part´iculas elementares - Instituto de Física Teórica - Unesp

PARTÍCULAS ELEMENTARES
— I —
Instituto de Física Teórica/UNESP
(Primeiro semestre de 2008)
Vicente Pleitez
Março de 2008

Conteúdo
1 INTRODUÇÃO 5
1.1 A Interação Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 A Interação Eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 A Interação Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 A Interação Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Quatro Interações? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Unidades Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA 20
2.1 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Vetores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Conservação da Energia-Momento . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Transformações de Lorentz entre o SL e o SCM . . . . . . . . 30
2.5 A Seção de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 O Espaço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Decaimentos e Colisões em Teoria Quântica de Campos . . . 45
2.8 Variáveis de Mandelstam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Crossing no caso mais geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1

3 SIMETRIAS E LEIS DE CONSERVAÇÃO 72
3.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Simetrias Unitárias em Mecânica Quântica . . . . . . . . . . 73
3.3 Conservação da Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 O Número Bariônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 O Número Leptônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6 Estranheza, Charm, Beleza e Top . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Regras de Superseleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Simetrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8.1 Paridade P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8.2 Determinação do spin dos píons . . . . . . . . . . . . . 103
3.8.3 Paridade Intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.9 Conjugação da Carga, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10 Inversão Temporal, T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.11 Violação de C, P e CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 INTERAÇÃO ELETROMAGNÉTICA 133
4.1 Processos Eletromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.1.1 Espalhamento Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.1.2 O processo e + e − → µ + µ − . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.3 O Espalhamento Bhabha: e + e − → e + e − . . . . . . . . 147
4.2 Efeitos de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.1 Momento Magnético dos Léptons . . . . . . . . . . . . 148
4.2.2 Estrutura Hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 A INTERAÇÃO FRACA 153
5.1 Processos nucleares fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2

5.2 Espaço de fase do decaimento−β − . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3 A interação de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4 O Paradoxo θ-τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.5 A Violação da Paridade no Decaimento−β . . . . . . . . . . 172
5.6 Decaimentos Semi-leptônicos do píon . . . . . . . . . . . . . . 175
5.7 Interação Corrente-Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.1 Processos Puramente Leptônicos (PPL) . . . . . . . . 184
5.7.2 Processos Semi-leptônicos (PSL) . . . . . . . . . . . . 186
5.7.3 Processos Puramente Hadrônicos (PPH) . . . . . . . . 189
5.7.4 Regras de Seleção de Isospin . . . . . . . . . . . . . . 190
5.8 A Introdução do Ângulo de Cabibbo . . . . . . . . . . . . . . 193
5.9 O Sistema K 0 − ¯K 0 - Violação de CP . . . . . . . . . . . . . 194
5.10 O Fenômeno da Regeneração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.11 Oscilações de Estranheza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.12 Violação de CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6 Simetrias Unitárias 210
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.2 Generalidades de Teoria de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.2.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.3 SU(2) e SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.2 Produto de Representações . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.3.3 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.3.4 Tensores de SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.3.5 Decomposição de 8 ⊗ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3

7 O Modelo de Quarks 234
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.2 Bárions e Mésons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3 Bárions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3.1 Os núcleons: n, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3.2 O híperon-Λ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.3.3 Os híperons-Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.4 Os cascatas-Ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.3.5 Omega: Ω − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.4 Os mésons pseudoescalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4.1 Os píons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4.2 Os mésons-K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.4.3 O méson-η 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4

Capítulo 1
INTRODUÇÃO
A idéia de que a matéria está constituída de elementos básicos imutáveis
e com propriedades bem definidas vem da Grécia antiga e atravessa toda
a história da Ciência moderna, passando pelo próprio Newton. É claro
que nem sempre este conceito ocupou o centro das pesquisas. Mas, no
fim do século XIX, físicos e químicos tinham observado vários efeitos que
levaria à colocação de paradoxos irresolúveis na física clássica. O teorema
de equipartição implica contradições experimentais, pois o calor específico
de gases e sólidos decresce com a temperatura, o que não pode ser explicado
com a teoria clássica. O mesmo teorema também traz dificuldades quando
consideramos a radiação em equilíbrio térmico com a matéria. De fato, no
século XIX, o espectro dos elementos químicos estava bem estudado e, depois
da descoberta do elétron, este foi considerado o responsável pelo fenômeno
de emissão de radiação pela matéria e, em particular, pela separação
das linhas espectrais quando um átomo encontra-se num campo magnético
(Efeito Zeeman).
Do ponto de vista da ciência moderna podemos considerar o ano de
1808 como o do nascimento do conceito de átomo. Nesse ano, John Dalton
publica A New System of Chemical Philosophy (Novo Sistema de Filosofia
5

Química), que principalmente explicava as reações químicas. Do ponto de
vista da física, a elucidação da estrutura da matéria começou no final do
século passado. As descobertas que permitiram o início desse estudo foram:
1. Descoberta por W. Röntgen dos raios-X, em 1895.
2. Descoberta por H. Becquerel da radiatividade natural, em 1896.
3. Descoberta do elétron por J. J. Thomson, em 1897.
4. Descoberta do chamado efeito Zeeman por P. Zeeman, em 1897.
É interessante observar que no fenômeno da radioatividade estão presentes
três das quatro interações conhecidas até agora, e que serão estudadas
neste curso: forte, eletromagnética e fraca. Apenas a gravitação não
parece ser relevante neste contexto. A explicação desses fenômenos levaria,
décadas depois, á formulação do modelo padrão das partículas elementares
e suas interações, denotado aqui apenas como Modelo Padrão ou MP.
No começo do século pasado, Thomson tinha confirmado que todos os
átomos têm elétrons e em 1904 propôs seu modelo atômico. No mesmo ano,
H. Nagaoka propõe um modelo de átomo no qual havia um caroço e ao redor
dele circulavam os elétrons. Posteriormente, E. Rutherford propõe o modelo
atômico com um núcleo central. Segue–se uma quantidade de descobertas
teóricas e experimentais que levaram ao quadro da constituição da matéria e
as interações fundamentais conhecidas como Modelo Padrão, principalmente
a partir da década de 1970.
Temos agora um conjunto de partículas fundamentais que são como “tijolos”
da matéria ordinária e também da matéria em condições reprodutíveis
apenas no laboratório, e que teriam ocorrido no universo primordial.
Os léptons que sentem as interações fraca e eletromagnética, mas não a
forte, até distâncias de 10 −17 cm, parecem não ter estrutura. Suas propriedades
estão resumidas na Tabela 1.1:
6

Q L massa (MeV/c 2 ) τ (s)
ν e 0 L e = 1 < 2 × 10 −6 estável
e -1 L e = 1 0.511 estável
ν µ 0 L µ = 1 < 0.19 estável
µ − -1 L µ = 1 105.7 2.197 × 10 −6
ν τ 0 L τ = 1 < 18.2 estável
τ − -1 L τ = 1 1777 (290.6 ± 11.1) × 10 −13
Tabela 1.1: Carga elétrica, número leptônico, massa e vida média do léptons
segundo PDG 2006. Os limites superiores das massas dos neutrinos referemse
às medidas diretas.
Os quarks sentem as interações forte, fraca e eletromagnética e, também
até distâncias de 10 −17 cm, parecem não possuir estrutura. Suas propriedades
aparecem na Tabela 1.2. Finalmente, temos os chamados bósons de
gauge, que são os mediadores das três interações, cujas características mostramos
na tabela 1.3.
A introdução de números quânticos aditivos, como os números bariônico
e leptônico, sempre pareceu ad hoc. De fato não existe nada que garanta
a conservação desses números, dado que as simetrias globais, U(1) B,L , associadas
com estes números não parecem ser conseqüência de um primeiro
princípio. Com a formulação do MP, as partículas elementares (quarks e
léptons) e seus interações (mediadas por campos de gauge), ficou claro que
as conservações de B e L ≡ ∑ L i , são acidentais ou automática. Isso significa
que a sua conservação não precisa ser imposta, decorre de propriedades mais
gerais do modelo, como: i) conteúdo de partículas, ii) invariância de gauge
local, iii) invariância de Lorentz, e iv) renormalizabilidade. Assim, hoje em
dia ninguém mais imagina que B e L serão sempre conservados. A questão
é: a que escala de energia aparecerão as suas violações? Por outro lado, é
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Quark I I 3 s c b t Q/e B massa (MeV/c 2 )
u 1/2 1/2 0 0 0 0 2/3 1/3 1.5 a 4
d 1/2 -1/2 0 0 0 0 -1/3 1/3 4 a 8
s 0 0 -1 0 0 0 -1/3 1/3 80 a 130
c 0 0 0 1 0 0 2/3 1/3 1150 a 1350
b 0 0 0 0 -1 0 -1/3 1/3 4100 a 4400
t 0 0 0 0 0 1 2/3 1/3 174000
Tabela 1.2: Números quânticos dos quarks. Q é a carga e B o número
bariônico. I é isospin total e I 3 a terceira componente. A massa dos quarks
u, d e s refere-se à “massa de corrente”. Para os quarks c e b, a massa e
a “massa corredeira”e para o t, a massa “direta”nos eventos observados.
Omitimos os erros. Mais detalhes no PDG06.
bom que existam violações de B e L porque um dos problemas que a física
de partículas elementares pretende resolver em colaboração com a cosmologia
é, o motivo pelo qual no universo observado, a matéria domina sobre a
antimatéria, e a violação de B e L é um dos ingredientes para explicar essa
assimetria. Tudo isso será visto de maneira sistemática mais adiante.
Com os “blocos” fundamentais, quarks e léptons, podemos ter várias
interações. Hoje são conhecidas 4 interações na Natureza: gravitacional,
eletromagnética, fraca e forte.
Consideraremos generalidades de cada uma das quatro interações.
1.1 A Interação Gravitacional
A teoria que descreve a interação gravitacional é a Teoria da Relatividade
Geral, formulada por A. Einstein em 1915. Essa interação é universal no
sentido que as fontes da gravidade são a massa, a energia e a pressão, e isso
8

Bósons, (#) Carga Massa GeV/c 2 Simetria
fóton γ (1,2) 0 0 U(1) Q
Glúons G i (8,16) cor 0 SU(3) C
W ± , Z 0 (3,9) ±, 0 ∼ 80, 91 SU(2) L ⊗ U(1) (∗)
Y
Tabela 1.3: Carga, massa e a respectiva simetria dos bósons de gauge. O
primeiro número entre parêntese indica o número das respectivas partículas,
sendo que o segundo número indica os graus de liberdade independentes. O
∗ na última coluna indica que a simetria SU(2) L ⊗ U(1) Y
já foi quebrada
para U(1) Q .
Para valores mais precisos das massas do W e do Z ver o
PDG06 [Pdg06].
faz com que seja sentida por todas as partículas, mesmo aquelas de massa
zero. Porém, nas energias comumente usadas nos laboratórios, a gravidade
não tem um papel importante na física de partículas elementares e é fácil
verificar o porquê. A interação gravitacional possui uma intensidade dada
pela constante de Newton, G N , com o seguinte valor 1
G N = 6.6742(10) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 = 6.7087(10) × 10 −39 c(GeV/c 2 ) −2 .
Podemos formar uma constante adimensional usando como referência a
massa do próton, m p
G N m 2 p
c
= 4.6 × 10 −40 ≪ α ≈ 1
137 .
A constante de estrutura fina α que aparece do lado direito é uma medida da
intensidade da interação eletromagnética, e será definida na próxima seção.
Vemos que a intensidade da interação eletromagnética é então aproximadamente
10 38 vezes maior que a intensidade da interação gravitacional.
1 A incerteza a 1−σ nos últimos dígitos aparece entre os parêntese. Por exemplo,
0.23120(15) = 0.23120 ± 0.00015.
9

Há uma situação, no entanto, na qual esperamos que os efeitos gravitacionais
devam ser levados em conta. Isso ocorre quando a energia gravitacional
é da mesma ordem da energia de repouso do corpo, ou seja, se
G N M 2
l
= Mc 2 .
Quando o comprimento l na equação acima é igual ao comprimento Compton
de uma partícula de massa M, λ = /Mc, temos que
G N M 2
c
= 1,
e M deve ter o valor conhecido como “massa de Planck”
M Planck ≡ M P = 10 19 (GeV/c 2 ) ≈ 1.78 × 10 −5 g.
Nessas condições espera–se que os efeitos quânticos da gravitação devam
ser levados em conta. Como referência, a energia disponível nos próximos
aceleradores será “apenas”da ordem de ∼ 10 4 GeV.
Na Tabela 1.4 aparecem diversos valores de grandezas na escala de
Planck, onde G N dada anteriormente é a constante de Newton da gravitação
e k B = 1.380658(12) 10 −23 JK −1 é a constante de Boltzman.
comprimento de Planck: l P = (G N /c 3 ) 1 2 = 1.62 × 10 −33 cm
tempo de Planck: t P = (G N /c 5 ) 1 2 = 5.39 × 10 −44 s
massa de Planck: M P = (c/G N ) 1 2 = 2.17 × 10 −5 g
energia de Planck: E P = (c 5 /G N ) 1 2 = 1.22 × 10 19 GeV
temperatura de Planck: T P = (c 5 /G N kB 2 ) 1 2 = 1.42 × 10 32 K
Tabela 1.4: Escalas de Planck.
Em gramas, a massa de Planck tem um valor igual a 1.78×10 −5 gramas,
ou seja, perto de uma dezmilhésima parte de um grama. Esse não é um valor
10

exagerado, uma pessoa pode ter uma massa da ordem de 80 kg! Por que
então fala-se que “na escala de Planck as leis conhecidas da física falham”?
Na verdade, esa afirmação é válida para densidades de massa ou de energia.
Por exemplo,
ρ P
= M P
l 3 P
= M 4 P c3
h 3 ≈ 4.7 × 10 93 g
cm 3 , (1.1)
onde usamos l P = h/M P c.
Comparemos esta expressão com a densidade de massa de uma partícula
como o elétron.
e vemos que
ρ e =
m e
(h/m e c) 3 = m4 ec 3
h 3 ≈ 6.3 × 10 6 g
cm 3 , (1.2)
( )
ρ 4
P MP
= ≈ 10 87 , (1.3)
ρ e m e
por isso a escala de Planck não é comum no noso dia-a-dia. Note que em
ambos os casos usamos o comprimento Compton para a respectiva massa,
M P e m e . A densidade de energia num grão de pó ou seja um corpo
macroscópico pequeno, de 1 cm de raio, e com uma massa de 10 −5 g seria
ρ macro = 10 −5 g/cm 3 , ou seja, ρ P
/ρ macro = 4.7 × 10 99 g/cm 3 ≫ 1.
A gravitação então não é sentida de maneira mensurável pelas partículas
elementares, ainda que pelo princípio de equivalência sabemos que elas
devem sentí-la. A força gravitacional da Terra para um nêutron (R ⊕ =
6.4 × 10 8 cm) é de ∼ 10 −21 dinas. A força eletrostática entre dois prótons
separados a mesma distância é apenas de ∼ 10 −37 dinas. Por que não se manifesta
essa força nos laboratórios? A energia para mover 1 cm um nêutron
contra o potencial gravitatório da Terra é 10 −21 ergs, que é também muito
pequena. No entanto, para os chamados nêutrons ultrafrios, que têm uma
velocidade de cerca de 200 cm por segundo, a respectiva energia cinética é
da ordem de 10 −20 ergs. É por isso que esse tipo de nêutron pode cair sob
a influência do campo gravitacional da Terra. Caso os nêutrons tivessem
11

uma velocidade maior, sua energia cinética seria maior e o efeito gravitacional
seria desprezível. Agora imaginem não um nêutron, mas um cristal
ou mesmo um fluido num satélite. Os efeitos de uma gravidade menor são
cruciais para certos tipos de experimentos, não é à toa que a NASA mantém
um ativo programa de microgravidade (ver http://search.nasa.org/.) 2
1.2 A Interação Eletromagnética
A interação da radiação eletromagnética com a matéria é descrita classicamente
pelas equações de Maxwell e quanticamente, mas para energias baixas,
pela eletrodinâmica Quântica (QED, pela sigla em inglês). Para energias
altas i.e., dezenas de GeVs, a QED é descrita pela parte eletrofraca do modelo
padrão. A interação eletromagnética está caraterizada pela constante
de estrutura fina, geralmente denotada por α, que mede o deslocamento dos
níveis de energia devido à interação spin-órbita nos espectros atômicos. Esta
constante é uma das medidas experimentalmente com maior precisão: 3
α = e2
c = 1
137.03599911(46) .
Exemplos de processos eletromagnéticos são: i) o efeito fotoelétrico, ii)
o espalhamento de Rutherford, iii) Bremstrahlung, iv) produção de pares,
v) alguns decaimentos, vi) contribuições às colisões entre partículas, tipo
e + e − , p¯p, pp, e − p etc.
As interações eletromagnéticas são sentidas pelas partículas carregadas
e são mediadas pelo fóton que, no entanto, é neutro (não carrega carga
elétrica). A QED constitui o paradigma de uma teoria quântica de campos
2 Um satételite em órbita está sempre caindo e por isso o efeito da força da gravidade
é anulado.
3 Este valor é para baixas energias, para energias da ordem de 80 GeV temos α ≈ 1/128.
Ver mais adiante a explicação deste fato.
12

enormalizável, isto é, a amplitude para diferentes processos é bem comportada
no sentido que não é divergente a altas energias, mesmo em ordens
maiores, na constante de acoplamento, α. A renormalização implica que a
massa e a carga elétrica são arbitrárias (não calculáveis) e, por isso, é necessário
introduzir os valores experimentais. No entanto, outras quantidades
são preditas, tais como: i) o deslocamento dos níveis de energia atômicos,
ii) o momento magnético anômalo dos léptons carregados, principalmente
do elétron (no caso do múon parece que pode haver contribuições de uma
física nova ainda não detectada diretamente) e, iii) as seções de choque dos
diversos processos eletromagnéticos.
1.3 A Interação Fraca
A interação fraca foi descoberta em laboratório por H. Becquerel, em 1896,
na radioatividade natural, mas somente foi identificada como um novo tipo
de interação por Fermi em 1933. A teoria de Fermi, com a modificação da
violação da paridade, conhecida como teoria V-A, descreveu bem os processos
fracos até 1974. Nesse ano foram descobertas as correntes neutras que
não fazem parte da teoria de Fermi ou da V-A. A altas energias, as interações
fracas são descritas pelo modelo eletrofraco de Glashow-Salam-Weinberg
(cuja formulação completa envolveu um número maior de pesquisadores).
Este modelo, como a QED a qual incorpora, é renormalizável. Foram necessários
perto de 75 anos para que este modelo surgisse da conjunção dos dados
experimentais e de idéias teóricas.
A constante de acoplamento que carateriza esta interação é a chamada
constante de Fermi, G F , que tem um valor de
( ) 2
G F = 1.02 × 10 −5 c = 1.16637(1) × 10 −5 GeV −2 ,
m p c
onde m p é a massa do próton, e no lado direito colocamos o valor do
13

PDG. Observe que, do mesmo modo que a constante de Newton, esa tem
dimensão (em unidades naturais a serem discutidas mais adiante) de inverso
de quadrado de energia. Em unidades físicas tem a dimensão de
(energia)×(volume).
Essas interações são suficientemente fracas para não produzir estados
ligados, e também têm alcance muito curto, da ordem de ∼ 10 −16 cm. Exemplos
de processos fracos são:
n −→ p + e − + ¯ν e ,
e − + p −→ n + ν e ,
¯ν e + p −→ e + + n, (1.4)
o primeiro desses processos é o chamado decaimento-β e será estudado em
detalhe mais adiante, os outros são reações entre um elétron e um neutrino
com prótons, respectivamente.
Atualmente são conhecidos muitos outros decaimentos envolvendo novas
partículas.
1.4 A Interação Forte
O nêutron foi descoberto em 1932. Surge então o modelo nuclear composto
de prótons e nêutrons que foi se afirmando como a visão correta da constituição
do núcleo atômico. Um núcleo típico como o de 92 U tem uma dimensão
de aproximadamente 10 −13 cm. O problema da estabilidade do núcleo foi
então colocado. Devem existir outras forças de curto alcance. Estas forças
são conhecidas como forças nucleares fortes ou apenas interações fortes. A
primeira teoria das interações nucleares foi proposta em 1935, por Hideki
Yukawa. Essa foi a segunda vez que a interação eletromagnética serviu de
exemplo para a construção de teorias para outras interações.
14

A intensidade da interação forte é dada por uma constante adimensional
α s ≡ g2 s
4π ≃ 1,
e por isso a teoria das perturbações, útil na QED, não é útil aqui (pelo menos
a baixas energias). A existência das interações fortes é o fator principal da
diversidade de partículas elementares.
Atualmente as interações fortes são descritas pela teoria chamada Cromodinâmica
Quântica ou QCD pela sigla em inglês.
Junto com a parte
eletrofraca ou modelo de Glashow-Salam-Weinberg formam o chamado Modelo
Padrão.
Em 1979, A. Salam, S. Weinberg e S. Glashow ganharam o Prêmio Nobel
de Física pela proposta do modelo que descreve a interação eletrofraca de
léptons (os quarks seriam incorporados depois). Em 1999 seria a vez de M.
Veltman e G. ’t Hooft de ganhra o prêmio, pela demonstração, em 1972,
que o modelo de Glashow-Salam-Weinberg é uma teoria renormalizável. No
começo da década de 1980, uma teoria não–Abeliana para a interação forte
foi, ainda que de maneira indireta, confirmada pelas experiências a altas
energias. Essa teoria é a chamada Cromodinâmica Quântica (QCD). Em
2004, F. Wilczek, D. Gross e D. Politzer ganharam o Prêmio Nobel de Física
pela descoberta, feita em 1972, do fato de que a QCD tinha a propriedade
de liberdade assintótica.
Esse é então o chamado Modelo Padrão
das partículas elementares,
que está baseado nas simetrias de gauge SU(3) C ⊗ SU L (2) ⊗ U Y (1), onde
o primeiro fator é a simetria da QCD e os dois últimos correspondem à interação
eletrofraca ou modelo de Glashow-Salam-Weinberg. Após a quebra
espontânea de simetria temos que SU(2) L ⊗U(1) Y → U(1) em e temos a separação
entre a interação fraca, V −A, e a QED em baixas energias. O Modelo
Padrão constitui a fronteira do nosso conhecimento do mundo subnuclear e
tem atingido um grau de concordância com os dados experimentais apenas
15

superado, por enquanto, pela QED. Além desse modelo, existem apenas especulações,
umas mais interessantes que outras. Por exemplo, as teorias de
Grande Unificação e as de Tecnicolor, com ou sem supersimetria, e as teorias
de Supergravidade e de Supercordas.
Na primeira parte das presentes notas, vamos considerar a física das
partículas elementares antes do estabelecimento do modelo padrão. Alguns
dos resultados foram incorporados no modelo, como por exemplo a violação
da paridade, mas não são explicados por ele. Isto é, estudaremos primeiro a
física “independente do modelo”, explorando apenas a cinemática, simetrias
e leis de conservação. Mas vamos colocar sempre que possível como esse
conhecimento foi incorporado do modelo padrão.
1.5 Quatro Interações?
Como se chegou a este quadro da estrutura microscópica do universo? Parte
da resposta a esta pergunta será dada neste curso, mas alguns detalhes
técnicos ficam para depois.
O que permite distinguir as diferentes interações são as vidas médias e
seções de choque com ordens de grandeza bem determinadas. Valores típicos
para as interações fortes, fraca e eletromagnética são mostrados na tabela
1.5. 4
4 No entanto, a descoberta de quark top com uma massa muito acima do esperado
implica que a vida média de processos envolvendo este quark e mediados pelas interações
fracas podem ter uma vida média da ordem dos 10 −23 s, que é um tempo característico
das interações fortes.
16

Interação Alcance τ (s) σ (mb) α
Forte 1 fm ∼ 1/m π 10 −23 s 10 1
confinado ∆ → πpp
Eletromagnética ∞ 10 −20 − 10 −16 10 −3 10 −2
γp → π 0 p
π 0 → γγ
Σ → Λγ
Fraca 10 −3 fm ∼ 1/M W > 10 −12 10 −11 10 −5
M W ∼ 100m p Σ − → nπ −
π − → µ −¯ν
νp → νp
νp → µ − pπ +
Tabela 1.5: Números característicos das quatro interações.
1.6 Unidades Naturais
O Volt é definido como
1 V ≡ 1 J C ,
ou seja um Joule por Coulomb. Podemos escrever também
ou, finalmente
1 J = 1 V × 1 C
e
1.602 × 10 −19 C ,
1 eV = 1.602 × 10 −19 J.
Na física de partículas elementares aparecem freqüentemente duas constantes
fundamentais: , a constante de Planck h dividida por 2π, e c, a
velocidade da luz no vácuo. Os valores são: 5
≡ h/2π = 1.0545887(57) × 10 −27 erg s,
c = 299792458 m s −1 .
5 Note-se que o valor de c não tem mais erro, essa é uma convenção .
17

As unidades dessas constantes são: [] = ML 2 T −1 , e [c] = LT −1 . Em “unidades
naturais”, é igual a uma unidade de ação e c é igual a uma unidade
de velocidade:
= c = 1.
O sistema estará completamente determinado se especificarmos a unidade
de energia (ML 2 T −2 ) em MeV = 10 6 eV, ou GeV = 10 9 eV.
massa: m comprimento: (1/m)(c/c 2 )
momento: m(c) tempo: (1/m)(/c 2 )
energia: m(c 2 )
Os seguintes dados são de utilidade:
1 MeV = 1.6021892(46) × 10 −6 erg,
1 GeV/c 2 = 1.78 × 10 −24 g,
1 erg = 6.242 × 10 5 MeV,
= 6.242 × 10 11 eV,
c = 1.9732858(51) × 10 −11 MeV cm
= 197.32858(51) MeV fermi
= 1.9732858(51) × 10 −16 GeV m
1 metro = 5.07 × 10 15 GeV −1 ,
1 fermi = 10 −13 cm = 5.07 GeV −1 ,
1 s = 1.52 × 10 24 GeV −1 ,
e = √ 4πα ( sem dimensão em unidades naturais)
[e] = [(c) 1 2 ] (no sistema racionalizado de Heaviside-Lorentz)
e| Heaviside-Lorentz = √ 4π e∣ = 1
√ e
Gaussiano ɛ0
∣ .
Sistema Internacional
As seções de choque usualmente são expressas em milibarns (mb),
1 mb = 10 −3 b = 10 −27 cm 2 ,
18

1 GeV −2 = 0.389 mb.
A constante de estrutura fina α é definida como a razão da energia
eletrostática de repulsão entre dois elétrons, a distância de um comprimento
Compton um do outro, com respeito à energia em repouso do elétron:
α = e2 /(/mc)
mc 2
= e2
c ≃ 1
137 .
O alcance de uma força é uma conseqüência do princí ipio de incerteza
de Heisenberg: Para medir a energia com precisão é necessário um tempo
longo de observação,
∆E∆t ≥ /2.
Isso implica que uma flutuação da energia de uma partícula não é observável
se ocorre num intervalo de tempo suficientemente pequeno,
∆t ≈
2∆E .
Por exemplo, uma partícula pode dar emprestado uma energia ao fóton
sempre que o ∆t seja restringido como na expressão acima.
distância que o fóton pode viajar com essa energia “emprestada”é R
R = c∆t =
c
2∆E ,
e como um fóton de comprimento de onda λ satisfaz
temos que neste caso
temos
∆E = hc
λ
R = λ
4π .
A máxima
Por outro lado, se a partícula tem massa diferente de zero ∆E = mc 2 e
R =
c
2mc 2 ≈ 10−18 m
se m = 100 GeV, que é mais ou menos o alcance da força fraca.
19

Capítulo 2
CINEMÁTICA
RELATIVÍSTICA
Na maioria dos casos, seja nos laboratórios ou no universo afora, a velocidade
das partículas elementares é quase a velocidade da luz no vácuo. A maioria
é instável, com vidas médias que variam de minutos até 10 −23 segundos!
Como é possível “medir” as propriedades de tais partículas? Afinal,
sabemos que as partículas elementares não têm sido apenas “pesadas” mas
também “classificadas” em diferentes espécies, e até sabemos com qual
freqüência umas se transformam nas outras.
O objetivo deste curso é mostrar como isso é feito, mas vamos nos colocar
numa situação em que as dificuldades experimentais já acabaram e as
teóricas ainda não começaram. Estas últimas ficam para os próximos cursos.
Ou seja, vamos considerar muitas das leis e propriedades das partículas
elementares que não dependem da dinâmica subjacente, ou como diz-se hoje
em dia, independente do modelo. As propriedades discutidas aqui deverão
ser válidas quando for proposto um modelo da dinâmica das interações (o
modelo padrão). De fato algumas delas, como as simetrias globais, apare-
20

cem de maneira “natural” no contexto do MP. As aspas vêm porque devemos
explicar ainda o que entendemos por natural.
A cinemática relativística é uma ferramenta essencial no estudo das propriedades
das partículas elementares. Ela permite que partículas sem carga
elétrica, e que por isso não podem ser registradas em qualquer detector,
possam ser reconhecidas.
Por outro lado, nenhum relógio pode medir tempos menores que 10 −18
segundos diretamente mas, estudando a cinemática é possível fazê-lo até
10 −23 segundos.
De fato, com exceção do próton, do elétron e de outros mésons carregados,
a maioria das partículas elementares foi descoberta fazendo cálculos
cinemáticos. A cinemática completa aquilo que é visto nos experimentos. É
claro que nem tudo é cinemática, existe toda uma parte experimental com
suas técnicas sofisticadas, processamento de dados etc. Também temos a
dinâmica procurada pelos físicos teóricos, agora bem descrita no MP.
Os processos que estudaremos nesse capítulo são de dois tipos:
• Uma partícula elementar transforma-se em outras,
A → B + C + D + · · ·
• Duas partículas elementares colidem e originam duas ou mais partículas
elementares, sendo que duas destas podem, ou não, ser iguais às duas
incidentes.
A + B → C + D + · · ·
Experimentalmente registra-se o que colidiu e o que foi produzido, o que
decaiu e os seus produtos. Mede-se, por exemplo, a direção e o momento
das partículas, a taxa de produção etc.
O problema de obter uma dinâmica que descreva as intereções entre
partículas elementares fica mais complicado que no caso de processos simi-
21

lares em mecânica clássica ou mesmo em mecânica quântica não relativista
porque, segundo a teoria quântica de campos, formalismo usado na física
de partículas elementares, temos que as partículas podem ser criadas ou
destruídas, e que existem partículas virtuais que não conservam a energiamomento,
i.e., p 2 ≠ m 2 c 2 para o caso de partículas com massa; ou p 2 ≠ 0
para partículas sem massa como o fóton.
2.1 Transformações de Lorentz
Como dissemos acima, usualmente as partículas têm velocidades perto da
velocidade da luz. 1
Por isso temos que usar a relatividade restrita para
descrever a cinemática de uma colisão. Nesse contexto, devemos considerar
as transformações de Lorentz entre dois observadores com velocidade relativa
⃗v e cada um em repouso com os respectivos sistemas de coordenadas
S e S ′ , respectivamente. 2
É suficiente para os nossos propósitos apenas o
caso em que a velocidade tem a direção do eixo-x no sentido positivo, i.e.,
x > 0.
É a chamada configuração padrão. Assim, as transformações entre
os dois sistemas de coordenadas S ′ e S, (ct ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) e (ct, x, y, z) são,
1 Mesmo quando isso não acontece como no caso da Física Nuclear onde, devido a
que as partículas tem baixas energias, podemos usar a cinemática não relativistica, ainda
assim é preciso considerar a relatividade especial porque os processo nucleares são uma
consequencia da lei E 0 = mc 2 .
2 Não pretendemos fazer aqui um tratamento detalhado da relatividade restrita, para
isso pode-se consultar o livro de J.D. Jackson, Eletrodinâmica Cássica, Cap. 11, 3a.
Edição, 1998, e as referências ali citadas. Pode-se usar a 2a edição também. Também
vale a pena Landau e Lifshitz [La89]. Livros mais especializados como Rindler devem ser
estudados também [Ri01, ST04].
22

espectivamente,
onde
ct ′ = γ(ct − βx),
x ′ = γ(x − βct),
y ′ = y,
(2.1)
z ′ = z,
β ≡ v c ≤ 1, γ ≡ (1 − β2 ) − 1 2 ≥ 1, (2.2)
e c, como usual, é a velocidade da luz no vácuo. As transformações de
Lorentz inversas são obtidas fazendo t ′ , x ′ , y ′ , z ′ → t, x, y, z, e β → −β.
Uma conseqüência das transformações de Lorentz são: 3 i) a contração das
distâncias,
∆x ′ = γ∆x ≥ ∆x,
e ii) a dilatação do tempo,
∆t = γ∆t ′ ≥ ∆t ′
.
Um exemplo no qual se verifica a dilatação do tempo é o decaimento do
múon-µ − . Ele tem uma vida média τ µ = 2.26 × 10 −6 segundos no sistema
de repouso do múon. Mesmo que o múon viajasse com a velocidade da
luz, seu caminho livre médio, l, seria l = cτ µ = 6.78 × 10 4 cm ≃ 700 m.
No entanto, experiências com balões indicam uma penetrabilidade média
na atmosfera terrestre de 30 km. Isso implicaria uma vida média de perto
de 10 −4 segundos. A dilatação do tempo da relatividade restrita está em
acordo com esses dados.
3 Mais detalhes nos livros de relatividade como [La89, Ri01, ST04].
23

2.2 Vetores de Lorentz
Qualquer objeto que se transforme como na (2.3) diz-se que é um 4-vetor de
Lorentz. Isto é, se a = (a 0 ,⃗a) é um 4-vetor arbitrário, suas componentes se
transformam como:
a ′0 = γ(a 0 − βa 1 ),
a ′1 = γ(a 1 − βa 0 ),
(2.3)
a ′2 = a 2 ,
a ′3 = a 3 .
As transformações inversas podem ser obtidas das (2.3) trocando as primas
e β → −β, [da mesma maneira que em (2.1)]:
a 0 = γ(a ′0 + βa ′1 )
a 1 = γ(a ′1 + βa ′0 )
a 2 = a ′ 2
a 3 = a ′3 .
(2.4)
Definimos o produto escalar entre dois 4-vetores a e b assim:
a · b = a 0 b 0 − ⃗a ·⃗b = η µν a µ b ν , (2.5)
onde η µν é o tensor métrico, η µν = η µν = diag(+1, −1, −1, −1).
Um 4-vetor a pertence a um dos tipos seguintes:
• tipo-tempo, a 2 > 0,
• tipo-luz, a 2 = 0,
• tipo-espaço, a 2 < 0,
• zero, a = 0.
Por simplicidade assumimos que a componente temporal de um vetor tipotempo
ou tipo-luz é positiva. Sempre é possível achar uma transformação
de Lorentz que leve um vetor a uma das seguintes formas:
24

• a = (+ √ (a 2 ), 0, 0, 0), se a é tipo-tempo,
• a = (1, 1, 0, 0), se a é tipo-luz,
• a = (0, √ (a 2 ), 0, 0), se a é tipo-espaço.
Se a é tipo-tempo, o sistema de referência no qual o vetor tem a forma
acima é chamado o Sistema de Repouso (SR) de a. Há várias maneiras de
parametrizar um vetor. Estas serão estudadas quando for necessário. No
entanto, uma delas merece destaque pois introduz um parâmetro importante
chamado rapidez.
As transformações de Lorentz definidas em (2.1) ou (2.3) formam um
grupo abeliano. 4 Por exemplo, consideremso três referenciais todos na configuração
padrão. Seja v 1 a velocidade relativa entre S e S ′ , v 2 a velocidade
relativa entre S ′ e S ′′ . Com elas podemos obter a velocidade relativa, v 3 ,
entre S e S ′′ :
v 3 = v 1 + v 2
1 + v 1v 2
c 2 , (2.6)
e o respectivo factor relativístico
(
γ 3 = γ 1 γ 2 1 + v )
1v 2
c 2 . (2.7)
A Eq. (2.6) coincide com a lei de adição de velocidades relatiística. v 3 ≤ c.
Se, uma das velocidades for igual a c, por exemplo v 2 = c, temos v 3 = c.
Assim a maior velocidade possível é a da luz no vácuo. 5
Isso garante a princípio da causalidade. Por exemplo, sejam dois eventos
E 1 e E 2 , se x 1 = 0 e t 1 = 0 e x 2 = L e t 2 = T para um observador que pode
dizer que o evento E 1 é a causa do evento E 2 . Mas, para um observador com
velocidade relativa v com relação ao primeiro temos que o evento E 2 ocorre
4 Isso não é verdade para uma transformação de Lorentz arbitrária.
5 Na verdade c é o parâmetro nas transformações de Lorentz, normalmente é identificado
com a velocidade da luz, mas não é necessŕio que assim seja.
25

no tempo ct ′ 2 = (cT − (v/c)L)γ(v). Se impomos que t′ 2 < 0, ou seja, que
o evento E 2 ocorra antes do evento E 1 para o segundo observador, temos
que vV > c 2 e pelo menos uma das duas velocidades deve ser maior que
c. Nesse caso teriamos uma violação ao princípio de causalidade, a causa
(evento E 1 ) ocorre antes que o efeito (evento E 2 ) para o segundo observador.
Assim não é possível que ocorram na natureza velocidades maiores que a da
luz no vácuo. Esse critério aplica-se para corpos materiais, os quais pode-se
mostrar não podem ser acelerados de uma velocidade zero até a velocidade
da luz, ou para processos que podem ser inicializados voluntariamente, ou
seja que possam carregar informação. Podemos dar exemplo de velocidades
superluminares mas que não violam o princípio da causalidade.
A aditividade das velocidades e a estrutura de grupo das TL na consiguração
padrão pode ser visto mais claramente, introduzindo o parâmetro
ξ chamado rapidez (rapidity), definido assim:
v
c = tanh ξ, γ = cosh ξ, γv
c
= sinh ξ, (2.8)
que faz um mapeamento do intervalo −1 ≤ v/c ≤ 1 em −∞ < ξ < ∞. Pelas
Eqs. ( 2.6) e ( 2.7) verifica-se que,
v 3
c ≡ tanh ξ 3 = tanh ξ 1 + tanh ξ 2
1 + tanh ξ 1 tanh ξ 2
= tanh(ξ 1 + ξ 2 ), (2.9)
ou seja, que a rapidez é aditiva sob transformações de Lorentz paralelas:
ξ 3 = ξ 1 + ξ 2 . (2.10)
As transformações de Lorentz das Eqs. (2.3) escrevem-se, em termos da
rapidez, como:
a ′ 0
a ′ 1
= cosh ξ a 0 + sinh ξ a 1
= sinh ξ a 0 + cosh ξ a 1 (2.11)
26

e as transformaçõesde Lorentz inversas (2.4) são dadas por:
a 0 = cosh ξ a ′ 0 + sinh ξ a
′1
a 1 = sinh ξ a ′ 0 + cosh ξ a
′1 , (2.12)
que também deixam invariante a hipérbole (a 0 ) 2 − (a 1 ) 2 = cte = a 2 .
rapidez parametriza todos os vetores a que são obtidos a partir de ( √ (a 2 ),⃗0)
e (0, √ (a 2 ), 0, 0). Equivale a uma rotação imaginária porque cos iξ = cosh ξ
e sin iξ = i sinh ξ. Ver Fig. 1. Inversamente temos para a rapidez,
ξ = ln(γ + vγ) = 1 2 ln 1 + v
1 − v = 1 2 ln E + p
E − p = ln E + p
m . (2.13)
2.3 Conservação da Energia-Momento
Papel importante têm na cinemática as leis de conservação da energia e
do momento. Em física de partículas elementares, as formas de energia que
devemos considerar são a energia cinética e a energia em repouso. Em poucos
casos utilizamos a energia potencial ou outro tipo de energia. Em todo caso,
quando diferentes tipos de energias devem ser consideradas, usualmente o
são por tempos curtíssimos. Antes e depois de um processo temos partículas
livres e, aqui sim, apenas a energia cinética e a de repouso contam.
As partículas elementares são idênticas entre si e caraterizadas por números
quânticos e sua massa. 6
A energia de repouso, E 0 , de uma partícula elementar
é aquela medida num sistema de referência no qual a partícula está
em repouso. No caso dos referenciais S e S ′ , vamos considerar sempre que é
6 Para uma discussão da massa em relatividade especial ver: L.B. Okun, The Concept
of Mass (mass, energy, relativity), Sov. Phys. Usp. 32, 629(1989); The Concept of
Mass, Physics Today, 42(6), 31 (1989); ibid, 43(5), 15 (1990); The Concept of Mass
in the Eisntein Year, hep-ph/0602037; G. Oas, On the Abuse and Use of Relativistic
Mass, physics/0504110; On the Use of Relativistic Mass in Various Published Works,
physics/0504111.
A
27

o refencial S ′ que se move com velocidade ⃗v relativa ao sistema S, ao longo
do eixo-x positivo.
As transformações de Lorentz entre a energia-momento nos sistemas S ′
e S são
E
c
= γ(
E′
c
+ βp′ x),
p x = γ(p ′ x + β E′
c ),
p y = p ′ y,
p z = p ′ z.
(2.14)
As transformações da energia e momento total entre o sistema comovel com
a partícula (se o observador está em repouso no referencial S ′ , então ⃗p ′ =
0, E ′ = mc 2 ) e o do observador no laboratório (E, ⃗p) estão dadas por
E = mc 2 γ(v), ⃗p = m⃗vγ(v), γ(v) = (1 − v 2 /c 2 ) −1/2 . (2.15)
Mesmo que essas equações tenham sido deduzidas usando as transformações
de Lorentz na configuração padrão [Eqs. (2.4)] são válidas para o caso de
transformações de Lorentz gerais (direção arbitrária).
A energia cinética, T , está relacionada com a energia total e a energia de
repouso como: E = E 0 +T , como pode ser facilmente verificado expandindo
a expressão de E em (2.15), logo T = E − E 0 = E 0 (γ − 1), com E 0 = mc 2 .
Assim, em termos da energia cinética temos
γ = T E 0
+ 1, (2.16)
e a variaçãode γ é
∆γ = ∆T
E 0
,
para um elétron de 5 keV, ∆γ ∼ 1 %. Para um de 50 keV ∆γ ∼ 10 %.
Ou seja, já é perceptível o desvio com relação ao esperado no caso não
relativístico. Mas tudo vai depender da precisão com a qual serão feitas as
medidas comparadas com os cálculos teóricos.
28

Classicamente podemos medir a massa de qualquer “projétil” medindo
o momento ⃗p e a energia cinética T : m = |⃗p| 2 /2T . As partículas elementares
no entanto, como já dissemos, são geralmente relativísticas e
devemos usar as relações da relatividade restrita, mas o “m” é o mesmo.
Em partículas elementares encontramos freqüentemente a necessidade de
fazer transformações do sistema do laboratório (SL), onde as medições são
feitas, ao sistema do centro de momento (SCM) 7 onde, geralmente, são
feitos os cálculos teóricos. Para isso usamos as transformações de Lorentz
consideradas acima. 8
A massa é um invariante de Lorentz, isto é, tem o mesmo valor em
qualquer referencial. Existe a seguinte relação entre a energia total, E, e o
3-momento ⃗p, usando a definição em (2.5) para o produto escalar de dois
4-vetores,
p 2 ≡ p · p ≡ E2
c 2 − |⃗p |2 = m 2 c 2 . (2.17)
Note a notação ⃗p · ⃗p ≡ |⃗p | 2 . Também usaremos maiúsculas para denotar o
modulo do trivetor, i.e., |⃗p | ≡ P , etc.
Para uma partícula com 3-velocidade ⃗u em um dado referencial, definimos
o 4-vetor momento p e a 4-velocidade u como
p µ = mu µ = m dxµ
dτ
= mγ(U)(c, ⃗u)
( )
E
=
c , mγ(U)u x, mγ(U)u y , mγ(U)u z , (2.18)
onde τ é o tempo próprio da partícula dt/dτ = γ, U = |⃗u|.
Com essa
definição temos que u · u = c 2 . (Podemos definir a 4-velocidade como u µ =
dx µ /ds, e neste caso u · u = 1).
A conservação da energia refere-se sempre à energia total, E.
Usualmente,
em física nuclear, onde normalmente a energia em repouso é maior
7 Na literatura é mais comum chamar a este referencial “sistema de centro de massa”.
8 Sempre estaremos assumindo as transformações particulares das Eqs. (2.3).
29

que a energia cinética, quando se diz “uma partícula de tal energia” faz-se
referência apenas à energia cinética. Por exemplo, um próton de 0.1 GeV
tem E = E 0 + T = (0.938 + 0.1) GeV = 1.038 GeV, mas em altas energias,
onde a energia de repouso é desprezível, usa-se sempre a energia total.
Usualmente, a energia das partículas é expressa em unidades de momento
MeV/c ou GeV/c.
Aqui como dissemos no começo deste capítulo, por simplicidade, estaremos
interessados em dois tipos de processo: nos decaimentos e nas colisões
entre duas partículas produzindo outras e, na maioria dos casos apenas duas.
No decaimento A → ∑ B i , i = 1, · · · n, ou seja, de uma partícula de
energia E a e momento p a decaindo em n outras, com energias E n e momentos
⃗p n , as leis de conservação da energia e do momento são
E a = ∑ i
E i , e ⃗p a = ∑ i
⃗p i , (2.19)
respectivamente.
Numa colisão entre duas partículas essas leis ficam
E a + E b = ∑ i
E i ,
⃗p a + ⃗p b = ∑ i
⃗p i . (2.20)
2.4 Transformações de Lorentz entre o SL e o SCM
O SCM é definido como aquele referencial no qual o centro de massa das
partículas que colidem está em repouso. Na notação da seção anterior vamos
escolher o sistema S ′ como sendo o SCM. Nesse sistema de referência, no caso
não relativístico, podemos transformar o problema de duas partículas com
massas m 1 e m 2 colidindo no problema de um só corpo, com uma massa reduzida
µ ≡ (m 1 m 2 )/(m 1 +m 2 ) e velocidade ⃗v, que corresponde à velocidade
com que a partícula de massa m 1 incide sobre a outra, em repouso, de massa
m 2 . O Sistema de Laboratório é aquele em que é feita uma determinada
30

experiência, e por isso pode ter definições diferentes. Aqui consideraremos
que é o referencial S. Estamos supondo sempre que os sistemas SL e SCM se
consideram inerciais. Assim podemos transformar uma quantidade definida
num desses referenciais na correspondente quantidade no outro, usando uma
transformação de Lorentz entre os sistemas S (agora SL) e S ′ (agora SCM)
consideradas por exemplo na Eq. (2.14).
9
Definimos o SCM como o referencial onde a soma vetorial dos 3-momentos
antes e depois da colisão é nula:
∑ ⃗P = 0,
assim, numa colisão de dois corpos não apenas os momentos iniciais são
mutuamente antiparalelos, ao longo da direção de incidência, mas também
o são os momentos finais na direção (θ ∗ , φ ∗ ). Uma colisão no SL, como na
Fig. (2a) é representada no SCM pela Fig. (2b). Tratemos em datalhe o caso
da colisão entre duas partículas, a e b, com 4-momentos p a = (E a , P ⃗ a ) e p b =
(E b , P ⃗ b ). Os valores das componentes temporais e espaciais de p a e p b são
determinados pelas condições do experimento, ou melhor, do referencial do
observador. Diferentes referenciais implicam diferentes P ⃗ a e P ⃗ b . Usaremos a
notação seguinte: a ausência de um supercripto denotará quantidades no SL
e o asterisco ∗ as quantidades respectivas no SCM; exemplo E é a energia
total no SL, e E ∗ a energia total no SC; P ⃗ e P ⃗ ∗ denotam os respectivos
3-momentos etc.
Por definição
⃗P a ∗ + P ⃗ b ∗ = 0.
Casos particulares do SL são o sistema do alvo, isto é, aquele no qual o alvo
9 Nesta secção em particular, letras minúsculas denotarão 4-vetores e letras maiúsculas
denotarão 3-vetores: p (4-vetor), P ⃗ (3-vetor) ou P = | P ⃗ | (módulo do 3-vetor). Posteriormente
não se fará distinção deixando que o contexto indique que tipo de vetores estamos
considerando.
31

está parado,
⃗P b = 0,
e o sistema de feixes colidentes que é aquele sistema no qual duas partículas
de massa idênticas e igual módulo do 3-momento. 10 Na maioria dos anéis de
colisão o SL, quando a incidência das partículas idênticas e de igual energia
é frontal, coincide com o SCM.
Para tratar o exemplo seguinte, o SL é considerado o sistema de alvo
fixo e consideraremos o movimento na direção-x, 11
SCM : SL :
p ∗ a = (E ∗ a, P ∗ a , 0, 0) p a = (E a , P a , 0, 0)
p ∗ b = (E∗ b , −P ∗ a , 0, 0) p b = (m b , 0, 0, 0)
(2.21)
A maneira mais fácil de encontrar relações entre quantidades físicas definidas
nos referenciais SL e SCM é escrever essas quantidades em termos de invariantes
de Lorentz, mas também podemos encontrar relações diretas entre
essas quantidades no SL e SCM.
Se usamos as transformações de Lorentz para a energia e o momento
dadas na (2.14) identificando S ′ com o SCM e S com o SL e fazendo c = 1,
v será velocidade relativa entre o SCM e o SL. Então temos
P ∗ a = γ(P a − vE a ),
E ∗ a = γ(E a − vP a ),
(2.22)
10 Nem todos os colosires tem o SCM coincidindo com o SL. Por exemplo, no colisor
HERA de e − p no DESY, Alemanha são usados elétrons de 1.96 GeV e prótons de 39.73
GeV. Também no acelerador BBbar em Stanford são usados elétrons de 9.1 GeV e pósitrons
de 3 GeV. Para mais informações ver http://www-public.slac.stanford.edu/babar.
11 Quando não existir ambigüidade omitiremos a flecha para denotar a magnitude de um
3-vetor.
32

como ⃗v = ⃗ P /E, ver Eq. (2.15), e para o caso, ⃗ P = ⃗ P a + ⃗ P b temos
v = | ⃗ P a+ ⃗ P b |
E a+E b
| ⃗Pb =0 =
Pa
E a+m b
γ = (1 − v 2 ) −1/2 = Ea+m √ b
s
,
(2.23)
com s um invariante definido como (lembrar que estamos usando c = 1 aqui)
s = (p a + p b ) 2 = (E a + E b ) 2 − ( P ⃗ a + P ⃗ b ) 2 . (2.24)
No SL escrevemos
s = (E a + m b ) 2 − P ⃗ a 2 = m 2 a + m 2 b + 2m bE a , (2.25)
e, no SCM
s = (E ∗ a + E ∗ b )2 . (2.26)
Vemos que, neste sistema, o invariante s é o quadrado da soma das energias
das partículas incidentes, ou seja, √ s é a energia total.
De (2.22) e (2.23), obtemos
Pa ∗ = m b P a / √ s,
Ea ∗ = (m 2 a + m b E a )/ √ s,
Pb ∗ = −m bP a / √ s = −Pa ∗ ,
Eb ∗ = m b(E a + m b )/ √ s.
(2.27)
Podemos então escrever as energias e os momentos em termos de invariantes.
Isto é, pode-se encontrar uma relação entre s, m a , m b e as variáveis
não invariantes E a , P ⃗ a e E b , P ⃗ b que seja válida para qualquer observador.
No SL, P ⃗ b = 0 e E b = m b , da Eq. (2.25) segue
E a = (s − m 2 a − m 2 b )/2m b, (2.28)
e desta que
(P a ) 2 = (E a ) 2 − m 2 a
= [(s − m 2 a − m 2 b )2 − 4m 2 am 2 b ]/4m2 b , (2.29)
33

ou, definindo a função de Källen (ou triangular) 12
λ(x, y, z) = (x − y − z) 2 − 4yz, (2.30)
temos
P a = λ 1 2 (s, m
2
a , m 2 b )/2m b. (2.31)
Pode-se mostrar que
λ(s, m 2 a, m 2 b ) = [s − (m a + m b ) 2 ][s − (m a − m b ) 2 ], (2.32)
logo, P a é uma função real se √ s ≥ m a + m b . Como veremos mais adiante,
este valor mínimo de √ s corresponde ao caso de velocidades iguais ⃗v a = ⃗v b .
Esse limite é obtido também considerando a energia cinética,
T a = E a − m a = [s − (m a + m b ) 2 ]/2m b .
No SCM onde ⃗ P ∗ a + ⃗ P ∗ b = 0, usando a notação P = | ⃗ P |, temos
P ∗ a = P ∗ b = P ∗ ,
e também sabemos que
√ s = E
∗
a + E ∗ b .
Das duas últimas relações obtemos que
e quadrando duas vezes esta última
√ √ √
s = P ∗2 + m 2 a + P ∗2 + m 2 b ,
E ∗ a = (m 2 a − m 2 b + s)/2√ s, E ∗ b = (m2 b − m2 a + s)/2 √ s, (2.33)
e
P ∗ = λ 1 2 (s, m
2
a , m 2 b )/2√ s. (2.34)
12 É possível escrever esta função λ em diferentes formas.
34

Em física de partículas elementares, as energias são usualmente maiores
que as massas em repouso, então, é possível usar algumas aproximações. Por
exemplo, consideremos uma colisão próton-próton no SL. Um dos prótons é
o incidente com P a ≡ P ≥ 5 rmGeV /c e o outro está em repouso P b = 0.
Podemos verificar que nessas condições a massa em repouso é desprezível e
podemos assumir que
E = P, e s ≃ 2m p P
e, no SCM
E ∗ a ≃ E ∗ b ≃ P ∗ a ≃ P ∗ b ≃ 1 2
√ s ≃
√
(m p P/2).
Se, por exemplo, P = 19, GeV/c na colisão, os valores exatos são Ea ∗ = Eb ∗ =
3.06 GeV, Pa ∗ = Pb ∗ = 2.91 GeV/c e s = 37.45 GeV2 , na aproximação acima
Ea ∗ = 3.08 GeV e s = 38 GeV 2 , respectivamente.
A energia √ s é a energia útil pois é ela que está disponível para a criação
de partículas. O resto da energia é usado no movimento do centro de massa.
No exemplo acima, como m P ≃ 1 GeV temos que √ s ≃ √ 2P a , vemos então
que aumentando 4 vezes o momento da partícula incidente, √ s crescerá só
um fator 2. Este é o motivo de serem usados colisores nos quais a energia
do centro de massa é nula e assim, toda a energia está disponível para a
criação de partículas.
Caso de n Partículas
Sejam p 1 , p 2 , ... um conjunto de 4-momentos. Podemos formar com eles
três tipos de invariantes, tais que qualquer outro invariante possa ser expresso
em termos destes:
a) Produtos escalares,
35

p i · p j = E i E j /c 2 − ⃗ P i · ⃗P j , i.j = 1, 2, · · ·
Para o caso de duas partículas, em vez de p 1 · p 2 usamos a variável s 12 : o
quadrado da massa invariante das duas partículas,
s 12 = (p 1 + p 2 ) 2 = m 2 1 + m 2 2 + 2p 1 · p 2
que já consideramos acima, ou t 12 , o invariante do momento transferido:
t 12 = (p 1 − p 2 ) 2 = m 2 1 + m 2 2 − 2p 1 · p 2
Sendo m 1 e m 2 constantes s 12 , t 12 e p 1 · p 2 têm seu valor extremo simultaneamente.
Fixando ⃗p 1 , isso ocorre quando
∂(p 1 · p 2 )
∂ ⃗ P 2
que é zero quando ⃗v 1 = ⃗v 2 .
(
P2 ⃗
= E 1 − P
E ⃗ ⃗P1
1 = −E 1 − ⃗ )
P 2
= −E 1 (⃗v 1 − ⃗v 2 )
2 E 1 E 2
Esta é uma condição invariante de Lorentz
porque velocidades iguais são iguais em qualquer referencial (verifique esta
afirmação). O valor extremo se encontra diretamente no referencial ⃗v 1 = ⃗v 2
que dá
logo
p 1 · p 2 =
(
1 − ⃗v )
1 · ⃗v 2 E1 E 2
c 2 c 2
= γ 2 E 1E 2
c 2 ≥ m 1 m 2 c 2 ,
s 12 ≥ (m 1 + m 2 ) 2
t 12 ≤ (m 1 − m 2 ) 2 c 2 (2.35)
O sinal igual corresponde a ⃗v 1 = ⃗v 2 em qualquer referencial.
b) O sinal da componente da energia de um 4-vetor tipo-tempo é invariante
pois estamos considerando apenas transformações de Lorentz ortócronas.
c) A quantidade
ε = ε αβµν a α b β c µ d ν ,
36

é invariante, com ε αβµν sendo o tensor completamente anti-simétrico de
Levi-Civita em 4 dimensões.
2.5 A Seção de Choque
O resultado de uma colisão é dado em termos de uma seção de choque. Essa
quantidade representa a área efetiva da colisão e, usualmente, é dada em
cm 2 ou nas unidades barns definidas como
1b = 1 barn = 10 −24 cm 2 = 100 fm 2 ,
onde fm denota a unidade “fermi”ou “fentômetro”definida como
1 fm = 10 −13 cm.
Consideremos um feixe colimado de partículas monoenergéticas incidindo
num material de área normal A, e espessura d. Se este material contém n
alvos, a densidade de alvos, i.e., o número de alvos por unidade de volume é
N = n Ad
Por exemplo, para um gás monoatômico em condições STP (standard temperature
and pression) N = 2.687×10 19 cm −3 . Se a espessura d é suficientemente
pequena podemos assumir que não há superposição dos alvos e que há
apenas uma colisão por partícula incidente. Cada alvo tem uma área efetiva
σ. Nestas condições, a área efetiva total do alvo é nσ e a probabilidade, P ,
de que a partícula incidente colida de fato é
P = nσ A = N σd.
Se o número de partículas incidentes por segundo é N, a taxa de reação
R, isto é, o número de reações por segundo é
R = P N = NN σd,
37

ou seja, R = Nnσ/A. A seção de choque então pode ser expressa em termos
de parâmetros relativos às condições experimentais:
σ = R N
1
n/A =
reações/seg
(part. inc./seg)(núm. de alvos/cm 2 ) . (2.36)
O número de centros de espalhamento n num alvo que consiste de um
núcleo com peso atômico A e densidade ρ esta dada por
n = N Aρ
A ,
onde N A é o número de Avogadro, N A = 6.0222 × 10 23 mol −1 .
O conceito de seção de choque é de grande utilidade em várias ramas
da física, mas o que queremos aqui é defini-la no caso de uma teoria
quântico-relativística. Antes, no entanto, consideremos o caso de dinâmica
de partículas relativística, para depois generalizar o conceito para o caso que
nos interessa.
Caso da Mecânica Relativística
As colisões em mecânica relativística caracterizam-se pela seção de choque
invariante a qual determina o número de colisões (eventos) entre as partículas.
Consideremos para simplificar o caso de dois feixes de partículas em colisão.
Assumiremos que as colisões envolvem sempre uma partícula de cada feixe.
Sejam n a e n b as respectivas densidades número de partículas (ou seja,
o número de partículas por unidade de volume), com velocidades ⃗v a e ⃗v b
no sistema de referência arbitrário. No referencial de repouso da partícula
B, temos a colisão da partícula A com um alvo estacionário e neste caso
definimos a seção de choque total σ como o fator com dimensão de área na
expressão do número de colisões, dN, num volume dV e num intervalo de
38

tempo dt:
dN = σ v rel n a n b dV dt (2.37)
onde v rel é a velocidade relativa das partículas no referencial de repouso da
partícula B. De fato, essa é a definição de velocidade relativa entre duas
partículas. Podemos escolher qualquer uma para definir essa velocidade.
Note que a seção de choque está relacionada com a probabilidade de que
a colisão ocorra, uma seção de choque grande implica muitas colisões, o
contrário para uma seção de choque pequena.
Como dN é o número de eventos (colisões), deve ser um invariante,
ou seja, não deve depender do observador. Devemos então escrever uma
expressão para dN que seja válida em qualquer observador:
dN = An a n b dV dt, (2.38)
onde A é uma quantidade a ser determinada. Sabemos apenas que para um
observador em repouso com a partícula B, segundo a Eq. (2.37): A = σv rel .
Como sempre vamos considerar que a seção de choque σ no referencial de
repouso de uma das partículas, por definição é invariante. Também a própria
definição de velocidade relativa é invariante. Nesse caso, A é um invariante
relativístico também. Por outro lado o fator dV dt é invariante também
dV dt = (dV ′ γ −1 )(dt ′ γ) = dV ′ dt ′ . Assim o produto An a n b deve ser invariante.
Devemos então determinar como transforma n a,b . Como o número
de partículas ndV em um elemento de volume dV , é um “evento”, ou seja,
não deve depender do observador, ndV = n ′ dV ′ (o referencial “linha”é o de
um observador arbitrário), ou seja, n = n ′ γ = n ′ (E/m) onde E é a energia
total da partícula e m sua massa (essa análise vale para partículas massivas,
para partículas sem massa podemos usar o referencial do centro de massa).
Estudar a invariância relativística de An a n b é igual a estudar a de AE a E b ,
mas por efeitos de dimensão e, para ganhar generalidade, estudaremos o
39

invariante definido como:
A E aE b E a E b
= A
. (2.39)
p a · p b E a E b − ⃗p a · ⃗p b
No sistema de repouso da partícula B, temos que E b = m b , ⃗p b = 0, A
reduz-se a σv rel como deve ser. Logo, num referencial arbitrário
e a Eq. (2.38) fica
A = σ v rel
p a · p b
E a E b
(2.40)
dN = σ v rel
p a · p b
E a E b
n a n b dV dt. (2.41)
No referencial de repouso da partícula B
de onde obtemos
√
Como
v rel =
1 −
p a · p b = E a m b = m a m b γ =
√
m am b
,
1 − vrel
2
(
ma m b
p a · p b
) 2
= 1
p a · p b
√
(p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b . (2.42)
p a · p b = E a E b − ⃗p a · ⃗p b = E a E b (1 − ⃗v a · ⃗v b ) = m am b (1 − ⃗v a · ⃗v b )
√(1 − v 2 a)(1 − v 2 b ) ,
temos que a velocidade relativa está dada também por
v rel =
√
(⃗va − ⃗v b ) 2 − (⃗v a × ⃗v b ) 2
1 − ⃗v a · ⃗v b
. (2.43)
Podemos escrever a Eq. (2.41) de várias formas:
√
(p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b
dN = σ
n a n b dV dt, (2.44)
E a E b
ou
dN = σ √ (⃗v a − ⃗v b ) 2 − (⃗v a × ⃗v b ) 2 n a n b dV dt. (2.45)
40

No caso de velocidades colineares ⃗v a × ⃗v b = 0 e temos
dN = σ |⃗v a − ⃗v b | n a n b dV dt. (2.46)
No SCM:
(p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b = P ∗2 (E ∗ a + E ∗ b )2 (2.47)
onde P ∗ = |⃗p ∗ |, e obtemos
dN = σ P ∗ (Ea ∗ + Eb ∗)
EaE ∗ b
∗ n a n b dV dt. (2.48)
√
Por outro lado, no SL temos: (p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b = m b|⃗p a |.
A análise clássica de partículas relativísticas é incorporada na teoria
quântica de campos.
Mas dois conceitos de origem puramente quântica
devem ser acrescentados: o conceito de densidade do espaço de fase e o de
partículas idênticas. O conceito de espaço de fase pode ser discutido no caso
não relativístico, o que será feito na próxima seção. Depois discutiremos o
caso quântico-relativístico.
2.6 O Espaço de Fase
Em mecânica quântica, a definição de probabilidade de transição é dada
pela chamada regra de ouro de Fermi. Esta regra dá a taxa de transição de
um estado inicial α a um estado final β (usaremos a notação |α〉 → |β〉 ou
apenas α → β). A regra é:
W βα = 2π |〈β| H int |α〉|2 ρ(E), (2.49)
onde H int denota a Hamiltoniana de interação. Não interessa, por enquanto,
a sua expressão matemática. A dedução da Eq. (2.49) é feita nos cursos de
mecânica quântica, por exemplo, para a interação eletromagnética, e por
isso não será considerada aqui. O fator ρ(E) na Eq. (2.49) é chamado fator
41

de espaço de fase, e será discutido abaixo. A definição na Eq. (2.49) é
válida mesmo no caso de teoria quântica de campos. Devemos encontrar
agora uma maneira de calcular o fator de espaço de fase que é definido
formalmente como ρ(E) = dN/dE.
Caso de 1 Partícula
Consideremos, por simplicidade, o caso unidimensional com a partícula
movendo-se na direção-x com um momento p x . O espaço de fase, então, é
um espaço bidimensional, dado pelas posições e momentos simultaneos da
partícula, xp x . A representação é diferente no caso clássico e no quântico.
No caso clássico, tanto a posição como o momento podem ser medidos simultaneamente
com precisão arbitrária e os estados da partícula podem ser
representados por pontos no espaço xp x .
temos a relação de incerteza
∆x ∆p x ≥ /2,
Na mecânica quântica, porém,
que limita a descrição no espaço de fase, dado que implica que não podemos
medir simultaneamente, com precisão arbitrária, a posição e o momento. O
produto das incertezas deve ser maior que /2 e, por isso, a partícula deve
ser representada por uma célula (área igual ou maior que /2) no espaço de
fase. A forma da célula depende das medições feitas, mas a área, neste caso
unidimensional, é sempre 2π. Por exemplo, na área Lp, o número máximo
de células que nela podem ser empacotadas é
N = Lp
2π , (2.50)
e N é o número de estados na área Lp. O número de estados não necessariamente
coincide com o número de partículas. Um estado pode acomodar só
42

um férmion, mas um número arbitrário de bósons. Por exemplo, a partícula
numa caixa de largura L, tem os níveis de energia
E = π2 2
2mL 2 n2 , n = 1, 2, ...
para cada energia há dois possíveis valores do momento p = ± √ 2mE, onde
o sinal indica a direção do movimento ao longo do eixo-x. Podemos verificar
que a Eq.(2.50) é satisfeita (o fator 2 aparece pelos dois valores possíveis do
momento).
A Eq.(2.50) é válida para uma partícula com um grau de liberdade. Para
o caso de uma partícula em três dimensões, o volume da célula do espaço de
fase é h 3 = (2π) 3 e o número de estados num volume ∫ d 3 xd 3 p está dado
por
∫
1
N 1 =
(2π) 3 d 3 xd 3 p.
Se a partícula está confinada num volume espacial V temos
N 1 =
V ∫
(2π) 3 d 3 p. (2.51)
O subíndice 1 indica que N 1 é o número de estados de 1 (uma) partícula.
O fator densidade de estados ρ definido na Eq. (2.49) é
ρ 1 = dN 1
dE = V ∫
d
(2π) 3 d 3 p =
V ∫
d
dE (2π) 3 p 2 dpdΩ,
dE
onde dΩ é o elemento de ângulo sólido. Como E 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 temos
que
d
dE = E d
pc 2 dp ,
então
ρ 1 =
V ∫
Ep
(2π) 3 c 2 dΩ. (2.52)
Se não estamos interessados numa direção particular, podemos integrar a
Eq.(2.52) por todo o ângulo sólido e temos
ρ 1 =
V pE
2π 2 c 2 3 . (2.53)
43

Caso de 2 Partículas
Consideremos agora a densidade de estados para duas partículas, 1 e
2. Se o momento total das duas partículas é fixado, o momento de uma
determina o momento da outra. Quer dizer que não temos realmente novos
graus de liberdade e, por isso, o número total de estados no espaço dos
momentos está dado ainda pela Eq.(2.51). No entanto, o fator densidade
de estados é diferente que o da Eq.(2.52) porque agora E refere-se à energia
total das duas partículas.
onde
ρ 2 =
V
2π
d
dE
∫
d 3 p 1 =
V
2π
∫
d
dE
p 2 1dp 1 dΩ 1 ,
dE = dE 1 + dE 2 = p 1dp 1 c 2
E 1
+ p 2dp 2 c 2
Para facilitar, façamos o cálculo no SCM, isto é, ⃗p 1 + ⃗p 2 = 0, ou seja,
p 2 1 = p 2 2 −→ p 1 dp 1 = p 2 dp 2 ,
E 2
e
Temos finalmente que
ρ 2 =
dE = p 1 dp 1
E 1 + E 2
E 1 E 2
c 2 .
V
(2π) 3 E 1 E 2
(E 1 + E 2 )p 1 c 2 d
dp 1
∫
p 2 1dp 1 dΩ 1 ,
ou
ρ 2 =
V
∫
E 1 E 2
(2π) 2 (E 1 + E 2 )c 2 p 1
dΩ 1 . (2.54)
44

Caso de n Partículas
A extensão para o caso de 3 ou mais partículas é direta. Consideremos
três partículas sujeitas ao vínculo
⃗p 1 + ⃗p 2 + ⃗p 3 = 0.
O momento de duas partículas pode variar livremente mas o da terceira está
fixado. O número total de estados é
N 3 = V 2
(2π) 6 ∫
d 3 p 1
∫
d 3 p 2 ,
e o fator densidade de estados
ρ 3 = V 2
(2π) 6
∫
d
dE
d 3 p 1
∫
d 3 p 2 .
Finalmente, para o caso de n partículas temos
ρ n =
V (n−1)
(2π) 3(n−1)
∫
d
dE
∫
d 3 p 1 · · ·
d 3 p n−1 . (2.55)
2.7 Decaimentos e Colisões em Teoria Quântica de
Campos
Vamos introduzir agora os conceitos de seção de choque e de largura de
decaimento no caso de teoria quântica de campos.
45

Seção de Choque Invariante
Em geral, a seção de choque diferencial de ordem n tem uma estrutura
do tipo:
( ) (
)
dN/T
d n 1
σ =
d n ρ S, (2.56)
V Fluxo Inicial
onde dN/T dá a taxa de transição. Assim, o primeiro fator então dá a taxa
de transição por elemento de volume. O segundo fator é o fluxo incidente
das partículas A e B, d n Φ é a densidade de estados do espaço de fase das
partículas no estado final, e S é o fator estatístico que leva em conta o
número de partículas idênticas no estado final. S = ∏ j
(1/j!) se o número
dessas partículas for j.
O fator de fluxo inicial pode ser escrito, comparando a Eq. (2.56) com a
definição de dσ usando a Eq. (2.44),
(Fluxo Inicial) −1 =
=
E a E
√
b 1
,
(p a · p b ) 2 − m 2 am 2 n a n b
b
V 2
√
4 (p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b
, (2.57)
onde na primeira linha n a e n b representam a densidade de número de
partículas do tipo A e B, respectivamente.
O resto da notação é óbvia.
Na segunda linha colocamos a forma de como fica o fator de fluxo em teoria
quântica de campos.
Para simplificar usaremos um campo escalar complexo. Como será discutido
no curso de Teoria de Campos I, esse tipo de campo obedece à equação
de Klein-Gordon e tem uma corrente conservada da forma
e, se usarmos a solução de onda plana
j µ (x) = i(φ ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ ∗ ), (2.58)
φ(x) = Ne −ip·x ,
46

onde N é um fator de normalização, em geral complexo, obtemos
j µ (x) = 2p µ |N| 2 . (2.59)
Em particular, a densidade número de partículas é então ρ = 2E (ou,
na notação nossa, n = 2E). Como o número de partículas num volume,
ρdV , deve ser um observável. Temos, então que ∫ ρdV = 2E|N| 2 ∫ dV =
2E|N| 2 V . Podemos escolher a normalização de ter 2E partículas por volume
(que é obviamente invariante, dado que o fator γ da transformação de E
cancela o fator γ −1 da transformação de V ), o que implica a normalização
N = 1/ √ V . É este o fato que queremos justificar e que é válido em geral:
cada campo (de qualquer tipo, não apenas um campo escalar complexo),
numa amplitude, introduz um fator 1/ √ V . Esta é a razão do fator V 2 na
segunda linha da Eq. (2.57): n a = 2E a /V , n b = 2E b /V .
Pode-se verificar
que todos os fatores V cancelam-se quando levarmos em conta todos os
outros fatores na definição da seção de choque, assim, em geral, pode ser
escolhido um volume unitário V = 1 (mas não esquecer as dimensões).
O tratamento do espaço de fase da seção anterior usou a relação relativística
entre a energia e o momento, mas ele pode se usado num contexto
não relativístico, ou seja, a invariância relativística não era manifesta. Como
em física de partículas elementares os processos são relativísticos, vamos
considerar o espaço de fase numa forma que seja manifestamente invariante
relativística. Cada elemento do volume do espaço de fase está agora definido
como:
onde fator 1/2E i , com E 2 i
V d 3 p i
(2π) 3 2E i
, (2.60)
= ⃗p 2 i + m2 i é introduzido porque agora estamos
tratando o caso relativístico e d 3 p/2E é que é invariante de Lorentz. É fácil
verificá-lo, explicitamente escrevendo
d 3 ∫
p
2E = d 4 p δ(p 2 − m 2 ) θ(p 0 ).
47

O fator γ −1 = m/E corresponde ao fato de que a caixa na qual estamos
definindo a densidade de estados, vista pela partícula, sofre contração de
Lorentz.
Então, o elemento de volume do espaço de fase é
d n ρ =
n∏
i=1
V d 3 p i
(2π) 3 2E i
= V n
n ∏
i=1
d 3 p i
(2π) 3 2E i
. (2.61)
Na definição da seção de choque, o elemento de fluxo inicial e o fator
de espaço de fase introduzem um fator V 2+n no numerador. Falta agora
apenas ver o que substitui o fator dN/T V , para o caso de teoria quântica
de campos.
Podemos definir
M ′ = 〈φ ∗ 1 · · · φ ∗ n|H|φ a φ b 〉(2π) 4 δ 4 (
p a + p b − ∑ i
p i
)
. (2.62)
A primeira coisa a ser observada na Eq. (2.62) é que cada campo introduz
um fator 1/ √ V e temos n + 2 campos, então este fator produz, quando
quadrado um fator V −(2+n) que cancela o fator V 2+n do numerador e, por
isso, não sobrevive nenhum fator V na definição da seção de choque definida
na Eq. (2.56).
O problema é quadrar a amplitude M ′ . Um exemplo simples de calcular
é o quadrado de uma função-δ, por exemplo, a da energia:
[δ(E f − E i )] 2 = δ(E f − E i )
= δ(E f − E i )
∫ T/2
−T/2
∫ T/2
−T/2
e i(E F −E i )t dt
= δ(E f − E i )T. (2.63)
Claro que essa equação só tem sentido quando integrada no conjunto de
estados iniciais e finais. Na segunda para a terceira linha usamos E f = E i
dt
48

na integral apenas. Ou seja, neste caso temos
[δ(E f − E i )] 2 = δ(E f − E i )T.
No caso 4-dimensional temos (para maiores detalhes consulte um livro
de teoria quântica de campos):
[(
(2π) 4 δ 4 (p a + p b − ∑ )] 2 (
p i = (2π) 4 δ 4 p a + p b − ∑ )
p i V T.
i
i
Usando este resultado, obtemos o quadrado da expressão (2.62)
(
|M ′ | 2 = |M| 2 (2π) 4 δ 4 p a + p b − ∑ )
p i V T. (2.64)
i
onde definimos
|M| 2 = |〈φ ∗ 1 · · · φ ∗ n|H|φ a φ b 〉| 2 , (2.65)
Depois disso, vemos que o equivalente do fator clássico dN/V T , é |M ′ | 2 /V T .
Podemos então escrever a definição para a seção de choque diferencial compatível
com (2.56) e (2.57),
(
d n |M| 2
σ = √
(2π) 4 δ 4 p a + p b − ∑
4 (p a · p b ) 2 − m 2 am 2 b
i
p i
) n
∏
i=1
d 3 p i
(2π) 3 2E i
S.
(2.66)
Dependendo da forma usada para o fator de fluxo inicial podemos escrever
também:
d n σ =
(
|M|2 (2π) 4 δ 4 p a + p b − ∑ 2E a E b v a
i
p i
) n
∏
i=1
no referencial de repouso da partícula b ou, no SCM
d 3 p i
(2π) 3 2E i
S, (2.67)
d n σ =
|M| 2
2λ 1 2 (s, m 2 a, m 2 b )(2π)4 δ 4 (p a + p b − ∑ i
p i
) n
∏
i=1
d 3 p i
(2π) 3 2E i
S, (2.68)
onde λ é a função de Källen definida na Eq. (2.30).
49

Pode-se verificar que as seções de choque diferencial assim definidas têm
as dimensões corretas, em unidades naturais, [energia] −2 .
Consideremos a reação A + B → 1 + 2 +· · · + n, a qual aparece na Fig. 2.
No caso da interação fraca, veremos uma aplicação do caso de três partículas
mas numa situação que permite fazer algumas simplificações.
A conservação da energia-momento neste caso é
E a + E b =
n∑
E i , ⃗p a + ⃗p b =
i=1
n∑
⃗p i
i=1
com E 2 i
= ⃗p 2 i + m2 i , i = 1, 2, ...n, onde as massas m i são as massas das
partículas no estado final. Pela conservação do momento, nem todos os n
3-momentos, ⃗p i , são independentes para um estado inicial fixo, pois devem
satisfazer as equações acima.
Em alguns livros de texto, o espaço 3n-dimensional dos 3-momentos
sem vínculos é chamado de espaço dos momentos e a superfície (3n − 4)-
dimensional é chamada espaço de fase. Às vezes, no entanto, o espaço dos
momentos e o de fase são considerados sinônimos e a superfície de (3n − 4)
dimensões é chamada superfície de energia e momento constantes.
Para manisfestar propriedades dos dados experimentais e de modelos
teóricos usam-se massas invariantes ou momentos transferidos. Neste caso,
porém, o espaço de fase fica complicado.
Adaptaremos aqui alguns dos exemplos não relativísticos vistos na Sec. 2.6.
A amplitude probabilidade da transição de um estado inicial A + B a um
estado final com momentos ⃗p i bem definidos será denotada por
〈⃗p 1 · · · ⃗p n |H|⃗p a , ⃗p b 〉 ≡ M(⃗p i ), (2.69)
para o caso de uma reação do tipo A + B → 1 + · · · + n, e
〈⃗p 1 · · · ⃗p m |H|⃗p a 〉 ≡ T (⃗p i ), (2.70)
no caso de uma decaimento do tipo A → 1 + · · · + m.
50

Mas deve-se notar que este é um caso particular da Eq. (2.49) se identificamos
|α〉 → |⃗p a , ⃗p b 〉 e |β〉 → |⃗p 1 , · · · ⃗p n 〉 para o caso de uma reação. De
fato a definição da taxa de transição em (2.49) ainda é válida, mas agora
vamos escrever ρ(E) numa forma invariante de Lorentz e usar uma notação
mais apropriada para cálculos em teoria quântica de campos. As quantidade
A(⃗p i ) e B(⃗p i ) devem ser determinadas experimentalmente. Elas contêm a
dinâmica, i.e., deve também ser possível de se calcular teoricamente. Quantidades
como a vida média e as seções de choque dependerão de |T (⃗p i )| 2 e
|M(⃗p i )| 2 , respectivamente.
A partir da definição (2.68), podemos definir a seção de choque total
para um dado canal σ n ≡ σ n (s; m i ) como
σ n = 1 F I n(s), (2.71)
onde
F = 2 λ 1 2 (s, m
2
a , m 2 b ) (2π)3n−4 ,
é o fator de fluxo e
∫
I n (s) =
n
∏
i=1
d 3 p i
2E i
δ 4 (p a + p b − ∑ i
p i ) |M(⃗p i )| 2 . (2.72)
A função-δ em (2.72) impõe a conservação da energia-momento.
que todos os fatores π foram passados para o fator de fluxo inicial.
A vida média de uma partícula de massa m é definida como
Note-se
com
∫
I n (m 2 ) =
1
τ = 1
2m
n
∏
i=1
1
(2π) 3n−4 I n(m 2 ), (2.73)
d 3 p i
2E i
δ 4 (p − ∑ i
p i )|T (⃗p i )| 2 . (2.74)
A seção de choque diferencial é outra quantidade mensurável e calculável.
Seja x = x(⃗p i ) uma variável dependente de ⃗p i . A seção de choque diferencial
51

dσ/dx está definida como
dσ
dx = 1 F
∫
n
∏
i=1
e satisfaz trivialmente
d 3 p i
2E i
δ 4 (p a + p b − ∑ i
∫
dx (dσ n /dx) = σ n .
Da mesma maneira definimos d 2 σ n /dxdy, ...
p i ) δ[x − x(⃗p i )] |M(⃗p i )| 2 , (2.75)
Dada uma seção de choque diferencial, podemos calcular a respectiva
distribuição, w(x), definida como
w(x) = 1 σ
que obviamente está normalizada à unidade
∫
dx w(x) = 1.
dσ
dx , (2.76)
De maneira análoga definem-se distribuições que dependem de diversas variáveis.
A operação de mudança de variáveis é útil freqüentemente. Se w(x, y, z)
é uma distribuição de 3 variáveis e estas estão relacionadas com x ′ , y ′ , z ′ por
uma transformação um-a-um, temos que
w ′ (x ′ , y ′ , z ′ ) = 1 d 3 σ
σ dx ′ dy ′ dz ′
= 1 d 3 σ ∂(x, y, z)
σ dxdydz ∂(x ′ , y ′ , z ′ )
=
∂(x, y, z)
∣∂(x ′ , y ′ , z ′ ) ∣ w(x, y, z).
onde ∂(x, y, z)/∂(x ′ , y ′ , z ′ ) é o jacobiano da transformação que sempre é
positivo.
Normalmente na (2.75) não se usam os momentos como variáveis.
uso de outras variáveis em termos das quais escreveremos M(⃗p i ) é motivado
pela dinâmica. Por outro lado, a função-δ é singular e deve ser eliminada
para cálculos explícitos.
Depois de eliminá-la ficam 3n − 4 variáveis que
52
O

são apenas vinculadas pelos limites de integração e não mais por vínculos
singulares. Chamemos essas variáveis coletivamente de Φ. Então podemos
escrever
∫
I n (s) = dΦ d n ρ(Φ) , (2.77)
onde dΦ é o elemento de volume de dimensão 3n−4, e d n ρ(Φ) é a densidade
do espaço de fase que inclui também o Jacobiano. Quando ⃗p 1 , ..., ⃗p n varia
por todo o espaço de fase, o conjunto Φ varia na superfície de dimensão
3n − 4 que é chamada a região física de Φ. Similarmente para qualquer
variável x a região física dela é o intervalo da sua variação quando ⃗p 1 , ..., ⃗p n
varia por todo o espaço de fase. Analogamente, para o caso de duas ou mais
variáveis.
Integral do Espaço de Fase
Quando T (⃗p i ) é uma constante, sem perder generalidade tomamos T =
1. Os valores dos observáveis, como a seção de choque, as distribuições etc,
calculadas com T = 1, são válidas geralmente a baixas energias. Chamam-se
a essas seção de choque da distribuição do espaço de fase. A altas energias,
verifica-se um afastamento desta aproximação. Usualmente, assume-se que
T = 1 dá a contribuição puramente cinemática e que qualquer desvio denota
um efeito dinâmico, por exemplo, a formação de uma ressonância. Neste
caso, denotemos o fator de espaço de fase por d n ρ ≡ R n , onde
R n =
n∏
i=1
d 3 p i
2E i
δ 4 (p − ∑ i
p i ), (2.78)
onde s = p 2 .
53

Estado Final de Duas Partículas
O estado inicial entra aqui apenas na conservação do 4-momento. Assim,
se p = (E, ⃗p) é o 4-momento do estado inicial este pode ser o respectivo 4-
momento de uma partícula que decai em duas outras, ou duas partículas
que colidem sendo que p é seu 4-momento total. A integral do espaço de
fase
∫
R 2 (p; m 2 1, m 2 2) =
d 4 p 1 d 4 p 2 δ(p 2 1 − m 2 1) δ(p 2 2 − m 2 2) δ 4 (p − p 1 − p 2 ). (2.79)
Aqui as constantes m 2 1 , m2 2 podem ter ambos sinais. R 2 é uma função de s =
p 2 = E 2 −⃗p 2 , e de m 2 1 , m2 2 . Vamos calcular a Eq.(2.79) para p tipo tempo. Os
casos tipo espaço e tipo luz também podem ocorrer mas não serão discutidos
aqui.
Integrando a (2.79) em p 2 , usando a função-δ de 4 dimensões e um referencial
no qual possamos escrever o 4-vetor tipo tempo como p = ( √ s,⃗0) (o
caso de um referencial geral não será discutido aqui), temos
∫
R 2 (s) = d 4 p 1 δ(p 2 1 − m 2 1) δ [ (p − p 1 ) 2 − m 2 ]
2
como
∫ d 3 p 1
= δ(s − 2 √ sE1 ∗ + m 2 1 − m 2 2), (2.80)
2E ∗ 1
d 3 p 1 = P 2∗
1 dP ∗ 1 dΩ ∗ 1 = P ∗ 1 E ∗ 1dE ∗ 1dΩ ∗ 1,
(onde usamos a notação P = |⃗p|) temos que a (2.80) fica
R 2 (s) = 1 ∫ √
E1 2∗
2
− m2 1 dΩ∗ 1 dE1δ(s ∗ − 2 √ sE1 ∗ + m 2 1 − m 2 2). (2.81)
O ângulo sólido Ω ∗ descreve a orientação de ⃗p 1 no sistema de referência de
p, e a função-δ fixa a magnitude do momento de decaimento. Da função-δ
segue que
E ∗ 1 = 1
2 √ s (s + m2 1 − m 2 2),
54

logo
P ∗ 1 =
√
E ∗2
1 − m2 1 = 1
2 √ s λ 1 2 (s, m
2
1 , m 2 2) = P ∗ 2 .
Podemos agora completar a intergração de R 2
R 2 (s) = P 1
∗ ∫
4 √ s
dΩ ∗ = λ 1 2 (s, m 2 1 , m2 2 )
8s
∫
dΩ ∗ . (2.82)
Se o elemento de matriz é constante, podemos continuar a integração
obtendo
R 2 (s) = πP √
1
∗ λ
√ = π s 2 √ s . (2.83)
Todas as expressões para R 2 acima têm uma função θ( √ s − m 1 − m 2 )
que vem da θ(p 0 ) no fator d 3 p/2E, e que garante que R 2 anule-se debaixo
do limiar (threshold).
Espalhamento de Duas Partículas
Trataremos agora o caso da reação A + B → 1 + 2. O espaço de fase
(s fixo) é bidimensional e parametrizado, por exemplo, pelo ângulo de espalhamento
θ e a variável angular φ que descreve rotações ao redor do eixo
do feixe [para o caso mais geral, ver discussão da Eq. (2.107)]. Como esta
última variável é trivial, temos duas variáveis essenciais: a energia total fixa
( √ s) e o ângulo de espalhamento (θ). Outro tipo de variáveis são possíveis,
tipo energia como E a , P a e também variáveis angulares, como ângulo entre
⃗p a e ⃗p 1 em ambos os sistemas SCM e SL.
θ ∗ 1 ≡ θ ∗ a1
= π − θ ∗ a 2.
θ 1 = θ a1 .
55

Chame-se forward scattering ao espalhamento com θ1 ∗ perto de zero e
backward scattering àquele com θ1 ∗ perto de π. Na Fig. 5a, θ 1 e θ 2 estão
relacionados de maneira complicada e não será estudado aqui. A variável
invariante de Lorentz relacionada ao ângulo é o momento transferido invariante
t ≡ t a1
= (p a − p 1 ) 2
= m 2 a + m 2 1 − 2E a E 1 + 2P a P 1 cos θ a1 . (2.84)
No SCM o tratamento cinemático é simples porque a dependência na
energia e nos ângulos está desacoplada. Por exemplo, os momentos são
P ∗ a = P ∗ b = λ 1 2 (s,m 2 a,m 2 b )
2 √ s
P ∗ 1 = P ∗ 2 = λ 1 2 (s,m 2 1 ,m2 2 )
2 √ s
(2.85)
e as variáveis angulares são mostradas na Fig. 5b.
No SL as relações são mais complicadas. Assumamos que √ s é fixo, isto
é, o estado inicial a+b está fixado. Então qualquer das 4 variáveis do estado
final P 1 , θ 1 , P 2 , θ 2 determinará as 3 restantes.
2.8 Variáveis de Mandelstam
Definições
A definição dos invariantes ou variáveis de Mandelstan para o processo
A + B → 1 + 2 (mostrados na Fig. 5) é:
s = (p a + p b ) 2
= (p 1 + p 2 ) 2 56

= (Ea ∗ + Eb ∗ )2 SCM
= (E1 ∗ + E2) ∗ 2 SCM
= m 2 a + m 2 b + 2m bE a , SL
= m 2 1 + m 2 2 + 2E 1 E 2 − 2P 1 P 2 cos θ 12 SCM ou SL; (2.86)
t = (p a − p 1 ) 2
= (p b − p 2 ) 2
= m 2 a + m 2 1 − 2E a E 1 + 2P a P 1 cos θ a1 , SCM ou SL
= m 2 b + m2 2 − 2m b E 2 , SL (2.87)
e
u = (p a − p 2 ) 2
= (p b − p 1 ) 2
= m 2 a + m 2 2 − 2E a E 2 + 2P a P 2 cos θa2, SCM ou SL
= m 2 b + m2 1 − 2m b E 1 , SL. (2.88)
A razão de introduzir as três variáveis dependentes está no conceito de
crossing. O crossing é importante na dinâmica mas é trivial na cinemática.
As variáveis s, t, u não são independentes dado que, por exemplo, no caso
de A + B → 1 + 2, temos o vínculo: s + t + u = m 2 a + m 2 b + m2 1 + m2 2 . Assim,
vemos que as três variáveis definem um triângulo.
Até agora consideramos a reação A + B → 1 + 2 assumindo que todas
as energias eram positivas, p = (E, ⃗p) com E = + √ ⃗p 2 + m 2 ≥ m ≥ 0.
Por outro lado, a conservação do 4-momento é, como uma relação analítica,
válida se um dos 4-momentos é tipo tempo com componente temporal negativa,
i.e., p = (E, ⃗p) com E = − √ ⃗p 2 + m 2 . Então podemos escrever de
57

maneira alternativa a conservação do 4-momento
p a + p b = p 1 + p 2
p a + (−p 1 ) = (−p b ) + p 2
p a + (−p 2 ) = p 1 + (−p b ).
(2.89)
Na segunda linha de (2.89), p 1 e p b têm energia negativa e na terceira,
este é o caso para p 2 e p b . Essas formas podem ser interpretadas como a
conjugação do 4-momento para as seguintes reações
canal-s p a + p b → p 1 + p 2 ,
canal-t p a + p¯1 → p¯b + p 2 ,
canal-u p a + p¯2 → p 1 + p¯b,
(2.90)
onde a barra indica a antipartícula respectiva. Agora todos os 4-momentos
têm componentes temporais positivas.
Do ponto de vista da cinemática não é necessário falar de antipartículas
mas quando levarmos em conta a dinâmica, a conjugação partícula-antipartícula
será feita quando passarmos uma partícula do estado inicial ao final e viceversa.
Os três canais na Fig. 6 são rotulados pela variável que é positiva t e
u são momentos transferidos invariantes. Por exemplo, t é sempre definido
como t = (p a − p 1 ) 2 mas no canal-t, p 1 tem E 1 negativa, logo no SCM
⃗p a − ⃗p 1 = ⃗p a + ⃗p 1 = 0, a energia disponível é
t = (E a − E 1 ) 2 = (E a + |E 1 |) 2 ≥ (m a + m 1 ) 2
Similarmente s e u são momentos transferidos no canal-t.
Além dos 3 canais de espalhamento há os canais de decaimento que
também aparecem na Fig. 7. Por exemplo, se m b > m a + m 1 + m 2 , poderia
ocorrer o decaimento
A → ¯B + 1 + 2.
Há quatro possíveis canais de decaimento.
58

Dinamicamente os vários canais podem ser completamente diferentes e,
como assumimos que a amplitude de espalhamento é uma função analítica,
podemos passar de um canal a outro.
Resumimos aqui os processos com duas partículas no estado final com
uma notação um pouco diferente que aparece na Fig. 8
E 1 = M 2 − m 2 2 + m2 1
2M
[ [M 2 − (m 1 + m 2 ) 2 ][M 2 − (m 1 − m 2 ) 2 ] 1
]
2
|⃗p 1 | =
.
4M 2
A taxa de decaimento é
A seção de choque no SCM
dΓ = 1 |⃗p 1|
32π 2 |M|2 dΩ. (2.91)
M 2
dσ
dΩ ∗ = 1 P ∗ 64π 2 s |M|2 1
P2
∗ . (2.92)
A distribuição angular na Eq. (2.92) não é invariante. Podemos usar no
entanto dσ/dt que sim o é. Como
temos
logo
t = m 2 a + m 2 1 − 2E a E 1 + 2P a P 1 cos θ a1 ,
dt = 2P ∗ a P ∗ 1 d(cos θ 1 )
= 1 π P ∗ a P ∗ 1 dΩ ∗ 1,
dσ
dt
= dσ dΩ ∗
dΩ ∗ dt
(2.93)
=
|M| 2
64πsPa
2∗
(2.94)
=
|M| 2
16πλ(s, m 2 a, m 2 b
).
(2.95)
59

A seção de choque total é dada por
σ(s) =
∫
1
t +
16πλ(s, m 2 a, m 2 b )
t − dt|A(s, t)| 2 , (2.96)
onde A(s, t) é amplitude em função das variáveis s e t; e t ± = t ± (s, m 2 i ) são
os limites em t para s fixo, que serão determinados mais adiante.
A seção de choque total do processo A + B → qualquer coisa é dada
pelo teorema óptico em termos da amplitude de espalhamento para frente
(“forward”) de um processo elástico com massas µm → µm
Im A(s, t = 0) = λ 1 2 (s, m 2 , µ 2 ) σ T (s).
Região Física em s, t, u
Quando a reação A + B → 1 + 2 é descrita nas variáveis do SCM, E1 ∗, θ∗ a1
as quais têm um significado físico imediato, a região física do canal-s é
determinada facilmente: E1 ∗ ≥ m 1, −1 ≤ cos θa1 ∗ ≤ +1. Isso quer dizer que a
reação A+B → 1+2 pode ser medida experimentalmente em qualquer ponto
dessa região. O problema agora é mapear essa região no plano s − t. Isso
depende dos valores das massas. Vamos considerar um exemplo específico.
O caso geral pode ser encontrado em livros especializados.
Consideremos o caso em que m a = m 1 = µ, e, m b = m 2 = m com
µ ≤ m. Isso ocorre, por exemplo, no espalhamento elástico π − p → π − p.
Vamos resumir, para este caso particular, as relações cinemáticas gerais
dadas nas Eqs. (2.33) e (2.34):
E ∗ a = E ∗ 1
= (s + µ 2 − m 2 )/2 √ s,
E ∗ b = E ∗ 2,
60

= (s − m 2 − µ 2 )/2 √ s,
Pa ∗ = Pb ∗ = P 1 ∗ = P2 ∗ = P ∗ ,
= λ 1 2 (s, m 2 , µ 2 )/2 √ s, (2.97)
para as energias e momentos, e
cos θ ∗ a1 = 1 +
para o ângulo de espalhamento θ ∗ a1 , ou
2st
λ(s, m 2 , µ 2 )
(2.98)
t = −(1 − cos θ ∗ a1)λ(s, m 2 , µ 2 )/2s,
= −2P ∗2 (1 − cos θ ∗ a1),
= −4P ∗2 sin 2 ( θ
∗
a1
2
Para obter a relação entre u e cos θa1 ∗ usa–se a relação
se encontra que
u = (m2 − µ 2 ) 2
s
s + t + u = 2m 2 + 2µ 2 ,
)
. (2.99)
− λ(s, m2 , µ 2 )
(1 + cos θ ∗
2s
a1). (2.100)
Desta última segue que na direção para trás (“backward”)
e na direção para frente
u(θ ∗ a1 = π) = (m2 − µ 2 ) 2
s
t(θ ∗ a1 = 0) = 0 .
A fronteira da região física pode ser obtida do requerimento que −1 ≤
cos θa1 ∗ ≤ +1 na Eq. (2.98). O limite superior de t é obtido quando cos θ∗ a1 =
1,
t = 0,
u = 2m 2 + 2µ 2 − s, (2.101)
61

e o limite inferior quando cos θ ∗ a1 = −1,
t = −λ(s, m 2 , µ 2 )/s,
u = (m 2 − µ 2 ) 2 /s. (2.102)
No plano s − t, as Eqs. (2.101) dão uma linha reta e as Eqs. (2.102) uma
hipérbole com assíntotas
s = 0, (2.103)
u = 0 ou t = −s + 2m 2 + 2µ 2 , (2.104)
como se mostra na Fig. 9. As curvas (2.100) e (2.101) interceptam-se em
s = (m ± µ) 2 . O valor s = (m + µ) 2 corresponde ao limiar (P ∗ = 0) da
reação A + B → 1 + 2. Para cada valor de s tal que s ≥ (m + µ) 2 , a linha
reta vertical entre as curvas na Fig. 9 corresponde ao intervalo completo
de valores −1 ≤ cos θa1 ∗ ≤ +1. A condição do limiar foi automaticamente
incluída na Eq. (2.101). As mesmas equações (2.102) e (2.104) valem para
a região física do canal u, u ≥ (m + µ) 2 e do canal-t, t ≥ (m + µ) 2 .
Um caso particular do anterior é mm → mm, ou seja, quando as partículas
iniciais A e B e as finais 1 e 2 tem todas a mesma massa. Essa seria a situação
para e − e + → e − e + . Na Fig. 10 mostra-se a região física para essa reação.
Observe-se que neste caso
s = 4(P ∗2 +m 2 ), t = −2P ∗2 (1−cos θ ∗ ), u = −2P ∗2 (1+cos θ ∗ ), (2.105)
onde P ∗ = |⃗p i | = |⃗p f | é o momento das partículas iniciais e finais, e θ ∗ é
o ângulo de espalhamento no SCM. Veja que A ≡ e − , B = e + , e − ≡ 1 e
2 ≡ e + . É usual definir o canal-s como aquele da reação estudada, neste caso
e − e + → e − e + , vemos então que s ≥ 4m 2 , t ≤ 0 e u ≤ 0. Em particular, t = 0
para o espalhamento “forward”e u = 0 para o espalhamento “backward”.
Note-se também que neste caso a reação relacionada pelo “crossing”A¯2 →
62

1 ¯B corresponde a e − + e − → e − + e − , e pode-se mostrar que u = 4m 2 (i.e.,
u → s), t ≤ 0 e s ≤ 0 (i.e., s → u).
2.9 Crossing no caso mais geral
Podemos classificar as reações (ou processos) em dois tipos. Uma reação
exclusiva é aquela na qual todas as partículas e seus momentos são conhecidos.
Ou seja, A + B → C + D + E. As reações exclusivas podem ser
elásticas quando não há criação de partículas, tipo A + B → A + B; e
inelásticas quando há criação de partículas, como no primeiro exemplo. Por
outro lado, uma reação inclusiva, como a da Fig. 3, é aquela em que apenas
uma das partículas do estado final é completamente identificada. Ou seja,
que em A + B → C + X apenas C é identificada no estado final. Às vezes é
usado também o semi-inclusive, quando várias (pelo menos duas) partículas
no estado final são detectadas mas outras não são, A+B → C +D +X. Em
uma reação exclusiva, o canal da reação está bem determinado enquanto que
experimentos inclusivos envolvem a soma sobre diferentes canais exclusivos
e multiplicidades. A mudança, realizada no final dos anos 1960, do estudo
de processos exclusivos para inclusivos implicou numa virada na física de
partículas elementares.
Vamos considerar, por enquanto, apenas processos exclusivos que poderão
ser decaimentos, 1 → m
A −→ 1 + 2 + · · · + m, (2.106)
ou colisões de duas partículas, 2 → n
A + B −→ 1 + 2 + · · · + n. (2.107)
No decaimento (2.106), das m variáveis ⃗p 1 , ..., ⃗p m , o vínculo da conservação
do 4-momento implica em 3m−4 variáveis independentes. Ainda no
63

caso de spin zero, no sistema em repouso da partícula que decai, a orientação
da configuração de momentos é irrelevante e isso deixa 3 variáveis triviais
ficando 3m − 7 variáveis independentes. Todas as massas m 0 , m 1 , ...m m são
consideradas fixas. De fato essa contagem vale para m > 2, o decaimento
de uma partícula sem spín em outras duas esta determinado pelas massas
delas.
Por outro lado, na reação (2.107) há 3n − 4 variáveis independentes no
estado final. A direção do feixe (de ⃗p a no SL ou no SCM) define a direção no
espaço e há uma variável trivial φ que corresponde a uma rotação ao redor
do eixo do feixe. Temos, então, neste caso 3n − 5 variáveis independentes.
Mas levando em conta na colisão o estado inicial, temos mais uma variável,
o quadrado da energia, s, isto é, temos de novo apenas 3n − 4 variáveis
essenciais.
Fazendo m = n + 1, p a = p 0 , e p b = −p m , as Eqs. (2.106) e (2.107)
estão relacionadas por crossing, isto é, a reação (2.107) é obtida da (2.106)
passando uma partícula do estado final ao estado inicial. Neste caso como
o número total de variáveis essenciais é 3n − 4 = 3m − 7, isto é, igual para
(2.106) e (2.107) temos então uma relação entre a cinemática dos processos
relacionados por crossing. Por exemplo, em termos de variáveis invariantes,
as regiões físicas de dois de tais processos são dadas pela mesma equação e
o fator de espaço de fase ρ(E), é o mesmo para ambos. Por simplicidade,
vamos considerar sempre apenas o caso de partículas sem spin.
Em resumo, o espaço de fase dos processos 1 → n e 2 → n, com m 2 0 = s,
é a mesma região de dimesão 3n − 4. Mas no caso 2 → n há uma direção
no espaço, que é a direção do feixe. É isso que significa dizer que processos,
como 1 → n + 1 e 2 → n, estão relacionados por crossing.
64

2.10 Exercícios
Para os valores númericos das diferentes constantes, h, c, m e etc, usar os
valores do PDG 2004 (disponível também em http://pdg.lbl.gov.)
1. Encontre em unidades naturais, o comprimento e tempo correspondentes
a 1/gramma.
2. Verifique os fatores de equivalência
1 GeV = 1.7827 × 10 −27 kg
1
GeV = 0.19733 × 10−15 m = 6.5822 × 10 −25 s
3. Calcule a energia equivalente às massas do próton e do elétron em
MeV.
m p = 1.672 × 10 −24 g , m e = 9.11 × 10 −28 g
4. Calcule a energia total de um próton que viaja a 0.8 c.
5. Calcule velocidade, momento e comprimento de onda para elétrons de
20 GeV.
6. Encontre no sistema de unidades naturais (i) as dimensões da carga
elétrica.
7. Verifique que
e 2
4πɛ 0 c∣ = e2
SI
c∣ ≈ 1
cgs
137
onde os subescritos representam o sistema de unidades utilizado, o
Sistema Internacional (SI) ou o cgs.
8. encontre a dimensão de ⃗ E e ⃗ B no sistema de unidades naturais. Mostre
que a ação eletropmagnética é adimensional nessas unidades.
65

9. Mostre que o momento p de uma partícula pode ser escrito como
cp = √ 2E 0 T + T 2 ,
onde E 0 é a energia de repouso.
10. Mostre que, para elétrons, podemos escrever o comprimento de onda
de de Broglie, λ = h/p, como
(
λ e = 1.23 × 10
[T −7 (ev) 1 + T (eV) )] −1/2
1.022 × 10 6 cm
onde T (eV) é a energia cinética dos elétrons em eV.
11. Mostre que os comprimentos de onda para nêutrons térmicos e elétrons
não–relativísticos são, respectivamente (̸λ = λ/2π),
̸λ n ≈
4.552 × 10−10
T 1 2 (eV)
cm
1.23 × 10−7
̸λ e ≈ cm
T 1 2 (eV)
onde T (eV ), como no problema anterior, é a energia cinética em eV.
12. Assumindo, arbitrariamente, que uma partícula relativística é aquela
que tem uma energia cinética que excede o “valor crítico” de γ =
1.1, calcule a energia cinética crítica para o fóton, neutrino, elétron e
próton.
13. Mostre que
τ = τ lab
mc 2
T + mc 2
onde τ é a vida média no sistema em repouso da partícula. Calcule
τ lab para múons de 1 GeV.
66

14. Suponha que duas partículas tenham velocidades iguais, i.e., em magnitude
e direção. Como se relacionam suas velocidades em outro referencial
de Lorentz? O que acontece se em vez das velocidades usamos
os 3-momentos?
15. Um feixe de elétrons de 10 GeV de energia e uma corrente de 10 −8
ampère é dirigido numa área de 0.5 cm 2 . Qual é o fluxo F ?
16. Uma partícula se move com uma velocidade u com relação ao referencial
S. Num referenc ial S ′ com velocidade v relativa ao referencial S,
a partícula tem velocidade u ′ . Mostre que
17. Verifique as Eqs. (2.27)
(
γ(u ′ ) = γ(u)γ(v) 1 − uv )
c 2
18. Qual é a energia total E T = √ s = √ (p 2 1 + p2 2 )2 de um próton com
uma energia de 1 TeV colidindo com um próton em repouso? Qual a
energia total numa colisão de dois prótons em um anel de colisão onde
cada próton possui 1 TeV de energia?
19. Uma partícula em repouso de massa M decai em duas partículas iguais
de massa m.
Calcule a velocidade das partículas no produto e use
resultados númericos para ρ → ππ.
20. No LEP, os elétrons são acelerados a energias de, digamos, 50 GeV.
Quanto se afasta a sua velocidade da velocidade da luz?
21. A energia total no SCM é importante porque é ela que determina a
energia disponível para a produção de partículas. Mostre que a reação
p + p → p + p + p + ¯p
67

pode ocorrer se a energia do próton incidente (no sistema de laboratório)
E min é
E ≥ E min = 6.6 GeV.
Essa energia é chamada energia limiar da reação. Calcule a energia
limiar das seguintes reações:
a) p + p → p + n + π + ; b) p + p → p + p + π + + π − ;
c) p + p → p + p + π 0 ; d) p + p → p + Λ 0 + K + ;
e) π − + p → Λ 0 + K 0 ; f) K − + p → Λ 0 + π 0 ;
g) K − + p → Σ − + π + .
Assuma m p = m n para ter apenas uma estimativa dessa energia no
caso que a reação envolva p e n, como no caso a).
22. Se uma partícula a decai em repouso em duas, b + c. Neste caso m a =
√
|⃗p| 2 + m 2 b + √ |⃗p| 2 + m 2 c. Assim se |⃗p| é pequeno, uma medida deste
fornece a massa de a se m b e m c forem bem conhecidas. Definamos
o fator Q que representa a energia liberada do decaimento como a
diferença de massa entre a e b e c:
⎛
Q = m a − m b − m c = |⃗p| 2 ⎝
m b +
1
√
|⃗p| 2 + m 2 b
⎞
1
+
m c + √ ⎠ .
|⃗p| 2 + m 2 c
Note que quando |⃗p| ≪ m b,c , Q ≈ ∑ i |⃗p|2 /2m i . Se, em vez de momento
mede-se a energia cinética de uma das partículas, por exemplo a b, com
energia cinética definida
T b =
√
|⃗p| 2 + m 2 b − m b =
|⃗p| 2
√
m b + |⃗p| 2 + m 2 b
68

podemos escrever:
Q = T b
⎛
⎝1 +
√
m c +
Verifique as expressões anteriores.
T b + m b
T 2 b + 2T bm b + m 2 c
23. Considere a reação A + B → C + D, e numa situação em que A e
B estão em repouso (pode parecer estranho, mas os experimentais
conseguem). Mostre que
onde
δ = 2(m a + m b )
m a + m b − m c
T c =
m d = (m a + m b − m c ) √ 1 − δ,
⎞
⎠ .
2(m a + m b ) |⃗p| 2
(m a + m b − m c ) 2 m c + √ .
|⃗p| 2 + m 2 c
Quando m c ≃ m a , ou m c ≃ m b , esse processo serve para medir a
diferença de massas m d − m b . Verifique que
m d − m b = (m a − m c ) √ 1 − δ −
m b δ
1 + √ 1 − δ .
24. Considere um feixe de partículas B (de “beam”) incidindo num alvo A,
dando produtos P (notação diferente da usada até agora). A notação
de energia-momento é
B(E b , ⃗ P b ) + A(m a c 2 ,⃗0) → P (E, ⃗ Q) + · · ·
onde · · · denota quaisquer outras partículas. Sem perder a generalidade,
podemos sempre assumir que
⃗P b = (P b , 0, 0), ⃗ Q = (Q cos θ, Q sin θ, 0).
(onde | ⃗ P b | ≡ P b etc.)
69

Determine
a) a velocidade v que relaciona o sistema de laboratório com o SCM
neste caso particular.
b) a tangente do ângulo de espalhamento
Q ∗ sin θ ∗
tan θ =
γ(v) ( ) (2.108)
Q ∗ cos θ ∗ + vE′
c 2
onde E ∗ = (m 2 P c4 +q ′2 c 2 ) 1/2 é a energia do produto no SCM. Interprete
o resultado (2.108) para altas energias. De fato, mostre que para altas
energias
( ) 1
2ma c 2 v cos θ ∗
tan θ ≈
P v cos θ ∗ + c
25. Quando uma partícula relativista decai, os produtos de decaimento
emergem predominantemente num ângulo pequeno θ ao redor da direção
original do feixe. Verifique de fato que
tan θ ≈ m dc
√
2E
v sin θ ∗
v cos θ ∗ + c
onde usamos a notação d(E d , ⃗ P d ) → P (E, ⃗ Q) + · · ·, com
⃗P · ⃗Q = | ⃗ P || ⃗ Q| cos θ.
26. Derive para o decaimento π + → µ + + ν µ
E µ = (m2 π + m 2 µ − m 2 ν µ
)c 2
2m π
27. Mostre que para uma partícula de massa m, que decai em dois fótons,
o ângulo entre as direções dos fótons está dado por
cos θ = 1 − m2 c 4
2E 1 E 2
sendo E 1,2 as energias dos fótons. Use valores típicos dos decaimentos
do π 0 e η 0 .
70

28. Uma partícula neutra X 0 decai em duas partículas carregadas A + e
B − . As componentes dos momentos dos produtos em GeV/c medidos
são
p x p y p z
A + −0.488 −0.018 2.109
B − −0.255 −0.050 0.486
Este decaimento é K 0 S → π+ π − ou Λ → pπ − ?
(2.109)
29. Mostre que o ângulo de espalhamento entre as partículas A e 1, no
processo A + B → 1 + 2 no SCM é
cos θ ∗ a1 = (t − m2 a − m 2 1 + 2E∗ aE ∗ 1 )
2P ∗ a P ∗ 1
(2.110)
= s2 +s(2t−m 2 a−m 2 b −m2 1 −m2 2 )+(m2 a−m 2 b )(m2 1 −m2 2 )
λ 1 2 (s, m 2 a, m 2 b )λ 1 2 (s, m 2 1 , m2 2 ) ,
onde t = (p a − p 1 ) 2 , e no SL
cos θ a1 = (s − m2 a − m 2 b )(m2 b + m2 1 − u) + 2m2 b (t − m2 a − m 2 1 )
λ 1 2 (s, m 2 a, m 2 b )λ 1 2 (u, m 2 b , m2 1 ) ,
onde u = (p a − p 2 ) 2 .
(2.111)
71

Capítulo 3
SIMETRIAS E LEIS DE
CONSERVAÇÃO
3.1 Generalidades
No passado, as simetrias foram usadas em física de partículas elementares
porque em alguns casos, como por exemplo no caso das interações fortes,
não eram conhecidas as leis que regem a sua dinâmica. No entanto, na
década de 1960 ficou claro que as simetrias locais eram justamente o que
determinava a dinâmica das partículas elementares. Independente disso,
as simetrias são importantes pela beleza e simplicidade com que permitem
tratar uma diversidade de fenômenos. Segundo este último ponto de vista,
as previsões de uma dada teoria, podem ser classificadas segundo os detalhes
da dinâmica ou das propriedades de invariância da teoria.
Independente de modelos, as leis de conservação e invariâncias de simetrias
globais impõem vínculos nas possíveis formas das interações, e fornecem
também relações entre as seções de choque de alguns processos.
Alguns exemplos bem conhecidos de invariâncias e suas consequências
72

são: a invariância sobre translações espaciais, que implica na conservação do
momento linear; da mesma maneira, invariância sob translações temporais
implica na conservação da energia. No caso da invariância sob rotações
temos a conservação do momento angular. Esse tipo de relação pode ser
mostrada, e generalizada, pelo Teorema de Noether, mas fica fora do nosso
contexto.
É interessante que as leis de conservação acima mencionadas são válidas
tanto em mecânica clássica como na quântica (ainda que algumas simetrias
são quebradas em nível quântico mas não vamos considerar isso aqui). Isto é,
as simetrias acima são leis da natureza válidas para toda as interações. Por
outro lado, nas interações fortes nos hádrons aparecem simetrias unitárias
globais, além de simetrias de fase como o número bariônico ou, nos léptons,
os números leptônicos de família. Veremos, mais adiante, como isso foi
incorporado de maneira automática, no modelo padrão.
3.2 Simetrias Unitárias em Mecânica Quântica
Consideremos o assunto no contexto da mecânica quântica. O valor esperado
de um observável F , no estado ψ(t) é denotado por 〈ψ(t)|F |ψ(t)〉 ≡ 〈F 〉.
Este valor esperado não depende do tempo se,
d
〈F 〉 = [H, F ] = 0, (3.1)
dt
assumindo que F não dependa explicitamente de t. Por outro lado, uma
operação de simetria está representada por um operador unitário, U,
ψ ′ (⃗x, t) = Uψ(⃗x, t). (3.2)
Se ψ satisfaz a equação de Schrödinger
i dψ
dt
= Hψ (3.3)
73

e ψ ′ satisfaz também. Usando (3.2) e multiplicando à esquerda por U †
podemos escrever
i dψ
dt = U † HUψ. (3.4)
Das Eqs. (3.3) e (3.4), e assumindo que U não depende explícitamente de t,
H = U † HU, (3.5)
isto é,
[H, U] = 0. (3.6)
Se U é um operador hermitiano então é (ou melhor, pode ser) um observável.
Se não é hermitiano, sempre podemos definir um operador relacionado com
U que seja hermitiano e que satisfaça a Eq. (3.1). Observe-se que em (3.2)
ambas ψ ′ e ψ estão evaluadas no mesmo ponto do espaço-tempo.
Em geral, os operadores de transformações não são hermitianos. Existem
transformações contínuas e discretas. Nestas últimas, os operadores são
simultaneamente unitários e hermitianos. Um exemplo de transformação
discreta é a inversão espacial:
U :
⃗x → −⃗x,
e é evidente que
U 2 = 1,
logo U neste caso é hermitiana e unitária.
Um exemplo de transformações contínuas é a transformação de fase,
U = e iαQ ≃ 1 + iαQ, α ≪ 1, (3.7)
e temos que U † U = 1 se Q † = Q. Isto é, o operador Q é o operador
hermitiano relacionado com U no caso das transformações de fase. Então,
74

os autovalores do operador (de carga) Q são observáveis e conservados. Se
[H, U] = 0, isto é, se U é um operador de simetria
HU − UH = H(1 + iαQ) − (1 + iαQ)H = 0,
isto é,
[H, Q] = 0. (3.8)
O “gerador” Q é um operador hermitiano que é observável se U é uma
simetria.
A invariância sob uma transformação contínua leva a leis de conservação
aditivas. No caso de transformações discretas as leis de conservação resultantes
são multiplicativas. Ver mais sobre essas diferenças na Sec. 3.8.1.
Vemos então que, quando o sistema é invariante sob alguma transformação,
esta transformação deixa a Hamiltoniana do sistema invariante.
No entanto, em geral esta é apenas uma condição suficiente: se a Hamiltoniana
do sistema é invariante sob uma transformação, então o sistema
é invariante. Porém existem sistemas aos quais não está associado uma
Hamiltoniana. Assim, a condição acima não é necessária. Por outro lado,
quando incluímos o campo eletromagnético podemos fazer uma trasformação
de gauge nos potenciais vetoriais. O sistema físico permanece invariante mas
não a Hamiltoniana.
3.3 Conservação da Carga Elétrica
Por que o seguinte decaimento
e − → ν + γ. (3.9)
não poderia ocorrer na natureza?
Caso esse decaimento acontecesse poderia ser observado experimentalmente
ao detectar os raios-X emitidos quando um elétron decai a um nível
75

de energia mais baixo e emitindo também um neutrino. A não observação
desse processo (e dados astrofísicos) implica que 1
τ e > 4.6 × 10 26 anos 2 ,
onde τ e é a vida média do elétron se ele decaísse segundo este processo (o
valor de τ e pela “desaparição”do elétron é: 6.4 × 10 24 anos). É interessante
que se parametrizamos a interação que é “charge nonconserning”(CNC), que
produz o decaimento e → γ + ν como
L CNC = 1 2 e ɛ eνγ ¯ψ e γ µ (1 − γ 5 )Ψ ν A µ + H.c., (3.10)
onde o parâmetro que controla a interação é ɛ eνγ . Dados recentes implicam 3
que ɛ eνγ < 1.44 × 10 −97 (90% c.l). 4
Expressamos a conservação da carga elétrica, que é um número quântico
aditivo, como
∑
Qinicial = ∑ Q final . (3.11)
Isto é, a soma das cargas no estado inicial é igual à soma das cargas no
estado final. Ou, também da seguinte forma:
∑
Q −
∑ ¯Q = constante, (3.12)
1 Todos os valores citados neste capítulo são de W. -M. Yao, et al. (Particle Data
Group), J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33, 1 (2006).
2 H. O. Bock, et al, Searching for electron decay mode e → γ + ν with prototype of
Borexino Detector, Phys. Lett. B525, 29 (2002).
3 H. V. Klapdor-Kleingrothaus, I. V. Krivosheina, e I. V. Titkova, A new experimental
limit for the stability of the electron, Phys. Letts. B664, 109 (2002).
4 Não é possível ter uma teoria autoconsistente e não contraditória que descreva a não
conservação da carga. Ver tentativas: L. B. Okun e J. Zeldovich, Phys. Lett. —bf 78B,
597 (1978); L. B. Okun e M. B. Voloshin, JETP Letters 48, 145 (1978); M. Susuki, Phys.
Rev. D 38, 1544 (1988); S. Nussinov, ibid., 59, 2401 (1987); R. Mohapatra, Phys. Rev.
Lett. 59, 1510 (1987).
76

ou seja, a diferença da carga das partículas e antipartículas deve ser uma
constante.
Por outro lado, sabemos que, desde a experiência de Millikan, a carga é
quantizada:
Q = ne n = 0, 1, 2, ...,
que implica em
Q nêutron = 0, Q próton = −Q elétron .
Experimentalmente obtém-se os seguintes dados:
Q nêutron = (−0.4 ± 1.1) × 10 −21 e,
|Q e − + Q próton | < 1.0 × 10 −21 e
|Q e − + Q e +| < 4 × 10 −8 e
∣
∣
∣∣
∣Q próton + Q antipróton < 1.0 × 10 −8 e
(3.13)
onde, na última linha, assume-se que Q n = Q p + Q e . Resultados mais
recentes feitos no decaimento n → p + e − + ¯ν indicam que a carga elétrica
é conservada:
B.R.(n → pν¯ν)
B.R.(n → pe − ν) < 8 × 10−27 .
É interessante notar que a relação entre a conservação da carga elétrica
e a invariância de fase global não está no mesmo nível que a conservação
de outras grandezas como a energia, e os momentos linear e angular. Estes
últimos, estão relacionados com a invariância sob translações espaço-temporais
e rotações, respectivamente.
Por exemplo, no argumento anterior
não distinguimos entre a conservação da carga elétrica e outras cargas, tipo
os números bariônico ou leptônico. Para dizermos que estamos realmente
considerando a carga elétrica, devemos introduzir o campo eletromagnético,
o que implica na invariância sob transformações de gauge locais. Acontece
que para uma teoria Abeliana a carga de Noether é igual nos dois casos.
77

A relação da conservação da carga elétrica com a invariância de fase
global foi colocada pela primeira vez por Herman Weyl, em 1929. Posteriormente
Eugene Wigner colocou o seguinte argumento: suponhamos que
podemos criar cargas elétricas de alguma maneira num sistema fechado, e
que isto ocorre numa caixa com um potencial, V . Para criar a carga Q é
necessária uma certa quantidade de energia E. Como nenhuma quantidade
física pode depender do potencial, a energia E gasta na criação da carga
não depende do potencial V . Depois, movemos o sistema fechado para uma
outra caixa na qual o potencial é V ′ , e realizamos para isso uma quantidade
de trabalho, W = Q(V − V ′ ). Se agora destruímos a carga, ganhamos a
mesma quantidade de energia gasta inicialmente para criá-la. No entanto,
temos ganho (ou perdido) uma quantidade de trabalho W . Isto contradiz a
primeira lei da termodinâmica. Logo uma das assunções está errada: a que
podemos criar cargas elétricas ou a que diz que as quantidades físicas não
dependem do potencial. Escolhe-se a primeira. Invertendo o argumento,
isto é, considera-se que isto mostra a relação entre a não dependência das
quantidades físicas com o potencial (invariância de gauge local, A ′ µ = A µ −
∂ µ θ(x)) e a conservação da carga. De qualquer maneira, é menos convincente
que o caso da conservação da energia, ⃗p e L. ⃗
3.4 O Número Bariônico
Apenas a conservação da carga elétrica e das quantidades E, ⃗p e L, ⃗ não
impede que certos decaimentos não ocorram na natureza. Por exemplo,
p → e + + γ, (3.14)
não viola nenhuma das leis de conservação acima referidas. Em 1938, E.
C. G. Stueckelberg sugeriu a conservação do número total de núcleons, que
hoje é conhecido como “número bariônico”, pois é aplicável não apenas aos
78

núcleons mas a todos os bárions. Atribuímos um número bariônico B = +1
ao próton e ao nêutron e B = −1, ao antipróton e ao antinêutron. Após a
descoberta dos outros bárions, B = +1 para Λ 0 , Σ ±,0 , Ξ −,0 ; B = −1 para as
antipartículas respectivas; B = 0 para mésons como π ′ s, K ′ s e os léptons.
Expressamos a lei de conservação do número bariônico B como,
∑
Binicial = ∑ B final , (3.15)
ou também
∑
B −
∑ ¯B = constante, (3.16)
ou seja, que a diferença entre o número de bárions e antibárions é constante.
Ainda que os nêutrons livres decaiam segundo n → pe − ν, os nêutrons nos
núcleos são estáveis, menos nos núcleos radiativos mas, mesmo neste caso
as vidas médias são, em geral, maiores que no caso livre. Por outro lado, os
prótons são sempre estáveis (até agora!) e os antibárions nunca são criados
sozinhos. Por exemplo, para criar um antipróton ¯p, devemos criar um próton
também ou um nêutron ou um Λ,... isto é, devemos ter processos como
p + p → p + p + ¯p + p
π − + p → p + ¯p + Λ 0 + K 0 .
Uma das características de teorias de grande unificação (GUT pela sigla
em Inglês) é que prevêm o decaimento do próton e outros processo que
violam o número bariônico.
Por exemplo, na teoria SU(5) o decaimento
principal do próton é p → e + π 0 . Já na teoria SU(5)-supersimétrica implica
a existência de decaimentos como
p → νK + (µ + K 0 ), n → νK 0 .
Temos em modelos intermediários, como o de Pati-Salam, os seguintes
modos,
p → l + l − l + , n → l + l − l + X.
79

Experimentalmente é preferível um modo de decaimento que não envolva
neutrinos pois, neste caso, a energia medida deve coincidir com a massa
do próton e a soma de todos os momentos deve ser zero. Os resultados
experimentais dão os valores seguintes:
τ (p→e + π 0 ) > 5.0 × 10 33 anos, (3.17)
e
τ (p→K+¯ν) > 1.6 × 10 33 anos. (3.18)
O resultado (3.17), mesmo com dados mais antigos, descartou o modelo
SU(5), que previa uma vida média de τ p = 10 29±2 anos; e o (3.18) coloca
fortes vínculos no SU(5) supersimétrico.
Para o nêutron poderíamos ter efeitos |∆B| = 2 como a oscilação n ↔ ¯n
com um tempo médio de oscilação de > 8.6 × 10 7 s, para o caso de nêutrons
livres e, > 1.3 × 10 8 s, para nêutrons ligados nos núcleos. Um limite menos
restritivo para a vida média do próton é aquele que não depende do modo
de decaimento: τ P (p → invissível) > 21. × 10 29 anos.
A conservação do número bariônico está relacionada à uma simetria
global U(1) B , ou seja, que a Eq. (3.15) é uma consequência da invariância
da teoria sob transformações
ψ ′ = e iαB ψ, (3.19)
onde α é uma constante. Entretanto, podemos perguntar: existe a invariância
sob transformações locais? Isto é
ψ ′ = e iα(x)B ψ. (3.20)
Neste caso, devemos introduzir um bóson vetorial, B µ , análogo ao fóton,
A µ .
80

T. D. Lee e C. N. Yang, num trabalho clássico, 5 analisaram esta questão.
Se B µ é de massa zero como o fóton, haverá uma repulsão tipo-Coulomb
entre bárions, e atração entre um bárion e um antibárion. Sendo e B a
“carga bariônica”, a força de longo alcance entre dois corpos será
F = − GM 1M 2
r 2
+ e2 B B 1 B 2
4π r 2 . (3.21)
O primeiro termo na Eq. (3.21) é a contribuição da força gravitacional, o
segundo termo é a contribuição de B µ . B 1 e B 2 são o número bariônico dos
corpos 1 e 2, respectivamente (isto é, o número de núcleons para o caso da
matéria usual). Em M 1 e M 2 estão incluídas as energias de ligação entre o
próton e o nêutron. A razão 1/X = M núcleo /BM p , com B o número de
núcleons no núcleo em questão, varia de uma substância para outra e logo,
a Eq. (3.21) pode ser escrita como
F = − G r 2 M 1M 2
(1 − e2 B
4π
= − G r 2 M 1M 2
(1 − e2 B
4π
)
B 1 B 2
GM 1 M 2
X 1 X 2
GM 2 P
)
. (3.22)
Usualmente X 1 X 2 ∼ 10 −3 . Então, a razão, entre a massa gravitacional
“observada” e a massa inercial varia como
10 −3 e2 B /4π
GMP
2 . (3.23)
A experiência de Eötvos implica que a (3.23) é menor que 10 −9 , logo
e 2 B /4π
GM 2 P
< 10 −5 , (3.24)
o que implica que, caso B µ exista, seu acoplamento seria ainda mais fraco que
o do campo gravitacional, que por sua vez já é desprezível nos experimentos
de física de partículas elementares nos laboratórios terrestres.
5 T. D. Lee e C. N. Yang, Phys. Rev. 98, 1501(1955).
81

Vimos acima que uma maneira de testar a Eq. (3.15) (a física é uma
ciência experimental!) é medir a vida média do núcleon. Isso tem sido
feito pelos físicos experimentais ao longo das últimas 4 décadas, independentemente
dos preconceitos teóricos vigentes. Por exemplo, se o núcleon
decaísse seria liberado calor e esse fluxo de calor poderia ser usado para determinar
a sua vida média. Mede-se o fluxo de calor proveniente do interior
da Terra, subtraindo-se a contribuição dos elementos radioativos conhecidos,
e obtém-se uma vida média > 10 20 anos. Já em 1965, experimentos
“underground” forneciam o valor τ p > 10 28 anos. Recentemente as teorias
de grande unificação fizeram com que o interesse por esse tipo de experimentos
aumentasse. Por outro lado, também, já em 1967, A. Zakharov sugeriu
a violação do número bariônico como um dos requisitos para explicar a
razão observada entre bárions e fótons, n B /n γ ∼ 10 −9 , e entre bárions e
antibárions, n B ≫ n ¯B, de origem cosmológica.
3.5 O Número Leptônico
O número leptônico foi introduzido em 1953 por Konopinski e Mahmoud, 6
num contexto onde os léptons eram apenas três: o elétron e − , o múon
positivo µ + e um neutrino, e as respectivas antipartículas (antiléptons). O
neutrino tinha de ser um férmion de Dirac. Hoje são necessários três tipos
de números leptônicos, um para cada família L a , a = e, µ, τ. Atribuímos
às partículas números leptônicos com valores +1 para os léptons de cada
geração (−1 para os respectivos antiléptons), e 0 para os outros léptons,
hadrons (quarks) e o fóton.
Como nos casos anteriores, expressamos a consevação do número leptônico
L (não confundir com o momento angular orbital). Na prática sempre é
possível distinguir de qual estamos falando) como uma lei de conservação
6 E. J. Konopinski e H.M. Mahmoud, Phys. Rev. 92, 1045 (1953).
82

aditiva 7 ∑
La inicial = ∑ L a final , (3.25)
i.e., o número leptônico de família L a no estado inicial e no final devem ser
iguais, ou
∑
La − ∑ ¯La = constante, (3.26)
ou seja, em uma reação, o número de léptons de uma família deve ser igual
ao número de antiléptons da família respectiva em cada aldo da reação.
O número leptônico total L = ∑ L a também é conservado. Atualmente,
como os neutrinos são partículas com massa, há violação dos números
leptônicos de família, L a , dado que as interações com os respectivos léptons
carregados não são diagonais (consideraremos isso mais adiante). No entanto
o número leptônico total L é conservado. O único processo que evidenciaria
a violação de L seria o duplo decaimento beta sem neutrinos nn → e − e − ,
do qual falaremos oportunamente.
Consideremos o caso do número leptônico do elétron, L e . Suponhamos
que o elétron é um lépton, e não um antilépton. A evidência da conservação
desse número quântico vem das reações com neutrinos. Atribuímos então
L e = +1 ao elétron e seu neutrino, o pósitron e + e o antineutrino devem
então ter L e = −1, pois são antiléptons. Os outros léptons carregados µ, τ
e seus respectivos neutrinos têm L e = 0. Adiantamos que as antipartículas
devem ter os números quânticos aditivos com sinal trocado, relativos aos
das respectivas partículas.
Consideremos a captura do ¯ν e ,
¯ν e + p → e + + n, (3.27)
7 A possibilidade de um número quântico multiplicativo não é incompatível com a experiência,
a diferença está em eventos exóticos que ainda não foram observados. Aqui
seguiremos a ortodoxia. Além disso, o número leptônico aditivo no contexto do modelo
padrão é conservado automaticamente (no sentido a ser explicado mais adiante).
83

que evidentemente conserva o número leptônico L e como foi definido acima.
A reação (3.27) é consistente com n → e − + p + ¯ν e mas, ¯ν e + n → e − p
ν e +p → e + +n, são ambas proibidas pela conservação do número leptônico.
Em 1955, R. Davis procurou detectar a reação (do tipo ¯ν e n → e − p)
¯ν e + 37 Cl −→
e − + 37 Ar
L e = −1 L e = +1
(3.28)
sem sucesso. Isso foi interpretado como indicando que ¯ν e ≠ ν e . No entanto,
a reação
ν e + 37 Cl −→ e − + 37 Ar
é possível, e de fato, é usada na detecção dos neutrinos provenientes do
Sol. Estes resultados foram, desde então, usados em vários experimentos
incluíndo o experimento de Davis com neutrinos solares.
A conservação de L e implica que no decaimento-β o que acompanha o
elétron é o anti-neutrino, ¯ν e . Então L e (¯ν e ) = −1 ou L e (ν e ) = +1.
O esquema anterior está baseado na intuição, a extensão a outras partículas
deve ser feita de maneira consistente e confrontada com os dados experimentais.
Por exemplo, assumindo que o múon poderia ter uma atribuição de
L e , qual é o número leptônico do µ + ? Este decai principalmente em e + e
dois neutrinos. Em princípio poderíamos ter duas opções:
µ + → e + + ν + ¯ν
−1 −1 +1 −1
+1 −1 +1 +1
(3.29)
Podemos assumir a seguinte atribuição de números leptônicos:
L e (e − , µ − , ν e , ν µ ) = +1.
Mas, se o caso fosse apenas este, o decaimento
µ + → e + + γ,
84

seria permitido. Experimentalmente encontra-se que
Γ(µ + → e + γ)
Γ(µ + → tudo) < 1.2 × 10−11 ,
Γ(µ → 3e)
Γ(µ → tudo) < 1.0 × 10−12 , (3.30)
que estão entre os menores números medidos na física de partículas elementares.
A maneira mais simples de se explicar isso é a introdução de uma nova lei
de conservação. Assumindo que existe um outro número quântico, aditivo
diferente do número leptônico do elétron introduzido acima, este último
passa a se chamar número leptônico do elétron, L e . O novo número quântico
será chamado de número leptônico do múon, L µ . Podemos então rearranjar a
atribuição destes dois números quânticos assim: L e (e − ) = +1, L e (e + ) = −1,
L e (µ − , µ + ) = 0, L µ (µ − ) = +1, L µ (µ + ) = −1 e, finalmente, L µ (e − , e + ) = 0.
E os neutrinos? Para estender este esquema aos neutrinos, consideremos os
decaimentos
π − → µ − + ¯ν µ , (3.31)
e
π + → µ + + ν µ . (3.32)
Se atribuímos aos píons L µ (π ± ) = 0, considerando a escolha já feita para os
muons acima, i.e., L µ (µ − ) = −L µ (µ + ) = 1, que L µ (ν µ ) = +1 e L µ (¯ν µ ) =
−1, e com L µ (ν e , ¯ν e ) = 0 e L e (ν µ , ¯ν µ ) = 0.
No entanto, a introdução de L µ deve, além de explicar a ausência do decaimento
µ + → e + γ, fazer algumas predições. Consideremos, por exemplo,
ν µ + n → µ − + p, (3.33)
e,
ν µ + n → e − + p. (3.34)
Se L µ é conservado, apenas a primeira reação deve ocorrer, não a segunda.
Em 1962, L. Lederman e colaboradores encontraram evidências de que real-
85

mente o segundo processo não é observado e, logo, devem existir dois tipos
de neutrinos: tipo-e e tipo-µ. 8
Em 1975, M. Perl descobriu um novo tipo de lépton na reação
e − + e + → τ − + τ + , (3.35)
com
Γ(τ − → µ − γ)
Γ(τ + → tudo) < 1.9 × 10−8 ;
Γ(τ − → e − γ)
Γ(τ + → tudo) < 1.1 × 10−7 .
Isso implica que devemos, de novo, estender o conceito de número leptônico:
L τ ! Segue-se o mesmo esquema de antes L τ (τ − , ν τ ) = +1, L τ (τ + , ¯ν τ ) = −1
e L τ = 0 para qualquer outra partícula. O neutrino que acompanha o τ − foi
visto diretamente apenas em 2002 no FERMILAB. Com ele ficam completos
os férmions do modelo padrão observados experimentalmente: 6 quarks e 6
léptons.
A observação de eventos exóticos puramente leptônicos (como os de
cima) ou semi-leptônicos como K 0 → e + µ − , poderia indicar (como também
os processos que violam o número bariônico), a emergência de uma nova
física, subjacente aos dados experimentais obtidos até o momento.
No contexto do modelo padrão, a conservação de L e B, e outras simetrias
globais, ocorre de forma automática. Isso significa o seguinte: não precisam
ser impostas a mão, elas são conseqüência de princípios mais gerais como:
invariância de Lorentz, invariância de gauge, renormalização e o conteúdo
de representação do modelo (quais campos incluímos no modelo).
8 Leon Lederman, Malvin Schwartz e Jack Steinberger ganharam o prêmio Nobel em
1988 pelas experiências dos dois neutrinos.
86

3.6 Estranheza, Charm, Beleza e Top
Há outros números quânticos aditivos como B, L e Q. São a estranheza,
S, o charm, c, o beauty, b, e top t, 9 que são os chamados “sabores dos
quarks”. Estes números são apenas conservados pelas interações forte e
eletromagnética.
Como nos casos anteriores a conservação da estranheza e outros números
quânticos é colocada como segue para o caso da estranheza
∑
S inicial = ∑ S final , (3.36)
i
f
ou
∑ ∑
S − ¯S = constante, (3.37)
e igual para o charm etc.
A estranheza é um exemplo de simetria quebrada, neste caso, pela interação
fraca. A atribuição de S é feita observando processos hadrônicos.
Começamos definindo a estranheza do káon positivo:
S(K + ) = +1
e da reação
p + π − → n + K + + K − (3.38)
que tem uma seção de choque da ordem de grandeza típica da interação
forte, temos que
S(K − ) = −1
K + e K − são, então, um par partícula–antipartícula.
9 Para não confundir c com a operação de conjugação da carga, b com o número
bariônico, e t (top) com a inversão temporal, usamos letras minúsculas.
Mas, no contexto
ficará claro do que estamos falando.
87

Para o caso de outras partículas podemos usar reações do tipo
p + π − → X + K, (3.39)
da qual segue que S(X) = −S(K). Também,
p + K − → X + π (3.40)
implica que S(X) = S(K − ) = −1, e
p + K − → X ′ + K + (3.41)
que S(X ′ ) = −2. Em particular, a observação de
p + π − → Σ − + K + , (3.42)
implica S(Σ − ) = −1 e
p + K − → Σ + + π − (3.43)
que S(Σ + ) = −1. Note que Σ − e Σ + têm ambas B = +1, S = −1, e apenas
a carga elétrica é oposta. Isto quer dizer que Σ − e Σ + não formam um par
partícula–antipartícula.
As reações
p + p → p + Σ 0 + K + , (3.44)
e
p + K − → Λ 0 + π 0 , (3.45)
implicam que S(Σ 0 ) = S(Λ 0 ) = −1, e
p + K − → Ξ − + K + , (3.46)
que S(Ξ − ) = −2. De maneira análoga, S(Ω − ) = −3 e S(¯Ω) = +3.
O esquema da estranheza deu bons resultados prevendo a existência de
um novo káon. Por exemplo
p + π − → Λ 0 + K 0 , (3.47)
88

implica que S(K 0 ) = +1. Então, sabemos até agora que
S(K + ) = +1
S(K − ) = −1
S(K 0 ) = +1 ?
(3.48)
o que implica que temos dois káons com S = +1, mas apenas um com
S = −1. Gell-Mann e Pais sugeriram que devia existir um novo káon neutro,
¯K 0 , com S( ¯K 0 ) = −1. Pouco depois foi observado na reação
p + π + → p + K + + ¯K 0 . (3.49)
Com relação à conservação do charm, temos por exemplo,
D 0 → ¯D 0 → K + π −
D 0 → Kπ
< 4.1 × 10 −4 , ∆c = 2
D 0 → ¯D 0 → K + l −¯ν l
D 0 → K − l + ν l
< 0.005, ∆c = 2
|m D 0
1
− m D 0
2
| < 7 × 10 −10 s −1 = 4.6 × 10 −10 MeV, ∆c = 2
o análogo desta última diferença de massa nos káons 10 é
|m K 0
L
− m K 0
S
| = (3.483 ± 0.006) × 10 −12 MeV.
É interessante notar que m D ≃ 1869 MeV. Com essa massa tão grande
poderíamos esperar que os mésons-D tivessem uma vida média pequena
mas,
τ D ∼ 10 −13 s
Por exemplo, D não pode ser um isodubleto com S = 1, pois neste caso decairia
via interação forte em Kπ. Foi, por isso, necessário um novo número
quântico que não é carregado pelos píons e pelos káons e que deve ser conservado
na interação forte.
10 Assumindo CP T e que estudaremos mais adiante.
89

Vemos então, como as considerações de simetria ajudam a entender
a natureza independentemente de modelos. Quando tivermos um modelo
realístico estas caraterísticas deverão ser por ele incorporadas.
Isospin: Introdução
Outra simetria que é conservada nas interações fortes é a do Isospin, I,
que será estudada em detalhe mais adiante. Por exemplo, processos como
π + N → K + N
são proibidos: pela conservação da estranheza e pela invariância de isospin.
K e π têm I = 1/2 e I = 1, respectivamente. No entanto, a conservação de
S é necessária. Por exemplo
π − + p → K − + Σ +
é permitida pela conservação de isospin mas proibida pela conservação de
S.
Outros exemplos:
Λ → π + Σ,
Ξ − → K − + Λ,
Ω − → K 0 + Ξ − ,
são permitidos pela conservação de I e de S. Também,
Ξ → N + π
é permitida pela conservação de I mas tem ∆S = 2, logo é proibida pela
conservação de S. Por outro lado, a conservaçãode S permite decaimentos
90

como
Λ 0 → ¯K 0 + N,
Σ → ¯K + N,
Ξ → ¯K + Λ,
Ω → ¯K + Ξ.
De fato, as emissões de ¯K, nas reações acima, ocorrem copiosamente para
estados excitados de Λ, Σ e Ξ, mas não para os estados fundamentais. Entre
os estados bariônicos de menor massa, N, Λ, Σ, Ξ e Ω, os pares de estados
que diferem por uma unidade de S têm uma diferença de massa menor que
a massa do K,
m Λ 0 = 1115.60 MeV,
m N
∼ = 940 MeV,
m Λ 0 − m N ∼ 176MeV < m K ∼ 497MeV.
Por isso, os estados bariônicos de menor massa são estáveis com relação a
interação forte e decaem somente pela interação fraca.
Há uma diferença entre processos proibidos por leis de conservação que
ocorrem como colisões, por exemplo πN → KN e aqueles que ocorrem como
decaimento. As colisões mediadas pelas interações fracas, como πN → Λπ,
usualmente não são observadas devido ao enorme “background” dos processos
hadrônicos permitidos. Por outro lado, os decaimentos de partículas que
não podem decair via interação forte são facilmente observados simplesmente
esperando um tempo suficiente em “bubble chambers”.
É costume introduzir a hipercarga forte Y ,
Y = B + S (3.50)
e
Q = I 3 + Y 2 . (3.51)
91

Após a introdução do Charm, c, a hipercarga é definida como
após a introdução do bottom e do top.
Y = B + S + c + b + t, (3.52)
3.7 Regras de Superseleção
Do ponto de vista das teorias até hoje testadas, a conservação da carga
elétrica, Q, do número bariônico, B, e do número leptônico total L, é absoluta
(ainda que, como já discutimos antes, a física além do MP não precise
respeitar essas simetrias). Isto significa que não há “mistura”, i.e., não há
elementos da matriz-S que liguem estados com Q, B e L diferentes. Sabemos
pela mecânica quântica que uma fase comum a um conjunto de vetores de
estado não é mensurável. Se, por exemplo, ψ 1 , ψ 2 , ... são estados possíveis de
um sistema, então, o princípio de superposição nos diz que a combinação linear
ψ = ∑ n a nψ n é também um estado possível. Logo ψ e λψ pertencem ao
mesmo raio. 11 Também ψ 1 e λψ 1 , · · · pertencem ao mesmo raio. Podemos
escrever a equivalência
∑
a n ψ n ∼ λ ∑ a n ψ n ,
n
n
mas,
∑
a n ψ n ≁ ∑ a n (λ n ψ n ).
n
n
Um sub-espaço coerente é definido como um sub-espaço para o qual o
princípio de superposição é válido. A existência de diferentes sub-espaços
coerentes deve-se a uma regra de superseleção, 12 por exemplo, |Q i 〉 com
11 Um “raio”ψ é definido por um espaço 1-dimensional {λψ}, isto é, múltiplo de algum
vetor ψ com λ = e iα e α real.
12 Este tipo de regras foram introduzidas por G. C. Wick, A. S. Wightman e E. P.
Wigner, em The Intrinsic Parity of Elementary Particles, Phys. Rev. 88, 101 (1952).
Mais referências em D. Giuliani, Superselection Rules, arXiv:0710.1516.
92

i = 1, 2 são autoestados com carga Q 1 e Q 2 bem definidas (poderia ser
B,L,...) mas
|Q 1 〉 + |Q 2 〉
ou qualquer outra combinação linear não corresponde a um estado realizado
fisicamente, se Q 1 ≠ Q 2 . Para estados que pertençam a diferentes
sub-espaços coerentes (Ver Figura 3.1), não apenas a fase comum não é
mensurável, como também, não o é fase de cada estado.
Por exemplo, a conservação do momento angular proíbe transições entre
sistemas com momento angular J semi-inteiro e a sistemas com J inteiro pois
não podemos somar J inteiros para construir um sistema com J semi-inteiro.
Então não tem sentido comparar a fase de sistemas com J semi-inteiro com
a fase de sistemas com J inteiro. Consideremos, por exemplo, um nêutron.
Podemos assumir a fase absoluta do vácuo como sendo zero. A fase do
nêutron não tem significado físico pois a transição n → vácuo é proibida
pela conservação do número bariônico e do momento angular. Também, a
fase relativa entre o próton e o nêutron não tem sentido pois eles têm cargas
elétricas diferentes.
Consideremos quais as limitações na determinação da carga elétrica que
aparecem por causa de regras da superseleção.
Em 1952, E. Wigner considerou duas maneiras de determinar a carga
elétrica de uma partícula. 13 Primeiro, podemos considerá-la como um simples
número quântico conservado aditivamente em toda reação. Por exemplo,
no decaimento µ + → e + ν¯ν podemos determinar a carga do µ + se conhecemos
as cargas de e + , ν, ¯ν, (+1, 0, 0 respectivamente), logo Q(µ + ) = +1.
Em 1959, G. Feinberg e M. Goldhaber notaram uma ambigüidade nessa
maneira de determinar a carga elétrica, Q. Como B e Q são conservados
13 E. P. Wigner, Symmetry and Reflections, Indiana University Press, 1967, parte I.
93

separadamente, qualquer combinação linear de Q e B,
Q ′ = αQ + βB (3.53)
é também conservada. Como α e β podem não ser inteiros, Q ′ pode não ser
inteira também. Poderíamos considerar Q ′ como uma “nova carga elétrica”
se o conceito de carga elétrica é meramente o de um número aditivamente
conservado em cada reação. De outra forma, como p → e + π 0 está proibida
pela conservação do número bariônico, B, então, a carga relativa entre p e
e + está completamente indeterminada e é um fato de definição.
Na outra maneira, de Wigner, para determinar a carga elétrica de uma
partícula deixamos que ela interaja com um campo eletromagnético externo.
Observamos, por exemplo, quanto um p é desviado num campo elétrico
homogêneo. Com esse tipo de experiência determina-se e, como já vimos
antes na Eq. (3.13),
|Q e − + Q próton | = 1.0 × 10 −21 e.
De fato este é um número maravilhoso:
• se as cargas elétricas dos bárions fossem todas levemente deslocadas
dos valores atualmente aceitos por, digamos, uma quantidade |∆e|, então,
a conservação dos bárions seguiria da conservação da carga elétrica em vez
de ser um princípio físico independente: p → e + π 0 não ocorre pois a carga
elétrica é diferente, ainda que por uma quantidade pequena, em ambos os
lados da reação.
• se |∆e| ∼ 2 × 10 −18 , isto é, apenas três ordens de grandeza abaixo
do valor experimental, produziriam-se poderosas forças eletrostáticas em
escalas cosmológicas que poderiam explicar a expansão (com aceleração?)
do universo observada. 14
14 A hipótese acima foi colocada por H. Bondi e R.A. Lyttleton, Proc. Roy. Soc. (Lon-
94

3.8 Simetrias Discretas
Este tipo de transformação está relacionada com operadores do tipo
U 2 = 1, (3.54)
os quais são unitários e hermitianos, e isso leva, já o vimos, às leis de conservação
multiplicativas.
3.8.1 Paridade P
Uma invariância sob paridade é, em última instância, uma invariância sob
a troca de esquerda ⇋ direita, isto é, invariância sob reflexões espaciais.
A operação de paridade ou inversão espacial, P, troca o sinal de um
vetor polar:
⃗x
⃗p
P
→ −⃗x
−⃗p
(3.55)
mas, deixa os vetores axiais invariantes, por exemplo, o momento angular
⃗L = ⃗r × ⃗p, transforma-se como:
⃗L −→ ⃗ L. (3.56)
A Eq. (3.56) é generalizada para qualquer operador tipo spin. A Eq. (3.56)
é uma conseqüência de [P, ⃗ L] = 0 e, obviamente também deixa invariante as
relações de comutação entre os geradores L i , [L i , L j ] = ɛ ijk L k . Ver Fig. 3.1
Podemos ver a relação entre a reflexão especular e a inversão espacial,
da maneira seguinte: fazemos primeiro uma reflexão, E, no plano x − y
x
y
z
E
−→
x
y
−z
don) A252, 313 (1959), e refutada experimentalmente por A.M. Hillas e T.E. Cranshaw,
Nature 184, 892 (1959). O valor destes é uma ordem de grandeza menor que o valor que
Bondi e Lyttleton precisavam.
95

e, se agora realizamos uma rotação de 180 o ao redor do eixo-z,
x
y
−z
R
−→
−x
−y
−z.
Temos então que
P = R z (π)E. (3.57)
É fácil verificar que as rotações e a inversão espacial comutam:
x
y
P
−→
−x
−y
R
−→
x
y
z
−z
−z
x
y
z
R
−→
−x
−y
z
P
−→
Em particular, a inversão espacial comuta com as rotações infinitesimais,
x
y
−z
[P, ⃗ J] = 0, (3.58)
ou,
P ⃗ JP −1 = ⃗ J. (3.59)
Aqui J ⃗ pode ser o spin ou o momento angular orbital.
Como P comuta com a Hamiltoniana, H, isto implica que a matriz-S
relaciona apenas estados da mesma paridade, ou em outras palavras, que a
paridade do estado inicial seja igual à paridade do estado final.
Consideremos o caso de uma função de onda não relativística. O efeito
da operação P é definido como, 15
PΨ(⃗x) = Ψ(−⃗x),
15 O caso relativista precissa de tratamento especial.
96

e aplicando novamente P, resulta
P 2 Ψ(⃗x) = PΨ(−⃗x) = Ψ(x).
Logo, os autovalores de P são ±1, além de uma fase arbitrária.
A paridade do sistema será um número quântico conservado se
[H, P] = 0, ou PHP −1 = H. (3.60)
Podemos então escolher a função de onda como autofunção do operador
paridade,
HΨ(⃗x) = EΨ(⃗x), (3.61)
operando com P e usando a Eq. (3.60),
HPΨ(⃗x) = EPΨ(⃗x)
HΨ ′ (⃗x) = EΨ ′ (⃗x)
com
Ψ ′ (⃗x) = PΨ(⃗x).
Vemos, então, que as funções de onda Ψ(⃗x) e PΨ(⃗x) satisfazem a mesma
equação de Schrödinger com a mesma energia E. O estado de energia E
pode ser degenerado, isto é, dois estados físicos diferentes que são descritos
pelas funções Ψ e Ψ ′ = PΨ têm a mesma energia. Por outro lado, se o
estado não é degenerado, Ψ e PΨ devem ser proporcionais entre si,
PΨ(⃗x) = πΨ(⃗x). (3.62)
O autovalor π chama-se “paridade” do estado Ψ, e como discutido acima,
assume os valores
π = ±1, (3.63)
e este é o observável associado com o operador Hermitiano P.
97

Podemos ver mais explicitamente a introdução do conceito de paridade
na mecânica quântica não relativística. O caso relativístico é fácil de ser
generalizado mas é preciso usar a equação de Dirac. Consideremos a equação
de Schrödinger independente do tempo com apenas uma dimensão espacial:
− 2 d 2 Ψ(x)
2m dx 2 + V (x) Ψ(x) = E Ψ(x). (3.64)
A mesma equação, para o caso de uma reflexão
⃗x → −⃗x,
é
− 2 d 2 Ψ(−x)
2m dx 2 + V (−x) Ψ(−x) = E Ψ(−x). (3.65)
Se o potencial V(x) é simétrico com relação à origem, i.e., x = 0,
V (x) = V (−x),
a Eq. (3.65) pode ser escrita como
− 2 d 2 Ψ(−x)
2m dx 2 + V (x) Ψ(−x) = E Ψ(−x). (3.66)
Comparando (3.64) e (3.66) vemos que para o mesmo potencial, V (x) temos
duas soluções Ψ(x) e Ψ(−x). Como antes, se não existe degenerescência, as
duas soluções só podem diferir por uma constante, π, i.e.,
Ψ(−x) = π Ψ(x). (3.67)
Fazendo agora, x → −x temos
Ψ(x) = π Ψ(−x). (3.68)
De (3.67) e (3.68) temos,
π 2 = 1
98

ou,
π = ±1. (3.69)
Da exposição acima, concluímos que as soluções da equação de Schrödinger
podem ser pares ou ímpares sob a troca de sinal das coordenadas espaciais.
Esta propriedade define a paridade do estado.
Um exemplo: em qualquer potencial com simetria esférica, a Hamiltoniana
tem também essa simetria:
H(⃗r) = H(−⃗r) = H(r),
r = |⃗r|,
se [P, H] = 0, os estados ligados do sistema têm paridade bem definida. Em
particular, no átomo de hidrogênio, sem levar em conta o spin, as soluções
são:
Ψ(r, θ, φ) = χ(r) Yl m (θ, φ)
√
(2l + 1)(l − m)!
= χ(r)
Pl m (cos θ)e imφ , (3.70)
4π (l + m)!
a inversão espacial, ⃗x → −⃗x é equivalente a
Graficamente aparece na Fig. 3.2
Isto é,
P m
l
θ → π − θ, φ → π + φ.
e (imφ) → e im(φ+π) = (−1) m e imφ
(cos θ) → P m
l
(cos(π − θ)) = (−1) m+l P m
l (cos θ)
então,
Y m
l
(cos θ) → Y m (π − θ, π + φ) = (−1) l Y m (θ, φ).
l
l
Os harmônicos esféricos têm, então, paridade (−1) l ; por exemplo, os estados
atômicos s, d, g, ... têm paridade par, enquanto que p, f, h, ... têm paridade
ímpar.
99

Transições dipolares elétricas entre estados são caraterizadas pela regra
de seleção ∆l = ±1, isto é, após a transição, a paridade do estado atômico
muda. Por isso, a paridade da radiação eletromagnética E1 (fóton) emitida,
deve ser −1. A paridade é conservada no sistema átomo+fóton. Voltaremos
a este ponto mais adiante.
100

Generalização da Paridade
Como a paridade é um número quântico multiplicativo, a paridade de
um sistema composto Ψ = φ a φ b · · · é igual ao produto das paridades de cada
parte, i.e., π ψ = π a π b · · ·. Por exemplo, considerando a reação:
a + b → c + d, (3.71)
podemos escrever simbolicamente
|inicial〉 = |a〉|b〉|movimento relativo〉
P|inicial > = P|a > P|b > P|movimento relativo >
A conservação da paridade diz que
= π a π b (−1) l , (3.72)
π a π b (−1) l = π c π d (−1) l′ , (3.73)
onde fizemos uma análise semelhante no estado final.
Nas interações eletromagnética e forte, a paridade é conservada. Assim,
é possível atribuir a cada partícula elementar uma paridade intrínseca.
No caso dos fótons temos que a interação eletromagnética é proporcional
a J µ A µ , com J µ = (ρ,⃗j). Sob a transformação de paridade temos
(ρ(⃗x),⃗j(⃗x))
P
−→ (ρ(−⃗x), −⃗j(−⃗x)).
Se a interação eletromagnética é invariante devemos ter que
⃗A(⃗x)
P
−→ − ⃗ A(−⃗x),
A 0 (⃗x)
P
−→ A 0 (−⃗x), (3.74)
e, logo, o campo eletromagnético deve transformar-se como
⃗E(⃗x) = − ⃗ ∇A 0 + ∂ ⃗ A
∂t
101
P
→
− ⃗ E(−⃗x)

⃗B(⃗x) = ∇ ⃗ × A ⃗ → P + B(−⃗x). ⃗
Considerando um campo A, ⃗ como A(⃗x) ⃗ ∝ ⃗εf(x), onde f(x) é uma função
escalar, vemos que sob P, ⃗ε → −⃗ε. Este comportamento do vetor de polarização
carateriza a paridade intrínseca do campo eletromagnético.
Para outras partículas também é possível definir uma paridade intrínseca.
Entretanto, essa atribuição deve ser confirmada experimentalmente. Por e-
xemplo, na reação
p + p → π + + p + n,
na qual um píon é criado, é necessário atribuir uma paridade intrínseca ao
píon, para ter a mesma paridade no estado inicial e final. Vamos considerar,
em detalhe, a determinação da paridade intrínseca dos píons π ± e π 0 . Antes,
devemos estudar a determinação do spin dos mesmos que será útil quando
considerarmos o spin.
A paridade intrínseca está definida para partículas em repouso. Além de
partículas em repouso, partículas com momento angular orbital bem definido
são autoestados da paridade.
Na equação de Dirac, a paridade do férmion (f) e anti-férmion ( ¯f) estão
relacionadas
π f π ¯f = −1. (3.75)
A predição (3.75) tem sido verificada experimentalmente na reação e + e − →
γγ. Se o estado inicial tem momento angular orbital nulo (parapositronium),
temos π e +π e − = (−1) lγ , onde L γ é o momento angular orbital do estado final.
Medidas da polarização dos fótons confirmam a (3.75). 16 No entanto,
não é possível determinar π e + ou π e − separadamente. É convenção usar
π e − = π µ − = π τ − = +1, π e + = π µ + = π τ + − 1; π u = π d = π s = π c = π b =
π t = +1; πū = π ¯d = π¯s = π¯c = π¯b = π¯t = −1. O fato é que não podemos
criar elétrons ou pósitrons isolados via interações eletromagnéticas. O
16 C. S. Wu e I. Shaknov, Phys. Rev. 77, 136 (1970).
102

mesmo vale para quarks via interações eletromagnéticas e fortes. Em termos
dos hadrons a convenção é π p = π n = 1, π K − = π D − = π B − = −1. Os
bósons de gauge do modelo padrão γ, W ± , Z 0 e os gluons têm todos paridade
intrínseca negativa.
A paridade implica na conservação de um número quântico multiplicativo.
A razão dessa diferença, com relação, por exemplo com as leis de
conservação aditivas como as dos U(1), deve-se ao fato de que, a operação
de paridade é realizada por operador hermitiano, ou seja, ela pode ser observável.
Já no caso dos U(1), o operador hermitiano aparece na exponencial,
o que implica que um produto de exponenciais seja igual ao exponencial
da soma, o que leva à leis de conservação aditivas.
3.8.2 Determinação do spin dos píons
Não existe nenhum princípio fundamental para predizer o fato de que o píon
tem spin zero. Isso deve ser determinado experimentalmente.
Para os píons carregados positivamente, a experiência consiste em estudar
as duas reações:
p + p → π + + d (a)
π + + d → p + p (b).
(3.76)
A idéia fundamental é que a seção de choque para qualquer reação desse
tipo implica na soma sobre todos os estados possíveis das partículas finais
e este número depende do spin (quer dizer que usaremos detetores que registrem
as partículas finais independente de sua polarização).
Podemos adiantar que o spin do píon deve ser inteiro, pois o spin do
dêuteron é 1, e o do próton é 1/2. A mera observação das reações na
Eq. (3.76) elimina a possibilidade de que o spin do píon seja semi-inteiro.
Vamos também considerar que os estados iniciais nas reações da Eq. (3.76)
não estão polarizados e, por isso, tomaremos a média sobre os estados de
103

spin iniciais. Podemos mostrar que para a reação geral na Eq. (3.71)
( √
dσab→cd
1 1 λ(s, m
dΩ
)n.p.
2
∗ =
c, m 2 d )
(2s a + 1)(2s b + 1) 64π 2 s λ(s, m 2 a, m 2 b ) ×
∑
|〈cd|H|ab〉| 2 , (3.77)
s i ,s f
e, similarmente,
(
dσcd→ab
dΩ ∗ )n.p.
=
√
1 1 λ(s, m 2 a, m 2 b )
(2s c + 1)(2s d + 1) 64π 2 s λ(s, m 2 c, m 2 d ) ×
∑
|〈ab|H|cd〉| 2 , (3.78)
s i ,s f
onde s i é o spin da partícula i e, λ(x, y, z) é a função triangular definida
no Capí tulo 1. O princípio do balanço detalhado estabelece que o número
de transições por unidade de tempo de reações como as das (3.77), para a
mesma energia do centro de massa, é igual.
Em termos das expressões nas Eqs. (3.77) e (3.78) resulta
∑
|〈cd|H|ab〉| 2 = ∑ |〈ab|H|cd〉| 2 , (3.79)
s i ,s f s i ,s f
onde as somas são sobre todos os spín das partículas incidentes e finais. Esta
relação é uma conseqüência de assumir a invariância da teoria sob inversão
temporal e espacial (o que é válido para as interações fortes). A inversão
temporal (que estudaremos mais adiante) troca o estado inicial com o estado
final e inverte todos os momentos e spins. A inversão espacial troca o sinal
dos momentos mas não muda o dos spins. Logo
|〈f(⃗p c , ⃗p d , s c , s d )|H|i(⃗p a , ⃗p b , s a , s b )〉|
↓ T , P
|〈i(p a , p b , −s a , −s b )|H|f(p c , p d , −s c , −s d )〉|
(3.80)
104

Somando pelas 2s + 1 projeções de spin possíveis (de −s a s) obtemos a
Eq. (3.79). 17
Então, usando a Eq. (3.79) obtemos das Eqs. (3.77) e (3.78),
(
dσab→cd
dΩ
)n.p.
∗ (2s a + 1)(2s b + 1)λ(s, m 2 a, m 2 b ) =
(
dσcd→ab
dΩ
)n.p.
∗ (2s c + 1)(2s d + 1)λ(s, m 2 c, m 2 d ). (3.81)
Vemos então que, medindo as duas seções de choque, a energias e ângulos
apropriados, podemos determinar o spin de uma das partículas se conhecemos
o das outras partículas.
Usando a Eq. (3.81) para o caso das reações (3.76) encontramos,
(
dσpp→πd
dΩ ∗ )np
= 3 4 (2s π + 1) λ(s, m2 π, m 2 d ) (
dσπd→pp
λ(s, m 2 p, m 2 . (3.82)
p) dΩ c.m.
)np
Medidas da reação π + d → pp foram obtidas para píons com energia cinética
de 37.6 MeV, e em 1958 deram os seguintes resultados: 18
(
dσπd→pp
= [0.34 ± 0.05 + (1.55 ± 0.14) cos 2 −27 cm2
θ] × 10
ster . (3.83)
dΩ ∗ )np
Das duas últimas equações temos,
(
dσpp→πd
= (2s π + 1)[0.015 ± 0.02 + (0.069 ± 0.006) cos 2 −27 cm2
θ] × 10
ster ,
dΩ ∗ )np
(3.84)
17 Em teorias nas quais a invariância de T e/ou P não são válidas, o princípio do balanço
detalhado ainda será válido se for possível aplicar a teoria das perturbações (H ′ ≪ H 0) e
H ′ for um operador Hermitiano, i.e., 〈f|H ′ |i〉 = 〈i|H ′ |f〉 ∗ .
18 R. Durbin, H. Loar e J. Steinberger, Phys. Rev. 83, 646 (1951); D. L. Clark, A.
Roberts e R. Wilson, ibid. 83, 649 (1951).
105

e, pelas medidas diretas 19
(
dσpp→πd
= [0.014 ± 0.02 + (0.071 ± 0.06) cos 2 −27 cm2
θ] × 10
ster . (3.85)
dΩ ∗ )np
Só temos consistência da Eq. (3.84) e (3.85) se s π = 0. Em 1951-53, medidas
das seções de choque totais desses mesmos processos também eram consistentes
com s π = 0. O fato que o decaimento é quase isotrópico no SCM
confirma que s π = 0.
Para o caso do píon neutro, o processo estudado é o decaimento eletromagnético
π o → γγ. Consideremos esse decaimento no sistema em repouso
do píon. Nesse referencial os dois fótons devem se mover em direções opostas,
cada um com um momento igual à metade da massa em repouso do píon.
Da própria existência do decaimento vemos também que s π o deve ser inteiro
pois s γ = 1.
Escolheremos a direção de propagação de um fóton ao longo do eixo-z.
Uma onda plana
⃗A(⃗r) = A ⃗εe ikz
representa um fóton com momento bem definido. O vetor de polarização ⃗ε
é sempre ortogonal à direção do movimento ( ⃗ k · ⃗ɛ = 0). Podemos escolher
as bases
ˆε ± = 1 √
2
(ˆε x ± iˆε y ), (3.86)
onde ˆε x , ˆε y são vetores unitários na direção x e y respectivamente. ˆε + representa
um fóton com momento angular ao longo da direção +z igual a +1,
(‘right’ ou R); e ˆε − um fóton um cujo projeção ao longo do mesmo eixo é
19 W. F. Cartwright, C. Richman, M. N. Whitehead e H. A. Wilcox, Phys. Rev. 91,
677 (1953); F. S. Crawford e M. L. Stevenson, Phys. Rev. 97, 1305 (1955). Dados mais
recentes da reação pp → πN podem ser encontrados em R. A. Arndt, et al. Phys. Rev.
C 48, 1926 (1993); Erratum, ibid.49, 1229 (1994).
106

−1 (‘left’ ou L). Como o fóton tem massa nula, estas são as únicas possibilidades,
i.e., não existe fóton com componente nula do momento angular ao
longo da direção do movimento.
Representemos o decaimento π 0 → γγ como nas Figs. 3.3 e 3.4, onde
usamos a seguinte notação: +(−) quer dizer um fóton se movendo ao longo
do eixo +z(−z). Temos quatro estados quânticos possíveis:
|φ a 〉 = |+, R; −, R〉 (a)
|φ b 〉 = |+, R; −, L〉 (b)
|φ c 〉 = |+, L; −, R〉 (c)
|φ d 〉 = |+, L; −, L〉 (d).
(3.87)
O mesmo decaimento, mas, num sistema de coordenadas girado 180 o ao
redor do eixo-x, é mostrado na Fig. 3.5. Nesse caso agora o fóton 1 move-se
ao longo de −z e será rotulado por −, e o 2 obviamente agora por +. A
polarização não muda, isto é, se o fóton 1 estava polarizado à direita no
sistema original, continuará polarizado à direita após o giro:
|φ ′ a〉 = |−, R; +, R〉 = |φ a 〉 (a)
|φ ′ b 〉 = |−, R; +, L〉 = |φ c〉 (b)
|φ ′ c〉 = |−, L; +, R〉 = |φ b 〉 (c)
|φ ′ d 〉 = |−, L; +, L〉 = |φ d〉 (d).
(3.88)
Vemos que os estados |φ a > e |φ d >, que têm componente nula do momento
angular ao longo do eixo-z, são invariantes sob essa rotação do sistema de
coordenadas. Contudo, se o π 0 tivesse spin 1, sua função de onda se comportaria
sob rotações como Y1 m (θ, φ), com m = 0, e esta função muda de sinal
sob uma rotação (ver pag.99). Então a conclusão é: uma partícula neutra
de spin-1, não pode decair em 2 fótons (“teorema de Yang”). 20
Segundo
esse argumento, o spin do π 0 deve ser 0 ou ≥ 2. No entanto, em colisões
20 C. N. Yang, Phys. Rev. 77, 242, 722 (1950).
107

núcleon-núcleon a altas energias observa-se que os π ± e os π 0 são produzidos
em igual número indicando que o píon π 0 têm também spin zero, s π 0 = 0.
Por outro lado, a vida média do π 0 é muito pequena, τ π 0 =8.4±0.6×10 −16
s, mesmo quando comparada com a dos píons carregados, τ π ± = 2.6033 ±
0.0005 × 10 −8 s. Isto é devido ao fato que π 0 → γγ, é um decaimento
eletromagnético, enquanto que os decaimentos dos píons carregados como,
por exemplo, π + → µ + ν µ é um decaimento fraco, ou seja, produzido pelas
interações fracas. A pequena vida média do π o o torna difícil de ser usado
como projétil numa experiência de absorção.
Podemos também ver que o spin do π o deve ser diferente de 1, pelo
seguinte argumento: se fosse 1, a amplitude da reação deveria ser linear em
⃗ε 1 e ⃗ε 2 e poderia depender apenas de ⃗ k, o momento relativo dos dois fótons
no Sistema do Centro de Massa (SCM). A amplitude deveria ser simétrica
pela troca de fótons idênticos no estado final, i.e.,
⃗ε 1 ⇋ ⃗ε 2
⃗ k ⇋ − ⃗ k
e, além disso
⃗ε 1 · ⃗k = ⃗ε 2 · ⃗k = 0.
Mas não é possível construir um vetor que satisfaça essas condições. A
amplitude do decaimento de uma partícula vetorial em repouso deve ter a
forma ⃗η · ⃗M, onde ⃗η é o vetor de polarização da partícula vetorial que decai.
Não existe M ⃗ que satisfaça as condições acima.
3.8.3 Paridade Intrínseca
Como veremos mais adiante, os mésons estão formados por pares q a¯q b (quarkanti-quark)
e os bárions por três quarks q a q b q c . A paridade intrínseca
108

do méson é π M = π a π b (−1) l = (−1) l+1 , l é o valor do momento angular
orbital do par q a¯q b . Para os mésons mais leves l = 0, 21 e devem
ter paridade negativa: π, K, D. No caso dos bárions temos π B =
π a π b π c (−1) l 12
(−1) l 3
= (−1) l 12+l 3
, onde l 12 e l 3 são os momentos angulares
orbitais de dois dos quarks e do terceiro com relação aos dois primeiros.
Para antibarions π ¯B = −π B .
De posse da informação relativa ao spin dos píons, podemos considerar o
caso da determinação da sua paridade intrínseca. Já dissemos que é possível,
ou melhor, necessário atribuir um número quântico (a paridade intrínseca)
às partículas elementares. Como em todos os casos que envolvem um sinal,
o ponto de partida deve ser definido.
No caso dos píons carregados, a paridade intrínseca, π π foi determinada
pela observação da absorção de píons negativos lentos em deutério,
π − + d → 2n, (a)
→ 2n + γ. (b) (3.89)
A razão destas duas reações é 2.35 ± 0.35.
reação,
é muito suprimida 22
Γ(π − + d → 2n + π 0 )
Γ(π − + d → 2n + γ)
Por outro lado, uma terceira
π − + d → 2n + π 0 (3.90)
= −0.0034 ± 0.0043 (3.91)
ainda que esperado que esta seja comparável às duas primeiras. Por outro
lado, sabe-se que as seguintes reações existem (captura em hidrogênio):
π − + p → n + γ, (a)
→ n + π 0 . (b)
21 Este é um resultado experimental muito importante.
22 W. Chinowsky e J. Steinberger, Phys. Rev. 100, 1476 (1955).
109

A existência da reação [3.89(a)] mostra que o píon tem paridade ímpar.
Isto porque é sabido, por experiências com raios-X mesônicos, 23
e pelo
cálculo direto, 24 que a captura do π − pelo deutério ocorre no estado atômicos,
sendo a captura-p muito pequena. Como o deutério tem spin-1 (no
deutério l = 0 entre o próton e o nêutron), isto é s d = 1, e o píon tem
spin zero, s π 0
= 0 , o momento angular total do lado esquerdo é j = 1, ou
seja, igual ao spin do deutério. A paridade do deuteron é par, assumindo
que o próton e o nêutron tenham a mesma paridade (comentaremos isto em
breve). Assim, a paridade do lado esquerdo de (3.89) está dada apenas pela
paridade intríseca do píon.
Como o momento angular total do lado esquerdo da (3.89) é j = 1, o do
lado direito deve também ter j = 1. Por outro lado, o estado final da reação
(3.89) tem 2 nêutrons para os quais existem duas possibilidades.
A função de onda de duas partículas de spin-1/2 pode ser escrita:
⎧
Ψ(1, 1) = φ ⎪⎨
1 ( 1 2 , 1 2 )φ 2( 1 2 , 1 2 )
S = 1 tripleto Ψ(1, 0) = 1 [
√ φ1 2
( 1 2 , 1 2 )φ 2( 1 2 , − 1 2 ) + φ 2( 1 2 , 1 2 )φ 1( 1 2 , − 1 2 )]
⎪⎩
Ψ(1, −1) = φ 1 ( 1 2 , − 1 2 )φ 2( 1 2 , − 1 2 )
S = 0 singleto Ψ(0, 0) = √ 1 [
φ1
2
( 1 2 , 1 2 )φ 2( 1 2 , − 1 2 ) − φ 2( 1 2 , 1 2 )φ 1( 1 2 , − 1 2 )]
(3.92)
As três primeiras expressões [3.92(a-c)] são um tripleto de spin= 1, enquanto
que a [(3.92(d)] é um singleto de spin= 0.
(a)
(b)
(c)
Pode-se verificar pela
Eq. (3.92), que sob a troca de partículas, o tripleto é simétrico e o singleto
antissimétrico.
Por outro lado, como estamos tratando de dois férmions
idênticos, a função de onda total deve ser completamente antissimétrica
(Principio de Pauli generalizado). Sabemos que pela troca de coordenadas
temos um fator (−1) l e pela troca de spins (−1) s+1 (tripleto simétrico, sin-
(d)
23 T. H. Fields, et al., Phys. Rev. Lett. 5, 69 (1960).
24 M. Leon e H. Bethe, Phys. Rev. 127, 636 (1962).
110

gleto antissimétrico), logo:
(−1) l (−1) s+1 = (−1) l+s+1
onde l + s deve ser par para obter a função de onda antissimétrica.
Como J ⃗ = L ⃗ + S, ⃗ onde L ⃗ é o momento angular orbital e S, ⃗ o spin total,
podemos ter
|l − s|, · · · , |l + s|.
Se s = 0 (singleto), temos l = 1, para manter a conservação do momento
angular total (j = 1 no estado inicial). Mas, neste caso, a função de onda
dos dois férmions é simétrica (l + s é ímpar). Para o caso em que s = 1
podemos ter l = 1, 3, ... e temos as possibilidades
l = 1, j = 0, 1, 2;
l = 3, j = 2, 3, 4.
Mas, apenas com l = 1 obtemos j = 1 se s = 1, assim os dois nêutrons
estão no estado 3P 1 . Nesse caso a paridade do estado final é (−1) l = −1,
logo
π π − = −1. (3.93)
Resumindo, no decaimento πd → 2n, a função de onda do estado final é
o produto de uma parte espacial e uma de spín, e deve ser antisimétrica sob
a troca de dois nêutrons. Para os estados de espín temos as possibilidades
s = 0 ou s = 1. O estado tripleto (s = 1) tem função de onda de spín
simétricas, ver Eq. (3.92). Isto quer dizer que a parte espacial é que deve
ser antissimétrica, com l = 1, 3, · · ·. No caso do estado singleto (s = 0), a
função de onda de spín é simétrica, logo a parte espacial deve ser simétrica
com l par, e o momento angular total j pode tomar os valores j = 0, 2, ....
Conclusão, o estado dos neutrons pode ser 3 S 0 , 3 D 1 , · · · ou 3 P 1 , · · · (lembrar
da notação 2J+1 L S , onde J, L, S denotam os valores do momento angular
111

total, orbital e de spin respectivamente, acima denotados por j, l, s), mas
apenas o estado 3 P 1 acontece na reação (3.89(a)).
A não ocorrência da reação (3.90) já é um sinal de que a paridade do
π − deve ser igual à do π 0 . O decaimento π 0 → γγ oferece, em princípio, a
possibilidade de determinar a paridade do π 0 . Já sabemos que o spin do π 0
também é zero. Como o decaimento se dá em repouso, a função de onda do
estado final deve transformar-se como um sistema com j = 0. O que se deve
estudar é a reação
π 0 → e − + e + + e − + e + . (3.94)
Esquematicamente, temos os processos que aparecem na Fig. 3.6.
A amplitude do decaimento π 0 → γγ deve ser, como mencionamos acima,
linear em ⃗ε 1 , e ⃗ε 2 . Para o caso j = 0 temos duas possibilidades:
⃗ε 1 · ⃗ε 2
(⃗ε 1 × ⃗ε 2 ) · ˆk
paridade par
paridade ímpar.
Como antes, ˆk é um vetor unitário ao longo de ⃗ k, o momento relativo do
sistema dos dois fótons.
Se a paridade é conservada, apenas uma das formas é possível, e podemos
determinar se o π 0 é um escalar (paridade par) ou um pseudoescalar (paridade
ímpar), medindo as orientações relativas de ⃗ε 1 e ⃗ε 2 . Por exemplo, se π 0
é pseudoescalar, ⃗ε 2 não pode ter uma componente na direção de ⃗ε 1 . Como
a seção de choque da produção de pares depende do vetor de polarização do
fóton, o que se estuda experimentalmente é a orientação relativa dos dois
planos dos pares e + e − . Em 1955, N. M. Kroll e W. W. Wada mostraram
que esse efeito de correlação persiste para a conversão interna no processo
π 0 → e − e + e − e + , isto é, o par e − e + lembra a polarização do fóton virtual.
Cálculos mostraram que a distribuição esperada é 1 + k cos 2φ, sendo φ o
ângulo entre os dois planos dos pares e − e + . Teoricamente k teor. = +0.47
112

para um π 0 escalar, e k teor. = −0.47 para um π 0 pseudoescalar. Experimentalmente,
k exp ∼ −0.7, excluindo um π 0 escalar por três desvios padrões.
Veja Fig. 3.6. 25
Em termos da linguagem de polarização circular ⃗ε 1 · ⃗ε 2 é equivalente à
combinação linear,
1
√
2
(|φ a 〉 + |φ d 〉)
ou RR + LL, que é obviamente par sob P, das Eqs.(3.88), e (⃗ε 1 × ⃗ε 2 ) · ⃗k é ,
1
√
2
(|φ a 〉 − |φ d 〉) ,
ou seja, correspondem à combinação RR−LL, que é ímpar sob P . Podemos
concluir que os píons são pseudoescalares J P = 0 − .
Dissemos antes que, ao atribuir as paridades intrínsecas às partículas
elementares, devemos definir o ponto de partida. Este é :
π próton ≡ π p = +1.
Agora, quanto vale π nêutron ≡ π n ? Na determinação da paridade do π − ,
aparece π n π n , ou seja, experimentalmente π n = ±1. A escolha é teórica, a
física é uma ciência experimental, mas não só isso. O próton e o nêutron
formam um isodubleto (verificado experimentalmente) e estes devem ter as
mesmas propriedades hadrônicas, [H forte , I] ⃗ = 0, por isso,
π n = +1.
Atribuir uma paridade absoluta ao píon, por exemplo na [3.89(a)], é possível
porque os bósons podem ser criados ou destruídos isoladamente. Por outro
lado, como o número bariônico é conservado absolutamente, na reação, a
paridade relativa entre o estado inicial e final é independente do sinal escolhido
para a paridade do núcleon.
25 R. Plano et al., Phys. Rev. Lett. 3, 525(1959).
113

Por que a paridade relativa do próton e do nêutron, ou do π + e π 0 não
pode ser medida? Isto está relacionado com as regras de superseleção devido
às leis de conservação aditivas. Consideremos as equações
P|p〉 = |p〉
P|n〉 = |n〉.
(3.95)
Um operador de paridade modificado,
P ′ = P e iπQ , (3.96)
onde Q é o operador da carga elétrica, pode ser introduzido. Fisicamente P
e P ′ são indistinguíveis. Os dois fazem ⃗x → −⃗x, e comutam com H. Mas,
P ′ |p〉 = P e iπQ |p〉 = −P |p〉 = −|p〉
P ′ |n〉 = |n〉,
(3.97)
pois Q|p〉 = |p〉. Vemos que o operador da paridade P ′ modifica a paridade
intrínseca do próton mas não a do nêutron. Como não há razões para
preferir P a P ′ , concluímos que a paridade relativa entre sistemas de cargas
diferentes não é mensurável, i.e., que existe uma regra de superseleção.
Outros exemplos,
P ′ = P e iπB , ou P ′ = Pe iπY
com B e Y os operadores do número bariônico e hipercarga, respectivamente.
Segue-se o mesmo argumento e podemos concluir que a paridade relativa é
um observável somente em sistemas que têm números quânticos aditivos
iguais como Q, B, Y . Por exemplo, π 0 → 2γ tem todos as cargas nulas em
ambos os lados da reação.
No caso de partículas com estranheza, sabemos que elas são produzidas
em associação, p. ex:
p + p → K + + Λ + p, (3.98)
114

logo, apenas a paridade do par KΛ relativa à do núcleon pode ser medida.
Encontra-se que é ímpar e como por convenção a paridade de Λ é +1, então
a do K + é −1. Assumindo:
π p = π n = π Λ = +1, (3.99)
a paridade de todos os hádrons pode ser determinada.
Vejamos outros exemplos:
d + d → p + 3 H,
d + d → n + 3 H e ,
d + 3 H → n + 4 H e .
(3.100)
Como J P do deutério é 1 + , das reações, temos J P = 1 +
2 para 3 H e e 0 + para
o 4 H e .
A paridade é conservada nas interações forte e eletromagnética, mas é
violada na interação fraca. Para estudar a conservação ou a quebra da paridade
nas diferentes interações, devemos introduzir uma maneira de medir o
grau de conservação da paridade. Se |a > é um estado não degenerado de
um sistema com paridade par, podemos escrever
|a〉 = |par〉.
Se a paridade não é conservada, então |a〉 deve ser uma superposição de uma
parte par e outra ímpar,
|a〉 = α|par〉 + β|ímpar〉, |α| 2 + |β| 2 = 1, (3.101)
e, neste caso |a〉 não é mais um auto-estado do operador paridade,
P |a〉 = α|par〉 − β|impar〉 ≠ |a〉
e, F = α/β é uma medida da não conservação da paridade, β ≤ α. A
paridade é violada maximalmente se |F| = 1.
115

Próton
Q +e −e
B +1 −1
Antipróton
µ +2.79(e/2Mc) -2.79(e/2m p c)
σ
1
2 1
2
Tabela 3.1: Números quânticos aditivos para próton e anti-próton.
Elétron
Q −e +e
L e +1 −1
pósitron
µ -(e/2m e c) +(e/2m e c)
σ
1
2 1
2
Tabela 3.2: Números quânticos aditivos para elétron-pósitron.
Aqui devemos dizer apenas que na interação forte, experimentalmente
temos |F| 2 < 10 −8 , e na interação eletromagnética |F| 2 < 10 −12 . Estes
limites são consistentes como sendo devidos aos efeitos da interação fraca.
3.9 Conjugação da Carga, C
Esta operação de simetria “inverte”a carga e outros números quânticos aditivos.
Em teoria quântica, essa operação transforma uma partícula na sua
antipartícula. Não altera o spin. Por exemplo, os caso do próton antipróton
ou elétron-pósitron aparecem nas Tabelas 3.3 e 3.4, respectivamente.
Apenas para as interações fortes e eletromagnéticas [C, H] = 0.
Como veremos mais tarde, a interação fraca viola a invariância sob P,
e também sob C. Se os neutrinos são não-massivos, seus únicos estados de
116

spin são J z = ± 1 2
, com z a direção do momento ⃗p. Experimentalmente,
verifica-se que apenas neutrinos com J z = − 1 2 e antineutrinos com J z = + 1 2
existem na natureza. Graficamente mostra-se na Fig. 3.9, como os neutrinos
se transformam sob P, C e sob a inversão combinada, PC.
O operador C é tal que
C 2 = 1
e, como o da paridade, é um operador discreto. Há, no entanto, uma grande
diferença entre o operador P e o C. Este último nem sempre tem autoestados.
Suponhamos que
C|N〉 = η C |N〉, (3.102)
com N um conjunto de números quânticos aditivos. Assumamos também
que |N〉 é um autovetor do operador de carga elétrica,
Q|q〉 = q|q〉
e que
C|N〉 = | − N〉
logo,
CQ|q〉 = qC|q〉 = q| − q〉
QC|q〉 = Q| − q〉 = −q| − q〉.
Então
(CQ − QC)|q〉 = 2q| − q〉 = 2CQ|q〉,
isto é,
[C, Q] = 2CQ. (3.103)
Como os dois operadores não comutam, não podemos diagonalizá-los simultaneamente.
Em outras palavras, uma partícula carregada não pode
satisfazer a Eq.(3.102).
117

O argumento acima, feito para a carga elétrica, também vale para B, L, Y, ...
e outros números quânticos aditivos. Então, apenas partículas verdadeiramente
neutras (Q = B = L = Y · · · = 0) podem ser autoestados da operação
de conjugação da carga, C. Para estes vale que η = ±1 na Eq.(3.102). Esse
número quântico chama-se paridade-C e satisfaz uma lei de conservação
multiplicativa.
Consideremos, por exemplo, o píon neutro, π 0 ,
C|π 0 〉 = ±|π 0 〉.
Para escolher o sinal na Eq.(3.102) devemos lembrar que para o fóton C γ =
−1, pois para ter conservação de C na QED, se e → −e, então A µ → −A µ .
Como o decaimento dominante do píon é, como vimos antes,
π 0 → γγ
temos que C(π 0 ) = +1. O decaimento
π 0 → γγγ
é proibido pela invariância de C. Experimentalmente temos
R ≡ Γ(π0 → 3γ)
Γ(π 0 → tudo) < 3.1 × 10−8 .
Se C γ = +1 ou se a C-paridade não fosse conservada esperaríamos R ≈ O(α).
Testar a conservação de C na interação eletromagnética passou a ser
prioritário depois que, em 1964, foi descoberta a violação de CP.
Uma
possibilidade era que a violação de CP fosse devido à violação de C na
interaçãoeletromagnética, já que esta conserva a paridade com maior certeza.
Além do decaimento π 0 → γγ comentado acima, procuraram-se efeitos no
decaimento do méson-η, (m η = 550 MeV ) que, como o π 0 , decai através da
interação eletromagnética:
η → γγ
118

→ π + π − π 0
→
→
π + π − γ
π 0 e + e −
A primeira das reações acima tem um BR de 38 % e implica que a paridade-
C do η é +1. Disto segue que o decaimento η → π 0 e + e − deve ser proibido,
se interpretado como η → π 0 γ, com posterior conversão interna γ → e + e − ,
uma vez que C γ = −1 e C(π 0 ) = +1. Esse decaimento não deve ocorrer. O
respectivo BR é < 5 × 10 −4 . Mas, a não existência do referido decaimento
é uma prova ambígua da ausência de violação de C na interação eletromagnética,
pois depende da interpretação (do modelo). Um teste melhor
seria feito comparando os espectros dos decaimentos em π + π − π 0 , π + π − γ.
Os efeitos, se existirem, são menores que 0.5 %.
Vimos acima que apenas os estados completamente neutros podem ser
autoestados da conjugação da carga. Exemplos interessantes desse tipo são
aqueles estados formados por partícula -antiparícula. Consideremos por
exemplo o positronium, e + e − . É sabido que ele decai nos estados formados
por dois ou três fótons, i.e,
e + e − → 2γ, 3γ.
Podemos escrever a função de onda total dos estados do positronium como
o produto de três fatores
ψ(total) = Φ(espacial) α(spin) χ(carga),
onde mostramos a dependência de cada fator explicitamente entre parênteses.
Assumamos que temos dois férmions idênticos 1 e 2 em vez de um par
férmion-antiférmion. Assim temos o seguinte comportamento sob a troca
dos fermions 1 e 2:
119

spin: (−1) s+1
inversão espacial: (−1) l
troca da carga: C
As três operações sucessivas são equivalentes à troca total das partículas 1
e 2. Pelo princípio de Pauli, ψ(total) deve ser antissimétrica, logo
(−1) s+1 (−1) L C = −1,
que implica que o fator C deve ser
C = (−1) l+s , (3.104)
que no caso do decaimento do positronium em n fótons deve ser igual a
(−1) n , pois o fóton é ímpar sob C.
Dados experimentais indicam que o positronium decai apenas no estado
l = 0. Temos então duas possibilidades
i) estado singleto 1 S 0 de momento angular total j = 0, decai em n par,
ii) estado tripleto 3 S 1 de j = 1, decai em n ímpar.
Decaimentos em 4γ, 5γ são menos prováveis por um fator α 2 ∼ 10 −4 .
O decaimento do tripleto em 2γ também é proibido pela conservação do
momento angular.
O caso do próton-antipróton é exatamente análogo ao do positronium.
Também fazemos uma análise semelhante para sistemas bosônicos como
π + π − . Mas, neste caso, a função de onda deve ser par sob a troca de
partículas.
Para π 0 π 0 podemos usar dois argumentos. Por uma troca total, temos
C = (−1) l mas como são bósons idênticos l deve ser par, logo C = +1.
Ou também como C(π 0 ) = +1 (do decaimento π 0 → γγ) para qualquer
configuração espacial. Compare-se com sistemas formados por partículaantipartícula:
neste último caso é necessário saber a configuração espacial.
120

Os testes experimentais da invariância sob C baseiam-se na comparação
de reações nas quais as partículas são substituídas pelas respectivas antipartículas.
Por exemplo, para a interação forte têm sido feitas comparações
entre as taxas e espectro de π + e π − nas reações
p + ¯p → π + + π − + π 0
→ K + + K − + · · ·
Na reação p¯p → π + π − π 0 , se o próton produz um π + na direção para frente,
¯p produz o π − na direção para trás. Na reação conjugada de carga, ¯pp →
π − π + π 0 , o π − estaria na direção para frente e o π + na direção para trás.
Assim, se as interações fortes são invariantes sob C, a distribuição angular
deve ser idêntica para π + e π − . Encontrou-se que uma possível violação de
C deve ser menor que 1%.
Acima, usamos o fato que C γ = −1. Sabemos que as leis do eletromagnetismo
são simétricas com relação ao sinal das cargas. De fato, as Equações
de Maxwell no vácuo são
∇ · ⃗E = ρ
∇ · ⃗B = 0
∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
∇ × ⃗ B = ⃗j + ∂ ⃗ E
∂t
(3.105)
e permanecem invariantes se fizermos ρ ⇋ −ρ devemos fazer ⃗j ⇋ −⃗j, ⃗ E ⇋
− ⃗ E e ⃗ B ⇋ − ⃗ B.
3.10 Inversão Temporal, T
Esta operação faz basicamente t → −t. As leis de Newton são obviamente
invariantes sob este tipo de transformação pois envolvem derivadas segundas
no tempo F ⃗ = m d 2 ⃗x/dt 2 .
121

A inversão temporal é uma simetria das interações eletromagnéticas e
fortes, mas é violada pelas interações fracas. A carga elétrica é invariante
sob inversão temporal enquanto que uma corrente, que é o produto de uma
carga pela velocidade, muda de sinal:
ρ(t) → T ρ(t), ⃗j(t) → T −⃗j(−t). (3.106)
Então as equações de Maxwell serão invariantes sob T se os campos
elétrico ⃗ E e magnético ⃗ B transformam-se como:
T ⃗ E(t) = ⃗ E(−t)
T ⃗ B(t) = −B(−t)
O vetor de Poynting ⃗ G = ⃗ E × ⃗ B T → − ⃗ G, i.e., o fluxo de energia é invertido.
Em termos do potencial escalar A 0 (⃗x, t) e do potencial vetorial ⃗ A(⃗x, t) temos
T A 0 (t) = A 0 (−t),
T ⃗ A(t) = − ⃗ A(−t),
onde para simplificar mostramos apenas a mudança no tempo. As variáveis
eletromagnéticas quantidades usuais transformam-se sob T como se mostra
na Tabela 3.5. Para comparação também incluímos a transformação sob P.
Em 1957, Landau colocou a observação que uma partícula elementar
não pode possuir um momento dipolar elétrico estático, se a interação com
o fóton é invariante sob T . Posteriormente esse argumento foi aplicado à
inversão temporal ou à combinação CP , se assumimos que o teorema CPT
for válido.
Na interação forte, a invariância sob T é verificada pela aplicação do
princípio do balanço detalhado. Na Fig. 3.10 mostra-se o resultado da
reação 26
p + 27 Al ⇋ α + 24 Mg.
26 W. Von Witsch, A. Richter e P. von Brentano, Phys. Rev. 169, 923(1968).
122

P
T
⃗x −⃗x ⃗x
⃗p −⃗p −⃗p
⃗σ ⃗σ −⃗σ
⃗E −E ⃗ E ⃗
⃗B B ⃗ −B
⃗
⃗σ · ⃗B ⃗σ · ⃗B ⃗σ · ⃗B
⃗σ · ⃗E −⃗σ · ⃗E −⃗σ · ⃗E
⃗σ · (⃗p 1 × ⃗p 2 ) ⃗σ · (⃗p 1 × ⃗p 2 ) −⃗σ · (⃗p 1 × ⃗p 2 )
Tabela 3.3: Propriedades de transformação de observáveis sob a inversão
espacial e temporal.
Daí segue que uma amplitude que viola-T , se for diferente de zero, deve ser
< 0.3 % da amplitude que conserva T .
Outra conseqüência da invariância sob T é a igualdade da assimetria da
polarização no espalhamento elástico pp. Nesse espalhamento, num alvo não
polarizado, num ângulo θ, um feixe de prótons inicialmente não polarizados
adquirirá uma polarização
P (θ) = N + − N −
N + + N −
onde N + e N − representam o número de prótons com spin “up” e “down”,
respectivamente, relativo ao plano de espalhamento.
Por outro lado, se
começamos com um feixe de prótons completamente polarizados transversalmente,
obtemos uma assimetria “left-right”, no espalhamento a ângulo θ,
no plano normal à direção de polarização:
A(θ) = N R − N L
N L + N R
,
onde R e L referem-se a ângulos à direita e à esquerda, respectivamente. Se
123

a interação forte é invariante sob inversão temporal, pode-se mostrar que
A(θ) = P (θ).
Esta igualdade tem sido verificada experimentalmente até o nível de ≃ 1
%. O operador de inversão temporal é diferente do caso de C e P. Estes
últimos são unitários e Hermitianos, e implicam leis de conservação multiplicativas.
O operador T é anti-unitário e não existe uma quantidade como
a paridade ou paridade-C associada a ele. Exemplificamos para o caso de
uma partícula não relativística sem spin, mas as caraterísticas aqui obtidas
são gerais o suficiente para que, com modificações apropriadas, aplique-se
ao caso relativístico e com spin.
Consideremos a equação de Schrödinger
i dψ
dt = H(t)ψ(t),
que, como no caso clássico de uma equação de difusão, não é invariante sob
a troca t → −t, porque envolve uma derivada primeira no tempo.
Se T é uma operação de simetria
[H, T ] = 0,
e se ψ e T ψ obedecem a mesma equação de Schrödinger, para T ψ temos
dT ψ(t)
i = HT ψ(t). (3.107)
dt
Suponhamos que
T ψ(t) = ψ(−t), (3.108)
então a Eq.(3.107) fica (se t ′ = −t)
−i dψ(t′ )
dt ′ = Hψ(t ′ ). (3.109)
124

A Eq.(3.109) não é igual à equação original (3.107). Logo a transformaçãodefinida
na Eq.(3.108) não é suficiente para caraterizar a inversão
temporal. Em 1952, E. Wigner introduziu a transformação T
T ψ(t) = ψ ∗ (−t). (3.110)
Substituíndo ψ ∗ (−t) na Eq. (3.107) e tomando a conjugada complexa de
toda a equação, recuperamos a equação de Schrödinger para ψ(t), se H é
real.
Vejamos o efeito de aplicar a transformação T , Eq.(3.110) a uma partícula
livre com momento ⃗p que tem como função de onda
ψ(⃗x, t) = e −i(Et−⃗p·⃗x)/ . (3.111)
Então,
T ψ(⃗x, t) = ψ ∗ (⃗x, −t) = e −i(Et+⃗p·⃗x)/
= e −i[Et−(−⃗p)·⃗x]/ (3.112)
Vemos então que T ψ descreve uma partícula com −⃗p. Podemos nos perguntar
se temos bem definida uma equação de autovalores
T ψ(t) = η T ψ(t).
Não, porque T faz ψ → ψ ∗ , entre outras coisas, e a equação de autovalores
não tem sentido. Isso está ligado ao fato de, como dissemos acima, T ser
antiunitário.
Lembramos que os operadores unitários são lineares, i.e., se U é um
operador unitário
U(c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c 1 Uψ 1 + c 2 Uψ 2 ,
e os antiunitários são anti-lineares, isto é
T (c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c ∗ 1T ψ 1 + c ∗ 2T ψ 2 .
125

Tanto os operadores unitários como os antiunitários deixam a norma invariante.
A escolha entre as duas possibilidades é determinada pela natureza
física das transformações. Para P e C, a função de onda transformada satisfaz
as equações originais, se a transformação é unitária. Para T isso ocorre
só se T é antiunitário.
Como T não tem autovalores observáveis, a invariância sob T não pode
ser testada procurando um decaimento proibido por essa invariância. É
necessário usar outros métodos. Por exemplo, o princípio do balanço detalhado
e a medida do momento dipolar elétrico de partículas elementares,
como o nêutron. Até pouco tempo atrás única evidência era no sistema de
káons, mas recentemente foi observado esse efeito nos méson B. Veremos
isso mais adiante.
3.11 Violação de C, P e CP
Em 1957, foi observada a violação da paridade em decaimentos fracos. Logo
se percebeu que também a conjugação da carga é violada nessas interações. 27
Tudo levava a crer, no entanto, que todas as interações conservassem a
“inversão combinada”, isto é, CP. Mas a física é uma ciência experimental
e os experimentos mostraram, em 1964, que também essa simetria é violada.
Ainda hoje é um problema em aberto o mecanismo dessa violação mas o
modelo padrão aprece dar conta, por enquanto, do recado.
As experiências foram feitas com káons neutros. Isso trouxe interesse aos
testes da invariância sob inversão temporal pois C, P e T estão relacionados
pelo teorema CPT : todas as interações são invariantes sob transformações
suscessivas de C, P e T em qualquer ordem.
As conseq¨’uências do teorema CPT que podem ser verificadas experimentalmente
são: partículas e antipartículas devem ter a mesma massa e
27 Estudaremos em detalhe isso no capítulo da interação fraca.
126

vida média, e momentos magnéticos iguais em magnitude, mas de sinais
opostos. Essas inferências poderiam seguir da invariância de C se esta fosse
conservada mas, como dissemos antes, essa simetria é violada pela interação
fraca e deve, então, ser baseada no teorema T CP.
Ver no PDG para os
dados das vidas médias dos píons, múons e káons carregados, dos momentos
magnéticos dos múons e do elétron e das massas dos píons, próton, káons
carregados e neutros.
Um teste experimental de particular interesse, da violação de T ou de
CP, é a deteção de um momento elétrico de uma partícula elementar. Ver
Tabela 3.5.
Em particular, o caso do nêutron é o melhor estudado, pois
existem técnicas de engarrafamento de nêutrons ultrafrios que permitem
realizar experiências com nêutrons de velocidades de até 2 m/s, o que facilita
a medida das propriedades estáticas do nêutron, como é o caso do EDM
(Electric Dipolar Momentum).
Podemos estimar a ordem de grandeza do EDM de uma partícula:
EDM = carga(e) × comprimento(l) × F
onde F é o parâmetro que viola T .
O nêutron é neutro, então o EDM
deve ser o resultado de uma assimetria, entre as nuvens de carga positiva
e negativa, relativa à direção do spin ⃗σ, única direção possível para o caso
de uma partícula elementar. Ver Fig. 3.11. Assumindo que a interação
responsável fosse a interação fraca l = G F m p = 10 −5 /m p o que implica em
onde usamos c/m p = 2 × 10 −14 cm.
−5 eF
EDM = 10 ∼ 10 −19 F e cm
m p
Quanto vale F? Se tivermos violação da inversão temporal e da conjugação
da carga (para manter T CP) e violação da conjugação da carga nos
decaimentos do η, temos que F < 10 −2 . Nos decaimentos dos káons neutros
127

implica que F < 10 −3 , logo
EDM < 10 −22 e cm.
Recentemente experiências em Grenoble indicam que
EDM do nêutron = d n < 0.63 × 10 −25 e cm.
Caso se confirme que o nêutron tem uma d n diferente de zero, um novo
desafio estará colocado às teorias de física de partículas elementares.
128

Breve Resumo das Simetrias
Podemos classificar as simetrias, algumas delas quebradas, em quatro
grupos:
1. Simetria de permutações: estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac.
2. Simetrias contínuas espaço-temporais: translações, rotações,...
3. Simetrias discretas: inversão espacial e temporal, conjugação partícula–antipartícula,...
4. Simetrias unitárias (locais e globais): simetrias U(1) relacionadas à
conservação da carga, do número bariônico, leptônico; SU(2) como o
Isospin; SU(3) como a cor;...;SU(n) de sabor,...
Dessas simetrias, as dos itens 1 e 2, algumas simetrias U(1) e SU(3) de côr,
são exatas, as restantes são quebradas.
Para finalizar essa parte de números quânticos conservados aditivamente,
apresentamos a Tabela 3.4 que mostra as quantidades que são conservadas
ou não por cada uma das interações. Estados bariônicos são mostrados na
Tabela 3.5
Nesta tabela Λ, Σ, ... devem ser entendidos como representando os estados
fundamentais. Apenas foi encontrado um estado excitado do Ω (com
massa de 1672.45 ± 0.29 MeV), é o Ω − (2250) mas ainda não tem o J P medido.
Outros estados como Ω − (2380) e Ω − (2470) não foram confirmados.
O isospin, a estranheza, o charm,..., são conservados pela interação forte
e eletromagnética mas não pela interação fraca. Os decaimentos observados
Λ → Nπ, K → ππ e K → ll, violam S e I; D → Kπ e D → Kl, violam
c. Todos os decaimentos têm vida média longa (∼ 10 −13 s) se comparada à
escala típica da interação forte (10 −23 segundos).
129

Quantidade Conservada
Interação
Forte Eletromagnética Fraca
Energia/Momento sim sim sim
Carga elétrica sim sim sim
B sim sim sim
L sim sim sim
I sim não ∆I = 1, 1/2
S sim sim ∆S = 1, 0
c sim sim ∆c = 1, 0
P sim sim não
C sim sim não
CP ou T sim sim não
CPT sim sim sim
Tabela 3.4: As quantidades conservadas em cada interação.
Nome I B S c Multipleto Q
N 1/2 +1 0 0 2 +1,0
∆ 3/2 +1 0 0 4 +2,+1,0,-1
Λ 0 +1 -1 0 1 0
Σ 1 +1 -1 0 3 +1,0,-1
Ξ 1/2 +1 -2 0 2 0,-1
Ω 0 +1 -3 0 1 -1
Λ c 0 +1 0 +1 1 +1
Σ c 1 +1 0 +1 3 2,1,0
Tabela 3.5: Estados bariônicos e seus números quânticos.
130

3.12 Exercícios
1. Prove que a corrente conservada pela invariância de fase local e global
é a mesma para o caso abeliano U(1).
2. Discutir se as seguintes reações são permitidas ou não pelas leis de
conservação.
π 0 → e + e − (a)
p → n + e + + ν e (b)
µ + → e + + e − + e + (c)
K + + n → Σ + + π 0 (d)
p + ¯p → π + π − π 0 π + π − (e)
p + K − → Σ + + π − π + π − π 0 (f)
p + π − → p + K − (g)
p + π − → Λ 0 + ¯Σ 0 (h)
¯ν µ + p → µ + + n (i)
¯ν µ + p → e + + n (j)
ν e + p → e + + Λ 0 + K 0 (k)
ν e + p → e − + K + + Σ + (l)
3. Verifique todos os números quânticos aditivos nas reações desse capítulo.
4. Se a aniquilação p¯p ocorre em repouso na onda-S, explique porque a
reação p + ¯p → π 0 + π 0 não pode ocorrer via interação forte.
5. Os principais decaimentos do méson-η(549) são: a) η → γγ (∼ 33
%); b) η → 3π 0 (∼ 32 %); e c) η → π + π − π 0 (∼ 24 %). A reação
a) é obviamente eletromagnética e, como as reações b) e c) têm taxas
comparáveis, devem ser eletromagnéticas também. De fato a vida
média é da ordem de 10 −16 s, isto é, típica desse tipo de reações. Da
reação a) temos C(η) = 1. O bóson-η tem spin zero. Disto, deduza a
131

paridade do η e verifique se os decaimentos η → π + π − e η → 2π 0 são
possíveis ou não.
6. Verifique a transformação sob C do par π + π − num estado com momento
angular orbital L.
7. Consulte a parte do PDG relativa às leis de conservação.
8. Verifique, no PDG, aproximadamente quantas das partícula (estáveis
ou ressonâncias) têm tido seu spin e paridade medido diretamente.
132

Capítulo 4
INTERAÇÃO
ELETROMAGNÉTICA
A interação eletromagnética de férmions elementares (de Dirac) está descrita
pela eletrodinâmica quântica (QED, pela sigla em Inglês). Ela está baseada
na versão quântica do eletromagnetismo de Maxwell no vácuo e com cargas
elétricas e correntes geradas pelo movimento das cargas, e na equação de
Dirac mais um algoritmo de cálculo chamado “renormalização”. A QED é
uma teoria quântica de campos “efetiva” no sentido que sua validade está
restrita a energias baixas ( √ s < 100 GeV) e, em energias altas ( √ s > 100
GeV) a interação eletromagnética é “unificada”com as interações fracas.
O Hamiltoniano para uma partícula livre não-relativística de massa m e
momento ⃗p é dado por
H livre = |⃗p|2
2m . (4.1)
Para o caso de uma partícula com carga q na presença de campos externos,
o Hamiltoniano é obtido pela chamada “interação mínima”
H livre −→ H livre − qA 0 , ⃗p −→ ⃗p − q c ⃗ A,
133

isto é,
que pode ser escrito como
H = [⃗p − (q/c) ⃗ A] 2
2m
− qA 0 , (4.2)
com
H = H livre + H int + q2 | ⃗ A| 2
2mc 2 , (4.3)
H int = − q mc ⃗p · ⃗A − qA 0 . (4.4)
Usualmente, a carga elétrica é um parâmetro no qual se faz a expansão perturbativa.
Isto quer dizer que podemos definir uma constante adimensional
pequena. Nesse caso, podemos desprezar o termo quadrático na Eq. (4.3).
Esse termo contribui para o espalhamento da luz por um átomo e para
a transição acompanhada de dois fótons. Aqui, estaremos interessados na
emissão ou absorção de um único fóton. Assumiremos também que não há
cargas externas, i.e., A 0 = 0, de modo que
A corrente de uma partícula puntual é q⃗v.
H int = − q mc ⃗p · ⃗A = − q c ⃗v · ⃗A. (4.5)
Caso a partícula tenha uma
estrutura, descrita pela distribuição de carga qρ(⃗x), o fator q⃗v na Eq.(4.5)
deve ser substituído por
∫
q
d 3 x ρ(⃗x)⃗v(⃗x).
Como qρ(⃗x)⃗v(⃗x) = q⃗j(⃗x), q⃗j é a densidade de corrente da carga fluindo pela
unidade de área na unidade de tempo, temos que a interação é dada por
H int = − q ∫
d 3 x⃗j(⃗x) ·
c
⃗A(⃗x). (4.6)
Se o potencial vetorial ⃗ A(⃗x) é produzido por uma densidade de corrente
q ′ ⃗j ′ (⃗x ′ ), este será dado por
⃗A(⃗x) = q′
c
∫
d 3 x ′ ⃗j ′ (⃗x ′ 1
)
|⃗x − ⃗x ′ | ,
134

e a interaçãona Eq.(4.6) fica
H int = − qq′
c 2 ∫
d 3 xd 3 x ′ ⃗j(⃗x) · ⃗j ′ (⃗x ′ 1
)
|⃗x − ⃗x ′ | . (4.7)
Esta é uma interação corrente-corrente e veremos mais tarde como foi
usada como modelo, por Fermi, na primeira teoria da interação fraca. Na
análise acima ainda estamos no caso clássico. Queremos estudar a emissão
de um fóton por um sistema quântico não-relativístico. Quando as partículas
movem-se a velocidades próximas à da luz, é necessário fazer um tratamento
relativí stico. Esta teoria é a Eletrodinâmica Quântica que não será estudada
aqui em detalhe, mas a comentaremos mais adiante.
O tipo de processo que vamos considerar para esclarecer as idéias será
a transição de um estado |α〉 a um outro |β〉 e a emissão de um fóton:
|α >→ |β > +A. Ver Fig. 4.1Nesse tipo de processo podemos dar resultados
cinemáticos como, por exemplo, qual a energia e o momento do fóton, se
este é emitido num determinado ângulo. Por outro lado, a dinâmica, isto
é, a forma da interação, permitirá calcular a probabilidade do decaimento
ou a polarização da radiação emitida. Aqui vamos calcular apenas a vida
média de um decaimento eletromagnético desse tipo usando a regra de ouro
de Fermi vista no Cap. 2. Como interação escolhemos a Eq. (4.5). Para o
caso do elétron q = −e, e > 0 temos
H em = e ·
⃗p
mc · ⃗A. (4.8)
Nesse processo podemos distinguir três fatores (ver Fig.4.1):
1. o potencial vetorial ⃗ A descreve o fóton emitido (ou absorvido);
2. o fator ⃗p/mc descreve a partícula;
3. a constante e caracteriza a intensidade da interação.
135

Até aqui o tratamento continua clássico. Para passar à mecânica quântica
não-relativística devemos fazer ⃗p → −i∇. O campo eletromagnético não
pode ser tratado não relativisticamente, mas podemos postular 1 que A ⃗ é
a função de onda do fóton criado. Quanticamente A(⃗x, ⃗ t) deve ser tratado
como um operador. Quando escrevemos
⃗A(⃗x, t) = A ⃗∗ 0(⃗x)e iωt + A ⃗ 0 (⃗x)e −iωt (4.9)
na emissão de um fóton apenas o primeiro termo deve ser levado em conta,
enquanto que na absorção de um fóton, somente o segundo. Isto é, associamos
⃗ A ∗ 0 com a criação de um fóton e ⃗ A 0 com a aniquilação de um fóton. A
dependência temporal é a de um oscilador harmônico. De fato, a quantização
supõe que o campo consiste numa coleção infinita de osciladores harmônicos,
os quais por sua vez estão quantizados. O número de ocupação n, que indica
o estado do oscilador harmônico, pode ser associado ao número de fótons.
Assim ⃗ A ∗ 0 ( ⃗ A 0 ) aumenta (diminui) o número destes de uma unidade. O tipo
de emissão que estamos considerando é chamado de emissão espontânea.
Podemos escrever a Eq. (4.9) usando 4-momentos
( 2π
⃗A 2 c 2 ) 1
2 [
=
ˆɛ e i(⃗p·⃗x−Et)/ + e −i(⃗p·⃗x−Et)/] , (4.10)
EV
onde ˆɛ é o vetor de polarização porque o fóton tem spin-1. Suponhamos um
campo clássico descrito por uma onda plana
⃗A = a 0ˆɛ cos( ⃗ k · ⃗x − ωt). (4.11)
Se a onda está contida num volume V , a energia média é dada por
W = V 4π | ⃗ E| 2 (4.12)
e usando
1 A QED justifica isto.
⃗E = − 1 c
∂ ⃗ A
∂t − ∇A 0
136

obtemos da Eq. (4.12)
W = V ω2 a 2 0
4πc 2 sin 2 ( ⃗ k · ⃗x − ωt) = V ω2 a 2 0
8πc 2 .
W deve ser iguala à energia do fóton W = E = ω, obtemos
√
8π
a 0 =
2 c 2
EV ,
onde usamos E = ω.
Um fator adicional de 1/2 deve ser colocado na
Eq.(4.10), pois consideramos o hermitiano conjugado.
Na Eq. (4.10) aparece o volume V . Esse é o volume da região na qual o
cálculo é efetuado. Essa “caixa” é apenas por conveniência e surge porque
estamos trabalhando com pacotes de onda para as partículas livres, neste
caso, o fóton. A forma e as condições de contorno podem ser escolhidas à
vontade pois, no fim faremos V → ∞. Na verdade, como foi visto no Cap. 2
o volume V desaparece pois há um fator V n na densidade de estados (caso
de n partículas) e um fator 1/ √ V para cada partícula (na sua função de
onda) logo, no elemento de matriz teremos 1/V n e na taxa de transição não
há termos em V .
usar
Devemos agora calcular o elemento de matriz de H em . Para isso devemos
〈β|H em |α〉
∫
≡ d 3 x ψβ ∗ H em ψ α
= e ∫
d 3 x ψβ ∗ mc
⃗p ψ α · ⃗A
= −i e ∫
d 3 xψβ ∗ mc
∇ψ αA. ⃗ (4.13)
Para continuar o cálculo precisamos fazer uma aproximação, que é usual
em partículas elementares.
parte de momento em ⃗ A pode ser expandida
É a chamada aproximação de dipolo elétrico. A
e ±i⃗p·⃗x/ = 1 ± i
137
⃗p · ⃗x
+ · · · ,

e se ⃗p · ⃗x ≪ podemos substituir a exponencial por 1. A Eq. (4.10) fica
( 2π
⃗A 2 c 2 ) 1
2 [
=
ˆɛ e −iEt)/ + e iEt)/] , (4.14)
EV
Ainda que, como dissemos acima, esta aproximação seja usada em diversas
situações na fí sica de partículas elementares, seu conteúdo físico
varia segundo a situação. Como o caso que estamos considerando é de física
atômica, devemos ver em que situação a aproximação é válida. Esta implica
numa condição para a energia do fóton
E = pc ≪
c
R(fm)
197MeV − fm
≃ .
R(fm)
Como as distâncias atômicas típicas são da ordem de 10 5 fm isto significa
que a aproximação é boa para fótons com energias inferiores a 2 keV.
É necessário usar uma outra aproximação, para o sistema que decai. Assumimos
que este tem spin zero e que é suficientemente pesado para permanecer
em repouso antes e depois da emissão do fóton. As funções de onda para
os estados |α〉 e |β〉 são denotadas como ψ α e ψ β , respectivamente e são do
tipo
ψ α = Φ α (⃗x)e −iEαt/ , ψ β = Φ β (⃗x)e −iE βt/ ,
onde Φ α (⃗x) e Φ β (⃗x) descrevem a extensão espacial do sistema antes e depois
da emissão do fóton 2 . E α e E β são as energias em repouso do estado inicial
e final, respectivamente. A conservação da energia implica que
E = E α − E β .
Então podemos escrever o elemento de matriz
[ ] 1
〈β|H em |α〉 = − i2 e 2π 2
(e )
i(E β−E−E α)t/ + e i(E β+E−E α)t/
m EV
∫
ˆɛ · d 3 xΦ ∗ ∇Φ α . (4.15)
2 Estes são os chamados fatores de forma.
138

A primeira exponencial da Eq.(4.15) é exp(−i2Et/), como a teoria das
perturbações é válida para tempos T ≫ 2π
E
e para estes tempos a exponencial
oscila rapidamente com o tempo e, em média se cancela. A segunda
exponencial é 1, usando a conservação da energia. Temos então
[ ] 1 ∫
〈β|H em |α〉 = −i 2 e 2π 2
ˆɛ · d 3 xΦ ∗ β
m EV
∇Φ α. (4.16)
Se o fóton fosse absorvido, em vez de emitido, teríamos E + E α = E β e
a situação das exponenciais da Eq.(4.15) se inverteria.
Podemos agora usar a regra de ouro de Fermi para calcular a taxa de
transição:
dw βα = 2π |〈βH em|α〉| 2 ρ(E). (4.17)
Em geral, o fóton será detectado dentro de um certo intervalo de momento
∆⃗p na vizinhança de |⃗p| ≡ p = w/c. Por isso, precisamos calcular o
número de estados fotônicos nesse intervalo. Com p = E/c, a densidade de
estados do espaço de fase é dada por [ver Eq. (2.53)]
ρ(E) = E2 V dΩ
(2πc) 3 . (4.18)
Temos então
∣ ∫
dw βα =
e2 E ∣∣∣ˆɛ
2πm 2 c 3 · d 3 xΦ ∗ β ∇Φ 2
α∣
dΩ. (4.19)
Conhecendo as funções de onda Φ α,β podemos calcular a probabilidade de
transição, explicitamente, e mesmo sem efetuar o cálculo completo, expressar
a taxa de transição de maneira a deixar seu significado mais claro. Suponhamos
que o sistema livre, isto é, sem a interação eletromagnética, seja
descrito pelo Hamiltoniano
H 0 = |⃗p|2
2m + V (⃗x),
onde V (⃗x) não depende do momento, e logo o operador correspondentes de
V (⃗x) comuta com o de ⃗x. H 0 satisfaz as seguintes equações de autovalores
H 0 Φ α = E α Φ α , H 0 Φ β = E β Φ β .
139

É fácil verificar, usando [x, p x ] = xp x − p x x = i 3 e as respectivas relações
para as componentes em y e z, que
[⃗x, H 0 ] = i m
Com isso, podemos escrever
∫
d 3 xΦ ∗ β ∇Φ α = m 2 E ∫
A taxa de transição resulta
dw βα =
⃗p =
2
m ∇.
d 3 xΦ ∗ β ⃗xΦ α ≡ m 2 E〈β|⃗x|α〉.
1
2π 4 c 3 |ˆɛ · 〈β|e⃗x|α〉|2 dΩ. (4.20)
Note que na equação acima introduzimos a carga e dentro do elemento
de matriz. Sabemos que e⃗x é o momento dipolar elétrico e, logo, a radiação
descrita pela Eq. (4.20) é chamada de radiação de dipolo elétrico. O vetor
〈β|⃗x|α〉 caracteriza o sistema que decai. A energia E e o vetor de polarização
ˆɛ, descrevem o fóton emitido.
Para um fóton livre ˆɛ é perpendicular ao
momento ⃗p do fóton. Sem perda de generalidade podemos escolher os vetores
na direção mostrada na Fig. 4.2 com os ângulos θ, ϕ definidos nessa figura.
Temos então
e assim, a Eq.(4.20) fica
dw βα =
〈β|e⃗x|α〉 = |〈β|e⃗x|α〉|(sin θ, 0, cos θ)
ˆɛ = (cos ϕ, sin ϕ, 0),
e2
2π 4 c 3 E3 |〈β|⃗x|α〉| 2 sin 2 θ cos 2 ϕdΩ. (4.21)
Se experimentalmente não se observa a polarização do fóton, devemos integrar
no ângulo ϕ e somar nos dois estados de polarização. A soma produz
um fator 2. Assim
dw βα =
e2
4 c 3 E3 |〈β|⃗x|α〉| 2 sin 3 θdθ. (4.22)
3 Deve-se etr cuidado em identificar quando estamos usando operadores e não a respectiva
variável classica.
140

Podemos ainda integrar no ângulo θ e obter a taxa de transição total
w βα =
∫ π
0
e 2
dw βα = 4 3 4 c 3 E3 |〈β|⃗x|α〉| 2 . (4.23)
A vida média é definida como o inverso de w βα .
Para compreender
melhor o significado físico da Eq. (4.23), observemos o seguinte. A partícula
que decai tem uma massa m, comprimento Compton ̸ λ = /mc, e energia
em repouso E 0 = mc 2 . O tempo que a luz leva para viajar uma distância
̸ λ é t 0 = /mc 2 e o inverso deste tempo, w 0 = 1/t 0 = mc 2 / é a taxa de
transição caraterística. Podemos escrever a quantidade adimensional
w βα
w 0
= 4 3
( e
2
c
) ( E
mc 2 ) 3
|〈β|⃗x|α〉| 2
̸λ 2 . (4.24)
Cada um dos fatores adimensionais da Eq. (4.24) tem um significado físico
bem definido. O fator
e 2
c ≡ α ≈ 1
137
(4.25)
carateriza a intensidade da interação eletromagnética e chama-se constante
de estrutura fina. Observe-se o duplo papel da carga elétrica. Como número
quântico aditivamente conservado e como constante de acoplamento da interação
eletromagnética. O termo (E/mc 2 ) 3 dá a dependência, com a energia,
da radiação dipolar elétrica. Duas, das três potências na energia, vêm
do espaço de fase. Com o aumento da energia, o volume no espaço de fase
torna-se maior e o decaimento mais rápido.
O terceiro fator E tem sua
origem na dinâmica pois vem do elemento de matriz. Finalmente, o fator
|〈β|⃗x|α〉| 2 / ̸ λ 2 contém a informação da estrutura do sistema que decai, no
caso, uma partícula ou um átomo. Os estados |α〉 e |β〉 devem ter paridade
oposta, caso contrário 〈β|⃗x|α〉 = 0.
141

4.1 Processos Eletromagnéticos
A interação eletromagnética tem como seus efeitos mais conhecidos a força
de ligação nos átomos e moléculas. Por exemplo, no átomo de hidrogênio,
do muônio µ + e − e do positrônio, e + e − . Nestes exemplos de estados ligados,
os níveis de energia são alargados pela interação spin-órbita (estrutura fina)
e spin-spin (estrutura hiperfina). Também temos separação de ní veis pelas
correções radiativas como o “Lamb shift”, que são correções calculáveis na
QED.
Tanto os estados ligados como os não-ligados dependem da forma do potencial
∼ 1/r, da constante de acoplamento e das propriedades das partículas
como massa, momento magnético e spin.
4.1.1 Espalhamento Rutherford
Este processo é aquele no qual um elétron sem spin é espalhado por um
núcleo de número atômico Z, também sem spin e com massa infinita, i.e.,
não consideramos o recuo do núcleo. Se p µ 0 , pµ são os 4-momentos do elétron
antes e depois do espalhamento, respectivamente, então, q µ = p µ 0 − pµ é o
momento transferido.
A distribuição angular do processo é
dσ
dΩ = Z2 α 2 [F (−q 2 )] 2
4E0 2 sin4 θ . (4.26)
2
No resultado acima foi desprezada a massa do elétron, E 0 = p 0 = |⃗p 0 | é
a energia do elétron incidente, e α = e 2 /4π (em unidades naturais); θ é o
ângulo de espalhamento e F (−q 2 ), é um Fator de Forma definido como
∫
F (−q 2 ) = ρ( R)e ⃗ i⃗q· ⃗R d 3 R. ⃗ (4.27)
Usando dΩ = 2πd(cos θ) = 2πdQ 2 /2E0 2 , podemos escrever a Eq. (4.26) como
dσ
dQ 2 = 4πα2 Z 2 [F (Q 2 )] 2
Q 4 , (4.28)
142

onde Q 2 = −q 2 .
Quando o núcleo é considerado puntiforme F ≃ 1 e a
Eq. (4.26) é justamente a fórmula de Rutherford.
onde
Caso levássemos em conta o recuo do núcleo, obteríamos
dσ
dQ 2 = 4πα2 Z 2
Q 4 [F (Q 2 )] 2 p 2 W M
W
M = 1 + Q2
2M 2 ,
p
p 0
=
p
p 0
, (4.29)
1
1 + p 0 (1 − cos θ)/M . (4.30)
A Eq. (4.28) aparece escrita em termos do momento transferido entre a
partícula incidente e o alvo. Na notação da Fig. 4.3
q 2 = (E 0 − E) 2 − (⃗p 0 − ⃗p) 2 = 2m 2 − 2E 0 E + 2p 0 p cos θ,
e desprezando a massa do projétil
q 2 = −4E 0 E sin 2 θ/2. (4.31)
Observe que como todo processo de espalhamento, q 2 é tipo espaço. Alternativamente
podemos escrever,
q 2 = 2M(M − W ) = −2MT, (4.32)
com T sendo a energia cinética adquirida pelo núcleo. Logo, temos que
W
M = 1 −
q2
2M 2 , (4.33)
e, quando q 2 ≪ 2M 2 , W/M ≃ 1 e isto que dizer que estamos desprezando o
recuo do núcleo.
Ainda que as expressões (4.32) e (4.33), para o momento transferido
estão no SL, seu valor numérico é o mesmo em qualquer referencial.
Levando em conta o spin do elétron obtemos (usando a equação de
Dirac), obteríamos a seção de choque de Mott
( ) dσ
dΩ Mott = Z 4 e 4 cos 2 θ 2
4E0 2 sin4 θ [
2 1 +
2E 0
M sin2 θ ]. (4.34)
2
143

O fator cos 2 (θ/2) aparece porque para um elétron extremamente relativístico
seu spin está ao longo da direção do movimento. Um espalhamento
num ângulo θ = π implica um “flip” do spin do elétron, o que é proibido
pela conservação do momento angular ao longo do eixo do feixe. Isto será
explicado melhor na proxima subseção.
Experiências com elétrons mais energéticos mostraram: primeiro que o
núcleo tinha estrutura e, depois, que os próprios núcleons também têm.
Veremos isso mais adiante.
4.1.2 O processo e + e − → µ + µ −
A seção de choque deste processo é
σ(e + e − → µ + µ − ) = 4πα2
3s , (4.35)
e a distribuição angular tem a forma
( ) dσ
= α2
dΩ 4s (1 + cos2 θ), (4.36)
cm
onde θ é o ângulo de emissão do múon com relação à direção do feixe incidente
no SCM, s = 4E 1 E 2 , com E 1 , E 2 as energias do elétron e do pósitron
e desprezamos a massa de todos os léptons. Note que na Eq. (4.35) temos:
1. Um fator α 2 que é de se esperar pois a amplitude do processo na ordem
mais baixa (“de árvore”) é proporcional a α.
2. O fator 4π/3 vem da integração sob todo o ângulo sólido e da média
nos spins.
3. A seção de choque tem unidades de (energia) −2 , como desprezamos
as massas dos léptons, s é a única escala de energia no processo logo
σ ∝ 1/s.
144

Por outro lado, a distribuição angular é aquela que se espera da conservação
da helicidade. O operador de helicidade é definido como
H =
⃗σ · ⃗p
|⃗p| . (4.37)
Isto é, a helicidade é a projeção do spin ao longo do movimento da
partícula.
Como desprezamos as massas dos férmions, estes apenas podem
estar em dois estados de helicidade: positiva (H = +1) ou negativa
(H = −1). Neste caso a helicidade coincide com a “chiralidade”. No caso
dos férmions, a chiralidade é o autovalor do operador γ 5 . A interação eletromagnética
é tipo vetorial: ūγ µ u. Introduzindo os operadores de projeção
esquerda e direita, L = (1/2)(1 − γ 5 ) e R = (1/2)(1 + γ 5 ), respectivamente,
podemos decompor sempre o spinor u como u = Lu + Ru ou como é usual
escrever, u = u L + u R . Pode-se mostrar que a interação vetorial conserva a
chiralidade, i.e.,
ūγ µ u = ū L γ µ u L + ū R γ µ u R .
Também, no caso de massa zero, o operador γ 5 coincide com o de helicidade
H. Então, diz-se que a interação vetorial conserva a helicidade no caso de
massa zero. Quando as partículas são massivas, os autoestados da chiralidade
são uma combinação de estados da helicidade, sendo que a helicidade
de sinal “errado” é proporcional a massa da partí cula.
A conservação da helicidade implica que e − L deve se acoplar com o e+ R e
não com e + L . Assim, o fóton intermediário deve ter J = 1, J z = ±1. Como
a interação eletromagnética conserva a paridade, ambas J z = 1 e J z = −1
têm a mesma amplitude.
Podemos entender melhor a supressão da helicidade neste processo, como
no de Rutherford visto na seção anterior, considerando as matrizes de rotação.
Um estado φ(j, m), de momento angular j, transforma-se sob uma rotação
de um ângulo θ ao redor do eixo-y como uma combinação linear dos 2j + 1
145

estados φ(j, m ′ ), onde m ′ = −j, −j + 1, ..., j − 1, j. Em forma matemática
temos que o efeito dessa rotação é
e −iθJy φ(j, m) = ∑ m ′ d j m ′ ,m (θ)φ(j, m′ ). (4.38)
Na Eq. (4.38), os coeficientes d j m ′ ,m
chamam-se matrizes de rotação. Para
m ′ fixo pode-se mostrar que
d j m ′ ,m (θ) = φ∗ (j, m ′ )e −iθJy φ(j, m). (4.39)
Consideremos o caso de spin- 1 2
. Temos que
⎛
J y = 1 2 σ y = 1 ⎝ 0 −i
2 i 0
⎞
⎠ (4.40)
e
e −(1/2)iθσy = cos θ 2 − iσ y sin θ 2 = ⎛
⎝ cos θ 2
− sin θ 2
sin θ 2
cos θ 2
⎞
⎠ . (4.41)
Usando a notação
φ ∗ ( 1
2 , 1 2
)
⎛
( 1
= (1 0), φ
2 , 1 = ⎝
2)
1 0
⎞
⎠ ,
temos que
d 1 2
1
2 , 1 2
d 1 2
− 1 2 , 1 2
= cos θ 2
= sin θ 2 . (4.42)
Por exemplo, no espalhamento de Rutherford se a partícula incidente
está polarizada positivamente (“direita”) é descrita pelo estado φ( 1 2 , 1 2 ).
Como a interação eletromagnética conserva a helicidade, a partícula emergirá
também com helicidade positiva relativa à direção do momento.
entanto, relativa ao eixo-z, que é a do feixe incidente, o estado é agora uma
No
146

superposição de estados φ ′ ( 1 2 , 1 2 ) e φ′ ( 1 2 , − 1 2
). Como são dois processos independentes,
elevamos ao quadrado cada uma das amplitudes e somamos,
para o caso não polarizado, i.e.,
∣ d 1 2
2
1 (θ)
2 , 1 ∣ = cos 2 θ ∣ ∣∣∣
2 2 , d 1 2
1 (θ)
2 ,− 1 ∣
2
Para o caso de spin-1, pode-se mostrar que
2
= sin 2 θ 2 . (4.43)
d 1 1,1 (θ) = 1 2
(1 + cos θ),
d 1 1,−1 (θ) = 1 2
(1 − cos θ),
d 1 1,0 (θ) = √ 1
2
sin θ.
(4.44)
Vemos então que, a soma dos quadrados das funções d 1 1,1 e d1 1,−1 dá o fator
1 + cos 2 θ no processo e + e − → µ + µ − .
Na Fig. 4. mostram-se dados experimentais obtidos no colisionador de
e + e − PETRA no laboratório DESY de Hamburgo. A curva contínua é a
predição da QED Eq. (4.35). Numericamente tem a forma
σ(e + e − → l + l − ) =
20 (nb)
Eb 2(GeV2 ) , (4.45)
onde E b é a energia de cada feixe. Na Fig. 4.6a é mostrada a distribuição
angular. A linha tracejada é a predição da QED pura da Eq. (4.36). Os
dados experimentais são compatíveis com a curva assimétrica que é explicada
como o efeito da contribuição do boson de gauge Z 0 do modelo de Weinberg-
Salam-Glashow. Caso a massa do múon não tivesse sido desprezada eles não
estariam num estado de helicidade puro e, teríamos o fator
1 + cos 2 θ + 2 m2 µ
s sin2 θ.
4.1.3 O Espalhamento Bhabha: e + e − → e + e −
Neste caso temos os diagramas parecidos com os que aparecem na Fig. 4.3
mas com os múons substituídos pelo elétron e o pósitron.
147
A pequenos

ângulos o diagrama do fótondomina e, nessas condições este processo é usado
para monitorar os colisionadores e + e − .
4.2 Efeitos de Ordem Superior
Os chamados processos de ordens superiores são calculáveis na QED. Temos,
por exemplo, os momentos magnéticos dos léptons e os níveis de energia de
estados ligados como o âtomo de hidrogênio, do muônio e do positrônio.
4.2.1 Momento Magnético dos Léptons
Segundo a teoria de Dirac, os léptons (elétrons, múons e taus) são puntiformes,
isto é, não têm estrutura e possuem um momento magnético igual
ao magneton de Bohr,
µ B = e
2mc , (4.46)
onde m é a massa do lépton. O momento magnético, ⃗µ, está relacionado
com o spin, ⃗s, pela expressão
⃗µ = −gµ B ⃗s, (4.47)
onde g é o chamado fator de Landé e gµ B = µ/s é a razão giromagnética,
com µ = |⃗µ| e s = |⃗s|, definida como a razão entre o momento magnético e
o momento mecânico. Na teoria de Dirac
g = 2. (4.48)
Medidas, que são consideradas das mais precisas em física de partículas
elementares indicam que o valor de g difere uns 0.02% do valor 2. Então, a
teoria de Dirac de léptons sem estrutura não é correta? Desvíos similares do
comportamento predito pela teoria de Dirac ocorrem na separação ∼ 1% dos
níveis 2P 1/2 − 2S 1/2 no átomo de hidrogênio (estrutura fina). Lembremos
148

que o momento magnético de uma partícula carregada depende da razão
e/m e por isso, classicamente, para uma estrutura giratória, da distribuição
espacial de carga e massa. Se essas distribuições são iguais, espera-se, classicamente,
que g = 1. Que o fator g tinha que ser igual a 2 se o elétron tem
spin 1/2 foi sugerido por Uhlenbeck e Goudsmit, antes do estabelecimento
da mecânica quântica. 4
Isso foi compreendido quando Dirac colocou a sua famosa equação. Se
g ≠ 2, implica que a distribuição de carga e massa é distorcida de alguma
maneira e implica a existência de uma estrutura. É o caso do próton que
tem um fator g = 5.59. No caso dos léptons, não é necessário introduzir uma
estrutura, pois correções radiativas são suficientes para explicar o desvío do
valor 2 de g.
De fato, os diagramas das correções radiativas são infinitos (divergem logaritmicamente)
mas o programa de renormalização permite absorver essas
divergências na redefinição dos parâmetros fundamentais como a carga e a
massa. Isso deixa esses parâmetros arbitrários (não calculáveis) na teoria.
As predições da QED são dadas como uma série de potências em α. Para o
elétron obtém-se
( g − 2
2
) QED
e
= 0.5 α ( α
) 2 ( α
) 3
π − 0.32848 + 1.19 + · · ·
π
π
= (1159652.4 ± 0.4) × 10 −9 . (4.49)
Compare-se com o valor experimental
( ) g − 2 exp
= (1159652.4 ± 0.2) × 10 −9 .
2
e
4 S. A. Goudsmit, “Pauli and Nuclear Spin” Physics Today, 14,(6), 18(1961); “It might
as well be spin” ibid 29(6), 40 (1976); G. E. Uhlenbeck, Fyfty years of spin “Personal
Reminiscences” Physics Today 29(6), 43(1976); A. Pais, “George Uhlenbeck and the discovery
of electron spin” Physics Today, 42(12), 34(1989); e “Inward Bound of Matter
and Forces in the Physical World”, Oxford University Press, 1986 e referências ali citadas.
149

µ + e − e + e − H(e − p)
Teoria 4463.304(±6) MHz 203400(±10) MHz
Experimentos 4463.302(±5) MHz 203387(±2) MHz 1420.4057 MHz
Tabela 4.1: Comparação de dados teóricos e experimentais de estados ligados
eletromagnéticos.
Para o múon temos
( g − 2
2
) QED
µ
= 0.5 α ( α
) 2 ( α
) 3
π + 0.76578 + 24.45 + · · ·
π
π
= (1165851.7 ± 2.3) × 10 −9 , (4.50)
e o valor experimental é
( g − 2
2
) exp
µ
= (1165924.4 ± 9) × 10 −9 .
Este valor difere do da Eq. (4.50) na quinta casa decimal, porém, quando
são levadas em conta correções das interações fortes (que não são necessárias
para o caso do elétron) obtém-se o valor teórico de
(1165918 ± 10) × 10 −9 .
4.2.2 Estrutura Hiperfina
Sem entrar em detalhes, damos os dados teóricos e experimentais da estrutura
hiperfina, separação entre os níveis 3 S 1 e 1 S 0 na tabela abaixo.
Finalmente, devemos nos perguntar: a QED permanece válida a altas
energias (E > 100 GeV)? A física é, afinal, uma ciência experimental. Se
introduzimos um parâmetro “cutoff” Λ via um fator de forma F = 1 + s/Λ
ou F = 1 + Q 2 /s na seção de choque para e + e − → µ + µ − obtém-se que Λ >
100 GeV . Isso equivale ao fato de os léptons não possuirem uma estrutura até
distâncias da ordem de 10 −17 cm. Outros processos dão limites semelhantes.
150

Deixamos para outro capítulo o estudo da estrutura dos núcleons. Fica
apenas aqui a observação que experiências de espalhamento de elétrons com
energias até 20 GeV mostraram que os núcleons tinham constituentes, ou
seja, são partículas com estrutura. Experiências anteriores confirmaram que
os nucleons tinham uma distribuição de carga e de momento magnético.
4.3 Exercícios
1. Verifique que W definida na Eq. (4.12) é realmente V ω 2 a 2 0 /8πc2 .
2. A taxa de transição é definida como
dw = 2π |M if | 2 ρ(E). (4.51)
Considere um potencial central, V (x), produzido por um núcleo Ze
estacionário. O elemento de matriz está dado pela integral
∫
M if = ψf ∗ V (x)ψ id 3 x. (4.52)
Usando ondas planas para ψ f e ψ i , com momentos ⃗p 0 e ⃗p, respectivamente,
temos
∫
M if =
e i(⃗p 0−⃗p)·⃗x V (x)d 3 x. (4.53)
Por outro lado, o fator de densidade de estado ρ(E) está dado por
ρ(E) = p2 dΩ
2πh 3
dp
dE f
, (4.54)
onde p = |⃗p|. Se o elétron inicial e final são relativistícos, i.e., p+0 = E 0
e p = E, mostre que
i) E i = E 0 + M, e E f = E + W .
ii)
dp
dE f
=
W
E f − E 0 cos θ = W M
E
E 0
151

iii)
E
E 0
=
1
1 + E 0
M
(1 − cos θ)
iv) Q 2 = 2MT , com T a energia cinética do núcleo.
Da Eq. (4.51) obtemos
dσ
dΩ = 1 W ∣∫
p ∣∣∣
4π 2 p2 M p 0
e i⃗q·⃗x V (x)d 3 x
∣
2
. (4.55)
Assumindo que o potencial está dado por
V (x) = Ze 2 ∫ ρ(x ′ )d 3 x ′
|x − x ′ | , (4.56)
com
Mostre que
∫ ∞
0
ρ(x ′ )d 3 x ′ = 1.
M if = 4πZe2 F (Q 2 )
Q 2 + 1 . (4.57)
α
3. Verifique que usando a QED na ordem mais baixa, temos a seguinte
distribuição angular para o espalhameento de Coulomb de elétrons não
polarizados:
d¯σ
dΩ = Z 2 α 2 [
1 − β 2
4p 2 β 2 sin 4 sin 2 (θ/2) ] .
(θ/2)
4. Se ρ(x) = ρ 0 e −αx /x mostre que o fator de forma é
F (Q 2 ) =
1
.
1 + Q2
α 2
5. Verifique as matrices de rotação nas Eqs. (4.40) e (4.42).
152

Capítulo 5
A INTERAÇÃO FRACA
A interação fraca foi observada no laboratório pela primeira vez em 1896,
no processo da chamado radioatividade natural. 1
da radioatividade é o conhecido decaimento-β nuclear.
Um dos componentes
A observação foi
possível apenas porque, pelas características desse processo, a participação
das interações eletromagnética e forte, que são mais intensas e também têm
efeitos nos processos nucleares, é proibida pelas diversas leis de conservação.
A interação fraca é sentida por todos os tipos de férmions e, no caso dos
neutrinos, ela é a única interação à qual eles são sensíveis. 2
Em geral, mas nem sempre, os processos fracos envolvem léptons no
estado final. O resultado de mais de 20 anos de experimentos com feixes de
neutrinos que são produzidos nos decaimentos dos píons e káons e, depois
em colisores e + e − , mostraram que existem todos os dubletos que aparecem
na Tabela 5.1 (ver também a Tabela 1.1 do Capítulo 1):
Até alguns anos atrás pensava-se que os campos relacionados com as
partículas que aparecem na Tabela 5.1 eram de quiralidade esquerda e di-
1 Posteriormente na década dos anos 1930 foi descoberta a radioatividade artificial.
2 Além da gravidade que suponha-se que é sentida por qualquer forma de matéria,
energia ou pressão.
153

Q L e = 1 L µ = 1 L τ = 1
0 ν e ν µ ν τ
−1 e − µ − τ −
Tabela 5.1: Números quânticos leptônicos. Os outros números de cada
família não incluídos aqui são zero.
reita, para os léptons carregados e apenas de quiralidade esquerda para os
neutrinos, sendo que então os neutrinos seriam partículas de massa zero
(se ainda impomos a conservação do número leptônico total). No entanto,
observações recentes de neutrino provenientes do Sol ou produzidos na atmosfera,
indicam que os neutrinos tem uma massa, ainda que pequena, de
maneira que toda a fenomenologia dos processos nucleares não seja modificada.
Se desprezamos a massa dos neutrinos, a cada um dos dubletos 3 da
Tabela 5.1 é atribuído um número leptônico conservado (L e , L µ , L τ ) e, aos
anti-léptons, os números quânticos de sinais opostos. Assim, os neutrinos ν µ ,
os quais são produzidos no decaimento π + → µ + ν µ em vôo, produzem múons
segundo a reação ν µ n → pµ − , e nunca elétrons, i.e., nunca foi observada a
reação ν µ n → pe − .
Todo esse conjunto de dados experimentais começou no fim do século
XIX: não é exagero que “os anos imediatamente anteriores e posteriores a
1895 marcaram um ponto de reviravolta na Física, não apenas em virtude da
descoberta dos raios-X, do elétron e do efeito Zeeman, mas também da descoberta
mais revolucionária que foi a da radioatividade”. 4 Essa descoberta
é daquele tipo que é “inesperada”e, de fato, modificou toda a física do século
3 Mais adiante veremos que essa classificação em “dubletos” tem um significado
matemático preciso.
4 G. Segrè, Dos Raios-X aos Quarks, Editora Universidade de Brasília, 1977.
154

XX. Haverá uma descoberta semelhante nos próximos anos?
5.1 Processos nucleares fracos
A radioatividade natural descoberta, como já dissemos 5 por Henri Becquerel
(1852-1908) no dia 01 de março de 1896, é caracterizada, entre outros
processos, pelo decaimento-β que, agora sabemos é (ver Fig. 5.1):
n → p + e − + ¯ν e , (5.1)
e que pode ocorrer com nêutrons livres ou em núcleos atômicos.
segundo caso, resulta na reação:
Neste
(A, Z) → (A, Z + 1) + e − + ¯ν e . (5.2)
Na Fig. 5.1 mostra–se o processo dito “efetivo”, e na Fig. 5.2, o mesmo
processo como é considerado hoje, em termos dos quarks e bósons vetoriais
intermediários do modelo padrão eletrofraco.
Presentemente, sabemos que há três tipos de decaimentos-β: β − , β + e
captura-eletrônica (CE) ou captura interna, também conhecida como captura-
K, porque é o modo que domina sobre as outras capturas, L, M, · · ·. As vidas
médias dos núcleos β–radioativos variam de 10 −2 s, até 2 × 10 15 anos, sendo
as energias típicas desses decaimentos da ordem de 18 KeV, para o trítio
( 3 1 H), e 16.6 MeV para o 12 7 N. O decaimento-β+ é caracterizado pela reação:
(A, Z) → (A, Z − 1) + e + + ν e . (5.3)
Em muitos casos, o decaimento−β não leva ao estado fundamental do
núcleo “filho” mas a um estado excitado do mesmo, sendo depois desexcitado
pela emisão de raios-γ ou por captura eletrônica.
5 O termo radioatividade foi cunhado pelos Curie e G. Bémont em 1898. Becquerel
os chamava de raios-urânicos pois acreditava que se tratava de uma propriedade do
Urânio. Foi só em 1898 que Marie Curie (1867-1934) e, independentemente, Gerhard
Carl Nathaniel Schmidt (1865-1949) em 1897, descobriram a radioatividade no Tório.
155

Nos decaimentos−β ± a estabilidade do núcleo “filho” deve ser maior que
a do núcleo “pai”. Assim, para que possam ocorrer, um núcleo (A, Z), deve
ter uma massa, M tal que possa satisfazer a seguinte condição:
M(A, Z) > M(A, Z ∓ 1) + m e , (5.4)
onde o sinal + é para o caso do decaimento−β − , da Eq. (5.2), e o sinal − é
para o do decaimento−β + da Eq. (5.3).
Consideremos o caso do decaimento−β − . A Eq.( 5.4), que relaciona as
massas dos núcleos, permite calcular a energia liberada (também chamada
fator-Q da reação, ver os exercícios do Cap. 1) :
Q β − = [M(A, Z) − M(A, Z + 1) − m e ] c 2 . (5.5)
Podemos expressar o balanço de energia em termos das massas atômicas,
somando Zm e a ambos os lados da Eq.( 5.4)
M(A, Z) + Zm e > M(A, Z + 1) + (Z + 1)m e ,
ou,
M at (A, Z) > M at (A, Z + 1), (5.6)
de modo que a energia Q β −
pode ser escrita como:
Q β − = [M at (A, Z) − M at (A, Z + 1)]c 2 . (5.7)
Para o caso do trítio, que tem uma vida média de 12 anos ( 3 1 H → 3 2He) temos
Q β − = 0.018 MeV.
Para o decaimento−β + , em termos das massas nucleares temos a condição:
M(A, Z + 1) > M(A, Z) + m e ,
e somando (Z + 1)m e aos dois lados passamos de massas nucleares para
massas atômicas:
M at (A, Z + 1) > M at (A, Z) + 2m e , (5.8)
156

sendo que a energia liberada é dada por:
Q β + = [M at (A, Z) − M at (A, Z − 1) − 2m e ] c 2 . (5.9)
Um exemplo, é o decaimento 11 6 C → 11 5B, que tem uma vida média de
20.4 minutos e uma energia liberada de ≃ 1 MeV.
Finalmente, temos o caso da captura–K. A condição em termos das massas
dos núcleos é
M(A, Z) < M(A, Z + 1) + m e ,
ou, em termos das respectivas massas atômicas,
M at (A, Z) < M at (A, Z + 1), (5.10)
com a energia liberada,
Q K = [M at (A, Z + 1) − M at (A, Z)]c 2 . (5.11)
Um exemplo deste caso, é o decaimento 7 4 Be → 7 3Li com vida média de 53.6
dias e Q K ≃ 0.864 MeV.
Podemos fazer as seguintes considerações:
1. Das condições (5.6) e (5.10) vemos que não existem, em geral, dois
isóbaros estáveis.
As exceções ocorrem quando os dois núcleos têm
uma grande diferença de momento angular total.
2. As condições (5.8) e (5.10) são satisfeitas automaticamente, por exemplo,
52
25Mn decai em
52
24 Gr em 35% dos casos pelo modo β+ , e 65%
segundo a captura-K.
3. Existem núcleos para os quais
M at (A, Z) > M at (A, Z − 1) + 2m e , β +
> M at (A, Z + 1), β − . (5.12)
157

Neste caso é possível que ocorram os três tipos de decaimento.
É o
que sucede com o 64
29Cu que decai 40% em
64
30 Zn por decaimento−β− , e
em 64
28 Ni, sendo 40% segundo captura-K e 20% pelo decaimento−β+ .
4. Existem casos em que os decaimentos-β − em seqüência,
(A, Z − 1) → (A, Z) → (A, Z + 1)
são proibidos, digamos, que pela conservação do momento angular.
Nesse casos podemos ter o decaimento (A, Z − 1) → (A, Z + 1) diretamente.
É o chamado duplo decaimento-β e tem uma importância
especial em física de partículas elementares, como será estudado mais
adiante e em outros cursos.
5. A partir dos anos 1950 foram descobertos muitos outros processos fracos
envolvendo píons, káons, híperons, e outros mésons e bárions. Ficou
claro então que a interação fraca não é exclusiva do núcleo atômico.
5.2 Espaço de fase do decaimento−β −
Em 1930 foi colocado uma enigma para os físicos. Nesse ano teria sido
confirmado que o elétron no decaimento−β tem uma espectro continuo. Se
o decaimento fosse de dois corpos, tipo A → B + e − , o elétron deveria ter
um espectro discreto mas se obtinha (a partir de 1914, mas definitivamente
confirmado em 1930) o contrário: o espectro é contínuo. Isso é mostrado
esquematicamente na Fig. 5.3. Na Fig. 5.4 aparecem exemplos de medidas
do espectro do 64 Cu. Isso implicava que, ou a energia era conservada, ou
que os elétrons detectados por Chadwick não eram os elétrons primários,
ou que seriam emitidos fótons no processo. A solução a esse problema veio
pela introdução do neutrino: o decaimento era de três corpos, o elétron e o
158

(anti)neutrino 6 compartem a energia disponível. Após isso, o decaimento−β
é visto como o que foi discutido na seção anterior. Por outro lado, a captura
eletrônica tem um espectro discreto.
Vamos considerar mais em detalhe o decaimento−β − . Se o momento do
elétron emitido, correspondente ao intervalo de energia dEmax em torno de
Q ≡ Emax está entre p e e p e + dp e , temos que a probabilidade de transição
por unidade de tempo é [ver Eq.(4.15)]
dW fi = 2π g2 |M| 2 dn
dEmax . (5.13)
Escrevemos dW fi e não W fi porque interessa agora a taxa de transição
para o elétron com energia entre E e e E e + dE e , onde E e (ou p e ) é assumida
constante. Na Eq. (5.13), ρ(E) = dN/dEmax denota a densidade de estados
finais, e |M| 2 é o quadrado do elemento de matriz depois de integrar em
todos os ângulos e direções dos spins. A dinâmica está no elemento de matriz
M. O fator densidade de estados, às vezes chamado de fator estatístico,
está determinado pelo número de maneiras que é possível dividir a energia
disponível entre, neste caso, o próton, o elétron e o anti-neutrino. Isto é,
para ter um decaimento devemos ter uma largura na energia inicial e esta é
distribuída entre os estados finais. Na Fig. 5.5 mostra–se a atribuição de momentos
e energias cinéticas para as partículas envolvidas no decaimento-β,
no sistema de repouso do nêutron.
Como dW fi dá o número médio de elétrons emitidos na unidade de tempo
com momento no intervalo dp e , podemos escrever
N(p e ) dp e = dW fi
o que implica que dá também a distribuição de momento, o “espectro do
decaimento-β”. Por exemplo, o decaimento-β é uma transição do núcleo
6 Que era um antineutrino e não um neutrino que acompanhava o elétron ficou claro
com a introdução do número leptônico.
159

inicial, i, induzida por uma perturbação fraca, a um núcleo final, f, que se
encontra em um dos vários estados possíveis, mais os dois léptons. O núcleo
final fica com uma energia de recuo mais uma possível energia de excitação,
sendo que o resto da energia é compartilhada entre os léptons de diversas
maneiras. Portanto, a energia leptônica não é “sharp”, mas está definida
dentro de uma incerteza dEmax que é numericamente igual à incerteza da
energia do sistema original. Esta última é ∆E i = /τ i , onde τ i é a vida
média do núcleo original. Como o núcleo final está num estado com energia
bem definida, a largura deve estar na energia leptônica.
A densidade de estados finais acessíveis, no espaço de fase do elétron e
do neutrino, no intervalo dEmax, é o fator estatístico, ou fator de espaço de
fase, ρ(E) = dN/dEmax, já estudado em geral no Cap. 2. O elétron, por
exemplo, está localizado dentro de um volume espacial V e com momento no
intervalo (p e , p e + dp e ). No espaço de fase, este intervalo de momentos está
representado por uma capa esférica de volume 4πp 2 dp. Então, o volume no
espaço de fase do elétron é V 4πp 2 edp e e, como uma célula nesse espaço tem
um volume de h 3 , o número de estados do elétron no espaço de fase é dado
por
dN e = V 4π p2 e dp e
(2π) 3 , (5.14)
que é apenas a probabilidade de encontrar o elétron no volume espacial
V = dxdydz com um momento entre p e p + dp. Da mesma maneira, para
o neutrino com momento entre p ν e p ν + dp ν temos,
dN ν = V 4π p2 νdp ν
(2π) 3 , (5.15)
Então a probabilidadede encontrar os dois léptons no mesmo elemento de
volume é:
dN = dN e dN ν . (5.16)
160

Esta última quantidade, no intervalo de energia dEmax é:
dN
dEmax = 16π2 V 2
(2π) 6 p2 e p 2 ν
Desprezando a energia de recuo do núcleo final, temos que
dp ν
dEmax dp e. (5.17)
Emax = E e + E ν , (5.18)
e, como E e é constante, dEmax = dE ν . Se consideramos m ν = 0, temos que
p ν = 1 c (E max − E e ), logo
dN
dEmax = 16π2 V 2
c 3 (2π) 6 p2 e (Emax − E e ) 2 dp e , (5.19)
onde p e = |⃗p| = 1 c
√
Te (T e + 2m e c 2 ), 7 sendo T e a energia cinética do elétron.
Se |M| é independente de E e e p e , o espectro-β de energia está determinado
apenas pelo fator de espaço de fase.
A conservação do momento implica (ver Fig. 5.5)
⃗P + ⃗p ν + ⃗p e = 0,
e, como a energia típica dos processos nucleares é ≃ 1 MeV, a energia cinética
do núcleon, P 2 /2m p ≃ 10 −3 , pode ser desprezada. Isto é, o núcleon serve
apenas para conservar o momento e, por isso, podemos considerar que E 0
é compartilhada apenas entre o neutrino e o elétron. Como o próton leva o
momento resultante, seu momento está fixado pela conservação do momento,
i.e., P ⃗ = −(⃗pe + ⃗q ν ) e, por isso, não há espaço de fase disponível para o
próton, nem tampouco há correlação entre ⃗p e e ⃗p ν .
De (5.13) e (5.19), vemos que
√
N(pe )/F (Z, p e )p 2 e ∝ (Emax − E e ). (5.20)
7 Às vezes escreveremos c explicitamente, outras c = 1, para fazer ênfase em algum
aspecto particular. O leitor deve estar atento.
161

Fazendo um gráfico do lado esquerdo em função da energia E, temos uma
linha reta que corta o eixo−x em E e = Emax. Este é o chamado gráfico
de Kurie. Note–se que na Eq.( 5.20) introduzimos um fator extra, F (Z, p e ).
Vamos justificá-lo. O lépton carregado sente a força de Coulomb quando
ainda está perto do núcleo. Classicamente, um elétron é desacelerado pela
carga elétrica positiva do núcleo e, assim sendo, o espectro terá mais elétrons
lentos que o predito pelo fator estatístico apenas. Inversamente, o pósitron
será acelerado e o respectivo espectro será menor na parte de pósitrons
lentos. Isto se mostra qualitativamente nas Fig. 5.6a e 5.5b.
Quantitativamente, o efeito do potencial de Coulomb pode ser calculado
como uma perturbação na função de onda do elétron. Sem essa perturbação
teríamos:
W fi = 2π g2 |ψ e (0)| 2 |ψ ν (0)| 2 |M| 2 ρ(Emax), (5.21)
onde |ψ e (0)| 2 e |ψ ν (0)| 2 representam o valor esperado das funções de onda
(ondas planas) do elétron e do neutrino na posição do núcleo. Introduzindo
então o fator
F (Z, p) =
Ψ e (Z F , 0)
∣ ψ e (0, 0) ∣
onde ψ e (Z, ⃗r) é a função de onda do elétron na energia E e no potencial de
Coulomb ±Ze 2 /r, Z F denota o número atômico do núcleo filho.
Nos dois casos, no decaimento−β + e no β − , o efeito coulombiano é mais
importante na parte de baixas energias. Cálculos não relativísticos mostram
que:
F (Z, p) ≃
2
2πy
1 − e −2πy ,
com y = ±Z
137β = ±Zα E p com o sinal “+” para o decaimento-β− e o “−”para
o β + , e α = 1/137. Para baixas energias, β = v c
F (Z, p) → 2πy ∝ 1 p .
,
≪ 1 temos, para o elétron
162

Isto implica que o fator estatístico, ou de fase, p 2 (E 0 − E) 2 dp, quando multiplicado
por F (Z, p) é proporcional a p.
Para o pósitron a baixas energias
F (Z, p) → 2π|y|e −2π|y| ,
o que implica numa redução exponencial no número de pósitrons de baixas
energias.
Pode parecer surpreendente que o efeito de Coulomb iniba o
decaimento-β + relativamente ao decaimento-β − . Este é um efeito quântico.
Há uma barreira de potencial entre o pósitron e o núcleo carregado. Para ser
emitido, o pósitron deve penetrar esta barreira. O fator e −2π|y|/137Z é típico
deste tipo de penetração. O mesmo ocorre no decaimento−α.
É possível
considerar correções relativísticas, mas não entraremos em detalhes aqui.
Voltando à Eq. (5.19), assumindo 8 que mesmo para o elétron E ≃ pc, e
integrando na energia, obtemos
N ∼
∫ Emax
E
2
e (Emax − E e ) 2 dE e = E5 0
30 .
Isto é, nessas condições a taxa de decaimento do decaimento−β varia com
a quinta potência da energia de desintegração. A discussão acima é para o
caso da massa do neutrino ser nula, i.e., m ν = 0. Porém, se m ν ≠ 0, pode-se
mostrar que:
(
N(p) dp ∝ p 2 e(Emax − E e )
√1 2 m ν c
−
2 ) 2
dp e .
Emax − E e
Neste caso, o gráfico de Kurie, na Fig. 5.7 mostra que o eixo-x é cortado
em E = Emax − m ν c 2 . Desta maneira vemos que se poderia medir a massa
do neutrino. Na prática, a situação é mais complicada devido à resolução
do espectrômetro, que deforma a parte de alta energia do espectro (linha
azul na Fig. 5.7).
Outra complicação é que o núcleo final pode ficar em
8 Em geral não é válido.
163

Hanna e Pontecorvo (1941) < 1 KeV
Langer e Moffat (1950) < 10 KeV
Bergkvist (1972) < 65 eV
Tretyakov et. al (1976) < 35 eV
Lyubimov et. al. (1980) ≃ 30 eV
Fritschi et. al. (1986) < 18 eV
PDG 2006 < 2 eV
Tabela 5.2: Algumas das experiências sobre a determinação da massa do
neutrino do elétron diretamente.
um estado excitado. Normalmente, neste tipo de experiências, é utilizado o
trítio, que tem Q = 18.6 keV.
Mostramos na Tabela 5.2 os diferentes valores para os limites da massa
do neutrino do elétron em medidas diretas, observando que a questão ainda
está em aberto. 9
Atualmente, observações de oscilação de neutrinos de origem solar, atmosféricos
e de reatores indicam que a massa dos neutrinos é diferente de
zero, mas apenas diferenças do quadrado das massas são determinadas por
esse tipo de experimento. Voltaremos a isso mais adiante.
O neutrino permaneceu apenas como uma hipótese até 1959, quando
Reines e Cowan detectaram–no finalmente através da reação ¯νp → ne + , que
tem uma seção de choque dada por
σ = 4 ( ) 2 ( ) p 2
π × 10−10 ≃ 10 −43 cm 2 . (5.22)
m p c m p c
Para se ter uma idéia de quão pequena é esta seção de choque, consideremos
o livre caminho médio para o neutrino, definido por
l = 1
nσ ,
9 O resultado de Lyubimov et al., não foi confirmado posteriormente.
164

onde n é a densidade específica do meio de propagação. Para um meio
condensado com n = 10 22 cm −3 , temos que l = 10 21 cm e, para a matéria
nuclear com n = 10 38 cm −3 , temos l = 10 5 cm = 1 km, isto é, ≃ 10 17 vezes
maior que as dimensões nucleares. Por isso é que a existência do neutrino
foi difícil de ser confirmada.
Usando reatores como fontes de neutrinos, com um fluxo de 10 13 cm −2 s −1 ,
Reines e Cowan observaram a reação ¯νp → ne + , usando como alvo C d Cl 2 e
água (na água l = 10 20 cm). O pósitron perde energia rapidamente por ionização
e acaba formando o positrônio o qual se aniquila em raios-γ que, por
sua vez, produzem elétrons energéticos via efeito Comptom. Os elétrons são
detectados num contador de centelha. A escala de tempo do processo é 10 −9
s; por isso o pósitron produz um pulso instantâneo. A função do cádmio é
capturar o nêutron após perder sua energia em colisões com prótons na água.
Este processo retarda alguns microsegundos os raios-γ que são produzidos na
captura radioativa do nêutron no cádmio. Ver Fig. 5.8. Experimentalmente
encontrou–se
σexp = (0.94 ± 0.13) × 10 −43 cm 2 . (5.23)
Compare-se com o resultado obtido na teoria de duas componentes (nela,
o neutrino é “esquerdo” e o anti–neutrino é “direito”)
σ teo = (1.07 ± 0.07) × 10 −43 cm 2 . (5.24)
É interessante observar o seguinte. Realmente havia bons argumentos
teóricos para a existência do neutrino do elétron e, por isso, alguns poderiam
pensar que não era neccessário tentar observá-lo diretamente, 10 Mas, devemos
perceber como foi mesmo interessante que Reines e Cowan pudessem
detectá-lo. Primeiro, porque isso permitiu posteriormente descobrir que e-
xistem três, e não apenas um, tipos de neutrinos: ν e , ν µ , ν τ . Em segundo
10 Ver, por exemplo, S. Drell, Physics Today,When is a Particle? 31(6), 23 (1978).
165

lugar, porque com técnicas mais apuradas, que foram conseqüências das
de Reines e Cowan, o neutrino do múon pode ser utilizado como projétil
para estudar a estrutura dos núcleons que levaria à descoberta dos partons
(quarks), ou seja, ao modelo de descreve as interações fortes, a QCD. E, terceiro,
porque foi possível descobrir, em processos ν µ N → ν µ X, a existência
de correntes neutras fracas.
O fato de terem sido descobertos três neutrinos, dos quarks e das correntes
neutras, foram fatos imprescindíveis para a formulação final do modelo
padrão. Nada disso teria acontecido se os físicos experimentais não tivessem
insistido em “ver”(detectar) o neutrino que é emitido no decaimento −β,
o neutrino do elétron, ν e . Por sua vez, a formulação final desse modelo
permite conhecer melhor as propriedades dos neutrinos de maneira que em
breve eles possam ser usados em aplicações em outras áreas como astronomia
de neutrinos, geoneutrinos e outras mais que nem imaginamos.
5.3 A interação de Fermi
No decaimento–β temos a criação instantânea de léptons. Isto só pode ser
compreendido numa teoria quântica de campos relativística. Em 1933, E.
Fermi propôs que a interação−β fosse descrita por uma Hamiltoniana de
interação dada por:
H Fermi = G ∫
F
√
2
d 3 x[ ¯ψ p (x)γ µ ψ n (x) ¯ψ e (x)γ µ ψ ν (x) + H.c.], (5.25)
onde H.c. denota o Hermitiano conjugado e G F é a constante de acoplamento,
que dá a intensidade da interação; ψ X é o operador de campo que destrói
as X ou cria as correspondentes antipartículas ¯X. O ¯ψ X faz a operação
inversa: cria as partículas X e destrói as antipartículas ¯X. O primeiro termo
da Eq.( 5.25) corresponde ao decaimento-β − e o segundo ao β + . A constante
G F na Eq. (5.25) tem dimensões de energia-volume, ou seja, [G F ] = EV .
166

Com os dados das vidas médias conhecidas na época, Fermi encontrou o
seguinte valor para esta constante:
G F = 4 × 10 −50 erg · cm 3 , (5.26)
que em unidades naturais pode ser escrito como
G F
(c) 3 = 3.3 × 10−5 GeV −2 . (5.27)
O valor atual (ver por exemplo o PDG) é
G F
(c) 3 = 1.16637(1) × 10−5 GeV −2 . (5.28)
Posteriormente, os físicos experimentais observaram um processo-β, o
decaimento do 6 He, que tem uma troca de spin e, por isso, a interação
de Fermi não podia ser a única, dado que esta não permite a troca de
spin. Gamow e Teller generalizaram a interação, considerando as seguintes
combinações dos operadores de campo:
∑
∫
H GT = G F d 3 x[ ¯ψ p (x)O i ψ n (x) ¯ψ e (x)O i ψ ν (x) + H.c.], (5.29)
i
onde O i = P, S, V, A, T são os operadores pseudoescalar, escalar, vetor, vetor
axial e tensor.
As interações de Gamow-Teller permitem mudanças de spin, mas não de
paridade: são escalares no espaço-tempo mas vetores no espaço dos spins.
As diferentes transições β são classificadas em “permitidas” e “proibidas”.
Se l é o momento angular do par leptônico (e −¯ν), com relação ao núcleo
final, uma transição diz-se “permitida” se l = 0, e “proibida” se l ≠ 0. A
probabilidade das transições proibidas decresce rapidamente com l.
Para transições permitidas, a mudança de spin nuclear está determinada
completamente pelo spin do par leptônico, que pode ser s = 0 (singleto) ou
s = 1 (tripleto). Se ∆j = |j i − j f | onde j i e j f referem-se ao spin nuclear
167

inicial e final, respectivamente, temos que ∆j = 0 para s = 0 e ∆j = 0, 1
para s = 1.
A interação proposta por Fermi, como vimos acima, Eq.( 5.25), era do
tipo
( ¯ψ p γ µ ψ n )( ¯ψ e γ µ ψ ν ),
e pode-se mostrar que este tipo de interação não muda o spin nuclear. O
mesmo ocorre para interações do tipo ( ¯ψ p ψ n )( ¯ψ e ψ ν ). No entanto, interações
tensoriais,
( ¯ψ p σ µν ψ n )( ¯ψ e σ µν ψ ν ),
ou vetor-axiais ou pseudovetoriais,
( ¯ψ p γ 5 γ µ ψ n )( ¯ψ e γ 5 γ µ ψ ν ),
permitem a mudança do spin nuclear. A interação ( ¯ψ p γ 5 ψ n )( ¯ψ e γ 5 ψ n ) dá
contribuições da ordem de v 2 /c 2 ∼ 10 −6 e, por isso, pode ser desprezada no
limite não relativista.
5.4 O Paradoxo θ-τ
Em 1953, ficou estabelecido o chamado paradoxo θ-τ: uma partícula carregada,
o méson-τ que decai em três píons, 11
τ → π + π + π ,
tinha a mesma massa, a mesma vida média e spin idêntico a uma outra
partícula chamada méson-θ, mas que decai em apenas dois píons,
θ → π + π .
11 O τ não é a partícula que hoje chamamos lepton−τ.
168

Isto é, apenas os decaimentos são diferentes para o τ e o θ. Sabia–se, já
na época, que o píon tem uma paridade intrínseca negativa (ver Cap. 3),
π π = −1 . (5.30)
Como foi considerado no Cap. 3, a paridade de um sistema de duas
partículas com paridades intrínsecas π 1 e π 2 , e com momento angular relativo
l 12 = 0, 1, 2, ..., tem a paridade dada por
π 12 = π 1 π 2 (−1) l 12
. (5.31)
Podemos acrescentar uma terceira partícula com paridade intrínseca π 3 . É
suficiente considerar o sistema das duas partículas originais como sendo uma
única partícula com paridade intrínseca π 12 , e que a terceira partícula tem
um momomento angular, com relação ao sistema das duas originais, L (12)3 .
Então, a paridade do sistema de três partículas é
π 123 = π 12 π 3 (−1) l (12)3
. (5.32)
No entanto, é necessário ter dados experimentais porque, nas expressões
acima, não sabemos os diferentes momentos angulares orbitais. O que se
mede é a distribuição angular nos decaimentos do τ e do θ, e o que se
encontra, experimentalmente, 12 é que no decaimento do θ, temos l 12 = 0 e,
no caso do τ, ambos l 12 e l (12)3 , são nulos. Das Eqs. (5.31) e (5.32) temos
que
π 12 = (−1) 2 (5.33)
para o θ e,
π 123 = (−1) 3 (5.34)
para o τ. Isto quer dizer que se o τ e o θ forem a mesma partícula devese
violar a paridade. O paradoxo τ-θ é de natureza experimental: alguns
12 O estudo da distribuição angular dos píons nos decaimentos acima foi feito em vários
laborátorios.
169

experimentos indicam que se a paridade for conservada, o méson-τ deve ser
diferente do méson-θ, enquanto que pelas propriedades, também medidas
experimentalmente como massa, vida média e spin, devem ser a mesma
partícula.
Esse paradoxo fez com que Lee e Yang sugerissem, em 1956, que a paridade
podia realmente ser violada na interação fraca. Os mésons τ + e θ +
hoje são conhecidos como K + e, no presente capítulo, veremos como, entre
1956-1958, chegou–se à compreensão fenomenológica da interação fraca,
a teoria V − A, que permaneceria em acordo com os dados experimentais
até 1974, ano em que foi observada a corrente neutra fraca que não eram
esperadas na teoria V − A pura.
A simetria sob transformação esquerda-direita, que como já vimos é uma
transformação discreta, havia sido usada na mecânica clássica, mas não possuía
a importância das simetrias contínuas porque ela não leva a uma lei de
conservação. Na mecânica quântica, no entanto, a diferença entre esses
tipos de simetria é diminuída: a simetria esquerda-direita implica na conservação
de um novo número quântico: a paridade intrínseca das partículas
elementares. Isso começou em 1924, quando O. Laporte descobriu que os
níveis de energia de átomos complexos podem ser classificados, na terminologia
atual, em níveis pares e ímpares. Quando emitido um fóton, Laporte observou
que o átomo passa de um nível par para um ímpar ou vice–versa. Em
1927, E. Wigner (1902-1995) mostrou que a lei empírica de Laporte segue
da invariância sob simetria esquerda-direita da interação eletromagnética no
átomo. Ao fóton, como já foi visto, no Cap. 3, é atribuída uma paridade
intrínseca negativa, i.e.,
π γ = −1 . (5.35)
Depois disso, a extensão da simetria esquerda-direita às outras interações
170

foi um passo natural.
Motivados pelo paradoxo θ-τ, mencionado acima, Lee e Yang examinaram
a questão da invariança sob transformações da paridade na interação
fraca e chegaram às seguintes conclusões: 13
a) Todos os experimentos até a data com a interação fraca não eram suficientes
para decidir se a paridade era violada ou não. Todas as experiências
mediam quantidades escalares, tipo ⃗p · ⃗p. Eles perceberam
que devia ser medida uma quantidade pseudo-escalar, como por exemplo
〈⃗p · ⃗σ〉, onde ⃗p é o momento do elétron e ⃗σ é o spin do núcleo.
b) As experiências envolvendo a interação forte confirmavam que a paridade
era conservada nesse tipo de interação, mas não eram suficientemente
precisas para pôr em evidência a violação da paridade na interação
fraca.
Sem ter nenhuma evidência experimental, os físicos acreditavam que a
paridade devia conservar-se nas interações fracas.
A proposta de Lee e Yang foi a seguinte: deve-se desenhar duas experiências,
que envolvam apenas a interação fraca, de maneira que uma seja
a imagem especular da outra. Os detectores dirão se as duas experiências
dão, ou não, os mesmos resultados. Caso não haja concordância, a paridade
terá sido quebrada.
Antes de descrever a experiência, analisemos um conceito básico, a helicidade.
Esta descreve o estado de polarização do spin de uma partícula
com relação à direção do movimento da mesma.
Se ⃗σ e ⃗p denotam, respectivamente,
o spin e o momento de uma partícula, define-se a helicidade
como
H =
13 T.D. Lee e C. N. Yang, Phys. Rev. 104, 254 (1956).
⃗σ · ⃗p
|⃗p| , (5.36)
171

isto é, a helicidade é a componente do spin ao longo da direção do momento
da partícula. A polarização do spin de um feixe de partículas significa o
alinhamento dos spins das partículas ao longo de uma dada direção. No caso
em que esse alinhamento se dá ao longo de um eixo paralelo (anti-paralelo)
à direção do movimento temos “helicidade positiva”, H = +1 (“helicidade
negativa”, H = −1).
líquida P como
Em algumas situações, é útil definir a polarização
P = N + − N −
N + + N −
, (5.37)
onde N + é o número de partículas com helicidade positiva e N − o número
de partículas de helicidade negativa.
5.5 A Violação da Paridade no Decaimento−β
Em 1957, Wu e colaboradores realizaram uma das três experiências que
mostraram, no intervalo de 6 meses, que a paridade é violada maximalmente
na interação fraca. Usaram uma amostra de 60 Co esfriada a 0.01 K dentro
de um solenóide. A direção circular da corrente elétrica no solenóide é o que
diferencia um sistema esquerdo de um direito. Assim, a violação da paridade
pôde ser estabelecida sem referência a qualquer teoria. Nesta temperatura
os núcleos de 60 Co estão alinhados. O cobalto tem spin, j = 5 e decai em
60 Ni ∗ que tem spin j = 4, isto é, temos uma transição de Gamow-Teller
pura. Eles mediram a intensidade relativa dos elétrons ao longo e contra o
campo magnético, Fig. 5.9.
O quanto o cobalto está alinhado pode ser determinado pela distribuição
angular dos raios-γ do 60 Ni ∗ . A medida do tempo é na verdade uma medida
indireta da temperatura. Como o aparelho não podia ser permanentemente
resfriado, com o passar do tempo sua temperatura aumenta e, conseqüentemente,
o sistema despolariza-se pela agitação térmica.
172

Os resultados da intensidade dos elétrons foram consistentes com: 14
I(θ) = 1 + α Ĵ · ⃗p
E = 1 + α v c
cos θ, (5.38)
com α = −1, Ĵ um vetor unitário na direção ⃗ J; e sendo ⃗p e E o momento
e a energia total do elétron, e θ o ângulo de emissão do elétron com relação
a Ĵ.
A variação com a velocidade do elétron foi verificada no intervalo
0.4 < v/c < 0.8. Qualquer valor de α diferente de zero na Eq.( 5.38) implica
na violação da paridade. A assimetria observada com α = −1 indica, sem
ambigüidade, que a paridade é violada maximalmente (o mesmo seria se
α = +1. Veja a discusão sobre a Eq. (3.93)). É fácil convencer-se: sob
inversão espacial, o primeiro termo na Eq. (5.38) não muda de sinal sob
uma transformação de paridade porque é um escalar; por outro lado, o
termo proporcional a α tem dois vetores, Ĵ que é um vetor axial, por isso
não muda de sinal sob essa transformação, e ⃗p que é um vetor polar e muda
de sinal sob uma transformação de paridade. O produto Ĵ · ⃗p, então, é um
pseudo-escalar, ou seja, muda de sinal sob uma inversão espacial.
A polarização longitudinal líquida, P, neste caso pode ser definida como
P = N + − N −
N + + N −
= α v c ,
com N + e N − sendo as intensidades para
Experimentalmente,
⎧
⎨ +1 para e + (P = +v/c)
α =
⎩ −1 para e − (P = −v/c)
Ĵ paralelo e antiparalelo a ⃗p.
A equação anterior significa, em outras palavras, que a paridade é violada
na interação fraca porque os elétrons são, no que se refere a esta interação,
de mão esquerda, e os pósitrons, de mão direita. Apenas para comparar,
a interação eletromagnética sente os dois tipos de elétrons, de mão direita
14 C.S. Wu, et. al., Phys. Rev. 105, 1413 (1957).
173

e de mão esquerda, com a mesma intensidade. A interação fraca, no entanto,
é sentida mais intensamente pelos elétrons esquerdos. Os elétrons de
helicidade direita sentem a interação apenas por efeito da massa. Aqui é
bom lembrar que a helicidade não é um invariante de Lorentz, sendo que a
quiralidade é um invariante de Lorentz.
Uma primeira proposta teórica para adaptar–se à violação máxima da
paridade e da simetria de conjugação da carga, foi a teoria de “duas componentes”
do neutrino. 15 Nela, é assumido que apenas neutrinos esquerdos
e anti-neutrinos direitos existem na natureza. Este tipo de teoria tem as
seguintes conseqüências:
1. A massa do neutrino e do anti-neutrino deve ser zero. Mas, apenas a
teoria de duas componentes não implica que essa massa seja zero. É a
teoria de duas componentes mais a conservação do número leptônico
(total no caso de três neutrinos) que requer que sempre a massa da
partícula seja zero. 16
2. A teoria não é invariante sob paridade: esta operação passa um neutrino
esquerdo a um neutrino direito, e este estado não existe por
definição.
3. Da mesma maneira, como já vimos no Cap. 3, a teoria não é invariante
sob conjugação da carga.
É interessante notar que na época outros dois experimentos independentes
confirmaram a violação da paridade. 17
15 Proposta independentemente por: T. D. Lee e C. N. Yang, Phys. Rev. 105, 167
(1957); L. D. Landau, Nucl. Phys. 3, 127 (1957); A. Salam, Nuovo Cimento, 5, 299
(1957).
16 A possibilidade da conservação de um número leptônico foi proposta em 1953, por E.
Konopinski e H.M. Mahmoud, Phys. Rev. 92, 1045 (1953).
17 R. L. Garwin, L. Lederman e M. Weinrich, Phys. Rev. 105, 1415 (1957); J. I.
174

Na combinação mais geral, deve incluir termos com paridade oposta, isto
é, a Hamiltoniana deve violar a paridade explicitamente:
HV H [
−A = G F ¯ψp γ µ (C V + γ 5 C A )ψ n ¯ψe γ µ (1 − γ 5 )ψ ν + h.c. ] . (5.39)
No decaimento−β temos que C A /C V = −1.26, no decaimento do híperon
C A /C V = −0.72, e no decaimento do Σ − C A /C V = +0.34. O desvio do valor
|C A /C V | = 1, deve-se a efeitos das interações fortes, em termos dos quarks
ambas as correntes hadrônica e leptônica são V − A puras.
A Hamiltoniana deve então, violar a paridade maximalmente e explicitamente:
H V −A = G F [ūγ µ (1 − γ 5 )d ēγ µ (1 − γ 5 )ν e + h.c.] , (5.40)
onde agora os campos das partículas são representados pela letra, denotando
a respectiva partícula.
A interação V − A viola também a invariância sob conjugação da carga
C de maneira máxima.
5.6 Decaimentos Semi-leptônicos do píon
Depois do decaimento β e do múon (µ − → e − + ¯ν e + ν µ ), outro decaimento
que oferece um novo teste à teoria V − A são os decaimentos leptônicos
do píon: π − → l −¯ν l onde l = e − , µ − . De fato, não é apenas um ou outro
decaimento, mas sim o conjunto de todos os decaimentos fracos que conferiu
credibilidade à teoria V −A e, posteriormente [incluindo os dos novos sabores
(c, b)], também ao modelo eletrofraco de Weinberg-Salam-Glashow.
Aqui vamos considerar a razão das taxas dos principais modos de decaimento
do píon: π → eν e π → µν, expressa como
Friedman e J. L. Telegdi Phys. Rev. 105, 1681 (1957).
Γ(π → eν)
Γ(π → µν) . (5.41)
175

Também doravante, ainda que fazendo referência à teoria V −A, colocaremos
os processos em termos de bósons vetoriais intermediários, que ainda não
introduzimos. Entretanto, como será visto mais adiante, podemos obter
o respectivo processo na teoria V − A se fizermos o propagador do bóson
intermediário convergir num ponto. Depois disso, podemos ver o decaimento
do píon como mostra-se na Fig. 5.10, onde o píon é representado como um
par quark-antiquark. No “loop” de férmions que mostramos na Fig. 5.10,
aparecem divergências. Por isso, um dos motivos para se medir a razão dada
na Eq. (5.41) é que essa parte divergente é a mesma para os dois processos
(linha tracejada na Fig. 5.10) e, logo, deve ser cancelar.
O píon tem spin zero e paridade ímpar. Então, a transição virtual
π + → p + ¯n → e + + ν, J P = 0 − , (5.42)
onde o núcleon e o anti-núcleon têm paridade relativa ímpar, pode ser vista
como um decaimento:
p → n + e + + ν , ∆ ⃗ J = 0, com mudança de paridade.
Na terminologia do decaimento-β, esta última reação é proibida: a mudança
total do spin nuclear é zero; há um “flip” de spin e o núcleon final está num
estado de momento orbital l = 1 e, por isso, com paridade negativa. Como
a transição é de um estado J P = 0 − (píon), para outro com J P = 0 +
(vácuo), apenas os operadores A ou P podem contribuir. No sistema de
referência do píon, os dois léptons devem ser emitidos em direções opostas
mas com a mesma helicidade para conservar o momento angular. Por outro
lado, os operadores A e P favorecem léptons, no estado final, com a helicidade
oposta e igual, respectivamente. Não há evidências de interações P
no decaimento-β: nesse processo as energias envolvidas são muito baixas e
nessas circunstâncias é difícil produzir os núcleons num estado com l = 1.
176

No entanto, podemos considerar que isso é possível para o processo do decaimento
do píon a altas energias.
Como dissemos acima, a conservação
do momento angular implica que os dois léptons devam ter as helicidades
opostas, Fig 5.11. Por isso o elemento de matriz, |M| 2 , para o acoplamento
A deve ser proporcional a 1 + (−v/c) e a 1 + (v/c) para o acoplamento P .
Devemos também incluir nessa análise o fator de densidade de estados
que, como já vimos, é dado por:
ρ(E) ∝ p 2 dp/dE.
O momento do lépton carregado no sistema de repouso do píon é ⃗p, v sua
velocidade, e m a sua massa. O momento do neutrino é −⃗p, Fig. 5.12. Em
unidades naturais, c = 1, a energia total é
√
E 0 = m π = p + p 2 + m 2 l , (5.43)
onde m l é a massa do lépton carregado, e
dp
= (m2 π + m 2 l ) ,
dE 0
2m 2 π
1 + v c = 2m2 π/(m 2 π + m 2 l ),
1 − v c = 2m2 l /(m2 π + m 2 l ).
O acoplamento A dará uma taxa de decaimento,
Γ(π → lν l ) ∝ p 2 dp (1 − v )
= m2 l
dE 0 c 4
( ) 2
1 − m2 l
m 2 ,
π
e para o caso do acoplamento P teremos,
Γ(π → lν l ) ∝ p 2 dp (1 + v ) ( ) 2
= m2 π
1 − m2 l
dE 0 c 4 m 2 .
π
Na aproximação m 2 e/m 2 π ≪ 1
Γ(π → e + ν)
R A = Γ(π → µ + ν) ∣ = m2 e
A
m 2 µ
1
(1 − m 2 µ/m 2 π) 2 = 1.28 × 10−4 , (5.44)
177

e
R| P
=
Γ(π → e + ν)
Γ(π → µ + ν) ∣ =
P
para o acoplamento A e P , respectivamente.
1
(1 − m 2 µ/m 2 = 5.5, (5.45)
2
π)
Podemos compreender a
diferença destes números se lembrarmos que o acoplamento P privilegia
os léptons com a mesma helicidade, enquanto que o acoplamento A, os de
helicidades opostas. No entanto, a conservação do momento angular força os
léptons a ter a mesma helicidade, isto sendo favorecido com o acoplamento
P mas não com o A: neste último os léptons são obrigados a ter a ‘helicidade
errada’. Note que o espaço de fase para o decaimento em elétrons é maior
que para o decaimento em múons, mas o fator 1 − v/c inibe o decaimento
no lépton mais leve. O valor experimental da razão R é
Rexp = (1.267 ± 0.023) × 10 −4 (5.46)
Este foi um verdadeiro triunfo da teoria V − A.
O acoplamento P ou é
muito pequeno ou não existe. O mesmo tipo de análise é feita para outros
decaimentos como os dos káons.
Acima foi tacitamente assumido que a constante de acoplamento G F , é
a mesma para os dois decaimentos. Esta “universalidade” dos acoplamentos
do elétron e do múon será estendida para o caso do lépton τ, mas será
modificada um pouco para o caso dos quarks com a introdução do ângulo
de Cabbibo.
5.7 Interação Corrente-Corrente
Vimos acima que no decaimento dos píons, é uma hipótese razoável assumir
que o elétron e o múon tenham o mesmo acoplamento fraco. Isto é o que se
chama universalidade elétron–múon, mencionada na seção anterior.
Consideremos o espalhamento de um elétron com um próton. Esta interação
é eletromagnética, e pode ser vista como a interação de duas correntes
178

via um fóton virtual, como é mostrado na Fig. 5.13. Esta descrição é possível
porque o número de férmions é conservado: dois férmions chegam e dois
saem. Tanto faz se são dois elétrons, ou um elétron e um próton. As
correntes carregam a mesma carga e, e esta carga é conservada. Como foi
discutido no Cap. 3, na seção 3.3, em princípio não há nada que implique
que a carga do elétron seja igual à do próton. Suponhamos que desliguemos
a interação forte, o próton será um elétron pesado, como o múon. Ele seria
descrito pela equação de Dirac e, por isso, teria a carga elétrica e, e um
momento magnético igual ao de um férmion de Dirac, isto é, e/2m p c (1
magneton nuclear).
Se voltamos agora a ligar a interação forte, o próton imediatamente
mostra caraterísticas diferentes, por exemplo, um grande momento magnético
anômalo. Pode–se pensar que essa “estrutura” é devida à emissão e absorção
de píons virtuais, outras partículas por exemplo ρ, ou mesmo ressonâncias.
Ou seja que, ainda que a distribuição da carga elétrica seja afetada pela
interação forte, a carga total permanece a mesma. Isto é, a corrente eletromagnética
é conservada pela interação forte.
Voltemos à interação fraca. Vimos que Fermi inspirou-se na interação
eletromagnética para propor a primeira teoria fenomenológica da interação
fraca. Esta formulação, depois de generalizada para incluir transições de
Gamow-Teller, foi útil por 25 anos até a descoberta da violação da paridade.
No entanto, era sabido que a teoria de Fermi (ou a V −A) não era consistente
matematicamente. No final dos anos 1960, foi proposta uma alternativa para
eliminar esses problemas, que levou mais a fundo a analogia com a interação
eletromagnética: assim como o fóton transmite a interação eletromagnética,
há bósons vetoriais intermediários W ± que são agora carregados, isto é, eles,
ao contrário do fóton, são portadores de carga elétrica. Ver Fig. 5.14. Agora,
as correntes carregam a “carga fraca” √ G F em vez da carga elétrica, mas
179

há três diferenças importantes:
1. As correntes fracas mudam a carga elétrica, isto é, um nêutron vira
um próton e um elétron vira um neutrino. Isso implica então que os
W ± levam carga elétrica.
2. As correntes fracas são de curto alcance: como a massa dos W ’s é
grande (como veremos depois), na prática, as correntes fracas interagem
no mesmo ponto do espaço-tempo. A relação a ser compreendida
mais tarde é:
G F
√
2
=
g2
8M 2 W
,
onde g está relacionada com a carga elétrica: |e| = g sin θ W , onde θ W
é o chamado ângulo de mistura eletrofraco, cujo valor é atualmente
dado por sin 2 θ W = 0.23120(15).
3. As correntes fracas carregadas são, não só vetoriais mas também axiais,
i.e, V e A; no caso particular dos léptons e quarks, V − A pura.
Não consideraremos em detalhe aqui a hipótese dos bósons vetoriais intermediários.
Entretanto, salientamos que, da maneira como foram introduzidos
originalmente, os bósons vetoriais não resolveram a inconsistência
matemática.
Se o múon e o elétron têm a mesma carga fraca, podemos pensar que
isso aconteceria com o resto das partículas. Isto foi chamado de “Interação
Universal de Fermi”.
No decaimento do múon podemos calcular a constante G F .
De fato,
desprezando a massa do elétron e outras correções temos o inverso da vida
média do decaimento µ → e −¯ν e ν µ é
τ −1
µ = G2 F m5 µ
192π 3 ,
180

e, como a massa do múon é conhecida (m µ ≈ 105 MeV) e a vida média
observada experimentalmente é τ µ ≈ 2.19×10 −6 s. Não o faremos explicitamente,
mas no decaimento-β temos um fator a mais, C V G F com C V = 0.98.
Isto é, o acoplamento do múon e o acoplamento vetorial no decaimento-β
são parecidos, mas levemente diferentes: têm uma diferença de ≃ 2%. No
entanto, se desprezarmos essa pequena diferença, podemos assumir que a
carga vetorial fraca do núcleon não é afetada pela interação forte. Isto é, a
emissão e reabsorção de píons pelo núcleon, p ⇋ n+π não afeta a emissão de
léptons pelo núcleon. Ou seja, em analogia com a interação eletromagnética,
a corrente vetorial fraca J V é conservada pela interação forte. Isto se chama
“hipótese CVC”(de Conserved Vector Current).
Uma aplicação da hipótese CVC é no decaimento-β do píon:
π + → π 0 + e + + ν; J P = 0 − → J P = 0 − , (5.47)
que é uma reação de Fermi pura. Parte do tempo, o próton existe num
estado n + π + , o nêutron não pode emitir um pósitron e um neutrino pela
conservação da carga, logo a emissão de um lépton é devida completamente
ao π + e será então determinada pela carga fraca do píon. Se esta não for
igual à carga fraca do próton “nu” antes que a interação fraca fosse ligada,
então C V = 1 não seria válido. A hipótese também implica que as constantes
de decaimento da reação (5.47) é igual à do decaimento:
14 O → 14 N ∗ + e + + ν; J P = 0 + → J P = 0 + , (5.48)
e terão o mesmo elemento de matriz.
Existiria uma hipótese semelhante com a corrente axial? Experimentalmente
observa-se
C A = −1.26 C V ,
e por muito tempo se pensou que a diferença de C A da unidade seria dominada
pela troca de apenas um píon. Isto é, J A seria uma corrente conservada.
181

’ ’Não estudaremos o desenrolar deste problema: a Álgebra Chiral.
Depois de 25 anos, o resultado líquido da teoria e da experiência foi o
de substituir γ µ por γ µ (1 − γ 5 ) na teoria de Fermi! Mas agora em termos de
quarks e léptons.
Essa descrição foi generalizada por R. Feynman e M. Gell-Mann como a
hipótese da interação corrente-corrente em 1958:
L W = − G F
2 √ 2 (J † µJ µ + h.c.), (5.49)
com
J µ = J µ l + J µ h , (5.50)
e, onde a corrente leptônica é dada por (acrescentamos o lépton τ que na
época não tinha sido descoberto)
J µ l = ēγµ (1 − γ 5 )ν e + ¯µγ µ (1 − γ 5 )ν µ + ¯τγ µ (1 − γ 5 )ν τ + · · · , (5.51)
e, a corrente hadrônica por
J µ h = ¯pγµ (C V + C A γ 5 )n + · · · , (5.52)
onde · · · denotam todos os hádrons com isospin e estranheza.
Para hádrons sabemos que |C A | = 1.25|C V |, enquanto que na teoria
V − A pura |C A | = |C V |. Nos hádrons (partículas físicas), essa diferença
com a teoria V −A pura, é atribuída à redistribuição da carga fraca devido à
interação forte. No entanto, quando consideramos quarks, estes são tratados
do mesmo modo que os léptons. A Eq.( 5.51) onde fizemos ¯ψ e → ē, ¯ψ¯νe → ¯ν e ,
descreve processos como ν e → l − , l + → ¯ν l ; a corrente conjugada Hermitiana
descreve os processos inversos. 18 Daqui o nome de “corrente carregada”.
Também, agora deve estar claro porque as correntes são “esquerdas” ou de
18 Em geral, como já fissemos antes, passaremos a usar a notação de identificar a letra
que caracteriza a partícula com o respectivo spinor.
182

“mão esquerda”: apenas as partículas com quiralidade esquerda sentem a
interação fraca. Isso na teoria V − A pura, no modelo eletrofraco existem
correntes neutras que violam a paridade, mas não de maneira máxima.
Em termos do modelo a quarks, a corrente carregada hadrônica é:
J µ h = ūγµ (1 − γ 5 )d θ + ¯cγ µ (1 − γ 5 )s θ + · · · . (5.53)
A notação d θ e s θ será explicada mais adiante. Como o nêutron tem a
composição udd e o próton uud de quarks de valência, o decaimento-β pode
ser visto como uma transformação d → u. Isto é, deve existir na corrente
hadrônica fraca um termo do tipo
ūγ µ (1 − γ 5 )d . (5.54)
Já nos anos 1950, sabia-se que existiam decaimentos fracos nos quais a
estranheza no estado inicial difere da estranheza do estado final por uma
unidade:
K + → µν, Λ 0 → pπ − , Σ − → ne − ν, · · ·
em termos dos quarks, deve então haver uma transição s → u i.e.,
ūγ µ (1 − γ 5 )s . (5.55)
Porém, era bem conhecido no começo dos anos 1960, que a intensidade
dos processos que conservam a estranheza (∆S = 0, ou seja, u → d) era
diferente daqueles que violam a estranheza (|∆S| = 1 ou seja s → d). Em
1963, N. Cabibbo propôs, usando a notação atual, que a corrente hadrônica
carregada deve ser do tipo
ūγ µ (1 − γ 5 )d θ , e ūγ µ (1 − γ 5 )s θ ,
que já usamos ao escrever a Eq. (5.53), definindo
d θ = cos θ C d + sin θ C s, e s θ = − sin θ C d + cos θ C s, (5.56)
183

onde θ C é o chamado “ângulo de Cabibbo” (não existe ainda uma explicação
para o parâmetro ter este valor, θ C ≃ 22 0 ).
Podemos escrever a Eq. (5.50) explicitamente,
a Eq.( 5.49) fica:
J µ J µ† = (J µl + J µ h )(J µ†
l
+ J µ†
h )
= J µl J µ†
l
+ J µl J µ†
h + J µ hJ µ†
l
+ J µ h J µ†
h
(5.57)
L =
− G F
2 √ 2 (J lJ † l + J † l J l + J l J † h + J hJ † l
+J † l J h + J † h J l + J h J † h + J † h J h). (5.58)
Da Eq. (5.58) podemos ver os diferentes tipos de processos fracos existentes.
5.7.1 Processos Puramente Leptônicos (PPL)
Neste tipo de processo estão envolvidos apenas léptons, isto é, são controlados
pelo termo J † l J l. Na terminologia do modelo de eletrofraco padrão, que
estudaremos no próximo semestre, estes e os outros processos fracos podem
ser classificados também como: carregados, neutros e carregados/neutros,
segundo sejam induzidos pela troca de um W , de um Z 0 , ou de uma combinação
dos dois, respectivamente. 19
Os PPL carregados são:
i) decaimento do µ,
µ − → e − + ¯ν e + ν µ , (5.59)
µ + → e + + ν e + ¯ν µ , (5.60)
ii) decaimento inverso do múon:
ν µ + e − → µ − + ν e , (5.61)
19 Estamos adiantando terminologia, entretanto, acreditamos que esta é facilmente assimilável.
184

iii) decaimento leptônico do lépton τ ± :
τ → l + ν + ν . (5.62)
O estudado com mais precisão é o decaimento do múon (i). Os resultados
estão de acordo com a estrutura V − A da corrente carregada. Porém, não
está excluída a presença de acoplamentos S, T, P ou mesmo de correntes de
mão direita.
O decaimento inverso do múon (ii), que requer feixes de neutrinos ν µ de
alta energia, também está em acordo com a teoria V − A.
O lépton τ, que é produzido em espalhamentos e + e − têm seus decaimentos
(5.62) também bem estudados. Verifica-se a teoria V − A, o que implica
que, τ e seu respectivo neutrino ν τ são léptons “seqüenciais”.
Os PPL neutros são por exemplo (Figs. 5.18 e 5.19)
iv)
ν µ + e − → ν µ + e − , (5.63)
v)
¯ν µ + e − → ¯ν µ + e − , (5.64)
vi)
e + e − → e + + e − (5.65)
µ + + µ − , (5.66)
τ + + τ − . (5.67)
Esses processos serão estudados em detalhe no próximo curso. Aqui, queremos
apenas mencionar que no caso vi), teremos uma interferência entre as
amplitudes das Figs. 5.19a e 5.19b. Isto se manifestará numa assimetria na
distribuição angular do múon com relação ao eixo dos e + e − .
Os PPL carregados/neutros são por exemplo vii)
ν e + e − → ν e + e − , (5.68)
185

viii)
¯ν e + e − → e − + ¯ν e , (5.69)
ix)
e + + e − → ν + ¯ν. (5.70)
O (vii) é difícil de ser observado. A reação (viii) foi observada com fluxos
intensos de ¯ν e de baixa energia (reatores). A reação (ix) espera-se que seja
importante como mecanismo de perda de energia em processos estelares.
A reação
ν µ + e − → ν µ + e − , (5.71)
é proibida em primeira ordem pela conservação do número leptônico, na
ausência de correntes neutras. O processo
ν µ + e − → ν e + µ − , (5.72)
é possível, mas precisa de neutrinos muito energéticos, pois seu limiar é de
11 GeV.
5.7.2 Processos Semi-leptônicos (PSL)
Este tipo de processo é induzido pelos termos do tipo J l J † h
, e pode ser
classificado segundo a mudança de estranheza entre os hádrons iniciais e
finais. Aqui já temos a complicação da interação forte, o que não ocorre nos
PPL em ordens mais baixas de teoria das perturbações.
Transições com |∆S| = 0.
i)
ii)
decaimento − β nuclear, (5.73)
captura eletrônica e − + p → n + ν e , (5.74)
186

iii)
captura muônica µ − + p → n + ν µ . (5.75)
iv) Reações de neutrinos:
“elásticas”:
ν µ + n → p + µ − , (5.76)
¯ν µ + p → n + µ + , (5.77)
inelásticas ou reações “inclusivas”:
ν µ + n → µ + + X, (5.78)
¯ν µ + p → µ + + X, (5.79)
onde X são hádrons produzidos e não detectados.
v) decaimentos do píon, π l2 (Fig. 5.21a)
π ± → µ ± + ν µ , (5.80)
π ± → e ± + ν e , (5.81)
ou ainda o decaimento-β do píon Este último decaimento é raro mas já foi
observado e, como já vimos, está de acordo com a hipótese CV C. Por outro
lado, o processo do tipo π l2 , méson→ vácuo, é induzido pela parte axial da
corrente hadrônica, como foi mencionado antes.
vi) decaimento de partículas estranhas
Σ ± → Λ 0 + e ± + ν. (5.82)
vii) decaimento dos bárions
B → B ′ + l + ν l . (5.83)
Também aqui podemos considerar processos carregados (como até agora)
e neutros tais como:
187

viii) elástico:
semi-inclusivo:
ν µ + N → ν µ + N, (5.84)
ν µ + N → ν µ + N + (π, K · · ·), (5.85)
inelástico-profundo ou inclusivo:
ν µ + N → ν µ + X, (5.86)
que ocorre via um Z 0 e tem sido observado com feixes de neutrinos de grande
energia.
ix)
¯ν e + D → n + p + ¯ν e (5.87)
que ocorre para ¯ν e de baixas energias.
x)
e − + N → e − + N (5.88)
→ e − + X. (5.89)
Neste caso teremos interferência eletrofraca.
Sabemos que a interação fraca pode violar a estranheza. Consideremos
este tipo de processo.
Transições com |∆S| = 1.
i) decaimentos leptônicos dos híperons e káons
Λ 0 → p + e − + ¯ν e , ∆I = 1 2 , ∆I 3 = 1 2
(5.90)
K + → µ + + ν µ , ∆I = 1 2 , ∆I 3 = − 1 2 , (5.91)
Neste caso ∆I é semi-inteiro.
→ π 0 + µ + + ν µ , ∆I = 1 2 , 3 2 , ∆I 3 = − 1 2 . (5.92)
188

ii) reações com neutrinos
¯ν µ + p → µ + + Λ 0 (Σ 0 ), (5.93)
¯ν µ + n → µ + + Λ − . (5.94)
5.7.3 Processos Puramente Hadrônicos (PPH)
Como o nome indica, são processos fracos que não envolvem léptons no
estado inicial nem no final. Por exemplo:
i) violação da paridade em física nuclear (∆S = 0). São difíceis de
serem detectados pela presença da interação forte, por exemplo em processos
neutros NN → NN. 20
ii) decaimento dos bárions, ∆S = 1,
Λ 0 → p + π − , (5.95)
Σ → N + π, (5.96)
Ξ → Λ + π, (5.97)
Ω → Ξ + π, (5.98)
Λ c → p + K − + π + . (5.99)
iii) decaimento dos mésons, ∆S = ±1,
K → π + π, (5.100)
→ π + π + π, (5.101)
20 E.M. Henley, Some Symmetries in Nuclei, em Nuclear Theory 1981, Proceed. of the
Nuclear Theory Summer Workshop, Santa Barbara, 1981, editado por G.F. Bertsch, World
Scientific 1982.
189

D → K + K, (5.102)
→ K + π, (5.103)
→ K + π + π, (5.104)
→ K + π + π + π. (5.105)
A dificuldade nos PPH é que, mesmo com uma forma explícita para a
corrente hadrônica, não é possível, em geral, calcular o elemento de matriz
dessa corrente entre dois hádrons porque estes sentem a interação forte e
não são partículas puntiformes.
5.7.4 Regras de Seleção de Isospin
Ainda que o isospin em geral não é conservado na interação fraca de hádrons,
PSL ou PPH, ele coloca regras de seleção. Por exemplo, no decaimento semileptônico
B → B ′ + µ(e) + ν µ (ν e ), (5.106)
sendo B e B ′ hádrons, temos a relação de Gell-Mann-Nishijima,
Q = I 3 + 1 (B + S). (5.107)
2
Como o número bariônico B é absolutamente conservado (por enquanto!),
∆B = 0, temos então:
∆Q = ∆I 3 + 1 ∆S. (5.108)
2
Quando ∆S = 0, e como ∆Q = 1, devido a presença do lépton carregado
na Eq. (5.106) temos que |∆I 3 | = 1, e logo, ∆I = 1, 2, · · ·, por exemplo, no
decaimento-β e no decaimento do píon
n → p + e − + ¯ν e , ∆I 3 = 1, ∆I = 1,
π + → µ + + ν µ , ∆I 3 = −1, ∆I = 1.
190

Experimentalmente não aparecem transições com ∆I > 1, temos então
a seguinte regra de seleção:
∆I = 1, ∆I 3 = ±1. (5.109)
Quando |∆S| = 1, como nos decaimentos das Eqs. (5.90), (5.91) e (5.92)
temos dois casos possíveis se |∆S| = |∆Q|:
∆S = ∆Q, que implica |∆I 3 | = 1/2, ∆I = 1/2 , 3/2 , 5/2, · · ·
∆S = −∆Q, que implica |∆I 3 | = 3/2 , ∆I = 3/2, 5/2 , · · ·
A regra de seleção no entanto e dada por:
∆S = ∆Q, (5.110)
proíbe
Σ + → n + e + + ν e , (5.111)
que de fato não tem sido observada, mas permite
Σ − → n + e − + ¯ν e , (5.112)
que é observada. Aqui a carga Q é apenas a dos hádrons. Por exemplo, a
Eq. (5.111) tem ∆Q = −∆S , ∆I 3 = −3/2 enquanto que a Eq. (5.116) tem
∆Q = ∆S = +1 e ∆I 3 = 1/2.
Para transições não leptônicas, isto é, as identificadas pela sigla PPH,
∆I é semi-inteiro também. A regra de seleção é então
∆I = 1/2, (5.113)
e foi introduzida para explicar a taxa do decaimento
K + → π + + π 0 ,
comparada com
K S → π + + π − ,
191

isto é,
Γ(K + → π + π 0 )
Γ(K S → π + π − ) ∼ 2 × 10−3 . (5.114)
O estado inicial tem spin zero, e I(K) = 1/2. Como também os píons têm
spin zero, estes, no estado final, devem estar num estado orbital s, i.e., l = 0.
A simetria total que deve ser par: como o sistema é bosônico tem uma função
de onda que é o produto da parte espacial e a interna, a sua simetria será
o produto de duas partes: (simetria orbital)x(simetria interna ou isospin).
Como o sistema está num estado orbital par, l = 0, ele não pode estar num
estado de isospin anti-simétrico, I = 1,
π 0 π 0 : φ(1, 0)φ(1, 0) = √ 2/3ψ(2, 0) − √ 1/3ψ(0, 0)
π + π − : φ(1, +1)φ(1, −1) = √ 1/6ψ(2, 0) + √ 1/2ψ(1, 0) + √ 1/3ψ(0, 0)
π + π 0 : φ(1, +1)φ(1, 0) = √ 1/2ψ(2, +1) + √ 1/2ψ(1, +1) .
Os estados
ψ(1, +1) =
√
1/2φ(1, +1)φ(1, 0) −
√
1/2φ(1, 0)φ(1, +1)
ψ(1, 0) = √ 1/2φ(1, +1)φ(1, −1) − √ 1/2φ(1, −1)φ(1, +1) ,
são obviamente anti-simétricos. Pode verificar–se que os estados ψ(2, +1),
ψ(0, 0) e ψ(2, 0) são simétricos. Logo, o estado final tem I(ππ) = 0 ou 2.
Isto é, o estado final deve ser (a regra ∆I = 1/2 permite a transição para
I = 0, mas não para I = 2):
ψ(0, 0) = √ 1/3[φ(1, +1)φ(1, −1) − φ(1, 0)φ(1, 0) + φ(1, −1)φ(1, +1)].
Note que π + π 0 não tem componente em ψ(0, 0), logo é proibido.
Por outro lado, experimentalmente, os dois estados com píons carregados
não são distinguíveis, i.e.,
Γ(K S → π 0 π 0 )
Γ(K S → tudo) = 1 3
(5.115)
e o valor experimental é 0.316 ± 0.011.
192

5.8 A Introdução do Ângulo de Cabibbo
Já comentamos a motivação da introdução do “ângulo de Cabibbo” na
Eq. (5.56). Podemos resumir a referida hipótese como:
• Processos com ∆S = 0 se acoplam com intensidade G cos θ,
• Processos com ∆S = 1 se acoplam com intensidade G sin θ.
Em termos das correntes,
J h = cos θ C J(∆S=0) h + sin θ CJ(∆S=1) h . (5.116)
Isso permitiu conservar a universalidade, pois é a mesma constante G que
aparece nos acoplamentos, G ≡ G F .
O ângulo de Cabibbo, θ C pode ser medido comparando as taxas de decaimento
observadas para processos com ∆S = 1, num determinado multipleto
unitário. Por exemplo, no octeto de mésons, sem levar em conta os fatores
de fase:
e,
Γ(K + → µ + + ν)
Γ(π + → µ + + ν)
Γ(K + → π 0 + e + + ν)
Γ(π + → π 0 + e + + ν)
∣ → tan θ A = 0.275 ± 0.003, (5.117)
A
∣ → tan θ V = 0.251 ± 0.008. (5.118)
V
Os decaimentos na Eq. (5.117) são transições axiais (A), os da Eq. (5.118)
envolvem só correntes vetoriais (V). O fato que θ A e θ V são aproximadamente
iguais é predito pela teoria de Cabibbo. Então, resumindo as conseqüências
da hipótese de Cabibbo:
i) os decaimentos bariônicos com ∆S = 1 são suprimidos relativamente
àqueles com ∆S = 0, por exemplo, a taxa de Σ − → n + e − + ¯ν é reduzida
relativamente à do decaimento n → p + e − + ¯ν por um fator tan 2 θ C .
ii) se definimos a constante de acoplamento do decaimento-β como G G cos θ C C V ,
obtemos
tan θ C = 0.22 ± 0.02. (5.119)
193

que concorda razoavelmente bem com a Eq. (5.118).
A hipótese de Cabibbo explica, quase que completamente, a diferença
entre a constante de acoplamento de Fermi obtida no decaimento do múon
e aquela do decaimento-β.
Sabemos que os processos neutros que “violam o sabor” são extremamente
suprimidos quando comparamos as suas taxas esperadas teoricamente
no esquema de Cabibbo, por exemplo:
experimentalmente
Γ(K L → µ + µ − )
Γ(K + → µ + ν µ ) ∼ 1
Γ(K L → µ + µ − )
Γ(K + → µ + ν µ ) < 1.6 × 10−9 ,
também, a diferença de massa entre os káons (ver na próxima seção)
ou, ainda
m KL − m KS
m K
∼ G sin θ C (exp.) ∼ 0.7 × 10 −15
Γ(K + → πν¯ν)
Γ(K + → πeν) ∼ 1
(exp.) < 2 × 10−5
Γ(Ξ → pπ)
Γ(Ξ → Λπ) ∼ 1 (exp.) < 3.6 × 10−5 .
É, de fato, impressionante que isso ficaria explicado se, além da hipótese de
Cabibbo, existisse outro quark: o “charm”, c. Isso será visto oportunamente.
5.9 O Sistema K 0 − ¯K 0 - Violação de CP
O esquema da estranheza de Gell-Mann e Nishijima implica a introdução
de dois káons neutros diferentes, K 0 com estranheza S = +1, e o ¯K 0 com
S = −1. A escolha de I K = 1/2, é a mais simples, a partir de:
π − + p → Λ + K 0 . (5.120)
194

A reação acima tem, respectivamente, a seguinte atribuição de números
quânticos de isospin:
I : 1
1
2
0 1 2
I 3 : −1
1
2
0 − 1 2 .
A carga correta dos káons é obtida se
Q
e = I 3 + 1 2 , (5.121)
o que implica que o K + , com I 3 = 1/2, é membro carregado de um isodubleto.
Esta atribuição implica que o decaimento forte K + → π + π − π +
é proibido. Contudo, o K − não se adapta a este esquema. Foi necessário
postular, então, a existência de um outro dubleto com
Q
e = I 3 − 1 2 , (5.122)
que prediz a existência de um outro káon neutro ¯K 0 , com I 3 = +1/2. K +
e K − são consideradas como partícula e anti-partícula, o mesmo que K 0 e
¯K 0 . O esquema anterior é facilmente generalizado se
Q
e = I 3 + B + S . (5.123)
2
Isto permitiu, como já foi visto, a generalização do conceito de isospin para
partículas estranhas.
Os K 0 ’s podem ser produzidos em associação com híperons ou por troca
da carga:
com S = 0, 0, −1, +1 respectivamente, e
π − + p → Λ + K 0 , (5.124)
K + + n → K 0 + p, (5.125)
195

com S = +1, 0, +1, 0. Por outro lado, como não existe um bárion com
S = +1, o ¯K 0 pode ser produzido apenas com troca de carga, ou em pares
com K 0 , K + ou ¯Λ:
K − + p → ¯K 0 + n, (5.126)
com S = −1, 0, −1, 0, respectivamente, e
π + + p → K + + ¯K 0 + p, (5.127)
com S = 0, 0, +1, −1, 0.
π − + p → ¯Λ + ¯K 0 + n + n, (5.128)
com S = 0, 0, +1, −1, 0, 0.
Como o limiar da reação (5.124) é 0.91 GeV, o da reação (5.126) é 1.50
GeV e o da (5.128) é 6.0 GeV, é fácil produzir, experimentalmente, um feixe
de K 0 puro, controlando a energia dos píons.
Com relação à interação forte, pela qual são produzidos os káons neutros,
K 0 e ¯K 0 são autoestados do operador da estranheza, com autovalores +1 e
−1, respectivamente.
Experimentalmente, observam–se os káons neutros pelos seus decaimentos
em outras partículas. Como são as partículas estranhas mais leves, os
káons só podem decair fracamente em partículas não estranhas, violando
assim a conservação da estranheza. Por exemplo, ambos, K 0 e ¯K 0 podem
decair em dois ou três píons. Por isso, a observação desses decaimentos
não nos permite distinguir se o estado inicial era K 0 ou ¯K 0 . Para isso, é
necessário ver o mecanismo de produção: a reação (5.124) ou a (5.128), por
exemplo.
Como dissemos antes, K 0 e ¯K 0 são um par de partícula e anti-partícula,
isto é, estão relacionados entre si pela operação da conjugação da carga, que
implica uma troca de sinal de I 3 e ∆S = 2.
196

A vida média do decaimento em π + π − é da ordem de 10 −10 s e é a
mesma para K 0 e ¯K 0 . Fermi sugeriu que, na prática, K 0 e ¯K 0 seriam
indistinguíveis, e que seriam apenas o resultado de forçar a relação (5.123).
A solução a este problema foi dada por Gell-Mann e Pais, em 1955, num
trabalho simples mas de predições impressionantes.
Eles notaram que, tendo ambos káons neutros, decaimentos idênticos
em dois ou três píons, eles podem se transformar um no outro via estados
intermediários de dois ou três píons:
K 0 ⇋ 2π, 3π ⇋ ¯K 0 . (5.129)
Essas transições virtuais implicam ∆S = 2 e são um efeito fraco de
segunda ordem. Isto implica que, se começamos no instante t = 0, com um
feixe de K 0 puro, depois de um tempo t teremos uma superposição dos dois
K 0 e ¯K 0 . Isto só ocorre nos káons neutros, i.e., não se manifesta com outras
partículas estranhas e neutras, como o Λ. 21 Isto é assim porque ou elas são
suficientemente pesadas e decaem via interação forte (∆S = 0), ou porque
alguma lei de conservação o proíbe. Por exemplo, Λ e ¯Λ não podem ter
“mistura” porque além de ter estranheza oposta eles têm também número
bariônico oposto e este é sempre conservado no contexto das teorias físicas
de baixas energias.
O estado físico real de um káon neutro, observado a uma distância finita
da fonte, deve ser escrito como:
|K(t)〉 = α(t)|K 0 〉 + β(t)| ¯K 0 〉. (5.130)
Para determinar os coeficientes α e β devemos achar quais são os autoestados
da interação fraca responsável pelo decaimento do K 0 . Como a interação
fraca é invariante sob CP , devemos procurar autoestados de CP . No sistema
21 Os mésons B 0 − ¯B 0 tem um comportamento similar.
197

de repouso do K 0 , a operação de CP tem o mesmo efeito de C apenas, pois o
káon tem spin zero. Então (assumindo uma fase apropriada como discutido
embaixo),
CP |K 0 〉 → | ¯K 0 〉,
CP | ¯K 0 〉 → |K 0 〉. (5.131)
É claro que, nem |K 0 〉 e nem | ¯K 0 〉 são autoestados de CP . Entretanto, para
as combinações lineares:
é fácil verificar que
|K 1 〉 = 1 √
2
(|K 0 〉 + | ¯K 0 〉), (5.132)
|K 2 〉 = 1 √
2
(|K 0 〉 − | ¯K 0 〉), (5.133)
CP |K 1 〉 → |K 1 〉,
CP |K 2 〉 → −|K 2 〉. (5.134)
Logo, |K 1 〉 e |K 2 〉 são os autoestados de CP , com autovalores +1 e
−1, respectivamente. A fase relativa entre |K 0 〉 e | ¯K 0 〉 na Eq. (5.131) é
arbitrária. |K 0 〉 e | ¯K 0 〉 estão relacionados pela operação de conjugação da
carga C, mas sempre podemos introduzir um fator de fase, i.e., C|K 0 〉 =
exp (iλ)| ¯K 0 〉. Esta fase, em princípio, não é observável na interação forte,
que não relaciona estados com estranhezas diferentes.
Ainda que |K 0 〉 e | ¯K 0 〉 não possam ser distinguidos por seus decaimentos,
é possível fazê-lo para o caso de |K 1 〉 e |K 2 〉:
i) O decaimento 2π 0 , pode apenas ocorrer para j = l par, pois os píons
neutros têm spin zero e são indistinguíveis. A função de onda do sistema
deve ser invariante sob rotação de 180 0 , que troca as duas partículas. Logo,
esse estado de 2π 0 é par sob C e sob P e, portanto, por CP , com autovalor
198

+1. Para o caso do decaimento π + π − , como o sistema é bosônico, a função
de onda total deve ser simétrica, a operação de C e de P implica na troca
das duas partículas e, por isso, essas operações devem ter igual autovalor,
isto é, o sistema π + π − , é um autoestado de CP com autovalor +1 também.
ii) Para o caso do decaimento em três píons, π + π − π 0 , devemos notar que o
momento angular total, J ⃗ = L ⃗ + L ⃗ ′ , onde L ⃗ é o momento angular orbital
dos π + π − , e L ⃗ ′ é o momento angular do π 0 relativo ao par π + π − . Como
os káons têm spin zero, L ⃗ = −L ⃗ ′ e, por isso, l = l ′ . A possibilidade mais
simples é l = l ′ = 0. Como o sistema π + π − é par sob CP , o π 0 é par sob C e
tem paridade espacial P = −1(−1) l′ = −1, temos que o estado de três píons,
com l = l ′ = 0, tem autovalor de CP de −1. Para l = l ′ = 1, o autovalor de
CP é +1, no entanto, estes modos de decaimento são suprimidos.
iii) De maneira análoga, pode-se mostrar que o decaimento 3π 0 tem CP =
−1, para qualquer valor do momento angular.
Podemos resumir então:
K 1 → 2π, CP = +1, τ 1 = 0.9 × 10 −10 s,
K 2 → 3π, CP = −1, τ 2 = 0.5 × 10 −7 s.
A diferença na vida média é devida ao fato que o valor-Q (ou seja, o espaço
de fase) para o decaimento em dois píons é maior que aquele em três píons.
Na época, o valor da vida média para o “káon” neutro era da ordem de
10 −10 s. Gell–Mann e Pais predisseram a existência de outro káon com uma
vida média de ∼ 10 −7 s!! Esse, foi identificado em Brookhaven, em 1956. É
fácil a posteriori compreender porque o K 2 havia escapado nas experiências:
ele decai bem longe da fonte. Por exemplo, um K 2 de 1 GeV/c tem um
caminho livre médio de 30 m.
199

5.10 O Fenômeno da Regeneração
Mesmo antes que o K 2 fosse descoberto experimentalmente, Pais e Piccione,
em 1955, observaram que a existência de dois káons neutros daria lugar ao
fenômeno da regeneração. Suponhamos que comecemos com um feixe de K 0
puro, e deixamos que ele percorra uma distância ∼ 100 τ 1 . Isso implica que
praticamente todos os K 1 teriam já decaído, e ficamos só com um feixe de
K 2 praticamente puro. Agora, se o feixe de K 2 interagir com um material
apropriado, como ele é uma combinação
|K 2 〉 = 1 √
2
(|K 0 〉 − | ¯K 0 〉),
o efeito da interação forte será o de distinguir as componentes com estranheza
+1 e -1. Do feixe original de K 0 , 50% desapareceu no decaimento do
K 1 . O restante, o K 2 é formado por 50% de K 0 e 50% de ¯K 0 . A existência
de ¯K 0 (S = −1), longe da fonte de um feixe de K 0 , foi confirmada em 1956,
observando–se a produção de híperons, i.e., ¯K0 + p → Λ + π + .
As componentes K 0 e ¯K 0 de K 2 devem ser absorvidas de maneira diferente
pelo material. Os K 0 podem sofrer apenas espalhamento elástico, ou
de troca de carga, enquanto que, os ¯K 0 podem sofrer processos que mudem a
estranheza com produção de híperons. Veja o exemplo do parágrafo anterior.
Por isso o ¯K 0 será absorvido mais fortemente que o K 0 . Depois de passar
pelo material, a amplitude dos káons será, digamos, f|K 0 〉 e ¯f| ¯K 0 〉, com
¯f < f < 1. Então, o feixe que sai do material será :
1
√
2
(f|K 0 〉 − ¯f| ¯K 0 〉) = 1 2 (f + ¯f)|K 2 〉 + 1 2 (f − ¯f)|K 1 〉,
e como f ≠ ¯f vemos que o estado K 1 foi regenerado.
Este fenômeno de regeneração é uma conseqüência do princípio de superposição
da mecânica quântica. Pode ser visto como um fenômeno análogo à
experiência de Stern-Gerlach. No caso dos káons, isso é uma conseqüência
200

do fato de que o operador de CP não comuta com o operador da estranheza,
S.
5.11 Oscilações de Estranheza
Até agora, discutimos os estados K 1 e K 2 independentemente do tempo.
Devemos acrescentar uma fase relativa entre elas. Essa fase só será constante
no tempo se as massas dos káons, K 1 e K 2 , forem iguais. Como K 1 e K 2 não
são estados conjugados da carga, podem ter diferentes canais de decaimento
e, por isso, diferente vida média. Isso implica que, da mesma maneira que
a interação eletromagnética implica em massas diferentes para o próton e o
nêutron, haverá uma diferença de massa entre K 1 e K 2 , ainda que pequena
pois o acoplamento agora é mais fraco.
A amplitude do estado K 1 , num tempo t pode ser escrita como
a 1 (t) = a 1 (0)e −(iE1/)t e −Γ1t/2 , (5.135)
onde E 1 é a energia total da partícula, então E 1 / é a freqüência circular,
ω 1 , sendo Γ 1 = /τ 1 a largura do estado e τ 1 a vida média no sistema de
referência no qual a energia E 1 é definida. Veja que o último termo do lado
direito da Eq. (5.135), tem a forma apropriada para a lei do decaimento
radioativo,
I(t) = a 1 (t)a ∗ 1(t) = a 1 (0)a ∗ 1(0)e −Γ1t/ = I(0)e −t/τ 1.
Medindo os tempos no sistema de repouso, tal que o τ é a própria vida média
e E 1 = m 1 a massa de repouso da partícula, podemos escrever a amplitude
do K 1 , em unidades naturais, como,
a 1 (t) = a 1 (0)e −(Γ 1/2+im 1 )t , (5.136)
e similarmente para K 2
a 2 (t) = a 2 (0)e −(Γ 2/2+im 2 )t . (5.137)
201

Suponhamos agora que, no tempo t = 0, temos um feixe puro de K 0 . Das
Eqs. (5.132–5.133) a 1 (0) = a 2 (0) = 1/ √ 2. Depois de um tempo t, a intensidade
do feixe de K 0 será
I(K 0 ) = a 1(t) + a 2 (t)
√
2
= 1 4
a ∗ 1 (t) + a∗ 2 (t) √
2
[
]
e −Γ1t + e −Γ2t + 2e −[(Γ 1+Γ 2 )/2]t cos(∆mt) , (5.138)
com ∆m = |m 2 − m 1 |. Similarmente para o ¯K 0 , mas agora escrevendo as
amplitudes como [a 1 (t) − a 2 (t)]/ √ 2 temos:
I( ¯K 0 ) = a 1(t) − a 2 (t)
√
2
= 1 4
a ∗ 1 (t) − a∗ 2 (t) √
2
[
]
e −Γ1t + e −Γ2t − 2e −[(Γ 1+Γ 2 )/2]t cos(∆mt) . (5.139)
Vemos então que as intensidades de K 0 e ¯K 0 oscilam com freqüência
∆m. É interesante que os fenômeno é observado porque ∆m = 0.5/τ 1 . Se
medirmos o número de ¯K 0 , por exemplo, pela produção de híperons, como
funçãoda posição com relação à fonte de K 0 , podemos determinar |∆m|. O
valor atual é
∆m τ 1 = 0.477 ± 0.002 , (5.140)
com ∆m = m 2 − m 1 . Experimentos de regeneração permitem determinar
que m 2 > m 1 . Esta diferença de massa é realmente pequena,
∆m = 3.52 × 10 −6 eV,
ou, comparada com a massa média dos K 0 , m K = 497.7 MeV
5.12 Violação de CP
∆m
m K
= 7 × 10 −15 . (5.141)
Em 1964, o esquema anterior teve de ser modificado de maneira imprevista
e, ainda hoje, não completamente compreendida. Nesse ano foi observada,
202

no sistema de káons neutros, a violação da simetria CP . 22 Eles observaram
que o káon de vida longa, K 2 , também decai em π + π − com uma razão da
ordem de 10 −3 . A notação mais útil, depois disso, é K S no lugar do K 1 ,
e K L no de K 2 .
Os fenômenos de regeneração e oscilação da estranheza
permanecem praticamente inalterados, mas as Eqs. (5.132) e (5.133) devem
ser um pouco modificadas.
O que se mediu experimentalmente foi a razão de duas amplitudes:
|η +− | = A(K L → π + π − )
A(K S → π + π − ) = (2.29 ± 0.02) × 10−3 . (5.142)
Isto significa que o estado K S é formado, principalmente, por um estado com
CP = +1, mas também, por uma pequena “contaminação” de um estado
com CP = −1, e vice-versa para o K L :
|K S 〉 =
|K L 〉 =
1
√
1 + |ɛ| 2 (|K 1〉 + ε|K 2 〉) (5.143)
1
√
1 + |ɛ| 2 (ε|K 1〉 + |K 2 〉) . (5.144)
É interessante comparar o caso da observação da violação da paridade
P , com a de CP . A primeira, ainda que do ponto de vista dos preconceitos
da época não existisse nenhuma motivação para ser violada, tinha a ver com
uma simetria espacial que, em princípio, não era esperado que tivesse uma
relação com a física de partículas.
No entanto, depois da sua verificação
experimental, trouxe ordem à teoria da interação fraca e, em pouco tempo o
preconceito havia mudado de lado. O fato de que os teóricos, que colocaram
a possibilidade dessa violação ocorrer, ganharam o Prêmio Nobel no ano
seguinte à sua sugestão, merece consideração especial. Também a paridade
é violada maximalmente, nas interações de corrente carregada. No caso da
22 J.H. Christenson, J. Conin, V.Fitch e R. Turlay, Phys. Rev. Lett. 13, 138 (1964); A.
Abasian et al. ibid, 13, 243 (1964).
203

violação de CP não há uma definição livre de ambigüidades do que seria
“violação de CP máxima”.
No caso da violação de CP , a situação era diferente. A interação fraca
usual é invariante sob CP , e o mesmo é válido para as interações forte
(com uma exceção, o chamado “problema de CP forte”) e eletromagnética.
Ninguém esperava que essa simetria fosse quebrada e, pior, num único sistema,
o dos káons neutros. 23 Atualmente o modelo padrão eletrofraco seja
consistente com todos os dados de violação de CP em káons e mésons−B
o mecanismo dessa violação ainda não é completamente compreendido no
sentido que pode haber várias fontes de violação de CP para explicar a assimetria
de matéria observada no universo ou, se for medido um momento
dipolar elétrico para o nêutron. Essa área é de fato um dos temas de pesquisa
teórico e experimental. Conin e Fitch, receberam o Prêmio Nobel em 1980,
pela experiência feita em 1964. Além disso, não foi imediatamente que
a comunidade científica convenceu–se que o “efeito Princeton”, como era
chamada a experiência de Christenson et al., fosse realmente a violação de
CP . Foram necessárias várias experiências complementares para convencer
a comunidade de que CP é violada.
Vejamos algumas das hipóteses alternativas à violação de CP no sistema
dos káons, e as respectivas experiências que as eliminaram.
i) O “efeito Princeton” poderia ser o efeito de um campo galáctico de
longo alcance no qual a energia potencial do K 0 seria diferente da do ¯K 0 .
Isto tem o efeito de fazer K S e K L uma mistura de autoestados de CP
com diferentes autovalores na região onde a matéria domina sobre a antimatéria
(a primeira experiência foi feita em atmosfera de hélio). Se isto
ocorrer, a taxa do decaimento K L → 2π seria proporcional a γ 2J , γ =
23 Recentemente foi descoberta a violação de CP nos mésons B 0 − ¯B 0 e também a
chamada violação de CP direta nos káons.
204

(1 − v 2 /c 2 ) −1/2 é o fator de Lorentz do káon relativo ao campo (na prática
o sistema de laborátorio), e J é o spin do campo, J = 1 para um campo
vetorial. Experimentos com káons com diferentes momentos eliminaram esta
explicação: não se observou nenhuma dependência com a velocidade.
ii) O argumento para dar ao sistema de píons, π + π − um autovalor de
CP = +1 está baseado na estatística de Bose, seria válido neste caso? Este
argumento foi invalidado quando o decaimento K L → 2π 0 foi observado.
Estes 2π 0 tem CP = +1, por serem duas partículas idênticas, independente
da estatística.
iii) O autoestado de CP , o K 2 , decai em K 1 (que decai em dois píons)
mais uma partícula S, muito mais leve que a diferença de massa m KL −m KS
e com CP = −1, i.e.,
K 2 → K 1 + S → π + + π − + S.
Nessa situação não haveria interferência entre o estado final π + π − S do
decaimento do K 2 e o π + π − do decaimento do K 1 obtido pela regeneração
num material. Experimentalmente foi observada em 1966, a interferência
entre as amplitudes dos dois decaimentos, i.e., 〈K 2 |K 1 〉 ≠ 0. 24
Alguns chegaram a propor que o princípio de superposição da mecânica
quântica não seria válido no sistema K 0 − ¯K 0 . No fim, depois de várias
experiências, ao longo de mais ou menos 2 anos, ficou claro: CP é violada
mas ainda estava obscuro qual o mecanismo dessa violação.
Posteriormente, foi observado que também no decaimento leptônico dos
káons a simetria CP é violada. Os decaimentos são:
K L → e + π − ν , µ + νπ − , (5.145)
K L → e − π +¯ν , µ −¯νπ + . (5.146)
24 C. Alff-Steiberger et al., Phys. Lett. 21, 595 (1966).
205

O estado eνπ não é um autoestado de CP e, por isso, podemos considerar
o K 0 e ¯K 0 .
são K 0 →
Pela regra ∆S/∆Q = +1, os decaimentos permitidos
e + νπ − e ¯K 0 → e −¯νπ + . No entanto, os decaimentos se transformam
um no outro sob CP , e assim, se CP é violada, esperamos uma
assimetria, ainda que pequena:
δ = Γ(K L → e + νπ − ) − Γ(K L → e −¯νπ + )
Γ(K L → e + νπ − ) + Γ(K L → e −¯νπ + ) = (0.330 ± 0.012) × 10−2 (5.147)
Uma conseqüência interessante da violação de CP é permitir que partículas
elementares possuam um momento dipolar elétrico. Esse tipo de interação
é proporcional a ⃗σ · ⃗E, e é fácil ver que é ímpar sob P e T . Se o teorema
CP T for válido, a inversão temporal deve ser violada também, se CP o é.
É interessante que a assimetria na Eq. (5.147) permite definir absolutamente
a carga elétrica positiva. De fato a violação de CP permite definir
de maneira absoluta esquerda-direita e pólo magnético sul–norte.
Uma partícula especialmente apropriada para a determinação do seu
momento dipolar elétrico é o nêutron. Experimentalmente:
EDM =< 0.63 × 10 −25 e cm (5.148)
O problema teórico e experimental do EDM do nêutron continua.
5.13 Exercícios
1. Os híperons-Λ são produzidos quando um feixe de píons induz o processo
π + + p → K 0 + Λ. Os hiperons-Λ são logo observados no decaimento Λ →
p + π − . Suponha:
a) o feixe vai na direção-z,
b) θ é o ângulo que um dos produtos do decaimento faz com o eixo-z, medido
no referencial de repouso do Λ.
Se J Λ indica o spin do Λ:
206

i) Se o Λ é o produzido exatamente ao longo da direção-z, quais são os
possíveis valores para J Λ ?
ii) Mostre que, para prótons não polarizados, a distribuição angular do Λ é
função de J Λ :
J Λ = 1/2,
isotrópica
J Λ = 3/2, 3 cos 2 θ + 1
J Λ = 5/2, 5 cos 4 θ − 2 cos 2 θ + 1
iii) Como podemos determinar o spin dos Σ ± segundo a captura no estado-s,
K − + p → Σ ± + π ∓ ?
Onde entrou a hipótese que o próton não seja polarizado?
2. Mostre que, se o neutrino no decaimento-β tem uma massa m ν , o
espectro do elétron tem a forma:
(
N(p)dp = p 2 (E − E 0 )
√1 2 mν c
−
2 ) 2
dp.
E 0 − E
3. O 14 O tem uma vida média de 71 segundos e uma energia E 0 = 1.8
MeV. O píon geralmente decai pelo modo π → µν com uma vida média de
2.6 × 10 −8 s. Encontre a razão das taxas de decaimento para o decaimento
dado que
π + → π 0 + e + + ν J P = 0 − → 0 − ,
m π + = 140MeV m π 0 = 135MeV, m e = 0.5.MeV
Dê apenas uma estimativa. A razão observada
π + → π 0 e + ν
π + → µ + ν = 1.02 × 10−8 .
4. O nêutron tem uma vida média de τ n ≃ 930 s, e o múon τ µ = 2.2×10 −6
s. Mostre que a constante de acoplamento envolvida nos dois casos são da
mesma ordem de grandeza, quando levado em conta o fator de fase.
207

5. Uma experiência numa mina de ouro em Dakota do Sul tem detetado
neutrinos provenientes do sol, usando a reação
ν + 37 Cl → 37 A r + e − .
O detetor contem aproximadamente 4 × 10 5 litros de C 2 Cl 4 . Faça uma estimativa
de quantos átomos de 37 A r por dia seriam produzidos, fazendo as
seguintes hipóteses: a) A constante solar, isto é, a taxa de perda de energia
por unidade de área, por unidade de tempo, é igual a 2 cal cm −2 textrmmin −1 ;
b) 10% da energia termonuclear do sol aparece como neutrinos de energia
média de 1 MeV;
c) 1% de todos os neutrinos tem energia suficiente para induzir a reação
acima;
d) A seção de choque para os núcleos 37 Cl para neutrinos “ativos” é da
ordem de 10 −45 cm 2 ;
e) A abundância isotópica do 37 Cl é de 25%;
f) A densidade do C 2 Cl 4 é de 1.5 gml −1 ;
Você espera uma diferença entre a taxa durante o dia e aquela durante a
noite? 25
6. Neutrinos energéticos podem produzir um píon nas seguintes reações:
ν + p →
ν + n →
π + + p + µ −
π 0 + p + µ −
π + + n + µ − .
Assuma que o processo é dominado pela primeira ressonância píon-núcleon,
N ∗ (1236), tendo por isso, o sistema píon-núcleon apenas I = 3/2.
Como nos decaimentos fracos com ∆S = 0, o isospin do estado hadrônico
muda em uma unidade, regra-∆I = 1. Mostre que essa regra prediz uma
25 R. Davis, D.S. Harmer e K.C. Hoffman, Phys. Rev. Lett.,20, 1205(1968).
208

taxa para (1) três vezes a de (2). Também mostre que, ao contrário, para
transições com ∆I = 2, das quais não se tem nenhuma evidência, a taxa de
(2) é três vezes a de (1).
7. Use a regra -∆ = 1/2 para demostrar as relações seguintes entre a
taxa do decaimento em três píons dos Kaons carregados e neutros:
Γ(K L → 3π 0 ) = 3 2 Γ(K L → π + π − π 0 )
Γ(K + → π + π + π − ) = 4Γ(K + → π + π 0 π 0 )
Γ(K L → π + π − π 0 ) = 2Γ(K + → π + π 0 π 0 )
Dica:
Os resultados dependem da assunção razoável que os três píons estão
num estado relativo de onda-s. Logo, qualquer par de píons deve estar num
estado de isospin simétrico, i.e., I = 0 e/ou, I = 2. O terceiro píon (I=1)
deve então combinar-se com o par para produzir o estado de I = 1, I 3 = 1,
para o K + , ou I = 1, I 3 = 0 para o K 0 (da regra-∆I = 1/2).
É necessário escrever a função de onda dos três píons numa maneira,
como deve ser para três bosons idênticos, completamente simétrica sob a
troca dos píons. Assim, o estado π + π + π − deve ser escrito
√
6(+ + −) = π
+
1 π + 2 π− 3 + π+ 2 π+ 1 π− 3 + π− 3 π+ 2 π+ 1
+ π − 3 π+ 1 π+ 2 + π+ 2 π− 3 π+ 1 + π+ 1 π− 3 π+ 2
Cada termo nesta expressão será o produto de um estado de isospin com
I = 0 , 2, para o primeiros dois píons, e um com I = 1, para o terceiro píon,
com coeficientes de Clebsch-Gordan apropriados.
209

Capítulo 6
Simetrias Unitárias
6.1 Introdução
Um dos primeiros a assinalar a relevância da simetria na física das partículas
elementares foi E. Wigner. Segundo ele, se não temos uma teoria dinâmica
satisfatória para descrever as interações entre partículas elementares, ainda
podemos estudar suas propriedades de simetria. 1 De fato, essa iniciativa
revelou-se muito frutífera, como veremos neste e no capítulo seguinte.
Também, mesmo que essa teoria dinâmica exista, como acredita-se atualmente,
o estudo das simetrias ainda é útil. Após a descoberta das simetrias
de gauge, estas servem como um guia para encontrar a dinâmica.
Em 1936, Breit e colaboradores postularam que as forças nucleares são
independentes da carga elétrica. Nessa época já havia sido proposta a simetria
de isospin como uma simetria aproximada das partículas, até então
conhecidas, que interagem fortemente. Contudo, depois da descoberta dos
híperons e dos mésons pesados, os físicos começaram a preocupar-se com
uma simetria aproximada maior, que permitisse a incorporação das novas
partículas.
1 E. Wigner, Physics Today 17(3), 34(1964).
210

Um passo importante foi a introdução do número quântico da estranheza,
em 1952, por Gell-Mann e, independentemente, por Nishijima. Outra
contribuição importante foi o modelo de Fermi e Yang, SU(2), para núcleons
e píons, 2 e sua extensão para SU(3), incorporando o híperon-Λ por Sakata.
O modelo de Sakata, 3 que usava p, n e Λ para gerar as transformações
SU(3) enfrentou dificuldades experimentais: a força núcleon-Λ mostrou-se
ser diferente do caso da força núcleon-núleon. Em 1960, Ohnuki 4 propôs
que os hádrons conhecidos poderiam ser considerados como sendo compostos
por três “hadrons” X 1,2,3 , com os mesmos números quânticos de p, n e
Λ, mas os “quanta” destes campos diferem dos usuais por um mecanismo
dinâmico desconhecido, que produz estados ligados.
Estudando as representações
do grupo SU(3), Ohnuki foi capaz de identificar os píons e káons,
como membros de um octeto de SU(3), predizendo a existência de um méson
escalar η, chamado depois de descoberto de η 0 .
Em 1961, independentemente, Gell-Mann e Ne’eman classificaram as
partículas elementares que interagem fortemente em multipletos 1, 8 e 10 do
grupo SU(3). Essa classificação foi compreendida em termos de constituintes
elementares, quarks, introduzidos por Gell-Mann e, independentemente,
por G. Zweig, em 1964. As simetrias unitárias são simetrias aproximadas da
natureza, como o número bariônico e leptônico, simetrias “acidentais” como
será explicado na devida oportunidade. Por enquanto, é suficiente dizer que
suas transformações têm a propriedade matemática de um grupo e por isso,
precisamos fazer uma breve introdução ao assunto. Essas simetrias são nos
quarks leves u, d, s
SU(3) L ⊗ SU(3) R ⊗ U(1) B ⊗ U(1) A . (6.1)
2 E. Femi e C. N, Yang, Are Mesons Elementary Particles? Phys. Rev. 76, 1739 (1949).
3 S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 16, 686(1956).
4 Y. Ohnuki, Proceedings of the International High-Energy Conference, CERN (1960),
p.843.
211

foram incorporados de maneira automática no modelo padrão, ou seja, na
QCD. Tudo isso será estudado na devida oportunidade.
6.2 Generalidades de Teoria de Grupos
Em geral, como dissemos acima, as transformações de simetria têm as propriedades
de um grupo. Assim, sem a intenção de esgotar o assunto, vamos
ver algumas características gerais dos grupos. Queremos apenas trazer à
tona o vocabulário apropriado.
Um grupo é um conjunto de elementos e uma lei de composição com as
seguintes propriedades:
1. É fechada, isto é, o resultado de duas transformações do conjunto é
um elemento do mesmo,
2. É associativa,
3. Existe o elemento identidade,
4. Existe o elemento inverso.
Um grupo diz-se finito se tem um número finito de elementos, caso contrário
é infinito. O número de elementos de um grupo finito chama-se ordem do
grupo.
O grupo mais simples é aquele que tem apenas um elemento: a identidade
denotada aqui por e. O grupo seguinte, em simplicidade, é o que tem dois
elementos: o elemento a e a identidade e, com a seguinte lei de composição:
ee = e, aa = e e ae = ea = a, isto é, o elemento a é seu próprio inverso.
Um exemplo deste grupo é o formado pelos números ±1. Em partículas
elementares ele ocorre por exemplo nas transformações discretas como a
paridade e a conjugação da carga (ver Cap. 3).
212

Se a ordem na qual realizamos duas transformações sucessivas não é
importante, diz-se que o grupo é Abeliano. Caso contrário é não-Abeliano.
Os grupos {e} e {a, e} são Abelianos.
Um exemplo de grupo Abeliano infinito é o conjunto de todos os números
inteiros. A lei de composição é a adição. Igualmente os números reais, mas
não para os números inteiros positivos. O menor grupo não-Abeliano é o
das permutações de três objetos. É de ordem 6.
Dos grupos infinitos, estamos interessados nos grupos contínuos, que denotaremos
por g(a), com a representando um parâmetro ou um conjunto de
parâmetros contínuos. Isto significa que se g(a)g(b) = g(c), c deve ser uma
função contínua de a e b no sentido que uma pequena mudança em a e b
implica numa pequena mudança em c. Quando c é uma função analítica de
a e b diz-se que o grupo é um grupo de Lie.
Um grupo contínuo com um número finito de parâmetros chama-se grupo
contínuo finito. Se um grupo de Lie é caracterizado por um número mínimo
de parâmetros, digamos r, diz-se que este é um grupo de Lie de r parâmetros.
Por exemplo, o grupo das translações no espaço de 3 dimensões, ⃗x ′ = ⃗x + ⃗a
tem 3 parâmetros. O mesmo para o grupo das rotações R(θ, φ, ϕ).
Um operador linear satisfaz as propriedades de um operador num espaço
vetorial linear, e também
L(φ + ψ) =
L(aφ) =
Lφ + Lψ,
aLφ,
(6.2)
com φ, ψ vetores no espaço vetorial onde opera L, e a sendo um número
complexo ou real.
Os próprios operadores formam um espaço vetorial linear. Definimos o
operador adjunto hermitiano, L † como
(ψ, Lφ) = (L † ψ, φ), (6.3)
213

onde assumimos definido um produto vetorial entre vetores, com as propriedades
usuais, em particular
(φ, ψ) ∗ = (ψ, φ). (6.4)
Um operador linear é hermitiano se L † = L. Se L † = −L é antihermitiano.
Os autovalores de um operador hermitiano são reais e os respectivos
autovetores ortogonais. Se os autovetores de um operador formam
um conjunto completo ou base, diz-se que o operador é auto-adjunto. Usualmente
consideram-se apenas operadores hermitianos que são auto-adjuntos,
assim, aqui estas palavras serão sinônimos. Em mecânica quântica um operador
auto-adjunto é conhecido também como observável.
Um operador linear é unitário se
U † = U −1 , (6.5)
mas tem que satisfazer também
U † U = UU † = 1. (6.6)
Qualquer operador unitário pode ser escrito na forma
U = e iaL , (6.7)
onde L é um operador hermitiano e a um número real. O operador L é o
gerador de U. Um operador unitário satisfaz
(Uψ, Uφ) = (ψ, φ), (6.8)
que é de fato de onde vem a Eq.(6.5), e um anti-unitário
(Kψ, Kφ) = (φ, ψ) = (ψ, φ) ∗ . (6.9)
K é antilinear, i.e., K(aψ) = a ∗ Kψ. Como um operador anti-unitário pode
ser escrito como o produto de um operador unitário vezes a conjugação
complexa, vamos considerar operadores unitários apenas.
214

Podemos usar uma base ortonormal {φ k } para escrever um operador em
forma de matriz. Operando com L num vetor φ j , devemos obter um outro
vetor que pode ser escrito como uma combinação linear
Lφ j = ∑ k
L kj φ k , (6.10)
onde L kj são coeficientes complexos. Tomando o produto escalar com φ i ,
(φ i , Lφ j ) = L ij , (6.11)
L ij é a matriz associada ao operador L.
O número de vetores base {φ k } é o mesmo que a dimensão da matriz.
Esta é quadrada se a dimensão é finita. Caso a dimensão seja infinita, a
matriz ainda será quadrada no sentido de que há uma correspondência uma-um
entre linhas e colunas. Pode-se mostrar que a matriz que corresponde
ao produto de dois operadores, C = AB, é a matriz produto das matrizes
correspondentes aos operadores A e B.
A matriz hermitiana conjugada L † , de uma matriz L, está definida por
(L † ) ij = L ∗ ji. (6.12)
Isto é válido mesmo que L não seja quadrada. Se L tem m colunas e n
linhas, L † tem n colunas e m linhas.
Uma transformação de similaridade transforma os operadores como
L ′ = SLS −1 , (6.13)
e os vetores como
φ ′ = Sφ. (6.14)
6.2.1 Representações
Um homomorfismo em teoria de grupos é um mapeamento de um grupo
em outro tal que, a lei de composição é preservada. Uma representação
215

de um grupo G é um homomorfismo de G sobre um grupo de operadores
lineares atuando num espaço vetorial linear. Se os operadores lineares são
matrizes, a representação é matricial. Por exemplo, a matriz L jk relacionada
ao operador L acima é uma representação matricial.
Uma representação de um grupo é, então, um homomorfismo de um
grupo abstrato sobre um conjunto de operadores lineares que operam num
espaço vetorial. Usamos a notação D(G) para o conjunto de matrizes que
formam a representação do grupo G. As representações de grupos contínuos
(analíticos) devem ser contínuas (analíticas).
Por exemplo, o grupo {a, e} visto acima tem as seguintes representações
D (1) (e) = 1, D (1) (a) = −1,
D (2) (e) = 1, D (2) (a) = 1,
⎛ ⎞
⎛ ⎞
D (3) (e) = ⎝ 1 0 ⎠ , D (3) (a) = ⎝ 1 0 ⎠ ,
0 1
0 −1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
D (4) (e) = ⎝ 1 0 ⎠ , D (4) (a) = ⎝ −1 0 ⎠ .
0 0
0 0
O supraíndice distingue as 4 representações. A representação D (4) tem determinante
nulo. Usualmente consideraremos só representações com determinante
diferente de zero. As representações D 1,3,4 são isomórficas ao grupo;
D (2) não. Quando as representações são como naqueles três casos D 1,3,4 ,
chamam-se representações fiéis. Um exemplo de representação não-fiel é o
homomorfismo que mapeia todo elemento do grupo na matriz identidade.
Duas representações são equivalentes se estas podem ser transformadas
uma na outra por uma transformação de similaridade, com a mesma matriz
de transformação para todo elemento do grupo. Uma representação por
matrizes unitárias chama-se representação unitária. Freqüentemente consid-
216

eramos grupos que não são unitários, como por exemplo o grupo de rotações,
mas sendo suas representações unitárias e fiéis.
É possível fazer uma distinção entre grupos segundo o critério topológico
de compacticidade. Aqui daremos apenas uma idéia. Diz-se que um grupo é
compacto se os parâmetros variam numa ragião que é finita e fechada (isto é,
que inclui as bordas). Por exemplo, o grupo das rotações é compacto pois os
ângulos de rotação variam na região de 0 a π ou 2π. Por exemplo, quando
atingimos 2π, voltamos ao elemento original passando pela identidade. Por
outro lado, o grupo das translações é não-compacto, dado que os parâmetros
⃗a variam de −∞ a +∞. O grupo das transformações de Lorentz homogêneas
também é não-compacto. Ainda que os parâmetros variem na região 0 ≤
v < c, sendo que v não atinge o ponto final. Quer dizer que a região não é
fechada.
Consideremos a noção de grupos simples e semi-simples. Dado um grupo,
podemos considerar seus sub-grupos, isto é, um subconjunto, dos elementos
do grupo que forma ele mesmo um grupo. Qualquer grupo tem dois subgrupos,
o elemento identidade e o próprio grupo. Estes são chamados subgrupos
impróprios. Caso existam outros sub-grupos além dos impróprios,
pode-se verificar se eles são invariantes no seguinte sentido: uAu −1 , com
A um elemento do sub-grupo H e u um elemento qualquer do grupo G,
pertence ao sub-grupo H, i.e,
onde ɛ significa “é um elemento de”.
A ′ = uAu −1 ɛH, A ɛH, u ɛ G,
Como exemplo, consideremos o grupo formado pelas matrizes bidimensionais
unitárias com determinante igual a 1, i.e, SU(2). Tomemos as matrizes
E =
⎛
⎝ 1 0
0 1
⎞
⎠ , R =
217
⎛
⎝ −1 0
0 −1
⎞
⎠ , (6.15)

elas, obviamente pertencem ao grupo SU(2), e formam um sub-grupo deste.
Se u ɛ SU(2) (arbitrário)
uEu −1 = Euu −1 = E,
uRu −1 = −uEu −1 = −Euu −1 = R.
Vemos que o sub-grupo {E, R} é invariante, no sentido discutido acima.
Diz-se que um grupo é simples se não contém sub-grupos invariantes, e
semi-simples se não contém sub-grupos invariantes abelianos.
Um teorema importante, que damos sem demonstração, diz o seguinte:
Qualquer representação de um grupo de Lie (semi-simples) compacto é
equivalente a uma representação unitária.
Na demonstração, apenas a compacticidade é necessária.
Pode ocorrer que, por uma mudança de base, uma representação possa
ser levada à forma
⎛
⎝ D 1(g)
X(g)
0 D 2 (g)
⎞
⎠ (6.16)
para todo g ɛ G. Neste caso a representação é redutível. Caso contrário é
irredutível. Se é possível fazer a mudança de base e obter
⎛
⎞
⎝ D 1(g) 0
⎠ (6.17)
0 D 2 (g)
a representação é completamente redutível.
Pode-se mostrar que se uma
representação unitária é redutível, então ela é completamente redutível.
Consideremos um exemlo simples de como obter uma representação de
um grupo. É o caso do grupo das translações unidimensionais. Seja ψ(x)
um vetor e T (a) o operador linear que transforma ψ(x) em ψ(x + a):
ψ(x + a) = T (a)ψ(x). (6.18)
218

Agora, expandimos ψ(x + a) em serie de Taylor
ψ(x + a) = ψ(x) + a d a2
ψ(x) +
dx 2!
∞∑
(
1
= ia 1 )
d n
ψ(x) = e ia( 1 i
n! i dx
n=0
d 2
dx 2 ψ(x) + · · ·
d
dx ) ψ(x),
de onde podemos concluir que T (a) = e iapx/ , com p x = (/i)d/dx.
vetores base de uma representação irredutível denota um conjunto de estados
quânticos. Diz-se que esses estados formam um multipleto. Como todos os
estados de um multipleto são autoestados da Hamiltoniana com o mesmo
autovalor, esses estados são degenerados na energia. A degenerescência é o
número de estados com a mesma energia. Se existe apenas um estado para
uma determinada energia o estado é não degenerado ou singleto. Como e-
xemplo de multipletos, consideremos os estados de um sistema com momento
angular L, com autovalores denotados por l = 0, 1, · · ·. Existem 2l+1 vetores
que representam diferentes orientações do momento angular com relação a
um eixo-z arbitrário.
Os
As rotações transformam um destes estados numa
combinação linear de todos os que formam o multipleto.
Dos operadores L 2 e L z , o primeiro tem autovalores L(L+1) e o segundo
m, −L ≤ m ≤ +L. Assim, L rotula a representação e m especifica os
elementos dentro do multipleto.
O número máximo de operadores, que
são diagonalizáveis simultaneamente, define o rank do grupo. No caso do
momento angular (SU(2)) o rank é um. Para SU(n), o rank é n − 1.
Os multipletos são os vetores base das representações irredutíveis. Em
física de partículas elementares as palavras “representação” e “multipleto”
são usualmente consideradas sinônimas.
219

6.3 SU(2) e SU(3)
A representação fundamental é a representação de menor ordem, excetuando,
obviamente, a representação trivial. A representação regular ou representação
adjunta tem uma dimensão igual ao número de parâmetros do grupo. Para
SU(2) e SU(3) a representação fundamental tem dimensão 2 (dubleto) e
3 (tripleto), respectivamente. Nessa ordem, a representação adjunta tem
dimensão 3 e 8 (tripleto e octeto).
Consideremos primeiro o grupo SU(2) e logo depois o SU(3). Algumas
das considerações são imediatamente aplicáveis ao caso de SU(n).
6.3.1 SU(2)
É formado pelas transformações bidimensionais
⎛ ⎞
U = ⎝ a b ⎠ |a| 2 + |b| 2 = 1.
−b ∗ a ∗
Em geral, uma transformação unitária pode ser escrita como
U = e i⃗ θ·⃗I . (6.19)
Isto quer dizer que um multipleto de dimensão n transforma–se como
ψ ′ = e i⃗ θ·⃗I ψ, (6.20)
onde I são matrizes n × n. No caso de SU(2), para a representação fundamental,
temos
I i = 1 2 σ i, (6.21)
sendo σ i , i = 1, 2, 3 as matrizes de Pauli:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
σ 1 = ⎝ 0 1 ⎠ , σ 2 = ⎝ 0 −i ⎠ , σ 3 = ⎝ 1 0 ⎠ . (6.22)
1 0
i 0
0 −1
220

Ou seja, qualquer elemento do grupo pode ser escrito como
e i(aσ 1+bσ 2 +cσ 3 ) .
Isso define a representação fundamental.
Os elementos do grupo são as
matrizes, os vetores base nos quais operam estas matrizes são os estados
físicos. Por exemplo,
⎛
⎞
⎛
⎞
u 1 = ⎝ 1 0
⎠ u 2 = ⎝ 0 1
⎠ , (6.23)
são os vetores base de uma representação irredutível de SU(2) de dimensão 2
(a fundamental). O que eles representam fisicamente depende do problema,
mas em todo caso representam um sistema com duas orientações possíveis.
Se as rotações fossem as rotações ordinárias temos uma partícula de spin- 1 2
não relativística. Também podemos considerar SU(2) como uma simetria
interna, isto é, as rotações são feitas num espaço abstrato. Este é o caso do
isospin no qual u 1 representa digamos, o próton, e u 2 o nêutron.
Para representações de dimensão n, os geradores I i , i = 1, 2, 3 na Eq. (6.20)
são matrizes n × n. Os geradores I i de SU(2), de qualquer dimensão, obedecem
as relações de comutação,
[I i , I j ] = iɛ ijk I k . (6.24)
Pode-se mostrar as Eqs. (6.24) usando (6.21) e (6.22), mas elas são válidas
para representações de dimensão arbitrária.
6.3.2 Produto de Representações
Começando pelos vetores base da representação fundamental, é possível construir
as funções base de todas as representações irredutíveis de um grupo
unitário. Para o caso de SU(2), que estamos estudando, é o mesmo que
221

dizer que a partir de uma partícula de spin- 1 2
podemos construir sistemas
com spin-1, 3 2 , 2, 5 2 , · · ·.
Por exemplo, consideremos os seguintes produtos,
e
u 1 (1)u 1 (2),
u 2 (1)u 2 (2),
(6.25)
u 1 (1)u 2 (2),
u 2 (1)u 1 (2), (6.26)
onde o subscrito 1 ou 2 referem-se aos dois estados possíveis tanto que os
números entre parênteses indicam a primeira e a segunda partícula. Os produtos
acima formam também uma base para uma representação de SU(2).
Como operam as matrizes de Pauli nos estados (6.25) e (6.26)? Um exemplo
ilustra isso melhor:
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎫
⎨
σ z [u 1 (1)u 1 (2)] = [σ z (1) + σ z (2)] ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎬
⎠
⎩ 0 0 ⎭
1 2
⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫
⎨
=
⎩ σ z(1) ⎝ 1 ⎬
⎠ ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 1 ⎨
⎠
0 ⎭ 0 0 ⎩ σ z(2) ⎝ 1 ⎬
⎠
0 ⎭
1
2
1
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= 2 ⎝ 1 ⎠
0
1
⎝ 1 0
⎠
2
No entanto os produtos em (6.25) e (6.26) não são a base de uma representação
irredutível. Estas últimas estão relacionadas com partículas elementares
e, se estas se consideram idênticas, os estados produtos devem ter
propriedades de simetria bem definidas mediante a troca de duas partículas.
Separando as combinações lineares com uma simetria bem definida obtemos
as representações irredutíveis. No caso anterior, por exemplo, temos que as
combinações simétricas são
ψ (1)
1 = u 1 (1)u 1 (2),
.
222

ψ (1)
0 = 1 √
2
[u 1 (1)u 2 (2) + u 2 (1)u 1 (2)],
ψ (1)
−1 = u 2 (1)u 2 (2),
onde o fator √ 2 é para termos estados normalizados. A combinação antisimétrica
é
ψ 0 0 = 1 √
2
[u 1 (1)u 2 (2) − u 2 (1)u 1 (2)].
Usamos a notação ψ (l)
m . Podemos considerar os estados ψ (1)
1 , ψ(1) 0 , ψ(1) −1 como
os três vetores base para uma representação irredutível de dimensão 3 de
SU(2). O dubleto pode ser considerado como
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ u d
⎠
ou
⎝ p n
⎠ .
A composição feita acima é resumida na notação seguinte:
2 ⊗ 2 = 3 ⊕ 1.
O mesmo pode ser obtido pelos coeficientes de Clebsch-Gordan na composição
de dois objetos de spin- 1 2 . Na notação |J (1) J (1)
z ; J (2) J (2)
z 〉 → |JJ z 〉
uu ≡ | 1 1
2 2 ; 1 1
2 2 〉 = |11〉
ud ≡ | 1 1
2 2 ; 1 2 − 1 2 〉 = √ 1
2
(|10〉 + |00〉)
du ≡ | 1 2 − 1 2 ; 1 1
2 2 〉 = √ 1
2
(|10〉 − |00〉)
dd ≡ | 1 2 − 1 2 ; 1 2 − 1 2
〉 = |1 − 1〉.
O seguinte exemplo seria o caso de três objetos de spin- 1 2
. Neste caso temos
8 combinações, 4 delas simétricas.
Seja ξ α um vetor de uma representação R de um grupo G. Neste caso
SU(2). Se chamamos R de representação contravariante, a representação
covariante R ∗ com a base η α é definida tal que ξ α η α seja invariante, isto é,
ξ ′α = U α βξ β , η ′ α = U ∗ α β η β , (6.27)
223

com
U = e i 2 ⃗ θ·⃗τ
U ∗ = e − i 2 ⃗ θ·⃗τ ∗ .
É possível verificar que
logo temos que
τ 2 ⃗ττ 2 = −⃗τ ∗ (6.28)
U ∗ = τ 2 Uτ 2 . (6.29)
Isso quer dizer que U ∗ é equivalente a U. Isso ocorre apenas com o grupo
SU(2). Para SU(n) , n ≥ 3, U ∗ não é equivalente a U.
Introduzamos o tensor métrico ɛ αβ . Pode-se mostrar que este tensor é
invariante, i.e., ɛ ′ αβ = ɛ αβ. Assim, η α = ɛ αβ ξ β . Vemos que η α transforma–-
se como ξ β . Consideremos o produto de duas representações fundamentais
2 ⊗ 2:
M αβ = η α η β , (6.30)
que tem dimensão 4 e é redutível. Para obtermos as representações irredutíveis
devemos explicitar as simetrias nos índices α e β,
M αβ = M [αβ] + M {αβ} , (6.31)
onde M [αβ] representa a parte antisimétrica e M {αβ} a simétrica:
Se
M [αβ] = η α η β − η β η α
M {αβ} = η α η β + η β η α
⎛
η = ⎝ p n
1 componente
3 componentes.
⎞
⎠ ,
obteremos a seguinte tabela:
224

M [αβ]
1 √2 (pn − np) I = 0 I 3 = 0
pp I 3 = +1
M {αβ}
1 √2 (pn + np) I = 1 I 3 = 0
nn
I 3 = −1
O produto 2 ⊗ 2 ∗ é o tensor M α β = η α ξ β . Como η α ξ α = T r M é
obviamente invariante, podemos formar o tensor de traço nulo:
M ′ β
α = η α ξ β − 1 2 δβ αT r M, (6.32)
que é uma representação de dimensão 3. Neste caso temos
T r M 1 √
2
(p¯p + n¯n) I = 0 I 3 = 0
p¯n I 3 = +1
M ′ β
α
1 √2 (p¯p − n¯n) I = 1 I 3 = 0
n¯p
I 3 = −1
A representação com I = 1 é a representação regular de SU(2) e pode ser
escrita como um isovetor
⎛
⃗π =
⎜
⎝
⎞
π 1
π 2
⎟
⎠
π 3
ou
⎛
⎜
⎝
⎞
π +
π 0 ⎟
⎠ ,
π −
ou também como uma matriz de traço nulo
⎛
Π β α = √ 1 ⃗τ · ⃗π = ⎝
2
π 0 √
2
π +
π −
− π0 √
2
⎞
⎠
com π + = 1 2 (π 1 − iπ 2 ) e π − = 1 2 (π 1 + iπ 2 ).
Com o dubleto de núcleons e o tripleto de píons, podemos formar as
funções de vértice (isoscalares)
Π α β N α N β = 1 √
2
N α (⃗τ) α β N β = 1 √
2
¯N⃗τN · ⃗π. (6.33)
Temos então o isoscalar (I = 0), ¯NN = p¯p + n¯n e o isovetor I = 1, ¯N⃗τN.
225

6.3.3 SU(3)
Para o grupo SU(3) o vetor base para a representação fundamental contravariante
é
ξ α =
⎛
⎜
⎝
Uma transformação de SU(3) age da seguinte forma:
⎞
ξ 1
ξ 2 ⎟
⎠ . (6.34)
ξ 3
ξ ′α = U α βξ β , (6.35)
onde U é uma matriz unitária com det U = 1. A notação é que α rotula as
linhas e β as colunas. Também
U †α
β
A transformação do vetor covariante é
= U ∗β
α .
η ′ α = U †β αη β , (6.36)
De fato ξ ′α η ′ α é invariante se as Eqs. (6.35) e (6.36) são válidas.
6.3.4 Tensores de SU(3)
Definimos o tensor T i 1···i n
a 1···a m
de posto (n, m) pela transformação
T ′i 1···i n
a 1···a m
= U i 1
j 1 · · · U in
j n
U †b 1
a 1 · · · U †bm
a n
T j 1···j n
b 1···b m
, (6.37)
onde todos os índices vão de 1 até 3, logo um tensor de posto (n, m) tem
3 n+m componentes.
Somando ou substraindo as componentes de dois tensores do mesmo
posto, formamos um novo tensor do mesmo posto. Multiplicando as componentes
de um tensor A de posto (n, m) com as de um tensor B de posto
(q, p), obtemos um novo tensor de posto (n + q, m + p) com componentes
A i 1···i n
a 1···a m
B j 1···j q
b 1···j p
.
226

Podemos também fazer a contração
de tensores. Por exemplo, dado um
tensor T de posto (n, m) podemos formar tensores de posto (n − 1, m − 1),
(n − 2, m + 1) e (n + 1, m − 2), construindo os produtos
T i 1···i n
j 1···j m
δ j b ia ,
T i 1···i n
j 1···j m
ɛ jm+1 i ai a ′ ,
T i 1···i n
j 1···j m
ɛ i n+1j b j b′ ,
e somando sobre os índices repetidos. Acima a e a ′ são dois inteiros entre 1
e n; b e b ′ , dois inteiros entre 1 e m, e assumimos que n e m são ambos ≥ 1
na primeira, n ≥ 2 na segunda e m ≥ 2 na última. Também introduzimos o
tensor isotrópico de posto (1, 1)
⎧
⎨
δ i 1 se i = a
a =
⎩ 0 se i ≠ a
e os tensores de posto (3, 0) e (0, 3), ou seja, ɛ ijk e ɛ ijk , respectivamente.
Um tensor de posto (n, m) diz-se redutível se por contração podemos
obter um novo tensor T ′ diferente de zero de posto (n ′ , m ′ ) com n ′ + m ′ <
n + m. Caso contrário T é irredutível.
Pela contração com ɛ vista acima, um tensor irredutível T i 1···i n
j 1···j m
deve
ser simétrico com respeito aos índices (i a , i a ′) ou (j b , j b ′). Além disso, pela
contração com a δ, T deve satisfazer a condição de traço nulo, i.e,
T i 1···i n
j 1···j m
δ j 1
i 1
= 0.
Pela simetria e a condição do traço nulo, as componentes de um tensor
irredutível podem não ser todas independentes. Lembramos que a simetria
é preservada pelas transformações unitárias.
Para um tensor de posto (n, m) o número de componentes linearmente
independente, R, é chamado de dimensão do tensor. Podemos escrever com
227

eles um vetor
⎛
φ = ⎜
⎝
⎞
φ 1
. ⎟
⎠
φ R
e as transformações de SU(3) são
φ ′ = V φ
com V agora uma matriz R×R. Esta matriz V satisfaz a mesma álgebra que
as matrizes U. Podemos considerar {V } como formando uma representação
denotada por R. A representação é irredutível se o tensor o é.
As representações de menor ordem de SU(3) aparecem na tabela abaixo.
Tensor Irredutível Posto Representação
1 (0, 0) 1
T i (1, 0) 3
T a (0, 1) 3 ∗
T i a (1, 1) 8
T ij (2, 0) 6
T ab (0, 2) 6 ∗
T ijk (3, 0) 10
T abc (0, 3) 10 ∗
T ij
ab
(2, 2) 27
Pelas propriedades de simetria T ij = T ji , T ab = T ba , as duas representações
têm dimensão 6, mas são diferentes. Pelo vínculo Ti i =0, o tensor irredutível
T i a tem dimensão 8. No caso de um tensor T ijk temos três componentes
T 111 , T 222 , T 333
mais seis
T 112 , T 121 , T 221 , T 212 , T 331 , T 313 ,
228

e um do tipo T 123 , i.e., em total as 10 componentes de um decupleto 10.
Similarmente temos o 10 ∗ . O tensor T ij
ab
tem 27 componentes.
6.3.5 Decomposição de 8 ⊗ 8
Sejam A i a e B j b
duas representações 8. Podemos formar o tensor (1, 1) ⊗
(1, 1) = (2, 2) que tem 8 2 = 64 componentes. Consideremos:
i) A soma
S = A i aBi a , (6.38)
que obviamente é invariante e um tensor irredutível de posto (0, 0).
ii) O tensor
Fa i = A i jBa j − BjA i j a (6.39)
que tem traço nulo e por isso 8 componentes. De maneira análoga formamos
o tensor
Da i = A i jBa j + BjA i j a − 2 3 δi jS (6.40)
que também tem traço nulo e 8 componentes.
iii) O tensor simétrico
T ijk = A i aB j b ɛabk + permutações de (ijk) (6.41)
que tem dimensão 10.
iv) Simetrizando A i aB j b
com relação a (i, j) e (a, b) podemos formar o tensor
que satisfaz, usando i) e ii)
R ij
ab = Ai aB j b + Aj aB i b + Ai b Bj a + B j b Ai a, (6.42)
Podemos construir o tensor irredutível
Rab ib = Di a + 2 3 δi bS. (6.43)
I ij
ab
= R ij
ab − 1 5 (δi aD j b + δj aD i b + δi b Dj a + δ j b Di a) (6.44)
− 1 6 (δi aδ j b + δj aδb i )S. (6.45)
229

As constantes numéricas são determinadas impondo a condição (6.43). O
tensor I ij
ab
tem dimensão 27.
Mostramos com isso, usando a “força bruta”, a decomposição seguinte:
8 ⊗ 8 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 ⊕ 10 ∗ ⊕ 27. (6.46)
Para casos mais complicados existem métodos mais sofisticados de fazer
isso. 5
Consideremos uma transformação infinitesimal de SU(3),
U = 1 + 1 2 iθa λ a , a = 1, ...8.
e da condição UU † = 1 obtemos que λ a† = λ a . As 8 matrizes hermitianas
λ a são os geradores do grupo SU(3). Usualmente se usa a notação de Gell-
Mann
λ 1 =
λ 3 =
λ 5 =
λ 7 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 1 0
1 0 0
0 0 0
1 0 0
0 −1 0
⎞
0 0 0
⎛ ⎞
0 0 −i
⎜
⎝ 0 0 0
⎛
⎜
⎝
i 0 0
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
⎛
⎟
⎠ λ 2 = ⎜
⎝
0 −i 0
i 0 0
⎞
⎟
⎠
0 0 0
⎞ ⎛ ⎞
0 0 1
⎟
⎠ λ 4 = ⎜
⎝ 0 0 0 ⎟
⎠
⎟
⎠ λ 6 =
⎞
⎟
⎠ λ 8 = 1
⎛
⎜
⎝
⎛
√ ⎜
3
⎝
1 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
⎞
⎟
⎠
0 0 −2
Pode-se mostrar diretamente usando as Eqs. (6.47) que
⎞
⎟
⎠
(6.47)
T r λ a λ b = 2δ a b,
5 L.A. Ferreira, Notas de Teoria de Grupos, Notas Internas IFT.
230

[λ a , λ b ] = 2if abc λ c ,
{λ a , λ b } = 4 3 δ ab + 2d abc λ c ,
onde f abc e d abc são constantes reais, chamadas constantes de estrutura,
sendo f completamente antisimétrica e d simétrica pela troca de dois índices
quaisquer. As relações de comutação não dependem da representação. As
de anticomutação sim.
Abaixo aparecem as constantes de estrutura de SU(3) e as constantes d
para a representação fundamental.
f 123 = 1
f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = 1 2
f 458 = f 678 =
√
3
2
d 118 = d 228 = d 338 = −d 888 = 1 √
3
d 146 = d 157 = d 256 = d 344 = d 355 = 1 2
d 247 = d 366 = d 377 = − 1 2
d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1
2 √ 3 . (6.48)
Se
U = 1 + 1 2 iθa λ a ,
U ∗ = 1 − 1 2 iθa λ a∗ ,
assumindo que
temos que
U ∗ = V UV † , (6.49)
λ a∗ = −V λ a V † , (6.50)
usando as λ a ’s explicitamente temos que
λ a∗ = s a λ a ,
231

logo
⎧
⎨ +, a = 1, 3, 4, 6, 8
s a =
⎩ −, a = 2, 5, 7
−s a λ a = V λ a V † , (6.51)
e não assumimos soma nos índices repetidos. As relações de comutação e
anticomutação são invariantes sob a troca de λ → V λV † , e pela Eq. (6.51)
temos
−s a s b s c d abc = d abc . (6.52)
Usando os valores das d’s na representação fundamental e a definição de s a ,
vemos que a Eq. (6.52) não tem solução para d ≠ 0. Isto confirma o que já
dissemos antes: a representação U(ou 3) é diferente da U ∗ (ou 3 ∗ ).
6.4 Exercícios
1. Verifique que as rotações em 2 dimensões, ⃗x ′ = R(θ)⃗x, formam um
grupo com
⎛
R(θ) = ⎝ cos θ
sin θ
− sin θ
cos θ
2. Mostre que o tensor de posto (1, 1)
⎧
⎨
δa i 1 se i = a
=
⎩ 0 i ≠ a
é invariante sob tranformações de SU(3).
3. Mostre que também para SU(3)
⎧
⎪⎨
1 permutações pares dos índices
ɛ ijk = −1 permutações ímpares dos índices
⎪⎩
0 dois ou três índices iguais
são as componentes de um tensor de posto (3, 0), invariante.
⎞
⎠
232

4. Analogamente ao exercício anterior, sendo que ɛ ijk são as componentes
de um tensor de posto (0, 3) de SU(3).
5. Verifique as identidades de Jacobi
[λ a , [λ b , λ c ]] + [λ b , [λ c , λ a ]] + [λ c , [λ a , λ b ]] = 0
e com elas verifique que
f ab ′ bf ceb ′ + f cb ′ bf eab ′ + f eb ′ bf acb ′ = 0.
233

Capítulo 7
O Modelo de Quarks
7.1 Introdução
Vamos revisar rapidamente as propriedades dos bárions e mésons conhecidos
na década dos anos 1960 e com os quais foram propostas as simetrias
unitárias, o caminho do octeto e o modelo de quarks.
7.2 Bárions e Mésons
Vamos considerar propriedades gerais dos bárions e dos mésons, que são as
partículas elementares que interagem fortemente. Ainda que os valores dos
parâmetros estejam atualizados, vamos nos limitar aqui àquelas partículas
elementares que foram descobertas até a década dos 60 e com as quais foi
construido o modelo a quarks e o “eightfold way”. Partículas descobertas a
partir de 1974 serão consideradas mais adiante, no Cap. 8.
234

7.3 Bárions
Estas são as partículas elementares que possuem número bariônico igual a
1 e compartem as seguintes propriedades.
1. Interagem fortemente,
2. Têm spin semi-inteiro,
3. Decaem em cadeia até os bárions mais leves: prótons e nêutrons,
7.3.1 Os núcleons: n, p
Uma evidência de que os núcleons eram partículas com estrutura é o fato
que eles têm a momentos magnéticos anômalos
µ total
p = 1 + µ p = 2.79284739 ± 0.00000006 µ N ,
µ total
n = µ n = −1.9130428 ± 0.0000005 µ N ,
onde µ N é o magneton nuclear, µ N = e/2m p . O próton parece ser estável
(o número bariônico, como já foi visto no Cap. 3, é conservado por todas as
interações conhecidas até agora) mas o nêutron livre decai, n → pe −¯ν e , com
uma vida média de
τ n = 887.0 ± 3.5 s,
cτ n = 2.659 × 10 8 km.
A vida média do nêutron é grande em parte porque o espaço de fase disponível
é pequeno, ou seja, porque a diferença de massa entre o nêutron e o próton
é pequena, e também porque a interação responsável pelo decaimento é a
intereção fraca. A constante de acoplamento no decaimento n → pe −¯ν, é
g A /g V = −1.2573 ± 0.0028, como foi visto no Cap. 5. De fato, as massas do
próton e do nêutron são, respectivamente:
m p = 938.27231 ± 0.00028 MeV,
235

m n = 939.56563 ± 0.00028 MeV.
Uma quantidade medida diretamente é a diferença:
m n − m p = 1.293318 ± 0.000009 MeV.
O sinal da ultima igualdade ainda é um mistério. Por que o próton tem uma
massa menor que a do neutron se este não sente a interação eletromagnética?
7.3.2 O híperon-Λ 0
Esta partícula elementar foi uma das que produziram os eventos-V descoberto
no fim dos anos 1950. O conteúdo de quarks do híperon é uds, e tem
os seguintes números quânticos: I(J P ) = 0( 1 2
+ ) e estranheza S = −1. 1 Os
outros parâmetros fundamentais de híperon-Λ 0 são:
m Λ = 1115.684 ± 0.006 MeV,
τ Λ = (2.632 ± 0.020) × 10 −10 s,
cτ = 7.89 cm,
µ Λ = −0.613 ± 0.004 µ N .
Os modos de decaimento principais são
com fração BR = (63.9 ± 0.5) % e, 2
Λ 0 → p + π − ,
Λ 0 → n + π 0 ,
com BR = (35.8 ± 0.5) %. Os decaimentos em nγ, pπ − , pe −¯ν e e pµ −¯ν µ têm
frações da ordem de 10 −3 a primeira, e 10 −4 as três últimas.
1 I é o isospin, J o spin e P a paridade intrínseca.
2 A fração BR é definida como a razão entre a largura do decaimento dado com relação
à largura total, i.e., BR ≡ Γ i/Γ.
236

7.3.3 Os híperons-Σ
• O Σ + (uus) 3 tem estranheza S = −1 e números quânticos I(J P ) = 1( 1 +
2 ).
Os parâmetros fundamentais são
m Σ + = 1189.37 ± 0.07 MeV,
τ Σ + = (0.799 ± 0.004) × 10 −10 s,
cτ = 2.396 cm,
µ Σ + = 2.458 ± 0.010 µ N .
Os modos de decaimento principais são em pπ 0 e nπ + com BR =
51.57 ± 0.30, 48.30 ± 0.30 %, respectivamente. Outros decaimentos como
pγ, nπ + γ, Λe + ν e têm BR da ordem de 10 −3 , 10 −4 , 10 −5 , respectivamente.
Decaimentos que satisfazem a regra ∆Q = ∆S ou aqueles processos de
correntes neutras, que violam o sabor, serão considerados em outro capítulo.
• Σ 0 (uds), com S = −1 e I(J P ) = 1( 1 +
2 ). Na verdade, J P não tem sido
medida mas assume-se que seja o mesmo que para Σ + e Σ − . Os parâmetros
fundamentais são
m Σ 0 = 1192.55 ± 0.08 MeV,
τ Σ 0 = (7.4 ± 0.7) × 10 −20 s,
cτ = 2.22 × 10 −9 cm,
m Σ − − m Σ 0 = 4.89 ± 0.08 MeV,
m Σ 0 − m Λ = 76.92 ± 0.10 MeV,
|µ(de transição )| = 1.61 ± 0.08 µ N .
3 A partir de agora, sempre que possível colocaremos o conteú do de quarks de uma
partícula ente parênteses.
237

O modo de decaimento dominante (∼ 100 %) é
Σ 0 → Λ + γ.
• Σ − (dds) tem S = −1 e I(J P ) = 1( 1 +
2 ) e os seguintes parâmetros
fundamentais:
m Σ − = 1197.436 ± 0.033 MeV,
τ Σ − = (1.479 ± 0.011) × 10 −10 s,
cτ = 4.43 cm,
µ Σ − = −1.157 ± 0.025 µ N ,
m Σ − − m Σ + = 8.07±, 0.08 MeV.
O modo de decaimento dominante é em nπ − e com BR = (99.848±0.005)%.
A vida média dos Σ ± indica que eles devem decair pelas mesmas interações
que o Λ 0 .
7.3.4 Os cascatas-Ξ
• Ξ 0 (uss) tem S = −2 e I(J P ) = 1 2 ( 1 +
2 ) e os parâmetros fundamentais são:
m Ξ 0 = 1314.9 ± 0.6 MeV,
τ Ξ 0 = (2.90 ± 0.09) × 10 −10 s,
cτ = 8.71 cm,
µ Ξ 0 = −11.250 ± 0.014 µ N .
O decaimento principal (∼ 100 %) é em Λπ 0 .
• Ξ − (dss) também tem S = −2 e I(J P ) = 1 2 ( 1 +
2 ) com
m Ξ − = 1321.32 ± 0.13 MeV,
τ Ξ − = (1.639 ± 0.015) × 10 −10 s,
238

cτ = 4.91 cm
µ Ξ − = −0.679 ± 0.031 µ N .
O decaimento principal (∼ 100 %) é em Λπ − .
Essas partículas elementares chamam-se “cascatas” pelos decaimentos
Ξ − → Λ 0 +π −
p + π −
Ξ 0 → Λ 0 +π 0
p + π − .
7.3.5 Omega: Ω −
Esta partícula elementar tem S = −3 e I(J P ) = 0( 3 +
2 ). J P ainda não foi
medido. O valor atribuído é uma predição do modelo a quarks. Neste caso
temos
m Ω = 1672.45 ± 0.29 MeV,
τ Ω = (1672.43 ± 0.012) × 10 −10 s,
cτ = 2.46 cm
Os modos de decaimento principais são em ΛK − e BR = (67.8 ± 0.7) % e
em Ξ 0 π − com BR = (23.6 ± 0.7) %.
Os bárions considerados acima e suas ressonâncias foram descobertos
até 1974. Todo o esquema de classificação baseado nas simetrias unitárias
SU(3) foi formulado com eles. Em 1974 e 1976 foram descobertos novos
quarks: o c (charm) e o b (bottom). Os bárions com c e b serão considerados
mais adiante.
239

7.4 Os mésons pseudoescalares
Em 1947 foi descoberto o píon confirmando as idéias de Yukawa, que serão
discutidas mais adiante, de que as forças nucleares são mediadas por quantas
pesados com número bariônico zero. Depois dos píons foram descobertos os
káons e outras partículas elementares, hoje conhecidas com o nome genérico
de mésons. Todas elas compartilham a propriedade de ter spin zero e paridade
intrínseca ímpar (o próton, o nêutron, e o Λ 0 são definidos com paridade
positiva).
7.4.1 Os píons
Os píons são as partículas elementares mais leves que interagem fortemente.
As reações observadas do tipo
p + p → d + π + ,
mostram que os píons, assim como os fótons, podem ser criados isoladamente.
• Os píons carregados, π ± (ud) com S = 0 e I G (J P ) = 1 − (0 − ), onde
introduzimos um novo número quântico, a G-paridade, que será explicado
posteriormente. Os parâmetros fundamentais dos píons são:
m π ± = 139.56995 ± 0.00035 MeV,
τ π ± = (2.6030 ± 0.0024) × 10 −8 s,
cτ = 7.804 m,
m π ± − m µ ± = 33.9092 ± 0.0004 MeV.
O modo de decaimento dominante (R = 99.98782 ± 0.00014) % é em µν.
240

• O píon neutro, π 0 (uū, d ¯d), tem S = 0 e I G (J P C ) = 1 − (0 −+ ). Note que,
neste caso, damos a C-paridade pois, como vimos no Cap. 3, os píons neutros
são autoestados da conjugação da carga. Seus parâmetros fundamentais são:
m π 0 = 134.9764 ± 0.0006 MeV,
τ π 0 = (8.4 ± 0.6) × 10 −17 s,
cτ = 2.5 × 10 −6 cm,
m π ± − m π 0 = 4.5936 ± 0.0005 MeV.
O modo de decaimento dominante e BR = (98.798 ± 0.032) % é em 2γ.
7.4.2 Os mésons-K
• Os káons carregados, K ± têm o seguinte conteúdo de quarks: K + (u¯s), S =
+1, e K − (ūs), S = −1 e com I(J P ) = 1 2 (0− ). Os parâmetros fundamentais
são:
m K ± = 493.677 ± 0.016 MeV,
τ K ± = (1.2371 ± 0.0029) × 10 −8 s,
cτ = 370.9 cm.
Na tabela abaixo mostram-se os decaimentos principais e as respectivas
taxas, BR(%).
Os decaimentos em π 0 µ + ν µ , e π 0 e + ν e denotam-se usualmente como K µ3
e K e3 , respectivamente. Os modos de decaimento do K − são os conjugados
da carga dos de cima.
• Os káons neutros são K 0 (d¯s) e
¯ K0 ( ¯ds) com S = −1, +1 respectivamente.
Formam um par partícula-antipartícula. A massa é m K 0 =
497.672 ± 0.031 MeV. Na verdade, como vimos no Cap. 5, os káons neutros
241

Decaimento BR %
µ + ν µ 63.51 ± 0.18
eν e (1.55 ± 0.007) × 10 −5
π + π + π − 5.59 ± 0.05
π + π 0 π 0 1.73 ± 0.04
π 0 µ + ν µ 3.18 ± 0.08
π 0 e + ν e 4.82 ± 0.06
Tabela 7.1: Taxas dos decaimentos dos káons K ± .
são uma mistura 50 % de K S e 50 % de K L . A diferença de massa entre
eles e os káons carregados é
m K 0 − m K ± = 3.995 ± 0.034 MeV.
Sabemos também que os káons K 0 , ¯ K0 não seguem a lei do decaimento
exponencial. Os estados que seguem essa lei são os K S e K L . A seguir, os
parâmetros fundamentais do K S , com I(J P ) = 1 2 (0− ):
τ S = (0.8926 ± 0.0012) × 10 −10 s,
cτ = 2.676 cm.
Os modos de decaimento principais são π + π − e π 0 π 0 com taxas de 68.61 ±
0.28 % e 31.39 ± 0.28 %, respectivamente.
Para o K L com I(J P ) = 1 2 (0− ) temos:
τ L = (5.17 ± 0.04) × 10 −8 s,
cτ = 15.49 m.
A diferença de massa, por certo um dos número mais pequenos da natureza,
é
m KL − m KS = (3.522 ± 0.016) × 10 −12 MeV.
242

Decaimento BR %
π 0 π 0 π 0 21.6 ± 0.8
π + π − π 0 12.38 ± 0.21
π ± µ ∓ ν µ 27.0 ± 0.4
π ± e ∓ ν e 38.7 ± 0.5
Tabela 7.2: Decaimento principais dos káons neutros.
Os modos de decaimento aparecem na tabela acima.
Os decaimentos π ± l ∓ ν l denotam-se como K µ3 e K e3 segundo l = µ, e
respectivamente. Os fenômenos de regeneração, oscilação da estranheza e
violação de CP foram considerados no Cap. 5. Como os píons, os mésons-K,
se acoplam fortemente com os bárions mas, como são mais massivos, o seu
papel na mediação da interação forte é menos importante que o dos píons a
baixas energias.
Não é possível determinar o spin dos méson-K pela reação
K − + p → π − + p,
e sua inversa, porque esta reação é proibida pela conservação da estranheza.
As reações que ocorrem são, por exemplo,
K − + p → π − + Σ + ,
e
K − + n → π − + Λ 0 ,
que têm reações inversas mas não podem ser estudadas no laboratório pela
curta vida média dos Σ + e Λ 0 , que é da ordem de 10 −10 s. O spin dos méson-
K pode, no entanto, ser determinado pelos decaimentos característicos. Isso
não acontece com a determinação da paridade. Em 1953, R.H. Dalitz desen-
243

volveu técnicas de análise de dados, que permitem determinar o quadrado
do elemento de matriz, que são os chamados Dalitz plots.
7.4.3 O méson-η 0
Foi descoberto em 1961 na reação
π + + d → p + p + π + + π − + π 0 .
É uma combinação dos quarks uū, d ¯d, s¯s, com I G (J P C ) = 0 + (0 −+ ).
parâmetros fundamentais são
Os
m η = 548.8 ± 0.6 MeV,
Γ total = 1.19 ± 0.12 keV.
Os modos de decaimento são γ e 3π 0 , com taxas de 38.9±0.5 % e 31.9±0.4 %.
Temos então 8 partículas com o mesmo spin-paridade. Veremos futuramente
como isso se encaixa numa representação das simetrias unitárias.
Outras partículas que foram importantes na classificação de SU(3) foram
os mesons η ′ , ω, ρ. Suas propriedades podem ser encontradas no PDG [Pdg06].
244

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