Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

Resumo
Sinais e Sistemas
Sistemas Lineares e Invariantes no
Tempo
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
SLITs discretos.
O somatório de convolução.
SLITs contínuos.
A convolução contínua.
Propriedades dos SLITs.
Representação por equações diferenciais.
Representação por equações às diferenças.
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.1/32
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.2/32
Representação de Sequências
Resposta ao Impulso
Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma
soma de impulsos unitários escalados e deslocados no
tempo:
x(n)=
+∞∑
k=−∞
x(k)δ(n−k)
Resposta de um sistema a um impulso localizado no
instante k:
h k (n)=S (δ(n−k)),∀ n
Representação da entrada como uma soma de impulsos:
x(n)=
+∞∑
k=−∞
x(k)δ(n−k)
Saída do sistema:
⎛
y(n)=S⎜⎝
+∞∑
k=−∞
⎞
x(k)δ(n−k) ⎟⎠
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.3/32
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.4/32

Sistema Linear
y(n)=
⎛
y(n)=S⎜⎝
+∞∑
SLITs
+∞∑
k=−∞
⎞
x(k)δ(n−k) ⎟⎠
x(k)S (δ(n−k))=
+∞∑
k=−∞
k=−∞
Invariância Temporal:
h k (n)=h(n−k)−→ y(n)=
+∞∑
k=−∞
x(k)h k (n)
x(k)h(n−k)
Somatório de Convolução
y(n)= x(n)∗h(n)=
+∞∑
k=−∞
x(k)h(n−k)
Num SLITdiscreto, conhecida a sua resposta impulsiva é
possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada
através do somatório de convolução.
Realização gráfica de h(n−k)=h(−(k−n))
1. reflectir h(k) em relação à origem para obter h(−k);
2. deslocar a origem da sequência reflectida para k=n.
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Sinais e Sistemas – p.5/32
Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas – p.6/32
Convolução Gráfica
Propriedades da Convolução
z(n)= x(n)∗y(n)=
...
+∞∑
m=−∞
0 1 2 3 4 5 6 7
3
4
4
3
x(m)y(n−m)
8 9
x(m)
...
m
y(n−m)
8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 m
...
A operação de convolução é comutativa:
x(n)∗h(n)=h(n)∗ x(n)
A operação de convolução é associativa:
x(n)∗(h 1 (n)∗h 2 (n))=(x(n)∗h 1 (n))∗h 2 (n)
A operação de convolução é distributiva em relação à
adição:
...
1
2
2
1
z(n)
...
x(n)∗(h 1 (n)+h 2 (n))= x(n)∗h 1 (n)+ x(n)∗h 2 (n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
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Representação de Sinais Contínuos
Usando a propriedade da amostragem do impulso:
x(t)δ(t−t 0 )= x(t 0 )δ(t−t 0 )
é possível representar qualquer sinal contínuo na forma do
integral de impulsos:
x(t)
= x(t)
=
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
δ(t−τ)dτ
x(t)δ(t−τ)dτ
x(τ)δ(t−τ)dτ
Sistemas Contínuos
Resposta de um sistema a um impulso localizado no
instanteτ:
h τ (t)=S (δ(t−τ)),∀t∈
Representação da entrada como impulsos:
Saída do sistema:
x(t)=
y(t)=S
∫ +∞
−∞
(∫ +∞
−∞
x(τ)δ(t−τ)dτ
)
x(τ)δ(t−τ)dτ
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Sinais e Sistemas – p.10/32
Sistema Linear
y(t)=
∫ +∞
−∞
SLITs Contínuos
y(t)=S
(∫ +∞
−∞
x(τ)S (δ(t−τ)dτ)=
)
x(τ)δ(t−τ)dτ
∫ +∞
−∞
x(τ)h τ (t)dτ
Integral de Convolução
y(t)= x(t)∗h(t)=
∫ +∞
−∞
x(τ)h(t−τ)dτ
Num SLIT contínuo, conhecida a sua resposta impulsiva
é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada
através do integral de convolução.
Invariância Temporal:
h τ (t)=h(t−τ)−→ y(t)=
∫ +∞
−∞
x(τ)h(t−τ)dτ
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Convolução Gráfica
Exemplo
z(t)= x(t)∗y(t)=
...
...
∫ +∞
−∞
0 1 2 3 4 5 6 7
x(τ)y(t−τ)dτ
8 9
x( τ)
...
τ
y(t− τ)
...
10
Considere o SLIT com resposta impulsiva h(n):
h(t)=u(t)
sabendo que a sua entrada vale:
x(t)=e −at u(t), a>0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
τ
determine a saída:
z(t)
... ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t
Solução:
y(t)= x(t)∗h(t)
y(t)= 1 a (1−e−at )u(t)
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Sinais e Sistemas – p.14/32
Associação em Cascata de SLITs
Associação em Paralelo de SLITs
x(t)
✲
h 1 (t)
w(t)
✲
h 2 (t)
y(t)
✲
✲
h 1 (t)
h(t)=h 1 (t)∗h 2 (t)
x(t)
✲
h 2 (t)
✎☞ ❄ y(t) ✲
✍✌
✻
h(t)=h 1 (t)+h 2 (t)
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SLITs Com e Sem Memória
SLITs discretos sem memória:
a resposta ao impulso tem de ser um impulso:
h(n)=Kδ(n).
o somatório de convolução resume-se a um
termo: y(n)=Kx(n).
SLITs contínuos sem memória:
a resposta ao impulso tem de ser um impulso
contínuo: h(t)=Kδ(t).
o integral de convolução resume-se a: y(t)=Kx(t).
Invertibilidade de SLITs
A cascata de um SLIT com o seu inverso tem de verificar:
h(n)∗h i (n)=δ(n)
No caso contínuo:
h(t)∗h i (t)=δ(t)
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Causalidade de SLITs
Para um SLIT ser causal a sua resposta ao impulso tem
de ser causal:
No caso contínuo:
h(n)=0, para n

Estabilidade de SLITs
Resposta ao Escalão Discreto
O SLIT contínuo é estável se a resposta ao impulso for
absolutamente integrável:
∫ +∞
−∞
|h(τ)|dτ

Solução da Eq. Diferencial
Exemplo
A solução decompõe-se numa solução particular mais a
solução da equação homogénea (resposta natural do
sistema):
N∑ d k y(t)
a k = 0
dt k
k=0
A solução só fica completamente especificada dado um
conjunto de condições iniciais. Iremos assumir na maior
parte dos casos, que o sistema se encontra em repouso
no instante t 0 :
Considere o SLIT descrito pela equação diferencial:
dy(t)
dt
+ 2y(t)= x(t)
Determine y(t) sabendo que x(t) tem a forma geral:
x(t)=Ke 3t u(t)
y(t 0 )= dy(t 0)
dt
=...= dN−1 y(t 0 )
dt N−1 = 0
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Equações às Diferenças
Solução Recursiva
A contrapartida discreta das equações diferenciais são as
equações às diferenças:
N∑
a k y(n−k)=
k=0
M∑
b k x(n−k)
A solução divide-se também numa solução particular e na
solução da equação homogénea:
k=0
As equações às diferenças podem adicionalmente serem
resolvidas de forma recursiva:
y(n)= 1 ⎤
M∑
N∑
a
⎡⎢⎣ b k x(n−k)− a k y(n−k) ⎥⎦
0
k=0
Conhecidas a entrada no instante n e anteriores e as
saídas anteriores, a solução recursiva permite obter y(n).
k=1
N∑
a k y(n−k)=0
k=0
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Resposta Impulsiva Finita
Exemplo
No caso particular em que N= 0 e a 0 = 1 a saída no
instante n só depende da entrada:
y(n)=
M∑
b k x(n−k)
Neste caso a resposta ao impulso tem duração finita
(sistema FIR):
k=0
Considere a equação às diferenças:
y(n)− 1 y(n−1)= x(n)
2
Considerando que o sistema se encontra em repouso
inicial, determine a sua saída quando a entrada for:
x(n)=Kδ(n)
h(n)=
{
bk 0≤n≤ M
0 no caso contrário
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Diagrama de Blocos (Discreto)
Diagrama de Blocos (Contínuo)
x(n)
b
✲
✎☞
✲
✍✌
✻
y(n)
✲
❄
x(t)
b/a
✲
✎☞
✲
✍✌
✻
y(t)
✲
❄
D
D
−a
✛
y(n−1)
−1/a
✛
dy(t)
dt
y(n)=bx(n)−ay(n−1)
dy(t)
dt
= bx(t)−ay(t)
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