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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

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<strong>Universidade</strong> <strong>Tecnológica</strong> <strong>Federal</strong> <strong>do</strong> <strong>Paraná</strong><br />

<strong>UTFPR</strong> — Campus Pato Branco<br />

Exercícios sobre Limites<br />

1. O gráfico a seguir representa uma função f de [−6,9] em R. Determine:<br />

(a) f(2)<br />

(b) lim<br />

x→2 −f(x)<br />

(c) lim<br />

x→2 +f(x)<br />

(d) lim<br />

x→2<br />

f(x)<br />

(e) f(−2)<br />

(f) f(7)<br />

2. Um gás (vapor d’água) é manti<strong>do</strong> à temperatura constante. A medida que o gás é<br />

comprimi<strong>do</strong>, o volume V decresce até que atinja um certa pressão (P) crítica. Além<br />

dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observan<strong>do</strong> a figura a seguir, determine:<br />

(a) lim<br />

p→100 −V<br />

(b) lim<br />

p→100 +V<br />

(c) lim<br />

p→100 V<br />

3. Dada a função f definida por:<br />

⎧<br />

⎨ 4−x 2 se x < 1<br />

f(x) = 2 se x = 1<br />

⎩<br />

2+x 2 se x > 1<br />

Esboce o gráfico de f e calcule o limite quan<strong>do</strong> x tende a 1.<br />

4. O gráfico a seguir representa uma função f de [−3,4[ em R. Determine:<br />

(a) f(1)<br />

(b) lim<br />

x→1 −f(x)<br />

(c) lim<br />

x→1 +f(x)<br />

1


5. Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada<br />

item abaixo. Caso não exista, justifique.<br />

6. Calcule o limite, se existir:<br />

(a) lim<br />

x→0<br />

f(x)<br />

(b) lim<br />

x→0 −f(x)<br />

(c) lim<br />

x→0 +f(x)<br />

(d) lim<br />

x→4<br />

f(x)<br />

(e) lim<br />

x→4 −f(x)<br />

(f) lim<br />

x→4 +f(x)<br />

(g) f(4)<br />

(h) f(0)<br />

(i) f(−5)<br />

(a) lim<br />

x→1<br />

(x 3 +x 2 +5x+1)<br />

(b) lim<br />

x→−1 (x3 −2x 2 −4x+3)<br />

(c) lim<br />

x→− √ (4x 3 −2x 2 −2x−1)<br />

2<br />

x 2 +5x−4<br />

(d) lim<br />

x→3 x 2 −5<br />

x 2 −7x+10<br />

(e) lim<br />

x→2<br />

(r) lim<br />

x→−3<br />

x−2<br />

x 2 +2x−3<br />

x+3<br />

(g) lim<br />

x→0<br />

3x 4 +x 3 −5x 2 +2x<br />

x 2 −x<br />

(h) lim<br />

x→1<br />

x 3 −4x+3<br />

x 5 −2x+1<br />

x 2 −36<br />

(i) lim<br />

x→6 x−6<br />

(j) lim<br />

x→−1<br />

(k) lim<br />

x→−2<br />

x 2 −1<br />

x 2 +3x+2<br />

x 5 −32<br />

x+2<br />

x 4 −8x 3 +18x 2 −27<br />

(l) lim<br />

x→3 x 4 −10x 3 +36x 2 −54x+27<br />

(m) lim<br />

x→2<br />

x−2<br />

√<br />

2x−4<br />

(n) lim<br />

x→4<br />

x−4<br />

√ x−2<br />

x<br />

(o) lim<br />

x→0 2− √ 4−x<br />

x<br />

(p) lim √ √<br />

x→0 2− 2−x<br />

2− √ 3+x<br />

(q) lim<br />

x→1 x−1<br />

x<br />

(r) lim √<br />

x→0 x+1−1<br />

(s) lim<br />

x→4<br />

√ 1+2x−3<br />

√ x−2<br />

(t) lim<br />

x→2<br />

√<br />

2x2 −3x+2−2<br />

√<br />

3x2 −5x−1−1<br />

7. Calcule os limites no infinito, se existir:<br />

x 2 +x−3<br />

(a) lim<br />

x→+∞ 3x 2 −4<br />

3x−2<br />

(b) lim<br />

x→−∞ 5x 2 +3<br />

√<br />

x−3<br />

(c) lim<br />

x→+∞ 2x 2 +6<br />

√<br />

4x+3<br />

(d) lim<br />

x→+∞ 2+x<br />

2


(e) lim<br />

x→+∞<br />

(f) lim<br />

x→+∞<br />

(g) lim<br />

x→+∞<br />

√<br />

x2 +1−x<br />

√<br />

x2 +x−x<br />

1<br />

√ x<br />

(h) lim<br />

x→+∞ 2+ 1 √ x<br />

(i) lim<br />

x→+∞ x+√ x 2 +4<br />

8. Calcule<br />

(a) lim<br />

x→+∞ (5x3 −3x 2 −2x−1)<br />

(b) lim<br />

x→−∞ (2x5 −x 4 +2x 2 −1)<br />

(c) lim<br />

x→−∞ (−3x4 +2x 2 −1)<br />

(d) lim<br />

x→+∞ (3x4 +5x 2 +8)<br />

(e) lim<br />

x→−∞ (−5x3 +3x−2)<br />

(f) lim<br />

x→+∞ (−x2 +3x−2)<br />

2x 3 −3x 2 +x−1<br />

(g) lim<br />

x→+∞ x 2 +x−3<br />

(h) lim<br />

x→−∞<br />

(i) lim<br />

x→−∞<br />

(j) lim<br />

x→−∞<br />

2x 2 +1<br />

x 2 −1<br />

3x<br />

x 2 −3<br />

3x 3 −5x 2 +2x+1<br />

9x 3 −5x 2 +x−3<br />

2x 3 +5x 2 −8<br />

(k) lim<br />

x→−∞ 4x 5 −8x+7<br />

5x 3 −2x 2 +1<br />

(l) lim<br />

x→−∞ x+7<br />

x 2 +x+1<br />

(m) lim<br />

x→−∞ (x+1) 3 −x 3<br />

(n) lim<br />

x→−∞<br />

(o) lim<br />

x→+∞<br />

(p) lim<br />

x→−∞<br />

(3x+2) 3<br />

2x(3x+1)(4x−1)<br />

√<br />

x2 +x+1<br />

x+1<br />

√<br />

x2 +x+1<br />

x+1<br />

2x 2 −3x−5<br />

(q) lim √<br />

x→+∞ x4 +1<br />

2x 2 −3x−5<br />

(r) lim √<br />

x→−∞ x4 +1<br />

9. Calcule os limites laterais, se existir:<br />

(a) lim<br />

h→0 + √<br />

h2 +4h+5− √ 5<br />

h<br />

(b) lim<br />

x→−2 +(x+3)|x+2| x+2<br />

(c) lim<br />

x→−2 −(x+3)|x+2| x+2<br />

{<br />

3−x se x < −2<br />

10. Seja f(x) = x<br />

se x > −2<br />

2<br />

(a) Determine lim<br />

x→−2 +f(x)<br />

e lim<br />

x→−2 −f(x)<br />

(b) Existe lim f(x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?<br />

x→−2<br />

(c) Determine lim<br />

x→−4 +f(x)<br />

e lim<br />

x→−4 −f(x).<br />

(d) Existe lim f(x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?<br />

x→−4<br />

11. Calcule os seguintes limites laterais:<br />

(a) lim<br />

x→2 − x+2<br />

x 2 −4<br />

(b) lim<br />

x→2 +<br />

(c) lim<br />

x→4 −<br />

x<br />

x−2<br />

x<br />

x−4<br />

3


(d) lim<br />

x→2 + x+2<br />

x 2 −4<br />

⎧<br />

⎨<br />

12. Seja f(x) =<br />

⎩<br />

√<br />

1−x<br />

2<br />

se 0 ≤ x ≤ 1<br />

1 se 1 < x < 2<br />

2 se x = 2<br />

x+6<br />

(e) lim<br />

x→6 + x 2 −36<br />

(f) lim<br />

x→3 +<br />

x<br />

x 2 −9<br />

(a) Quais são o <strong>do</strong>mínio e a imagem de f?<br />

(b) Em que pontos c existe lim<br />

x→c<br />

f(x)?<br />

(c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda?<br />

(d) Em quais pontos existe apenas o limite â direita?<br />

13. Ache os limites lim<br />

x→a−f(x), lim<br />

x→a +f(x)<br />

e limf(x), caso existam.<br />

x→a<br />

(a) f(x) = |x−4|<br />

x−4 ; a = 4<br />

(b) f(x) = |x+5|<br />

x+5 ; a = −5<br />

(c) f(x) = 1<br />

x+8 ; a = −8<br />

14. Se 4x−9 ≤ f(x) ≤ x 2 −4x+7 para x ≥ 0, encontre lim<br />

x→4<br />

f(x).<br />

15. Se 2x ≤ g(x) ≤ x 4 −x 2 +2 para to<strong>do</strong> x, encontre lim<br />

x→1<br />

g(x)<br />

16. Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo:<br />

(a) y = 1<br />

x−1<br />

(b) y = 2x2 +x−1<br />

x 2 −1<br />

17. Calcule o limite:<br />

(c) y = x+4<br />

x+3<br />

(d) y = x<br />

x 2 −1<br />

(a) lim<br />

x→+∞ 2x<br />

1<br />

(b) lim<br />

x→−∞(<br />

3<br />

(c) lim<br />

x→0<br />

( 1<br />

3<br />

) x<br />

(d) lim2 4X−1<br />

x→1<br />

(e) lim 2 sinx<br />

x→<br />

π<br />

6<br />

) x<br />

(f) lim3 4x5 −2x 3 +2x<br />

2x 3 −x+1<br />

x→1<br />

(g) lim<br />

x→+∞ log 3x<br />

(h) lim<br />

x→0 +log 3x<br />

(i) lim<br />

x→+∞ lnx<br />

(j) lim<br />

x→0 +ln2x<br />

(k) lim<br />

x→+∞ log1 x<br />

2<br />

(l) lim x<br />

x→0 +log1 2<br />

18. Mostre que:<br />

(a) lim<br />

x→0<br />

(1+3x) 4 x = e<br />

12<br />

(b) lim<br />

x→0<br />

(1+2x) 1 x = e<br />

2<br />

(c) lim<br />

(1+ x )1<br />

x<br />

x→0 3<br />

= e 1 3 =<br />

3 √ e<br />

4


(d) lim<br />

x→0<br />

(1+ 4x 7<br />

)1<br />

x<br />

= e<br />

4<br />

7<br />

(e) lim<br />

x→0<br />

(1−x) 1 x = e −1 = 1 e<br />

(f) lim<br />

(1+ x )1<br />

x<br />

x→0 π<br />

= e 1 π<br />

19. Calcule os seguintes limites:<br />

(<br />

(a) lim 1+ 1 ) n+2<br />

n→+∞ n<br />

(<br />

(b) lim 1+ 3 ) n<br />

n→+∞ n<br />

( ) x x<br />

(c) lim<br />

x→+∞ 1+x<br />

(d) lim<br />

x→+∞<br />

(<br />

1+ 5 x<br />

) x+1<br />

(e) lim (1+sinx) 1<br />

sinx<br />

x→+∞<br />

(f) lim<br />

x→−∞ ex<br />

(<br />

(g) lim 1+ 2 ) 2<br />

x→+∞ x<br />

(h) lim<br />

x→+∞<br />

(i) lim<br />

x→−∞<br />

(<br />

1− 1 ) 3<br />

x<br />

( )<br />

3+e −1 x<br />

(j) lim<br />

x→+∞ ln(x2 +1)<br />

(k) lim<br />

x→−∞ ln(x2 −1)<br />

(l) lim<br />

x→+∞ x−√ x 2 −1<br />

20. Calcule os limites abaixo:<br />

ln(2+x)<br />

(a) lim<br />

x→−1 x+1<br />

ln(3+x)<br />

(b) lim<br />

x→−2 x+2<br />

(c) lim<br />

x→0<br />

2 x −1<br />

x<br />

(d) lim<br />

x→0<br />

e sinx −1<br />

sinx<br />

(e) lim<br />

x→0<br />

ln(1+x) 2<br />

x<br />

(Fazer x+1 = u)<br />

(Fazer x+2 = u)<br />

lnx 3<br />

(f) lim<br />

x→1 x−1<br />

(g) lim(1+sinx) cossec x (Fazer sinx = u)<br />

x→0<br />

( ) 1<br />

1+x x−4<br />

(h) lim<br />

x→4 5<br />

10 x −1<br />

(i) lim<br />

x→0<br />

(j) lim<br />

x→+∞<br />

5 x −1<br />

(<br />

1+ 2 x<br />

(dividir por x o num. e den.)<br />

) x<br />

21. Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:<br />

(a) lim<br />

x→+∞ cos 1 x<br />

θ<br />

(b) lim<br />

θ→0 cosθ<br />

sinx<br />

(c) lim<br />

x→0 5x<br />

⎛<br />

(d) lim<br />

x→<br />

π<br />

2<br />

⎝ cosx<br />

x− π 2<br />

⎞<br />

⎠<br />

(e) lim<br />

x→π<br />

sinx−sinπ<br />

x−π<br />

(f) lim<br />

x→0<br />

sinx(1−cosx)<br />

2x 2<br />

(g) lim<br />

t→0<br />

sin(3t)<br />

2t<br />

(h) lim<br />

x→0<br />

sin(2x)<br />

sin(3x)<br />

(i) lim<br />

x→0<br />

sin 2 (x)<br />

x<br />

(j) lim<br />

x→0<br />

tan 2 (x)<br />

x<br />

(k) lim<br />

t→π + sin(t)<br />

t−π<br />

5


22. Responda:<br />

(a) Do gráfico de f mostra<strong>do</strong> abaixo, diga<br />

os números nos quais f é descontínua e<br />

explique por quê.<br />

(b) Para cada um <strong>do</strong>s números indica<strong>do</strong>s<br />

na parte (a), determine se f é contínua<br />

à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.<br />

23. Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em x = 3 e é<br />

contínua à esquerda em x = 3.<br />

24. Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em x = 2 e uma<br />

descontinuidade removível em x = 4, mas seja contínua no restante.<br />

25. Se f e g forem contínuas, com f(3) = 5 e lim<br />

x→3<br />

[2f(x)−g(x)] = 4, encontre g(3).<br />

26. use a definição de continuidade e propriedades <strong>do</strong>s limites para demonstrar que cada uma<br />

das funções abaixo é contínua em um da<strong>do</strong> número a.<br />

(a) f(x) = x 2 + √ 7−x, a = 4<br />

(b) f(x) = (x+2x 3 ) 4 , a = −1<br />

(c) f(x) = 2x−3x2<br />

1+x 3 , a = 1<br />

27. Explique por que a função é descontínua no número a da<strong>do</strong>. Esboce o gráfico da função.<br />

(a) f(x) = ln|x−2|; a = 2<br />

{ 1<br />

(b) f(x) = x−1 se x ≠ 1 ; a = 1<br />

2 se x = 1<br />

{ e<br />

x<br />

se x < 0<br />

(c) f(x) =<br />

x 2 se x ≥ 0 ; a = 0<br />

⎧<br />

⎨ x 2 −x<br />

(d) f(x) =<br />

⎩<br />

x 2 −1 se x ≠ 1 ; a = 1<br />

1 se x = 1<br />

⎧<br />

⎨<br />

(e) f(x) =<br />

⎩<br />

cosx se x < 0<br />

0 se x = 0<br />

1−x 2 se x > 0<br />

; a = 0<br />

28. Para quais valores da constante c a função f é contínua em (−∞,∞)?<br />

{ cx<br />

f(x) =<br />

2 +2x se x < 2<br />

x 3 −cx se x ≥ 2<br />

29. Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.<br />

⎧<br />

x ⎪⎨<br />

2 −4<br />

se x < 2<br />

f(x) =<br />

x−2<br />

ax<br />

⎪⎩<br />

2 −bx+3 se 2 < x < 3<br />

2x−a+b se x ≥ 3<br />

6


30. Nos itens a seguir são da<strong>do</strong>s f(x), a e L, bem como lim<br />

x→a<br />

f(x) = L.<br />

I) Determine δ > 0 para ε > 0 da<strong>do</strong>, de mo<strong>do</strong> que satisfaça a definição de limite;<br />

II) Prove tal limite.<br />

(a) lim(2x+4) = 10, ε = 0,01<br />

x→3<br />

(b) lim(x+2) = 5, ε = 0,02<br />

x→3<br />

(c) lim (3x−1) = −7, ε = 0,1<br />

x→−2<br />

(d) lim<br />

x→1<br />

(5x−3) = 2, ε = 0,05<br />

(e) lim<br />

x→2<br />

(4x−5) = 3, ε = 0,001<br />

(f) lim<br />

x→−1 (3−4x) = 7, ε = 0,02 7


Respostas - Limites<br />

1. (a) 3 (b) 2 (c) 5 (d) ̸ ∃ (e) 0 (f) 0<br />

2. (a) 0,8 (b) 0,4 (c) Nãoexiste<br />

3.<br />

lim f(x) = 3<br />

x→1<br />

4. (a) 4 (b) -2 (c) 4<br />

5. (a) +∞<br />

(b) −∞<br />

(c) Não existe.<br />

(d) −∞<br />

(e) −∞<br />

(f) Não existe.<br />

(g) Não existe.<br />

(h) Não existe.<br />

(i) Não existe.<br />

(j) Não existe.<br />

6.<br />

(a) 8<br />

(b) 4<br />

(c) −5−6 √ 2<br />

(d) 5<br />

(e) −3<br />

(f) −6<br />

(g) −2<br />

(h) − 1 3<br />

(i) 12<br />

(j) −2<br />

(k) 80<br />

(l) 2<br />

(m) 0<br />

(n) 4<br />

(o) 4<br />

(p) 2 √ 2<br />

(q) − 1 4<br />

(r) 2<br />

(s) 4 3<br />

(t) 5<br />

14<br />

7. (a) 1 3<br />

(b) 0<br />

(c) 0<br />

(d) 2<br />

(e) 0<br />

(f) 1<br />

(g) 0<br />

(h) 2<br />

(i) +∞<br />

8. (a) +∞<br />

(f) −∞<br />

(k) 0<br />

(b) −∞ (g) +∞ (l) +∞<br />

(c) −∞ (h) 2<br />

(m) 1<br />

(d) +∞<br />

(i) 0 3<br />

(e) +∞ (j) 1 (n) 9 3 8<br />

2<br />

9. (a) √<br />

(b) 1 (c) −1<br />

5<br />

(o) 1<br />

(p) 1<br />

(q) 2<br />

(r) 2<br />

10. (a) lim<br />

x→2<br />

+<br />

f(x) = 2 e lim<br />

x→2 −f(x) = 1 8


(b) Não existe limf(x), pois os limites laterais são diferentes.<br />

x→2<br />

(c) lim<br />

x→−4 +f(x)<br />

= 7 e lim<br />

x→−4 −f(x) = 7<br />

(d) lim f(x) = 7, pois os limites laterais são iguais.<br />

x→−4<br />

11. (a) −∞<br />

(b) ∞<br />

(c) −∞<br />

(d) ∞<br />

(e) ∞<br />

(f) ∞<br />

12. (a) D(f) = [0;2] e Im(f) = [0;1]∪{2}<br />

(b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2<br />

(c) c = 2<br />

(d) c = 0<br />

13. (a) lim<br />

x→4<br />

+<br />

14. 7<br />

15. 2<br />

(b) lim<br />

x→5<br />

+<br />

(c) lim<br />

x→8<br />

+<br />

f(x) = 1, lim<br />

x→4−f(x) = −1 e ∄lim f(x)<br />

x→4<br />

f(x) = 1, lim<br />

x→5−f(x) = −1 e ∄lim f(x)<br />

x→5<br />

f(x) = ∞, lim<br />

x→8−f(x) = −∞ e ∄lim f(x)<br />

x→8<br />

16. (a) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1<br />

(b) Horizontal: y = 2, vertical: x = 1<br />

9


(c) Horizontal: y = 1, vertical: x = −3<br />

(d) Horizontal: y = 0,vertical: x = 1ex = −1<br />

17. (a) +∞<br />

(b) +∞<br />

(c) 1<br />

(d) 8<br />

(e) √ 2<br />

(f) 6<br />

(g) +∞<br />

(h) −∞<br />

(i) +∞<br />

(j) −∞<br />

(k) −∞<br />

(l) +∞<br />

18.<br />

19. (a) e<br />

(c) e −1<br />

(e) e<br />

(g) 1<br />

(i) 4<br />

(k) +∞<br />

(b) e 3<br />

(d) e 5<br />

(f) 0<br />

(h) 1<br />

(j) +∞<br />

(l) 0<br />

20. (a) 1<br />

(b) 1<br />

(c)<br />

1<br />

log 2 e<br />

(d) 1<br />

(e) 2<br />

(f) 3<br />

(g) e<br />

√<br />

(h) 5 e<br />

1<br />

(i)<br />

log5<br />

(j) e 2<br />

21. (a) 1<br />

(b) 0<br />

(c) 1 5<br />

(d) 1<br />

(e) −1<br />

(f) 0<br />

(g) 3 2<br />

(h) 2 3<br />

(i) 0<br />

(j) 0<br />

(k) −1<br />

22.<br />

23. Infinitas soluções.<br />

24. Infinitas soluções.<br />

25. g(3) = 6<br />

26.<br />

10


27. (a) f(2) não está defini<strong>do</strong>.<br />

(b)<br />

(c) lim<br />

x→0<br />

f(x) não existe.<br />

(d)<br />

(e) lim<br />

x→0<br />

f(x) ≠ f(0)<br />

28. c = 2 3<br />

11


29. a = b = 1 2<br />

Coletânea de exercícios elaborada pelos professores:<br />

• Dra. Dayse Batistus;<br />

• Msc. Ana Munaretto;<br />

• Msc. Cristiane Pendeza;<br />

• Msc. Adriano Delfino;<br />

• Ms. Marieli Musial Tumelero<br />

Digitação:<br />

• 1 a versão: Acadêmico Bruno Brito.<br />

• Versão atual: Acadêmica Larissa Hage<strong>do</strong>rn Vieira e Professora Marieli<br />

Musial Tumelero<br />

Referência Bibliográfica:<br />

ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1. Tradução: Claus I.<br />

Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.<br />

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e 2. 5 a ed. LTC Editora,<br />

Rio de Janeiro, RJ: 2002.<br />

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3 a ed. São<br />

Paulo: Harbra, 1994.<br />

LIMA, J. D. Apostila de Cálculo I. <strong>UTFPR</strong>, Pato Branco, 2008.<br />

STEWART, James. Cálculo. Vol. 2. 6 a ed. São Paulo: Pioneira Thomson<br />

Learning, 2009.<br />

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2 a ed.<br />

São Paulo: Makron Books <strong>do</strong> Brasil,1994.<br />

THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10 a ed. São Paulo: Person, 2002.<br />

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