Sobre o teorema de classificação das cônicas pela ... - UNIFAFIBE

Revista Fafibe On Line — n.3 — ago. 2007 — ISSN 1808-6993
www.fafibe.br/revistaonline — Faculdades Integradas Fafibe — Bebedouro – SP
Sobre o teorema de classificação das cônicas pela análise
dos invariantes
(About the conics classification theorem for the analysis of the
invariants)
Marco Donisete de Campos 1 ; Gutemberg Duques dos Santos 2
1 Universidade Federal de Mato Grosso – Sinop – MT
mcampos@ufmt.br
2 Instituto Universitário do Araguaia – UniAraguaia– Pontal do Araguaia – MT
gutduques@hotmail.com
Abstract. In this work, the conics classification theorem for the analysis of the
invariants, proposed by OLIVA (1973), is demonstrated in details intermediated by
illustrative examples of each case.
Keywords. conics; classification; invariants.
Resumo. Neste trabalho, o teorema de classificação das cônicas pela da análise dos
coeficientes, proposto por OLIVA (1973), é demonstrado em detalhes, intermediado
por exemplos ilustrativos.
Palavras-chave. cônicas; classificação, invariantes.
1. Estudo Geral das Cônicas
1.1 Introdução
A resposta à maioria dos problemas matemáticos depende da solução de equações do
tipo f(X) = 0. Dentro dos problemas de classificação local de funções diferenciáveis, uma
classe interessante e importante é a das cônicas, cujo conjunto de zeros determina a classe de
equivalência por rotação e translação. Um fato não comum!
ρ ρ
Seja ( O,
i , j ) um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no R 2 . A equação
algébrica do segundo grau
2
2
f ( x1 , x2
) = a11x1
+ 2a12
x1x2
+ a22
x2
+ 2a13x1
+ 2a23x2
+ a33
= 0
(1)
com a ij ∈ R, determina o conjunto de pontos do plano chamado cônica, ao qual associamos a
⎛ a11
a12
a13
⎞
⎜
⎟
matriz simétrica M 3 = ⎜a12
a22
a23
⎟.
Agora, ao tomarmos um novo sistema de coordenadas
⎜
⎟
⎝a13
a23
a33
⎠
ρ
, ρ
cartesianas ortogonais ( O , e , f ), de mesma orientação que o primeiro e aplicarmos à
equação (1) o movimento de rotação e translação simultaneamente, isto é,
⎧ x1
= a1
+ cosθ
y1
− senθ
y2
⎨
, sendo − π < θ ≤ π , (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) as coordenadas de um ponto
⎩x2
= a2
+ senθ
y1
+ cosθ
y2
ρ ρ
ρ
, ρ
genérico X nos sistemas ( O,
i , j ) O , e , f , respectivamente, (a 1 ,a 2 ) as coordenadas da
e ( )
1

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ρ
ρ
nova origem em relação ao sistema ( O,
i , j ) , a cônica será representada por uma nova
equação do segundo grau:
' 2 '
' 2 '
' '
f ( y , y ) = a y + 2a
y y + a y + 2a
y + 2a
y + a 0
(2).
1 2 11 1 12 1 2 22 2 13 1 23 2 33 =
À equação (2) associamos uma nova matriz
M
'
3
⎛
⎜
a
= ⎜a
⎜
a
⎝
'
11
'
12
'
13
a
a
a
'
12
'
22
'
23
a
a
a
'
13
'
23
'
33
⎞
⎟
⎟ , que, em geral, é
⎟
⎠
diferente de M
3
.
2
Os elementos A1 = a11
+ a12, A2
= a11.
a22
− a12
e A 3 = det M 3 chamados invariantes
ortogonais da cônica, são assim denominados por serem invariantes por rotação e translação,
2
2
isto é, A1 = a11
+ a12
= a'
11+
a'
12 , A2
= a11.
a22
− a12
= a'
11 . a'
22 −a'
12 e A 3 = det M 3 = det M ' 3.
1.2 Centros de uma Cônica
Um ponto C = ( c1
, c2
) do plano é chamado centro da cônica k se, após a translação de
ρ ρ
eixos o sistema ( C,
i , j ) , a nova equação não contiver os termos lineares. Temos que se
( c , c ) são as coordenadas do ponto procurado, as equações de translação no plano, dadas
1
2
⎧ x1
= y1
+ c1
por ⎨ , quando substituídas em (1), fornecem
⎩x2
= y2
+ c2
2
2
a y + a y y + a y + a c + a c + a 2y
+ a c + a c + a 2y
+ f c , c (3).
( ) ( ) ( ) 0
11 1 2 12 1 2 22 2 11 1 12 2 13 1 12 1 22 2 23 2 1 2 =
⎧a
c
Assim, existirá o centro C se, e somente se, o sistema ⎨
⎩a12c
11 1
1
+ a
+ a
12
22
c
c
2
2
+ a
+ a
13
23
= 0
, tiver solução.
= 0
a11
a12
Se A 2 = ≠ 0 existe um único centro C = ( )
a a
c 1 , c 2 . Agora, se A 2 = 0 e as matrizes
12
22
M ⎛ a11
a12
⎞
2 =
⎜
⎟
⎝a12
a
e ⎛ a11
a12
a13
22 ⎠
⎟ ⎞
M 2 =
⎜
têm características, respectivamente, 1 e 2, então a
⎝a12
a22
a23
⎠
cônica k não possui centro. Este fato nos motiva ao seguinte resultado:
Proposição: A cônica k não possui centro se, e somente se, A 2 = 0 e A 0 .
Prova: Se não existe centro A 2 = 0 e a matriz ⎛ a11
a12
a13
⎟ ⎞
M 2 =
⎜
tem característica 2.
⎝a12
a22
a23
⎠
Resta mostrar que A 3 ≠ 0 . Se, pelo contrário, considerarmos A det 3
= M
3
= 0 , a terceira coluna
de M
3
será combinação linear das duas primeiras, i. é.,
⎛ a
⎜
⎜a
⎜
⎝a
13
23
33
3 ≠
⎞ ⎛ a11
⎞ ⎛ a12
⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ = α ⎜a12
⎟ + β⎜a22
⎟ e, em
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝a13
⎠ ⎝ a23
⎠
⎛ a13
⎞ ⎛ a11
⎞ ⎛ 12 ⎞
particular, + a
⎜
⎟ = α ⎜ ⎟ β
⎜
⎟.
Como
⎝a23
⎠ ⎝a12
⎠ ⎝a
A = 2
0 , então ⎛ a11
a12
a13
22 ⎠
⎟ ⎞
M 2 =
⎜
tem
⎝a12
a22
a23
⎠
característica 1, o que é absurdo. Reciprocamente, se A
2
= 0 e A 0 , a matriz
M ⎛ a11
a12
a13
⎞
2 =
⎜
⎟
⎝a12
a22
a
tem característica 2 e ⎛ a11
a12
23 ⎠
⎟ ⎞
⎜ tem característica 1.
⎝a12
a22
⎠
Portanto, a cônica k não possui centro se, e somente se, A 2 = 0 e A 0 .
Teorema (Classificação das cônicas pela análise dos invariantes): Seja k uma
cônica em relação ao sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Então, existe um novo
3 ≠
3
≠
2

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sistema de coordenadas cartesianas segundo o qual a cônica k ou tem equação da forma
− A
2
3
( a + a ) x + 2 y 0 , caso este em que 0
11 22
=
a11
+ a22
A e A 0 (parábola sem centro), ou tem
2 =
2 2
equação λ 1 z1
+ λ2
z2
+ f ( c1, c2
) = 0 , caso este em que a cônica tem centro λ
1
e λ
2 não nulos
simultaneamente e λ
1
e λ
2 são as raízes da equação de segundo grau
⎛a11
− λ a12
⎞
det A =
⎜
⎟ = 0 .
⎝ a12
a22
− λ ⎠
A origem do novo sistema é um dos centros (que, no caso A 2 ≠ 0
3 ≠
, é único) cujas
coordenadas em relação ao sistema original são ( c ,c 1 2)
.
Prova:
Se a cônica k possui centro, aplicando o movimento de translação à equação (1)
obtemos:
2
2
a 11 y1
+ 2a12
y1
y2
+ a22
y2
+ f ( c1,
c2
) = 0
(4)
A fim de simplificarmos ainda mais a equação (4), aplicamos um movimento de
rotação dos eixos, isto é,
⎧ y1
= cosθ
z1
− senθ
z 2
⎨
, −π
< θ ≤ π
(5)
⎩y2
= senθ
z1
− cosθ
z 2
Substituindo (5) em (4) temos, como coeficiente do termo misto, a seguinte expressão
2
2
− a senθ
cos θ + 2a
(cos θ − sen θ ) + 2a
cos θsenθ
= ( a − a ) sen 2θ
+ 2a
cos 2 , com
2 11 12
22
22 11
12 θ
a 12 ≠ 0.
π π
π
Assim, se a 11 = a22
, basta que cos 2θ = 0 e, dessa forma, 2θ = ou θ = . Logo, θ = .
2 4
4
Por outro lado, se a11 ≠ a22
, procuremos θ , − π < θ ≤ π , tal que
sen2θ
a12
a12
( a22 − a11)
sen2θ
+ 2a12
cos 2θ
= 0. Então, = − e, assim, tg2θ
= − .
cos2θ
a22
− a11
a22
− a11
Assim, qualquer que seja θ que satisfaça as condições acima, serve aos novos
propósitos.
2 2
Eliminando o termo misto, temos uma equação do tipo Az 1 + Bz 2 + f ( c1, c2
) = 0 . Daí,
⎛ A 0 0 ⎞
⎜
'
M = ⎜ 0 B 0 , sendo A
⎜
⎝ 0 0 f ( c ) ⎟⎟⎟ 1 = A + B e A 2 = A.
B . Notemos que A e B são raízes da seguinte
1,
c2
⎠
2
equação do segundo grau λ − ( A + B) λ + ( A.
B) = 0 , ou, equivalente, raízes da
⎛a11
− λ a12
⎞
equação det A =
⎜
⎟ = 0
⎝ a12
a22
− λ ⎠
2 2
Finalmente, a equação da cônica se reduz a λ 1 z1
+ λ2
z2
+ f ( c1, c2
) = 0 .
No caso em que A
2
= 0 e A
3
≠ 0 temos, pela proposição, que a cônica k não possui
centro. A fim de eliminarmos o termo misto da equação da cônica k, aplicamos um
movimento de rotação definido na Eq. (5) e obtemos uma equação do tipo
⎛b11
0 b13
⎞
⎜
⎟
2 2
'
b 11 y1
+ b22
y2
+ 2b13
y1
+ 2b23
y2
+ a33
= 0 à qual associamos a matriz M 3 = ⎜ 0 b22
b23
⎟ , sendo
⎜
⎟
⎝b13
b23
b33
⎠
'
A 1 = b11
+ b22
, A 2 = b11
. b22
e A 3 = det M 3 .
Como, por hipótese, A 2 = 0 então b 11 b22
= 0 e, daí, b 11 = 0 e b 22 ≠ 0 ou b 22 = 0 e b 11 ≠ 0.
2
i) Se b 11 = 0 e b 22 ≠ 0 então A = −b
( b ) 0 e b 0 . Obtemos
3 22 13 ≠
13 ≠
3

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⎛
2
2
2b y b ⎞ ⎛
2
1 b ⎞
b 22 y 2 + 2b13y1
+ 2b 23y
2 + a 33 = 0 ⇒ b
⎜ 2 23 2 ⎛ 23 ⎞
⎛ ⎞
23
22 y 2 + +
⎟
+ 2b ⎜
13 y1
+ ⎜a
⎟
33 − ⎟ = 0
⎜ b
⎜
22 b
⎟
.
⎟ ⎜
22
2b
13 b
⎟
⎝ ⎝ 22
⎝
⎝ ⎠ ⎠
⎠⎠
⎛
2
1
⎞
Efetuando a seguinte translação de eixos,
⎜
b 23
z = + − ⎟
1 y1
a
33 e
2b
13 ⎝
b 22 ⎠
b23
2
z 2 = y2
+ chegamos à equação b
22
z2
+ 2b13z1
= 0 , que representa uma parábola.
b
22
ii) Se b 22 = 0 e b 11 ≠ 0 então A b b 2
3 = − 11 23 ≠ 0 ⇒ b 23 ≠ 0 . Obtemos a equação
⎛
2
2
2
⎞ ⎛
2
1
⎞
23
b11 y1
+ 2b13
y1
+ 2b23
y2
+ a33
= 0 ⇒ ⎜ 2 b13
y1
⎛ b23
⎞ ⎟
⎛ ⎞
11 1
2 ⎜ ⎜
b
b y + + +
⎟⎟
23 1 + 33 − = 0
⎜
⎜
⎟ b y a .
b
⎟ ⎜
11 11
2
⎟
⎝ 23 ⎝ 11
⎝
⎝ b ⎠
b b
⎠
⎠⎠
⎛
2
1
⎞
Efetuando a translação de eixos
⎜
b23
= + − ⎟
b13
z 1 y2
a
33 e z
2b
2 = y1
+ , chegamos à
23 ⎝
b11
⎠
b11
2
equação b 11 z2
+ 2b23z1
= 0 que também representa uma parábola.
Assim, quando A 2 = 0 e A 3 ≠ 0
2
, a cônica é uma parábola com equação Ax + 2 By = 0 ,
'
com A ≠ 0 e B ≠ 0 . A matriz M 3 torna-se
2
( a a )
2
2
3 −AB
= −A1
B = − 11 22 .B
A = + .
− A
⎛ A
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
2
3
Portanto, se ( a + a ) x + 2 y 0 obtemos
11 22
=
a11
+ a 22
2. Classificação das Cônicas pelos Invariantes
1° Caso: A 2 =0
i) Se A 0 , pela proposição, trata-se de uma parábola.
3
≠
0
0
B
B
0 ⎞
⎟
B⎟
. Logo, A 1 = A = a11
+ a 22 e
0
⎟
⎠
A
3
= − .
a11
+ a12
2 2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x + y − 2xy
− 8 2x
− 8 2 y = 0 . A
⎛
⎞
⎜
1 −1
− 4 2
⎟
matriz M
3
é ⎜ −1
1 − 4 2 ⎟ e, assim, A 1 = 2 , A2 = 0 e A 3 = −128
. Como A2 = 0 e
⎜
⎟
− 4 2 − 4 2 0
⎝
⎠
A 3 ≠ 0, pela proposição, a equação representa uma parábola.
2
⎛ a
=
⎜
⎝a
ii) Se A 3
= 0 , existe uma reta de centros e as matrizes ⎛ a11
a12
⎟ ⎞
M 2 =
⎜ e
⎝a12
a22
⎠
11
12
a
a
12
22
a
a
13
23
⎞
⎟
⎠
2 2
λ 1 1 2 2 1, 2 = à
M têm característica 1. A equação reduzida é z + λ z + f ( c c ) 0
⎛λ1
0 0 ⎞
⎜
qual associamos a matriz M 3 = ⎜ 0 λ2
0 e obtemos, A
⎜
⎝ 0 0 f ( c ) ⎟⎟⎟ 1 = λ 1 + λ2
e A 2 = λ1. λ2
. Como
1,
c2
⎠
A 2 = 0 , temos λ 1 = 0 e λ 2 ≠ 0 ou λ 1 ≠ 0 e λ 2 = 0 .
Considerando λ 1 = 0 e λ 2 ≠ 0 e substituindo na equação reduzida temos
2
λ 2 z 2 + f ( c1, c2
) = 0 . Assim, a natureza da cônica dependerá de A 1 . f ( c1,
c2
).
4

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2
Com efeito, se A 1 . f ( c1,
c2
) > 0 então a equação reduzida é da forma λ 2 z2
= − f ( c1, c2
),
tratando-se, portanto, do conjunto vazio. Se denotarmos A 11 e A 22 os respectivos cofatores dos
elementos a
11
e a
22
da matriz M
3, temos que A11 = λ2
. f ( c1,
c2
) e A22 = λ1
. f ( c1,
c2
). No caso
particular em que A 2 = 0 e A 3 = 0 temos A ( ) ( ) ( ) 1 . f c1,
c2
= λ 1 + λ2
. f c1,
c2
= A11
+ A22
.
2
2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação 8x
+ 8xy
+ 2y
+ 2 = 0 . A matriz
⎛8
⎜
M
3
associada a à equação da cônica é ⎜4
⎜
⎝0
equação dada representa o conjunto vazio.
4
2
0
0⎞
⎟
0⎟
. Como A 2 = A3
= 0 e A 11 A22
> 0 temos que a
2
⎟
⎠
2
Se 1 . f ( c1,
c2
) < 0
λ
2
z
2
= f c1,c2
, tratando-se
portanto, de duas retas paralelas.
2
2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x + 4xy
+ 4y
−1
= 0 . A matriz M
3
A então a equação reduzida é da forma ( )
⎛1
2 0 ⎞
⎜ ⎟
é ⎜2
4 0 ⎟ e, assim, A 1 = 5 , A 2 = 0 e A 3 = 0 . Como A 2 = 0 , A 3 = 0 e A 11 + A22
< 0 concluímos
⎜ ⎟
⎝0
0 −1⎠
que a equação representa duas retas paralelas.
2
Finalmente se A 1 . f ( c1,
c2
) = 0 , a equação reduzida é da forma λ
2
z2
= 0 , tratando-se
portanto, de uma reta.
2
2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x + 2xy
+ y − 2x
− 2y
+ 1 = 0 . A
⎛ 1 1 −1⎞
⎜
⎟
matriz M
3
é ⎜ 1 1 −1⎟
e, assim, A 1 = 2 , A 2 = 0 e A 3 = 0 . Como A 2 = A3
= 0 e A 11 + A22
= 0
⎜
⎟
⎝−1
−1
1 ⎠
temos que a equação representa uma reta.
No caso em que λ 1 ≠ 0 e λ 2 = 0 teremos resultados análogos.
2° Caso: A 2 ≠ 0
Pelo Teorema de Cramer, se A 2 ≠ 0 a cônica possui um único centro C = ( c1
, c2
). A
2 2
equação reduzida é da forma λ 1 z1
+ λ2
z 2 + f ( c1, c2
) = 0 a qual associamos a matriz
⎛λ1
0 0 ⎞
⎜
⎟
M 3 = ⎜ 0 λ1
0 ⎟ . Daí,
⎜
⎟
⎝ 0 0 f ( c1,
c2
) ⎠
i) A3 = 0 se, e somente se, f ( c1 , c2
) = 0 .
Se A2 > 0 então 2 2
λ1 e λ2
têm o mesmo sinal. Assim, a equação λ1z1
= −λ
2 z 2 representa
um ponto.
2
2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x + 2xy
+ 2y
+ 6y
+ 9 = 0 . A matriz
⎛1
1 0⎞
⎜ ⎟
M
3
é ⎜1
2 3⎟
e, assim, A 1 = 3 , A 2 = 1e
A 3 = 0 . Como A 2 ≠ 0,
A 3 = 0,
A 2 > 0 temos que a
⎜ ⎟
⎝0
3 9⎠
equação representa um ponto.
5

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Se A 2 < 0 então 2 2
λ1 e λ2
têm sinais opostos. Assim, a equação λ 1z1
= λ 2 z 2 representa
duas retas concorrentes.
2
2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x − 4xy
+ y = 0 . A matriz M
3
é
⎛ 1 − 2 0⎞
⎜ ⎟
⎜−
2 1 0⎟
e, assim, A 1 = 2 , A 2 = − 3 e A 3 = 0 . Como A 2 ≠ 0,
A 3 = 0,
A 2 < 0 temos que a
⎜ ⎟
⎝ 0 0 0⎠
equação representa duas retas concorrentes.
ii) A 3 ≠ 0 ⇔ f ( c1,
c2
) ≠ 0
Se A 2 > 0 então λ1 e λ2
têm o mesmo sinal e, conseqüentemente, A 1 ≠ 0 . A equação
2 2
reduzida, nesse caso, é, λ 1 z1
+ λ2
z2
= − f ( c1,c2
). Daí, se A1 A3
> 0 então
2
2
λ 1 λ 2 f ( c 1 , c 2 ) + λ 2 λ1
f ( c1,
c2
) > 0 . Assim, se λ 1 > 0 e λ 2 > 0 então f ( c , ) 1 c2
> 0 e, por outro
lado, se λ 1 < 0 e λ 2 < 0 então f ( c , ) 1 c2
< 0 . Portanto, em qualquer um dos casos teremos
2 2
λ z + λ z = − f ( c ) que representa o conjunto vazio.
1 1 2 2 1,c2
2 2
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação 5x
+ 2y
+ 2xy
+ 2 = 0 . A matriz
⎛5
1 0⎞
⎜ ⎟
M
3
é ⎜1
2 0⎟
e, assim, A 1 = 7 , A 2 = 9 e A 3 = 18.
Como A 2 ≠ 0,
A 3 ≠ 0,
A 2 > 0 e A1 A3
> 0 temos
⎜ ⎟
⎝0
0 2⎠
que a equação representa o conjunto vazio
2
2
Por outro lado, se A1 A3
< 0 então λ 1 λ 2 f ( c 1 , c 2 ) + λ 2 λ1
f ( c1,
c2
) < 0 . Daí, se λ 1 > 0,
λ2
> 0
então f ( c c ) 0 e, analogamente, se λ < , λ 0 então f ( c c ) 0.
Em qualquer um dos
1 , 2 <
2 2
casos teremos z + λ z = f ( c )
1 0 2 <
1 , 2 >
λ
1 1 2 2 1,c2
que representa uma elipse.
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação x
2 + 3y
2 + xy − 2x
+ 4y
− 5 = 0 . A
⎛ 1 1
2
−1⎞
⎜
⎟
matriz M
3
é 1
⎜ 2
3 2 ⎟ e, assim, A 1 = 4 , 11
A2 = e
⎜
⎟
4
⎝−1
2 − 5⎠
A A 0 temos que a equação representa uma elipse.
1 3 <
91
A 3 = − . Como 2 ,
4
A ≠ 0 A 3 ≠ 0,
A 2 > 0 e,
Se A 2 < 0 , então λ1 e λ2
têm sinais opostos. A equação reduzida, nesse caso, é,
2 2
λ
1
z
1
+ λ2
z2
= f ( c1,c2
), que representa uma hipérbole.
Aplicação: Seja a cônica representada pela equação 8x
2 + 6xy
−12x
− 26y
+ 11 = 0 . A
⎛ 0 3 − 6 ⎞
⎜
⎟
matriz M
3
é ⎜ 3 2 −13⎟
e, assim, A 1 = 8 , A2 = − 9 e A 3 = 81 . Como A 2 ≠ 0 , A 3 ≠ 0 e A 2 < 0
⎜
⎟
⎝−
6 −13
11 ⎠
temos que a equação representa uma hipérbole.
3. Referência
OLIVA, W.M. Vetores e Geometria. São Paulo: Edgard Blücher, 1973.
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