Vetores no plano e no espaço - UTFPR
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1. Mostrar que os pontos (2, −2), (−8, 4) e (5, 3) são os vértices de um triângulo<br />
retângulo e calcular sua área.<br />
2. Em um paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos têm extremidades<br />
<strong>no</strong>s pontos (−3, 5) e (1, 7). Se o ponto de encontro das diagonais é o<br />
ponto (2, 2), determine as coordenadas dos outros vértices.<br />
3. Na gura abaixo tem-se um hexágo<strong>no</strong> regular inscrito numa circunferência<br />
de centro O e raio 4. O lado AB do hexágo<strong>no</strong> é paralelo ao eixo das<br />
abscissas.<br />
Nessas condições, assinale as armativas corretas:<br />
O ponto de ordenada máxima da circunferência é (0, 4).<br />
O ponto de abscissa mínima do hexágo<strong>no</strong> é (−4, 0).<br />
A distância entre os pontos C e D é 4 √ 3 unidades de comprimento.<br />
O baricentro do triângulo ABD é o ponto (0, 2√ 3<br />
). 3<br />
A área do triângulo OAB é 4 √ 3 unidades de área.<br />
A área do trapézio ABEF é 12 √ 3 unidades de área.<br />
4. Na gura seguinte temos um quadrado ABCD com centro <strong>no</strong> ponto Q =<br />
(2, 2).<br />
Nessas condições, assinale a única alternativa correta:<br />
1
(a) A diagonal AC do quadrado mede 6 unidades de comprimento.<br />
(b) A área do triângulo AOB mede 12 unidades de área.<br />
(c) O perímetro do quadrado mede 6 √ 2 unidades de comprimento.<br />
(d) Os pontos A, B e M = (0, 7) estão alinhados.<br />
(e) O baricentro do triângulo AOB coincide com o centro Q do quadrado.<br />
5. Seja ABCD a base de uma pirâmide cujo vértice é o ponto P = (2, 2, 8).<br />
Calcule o volume da pirâmide sabendo que A = (2, 1, 2), B = (3, 2, 2), C =<br />
(2, 3, 2) e D = (1, 2, 2).<br />
6. Dados representantes dos vetores −→ u e −→ v conforme a gura, ache um<br />
representante de −→ x tal que −→ u + −→ v + −→ x = −→ 0 .<br />
7. Ache a soma dos vetores indicados na gura, <strong>no</strong>s casos:<br />
Figure 1: Cubo<br />
Figure 2: Hexágo<strong>no</strong> regular<br />
Figure 3: Hexágo<strong>no</strong> regular<br />
8. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que −−→ AX = m −−→ XB, exprima −−→ CX em<br />
função de −→ CA e −→ CB (e m).<br />
9. Represente gracamente o vetor −→ u = 3 −→ i + 4 −→ j + 2 −→ k .<br />
2
10. Verique se os vetores ⃗u = (1, −1, 2), ⃗v = (0, 1, 3) e ⃗w = (4, −3, 11) são<br />
coplanares.<br />
11. Os vetores ⃗u = (1, 1, 1), ⃗v = (0, 0, 1) e ⃗w = (0, 1, 1) formam uma base? Se<br />
formam, escreva o vetor ⃗t = (−1, 4, 9) como combinação linear de ⃗u, ⃗v e<br />
⃗w. Senão, escreva ⃗u como combinação linear de ⃗v e ⃗w.<br />
12. Verique se os pontos A = (4, 5, 1), B = (−4, 4, 4), C = (0, −1, −1) e<br />
D = (3, 9, 4) são coplanares.<br />
13. Determine m, sabendo-se ortogonais os vetores ⃗u = 3⃗i + m⃗j + ⃗ k e ⃗v =<br />
⃗i − √ 2⃗j − ⃗ k.<br />
14. Encontre o vetor ⃗u = (x, y, z) sabendo que:<br />
1) ⃗u é paralelo a ⃗v = (−1, 1, 2);<br />
2) ⃗u · ⃗w = 15, onde ⃗w = (2, 1, 3).<br />
15. Calcular o valor de m para que o vetor ⃗u+⃗v seja ortogonal ao vetor ⃗w −⃗u,<br />
onde ⃗u = (2, 1, m), ⃗v = (m + 2, −5, 2) e ⃗w = (2m, 8, m).<br />
16. Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (−1, 0, −1) são vértices de um<br />
triângulo retângulo, com ângulo reto em B. Calcule z.<br />
17. Sendo ⃗v = (1, −1, 1), ache o vetor ⃗u = (x, y, z) que satisfaça as três<br />
condições seguintes:<br />
1) ⃗u seja ortogonal ao eixo x;<br />
2) ⃗u · ⃗v = 0;<br />
3) ‖⃗v × ⃗u‖ = 3 √ 6.<br />
18. Determine o vetor unitário ⃗n, ortogonal aos vetores ⃗u = (2, 3, −1) e ⃗v =<br />
(1, 1, 2).<br />
19. Sendo ‖⃗u‖ = 5, ‖⃗v‖ = 6 e θ ⃗u⃗v = 30 o , calcule:<br />
(a) a área do triângulo construído sobre ⃗u e ⃗v;<br />
(b) a área do paralelogramo construído sobre ⃗u + 2⃗v e 3⃗u − ⃗v.<br />
20. Dados os vetores ⃗u = 2⃗i + ⃗j − ⃗ k, ⃗v =⃗i − 2⃗j + 2 ⃗ k e ⃗w = −⃗i + 3 ⃗ k, calcule:<br />
(a) a área do paralelogramo construído sobre ⃗u e ⃗v;<br />
(b) o volume do paralelepípedo construído sobre ⃗u, ⃗v e ⃗w;<br />
(c) a altura do paralelepípedo;<br />
(d) o volume do tetraedro construído sobre ⃗u, ⃗v e ⃗w.<br />
21. Sejam ⃗u = (0, 1, 2), ⃗v = (1, 1, 0) e ⃗w = (2, 0, 0), calcule:<br />
(a) ⃗u · ⃗v;<br />
(b) ‖⃗u × ⃗v‖;<br />
(c) ⃗u × ⃗v · ⃗w;<br />
(d) (⃗u × ⃗v) × ⃗w;<br />
(e) ⃗u × (⃗v × ⃗w);<br />
(f) (⃗u · ⃗w)⃗v − (⃗v · ⃗w)⃗u.<br />
22. Sendo ⃗u = (1, 1, 2) e ⃗v = (2, 3, 3), encontre o vetor projeção ortogonal de<br />
⃗v sobre ⃗u.<br />
3
23. Considere o triângulo de vértices A = (5, 3, 3), B = (8, 10, 2) e C =<br />
(1, 3, 2). Encontre a área do triângulo ABC.<br />
24. Encontre a projeção do vetor ⃗u = 4⃗i + ⃗j − 2 ⃗ k sobre os eixos x, y e z.<br />
25. Seja ⃗u = 4⃗i + 5⃗j − 3 ⃗ k. Encontre os co-se<strong>no</strong>s diretores do vetor ⃗u.<br />
26. Seja o vetor ⃗v, com ‖⃗v‖ = 4 e seus ângulos diretores α = 45 o , β = 60 o e<br />
γ = 120 o . Calcule as projeções do vetor ⃗v sobre os eixos cartesia<strong>no</strong>s.<br />
Respostas<br />
1. Área = 34 u.a. Obs: Não esqueça de mostrar que o triângulo é retângulo.<br />
2. (7, −1) e (3, −3)<br />
3. Todas são verdadeiras.<br />
4. (e)<br />
5. Volume = 4 u.a.<br />
6. Faça gracamente −→ u + −→ v e o vetor representante de −→ x deve ser oposto<br />
a este, isto é, −→ x = −( −→ u + −→ v )<br />
−→ −→ −→<br />
7. Figura 1: BG + BG ou 2BG<br />
8. −−→ CX =<br />
m −→<br />
CB + 1 −→<br />
CA<br />
1+m<br />
1+m<br />
Figura 2:<br />
−→ BF<br />
Figura 3:<br />
−→ AD<br />
9.<br />
10. Os vetores ⃗u, ⃗v e ⃗w são coplanares.<br />
11. Os vetores ⃗u, ⃗v e ⃗w formam uma base e ⃗t = −1⃗u + 5⃗v + 5 ⃗w.<br />
12. Os pontos A, B, C e D são coplanares.<br />
13. m = √ 2.<br />
14. ⃗u = (−3, 3, 6).<br />
15. m = 3 ou m = −6.<br />
16. z = −1 ou z = 2.<br />
17. ⃗u = (0, 3, 3) ou ⃗u = (0, −3, −3).<br />
18. ⃗n = ( 7<br />
5 √ 3 , −1 √<br />
3<br />
, −1<br />
5 √ 3 ).<br />
4
19. (a) S ∆ = 15<br />
2 u.a. (b) S ⋄ = 105 u.a.<br />
20. (a) S ⋄ = 5 √ 2 u.a.<br />
(b) V p = 10 u.v.<br />
(c) h p = √ 2<br />
(d) V t = 5 3 u.v.<br />
21. (a) 1<br />
(b) 3<br />
(c) −4<br />
(d) −2⃗j − 4 ⃗ k<br />
(e) −2⃗i<br />
(f) −2⃗i − 4 ⃗ k.<br />
22. proj ⃗u ⃗v = ( 11<br />
6 , 11<br />
6 , 11<br />
3 ). 23. S ∆ = 21√ 2<br />
2<br />
.<br />
24. proj ⃗ i ⃗u = 4 ⃗i, proj ⃗ j ⃗u = ⃗j e proj ⃗k ⃗u = −2 ⃗ k.<br />
25. cos α = 4<br />
5 √ 2 , cos β = 1 √<br />
2<br />
e cos γ = −3<br />
5 √ 2 .<br />
26. 2 √ 2⃗i, 2⃗j e −2 ⃗ k.<br />
5