Monografia de Especialização - UTFPR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM EXPRESSÃO GRÁFICA NO
ENSINO
ANA CRISTINA CORRÊA MUNARETTO
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE APOLÔNIO POR
MEIO DA INVERSÃO: Um roteiro de estudo para a
formação de Professores em Geometria
MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO
CURITIBA
2010

ANA CRISTINA CORRÊA MUNARETTO
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE APOLÔNIO POR
MEIO DA INVERSÃO: Um roteiro de estudo para a
formação de Professores em Geometria
Monograa apresentada como requisito
parcial à obtenção do grau de Especialista
em Expressão Gráca no Ensino,
Curso de Pós-Graduação em Expressão
Gráca, Setor de Ciências Exatas,
Universidade Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique
Siqueira
CURITIBA
2010

Ao meu marido Marcelo, e aos meus lhos, Rafael e Felipe.

AGRADECIMENTOS
Ao professor orientador Paulo Henrique Siqueira, de quem fui aluna em
minha graduação, e que, com sua competência pedagógica inspirou-me a cursar
esta nova pós graduação, na qual tive o grande prazer de tê-lo novamente
como docente. Orientador sempre disponível e co-participativo, desde a escolha
do tema deste trabalho conou em minha capacidade, permitindo que
eu conduzisse este, segundo minhas próprias diretrizes, estimulando, assim,
o desenvolvimento de meu espírito pesquisador.
Ao meu marido, Marcelo, e aos meus lhos, Rafael e Felipe, que tanto
sofreram com minha ausência quando da elaboração desta monograa e dos
diversos nais de semana durante as aulas do curso.

RESUMO
Esta monograa apresenta um roteiro de estudo, direcionado a cursos
superiores de Licenciatura em Matemática, visando melhorar a qualidade
da formação dos futuros professores em Geometria. O resultado nal deste
trabalho é a solução do famoso Problema de Apolônio. Para resolvê-lo,
desenvolve-se a Geometria Inversiva priorizando uma sequência didática que
leva o leitor a participar do seu processo de construção. O texto orienta
ainda, algumas construções em um ambiente computacional e, num estudo
guiado, faz uso da Geometria Dinâmica para promover a experimentação e
a descoberta de relações geométricas.
Palavras-chave: Ensino de Geometria. Problema de Apolônio. Geometria
Inversiva. Geometria Dinâmica.

ABSTRACT
This monograph presents a studying guidance, meant for undergraduate
mathematics, aiming the improvement of the graduation's quality for the
intended geometry teachers. This work's result is the solution of the famous
Apollonius' Problem. To do so, it was developed the Inversive Geometry
prioritizing a didactic sequence that incites the reader to participate of its
constructive process. The text also guides some constructions under a computational
ambient and, under a guided study, uses the Dynamic Geometry
to promote the experimentation and the discovery of geometrical relations.
Keywords: Geometry teaching. Apolloniou's Problem. Inversive Geometry.
Dynamic Geometry.

Lista de Figuras
2.1 Inversos e Conjugados Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Construindo o inverso por meio de régua e compasso . . . . . 16
2.3 Construindo o inverso em ambiente computacional . . . . . . . 17
2.4 Ângulo entre circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Ângulo entre circunferências secantes . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Ângulo entre reta e circunferência secantes . . . . . . . . . . . 20
2.7 Reta e circunferência ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Única circunferência ortogonal à C com centro P . . . . . . . 21
2.9 Circunferências Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Inversão por Circunferências Ortogonais . . . . . . . . . . . . 24
2.11 A inversão de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Conrmando a inversão da circunferência . . . . . . . . . . . . 26
2.13 Possibilidades para a inversão de uma circunferência . . . . . . 26
2.14 Invertendo segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.15 Inversão de circunferência que passa pelo centro de inversão . 28
2.16 Inversão de circunferência que não passa pelo centro de inversão 30
2.17 Inversão de reta e circunferência tangentes . . . . . . . . . . . 32
2.18 Retas paralelas: t e a reta tangente à t ′ em O . . . . . . . . . 33
2.19 Inversão preserva tangência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.20 Tangência em O transformada em paralelismo . . . . . . . . . 35
2.21 Inversão preserva ângulo de circunferências . . . . . . . . . . . 36
2.22 O inverso do centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.23 O centro do inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.24 Circunferência tangente à reta r passando pelos pontos A e B 39
7

2.25 Invertendo os dados do Exercício 1 . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.26 Solução do Exercício 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.27 Circunferência tangente à A e B passando P . . . . . . . . . . 40
2.28 Invertendo os dados do Exercício 2 . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.29 Solução do Exercício 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.30 Circunferência tangente à r, A 1 e B 1 . . . . . . . . . . . . . . 42
2.31 Invertendo os dados do Exercício 3 . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.32 Solução do Exercício 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Caso 10 do Problema de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Circunferências disjuntas não concêntricas . . . . . . . . . . . 50
3.3 Inversão com centro em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Encontrando P ′ e Q ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Família de circunferências ortogonais à C e D . . . . . . . . . 52
3.6 Transformação em circunferências concêntricas . . . . . . . . . 54
3.7 Redução do Problema de Apolônio à um caso particular . . . 55
3.8 Quatro soluções com centro em C 1 . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9 Quatro soluções com centro em C 2 . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.10 As oito soluções invertidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.11 A solução do Problema de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . 57

Sumário
1 Introdução 10
2 Geometria Inversiva 13
2.1 Inversão - Uma Transformação Geométrica . . . . . . . . . . . 13
2.2 Invertendo retas e circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 O Problema de Apolônio 44
3.1 Um pouco de história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Resolvendo o Problema de Apolônio por meio da Inversão . . 49
4 Considerações Finais 58
REFERÊNCIAS 60

Capítulo 1
Introdução
"É evidente que a exclusão da geometria dos currículos escolares ou seu
tratamento inadequado podem causar sérios prejuízos à formação dos indivíduos."(PAVANELLO,
2004, p.3)
Um trabalho adequado de Geometria pode desenvolver habilidades de visualização,
desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções
de problemas; competências importantes na compreensão e ampliação da
percepção do espaço e construção de modelos para interpretar questões da
matemática e de outras áreas do conhecimento (PCNEM, 2000). Mas, como
bem sabemos, o ensino de Geometria nas escolas está longe de atingir estes
objetivos. Sobre as causas que levam a esta deciência, várias pesquisas
apontam tratar-se de um círculo vicioso: Alunos despreparados em Geometria
iniciam cursos de Licenciatura. Se este curso não os prepara adequadamente,
estará qualicando prossionais incapazes de contribuir para
melhoria desta situação. É na formação do professor que este círculo pode
ser rompido. A necessidade de uma formação adequada do professor para
trabalhar a demonstração em geometria, a m de que os alunos possam se
apropriar dos conceitos e habilidades geométricas, no ensino fundamental, é
uma das vertentes defendidas por Almouloud e Mello (2000).
O presente trabalho busca desenvolver um roteiro de estudo direcionado
a cursos de Licenciatura e cursos de atualização de professores para o desenvolvimento
de habilidades em Geometria a partir da resolução do problema
10

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 11
de Apolônio por meio da Inversão. A ideia é explorar e demonstrar algumas
propriedades da Geometria Inversiva, que é não-Euclidiana, e utilizá-la para
resolver problemas clássicos de tangência da Geometria Euclidiana. Estes são
gradativamente apresentados para a solução do problema central. Como bem
sabemos, a resolução de problemas é parte importante de um currículo de
Matemática, pois é essencial para propiciar o desenvolvimento do raciocínio
lógico. Buscar resolvê-los por meio da Inversão propiciará o estímulo do
raciocínio por meio de novas perspectivas, fugindo assim, de resoluções meramente
mecânicas.
No Capítulo 2, as seções 1, 2 e 3 apresentam as denições e propriedades
da Geometria Inversiva ordenados conforme o grau de complexidade didático.
São sugeridos ao leitor, a utilização de um ambiente computacional para
a exploração de tais propriedades, estimulando novas descobertas e outras
possíveis relações existentes. Os trabalhos com a utilização da Geometria
Dinâmica vêm revelando uma tendência didático-pedagógica convergente com
os trabalhos da Geometria Experimental: A confrontação de resultados na
construção de determinados conceitos incluindo processos de validação e argumentação
geométrica; como podemos constatar por Andrade e Nacarato
(2005). A seção 4 utiliza os teoremas apresentados anteriormente para resolver
problemas clássicos que normalmente são apresentados em um curso
de Desenho Geométrico no Ensino Superior envolvendo tangência entre retas
e circunferências. Acredita-se que a resolução destes problemas será um
preparo para a resolução dos famosos Problemas de Apolônio, que consistem
em problemas de tangência envolvendo três objetos, sendo estes pontos, retas
e/ou circunferências.
No Capítulo 3, a seção 1 apresenta o desenrolar histórico do Problema de
Apolônio; o seu surgimento, as frustrações diante do problema e as diferentes
soluções encontradas em cada época por grandes matemáticos. A seção 2
trata de resolvê-lo por meio da inversão.
O texto prioriza uma sequência didática que apresenta não somente o
resultado do trabalho desenvolvido, mas instiga o leitor a participar de um
processo de desenvolvimento de suas próprias competências por meio de desaos
propostos. Como pré-requisito, espera-se do leitor uma familiaridade

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 12
com os conceitos básicos de um curso de Desenho Geométrico.

Capítulo 2
Geometria Inversiva
2.1 Inversão - Uma Transformação Geométrica
No século XIX, Jacob Steiner desenvolveu uma geometria que permitiu resolver
problemas que até então eram considerados irresolúveis pela geometria
de Euclides, como, por exemplo, o problema das três circunferências
de Apolônio. Outros problemas da Geometria Euclidiana também puderam
ser demonstrados de forma mais simplicada com esta nova geometria não-
Euclidiana denominada Inversiva, como é o caso do Teorema de Ptolomeu 1 .
Para dar início ao estudo da Geometria Inversiva, vamos primeiramente
denir o Inverso de um Ponto com relação à uma circunferência de certo
centro e raio e denir a Transformação denominada Inversão fazendo uso
de conceitos métricos. Vamos então, utilizar um ambiente de Geometria
Dinâmica para melhor entender e visualizar este conceito. Posteriormente,
veremos algumas consequências da denição que nos levarão a denir o Inverso
de um ponto e a Inversão que independem de conceitos métricos.
Denição 2.1.1 Dada uma circunferência C de centro em O e raio r, dizemos
que o inverso do ponto P ≠ O em relação à C é o ponto P ′ sobre a
semirreta −→ OP que satisfaz a relação OP .OP ′ = r 2 .
1 O Teorema de Ptolomeu arma que o produto das diagonais de um quadrilátero
convexo inscrito numa circunferência é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
13

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 14
Observe que, pela denição, se P ′ é o inverso de P, então, P é o inverso
de P ′ . Agora, para denir uma função que associe a cada ponto P ≠ O do
plano, o seu inverso, vamos fazer uso da seguinte proposição:
Proposição 2.1.1 Os pontos P e P ′ são inversos em relação à circunferência
C de centro O e raio r se, e somente se, são conjugados harmônicos 2
em relação ao diâmetro AB determinado pela interseção da reta OP com a
circunferência C.
Demonstração:
Figura 2.1: Inversos e Conjugados Harmônicos
Considerando o alinhamento na ordem A, P ′ , B e P, como na Figura 2.1,
temos:
AP
BP = AP ′
BP ′ ⇔
AO + OP
OP − OB
=
AO + OP
′
OB − OP ′ ⇔ r + OP
OP − r = r + OP ′
r − OP ′ ⇔
⇔ (r + OP )(r − OP ′ ) = (r + OP ′ )(OP − r) ⇔
⇔ r 2 − r.OP ′ + OP .r − OP .OP ′ = r.OP − r 2 + OP ′ .OP − OP ′ .r ⇔
2 Dados três pontos colineares A, B e P , com A ≠ B, dizemos que P ′ é o conjugado
harmônico de P em relação ao segmento AB se AP
BP = AP ′
BP ′

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 15
⇔ 2.r 2 = 2.OP .OP ′ ⇔ OP .OP ′ = r 2
Assim, pelas propriedades de conjugados harmônicos, podemos concluir
a existência e a unicidade do inverso de cada ponto P ≠ O com relação
à circunferência C, logo, denotando por E o plano Euclidiano, podemos
denir uma transformação de E \ {O} nele mesmo. A esta transformação
bijetiva damos o nome de Inversão. Note que esta transformação é uma
involução, pois, ela mesma é a sua inversa. Queremos agora estendê-la a
todo plano E, ou seja, como denir o inverso de O? Para isso, vejamos como
se comportam as transformações de pontos próximos de O e o que acontece
quando invertemos pontos distantes de O. Apresentamos duas construções
para obter o inverso de um ponto. Na primeira construção sugerimos o uso
de régua e compasso para que o leitor manipule tais instrumentos:
1. Construa um círculo de centro O e raio qualquer. Tome um ponto P
qualquer, inicialmente fora do círculo;
2. Construa a semirreta −→ OP e o ponto médio do segmento OP;
3. Construa um círculo auxiliar com centro neste ponto médio e diâmetro
OP. Obtenha os pontos de interseção A e B dos dois círculos. Construa as
semirretas que partem de P e passam por A e B;
4. Construa a corda que une os pontos A e B. Obtenha o ponto de
interseção deste segmento com a semirreta inicial −→ OP. Chame-o de P ′ . Veja
Figura 2.2.
Esta construção é sugerida em Pogorelov 3 , mas, é aplicável somente quando
o ponto P é externo à circunferência.
Desaamos o leitor com os seguintes exercícios:
1) Os passos 1, 2 e 3 acima constituem procedimento padrão para a
construção de retas tangentes a um círculo por um ponto dado fora deste.
Prove que de fato estas semirretas são tangentes ao círculo dado.
2) Prove que P ′ é o inverso de P mostrando que satisfaz a propriedade
da denição.
3 POGORELOV, A. Geometry, Mir. Publishers, 1987.
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 16
Figura 2.2: Construindo o inverso por meio de régua e compasso
Para a segunda construção do Inverso de um ponto, sugerimos ao leitor,
a utilização de um ambiente computacional como, por exemplo, o GeoGebra
ou o Cabri II Plus. As guras deste texto foram construídas utilizando o Geo-
Gebra. Embora as duas construções possam ser feitas facilmente com régua
e compasso; em um ambiente de geometria dinâmica a função "Inversão"
pode ser usada para construir imagens de guras por esta transformação.
Isto facilitará a compreensão de importantes propriedades da inversão que
não são intuitivas. Vamos à construção:
1. Desenhe a circunferência de inversão de centro em O e raio r;
2. Marque um ponto qualquer P e desenhe a semirreta −→ OP;
3. Passando por O, trace a perpendicular à semirreta −→ OP e assinale os
pontos A e B de intersecção com a circunferência;
4. Trace a semirreta −→ AP e assinale o ponto C, outro ponto que intersecta
a circunferência;
5. Trace a semirreta BC;
−→
6. Assinale o ponto P ′ , inverso de P, que resulta da intersecção das
semirretas −→ OP e BC.
−→
Ao contrário da construção anterior, esta é aplicável também quando P é
um ponto interno à circunferência e, de fato, P ′ assim construído (ver Figura
2.3) é o inverso do ponto P, pois os triângulos retângulos △OP A e △OBP ′

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 17
Figura 2.3: Construindo o inverso em ambiente computacional
OA
são semelhantes, logo, = OP
OP ′ OB , ou seja, OA.OB = OP .OP ′ . Como
OA = OB = r, então, OP .OP ′ = r 2 .
Depois de provado que P ′ assim construído é o inverso do ponto P, manipule
o ponto P e observe o que acontece com o seu inverso. O que acontece
quando P é externo ou interno ao círculo? Em particular, o que ocorre com
P ′ quando P está sobre a circunferência? Com esta manipulação, podemos
observar que ao afastarmos P do centro O, o ponto P ′ aproxima-se de O e,
se aproximarmos o ponto P do centro O, então, P ′ afasta-se de O. Voltamos,
então, ao questionamento: Como denir o inverso de O? Pela análise feita,
podemos concluir que se quisermos que O tenha um inverso, este deve estar
innitamente longe. Postulamos, então, a existência de um ponto ideal,
chamado de ponto no innito e que detonaremos por Ω, tal que O é o inverso
de Ω e Ω é o inverso de O.
Agora, fazendo OP crescer innitamente ao longo de uma reta qualquer,
notamos que é necessário postular também que Ω está em todas as retas.
Assim, ao adicioná-lo ao plano Euclidiano, passamos a ter um plano onde
todas as retas têm pelo menos um ponto em comum. A este novo plano

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 18
damos o nome de Plano Inversivo e denotamos por E ∞ .
Denição 2.1.2 Seja C uma circunferência de centro em O e raio r. A
transformação geométrica em E ∞ que associa a cada ponto P ≠ O o seu
inverso P ′ em relação à C e é tal que O é o inverso de Ω e Ω é o inverso de
O é denominada Inversão.
Esta denição, como mencionado anteriormente, faz uso de conceitos
métricos da Geometria Euclidiana, uma vez que o inverso de um ponto P
foi denido como sendo o ponto P ′ que satisfaz a relação OP .OP ′ = r 2 . A
proposição que veremos a seguir, permitirá abandonarmos tais conceitos e, de
fato, abordarmos uma nova geometria: A Geometria Inversiva. Antes disso,
para dar seguimento ao nosso estudo, precisaremos de algumas propriedades
do Desenho Geométrico que estão enunciadas a seguir através de lemas. Sugerimos
ao leitor procurar demonstrá-las a m de melhor se apropriar destes
conceitos que serão amplamente utilizados.
Denição 2.1.3 Sejam C e D duas curvas que se interceptam em um ponto
P . Se C e D possuem tangentes s e t, respectivamente, em P , então, dizemos
que o ângulo entre C e D em P é o ângulo entre s e t. Em particular, dizemos
que C e D são ortogonais em P se s e t são perpendiculares.
Figura 2.4: Ângulo entre circunferências

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 19
Lembremos que uma reta tangente à uma reta em qualquer ponto é a
própria reta. Logo, o ângulo entre uma circunferência C e uma reta tangente
t à C no ponto P é de zero grau, pois, a reta tangente à t é a própria t e a
reta tangente à C no ponto P é a reta t, ou seja, o ângulo entre t e C é o
ângulo entre t e t.
Lema 2.1 Sejam C e D duas circunferências secantes nos pontos P e Q.
Então, o ângulo entre C e D no ponto P é igual ao ângulo entre C e D no
ponto Q.
□
Figura 2.5: Ângulo entre circunferências secantes

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 20
Lema 2.2 Sejam C uma circunferência e r uma reta secante à C nos pontos
P e Q. Então, o ângulo entre C e r no ponto P é igual ao ângulo entre C e
r no ponto Q.
Figura 2.6: Ângulo entre reta e circunferência secantes
Lema 2.3 Sejam C uma circunferência e r uma reta. Então, r é ortogonal
à C se e somente se r passa pelo centro de C.
□
Figura 2.7: Reta e circunferência ortogonais

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 21
□
Lema 2.4 Com centro em um ponto P fora da circunferência C passa uma
única circunferência D ortogonal à C.
Figura 2.8: Única circunferência ortogonal à C com centro P
Agora, para motivar e melhor entender a proposição a seguir, recorramos,
novamente, ao uso da geometria dinâmica:
1) Construa uma circunferência C de inversão de centro O;
2) Construa um ponto P qualquer;
3) Construa o inverso P ′ de P em relação à C;
4) Construa uma circunferência D qualquer passando por P e P ′ . Para
isso, construa a mediatriz do segmento P P ′ . O centro O 1 de D deve estar
sobre a mediatriz;
5) Construa a reta r passando por O e por uma das intersecções A das
circunferências C e D;
6) Construa a reta s passando por O 1 e por A;
7) Marque a medida do ângulo entre as retas r e s.
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 22
Figura 2.9: Circunferências Ortogonais
As retas r e s são perpendiculares? Movimente o centro O 1 . A medida do
ângulo permanece a mesma? O que podemos concluir? Agora construa uma
outra circunferência que passe por P mas não passe por P ′ . Da mesma forma
construa as retas r e s. Qual é a medida do ângulo entre elas? Movimentando
o centro desta nova circunferência, tente fazer com que a medida do ângulo
seja de 90 o . O que você pode notar?
Com a exploração feita acima, podemos enunciar a seguinte proposição:
Proposição 2.1.2 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. Se O,
P e P ′ estão alinhados, então, P e P ′ são inversos em relação à C se, e
somente se, qualquer circunferência que passe por P e P ′ for ortogonal à
circunferência C.
Demonstração:
(⇒) Suponhamos que P e P ′ são inversos em relação à C. Seja D uma
circunferência que passa por P e P ′ e r uma reta que passa por O e é tangente
à D. Chamemos o ponto de tangência de A. Por potência de pontos, temos

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 23
que OP .OP ′ = OA 2 . Por serem P e P ′ inversos em relação à C, temos que
r 2 = OP .OP ′ = OA 2 , ou seja, r 2 = OA 2 . Assim, A ∈ C, logo, A ∈ C ∩ D.
Agora, seja s uma reta perpendicular à r passando por A. Então, s é tangente
à C no ponto A, pois s é perpendicular ao raio OA. Portanto C e D são
ortogonais.
(⇐) Seja D uma circunferência ortogonal à C e que passa por P e P ′ .
Então, se A é um ponto de intersecção entre C e D, a reta r tangente à D
no ponto A é perpendicular à reta s tangente à C no ponto A. Assim, a reta
r passa por O. Por potência de ponto, temos que r 2 = OA = OP .OP ′ , logo,
P e P ′ são inversos em relação à C.
Portanto, para construir o inverso do ponto P em relação à circunferência
C, basta construirmos duas circunferências ortogonais à C passando por P.
O outro ponto de interseção das circunferências será o ponto P ′ procurado,
pois P e P ′ pertencem ao eixo radical 4 das circunferências construídas e, por
ser C ortogonal à elas, o centro O de C pertence ao eixo radical. Assim,
os pontos P, P ′ e O estão alinhados e o pelo teorema anterior, P e P ′ são
inversos em relação à C. Veja a Figura 2.10. Logo, podemos substituir as
denições dadas acima, pela que segue:
Denição 2.1.4 Sejam C uma circunferência e P um ponto.
□
O inverso
de P com relação à C é o outro ponto de intersecção de quaisquer duas
circunferências distintas ortogonais à C passando por P . A transformação
E ∞ −→ E ∞ que leva qualquer ponto P ∈ E ∞ em seu inverso com relação à
C é denominada Inversão com respeito à C.
Com esta denição de inversão, em que o centro e o raio da circunferência
de inversão não são mencionados, podemos abranger o caso em que C é uma
reta. Neste caso, circunferências ortogonais à C são circunferências com
centro em C ou retas perpendiculares à C. Assim, o inverso de um ponto P
é o simétrico dele em relação à reta C.
4 Lugar geométrico dos pontos equipotentes em relação a duas circunferências não concêntricas.

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 24
Figura 2.10: Inversão por Circunferências Ortogonais
2.2 Invertendo retas e circunferências
Agora que sabemos encontrar o inverso de um ponto, cabe-nos perguntar: Em
que gura será transformada a inversão, por exemplo, de uma circunferência?
E de uma reta? Encontrando o inverso de um segmento, poderemos inverter
um triângulo, ou um quadrado, ou qualquer outro polígono. O GeoGebra e
o Cabri II Plus possuem uma ferramenta denominada "Inversão" através da
qual é possível obter o inverso de um ponto sendo dada a circunferência de
inversão. Vamos explorar esta ferramenta e ver o que é possível descobrir?
1) Construa uma circunferência C de inversão;
2) Construa uma circunferência D externa à C;
3) Construa um ponto P sobre a circunferência D;
4) Construa P ′ , o inverso de P em relação à C;
5) Ligue o rastro do ponto P ′ e movimente o ponto P sobre toda a circunferência
D.
Que gura o rastro de P ′ parece formar? A princípio, parece uma circunferência
interna à C. Faz sentido o fato de ser interna, uma vez que a
inversão de pontos exteriores à C nos levam a pontos interiores à C. Mas,

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 25
Figura 2.11: A inversão de uma circunferência
será que podemos dizer que a inversão de qualquer circunferência resulta em
outra circunferência? Vamos explorar mais um pouco. Repita o procedimento
acima sendo D uma circunferência interna à C que não passe pelo
centro e, a seguir, sendo D uma circunferência secante à C que não passe
pelo centro. Neste último caso, o que podemos notar? Os pontos de intersecção
das circunferências C e D fazem parte do rastro deixado por P.
Ora, isto também faz sentido, uma vez que o inverso de um ponto sobre C
é ele mesmo. Agora, já que visualmente a transformação da circunferência
parece ser outra circunferência, vamos testar a veracidade desta armação?
A sugestão é inverter três pontos de D e construir a circunferência (suposta
D ′ ) que passe por estes pontos. Será que ao inverter um quarto ponto de D,
este pertencerá à circunferência construída?
1) Construa uma circunferência de inversão C;
2) Construa uma circunferência D externa à C;
3) Marque três pontos distintos P, Q e R sobre D;
4) Construa os inversos P ′ , Q ′ e R ′ , inversos de P, Q e R, respectivamente;
5) Construa a circunferência D ′ que passa por P ′ , Q ′ e R ′ ;
6) Construa um ponto S sobre D distinto de P, Q e R;
7) Construa o inverso S ′ de S;
8) Com a ferramenta "Relação entre Dois Objetos" do GeoGebra e "Pertencente?"
do Cabri II Plus, verique se o ponto S ′ pertence à circunferência

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 26
D ′ .
Figura 2.12: Conrmando a inversão da circunferência
Sim, o ponto está sobre o objeto. Já podemos, então, armar que a inversão
de toda circunferência é uma outra circunferência? CUIDADO! Arraste
o centro de D até que a circunferência atinja o centro da circunferência C.
O que acontece com D ′ ? Você poderá notar que seu raio irá aumentar até
que seja grande demais, ou seja, até que seu raio seja innito e, então, D ′
será uma reta. Claro, se o inverso de O é Ω, então, Ω deveria estar em D ′ e,
como postulamos no início do capítulo, Ω pertence a todas as retas.
Figura 2.13: Possibilidades para a inversão de uma circunferência
Convidamos o leitor a fazer uma exploração análoga para identicar em
que guras a inversão de retas podem ser transformadas. A partir daí, é
possível inverter diversas guras e explorar algumas propriedades dessa Geometria
Inversiva. Por exemplo, ao invertermos um triângulo retângulo, o

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 27
que acontece com o ângulo reto? Na próxima seção, veremos algumas dessas
propriedades que nos levarão a resolver diversos problemas do Desenho Geométrico
usando a Inversão. Por ora, vamos demonstrar as conclusões sobre
inversão de retas e circunferências que zemos acima.
Figura 2.14: Invertendo segmentos
Proposição 2.2.1 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. A inversão
em relação à C de uma circunferência D que passa por O é uma reta
que não passa por O.
Demonstração:
Seja C uma circunferência de inversão de centro O e raio r e D uma
circunferência de centro O 1 que passa por O. Seja A ≠ O o ponto onde a
reta t 1 = OO 1 intercepta D. Se A ′ é o inverso de A em relação à C, então,
A ′ pertence à t 1 . Seja t 2 a reta que passa por A ′ e é perpendicular à t 1 .
Provaremos que t 2 = D ′ , ou seja, a inversão da circunferência D em relação
à C é a reta t 2 .
Seja B ≠ A e B ≠ O um ponto da circunferência D e t 3 = OB. Agora,
seja P o ponto onde t 2 intercepta a reta t 3 . Queremos mostrar que P = B ′ .

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 28
Temos que os triângulos △ABO e△P A ′ O são semelhantes, pois os ângulos
A ′ ÔP = BÔA são comuns e os ângulos A ̂BO e P Â′ O são retos. Assim,
OB
= OA
OA ′ OP
Logo, OB.OP = OA.OA ′ = r 2 , donde, P é o inverso de B, ou seja,
P = B ′ .
Portanto, os inversos dos pontos B ≠ O da circunferência D pertencem à
reta t 2 e, como Ω (o inverso de O ′ ) pertence à t 2 , então D ′ ⊆ t 2 . É fácil ver
que, pela demonstração feita acima, qualquer ponto P de t 2 é o inverso do
ponto de interseção da reta OP com a circunferência D.
Logo, t 2 = D ′ e, como Ω /∈ D, então, seu inverso O não pertence à D ′ ,
donde, D ′ é uma reta que não passa por O. Veja Figura 2.15.
Figura 2.15: Inversão de circunferência que passa pelo centro de inversão
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 29
Proposição 2.2.2 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. A inversão
em relação à C de uma reta s que não passa por O é uma circunferência
que passa por O.
Demonstração:
Segue imediatamente da proposição acima por ser a Inversão uma involução,
ou seja, ela própria é sua inversa.
□
Proposição 2.2.3 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. A inversão
em relação à C de uma reta s que passa por O é a própria reta s.
Demonstração:
Vamos mostrar que os inversos dos pontos de s também estão em s:
Se P ≠ O é um ponto da reta s, então, o inverso P ′ de P pertence à
semi-reta OP, logo, como P e O pertencem à s, então, P ′ ∈ s.
Se P = O, então, seu inverso que é Ω pertence à s, pois Ω pertence a
todas as retas.
Agora, resta mostrar que cada ponto Q de s é inverso de algum ponto de
s.
Como Q ∈ s, então, chamando de P o inverso de Q temos que P = Q ′ ∈ s.
Logo, P ′ ∈ s e, como P ′ = Q ′′ = Q, então, Q é o inverso de um ponto P de
s.
Portanto, temos que s ′ = s.
□
Proposição 2.2.4 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. A inversão
em relação à C de uma circunferência D que não passa por O é uma
circunferência que não passa por O.
Demonstração:
Seja C uma circunferência de centro O e raio r e D uma circunferência que
não passa por O. Seja s uma reta que passa por O e é secante à circunferência

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 30
D. Sendo A ≠ B os pontos de interseção de s com D, então, os inversos A ′
e B ′ de A e B, respectivamente, em relação à C, pertencem à reta s. Agora,
seja P /∈ s tal que P ∈ D.
Se P ′ é o inverso de P em relação à C, então, temos que r 2 = OA.OA ′ =
OP .OP ′ . Logo,
OA
= OP
OP ′ OA ′
Portanto, como os ângulos P ÔA e A′ ÔP ′ coincidem, temos que os triângulos
△OAP e △OP ′ A ′ são semelhantes. Assim,
OÂP = ÔP ′ A ′ . (2.1)
Figura 2.16: Inversão de circunferência que não passa pelo centro de inversão
Analogamente, temos que
O ̂BP = ÔP ′ B ′ . (2.2)
Agora, pelas propriedades de soma dos ângulos de um triângulo, temos
que OÂP = A ̂BP + A ̂P B = O ̂P B + A ̂P B, logo,
A ̂P B = OÂP − O ̂BP. (2.3)

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 31
Por outro lado, ÔP ′ A ′ = ÔP ′ B ′ + A ′̂P ′
B ′ , logo,
A ′̂P ′
B ′ = ÔP ′ A ′ − ÔP ′ B ′ . (2.4)
Como consequência das equações 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4, temos que
A ̂P B = A ′̂P ′
B ′ .
Portanto, como P descreve a circunferência D, então, P ′ descreve a circunferência
D ′ .
□
2.3 Propriedades
Tendo em vista os Problemas de Apolônio, estamos interessados na resolução
de exercícios que envolvem tangência entre curvas. Vamos recorrer ao Geo-
Gebra para vericar o que acontece, por exemplo, quando invertemos uma
reta e uma circunferência que são tangentes no ponto P.
1) Construa uma circunferência C de inversão;
2) Construa uma circunferência D qualquer e uma reta t tangente à D
num ponto P;
3) Faça a inversão de t e de D.
Movimente a circunferência D. Depois, movimente o ponto P. O que
você consegue perceber? Os inversos são também tangentes?
Sim, este é uma caso particular. Em geral, demonstraremos que os ângulos
entre as curvas são preservados pela transformação, ou seja, a Inversão é
uma aplicação conforme.

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 32
Figura 2.17: Inversão de reta e circunferência tangentes
Proposição 2.3.1 Seja C uma circunferência de centro O e raio r. Se t
é uma reta que não passa por O, então, a reta tangente à circunferência t ′
(inversa de t) em O é paralela à reta t.
Demonstração:
Suponhamos, por contradição, que a reta tangente t 0 à circunferência t ′
no ponto O intercepte a reta t num ponto P que não é Ω. Se P = t 0 ∩ t,
então, P ≠ O, pois O /∈ t e P ′ ∈ t ′ 0 ∩ t ′ . Como t ′ 0 = t 0 temos que os pontos
P ′ e O pertencem à t 0 e também à circunferência t ′ . Logo, t 0 não é tangente
a t ′ . Veja a Figura 2.18.
Proposição 2.3.2 Seja C uma circunferência de inversão de centro O e
raio r. Sejam m, n duas retas concorrentes em P diferente de Ω. Então, o
ângulo entre as retas m e n é o mesmo ângulo entre m ′ e n ′ .
Demonstração:
caso 1) Suponhamos que as retas m e n passam por O. Então, como
m = m ′ e n = n ′ , o ângulo entre m e n é o mesmo ângulo entre m ′ e n ′ .
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 33
Figura 2.18: Retas paralelas: t e a reta tangente à t ′ em O
caso 2) Suponhamos que m e n não passem por O. Então, m ′ e n ′ são
circunferências que passam por O. Pela Proposição 2.3.1, a reta tangente à
m ′ em O é paralela à m e a reta tangente à n ′ em O é paralela à n. Logo, o
ângulo Entre m ′ e n ′ é igual ao ângulo entre m e n.
caso 3) Suponhamos que a reta m passe por O e n não passe por O.
Então, m ′ = m e n ′ é uma circunferência que passa por O, logo, m ′ e n ′
interceptam-se em O. Assim, o ângulo entre m ′ e n ′ no ponto P ′ é igual ao
ângulo no ponto O. Além disso, a reta tangente à m ′ = m em O é a própria
reta m e a reta tangente à n ′ em O é paralela à n. Portanto, o ângulo entre
as retas tangentes à m ′ e n ′ é igual ao ângulo entre m e n.
Corolário 2.3.2.1 Seja C uma circunferência de inversão de centro O e
raio r. Se A e B são circunferências que passam por O, então, o ângulo
entre A e B é igual ao ângulo entre A ′ e B ′ .
Demonstração:
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 34
Decorre imediatamente do caso 2 da Proposição acima por ser a Inversão
uma involução.
□
Proposição 2.3.3 Seja C uma circunferência de inversão de centro O e raio
r. Se uma reta t e uma circunferência D são tangentes no ponto P ≠ O,
então, as inversões t ′ e D ′ são tangentes no ponto P ′ .
Demonstração:
Como P é o único ponto de interseção entre t e D, então, P ′ é o único
ponto de interseção entre t ′ e D ′ . Por ser P ≠ O, então, P ′ não é Ω, logo, t ′
e D ′ são tangentes em P ′ .
□
Figura 2.19: Inversão preserva tangência
Observe que se P = O, então, a inversa de t é a própria reta t e a inversa
de D é uma reta. Neste caso, o único ponto de interseção entre t ′ e D ′ é o
ponto Ω (o inverso de P). Assim t ′ e D ′ são paralelas. Veja a Proposição
2.3.1 e a Figura 2.18. Qual a relação com esta observação?

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 35
Figura 2.20: Tangência em O transformada em paralelismo
Proposição 2.3.4 Seja C uma circunferência de inversão de centro O e
raio r. Se A e B são circunferências que não passam por O, então, o ângulo
entre A e B é igual ao ângulo entre A ′ e B ′ .
Demonstração:
Sejam A e B duas circunferências que não passam por O. Sejam t 1 e t 2
as retas tangentes à A e B, respectivamente, no ponto P de intersecção das
circunferências. Então, a circunferência t ′ 1 é tangente à circunferência A ′ e a
circunferência t ′ 2 é tangente à B ′ . Pela Proposição 2.3.2, o ângulo entre t 1 e
t 2 é igual ao ângulo entre t ′ 1 e t ′ 2.
Sejam t 3 a reta tangente à A ′ no ponto P ′ e t 4 a reta tangente à B ′ no
ponto P ′ . Assim, t 3 é tangente à t ′ 1 em P ′ e t 4 é tangente à t ′ 2 em P ′ . Logo,
o ângulo entre t 3 e t 4 é ângulo entre t ′ 1 e t ′ 2 que, por sua vez, é o ângulo entre
t 1 e t 2 .
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 36
Figura 2.21: Inversão preserva ângulo de circunferências
Um pequeno cuidado devemos tomar ao nos referirmos ao centro de uma
circunferência dada por meio de uma inversão. Será que este centro é o
inverso do centro da circunferência que foi invertida? Vamos analisar este
caso pela Geometria Dinâmica:
1) Construa uma circunferência de inversão C de centro O e uma circunferência
D de centro B que não passe por O;
2) Construa t a reta que passa por O e B;
3) Construa D ′ , a inversa de D em relação à C;
4) Encontre B ′ , o inverso do centro de D em relação à C;
O ponto encontrado é o centro de D ′ ?
5) Movimente o ponto B.
O que podemos perceber? B ′ não é o centro de D ′ , mas, B ′ e o centro
de D ′ pertencem à mesma reta t. Mais do que isso, B ′ e O são inversos em
relação à D ′ . Desaamos o leitor a demostrar este fato. Dica: Considere

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 37
Figura 2.22: O inverso do centro
duas retas passando por B (logo, são ortogonais à D) e inverta-as em relação
à C.
A proposição a seguir nos diz exatamente quem é o centro de D ′ :
Proposição 2.3.5 Seja C uma circunferência de inversão de centro O e D
uma circunferência que não passa por O. Seja A o inverso de O em relação
à D e D ′ a inversa de D com relação à C. Então, A ′ , o inverso de A em
relação à C é o centro da circunferência D ′ .
Demonstração:
Seja t a reta que passa pelos centros O de C e B de D. Se A é o inverso
do ponto O em relação à D, então, A ∈ t. Seja S uma circunferência que
passa pelos pontos O e A, então, S é ortogonal a D (veja a Proposição 2.1.2).
Agora, a inversa S ′ da circunferência S em relação à C é uma reta, pois, S
passa pelo centro de C. Mais do que isso, S ′ é ortogonal à D ′ , logo, S ′ passa
pelo centro O 1 de D ′ . Temos também que O 1 ∈ t, logo, O 1 = S ′ ∩ t. Como
A ∈ t e A ∈ S, então, sendo A ′ o inverso de A em relação à C, temos que
A ′ = S ′ ∩ t ′ , mas, como t = t ′ , então A ′ = S ′ ∩ t. Portanto, A ′ = O 1 , ou seja,
o inverso de A em relação à C é centro da circunferência D ′ .
□

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 38
2.4 Aplicações
Figura 2.23: O centro do inverso
A Inversão é rica em aplicações e exerce papel fundamental na construção
de modelos da Geometria Hiperbólica. Podemos ver em Cabariti (2004) a
utilização da inversão em construções no modelo hiperbólico do disco de
Poincaré.
Neste texto estamos interessados em resolver problemas de tangência.
Veremos como alguns casos podem ser transformados em problemas mais
simples através da inversão. Obtendo a inversa da solução, basta "desinvertêla"
para chegarmos na solução de fato procurada.
Exercício 1: Seja r uma reta e A e B dois pontos num mesmo semiplano
com relação à r. Construa uma circunferência tangente à r que passe por A
e por B.
Solução:
Vamos primeiramente visualizar o exercício já resolvido na Figura 2.24:
Pensemos em uma inversão que transforme a solução em uma reta, ou
seja, o centro O da circunferência de inversão C deve estar sobre a solução.
Temos os pontos A e B como candidatos. Ao escolhermos, por exemplo, o

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 39
Figura 2.24: Circunferência tangente à reta r passando pelos pontos A e B
ponto A = O, podemos fazer C passar por B, pois assim, não precisaremos
inverter B, uma vez que o inverso de um ponto P sobre C é o próprio ponto
P. Temos, então: Figura 2.25
Figura 2.25: Invertendo os dados do Exercício 1
Agora, a solução procurada deve passar por B e ser tangente à r ′ , ou
seja, basta agora encontrar as retas tangentes a uma circunferência, no caso
r ′ , passando pelo ponto B. Observe que nada precisa ser feito em relação
ao ponto A, pois, ao invertermos as soluções (retas) teremos circunferências
passando por O = A. A Figura 2.26 mostra a construção das soluções do
exercício.

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 40
Figura 2.26: Solução do Exercício 1
Exercício 2: Sejam A e B duas circunferências secantes e P um ponto
fora delas. Construa as circunferências tangentes à A e à B que passem pelo
ponto P.
Solução:
Vamos primeiramente visualizar o exercício já resolvido na Figura 2.27:
Figura 2.27: Circunferência tangente à A e B passando P
Neste caso, ao contrário do exercício anterior, o interessante é transformar
as circunferências A e B em retas e não a solução, pois, assim, caremos com
duas retas e um ponto e caímos em um problema trivial. Para transformar
as duas circunferências em retas deveremos escolher um ponto da interseção

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 41
delas para ser o centro de inversão. Podemos, ainda, fazer com que a circunferência
de inversão passe por P, pois assim, não precisamos inverter P.
(P = P ′ ): Veja a Figura 2.28.
Figura 2.28: Invertendo os dados do Exercício 2
Agora, para encontrar a inversa da solução, basta encontrar uma circunferência
que passe por P e seja tangente às retas A ′ e B ′ . Depois, basta
"desinvertê-la"como mostra a Figura 2.29.
Figura 2.29: Solução do Exercício 2

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 42
Exercício 3: Sejam r uma reta, pontos A, B ∈ r e A 1 , B 1 circunferências
tangentes entre si e a r em A e B, respectivamente. Construa uma
circunferência tangente à r, A 1 e B 1 .
Solução:
Vamos primeiramente visualizar o exercício já resolvido na Figura 2.30:
Figura 2.30: Circunferência tangente à r, A 1 e B 1
Fazendo uma inversão com centro em A transformamos a circunferência
A 1 em uma reta paralela à r. Veja a Figura 2.20. A inversão da reta r é a
própria reta r, pois passa pelo centro A = O. A inversão da circunferência B 1
é uma circunferência, assim, nosso problema se transformará em encontrar
uma circunferência tangente a duas retas paralelas r ′ e A ′ 1 e a uma circunferência,
no caso, B 1. ′ No caso de escolhermos a circunferência de inversão
como sendo de centro A passando por B, a única transformação que faremos
será inverter A 1 , pois a inversa de B 1 será a própria B 1 . Por quê? Observe
o ponto B de interseção da circunferência de inversão com B 1 e conclua que
estas são ortogonais. Logo, B 1 = B 1. ′ Portanto, invertendo os dados do
problema, temos a Figura 2.31.
As soluções deste problema são triviais (note que são duas), bastando
apenas "desinvertê-las", conforme mostra a Figura 2.32.

CAPÍTULO 2. GEOMETRIA INVERSIVA 43
Figura 2.31: Invertendo os dados do Exercício 3
Figura 2.32: Solução do Exercício 3

Capítulo 3
O Problema de Apolônio
3.1 Um pouco de história
Um grande desenvolvimento da geometria aconteceu na chamada Idade Áurea
da matemática grega, ou período helenístico, ou ainda período Alexandrino
e se estendeu de aproximadamente 324 a.C a 600 d.C. Foi neste período que
Apolônio propôs um problema, que veio a receber o seu nome, consistindo
em: Encontrar uma circunferência tangente a três outras circunferências,
podendo estas ser degeneradas em retas (circunferência de raio innito) ou
pontos (circunferência de raio zero). Este problema despertou o interesse de
vários matemáticos ao longo dos séculos, cada qual buscando soluções segundo
as mais diversas abordagens que reetiam o instrumental matemático
disponível em cada época. A observação destes esforços permite, pois, perceber
a interessante trajetória do desenvolvimento da geometria, construída
por matemáticos reconhecidos e referenciados na atualidade.
Ao que tudo indica, Apolônio de Perga viveu de 262 a 190 a.C., no entanto,
muito pouco se sabe sobre ele, pois a maior parte de sua obra perdeu-se ao
longo do tempo. O que restou preservado foram os trabalhos "Dividir em uma
razão" e "As Cônicas", sendo este segundo um conjunto de oito volumes que
juntos apresentam cerca de quatrocentas proposições, considerado sua obra
prima, e que, ao apresentar um exaustivo estudo das curvas cônicas supera
importantes trabalhos anteriores, tais como o de Menaecmus, vivido de 380
44

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 45
a 320 a.C., e até mesmo de Euclides, de 300 a 260 a.C. Arma-se que, com
o trabalho "As Cônicas", Apolônio tenha completado e ampliado a obra de
mesmo nome escrita por Euclides, sendo esta composta por quatro livros que,
com outros trabalhos, é conhecida apenas por referências posteriores. Desse
conjunto de oito livros de Apolônio, atualmente, apenas os quatro primeiros
existem em grego. No entanto, o matemático árabe Tâbit ibn Qorra, vivido
de 826 a 901 d.C., traduziu três dos demais livros, sendo do quinto ao sétimo,
o que permitiu a perpetuação desta obra, que mais tarde foi traduzida para
várias línguas a partir de uma tradução dos sete volumes para o latim em
1710 por Edmond Halley (1656-1742). Apolônio é referenciado, ao lado de
matemáticos como o próprio Euclides e Arquimedes (287 a 212 a.C.), pois,
"... se destacaram a grande distância dos demais de sua época, assim como
da maior parte de seus predecessores e sucessores" (BOYER, 1991, p.104).
Alguns títulos das obras perdidas são: "Cortar uma área", "Sobre secção
determinada", "Tangências", "Inclinações" e "Lugares planos". Em alguns
casos, sabe-se o assunto tratado, pois, Papus de Alexandria, nascido por volta
de 340 d.C., descreveu-os brevemente. Seis das obras de Apolônio estavam
incluídas junto com dois dos tratados mais avançados (hoje perdidos) de
Euclides, numa coleção chamada "Tesouro da análise". Por este consistir, em
grande parte, de obras de Apolônio, possuindo muito do que hoje chamamos
de Geometria Analítica, Apolônio mereceu o nome de "O Grande Geômetra"
e não o próprio Euclides.
Foi no tratado sobre "Tangências", obra de dois volumes, que apareceu
o famoso Problema de Apolônio. Esse problema envolve dez casos, como
podemos ver na Tabela 3.1. Os dois mais fáceis, Casos 1 e 2, aparecem em
"Os elementos" de Euclides em conexão com círculos circunscritos e inscritos
a um triângulo, os Casos de 3 a 6, 8 e 9 foram tratados no Livro I de
"Tangências" e os Casos 7 e 10 ocupavam todo o Livro II. Estudiosos dos
séculos dezesseis e dezessete pensavam que Apolônio não tinha resolvido o
último caso, por isso, o consideravam como um desao às suas capacidades.
François Viète (1540-1603), o mais importante matemático francês do
século XVI, apesar de ser primeiramente um analista, contribuiu também
para a geometria pura. Ele propôs o problema de Apolônio ao matemático

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 46
Caso Descrição
1 três pontos
2 três retas
3 dois pontos e uma reta
4 duas retas e um ponto
5 dois pontos e uma circunferência
6 um ponto e duas circunferências
7 duas retas e uma circunferência
8 uma circunferência, um ponto e uma reta
9 duas circunferências e uma reta
10 três circunferências
Tabela 3.1: Casos do Problema de Apolônio
belga conhecido como Adriano Romano (1561-1615), que o resolveu determinando
o centro do círculo procurado como interseção de duas hipérboles.
Viète considerou insatisfatória a solução apresentada por Romano, alegando
o uso de curvas impossíveis de serem construídas apenas com régua e compasso.
Sabendo, por uma referência na Coleção de Papus que uma construção
elementar era possível, Viète publicou sua própria solução em 1600 no "Apollonius
Gallus". Ele reconhece que o número de soluções depende da posição
relativa dos três círculos e expõe as onze situações resultantes. Esta resolução
teve uma repercussão quase imediata na Europa, e proporcionou a Viète
a admiração de numerosos matemáticos através dos séculos.
Baseando-se na solução apresentada por Romano, e fazendo uso das propriedades
da hipérbole, Isaac Newton (1642-1727) apresentou a solução para
o problema em sua famosa obra "Principia". Na formulação de Newton, a
intersecção de uma reta com um círculo substituiu a intersecção das duas
hipérboles do processo de Romano, contemplando assim a construção com
régua e compasso almejada por Viète.
"Entre os primeiros pensadores dos séculos XVII e XVIII que empregaram
todo o seu poder mental para destruir velhas idéias e construir novas outras,
destaca-se René Descartes (1596-1650)" (CAJORI, 2007, p.244). Sabe-se que
ele investigou o problema de Apolônio, mas não obteve resultados relevantes.
Porém, com o surgimento da Geometria Analítica a partir de seu trabalho

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 47
"La Géométrie" de 1637, surgiram novos recursos na busca de soluções para
o problema de Apolônio. A culta princesa Elizabeth (1596-1662), lha de
Frederico V e devota aluna de Descartes, aplicou a nova geometria analítica
na solução do problema de Apolônio, contudo, a diculdade em se lidar com
as expressões algébricas decorrentes, culminou com o fracasso na tentativa
de se resolver tal problema por meio de um sistema de coordenadas. Quem
também buscou uma solução algébrica para tal problema foi Leonard Euler
(1707-1783).
Com a revitalização da geometria sintética 1 iniciada por Gaspar Monge
(1746-1818), pai da Geometria Descritiva, um novo repertório de elementos
teóricos para o círculo se consolidava, oferecendo novos olhares para o
desaador problema de Apolônio. Outro ramo da geometria que ampliou
as ferramentas disponíveis para se analisar esse problema foi a Geometria
Projetiva. Os estudos da Geometria Projetiva tiveram início com Girard Desargues
(1591-1661), que em 1639 publicou um trabalho sobre seções cônicas,
mostrando, entre outros resultados, que a projeção de uma cônica é sempre
uma cônica. A teoria dos pólos e das polares da Geometria Projetiva é a
mais diretamente aplicável aos círculos, e consequentemente ao problema de
Apolônio. Poncelet (1788-1867), que introduziu o princípio da dualidade,
encontrou uma solução para o problema de Apolônio enquanto ainda era
estudante, em 1811. Posteriormente, em 1822, ele encontrou uma solução direta,
apoiando-se em argumentos puramente geométricos, sendo mais tarde
revista por Maurice Fouché, em 1892, sob o ponto de vista de círculos isogonais,
e complementada com uma discussão detalhada do possível número de
soluções em termos das posições relativas dos objetos iniciais.
Joseph Diaz Gergonne (1771-1859) resolveu o Problema de Apolônio e
defendeu a superioridade dos métodos analíticos sobre os sintéticos, com a
publicação de uma solução puramente geométrica.
Carl F. Gauss (1777-1855) simplicou e completou uma solução produzida
por Lazare Carnot (1753-1823) para o problema de Apolônio. Mas, em-
1 Nomenclatura dada em contraposição à geometria analítica, é referente à geometria
que não se apóia em recursos algébricos para a sua sistematização; o mesmo que geometria
axiomática.

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 48
bora todas estas soluções tivessem sido produzidas na era 'moderna', ainda
não atendiam ao almejado novo paradigma: Encontrar um método direto,
aplicável a todos os casos, e se possível, que permitisse determinar o número
de soluções admissíveis para o problema.
Foi em 1824 que Jacob Steiner, o maior geômetra desde os tempos de
Euclides, (veja Seção 2.1, p.13) descobriu a útil transformação chamada geometria
inversiva. Steiner não publicou suas idéias sobre inversão, e a transformação
foi redescoberta várias vezes por outros matemáticos do século, inclusive
Lord Kelvin (ou William Thompson, 1824-1907) que em 1845 chegou
a ela pela física e que a aplicou a problemas de eletrostática. Baseada em
inversões, o matemático dinamarquês Julius Petersen (1839-1910) produziu
uma solução bastante elegante para o problema de Apolônio. Resultados da
geometria das inversões permitem sistematizar a análise das possíveis con-
gurações dos três objetos dados no problema de Apolônio, classicando-as
e determinando o número efetivo de soluções nos diferentes casos. Santos
e Trevisan (2002, p.4), relatam que este detalhamento é feito no artigo de
Bruen et. al 2 , que simplica o trabalho notável de Muirhead 3 , no qual o autor
faz uma enumeração exaustiva, porém incompleta, das várias possibilidades.
"O progresso da geometria não só propiciou novas e admiráveis soluções
para o problema de Apolônio, como também transformou e generalizou o
próprio problema" (COURT, 1961, p.451). Se o problema consiste em encontrar
um objeto que forme 90 ◦ com outros três, então, o primeiro passo
natural para estendê-lo é encontrar um objeto tal que os três objetos dados
sejam isogonais em relação ao objeto procurado, podendo o ângulo entre eles
ser de 0 ◦ a 180 ◦ . Outra possibilidade é supor que os três círculos, ao invés
de coplanares, pertencem a uma mesma esfera. Carnot, Gergonne e Charles
Dupin (1784-1873), entre outros, analisaram esta extensão. Indo além, a esfera
poderia ser substituída por uma superfície quádrica, e os círculos, por
seções planas nesta superfície.
O problema de Apolônio pode ainda ser estendido ao plano tridimen-
2 BRUEN, A.;FISHER, J. C.; WILKER, J. B. Apollonius by inversion. Mathematics
Magazine, 56(2) (1983) 97-103.
3 MUIRHEAD, R. F. On the number and nature of solutions of the Apollonius
contact problem. Proc. Edinburgh Math. Soc. 14 (1896) 135-147.

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 49
sional: Construir uma esfera tangente a quatro esferas dadas. Este problema
foi formulado por Pierre de Fermat (1601-1655) e cou conhecido como Problema
de Fermat. Carnot, em 1803, e Dupin, em 1831, propuseram soluções
analíticas para este problema, enquanto que J. N. P. Hachette (1769-1834),
em 1808, propôs uma solução sintética.
"Para uma abordagem consistente para o problema de Fermat, nos mesmos
moldes feitos para o problema de Apolônio, foi necessário encontrar na
esfera os elementos geométricos que desempenhassem papéis análogos aos do
círculo. Assim, os centros de semelhança, planos radicais e feixes de esferas
permitiram que os problemas de Apolônio e de Fermat fossem trabalhados
simultaneamente" (SANTOS, TREVISAN, 2002, p.6).
3.2 Resolvendo o Problema de Apolônio por
meio da Inversão
Na secção 2.4 resolvemos 3 exercícios que são casos do Problema de Apolônio.
O exercício 1 é o Caso 3 (veja Tabela 3.1), enquanto que o exercício 2 é um
caso particular do Caso 6 (as circunferências são secantes) e o exercício 3 é
um caso particular do Caso 8 (as circunferências são tangentes entre si e são
tangentes à reta).
Porém, o mais difícil dos casos é, sem dúvida, o Caso 10 e é deste que
queremos tratar. Olhemos para o caso mais genérico, onde as circunferências
são disjuntas e exteriores duas a duas.
Por serem as circunferências disjuntas, não temos um ponto de interseção
para ser o centro de um circunferência de inversão que transforme simultaneamente
duas circunferências em duas retas para reduzir nosso problema
em um caso mais simples. O que poderíamos fazer é transformar apenas
uma das circunferências, mas isto não alivia muito a situação, pois este caso
também não é tão simples. Sendo assim, a questão agora é: Será possível
encontrar uma inversão que transforme estas três circunferências em outras
três, mas que, de alguma forma seja um caso particular mais simples? A
resposta é "Sim", conforme podemos constatar no trabalho de Spira (2004).

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 50
Figura 3.1: Caso 10 do Problema de Apolônio
Existe uma inversão que transforma duas circunferências disjuntas em circunferências
concêntricas. Este será agora o nosso objeto de estudo e, para
isto, vamos determinar os "pontos mágicos", denidos adiante, de duas circunferências.
Sejam C e D duas circunferências disjuntas e não concêntricas. Chamemos
de s a reta dos centros e AB e EF os diâmetros determinados por s em C e
D, respectivamente.
Figura 3.2: Circunferências disjuntas não concêntricas
Agora, uma inversão com centro em A transforma a circunferência C em
uma reta C ′ e a circunferência D em uma circunferência D ′ . A inversa s ′ de
s é a própria reta s.

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 51
Figura 3.3: Inversão com centro em A
Pelo Lema 2.4 existe uma única circunferência G ′ com centro em B ′ que
é ortogonal à D ′ . Também, pelo Lema 2.3, G ′ é ortogonal à C ′ . Chamando
de P ′ e Q ′ os pontos de interseção de G ′ com s ′ , então, P ′ e Q ′ são inversos
com relação à D ′ . (Veja a Proposição 2.1.2).
Figura 3.4: Encontrando P ′ e Q ′
Que outras circunferências X ′ são ortogonais simultaneamente à C ′ e D ′ ?

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 52
Bem, para X ′ ser ortogonal à C ′ , então, o seu centro Y deve estar sobre a
reta C ′ . Como existe uma única circunferência com centro em Y ortogonal
à D ′ e a circunferência com centro em Y passando por P ′ e Q ′ é ortogonal
à D ′ , então, esta é a circunferência X ′ . Assim, a família das circunferências
ortogonais simultaneamente à C ′ e D ′ é a família das circunferências que
passam por P ′ e Q ′ .
Portanto, "desinvertendo", a família das circunferências ortogonais à C
e D coincide com a família das circunferências que passam por P e Q, logo,
P e Q são inversos em relação às circunferências C e D simultaneamente
e, mais do que isso, estes pontos são os únicos com esta propriedade a qual
enunciamos na seguinte proposição:
Figura 3.5: Família de circunferências ortogonais à C e D
Proposição 3.2.1 Sejam AB e EF segmentos disjuntos contidos em uma
mesma reta. Então, existe um único par de pontos P e Q que são conjugados

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 53
harmônicos simultaneamente com relação à AB e EF .
Demonstração:
Sendo P e Q como construídos acima, temos que estes pontos são os
únicos que são inversos em ralação à C e D simultaneamente. Assim, P e
Q são os únicos pontos que são simultaneamente conjugados harmônicos em
relação à AB e EF.
□
Denição 3.2.1 Sejam C e D duas circunferências disjuntas e não concêntricas.
Chamemos de s a reta dos centros e AB e EF os diâmetros
determinados por s em C e D, respectivamente. Os pontos P e Q que são
conjugados harmônicos simultaneamente de AB e EF são denominados de
pontos mágicos de C e D.
Os pontos mágicos são a chave para demonstrar a importante proposição
a seguir:
Proposição 3.2.2 Sejam C e D duas circunferências disjuntas e não concêntricas.
Então, existe uma inversão que transforma C e D em circunferências
concêntricas.
Demonstração:
Sejam P e Q os pontos mágicos de C e D. Seja S uma circunferência
com centro em P e C ′ a inversa de C em relação à S. Temos que o inverso
do centro P de S em relação à C é o ponto Q, logo, pela Proposição 2.3.5, o
inverso de Q em relação à S é o centro de C ′ .
Analogamente, se D ′ é o inverso de D em relação à S, então, como o
inverso de P em relação à D é o ponto Q, temos que o inverso de Q em
relação à S é o centro de D ′ .
Portanto, Q ′ é o centro de C ′ e D ′ , ou seja, C ′ e D ′ são concêntricas.
□

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 54
Figura 3.6: Transformação em circunferências concêntricas
Agora, com esta inversão podemos tratar de resolver o Problema de Apolônio
mostrado na Figura 3.1:
Problema: Dadas três circunferências A, B e C disjuntas e externas duas
a duas, encontre as circunferências que são tangentes a A, B e C simultaneamente.
Solução: Sejam P e Q os pontos mágicos de A e B. Assim, P é interno
à circunferência A, ou P é interno à circunferência B. Suponhamos, sem
perda de generalidade, que P é interno à A, logo, Q é interno à B. Pela
proposição acima, se S é uma circunferência de inversão com centro em P,
então, os inversos A ′ e B ′ de A e B, respectivamente, em relação à S, são
circunferências concêntricas. Pois bem, se C ′ é o inverso de C em relação
à S, que posição C ′ ocupa em relação à A ′ e B ′ ? Desaamos o leitor a
demonstrar as seguintes armações: Armação 1) Como C é externa à A e
P (centro da circunferência de inversão) é interno à A, então, C ′ é interna
à A ′ . Armação 2) Como B e C são externas e P (centro da circunferência
de inversão) é externo à B e à C, então, B ′ e C ′ são externas. Portanto,
o nosso problema ca reduzido ao seguinte: Sendo A ′ e B ′ circunferências

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 55
concêntricas; com B ′ interna à A ′ ; e C ′ uma circunferência compreendida no
anel entre A ′ e B ′ , encontremos as circunferências que são tangentes à estas
três simultaneamente.
Figura 3.7: Redução do Problema de Apolônio à um caso particular
A solução deste problema é fácil e, ao todo, são oito as circunferências
procuradas. Sendo C 1 a circunferência de centro em Q ′ e raio r 2+r 1
, então
2
temos quatro soluções cujo centro pertence à C 1 , onde r 2 é o raio de A ′ e
r 1 é o raio de B ′ . Destas, duas são circunferências tangentes externas com
C ′ e duas são circunferências tangentes internas com C ′ . Veja a Figura 3.8.
Agora, sendo C 2 a circunferência de centro em Q ′ e raio r 2−r 1
, temos quatro
2
soluções cujo centro pertence à C 2 , sendo duas tangentes externas com C ′ e
duas tangentes internas com C ′ . Veja a Figura 3.9.

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 56
Figura 3.8: Quatro soluções com
centro em C 1
Figura 3.9: Quatro soluções com
centro em C 2
Portanto, temos as oito soluções como mostra a Figura 3.10:
Figura 3.10: As oito soluções invertidas
Basta agora "desinvertê-las" e teremos a solução do Problema de Apolônio:

CAPÍTULO 3. O PROBLEMA DE APOLÔNIO 57
Figura 3.11: A solução do Problema de Apolônio

Capítulo 4
Considerações Finais
No presente trabalho, em relação ao problema de pesquisa, resolvemos o
décimo caso do Problema de Apolônio por meio da Transformação Geométrica
Inversão. Para isso, encontramos uma inversão que transforma duas circunferências
disjuntas e exteriores em duas circunferências concêntricas, cando
assim, o problema reduzido a um caso fácil de ser resolvido. No entanto,
mais importante do que a solução do problema propriamente dita, foi o caminho
percorrido para encontrá-la, pois, neste processo associamos a Resolução
de Problemas, importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico;
o uso da Geometria Dinâmica, facilitador da visualização, experimentação,
explorações e validação dos métodos de construção e o uso de uma Transformação
Geométrica, sendo que as transfomações "constituem um campo rico
de conexões, uma ferramenta muito útil para demonstrações, para resolver
problemas e, de uma maneira geral, para raciocinar sobre o plano e o espaço"
(BASTOS, 2007, p.23).
Por estar o conteúdo de "Tangências" presente em praticamente todas as
ementas da disciplina de Desenho Geométrico de cursos superiores, entendemos
que este trabalho possa ser utilizado para o ensino da mesma como um
roteiro de estudo, pois além de conter todos os tópicos citados acima, que
valorizam a aprendizagem, o texto está disposto de maneira que o leitor é instigado
a explorar a Transformação Inversão, descobrindo suas propriedades,
demonstrando-as e, assim, participando do processo hipotético-dedutivo do
58

CAPÍTULO 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 59
pensamento geométrico. Com isto, cumprimos, então, o objetivo inicialmente
proposto para esta monograa.
Para complementar este trabalho, sugerimos que diferentes composições
do Caso 10 do Problema de Apolônio sejam resolvidas por meio da inversão,
como, por exemplo, os casos onde as circunferências envolvidas são secantes
ou são tangentes. Os demais casos não abordados na Secção 2.4, onde as circunferências
envolvidas podem ser retas ou pontos, podem também contribuir
para uma aprendizagem efetiva, pois, ao procurar a inversão que simplica o
problema em questão, certamente o leitor melhor se apropriará dos conceitos
desta transformação.

REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. A.; MELLO, E. G. S.. Iniciação à demonstração
aprendendo conceitos geométricos. 23 a reunião anual da ANPED,
2000.
ANDRADE, J. A. A.; NACARATO, A. M. Tendências didáticopedagógicas
no ensino de Geometria: um olhar sobre os trabalhos
apresentados nos ENEMs. Educação Matemática em Revista
(São Paulo), SBEM, Recife/Pe, v. Ano 11, n. n 17, p. 61-70, 2005.
BASTOS, R. Notas sobre o ensino de Geometria: Transformações
Geométricas. Educação e Matemática. Revista da APM, Lisboa, n.94,
p.23-27, set/out, 2007.
CABARITI, Eliane, GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Uma proposta
didática em ambiente informatizado. 2004. 181 f. Dissertação
(Mestrado em educação matemática). Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo, 2004.
COURT, N. A. The problem of Apollonius. Mathematics Teacher,
54, 1961 p. 444-452.
MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Parte
III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, p. 44, 2000.
PAVANELLO, Regina Maria. Porque ensinar/aprender Geometria?
In: VII EPEM - Encontro Paulista de Educação Matemática,
São Paulo, 2004.
SANTOS, S. A.; TREVISAN, A. L. O problema de Apolônio: aspectos
históricos e computacionais. In: Relatório de pesquisa: Fapesp
n. 02/13369-8, 2002.
SPIRA, Michel. COMO TRANSFORMAR RETAS EM CÍRCU-
LOS E VICE VERSA: A inversão e construções geométricas. In:
II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Universidade Federal
da Bahia, Bahia, 2004.