Gabarito da Lista de ExercÃcios de Inferência EstatÃstica
Gabarito da Lista de ExercÃcios de Inferência EstatÃstica
Gabarito da Lista de ExercÃcios de Inferência EstatÃstica
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
INE 7002 – GABARITO DA LISTA DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA<br />
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 1<br />
1) A variável sob análise (tempo <strong>de</strong> atendimento) é QUANTITATIVA. Portanto serão feitas<br />
inferências sobre a MÉDIA.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional do tempo <strong>de</strong> atendimento.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 .<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 195 segundos s = 15 segundos n = 40<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra<br />
retira<strong>da</strong> apresenta 40 elementos (portanto mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong><br />
distribuição normal.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,9615<br />
e0 4,65 segundos<br />
n 40<br />
LI<br />
x e0<br />
x e<br />
LS<br />
0<br />
195<br />
4,65 190,35segundos<br />
195<br />
4,65 199,65segundos<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong><br />
atendimento é [190,35;199,65] segundos. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a<br />
média populacional do tempo <strong>de</strong> atendimento esteja entre 190,35 e 199,65 segundos.<br />
b) Como a variância populacional é DESCONHECIDA, e o tamanho <strong>da</strong> amostra é maior do que 30<br />
elementos, po<strong>de</strong> ser usa<strong>da</strong> a variável <strong>de</strong> teste Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão. Assim será<br />
emprega<strong>da</strong> a seguinte expressão para calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a estimação por<br />
intervalo <strong>da</strong> média populacional.<br />
Zcritico<br />
s<br />
<br />
n <br />
<br />
e<br />
<br />
0 <br />
O nível <strong>de</strong> significância é o mesmo do item a. Sendo assim, o valor crítico continuará sendo o<br />
mesmo: Z crítico = 1,96. O <strong>de</strong>svio padrão amostral vale 15 segundos, e o valor <strong>de</strong> e 0 , a precisão, foi<br />
fixado em 1 minuto, ou seja 60 segundos. Basta então substituir os valores na expressão:<br />
2<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,9615<br />
<br />
n 0,24 1<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 60 <br />
2<br />
2<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 2<br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 60 segundos <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 1 elemento. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 40 elementos ela é<br />
plenamente SUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra a afirmação do dono<br />
<strong>da</strong> agência é ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira ou ele <strong>de</strong>ve contratar mais um aten<strong>de</strong>nte? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong><br />
hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se o tempo médio <strong>de</strong> atendimento <strong>de</strong> 3 minutos (180<br />
segundos) ain<strong>da</strong> é válido: não haverá problema algum se o tempo for igual ou menor do que 180<br />
segundos, mas se for maior, o dono <strong>da</strong> agência precisaria contratar um novo aten<strong>de</strong>nte. Então<br />
faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Direita:<br />
H 0 : = 180 on<strong>de</strong> 0 = 180 segundos (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 180<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar 1%. Então = 0,01 e 1 - = 0,99<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é DESCONHECIDA (o valor fornecido é<br />
o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra retira<strong>da</strong> apresenta 40 elementos (portanto<br />
mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Direita o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,01. Repare que o Zcrítico aqui é<br />
maior do que zero:<br />
P(Z > Zcrítico) = 0,01.<br />
Então Zcrítico 2,33<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 180, a média amostral x vale 195, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 40 e o <strong>de</strong>svio padrão amostral s é 15. Substituindo na equação acima:<br />
x 0 195 180<br />
Z 6,32<br />
s / n 15/ 40<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Direita:<br />
Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = 6,32 > Zcrítico = 2,33<br />
REJEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 3<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> atendimento é maior do que 180<br />
segundos. A afirmação do dono <strong>da</strong> agência não é ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira, um novo aten<strong>de</strong>nte <strong>de</strong>veria<br />
ser contratado.<br />
2) A variável sob análise (tempo <strong>de</strong> montagem) é QUANTITATIVA. Portanto serão feitas<br />
inferências sobre a MÉDIA.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional do tempo <strong>de</strong> montagem do novo<br />
processo.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025.<br />
3) Estatísticas: média amostral = 3,005 segundos s = 0,5083 segundos n = 20<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), e a amostra retira<strong>da</strong><br />
apresenta 20 elementos (portanto menos <strong>de</strong> 30) a distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 .<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 20 - 1 =<br />
19 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,025 e<br />
P(t > t n-1,crítico ) = 0,975 (os valores são<br />
iguais em módulo).<br />
E o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico será igual a 2,093<br />
(em módulo)<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
2,0930,5083<br />
e0 <br />
0,238 segundos<br />
n<br />
20<br />
<br />
x e 3,005 0,238 2,767 segundos<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
x e0<br />
3,005 0,238 3,243segundos<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong><br />
montagem pelo novo processo é [2,767;3,243] segundos. Interpretação: há 95% <strong>de</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional do tempo <strong>de</strong> montagem pelo novo<br />
processo esteja entre 2,767 e 3,243 segundos.<br />
b) Como a variância populacional é DESCONHECIDA, e o tamanho <strong>da</strong> amostra é menor do que<br />
30 elementos a distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 .<br />
Assim será usa<strong>da</strong> a seguinte expressão para calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a<br />
estimação por intervalo <strong>da</strong> média populacional.<br />
t<br />
n <br />
<br />
<br />
n1,critico<br />
e<br />
0<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
2
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 4<br />
O nível <strong>de</strong> significância é o mesmo do item a. Sendo assim, o valor crítico continuará sendo o<br />
mesmo: t n-1,crítico = 2,093. O <strong>de</strong>svio padrão amostral vale 0,5083 segundos, e o valor <strong>de</strong> e 0 , a<br />
precisão, foi fixado em 0,5 segundos. Basta então substituir os valores na expressão:<br />
2<br />
t<br />
n1,crítico<br />
s<br />
2,093<br />
0,5083<br />
n <br />
<br />
<br />
4,53 5<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 0,5 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 0,5 segundos <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 5 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 20 elementos ela é<br />
plenamente SUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra <strong>de</strong>ve-se mu<strong>da</strong>r para<br />
o novo processo? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se o<br />
tempo médio <strong>de</strong> montagem do novo processo é <strong>de</strong> 3,5 segundos: se o tempo for igual ou maior não<br />
há razão para mu<strong>da</strong>r, mas se for menor, a mu<strong>da</strong>nça será interessante pois haverá um ganho <strong>de</strong><br />
produtivi<strong>da</strong><strong>de</strong>. Então faremos um teste unilateral à esquer<strong>da</strong>.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
esquer<strong>da</strong>:<br />
H 0 : = 3,5 on<strong>de</strong> 0 = 3,5 segundos (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : < 3,5<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar 5%, então = 0,05 e 1 - = 0,95<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é DESCONHECIDA (o valor fornecido é<br />
a variância AMOSTRAL), e a amostra retira<strong>da</strong> apresenta apenas 20 elementos (portanto<br />
menos <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 <strong>da</strong> distribuição t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
O valor crítico será igual a –1,729.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: t<br />
n<br />
1<br />
<br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 3,5, a média amostral x vale 3,005, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 20 e o <strong>de</strong>svio padrão amostral s é 0,5083. Substituindo na equação acima:<br />
2<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 20 - 1 =<br />
19 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,95. Devese<br />
procurar a probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
complementar 0,05 e mu<strong>da</strong>r o sinal do<br />
valor encontrado, pois o t n-1crítico aqui é<br />
menor do que zero.
x <br />
0<br />
t<br />
n<br />
1<br />
<br />
s /<br />
n<br />
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 5<br />
3,005 3,5<br />
<br />
4,36<br />
0,5083/ 20<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Esquer<strong>da</strong>:<br />
Rejeitar H 0 se t n-1 < t n-1crítico Como t n-1 = -4,36 < t n-1crítico = -1,729<br />
REJEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> montagem dos conectores pelo<br />
novo processo é menor do que o atual processo. A empresa <strong>de</strong>ve mu<strong>da</strong>r para o novo<br />
processo pois terá ganhos <strong>de</strong> produtivi<strong>da</strong><strong>de</strong>.<br />
3) A variável sob análise (tempo <strong>de</strong> atraso) é QUANTITATIVA. Portanto serão feitas inferências<br />
sobre a MÉDIA.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional do tempo <strong>de</strong> atraso nas entregas<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 90%, então 1 - = 0,90 = 0,10 = 0,05.<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 3,3 dias s = 3,0105 dias n = 20<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), e a amostra retira<strong>da</strong><br />
apresenta 20 elementos (portanto menos <strong>de</strong> 30) a distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 .<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 20 - 1 =<br />
19 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,05 e<br />
P(t > t n-1,crítico ) = 0,95 (os valores são<br />
iguais em módulo).<br />
E o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico será igual a 1,729<br />
(em módulo)<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
1,7293,0105<br />
e0 <br />
1,164 dias<br />
n<br />
20<br />
x e 3,3 1,164<br />
2,136 dias<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
x e0<br />
3,3 1,164<br />
4,464 dias<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 90% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong> atraso é<br />
[2,136;4,464] dias.<br />
Interpretação: há 90% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional do tempo<br />
<strong>de</strong> atraso na entrega dos pedidos esteja entre 2,136 e 4,464 dias.<br />
b) Neste caso a variância populacional é conheci<strong>da</strong> (foi expressamente <strong>de</strong>clarado que o <strong>de</strong>svio<br />
padrão populacional, , vale 2 dias). In<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do tamanho <strong>da</strong> amostra é possível utilizar a<br />
variável Z, <strong>da</strong> distribuição normal padrão. Para obter o valor crítico basta obter o valor <strong>de</strong> Z tal
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 6<br />
que: P(Z > Z crítico ) = 0,05. Procurando na tabela <strong>da</strong> distribuição normal padrão encontra-se<br />
Z crítico = 1,645.<br />
Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo (cujo<br />
resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
Zcrítico<br />
1,6452<br />
e0 0,736 dias<br />
n 20<br />
LI<br />
x e0<br />
x e<br />
LS<br />
0<br />
3,3 0,736 2,564 dias<br />
3,3 0,736 4,036 dias<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 90% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong> atraso é<br />
[2,564;4,036] dias.<br />
Interpretação: há 90% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional do tempo <strong>de</strong><br />
atraso na entrega dos pedidos esteja entre 2,564 e 4,036 dias.<br />
c) Para a mesma situação do item a.<br />
Como a variância populacional é DESCONHECIDA, e o tamanho <strong>da</strong> amostra é menor do que 30<br />
elementos a distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 . Assim<br />
será usa<strong>da</strong> a seguinte expressão para calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a estimação por<br />
t<br />
n1,critico<br />
s<br />
<br />
intervalo <strong>da</strong> média populacional. n <br />
<br />
e<br />
<br />
0 <br />
O nível <strong>de</strong> significância é o mesmo do item a. Sendo assim, o valor crítico continuará sendo o<br />
mesmo: t n-1,crítico = 1,729. O <strong>de</strong>svio padrão amostral vale 3,0105 dias, e o valor <strong>de</strong> e 0 , a precisão,<br />
foi fixado em 0,5 dias. Basta então substituir os valores na expressão:<br />
2<br />
t<br />
n1,crítico<br />
s<br />
1,7293,0105<br />
<br />
n <br />
<br />
<br />
108,37<br />
109<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 0,5 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 90% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 0,5 dias <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 109 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 20 elementos ela é<br />
INSUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s, seria necessário obter mais 89 medi<strong>da</strong>s.<br />
d) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra <strong>de</strong>ve-se confiar na<br />
<strong>de</strong>claração <strong>da</strong> empresa sobre o tempo <strong>de</strong> atraso? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A<br />
amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se o tempo médio <strong>de</strong> atraso na entrega dos pedidos é maior do<br />
que 1 dia: se o tempo for igual ou menor não há razão para o cliente reclamar, mas se for maior, a<br />
reclamação tem fun<strong>da</strong>mento. Então faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila <strong>de</strong> Roteiros e Tabelas:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à direita:<br />
H 0 : = 1 on<strong>de</strong> 0 = 1 dia (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 1<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar uma confiança <strong>de</strong> 99%, então 1 - = 0,99 e =<br />
0,01<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é DESCONHECIDA (o valor fornecido é<br />
a variância AMOSTRAL), e a amostra retira<strong>da</strong> apresenta apenas 20 elementos (portanto<br />
menos <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 <strong>da</strong> distribuição t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt.<br />
2<br />
2
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 7<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 20 - 1 =<br />
19 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,01. Então<br />
t n-1crítico será igual a 2,539.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: t<br />
n<br />
1<br />
<br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 1, a média amostral x vale 3,3, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 20 e o <strong>de</strong>svio padrão amostral s é 3,0105. Substituindo na equação acima:<br />
x 0<br />
3,3 1<br />
t<br />
n<br />
1<br />
<br />
3,42<br />
s / n 3,0105/ 20<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Direita:<br />
Rejeitar H 0 se t n-1 > t n-1crítico Como t n-1 = 3,42 > t n-1crítico = 2,539<br />
REJEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> atraso na entrega dos pedidos é<br />
maior do que 1 dia. O cliente tem razão na sua reclamação.<br />
4) A variável sob análise (opinião sobre a administração estadual) é QUALITATIVA, e somente<br />
admite dois resultados: satisfeita ou insatisfeita. Portanto serão feitas inferências sobre a proporção<br />
<strong>de</strong> pessoas insatisfeitas ou satisfeitas.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas insatisfeitas com a<br />
administração estadual.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> significância <strong>de</strong> 5%, então = 0,05 = 0,025 1 - = 0,95<br />
3) As estatísticas são: proporção amostral <strong>de</strong> pessoas insatisfeitas p = 585/1000 = 0,585,<br />
o seu complementar 1- p = 0,415 e n = 1000 elementos.<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: precisamos verificar se é possível fazer a aproximação<br />
pela normal, então n x p = 1000 x 0,585 = 585 > 5 e n x (1- p) = 1000 x 0,415 = 415 > 5.<br />
Como ambos os produtos satisfazem as condições para a aproximação po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 8<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> proporção amostral <strong>de</strong> pessoas insatisfeitas)<br />
para <strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
p (1 p) 0,585<br />
0,415<br />
e0 Zcritico<br />
<br />
1,96 <br />
0,0305<br />
n<br />
1000<br />
p e 0,585 0,0305 0,5545 p e 0,585 0,0305 0, 6155<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
0<br />
7) Então, o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas<br />
insatisfeitas com a administração estadual é [55,45%;61,55%].<br />
Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira proporção populacional <strong>de</strong><br />
pessoas insatisfeitas esteja entre 55,45% e 61,55%.<br />
b) De acordo com o item anterior é possível utilizar a aproximação pela distribuição normal.<br />
Assim, a expressão para o cálculo do tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a proporção populacional<br />
será:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
n <br />
p (1 p)<br />
e<br />
<br />
0 <br />
Os valores <strong>de</strong> p e 1 - p já são conhecidos: p = 0,585 1 - p = 0,415<br />
O nível <strong>de</strong> confiança exigido é <strong>de</strong> 95%: para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela<br />
<strong>da</strong> distribuição normal padrão pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+0,025); os valores críticos<br />
serão Z 0,025 e Z 0,975 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico será<br />
igual a 1,96 (em módulo). A precisão foi fixa<strong>da</strong> em 2,5% (0,025). Substituindo os valores na<br />
expressão acima:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
1,96 <br />
n <br />
p<br />
(1 p) 0,585<br />
0,415 1492,23<br />
1493<br />
e<br />
<br />
0 <br />
0,025 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 2,5% <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 1493 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui apenas 1000 elementos<br />
ela é INSUFICIENTE para a confiança e precisão exigi<strong>da</strong>s. Recomen<strong>da</strong>-se o retorno à população<br />
para a retira<strong>da</strong> aleatória <strong>de</strong> mais 493 pessoas.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra <strong>de</strong>ve ser<br />
redirecionado o plano governamental? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi<br />
coleta<strong>da</strong> para avaliar se a proporção <strong>de</strong> insatisfeitos com a administração estadual é igual a 50%<br />
(0,5): se a proporção for igual ou menor não haveria razão para redirecionar o plano, mas se for<br />
maior significa que a maioria <strong>da</strong> população está insatisfeita, e algo precisa ser feito. Então<br />
faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
2<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 9<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Direita:<br />
H 0 : = 0,5 (50%) on<strong>de</strong> 0 = 0,5 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 0,5 (50%)<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar uma significância <strong>de</strong> 5%, então = 0,05 e 1 - <br />
= 0,95.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 1000 x 0,5 = 500 e n x (1 - 0 ) = 1000 x 0,5 = 500. Como ambos são maiores do<br />
que 5 é possível fazer uma aproximação pela normal, e a variável <strong>de</strong> teste será Z.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Direita o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,05 (o Zcrítico aqui é maior do que<br />
zero). P(Z > Z crítico )= 0,05. Então<br />
Z crítico será igual a 1,645.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
p 0<br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 0,5 (50%), a proporção amostral p vale 0,585, e o tamanho <strong>de</strong><br />
amostra n é igual a 1000. Substituindo na equação acima:<br />
Z <br />
p 0 0,585 0,5<br />
5,375<br />
0<br />
(1 0)<br />
0,5 0,5<br />
n 1000<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à direita:<br />
Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = 5,375 > Zcrítico = 1,645<br />
REJEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes para recomen<strong>da</strong>r o redirecionamento do plano<br />
governamental, mais <strong>de</strong> 50% <strong>da</strong>s pessoas estão insatisfeitas com a administração estadual.<br />
5) A variável sob análise (temperatura em graus Celsius) é QUANTITATIVA. Portanto serão feitas<br />
inferências sobre a MÉDIA.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional <strong>da</strong> temperatura ao amanhecer.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025.<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 15,8 º C s = 5,8825 ºC n = 60
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 10<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra<br />
retira<strong>da</strong> apresenta 60 elementos (portanto mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong><br />
distribuição normal.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,965,8825<br />
o.<br />
e0 <br />
1,4885<br />
C<br />
n 60<br />
L<br />
I<br />
L<br />
S<br />
x e<br />
0<br />
x e<br />
0<br />
15,8<br />
1,4885<br />
14,3115<br />
15,8<br />
1,4885<br />
17,2885<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong><br />
atendimento é [14,3115; 17,2885] ºC. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a<br />
ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional <strong>da</strong> temperatura ao amanhecer esteja entre 14,3115 e<br />
17,2885 º C.<br />
b) Como a variância populacional é DESCONHECIDA, e o tamanho <strong>da</strong> amostra é maior do que 30<br />
elementos, po<strong>de</strong> ser usa<strong>da</strong> a variável <strong>de</strong> teste Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão. Assim será<br />
emprega<strong>da</strong> a seguinte expressão para calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a estimação por<br />
intervalo <strong>da</strong> média populacional.<br />
Zcritico<br />
s<br />
<br />
n <br />
<br />
e<br />
<br />
0 <br />
O nível <strong>de</strong> confiança exigido é <strong>de</strong> 99%: para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela<br />
<strong>da</strong> distribuição normal padrão pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,005 e 0,995 (0,99+0,005); os valores críticos<br />
serão Z 0,005 e Z 0,995 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico ) = 0,005. E o valor <strong>de</strong> Z crítico<br />
será igual a 2,575 (em módulo). O <strong>de</strong>svio padrão amostral vale 5,8825 º C, e o valor <strong>de</strong> e 0 , a<br />
precisão, foi fixado em 2 ºC. Basta então substituir os valores na expressão:<br />
2<br />
Zcrítico<br />
s<br />
2,5755,8825<br />
<br />
n <br />
57,36 58<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 2 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 99% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 2 ºC <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 58 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 60 elementos ela é<br />
plenamente SUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s.<br />
2<br />
2<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).<br />
o<br />
o<br />
C<br />
C
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 11<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra a região on<strong>de</strong> está a<br />
estação po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> <strong>de</strong> alta temperatura? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A<br />
amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se a região tem uma temperatura média <strong>de</strong> 25 ºC: se for menor<br />
ou igual a região não será consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> como <strong>de</strong> alta temperatura, mas se for maior ela po<strong>de</strong>rá ser<br />
assim classifica<strong>da</strong> como tal. Então faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Direita:<br />
H 0 : = 25 on<strong>de</strong> 0 = 25 ºC (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 25<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância. É necessário usar 1%. Então = 0,01 e 1 - = 0,99<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é DESCONHECIDA (o valor fornecido é<br />
o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra retira<strong>da</strong> apresenta 40 elementos (portanto<br />
mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Direita o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,01. Repare que o Zcrítico aqui é<br />
maior do que zero:<br />
P(Z > Zcrítico) = 0,01.<br />
Então Zcrítico 2,33<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 25, a média amostral x vale 15,8, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 60 e o <strong>de</strong>svio padrão amostral s é 5,8825. Substituindo na equação acima:<br />
x 0 15,8 25<br />
Z <br />
12,114<br />
s / n 5,8825/ 60<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Direita:<br />
Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = -12,114 < Zcrítico = 2,33<br />
ACEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
NÃO há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que a temperatura média ao amanhecer seja<br />
maior do que 25 ºC. A região on<strong>de</strong> está a estação meteorológica NÃO po<strong>de</strong> ser<br />
consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> região <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> temperatura.<br />
6) A variável sob análise é QUANTITATIVA. Portanto será feita inferência sobre a média.<br />
Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional .
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 12<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025.<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 2 n = 169<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
CONHECIDA (foi fornecido o valor <strong>da</strong> variância POPULACIONAL, que vale 1), a variável<br />
<strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
Zcrítico<br />
1,961<br />
e0 0,151<br />
n 169<br />
LI<br />
x e0<br />
x e<br />
LS<br />
0<br />
2 0,151 1,849<br />
2 0,151 2,151<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional é [1,849; 2,151].<br />
Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional esteja<br />
entre 1,849 e 2,151.<br />
7) A variável sob análise é QUANTITATIVA, então a inferência será feita sobre a média.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional .<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> significância <strong>de</strong> 1%, então = 0,01 = 0,005 1 - = 0,99.<br />
3) As estatísticas disponíveis são: média amostral = 8,2 s = 0,4 n = 4<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: como a variância populacional é DESCONHECIDA, e a<br />
amostra é menor do que 30 elementos, não obstante a população ter distribuição normal, a<br />
distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 .<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar<br />
na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, na linha<br />
correspon<strong>de</strong>nte a n-1 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja<br />
em 4 - 1 = 3 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado:<br />
os valores críticos serão t 3;0,005 e t 3;0,995 os quais<br />
serão iguais em módulo. P(t > t n-1,crítico ) =<br />
0,005 e P(t > t n-1,crítico ) = 0,995 (os valores são<br />
iguais em módulo). E o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico será<br />
igual a 5,841 (em módulo)
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 13<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
5,8410,4<br />
e0 1,168<br />
n 4<br />
<br />
x e 8,2 1,168<br />
7, 032<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
x e0<br />
8,2 1,168<br />
9,368<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 99% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong> dimensão é [7,032;<br />
9,368]. Interpretação: há 99% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional<br />
esteja entre 7,032 e 9,368.<br />
8) A variável sob análise (tempo <strong>de</strong> conversão) é QUANTITATIVA, portanto serão feitas<br />
inferências sobre a média.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional do tempo <strong>de</strong> conversão.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 98%, então 1 - = 0,98 = 0,02 = 0,01.<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 24 horas s = 3 horas n = 40<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra<br />
retira<strong>da</strong> apresenta 40 elementos (portanto mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong><br />
distribuição normal.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
intervalo:<br />
Zcrítico<br />
s<br />
2,333<br />
e0 1,105 horas<br />
n 40<br />
LI<br />
x e0<br />
x e<br />
LS<br />
0<br />
24 1,105<br />
22,895 horas<br />
24 1,105<br />
25,105 horas<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,01 e 0,99 (0,98+<br />
0,01) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong><br />
ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,01 e Z 0,99 os<br />
quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,01. Então Z crítico<br />
será igual a 2,33 (em módulo).<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 98% <strong>de</strong> confiança para a média populacional do tempo <strong>de</strong><br />
conversão <strong>da</strong>s máquinas é [22,895;25,105] horas. Interpretação: há 98% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional do tempo <strong>de</strong> conversão esteja entre 22,895 e<br />
25,105 horas.<br />
b) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra a afirmação do<br />
fabricante <strong>da</strong>s máquinas é ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 14<br />
coleta<strong>da</strong> para avaliar se o tempo médio <strong>de</strong> conversão <strong>de</strong> 25 horas é válido: não haverá problema<br />
algum se o tempo for igual ou menor do que 25 horas, mas se for maior, a afirmação do fabricante<br />
não é correta. Então faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Direita:<br />
H 0 : = 25 on<strong>de</strong> 0 = 25 horas (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 25<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância. É necessário usar 1%. Então = 0,01 e 1 - = 0,99<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é DESCONHECIDA (o valor fornecido é<br />
o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra retira<strong>da</strong> apresenta 40 elementos (portanto<br />
mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Direita o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,01. Repare que o Zcrítico aqui é<br />
maior do que zero:<br />
P(Z > Zcrítico) = 0,01.<br />
Então Zcrítico 2,33<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 25, a média amostral x vale 24, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 40 e o <strong>de</strong>svio padrão amostral s é 3. Substituindo na equação acima:<br />
x 0 24 25<br />
Z 2,1082<br />
s / n 3/ 40<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Direita:<br />
Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = -2,1082 < Zcrítico = 2,33<br />
ACEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
NÃO há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> conversão <strong>da</strong>s máquinas é<br />
maior do que 25 horas. A afirmação do fabricante é ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira.<br />
9) A variável sob análise (estado do terminal) é QUALITATIVA, e somente admite dois resultados:<br />
sem <strong>de</strong>feito ou com <strong>de</strong>feito. Portanto serão feitas inferências sobre a proporção <strong>de</strong> terminais com<br />
<strong>de</strong>feito ou sem <strong>de</strong>feito.<br />
Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a proporção populacional <strong>de</strong> terminais com <strong>de</strong>feitos.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> significância <strong>de</strong> 5%, então = 0,05 = 0,025 1 - = 0,95
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 15<br />
3) As estatísticas são: proporção amostral <strong>de</strong> terminais com <strong>de</strong>feitos p = 6/48 = 0,125,<br />
o seu complementar 1- p = 0, 875 e n = 48 elementos.<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: precisamos verificar se é possível fazer a aproximação<br />
pela normal, então n x p = 48 x 0,125 = 6 > 5 e n x (1- p) = 48 x 0,875 = 42 > 5.<br />
Como ambos os produtos satisfazem as condições para a aproximação po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> proporção amostral <strong>de</strong> terminais com <strong>de</strong>feito)<br />
para <strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
p (1 p) 0,125<br />
0,875<br />
e0 Zcritico<br />
<br />
1,96 <br />
0,09356<br />
n<br />
48<br />
LI<br />
p e0<br />
0,125 0,09356 0,03144 LS<br />
p e0<br />
0,125 0,09356 0, 2186<br />
7) Então, o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a proporção populacional <strong>de</strong> terminais com<br />
<strong>de</strong>feitos é [3,144%;21,86%]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
proporção populacional <strong>de</strong> terminais com <strong>de</strong>feito esteja entre 3,144% e 21,86%.<br />
10) A variável sob análise (consumo do produto) é QUALITATIVA, e só admite dois resultados:<br />
consome o produto ou não consome o produto. Então serão feitas inferências sobre a proporção<br />
populacional <strong>de</strong> pessoas que consomem ou não consomem o produto.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que consomem o<br />
produto.<br />
2) O problema exige uma confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025<br />
3) As estatísticas são: proporção amostral <strong>de</strong> pessoas que consomem o produto p =<br />
100/300, o seu complementar 1- p = 200/300 e n = 300 elementos.<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: precisamos verificar se é possível fazer a aproximação<br />
pela normal, então n x p = 300 x (100/300) = 100 > 5 e n x (1- p) = 300 x (200/300) =<br />
200 > 5.<br />
Como ambos os produtos satisfazem as condições para a aproximação po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 16<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> proporção amostral <strong>de</strong> pessoas que consomem<br />
o produto) para <strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
p (1 p) (100 / 300) (200 / 300)<br />
e0 Zcritico<br />
<br />
1,96<br />
0,0533<br />
n<br />
300<br />
LI<br />
p e0<br />
(100/ 300) 0,0533 0,2800 LS<br />
p e0<br />
(100/300) 0,0533 0, 3867<br />
7) Então, o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que<br />
consomem o produto é [28%;38,67%]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a<br />
ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que consomem o produto esteja entre 28%<br />
e 38,67%.<br />
b) De acordo com o item anterior é possível utilizar a aproximação pela distribuição normal.<br />
Assim, a expressão para o cálculo do tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a proporção populacional<br />
será:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
n <br />
p (1 p)<br />
e<br />
<br />
0 <br />
Os valores <strong>de</strong> p e 1 - p já são conhecidos: p = 100/300 1 - p = 200/300<br />
O nível <strong>de</strong> confiança exigido é <strong>de</strong> 99%: para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela<br />
<strong>da</strong> distribuição normal padrão pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,005 e 0,995 (0,99+0,005); os valores críticos<br />
serão Z 0,005 e Z 0,995 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico ) = 0,005. E o valor <strong>de</strong> Z crítico<br />
será igual a 2,575 (em módulo). A precisão foi fixa<strong>da</strong> em 2,5% (0,025). Substituindo os valores na<br />
expressão acima:<br />
2<br />
2<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).<br />
Z <br />
critico<br />
2,575 <br />
n <br />
p<br />
(1 p) (100 / 300) (200 / 300) 2357,55 2358<br />
e<br />
<br />
0 <br />
0,025 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 99% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 2,5% <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 2358 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui apenas 300 elementos ela<br />
é INSUFICIENTE para a confiança e precisão exigi<strong>da</strong>s. Recomen<strong>da</strong>-se o retorno à população para<br />
a retira<strong>da</strong> aleatória <strong>de</strong> mais 2058 pessoas.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra marca ain<strong>da</strong> é lí<strong>de</strong>r<br />
<strong>de</strong> mercado? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se a<br />
proporção <strong>de</strong> pessoas que consomem o produto é igual a 40% (0, 4): se a proporção for igual ou<br />
maior não haverá problemas, mas se for menor a marca não tem mais a li<strong>de</strong>rança do mercado e<br />
algo precisa ser feito. Então faremos um teste unilateral à esquer<strong>da</strong>.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Esquer<strong>da</strong>:
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 17<br />
H 0 : = 0, 4 (40%) on<strong>de</strong> 0 = 0, 4 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : < 0, 4 (40%)<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema exige uma significância <strong>de</strong> 1%, então = 0,01 e 1 - = 0,99.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 300 x 0,4 = 120 e n x (1 - 0 ) = 300 x 0, 6 = 180. Como ambos os produtos são<br />
maiores do que 5, as condições para a aproximação são satisfeitas e po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,99. P(Z > Z crítico )= 0,99. Deve-se<br />
procurar a probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
complementar 0,01 e mu<strong>da</strong>r o sinal do<br />
valor encontrado, pois o Z crítico aqui é<br />
menor do que zero.<br />
Então Z crítico será igual a –2,33.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
p 0<br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 0,4 (40%), a proporção amostral p vale 100/300, e o tamanho<br />
<strong>de</strong> amostra n é igual a 300. Substituindo na equação acima:<br />
Z <br />
p 0 (100/ 300) 0,4<br />
<br />
2,35<br />
0<br />
(1<br />
0)<br />
0,4<br />
0,6<br />
n<br />
300<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à<br />
esquer<strong>da</strong>: Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico Como Z = -2,35 < Zcrítico = -2,33<br />
REJEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema. Há provas estatísticas suficientes para<br />
consi<strong>de</strong>rar que a marca não <strong>de</strong>tém mais a li<strong>de</strong>rança no mercado, que a proporção <strong>de</strong><br />
pessoas que consomem o produto é menor do que 40%. Contudo, é um caso <strong>de</strong> fronteira!<br />
11) A variável sob análise (veloci<strong>da</strong><strong>de</strong> dos automóveis em km/h) é QUANTITATIVA, então será<br />
feita uma inferência sobre a média.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a média populacional <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong><strong>de</strong> dos carros.<br />
2) O problema exigiu confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 .<br />
3) Estatísticas disponíveis são: média amostral = 112 km/h s = 22 km/h n = 100<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), mas a amostra
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 18<br />
retira<strong>da</strong> apresenta 100 elementos (portanto mais <strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong><br />
distribuição normal.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> média amostral) para <strong>de</strong>terminar os limites do<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,96<br />
22<br />
intervalo:<br />
e0 4,31km/h<br />
n 100<br />
LI<br />
x e0<br />
112<br />
4,31 107,69 km/h LS<br />
x e0<br />
112<br />
4,31 116,31km/h<br />
7) Então o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional veloci<strong>da</strong><strong>de</strong> dos carros<br />
é [107,69;116,31] km/h. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong> veloci<strong>da</strong><strong>de</strong> dos carros esteja entre 107,69 e 116,31 km/h.<br />
12) A variável sob análise (classificação <strong>da</strong>s peças) é QUALITATIVA, e só po<strong>de</strong> assumir dois<br />
valores: boa ou <strong>de</strong>feituosa. Portanto, serão feitas inferências sobre a proporção (percentual) <strong>de</strong><br />
peças <strong>de</strong>feituosas ou boas.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a proporção populacional <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas<br />
2) O problema exige uma confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025<br />
3) As estatísticas são: proporção amostral <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas p = 35/1000, o seu<br />
complementar 1- p = 965/1000 e n = 1000 elementos.<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: precisamos verificar se é possível fazer a aproximação<br />
pela normal, então n x p = 1000 x (35/1000) = 35 > 5 e n x (1- p) = 1000 x (965/1000) =<br />
965 > 5. Como ambos os produtos satisfazem as condições para a aproximação po<strong>de</strong>mos<br />
usar a variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,025 e Z 0,975<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico<br />
será igual a 1,96 (em módulo).
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 19<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> proporção amostral <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas) para<br />
<strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
p (1 p) (35 /1000) (965 /1000)<br />
e0 Zcritico<br />
<br />
1,96<br />
0,01139<br />
n<br />
1000<br />
LI<br />
p e0<br />
(35 / 1000) 0,01139 0,02361 LS<br />
p e0<br />
(35 / 1000) 0,01139 0, 04639<br />
7) Então, o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a proporção populacional <strong>de</strong> peças<br />
<strong>de</strong>feituosas é [2,361%;4,639%]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a<br />
ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira proporção populacional <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas esteja entre 2,361% e 4,639%.<br />
b) De acordo com o item anterior é possível utilizar a aproximação pela distribuição normal.<br />
Assim, a expressão para o cálculo do tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a proporção populacional<br />
será:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
n <br />
p (1 p)<br />
e<br />
<br />
0 <br />
Os valores <strong>de</strong> p e 1 - p já são conhecidos: p = 35/1000 1 - p = 965/1000<br />
O nível <strong>de</strong> confiança exigido é <strong>de</strong> 95%: para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela<br />
<strong>da</strong> distribuição normal padrão pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+0,025); os valores críticos<br />
serão Z 0,025 e Z 0,975 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico )= 0,025. Então Z crítico será<br />
igual a 1,96 (em módulo). A precisão foi fixa<strong>da</strong> em 1,5% (0,015). Substituindo os valores na<br />
expressão acima:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
1,96 35 965<br />
n <br />
p (1 p) 576,67 577<br />
e<br />
<br />
0 <br />
0,015 1000 1000<br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 1,5% <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 578 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 1000 elementos ela é<br />
SUFICIENTE para a confiança e precisão exigi<strong>da</strong>s.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra é preciso parar a<br />
linha <strong>de</strong> produção? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se<br />
a proporção <strong>de</strong> peças <strong>de</strong>feituosas é igual a 3% (0,03): se a proporção for igual ou menor não<br />
haverá problemas, mas se for maior há problemas <strong>de</strong> quali<strong>da</strong><strong>de</strong>, e a linha <strong>de</strong> produção precisa ser<br />
para<strong>da</strong>. Então faremos um teste unilateral à direita.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Direita:<br />
H 0 : = 0,03 (3%) on<strong>de</strong> 0 = 0,03 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : > 0,03 (3%)<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância. Não informado pelo problema. Vamos usar uma significância <strong>de</strong><br />
5%, então = 0,05 e 1 - = 0,95.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 1000 x 0,03 = 30 e n x (1 - 0 ) = 1000 x 0,97 = 970. Como ambos os produtos<br />
são maiores do que 5, as condições para a aproximação são satisfeitas e po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 .<br />
2
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 20<br />
Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquerdd o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,05 (o Zcrítico aqui é maior do que<br />
zero). P(Z > Z crítico )= 0,05. Então<br />
Z crítico será igual a 1,645.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
p 0<br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 0,03 (3%), a proporção amostral p vale 35/1000, e o tamanho<br />
<strong>de</strong> amostra n é igual a 1000. Substituindo na equação acima:<br />
Z <br />
p 0 (35/1000) 0,03<br />
<br />
0,9268<br />
0<br />
(1<br />
0)<br />
0,030,97<br />
n<br />
1000<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à direita:<br />
Rejeitar H 0 se Z > Zcrítico Como Z = 0,9268 < Zcrítico = 1,645<br />
ACEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
NÃO há provas estatísticas suficientes para recomen<strong>da</strong>r a para<strong>da</strong> <strong>da</strong> linha <strong>de</strong> produção,<br />
apenas 3% <strong>da</strong>s peças são <strong>de</strong>feituosas.<br />
13) A variável sob análise (comparecimento ao embarque) é QUALITATIVA, e po<strong>de</strong> assumir<br />
apenas dois valores: comparece ou não comparece. Portanto, serão feitas inferências sobre a<br />
proporção <strong>de</strong> pessoas que comparecem ou não comparecem ao embarque.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) O parâmetro <strong>de</strong> interesse é a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que não comparecem<br />
ao embarque.<br />
2) O problema exige uma confiança <strong>de</strong> 99%, então 1 - = 0,99 = 0,01 = 0,005<br />
3) As estatísticas são: proporção amostral <strong>de</strong> pessoas que não comparecem ao embarque<br />
p = 216/2800, o seu complementar 1- p = 2584/2800 e n = 2800 elementos.<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: precisamos verificar se é possível fazer a aproximação<br />
pela normal, então<br />
n x p = 2800 x (216/2800) = 216 > 5 e n x (1- p) = 2800 x (2584/2800) = 2584 > 5.<br />
Como ambos os produtos satisfazem as condições para a aproximação po<strong>de</strong>mos usar a<br />
variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 21<br />
Para encontrar o valor crítico<br />
<strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,005 e 0,995 (0,99+<br />
0,005) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado: os<br />
valores críticos serão Z 0,005 e Z 0,905<br />
os quais serão iguais em módulo.<br />
P(Z > Z crítico )= 0,005. Então Z crítico<br />
será igual a 2,575 (em módulo).<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites do intervalo, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong> proporção amostral <strong>de</strong> pessoas que não<br />
comparecem ao embarque) para <strong>de</strong>terminar os limites do intervalo:<br />
p (1 p) (216 / 2800) (2584 / 2800)<br />
e0 Zcritico<br />
<br />
2,575<br />
0,01298<br />
n<br />
2800<br />
LI<br />
p e0<br />
(216/2800) 0,01298 0,06416 LS<br />
p e0<br />
(216/2800) 0,01298 0, 09013<br />
7) Então, o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que<br />
não comparecem ao embarque é [6,416%;9,013%]. Interpretação: há 99% <strong>de</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que não<br />
comparecem ao embarque esteja entre 6,416% e 9,013%.<br />
b) De acordo com o item anterior é possível utilizar a aproximação pela distribuição normal.<br />
Assim, a expressão para o cálculo do tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a proporção populacional<br />
será:<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
n <br />
p (1 p)<br />
e<br />
<br />
0 <br />
Os valores <strong>de</strong> p e 1 - p já são conhecidos: p = 216/2800 1 - p = 2584/2800<br />
O nível <strong>de</strong> confiança exigido é <strong>de</strong> 99%: para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela<br />
<strong>da</strong> distribuição normal padrão pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,005 e 0,995 (0,99+0,005); os valores críticos<br />
serão Z 0,005 e Z 0,995 os quais serão iguais em módulo. P(Z > Z crítico )= 0,005. Então Z crítico será<br />
igual a 2,575 (em módulo). A precisão foi fixa<strong>da</strong> em 1% (0,01). Substituindo os valores na<br />
expressão acima:<br />
2<br />
2<br />
Z <br />
critico<br />
2,575 216 2584<br />
n <br />
p (1 p) 4720,3 4721<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 <br />
0,01 2800 2800<br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 99% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 1% <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 4721 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 2800 elementos ela é<br />
INSUFICIENTE para a confiança e precisão exigi<strong>da</strong>s, recomen<strong>da</strong>-se obter retornar à população e<br />
selecionar aleatoriamente mais 1921 pessoas.<br />
c) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra é a<strong>de</strong>quado manter a<br />
política <strong>de</strong> ven<strong>da</strong> <strong>de</strong> passagens além <strong>da</strong> capaci<strong>da</strong><strong>de</strong> do vôo? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong><br />
hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar se a proporção <strong>de</strong> pessoas que não comparecem ao<br />
embarque é 10% (0,1): se a proporção for igual ou maior não haverá problemas (mais pessoas não<br />
comparecem, as extras po<strong>de</strong>m ser acomo<strong>da</strong><strong>da</strong>s no vôo), mas se for menor haverá problemas, pois o<br />
vôo estará lotado. Então faremos um teste unilateral à esquer<strong>da</strong>.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 22<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Esquer<strong>da</strong>:<br />
H 0 : = 0,1 (10%) on<strong>de</strong> 0 = 0,1 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : < 0,1 (10%)<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema exige uma significância <strong>de</strong> 1%. Então = 0,01 e 1 - = 0,99.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 2800 x 0,1 = 280 e n x (1 - 0 ) = 2800 x 0,90 = 2520. Como ambos os produtos<br />
são maiores do que 5, portanto satisfazem as condições para a aproximação, po<strong>de</strong>mos usar<br />
a variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 . Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,99. P(Z > Z crítico )= 0,99. Deve-se<br />
procurar a probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
complementar 0,01 e mu<strong>da</strong>r o sinal do<br />
valor encontrado, pois o Z crítico aqui é<br />
menor do que zero.<br />
Então Z crítico será igual a –2,33.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
p 0<br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 0,1 (10%), a proporção amostral p vale 216/2800, e o tamanho<br />
<strong>de</strong> amostra n é igual a 2800. Substituindo na equação acima:<br />
Z <br />
p 0 (216 / 2800) 0,1<br />
<br />
4,031<br />
0<br />
(1 0)<br />
0,1 0,9<br />
n<br />
2800<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à<br />
esquer<strong>da</strong>: Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico Como Z = -4,031 < Zcrítico = -2,33<br />
REJEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que a proporção populacional <strong>de</strong> pessoas que não<br />
comparecem ao embarque é menor do que 10%. A política <strong>de</strong> ven<strong>da</strong> <strong>de</strong> passagens além <strong>da</strong><br />
capaci<strong>da</strong><strong>de</strong> do vôo não é recomendável.<br />
14) A variável sob análise (tempo <strong>de</strong> vi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s calculadoras, em anos) é QUANTITATIVA, portanto<br />
serão feitas inferências sobre a média.<br />
a) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra a companhia <strong>de</strong>ve<br />
comprar as calculadoras? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para<br />
avaliar se o tempo médio <strong>de</strong> vi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s calculadoras é <strong>de</strong> 1,5 anos: não haverá problema algum se o
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 23<br />
tempo for igual ou maior do que 1,5 anos, mas se for menor, a compra não <strong>de</strong>verá ser efetua<strong>da</strong>.<br />
Então faremos um teste unilateral à esquer<strong>da</strong>.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Esquer<strong>da</strong>:<br />
H 0 : = 1,5 on<strong>de</strong> 0 = 1,5 anos (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : < 1,5<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar 5%. Então = 0,05 e 1 - = 0,95<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
O <strong>de</strong>svio padrão populacional é CONHECIDO ( = 0,3 anos), portanto a variância<br />
populacional também é CONHECIDA. Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
CONHECIDA 1 (não obstante a amostra retira<strong>da</strong> apresentar 25 elementos, portanto menos<br />
<strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 . Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,95. P(Z > Z crítico )= 0,95. Deve-se<br />
procurar a probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
complementar 0,05 e mu<strong>da</strong>r o sinal do<br />
valor encontrado, pois o Z crítico aqui é<br />
menor do que zero.<br />
Então Z crítico será igual a –1,645.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 1,5, a média amostral x vale 1,3, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 25 e o <strong>de</strong>svio padrão populacional é 0,3. Substituindo na equação acima:<br />
x 0 1,3 1,5<br />
Z 3,33<br />
s / n 0,3/ 25<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Esquer<strong>da</strong>:<br />
Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico Como Z = -3,33 < Zcrítico = -1,645<br />
REJEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> vi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s calculadoras é menor<br />
do que 1,5 anos. A compra não <strong>de</strong>ve ser realiza<strong>da</strong>.<br />
b) A única diferença do item anterior é o valor <strong>da</strong> média amostral, que aqui vale 1,6 anos.<br />
1 To<strong>da</strong>s as vezes que a variância populacional for conheci<strong>da</strong> <strong>de</strong>ve-se usar a variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão,<br />
para qualquer tamanho <strong>de</strong> amostra.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 24<br />
Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra a companhia <strong>de</strong>ve<br />
comprar as calculadoras? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para<br />
avaliar se o tempo médio <strong>de</strong> vi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s calculadoras é <strong>de</strong> 1,5 anos: não haverá problema algum se o<br />
tempo for igual ou maior do que 1,5 anos, mas se for menor, a compra não <strong>de</strong>verá ser efetua<strong>da</strong>.<br />
Então faremos um teste unilateral à esquer<strong>da</strong>.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Unilateral à<br />
Esquer<strong>da</strong>:<br />
H 0 : = 1,5 on<strong>de</strong> 0 = 1,5 anos (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : < 1,5<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema <strong>de</strong>clara que é necessário usar 5%. Então = 0,05 e 1 - = 0,95<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
O <strong>de</strong>svio padrão populacional é CONHECIDO ( = 0,3 anos), portanto a variância<br />
populacional também é CONHECIDA. Uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
CONHECIDA (não obstante a amostra retira<strong>da</strong> apresentar 25 elementos, portanto menos<br />
<strong>de</strong> 30) a variável <strong>de</strong> teste será Z <strong>da</strong> distribuição normal.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 . Observe que por ser um teste<br />
Unilateral à Esquer<strong>da</strong> o Nível <strong>de</strong><br />
Significância está todo concentrado<br />
em um dos lados <strong>da</strong> distribuição,<br />
<strong>de</strong>finindo a região <strong>de</strong> rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição<br />
normal, pela probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> acumula<strong>da</strong><br />
0,95. P(Z > Z crítico )= 0,95. Deve-se<br />
procurar a probabili<strong>da</strong><strong>de</strong><br />
complementar 0,05 e mu<strong>da</strong>r o sinal do<br />
valor encontrado, pois o Z crítico aqui é<br />
menor do que zero.<br />
Então Z crítico será igual a –1,645.<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
x 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
s / n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 1,5, a média amostral x vale 1,6, o tamanho <strong>de</strong> amostra n é<br />
igual a 25 e o <strong>de</strong>svio padrão populacional é 0,3. Substituindo na equação acima:<br />
x 0 1,6 1,5<br />
Z 1,667<br />
s / n 0,3/ 25<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 .<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste Unilateral à Esquer<strong>da</strong>:<br />
Rejeitar H 0 se Z < Zcrítico Como Z = 1,667 > Zcrítico = -1,645<br />
ACEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
NÃO há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que o tempo médio <strong>de</strong> vi<strong>da</strong> <strong>da</strong>s calculadoras é<br />
menor do que 1,5 anos. A compra po<strong>de</strong> ser realiza<strong>da</strong>.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 25<br />
15) A variável sob análise (face do <strong>da</strong>do) é QUALITATIVA, e no presente caso po<strong>de</strong> assumir dois<br />
valores: face 6 ou face diferente <strong>de</strong> 6. Então serão feitas inferências sobre a proporção <strong>de</strong> faces 6 ou<br />
faces diferentes <strong>de</strong> 6.<br />
a) Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra <strong>de</strong>ve-se <strong>de</strong>sconfiar<br />
que o <strong>da</strong>do está viciado? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para<br />
avaliar se a proporção <strong>de</strong> faces 6 é 1/6: se a proporção for menor ou maior haverá problemas,<br />
pois o <strong>da</strong>do po<strong>de</strong>rá estar viciado. Então faremos um teste bilateral.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Bilateral:<br />
H 0 : = 1/6 on<strong>de</strong> 0 = 1/6 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : 1/6<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema exige uma significância <strong>de</strong> 5%. Então = 0,05 /2 = 0,025 1 - = 0,95.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 600 x (1/6) = 100 e n x (1 - 0 ) = 600 x (5/6)= 500. Como ambos os produtos são<br />
maiores do que 5, portanto satisfazem as condições para a aproximação pela normal,<br />
po<strong>de</strong>mos usar a variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 . Observe que por ser um teste Bilateral<br />
o Nível <strong>de</strong> Significância foi dividido<br />
em dois, meta<strong>de</strong> para ca<strong>da</strong> região <strong>de</strong><br />
rejeição <strong>de</strong> H 0 . Para encontrar o valor<br />
crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,025 e 0,975 (0,95+<br />
0,025) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong><br />
ser visto na figura ao lado: os valores<br />
críticos serão Z 0,025 e Z 0,975 os quais<br />
serão iguais em módulo. P(Z ><br />
Z crítico )= 0,025. Então Z crítico será<br />
igual a 1,96 (em módulo).<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
p 0<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 1/6, a proporção amostral p vale 123/600, e o tamanho <strong>de</strong><br />
amostra n é igual a 600. Substituindo na equação acima:<br />
p 0 (123/ 600) (1/ 6)<br />
Z <br />
<br />
2,519<br />
0<br />
(1 0)<br />
(1/ 6) (5/ 6)<br />
n<br />
600<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Bilateral:<br />
Rejeitar H 0 se |Z| > |Zcrítico| Como |Z| = 2,519 > |Zcrítico| = 1,96<br />
REJEITAR H 0 a 5% <strong>de</strong> Significância (há 5% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
Há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que a proporção populacional <strong>de</strong> faces 6 é diferente <strong>de</strong><br />
1/6, o que é razão para <strong>de</strong>sconfiar que o <strong>da</strong>do é viciado.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 26<br />
b) A única diferença do item anterior é o nível <strong>de</strong> significância, que passou a ser <strong>de</strong> 1%.<br />
Observe que é preciso tomar uma <strong>de</strong>cisão: com base nos <strong>da</strong>dos <strong>da</strong> amostra <strong>de</strong>ve-se <strong>de</strong>sconfiar que<br />
o <strong>da</strong>do está viciado? Trata-se então <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> hipóteses. A amostra foi coleta<strong>da</strong> para avaliar<br />
se a proporção <strong>de</strong> faces 6 é 1/6: se a proporção for menor ou maior haverá problemas, pois o <strong>da</strong>do<br />
po<strong>de</strong>rá estar viciado. Então faremos um teste bilateral.<br />
Seguindo o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as hipóteses.<br />
Conforme visto acima o teste mais a<strong>de</strong>quado para este caso é um Teste Bilateral:<br />
H 0 : = 1/6 on<strong>de</strong> 0 = 1/6 (valor <strong>de</strong> teste)<br />
H 1 : 1/6<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância.<br />
O problema exige uma significância <strong>de</strong> 1%. Então = 0,01 /2 = 0,005 1 - = 0,99.<br />
3) Variável <strong>de</strong> teste.<br />
Como se trata <strong>de</strong> um teste <strong>de</strong> proporção é necessário verificar o valor dos produtos:<br />
n x 0 = 600 x (1/6) = 100 e n x (1 - 0 ) = 600 x (5/6)= 500. Como ambos os produtos são<br />
maiores do que 5, portanto satisfazem as condições para a aproximação pela normal,<br />
po<strong>de</strong>mos usar a variável Z <strong>da</strong> distribuição normal padrão.<br />
4) Definir a região <strong>de</strong> aceitação <strong>de</strong> H 0 . Observe que por ser um teste Bilateral<br />
o Nível <strong>de</strong> Significância foi dividido<br />
em dois, meta<strong>de</strong> para ca<strong>da</strong> região <strong>de</strong><br />
rejeição <strong>de</strong> H 0 . Para encontrar o valor<br />
crítico <strong>de</strong>vemos procurar na tabela <strong>da</strong><br />
distribuição normal padrão pela<br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> 0,005 e 0,995 (0,99+<br />
0,005) O valor <strong>da</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong><br />
ser visto na figura ao lado: os valores<br />
críticos serão Z 0,005 e Z 0,995 os quais<br />
serão iguais em módulo. P(Z ><br />
Z crítico )= 0,005. Então Z crítico será<br />
igual a 2,575 (em módulo).<br />
5) Através dos valores <strong>da</strong> amostra avaliar o valor <strong>da</strong> variável.<br />
Neste ponto é preciso encontrar o valor <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: Z <br />
p 0<br />
0<br />
(1 0)<br />
n<br />
O valor <strong>de</strong> teste 0 é igual a 1/6, a proporção amostral p vale 123/600, e o tamanho <strong>de</strong><br />
amostra n é igual a 600. Substituindo na equação acima:<br />
Z <br />
p 0 (123/ 600) (1/ 6)<br />
<br />
2,519<br />
0<br />
(1 0)<br />
(1/ 6) (5/ 6)<br />
n<br />
600<br />
6) Decidir pela aceitação ou rejeição <strong>de</strong> H 0 . Como se trata <strong>de</strong> um teste Bilateral:<br />
Rejeitar H 0 se |Z| > |Zcrítico| Como |Z| = 2,519 < |Zcrítico| = 2,575<br />
ACEITAR H 0 a 1% <strong>de</strong> Significância (há 1% <strong>de</strong> chance <strong>de</strong> erro)<br />
7) Interpretar a <strong>de</strong>cisão no contexto do problema.<br />
NÃO há provas estatísticas suficientes <strong>de</strong> que a proporção populacional faces 6 é diferente<br />
<strong>de</strong> 1/6, então ain<strong>da</strong> não há razão para <strong>de</strong>sconfiar que o <strong>da</strong>do é viciado.<br />
Observe que a conclusão foi oposta a do item a, <strong>de</strong>vido ao menor nível <strong>de</strong> significância adotado,<br />
que exige evidências estatísticas mais fortes para rejeitar a hipótese nula.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 27<br />
16) A variável <strong>de</strong> interesse, nota dos alunos, é QUANTITATIVA. Então serão feitas inferências<br />
sobre as MÉDIAS nos cursos <strong>de</strong> economia e administração.<br />
a) Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Os parâmetros <strong>de</strong> interesse são as média populacionais <strong>da</strong>s notas dos cursos <strong>de</strong><br />
economia e administração.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025.<br />
3) Estatísticas: média amostral <strong>de</strong> economia = 7,3 s = 2,6 n = 10<br />
média amostral <strong>de</strong> administração = 7,1 s = 3,1 n = 10<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), e as amostras<br />
retira<strong>da</strong>s apresentam 10 elementos em ca<strong>da</strong> grupo (portanto menos <strong>de</strong> 30) a distribuição<br />
amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 (tanto para o curso <strong>de</strong><br />
economia quanto para o <strong>de</strong> administração).<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 10 - 1 = 9<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,025 e<br />
P(t > t n-1,crítico ) = 0,975 (os valores são<br />
iguais em módulo).<br />
E o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico será igual a 2,262<br />
(em módulo)<br />
Po<strong>de</strong>mos usar o valor obtido para os intervalos <strong>de</strong> confiança <strong>da</strong>s médias dos dois cursos.<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites dos intervalos, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong>s médias amostrais) para <strong>de</strong>terminar os limites<br />
dos intervalos:<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
2,2622,6<br />
Economia: e0 1,<br />
86 LI<br />
x e0<br />
7,3 1,86<br />
5, 44<br />
n 10<br />
LS<br />
x e0<br />
7,3 1,86<br />
9,16<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
2,2623,1<br />
Administração: e0 2, 22<br />
n 10<br />
x e<br />
7,1 2,22 4, 88<br />
LS<br />
x e0<br />
LI<br />
0<br />
7,1 2,22 9,32<br />
7) Economia: o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s notas em<br />
economia é [5,44;9,16]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong>s notas em economia esteja entre 5,44 e 9,16.<br />
Administração: o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s notas em<br />
administração é [4,88;9,32]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong>s notas em economia esteja entre 4,88 e 9,32. Observe que os<br />
intervalos são relativamente sobrepostos, o que caracterizaria um “empate técnico” entre<br />
as notas dos dois cursos.<br />
b) Como a variância populacional é DESCONHECIDA, e o tamanho <strong>da</strong> amostra é menor do que<br />
30 elementos a distribuição amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 .
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 28<br />
Assim será usa<strong>da</strong> a seguinte expressão para calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para a<br />
estimação por intervalo <strong>da</strong> média populacional.<br />
t<br />
n1,critico<br />
s<br />
<br />
n <br />
<br />
e<br />
<br />
0 <br />
O nível <strong>de</strong> significância é o mesmo do item a. Sendo assim, o valor crítico continuará sendo o<br />
mesmo: t n-1,crítico = 2,262. Vamos calcular o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra para os dois cursos. O<br />
<strong>de</strong>svio padrão amostral <strong>da</strong>s notas em economia vale 2,6, e em administração vale 3,1, e o valor <strong>de</strong><br />
e 0 , a precisão, foi fixado em 1 para ambos os cursos. Basta então substituir os valores nas<br />
expressões.<br />
Economia:<br />
2<br />
2<br />
t<br />
n1,crítico<br />
s<br />
2,2622,6<br />
<br />
n <br />
<br />
34,59 35<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 1 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 1 <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 35 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 10 elementos ela é<br />
INSUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s, para o curso <strong>de</strong> Economia.<br />
Administração:<br />
2<br />
2<br />
t<br />
n1,crítico<br />
s<br />
2,2623,1<br />
<br />
n <br />
<br />
49,17 50<br />
e<br />
<br />
elementos<br />
0 1 <br />
Observe que o tamanho mínimo <strong>de</strong> amostra necessário para aten<strong>de</strong>r a 95% <strong>de</strong> confiança e precisão<br />
<strong>de</strong> 1 <strong>de</strong>veria ser <strong>de</strong> 50 elementos. Como a amostra coleta<strong>da</strong> possui 10 elementos ela é<br />
INSUFICIENTE para a significância e precisão exigi<strong>da</strong>s, para o curso <strong>de</strong> Administração.<br />
17) A variável <strong>de</strong> interesse, volume <strong>de</strong> ven<strong>da</strong>s em milhares <strong>de</strong> dólares, é QUANTITATIVA. Então<br />
serão feitas inferências sobre as MÉDIAS dos dois grupos.<br />
Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Os parâmetros <strong>de</strong> interesse são as média populacionais dos volumes <strong>de</strong> ven<strong>da</strong>s nos<br />
grupos que ganham por hora e por comissão.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 99%, então 1 - = 0,99 = 0,01 = 0,005.<br />
3) Estatísticas 2 : média amostral (por hora) = 227,583 US$mil s = 13,84 US$mil n = 12<br />
média amostral (por comissão) = 247,917 US$mil s = 21,59 US$mil n = 12<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), e as amostras<br />
retira<strong>da</strong>s apresentam 12 elementos em ca<strong>da</strong> grupo (portanto menos <strong>de</strong> 30) a distribuição<br />
amostral <strong>da</strong> média será t <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>nt, e a variável <strong>de</strong> teste será t n-1 (tanto para o grupo pago<br />
por hora quanto para o pago por comissão).<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:<br />
2<br />
2 Calcula<strong>da</strong>s previamente, com base nos valores existentes na tabela <strong>da</strong> lista <strong>de</strong> exercícios.
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 29<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos<br />
procurar na tabela <strong>da</strong> distribuição <strong>de</strong><br />
Stu<strong>de</strong>nt, na linha correspon<strong>de</strong>nte a n-1<br />
graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>, ou seja em 12 - 1 =<br />
11 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura<br />
ao lado: P(t > t n-1,crítico ) = 0,005 e<br />
P(t > t n-1,crítico ) = 0,995 (os valores são<br />
iguais em módulo).<br />
E o valor <strong>de</strong> t n-1,crítico será igual a 3,106<br />
(em módulo)<br />
Po<strong>de</strong>mos usar o valor obtido para os intervalos <strong>de</strong> confiança <strong>da</strong>s médias dos dois cursos.<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites dos intervalos, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong>s médias amostrais) para <strong>de</strong>terminar os limites<br />
dos intervalos:<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
3,10613,84<br />
Por hora: e0 <br />
12,<br />
409<br />
n 12<br />
LI<br />
x e0<br />
227,58 12,409<br />
215, 174 LS<br />
x e0<br />
227,58 12,409<br />
239, 992<br />
t<br />
n 1,crítico<br />
s<br />
3,10621,59<br />
Por comissão: e0 <br />
19,<br />
357<br />
n 12<br />
x e 247,917 19,357<br />
228, 560 x e 247,917 19,357<br />
267, 274<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
0<br />
7) Por hora: o intervalo <strong>de</strong> 99% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s ven<strong>da</strong>s dos<br />
ven<strong>de</strong>dores pagos por hora é [215,575;239,992] milhares <strong>de</strong> dólares. Interpretação: há<br />
99% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional <strong>da</strong>s ven<strong>da</strong>s dos ven<strong>de</strong>dores<br />
pagos por hora esteja entre 215.575 e 239.992 dólares.<br />
Por comissão: o intervalo <strong>de</strong> 99% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s ven<strong>da</strong>s dos<br />
ven<strong>de</strong>dores pagos por hora é [228,560;267,274] milhares <strong>de</strong> dólares. Interpretação: há<br />
99% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira média populacional <strong>da</strong>s ven<strong>da</strong>s dos ven<strong>de</strong>dores<br />
pagos por comissão esteja entre 228,560 e 267,274 dólares.<br />
18) A variável <strong>de</strong> interesse, nota dos alunos, é QUANTITATIVA. Então serão feitas inferências<br />
sobre as MÉDIAS nas provas <strong>de</strong> re<strong>da</strong>ção, português e <strong>de</strong> matemática.<br />
Seguindo o roteiro <strong>de</strong> Estimação <strong>de</strong> Parâmetros (estatísticas calcula<strong>da</strong>s previamente):<br />
1) Os parâmetros <strong>de</strong> interesse são as média populacionais <strong>da</strong>s notas nas provas <strong>de</strong><br />
re<strong>da</strong>ção, português e matemática.<br />
2) Adotou-se um nível <strong>de</strong> confiança <strong>de</strong> 95%, então 1 - = 0,95 = 0,05 = 0,025.<br />
3) Estatísticas: média amostral <strong>de</strong> re<strong>da</strong>ção = 5,8 s = 1,31 n = 40<br />
média amostral <strong>de</strong> português = 4,1 s = 1,996 n = 40<br />
média amostral <strong>de</strong> matemática = 4,6 s = 2,22 n = 40<br />
4) Definição <strong>da</strong> variável <strong>de</strong> teste: uma vez que a variância populacional <strong>da</strong> variável é<br />
DESCONHECIDA (o valor fornecido é o <strong>de</strong>svio padrão AMOSTRAL), e as amostras<br />
retira<strong>da</strong>s apresentam 40 elementos em ca<strong>da</strong> grupo (portanto mais <strong>de</strong> 30) a distribuição<br />
amostral <strong>da</strong> média será a normal padrão, e a variável <strong>de</strong> teste será Z (para as três provas).<br />
5) Encontrar o valor <strong>de</strong> Z crítico : como o Intervalo <strong>de</strong> Confiança para a média é bilateral,<br />
teremos uma situação semelhante à <strong>da</strong> figura abaixo:
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 30<br />
Para encontrar o valor crítico <strong>de</strong>vemos procurar<br />
na tabela <strong>da</strong> distribuição normal. O valor <strong>da</strong><br />
probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser visto na figura ao lado:<br />
P(t > Z crítico ) = 0,025 e<br />
P(t > Z crítico ) = 0,975 (os valores são iguais em<br />
módulo).<br />
E o valor <strong>de</strong> Z crítico será igual a 1,96 (em módulo)<br />
Po<strong>de</strong>mos usar o valor obtido para os intervalos <strong>de</strong> confiança <strong>da</strong>s médias <strong>da</strong>s 3 provas.<br />
6) Passa-se agora a <strong>de</strong>terminação dos limites dos intervalos, através <strong>da</strong> expressão abaixo<br />
(cujo resultado será somado e subtraído <strong>da</strong>s médias amostrais) para <strong>de</strong>terminar os limites<br />
dos intervalos:<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,961,31<br />
Re<strong>da</strong>ção: e0 0, 41<br />
n 40<br />
x e<br />
5,8 0,41<br />
5,39<br />
x e 5,8 0,41<br />
6, 21<br />
LI<br />
0<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,961,996<br />
Português: e0 0, 619<br />
n 10<br />
x e<br />
4,1 0,62<br />
3,48<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
0<br />
x e 4,1 0,62 4, 72<br />
Zcrítico<br />
s<br />
1,962,22<br />
Matemática: e0 0, 69<br />
n 10<br />
x e 4,6 0,69 3,91<br />
LI<br />
0<br />
LS<br />
0<br />
x e 4,6 0,69 5, 29<br />
LS<br />
0<br />
7) Re<strong>da</strong>ção: o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s notas em<br />
economia é [5,39;6,21]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong>s notas em re<strong>da</strong>ção esteja entre 5,39 e 6,21.<br />
Português: o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s notas em<br />
administração é [3,48;4,72]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong>s notas em português esteja entre 3,48 e 3,91.<br />
Matemática: o intervalo <strong>de</strong> 95% <strong>de</strong> confiança para a média populacional <strong>da</strong>s notas em<br />
administração é [3,91;5,29]. Interpretação: há 95% <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> que a ver<strong>da</strong><strong>de</strong>ira<br />
média populacional <strong>da</strong>s notas em português esteja entre 3,91 e 5,29.<br />
Percebe-se claramente que os alunos saíram-se melhor em re<strong>da</strong>ção, pois seu limite inferior<br />
é maior que o superior <strong>da</strong>s médias <strong>da</strong>s duas outras provas.<br />
19) Trata-se <strong>de</strong> um exercício <strong>de</strong> teste do Chi-Quadrado <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pendência: queremos saber se a<br />
variável comportamento quanto ao cigarro está associa<strong>da</strong> à variável sexo (e vice-versa).<br />
a) De acordo com o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as Hipóteses:<br />
H 0 : as variáveis são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
H 1 : as variáveis não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância: <strong>de</strong>terminado pelo problema, = 0,05; 1 - = 0,95
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 31<br />
3) Retirar as amostras aleatórias e montar a tabela <strong>de</strong> contingências (isso já foi feito):<br />
Hábitos<br />
Sexo Fumante Não fumante Total<br />
Masculino 15 12 27<br />
Feminino 12 21 33<br />
Total 27 33 60<br />
Fonte: hipotética<br />
4) Calcular as freqüências espera<strong>da</strong>s: <strong>de</strong>vemos calculá-las para to<strong>da</strong>s as células <strong>da</strong> tabela<br />
(4 no presente problema). Os resultados estão na tabela abaixo:<br />
Eij<br />
Hábitos<br />
Sexo Fumante Não fumante<br />
Masculino 12,15 14,85<br />
Feminino 14,85 18,15<br />
5) Calculando a estatística 2 para ca<strong>da</strong> célula:<br />
Agora po<strong>de</strong>mos calcular as diferenças entre as freqüências e as <strong>de</strong>mais operações. Os<br />
valores finais estão na tabela abaixo:<br />
(O-E) 2 /E<br />
Hábitos<br />
Sexo Fumante Não fumante<br />
Masculino 0,6685185 0,54697<br />
Feminino 0,5469697 0,447521<br />
Agora po<strong>de</strong>mos somar os valores:<br />
2 = 2,209979<br />
Os graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>: (número <strong>de</strong> linhas -1)x(número <strong>de</strong> colunas - 1) = (2 -1)(2-1)= 1<br />
Então 2 1 = 2,209979<br />
6) O 2 crítico será: procurando na tabela <strong>da</strong> distribuição Chi-Quadrado (vi<strong>de</strong> apostila), ou<br />
em um programa, para 1 grau <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong> e 95% <strong>de</strong> confiança (5% <strong>de</strong> significância):<br />
2 1,crítico = 3,84<br />
7)8) Como 2 1 é menor do que 2 1,crítico ACEITAMOS H 0 a 5% <strong>de</strong> significância.<br />
NÃO HÁ evidência estatística suficiente que indica que as variáveis sexo e comportamento<br />
<strong>de</strong> fumar são <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
b) A força <strong>da</strong> associação po<strong>de</strong> ser medi<strong>da</strong> através do coeficiente <strong>de</strong> contingência modificado:<br />
2<br />
k 2,209979 2<br />
C*<br />
<br />
0,266<br />
2<br />
N k 1<br />
2,209979 60 2 1<br />
Como C* sequer chegou a 0,5 a associação po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> fraca.<br />
20) Trata-se <strong>de</strong> um exercício <strong>de</strong> teste do Chi-Quadrado <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pendência: queremos saber se a<br />
variável freqüência às aulas está associa<strong>da</strong> à variável aprovação (e vice-versa).<br />
a) De acordo com o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as Hipóteses:<br />
H 0 : as variáveis são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
H 1 : as variáveis não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância: <strong>de</strong>terminado pelo problema, = 0,01; 1 - = 0,99
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 32<br />
3) Retirar as amostras aleatórias e montar a tabela <strong>de</strong> contingências (isso já foi feito):<br />
Aprovação<br />
Freqüência Aprovados Reprovados Total<br />
“freqüentadores” 22 8 30<br />
“ausentes” 10 18 28<br />
Total 32 26 58<br />
Fonte: hipotética<br />
4) Calcular as freqüências espera<strong>da</strong>s: <strong>de</strong>vemos calculá-las para to<strong>da</strong>s as células <strong>da</strong> tabela<br />
(4 no presente problema). Os resultados estão na tabela abaixo:<br />
Aprovação<br />
Freqüência Aprovados Reprovados<br />
“freqüentadores” 16,55172414 13,44827586<br />
“ausentes” 15,44827586 12,55172414<br />
5) Calculando a estatística 2 para ca<strong>da</strong> célula:<br />
Agora po<strong>de</strong>mos calcular as diferenças entre as freqüências e as <strong>de</strong>mais operações. Os<br />
valores finais estão na tabela abaixo:<br />
(O-E) 2 /E<br />
Aprovação<br />
Freqüência Aprovados Reprovados<br />
“freqüentadores” 1,793390805 2,207250221<br />
“ausentes” 1,921490148 2,364910951<br />
Agora po<strong>de</strong>mos somar os valores:<br />
2 = 8,2870421<br />
Os graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>: (número <strong>de</strong> linhas -1)x(número <strong>de</strong> colunas - 1) = (2 -1)(2-1)= 1<br />
Então 2 1 = 8,2870421<br />
6) O 2 crítico será: procurando na tabela <strong>da</strong> distribuição Chi-Quadrado (vi<strong>de</strong> apostila), ou<br />
em um programa, para 1 grau <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong> e 99% <strong>de</strong> confiança (1% <strong>de</strong> significância):<br />
2 1,crítico = 6,63<br />
7)8) Como 2 1 é maior do que 2 1,crítico REJEITAMOS H 0 a 1% <strong>de</strong> significância.<br />
HÁ evidência estatística suficiente que indica que as variáveis freqüência às aulas e<br />
aprovação são <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
b) A força <strong>da</strong> associação po<strong>de</strong> ser medi<strong>da</strong> através do coeficiente <strong>de</strong> contingência modificado:<br />
2<br />
k 8,2870421 2<br />
C*<br />
<br />
0,500035<br />
2<br />
N k 1<br />
8,2870421 58 2 1<br />
Como C* é praticamente igual a 0,5 a associação po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> mo<strong>de</strong>ra<strong>da</strong>.<br />
21) Trata-se <strong>de</strong> um exercício <strong>de</strong> teste do Chi-Quadrado <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pendência: queremos saber se a<br />
variável lembrança do consumidor está associa<strong>da</strong> à variável meio <strong>de</strong> comunicação (e vice-versa).<br />
De acordo com o roteiro <strong>da</strong> apostila:<br />
1) Enunciar as Hipóteses:<br />
H 0 : as variáveis são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
H 1 : as variáveis não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes<br />
2) Nível <strong>de</strong> significância: <strong>de</strong>terminado pelo problema, = 0,01; 1 - = 0,99
INE7002 -–<strong>Gabarito</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Inferência Estatística 33<br />
3) Retirar as amostras aleatórias e montar a tabela <strong>de</strong> contingências (isso já foi feito):<br />
Meio <strong>de</strong> comunicação<br />
Lembrança Revista TV Rádio Total<br />
Lembram 25 93 7 125<br />
Não lembram 73 10 108 191<br />
Total 98 103 115 316<br />
Fonte: hipotética<br />
4) Calcular as freqüências espera<strong>da</strong>s: <strong>de</strong>vemos calculá-las para to<strong>da</strong>s as células <strong>da</strong> tabela<br />
(6 no presente problema). Os resultados estão na tabela abaixo:<br />
Meio <strong>de</strong> comunicação<br />
Lembrança Revista TV Rádio Total<br />
Lembram 38,76582 40,74367 45,490506<br />
Não lembram 59,23418 62,25633 69,509494<br />
5) Calculando a estatística 2 para ca<strong>da</strong> célula:<br />
Agora po<strong>de</strong>mos calcular as diferenças entre as freqüências e as <strong>de</strong>mais operações. Os<br />
valores finais estão na tabela abaixo:<br />
(O-E) 2 /E<br />
Meio <strong>de</strong> comunicação<br />
Lembrança Revista TV Rádio Total<br />
Lembram 4,888272 67.02204 32,56765<br />
Não lembram 3,199131 43,86259 21,31391<br />
Agora po<strong>de</strong>mos somar os valores:<br />
2 = 172,8536<br />
Os graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong>: (número <strong>de</strong> linhas -1)x(número <strong>de</strong> colunas - 1) = (2 -1)(3-1)= 2<br />
Então 2 2 = 172,8536<br />
6) O 2 crítico será: procurando na tabela <strong>da</strong> distribuição Chi-Quadrado (vi<strong>de</strong> apostila), ou<br />
em um programa, para 2 graus <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong> e 99% <strong>de</strong> confiança (1% <strong>de</strong> significância):<br />
2 2,crítico = 9,21<br />
7)8) Como 2 2 é maior do que 2 2,crítico REJEITAMOS H 0 a 1% <strong>de</strong> significância.<br />
HÁ evidência estatística suficiente que indica que as variáveis meio <strong>de</strong> comunicação <strong>da</strong><br />
propagan<strong>da</strong> e lembrança do consumidor são <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
b) A força <strong>da</strong> associação po<strong>de</strong> ser medi<strong>da</strong> através do coeficiente <strong>de</strong> contingência modificado:<br />
2<br />
k 172,8536 3<br />
C*<br />
<br />
0,84094<br />
2<br />
N k 1<br />
172,8536 316 31<br />
Como C* é próximo <strong>de</strong> 1 (seu valor máximo possível) a associação po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>ra<strong>da</strong> forte.