Aula 7 – Estabilidade de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Aula 7 – Estabilidade de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Estabilidade BIBO – (Bounded Input-Bounded Output)
Estabilidade Assintótica Interna
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Casos Especiais do Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Introdução
No projeto de sistemas de controle realimentados, três tipos de especificações são normalmente
utilizadas para medida de desempenho do referido sistema, que são: resposta transitória, erro de regime
permanente e estabilidade.
Destas três especificações, sem dúvida, a estabilidade detém um papel de maior importância. Se o
sistema em malha-fechada apresentar características de instabilidade, requisitos de resposta transitória e
medidas de erro de regime passam a ter importância secundária. Embora existam muitas definições de
estabilidade, a definição apresentada a seguir esta relacionada a classe de sistemas lineares e invariantes no
tempo. A resposta y(t) de sistemas dinâmicos pertencentes a esta classe, conforme (7.1), é composta pela
soma das respostas forçadas e natural, i.e.
y(t)
= y (t) y (t)
(7.1)
forçada +
Com base em (7.1), apresenta-se as seguintes definições de estabilidade, instabilidade e estabilidade
marginal para a classe de sistemas lineares e invariantes no tempo:
• Um sistema pertencente a esta classe é dito estável se sua resposta natural tender a zero quando o
tempo tender ao infinito;
• Um sistema pertencente a esta classe é dito instável se sua resposta natural cresce ilimitadamente
quando o tempo tender ao infinito;
• Um sistema pertencente a esta classe é dito marginalmente estável se sua resposta natural permanecer
oscilando indefinidamente com amplitude constante quando o tempo tender ao infinito.
Em situações práticas, não é direto separar a resposta natural da resposta completa para proceder a
análise de estabilidade. Neste caso generaliza-se as definições apresentadas anteriormente considerando
também o comportamento da resposta forçada. Portanto, as definições anteriores podem ser rescritas
observando somente o comportamento dos sinais de entrada e de saída do sistema (sem levar em conta o
comportamento das variáveis internas do mesmo). Neste caso, observa-se a variável de saída do sistema
quando este é sujeito a um sinal de entrada limitado (Bounded Input-Bounded Output - BIBO Stability), isto
é:
• Um sistema linear e invariante no tempo é dito estável no sentido BIBO se e somente se para todo o
sinal de entrada u(t) limitado a saída y(t) do sistema permanecer limitada para o tempo tendendo ao
infinito;
• Um sistema linear e invariante no tempo é dito instável no sentido BIBO se e somente se para qualquer
sinal de entrada u(t) limitado a saída y(t) do sistema crescer ilimitadamente para o tempo tendendo ao
infinito;
natural
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• Um sistema linear e invariante no tempo é dito marginalmente estável no sentido BIBO se e somente se
para determinados sinais de entrada u(t) limitados, a variável saída y(t) do sistema crescer
ilimitadamente para o tempo tendendo ao infinito.
O último caso pode ser ilustrado considerando a classe de sistemas lineares invariantes no tempo que
possui um par de pólos complexos puros. Para um sinal de entrada senoidal de amplitude limitada com
freqüência igual a dos pólos complexos puros, a variável de saída deste sistema crescerá ilimitadamente.
Contudo, qualquer outro sinal de entrada limitado, quando aplicado a este sistema resultará em um sinal de
saída limitado.
Estabilidade BIBO - (Bounded Input-Bounded Output)
Um sistema é dito ter estabilidade BIBO, conforme definido na introdução anteriormente
apresentada, se para qualquer sinal limitado aplicado entrada do sistema implicar sinal de saída também
limitado (independente do que ocorre com as variáveis internas do sistema). Para formalizar a definição de
estabilidade BIBO, considera-se a resposta ao impulso h(t) de um sistema linear e invariante no tempo
sujeito a um sinal de entrada u(t), cuja variável de saída é representada pela variável y(t), i.e.
∞
∫
−∞
y (t) = h( τ)u(t
− τ)
dτ
(7.2)
Se u(t) é limitado, então existe uma constante M tal que |u(t)|≤M

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100000
H(s) = (7.5)
s + 1000
Admita também que a influência do sinal de saída do alto-falante no microfone pode ser
modelado por um ganho K que depende da distância entre física entre os dois elementos.
Considerando K=0.0, 0.01 e 1, verificar se este sistema é BIBO estável.
Estabilidade Assintótica Interna
Um outro conceito de estabilidade devido a Lyapunov é que a variável de saída e todas as
variáveis internas do sistema sob análise nunca apresentem valores ilimitados e, adicionalmente convirjam
para zero com o tempo tendendo a infinito, admitindo um conjunto de condições iniciais suficientemente
pequenos. Para o caso específico de sistemas lineares invariantes no tempo assume-se, a título de
ilustração, um sistema pertencente a este classe com a seguinte equação característica:
s
n
+ a s
n−1
1
+ a
n−2
2s
+ L + a = 0
(7.6)
Assuma, por conveniência, que as raízes {p i } da equação característica são reais ou complexas
porém distintas. Note que (7.6) é a equação do denominador da função de transferência do sistema
n
G(s) =
Y(s)
U(s)
b 0s
=
s
n
m
+ b s
+ a s
m−1
1
n−1
1
+ L+
b
+ L+
a
n
m
=
K
m
∏
i=
1
n
∏
j=
1
(s − z
(s − p
j
i
)
)
m ≤ n
(7.7)
A resposta natural deste sistema pode ser escrita na seguinte forma:
n
∑
j
y (t) = K e
(7.8)
j=
1
p t
j
onde {p j } são as raízes da equação (7.6) e {K i } depende do conjunto de condições iniciais. O sistema será
dito estável se e somente se todo o termo de (7.8) tender a zero com t→∞:
p t
e j → 0 para todo p .
Isto ocorrerá se todos os pólos do sistema estiverem estritamente localizados no semiplano esquerdo do
plano s, onde Re{p j } < 0. Isto é denominado de estabilidade assintótica interna que um sistemas lineares
e invariantes no tempo é determinada diretamente pela localização dos pólos no plano s.
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Existem várias maneiras de se obter informações relacionadas a localização das raízes do
polinômio do denominador de (7.7). Entretanto, para que seja verificada a estabilidade assintótica interna
de sistemas lineares invariantes no tempo basta o conhecimento da existência de pelo menos uma das raízes
de (7.7) com parte real maior que zero.
A condição necessária para que (7.7) apresente todas suas raízes no semiplano esquerdo do plano
s é que todos os coeficientes {a j } sejam positivos. Esta condição é verificada por inspeção uma vez que
(7.7) é composta por termos de primeira e segunda ordem, do tipo s+p e s 2 +bs+c, associados a pólos reais
simples e pólos complexos conjugados de (7.7). Se algum destes coeficientes for nulo ou negativo implica
raízes de (7.7) localizadas fora do semiplano esquerdo do plano s. Contudo, condições de suficiência que
garantem a existência de pólos de (7.7) fora do semiplano esquerdo do plano s foram propostas em dois
trabalhos independentes propostos por Routh (1874) e Hurwitz (1895). O método proposto por Routh
j
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requer o cálculo de uma matriz cujos elementos são funções dos coeficientes do polinômio característico do
sistema que se deseja determinar a estabilidade. Para que o sistema possua todos os pólos localizados no
semiplano esquerdo do plano s, os elementos que compõe a primeira coluna desta matriz deverão
apresentar o mesmo sinal. Para exemplificar o método de estabilidade proposto por Routh-Hurwitz,
consideremos os seguinte sistema apresentado na Figura 7.2, cujos coeficientes do denominador são
utilizados para composição da Tabela 7.1.
U(s)
a
N(s)
4 3 2
4s
+ a 3s
+ a 2s
+ a1s
+ a 0
Y(s)
Fig. 7.2: Sistema empregado para exemplificar o método de Routh-Hurwitz.
s 4 a 4 a 2 a 0
s 3 a 3 a 1 0
a
a
4
a
a
2
s 2 3 1
3
− = b1
= b 2
a 3
a 3
s 1 1 2
= c1
b1
a
3
a
1
a
4
a
0
a 0
a 3 0
− − = 0
a
a
3
b b
b1
0
b1
0
− − = 0 − = 0
b
b
s 0 1
= d1
c1
b
1
b
2
b
1
c 0
c1
0
c1
0
− − = 0 − = 0
c
c
Tab. 7.1: Tabela de Routh completa para o sistema apresentado na Fig. 7.2.
A análise da existência de raízes do denominador do sistema apresentado na Fig. 7.2 localizadas
fora do semiplano esquerdo do plano s se faz pela verificação do sinal dos termos que compõe a primeira
coluna da Tabela 7.1, isto é, dos sinais dos termos a 4 , a 3 , b 1 , c 1 e d 1 . Se todos estes termos apresentarem
sinais iguais, significa que todas as raízes da equação característica do sistema sob análise estão no
semiplano esquerdo do plano s e o sistema é dito absolutamente estável. Se houver algum termo
pertencente a primeira coluna da Tabela 7.1 que apresente sinal diferente dos demais, significa que existe
pelo menos uma das raízes da equação característica do sistema sob análise no semiplano direito do plano
s, sendo o número total de raízes no semiplano direito de plano s igual ao número de trocas de sinal
ocorridas entre os termos da primeira coluna da Tabela 7.1.
Suponha o sistema de controle apresentado na Figura 7.3. Calcule o posicionamento dos pólos do
sistema operando em malha-fechada admitindo duas situações distintas para o ganho do
controlador, (a) K=3 e (b) K=7.
1
1
0
0
a
a
b
4
3
1
3
1
1
0
0
0
R(s) + E(s)
-
K
controlador
U(s)
1
s (s + 1)(s + 2)
processo
Y(s)
Fig. 7.3: Sistema de controle realimentado com controlador do tipo proporcional.
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Para os dois casos avalie a estabilidade do sistema empregando o critério de estabilidade de
Routh-Hurwitz.
Casos Especiais do Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Existem dois casos especiais que podem ocorrer quando se utiliza o critério de estabilidade de
Routh-Hurwitz. O primeiro deles está relacionado a existência de um termo nulo na primeira coluna da
tabela de Routh. O segundo caso ocorre quando a linha inteira da tabela de Routh é constituída de zeros.
No primeiro caso, uma das soluções usuais é a substituição do elemento da primeira coluna cujo
valor é zero, por um valor infinitesimal ε que pode ser considerado negativo ou positivo. O procedimento
para formação da tabela de Routh permanece inalterado, levando em conta a existência do ε para a
formação das linhas restantes.
Alternativamente, pode-se rescrever o polinômio característico por um polinômio que apresente
raízes recíprocas, que conservarão as regiões das raízes do polinômio original e possivelmente, a tabela de
Routh associada ao polinômio recíproco não apresentará nenhum zero em sua primeira coluna. Considere
então um sistema linear e invariante no tempo em cujos pólos são raízes da seguinte equação:
n n−1
s n 1
1 0
+ a − s + L + a s + a = 0
(7.9)
Se em (7.9) a variável s for substituída por uma variável auxiliar 1/d, então o novo polinômio terá raízes
recíprocas ao polinômio original, i.e.
que pode ser rescrito na forma
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ d ⎠
n
n−1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
+ a n−1
⎜ ⎟ + L + a1⎜
⎟ + a 0 = 0
(7.10)
⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠
n−1
n
1+
a n −1d
+ L + a1d
+ a 0d
= 0
(7.11)
Comparando o polinômio original (7.9) com o seu polinômio apresentado em (7.11), conclui-se
que é bastante simples a obtenção do polinômio recíproco, bastando rescrever os coeficientes do polinômio
original na ordem inversa.
Empregando o critério de Routh-Hurwitz, determinar a estabilidade de um sistema que apresenta
a seguinte função de transferência em malha-fechada:
T(s) =
s
5
+ 2s
4
+ 3s
10
3
+ 6s
2
+ 5s + 3
Verifique se este sistema apresenta, na formação da tabela de Routh, um elemento nulo na
primeira coluna, e caso seja necessário utilize os dois métodos apresentados anteriormente.
O segundo caso especial, relacionado a uma linha inteira de zeros na formação da tabela de Routh,
tem um tratamento diferente daquele apresentado anteriormente, em que apenas um dos elementos da
primeira coluna da tabela de Routh apresentava valor nulo. O procedimento adotado para este caso resumese
a substituir a linha composta por todos os elementos zero, pela derivada com relação a s do polinômio
formado pelos coeficientes apresentados na linha anterior. De forma a ilustrar este caso especial, considerase
a seguinte função de transferência:
10
T(s) = (7.12)
5 4 3 2
s + 7s + 6s + 42s + 8s + 56
A Tabela 7.2 é formada para verificação da existência e do número de pólos de (7.12) localizadas
no semiplano direito do plano s.
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s 5 1 6 8
s 4 7 42 56
s 3 0 0 0
s 3 28 84 0
s 2 21 56 0
s 1 9.33333 0 0
s 0 56 0 0
Tab. 7.2: Tabela de Routh completa para o sistema descrito em (7.12)
Observa-se, através da Tabela 7.2 que a terceira linha é originalmente constituída por zeros, sendo
representada novamente. A nova representação foi obtida utilizando os coeficientes da linha anterior, neste
caso a segunda linha, para composição do polinômio (7.13), i.e.
4
2
P ( s)
= 7s
+ 42s
+ 56
(7.13)
Os coeficientes da derivada do polinômio (7.13) com relação a s são então empregados para a
determinação dos termos de uma nova linha na tabela de Routh que substituirá a linha composta
inteiramente por zeros, ou seja
dP ( s)
= 28s
3 84s
ds
+
(7.14)
Neste caso, os coeficientes de (7.14) foram utilizados na composição da linha utilizada para substituir a
terceira linha, composta inteiramente por zeros, calculada a partir dos coeficientes originais do polinômio
característico de (7.12).
Exercícios:
7.1) Para o circuito elétrico representado na Figura 7.4 prove analiticamente a estabilidade do sistema
V o (s) / V i (s) para um sinal de entrada periódico de amplitude limitada. Obs.: Considere as condições
iniciais nulas e use o critério de estabilidade BIBO definido por:
R
∞
∫
−∞
| h( τ)
| dτ
< ∞
V (t)
i
+
-
i(t)
L
Vo(t)
Fig. 7.4: Circuito elétrico tipo RL
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7.2) Considerando o sistema de controle da Figura 7.5, onde K é um numero real positivo, determine a
faixa de ganho em que o sistema apresenta comportamento estável :
Fig. 7.5: Sistema de controle realimentado empregado no exercício 7.2.
Considere o processo G(s) especificado por :
i.
G(s) =
8
(s + 2)(s + 4)
ii.
iii.
32
G(s) =
s(s + 1)(s + 16)
(s + 2)
G(s) =
(s − 0.5)(s + 1)(s + 16)
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