 

• Vãos a serem vencidos; 

• Método construtivo; 

• Mão de obra e tecnologia disponíveis; 

• Prazo de execução da obra; 

• Custo das fundações; 

• Custo final da obra; 

• Retorno do capital investido. 

O objetivo deste trabalho é apresentar os procedimentos de dimensionamento 

dos elementos mistos que compõem um edifício. Estes procedimentos serão 

baseados nas principais normas nacionais e internacionais, além de uma revisão 

bibliográfica sobre o assunto. 

Pretende-se abranger aspectos relativos ao projeto dos elementos mistos açoconcreto 

apresentando uma análise crítica com ênfase nos aspectos didáticos e 

normativos. Destina-se a estudantes do assunto e também a engenheiros projetistas 

de estruturas. 

Este trabalho também é oportuno em função da Norma Brasileira NBR 8800 

“Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios” 

(rev. Abril 2006) estar em fase de revisão, ressaltando-se que irá apresentar os 

aspectos normativos para os elementos mistos. 

2 VIGAS MISTAS 

As vigas mistas são elementos compostos por perfis de aço (geralmente tipo 

“I”) e laje de concreto ou tipo “steel-deck” interligados por conectores. Estes três 

elementos passam, então, a trabalhar em conjunto. 

Os principais tipos de vigas mistas são os seguintes: 


Dimensionamento de edifícios de múltiplos andares com elementos estruturais mistos... 

93 

b.1) Nervuras paralelas à viga 

b.2) Nervuras perpendiculares à viga 

a) Laje maciça com face 

inferior plana 

b) Laje com fôrma de aço 

incorporada 

c) Perfil "I" com mesas 

diferentes 

d) Perfil de aço totalmente envolvido 

por concreto 

e) Perfil de aço parcialmente 

envolvido por concreto 

Figura 1 - Principais tipos de vigas mistas. 

A viga mista é uma combinação de dois elementos já presentes na maioria 

dos edifícios de aço: o perfil de aço e a laje de concreto ou “steel-deck”. O elemento 

adicional, o conector, não representa custo elevado no contexto geral da estrutura. 

A combinação dos dois elementos pode ser feita de inúmeras maneiras, 

sendo as apresentadas na figura 1 as mais usuais. Porém, desde que seja garantida a 

transmissão parcial ou total dos esforços cisalhantes longitudinais, seja por utilização 

de conectores, seja por embutimento do perfil, a viga pode ser considerada mista. 

Existem hoje no mercado inúmeros tipos de lajes e é constante o surgimento 

de outros, porém de uma maneira geral é possível garantir a interação entre os dois 

elementos. Os principais tipos de laje utilizados para compor vigas mistas são: 

• Lajes de concreto maciças onde os conectores são soldados à mesa 

superior do perfil e incorporados à laje (figura 1.a); 

• Lajes mistas (“steel-deck”) moldadas ‘in-loco’ com fôrma de aço 

incorporada (figura 1.b) onde o conector é soldado através da fôrma de 

aço à mesa do perfil; 


94 


• Laje pré-fabricada: laje contendo elementos pré-fabricados e moldados 

‘in-loco’. Neste caso, as vigotas são espaçadas da largura das lajotas 

cerâmicas de enchimento, apóiam-se na mesa superior das vigas 

metálicas e os conectores são soldados a esta mesa nos intervalos 

entre as vigotas (figura 2). 

No Brasil, a utilização de vigotas pré-fabricadas para lajes é bastante comum; 

portanto é importante salientar ser possível utilizarmos conjuntamente uma viga 

metálica com um piso em lajes tipo vigotas, de forma a compor uma viga mista. 

A figura 2 mostra, de maneira esquemática, um pavimento composto de laje 

pré-moldada e vigas mistas. A largura efetiva da mesa de concreto é definida pela 

faixa maciça de concreto ao longo do perfil de aço. 

Largura efetiva 

Região maciça de concreto 

Vigota pré-fabricada 

Lajota cerâmica 

Perfil de aço 

Conectores de cisalhamento 

Figura 2 - Esquema de um pavimento misto formado por laje de vigota pré-moldada. 

A figura 3 apresenta um edifício projetado por esta autora com subsolo para 

estacionamento e limitação de altura deste nível. Foram utilizadas lajes com vigotas 

treliçadas, conectores tipo perfil U e perfil I laminado. 

É importante observar que, neste caso, a concepção de viga mista foi 

adaptada para a situação da obra. Além da utilização deste tipo de laje, o tipo de 

conector utilizado foi o de mais fácil obtenção na cidade de Botucatu, no interior do 

estado de São Paulo. Mesmo dentro do contexto de uma obra de pequeno porte, a 

utilização da viga mista foi vantajosa e viável. Os fatores que contribuíram para a 

escolha deste tipo de viga foram: limitação de pé-direito devido à declividade do 

terreno e necessidade de vãos de 8m no pavimento inferior para abrigar vagas de 

estacionamento. 



95 

Figura 3 - Perfis de aço e conectores para compor viga mista com laje pré-fabricada. 

A interação entre o aço e o concreto pode ser analisada através da figura 4. 

Em vigas de aço isoladas (figura 4.a) o escorregamento na interface aço-concreto é 

permitido e formam-se duas linhas neutras. A resistência da laje no plano de flexão da 

viga não é considerada. 

No caso de interação parcial, ocorre a formação de duas linhas neutras, 

porém com escorregamento relativo inferior ao da viga isolada (figura 4.b). E, por fim, 

no caso de interação total considera-se que o deslocamento relativo na interface 

possa ser desprezado e assim ocorre a formação de apenas uma linha neutra (figura 

4.c). 

Escorregamento 

Escorregamento 

LN da laje 

LN da laje 

LN do perfil 

LN da seção 

mista 

LN do perfil 

a) Perfil isolado 

b) Interação parcial 

c) Interação total 

Figura 4 - Distribuição de tensões: perfil isolado, interação total e interação parcial. 


96 


Existem 2 classificações distintas de interação nas vigas mistas relativas à: 

• Resistência; 

• Rigidez. 

A primeira é aquela em que a resistência da viga é determinada pela 

resistência ao momento fletor e não pelo cisalhamento da conexão, ou seja, em caso 

de colapso, haverá rompimento do aço ou do concreto, não dos conectores. 

Em relação à rigidez, uma conexão é dita flexível quando utiliza conectores 

flexíveis, por exemplo, tipo pino com cabeça, sendo permitido, desta maneira, a 

deformação do conector. 

O uso de vigas mistas acrescenta resistência e rigidez à seção em relação ao 

mesmo perfil isolado. Como resultado, temos economia de material e diminuição da 

altura da estrutura. 

Para dimensionamento das vigas mistas, é feita uma analogia com uma viga 

“T” em concreto armado. Porém, é necessário considerar as diferenças entre os dois 

materiais (aço e concreto) em relação à resistência e deformabilidade. 

Além disso, não existe uma interação ou aderência natural entre os dois 

materiais; portanto, para que o escorregamento na interface seja impedido ou 

minimizado é necessária a utilização de conectores de cisalhamento. Este dispositivo 

resiste aos esforços cisalhantes longitudinais à viga, permitindo que os dois materiais 

trabalhem em conjunto. 

2.1 Vigas mistas bi-apoiadas 

Em vigas mistas biapoiadas, os materiais aço e concreto são solicitados da 

maneira mais adequada. Como o carregamento usual em edifícios é gravitacional, os 

momentos fletores gerados aplicam compressão na fibra superior e tração na fibra 

inferior. 

Quando a linha neutra (L.N.) se situa na mesa de concreto, apenas a sua 

parcela comprimida é considerada e o perfil de aço encontra-se totalmente tracionado. 

Quando a linha neutra está na mesa superior do perfil, esta, apesar de parcialmente 

comprimida, está travada lateralmente pelo concreto e por este motivo os efeitos da 

flambagem local são minimizados. O restante do perfil encontra-se tracionado. 

Quando a L.N. se localiza na alma do perfil, este deve ser verificado à 

flambagem local ou lateral por distorção como em vigas de aço isoladas. 

Sendo os dois primeiros casos de posicionamento da L.N. os mais comuns, as 

vigas mistas biapoiadas aproveitam as características mais adequadas de cada 

material. Esta configuração de apoio, apesar de não ser possível rotular totalmente 

uma viga a um pilar, ou seja, sempre irá ocorrer momento de engastamento nesta 

ligação, é bastante comum de ser assumida. Isto se deve ao fato que requer maior 

resistência que a consideração de ligação semi-flexível e pela simplicidade de 

dimensionamento e execução da ligação. Apesar destas vantagens, como não 

transmite momentos fletores, não resiste a ações horizontais. 



97 

2.2 Vigas mistas contínuas 

Nas regiões de momento negativo que ocorre nas vigas mistas contínuas 

aparece uma situação oposta das vigas biapoiadas: 

• Mesa de concreto tracionada; 

• Perfil de aço comprimido. 

A resistência do concreto à tração é desprezada e considera-se apenas a 

armadura devidamente ancorada. Já o perfil de aço, como está comprimido, irá sofrer 

os efeitos da instabilidade. Além disso, a laje de concreto irá fissurar, podendo até 

apresentar um estado limite de utilização. 

A figura 5 apresenta simplificadamente a diferença de comportamento entre 

regiões de momento positivo e negativo. 

Este tipo de viga tem algumas vantagens em relação às vigas bi-apoiadas: 

• Sob mesmo carregamento e mesma distância entre os apoios, são 

obtidos momentos fletores positivos menores; 

• Como ocorre a transferência de momento fletor para os pilares, a viga 

forma um pórtico juntamente com o pilar, resistindo a carregamentos 

horizontais. 

• Muitas vezes, vigas simplesmente apoiadas são tidas como contínuas 

nos apoios intermediários sem a necessidade de ligações especiais 

entre os dois elementos; 

Outra situação comum em vigas mistas contínuas é a presença de esforços 

cortantes e momentos fletores atuando simultaneamente nos apoios intermediários 

podendo levar à necessidade de verificação de interação entre os dois esforços. 

A 

Concreto 

Fissurado 

B 

Momento 

Negativo 

Armadura 

Tracionada 

A 

Momento 

Positivo 

A 

B 

Vista Longitudinal 

Momento 

Positivo 

A 

Modelo 

Deformação 

Modelo 

Tensão 

Modelo 

Deformação 

Modelo 

Tensão 

Seção A-A 

Seção B-B 

Figura 5 - Comparação do comportamento de vigas mistas contínuas em regiões de momentos 

positivo e negativo. 


98 


A utilização de vigas mistas bi-apoiadas ou contínuas irá depender da 

geometria do edifício, método de execução, sistema estrutural adotado, 

disponibilidade de materiais e serviços. 

2.3 Efeitos do escoramento 

Outro aspecto importante no dimensionamento de estruturas mistas é a 

verificação da condição durante a construção, pois o concreto necessita de um 

período, normalmente 28 dias, para atingir a sua resistência de projeto, e as 

solicitações impostas durante esta fase podem ser diferentes da situação definitiva. 

Muitas vezes, a dimensão necessária do perfil de uma viga mista pode ser 

determinada pela sua capacidade de resistir isoladamente às solicitações durante a 

construção, inclusive o peso do concreto anteriormente à sua cura. 

No caso de construção escorada (figura 6), os elementos somente serão 

solicitados em conjunto; desta forma os pesos próprios, as ações permanentes e 

acidentais serão resistidas pela seção mista. As deflexões também serão as da seção 

mista; portanto, menores que da seção isolada. Não há necessidade de verificação na 

situação de construção, uma vez que, nesta fase, a seção não estará sendo 

solicitada. 

Seção 

Resistente 


Distribuição de Tensões 

Modelo Elástico 

Estágio de Construção 

+ 

= 

Escoramento Removido 

(Somente peso próprio aplicado) 

+ 

Carregamento Acidental Aplicado 

Figura 6 - Vigas mistas escoradas. 

Os perfis de aço de vigas mistas não escoradas (figura 7) devem ser 

dimensionados para resistir a todos os esforços aplicados antes que o concreto esteja 

curado. Durante esta fase tanto o concreto, quanto os conectores não estão sendo 

solicitados. Após a cura do concreto, o carregamento acidental será resistido pela 

seção mista, no entanto, ocorre uma sobreposição das tensões aplicadas antes e 

depois da cura do concreto. 

O peso próprio do concreto é normalmente substancial e, por isto, a situação 

de construção pode ser condicionante, em construções não-escoradas, resultando em 

seções maiores que a mesma viga escorada. 



99 

Seção 

Resistente 


Estágio de Construção 

(Somente peso próprio aplicado) 

Distribuição de Tensões 

Modelo Elástico 

+ 

= 

Carregamento Acidental Aplicado 

Figura 7 - Vigas mistas não escoradas. 

O período de escoramento pode variar de acordo com o tipo de cimento 

utilizado, relação carregamento durante a construção/carregamento total e condições 

ambientais. Para que o concreto atinja a sua resistência de projeto são necessários 

28 dias; porém, o projetista pode especificar a idade do concreto e a sua resistência 

para que o escoramento possa ser retirado. Isto porque, durante esta fase, as cargas 

acidentais de projeto não terão sido aplicadas e a resistência do concreto pode ser 

inferior à final. 

2.4 Considerações finais 

Com base nestas informações básicas, dois estados limites das vigas mistas 

devem ser considerados: 

• Resistência da seção mista à flexão; 

• Resistência da conexão ao cisalhamento longitudinal. 

Além destas, existem outras situações que devem ser consideradas no 

dimensionamento das vigas mistas: 

• Flambagem local em seções esbeltas; 

• Deformações excessivas; 

• Fissuração do concreto; 

• Força cortante; 

• Flambagem local e lateral por distorção em regiões de momentos 

negativos; 

• Interação momento fletor-força cortante. 

3 LAJES MISTAS (“STEEL-DECK”) 

As lajes tipo “steel-deck” são elementos formados por fôrma de aço e camada 

de concreto moldada ‘in-loco’ agindo conjuntamente. As principais vantagens deste 

tipo de laje são: 

• Diminuição ou até mesmo eliminação do escoramento; 

• Utilização da fôrma de aço como plataforma de serviço durante a 

construção; 


100 


• Fôrma de aço funciona como armadura positiva da laje; 

• Alta qualidade de acabamento da face interna da laje; 

• Dispensa de escoramento e redução dos gastos com desperdício de 

material; 

• Facilidade de instalação e maior rapidez construtiva; 

• Plataforma de serviço e proteção aos operários que trabalham nos 

andares inferiores, propiciando maior segurança; 

• Apresenta facilidade para a passagem de dutos das diversas 

instalações, favorecendo também a fixação de forros. 

O comportamento misto pode ser obtido de diversas maneiras, desde que 

seja permitida a transferência de esforços cisalhantes longitudinais na interface entre 

o aço e o concreto. Para limitar futuras situações o EUROCODE 4 (2004) permite que 

o cisalhamento longitudinal seja resistido por: 

• Meios mecânicos através de reentrâncias e mossas no perfil da chapa 

metálica; 

• Atrito entre a superfície de concreto e de aço; 

• Ancoragem nos extremos proporcionada por conectores soldados. 

Os tipos de lajes mistas variam por forma, profundidade e espaçamento das 

nervuras e espessura da chapa. A escolha do tipo de laje mista a ser utilizada deve 

levar em consideração basicamente duas situações: 

• Vãos em que não haja necessidade de escoramento: neste caso a 

situação de construção é mais crítica, já que a fôrma de aço deverá 

suportar o peso próprio do concreto não curado. Assim, são 

recomendadas fôrmas trapezoidais com resistência ao cisalhamento 

vertical limitada e alta ductilidade; 

• No caso de vãos com necessidade de escoramento, a situação final de 

carregamento tensiona mais a seção mista. Portanto, fôrmas que 

tenham maior resistência ao cisalhamento longitudinal devem ser 

utilizadas, por exemplo, “steel-deck” com reentrâncias. 

Figura 8 - Principais tipos de lajes mistas. 

De acordo com Johnson (1994), por várias décadas as lajes tipo “steel-deck” 

são o sistema mais utilizado na América do Norte. Devido a isto, muitos avanços 

tecnológicos foram obtidos, sendo hoje muito utilizadas na Europa e em outros 


Dimensionamento de edifícios de múltiplos andares com elementos estruturais mistos... 101 

lugares do mundo. No Brasil, especialmente em edifícios comerciais, industriais e 

administrativos, esta é uma solução com alguma representatividade. 

A resistência do concreto estrutural e da armadura são os mesmos descritos 

para as vigas mistas. A chapa de aço tem espessura comercial variando entre 0,75 e 

1,50mm aproximadamente, e como ficará exposta ao meio ambiente, é necessário 

que seja galvanizada para protegê-la contra a corrosão. Inicialmente, as fôrmas 

utilizadas possuíam 3m de vão e 50mm de profundidade e, desta maneira, não 

necessitavam de escoramento. Hoje, com a utilização do escoramento, são 

produzidas fôrmas de maior profundidade e apropriadas para vãos de até 

aproximadamente 5m. 

O deslocamento vertical é uma função da rigidez da laje e, muitas vezes, é o 

estado limite de utilização que governa o dimensionamento da mesma, portanto, a 

utilização de aço com alta resistência pode não ser vantajosa. O aço normalmente 

utilizado nas fôrmas de aço incorporadas é o ASTM A653 grau 40, com tensão de 

escoamento 280MPa. 

Usualmente, os fabricantes deste tipo de laje fornecem, em forma de 

catálogos ou especificações técnicas, sobrecarga, vão e outras características da 

fôrma de aço. 

O concreto da laje pode ter armadura inferior adicional à fôrma de aço e deve 

ter armadura superior para controle de fissuração ou para resistir a momentos 

negativos conferidos pela continuidade da laje em apoios intermediários. 

O dimensionamento das lajes mistas deve considerar duas situações distintas: 

• Durante a construção: peso próprio da chapa e do concreto não 

endurecido, além de sobrecargas de construção, inclusive 

carregamentos devido a armazenamento de materiais, quando 

aplicáveis. 

• Durante a vida útil da estrutura como laje mista, considerando o estado 

limite último e os estados limites de utilização. 

Na situação de construção, todo escoramento deve ser considerado. Esta 

situação não será apresentada neste trabalho, porém consiste no dimensionamento 

similar ao de telhas metálicas, podendo ser encontrado em bibliografia referente a 

estruturas de aço. 

O comportamento das lajes mistas está entre o da laje maciça de concreto 

armado e da viga mista. De certa maneira, o “steel-deck” comporta-se como armadura 

incorporada ao concreto, porém com a desvantagem de não estar totalmente 

envolvido pelo concreto. Mas também possui rigidez à flexão como uma viga mista, 

podendo se deformar sob carregamento. 

4 PILARES MISTOS 

A questão do incêndio sempre foi problemática para as estruturas de aço. 

Inicialmente, um concreto de baixa resistência era aplicado sobre o perfil de aço e a 

sua contribuição era desprezada. Ao longo dos anos, percebeu-se que, utilizando 

concreto de maior resistência seria possível acrescentar resistência e estabilidade ao 

pilar. 


102 


Hoje existem muitas variações de seções de pilares mistos, porém as usuais 

são as descritas na figura 9. 

b.1) Com conectores soldados à 

alma do perfil 

b.2) Com armadura transversal 

soldada à alma do perfil 

a) Perfil "I" totalmente 

envolvido por concreto 

b) Perfil "I" parcialmente envolvido por concreto 

c) Tubo circular preenchido por concreto 

d) Tubo retangular preenchido por concreto 

Figura 9 - Tipos de pilares mistos. 

Os quatro tipos acima apresentam vantagens e desvantagens, sendo que as 

principais estão descritas na tabela 1. 

Tabela 1 - Vantagens e desvantagens das seções de pilares mistos. 

Tipos 

Proteção 

ao fogo 

Superfície 

metálica 

Armadura 

adicional 

Necessidade 

de fôrma 

Efeito de 

confinamento 

a) Sim Não Sim Sim Não 

b) Sim/Parcial Sim Sim Sim/Não Não 

c) Não Sim Sim/Não Não Sim 

d) Não Sim Sim/Não Não Não 

A principal vantagem dos pilares mistos é o ganho de resistência e rigidez 

proporcionado por um material de custo atualmente menor que o aço, o concreto. 



Como regra geral, o concreto contribui para a resistência da seção à compressão e 

também diminui os efeitos da esbeltez local. 

Os pilares mistos preenchidos por concreto têm como vantagem a utilização 

do próprio perfil de aço como fôrma. Pilares mistos parcialmente envolvidos podem 

receber o concreto antes da montagem enquanto o perfil está na posição horizontal. 

Concreta-se de um lado e após um ou dois dias o perfil é rodado e concretado o lado 

oposto, não necessitando utilização de fôrmas. 

Os pilares tubulares têm como vantagem sobre todos os outros tipos de seção 

o efeito do confinamento que acarreta aumento da resistência do concreto. 

A presença de superfície metálica é uma vantagem de execução, pois as 

ligações com as vigas ou outros elementos metálicos podem ser as mesmas 

utilizadas em estruturas de aço. 

Outra vantagem dos pilares mistos é arquitetônica. É possível, com uma 

mesma seção externa de um pilar misto, resultar em resistências diferentes. Isto se 

aplica aos edifícios de múltiplos andares, onde a carga vertical varia ao longo dos 

andares e pode facilitar a disposição arquitetônica dos pilares sem aumentar o custo 

da estrutura. 

No dimensionamento de pilares mistos é admitido que exista interação total 

entre os materiais aço-concreto, desde que as tensões cisalhantes longitudinais não 

ultrapassem certos valores. Claramente, as diferenças e não linearidades dos dois 

materiais devem ser observadas; porém uma análise minuciosa só seria possível com 

a utilização de métodos computacionais. A consideração de seção mista com 

interação completa é bastante aceitável para os métodos atuais de cálculos. 

5 RESULTADOS FINAIS 

Nesta fase do trabalho serão apresentados os elementos constituintes do 

edifício exemplo dimensionados nos capítulos anteriores. O esquema estrutural do 

edifício está novamente descrito na figura 10. Os pavimentos são compostos de lajes 

mistas apoiadas na direção do eixo y, compondo vigas mistas com perfis tipo “I” 

interconectados por meio de conectores tipo pino com cabeça. O sistema resistente 

às ações horizontais é composto de contraventamentos entre os eixos 1 e 2 e entre 

os 5 e 6, nos eixos A e D e pórticos, com ligações rígidas entre pilares e vigas, na 

direção y em todos os eixos, de 1 a 6. 

O dimensionamento dos elementos seguiu, basicamente, as recomendações 

da NBR 8800 (rev. 2006) e os resultados estão baseados nos procedimentos desta 

Norma. 


104 


1 2 3 4 5 6 

y 

A 

V2 V2 V2 V2 V2 

V1 V1 V1 V1 V1 

B 

C 

V3 V3 V3 V3 

V3 

V3 V3 V3 V3 

V3 

V1 V1 V1 V1 

V1 

5 x 4m = 20m 

D 

V4 

V5 

V5 

V5 

V5 

V2 V2 V2 V2 V2 

V4 

x 

5 x 9m = 45m 

PAVIMENTO TIPO 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

D 

C B A 

z 

z 

20 x 3,5M = 70m 

x 

ELEVAÇÕES 

y 

1m 

Figura 10 - Edifício exemplo. 

O pavimento tipo do edifício exemplo é composto basicamente dos seguintes 

elementos: 

a) Laje mista conforme figura 11: 

Ø6.3 c/15 

Ø6.3 c/15 Concreto 

f ck>3KN/cm 2 

115 

75mm 

65mm 

140mm 

155mm 

119mm 

155mm 

Steel deck MF-75 

e=1,25mm 

aço ZAR-280 

f y=28KN/cm 2 

Figura 11 - Seção transversal da laje mista do pavimento do edifício exemplo. 



A viga V3, biapoiada está descrita na figura 12: 

d=352 

bef=2250 

bf=171 

tw=6,9 

tf=9,8 h=332,4 tf=9,8 

Concreto 

f ck>3KN/cm 2 

274 

(típico) 

Perfil W 360x44 

ASTM A572 Gr 50 

Fy=34,5 KN/cm 2 

hf=75 tc=65 

Conectores Ø 25mm 

ASTM A108 Gr 1020 

f y=34,5KN/cm 2 

a) Seção transversal b) Vista longitudinal 

Figura 12 - Viga V3 do edifício exemplo. 

A viga V5, contínua, dimensionada também no capítulo 3, está descrita na 

figura 13: 

bef=750/1250 

As = 13Ø12,5 = 16,3cm 2 

Aço CA-50 / f y=50KN/cm 

Concreto 

f ck>3KN/cm 2 

200 

(típico) 

Conectores Ø 25mm 

ASTM A108 Gr 1020 

f y=34,5KN/cm 2 

Armadura 

119 

(típ.) 

d=612 

155 

(típ.) 

bf=229 

tw=11,9 

tf=19,6 h=572,8 tf=19,6 

Perfil W 600x125 

ASTM A572 Gr 50 

Fy=34,5 KN/cm 2 

115 

hf=75 tc=65 

a) Seção transversal b) Vista longitudinal 

Figura 13 - Viga V5 do edifício exemplo. 


106 


A seção do primeiro lance de um dos pilares principais do edifício, o pilar entre 

no encontro dos eixos 2 e B está descrita na figura 14: 

d=650 

bf=450 

tw=22,4 

tf=31,15 h=587,7 tf=31,15 

4Ø16mm 

Estribos Ø6.3 

a cada 190mm 

Figura 14 - Seção transveral do pilar eixo 3B do edifício exemplo. 

5.1 Considerações sobre os resultados obtidos no edifício exemplo 

As quantidades estimadas para a estrutura do edifício exemplo estão 

descritas na tabela 2. 

Tabela 2 - Quantidades estimadas da estrutura do edifício exemplo. 

ELEMENTOS 

Aço 

(t) 

Concreto 

(m³) 

Armadura 

(t) 

Vigas mistas 

Biapoiadas 220 __ __ 

Contínuas 280 __ __ 

Lajes mistas 300 1900 60 

Pilares mistos 380 230 15 

Contraventamentos 70 __ __ 

TOTAL 1250 2130 75 

A somatória do consumo de aço para vigas e pilares resultou nos dados 

apresentados a seguir: 



ELEMENTOS 

Aço 

(t) 

Concreto 

(m³) 

Armadura 

(t) 

VIGAS + PILARES 880 230 15 

Serão feitas três comparações separadamente: vigas biapoiadas, vigas 

cotínuas (parte do pórtico) e pilares mistos. A compação entre lajes tipo “steel-deck” e 

qualquer outro tipo de laje ultrapassaria uma análise apenas de consumo de material, 

uma vez que a laje mista possui vantagens como utilização como fôrma, plataforma 

de trabalho, acabamento infeior da laje, possibilidade de diminuição ou ausência de 

escoramento, além da sua função de armadura positiva. Por estes motivos, não será 

feita comparação entre tipos de lajes neste trabalho. 

A tabela 3 apresenta uma simulação de consumo de aço para uma estrutura 

de aço com aproximadamente as mesmas características do edifício exemplo. 

Tabela 3 - Estimativa de consumo de aço para uma estrutura similar à estrutura do edifício 

exemplo composta por elementos de aço isolados. 

ELEMENTOS DE AÇO 

Aço 

(t) 

Vigas 

Biapoiadas 400 

Contínuas 350 

Pilares * 470 

TOTAL (VIGAS + PILARES) 820 

* Sáles (1995): edifício com as mesmas características do edifício exemplo; modelo estrutural 

com treliças, consumo de aço das diagonais = 100t. 

Foi feita uma comparação com o edifício exemplo retirado de Sáles (1995) 

apenas para os pilares mistos, pois as vigas já haviam sido tratadas como mistas por 

Sáles (1995). As quantidades de aço para as vigas foi estimadas por cálculos durante 

o presente estudo. 

Com os dados das tabelas 2 e 3 é possível fazer uma breve comparação 

entre o consumo de aço para elementos mistos e elementos de aço isolado, o que 

está demonstrado na tabela 4. 


108 


Tabela 4 - Comparação entre consumo de aço para elementos mistos e elementos de aço 

isolados. 

Elementos 

Consumo de aço (t) 

Porcentagem 

Mistos Isolados de economia de aço 

Vigas 

Biapoiadas 220 400 45% 

Contínuas 280 350 20% 

Pilares 380 470 19% 

Total (vigas + pilares) 880 1220 28% 

A composição das vigas mistas, na maioria dos edifícios, necessita apenas do 

acréscimo dos conectores e armaduras para as regiões de momento negativo, sendo 

que a laje, mista ou não, já é um elemento presente. Como era esperado, para as 

vigas mistas biapoiadas a redução do consumo foi maior do que para as vigas 

contínuas. Isto se deve ao fato do concreto trabalhar essencialmente à compressão e 

o perfil de aço à tração como já foi demonstrado anteriormente. 

A redução de consumo de aço para os pilares mistos (19%) também é de 

grande importância ainda que tenhamos que acrescentar o custo do concreto e das 

armaduras. Há uma economia substancial na estrutura, comprovando que a 

composição entre aço e concreto para pilares também é bastante vantajosa. Deve ser 

considerado também que há um acréscimo no peso transmitido às fundações devido 

à inclusão do concreto (em média 20t por pilar). 

Neste item foi foi claramente demonstrado que os elementos mistos possuem 

vantagens econômicas (em média da ordem de 25%) em relação a elementos de aço 

isolados, mas existem outros aspectos que devem ser avaliados durante a tomada de 

decisão do partido estrutural que será adotado. 

5.2 Conclusões finais 

O objetivo de abordar aspectos dos estudos acadêmicos e práticos relativos 

ao dimensionamento dos elementos mistos aço-concreto foi alcançado. 

A combinação aço-concreto apresenta algumas vantagens em relação aos 

elementos isolados de aço e de concreto. Assim, em determinadas situações, podem 

ser a melhor solução. 

A definição do tipo de estrutura a ser utilizada numa edificação deve ser um 

processo minucioso que procure analisar todos os fatores da obra como ambientais, 

construtivos, arquitetônicos, relativos ao conforto e à utilização da edificação. 

O dimensionamento das vigas mistas biapoiadas já está bastante estudado e 

este tipo de elemento vem sendo largamente utilizado, pois combina dois elementos 

já presentes na maioria dos edifícios com vigas de aço. Os conectores de 

cisalhamento mais utilizados são os tipo pino com cabeça e o perfil U laminado, mas 

dependendo da localização da obra e disponibilidade de material, o conector pode ser 

adaptado desde que garantida a sua resistência e considerada a sua ductilidade. 

As vigas mistas contínuas devem ser dimensionadas considerando as 

situações de flambagem local da mesa e da alma, flambagem lateral com distorção, 



além da verificação do estado limite de fissuração do concreto lembrando que, em 

muitos casos, sua adoção não apresenta vantagens em termos de consumo de aço. 

Os pilares mistos também apresentam como principais vantagens a esbeltez 

em relação aos pilares de concreto, maior rigidez em relação aos pilares metálicos e 

proteção contra a corrosão e contra incêndio. Devem ser dimensionados 

considerando as curvas de flambagem dos pilares metálicos adaptadas aos pilares 

mistos. Os efeitos de segunda ordem têm papel importante no dimensionamento 

destes elementos. 

Os sistemas de contraventamento influenciam bastante o resultado final da 

estrutura, para o caso do edifício exemplo deste trabalho, foi considerado um sistema 

aporticado na direção em que os pilares possuem maior inércia e um sitema de 

contraventamento com ligações articuladas na outra direção. As vigas mistas 

dispostas na direção dos pórticos foram consideradas contínuas e todas as demais 

ligações nesta direção foram tratadas como aporticadas. Mais uma vez, a escolha do 

tipo de sistema resistente às ações horizontais deve considerar as condições 

específicas de cada edifício, bem como as condições locais. 

As lajes tipo “steel-deck” são os elementos mistos que apresentam a melhor 

relação custo-benefício e, cada vez mais, os fabricantes brasileiros disponibilizam 

para os projetistas e construtores informações técnicas e construtivas para a 

utilização destas lajes. Deve-se lembrar que situações específicas, como ações 

concentradas e aberturas na laje, precisam ser verificadas separadamente. 

Outro aspecto que necessita cuidados especiais numa edificação composta 

por elementos mistos são as ligações. Estas devem ser bem estudadas anteriormente 

ao dimensionamento e detalhamento da estrutura como um todo, pois podem onerar o 

custo final, bem como provocar trabalhos excessivos no canteiro de obras. No 

entanto, as ligações mistas não foram escopo deste trabalho. 

5.3 Sugestões para novas pesquisas 

Como sugestões para novas pesquisas com este mesmo enfoque temos: 

• Estudos experimentais e também desenvolvimento de modelos teóricos 

e analíticos de ligações mistas; 

• Estudos das tensões cisalhantes em lajes mistas e pilares mistos 

• Estudo mais aprofundado dos efeitos de segunda ordem em pilares 

mistos; 

• Estudos sobre vibrações em lajes tipo “ steel-deck” e estruturas mistas 

em geral. 


Agradecemos à Escola de Engenharia de São Carlos e à Universidade de 

São Paulo (USP). 


110 



AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (1994). AISC-LFRD – Load 

and resistance resistence design. Chicago 

AMERICAN SOCIETY OF CIVIL ENGINEERS – ASCE (1997). Effective Length and 

Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability: implications for 

American steel design. By the Task Comitee on Effective Length. New York. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1986). NBR 8800 – Projeto e 

execução de estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 – Projeto 

de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro. 

BRITISH STANDARD INSTITUTION (1979). BS 5400 – Steel, concrete and 

composite bridges. Parte 5: Code of practice for design of composite bridges. 

Londres. 

BRITISH STANDARD INSTITUTION (1990). BS 5950 – Structural use of steelwork 

in building. Parte 3: Section 3.1: Code of practice for design of simple and 

continuous composite beams. Londres. 

EUROCODE 4 (2004 draft of prEN 1994-1-1) – Design of Composite Steel and 

Concrete Structures. Parte 1-1: General rules for buildings. Bruxelas. 

FABRIZZI, M. A. (2007). Contribuição para o projeto e dimensionamento de 

edifícios de múltiplos andares com elementos estruturais mistos aço-concreto. 

São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – 



ISSN 1809-5860 

UM ALGORITMO ESTOCASTICO PARA DETECÇÃO 

DE DANO 

Oscar Javier Begambre Carrillo 1 & José Elias Laier 2 

Resumo 

Neste estudo, um novo algoritmo híbrido para avaliação da integridade estrutural a 

partir de respostas dinâmicas é apresentado. A formulação da função objetivo para o 

problema de minimização definido emprega Funções de Resposta em Freqüência e/ou 

dados modais do sistema. Uma nova estratégia para o controle dos parâmetros do 

algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO), baseada no uso do método de Nelder – 

Mead é desenvolvida; conseqüentemente, a convergência do PSO fica independente dos 

parâmetros heurísticos e sua estabilidade e precisão são melhoradas. O método híbrido 

proposto teve melhor desempenho, nas diversas funções teste analisadas, quando 

comparado com os algoritmos Simulated Annealing, Algoritmos Genéticos e o PSO. 

São apresentados diversos problemas de detecção de dano, levando em conta os efeitos 

do ruído e da falta de dados experimentais. Em todos os casos, a posição e extensão do 

dano foram determinadas com sucesso. Finalmente, usando o PSOS, os parâmetros de 

um oscilador não linear (oscilador de Duffing) foram identificados. 

Palavras-chave: Particle Swarm Optimization; identificação de dano; problemas 

inversos; vigas fissuradas; oscilador não linear. 


A Neste trabalho, o problema inverso DD baseado em modelos é definido 

como um problema de programação não linear, no qual se estabelece uma Função 

Objetivo (fobj) para comparar dados experimentais do sistema com dados simulados 

do modelo (ver Equações 40 a 45), e, mediante sua minimização / maximização, são 

calculados os parâmetros que identificam o dano. 

Dentre as técnicas heurísticas desenvolvidas recentemente, e abordadas 

neste capítulo, o algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) proposto por Kennedy e 

Eberhart (1995), o algoritmo Simulated Annealing em suas varias versões (por 

exemplo, a versão de Kirkpatrick, Gelatti e Vecchi 1983, a de Corana et. al., 1987 ou a 

de Koh e Liaw ,2003) se apresentam, junto com os AGs, como opções promissoras 

para atacar o problema de detecção de dano. Esta asseveração é fundamentada em 

diversos fatores, entre os quais pode-se mencionar: 

-sua facilidade de programação e de formulação; 

-sua capacidade de fazer uso eficiente de um grande número de processadores; 

-não requerem continuidade na definição do problema de otimização e não depende 

da estimativa de um ponto inicial para garantir a convergência (para o problema DD, 

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ojbegam@uis.edu.co 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jelaier@sc.usp.br 


112 

Oscar Javier Begambre Carrillo & José Elias Laier 

uma estimativa a priori para começar a busca é quase impossível, devido a grande 

quantidade de opções); 

-estão adaptados para procurar soluções globais o quase globais. 

Adicionalmente, como mostrado por Schutte e Groenwold (2005), o algoritmo 

PSO ultrapassa o desempenho do AGs em vários problemas difíceis de programação 

não linear, notadamente, em problemas de otimização sem restrições. 

Por outro lado, é um fato conhecido que os algoritmos heurísticos precisam de 

um maior número de avaliações da função objetivo, para encontrar uma solução ótima, 

quando comparados com as técnicas baseadas em gradientes e/ou derivadas de 

segunda ordem. Porém, a principal desvantagem das técnicas clássicas de 

programação não linear, quando aplicadas ao problema DD, é que elas são 

suscetíveis de convergir para ótimos locais e, portanto, não podem ser empregadas 

com sucesso em problemas não lineares com múltiplos pontos ótimos, como os 

estudados neste trabalho. Além desta limitação, os algoritmos clássicos são altamente 

sensíveis à presença de ruído nos dados experimentais (HEMEZ et. al.,1995). Isto se 

deve ao fato de que os gradientes usados dependem explicitamente dos vetores 

modais medidos e/ou da sua expansão (quando utilizados dados modais), desta 

forma, qualquer erro de medição ou de modelagem irá corromper a qualidade dos 

gradientes. De maneira geral, a mesma conclusão pode ser feita para qualquer 

método baseado em sensibilidades (gradientes). 

Recentemente, diversas estratégias para evitar a convergência prematura e 

melhorar a capacidade de busca dos métodos heurísticos básicos vêm sendo 

propostas. Por exemplo, Koh e Liaw (2003), apresentam uma das primeiras tentativas 

para melhorar o desempenho numérico de um sistema de identificação estrutural 

baseado em Algoritmos Genéticos (AGs) mediante a combinação do AG com um 

método de busca local. Outra possibilidade estudada por Hwang e He (2006), para 

solucionar problemas de otimização estrutural e problemas de identificação de 

sistemas, é a combinação de operadores do Simualted Annealing (SA) com os AGs 

com o intuito de melhorar a convergência do AG. O método se baseia em um 

algoritmo genético de parâmetros reais com um operador de crossover novo e 

incorpora as vantagens que o SA possui (capacidade de fugir de pontos locais) 

melhorando desta forma o desempenho global do método. 

Finalmente, o problema DD apresenta três características que tornam 

interessante o uso de algoritmos heurísticos para sua solução. A primeira, é que se 

trata de um problema que deve ser solucionado em presença de ruído. A segunda, é 

que a detecção de dano baseada em modelos é um problema fortemente não linear, 

onde podem existir múltiplos pontos ótimos e pode ser de natureza descontínua 

(SINHA; FRISWELL; EDWARDS, 2002; BLAND; KAPANIA, 2004). Por último, a 

estratégia baseada em heurísticas não precisa um conjunto completo de medidas, por 

exemplo, medidas em todos os graus de liberdade. As anteriores razões dificultam 

muito o uso de técnicas clássicas de otimização para resolver o problema DD. A tabela 

1 mostra uma comparação entre métodos tradicionais e algoritmos heurísticos para 

solução de problemas de detecção de dano. 


Um algoritmo estocastico para detecção de dano 

113 

Tabela 1 - Comparação entre algoritmos clássicos e algoritmos heurísticos. 

Heurísticos 

Soluções globais 

Não requerem cálculo de derivadas 

Não dependem de ponto inicial 

Sem restrições: continuidade, convexidade 

Pouca sensibilidade a ruídos 

Maior número de avaliações da função 

objetivo 

Operações lógicas básicas 

Uso de regras heurísticas 

Sem versões comerciais; literatura 

fragmentada. 

Clássicos 

Soluções locais 

Cálculo de derivadas necessário 

Dependem de ponto inicial 

Restrições: Continuidade, convexidade 

Sensíveis a ruídos 

Menor número de avaliações da função 

objetivo 

Programação dependente do problema 

Embasamento matemático 

Com versões comerciais; livros publicados. 

2 ALGORITMOS HEURISTICOS 

Simulated Annealing (SA) 

O algoritmo SA se baseia na analogia entre o processo de resfriamento lento 

de sólidos e a solução de problemas de otimização de grande porte, com variáveis 

contínuas e discretas. Foi proposto por Kirkpatrick, Gelatti e Vecchi em 1983. O SA 

tem sido empregado no campo da física e da cristalografia, para ajustar modelos 

atômicos de proteínas usando dados experimentais e informações químicas 

(BRUNGER, 1991). Uma das primeiras aplicações do SA, para o posicionamento 

ótimo de sensores e atuadores em estruturas espaciais, foi feita por Salama et al. 

(1990), e sua aplicação é relativamente recente na disciplina de otimização estrutural, 

onde os objetivos principais são obter estruturas com formas, pesos, resistências 

ótimas e/ou controlar parâmetros de vibração de diversos sistemas (GENOVESE; 

LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2005; KINCAID, 1992). 

No trabalho apresentado por Bennage e Dhingra (1995), é mostrada a 

robustez do SA mediante sua aplicação em problemas de otimização multi-objetivo 

para o projeto de treliças com variáveis contínuas e discretas. Embora nas áreas 

anteriores o algoritmo SA tenha sido usado com freqüência, poucos trabalhos têm 

sido publicados aplicando esta metodologia na área de dinâmica de estruturas, nos 

campos de ajuste de modelos e detecção de dano (ZIAEI-RAD, 2005; BEGAMBRE; 

LAIER, 2006; ZHOU; KIM; YANG, 2005; BEGAMBRE; LAIER, 2005). Uma 

contribuição deste trabalho é testar o algoritmo Simulated Annealing em problemas de 

detecção de dano. Para este fim, a variante do SA apresentada por Corana et. al. 

(1987), é avaliada em diversas funções teste e em casos de detecção de dano 

simulados. 

O processo de annealing (recozimento) consiste em aquecer uma substancia 

até que ela derrete e, seguidamente, reduzir de forma lenta sua temperatura. 

Mediante este procedimento, se permite à substancia atingir o equilíbrio térmico em 

cada temperatura. Eventualmente, a temperatura decresce até que o material 

congela. Se a temperatura é diminuída de forma suficientemente lenta o processo de 

annealing sempre atinge o estado de mínima energia a partir de um número quase 

infinito de estados iniciais possíveis. O annealing é um processo natural de otimização 

e sua simulação na área de matemática aplicada é conhecida como Simulated 

Annealing. 

O SA é, basicamente, um procedimento de busca aleatória de pontos ótimos 

globais, que permite movimentos para fugir de pontos ótimos locais. Estes 


114 


movimentos de fuga são controlados através do conhecido critério de Metropolis 

(METROPOLIS et. al., 1953). As vantagens que tornam atraente o SA para a solução 

de problemas inversos são sua não dependência do cálculo de gradiente da função 

objetivo e sua capacidade de fugir de pontos ótimos locais. O procedimento geral, 

para otimizar uma função empregando o SA, envolve a definição de uma função 

objetivo, a proposta de um mecanismo para gerar variações na configuração atual, o 

estabelecimento de um programa de esfriamento e, finalmente, a fixação de um 

critério de parada. Estes passos fundamentais são descritos em detalhe nas seguintes 

seções. 

Função objetivo 

A expressão para a função objetivo utilizada para detecção de dano mediante 

o SA pode ser uma das dadas pelas Equações (40) a (45). O problema agora, pode 

A 

ser formulado da seguinte maneira: achar 

ot que satisfaça a Equação (46): 

f 

obj 

( A 

ot 

{ F( 

A) 

A∈ 

R 

n } 

) = min / 

onde, o estado do sistema é definido pelo vetor de configuração atual A 

(parâmetros de dano). 

(1) 

Estruturas de vizinhança 

Para definir um mecanismo gerador de variações aleatórias para a 

configuração atual é necessário estabelecer uma estrutura de vizinhança. Este 

mecanismo é uma forma de perturbar A para obter novas configurações A . Entre os 

tipos de vizinhança sugeridos na literatura se podem mencionar o ajuste unidirecional 

aleatório (CORANA et. al., 1987), o ajuste de raio fixo, o ajuste normal e o ajuste de 

Cauchy. Os três últimos precisam da definição de um parâmetro extra para determinar 

o ponto vizinho (o raio, no caso do ajuste de raio fixo e as variâncias, para o ajuste 

normal e de Cauchy). Por este motivo, o mecanismo de transição de ajuste 

unidirecional aleatório foi empregado neste trabalho. Esta estrutura de vizinhança 

funciona como descrito a seguir. 

A 

A avaliação da função fobj é feita no ponto inicial 

k e seu valor fobj ( 

A 

k ) é 

A 

guardado. Um novo ponto 

j é determinado mediante uma variação aleatória 

α 

introduzida no elemento 

i do vetor Ak: 

α = α + λ ⋅η 

i 

i 

i 

na Equação (47), λ é um número aleatório no intervalo (-1,1), 

ηi 

representa um 

elemento do vetor η , que é o comprimento do passo para o vetor 

Ak 

e 

α 

i , 

αi 

(2) 

são 

elementos de 

Ak 

e 

A 

j , respectivamente. Seguidamente, o valor da função fobj ( 

A 

j ) 

é calculado. Se fobj ( 

A 

j ) < fobj ( 

A 

k ), 

o algoritmo “desce” (se aproxima do mínimo). Se fobj ( 

A 

de 

j ser aceito vem dada pelo critério de Metropolis: 

Aj 

é aceite e 

Ak 

é substituído por 

A 

j ) > fobj ( 

A 

j , portanto, 

A 

k ), a probabilidade 

P 

r 

⎟ 

[ ] ⎞ 

⎜ ⎛ Δfobj 

− 

⎝ T ⎠ 

A = e 

j 

(3) 



115 

( ) ( ) 

Δ fobj = fobj Ak − fobj Aj 

na Equação (48), 

e T é o parâmetro de “temperatura”, 

que é o análogo da temperatura no processo físico de annealing (recozimento). Na 

prática, o valor Pr é comparado com P, que é um número randômico no intervalo 

A A 

(0,1). Se Pr > P, o novo ponto é aceito e 

k é substituído por 

j e o algoritmo “Sobe” 

Aj 

(se afasta do mínimo), caso contrário, é rejeitado. O algoritmo SA começa numa 

Aj 

temperatura “alta” To e uma seqüência de pontos é gerada até atingir o equilíbrio, 

A 

j 

f 

isto é, se obtém uma seqüência de pontos , cujo valor médio de 

obj 

atinge um 

valor estável à medida que j aumenta. O melhor ponto alcançado (mínimo nesta 

temperatura) é guardado como Aot. 

Programa de esfriamento 

Neste estágio do processo, o parâmetro de controle T é diminuído de acordo 

com uma regra de decremento, conhecida como programa de esfriamento, que 

obedece à relação: 

T 

j+ = θ ⋅T j 

1 

(3) 

onde, θ é uma constante real cujo valor está no intervalo (0,1). Com o valor de T 

reduzido segundo a Equação (49), uma nova seqüência de pontos é gerada a partir 

de Aot , até que o novo equilíbrio seja atingido e o processo continua até o critério de 

parada ser satisfeito. É importante ressaltar que, para finalizar o programa de 

esfriamento, o algoritmo precisa ter realizado um número predeterminado de iterações 

na mesma temperatura. Corana et. al. (1987) recomendam escolher o valor máximo 

entre 100 e 5N, onde N é o número de variáveis do problema estudado. 

O valor de temperatura inicial depende da função que vai ser otimizada e da 

definição da vizinhança empregada no algoritmo. Um critério usado para definir este 

parâmetro é a taxa de aceitação, definida como o número inicial de avaliações da 

função objetivo aceitas (movimento de descida / subida) sobre o número total de 

avaliações realizadas (número total de movimentos). Na prática, um valor de 

temperatura inicial deve ser tal que o valor da taxa de aceitação fique entre 0.5 e 0.9. 

Se o valor da taxa for maior que 0.9, uma percentagem significativa de avaliações é 

gasta num estado “derretido”, desperdiçando esforço computacional numa procura 

equivalente a uma busca aleatória. Se a taxa de aceitação for menor que 0.5, a 

probabilidade do algoritmo ficar preso num ótimo local aumenta. 

Critério de Parada 

O algoritmo termina para um valor de T pequeno, para o qual, nenhuma 

melhora no valor de fobj, possa ser esperada. Na prática, o critério de parada pode 

ser definido mediante um valor de tolerância da seguinte forma: se a diferença entre 

valores finais da função objetivo das p últimas temperaturas e o valor atual da função 

for menor que o valor da tolerância, o algoritmo termina. A Figura 1 apresenta o 

fluxograma básico do SA. 


116 


Figura 1 - Diagrama de fluxo SA básico. 

Da anterior exposição, fica claro que, grandes diferenças no valor da função 

e/ou baixas temperaturas diminuem a probabilidade de um movimento de “subida” do 

algoritmo. Por outro lado, a variação do passo η é feita segundo o proposto em 

Corana et. al. (1987), de tal forma que, a relação entre o número de movimentos de 

subida/descida aceitos e o total de movimentos realizados, permaneça próxima de 

0.5, e, de esta maneira, manter um bom seguimento do valor da função estudada. 

Finalmente, a estratégia de realizar uma busca unidirecional aleatória tem melhores 

chances de manter a direção favorável de busca nas iterações seguintes e de se 

aproximar do ponto ótimo de forma sistemática. A perturbação simultânea, além de 

não manter a direção favorável de busca, também não fornece informação sobre o 

efeito de cada variável na violação de restrições em problema com restrições. 

Algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) 

O algoritmo PSO foi proposto por Kennedy e Eberhart em 1995 e está 

baseado na simulação de um modelo de interação social simplificado. Sabe-se que 

compartilhar informação no ambiente social oferece aos membros do grupo uma 

vantagem evolutiva. Esta observação é fundamental para o desenvolvimento do PSO. 

O PSO é membro da ampla categoria de métodos conhecidos como Swarm 

Intelligence, utilizados para resolver problemas de programação não linear. Desde sua 

introdução, muitas aplicações em otimização estrutural e multidisciplinar tem sido 

publicadas. Uma revisão das aplicações do PSO, para solucionar problemas de 

otimização na área de sistemas elétricos, é apresentada em Alrashidi e El-Hawary 

(2006). Outras aplicações para o projeto térmico ótimo de prédios podem ser 

encontradas em Wetter e Wright (2004). Aplicações adicionais para otimização 

estrutural (forma e peso) são apresentadas em Venter e Sobieszczanski-Sobieski 

(2003), Schutte e Groenwold (2003) e Fourie e Groenwold (2002). 

Por outro lado, nenhum estudo sobre aplicações e modificações do PSO para 

detecção de dano tem sido reportado. Desta forma, esta pesquisa representa a 

primeira tentativa de avaliar o desempenho numérico do algoritmo, assim como, de 



117 

melhorar seu comportamento, em problemas de identificação de dano, mediante a 

estratégia híbrida desenvolvida. 

No PSO existem vários parâmetros explícitos cujos valores afetam a maneira 

na qual o algoritmo faz a busca no espaço do problema (KENNEDY, 1997; 

ALRASHIDI; EL-HAWARY, 2006; VENTER; SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI, 2003; 

SCHUTTE; GROENWOLD, 2003; FOURIE; GROENWOLD, 2002). Estes parâmetros 

heurísticos controlam as propriedades de convergência do PSO, portanto, mediante a 

correta seleção destas constantes, o desempenho do algoritmo pode ser melhorado, 

como explicado nas seguintes seções. 

Mecanismo e parâmetros básicos do PSO 

Neste trabalho, é implementada a versão global assíncrona do PSO com 

redução de inércia linear (SCHUTTE; GROENWOLD, 2003). O algoritmo básico parte 

da hipótese de que cada partícula (solução candidata) da população (swarm ou 

conjunto de N partículas) voa sobre o espaço de busca, procurando por regiões 

promissoras da paisagem (por exemplo, em um problema de maximização), regiões 

que possuam valores da função objetivo maiores que outros, descobertos 

previamente. Neste contexto, a posição de cada partícula é ajustada, utilizando a 

informação social compartilhada pelos membros do enxame (swarm), e cada partícula 

tenta mudar sua posição a um ponto onde, ela e o enxame, tinham um valor maior da 

função objetivo em iterações previas. 

As partículas são manipuladas de acordo com as seguintes equações vetoriais 

(SHI; EBERHART, 1998): 

i i i 

pk 

+ 1 

= pk 

+ vk 

+ 1 

(5) 

i 

i 

i i 

g i 

vk 

+ 1 

= ωvk 

+ C1rand1( bk 

− pk 

) + C2rand 

2 

( bk 

− pk 

) 

(6) 

onde, k indica um incremento pseudo-temporal unitário, 

i 

pk 

representa a posição 

i 

p 1 

de cada partícula i (soluções candidatas) no tempo (iteração) k, 

k + é a posição da 

i 

b 

particular i no tempo k+1, 

k representa a melhor posição alcançada pela particular i 

g 

b 

no tempo k (melhor posição individual), 

k é a melhor posição no enxame no tempo k 

(melhor posição atingida pela partícula usada para guiar as outras partículas no 

i 

i 

v 

enxame), 

k é a velocidade da partícula i no tempo k e 

vk 

+ 1 

é a velocidade ajustada 

da partícula i no tempo k+1. Todos os vetores nas Equações (5) e (5), são de 

dimensão mx1, onde m é o número de parâmetros otimizados, rand1 e rand2 são 

números aleatórios independentes (com probabilidade uniforme) entre 0 e 1. Os 

parâmetros C1 e C2 controlam o fluxo de informação entre o enxame atual. Se C2 > 

C1, então a partícula põe mais confiança no enxame, de outra forma, a partícula põe 

mais confiança nela mesma. Devido a que cada partícula possui uma velocidade, o 

comportamento do PSO é direcional, isto é, a partícula é acelerada estocasticamente 

na direção da melhor posição global da população e também é acelerada 

estocasticamente na direção de sua anterior melhor posição. C1 e C2 são conhecidos 

como os parâmetros cognitivo e social, respectivamente. ω é o fator de inércia (ou 

fator de amortecimento) que controla o impacto da velocidade previa da partícula 

sobre sua velocidade atual (SHI; EBERHART, 1998). O fator de inércia no PSO 

lembra o parâmetro de temperatura T no algoritmo Simulated Annealing. Um fator de 

inércia alto facilita uma exploração global do espaço de busca, enquanto que um valor 

pequeno deste parâmetro possibilita uma busca local (ajuste fino), portanto, a 

apropriada seleção do fator de amortecimento fornece um balance entre a capacidade 

de busca local e de busca global do algoritmo e permitirá um número menor de 


118 


iterações (em media) para identificar o ponto ótimo global. A Equação (6) possibilita 

transições aleatórias nas posições das partículas, permitindo que o algoritmo escape 

dos pontos ótimos locais. 

O algoritmo PSO funciona mediante a modificação da distância que cada 

partícula percorre em cada direção (Equação (50)). Para controlar o passo do 

i 

algoritmo ( vk 

+ 1 

) e para prevenir o fenômeno de explosão (TAYAL, 2003), um valor de 

velocidade máxima Vmax = (pUB-pLB0) / H (com H = 5) foi empregado nesta 

pesquisa. Vale a pena salientar que todas as posições das partículas 

limitadas por seus valores máximo (pUP) e mínimo (pLB) permitidos. 

p 

i 

k 

devem ser 

A literatura propõe usar 0 < ω < 1.4, C1 = C2 = 2 com C1 + C2 ≤ 4 e 5 < H < 

10 para manter um equilíbrio entre a capacidade de busca global e local do algoritmo 

(PARSOPOULOS; VRAHATIS, 2002; KENNEDY; EBERHART, 1995; KENNEDY, 

1997; ALRASHIDI; EL-HAWARY, 2006; TAYAL, 2003). Como sabido, os três 

parâmetros ω, C1 e C2, são dependentes do problema estudado (VENTER; 

SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI, 2003; SCHUTTE; GROENWOLD, 2003). Devido a 

este fato, inclusive usuários experientes do PSO devem realizar testes exaustivos 

para encontrar o melhor conjunto de parâmetros para o PSO e usuários menos 

experientes podem fornecer valores inadequados causando a falha do algoritmo. 

Topologias de vizinhança 

No PSO, as partículas são influenciadas pelo sucesso de qualquer outra 

partícula com a qual elas estão conectadas. Essa vizinhança, não é constituída 

necessariamente por partículas que estão próximas umas das outras (em termos do 

valor das variáveis), mas de partículas que estão próximas em função da topologia de 

vizinhança que define a estrutura social do enxame. Neste sentido, a vizinhança 

determina o conjunto de partículas que contribuem para o cálculo do de uma 

partícula dada. 

g 

b 

Dependendo da vizinhança utilizada, o PSO pode ter duas versões. Se 

k , na 

Equação (51), for a melhor partícula do enxame (a melhor posição de toda a 

população), tem-se a versão global do PSO, ilustrada na Figura 5 e chamada de 

topologia totalmente conectada. Por outro lado, a versão local se obtém substituindo 

g 

b k 

pela melhor posição dentro de um número de partículas p (p< N, onde N e o 

i 

p 

número total de partículas da população) vizinhas da partícula 

k . Existem varias 

opções para definir uma vizinhança local, as mais usadas são descritas a seguir. 

Vizinhança Local: Nesta topologia, cada partícula é afetada pela melhor partícula 

de suas p vizinhas imediatas. Geralmente, o valor p = 2 é usado, dando origem à 

g 

b 

topologia conhecida como anel, mostrada na Figura 5. Neste caso, 

k = melhor 

vizinha imediata, na Equação (6). 

Vizinhança Focal: uma partícula esta conectada com todas as outras e elas estão 

conectadas unicamente com a primeira (chamada de partícula focal) como ilustrado 

g 

b 

na Figura 5. Neste caso, 

k = partícula foco, na equação (6). 

g 

b k 



119 

Figura 2 - Topologias de vizinhança no PSO. a) totalmente conectada. b) local e c) focal. 

A topologia de vizinhança tem influencia na taxa de convergência do PSO, já 

que, determina quanto tempo empregaram as partículas para localizar a melhor 

posição no espaço de busca. Por exemplo, na versão global, todas as partículas estão 

conectadas e recebem informação sobre a melhor solução ao mesmo tempo. Desta 

forma, usando esta estrutura de vizinhança global, o enxame tende a convergir com 

maior rapidez que quando são usadas topologias locais o de estrela, devido a que, no 

último caso, a informação sobre a melhor posição demora mais em ser transmitida. 

Porém, pela mesma razão, a versão global é mais suscetível de convergir de forma 

prematura para um mínimo local. 

Critérios de parada 

Um critério de parada robusto é importante para qualquer algoritmo de 

otimização para evitar avaliações de função objetivo adicionais depois que uma 

solução ótima foi encontrada. Idealmente, o critério e parada empregado nenhum 

parâmetro relacionado com o problema. O critério de convergência considerado neste 

trabalho é básico. A máxima variação na função objetivo foi monitorada para um 

número específico de iterações consecutivas. Se a variação máxima da função 

objetivo foi menor que uma variação predefinida, se assume a convergência do 

algoritmo. 

Pseudo código do PSO e indicado na Figura 3. 


120 


Figura 3 - PSO. 

O algoritmo PSOS 

A nova estratégia que se propõe neste trabalho, para controlar a seleção 

adequada das constantes heurísticas que governam o comportamento do PSO, se 

baseia no uso do método Simplex (NELDER; MEAD, 1965). Apesar das conhecidas 

falhas e ineficiências do algoritmo Simplex (LAGARIAS et. al., 1998) ele é usado aqui 

para escolher os parâmetros heurísticos do PSO e, desta forma, fazer com que o PSO 

se torne independente desses valores, como explicado a seguir. 

Heurística do PSOS 

A idéia central do método é que o algoritmo Simplex selecione os valores dos 

parâmetros N, w, C1 e C2 contidos no espaço de parâmetros (ver Figura 5) e, assim, 

procure uma configuração ótima ou quase ótima para o PSO. 

Dentro desta heurística, cada vértice do Simplex fica definido pelas 

coordenadas (N, w, C1, C2). Nesta situação, o PSO toma os valores dos parâmetros 

heurísticos determinados pelo Simplex e avalia a função objetivo do problema (ver 

Figura 9). Consequentemente, cada ponto do Simplex, e qualquer reflexão, contração, 

expansão e redução (ver seção 5.2), é avaliada com um enxame independente, 

caracterizado pelo vetor Xi (Ni, wi, C1i, C2i) i=1,…, n+1, onde, n é o número de 

parâmetros do PSO e Ni é um número inteiro, que representa o tamanho do enxame. 

A variável Ni (tamanho do enxame) foi incluída com a finalidade de estimar seu valor 

ótimo. Este procedimento melhora a capacidade de busca do algoritmo híbrido e o 

torna independente dos parâmetros heurísticos, devido a que realiza uma busca, 

dirigida por parâmetros quase ótimos, de forma automática. 



121 

a) 

Figura 4 - Heurística do PSOS. a) Funcionamento global. b) Iteração inicial (Simplex em duas 

dimensões) e c) Iteração final após uma reflexão. 

3 RESULTADOS NUMERICOS – PROBLEMA DE KABE 

Este é um dos testes mais populares para métodos de ajuste de modelos e 

detecção de dano. A estrutura é mostrada na Figura 2. Kabe (1985), utiliza dados 

modais e o método dos multiplicadores de Lagrange para incorporar as restrições de 

simetria e de força definidas dentro do procedimento e realizar o ajuste. Este problema 

é classificado como de difícil solução devido à grande diferença relativa entre as 

magnitudes dos coeficientes de rigidez e à alta densidade modal do sistema, com 

diferença máxima de 26,8% entre a primeira e a oitava freqüência natural e de 5,2% 

entre a primeira e a quarta freqüência. 


122 


K 1 

K K 3 K 1 

K 5 6 

m 1 m 2 m 4 m 6 m 8 

K 2 K 4 K 2 K m 3 m 5 m 5 

7 

K 1 

K 3 K 1 

Figura 5 - Problema de Kabe. 

Neste exemplo, foram escolhidas como variáveis para o problema de otimização 

os seis coeficientes de rigidez Ki. Os valores exatos dos coeficientes Ki e mi são 

dados na Tabela 65. A função objetivo utilizada é a dada pela Equação (1). 

Tabela 1 - Coeficiente de rigidez e massa. 

K1 K2 K3 K4 K5 K6 

1000 10 900 100 1.5 2.0 

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 

0.001 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.002 

Na tabela 2 estão indicados os valores médios do tempo de processamento 

empregado para solucionar o exemplo (em segundos) (tm), assim como também: o 

valor médio do número de avaliações totais da função objetivo (NAm), o valor médio 

do número da avaliações da função objetivo aceitas (NAAm), o valor médio da função 

objetivo (fobjm), o desvio padrão dos valores da função objetivo (σ), e a confiabilidade 

(C),que expressa o número de vezes, do total de 10, que o algoritmo convergiu 

utilizando menos de 20000 avaliações da função objetivo. Também se apresentam, na 

Tabela 7, os melhores resultados obtidos para o exemplo. O valor t corresponde ao 

tempo de cálculo (em segundos) da melhor rodada, fobj é o valor da função objetivo, 

NA é o número total de chamadas da função objetivo e NAA é o número de avaliações 

da função objetivo aceitas (descidas). 

Adicionalmente a Tabela 2 mostra os resultados do ajuste, quando empregados 

dados experimentais simulados, gerados segundo a metodologia descrita por Kabe 

(1985) (colunas 1 e 2). As colunas 1 e 2 da Tabela 7 foram calculadas começando a 

busca desde um ponto inicial diferente (aleatório), e, em todos os 10 testes realizados, 

o algoritmo convergiu com menos de 20000 avaliações da função objetivo. 

Comparando os valores dos elementos da matriz de rigidez exata (coluna 5 da Tabela 

7) com os valores ajustados utilizando um e dois modos (colunas 1 e 2 da Tabela 6) 

nota-se que, o SA teve um bom desempenho. Quando comparado com o método de 

Kabe, pode observar-se que, o SA conseguiu melhores aproximações para 12 dos 16 



123 

elementos da matriz [K]. Um teste realizado (não apresentado), empregando-se os 

três primeiros modos analíticos normalizados com relação à massa (sem ruído), 

reproduziu os valores exatos dos elementos da matriz de rigidez. 

O melhor desempenho do SA pode ser explicado pelo fato de a solução de Kabe 

utilizar, para o cálculo dos multiplicadores de Lagrange (Equação b, Figura 13), a 

informação modal contaminada com ruído, e, por sua vez empregar estes 

multiplicadores para determinar a matriz de rigidez ajustada [Y] (Equação a, Figura 

13). As referidas operações matriciais envolvem somas e multiplicações da matriz de 

formas modais e de freqüências naturais medidas, propagando-se assim os erros de 

medição para a solução como mostrado na Figura 13. A abordagem direta mediante o 

SA, e de forma geral, mediante métodos heurísticos, evita os passos intermediários e 

impede a propagação do erro devido ao uso de funções objetivo do tipo construídas a 

partir das Equações c, d e e da Figura 13. 

Figura 4 - Comparação entre as equações da solução de Kabe e a solução heurística. 

Os valores de temperatura inicial (T0), de redução de temperatura (θ ) e de 

tolerância (ξ), utilizados no algoritmo SA para realizar o exemplo apresentado (Tabela 

2) foram de 50, 0,5 e 1E-6, respectivamente. Um valor muito alto de T0 pode aumentar 

o tempo de computação sem adicionar precisão aos cálculos. 


124 


Tabela 2 - Resultados do ajuste. Problema de Kabe (1985). 

Elem. 

Matriz 

[K] 

Este trabalho Kabe (1985) 

Valor 

Exato 

[1] [2] [3] [4] [5] 

1 modo 2 modos 1 modo 2 modos 

(1,1) 2,45 1,53 1,70 1,50 1,50 

(1,2) -2,45 -1,53 -2,10 -1,40 -1,50 

(2,2) 1013,52 1012,81 1030,40 1010,90 1011,50 

(2,3) -10,00 -10,45 -10,10 -8,00 -10,00 

(3,3) 1111,07 1111,27 1276,60 1091,00 1110,00 

(3,5) -100,00 -100,00 -198,60 -88,80 -100,00 

(4,4) 1100,98 1101,06 1235,20 1098,10 1110,00 

(4,5) -100,00 -100,00 -178,60 -99,60 -100,00 

(4,6) -100,00 -100,00 -198,50 -99,60 -100,00 

(5,5) 1100,98 1101,06 1239,30 1094,00 1100,00 

(6,6) 1113,07 1114,25 1279,80 1113,50 1112,00 

(6,7) -10,00 -10,45 -10,00 -11,90 -10,00 

(6,8) -2,00 -2,98 -4,10 -3,10 -2,00 

(7,7) 1013,52 1012,81 1002,10 1013,60 1011,50 

(7,8) -2,45 -1,53 -2,00 -2,40 -1,50 

(8,8) 4,45 4,52 5,10 4,40 3,50 

NA 19201 19201 ___ ___ ___ 

NAA 9012 8942 ___ ___ ___ 

t 0,391 0,391 ___ ___ ___ 

fobj 2,17 4,60 ___ ___ ___ 

C 100% 100% ___ ___ ___ 

tm 0,38 0,37 ___ ___ ___ 

fobjm 2,17 4,60 ___ ___ ___ 

σ 2,55E-08 9,89E-09 ___ ___ ___ 

NAm 19021,00 18721,00 ___ ___ ___ 

NAAm 8960,50 8730,80 ___ ___ ___ 

Para a melhor rodada: t corresponde ao tempo de cálculo (em segundos), fobj é o valor da 

função objetivo. NA é o número total de chamadas da função objetivo e NAA é o número de 

avaliações da função objetivo aceitas (descidas). Para as 10 rodadas, tm é o tempo de 

processamento empregado para solucionar cada exemplo (em segundos). NAm é o valor 

médio do número de avaliações totais da função objetivo. NAAm é o valor médio do número da 

avaliações da função objetivo aceitas. fobjm é o valor médio da função objetivo. σ o desvio 

padrão dos valores da função objetivo. C é a confiabilidade que expressa o número de vezes, 

do total de 10, que o algoritmo convergiu utilizando menos de 20000 avaliações da função 

objetivo. 

4 CONCLUSÕES 

O algoritmo PSOS foi introduzido neste trabalho. A abordagem se baseia na 

combinação do PSO básico com o algoritmo Simplex não linear. As principais 

vantagens deste enfoque são sua alta precisão e estabilidade e sua independência de 



125 

uma estimativa inicial dos parâmetros heurísticos e de um ponto para iniciar a busca. 

O algoritmo PSOS foi capaz de determinar o ótimo global de todas as funções teste 

com alta precisão, estabilidade e confiança, utilizando um número menor de 

avaliações da função, quando comparado com o Simulated Annealing. 


Agradecemos ao CNPQ pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ter sido realizada. 


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ISSN 1809-5860 

ESTUDO DA LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES 

ASSOCIADA AO EMPREGO DE MODELO 

CONSTITUTIVO DE DANO 

Larissa Driemeier 1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2 

Resumo 

O plano de trabalho proposto insere-se no âmbito da linha de pesquisas em Mecânica 

de Materiais com aplicação da Mecânica do dano Contínuo, dando-se ênfase para a 

questão de localização de deformações decorrente do emprego de modelos constitutivos 

com encruamento negativo (softening). Em particular, a motivação é oferecer uma 

contribuição ao estudo de uma das técnicas de regularização da resposta numérica, 

que objetivam eliminar a dependência dos resultados com relação à discretização 

adotada. Tal técnica de regularização consiste na consideração de gradientes da 

variável de dano na formulação dos modelos constitutivos. Tanto aspectos teóricos 

como de aplicação numérica são explorados, destacando-se nos primeiros uma análise 

do efeito da inclusão de gradientes de ordem superior na relação constitutiva e o 

emprego do Método dos Elementos Finitos em sua formulação em variáveis 

generalizadas no segundo aspecto. Outros aspectos complementares são também 

discutidos, relacionados à formulação variacional e algoritmos de integração em passo 

finito dos modelos em estudo. Os exemplos de aplicação consistem de análises estática 

e dinâmica de estruturas, realizando-se um confronto com resultados disponíveis na 

literatura ou mesmo com observações experimentais de ensaios de laboratório. 

Palavras-chave: método dos elementos finitos; mecânica do dano; análise não linear; 

localização. 


1.1 Fenômeno de localização 

Muitos materiais empregados na engenharia, dúcteis e quasi-frágeis, apresentam 

resposta caracterizada por um regime elástico bem definido, onde todos os processos 

são considerados reversíveis, e um regime não elástico, resultante da manifestação de 

1 Doutora em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, driemeie@usp.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, persival@sc.usp.br 


128 

Larissa Driemeier & Sergio Persival Baroncini Proença 

fenômenos irreversíveis que envolvem dissipação de energia e precedem a ruptura. 

Neste regime normalmente identificam-se respostas caracterizadas por encruamentos 

positivo (“hardening”) e negativo (“softening”), sendo que o negativo é conseqüente 

do aparecimento de pronunciados gradientes de deslocamento em zonas restritas do 

meio, chamadas zonas de localização de deformação. 

Na literatura a observação experimental da localização de deformações em metais é 

relatada em diversas publicações – Nadai 1 , Asaro 2 , Perzyna & Perzyna 3 e Olmstead et 

al. 

4 . As zonas de localização foram primeiramente observadas em ensaios 

experimentais de tração sobre corpos de prova metálicos, onde o fenômeno irreversível 

dominante é a plastificação. Já num estágio avançado da resposta não-linear as 

deformações plásticas acabam por se concentrar na forma de bandas de cisalhamento 

ou bandas de Lüder. 

No caso de materiais como o concreto, o fenômeno dissipativo dominante é a micro - 

fissuração, cuja evolução, normalmente decorrente do aumento dos níveis de solicitação 

mecânica, tende a concentrar-se em uma zona de largura muito pequena. A progressão 

da microfissuração nessa zona acaba por levar à formação de uma fissura discreta, 

conforme ilustra a Figura1. A largura e direção da zona de localização dependem do 

tipo de concreto e dos defeitos nele contidos, da geometria, condições de contorno e 

carregamento (Cedolin et al. 5 , Pamin 6 ). 

Na modelagem matemática de estruturas em concreto, pode-se tratar cada fissura 

individualmente, como sugere a mecânica da fratura, ou modelar o processo de 

evolução da microfissuração inteiramente via lei constitutiva local, válida ponto a 

ponto, como sugerem os modelos de meios contínuos equivalentes, como os da 

mecânica do dano. 

(a) (b) (c) 

Figura 1 - (a) Fissuração em estágio inicial de solicitação: distribuída ao longo da estrutura; 

(b) Localização do fenômeno de fissuração; (c) Formação da macrofissura. 

Apesar da abordagem pela mecânica da fratura ser mais representativa sob o ponto de 

vista físico, pois leva em conta diretamente a presença de uma descontinuidade no meio, 

ela pode ser de aplicação inviável em situações de fissuração difusa ou mesmo em uma 

análise estrutural de grande escala. Essa abordagem também pressupõe a existência 

inicial da fissura, desconsiderando todo o processo anterior de evolução da 

microfissuração e que pode ocorrer envolvendo ponderável dissipação de energia. 


Estudo da localização de deformações associada ao emprego de modelo constitutivo de dano 

129 

Por outro lado, ao empregar a modelagem fundamentada no pressuposto de meio 

contínuo, como prescreve a mecânica do dano, o maior problema que se apresenta é o 

da identificação de zonas de localização do dano e de suas orientações. Mesmo que seja 

adotada a modelagem contínua e supondo que tenha sido possível identificar uma região 

de localização, ainda uma outra questão surge: qual a largura da zona? Além disso, 

numa simulação numérica, alguma forma de adaptação da malha deve ser adotada para 

que se possa inserir dentro daquela zona elementos com lei de encruamento negativo 

bem definida. 

As questões anteriores relativas à abordagem contínua na verdade surgiram em 

conseqüência das dificuldades evidenciadas quando nas análises numéricas se passaram 

a incluir modelos constitutivos com encruamento negativo. Com o emprego de tais 

modelos, baseados em uma descrição local do comportamento do material, a largura da 

zona de localização tende progressivamente a zero, uma vez que a simulação procura 

encontrar uma condição de evolução e localização do dano compatível com uma fratura 

discreta. Para ilustrar essa dificuldade, basta imaginar, por simplicidade, uma malha 

composta por elementos de deformação constante, para os quais necessariamente a 

largura da zona de localização fica associada às suas dimensões. Repetindo-se uma 

mesma análise com malhas progressivamente mais refinadas, observa-se que a largura 

da zona tende a zero, obtendo-se soluções que convergem para uma resposta de energia 

dissipada nula. Matematicamente, diz-se que o problema de valor de contorno resulta 

mal colocado (no sentido de existência de um número finito de soluções linearmente 

independentes que dependem continuamente dos dados). Matematicamente ocorre perda 

de elipticidade das equações governantes se o tipo de análise for estática ou perda de 

hiperbolicidade se for análise dinâmica, (Benallal et al. 7 ). Em qualquer caso, a 

descrição numérica deixa de ser uma representação coerente da realidade física. 

Entretanto, é possível introduzir na formulação contínua técnicas ditas de regularização 

que preservam a condição matemática de elipticidade quando a zona de localização de 

deformações se desenvolve, provendo soluções numéricas representativas de problemas 

de valor de contorno envolvendo encruamento negativo e localização. 

Uma técnica bastante simples de regularização consiste em impor à zona de localização 

uma largura mínima e adotar uma condição de ruptura, ou de formação da fratura 

discreta, quando o estado de deformação dentro dela atingir certo valor limite. Para que 

a fixação de uma medida não pareça ser recurso sem fundamento, uma justificativa que 

se encontra na literatura é admitir que tal medida seja uma ‘propriedade’, normalmente 

referida como um “comprimento interno” do material. 

Mas uma maneira mais elegante e ao mesmo tempo matematicamente correta de 

implementar esta idéia consiste em formular o problema de modo que a largura da zona 

esteja implícita no modelo resultante. Essa alternativa é proporcionada pelos chamados 

modelos não-locais, como os modelos que introduzem gradientes de ordem superior da 

deformação plástica ou da variável de dano na função de escoamento ou de danificação 

- Frémond & Nedjar 8 , Peerlings et al. 9 , De Borst et al. 10 , Comi 11, 12 , Comi & 

Driemeier 13,14 . Este trabalho trata exatamente desse tipo de modelo. 

Há ainda outras técnicas de regularização que incluem um ‘comprimento interno’, 

destacando-se as seguintes: teoria micropolar – de Borst & Muhlhaus 15 , Steinmann & 

Stein 16 , Iordache & Willam 17 , integral não-local - Pijaudier-Cabot & Bazant 18 , energia 

de fratura – Oliver 19 . 


130 


Mas observado o aspecto de regularização da resposta numérica, resta outra questão 

importante: aonde se inicia a localização? 

Em muitos problemas a região de localização pode ser mais facilmente definida em 

função da distribuição de esforços (naturalmente nas zonas mais solicitadas), da 

presença de descontinuidades geométricas do meio ou mesmo das condições de 

vinculação. Porém quando ela depende da distribuição inicial de defeitos do material, a 

qual possui naturalmente grande aleatoriedade, a detecção da zona de localização tornase 

mais difícil de ser realizada numericamente. Neste caso, a simulação numérica deve 

recorrer a funções de distribuição para a identificação dos pontos mais frágeis do meio. 

Neste trabalho as questões relativas à aleatoriedade da distribuição dos defeitos não 

serão consideradas, sendo o objetivo principal o estudo de uma técnica de regularização. 

Assim snedo, quando necessário, opta-se por provocar a localização pela adoção de 

uma resistência menor em determinados pontos da estrutura. 

Nos próximos dois itens apresentam-se exemplos que ilustram a questão da nãoobjetividade 

de resposta numérica dos modelos locais. 

1.2 Exemplo barra axialmente tracionada 

Neste exemplo considera-se uma barra axialmente tracionada por uma carga aplicada na 

extremidade livre e engastada na outra extremidade. A barra é discretizada por n 

elementos finitos de deformação constante, conforme ilustra a Figura 2. 

L 

y 

x 

σ 

Figura 2 - Barra sujeita a carregamento uniaxial. 

A resposta admitida para o material é do tipo elástico com dano. Antes de alcançar a 

resistência à tração σ vale uma relação linear entre tensão (normal) σ e deformação ε, 

seguida de um pequeno regime de encruamento positivo próximo da tensão de pico. 

Depois de alcançada a resistência de pico, a resposta é descrita por uma curva de 

encruamento negativo de acordo. 

Para fins de provocar a localização, adota-se inicialmente uma resistência à tração um 

pouco menor para um dos n elementos. Impondo-se um processo de deformação 

controlada, uma vez alcançado o limite à tração, a evolução das deformações irá 

ocorrer, naquele elemento, com redução dos níveis de tensão normal até a ruptura da 

barra (condição de dano unitário ou próximo dele). Durante esse processo, os elementos 

vizinhos, nos quais a resistência à tração não foi excedida, irão descarregar 

elasticamente. A Figura 3 mostra, para o caso de n=3, a curva σxε de cada elemento 

característico, a saber: a Figura 3b refere-se ao elemento central com resistência à 

tração menor, que entra em regime de encruamento negativo até a ruptura, enquanto a 



131 

Figura 3a mostra o descarregamento dos demais elementos. Convém ressaltar que os 

demais elementos descarregam com uma rigidez menor em função da danificação que 

apresentam já no regime de encruamento positivo. 

σ 

3 

σ 

3 

2 

2 

1 

1 

0 

ε 

0E+0 2E-4 4E-4 6E-4 8E-4 1E-3 

0 

ε 

0E+0 2E-4 4E-4 6E-4 8E-4 1E-3 

(a) 

(b) 

Figura 3 - Curva σxε durante a análise em elementos finitos para n=3: (a) descarregamento 

dos elementos 1 e 3; (b) carregamento do elemento 2. 

Tomando-se, por outro lado, a deformação média da barra, definida pela relação 

comprimento final sobre inicial, a resposta para vários valores de n é mostrada na 

Figura 4. 

Uma resposta similar à ilustrada vale também para a relação carga-deslocamento no 

ponto de aplicação da carga. Percebe-se que não há objetividade de resultados com o 

refinamento da malha, isto é, não parece ocorrer convergência para uma única curva de 

ruptura pós-pico real. Isto ocorre porque as equações governantes prevêem o 

mecanismo de ruptura como uma linha, ou zona de localização com espessura zero. A 

solução por elementos finitos simplesmente tenta captar esta linha localizando as 

deformações em um único elemento, independente das dimensões deste. 

Um resultado que se observa na curva tensão - deformação média é o fenômeno ‘snapback’. 

Tal fenômeno tem a seguinte explicação: o descarregamento elástico dos 

elementos que não atingiram a tensão de pico proporciona recuperação de deformações 

em quantidades tais que juntas prevalecem sobre aquelas do único elemento em 

carregamento; assim, para um número infinito de elementos (n → ∞) a curva pós-pico 

tende à uma curva de descarregamento totalmente elástico. 


132 


σ [MPa] 

4 

3 

1 elemento 

2 

1 

0 

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

[mm/mm] 

ε 

Figura 4 - Curva Tensão - Deformação média. 

Uma outra maneira de interpretar a resposta ‘snap-back’ e sua tendência para uma curva 

de descarregamento elástico quando n → ∞ é que neste tipo de simulação, porque a 

localização acompanha o tamanho dos elementos, a energia dissipada tende a zero com 

a redução do tamanho da zona de localização. A busca pela recuperação da objetividade 

da resposta numérica apóia-se na evidência experimental que a ruptura deve 

necessariamente envolver determinada quantidade de energia dissipada, o que acaba por 

proporcionar um argumento favorável à estratégia de limitação inferior do tamanho da 

zona de localização. 

1.3 Exemplo bidimensional 

A Figura 5a apresenta um exemplo adotado por de Borst et al. 20 , Sluys et al. 21 , Comi & 

Perego 22 em análises com um modelo de plasticidade com gradiente e por Comi 11 , 

Comi & Driemeier 13 em análises com modelos de dano com gradiente. O caso é aqui 

considerado para ilustrar o problema que surge numa análise numérica com o emprego 

de um modelo de dano local, sem recurso à regularização pela estratégia do gradiente. 

σ 

σ(t) 

h 

σ max 

t 

b 

(a) 

(b) 

Figura 5 - (a) Espécime analisado. (b) Carregamento adotado. 



133 

O espécime está sujeito a carregamento de compressão aplicado segundo a lei descrita 

na Figura 5b e foi analisado considerando-se uma condição de deformação plana. Para a 

discretização usaram-se quatro malhas diferentes formadas por células quadradas com 

quatro elementos triangulares de deformação constante. 

A Figura 6 mostra os estados deformados obtidos com diferentes discretizações. Neste 

exemplo a restrição imposta aos deslocamentos em pontos do contorno foi o fator 

indutor da formação da banda de localização. Pode-se perceber que com o refinamento 

da malha a banda de localização diminui de espessura, obtendo-se resultados diferentes 

para cada malha adotada. 

(a) (b) (c) (d) 

Figura 6 - Malhas deformadas ao final da análise. 

1.4 Um aceno à origem dos modelos com gradiente e aos modelos de 

regularização por viscosidade 

Na teoria clássica da plasticidade a função de escoamento (f) tem sua evolução 

governada por uma medida equivalente (γ) da deformação plástica. Para regimes de 

encruamento negativo a forma local do modelo constitutivo é ainda representativa 

quando as deformações plásticas se distribuem de modo difuso no meio, sendo que leis 

específicas de f(γ) podem ser identificadas a partir de observação experimental. 

Entretanto, o modelo local perde representatividade quando a deformação, a partir de 

certo valor, passa a se localizar em uma zona estreita. Para levar em conta o efeito da 

distribuição heterogênea da deformação propõe-se que f passe a depender também de 

gradientes de γ. Portanto, os termos relativos ao gradiente complementam a teoria 

clássica e por envolverem uma variação no espaço introduzem uma modelagem nãolocal, 

isto é, com informações sobre o comportamento do material em certa vizinhança 

do ponto considerado, Mühlhaus & Aifantis 23 . 

Por outro lado, vários autores argumentam ainda que a introdução de uma forma de 

dependência do tempo no modelo constitutivo também permite uma regularização do 

problema. Comi & Perego 24 apresentam um modelo de dano com viscosidade e 

mostram que para valores de dano superiores à 0,5 a resposta pode apresentar 

dependência em relação à discretização da estrutura. Dubé et al. 25,26 demonstram, por 


134 


outro lado, que a introdução da viscosidade impossibilita a formação de ondas 

estacionárias. Needleman 27 demonstrou o modelo viscoso também introduz um 

‘comprimento característico’ do material. 

2 MODELO DE DANO ADOTADO 

Considere-se o seguinte modelo de dano local, proposto por Comi et al. 28 

formulação é baseada na termodinâmica dos sólidos: 

cuja 

1 

ψ = ( − ) ε ε 

2 1 2 

D T E (1) 

σ 

∂ψ 

2 

∂ψ 

= = ( 1− D) Eε 

; Y =− = ( 1− D) 

ε⋅Eε 

(2) 

∂ε 

∂D 

1 

f = Y + b1( 1+ b2D)( 1− D) 

ε v −b3D−k≤0 

(3) 

2 

f ≤ 0 ; D& ≥ 0; 

f D& 

= 0 

(4) 

A equação 1 define a energia livre de Helmholtz escrita como função do tensor de 

deformações ε e da variável isótropa de dano (D). Na equação 2, Y é a variável 

termodinâmica associada ao dano, ou força termodinâmica, e que também pode ser 

interpretada como energia disponibilizada em correspondência ao nível de dano criado. 

O critério de danificação é definido pela função f e as condições de carregamentodescarregamento 

são dadas pelas relações 4; εv 

= I ⋅ ε é a deformação volumétrica (I é 

o tensor identidade de segunda ordem), b i e k são parâmetros não-negativos do 

material. 

Na equação 3, a parcela envolvendo a deformação volumétrica permite levar em conta o 

comportamento dissimétrico em tração e compressão, exibido em materiais como o 

concreto. O parâmetro k é uma quantidade de referência para a energia disponibilizada 

que define o aparecimento de dano. Os parâmetros b 1 e b 3 permitem definir a tensão de 

pico, com a existência ou não de encruamento positivo (‘hardening’), bem como a 

inclinação da curva durante o encruamento negativo (‘softening’). 

Esta lei constitutiva é uma simplificação da versão proposta por Comi et al. 28 . 

Importante observar que, de acordo com o modelo dado pelas equações 1-4, o dano 

tende para o valor limite D=1 com deformações tendendo ao infinito, mas a 

correspondente energia de fratura (definida conforme Bazant & Cedollin 29 ) é limitada. 

Uma versão não-local do mesmo modelo pode ser obtida introduzindo-se na função de 

escoamento gradientes espaciais da variável de dano D. Considera-se a seguinte forma 

geral que inclui termos com ‘gradientes de segunda e quarta ordem’, implicitamente aos 

laplacianos indicados: 

f 

c1 = flocal 

+ 

aD D c 2 

Δ − D ≤ 0 

1 − 

2Δ (5) 



135 

sendo c 1 um parâmetro de difusão com dimensão de força, c 2 outro parâmetro de 

difusão com dimensão de força vezes comprimento ao quadrado e a um parâmetro 

adimensional variando entre 0 e 1. 

As parcelas não-locais da equação 5 são aqui referidas genericamente como termos de 

gradientes de segunda e quarta ordem da variável interna de dano. Trata-se de uma 

questão de afinidade com a nomenclatura adotada em toda a bibliografia estudada 

(destaca-se, entre outros, Slyus 30 , Pamim 6 , Mühlhaus & Aifantis 23 , Comi 11 ). Na verdade, 

Δ 2 da variável 

aqueles termos envolvem o Laplaciano ( ) 

interna de dano, respectivamente. 

Δ e Laplaciano segundo ( ) 

Três modelos diferentes, que são descritos a seguir, podem ser obtidos da equação (5) 

impondo-se valores particulares para os parâmetros c 1 , c 2 e a: 

• Modelo A - c = 0, a = 0, c > 0 - somente o termo com gradiente de segunda 

2 1 

ordem está presente no modelo, coincidindo com aquele proposto por Comi 10 ; 

• Modelo B - c2 = 0, a > 0, c1 

> 0 - somente o termo com gradiente de segunda 

ordem está presente no modelo, mas a função de difusão c1 ( 1 − aD) 

cresce com o 

valor do dano. Em particular o valor a = 1 será considerado; 

• Modelo C - c2 > 0, a = 0, c1 

qualquer - o termo com gradiente de quarta ordem 

também é considerado. Os dois parâmetros de difusão são constantes. 

A presença de termos diferenciais na função de escoamento implica que apropriadas 

condições de contorno da variável de dano devem ser especificadas. Neste trabalho, tais 

condições de contorno são expressas na forma proposta por Mühlhaus & Aifantis 7 para 

o caso de plasticidade, não havendo, porém, uma interpretação física para as mesmas: 

c 

1 

[ ∇ D ⋅ n] D = 0 em ΓD 

⎧ 

⎨c1ΔD 

− c2∇ Δ 

⎩ 

[ c ΔD] 

2 

n 

& , para os modelos A e B. (6) 

[ D] ⋅ n + c ΔDdivn 

( ) − div[ ΔDn] 

∇D& 

= 0 em Γ 

D 

2 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

s 

s 

para modeloC. 

⎤⎫ 

⎬D& 

⎥ = 0 

⎦⎭ 

em Γ 

onde Γ D é o contorno da região com D& > 0 . O gradiente ∇ foi dividido em gradiente 

de superfície ∇ s e gradiente normal n ∇ n : ∇ ≡ ∇+ n ∇ . 

s 

n 

D 

(7) 


136 


2.1 Propagação de onda 

As características de cada modelo proposto podem ser avaliadas no contexto de um 

problema unidimensional de propagação de uma onda numa barra com dano. 

Pode-se mostrar que partindo de um estado homogêneo, a propagação de uma onda 

harmônica de freqüência ω, número de onda q, ao longo de uma barra com dano tem por 

correspondência campos de velocidade e de evolução do dano expressos na forma: 

( − ) ( − ) 

u& 

v e iqx ω 

= t D& 

= D e 

iqx ω t 

(8) 

0 0 

Mediante a substituição direta nas equações de movimento, relação constitutiva e 

condição de carregamento, dadas por: 

& σ 

, x 

[ ] 

= ρ&&& 

u & σ = ( 1− DE ) ( 1− Du )& & 

, x −2Dε 

&f = 0 

conclui-se que a velocidade de fase c ω q ω /( π / λ) 

f ≡ = 

2 depende do número de 

onda q. Caracteriza-se, no caso, um meio dispersivo, onde a velocidade de fase varia e 

as ondas se dispersam. 

(9) 

Assumindo, por simplificação, na função de escoamento, b 1 = 0 e b3 = b, a 

velocidade de fase para os modelos A e B resulta: 

c 

f 

ω 

= = ( 1 − Dc ) 

q 

e 

aD 

⎛ 3 2 

b E 

⎞ 

⎟ + a 

⎡ 1 2 

− D Eε 

−bD −k ⎤ 

c q 

⎝ ⎠ ⎣⎢ 

⎦⎥ + 1 2 

2 

2 

aD 

⎛ 1 2 

b E 

⎞ 

⎟ + a 

⎡ 1 2 

− D Eε 

−bD −k ⎤ 

c q 

⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ 2 

⎦⎥ + 1 2 (10) 

( 1− 

) ⎜ − ε ( 1 ) 

( 1− ) ⎜ + ε ( 1 ) 

e para o modelo C: 

c 

f 

ω 

= = ce 

− 

q 

( 1 D) 

3 

2 

1 

2 

2 

b− Eε 

+ c q + c q 

2 

1 2 2 4 

b+ Eε 

+ c q + c q 

1 2 2 4 (11) 

onde ce ≡ 

E 

ρ é a velocidade de propagação da onda na barra elástica. 

Para o modelo local, a velocidade de propagação vale: 



137 

c 

f 

ω 

= = ( 1 − Dc ) 

q 

e 

b− 

b+ 

3 

2 

1 

2 

Eε 

Eε 

2 

2 

(12) 

e não depende de q ou ω. 

As velocidades de fase 10-11 são reais se o número de onda é tal que os numeradores 

destas equações são positivos. Deste modo, tem-se que apenas ondas com comprimento 

λ ≤ λ c propagam-se, onde: 

2π 

λ = ≡2π 

c 

q c 

(modelos A, B) 

ou 

2c 

2 2 

( 1−aD)( 3Eε 

− 2b) + a[ 2bD + 2k −( 1− 

D) 

Eε 

] 

1 

(13) 

2π 

λ = ≡2π 

c 

q c 

2c 

⎛ 3 ⎞ 

− c1 + c1 2 2 

+ 4c2 

⎜ Eε 

−b⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

(modelo C) 

(14) 

As altas freqüências de propagação podem ser desconsideradas por não serem 

compatíveis com processos dissipativos do material. Nestas condições, obtém-se uma 

onda de localização harmônica estacionária de comprimento de onda λ = λ c ; este 

comprimento representa o comprimento interno de localização. 

A evolução da velocidade de fase com o número de onda é mostrada na Figura 7, para 

D = 0 e parâmetros do material: E = 20000 MPa, c e = 1000 m s , 

b = k =0. 0002 MPa e c 1 , c 2 que forneçam o mesmo número de onda crítico 

q c = 0. 089 mm -1 . Apesar do comportamento qualitativo semelhante, i.e. a velocidade 

de fase cresce de zero à velocidade de propagação elástica, a presença do gradiente de 

quarta ordem induz um crescimento mais rápido com o número de onda. 

Considere estados homogêneos iniciais diferentes, caracterizados por valores fixos de 

dano e deformação pertencentes à função de escoamento, i. e.: 


138 


1 

( ) 

2 1 2 

− DEε = bD+ 

k 

(15) 

1 200 

800 

400 

___ c 1 =0.05 N, c 2 = 0.00 Nmm 2 

___ c 1 =0.00 N, c 2 = 6.25 Nmm 2 

___ c 1 =-1.0 N, c 2 =131.25 Nmm 2 

0 

0 . 0 0.4 0.8 1.2 1.6 

comprimento de onda [1/mm] 

Figura 7 - Velocidade de fase para modelos de dano A, B e C. 

Das equações 4.13 e 15, o comprimento característico apresenta a seguinte forma para 

os modelos A e B: 

λ = 2π 

c 

c ( 1 − D) 

( 1−aD)( 3k − b + 4bD 

) 

1 (16) 

Deve-se ressaltar ainda que se a=0 a largura da zona de localização diminui com o 

aumento do dano, iniciando com o valor 2 

π 

c 

1 

3k− 

b 

e tendendo a zero quando o dano 

tende ao valor crítico um (Figura 8, curva 3). Como conseqüência, o efeito de 

regularização do termo gradiente tende a desaparecer. Este comportamento, se por um 

lado é fisicamente admissível, uma vez que permite a simulação da transição de uma 

zona altamente danificada para uma fissura, por outro lado, requer um refinamento de 

malha adaptativo ou a transição de uma aproximação contínua para uma discreta na qual 

descontinuidades de deslocamento são consideradas. Se a=1, o comprimento 

característico também diminui com o dano, mas tende a um valor positivo não-nulo 

2π 

c 

1 

3k 

+ 3b 

, se D tende a um. Neste caso, a zona de localização não se torna uma 

linha (Figura 8, curva 4). Recupera-se, portanto, a objetividade de resposta em uma 

análise numérica com uma largura finita de banda. 



139 

80 

comprimento de onda crítico [mm] 

60 

40 

20 

1 

4 

2 

(1) c 1 

= - 1. N, c 2 

= 131.25 N mm 2 3 

(2) c 1 

= 0. N, c 2 

= 6.25 N mm 2 a=0 

(3) c 1 

= 0.05 N, c 2 

= 0. N mm 2 

(4) c 1 

= 0.05 N, c 2 

= 0. N mm 2 a=1 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

dano 

Figura 8 - Comprimento de onda crítico para modelo de gradiente de quarta e segunda ordem. 

Para o modelo C, das equações 14 e 15, tem-se: 

λ = 2π 

c 

2c 

1− 

D 

2 

( ) ( ) 

−c 1− D + c 1− D + 4c 3k − b+ 

4bD 

1 1 2 2 

(17) 

Novamente a largura da banda diminui com o aumento do dano, tendendo a zero 

quando o dano tende ao valor crítico unitário, mas vai a zero mais lentamente que no 

caso c 2 = 0 (comparem-se curvas 1 e 2 com curva 3 na Figura 8). 

3 IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE DANO 

3.1. Problema em passo finito 

Considere-se a evolução da resposta de um corpo de volume Ω e superfície Γ, sujeito a 

forças de volume F() 

t e forças de superfície f( t ) em Γ f 

, descrita pelo modelo de 

dano da seção anterior e equações de equilíbrio dinâmico e compatibilidade linear. 

Supõe-se t0, t1,..., tn, tn+ 1 = tn 

+ Δ t,... 

instantes de tempo ao longo do intervalo 

= 

onde a resposta dinâmica da estrutura está sendo observada, e admite-se que em t 

todos valores são conhecidos; então, a solução deve ser computada em t n+1 para dados 

incrementos Δ F e Δf 

de carga. 

Utilizam-se as aproximações para is incrementos de deslocamentos e velocidades: 

t n 


140 


Δu 

= Δtu& 

Δu& 

= Δtu&& 

n+ 

γ 

n+ 

γ 

= Δt 

= Δt 

[( 1 − γ ) u& 

n + γ u& 

n+ 

1] 

[( 1 − γ ) u&& 

+ γ u&& 

] 

n 

n+ 

1 

(18) 

com parâmetro γ ∈] 0 1 ] (os subscritos n, n+1 e n + γ representam valores em t n , 

t n+1 e t n+γ respectivamente, e Δ • representa o incremento da variável • em t 

Δ ). 

As relações que descrevem o comportamento dinâmico em passo finito são obtidas 

impondo-se equilíbrio dinâmico e compatibilidade geométrica no final do passo. Em 

particular, resolvendo a equação 18 e integrando a lei constitutiva de acordo com um 

esquema implícito obtém-se: 

L T * * 

σn+ 1 + Fn+ 1 = ρ un+ 

1 

em Ω; m = f 

σ n+ 

1 n+ 

1 em Γ (19) 

f 

Cu 

σ 

ε em Ω u = U 1 em Γ 

(20) 

n+ 1 = n+ 

1 ; n+ 

1 n+ 

u 

( D ) 

2 

n+ 1 n+ 1 n+ 

1 

= 1 − E ε em Ω (21) 

f n+1 ≤ 0 em Ω (22) 

ΔD ≥ 0 Δ 0 

c 

1 

[ ∇ D ⋅ n] D = 0emΓD 

f n + 1 D = 

em Ω (23) 

& , para os modelos A e B. (24) 

⎧ 

⎨c1ΔD 

⎩ 

[ c ΔD 

] 

2 

n+ 

1 

n+ 

1 

n − c ∇ Δ 

n 

2 

∇ΔD 

[ D ] ⋅ n + c ΔD 

divn ( ) − div[ ΔD 

n] 

n+ 

1 

n+ 

1 

= 0 em Γ 

D 

2 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

n+ 

1 

para modeloC. 

s 

s 

n+ 

1 

⎤⎫ 

⎥⎬ΔDn+ 

1 = 0 

⎦⎭ 

em Γ 

D 

(25) 

Nas relações acima, C é o operador diferencial de compatibilidade linear; m é a normal 

à superfície Γ; U é o vetor de deslocamentos impostos. Convém lembrar que os modelos 

A, B, C referem-se àqueles apresentados no item anterior, a partir da equação 5, para 

valores particulares dos parâmetros de difusão c1, c2 

e da constante a. Ainda, 

ρ * e F * 

n+1 são definidos como: 

ρ 

* ≡ 

γ 

1 

2 2 

Δt 

* 

⎡ − 

ρ ; Fn+ ≡ Fn+ 

+ ⎢ 

1 γ 

⎤ 

1 1 ρ u&& 

n + 1 u& 

n + 

1 u 

2 2 2 n⎥ 

⎣ γ γ Δt 

γ Δt 

⎦ 

(26) 



141 

* * 

O algoritmo de integração acima apresenta os parâmetros de Newmark γ , β de 

* * 

modo que: γ β 

= 2 ; ρ é a densidade de massa. Para γ = 12 (i.e. β * = 14, 

γ * = 12) obtém-se o método de aceleração média, que faz parte do programa de 

elementos finitos de Zienkiewicz & Taylor 31,32 . 

3.2 Processo iterativo de solução 

O problema não-linear do valor de contorno expresso em passo finito deve ser resolvido 

através de um processo iterativo. No esquema adaptado, cada iteração consiste em duas 

fases: uma fase linear de previsão e uma fase não-linear de correção (a Figura 5.1 

mostra, de maneira sistemática, a seqüência implementada, para as duas fases), e um 

teste de convergência: 

• Fase de previsão - Na iteração i+1 para um valor de dano fixo, igual ao valor 

encontrado no final do passo anterior D= D n , e com forças externas iguais às 

forças residuais da iteração anterior i, calcula-se uma estimativa para o vetor dos 

deslocamentos nodais u i+1 das equações lineares de equilíbrio e compatibilidade e 

lei de Hooke. 

• Fase de correção - com os valores das deformações da fase de previsão 

ε i + 1 

Lu 

i + 1 

= , determina-se o incremento de dano usando as condições de 

carregamento-descarregamento e as condições de contorno com 

i + 1 

i+ 

1 

D n+ 1 = Dn 

+ ΔD 

e εn+ 

1 = ε . Com o valor do dano calculado, atualizamse 

as tensões. 

• Teste de convergência – Calcula-se o vetor de forças residuais 

i +1 

F e 

i +1 

f com o 

valor corrente das tensões e verifica-se a convergência comparando a norma dos 

resíduos com um valor fixo da tolerância. Não se verificando convergência, realizase 

nova iteração. 

Utiliza-se uma formulação variacional para o problema em passo finito. Neste trabalho, 

elaboram-se dois funcionais independentes para as fases de previsão e correção do 

problema não-linear, conforme sugere Comi 11 para implementação numérica de 

modelos com gradientes em variáveis generalizadas. Balbo 33 , sob uma análise 

matemática, também propõe a resolução do problema procurando-se condições ótimas 

de dois funcionais distintos. 

Uma vez apresentados os funcionais, cada variável independentemente é discretizada, 

conforme o método dos elementos finitos em variáveis generalizadas. Variáveis 

generalizadas são discutidas em Corradi 34,35 , Comi & Perego 36,37 . As equações 

resultantes das condições ótimas dos funcionais discretizados são implementadas no 

programa em elementos finitos de Zienkiewicz & Taylor 31,32 . 


142 


3.2.1 Fase de previsão 

A formulação variacional da fase de previsão pode ser estabelecida empregando-se um 

funcional do tipo Hu-Washizu, como em Comi 11 . Ou seja, a fase de previsão é 

equivalente ao seguinte problema de ‘ponto-sela’: 

min 

u, ε 

max{ L ( u, ε , σ )} 

σ 

p 

L 

p 

− 

∫ 

Ω 

F 

≡ 

∫ 

Ω 

iT 

1 T 1 

u dΩ + n 

2 

ρ 

* 

u 

2 

u dΩ − 

∫ 

Γ 

f 

f 

iT 

∫ 

Ω 

u dΓ 

2 

T 

T 

( 1-D 

) ε Eε 

dΩ + σ ( Cu− 

ε ) 

∫ 

Ω 

dΩ 

(27) 

A fase de previsão coincide com um problema dinâmico (integrado no tempo para obter 

um problema equivalente quase-estático) para um corpo elástico com módulo de 

elasticidade E ( 1 − Dn) 2 . Stolarski & Belytschko 38 analisam este tipo de problema 

baseando-se no clássico princípio misto da elasticidade Hu-Washizu. 

3.2.2 Fase de correção 

Para os valores de ε obtidos na fase de previsão ( ε ε ) 

≡ i , pode-se escrever dois 

funcionais para a fase de correção, os quais diferem entre si somente da forma de 

discretização adotada. A solução dos seguintes problemas de minimização: 

1 

min { } ΔD 

∈K 

; K ≡ { ΔD∈C 

ΔD 

≥ 0 em Ω} 

ΔD 

L 

c 

a 

∫ 

Ω 

+ 

L c 

⎡ 1 2 T 

T 

T 

( ΔD) ≡ 

∫ ( 1− 

D) ε Eε 

− 2( b1P 

ε − k) D − ( b1 

( b2 

−1) 

P ε − b3 

) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

2 

∫ 

Ω 

D 

c 

1 

2 2 T 3 

D + b1b 

2P 

εD 

dΩ 

+ 

⎢⎣ 2 

3 

⎥⎦ 

Ω 

2⎛ 2 ⎞ 

⎤ 

⎜ − 

T 

T 2 2 

T 3 1 T 4 

1 D⎟ε 

Eε 

+ ( b1P 

ε − k) D + ( b1 

( b2 

−1) 

P ε − b3 

) D − b1b 

2P 

ε D ⎥dΩ + 

3 

3 

2 

⎝ 

( ∇D) 

T 

⎠ 

∇DdΩ 

para os modelos A e B apresentados no item anterior, e 

1 

min { } ΔD 

∈K 

; K ≡ { ΔD∈C 

ΔD 

≥ 0 em Ω} 

ΔD 

L c 

(28) 

⎦ 

⎤ 



143 

L c 

+ 

⎡1 

2 T 

T 

T 

( ΔD) ≡ 

∫ ( 1 − D) ε Eε 

− 2( b1P 

ε − k) D − ( b1 

( b2 

− 1) 

P ε − b3 

) 

∫ 

3 

Ω 

2 

b b 

1 

2 

P 

Ω 

T 

⎢⎣ 2 

3 

εD 

dΩ + 

∫ 

Ω 

c 

1 

T 

2 

( ∇D) ∇DdΩ + 

∫c2 

( ∇ D) 

Ω 

T 

∇ 

2 

DdΩ 

D 

2 

⎤ 

dΩ 

⎥⎦ 

(29) 

para o modelo C apresentado no item anterior, são também solução da fase de correção. 

P é o vetor de projeção isótropa ( P T ≡ { 1 1 1 0 0 0 } ) e K é o cone 

convexo de funções não-negativas e contínuas em suas primeiras derivadas. Para 

soluções fisicamente admissíveis, a solução deve ser restrita a D = D + ΔD 

≤1 . 

Uma formulação mista alternativa pode ser obtida para o modelo C pela introdução do 

gradiente do dano Θ como uma variável independente, adicionando ao funcional a 

restrição Θ = ∇D 

, ponderada por um mutiplicador de lagrange μ. 

Esta formulação requer continuidade C 0 para o campo de dano e é mais conveniente 

para a formulação em elementos finitos. 

* * 

* 

0 

min max{ L c } ΔD 

∈K 

; ; K ≡ 

μ 

{ ΔD 

∈C 

ΔD 

≥ 0 em Ω} 

ΔD 

* 

L c 

+ 

⎡1 

2 T 

T 

T 

( ΔD, 

Θ; 

μ) ≡ 

∫ ( 1− 

D) ε Eε 

− 2( b1P 

ε − k) D − ( b1 

( b2 

−1) 

P ε −b3 

) 

∫ 

Ω 

2 

b1b 

2P 

3 

T 

εD 

Ω 

3 

⎢⎣ 2 

dΩ + 

∫ 

Ω 

c Θ 

1 

2 

dΩ + 

∫ 

Ω 

c 

2 

T 

( ∇Θ) ∇ΘdΩ + 2μ( ∇D 

− Θ) 

∫ 

Ω 

n 

dΩ 

Uma importante característica da formulação é que o incremento de dano nos problemas 

de mínimo 28-29 e de ponto-sela 30 possui a restrição somente de não ser negativo. 

Além disso, pode-se provar que as condições de contorno (equações 24 e 25) são 

satisfeitas implicitamente para os funcionais acima, conforme demonstram Comi & 

Perego 37 para o caso de modelo elastoplástico com gradiente de segunda ordem, e 

Comi 11 e Comi & Driemeier 13 para modelo elástico com dano com gradiente segundo e 

gradientes segundo e quarto, respectivamente. 

D 

2 

⎤ 

dΩ 

⎥⎦ 

(30) 

3.3 Implementação em elementos finitos com variáveis generalizadas 

3.3.1 Fase de previsão 

O funcional da fase de previsão discretizado tem a seguinte forma: 

min max 

δu, 

δε 

δσ 

{ L p } com 

δu 

= 0 on Γu 


144 


+ 

∫ 

Ω 

Ω 

Ω 

( 1-N 

D ) 

1 T T 

1 

T T 

L ≡ 

∫ 

u N u N u u dΩ + 

2 

p ρ * δ δ 

∫ D n 

δε N EN δε dΩ + 

2 

2 

ε ε 

(31) 

T T 

δσ N 

σ 

iT 

( C N ) 

u 

δu 

− N 

ε 

δε dΩ − F 

∫ 

N uδu 

dΩ − 

∫ 

As condições ótimas do problema 31 são: 

Ω 

Γf 

iT 

f N 

δu 

dΓ 

T i 

+ C δσ F 

(32) 

L δu 

= 

δσ = E ~ n δε 

Cu δ δε 

u 

(33) 

= (34) 

onde os seguintes vetores e matrizes generalizados são definidos: 

L ≡ 

i 

∫ 

Ω 

ρ N 

∫ 

T 

T 

u 

N 

dΩ; 

C ≡ 

F ≡ N u F dΩ+ 

N u F dΓ; 

Ω 

Γ f 

E ~ ≡ E ~ D 

n 

* 

i 

u 

∫ 

dΩ; 

2 

T 

( n) ≡ 

∫ ( 1 − N DDn) N ε EN ε dΩ; 

Ω 

T 

∫ 

Ω 

i 

N 

T 

σ 

CN 

u 

(35) 

L, ρ , F e f foram já definidos. As equações 32-34 governam o problema discreto de 

previsão. As equações 32 e 34 expressam o equilíbrio dinâmico e a compatibilidade na 

forma fraca, enquanto a equação 33 é a lei de Hooke discretizada. 

3.3.2 Fase de correção 

O funcional da fase de correção, mostrado na equação 28, discretizado é dado por: 

min 

ΔD 

L c 

− 

+ 

∫ 

Ω 

∫ 

Ω 

{ L } com ΔD 

≥ 0 

≡ 

∫ 

Ω 

c 

2 T T 

T 

( 1− 

N ( D + ΔD 

)) ε N E N ε − 2( b P N ε −b 

) N ( D + ΔD 

) 

T 

2 2 T 

( b ( b −1) 

P N ε −b 

)( N ( D + ΔD 

)) dΩ + b b P N ε ( N ( D + ΔD 

)) 

c ∇ 

1 

1 

1 

2 

2 

3 

T 

( N ( D + ΔD 

)) ∇( N ( D + ΔD 

)) 

D 

D 

n 

ε 

n 

D 

n 

dΩ 

As condições ótimas de Kuhn-Tucker do problema 36 são: 

D 

n 

ε 

ε 

1 

∫ 

Ω 

3 

1 

ε 

2 

4 

ε 

D 

D 

n 

n 

dΩ 

3 

(36) 

dΩ 



145 

( ) ( ( ) )( Δ ) ( Δ ) 

f ≡ϕ ε − a ε + b + c D + D − d ε, D + D −k ≤0 

, 

T 0 

ΔD ≥ 0 , f ΔD= 

n 

n 

(37) 

onde os seguintes vetores e matrizes generalizados são definidos: 

T⎛ 

1 T T T ⎞ 

ϕ( ε) 

≡ ∫ N D⎜ 

ε Nε 

ENεε + b1P N ε⎟ 

⎝ 

e dΩ; 

2 

⎠ 

Ω 

⎛ 1 T T T ⎞ T 

a( ε) ≡∫ 

⎜ ε Nε ENεε −b1( b2 

−1) 

P Nεε⎟ 

N DN 

⎝ 2 

⎠ 

b ≡ 

c ≡ 

d 

∫ 

Ω 

∫ 

Ω 

b 

c 

1 

3 

Ω 

N 

N 

( ∇N 

) 

T 

dΩ; 

∇N 

D 

dΩ; 

T T 

T T 

( ε ,D + ΔD 

) ≡ b b P N εε N ( D + ΔD 

) N N ( D + ΔD 

) 

n 

T 

D 

D 

D 

∫ 

Ω 

D 

1 

dΩ; 

k ≡ 

2 

∫ 

Ω 

N 

D 

T 

D 

k dΩ; 

n 

D 

D 

n 

dΩ 

(38) 

Para o caso de um parâmetro de difusão não constante ( a ≠ 0 ), optou-se por 

b1 = b2 = 0, e b3 = b. O funcional discretizado obtido é análogo ao anterior e, por 

brevidade, expõem-se aqui somente as matrizes finais: 

ϕ 

a 

( ε ) 

( ε ) 

b ≡ 

c ≡ 

d 

∫ 

Ω 

∫ 

Ω 

≡ 

≡ 

∫ 

Ω 

∫ 

Ω 

( 1 a) 

⎛ + 

⎜ 

⎝ 2 

( b − ak) 

c 

1 

N 

( ∇N 

) 

⎛ 1 

⎜ ε 

⎝ 2 

N 

∇N 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ 2 

dΩ; 

dΩ; 

k ≡ 

⎞ 

ε ⎟ dΩ; 

⎠ 

⎞ 

ε ⎟N 

⎠ 

dΩ; 

kdΩ; 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

T T 

T 

T T 

( ε,D 

+ ΔD 

) ≡ a ε N E N ε − b N ( D + ΔD 

) N N ( D + ΔD 

) dΩ 

n 

T 

D 

D 

T 

ε 

T 

D 

∫ 

Ω 

T 

T 

N 

N 

N 

D 

D 

T 

ε 

T 

ε 

E N 

E N 

de acordo com a equação 37a. 

ε 

ε 

ε 

∫ 

Ω 

N 

T 

D 

T 

D 

ε 

N 

D 

D 

n 

D 

D 

n 

(39) 


146 


Para a fase de correção do modelo C de dano, adaptou-se uma formulação mista (Comi 

& Driemeier 13 ), de modo que apenas continuidade C 0 é requerida para aproximação do 

campo de dano, mesmo quando termos de quarta ordem estão presentes no funcional. 

A formulação variacional mista pode ser obtida introduzindo o gradiente de dano Θ 

como uma variável independente e adicionando ao funcional a restrição Θ =∇D , 

ponderada por um multiplicador de Lagrange μ. 

O funcional discretizado assume a forma: 

min 

max 

ΔD, Θ μ 

+ 

* 

{ } com ΔD 

≥ 0 

L c 

* ⎡1 

2 T 

2 ⎤ 

L c ( ΔD, 

Θ; 

μ) ≡ 

∫ ( 1− 

N DD 

) ε Eε 

+ 2k 

N DD 

+ b3 

( N DD 

) dΩ 

(40) 

⎢⎣ 2 

⎥⎦ 

+ 

2 

T 

( N Θ) dΩ + c ( ∇N 

Θ) ( ∇N 

Θ) 

∫c1 

D ∫ 2 D 

Ω 

Ω 

T 

∫ 

2( N μ μ ) ( ∇N 

DD 

− N DΘ) 

Ω 

Ω 

dΩ 

D 

dΩ 

O problema de complementaridade da forma discreta da fase de correção é dado por: 

( ) ( ( ) )( Δ ) ( Δ ) 

f ≡ϕ ε − a ε + b D + D + d ε, D + D −k − gμ 

≤0 (41) 

n 

ΔD ≥ 0 , 

T 

f ΔD= 

0 

(42) 

c1Θ+ c2Θ 

− hμ =0 

(43) 

T T 

g D −h 

Θ =0 

(44) 

n 

onde: 

g ≡ 

c 

2 

∫ 

Ω 

≡ 

( ∇N 

) 

∫ 

Ω 

c 

2 

D 

T 

N 

μ 

dΩ; 

≡ 

T 

( ∇N 

Θ 

) ∇N 

ΘdΩ; 

h ≡ 

∫ 

c 

1 

∫ 

Ω 

c N 

1 

Ω 

N 

T 

Θ 

T 

Θ 

N 

N 

Θ 

μ 

dΩ; 

dΩ 

(45) 

Considera-se n D , n Θ e n μ o número de variáveis generalizadas D , Θ e m, 

e 

respectivamente, considerando todo a malha de elementos finitos e n D , n 

e 

Θ e n e μ o 

número das mesmas variáveis por elemento. 

Na modelagem o multiplicador de lagrange μ é descontínuo através dos elementos. Tal 

opção permite desacoplar a equação 44 ao nível de elemento, podendo-se condensar 



147 

tanto os graus de liberdade Θ dos pontos internos quanto o número de multiplicadores 

generalizados de Lagrange por elemento n e μ . Por exemplo, se μ é constante em um 

elemento n e μ = 1, como para o elemento de treliça de três nós, TRU-3, uma variável 

generalizada interna Θ i pode ser eliminada. Deste modo, as n Θ equações 43 permitem 

calcular as n μ variáveis μ e as (nΘ − n μ ) variáveis restantes Θ como função de 

todas as variáveis D . Devido à necessidade de continuidade do campo aproximado Θ , 

esta parte deve ser processada em escala estrutural, mas apenas uma vez na análise toda. 

Finalmente, substituindo estes valores na função generalizada de danificação 41 obtémse 

a fase de correção discretizada, na forma de um problema de complementariedade 

não- linear, diretamente obtido do princípio da mínima energia: 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

f ≡ϕ ε − a ε + b D + d ε, D −k −GD ≤0 

, 

T 

ΔD ≥ 0, 

f ΔD= 

0 

(46) 

onde a matriz G , que depende das matrizes de interpolação NΘ , N D e N μ , 

considera os termos gradientes. 

O processo de solução do problema seguido neste trabalho para a fase de correção pode 

ser interpretado como ‘Método de restrições discretas de Kirchhoff’ (discrete Kirchhoff 

constraints approach). Tal método foi introduzido por Zienkiewicz & Taylor 31 no 

contexto da formulação de elementos de viga, membrana e casca, desprezando-se a 

deformação por cisalhamento. 

Os problemas da fase de correção são facilmente resolvidos, uma vez que os conjuntos 

de equações 37 e 41-42 têm a forma de um problema de complementariedade nãolinear 

(PCNL). Caso d = 0 tem-se o problema de complementariedade linear (PCL) e 

a solução é menos complexa. 

4 Exemplos 

4.1 Exemplo teórico unidimensional 

Para o exemplo unidimensional, considerem-se as discretizações em 40 (malha 1), 80 

(malha 2) e 160 (malha 3) elementos de uma barra dinamicamente tracionada, conforme 

Figura 9. Para integração dinâmica, a amplitude do passo de tempo é Δt = 5x10 -7 . Com 

relação à carga aplicada F(t), σ refere-se à tensão máxima, a partir da qual se inicia a 

danificação do material e o regime de amolecimento. 


148 


F ( t ) 

L 

⎧ 0 para t < 0 

= ⎨ 

⎩0. 

53σ 

A para t ≥ 0 

L = 100 mm 

A =1mm 

ρ = 2 ⋅10 

b 

b 

1 

3 

= b 

2 

= b 

4 

2 

−8 

= 0 

Ns 

= 2× 

10 

E = 20000MPa 

Figura 9 - Exemplo unidimensional: dados geométricos, de carregamento e do material. 

F(t) 

F(t) 

F(t) 

2 

−4 

mm 

4 

MPa 

A Figura 10 mostra a reação no engaste em função do tempo (linhas sólidas), para as 

três diferentes malhas, com o modelo A de dano a gradiente (c 1 = 0.05N, c 2 = 0, a = 0). 

A linha pontilhada representa a solução elástica. O bloco de onda anda elasticamente até 

encontrar o engaste. Devido à reflexão, a tensão dobra ( σ = 1. 06σ 

) e se inicia a 

danificação ao longo da barra. O exemplo mostra que há independência dos resultados 

em relação à discretização adotada. 

R [N] 

4 

3 

2 

1 

0 

0.0E+0 5.0E-5 1.0E-4 1.5E-4 2.0E-4 2.5E-4 

t [s] 

Figura 10 - Evolução da reação no engaste para as três malhas. 

A barra da Figura 9 é analisada para valores particulares dos parâmetros de difusão e da 

constante a: c 1 = 0. 

05N , c2 

= 0, 

a = 0 (modelo A), c 1 = 0. 

05N , c2 

= 0, 

a = 1 

2 

(modelo B) e c 1 = 0. 

05N , c2 

= 12 Nmm , a = 0 (modelo C). Os perfis de dano no 

final das análises, são mostrados na Figura 11a,b,c, respectivamente. Eles convergem 

rapidamente para um perfil independente da malha, com o refinamento. A evolução do 

dano durante a análise, para a malha 2, é mostrada nas Figuras 11d,e,f. 



149 

Figura 11 - Dano no final das análises e sua evolução para os modelos A(a,d), B(b,e) e C(c,f). 

A evolução do dano durante as análises dos modelos A e B, em alguns elementos da 

malha 3, é mostrada nas Figuras 12a,b, respectivamente (elemento 1 é o elemento mais 

próximo ao engaste e o elemento 60 é o último elemento que se danifica durante a 

análise). No início do processo de danificação, de t = 10 -4 e t = 1.4 x 10 -4 s, a zona de 

localização aumenta e um número cada vez maior de elementos entra em regime de 

danificação; depois surge a zona de localização e sua largura diminui; os elementos 

distantes do engaste descarregam e o dano estaciona para um número cada vez maior de 

elementos. Percebe-se que, para o modelo B, este fenômeno é menos pronunciado. 

D 

1.0 

1 

5 

D 

1.0 

1 

5 

0.8 

10 

0.8 

10 

0.6 

15 

0.6 

15 

0.4 

0.2 

0.0 

0.0E+0 1.0E-4 2.0E-4 3.0E-4 

t [s] 

20 

25 

30 

35 

40 

50 

60 

0.4 

0.2 

0.0 

0.0E+0 1.0E-4 2.0E-4 3.0E-4 

t [s] 

(a) 

(b) 

Figura 12 - (a) Evolução do dano para modelo A. (b) Evolução do dano para modelo B. 

20 

25 

30 

35 

40 

50 

60 


150 


4.2 Viga com entalhe 

O terceiro exemplo bidimensional refere-se a um teste em uma viga com entalhe de 

concreto, analisada por Meyer et al. 39 assumindo uma aproximação de fissuração 

contínua (smeared crack approach). Os testes experimentais deste exemplo também 

foram realizados por Meyer et al. 39 com controle de deslocamentos. A Figura 13 mostra 

os dados geométricos da viga e os parâmetros do modelo A de dano, obtidos de maneira 

a melhor adaptar a curva numérica de tração uniaxial do concreto àquela experimental 

fornecida em Meyer et al. 39 . A análise foi feita usando três malhas A, B e C de 724, 

1412 e 2148 elementos triangulares a deformação plana (Figura 14). 

2000 mm 

largura = 50 mm 

100 mm 

200mm 

Figura 13 - Geometria da viga e parâmetros do material. 

E = 30000 N/mm 2 

b 1 = 32.0 N/mm 2 

b 2 = 0 

b 3 = 0.0004 N/mm 2 

k = 0.001 N/mm 2 

c 1 = 9.0 N 

(a) (b) (c) 

Figura 14 - Malhas usadas na análise da estrutura: (a) 724 (malha 1), (b) 1412 (malha2) e (c) 

2148 (malha 3) elementos. 

Na Figura 15, mostra-se as respostas Força - Deflexão. Pode-se observar uma boa 

aproximação entre resultados numéricos e experimentais. Além disso, as curvas 

computadas convergem para uma solução independente da malha, com o refinamento, 

também no ramo descendente. 



151 

F [N] 

1000 

800 

Dados experimentais, 

conforme M eyer et al [1994] 

600 

400 

724 elementos 

200 

1412 elementos 

2148 elementos 

0 

0.00 0.30 0.60 0.90 

deflexão [mm] 

Figura 15 - Curva Força (P) - Deflexão (u). 

A Figura 16 compara as configurações deformadas, para uma deflexão de 0.5 mm, 

obtida com as três malhas (fator de ampliação 300). Devido à localização do dano, altas 

deformações podem ser observadas perto do entalhe, mas a configuração de deformação 

é praticamente independente da malha. 

(a) (b) (c) 

Figura 16 - Configuração da deformada com deslocamento central imposto de 0.5 mm, para 

as malhas (a) 1, (b) 2 e (c) 3. 

5 SÍNTESE E CONCLUSÕES 

O trabalho enfoca o problema de localização de deformações decorrente do emprego de 

modelos constitutivos com ‘softening’. Inicialmente, descreve-se o fenômeno da 

localização que, em uma análise numérica, explica o surgimento de problemas como a 


152 


dependência dos resultados com a discretização adotada. Em outras palavras, nos 

modelos constitutivos clássicos, baseados em uma descrição local do comportamento do 

material, a largura da zona de localização tende a zero, uma vez que a simulação 

procura encontrar uma condição compatível com uma fratura discreta. 

Entre as técnicas de regularização da resposta numérica propostas na literatura, o 

trabalho trata daquela que consiste na inclusão de gradientes de ordem superior na 

função de escoamento. Os parâmetros que acompanham os termos com gradiente são 

chamados parâmetros de difusão e são considerados neste trabalho, como características 

do material. 

Segue o estudo de regularização dos modelos elásticos com dano. Diferentemente do 

modelo elasto-plástico, regularizado com gradientes segundo e quarto e com parâmetros 

de difusão constantes, não se apresenta, no modelo de dano, uma largura de banda fixa e 

finita, sendo que a mesma tende a zero na medida que o valor do parâmetro de dano 

tende à unidade. Três modelos com gradiente foram estudados: gradiente segundo com 

parâmetro de difusão constante, gradiente segundo com parâmetro de difusão nãoconstante, 

gradientes segundo e gradiente quarto com parâmetros de difusão constantes. 

Novamente a questão da largura da banda de localização foi abordada via uma análise 

de propagação de ondas. Conclui-se que é possível reproduzir uma largura finita ao 

final da análise, no caso de parâmetros de difusão variáveis com o dano; o gradiente 

quarto tende a retardar o processo de formação da descontinuidade, ou largura nula. 

Os modelos apresentados foram implementados com o emprego do Método dos 

Elementos Finitos em sua formulação em variáveis generalizadas. A base variacional de 

tal técnica permite uma implementação numérica do modelo a gradiente sem a 

necessidade de impor a priori condições extra de contorno. Os exemplos ilustram os 

diversos aspectos do modelo, evidenciados nas análises teóricas, e apontam limites de 

aplicabilidade da técnica de regularização adotada. 


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