As Fronteiras de Shilov e de Bishop - Pós-Graduação IM - UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rafael Monteiro dos Santos
As Fronteiras de Shilov e de Bishop
Rio de Janeiro
2008

Rafael Monteiro dos Santos
As Fronteiras de Shilov e de Bishop
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação do Instituto de
Matemática , da Universidade Federal do
Rio de Janeiro , como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre
em Matemática .
Orientadora: Luiza Amália de Moraes
Rio de Janeiro
2008

À minha família.
À minha noiva,
Giselle.
ii

Agradecimentos
A Deus , acima de tudo.
À minha orientadora , Luiza Amália de Moraes , por ser a principal responsável pela
minha formação matemática e por sua paciência , sempre aliada à boa vontade.
Ao professor Antônio Roberto da Silva , pelo aprendizado em vários aspectos , especialmente
o profissional .
Ao professor Nilson da Costa Bernardes Junior , pelas contribuições decisivas na solução
de problemas relativos a esta dissertação .
À minha noiva , Giselle , pela motivação nos momentos de desânimo , por seu amor e
companherismo.
À minha família , pelo apoio incondicional.
Aos meus amigos , sempre dispostos a me ajudar.
Aos professores do IM-UFRJ , pela atenção e pelos cursos ministrados com competência ,
na graduação e na pós-graduação.
Ao CNPq , pelo suporte financeiro.
iii

Ficha Catalográfica
Santos, Rafael Monteiro dos.
As Fronteiras de Shilov e de Bishop / Rafael Monteiro
dos Santos. Rio de Janeiro, 2008.
vii, 82 p., 1cm.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2008.
Referências Bibliográficas: p. 81-82.
1. O Teorema Shilov. 2. O Teorema de Bishop.
3. Fronteiras em Espaços de Funções. I. Moraes,
Luiza Amália de. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de
Pós-graduação do Instituto de Matemática. III. Título.
iv

As Fronteiras de Shilov e Bishop
Rafael Monteiro dos Santos
Orientadora : Luiza Amália de Moraes
Um resultado clássico de Shilov estabelece que se X é um espaço topológico compacto
de Hausdorff e se A é uma subálgebra de C(X) que separa os pontos de X e que contém a
unidade, então existe um conjunto minimal fechado M ⊂ X tal que max|f(x)| = max |f(m)|
x∈X m∈M
para toda f ∈ A . Este conjunto é conhecido como a fronteira de Shilov de A .
Cinco anos após o artigo de Shilov , Bishop provou que se A é uma álgebra de Banach
de funções contínuas definidas em um espaço metrizável compacto X que separa os pontos
de X, então existe um conjunto minimal M ⊂ X (não necessariamente fechado) que satisfaz
a seguinte condição : Para cada f ∈ A , existe m ∈ M tal que | f(m)| = max
x∈X | f(x)| .
O principal objetivo deste trabalho é apresentar os Teoremas de Shilov e de Bishop. Em
conexão com estes, apresentamos um resultado devido a H. G. Dales sobre a densidade de
pontos de pico na fronteira de Shilov. Um exemplo (devido a K. Jarosz) de conjunto de pico
sem pontos de pico conclui o trabalho .
v

As Fronteiras de Shilov e Bishop
Rafael Monteiro dos Santos
Supervisor : Luiza Amália de Moraes
A classical result of Shilov states that if X is a compact Hausdorff topological space and
A is a separating subalgebra of C(X) with unit then there is a minimal closed set M ⊂ X
such that max| f(x)| = max | f(m)|
x∈X m∈M
boundary of A .
for every f ∈ A . This set is known as the Shilov
Five years after Shilov’s paper, Bishop proved that if A is a separating Banach algebra
of continuous functions on a compact metrizable space X, then X has a minimal subset M
(not necessarily closed) satisfying the following condition : For each f ∈ A , there exists
m ∈ M such that | f(m)| = max
x∈X | f(x)| .
The main purpose of this work is to present the Shilov’s Theorem and the Bishop’s
Theorem. In connection, we present a result due to H. G. Dales about the density of peak
points in the Shilov boundary. We finish the work with an example (due to K. Jarosz) of a
peak set without peak points .
vi

Sumário
1 Noções de Topologia Geral , Análise Funcional e Álgebras de Banach 3
1.1 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 O Teorema de Shilov 32
2.1 Conjuntos Maximais e Fronteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 O Teorema de Bishop 46
3.1 O Teorema de Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Exemplo de um Conjunto de Pico sem Ponto de Pico . . . . . . . . . . . . . 65
vii

Introdução
Sejam X um espaço topológico compacto e H um subconjunto do espaço C(X) das
funções contínuas de X em IC (ou IR ) . Um subconjunto F de X é uma fronteira para H
se para toda f ∈ H existe x 0 ∈ X tal que | f(x 0 )| = max | f(x)| . Um exemplo trivial de
x∈X
fronteira é o próprio conjunto X , mas outras fronteiras podem estar contidas propriamente
em X . Um exemplo simples e capaz de ilustrar esta situação ocorre quando H é o conjunto
das funções complexas contínuas definidas em ∆ = {z ∈ IC : |z| ≤ 1} que são analíticas no
interior de ∆ .
fronteira para H .
Pelo Teorema do Módulo Máximo , a fronteira topológica de ∆ é uma
Em 1954 , Shilov mostrou (consulte a referência [15] ) um importante teorema sobre a
existência e a unicidade de fronteira minimal fechada para álgebras de Banach comutativas .
O Teorema de Shilov motivou um grande desenvolvimento no estudo das álgebras de Banach
comutativas , sobretudo das subálgebras fechadas de C(X) com a norma do supremo que
contém a unidade e separam os pontos de X .
A demonstração que apresentamos para o
Teorema de Shilov está baseada na demonstração deste teorema apresentada em [13] .
Devido à importância deste teorema , convencionou-se chamar Fronteira de Shilov de A
à fronteira minimal fechada de A , quando esta existe e é única .
Em 1959 , Bishop provou a existência de uma , e só uma , fronteira minimal para uma
subálgebra A de C(X) munida da norma do supremo que separa os pontos de X , quando
X , além de ser compacto , é metrizável (consulte a referência [1] ) . Sob estas condições ,
o Teorema de Bishop prova que a fronteira minimal para A é o conjunto dos pontos de pico
para A . Como conseqüência imediata dos Teoremas de Bishop e de Shilov , temos que se
a álgebra A satisfaz as hipóteses do Teorema de Bishop , a fronteira de Shilov de A é o
fecho da fronteira de Bishop de A .

Neste trabalho , apresentamos os Teoremas de Shilov e de Bishop e diversos resultados
relacionados a eles . Exemplos enriquecem e ilustram o texto, destacando a importância de
algumas hipóteses de ambos os teoremas centrais .
No primeiro capítulo , enunciamos sem demonstração alguns teoremas da Topologia
Geral e da Análise Funcional . Em seguida , exploramos timidamente a teoria das álgebras
de Banach , apresentando alguns resultados e dando exemplos de álgebras de Banach .
No segundo capítulo , após definir conjunto de pico , ponto de pico e fronteira , demonstramos
o Teorema de Shilov e alguns dos seus corolários, dentre eles uma caracterização
dos pontos da fronteira de Shilov . Em seguida , finalizando o capítulo , retomamos alguns
dos exemplos do capítulo anterior , a fim de determinar as fronteiras de Shilov de álgebras
apresentadas e mostramos , através de um exemplo , que se A é uma subálgebra real de
C(X, IC) , então a fronteira de Shilov de A pode não existir .
O terceiro capítulo trata da existência de fronteira minimal não necessariamente fechada .
O teorema central deste capítulo é o Teorema de Bishop e dois de seus corolários motivam
outros resultados abordados neste capítulo . Um deles é apresentado por meio de um teorema
devido a H. G. Dales (consulte a referência [2] ) que , sob condições um pouco mais gerais
que as exigidas no Teorema de Bishop , prova que o conjunto dos pontos de pico é denso
na fronteira de Shilov da álgebra em questão . Posteriormente , apresentamos um exemplo,
devido a Jarosz, de um conjunto de pico sem ponto de pico (consulte a referência [6]) . A
apresentação deste exemplo foi motivada por um corolário do Teorema de Bishop que mostra
que , uma vez satisfeitas as hipóteses do Teorema de Bishop , todo conjunto de pico para a
álgebra considerada possui ponto de pico .
2

Capítulo 1
Noções de Topologia Geral , Análise
Funcional e Álgebras de Banach
Apresentaremos , neste primeiro capítulo , algumas definições e resultados básicos de
Topologia Geral , Análise Funcional e Álgebras de Banach , capazes de dar-nos suporte nos
próximos capítulos . Durante todo o texto , IN denotará o conjunto dos números naturais ,
IR o corpo dos números reais e IC o corpo dos números complexos . Além disso , assumiremos
conhecidas as definições e os resultados básicos das Análises Real e Complexa e da
Álgebra Linear .
O corpo de escalares dos espaços vetoriais com os quais trabalharemos será sempre IR
ou IC , e na maioria dos resultados e definições será indiferente trabalhar com um ou outro .
Portanto , reservaremos o símbolo IK para representar o corpo dos reais ou dos complexos ,
nas situações onde ambos podem ser o corpo de escalares do espaço vetorial em questão .
Se X é um conjunto arbitrário e Y ⊂ X , denotaremos o complementar de Y em X ,
ou seja , o conjunto {x ∈ X : x /∈ Y } , por X \Y ou por Y c .
Para definições e resultados sobre espaços métricos e espaços normados , sugerimos as

eferências [10] e [16] , respectivamente .
1.1 Topologia Geral
Antes de introduzir as noções de topologia geral , fixaremos algumas notações que usaremos
neste trabalho .
Se X for um conjunto arbitrário e d for uma métrica em X , o espaço métrico (X, d)
será denotado apenas por X desde que d esteja clara no contexto .
Analogamente , denotaremos um espaço normado (E, ‖.‖) por E se não houver dúvida
quanto à norma em questão .
Dado um espaço métrico X , um ponto x ∈ X e um real positivo r , a bola aberta
e a bola fechada de centro x e raio r serão denotadas , respectivamente , por B(x, r) e
B(x, r) . Se E for um espaço normado , denotaremos a esfera unitária de E por S E .
Dados dois espaços métricos (X 1 , d 1 ) e (X 2 , d 2 ) , uma isometria de X 1 em X 2 é uma
aplicação f : X 1 −→ X 2 tal que d 1 (x, y) = d 2 (f(x), f(y)) , para todo par x, y ∈ X 1 . Se
f é bijetiva , então a inversa de f também é uma isometria e , neste caso , dizemos que
X 1 e X 2 são isométricos .
A seguir apresentamos as noções sobre Topologia Geral que consideramos essenciais a um
bom entendimento dos principais teoremas deste texto .
Definição 1.1. Se X é um conjunto arbitrário , uma topologia em X é uma coleção T
formada por subconjuntos de X que satisfaz as seguintes condições :
i) ∅ e X são elementos de T ;
ii) a união de qualquer coleção de elementos de T está em T ;
4

iii) a interseção de qualquer coleção finita de elementos de T pertence a T .
Neste caso , o par (X , T ) é dito um espaço topológico . Quando não houver dúvidas
quanto à topologia considerada , esta será omitida e representaremos o par (X, T ) somente
pela letra X .
Se (X , T ) for um espaço topológico , então chamaremos os elementos de T de conjuntos
abertos e , dado x ∈ X , diremos que um conjunto V ⊂ X é uma vizinhança de x se
existir A ∈ T tal que x ∈ A e A ⊂ V .
Em particular , toda vizinhança de um ponto
x ∈ X contém x e todo aberto contendo x é uma vizinhança deste ponto .
Exemplo 1.1. Se (X, d ) é um espaço métrico , então d gera uma topologia em X . De
fato , seja T a coleção formada pelos conjuntos A ⊂ X tais que para todo ponto a ∈ A
existe r a > 0 satisfazendo B(a , r a ) ⊂ A .
Não há dificuldades em provar que T satisfaz
as condições de i) a iii) da definição 1.1 , e , portanto , é uma topologia em X .
Neste
caso , diremos que a topologia T é proveniente da métrica d . Em particular , todo espaço
normado é um espaço topológico com a topologia proveniente da métrica definida a partir
de sua norma . Por estas observações , IR e IC munidos da topologia proveniente do valor
absoluto são exemplos de espaços topológicos .
Definição 1.2. Dizemos que X é um espaço metrizável , se este é um espaço topológico
cuja topologia é proveniente de alguma métrica definida em X .
Durante este trabalho , a menos que haja menção contrária , nossos espaços métricos e
normados serão considerados espaços topológicos munidos da topologia proveniente de sua
métrica ou norma .
Definição 1.3. Sejam X um espaço topológico e F ⊂ X . Dizemos que F é um conjunto
fechado se seu complementar X \F é um conjunto aberto .
Seja F a coleção formada pelos conjuntos fechados de um espaço topológico X . Não
é difícil ver que F satisfaz as condições abaixo :
5

i) ∅ e X estão em F ;
ii) a interseção de qualquer coleção de elementos de F está em F ;
iii) a união de qualquer coleção finita de elementos de F pertence a F .
É possível definir uma topologia num conjunto X através de seus conjuntos fechados e ,
para isto , basta que uma coleção F de subconjuntos de X satisfaça as condições listadas
acima . Se isto ocorrer , a família T formada pelos complementares dos elementos de F
será a topologia desejada .
Definição 1.4. Sejam X um espaço topológico , Y ⊂ X e w, x, y, z ∈ X . Dizemos que
w é um ponto interior de Y se existe uma vizinhança U w deste ponto contida em Y . O
conjunto dos pontos interiores de Y é chamado de interior de Y e contém todos os abertos
contidos em Y . Dizemos que x é um ponto de fronteira de Y se para cada vizinhança
U x
de x , temos que Y ∩ U x ≠ ∅ e (X \Y ) ∩ U x ≠ ∅ . O conjunto dos pontos de fronteira
de Y é chamado de fronteira de Y . Dizemos que y é um ponto de acumulação de Y
se para toda vizinhança U y de y , existe t ∈ U y ∩ Y tal que t ≠ y . Finalmente , z é um
ponto aderente de Y se para toda vizinhança U z deste ponto , temos que Y ∩ U z ≠ ∅ .
O conjunto dos pontos aderentes de Y é chamado de fecho de Y e está contido em todos
os fechados que contém Y . Denotaremos o interior de Y por intY , a fronteira de Y por
FrY e o fecho de Y por Y .
Quando houver mais de uma topologia definida no mesmo conjunto X , especificaremos
em qual delas o fecho , o interior ou a fronteira de um subconjunto de X está sendo tomada .
Se for este o caso , quando usarmos as notações introduzidas na definição acima , da mesma
forma não deixaremos dúvidas quanto à topologia considerada .
Definição 1.5. Sejam Y e Z dois subconjuntos de um espaço topológico X . Dizemos
que Y é denso em Z quando Y ⊃Z .
6

Seja X um espaço topológico e sejam Y e Z subconjuntos de X . Não é difícil verificar
que Y é fechado se , e somente se , Y = Y , assim como Z é aberto se , e somente se ,
Z = int Z . Além disso , int Y ∩ Fr Y = ∅ e Y = int Y ∪ Fr Y .
Definição 1.6. Um espaço topológico X é um espaço de Hausdorff se para dois pontos
distintos x, y ∈ X quaisquer , existem vizinhanças V x e V y de x e y , respectivamente ,
tais que V x ∩ V y = ∅ .
É fácil ver que num espaço de Hausdorff todo conjunto finito é fechado e que todo espaço
métrico é um espaço de Hausdorff .
Definição 1.7. Sejam T 1 e T 2 duas topologias no mesmo conjunto X . A topologia T 1
será dita mais fina que T 2 , ou T 2 menos fina que T 1 , se todo elemento de T 2 for
também elemento de T 1 .
Definição 1.8. Seja C uma família de subconjuntos de X e seja I c a coleção formada
pelas interseções finitas de elementos de C . O conjunto formado pelas uniões arbitrárias
de elementos de I c é uma topologia em X denominada topologia gerada por C . Neste
caso , dizemos que C é uma subbase ou um sistema de geradores para esta topologia .
A topologia gerada por C é a menos fina contendo esta família , ou , equivalentemente , é
a menos fina segundo a qual os elementos de C são abertos .
Definição 1.9. Se (X , T ) é um espaço topológico , então uma coleção B ⊂ T é uma base
para T (ou para X , quando a topologia for omitida) se todo aberto de T é uma união
de elementos de B . Neste caso , os elementos de B são chamados de abertos básicos .
Claramente , se B é uma base para a topologia T , então esta é a topologia gerada por
B . Além disso , se S é uma subbase para T , a coleção formada pelas interseções finitas
de elementos de S é uma base para T . Também é fácil ver que toda topologia possui pelo
menos uma base , a formada por todos os seus elementos .
7

Uma conseqüência imediata desta definição é a seguinte caracterização : B é uma base
para um espaço topológico X se , e somente se , para cada aberto A ⊂ X e cada a ∈ A ,
existe B ∈ B tal que a ∈ B ⊂ A . Segue desta caracterização que em todo espaço metrizável
, a coleção das bolas abertas é uma base .
Definição 1.10. Consideremos os espaços topológicos (X , T 1 ) e (Y , T 2 ) . Uma aplicação
f : X −→ Y é dita contínua se para todo conjunto aberto A na topologia T 2 , a imagem
inversa de A por f , ou seja , o conjunto f −1 (A) = {x ∈ X : f(x) ∈ A} , é um conjunto
aberto na topologia T 1 . Se além de ser contínua , f for bijetiva e sua função inversa for
contínua , então dizemos que f é um homeomorfismo .
O resultado a seguir segue diretamente da definição 1.10 .
Proposição 1.1. Sejam X , Y e Z espaços topológicos . Se as aplicações f : X −→ Y e
g : Y −→ Z são contínuas , então a composta g◦f : X −→ Z é contínua .
A próxima proposição oferece formas alternativas para verificação da continuidade de uma
função e sua demonstração será omitida por ser uma conseqüência imediata das definições
anteriores .
Proposição 1.2. Sejam (X , T 1 ) e (Y , T 2 ) espaços topológicos . Se B 1 e B 2 são bases
para T 1 e T 2 , respectivamente , e f é uma aplicação de X em Y , então as condições
abaixo são equivalentes :
i) f é contínua ;
ii) f −1 (A) é aberto para todo A ∈ B 2 ;
iii) para cada x ∈ X e cada A 2 ∈ B 2 com f(x) ∈ A 2 , existe A 1 ∈ B 1 contendo x tal
que f(A 1 ) ⊂ A 2 .
8

Definição 1.11. Sejam X um conjunto e {Y j } j∈J
uma família de espaços topológicos .
Para cada j ∈ J , sejam f j uma aplicação de X em Y j , O j a coleção formada pelos
abertos do espaço Y j e C j a coleção das imagens inversas dos elementos de O j pela
aplicação f j . Se S = ⋃ j ∈J C j , então a topologia gerada por S é a topologia fraca
definida pela família F = {f j } j∈J
em X , que denotaremos por σ(X, F) . Esta topologia
recebe este nome por ser a topologia menos fina em X que torna todas as aplicações da
família {f j } j∈J
contínuas .
A seguir apresentaremos alguns exemplos importantes de topologias fracas que serão
utilizados posteriormente .
Exemplo 1.2. Sejam X um espaço topológico e Y ⊂ X . Se f : Y −→ X é a aplicação
definida , em cada y ∈ Y , pela equação f(y) = y , então a topologia fraca definida em
Y pela família unitária {f} é a topologia induzida em Y pela topologia de X . Neste
caso , diremos que Y com a topologia induzida é um subespaço topológico de X . Os
abertos na topologia induzida são as interseções dos abertos de X com Y , assim como
seus fechados são as interseções dos fechados de X com Y . Equivalentemente , poderíamos
definir a topologia induzida por X em Y diretamente por seus abertos , dizendo apenas
que esta é a topologia formada pelas interseções dos abertos de X com Y .
Exemplo 1.3. Sejam {X j } j∈J
uma família de espaços topológicos , X = ∏ j∈J X j e ,
para cada índice j em J , π j : X −→ X j
a projeção de X sobre X j , isto é , a aplicação
definida em cada x = {x i } i∈J
∈ X por π j (x) = x j . A topologia fraca definida em X
pela família {π j } j∈J
é chamada de topologia produto . Esta é a topologia menos fina
em X na qual as projeções são contínuas . A coleção formada pelos conjuntos da forma
∏
j∈J A j , onde cada A j é um aberto em X j e apenas para um número finito de índices i
tem-se que o aberto A i
não é o espaço X i , é uma base para a topologia produto . Se X é
o produto cartesiano finito de espaços topológicos , digamos X 1 , . . . , X n , e B é a coleção
dos subconjuntos de X da forma U 1 × . . . × U n , onde cada U i
9
é um aberto em X i , então

B é uma base para a topologia produto .
Exemplo 1.4. Sejam X um conjunto e F uma família de funções f : X −→ IK. Consideremos
em X a topologia fraca σ (X , F) definida por F .
O objetivo deste exemplo
é , além de apresentar uma topologia útil , determinar uma base para σ (X , F) .
Para
isto , sejam B a coleção das imagens inversas das bolas abertas de IK pelas funções de
F e U o conjunto formado pelas interseções finitas de elementos de B .
Como a coleção
das bolas abertas é uma base para a topologia de IK , U é uma base para σ (X , F) .
Além disso , para cada W ∈ B , existe uma bola aberta B(y, ɛ) ⊂ IK
f ∈ F tais que W = f −1 (B(y, ɛ) ) .
e uma função
Logo , se U ∈ U , então existe um número finito
de bolas abertas B(y 1 , ɛ 1 ), . . . , B(y n , ɛ n ) ⊂ IK e de funções f 1 , . . . , f n ∈ F tais que
U = f −1
1 (B(y 1 , ɛ 1 ) ) ∩ . . . ∩ f −1
n (B(y n , ɛ n ) ) .
Agora , sejam V a coleção dos conjuntos V ⊂ X para os quais existem uma família finita
F V ⊂ F , x v ∈ X e ɛ > 0 tais que V = {x ∈ X : |f(x) − f(x v )| < ɛ , para toda f ∈ F V } .
Verificaremos que a topologia gerada por V é a topologia σ (X , F) .
Seja T a topologia gerada por V em X , que , pela definição 1.8 , é a topologia
menos fina contendo esta coleção . Por U ser uma base para σ (X , F) e V ⊂ U ,
temos que os elementos de V
estão em σ (X , F) , e , conseqüentemente , σ (X , F) é
mais fina que T . Por outro lado , sejam f ∈ F e w ∈ X . Dado ɛ > 0 , o conjunto
V f = f −1 (B(f(w) , ɛ ) ) = {x ∈ X : | f(x) − f(w)| < ɛ} satisfaz f (V f ) ⊂ B (f(w) , ɛ ) e é
um aberto em T , já que V f ∈ V . Em outras palavras , f é contínua em T . Decorre da arbitrariedade
de f que todas as funções de F são contínuas na topologia T , e pela definição
1.11 , isto significa que T é mais fina que σ (X , F) , provando que estas topologias , de
fato , coincidem .
Resumindo , demonstramos que se X é um conjunto e F é uma família de funções
f : X −→ IK , então a coleção de subconjuntos de X da forma V (x 0 ; f 1 , . . . , f n ; ɛ) =
{x ∈ X : | f i (x) − f i (x 0 )| < ɛ , i = 1, . . . , n} , onde x 0 ∈ X , {f i } n i=1
é uma subfamília
10

finita de F e ɛ > 0 , é uma base para a topologia fraca gerada por F em X .
Definição 1.12. Um conjunto J é um conjunto dirigido se nele está definida uma relação
binária ≤ que satisfaz as seguintes condições :
i) α ≤ α , para todo α ∈ J ;
ii) se α , β , λ ∈ J são tais que α ≤ β e β ≤ λ , então α ≤ λ ;
iii) para todo par α , β ∈ J , existe η ∈ J tal que α ≤ η e β ≤ η .
Neste caso , um subconjunto K de J é cofinal em J , se para todo α ∈ J existe
ξ ∈ K satisfazendo α ≤ ξ .
Segue das definições acima que se J é um conjunto dirigido e K ⊂ J é cofinal em J ,
então , com a ordem parcial herdada de J , K é um conjunto dirigido .
Definição 1.13. Dado um conjunto X , uma seqüência generalizada em X é uma
aplicação f de um conjunto dirigido J em X . Para cada α ∈ J , denotaremos f(α)
por x α e a seqüência generalizada f por (x α ) α∈ J
. Quando não houver dúvidas quanto ao
conjunto de índices J , escreveremos apenas (x α ) .
Se X é um espaço topológico , dizemos que uma seqüência generalizada (x α ) α∈ J
em X
converge para um ponto x neste espaço , se para cada vizinhança V de x existe α ∈ J
tal que x β ∈ V sempre que α ≤ β . Neste caso , x é o limite de (x α ) α∈ J
.
Uma seqüência generalizada (x α ) α∈ J
em um espaço topológico X é dita convergente
se ela converge para algum ponto de X . Quando julgarmos útil , usaremos a notação
x α −→ x para indicar que (x α ) α∈ J
converge para x .
A partir das definições anteriores , prova-se , sem dificuldades , as duas proposições
abaixo :
11

Proposição 1.3. Se (x α ) é uma seqüência generalizada convergente em um espaço de
Hausdorff X , então seu limite é único .
Proposição 1.4. Sejam Y um subconjunto de um espaço topológico X e (x α ) uma
seqüência generalizada em Y . Se (x α ) converge para um ponto x ∈ X , então x ∈ Y .
Em particular , se Y é fechado , então x ∈ Y .
Definição 1.14. Seja f : I −→ X uma seqüência generalizada e , para cada α ∈ I , seja
f(α) = x α . Se J é um conjunto dirigido , cuja ordem parcial será denotada pelo mesmo
símbolo da de I , e g : J −→ I é uma aplicação tal que g(J) é cofinal em I e g(i) ≤ g(j)
sempre que i ≤ j , então a composta f ◦g : J −→ X é uma subseqüência generalizada
de (x α ) . Por J ser dirigido , f ◦g é uma seqüência generalizada . Adaptando a notação
usada para seqüências generalizadas , podemos denotar a subseqüência generalizada f ◦g
por ( x g(j) , mas quando o desconhecimento de g não causar problemas , em analogia
)j∈ J
à notação usual para subseqüências , escreveremos ( x αj
)j∈ ou , apenas , ( )
xαj
J .
Proposição 1.5. Se X é um espaço topológico e (x α ) uma seqüência generalizada neste
espaço que converge para x ∈ X , então toda subseqüência generalizada de (x α ) também
converge para x .
Demonstração. Consulte a referência [17] , Teorema 11.5 , p.75 .
Proposição 1.6. Se X e Y são espaços topológicos e f é uma aplicação de X em Y ,
então f é contínua em x ∈ X se , e somente se , f(x α ) −→ f(x) para toda seqüência
generalizada (x α ) em X tal que x α −→ x .
Demonstração. Consulte a referência [17] , Teorema 11.8 , p.75 .
A partir dos resultados e definições anteriores , prova-se a proposição abaixo sem muitas
dificuldades .
12

Proposição 1.7. Sejam Y um espaço topológico e F uma família de funções de um
conjunto X em Y . Se X está munido da topologia σ(X , F) e (x α ) α∈ J é uma seqüência
generalizada em X , então x α −→ x se , e somente se , f(x α ) −→ f(x) para toda f ∈ F .
Definição 1.15. Se X é um conjunto e Y ⊂ X , então uma cobertura para Y é uma
família {Y α } α∈ J
de subconjuntos de X tal que Y ⊂ ⋃ α∈ J Y α . Neste caso , uma subcoleção
de {Y α } α∈ J é dita subcobertura para Y se é também uma cobertura para este
conjunto . Caso X seja um espaço topológico e todos os elementos de {Y α } α∈ J
sejam
abertos , dizemos que esta é uma cobertura aberta para Y .
Definição 1.16. Um subconjunto K de um espaço topológico X é compacto se toda
cobertura aberta para K admite subcobertura finita para o mesmo .
Proposição 1.8. Todo espaço compacto e metrizável possui base enumerável .
Demonstração. Consulte a referência [17] , Teorema 16.11 , p . 112 .
As demonstrações das próximas quatro proposições não são complicadas e podem ser
vistas na referência [12] , seções 3-5 e 3-6 .
Proposição 1.9. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto .
Proposição 1.10. Todo subconjunto compacto de um espaço Hausdorff é fechado .
Proposição 1.11. Sejam X e Y
espaços topológicos . Se f : X −→ Y é uma aplicação
contínua , então a imagem de um compacto por f é compacta .
Proposição 1.12. Se X é um espaço compacto e f : X −→ IR é contínua , então existem
pontos a e b em X tais que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) , para todo x ∈ X . Em outras palavras ,
f atinge máximo e mínimo em X .
13

Definição 1.17. Sendo X um conjunto qualquer , uma coleção E de subconjuntos de X
possui a propriedade da interseção finita , resumidamente P.I.F. , se toda subcoleção
finita de E possuir interseção não-vazia .
Teorema 1.1. Se X é um espaço topológico , então são equivalentes :
i) X é compacto ;
ii) todo família E de subconjuntos fechados de X com a P.I.F. possui interseção não-vazia ;
iii) toda seqüência generalizada em X possui subseqüência generalizada convergente .
Demonstração. Consulte a referência [17] , Teorema 17.4 , p.118 .
Definição 1.18. Sejam A e B conjuntos quaisquer e F uma família de aplicações de
A em B . Se para todo par de pontos distintos a, b ∈ A existe f ∈ F satisfazendo
f(a) ≠ f(b) , dizemos que F separa os pontos de A .
Lema 1.1. Sejam X um espaço compacto , Y um espaço de Hausdorff e F uma coleção
de aplicações contínuas de X em Y . Se F separa os pontos de X , então a topologia
σ(X, F) coincide com a topologia original de X .
Demonstração. Seja T
(x α ) α∈ J em X .
a topologia original de X e fixemos uma seqüência generalizada
Se (x α ) α∈ J converge para x ∈ X na topologia T , então , como toda aplicação f ∈ F
é contínua , (f(x α )) α∈ J converge para f(x) , para toda f ∈ F . Pela Proposição 1.7 , isto
significa que (x α ) α∈ J converge para x na topologia σ(X, F) .
Reciprocamente , suponhamos que (x α ) α∈ J convirja para x ∈ X na topologia σ(X, F) .
Neste caso , se (x α ) α∈ J não converge para x na topologia T , existe uma vizinhança aberta
V de x na topologia T tal que para cada α ∈ J temos um índice β ∈ J satisfazendo
14

β ≥ α , tal que x β /∈ V . Logo , existe uma subseqüência generalizada (y β ) β∈ I de (x α ) α∈ J
contida em X \V . Pela compacidade X \V na topologia T , (y β ) β∈ I possui uma subseqüência
generalizada convergente nesta topologia. Sejam (w λ ) λ∈ Λ esta subseqüência e w ∈
X \V o seu limite . Por F separar os pontos de X , existe g ∈ F tal que g(x) ≠ g(w) .
Como g é contínua na topologia T , por um lado temos que (g(w λ )) λ∈ Λ converge para g(w)
e por outro , lembrando que (x α ) α∈ J converge para x na topologia σ(X, F) , temos que
g((x α )) α∈ J converge para g(x) . Conseqüentemente , (g(w λ )) λ∈ Λ converge para g(x) ,
uma vez que (w λ ) λ∈ Λ é também subseqüência generalizada de (x α ) α∈ J . Finalmente ,
temos que (g(w λ )) λ∈ Λ possui dois limites distintos , o que contradiz o fato de Y ser de
Hausdorff .
Observação 1.1. Se F é uma família de aplicações contínuas de um espaço topológico X
em um espaço topológico de Hausdorff Y , que separa os pontos de X , então X é um
espaço de Hausdorff . Para verificar este fato , fixemos t 1 , t 2 ∈ X tais que t 1 ≠ t 2 . Como
F separa os pontos de X , existe f ∈ F tal que f(t 1 ) ≠ f(t 2 ) . Por Y ser de Hausdorff ,
existem vizinhanças V 1 e V 2 de f(t 1 ) e f(t 2 ) , respectivamente , tais que V 1 ∩ V 2 = ∅ .
Logo , pela continuidade de f , os conjuntos f −1 (V 1 ) e f −1 (V 2 ) são vizinhanças de t 1 e
t 2 , respectivamente , cuja interseção é vazia .
Teorema 1.2. (Tychonoff) Um produto arbitrário de espaços compactos é compacto na
topologia produto .
Demonstração. Consulte a referência [12] , Teorema 1.1 , p.232 .
O próximo exemplo será usado após um dos principais resultados deste trabalho , o
Teorema de Bishop , com o objetivo de destacar a importância de uma de suas hipóteses .
Exemplo 1.5. Seja Λ um conjunto não-enumerável e , para cada λ neste conjunto , seja
I λ
o espaço topológico formado pelo intervalo real fechado [ 0 , 1 ] munido da topologia
15

induzida pela topologia usual de IR . Como todo I λ é compacto , sendo X = ∏ λ∈Λ I λ , o
Teorema de Tychonoff nos diz que X com a topologia produto é compacto . Baseados na
referência [12] , exemplo 2 , p.131 , temos que X não é metrizável .
Definição 1.19. Se X é um espaço topológico onde os conjuntos unitários são fechados ,
dizemos que X é normal se para cada par A , B de subconjuntos fechados e disjuntos de
X , existem abertos disjuntos U , V ⊂ X tais que A ⊂ U e B ⊂ V .
Proposição 1.13. Todo espaço compacto de Hausdorff é normal .
Demonstração. Consulte a referência [12] , Teorema 2.4 , p.198 .
Teorema 1.3. (Lema de Urysohn) Sejam A e B subconjuntos fechados e disjuntos de um
espaço normal X . Se [a, b] é um intervalo real fechado , então existe uma função contínua
f : X −→ [ a , b ] tal que f(x) = a para todo x ∈ A e f(x) = b para todo x ∈ B .
Demonstração. Consulte a referência [12] , Teorema 3.1 , p.207 .
1.2 Análise Funcional
Nesta seção, enunciaremos alguns resultados bem conhecidos que usaremos posteriormente
. Para não carregar a notação , ao trabalharmos com mais de um espaço normado ,
usaremos a notação ‖.‖ para todas as normas envolvidas , desde que isto não comprometa
a clareza das informações .
Antes da próxima proposição lembraremos duas definições .
Definição 1.20. Uma seqüência (x n ) em um espaço normado E é uma seqüência de
Cauchy se para cada ɛ > 0 existe k ∈ IN tal que ‖x n − x m ‖ < ɛ sempre que n ≥ k e
m ≥ k .
16

Um espaço de Banach é um espaço normado E tal que toda seqüência de Cauchy em
E converge para um ponto de E .
Seja f uma aplicação de um espaço topológico X em um espaço normado E . Se existe
M > 0 tal que ‖f(x)‖ ≤ M para todo x ∈ X , então dizemos que f é limitada .
Proposição 1.14. Se E e F são espaços normados e f é uma aplicação linear de E em
F , então as condições abaixo são equivalentes :
i) f é contínua na origem ;
ii) f é contínua ;
iii) existe um número positivo M tal que ‖f(x)‖ ≤ M ‖ x‖ , para todo x ∈ E .
Demonstração. Consulte a referência [5] , Proposições 1 e 2 , p.36 .
Se E é um espaço normado sobre IK e f : E −→ IK é linear , então dizemos que f é
um funcional linear .
Definição 1.21. Seja f um funcional linear contínuo definido em E . Definimos a norma
de f , que denotaremos por ‖f‖ , pela igualdade
‖f‖ = inf {M > 0 : |f(x)| ≤ M ‖ x‖ , para todo x ∈ E} .
A Proposição 1.14 garante a existência deste ínfimo . A seguir , definiremos um espaço
vetorial onde , de fato , esta é uma norma , justificando a nomenclatura .
Definição 1.22. Seja E um espaço normado sobre IK e E ′ o conjunto dos funcionais
lineares contínuos definidos em E. Considere em E ′ a soma e o produto por escalar definidos
ponto a ponto , isto é , para cada par f, g ∈ E ′ e cada λ ∈ IK , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
e (λf)(x) = λf(x) , para todo x ∈ E . Com as operações assim definidas e a norma da
definição anterior , afirmamos que E ′ é um espaço de Banach , que chamaremos de dual
17

de E . A prova desta afirmação pode ser vista na referência [5] , capítulo 1 , p. 52 . É fácil
verificar que ‖f‖ também é igual ao supremo do conjunto { |f(x)| : x ∈ S E } .
Quando considerarmos um espaço normado E com a topologia σ(E, E ′ ) , diremos apenas
que E está munido da topologia fraca , omitindo a família de funcionais que gera esta
topologia .
Definição 1.23. Seja (x n ) uma seqüência num espaço de Banach E . Dizemos que a série
∞∑
∞∑
é absolutamente convergente , se a série de números reais ‖ x n ‖ converge .
x n
n=1
n=1
O teorema a seguir caracteriza os espaços de Banach através das séries absolutamente
convergentes .
Teorema 1.4. Se E é um espaço normado , então E é um espaço de Banach se , e somente
se , toda série absolutamente convergente em E converge .
Demonstração. Consulte a referência [16] , Teorema 4.3 , p. 67 .
Definição 1.24. Seja E um espaço normado sobre IK
e , para cada x em E , seja
δ x : E ′ −→ IK definida por δ x (f) = f(x) . A topologia fraca definida pela família {δ x } x∈E
em E ′ é chamada de topologia fraca estrela e é denotada por σ(E ′ , E) .
1.3 Álgebras de Banach
Definição 1.25. Um espaço vetorial A sobre IK é uma álgebra se nele estiver definida
uma operação de A × A em A , chamada multiplicação e denotada por justaposição , tal
que :
i) x (yz) = (xy) z ;
18

ii) x (y + z) = xy + xz e (y + z) x = yx + zx ;
iii) λ (xy) = (λx) y = x (λy) , para x, y, z ∈ A e λ ∈ IK .
Um subespaço vetorial B da álgebra A é uma subálgebra de A se xy ∈ B , para todo
x, y ∈ B . Dizemos que A é uma álgebra comutativa se xy = yx , para todo x, y ∈ A ,
e que A é uma álgebra com unidade se existir um elemento 1 ∈ A tal que 1x = x1 = x ,
para cada x ∈ A . Em geral , denotaremos a unidade de uma álgebra , quando ela existir ,
por 1 .
Definição 1.26. Sejam H um subconjunto de uma álgebra A e H 0 o conjunto formado
pelos pontos x ∈ A para os quais existe um número finito de elementos h 1 , . . . , h n ∈ H
satisfazendo x = h 1 h 2 . . . h n . Não há dificuldades em provar que o conjunto H ⊂ A das
combinações lineares finitas dos elementos de H 0 é uma subálgebra de A que contém H
e que está contida em qualquer álgebra contendo este conjunto . Neste caso , dizemos que
H é a álgebra gerada por H .
Definição 1.27. Um espaço normado (A , ‖ . ‖ ) sobre IK é uma álgebra normada se
A for uma álgebra sobre o mesmo corpo de escalares IK e ‖xy‖ ≤ ‖ x‖ ‖y‖ , para todo
x, y ∈ A . Se , além disso , (A , ‖ . ‖ ) for um espaço de Banach , diremos que A é uma
álgebra de Banach . Assim como na definição de espaço topológico , omitiremos a norma
na notação de álgebra normada desde que isto não gere dúvidas quanto à norma considerada .
Definição 1.28. Sejam A 1 e A 2 álgebras sobre o mesmo corpo IK . Dizemos que uma
aplicação ϕ : A 1 −→ A 2 é um homomorfismo , se esta preserva a estrutura algébrica de
A 1 , ou seja , se ϕ é linear e multiplicativa ( ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) , para todo x, y ∈ A 1 ) .
Um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo . Se existe um isomorfismo ϕ de uma
álgebra A 1 em outra A 2 , então a inversa ϕ −1 de A 2 em A 1 é também um isomorfismo ,
e , neste caso , dizemos que A 1 e A 2 são isomorfas .
19

Retornando à definição 1.25 , é fácil ver que a unidade de uma álgebra normada A é
única . Além disso , se A ̸= {0} e 1 é sua unidade , então , como ‖ 1‖ ≤ ‖ 1‖ ‖ 1‖ =
‖ 1‖ 2 , temos que ‖1‖ ≥ 1 . Na referência [8] , seção 1.3 , como conseqüência do Teorema
1.3.1 , temos que é possível definir uma norma ‖ . ‖ u
em A equivalente a original e
tal que ‖ 1‖ u
= 1 . Portanto , em nossas álgebras normadas com unidade , quando não
especificarmos com qual norma trabalharemos , a norma da unidade será sempre igual a 1 .
Resultados obtidos em álgebras normadas com unidade , nem sempre pemanecem válidos
nas álgebras sem unidade , e mesmo quando isto ocorre , normalmente as demonstrações
tornam-se mais complicadas . Vejamos como imergir isometricamente uma álgebra normada
qualquer em outra com unidade : seja A uma álgebra normada sobre IK e considere no
produto cartesiano A [ e ] = A × IK as operações soma , produto por escalar e produto
definidas , respectivamente , da seguinte forma :
i) (x, a) + (y, b) = (x + y, a + b) ;
ii) b(x, a) = (bx, ba) ;
iii) (x, a)(y, b) = (xy + ay + bx, ab) , quaisquer que sejam x, y ∈ A e a, b ∈ IK .
As verificações que A[e] com estas operações é uma álgebra sobre IK e que o elemento
e = (0, 1) ∈ A [e] é a unidade desta álgebra , são imediatas . É claro que com a norma
‖(x, a)‖ = ‖ x‖ + | a| , A[e] torna-se uma álgebra normada e definindo ϕ : A −→ A [e]
em cada x ∈ A por ϕ(x) = (x, 0) , é fácil verificar que ϕ é um isomorfismo isométrico
entre A e a subálgebra ϕ(A) de A[e] . Além disso , se A é uma álgebra de Banach ,
então A[e] também o é .
Deste momento em diante , nossas álgebras serão sempre comutativas e com unidade .
Vejamos alguns exemplos de álgebras :
Exemplo 1.6. O corpo dos números complexos IC com as operações usuais e munido do
20

valor absoluto é uma álgebra de Banach sobre IC comutativa e com unidade , assim como o
corpo dos reais é uma álgebra de Banach sobre IR comutativa e com unidade .
Exemplo 1.7. Sejam X um conjunto e E uma álgebra de Banach sobre IK . Se
B(X, E) é o conjunto de todas as aplicações limitadas de X em E , então é fácil verificar
que com as operações soma , produto por escalar e produto definidas ponto a ponto ,
B(X, E) é uma álgebra sobre IK .
A álgebra B(X, E) é comutativa uma vez que E é
comutativa e se 1 é a unidade de E , a aplicação f 1 ≡ 1 será a unidade de B(X, E) .
fácil verificar que a aplicação
‖ .‖ ∞
: B(X, E) −→ IR
f ↦−→ ‖f‖ ∞
= sup ‖f(x)‖
x∈ X
é uma norma em B(X, E) , a norma do supremo , e que com ela , B(X, E) é uma álgebra
normada . Provemos que B(X, E) é completo . Seja (f n ) uma seqüência de Cauchy em
B(X, E) . Neste caso , dado ɛ > 0 , existe n 0 ∈ IN tal que para todo n, m ≥ n o
‖f n (x) − f m (x)‖ ≤ ‖f n − f m ‖ ∞
< ɛ , para todo x ∈ X .
temos
É
Logo , para cada x ∈ X , a seqüência (f n (x)) é uma seqüência de Cauchy em E , que
é um espaço de Banach . Portanto , (f n (x)) é convergente para cada x ∈ X e , assim ,
está bem definida a aplicação
f : X −→ E
x ↦−→ limf n (x) .
n
Por (f n ) ser uma seqüência de Cauchy , existe k ∈ IN tal que para todo n, m ≥ k temos
que ‖f n (x) − f m (x)‖ < 1 , para todo x ∈ X . Fazendo m tender a infinito , temos que
‖f k (x) − f(x)‖ ≤ 1 , para todo x ∈ X . Com isto , ‖f(x)‖ ≤ ‖f k (x)‖ + 1 ≤ ‖f k ‖ ∞
+ 1 <
+∞ , para todo x ∈ X , o que implica f ∈ B(X, E) .
21

Agora , verifiquemos que {f n } converge para f na norma do supremo . Dado ɛ > 0 ,
existe p ∈ IN
tal que para todo n, m ≥ p , ‖f n (x) − f m (x)‖ < ɛ/2 , para todo x ∈
X . Mais uma vez , fazendo m tender a infinito , obtemos , para cada n ≥ p fixado ,
‖f n (x) − f(x)‖ ≤ ɛ/2 , para todo x ∈ X .
‖f n − f‖ ∞
≤ ɛ/2 < ɛ , para todo n ≥ p .
Conseqüentemente , sup ‖f n (x) − f(x)‖ =
x∈X
Em outras palavras , (f n ) converge para f na norma do supremo . Portanto , B(X, E)
com a norma do supremo é uma álgebra de Banach sobre IK .
Exemplo 1.8. Seja X um espaço topológico . Se E e B(X, E) são como no exemplo
anterior , então o subconjunto de B(X, E) formado pelas aplicações contínuas , que denotaremos
por B c (X, E) , é uma subálgebra fechada de B(X, E) . A partir disto , decorrerá
imediatamente do fato de B(X, E) ser um espaço completo , que B c (X, E) com a topologia
induzida pela topologia de B(X, E) é uma álgebra de Banach . Além disso , de forma
análoga ao exemplo anterior , B c (X, E) é comutativa e possui unidade .
Provaremos apenas que B c (X, E) é um subconjunto fechado de B(X, E) , uma vez que
a verificação das outras afirmações acima é simples .
Seja (f n ) uma seqüência em B c (X, E) que converge para uma aplicação f em
B(X, E) . Dados w ∈ X e ɛ > 0 , existe k ∈ IN tal que ‖f n − f‖ ∞
< ɛ/3 , para
todo n ≥ k . Além disso , como f k é contínua , existe vizinhança W de w tal que
f k (W ) ⊂ B(f k (w) , ɛ/3) . Logo , para todo x ∈ W ,
‖f(x) − f(w)‖ ≤ ‖f(x) − f k (x)‖ + ‖f k (x) − f k (w)‖ + ‖f k (w) − f(w)‖
≤ ‖f − f k ‖ ∞
+ ‖f k (x) − f k (w)‖ + ‖f k − f‖ ∞
< ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ .
Com isto , f ∈ B c (X, E) , donde segue que B c (X, E) é fechado .
22

Exemplo 1.9. Sejam X um espaço topológico e C o conjunto das funções constantes de
X em IK . É fácil verificar que C com as operações definidas ponto a ponto e com a norma
do supremo é uma subálgebra fechada de B c (X, IK) que contém a unidade . Assim , C
com a norma do supremo é uma álgebra de Banach sobre IK , comutativa e com unidade .
Exemplo 1.10. Se X é um espaço compacto e E é uma álgebra de Banach sobre IK ,
então o conjunto C (X, E) das aplicações contínuas de X em E , com as operações
definidas ponto a ponto e com a norma do supremo , é uma álgebra de Banach sobre IK ,
comutativa e com unidade .
De fato , pela Proposição 1.12 , toda f ∈ C (X, E) é limitada e , com isto , estamos
num caso particular do exemplo 1.8 onde B c (X, E) = C (X, E) .
A partir deste ponto , se X e Y são espaços topológicos , denotaremos por C(X, Y )
o conjunto de todas as aplicações contínuas de X em Y . Pelo exemplo 1.10 , quando
X é compacto e Y é uma álgebra de Banach , C(X, Y ) = B c (X, Y ) . Neste caso , a
menos que seja dito o contrário , consideraremos C(X, Y ) munido da norma do supremo ,
e se Y = IK , escreveremos apenas C(X) . Entretanto , nas situações válidas somente
para Y = IR , ou somente para Y = IC , nossas notações serão C(X, IR) e C(X, IC) ,
respectivamente .
Segundo esta notação , se X é compacto , a álgebra de Banach C do exemplo 1.9 é
uma subálgebra de C(X) .
Exemplo 1.11. Seja U o subconjunto de C( [0 , 1] , IC ) formado pelas funções f tais que
f(x) = f(1 − x) , para todo x ∈ [0 , 1] . É fácil ver que U com as operações definidas
ponto a ponto e munido da norma do supremo , é uma subálgebra real de C( [0 , 1] , IC )
que contém a unidade desta álgebra , a função constante e igual a 1 . Verifiquemos que com
a norma do supremo , U é completa : seja {f n } uma seqüência de Cauchy em U . Pelo
23

exemplo 1.10 , C ( [0 , 1] , IC ) é completo e , conseqüentemente , {f n } converge para uma
função f ∈ C ( [0 , 1] , IC ) . Basta provar que f ∈ U para concluir o que queremos .
Se x ∈ [0, 1] , então
f(x) = lim
n→∞
f n (x) = lim
n→∞
f n (1 − x) = lim
n→∞
f n (1 − x) = f(1 − x) ,
já que a função que associa cada número complexo ao seu conjugado é contínua . Logo ,
f ∈ U e a partir disto , U com as operações ponto a ponto e com a norma do supremo é
uma álgebra de Banach comutativa e com unidade sobre IR .
Exemplo 1.12. Sejam ∆ = {z ∈ IC : |z| < 1} munido da topologia herdada de IC e A (∆)
o subconjunto de C( ∆ , IC ) formado pelas funções que são analíticas em ∆ . Como ∆ é
um espaço compacto , pelo exemplo 1.10 , C( ∆ , IC ) com as operações definidas ponto
a ponto e munido da norma do supremo , é uma álgebra de Banach sobre IC , comutativa e
com unidade .
Vejamos que com as operações e a norma herdadas de C( ∆ , IC ) , A (∆) é também
uma álgebra de Banach comutativa e com unidade sobre IC .
Pelo fato da soma , do produto por escalar e do produto de funções analíticas serem
funções analíticas , temos que A (∆) é , de fato , uma álgebra normada e comutativa sobre
IC . Além disso , como a função constante e igual a 1 está em A (∆) , esta álgebra possui
unidade . Para concluir que A (∆) é um conjunto completo , basta verificar , como no
exemplo 1.8 , que A (∆) é uma subálgebra fechada de C( ∆ , IC ) , uma vez que esta última
é completa . Mas isto não nos exigirá trabalho algum , pois sabemos que toda função
complexa definida num subconjunto aberto de IC que é limite uniforme de uma seqüência
de funções analíticas definidas no mesmo aberto , é analítica . Isto conclui o exemplo .
24

Exemplo 1.13. Sejam A (∆) como no exemplo 1.12 , F r∆ munido da topologia herdada
de IC e H o subconjunto de C(F r∆, IC) formado pelas funções f para as quais existe
˜f ∈ A (∆) tal que ˜f (0) = ˜f (1) e ˜f (z) = f(z) , para todo z ∈ F r∆ .
Não há dificuldades em verificar que H com a norma do supremo é uma álgebra normada
sobre IC , comutativa e com unidade .
Para provar que H é uma álgebra de Banach , seja (f n ) uma seqüência de Cauchy nesta
álgebra e , para cada n ∈ IN , seja ˜f n
uma função em A(∆) cuja restrição a F r∆ coincide
com f n e tal que ˜f n (0) = ˜f n (1) . Como para todo par n, m ∈ IN , a restrição de ˜f n − ˜f m a
F r∆ coincide com f n −f m , pelo Teorema do Módulo Máximo , ‖ ˜fn −˜f m ‖ ∞
= ‖f n − f m ‖ ∞
.
Logo , (˜f n ) é uma seqüência de Cauchy em A(∆) , que pelo exemplo 1.12 , é uma álgebra
de Banach . Conseqüentemente , (˜f n ) converge para uma função ˜f ∈ A(∆) na norma do
supremo . Em particular , dado ɛ > 0 , existe k ∈ IN tal que ∣ ˜f n (z) − ˜f (z) ∣ < ɛ , para
todo z ∈ F r∆ , sempre que n ≥ k .
Além disso , do fato de ˜f n (0) = ˜f n (1) para cada
natural n , segue que ˜f (0) = lim (0) = lim (1) = ˜f (1) . Com isto , temos que a
n→∞˜fn
n→∞˜fn
restrição de ˜f a F r∆ pertence a H e é o limite da seqüência (˜f n ) na norma do supremo ,
provando que H é uma álgebra de Banach .
No próximo exemplo e sempre que julgarmos conveniente , faremos uma identificação
entre cada número complexo z = x + yi com o par (x, y) ∈ IR 2 . Quando esta identificação
for feita , consideraremos IR 2 munido da norma euclideana . A partir deste ponto , para
simplificar a notação , dados A ⊂ IR 2 , k ∈ IN e uma função f : A −→ IR 2 , denotaremos
por f x e f y , respectivamente , as derivadas parciais de f com relação à primeira e à
segunda variáveis . Além disso , usaremos a notação da norma do supremo para aplicações
definidas em conjuntos distintos . Em todos os casos , esta notação denotará o supremo do
conjunto formado pelos módulos (ou pelas normas) dos valores assumidos pela aplicação em
questão , ao percorrermos o domínio da mesma . Para o próximo exemplo , precisaremos do
seguinte teorema :
25

Teorema 1.5. Seja (h n ) uma seqüência de funções diferenciáveis definidas num intervalo
fechado [a , b ] ⊂ IR e tomando valores em IR . Se existe x 0 ∈ [a , b ] tal que (h n (x 0 ))
converge e se (h ′ n) converge uniformemente em [a, b] , então (h n ) converge uniformemente
em [ a , b ] para uma função diferenciável h : [ a , b ] −→ IR e
todo t ∈ [a, b] .
Demonstração. Consulte a referência [14] , Teor. 7.17 , p. 140 .
lim
n→ ∞ h′ n(t) = h ′ (t) , para
Exemplo 1.14. Sejam ∆ como no exemplo 1.12 e C 1 (∆) o conjunto das funções de
{
C( ∆ , IC ) que quando vistas como funções de (x, y) ∈ IR 2 : √ }
x 2 + y 2 ≤ 1 em IR 2 ,
possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e limitadas no interior de seu
domínio . Provaremos que com as operações definidas ponto a ponto e munido da norma
‖f‖ = ‖f x ‖ ∞
+ ‖f y ‖ ∞
+ ‖f‖ ∞
, C 1 (∆) é uma álgebra de Banach sobre IC , comutativa
e com unidade . Pela observação feita antes deste exemplo , os supremos ‖f x ‖ ∞
e
‖f y ‖ ∞
são tomados nos conjuntos onde as funções f x e f y estão definidas , ou seja , em
{
(x, y) ∈ IR 2 : √ }
x 2 + y 2 < 1 ( ou , equivalentemente , em ∆ ) .
Inicialmente , precisaríamos verificar que a soma , o produto por escalar e o produto de
elementos de C 1 (∆) pertencem a C 1 (∆) , mas a soma e o produto por escalar claramente
satisfazem esta propriedade e , portanto , verificaremos apenas o produto .
Sejam f, g ∈ C 1 (∆) , tais que f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) e g(x, y) = (g 1 (x, y), g 2 (x, y)) ,
{
onde (x, y) ∈ (x, y) ∈ IR 2 : √ }
x 2 + y 2 ≤ 1 . Como fg = (f 1 g 1 − f 2 g 2 , f 1 g 2 + f 2 g 1 ) e
cada uma das funções coordenadas de f e g possui derivadas parciais de primeira ordem
{
contínuas e limitadas em (x, y) ∈ IR 2 : √ }
x 2 + y 2 < 1 , fg também terá . Aliando isto
ao fato de , pelo exemplo 1.10 , fg ∈ C(∆ , IC) , concluímos que C 1 (∆) é fechado para o
produto . Conseqüentemente , C 1 (∆) é uma álgebra sobre IC . Além disso , pela definição
do produto , C 1 (∆) é comutativa e possui unidade , a função constante e igual a 1 .
Em analogia ao exemplo 1.7 , é fácil verificar que a norma acima definida é de fato uma
26

norma em C 1 (∆) .
Agora , veremos que com esta norma , C 1 (∆) é uma álgebra de Banach . Seja (f n )
uma seqüência de Cauchy em C 1 (∆) . Se denotarmos por ˜f n a restrição de cada f n ao
conjunto ∆ , teremos que ‖ ˜fn ≤ ‖f n ‖ ∞
, (˜f n ) x = (f n ) x e que (˜f n ) y = (f n ) y para todo
‖ ∞
n ∈ IN , já que as derivadas parciais destas funções estão definidas apenas em ∆ . Como
(f n ) é uma seqüência de Cauchy , para cada ɛ > 0 , existe n 0 ∈ IN tal que
‖(f n ) x
− (f m ) x
‖ ∞
+ ‖(f n ) y − (f m ) y ‖ ∞
+ ‖f n − f m ‖ ∞
= ‖f n − f m ‖ < ɛ ,
para n, m ≥ n 0 . Logo , ‖f n − f m ‖ ∞
< ɛ , ‖ ˜fn − ˜f m
‖ ∞ < ɛ , ‖(˜f n ) x − (˜f m ) x ‖ ∞ < ɛ
e ‖(˜f n ) y − (˜f m ) y < ɛ , sempre que n, m ≥ n 0 . Pelo exemplo 1.8 , existem funções
‖ ∞
f ∈ C(∆, IC) e ˜f , α , β ∈ B c (∆, IC) tais que as seqüências (f n ) , (˜f n ) , ((˜f n ) x ) e ((˜f n ) y )
convergem na norma do supremo , respectivamente , para f , ˜f , α e β . É fácil ver que a
restrição de f a ∆ é a função ˜f , uma vez que fixando x ∈ ∆ , ˜fn (x) = f n (x) para todo
n ∈ IN , e portanto , as seqüências (˜f n (x)) e (f n (x)) convergem para o mesmo limite , o
que implica ˜f (x) = f(x) .
Com o objetivo de provar que f possui derivadas parciais em ∆ , que f x = α e que
f y = β , fixemos z 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ ∆ .
Decorre do fato de ∆ ser aberto , a existência de
r > 0 tal que B(z 0 , r) ⊂ ∆ . Com isto , se I x0 é o intervalo real fechado [x 0 −r/2, x 0 +r/2] ,
então I x0 × {y 0 } ⊂ ∆ .
Para cada n ∈ IN , sejam ϕ n , ψ n : I x0 −→ IR tais que ˜f n (t, y 0 ) = (ϕ n (t), ψ n (t)) , para
t ∈ I x0 . Como (˜f n ) x existe em todos os pontos de I x0 × {y 0 } , temos que ϕ n e ψ n são
diferenciáveis em I x0 e que (˜f n ) x (t, y 0 ) = (ϕ n ′ (t) , ψ n ′ (t) ) . Lembrando que (˜f n ) x converge
para α na norma do supremo , fixado ɛ > 0 , existe m 0 ∈ IN tal que
sup | (˜f n ) x (t, y 0 ) − α(t, y 0 ) | ≤ ‖ (˜f n ) x − α ‖ ∞ < ɛ ,
t∈ I x0
sempre que n ≥ m 0 . Neste caso , se α = (α 1 , α 2 ) , então
27

e
sup | ϕ ′ n (t) − α 1 (t, y 0 )| ≤ sup | (˜f n ) x (t, y 0 ) − α(t, y 0 ) | < ɛ
t∈ I x0 t∈ I x0
sup | ψ ′ n (t) − α 2 (t, y 0 )| ≤ sup | (˜f n ) x (t, y 0 ) − α(t, y 0 ) | < ɛ ,
t∈ I x0 t∈ I x0
para todo n ≥ m 0 .
Conseqüentemente , (ϕ n ′ ) e (ψ n ′ ) convergem uniformemente para as
restrições de α 1 e α 2 ao conjunto I x0 × {y 0 } , que denotaremos por ˜α 1 e ˜α 2 . Por y 0
estar fixado , podemos considerar ˜α 1 e ˜α 2 definidas em I x0 . Pelo Teorema 1.5 , (ϕ n )
e (ψ n ) convergem uniformemente em I x0 , respectivamente , para funções diferenciáveis
ϕ , ψ : I x0 −→ IR . Além disso ,
Como para cada t ∈ I x0
lim ϕ n ′ (t) = ϕ ′ (t) e
n→ ∞
lim ψ n ′ (t) = ψ ′ (t) , para todo t ∈ I x0 .
n→ ∞
˜f (t, y 0 ) = lim ˜f n (t, y 0 ) = lim (ϕ n(t) , ψ n (t) ) = (ϕ(t) , ψ(t)) ,
n→ ∞
n→ ∞
˜f possui derivada parcial com relação à primeira variável em todos os pontos t do interior
de I x0 e nestes pontos ,
f x (t, y 0 ) = (˜f ) x (t, y 0 ) = (ϕ ′ (t) , ψ ′ (t)) = (˜α 1 (t), ˜α 2 (t)) = (α 1 (t, y 0 ), α 2 (t, y 0 )) = α(t, y 0 ) .
Em particular , a derivada parcial de f com relação à primeira variável existe no ponto z 0
e f x (z 0 ) = f x (x 0 , y 0 ) = α(x 0 , y 0 ) = α(z 0 ) . A demonstração de que a derivada parcial de f
com relação à segunda variável existe no ponto z 0 e que f y (z 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) = β(x 0 , y 0 ) =
β(z 0 ) é completamente análoga .
A arbitrariedade de z 0
nos permite concluir que f possui derivadas parciais em todos
os pontos de ∆ e que f x ≡ α , assim como f y ≡ β . Lembrando que α e β são funções
contínuas e limitadas em ∆ , temos que f ∈ C 1 (∆) . Finalmente , vejamos que (f n )
converge para f , na norma definida em C 1 (∆) : dado η > 0 , existem n 1 , n 2 , n 3 ∈ IN tais
que ‖f n − f‖ ∞
< η /3 , ‖(˜f m ) x − α ‖ ∞
< η /3 e ‖(˜f k ) y − β ‖ ∞
< η /3 , sempre que ,
28

n ≥ n 1 , m ≥ n 2 e k ≥ n 3 . Portanto ,
‖f n − f‖ = ‖(f n ) x − f x ‖ ∞
+ ‖(f n ) y − f y ‖ ∞
+ ‖f n − f‖ ∞
= ‖ (˜f n ) x − α ‖ ∞
+ ‖(˜f n ) y − β ‖ ∞
+ ‖f n − f‖ ∞
< η /3 + η /3 + η /3 = η ,
para n ≥ max {n 1 , n 2 , n 3 } , provando o que queríamos . Com isto concluímos que C 1 (∆)
munido da norma definida no início deste exemplo , é uma álgebra de Banach sobre IC ,
comutativa e com unidade .
Definição 1.29. Se A é uma álgebra de Banach , então um elemento a ∈ A é invertível
se existe b ∈ A tal que ab = ba = 1 . Neste caso , dizemos que b é o inverso de a .
Definição 1.30. Se A é uma álgebra de Banach sobre IK , denotaremos por M (A) o
conjunto dos homomorfismos não-nulos contínuos de A em IK .
Toda álgebra de Banach A é , em particular , um espaço normado . Logo , podemos
considerar o dual A ′ desta álgebra vista como um espaço normado . Sendo A uma álgebra
de Banach sobre IK , a próxima proposição nos diz que o conjunto dos homomorfismos nãonulos
de A em IK está na esfera de A ′ , ou , usando nossa notação , M (A) ⊂ S A ′ . Como
conseqüência disto , temos que , numa álgebra de Banach A sobre IK , todo homomorfismo
não-nulo de A em IK é contínuo .
Proposição 1.15. Se A é uma álgebra de Banach sobre IK , então para todo homomorfismo
não-nulo ϕ de A em IK , temos que ‖ϕ‖ = 1 .
Demonstração. Consulte a referência [8] , Teorema 3.1.2 , p. 68 .
29

Definição 1.31. Seja A uma álgebra de Banach sobre IC . A topologia fraca estrela de
A ′ induz em M (A) uma topologia , que é denominada topologia de Gelfand . Assim ,
uma seqüência generalizada (ϕ α ) em M (A) converge para ϕ ∈ M (A) se , e somente se ,
(ϕ α (f)) converge para ϕ(f) para toda f ∈ A .
Teorema 1.6. Se A é uma álgebra de Banach sobre IK , então M (A) munido da topologia
de Gelfand é um espaço compacto de Hausdorff .
Demonstração. Consulte a referência [8] , Teorema 3.2.2 , p. 71 .
Definição 1.32. Seja A uma álgebra de Banach sobre IK .
Para cada f ∈ A , consideremos
a função
̂f : M (A) −→ IK
ϕ ↦−→ ϕ(f) .
Dizemos que ̂f é a transformada de Gelfand de f . O conjunto
}
{̂f  = : f ∈ A
é chamado representação de Gelfand de A e a aplicação
é a transformação de Gelfand .
̂T : A −→ Â
f ↦−→ ̂f
Teorema 1.7. (Teorema da Representação de Gelfand) Se A é uma álgebra de
Banach sobre IK , então a transformação de Gelfand é um homomorfismo de A sobre a
subálgebra
funções constantes .
 de C(M (A)) . Além disso ,  separa os pontos de M (A) e contém as
Também temos que a transformada de Gelfand de um elemento
arbitrário f ∈ A satisfaz ‖ ̂f ‖
M(A) ≤ ‖f‖ , onde
30

‖ ̂f ‖ M(A) = sup |f(ϕ)| .
ϕ∈ M(A)
Demonstração. Consulte a referência [8] , Teorema 3.3.1 , p. 74 .
31

Capítulo 2
O Teorema de Shilov
Neste capítulo , após definir conjunto maximal , conjunto de pico , ponto de pico e
fronteira , apresentaremos o Teorema de Shilov que garante a existência e unicidade de
fronteira minimal fechada para uma classe de álgebras . Exemplos de fronteiras de Shilov
concluirão o capítulo .
2.1 Conjuntos Maximais e Fronteiras
Para as duas definições abaixo , consideremos H um subconjunto de C(X) , onde X
é um espaço compacto .
Definição 2.1. Para cada f ∈ H , o conjunto não-vazio {x ∈ X : |f(x)| = ‖f‖ ∞
} é
chamado conjunto maximal de f e denotado por S(f) . Um conjunto F ⊂ X é uma
fronteira para H se S(f) ∩ F ≠ ∅ , para toda f ∈ H . Se uma fronteira (fechada) F
para H não contém propriamente nenhuma fronteira (fechada) para esta família , dizemos
que F é uma fronteira minimal (fechada) para H .
Em outras palavras , um conjunto F ⊂ X é uma fronteira para H se para cada f ∈ H

existe w ∈ F tal que |f(w)| = ‖f‖ ∞
.
Por definição , S(f) é um subconjunto fechado de X , para toda f ∈ H , e da definição
de fronteira juntamente com a Proposição 1.12 , segue que X é sempre fronteira para H .
Definição 2.2. Um subconjunto P de X é um conjunto de pico para H se existe uma
função não-nula f ∈ H tal que f(x) = ‖f‖ ∞
para todo x ∈ P e |f(y)| < ‖f‖ ∞
para
todo y ∈ X\P . Dizemos que p ∈ X é um ponto de pico para H se o conjunto unitário
{p } é um conjunto de pico para H .
Segundo as definições acima , todo conjunto de pico é o conjunto maximal de alguma
função em H . Além disso , não é difícil observar que se H é uma subálgebra de C(X) ,
então P é um conjunto de pico para H se , e somente , se existe uma função f ∈ H tal
que f ≡ 1 em P e o valor absoluto de f é estritamente menor que 1 em X \P . Em uma
das direções a conclusão é imediata . Na outra , supondo P um conjunto de pico , basta
tomar uma função g ∈H satisfazendo a definição de conjunto de pico e f =
g será a
‖ g‖ ∞
função desejada . Em particular, esta observação se aplica aos pontos de pico .
Quando for possível e julgarmos útil , usaremos as definições equivalentes de conjunto
de pico e de ponto de pico obtidas no parágrafo anterior .
Proposição 2.1. Sejam X um espaço compacto e A uma subálgebra de C(X) que
contém a unidade de C(X) , ou seja , a função constante igual a 1 definida em X . Se
f ∈ A é não-nula , então o conjunto maximal de f contém um conjunto de pico para A .
Demonstração. Seja x 0 ∈ X tal que |f(x 0 )| = ‖f‖ ∞
. Como f é não-nula , ‖f‖ ∞
> 0 e ,
conseqüentemente , f(x 0 ) ≠ 0 . Isto nos permite definir a função g = 2 −1 ( f/f(x 0 ) + 1) ,
que pertence a A , pois a função constante e igual 1 está nesta álgebra .
Para concluir que ‖g‖ ∞
= 1 basta observar que g(x 0 ) = 1 e que | g(x)| ≤
2 −1 (| f(x)/f(x 0 )| + 1) ≤ 1 para todo x ∈ X , uma vez que |f(x 0 )| = ‖f‖ ∞
. A fim de
33

verificar que S(g) ⊂ S(f) e que g ≡ 1 em S(g) , tomemos um elemento w em S(g) .
Neste caso ,
| f(w)/f(x 0 ) + 1| = 2 | g(w)| = 2 . (1)
Além disso , por x 0 ∈ S(f) , | f(w)/f(x 0 ) + 1| ≤ | f(w)/f(x 0 )| + 1 ≤ 2 . Aliado a (1) ,
isso significa que | f(w)/f(x 0 )| = 1 . Se θ é o argumento principal de f(w)/f(x 0 ) , por
(1) , ( (cos θ + 1) 2 + (senθ) 2 ) 1/2 = 2 , ou seja , (2 −1 (1 + cos θ) ) 1/2 = 1 . Equivalentemente ,
| cos(θ/2)| = 1 , donde segue que θ = 0 . Com isto , f(w)/f(x 0 ) = 1 , e lembrando que
| f(x 0 )| = ‖f‖ ∞
, temos que w ∈ S(f) . Da arbitrariedade de w , obtemos que S(g) ⊂
S(f) .
Por outro lado , como f(w)/f(x 0 ) = 1 para todo w ∈ S(g) , a definição de g implica
g(w) = 2 −1 (f(w)/f(x 0 ) + 1) = 1 , para todo w ∈ S(g) . Em outras palavras , S(g) é um
conjunto de pico para A que está contido em S(f) .
Teorema 2.1. Se X é um espaço compacto e F ⊂ C(X) , então existe fronteira fechada
minimal para F .
Demonstração. Seja E a coleção de todas as fronteiras fechadas para F . Como X ∈ E,
E ̸= ∅ . Consideremos em E a ordem parcial ≤ definida por
E 1 ≤ E 2 se , e somente se , E 2 ⊂ E 1 , para E 1 , E 2 ∈ E.
Objetivando garantir a existência de elemento maximal em E, tomemos uma família
totalmente ordenada {E λ } λ∈ Λ
⊂ E. Fixando f ∈ F , se { } n
E λj é uma subfamília finita
j =1
n⋂
de {E λ } λ∈ Λ
, então existe q ∈ {1, 2, . . . , n} tal que E λj = E λq e daí ,
j =1
n⋂
n⋂
(S(f) ∩ E λj ) = S(f) ∩ ( E λj ) = S(f) ∩ E λq .
j =1
j =1
34

Como E λq é fronteira para F , S(f)∩E λq ≠ ∅ . Logo , a família {S(f) ∩ E λ } λ∈ Λ
possui
a propriedade da interseção finita e é formada por subconjuntos fechados de X , uma vez
que E λ é fechado para todo λ ∈ Λ . Lembrando que X é compacto , segue do Teorema 1.1
que
⋂
(S(f) ∩ E λ ) ≠ ∅ ,
λ∈ Λ
ou seja ,
S(f) ∩ ( ⋂
E λ ) ≠ ∅ .
λ∈ Λ
A arbitrariedade da escolha de f nos permite concluir que
⋂
λ∈ Λ
E λ
é uma fronteira
para F . Além disso , este conjunto é fechado por ser interseção de conjuntos fechados .
⋂
Logo , E λ pertence a E e é uma cota superior para {E λ } λ∈ Λ
. Sob estas condições ,
λ∈ Λ
Lema de Zorn nos diz que E possui elemento maximal Γ . Decorre da ordem definida em
E , da maximalidade de Γ e da própria definção de E , que Γ é uma fronteira fechada
minimal para F .
Teorema 2.2. (Teorema de Shilov) Se X é um espaço compacto e A é uma subálgebra
de C(X) que separa os pontos de X , então existe uma única fronteira fechada minimal
para A .
Demonstração. Pelo Teorema 2.1 , existe fronteira fechada minimal Γ para A . Provaremos
que Γ está contida em todas as fronteiras fechadas para A , o que terá como conseqüência
imediata a unicidade de Γ .
Como na demonstração acima , seja E a coleção de todas as fronteiras fechadas para
A , seja F ∈ E e suponhamos , por absurdo , que exista w 0 ∈ Γ\F . Lembrando que F
é um conjunto fechado , temos que existe uma vizinhança de w 0 que não intercepta F .
Pelo Lema 1.1 , existe uma vizinhança aberta V de w 0 na topologia σ(X, A) com esta
propriedade , isto é , existem f 1 , f 2 , . . . , f n ∈ A e um real positivo r tais que
35

V = {x ∈ X : | f i (x) − f i (w 0 )| < r , i = 1, . . . n} e V ∩ F = ∅ .
Neste caso , observemos que existe j ∈ {1, 2, . . . , n} tal que f j ≠ 0 , pois se f i = 0
para i = 1, 2, . . . , n , então V = X , e teríamos que V ∩ F = F ≠ ∅ .
É fácil ver que
podemos assumir , sem perda de generalidade , que f j ≠ 0 , para todo j ∈ {1, . . . , n} .
Além disso , por Γ ser uma fronteira fechada minimal e por Γ\V
ser um subconjunto
próprio fechado de Γ , temos que Γ\V não é fronteira para A . Neste caso , se Γ\V ≠ ∅ ,
então existe g ∈ A tal que
‖g‖ ∞
> max | g(w)| ≥ 0 .
w∈ Γ\V
Não é difícil ver que este máximo existe , já que Γ \ V é compacto . Portanto , se
M
M = max |g(w)| , então < 1 . Tomando k ∈ IN suficientemente grande , a fim
w∈ Γ\V
‖g‖ ∞
de que
( ) (
) k −1
M
n∑
< r 1 + max
‖g‖ | f i(w) − f i (w 0 )| ,
w∈ X ∞
i=1
e definindo h = g k , temos , para t ∈ Γ \ V , que
|h(t)| = ∣ g k (t) ∣ ∣ ∣ = ∣(g(t)) k = |g(t)| k ≤ M k < η‖g‖ k ∞
, onde
(
) −1 n∑
η = r 1 + max | f i(w) − f i (w 0 )| .
w∈ X
i=1
Como existe t g ∈ X tal que | g(t g )| = ‖g‖ ∞
e como | h(t g )| = | g(t g )| k , pelas desigualdades
acima ,
|h(t)| < η|h(t g )| , para todo t ∈ Γ\V .
Conseqüentemente ,
36

|h(t)| < η‖h‖ ∞
, para todo t ∈ Γ\V .
Podemos reescrever esta desigualdade através da definição de η , para concluir que
|h(t)|
(
1 +
n∑
i=1
max | f i(w) − f i (w 0 )|
w∈ X
)
< r‖h‖ ∞
,
para cada t ∈ Γ\V . Em particular ,
| f i (t)h(t) − f i (w 0 )h(t)| < r‖ h‖ ∞
, para todo t ∈ Γ\V e i = 1, 2, . . . , n . (1)
Por outro lado , para t ∈ V , se |h(t)| = 0 , então
| f i (t)h(t) − f i (w 0 )h(t)| ≤ r| h(t)| < r‖h‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n .
Se | h(t)| ≠ 0 ,
| f i (t)h(t) − f i (w 0 )h(t)| < r| h(t)| ≤ r‖h‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n .
Logo , para todo t ∈ V ,
|f i (t)h(t) − f i (w 0 )h(t)| < r‖h‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n . (2)
Decorre de (1) e (2) , que
|f i (t)h(t) − f i (w 0 )h(t)| < r‖h‖ ∞
, para todo t ∈ Γ e para i = 1, 2, . . . , n . (3)
O fato de Γ ser fronteira para
A aliado ao fato de f i h − f i (w 0 )h pertencer a A
para i = 1, 2, . . . , n , garantem a existência de w 1 , w 2 , . . . , w n ∈ Γ tais que
|f i (w i )h(w i ) − f i (w 0 )h(w i )| = ‖f i h − f i (w 0 )h‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n .
37

Assim , por (3) ,
‖f i h − f i (w 0 )h‖ ∞
< r‖h‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n . (4)
Lembrando que F é fronteira para A , temos que existe t h ∈ F tal que | h(t h )| = ‖ h‖ ∞
.
Desta forma , (4) implica
|f i (t h )h(t h ) − f i (w 0 )h(t h )| < r| h(t h )| , para i = 1, 2, . . . , n ,
ou , equivalentemente ,
|f i (t h ) − f i (w 0 )| < r , para i = 1, 2, . . . , n .
Em outras palavras , t h ∈ V ∩F , o que é uma contradição , uma vez que V ∩F = ∅ .
A fim de concluir a demonstração , suponhamos Γ \ V = ∅ , ou seja , Γ ⊂ V . Como
f i ≠ 0 para i = 1, . . . , n , fixando j em {1, . . . , n} arbitrariamente , para cada w ∈ Γ ,
temos que
|f i (w)f j (w) − f i (w 0 )f j (w)| < r‖f j ‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n .
Com isto ,
‖f i f j − f i (w 0 )f j ‖ ∞
< r‖f j ‖ ∞
, para i = 1, 2, . . . , n .
Tomando t j ∈ F tal que |f j (t j )| = ‖f j ‖ ∞
, temos que
|f i (t j )f j (t j ) − f i (w 0 )f j (t j )| < r| f j (t j )| , para i = 1, 2, . . . , n ,
ou seja ,
|f i (t j ) − f i (w 0 )| < r , para i = 1, 2, . . . , n .
38

Conseqüentemente , t j ∈ V ∩ F , o que contradiz o fato de V ∩ F = ∅ . Isto conclui a
demonstração .
Observe que nas hipóteses do teorema não foi exigido que a álgebra A tivesse unidade
ou que estivesse munida de uma norma .
Vale a pena acrescentar que na demonstração do Teorema de Shilov , mostramos que a
fronteira fechada minimal está contida em todas as fronteiras fechadas para A . Além disso ,
por ser uma fronteira fechada para A , a fronteira fechada minimal contém a interseção
de todas as fronteiras fechadas para esta álgebra .
Logo , uma conseqüência imediata do
Teorema de Shilov é que a fronteira fechada minimal de uma subálgebra A de C(X) que
separa os pontos do espaço compacto X , é a interseção de todas as fronteiras fechadas para
A .
O corolário abaixo nos proporciona uma conclusão interessante relativa a uma família de
funções F ⊂C(X) , onde X é um espaço compacto , sem exigir que F satisfaça todas as
hipóteses do Teorema de Shilov .
Corolário 2.1. Sejam X um espaço compacto e F ⊂ C(X) .
Se F possui uma única
fronteira fechada minimal Γ , então Γ é a interseção de todas as fronteiras fechadas para
F .
Demonstração. Seja Γ como no enunciado e suponhamos a existência de uma fronteira
fechada E para F tal que Γ\E ≠ ∅ . Como X é compacto , E é compacto , e assim ,
sendo F ′ ⊂ C(E) a família das restrições das funções de F a E , o Teorema 2.1 nos diz
que F ′ possui fronteira fechada minimal Γ ′ ⊂ E .
Por outro lado , se f ∈ F , por E ser fronteira para F , existe t ∈ E tal que |f(t)| =
‖f‖ ∞
. Conseqüentemente , a restrição f E de f ao conjunto E , satisfaz max |f E(x)| =
x∈ E
‖f‖ ∞
. A partir disto e do fato de Γ ′ ser fronteira para F ′ , obtemos t ′ ∈ Γ ′ tal que
|f(t ′ )| = |f E (t ′ )| = max
x∈ E |f E(x)| = ‖f‖ ∞
. Portanto , Γ ′
39
é fronteira fechada para F , além

de não conter propriamente nenhuma outra , uma vez que é fronteira fechada minimal para
F ′ . Lembrando que Γ\E ≠ ∅ , temos que Γ ′ é uma fronteira fechada minimal para F
distinta de Γ , contradizendo a unicidade desta fronteira .
Definição 2.3. Sejam X um espaço compacto e H um subconjunto de C(X) . Se H
possuir uma única fronteira minimal fechada , então chamaremos esta fronteira minimal
fechada de fronteira de Shilov de H e a denotaremos por ∂H .
Observação 2.1. Pelo Corolário 2.1 , a fronteira de Shilov de H , quando existe , é a
interseção de todas as fronteiras fechadas para H .
O próximo resultado , estabelece uma caracterização dos pontos da fronteira de Shilov .
Corolário 2.2. Sejam X um espaço compacto e H um subconjunto de C(X) que possui
fronteira de Shilov . Então t ∈ ∂H se , e somente se , para toda vizinhança V de t ,
existe f ∈ H tal que | f(x)| < ‖f‖ ∞
, para todo x ∈ X\V . Em particular , se H é uma
subálgebra de C(X) que contém a função constante igual a 1 definida em X , então toda
vizinhança de um ponto qualquer de ∂H contém um conjunto de pico para H .
Demonstração. Seja t ∈ X e suponhamos que exista vizinhança V de t tal que para toda
f ∈ H , existe x f ∈ X \V satisfazendo |f(x f )| ≥ ‖f‖ ∞
, ou seja , tal que |f(x f )| = ‖f‖ ∞
.
Isto significaria que X\V é uma fronteira para H e , conseqüentemente , que X \V é uma
fronteira fechada para H . Logo , pela Observação 2.1 , teríamos que ∂H ⊂ X \V . Por
outro lado , como V é vizinhança de t , t /∈ X \V , o que implicaria t /∈ ∂H . Provamos
assim , por contraposição , que se t ∈ ∂H , então para toda vizinhança V de t existe
f ∈ H tal que | f(x)| < ‖ f‖ ∞
, para todo x ∈ X \V .
Reciprocamente , seja t ∈ X tal que para toda vizinhança U de t exista f ∈ H
satisfazendo |f(x)| < ‖ f‖ ∞
, para todo x ∈ X \U . Fixando uma fronteira fechada F
40

para H , se V é uma vizinhança de t , então existe f ∈ H tal que | f(x)| < ‖ f‖ ∞
, para
todo x ∈ X \V . Logo , f não atinge seu módulo máximo fora de V , donde F ∩ V ≠ ∅ ,
pois F é fronteira para H . Assim , t ∈ F = F . Decorre da arbitrariedade de F que t
pertence a todas as fronteiras fechadas para H . Da Observação 2.1 , obtemos que t ∈ ∂H .
Agora suponhamos que H seja uma subálgebra de C(X) que contém a função constante
igual a 1 . Neste caso , se t ∈ ∂H e V é uma vizinhança de t contida propriamente em
X , então existe f ∈ H cujo módulo não atinge o valor ‖f‖ ∞
fora de V , ou seja , f ≠ 0
e S(f) ⊂ V . Pela Proposição 2.1 , isto significa que V contém um conjunto de pico para
H . Se V = X , o conjunto X , por ser o conjunto maximal da função constante igual a
um , é um conjunto de pico para H contido em V .
Corolário 2.3. Sejam X um espaço compacto e H um subconjunto de C(X) que separa
os pontos X . Se H = C(X) , então ∂H = X .
Demonstração. Seja t ∈ X e seja V uma vizinhança aberta de t . Como H separa os
pontos de X e IK é de Hausdorff , pela Observação 1.1 , temos que X é um espaço de
Hausdorff . Pela Proposição 1.13 , segue disso e da hipótese de X ser compacto que X é
normal , e assim , através do Lema de Urysohn , podemos tomar uma função g ∈ H tal
que g(t) = 1 e g(s) = 0 , para todo s ∈ X \V . Por outro lado , o fato de H = C(X)
garante a existência de uma função f ∈ H tal que ‖f − g‖ ∞
< 1/2 . Logo , para todo
s ∈ X \V , | f(s)| = | f(s) − g(s)| ≤ ‖f − g‖ ∞
< 1/2 , ao passo que | f(t)| > 1/2 , uma
vez que | f(t) − g(t)| ≤ ‖f − g‖ ∞
< 1/2 implica − | f(t)| < − | g(t)| + 1/2 = −1/2 .
Portanto , ‖ f‖ ∞
≥ 1/2 . Em outras palavras , para uma vizinhança V de t arbitrária ,
encontramos uma função f ∈ H tal que |f(s)| < ‖f‖ ∞
, para todo s ∈ X \ V . Pelo
Corolário 2.2 , isto significa que t ∈ ∂H .
A seguir , aplicaremos estes conceitos e resultados a alguns dos exemplos da seção 1.3 ,
determinando , quando possível , as fronteiras de Shilov destes exemplos .
41

Exemplo 2.1. Dado um espaço compacto de Hausdorff X , vejamos que a fronteira de
Shilov de C(X) é X . De fato , pela Proposição 1.13 , X é normal e , conseqüentemente ,
dados dois pontos distintos x, y ∈ X , através do Lema de Urysohn encontramos uma função
f ∈ C(X) tal que f(x) = 0 ≠ 1 = f(y) . Logo , ∂C(X) = X , pelo Corolário 2.3 .
Exemplo 2.2. Seja A (∆) a álgebra de Banach definida no exemplo 1.12 . Como a função
identidade está em A (∆) , é fácil ver que esta álgebra separa os pontos de ∆ e
se enquadra nas hipóteses do Teorema de Shilov . Com isto , A (∆) possui uma única
fronteira fechada minimal . Para provar que Fr ∆ = ∂A (∆) , fixemos p = exp(iϕ) , com
ϕ ∈ [0 , 2π) , e seja f : ∆ −→ IC definida por f(z) = (p + z)2 −1 . Claramente f está em
A (∆) e , para z = exp(iθ) tal que θ ∈ [0, 2π) \ {ϕ} , temos que |f(z)| < 1 , pois esta
desigualdade equivale à desigualdade ( 4 −1 (cos ϕ + cos θ) 2 + 4 −1 ( sen ϕ + sen θ) 2 ) 1/2 < 1 ,
que ocorre se , e somente se , |cos ((ϕ − θ)/2)| < 1 .
Além disso , |f(p)| = 1 e , por f não ser constante , o Teorema do Módulo Máximo nos
diz que f não atinge módulo máximo em ∆ . Logo , p é ponto de pico para A (∆) . Da
arbitrariedade de p , obtemos que todos os pontos da fronteira do disco unitário são pontos
de pico , e , conseqüentemente , que este conjunto está contido em qualquer fronteira para
A (∆) . Em particular , Fr ∆ ⊂ ∂A .
Finalmente , ∂A ⊂ Fr ∆ uma vez que , pelo Teorema do Módulo Máximo , F r∆ é uma
fronteira para A , além de ser fechada .
Exemplo 2.3. Seja H a álgebra de Banach definida no exemplo 1.13 . A fim de determinar
a fronteira de Shilov de H , iniciaremos garantindo sua existência , ou seja , mostrando que
H possui uma única fronteira fechada minimal . Para isto , verifiquemos que H separa os
pontos de F r∆ .
Seja ˜f ∈ A (∆) definida por ˜f (z) = z(z − 1) . Se f é a restrição de ˜f a F r∆ , é
claro que f ∈ H . Consideremos um par de complexos distintos z 1 , z 2 ∈ F r∆ . Supondo
42

z 2 ≠ 1 e f(z 1 ) = f(z 2 ) , temos que f(z 2 ) ≠ 0 , uma vez que f se anula apenas no ponto
z = 1 . Definindo g : F r∆ −→ IC por g(z) = f(z)(z − z 1 ) , é fácil ver que g ∈ H , além de
satisfazer g(z 1 ) = 0 ≠ f(z 2 )(z 2 − z 1 ) = g(z 2 ) , provando que H separa os pontos de F r∆ .
Sob estas condições , o Teorema de Shilov diz que H possui uma única fronteira fechada
minimal .
Afirmamos que ∂H = F r∆ .
De fato , seja f como definida anteriormente e fixemos
z 0 = exp(iθ 0 ) ∈ F r∆ , com θ 0 ∈ (0, 2π) \{π} . Se h : F r∆ −→ IC é a restrição da função
inteira definida pela equação ˜h(z) = (z + z 0 )2 −1 , então para cada θ ∈ [0, 2π] \{θ 0 } , temos
que
( )∣ |h(exp(iθ))| = [4 −1 (2+2 cos θ cos θ 0 +2senθ senθ 0 )] 1/2 =
θ −
∣ cos θ0 ∣∣∣
< 1 , (1)
2
( )∣ pois
θ −
∣ cos θ0 ∣∣∣
= 1 se , e somente se , (θ − θ 0 )2 −1 = kπ para algum inteiro k , o que
2
não ocorre já que θ ∈ [0, 2π] \{θ 0 } e θ 0 ∈ (0, 2π) .
Por outro lado , se V é uma vizinhança de z 0 em F r∆ , então existe r > 0 tal que
(θ 0 − r, θ 0 + r) ⊂ (0, 2π) e exp(iθ) ∈ V , para todo θ ∈ (θ 0 − r, θ 0 + r) . Pela compacidade
do conjunto Θ 0 = [0 , 2π] \ (θ 0 − r, θ 0 + r) , existe α ∈ Θ 0 tal que |h(exp(iα))| =
max
θ∈Θ 0
|h(exp(iθ))| . Juntamente com (1) e com o fato de |f(z 0 )| = |z 0 − 1| > 0 , isto garante
a existência de n ∈ IN tal que
max |h n (exp(iθ))| = |h n (exp(iα))| < |f(z 0 )/2| . (2)
θ ∈ Θ 0
Não é difícil ver que o produto h n f/2 ∈ H e observando que |f(z)/2| ≤ 1 para todo
z ∈ F r∆ , da desigualdade em (2) obtemos que
|(h n f/2)(exp(iθ))| = | h n (exp(iθ))| |f(exp(iθ))/2| < |f(z 0 )/2| = |h n (z 0 )f(z 0 )/2| ,
para todo θ ∈ Θ 0 . Portanto , h n f/2 não atinge módulo máximo nos pontos z ∈ F r∆ cujos
argumentos principais estão fora do intervalo (θ 0 − r, θ 0 + r) . Lembrando que exp(iθ) ∈ V
43

sempre que θ ∈ (θ 0 − r, θ 0 + r) , concluímos que h n f/2 é uma função de H que não atinge
módulo máximo fora de V . Pelo Corolário 2.2 , isso significa que z 0 ∈ ∂H e como ∂H é
um conjunto fechado , segue da arbitrariedade de z 0 ∈ (F r∆)\{−1, 1} que ∂H = F r∆ .
No próximo exemplo veremos uma álgebra de Banach que não possui fronteira fechada
minimal única . Além disso , este exemplo prova que não podemos alterar as hipóteses do
Teorema de Shilov substituindo a hipótese de A ser uma subálgebra complexa de C(X, IC)
pela hipótese de A ser álgebra real contida em C(X, IC) .
Exemplo 2.4. Sejam U a álgebra de Banach definida no exemplo 1.11 e f : [0 , 1] −→ IC
a função definida por f(t) = i(1/2 − t) . Como para todo t ∈ [0 , 1] ,
f(1 − t) = i(t − 1/2) = i(1/2 − t) = f(t) ,
temos que f ∈ U , além de ser uma função injetiva . Assim , U separa os pontos de [0, 1] ,
mas U não é uma subálgebra de C([0, 1] , IC) , uma vez que seu corpo de escalares é IR .
Portanto , apenas uma das hipóteses do Teorema de Shilov não é satisfeita . Apesar disto ,
o Teorema 2.1 garante a existência de fronteira fechada minimal para U .
A fim de verificar que U possui mais de uma fronteira fechada minimal , fixemos g ∈ U
arbitrariamente .
Pela Proposição 1.12 , existe s ∈ [0 , 1] tal que | g(s)| = ‖g‖ ∞
, e
lembrando a definição de U , temos que
∣ g(1 − s) ∣ = | g(s)| = ‖g‖ ∞
.
Supondo s ≠ 1/2 , se s ∈ [0 , 1/2 ) , então 1 − s ∈ (1/2, 1] e , analogamente , se
s ∈ ( 1/2 , 1] , então 1 − s ∈ [ 0 , 1/2 ) . De qualquer forma , toda função g ∈ U atinge
máximo em módulo nos intervalos fechados [0, 1/2] e [1/2,1] , de onde segue estes intervalos
são fronteiras fechadas para U . Portanto , pelo Corolário 2.1 , se U possuisse fronteira
fechada minimal única Γ u , ela estaria na interseção destes intervalos , ou seja , Γ u seria o
44

conjunto unitário {1/2} . Mas {1/2} nem ao menos é fronteira para U , já que a função
f definida no início deste exemplo atinge máximo apenas nos pontos 0 e 1 .
Nosso último exemplo mostra que se X é um espaço compacto de Hausdorff e A é uma
subálgebra de C(X) que não separa os pontos de X , então é possível que A possua mais
de uma fronteira fechada minimal .
Exemplo 2.5. Sejam X um espaço compacto de Hausdorff e C o conjunto das funções
constantes de X em IK . Pelo exemplo 1.9 , C é uma subálgebra de C(X) . É imediato
que C não separa os pontos de X e que todos os seus subconjuntos são fronteiras para
C . Em particular , qualquer subconjunto unitário de X é uma fronteira fechada minimal .
Portanto , basta que X possua pelo menos dois pontos para que C tenha mais de uma
fronteira fechada minimal .
Antes de terminar este capítulo , faremos algumas considerações .
Se A é uma álgebra de Banach , pelo Teorema 1.6 , M(A) munido da topologia de
Gelfand é um espaço compacto de Hausdorff .
Por outro lado , o Teorema da Representação de Gelfand nos diz que a representação de
Gelfand
 de A é uma subálgebra de C (M(A)) que separa os pontos de M(A) , além
de conter as constantes .
No trabalho original de Shilov, uma fronteira para uma álgebra de Banach A é , por
definição , um subconjunto F de M (A) que é uma fronteira para
 ⊂ C (M (A)) no
sentido da definição 2.1 . Neste contexto temos que se X é compacto e A é uma álgebra
de Banach que é uma subálgebra (algébrica e topológica) de C(X) que contém a unidade e
separa os pontos de X, temos que a transformação de Gelfand é uma isometria e, neste caso,
E é uma fronteira para A se , e só se , o conjunto {δ x : x ∈ E} ⊂ M(A) é uma fronteira
para  . Para detalhes , consulte [3] . 45

Capítulo 3
O Teorema de Bishop
Através do Teorema de Shilov estudamos condições suficientes para a existência e unicidade
de fronteira fechada minimal para uma classe de álgebras normadas . Baseados nisto ,
é natural perguntar se , observadas certas condições , é possível garantir existência e unicidade
de fronteira minimal , não necessariamente fechada . O Teorema de Bishop responde
esta pergunta positivamente , provando que se X é um espaço compacto metrizável e A
é uma subálgebra de C(X) que separa os pontos de X e que , com a norma do supremo
é completa , então o conjunto dos pontos de pico para A é a única fronteira minimal para
esta álgebra . Neste caso , como conseqüência dos Teoremas de Shilov e de Bishop , teremos
que a fronteira de Shilov é o fecho do conjunto dos pontos de pico para A .
Motivados por este resultado , apresentaremos um teorema devido a H. G. Dales (consulte
a referência [2] ) que , sob condições um pouco mais gerais que as exigidas no Teorema de
Bishop , prova que o conjunto dos pontos de pico ainda é denso na fronteira de Shilov da
álgebra em questão . A demonstração que daremos deste teorema é devida a T. G. Honary
(consulte a referência [4] ) .
Ainda sobre o Teorema de Bishop , destacamos um de seus corolários que estabelece que

todo conjunto de pico para a álgebra que satisfaz as hipóteses do referido teorema possui
ponto de pico . Apresentamos também um exemplo, devido a Jarosz, de álgebra que possui
conjunto de pico sem ponto de pico (consulte a referência [6] ) .
3.1 O Teorema de Bishop
Teorema 3.1. (Teorema de Bishop) Seja A uma subálgebra de C(X) , onde X é um
espaço compacto . Se X é metrizável e se A com a norma do supremo é uma álgebra
de Banach que separa os pontos de X , então o conjunto P dos pontos de pico para esta
álgebra é uma fronteira minimal para A . Em particular , esta fronteira minimal é única .
Demonstração. Se X for um conjunto unitário , então , trivialmente , P será o conjunto
X e a fronteira minimal única para A que buscávamos .
Supondo a existência de pelo menos dois pontos distintos em X e baseados na hipótese
de A separar os pontos desse conjunto , podemos fixar uma função f 0 ∈ A que não
seja constante . Como X é compacto e f 0 é contínua , podemos tomar x 1 , x 2 ∈ X tais
que |f 0 (x 1 )| = ‖f 0 ‖ ∞
e f 0 (x 1 ) ≠ f 0 (x 2 ) . Assim , f 0 (x 1 ) ≠ 0 e com isto , dividindo f 0 por
f 0 (x 1 ) se necessário , podemos supor f 0 (x 1 ) = 1 e f 0 (x 2 ) ≠ 1 . Desta forma , definindo
f = f 0 + f0 2 , temos que f(x 1 ) = |f(x 1 )| = 2 > |f(x 2 )| , ou seja , f ∈ A e |f| não é
constante . Além disso , observando que
|f(x)| ≤ |f 0 (x)| + |f 0 (x)| 2 ≤ ‖f 0 ‖ ∞
+ ‖f 0 ‖ 2 ∞ = 2 = f(x 1) , para todo x ∈ X ,
é fácil ver que S(f) ⊂ S(f 0 ) , uma vez que se y ∈ X \S(f 0 ) , então |f 0 (y)| < 1 o que
implica |f(y)| ≤ |f 0 (y)| + |f 0 (y)| 2 < 2 = ‖f‖ ∞
, ou seja , y ∈ X \S(f) .
Seja U a família formada pelas coleções Γ de subconjuntos de X possuidoras das
seguintes propriedades : seus elementos são conjuntos maximais de funções de A , S(f) ∈ Γ
47

e Γ goza da P.I.F. . É claro que U ≠ ∅ , pois {S(f)} ∈ U .
Consideremos em U a ordem parcial ≤ definida pela inclusão , ou seja , dados Γ 1 , Γ 2 ∈
U , Γ 1 ≤ Γ 2 se Γ 1 ⊂ Γ 2 . Objetivando a aplicação do Lema de Zorn , seja { Γ α } um
subconjunto totalmente ordenado de U . Como ⋃ Γ α possui S(f) e a P.I.F. , temos
⋃
α
que Γ α ∈ U e é cota superior para { Γ α } . Sob estas condições , o Lema de
α
Zorn nos diz que U possui um elemento maximal Γ 0 . Tendo em vista que para
cada γ ∈ Γ 0 existe f γ tal que γ = S(f γ ) , todo elemento de Γ 0 é fechado . Unindo
este aos fatos de X ser compacto e Γ 0 possuir a P.I.F. , pelo Teorema 1.1 , temos
que
⋂
γ ≠ ∅ . ( 1)
γ∈ Γ 0
Por outro lado , a Proposição 1.8 garante a existência de uma base enumerável {E n }
para a topologia de X . Assim , para cada γ ∈ Γ 0 , existe uma subcoleção enumerável
∞⋃
{E γi } desta base tal que γ c = E γi . Logo ,
i =1
( ⋂
γ ) c = ⋃
γ c = ⋃
γ∈ Γ 0 γ∈ Γ 0
γ∈ Γ 0
∞
⋃
i =1
E γi .
Como {E γi : γ ∈ Γ 0
e i ∈ IN} é uma coleção enumerável , podemos renomear seus
elementos , digamos por E nj , para obter a igualdade abaixo
⋃
γ∈ Γ 0
γ c =
∞⋃
E nj .
j =1
Neste caso , para cada j ∈ IN , existem γ ∈ Γ 0
e i ∈ IN tais que
E nj
= E γi ⊂
∞⋃
E γi = γ c .
i =1
48

que
Em outras palavras , para cada j ∈ IN , existe γ j ∈ Γ 0 tal que E nj ⊂ γ c
j . Decorre daí
⋃
γ∈ Γ 0
γ c =
∞⋃
j =1
E nj
⊂
∞⋃
j=1
γ c
j
⊂ ⋃
γ∈ Γ 0
γ c .
Logo ,
ou equivalentemente ,
⋃
γ∈ Γ 0
γ c =
∞⋃
j =1
γ c
j ,
⋂
γ∈ Γ 0
γ =
∞⋂
γ j , onde γ j ∈ Γ 0 , para todo j ∈ IN . (2)
j =1
Por (1) , isto significa que
e , para cada j ∈ IN , seja f γj
∞⋂
j =1
γ j
é não-vazio . Fixemos um elemento x 0 nesta interseção
uma função em A tal que S(f γj ) = γ j , através da qual
definiremos f j = f γ j
. Afirmamos que podemos supor , sem perda de generalidade ,
f γj (x 0 )
que f γj (x 0 ) ≠ 0 para todo j ∈ IN . Com efeito , se existe m natural tal que f γm (x 0 ) = 0 ,
como x 0 ∈ γ m = S(f m ) , temos que f γm = 0 , e portanto , que γ m = X . Sendo assim ,
∞⋂ ∞⋂
γ j = γ j .
j =1
j =1
j ≠m
Desta forma , podemos excluir γ m da coleção {γ j } ∞ j=1
sem alterar a conclusão obtida
em (2). Além disso , existe k natural para o qual f γk (x 0 ) ≠ 0 , uma vez que se f γj (x 0 ) = 0
para todo j , então , pelos mesmos argumentos usados logo acima , γ j = X para todo j .
Conseqüentemente ,
⋂
γ∈ Γ 0
γ =
∞⋂
γ j = X ,
j =1
49

o que implica S(f) = X , já que S(f) ∈ Γ 0 . Porém isto contradiz o fato de |f| não ser
constante .
A partir de sua definição ,
f j (x 0 ) = 1 e | f j (x)| =
∣
∣f γj (x) ∣ ∣
∣ fγj (x 0 ) ∣ ∣
=
∣
∣f γj (x) ∣ ∣
∥ fγj
∥
∥∞
≤ 1 ,
para todo x ∈ X , qualquer que seja o natural j . Isto é , ‖f j ‖ ∞
= f j (x 0 ) = 1 , para todo
j ∈ IN . Aliando este ao fato de A , munida da norma do supremo , ser um espaço de
∞∑ f i
Banach , pelo Teorema 1.4 , temos que a série converge para uma função g ∈ A
2 i i =1
que , por definição , satisfaz
g(x 0 ) = 1 e | g(x)| ≤
∞∑
i =1
| f i (x)|
2 i ≤
∞∑
i =1
1
2 i = 1 ,
j =1
γ j
para todo x ∈ X , ou seja , ‖ g‖ ∞
= g(x 0 ) = 1 . Em particular , x 0 ∈ S(g) . Também temos
que se w /∈ , então existe m ∈ IN tal que w /∈ γ m = S(f γm ) , ou
∞⋂
equivalentemente
, |f γm (w)| < ‖f γm ‖ ∞
= |f γm (x 0 )| . Assim ,
|f m (w)| = |f γ m
(w)|
|f γm (x 0 )|
< 1 = f m (x 0 ) ,
e com isto ,
| g(w)| ≤
<
m−1
∑
i =1
m−1
∑
i =1
|f i (w)|
2 i + |f m(w)|
2 m +
f i (x 0 )
2 i + f m(x 0 )
2 m +
∞∑
i = m+1
∞∑
i = m+1
|f i (w)|
2 i
f i (x 0 )
2 i = 1 = ‖ g‖ ∞
.
50

Em outras palavras , w /∈ S(g) , demostrando que S(g) ⊂
∞⋂
γ j . Segundo (2) , podemos
reescrever esta inclusão da seguinte forma : S(g) ⊂ ⋂
j =1
γ∈ Γ 0
γ . (3)
A fim de provar que S(g) é um conjunto unitário , suponhamos a existência de pelo
menos dois elementos distintos em S(g) .
Por hipótese , isto implica a existência de uma
função h 0 ∈ A que em S(g) não é constante . Lembrando que este é um conjunto
compacto e que h 0 é contínua , sejam a, b ∈ S(g) tais que | h 0 (a)| = max | h 0 (x)| e
x∈ S(g)
h 0 (a) ≠ h 0 (b) . Neste caso , h 0 (a) ≠ 0 , o que nos permite supor , dividindo h 0 por h 0 (a)
se necessário , que h 0 (a) = 1 e h 0 (b) ≠ 1 . Logo , definindo h = h 0 + h 2 0 , a função | h|
não é constante em S(g) , pois h(a) = 2 e | h(b)| < 2 . Portanto , o conjunto não-vazio
{
}
E = x ∈ S(g) : | h(x)| = max | h(y)|
y∈ S(g)
é um subconjunto próprio de S(g) . (4)
Sejam x 1 ∈ E , g 1 = g
g(x 1 )
e h 1 = h
h(x 1 ) . Por x 1
estar em S(g) e | h| não ser
constante neste conjunto , g 1 e h 1 estão bem definidas , além de g 1 (x 1 ) = ‖ g 1 ‖ ∞
= 1
e S(g 1 ) = S(g) , já que | g(x 1 )| = ‖ g‖ ∞
= 1 . Somando-se a estes , temos os fatos de
| h 1 (x)| ≤ 1 para x ∈ S(g) e | h 1 (x)| < 1 sempre que x ∈ S(g)\E , vindos estes últimos
das definições de E , x 1 e h 1 . Além disso , h 1 (x 1 ) = 1 implica ‖ h 1 ‖ ∞
≥ 1 . Neste
momento , dividiremos a demonstração em dois casos : ‖ h 1 ‖ ∞
> 1 e ‖ h 1 ‖ ∞
= 1 .
Supondo ‖ h 1 ‖ ∞
> 1 , para cada n ∈ IN , seja
V n =
{
x ∈ X : 1 + ‖ h 1‖ ∞
− 1
≤ | h
2 n 1 (x)| ≤ 1 + ‖ h }
1‖ ∞
− 1
.
2 n−1
Analisando sua definição , vemos que V n é a interseção entre as imagens inversas dos
intervalos (−∞ , 1 + (‖ h 1 ‖ ∞
− 1)2 1−n ] e [1 + (‖ h 1 ‖ ∞
− 1)2 −n , +∞) pela função contínua
| h 1 | . Conseqüentemente , todo V n é fechado . Mais que isto , por X ser compacto , V n
é compacto , para todo n ∈ IN . Verifiquemos , agora , que
51

∞⋃
V n = {x ∈ X : | h 1 (x)| > 1} . (5)
n=1
Se w ∈ X é tal que | h 1 (w)| > 1 , então 0 < | h 1 (w)| − 1 ≤ ‖ h 1 ‖ ∞
− 1 e existe
n ∈ IN tal que 2 −n < ( | h 1 (w)| − 1) ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) −1 < 1 . Seja n w o menor natural
positivo que satisfaz esta condição . Se n w = 1 , então w ∈ V 1 . Caso n w > 1 , teremos
2 1−nw ≥ ( | h 1 (w)| − 1) ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) −1 , ou seja , w ∈ V nw .
Reciprocamente , tomando w ∈ V k , temos que | h 1 (w)| ≥ 1 + ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) 2 −k > 1 ,
pois estamos supondo ‖ h 1 ‖ ∞
> 1 . A arbitrariedade de k ∈ IN conclui a verificação de (5) .
Pela igualdade em (5) , S(g) ∩ V n = ∅ para todo n ∈ IN , uma vez que |h 1 (x)| ≤ 1
sempre que x ∈ S(g) e , como S(g 1 ) = S(g) , temos que S(g 1 ) ∩ V n = ∅ para todo
∞⋃
n ∈ IN . Lembrando que ‖ g 1 ‖ ∞
= 1 , decorre daí que |g 1 (x)| < 1 para todo x ∈ V n .
Logo , se para cada n ∈ IN, x n é um elemento de V n tal que | g 1 (x n )| = max
y ∈ V n
| g 1 (y)| ,
cuja existência está assegurada pela compacidade de V n , então | g 1 (x n )| < 1 para todo
n ∈ IN . Para cada n ∈ IN , seja q n um inteiro positivo tal que | g 1 (x n )| qn ≤ 2 −1 .
Fixando k ∈ IN arbitrariamente , como todo x ∈ V k
n =1
satisfaz | g 1 (x)| ≤ | g 1 (x k )| , temos
que | g 1 (x)| q k
≤ 2 −1 , para todo x ∈ V k . (6)
Por outro lado , os fatos de ‖ g 1
q n
‖ ∞
≤ ‖ g 1 ‖ qn ∞
completo na norma do supremo implicam a convergência da série
= 1 para todo n ∈ IN e de A ser
h 1 + 4 (‖ h 1 ‖ ∞
− 1)
∞∑
n =1
g qn
1
2 n
para uma função v ∈ A , nesta norma . Pelas definições de h 1 e g 1 ,
v(x 1 ) = 1 + 4 (‖ h 1 ‖ ∞
− 1)
∞∑
n =1
1
2 n = 1 + 4 (‖ h 1‖ ∞
− 1) ,
e , se x ∈ V k , onde k ∈ IN está arbitrariamente fixado , então a conclusão obtida em (6)
52

aliada à definição de V k
nos dizem que
|v(x)| ≤ 1 + ‖ h 1‖ ∞
− 1
2 k−1 + 4 ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1)
∞∑
n =1
n ≠k
= 1 + 4 ( ‖ h 1‖ ∞
− 1)
2 k + 4 ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1)
= 1 + 4 ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) .
1
+ 4 ( ‖ h 1‖ ∞
− 1)
2 n 2 k+1
∞∑
n =1
n ≠k
1
2 n
Se x ∈ X \ ⋃ V n , por (5) , | v(x)| ≤ 1 + 4 ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) . Logo , x 1 ∈ S(v) e
‖v‖ ∞
= 1 + 4 ( ‖ h 1 ‖ ∞
− 1) . Além disso , por | h 1 (x)| < 1 sempre que x ∈ S(g) \ E ,
|v(x)| < ‖v‖ ∞
para todo x neste conjunto , decorrendo disto que
(S(g)\E) ∩ S(v) = ∅ . (7)
Os fatos de x 1 ∈ E ⊂ S(g) e x 1 ∈ S(v) , juntamente com a inclusão em (3) implicam
x 1 ∈ S(v) ∩ γ , para todo conjunto γ ∈ Γ 0 .
possui a P.I.F. e contém o elemento S(f) , já que Γ 0
Conseqüentemente , a coleção Γ 0 ∪ {S(v)}
goza destas propriedades . Portanto
, Γ 0 ∪{S(v)} é um elemento de U que contém Γ 0 . Por sua maximalidade com relação
à ordem definida em U , Γ 0 é igual a Γ 0 ∪ {S(v)} , ou seja , S(v) ∈ Γ 0 . Lembrando ,
mais uma vez , o obtido em (3) , isso significa que S(g) ⊂ ⋂
γ ⊂ S(v) . Baseados
γ∈ Γ 0
nisto e em (7) , S(g)\E = (S(g)\E) ∩ S(v) = ∅ . Porém , por E ⊂ S(g) , isso implicaria
E = S(g) , contradizendo (4) . Com isto , mostramos que se a função h 1 , definida a partir
da suposição de S(g) não ser unitário , satisfaz ‖h 1 ‖ ∞
> 1 , temos um absurdo .
Aproximando-nos da conclusão desta demonstração , suponhamos ‖ h 1 ‖ ∞
= 1 .
Neste
caso , S(h 1 ) ∩ S(g) = E , uma vez que x ∈ S(h 1 ) ∩ S(g) se , e somente se , x ∈ S(g) e
| h(x)| | h(x 1 )| −1 = | h 1 (x)| = ‖ h 1 ‖ ∞
= 1 , o que é equivalente a x ∈ E , por x 1 ser um
elemento de E . A partir disso e de (3) ,
53

S(h 1 ) ∩ ( ⋂
γ ) ⊃ S(h 1 ) ∩ S(g) = E ≠ ∅ .
γ∈ Γ 0
Desta forma , a coleção Γ 0 ∪ {S(h 1 )} possui a P.I.F. e contém o elemento S(f) , já que
Γ 0 possui ambos . Usando a maximalidade de Γ 0 e os mesmos argumentos utilizados na
conclusão do caso anterior , obtemos que S(h 1 ) ∈ Γ 0 . Assim , S(g) ⊂ ⋂
γ ⊂ S(h 1 ) ,
γ∈ Γ 0
donde segue que S(h 1 ) ∩ S(g) = S(g) , e , como E = S(h 1 ) ∩ S(g) , isso contradiz (4) .
Portanto , S(g) possui apenas um elemento , o ponto x 0 . Decorre disto que x 0 ∈ P ,
que aliado a (3) implica x 0 ∈ S(f) , pois S(f) ∈ Γ 0 . Logo , P ∩ S(f) ≠ ∅ , e unindo
este ao fato de S(f) ⊂ S(f 0 ) obtemos que S(f 0 ) ∩ P ≠ ∅ . A existência de função não
constante em A e a arbitrariedade da escolha de f 0 nos permitem concluir que P ̸= ∅ e
que S(p ) ∩ P ̸= ∅ , para toda função não constante p ∈ A . Se u ∈ A for constante ,
então S(u) ∩ P = X ∩ P = P ̸= ∅ , provando , finalmente , que P é uma fronteira para
A .
Definição 3.1. Se X é um espaço compacto e A ⊂ C(X) , o conjunto dos pontos de pico
para A recebe o nome de fronteira de Bishop de A e é denotado por ρA .
O Teorema de Bishop diz que se A é uma álgebra de Banach que satisfaz determinadas
hipóteses , então ρA é não-vazia e é a única fronteira minimal de A .
Corolário 3.1. Se A satisfaz as hipóteses do Teorema de Bishop , então todo conjunto de
pico para A possui ponto de pico .
Demonstração. Se E é um conjunto de pico para A , então E é o conjunto maximal de
alguma função de A . Além disso , por todas as hipóteses do Teorema de Bishop serem
satisfeitas , ρA é uma fronteira para A . Conseqüentemente , ρA intercepta todos os
conjuntos maximais de funções de A . Em particular , ρA ∩ E ≠ ∅ . Em outras palavras ,
E possui ponto de pico .
54

Corolário 3.2. Se A satisfaz as hipóteses do Teorema de Bishop , então ρA = ∂A.
Demonstração. Pelo Teorema de Shilov , ∂A ⊂ ρA e pelo Teorema de Bishop ρA ⊂ ∂A .
A partir destas inclusões e do fato de ∂A ser um conjunto fechado , é imediato que
ρA = ∂A .
Este corolário , usando outras palavras , nos diz que se as condições do Teorema de
Bishop forem satisfeitas por um espaço compacto X e uma álgebra de Banach A , então a
fronteira de Shilov desta álgebra existirá e será o fecho do conjunto dos seus pontos de pico ,
que neste caso , é a fronteira de Bishop de A .
O próximo teorema é devido a H. G. Dales e prova que se , no corolário acima , enfraquecermos
uma das hipóteses , exigindo apenas que A seja uma álgebra de Banach com
uma norma qualquer , então a fronteira de Shilov desta álgebra ainda será o fecho da fronteira
de Bishop de A na norma do supremo . Esta conclusão é semelhante à do corolário
anterior , com a diferença de que não sabemos se ρA é uma fronteira para esta álgebra ,
uma vez que , neste caso , A não é , necessariamente , um espaço completo com a norma
do supremo .
Proposição 3.1. Se X é um espaço compacto e A é uma subálgebra de C(X) munida
de uma norma qualquer ‖ . ‖ e que contém a unidade de C(X) , então ‖f‖ ∞
≤ ‖f‖ , para
toda f ∈ A .
Demonstração. O caso A = {0} é trivial .
f(x) ≠ 0 para algum x ∈ X .
Supondo A ̸= {0} , existe f ∈ A tal que
Por outro lado , para cada x ∈ X , lembremos que a função ̂x : A −→ IK definida pela
equação ̂x(f) = f(x) , pertence a M(A) sempre que ̂x é não-nula . Pela observação feita
no início da demonstração , existe ̂x ≠ 0 para algum x ∈ X . Além disso , pela Proposição
1.15 , ‖ϕ‖ = 1 para toda ϕ em M(A) , onde a norma considerada é a do supremo na
esfera de (A , ‖ . ‖ ) . Logo , se f ∈ A , então
55

‖f‖ ∞
= sup
x∈X
|f(x)| = sup | ̂x(f)| ≤ sup
x∈X
ϕ∈ M(A)
|ϕ(f)| ≤
sup
ϕ∈ M(A)
‖ϕ‖ ‖f‖ = ‖f‖ .
Teorema 3.2. Sejam X um espaço topológico compacto metrizável e A uma subálgebra
de C(X) que separa os pontos de X .
Se A contém a unidade de C(X) e com uma
norma qualquer ‖ .‖ é uma álgebra de Banach , então o conjunto dos seus pontos de pico é
denso em ∂A .
Demonstração. Começaremos provando que todo conjunto de pico para A contido propriamente
em X contém um ponto de pico para A . Se a norma de A fosse a do supremo ,
essa conclusão seguiria imediatamente do Corolário 3.1 .
Sejam P um conjunto de pico para A contido propriamente em X , g ∈ A tal que
g ≡ 1 em P e |g| < 1 em X \P e U um aberto contendo P tal que X \U ≠ ∅ .
U de fato existe , pois tomando x 0 ∈ X\P , o conjunto X\{x 0 } é um exemplo de aberto
contendo P que é diferente de X .
Tal
Se A é o fecho de A na norma do supremo , então
A é uma subálgebra de C(X) que com a norma do supremo é uma álgebra de Banach .
Consideremos A com a norma do supremo . Como A ⊂ A , P também é um conjunto de
pico para A e observando que A satisfaz as hipóteses do Teorema de Bishop , o Corolário
3.1 garante a existência de um ponto de pico p 1 ∈ P para A . Logo , existe f 1 ∈ A tal que
f 1 (p 1 ) = 1 e |f 1 (x)| < 1 sempre que x ≠ p 1 . Por X ser metrizável , podemos considerar
uma métrica d em X que dê origem à sua topologia e lembrando que P é subconjunto
do aberto U , seja B 1 a bola aberta , na métrica d , centrada em p 1 e de raio r 1 < 1 ,
tal que B 1 ⊂ U . Como X \U ≠ ∅ , também temos que X \B 1 ≠ ∅ . Baseados nisto e
na compacidade de X \B 1 , que por sua vez é conseqüência da compacidade de X , seja
β 1 = max
x∈X\B 1
|f 1 (x)| . Pela escolha de f 1 , β 1 < 1 , o que nos permite tomar ɛ 1 > 0 tal que
1 − β 1 > 2ɛ 1 . Por f 1 ∈ A , existe g 1 ∈ A tal que ‖f 1 − g 1 ‖ ∞
< ɛ 1 . A partir disto ,
1−| g 1 (p 1 )| = | f 1 (p 1 )|−| g 1 (p 1 )| ≤ | f 1 (p 1 ) − g 1 (p 1 )| ≤ ‖f 1 − g 1 ‖ ∞
< ɛ 1 (1)
56

e , para cada x ∈ X , | g 1 (x)| − |f 1 (x)| ≤ | g 1 (x) − f 1 (x)| ≤ ‖f 1 − g 1 ‖ ∞
< ɛ 1 .
Isto significa , pela definição de β 1 , que
| g 1 (q)| < ɛ 1 + β 1 , para todo q ∈ X\B 1 . (2)
Por (1) , | g 1 (p 1 )| > 1−ɛ 1 > β 1 > 0 , o que implica ‖g 1 ‖ ∞
> 0 . Assim , pela Proposição
3.1 , temos que ‖g 1 ‖ > 0 . Com base nisto , seja η 1 = (2 2 ‖g 1 ‖ ) −1 . Por (2) , por B 1 ⊂ P
e pelo fato de | g| < 1 em X \P , temos , para q ∈ X \B 1 , que
| g(q)| + η 1 | g 1 (q)| < 1+ (η 1 +β 1 ) . (3)
Além disso , segue de p 1
pertencer a P e de (1) , que
| g(p 1 )| + η 1 | g 1 (p 1 )| = 1 + η 1 | g 1 (p 1 )| > 1 + η 1 (1 − ɛ 1 ) . (4)
Aliando (3) e (4) à definição de ɛ 1 , se q ∈ X \B 1 , então
| g(p 1 )| + η 1 | g 1 (p 1 )| − | g(q)| − η 1 | g 1 (q)| > η 1 (1 − 2ɛ 1 − β 1 ) > 0 . (5)
Agora , sejam ψ 1 = Arg g(p 1 ) = 0 , θ 1 = Arg g 1 (p 1 ) e ϕ 1 = ψ 1 − θ 1 = −Arg g 1 (p 1 ) .
Definindo G 1 = g + η 1 e iϕ 1
g 1 , claramente G 1 ∈ A e , para cada q ∈ X \B 1 , decorre de
(5) que
| G 1 (q)| ≤ | g(q)| + η 1 | g 1 (q)| < | g(p 1 )| + η 1 | g 1 (p 1 )| .
Neste caso , como
| G 1 (p 1 )| = ∣ | g(p1 )|e iψ 1
+ η 1 e iϕ 1
| g 1 (p 1 )|e iθ 1∣
= ∣ | g(p1 )|e iψ 1
+ η 1 | g 1 (p 1 )|e iψ 1∣
= | g(p 1 )| + η 1 | g 1 (p 1 )| ,
57

temos que | G 1 (q)| < | G 1 (p 1 )| , para todo q ∈ X\B 1 . Portanto , G 1
não atinge módulo
máximo fora de B 1 e ‖ G 1 ‖ ∞
> max | G 1 (q)| , ou , equivalentemente , S(G 1 ) ⊂ B 1
q∈X\B 1
M 1 = ‖ G 1 ‖ ∞
− max | G 1 (q)| é positivo .
q∈X\B 1
Nosso próximo passo é repetir , de forma análoga , o que fizemos anteriormente .
Pela Proposição 2.1 , o conjunto S(G 1 ) contém um conjunto de pico para A . Assim ,
pelo Corolário 3.1 , S(G 1 ) contém um ponto de pico p 2 para A , que em particular ,
pertence a B 1 . Logo , existe f 2 ∈ A tal que f 2 (p 2 ) = 1 e | f 2 | < 1 em X \{p 2 } . Seja
B 2 a bola aberta , na métrica d , centrada em p 2 e de raio r 2 < 2 −1 tal que B 2 ⊂ B 1 ,
e seja β 2 = max | f 2 (q)| . Como β 2 < 1 , podemos tomar ɛ 2 > 0 tal que 2ɛ 2 < 1 − β 2
q∈X\B 2
e , por f 2 ∈ A , existe g 2 ∈ A tal que ‖ f 2 − g 2 ‖ ∞
< ɛ 2 . Conseqüentemente ,
e
1 − | g 2 (p 2 )| = | f 2 (p 2 )| − | g 2 (p 2 )| ≤ ‖f 2 − g 2 ‖ < ɛ 2 (6)
e , para todo x ∈ X , | g 2 (x)| − |f 2 (x)| < ɛ 2 . Assim , pela definição de β 2 , se q ∈ X\B 2 ,
então |g 2 (q)| < ɛ 2 + β 2 . (7)
Por outro lado , sejam δ 2 = min {δ 1 , M 1 } e η 2 = δ 2 (2 2 ‖ g 2 ‖ ) −1 . Observe que η 2 está
bem definido , uma vez que , por (6) , ‖g 2 ‖ ∞
> 0 , e pela Proposição 3.1 , isto significa que
‖g 2 ‖ > 0 . Também por (6) ,
| G 1 (p 2 )| + η 2 | g 2 (p 2 )| > | G 1 (p 2 )| + η 2 (1 − ɛ 2 )
e unindo (7) ao fato de p 2 ∈ S(G 1 ) , para todo q ∈ X \B 2 , temos
| G 1 (q)| + η 2 | g 2 (q)| < | G 1 (p 2 )| + η 2 (ɛ 2 + β 2 ) .
Para q ∈ X \B 2 , decorre destas duas desigualdades que ,
| G 1 (p 2 )| + η 2 | g 2 (p 2 )| − | G 1 (q)| − η 2 | g 2 (q)| > η 2 (1−2ɛ 2 +β 2 ) > 0 . (8)
58

Definindo ψ 2 = ArgG 1 (p 2 ) , θ 2 = Argg 2 (p 2 ) e ϕ 2 = ψ 2 −θ 2 , seja G 2 = G 1 +η 2 e iϕ 2
g 2 .
É claro que G 2 ∈ A e por sua definição ,
| G 2 (p 2 )| = ∣ | G1 (p 2 )|e iψ 2
+ η 2 e iϕ 2
| g 2 (p 2 )|e iθ 2∣ = | G1 (p 2 )| + η 2 | g 2 (p 2 )| ,
que aliado a (8) nos diz que | G 2 (q)| ≤ | G 1 (q)| + η 2 | g 2 (q)| < | G 2 (p 2 )| , para todo
q ∈ X\B 2 . Ou seja , G 2 não atinge módulo máximo fora de B 2 e ‖ G 2 ‖ ∞
> max | G 2 (q)| .
q∈X\B 2
Em outras palavras , S(G 2 ) ⊂ B 2 e M 2 = ‖ G 2 ‖ ∞
− max | G 2 (q)| > 0 .
q∈X\B 2
Analogamente , podemos repetir este processo para termos , na n-ésima etapa , bolas
abertas B 1 , B 2 , . . . , B n
de raios r 1 , r 2 , . . . , r n , respectivamente , tais que r k < k −1
para k = 1, 2, . . . , n e U ⊃ B 1 ⊃ B 2 ⊃ . . . ⊃ B n . Além disso , sendo G 0 = g , B 0 = U
e δ 0 = M 0 = 1/2 , para cada k ∈ {1, 2, . . . , n} , teremos uma função G k ∈ A tal que
S(G k ) ⊂ B k , definida por G k = G k−1 + η k e iϕ k gk , onde g k ∈ A , ‖ g k ‖ > 0 ,
η k = δ k (2 k ‖ g k ‖ ) −1 , δ k = min {δ k−1 , M k−1 } e M k = ‖ G k ‖ ∞
− max
q∈X\B k
| G k (q)| > 0 .
A possibilidade de repetir o que fizemos quantas vezes desejarmos , assegura que faz
sentido definir indutivamente a função h pela igualdade
h = lim
n→ ∞ G n = g +
∞∑
η n e iϕn g n .
A fim de verificar que h está bem definida e pertence a A , fixemos n ∈ IN . Pelas
definições de η n e δ n ,
n=1
‖ η n e iϕn g n ‖ ≤ η n ‖ g n ‖ =
δ n
2 n ‖ g n ‖ ‖ g n‖ ≤ 1
2 . n+1
Aliando isto à hipótese de A ser uma álgebra de Banach com esta norma , temos que
h está bem definida e pertence a A . Além disso , baseados no fato de S(G n ) ⊂ B n
para
59

todo n , seja {q n } uma seqüência em X tal que q n ∈ B n
cada n ∈ IN . Neste caso , se k ∈ IN , então
e | G n (q n )| = ‖G n ‖ ∞
, para
|h(q k )| =
∞∑
∣ G k(q k ) + η n e iϕn g n (q k )
∣
n=k+1
≥ | G k (q k )| −
∣
∞∑
n=k+1
η n e iϕn g n (q k )
∣
∞∑
≥ ‖G k ‖ ∞
− η n | g n (q k )| ,
n=k+1
e a Proposição 3.1 juntamente com a definição de cada δ n , nos garante que para todo
x ∈ X ,
∞∑
n=k+1
η n | g n (x)| ≤
≤
≤
∞∑
n=k+1
∞∑
n=k+1
∞∑
n=k+1
η n ‖ g n ‖ ∞
η n ‖ g n ‖
δ n
2 ≤ ∑ ∞ n
n=k+1
δ k+1
2 < δ k+1
n 2
. (9)
Em particular , | h(q k )| > ‖ G k ‖ ∞
− δ k+1
.
2
Logo , por (9) e pelas definições de δ k e
M k , para todo q ∈ X \B k ,
∞∑
| h(q)| ≤ | G k (q)| + η n | g n (q)|
≤
n=k+1
max | G k (x)| +
x∈X\B k
∞∑
n=k+1
η n | g n (q)|
60

= ‖ G k ‖ ∞
− M k +
∞∑
n=k+1
≤ ‖ G k ‖ ∞
− M k + δ k+1
2
η n | g n (q)|
≤ ‖ G k ‖ ∞
− δ k+1
2
< | h(q k )| ,
ou seja , S(h) ⊂ B k , já que q k ∈ B k . Segue da arbitrariedade de k que S(h) ⊂ ⋂ ∞
n=1 B n .
Como S(h) ≠ ∅ (pois h é contínua e X é compacto) e r n
tende a zero a medida que
n cresce , temos que S(h) é um conjunto unitário , ou seja , S(h) = {p} para algum
p ∈ X .
pertence a U .
Assim , segue do fato de p ∈ B 1 ⊂ U , que p é um ponto de pico para A que
Lembrando o início da prova , observamos que o conjunto de pico P foi
fixado arbitrariamente , assim como o aberto U que o contém .
Portanto , acabamos de
provar que todo conjunto de pico para A contido propriamente em X contém ponto de
pico para A .
Finalizando a prova , observemos que as hipóteses deste teorema nos permitem , através
do Teorema de Shilov , garantir a existência da fronteira de Shilov de A . Logo , se x ∈ ∂A
e U x
é uma vizinhança de x tal que X\U x ≠ ∅ , então , pelo Corolário 2.2 , existe u ∈ A
tal que S(u) ⊂ U x . Da Proposição 2.1 , obtemos um conjunto de pico P x
para A contido
em S(u) , que em particular , é um subconjunto próprio de X . Em decorrência do que foi
provado acima , temos que P x possui um ponto de pico , o que conclui a demonstração .
O próximo exemplo mostrará que não é possível enfraquecer as hipóteses do Teorema
de Bishop , trabalhando num espaço compacto não-metrizável , ou seja , prova que sem a
metrizabilidade do espaço compacto nem sempre a fronteira de Bishop da álgebra considerada
será não-vazia . Um corolário do Teorema de Stone -Weierstrass desempenhará um papel
importante nesse exemplo e por isto o enunciaremos agora :
Corolário 3.3. Sejam X um espaço compacto e A uma subálgebra de C(X, IC) que
61

separa os pontos de X e contém as funções constantes . Se para toda f ∈ A , f ∈ A ,
onde f é o conjugado complexo de f, então A é denso em (C(X, IC), ‖ .‖ ∞
) .
Demonstração. Consulte a referência [9] , Corolário 11.4.1 , p. 333 .
Exemplo 3.1. Seja X o espaço compacto e não-metrizável definido no exemplo 1.5 . Pelo
exemplo 1.10 , C(X, IC) com as operações ponto a ponto e a norma do supremo é uma álgebra
de Banach sobre IC , comutativa e com unidade , além de conter as funções constantes .
Como no exemplo 1.3 , para cada índice α ∈ Λ , seja π α : X −→ X α definida em x =
{x λ } λ∈Λ
∈ X por π α (x) = x α , a projeção de X sobre X α . Agora , seja A a subálgebra
de C(X, IC) gerada pelas projeções e as funções constantes . Por definição , toda função em
A é uma soma finita da forma c 0 +c 1 w 1 +. . .+c n w n , onde c 0 , . . . , c n ∈ IC e cada w k é um
produto finito de projeções . Em particular , A é a álgebra dos polinômios com coeficientes
em IC , cujas variáveis são as projeções . Com a norma do supremo herdada de C(X, IC) ,
A é uma álgebra normada sobre IC , comutativa e com unidade . Para provar que A é
denso em C(X, IC) , observemos que se t = {t λ } e s = {s λ } são pontos distintos em X ,
existe α ∈ Λ tal que t α ≠ s α e , com isto , a projeção π α ∈ A satisfaz π α (t) ≠ π α (s) ,
ou seja , A separa os pontos de X . Além disso , como as projeções são funções reais ,
se g = d 0 + d 1 q 1 + . . . + d n q n é uma função de A , onde d 0 , . . . , d n ∈ IC e cada q k é um
produto finito de projeções , então g = d 0 + d 1 q 1 + . . . + d n q n = d 0 + d 1 q 1 + . . . + d n q n ,
que é um elemento de A . Unindo estes ao fato de A conter as funções constantes , pelo
Corolário 3.3 , A = C(X, IC) .
Por outro lado , seja E 0 o conjunto dos {t λ } λ∈Λ
∈ X tais que t λ ≠ 0 apenas para
uma quantidade enumerável de índices λ e E 1 o conjunto dos {s λ } λ∈Λ
∈ X para os
quais apenas para uma quantidade enumerável de índices λ , temos que s λ ≠ 1 . A fim de
provar que E 0 e E 1 são fronteiras para C(X, IC) , fixemos uma função f nesta álgebra .
Como A = C(X, IC) , existe uma seqüência (p n ) em A que converge na norma do supremo
para f . Assim , pela definição de A , cada p n é uma soma finita na qual cada parcela é
62

formada por um produto cujos fatores são um coeficiente complexo e uma quantidade finita
de projeções . Conseqüentemente , para todo n ∈ IN , p n
está completamente determinado
pelas projeções que constituem suas parcelas e seja Λ n ⊂ Λ o conjunto finito formado pelos
índices destas projeções .
Neste caso , Λ 0 = ⋃ ∞
n=1 Λ n é um subconjunto enumerável de Λ
com a seguinte propriedade : se t = {t λ } λ∈Λ
e s = {s λ } λ∈Λ
são elementos de X tais que
t α = s α para todo α ∈ Λ 0 , então p n (t) = p n (s) para todo n ∈ IN . O conjunto Λ 0 possui
esta propriedade , uma vez que as coordenadas λ em Λ\Λ 0
não contribuem para os valores
assumidos por cada p n , pois os índices das projeções que os determinam estão em Λ 0 . A
partir disto , se t = {t λ } λ∈Λ
e s = {s λ } λ∈Λ
são elementos de X tais que t α = s α para
todo α ∈ Λ 0 , então , fixando ɛ > 0 e lembrando que (p n ) converge para f na norma do
supremo , existe n 0 ∈ IN tal que ‖f − p n ‖ ∞
< ɛ/2 , sempre que n ≥ n 0 .
p n0 (t) = p n0 (s) ,
Logo , como
|f(t) − f(s)| ≤ |f(t) − p n0 (t)| + |f(s) − p n0 (s)| ≤ ‖f − p n0 ‖ ∞
< ɛ .
Em outras palavras , f(t) = f(s) , para todo par t = {t λ } λ∈Λ
, s = {s λ } λ∈Λ
de elementos
de X que satisfaz t α = s α para todo α ∈ Λ 0 .
Agora , seja u = {u λ } ∈ X tal que |f(u)| = ‖f‖ ∞
e , baseados em u , sejam t 0 = {t λ }
e s 1 = {s λ } em X tais que
t λ = u λ , para λ ∈ Λ 0 ,
t λ = 0 , para λ ∈ Λ\Λ 0 ,
s λ = u λ , para λ ∈ Λ 0 ,
s λ = 1 , para λ ∈ Λ\Λ 0 .
Claramente , t 0 ∈ E 0 e s 1 ∈ E 1 . Além disso , pelo que concluímos acima , f(t 0 ) =
f(s 1 ) = f(u) , o que implica t 0 , s 1 ∈ S(f) . A arbitrariedade de f nos permite concluir que
E 0 e E 1 são , de fato , fronteiras para C(X, IC) . Finalmente , por Λ ser não-enumerável ,
63

é imediato da definição destes conjuntos que E 0 ∩ E 1 = ∅ . Com isto , C(X, IC) não possui
ponto de pico , já que estando em todas as fronteiras , os pontos de pico estariam , em
particular , em E 0 ∩ E 1 . Portanto , ρC(X, IC) = ∅ .
A seguir , determinaremos a fronteira de Bishop de algumas álgebras .
Exemplo 3.2. Seja A(∆) a álgebra de Banach definida no exemplo 1.12 . Pelo exemplo
2.2 , ρA(∆) contém F r∆ e , como ρA(∆) ⊂ ∂A(∆) = F r∆ , temos que a fronteira de
Bishop de A é a fronteira topológica de ∆ . Em símbolos , ρA(∆) = F r∆ .
Exemplo 3.3. Seja H a álgebra de Banach definida no exemplo 1.13 . Pela definição de H
e pelo exemplo 2.3 , onde mostramos que H separa os pontos de F r∆ , todas as hipóteses
do Teorema de Bishop são satisfeitas . Conseqüentemente , ρH é uma fronteira para H .
Além disso , pelo Teorema do Módulo Máximo , 1 não é ponto de pico para H , uma vez
que para toda f ∈ H , existe ˜f ∈ A(∆) tal que ˜f (0) = ˜f (1) . Lembrando que no exemplo
2.3 provamos que ∂H = F r∆ , isso implica ∂H ≠ ρH .
Exemplo 3.4. Seja U a álgebra de Banach real definida no exemplo 1.11 . Foi provado ,
no exemplo 2.4 , que para toda função g ∈ U , existe s ∈ [0, 1] tal que g atinge máximo
em módulo em s e em 1 − s . Assim , nenhum ponto do intervalo [0, 1] diferente de 1/2 ,
é ponto de pico para U . Para verificar que 1/2 é ponto de pico basta considerar a função
f : [0, 1] −→ IC definida por f(t) = t em [ 0, 1/2] e por f(t) = 1 − t em [1/2, 1] . É claro
que f ∈ U , f(1/2) = 1/2 = ‖f‖ ∞
e que |f(t)| < 1/2 para todo t ∈ [0, 1/2) ∪ (1/2, 1] .
Portanto , ρU = {1/2} , que pelo exemplo 2.4 não é uma fronteira para U .
O exemplo abaixo , mostra a importância de mais uma das hipóteses do Teorema de
Bishop .
64

Exemplo 3.5. Sejam X um espaço compacto metrizável e C o conjunto das funções constantes
de X em IK . Pelo exemplo 1.9 , C é uma subálgebra de C(X) que é completa com
a norma do supremo . Decorre imediatamente de sua definição que C não possui pontos de
pico e , conseqüentemente , que ρ C = ∅ . É interessante observar que , exceto por C não
separar os pontos de X , todas as hipóteses do Teorema de Bishop são satisfeitas por esta
álgebra .
3.2 Exemplo de um Conjunto de Pico sem Ponto de
Pico
Uma das conseqüências imediatas do Teorema de Bishop , o Corolário 3.1 , diz que se
suas hipóteses são satisfeitas , então todo conjunto de pico possui ponto de pico . Nesta
seção , veremos um exemplo de conjunto de pico sem ponto de pico , e uma conclusão
tirada a partir deste exemplo destacará a importância de uma das hipóteses do Teorema de
Bishop .
Antes de apresentarmos o exemplo prometido , lembraremos algumas definições e resultados
:
Definição 3.2. Se Ω é um espaço topológico , então uma curva fechada em Ω é uma
aplicação contínua γ : [a , b] −→ Ω tal que γ(a) = γ(b) , onde [a , b] ⊂ IR é um intervalo
fechado e limitado . Neste caso , chamamos o conjunto γ ( [a , b] ) de traço de γ . Se
além disso , a restrição de γ ao intervalo (a , b ] for injetiva , dizemos que γ é uma curva
fechada simples .
No caso particular em que Ω = IC ou IR 2 e que γ for diferenciável por partes em [a, b] ,
dizemos que γ é uma curva fechada diferenciável por partes .
65

Definição 3.3. Sejam Ω um espaço topológico e [a, b] um intervalo fechado e limitado
da reta . Se F : [a , b] × [0 , 1] −→ Ω é uma aplicação contínua tal que F (a, s) = F (b, s)
para todo s ∈ [0, 1] , então , para cada s ∈ [0 , 1] , a aplicação F s : [a , b] −→ Ω definida
por F s (t) = F (t , s) , é uma é uma curva fechada . Sob estas circunstâncias , dizemos
que F é uma homotopia entre as curvas fechadas F 0 e F 1 . Duas curvas fechadas são
homotópicas , se existe uma homotopia entre elas .
Definição 3.4. Seja γ : [a, b] −→ IC uma curva diferenciável por partes no plano complexo .
Se z 0 ∈ IC não pertence ao traço de γ , definimos o índice de γ com relação a z 0 , que
será denotado por w(γ, z 0 ) , da seguinte forma
∫
w(γ, z 0 ) =
γ
∫
dz
b
γ ′ (t)
=
dt .
z − z 0 a γ(t) − z 0
Sejam γ uma curva fechada em IC e a um ponto fora de seu traço . Observe que , neste
caso , não sabemos se γ é diferenciável por partes , e , portanto , pode ser que o índice de
γ com relação a a não exista , segundo a definição acima . Entretanto , é possível definir ,
de forma mais geral , o índice de uma curva fechada α qualquer com relação a um ponto b
fora de seu traço (consulte a referência [11] , capítulo 10 , parágrafo 66) , e , denotando por
n(α, b) o índice de α com relação a b segundo esta outra definição , o resultado abaixo
nos diz que nossa definição é um caso particular da mais geral .
Proposição 3.2. Se γ é uma curva fechada diferenciável por partes no plano complexo e
z 0 ∈ IC é um ponto fora do traço de γ , então
∫
n(γ, z 0 ) =
γ
dz
z − z 0
= w(γ, z 0 ) .
Demonstração. Consulte a referência [11] , Lema 66.3 , p. 405 .
66

Proposição 3.3. Sejam γ e α curvas fechadas em IR 2 \ {p} (ou em IC \ {p}) . Se existe
homotopia H entre estas curvas tal que p não pertence ao conjunto imagen de H , então
n(γ, p) = n(α, p) .
Demonstração. Consulte a referência [11] , Lema 66.1 , p. 403 .
Definição 3.5. Sejam γ uma curva fechada simples em IR 2 (ou em IC ) e C o traço de
γ . Sob estas condições o Teorema da Curva de Jordan afirma que existem dois conjuntos
abertos e conexos A 1 e A 2 contidos em IR 2 \ C (respectivamente em IC \ C) tais que
A 1 é limitado , A 2 é ilimitado , A 1 ∪ A 2 = IR 2 \ C (respectivamente A 1 ∪ A 2 = IC \ C) e
A 1 ∩ A 2 = ∅ . Neste caso , diremos que A 1 é o interior de γ e que A 2 é o exterior de
γ .
Para a consulta da demonstração do Teorema da Curva de Jordan sugerimos a referência
[12] , Teorema 13.4 , p. 383 .
Teorema 3.3. Sejam γ uma curva fechada simples e f
uma função meromorfa num
aberto contendo o traço e o interior de γ . Se f não possui zero ou polo sobre o traço de
γ , então
∫
1
2πi γ
f ′ (ξ)
f(ξ)
dξ = n(z) − n(p) ,
onde n(z) é o número de zeros e n(p) o número de polos de f no interior de γ , contando
suas multiplicidades .
Demonstração. Teorema 1.5 , p. 180 da referência [7] .
Sejam C 1 (∆) a álgebra de Banach sobre IC , comutativa e com unidade , definida no
exemplo 1.14 e H o subconjunto desta álgebra formado pelas funções analíticas na bola
67

B 1/2 = B( 0 , 1/2) ⊂ IC . Não é difícil verificar que H é fechado para as operações definidas
em C 1 (∆) . Portanto , para provar que esta é uma álgebra de Banach , basta demonstrar
que o limite de toda seqüência convergente em H pertence a este conjunto . Com efeito ,
se {f n } é uma seqüência em H que converge para uma função f ∈ C 1 (∆) , então {f n }
também convergirá para a função f na norma do supremo , uma vez que , denotando a
norma de C 1 (∆) pelo símbolo usual , ‖ g‖ ∞
≤ ‖ g‖ para toda g ∈ C 1 (∆) . Logo , a
seqüência formada pelas restrições das funções f n a B 1/2 converge uniformemente para a
restrição de f a B 1/2 . Como já sabemos , o limite uniforme de funções analíticas definidas
em um subconjunto aberto de IC é uma função analítica . Conseqüentemente , f é analítica
em B 1/2 . Em outras palavras , H uma álgebra de Banach sobre IC , além de ser comutativa
e possuir unidade .
Uma conseqüência imediata da proposição que apresentaremos a seguir é que B 1/2
conjunto de pico para H :
é um
Proposição 3.4. Existe uma função f : IC −→ IC constante e igual a 1 em B 1/2 tal que
|f(z)| < 1 sempre que | z| > 1/2 e que quando vista como função de IR 2 em IR 2 , possui
derivadas parciais contínuas em todo o seu domínio .
Demonstração. A construção da função que buscamos será por estapas que passam
pelas definições de outras funções . Portanto , dividiremos a demonstração em passos .
Passo 1 : Seja α : IR −→ IR definida por
{
α(t) =
0 , t ≤ 0
exp(−1/t) , t > 0 .
É claro que para qualquer t ≠ 0 , α ′ (t) existe e é contínua . Por outro lado , como α
é constante no intervalo (−∞, 0] , a derivada lateral à esquerda α ′ (0 − ) existe e é igual a
zero . Pela análise real , para a derivada lateral à direita , temos
68

α ′ (0 + ) = lim
t→ 0 + α(t) − α(0)
t − 0
= lim
t→ 0 + exp(−1/t)
t
= 0 .
Isto significa que α ′ (0) existe e é igual a zero . Além disso , por α ′ (t) = 0 para todo
t < 0 , temos que α ′
pela direita , basta observar que
Logo , α é de classe C 1 em IR .
é contínua pela esquerda no zero . Para verificar que o mesmo ocorre
lim α ′ exp(−1/t)
(t) = lim
= 0 .
t→ 0 + t→ 0 + t 2
Passo 2 : A próxima a ser definida é a função β : IR −→ IR , pela equação β(t) =
α(t + 2) α(−1 − t) . Não é difícil concluir que β é de classe C 1 em IR , já que α possui
esta propriedade . Também será útil observar que nos pontos t ∈ (−2, −1) , β(t) > 0 e que
β(t) = 0 para t ∈ (−∞, −2] ∪ [−1, +∞ ) .
A partir de β definiremos a função γ : IR −→ IR da seguinte forma
γ(t) =
{
β(t) , t ≤ 0
−β(−t) , t > 0 .
Desta forma , γ(t) = 0 para t ∈ (−∞, −2] ∪ [−1, 1 ] ∪ [2, +∞ ) , γ > 0 no intervalo
(−2, −1) e γ < 0 no intervalo (1 , 2) . Também temos que γ é simétrica com relação
à origem , além de ser de classe C 1 em IR , uma vez que β o é e pelo fato de γ ser
constante num intervalo aberto contendo o zero .
Passo 3 : Daremos prosseguimento à demonstração , definindo δ : IR −→ IR pela equação
δ(t) =
∫ t
−2
γ(s) ds , t ∈ IR .
É claro que δ é de classe C 1 em IR . Além disso , para t ∈ (−1, 1) ,
δ(t) =
∫ t
γ(s) ds =
∫ −1
−2
−2
69
γ(s) ds = δ(−1) .

Como γ é contínua e estritamente positiva em (−2, −1) , δ(−1) > 0 . Conseqüentemente
, pela continuidade de δ e pela equação acima , δ(t) = δ(−1) para todo t ∈ [−1, 1] .
Por outro lado , lembrando que γ é simétrica com relação à origem ( donde , estritamente
negativa em (1, 2) ) e nula em [2, +∞) , se t > 1 , então
0 ≤ δ(t) = δ(−1) +
∫ t
1
γ(s) ds < δ(−1) .
Passo 4 : Neste momento , resta apenas uma função a ser definida antes de chegarmos à
função desejada . Consideremos
ξ : IR 2 −→ IR
x ↦−→
δ( 2 ‖x‖ )
δ(−1)
.
Por δ ser constante e igual a δ(−1) no intervalo [−1, 1] , ξ é constante e igual a 1 em
B 1/2 . Portanto , ξ é de classe C 1 em B 1/2 , o que aliado ao fato desta função originar-se
da composição de funções de classe C 1 em IR 2 \{0} , implicam ξ ser de classe C 1 em
IR 2 . Para x ∈ IR 2 tal que ‖x‖ > 1/2 , δ( 2 ‖x‖ ) < δ(−1) , e com isto , ξ(x) < 1 .
Passo 5 : Finalmente vamos à função que buscamos . Seja f : IC −→ IC definida por
f(z) = ξ(z) . Esta função poderia ser equivalentemente definida pela igualdade f(x 1 , x 2 ) =
( ξ(x 1 , x 2 ), 0) , para cada par (x 1 , x 2 ) ∈ IR 2 . Segundo esta última definição , f é de classe
C 1 em IR 2 , uma vez que suas funções coordenadas o são . Pela primeira definição e
por ξ ser constante e igual a 1 em B 1/2 , f é constante e igual a 1 neste conjunto . Por
fim , tomando z = a + bi ∈ IC \B 1/2 , temos que ξ(z) = ξ(a, b) < 1 , e conseqüentemente ,
| f(z)| = | ξ(z)| = ξ(z) < 1 . Isto conclui a proposição .
Para provar que B 1/2 não possui ponto de pico , precisamos da proposição abaixo :
70

Proposição 3.5. Não existe função h ∈ A(∆) tal que h(1) = 0 e |1 + (z − 1)h(z)| < 1 ,
para z ∈ ∆ \{1} .
Demonstração. Supondo que tal h exista , seja ϕ : IC \ {1} −→ IC definida por
ϕ(z) = (1 − z) −1 e IC − = {z ∈ IC : Re z ≤ 0} . Como ϕ(0) = 1 e |ϕ(z)| < 1 para todo
z ∈ IC − \ {0} , podemos compor h com ϕ para obter a função f : IC − −→ IC definida pela
equação f(z) = 1+(ϕ(z)−1)h (ϕ(z)) . Por hipótese , |f(z)| < 1 para z ∈ IC − \{0} e , por
definição , f é contínua em IC − e analítica em IC − \{0} . Logo , a função g : IC − −→ IC que
associa cada z ∈ IC − a ϕ(z)h (ϕ(z)) , é contínua em IC − e analítica em IC − \{0} . Além
disso , g(0) = 0 e f(z) = 1 + zg(z) , para todo z ∈ IC − .
Sejam a, b ∈ IR tais que a < b e η : [a , b ] −→ IC − uma curva fechada , cujo
traço é o conjunto C formado pela união do segmento de reta que une −i a i com a
semicircunferência unitária centrada na origem e contida em IC − . Podemos supor , sem
perda de generalidade , que η restrita ao intervalo [a, b) é injetiva , que η(a) = η(b) = 0 e
que , a medida que seu parâmetro cresce , C é percorrido no sentido anti-horário . Também
será útil considerar c , d ∈ (a , b) os elementos tais que η(c) = i e η(d) = −i . Por
nossas suposições , c < d . A continuidade de g nos permite definir a curva fechada
φ = g ◦ η . Denotaremos o traço de φ por C g . Por outro lado , se z ∈ IC − \{0} , então
|(−1) − zg(z)| = |f(z)| < 1 , ou seja , a distância entre −1 e zg(z) é menor que 1 . Isto
significa que Re zg(z) < 0 , para z ∈ IC − \{0} . A partir disto , Im g(i) = −Re [ig(i)] > 0 ,
Im g(−i) = Re [−ig(−i)] < 0 e :
(1) se z está no segmento de reta que une 0 a i e 0 ≠ z ≠ i , então
0 > Re zg(z) = Re z Re g(z) − Im z Im g(z) = −Im z Im g(z) ,
o que implica Im g(z) > 0 ;
(2) se z está na semicircunferência de C e −i ≠ z ≠ i , então Im g(z) ≠ 0 ou Re g(z) > 0 ,
71

pois caso contrário , teríamos que
Re zg(z) = Re z Re g(z) − Im z Im g(z) = Re z Re g(z) ≥ 0 ,
o que é uma contradição ;
(3) se z está no segmento de reta que une −i a 0 e −i ≠ z ≠ 0 , então
0 > Re zg(z) = Re z Re g(z) − Im z Im g(z) = −Im z Im g(z) ,
o que implica Im g(z) < 0 .
A seguir , provaremos a seguinte afirmação : existe real positivo z 0
tal que
φ ( (a, b) ) ∩ {z ∈ IC : Im z = 0 e Re z ≤ z 0 } = ∅ . (4)
Supondo que para cada p > 0 exista t p ∈ (a, b) tal que Im φ(t p ) = 0 e Re φ(t p ) ≤ p ,
podemos tomar uma seqüência {t n } em (a, b) tal que Im φ(t n ) = 0 e Re φ(t n ) < 1/n ,
para todo n ∈ IN . Lembrando que c , d ∈ (a, b) são tais que η(c) = i e η(d) = −i , temos
que (1) e (3) garantem que t n ∈ [c, d] e (3) , que Re φ(t n ) > 0 , para cada n ∈ IN .
Conseqüentemente , lim φ(t n ) = 0 . Além disso , pela compacidade de [c, d] , {t n } possui
subseqüência que converge para um ponto de [c, d] . Se {t nk } for uma subseqüência com esta
propriedade e t 0 ∈ [c, d] o seu limite , então φ(t 0 ) = lim φ(t nk ) = 0 , já que φ é contínua ;
mas isto é uma contradição , uma vez que φ(c) = g(i) ≠ 0 , φ(d) = g(−i) ≠ 0 e que
(2) implica φ(t) ≠ 0 para todo t ∈ (c, d) , o que prova a afirmação . Em particular ,
como φ(a) = φ(b) = 0 , (4) nos diz que não existe t ∈ [a, b] tal que φ(t) = z 0 .
Logo , por [a, b] ser compacto , inf { | w − z 0 | : w ∈ C g } = inf { | φ(t) − z 0 | : t ∈ [a, b] } é
estritamente positivo, o que nos permite tomar um real ρ > 0 estritamente menor que estes
ínfimos. Neste caso, denotando B(0, ρ)⊂ IC por B ρ , temos que B ρ ∩ C g = ∅ . (5)
Por outro lado, como [c, d] ⊂ (a, b) , decorre da afirmação em (4) que Arg(φ(t)−z 0 ) ≠ π ,
para todo t ∈ [c, d] , onde Arg : IC \{0} −→ (−π, π ] é a função argumento principal . Se
72

T z0 : IC −→ IC é a translação definida por T z0 (w) = w − z 0 , então a continuidade da função
argumento implica a existência de θ 1 , θ 2 ∈ IR tais que θ 1 < θ 2
e
Arg ◦ T z0 ◦ φ ( [c, d] ) = [θ 1 , θ 2 ] ⊂ (−π, π ) .
Agora , seja
θ 0 = 1 2 min {θ 1 + π , π − θ 2 } .
Por esta definição , θ 0 ≠ 0 , θ 0 ≠ π e
Arg(φ(t) − z 0 ) ∈ [ θ 0 − π , π − θ 0 ] , para todo t ∈ [c, d] . (6)
Neste momento , definiremos explicitamente as curvas fechadas com traços C e Fr B ρ
com as quais trabalharemos . Sejam α : [0, 2π] −→ C e β : [0, 2π] −→ Fr B ρ definidas
por
⎧
⎪⎨
α(t) =
⎪⎩
it(π − θ 0 ) −1 , t ∈ [ 0 , π − θ 0 ]
exp[ iπ(t + 2θ 0 − π)(2θ 0 ) −1 ] , t ∈ [ π − θ 0 , π + θ 0 ]
(it − 2πi)(π − θ 0 ) −1 , t ∈ [ π + θ 0 , 2π ]
e
β(t) = z 0 + ρ exp[ i(π − t) ] .
Ambas são funções contínuas e analisando as equações que definem α , vemos que o
intervalo [ 0 , π − θ 0 ] é levado por α no segmento de reta que une a origem a i , assim
como [ π − θ 0 , π + θ 0 ] é levado na semicircunferência de C e [ π + θ 0 , 2π ] no segmento
que une −i à origem . Logo , considerando a curva fechada γ = g ◦α , cujo traço é C g ,
temos que γ ( [ π − θ 0 , π + θ 0 ] ) = φ( [c, d] ) , já que α( π − θ 0 ) = i e α( π + θ 0 ) = −i .
Por conseguinte , (6) implica
Arg(γ(t)−z 0 ) ∈ [θ 0 −π, π−θ 0 ] , para todo t ∈ [π−θ 0 , π+θ 0 ] . (7)
73

A próxima etapa da demonstração , consiste em estabelecer uma homotopia entre C g e
Fr B ρ , que não contenha z 0 em sua imagem . Seja H : [0 , 2π] × [0 , 1] −→ IC definida por
H(t , s) = γ(t) + s [β(t) − γ(t)] . A verificação que H é uma homotopia entre C g e Fr B ρ
é imediata . Provaremos que H(t , s) ≠ z 0 , para todo par (t , s) ∈ [0 , 2π] × [0 , 1] .
Fixando t 0 ∈ [0, 2π] , se t 0 = 0 ou t 0 = 2π , então
H(t 0 , s) = sβ(t 0 ) = sz 0 − sρ < z 0 , para todo s ∈ [0 , 1] .
Se t 0 ∈ (0 , π − θ 0 ] , então decorre de (1) e de Im γ(π − θ 0 ) = Im g(i) > 0 que
Im γ(t 0 ) > 0 . Além disso , pela definição de β , Im β(t 0 ) > 0 . Assim ,
Im H(t 0 , s) = (1 − s)Im γ(t 0 ) + sIm β(t 0 ) > 0 .
Lembrando que z 0 ∈ IR , isto significa que H(t 0 , s) ≠ z 0 para todo s ∈ [0 , 1] .
Se t 0 ∈ [π + θ 0 , 2π) , prova-se , de forma completamente análoga ao caso anterior , que
H(t 0 , s) ≠ z 0 para todo s ∈ [0 , 1] .
Se t 0 ∈ (π−θ 0 , π+θ 0 ) , por β ser contínua e injetiva em [0, 2π) , Arg ( β(π − θ 0 ) ) = θ 0
e Arg ( β(π + θ 0 ) ) = − θ 0 , temos que
Arg(β(t 0 ) − z 0 ) ∈ (−θ 0 , θ 0 ) . (8)
Por outro lado , se s = 0 , então (5) implica H(t 0 , s) = γ(t 0 ) ≠ z 0 e se s = 1 , é
claro que H(t 0 ) = β(t 0 ) ≠ z 0 . Suponhamos , por absurdo , que exista s 0 ∈ (0 , 1) tal
que H(t 0 , s 0 ) = z 0 . Neste caso , pela definição de H , γ(t 0 ) + s 0 [ β(t 0 ) − γ(t 0 ) ] = z 0 .
Conseqüentemente ,
z 0 −γ(t 0 ) = s 0 [β(t 0 )−γ(t 0 )] (9)
e
β(t 0 ) = z 0 + (1 − s 0 )[ β(t 0 ) − γ(t 0 )] .
Reescrevendo esta última equação ,
74

β(t 0 )−z 0 = (1−s 0 )[β(t 0 )−γ(t 0 )] . (10)
Por (1 − s 0 ) e s 0 serem positivos ,
Arg (s 0 [ β(t 0 ) − γ(t 0 ) ] ) = Arg ( [β(t 0 ) − γ(t 0 ) ] ) = Arg ( (1 − s 0 )[ β(t 0 ) − γ(t 0 ) ] ) ,
o que aliado às equações (9) e (10) , nos permite concluir que
Arg (z 0 − γ(t 0 ) ) = Arg (β(t 0 ) − z 0 ) .
Se Arg (z 0 − γ(t 0 ) ) > 0 , então
Arg (β(t 0 ) − z 0 ) = Arg ( exp(−πi)[γ(t 0 ) − z 0 ] ) = −π + Arg (γ(t 0 ) − z 0 ) .
Logo , por (7) , Arg (β(t 0 ) − z 0 ) < −π + (π − θ 0 ) = −θ 0 , o que contradiz a condição
em (8) . Analogamente , se Arg (z 0 − γ(t 0 ) ) < 0 , então
Arg (β(t 0 ) − z 0 ) = Arg ( exp(πi)[γ(t 0 ) − z 0 ] ) = π + Arg (γ(t 0 ) − z 0 ) .
Portanto , por (7) , Arg (β(t 0 ) − z 0 ) > π + (−π + θ 0 ) = θ 0 , o que também contradiz
(8) . Com isto , provamos que H(t, s) ≠ z 0 para todo par (t , s) ∈ [0 , 2π] × [0 , 1] . Pelas
Proposições 3.3 e 3.2 , respectivamente ,
n(γ, z 0 ) = n(β, z 0 ) = w(β, z 0 ) = −1 . (11)
Voltando novamente a atenção para a função h do início da demonstração , fixemos ɛ
no intervalo aberto (0 , ρ) . A continuidade uniforme de h em ∆ nos fornece δ > 0 tal
que
| h(w) − h(z)| < ɛ , sempre que w, z ∈ ∆ satisfazem |w − z| < δ . (12)
Agora , sejam r ∈ (0 , 1) tal que 1 − r < min {δ, z 0 } e
h r : B 1/r −→ IC
z ↦−→ h(rz) , onde B 1/r = B(0 , 1/r) ⊂ IC .
75

É fácil ver que h r está bem definida , que é contínua em B 1/r e analítica em
B 1/r . A partir de r e h r , definiremos U r = {z ∈ IC : Re z < 1 − r} e g r : U r −→ IC
por g r (z) = ϕ(z)h r (ϕ(z)) . Observe que g r está bem definida , uma vez que 1 /∈ U r e
| 1 − z| ≥ 1 − Re z ≥ r para todo z ∈ U r , o que implica |ϕ(z)| ≤ 1/r para cada z neste
conjunto . Além disso , por ϕ (U r ) ⊂ B 1/r , g r é analítica em U r .
Observando que | rz − z| = (1 − r) | z| < δ para z ∈ ∆ , por (12) , temos que
| h r (z) − h(z)| = | h(rz) − h(z)| < ɛ para todo z ∈ ∆ . Logo , lembrando que C ⊂ IC − e
que ϕ(IC − ) ⊂ ∆ ,
| g r (u) − g(u)| = | ϕ(u)| | h r (ϕ(u)) − h(ϕ(u))| < ɛ , para todo u ∈ C .
Com isto , definindo γ r = g r ◦ α ,
|γ r (t) − γ(t)| = | g r (α(t)) − g(α(t))| < ɛ , para todo t ∈ [0 , 2π] . (13)
No nosso próximo passo , consideremos H r : [0, 2π]×[0, 1] −→ IC definida pela igualdade
H r (t , s) = (1 − s)γ(t) − sγ r (t) . É claro que H r é uma homotopia entre γ e γ r , e , para
cada (t , s) ∈ [0 , 2π] × [0 , 1] , por (5) e (13) ,
|H r (t , s) − z 0 | = |(1 − s)γ(t) + s γ r (t) − z 0 |
≥ | γ(t) − z 0 | − s | γ(t) − γ r (t)|
> ρ − s ɛ ≥ ρ − ɛ > 0 .
Isto significa que z 0 não pertence ao conjunto imagem de H r , o que nos permite utilizar
a Proposição 3.3 aliada a (11) para concluir que
n(γ r , z 0 ) = n(γ , z 0 ) = −1 .
Afim de aplicar o Teorema 3.3 , vejamos que g r −z 0 , α e z 0 satisfazem suas hipóteses :
inicialmente , como g r é analítica em U r , temos que a função g r − z 0 também o é . Em
76

particular , esta função é meromorfa e não possui polos em U r . Pelas definições de ρ e ɛ ,
para cada t ∈ [0 , 2π] ,
| g r (α(t)) − z 0 | = | γ r (t) − z 0 | ≥ | γ(t) − z 0 | − | γ r (t) − γ(t)| > ρ − ɛ > 0 ,
ou seja , g r −z 0 não possui zeros em C . Finalmente , por α ser uma curva fechada simples
e por seu interior e seu traço C estarem contidos em U r , o Teorema 3.3 nos diz que
∫
1
2πi α
(g r (ζ) − z 0 ) ′
g r (ζ) − z 0
dζ = n(z) − n(p) = n(z) ≥ 0 , (14)
onde n(z) é o número de zeros e n(p) o número de polos de g r − z 0 no interior de α ,
contando suas multiplicidades .
Por outro lado ,
∫
1
2πi α
(g r (ζ) − z 0 ) ′
dζ = 1 ∫
g r (ζ) − z 0 2πi α
g ′ r(ζ)
g r (ζ) − z 0
dζ
= 1 ∫ 2π
2πi 0
g ′ r(α( t ) )α ′ ( t )
g r (α( t ) ) − z 0
dt
= 1 ∫ 2π
(g r ◦ α) ′ ( t )
dt
2πi 0 (g r ◦ α) ( t ) − z 0
= 1 ∫ 2π
γ r( ′ t )
dt
2πi 0 γ r ( t ) − z 0
= 1 ∫
2πi γ r
dζ
ζ − z 0
= n(γ r , z 0 ) = −1 ,
o que contradiz (14) e demonstra a proposição .
77

Corolário 3.4. Não existe função contínua g : B 1/2 −→ IC que seja analítica em B 1/2
tal que g(1/2) = 0 e | 1 + (z − 1/2 )g(z)| < 1 para todo z ∈ B 1/2 \{1/2} .
e
Demonstração. Supondo que tal g exista , seja h : ∆ −→ IC definida pela equação
h(z) = g(z/2)
2
. Por esta definição e pelas hipóteses satisfeitas por g ,
. h é contínua em ∆ e analítica em ∆ ;
g(1/2)
. h(1) = = 0 ;
2
∣ ( . | 1 + (w − 1) h (w)| =
g(w/2)
∣∣∣
∣1 + (w − 1) w
2 ∣ = 1 +
2 − 1 )
g(w/2)
2 ∣ < 1 ,
para todo w/2 ∈ B 1/2 tal que w/2 ≠ 1/2 , ou , equivalentemente , para todo w ∈ ∆ \{1} .
Entretanto , a existência de uma função h com estas propriedades contradiz a Proposição
3.5 .
Utilizando o corolário acima , provaremos que B 1/2
através do seguinte teorema :
não possui ponto de pico para H
Teorema 3.4. Seja C 1 (∆) a álgebra de Banach sobre IC , comutativa e com unidade ,
definida no exemplo 1.14 . Se H é a subálgebra de C 1 (∆) formada pelas funções analíticas
no conjunto B 1/2 = B(0 , 1/2) ⊂ IC , então B 1/2 é um conjunto de pico para H que não
possui ponto de pico .
Demonstração. Pela Proposição 3.4 , B 1/2 é um conjunto de pico para H . Vejamos que
B 1/2 não possui ponto de pico . Supondo que z 1 ∈ B 1/2 seja um ponto de pico para H ,
seja f um elemento desta álgebra tal que f(z 1 ) = 1 e | f(z)| < 1 para todo z ∈ ∆ \{z 1 } .
Como f é analítica em B 1/2 e contínua em B 1/2 , o Teorema do Módulo Máximo nos
garante que | z 1 | = 1/2 . Sem perda de generalidade , assumiremos que z 1 = 1/2 , pois
caso contrário , existiria θ 1 ∈ (0 , 2π) tal que z 1 = (1/2) exp (iθ 1 ) , e assim , a função
78

f 1
que associa cada z ∈ ∆ a f (z exp(iθ 1 ) ) pertenceria a H , além de satisfazer as
condições f 1 (1/2) = f 1 (z 1 ) = 1 e | f 1 (z)| = | f 1 (z exp(iθ 1 )) | < 1 , para todo z ∈ ∆\{1/2} ,
já que para z neste conjunto , z exp(iθ 1 ) ≠ (1/2) exp(iθ 1 ) = z 1 . Ou seja , se z 1 ≠ 1/2 ,
então 1/2 também será um ponto maximal para H , o que nos permitiria , de qualquer
forma , trabalhar com o ponto de pico 1/2 .
Sejam u = Re f e v = Im f . Como u(z) ≤ | f(z)| para todo z e u(1/2) = 1 ,
temos que u atinge seu máximo em 1/2 e portanto , quando vista como uma função de
um subconjunto de IR 2 em IR , satisfaz u x (1/2) = u y (1/2) = 0 . Não nos preocupamos
em garantir a existência das derivadas parciais de u , uma vez que pela definição de H ,
f possui derivadas parciais contínuas em ∆ , o que implica existência e continuidade das
derivadas parciais de u e v neste conjunto . Logo , se {z n } é uma seqüência em ∆
que converge para 1/2 , então lim u x (z n ) = u x (1/2) = 0 , lim u y (z n ) = u y (1/2) = 0 ,
lim v x (z n ) = v x (1/2) e lim v y (z n ) = v y (1/2) . Ainda pela definição de H , f é analítica em
B 1/2 , e em conseqüência disto , satisfaz as equações de Cauchy-Riemann . Neste caso , para
uma particular seqüência {z n } ⊂ B 1/2 que converge para 1/2 , temos que u x (z n ) = v y (z n ) e
u y (z n ) = − v x (z n ) para todo n ∈ IN, o que implica v x (1/2) = lim v x (z n ) = − lim u y (z n ) = 0
e v y (1/2) = lim v y (z n ) = lim u x (z n ) = 0 . Isto significa que u e v possuem derivadas
contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em 1/2 . Decorre , daí , que f é
diferenciável em 1/2 e , por coseguinte , que f ′ (1/2) = u x (1/2) − i u y (1/2) = 0 . Com
isto , definindo g : ∆ −→ IC por
temos que
⎧
⎪⎨
g(z) =
⎪⎩
f(z) − 1
z − 1/2
, z ≠ 1/2
0 , z = 1/2 ,
lim g(z) = lim
z→1/2 z→1/2
f(z) − 1
z − 1/2
= lim
z→1/2
f(z) − f(1/2)
z − 1/2
= f ′ (1/2) = 0 = g(1/2) ,
79

que | 1 + (z − 1/2)g(z)| = | f(z)| < 1 para todo z ∈ ∆ \{1/2} e que g é analítica em
B 1/2 , uma vez que f possui esta propriedade . Mas pelo Corolário 3.4 , a existência de
tal g é uma contradição . Em outras palavras , B 1/2 não possui ponto de pico .
Sem dificuldades , observamos que a álgebra H definida no enunciado do teorema acima ,
não satisfaz apenas uma das hipóteses do Teorema de Bishop , a responsável por exigir que
a subálgebra de C(X) seja completa com a norma do supremo . Se H satisfizesse esta
condição , o Corolário 3.1 garantiria que todo conjunto de pico para esta álgebra teria ponto
de pico , contradizendo o Teorema 3.4 .
Portanto , o Teorema 3.4, além de proporcionar um exemplo de conjunto de pico sem
ponto de pico , mostra que se a subálgebra de C(X) não é completa com a norma do
supremo , então , nem sempre , o Teorema de Bishop é válido mesmo que X seja compacto
e metrizável e a álgebra separe os pontos de X .
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Referências Bibliográficas
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