Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
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<strong>Universidade</strong> <strong>Tecnológica</strong> <strong>Federal</strong> <strong>do</strong> <strong>Paraná</strong><br />
<strong>UTFPR</strong> — Campus Pato Branco<br />
Exercícios sobre Limites<br />
1. O gráfico a seguir representa uma função f de [−6,9] em R. Determine:<br />
(a) f(2)<br />
(b) lim<br />
x→2 −f(x)<br />
(c) lim<br />
x→2 +f(x)<br />
(d) lim<br />
x→2<br />
f(x)<br />
(e) f(−2)<br />
(f) f(7)<br />
2. Um gás (vapor d’água) é manti<strong>do</strong> à temperatura constante. A medida que o gás é<br />
comprimi<strong>do</strong>, o volume V decresce até que atinja um certa pressão (P) crítica. Além<br />
dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observan<strong>do</strong> a figura a seguir, determine:<br />
(a) lim<br />
p→100 −V<br />
(b) lim<br />
p→100 +V<br />
(c) lim<br />
p→100 V<br />
3. Dada a função f definida por:<br />
⎧<br />
⎨ 4−x 2 se x < 1<br />
f(x) = 2 se x = 1<br />
⎩<br />
2+x 2 se x > 1<br />
Esboce o gráfico de f e calcule o limite quan<strong>do</strong> x tende a 1.<br />
4. O gráfico a seguir representa uma função f de [−3,4[ em R. Determine:<br />
(a) f(1)<br />
(b) lim<br />
x→1 −f(x)<br />
(c) lim<br />
x→1 +f(x)<br />
1
5. Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada<br />
item abaixo. Caso não exista, justifique.<br />
6. Calcule o limite, se existir:<br />
(a) lim<br />
x→0<br />
f(x)<br />
(b) lim<br />
x→0 −f(x)<br />
(c) lim<br />
x→0 +f(x)<br />
(d) lim<br />
x→4<br />
f(x)<br />
(e) lim<br />
x→4 −f(x)<br />
(f) lim<br />
x→4 +f(x)<br />
(g) f(4)<br />
(h) f(0)<br />
(i) f(−5)<br />
(a) lim<br />
x→1<br />
(x 3 +x 2 +5x+1)<br />
(b) lim<br />
x→−1 (x3 −2x 2 −4x+3)<br />
(c) lim<br />
x→− √ (4x 3 −2x 2 −2x−1)<br />
2<br />
x 2 +5x−4<br />
(d) lim<br />
x→3 x 2 −5<br />
x 2 −7x+10<br />
(e) lim<br />
x→2<br />
(r) lim<br />
x→−3<br />
x−2<br />
x 2 +2x−3<br />
x+3<br />
(g) lim<br />
x→0<br />
3x 4 +x 3 −5x 2 +2x<br />
x 2 −x<br />
(h) lim<br />
x→1<br />
x 3 −4x+3<br />
x 5 −2x+1<br />
x 2 −36<br />
(i) lim<br />
x→6 x−6<br />
(j) lim<br />
x→−1<br />
(k) lim<br />
x→−2<br />
x 2 −1<br />
x 2 +3x+2<br />
x 5 −32<br />
x+2<br />
x 4 −8x 3 +18x 2 −27<br />
(l) lim<br />
x→3 x 4 −10x 3 +36x 2 −54x+27<br />
(m) lim<br />
x→2<br />
x−2<br />
√<br />
2x−4<br />
(n) lim<br />
x→4<br />
x−4<br />
√ x−2<br />
x<br />
(o) lim<br />
x→0 2− √ 4−x<br />
x<br />
(p) lim √ √<br />
x→0 2− 2−x<br />
2− √ 3+x<br />
(q) lim<br />
x→1 x−1<br />
x<br />
(r) lim √<br />
x→0 x+1−1<br />
(s) lim<br />
x→4<br />
√ 1+2x−3<br />
√ x−2<br />
(t) lim<br />
x→2<br />
√<br />
2x2 −3x+2−2<br />
√<br />
3x2 −5x−1−1<br />
7. Calcule os limites no infinito, se existir:<br />
x 2 +x−3<br />
(a) lim<br />
x→+∞ 3x 2 −4<br />
3x−2<br />
(b) lim<br />
x→−∞ 5x 2 +3<br />
√<br />
x−3<br />
(c) lim<br />
x→+∞ 2x 2 +6<br />
√<br />
4x+3<br />
(d) lim<br />
x→+∞ 2+x<br />
2
(e) lim<br />
x→+∞<br />
(f) lim<br />
x→+∞<br />
(g) lim<br />
x→+∞<br />
√<br />
x2 +1−x<br />
√<br />
x2 +x−x<br />
1<br />
√ x<br />
(h) lim<br />
x→+∞ 2+ 1 √ x<br />
(i) lim<br />
x→+∞ x+√ x 2 +4<br />
8. Calcule<br />
(a) lim<br />
x→+∞ (5x3 −3x 2 −2x−1)<br />
(b) lim<br />
x→−∞ (2x5 −x 4 +2x 2 −1)<br />
(c) lim<br />
x→−∞ (−3x4 +2x 2 −1)<br />
(d) lim<br />
x→+∞ (3x4 +5x 2 +8)<br />
(e) lim<br />
x→−∞ (−5x3 +3x−2)<br />
(f) lim<br />
x→+∞ (−x2 +3x−2)<br />
2x 3 −3x 2 +x−1<br />
(g) lim<br />
x→+∞ x 2 +x−3<br />
(h) lim<br />
x→−∞<br />
(i) lim<br />
x→−∞<br />
(j) lim<br />
x→−∞<br />
2x 2 +1<br />
x 2 −1<br />
3x<br />
x 2 −3<br />
3x 3 −5x 2 +2x+1<br />
9x 3 −5x 2 +x−3<br />
2x 3 +5x 2 −8<br />
(k) lim<br />
x→−∞ 4x 5 −8x+7<br />
5x 3 −2x 2 +1<br />
(l) lim<br />
x→−∞ x+7<br />
x 2 +x+1<br />
(m) lim<br />
x→−∞ (x+1) 3 −x 3<br />
(n) lim<br />
x→−∞<br />
(o) lim<br />
x→+∞<br />
(p) lim<br />
x→−∞<br />
(3x+2) 3<br />
2x(3x+1)(4x−1)<br />
√<br />
x2 +x+1<br />
x+1<br />
√<br />
x2 +x+1<br />
x+1<br />
2x 2 −3x−5<br />
(q) lim √<br />
x→+∞ x4 +1<br />
2x 2 −3x−5<br />
(r) lim √<br />
x→−∞ x4 +1<br />
9. Calcule os limites laterais, se existir:<br />
(a) lim<br />
h→0 + √<br />
h2 +4h+5− √ 5<br />
h<br />
(b) lim<br />
x→−2 +(x+3)|x+2| x+2<br />
(c) lim<br />
x→−2 −(x+3)|x+2| x+2<br />
{<br />
3−x se x < −2<br />
10. Seja f(x) = x<br />
se x > −2<br />
2<br />
(a) Determine lim<br />
x→−2 +f(x)<br />
e lim<br />
x→−2 −f(x)<br />
(b) Existe lim f(x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?<br />
x→−2<br />
(c) Determine lim<br />
x→−4 +f(x)<br />
e lim<br />
x→−4 −f(x).<br />
(d) Existe lim f(x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?<br />
x→−4<br />
11. Calcule os seguintes limites laterais:<br />
(a) lim<br />
x→2 − x+2<br />
x 2 −4<br />
(b) lim<br />
x→2 +<br />
(c) lim<br />
x→4 −<br />
x<br />
x−2<br />
x<br />
x−4<br />
3
(d) lim<br />
x→2 + x+2<br />
x 2 −4<br />
⎧<br />
⎨<br />
12. Seja f(x) =<br />
⎩<br />
√<br />
1−x<br />
2<br />
se 0 ≤ x ≤ 1<br />
1 se 1 < x < 2<br />
2 se x = 2<br />
x+6<br />
(e) lim<br />
x→6 + x 2 −36<br />
(f) lim<br />
x→3 +<br />
x<br />
x 2 −9<br />
(a) Quais são o <strong>do</strong>mínio e a imagem de f?<br />
(b) Em que pontos c existe lim<br />
x→c<br />
f(x)?<br />
(c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda?<br />
(d) Em quais pontos existe apenas o limite â direita?<br />
13. Ache os limites lim<br />
x→a−f(x), lim<br />
x→a +f(x)<br />
e limf(x), caso existam.<br />
x→a<br />
(a) f(x) = |x−4|<br />
x−4 ; a = 4<br />
(b) f(x) = |x+5|<br />
x+5 ; a = −5<br />
(c) f(x) = 1<br />
x+8 ; a = −8<br />
14. Se 4x−9 ≤ f(x) ≤ x 2 −4x+7 para x ≥ 0, encontre lim<br />
x→4<br />
f(x).<br />
15. Se 2x ≤ g(x) ≤ x 4 −x 2 +2 para to<strong>do</strong> x, encontre lim<br />
x→1<br />
g(x)<br />
16. Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo:<br />
(a) y = 1<br />
x−1<br />
(b) y = 2x2 +x−1<br />
x 2 −1<br />
17. Calcule o limite:<br />
(c) y = x+4<br />
x+3<br />
(d) y = x<br />
x 2 −1<br />
(a) lim<br />
x→+∞ 2x<br />
1<br />
(b) lim<br />
x→−∞(<br />
3<br />
(c) lim<br />
x→0<br />
( 1<br />
3<br />
) x<br />
(d) lim2 4X−1<br />
x→1<br />
(e) lim 2 sinx<br />
x→<br />
π<br />
6<br />
) x<br />
(f) lim3 4x5 −2x 3 +2x<br />
2x 3 −x+1<br />
x→1<br />
(g) lim<br />
x→+∞ log 3x<br />
(h) lim<br />
x→0 +log 3x<br />
(i) lim<br />
x→+∞ lnx<br />
(j) lim<br />
x→0 +ln2x<br />
(k) lim<br />
x→+∞ log1 x<br />
2<br />
(l) lim x<br />
x→0 +log1 2<br />
18. Mostre que:<br />
(a) lim<br />
x→0<br />
(1+3x) 4 x = e<br />
12<br />
(b) lim<br />
x→0<br />
(1+2x) 1 x = e<br />
2<br />
(c) lim<br />
(1+ x )1<br />
x<br />
x→0 3<br />
= e 1 3 =<br />
3 √ e<br />
4
(d) lim<br />
x→0<br />
(1+ 4x 7<br />
)1<br />
x<br />
= e<br />
4<br />
7<br />
(e) lim<br />
x→0<br />
(1−x) 1 x = e −1 = 1 e<br />
(f) lim<br />
(1+ x )1<br />
x<br />
x→0 π<br />
= e 1 π<br />
19. Calcule os seguintes limites:<br />
(<br />
(a) lim 1+ 1 ) n+2<br />
n→+∞ n<br />
(<br />
(b) lim 1+ 3 ) n<br />
n→+∞ n<br />
( ) x x<br />
(c) lim<br />
x→+∞ 1+x<br />
(d) lim<br />
x→+∞<br />
(<br />
1+ 5 x<br />
) x+1<br />
(e) lim (1+sinx) 1<br />
sinx<br />
x→+∞<br />
(f) lim<br />
x→−∞ ex<br />
(<br />
(g) lim 1+ 2 ) 2<br />
x→+∞ x<br />
(h) lim<br />
x→+∞<br />
(i) lim<br />
x→−∞<br />
(<br />
1− 1 ) 3<br />
x<br />
( )<br />
3+e −1 x<br />
(j) lim<br />
x→+∞ ln(x2 +1)<br />
(k) lim<br />
x→−∞ ln(x2 −1)<br />
(l) lim<br />
x→+∞ x−√ x 2 −1<br />
20. Calcule os limites abaixo:<br />
ln(2+x)<br />
(a) lim<br />
x→−1 x+1<br />
ln(3+x)<br />
(b) lim<br />
x→−2 x+2<br />
(c) lim<br />
x→0<br />
2 x −1<br />
x<br />
(d) lim<br />
x→0<br />
e sinx −1<br />
sinx<br />
(e) lim<br />
x→0<br />
ln(1+x) 2<br />
x<br />
(Fazer x+1 = u)<br />
(Fazer x+2 = u)<br />
lnx 3<br />
(f) lim<br />
x→1 x−1<br />
(g) lim(1+sinx) cossec x (Fazer sinx = u)<br />
x→0<br />
( ) 1<br />
1+x x−4<br />
(h) lim<br />
x→4 5<br />
10 x −1<br />
(i) lim<br />
x→0<br />
(j) lim<br />
x→+∞<br />
5 x −1<br />
(<br />
1+ 2 x<br />
(dividir por x o num. e den.)<br />
) x<br />
21. Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:<br />
(a) lim<br />
x→+∞ cos 1 x<br />
θ<br />
(b) lim<br />
θ→0 cosθ<br />
sinx<br />
(c) lim<br />
x→0 5x<br />
⎛<br />
(d) lim<br />
x→<br />
π<br />
2<br />
⎝ cosx<br />
x− π 2<br />
⎞<br />
⎠<br />
(e) lim<br />
x→π<br />
sinx−sinπ<br />
x−π<br />
(f) lim<br />
x→0<br />
sinx(1−cosx)<br />
2x 2<br />
(g) lim<br />
t→0<br />
sin(3t)<br />
2t<br />
(h) lim<br />
x→0<br />
sin(2x)<br />
sin(3x)<br />
(i) lim<br />
x→0<br />
sin 2 (x)<br />
x<br />
(j) lim<br />
x→0<br />
tan 2 (x)<br />
x<br />
(k) lim<br />
t→π + sin(t)<br />
t−π<br />
5
22. Responda:<br />
(a) Do gráfico de f mostra<strong>do</strong> abaixo, diga<br />
os números nos quais f é descontínua e<br />
explique por quê.<br />
(b) Para cada um <strong>do</strong>s números indica<strong>do</strong>s<br />
na parte (a), determine se f é contínua<br />
à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.<br />
23. Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em x = 3 e é<br />
contínua à esquerda em x = 3.<br />
24. Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em x = 2 e uma<br />
descontinuidade removível em x = 4, mas seja contínua no restante.<br />
25. Se f e g forem contínuas, com f(3) = 5 e lim<br />
x→3<br />
[2f(x)−g(x)] = 4, encontre g(3).<br />
26. use a definição de continuidade e propriedades <strong>do</strong>s limites para demonstrar que cada uma<br />
das funções abaixo é contínua em um da<strong>do</strong> número a.<br />
(a) f(x) = x 2 + √ 7−x, a = 4<br />
(b) f(x) = (x+2x 3 ) 4 , a = −1<br />
(c) f(x) = 2x−3x2<br />
1+x 3 , a = 1<br />
27. Explique por que a função é descontínua no número a da<strong>do</strong>. Esboce o gráfico da função.<br />
(a) f(x) = ln|x−2|; a = 2<br />
{ 1<br />
(b) f(x) = x−1 se x ≠ 1 ; a = 1<br />
2 se x = 1<br />
{ e<br />
x<br />
se x < 0<br />
(c) f(x) =<br />
x 2 se x ≥ 0 ; a = 0<br />
⎧<br />
⎨ x 2 −x<br />
(d) f(x) =<br />
⎩<br />
x 2 −1 se x ≠ 1 ; a = 1<br />
1 se x = 1<br />
⎧<br />
⎨<br />
(e) f(x) =<br />
⎩<br />
cosx se x < 0<br />
0 se x = 0<br />
1−x 2 se x > 0<br />
; a = 0<br />
28. Para quais valores da constante c a função f é contínua em (−∞,∞)?<br />
{ cx<br />
f(x) =<br />
2 +2x se x < 2<br />
x 3 −cx se x ≥ 2<br />
29. Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.<br />
⎧<br />
x ⎪⎨<br />
2 −4<br />
se x < 2<br />
f(x) =<br />
x−2<br />
ax<br />
⎪⎩<br />
2 −bx+3 se 2 < x < 3<br />
2x−a+b se x ≥ 3<br />
6
30. Nos itens a seguir são da<strong>do</strong>s f(x), a e L, bem como lim<br />
x→a<br />
f(x) = L.<br />
I) Determine δ > 0 para ε > 0 da<strong>do</strong>, de mo<strong>do</strong> que satisfaça a definição de limite;<br />
II) Prove tal limite.<br />
(a) lim(2x+4) = 10, ε = 0,01<br />
x→3<br />
(b) lim(x+2) = 5, ε = 0,02<br />
x→3<br />
(c) lim (3x−1) = −7, ε = 0,1<br />
x→−2<br />
(d) lim<br />
x→1<br />
(5x−3) = 2, ε = 0,05<br />
(e) lim<br />
x→2<br />
(4x−5) = 3, ε = 0,001<br />
(f) lim<br />
x→−1 (3−4x) = 7, ε = 0,02 7
Respostas - Limites<br />
1. (a) 3 (b) 2 (c) 5 (d) ̸ ∃ (e) 0 (f) 0<br />
2. (a) 0,8 (b) 0,4 (c) Nãoexiste<br />
3.<br />
lim f(x) = 3<br />
x→1<br />
4. (a) 4 (b) -2 (c) 4<br />
5. (a) +∞<br />
(b) −∞<br />
(c) Não existe.<br />
(d) −∞<br />
(e) −∞<br />
(f) Não existe.<br />
(g) Não existe.<br />
(h) Não existe.<br />
(i) Não existe.<br />
(j) Não existe.<br />
6.<br />
(a) 8<br />
(b) 4<br />
(c) −5−6 √ 2<br />
(d) 5<br />
(e) −3<br />
(f) −6<br />
(g) −2<br />
(h) − 1 3<br />
(i) 12<br />
(j) −2<br />
(k) 80<br />
(l) 2<br />
(m) 0<br />
(n) 4<br />
(o) 4<br />
(p) 2 √ 2<br />
(q) − 1 4<br />
(r) 2<br />
(s) 4 3<br />
(t) 5<br />
14<br />
7. (a) 1 3<br />
(b) 0<br />
(c) 0<br />
(d) 2<br />
(e) 0<br />
(f) 1<br />
(g) 0<br />
(h) 2<br />
(i) +∞<br />
8. (a) +∞<br />
(f) −∞<br />
(k) 0<br />
(b) −∞ (g) +∞ (l) +∞<br />
(c) −∞ (h) 2<br />
(m) 1<br />
(d) +∞<br />
(i) 0 3<br />
(e) +∞ (j) 1 (n) 9 3 8<br />
2<br />
9. (a) √<br />
(b) 1 (c) −1<br />
5<br />
(o) 1<br />
(p) 1<br />
(q) 2<br />
(r) 2<br />
10. (a) lim<br />
x→2<br />
+<br />
f(x) = 2 e lim<br />
x→2 −f(x) = 1 8
(b) Não existe limf(x), pois os limites laterais são diferentes.<br />
x→2<br />
(c) lim<br />
x→−4 +f(x)<br />
= 7 e lim<br />
x→−4 −f(x) = 7<br />
(d) lim f(x) = 7, pois os limites laterais são iguais.<br />
x→−4<br />
11. (a) −∞<br />
(b) ∞<br />
(c) −∞<br />
(d) ∞<br />
(e) ∞<br />
(f) ∞<br />
12. (a) D(f) = [0;2] e Im(f) = [0;1]∪{2}<br />
(b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2<br />
(c) c = 2<br />
(d) c = 0<br />
13. (a) lim<br />
x→4<br />
+<br />
14. 7<br />
15. 2<br />
(b) lim<br />
x→5<br />
+<br />
(c) lim<br />
x→8<br />
+<br />
f(x) = 1, lim<br />
x→4−f(x) = −1 e ∄lim f(x)<br />
x→4<br />
f(x) = 1, lim<br />
x→5−f(x) = −1 e ∄lim f(x)<br />
x→5<br />
f(x) = ∞, lim<br />
x→8−f(x) = −∞ e ∄lim f(x)<br />
x→8<br />
16. (a) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1<br />
(b) Horizontal: y = 2, vertical: x = 1<br />
9
(c) Horizontal: y = 1, vertical: x = −3<br />
(d) Horizontal: y = 0,vertical: x = 1ex = −1<br />
17. (a) +∞<br />
(b) +∞<br />
(c) 1<br />
(d) 8<br />
(e) √ 2<br />
(f) 6<br />
(g) +∞<br />
(h) −∞<br />
(i) +∞<br />
(j) −∞<br />
(k) −∞<br />
(l) +∞<br />
18.<br />
19. (a) e<br />
(c) e −1<br />
(e) e<br />
(g) 1<br />
(i) 4<br />
(k) +∞<br />
(b) e 3<br />
(d) e 5<br />
(f) 0<br />
(h) 1<br />
(j) +∞<br />
(l) 0<br />
20. (a) 1<br />
(b) 1<br />
(c)<br />
1<br />
log 2 e<br />
(d) 1<br />
(e) 2<br />
(f) 3<br />
(g) e<br />
√<br />
(h) 5 e<br />
1<br />
(i)<br />
log5<br />
(j) e 2<br />
21. (a) 1<br />
(b) 0<br />
(c) 1 5<br />
(d) 1<br />
(e) −1<br />
(f) 0<br />
(g) 3 2<br />
(h) 2 3<br />
(i) 0<br />
(j) 0<br />
(k) −1<br />
22.<br />
23. Infinitas soluções.<br />
24. Infinitas soluções.<br />
25. g(3) = 6<br />
26.<br />
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27. (a) f(2) não está defini<strong>do</strong>.<br />
(b)<br />
(c) lim<br />
x→0<br />
f(x) não existe.<br />
(d)<br />
(e) lim<br />
x→0<br />
f(x) ≠ f(0)<br />
28. c = 2 3<br />
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29. a = b = 1 2<br />
Coletânea de exercícios elaborada pelos professores:<br />
• Dra. Dayse Batistus;<br />
• Msc. Ana Munaretto;<br />
• Msc. Cristiane Pendeza;<br />
• Msc. Adriano Delfino;<br />
• Ms. Marieli Musial Tumelero<br />
Digitação:<br />
• 1 a versão: Acadêmico Bruno Brito.<br />
• Versão atual: Acadêmica Larissa Hage<strong>do</strong>rn Vieira e Professora Marieli<br />
Musial Tumelero<br />
Referência Bibliográfica:<br />
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1. Tradução: Claus I.<br />
Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.<br />
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e 2. 5 a ed. LTC Editora,<br />
Rio de Janeiro, RJ: 2002.<br />
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3 a ed. São<br />
Paulo: Harbra, 1994.<br />
LIMA, J. D. Apostila de Cálculo I. <strong>UTFPR</strong>, Pato Branco, 2008.<br />
STEWART, James. Cálculo. Vol. 2. 6 a ed. São Paulo: Pioneira Thomson<br />
Learning, 2009.<br />
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2 a ed.<br />
São Paulo: Makron Books <strong>do</strong> Brasil,1994.<br />
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10 a ed. São Paulo: Person, 2002.<br />
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