Guia de Estudo 2

GE2.11) PROBLEMAS
GABARITO – GE2 APLICAÇÕES DO MHS
GE2.11.1) Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói
um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100
oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g neste planeta?
Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo simples, temos:
T = 2π
L
g
2
⇒ g = 4π
L
T
2
⇒ g = 4π
Lf
2
⇒ g = 4π
× 0,
500m
×
⇒ g = 10,
7m
s
2
2
2
( 100 )
136s
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
GE2.11.2) Enche-se uma esfera oca com água através de um pequeno orifício. A esfera é
suspensa por um fio longo, posta para oscilar e, enquanto a água escorre pelo orifício no fundo,
observa-se que, inicialmente, o período aumenta e, em seguida, diminui. Explique este
fenômeno.
O sistema (fio/esfera com água) é um pêndulo físico. Logo, para pequenas oscilações, o período T
desse sistema é dado por:
T = 2π
I
Mgd
onde d é a distância do ponto de fixação do fio ao centro de massa da esfera.
Neste caso, temos essencialmente 3 variáveis no sistema: a massa, o momento de inércia e a distância
d, do centro de massa ao ponto de fixação.
À medida que a água vai escorrendo pelo orifício a massa diminui.
Também a distribuição de massa, descrita pelo momento de inércia muda de uma casca esférica cheia
de água pendurada por um fio, por um conjunto de casca esférica semi-preenchida com água, cuja
massa decresce até uma casca esférica vazia; ou contendo somente ar no interior .
E o centro de massa varia e conseqüentemente a distância d varia desde o centro da esfera até uma
ponto de mínimo devido à água que escorre até ao centro da casca esférica, quando a mesma não
contém mais água.
2
1

O cálculo da variação do período depende então da variação destas três grandezas que dependem das
dimensões e densidade da casca esférica e fluxo da água que escorre, bem como do comprimento do
fio.
Critério de correção: 100% para a justificativa correta ou 20% para um desenvolvimento
satisfatório mas incompleto.
GE2.11.3) Como é afetado o período de um pêndulo quando seu ponto de sustentação se
desloca:
(a) horizontalmente no plano de oscilação, com aceleração a ;
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se horizontalmente com uma aceleração a o
pêndulo pára de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração horizontal a, e
dessa forma, o pêndulo deve alcançar uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre
ele irá produzir uma aceleração resultante igual a a.
(b) verticalmente para cima, com aceleração a;
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para cima com uma
aceleração a o período do pêndulo diminui. Pois, a força restauradora que tende a trazer o sistema de
volta a posição de equilíbrio é igual:
∑
F
F
rest
rest
F = ma
+ P = ma
x
x
+ mg senθ = −masenθ
Fret = −mg
senθ − masenθ
Supondo o eixo y positivo no sentido para cima (contrário à aceleração gravitacional). Para pequenos
ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o
MHS, e o período do pêndulo dado por:
T
T
= 2π
= 2π
m
L
m
( g + a)
L
g + a
Como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo diminui.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória
mas incompleta. (Essa questão já foi pedida no guia de estudo, G.E.2.3.5)
(c) verticalmente pra baixo, com aceleração a < g e a > g
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma
aceleração a < g o período do pêndulo aumenta. Pois, a força restauradora que tende a trazer o
sistema de volta a posição de equilíbrio é igual:
2

∑
F
F
rest
rest
F rest
F = ma
+ P = ma
x
x
+ mg senθ = masenθ
= −mg
senθ + masenθ
para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para
que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por:
T
T
= 2π
= 2π
m
L
m
( g − a)
L
g − a
como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo aumenta.
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma
aceleração a > g o pêndulo para de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma
aceleração vertical a, e dessa forma, o pêndulo alcança uma posição em que a resultante das forças
que atuam sobre ele irá “puxa-lo” para baixo com uma aceleração resultante igual a a.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória
mas incompleta.
(d) Alguns destes casos se aplicam a um pêndulo montado em um carro que desce por uma
ladeira?
A situação em que um pêndulo é montado em um carro que desce uma ladeira, pode ser considerada
como uma mistura dos casos (a) e (c) anteriores, com a < g no caso (c).
Critério de correção: 100% ou 0%.
GE2.11.4) Um pêndulo físico consiste em um disco sólido uniforme de massa M = 563g e raio R =
14,4 cm, mantido no plano vertical por um eixo preso a uma distância d = 10,2 cm do centro do
disco, conforme mostrado na figura ao lado. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e, em
seguida, ele é liberado. Encontre o período do movimento harmônico resultante.
Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo físico, temos:
3

T
T
T
T
= 2π
= 2π
= 2π
=
0,
907
I
Mgd
1
2
1
2
s
MR
R
Mgd
2
gd
2
+ d
+ Md
onde, o teorema dos eixos paralelos foi utilizado para calcularmos o momento de inércia do disco em
relação ao ponto d.
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
GE2.11.5) Uma mola de massa desprezível e constante k = 400 N/m está suspensa verticalmente
e um prato de 0,200 kg está suspenso em sua extremidade inferior. Um açougueiro deixa cair
sobre o prato de uma altura de 0,40 m uma posta de carne de 2,20 kg. A posta de carne produz
uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a colisão;
Utilizando a conservação de energia, para o momento imediatamente antes da posta de carne colidir
com o prato, temos:
mgh 1 2
= mv
2
v =
2gh
v = 2,
80m
s
tendo em vista que a colisão é totalmente inelástica, e utilizando o principio da conservação da
quantidade de movimento, temos:
Mv = Mv
Mv = v
⇒ v
⇒ v
f
f
f
f
2
+ mv
( M + m)
Mv
=
M + m
= 2,
57m
s
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
(b) a amplitude da oscilação subseqüente;
Inicialmente, o prato encontra-se a uma distancia x da posição de equilíbrio do sistema prato/posta.
Iremos utilizar a Lei de Hooke para encontrar essa distância x.
f
2
4

a energia mecânica desse sistema é dada por:
E = K + U
E = 1
2
E = 8,
50J
F = −kx
− Mg = −kx
Mg
x =
k
x = −0,
0538m
( M + m)
utilizando o valor de E obtido acima, podemos calcular o valor da amplitude de oscilação do sistema:
E 1 2
= kxmax
2
x
x
max
max
v
2
f
+
= 2E
k
= 0,
206m
Critério de correção: 100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
(c) o período do movimento.
Utilizando a equação para o período do sistema massa-mola, temos:
GE2.11.6) Um bloco de massa M repousa
sobre uma superfície sem atrito e está preso
a uma mola horizontal cuja constante é k. A
outra extremidade da mola está presa a uma
parede, como na figura ao lado. Um segundo
bloco de massa m repousa sobre o primeiro.
O coeficiente de atrito estático entre os
blocos é µe. Ache a amplitude
M + m
T = 2π
k
T = 0,
487s
1
2
kx
2
máxima da oscilação para que o bloco
superior não deslize sobre o
bloco inferior.
Estando o segundo bloco em repouso sobre o primeiro, os dois blocos devem estar sujeitos a mesma
aceleração a. Assim, os dois blocos estão sujeitos a uma aceleração a dada por:
5

− kx =
( M + m)
− kx
⇒ a =
M + m
O segundo bloco está sujeito a uma força cujo módulo é ma. Logo, a amplitude máxima de oscilação
que esse sistema pode ter, sem que o bloco superior deslize, é dada por:
− mgµ
= ma
e
a
kx
mgµ
e = m
M + m
xm
µ g e =
k
( M + m)
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório
mas incorreto.
GE2.11.7) Um ovo de 50,0 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola
cuja constante é k = 25,0 N/m. Seu deslocamento inicial é igual a 0,300 m. Uma força de
amortecimento F = - bv atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de 0,100 m em 5,00
s. Calcule o módulo da constante de amortecimento b.
x
x
x
−bt
2m
( t)
= xme
cos(
ω′
t + φ)
( t = 0)
= 0,
300m
( t = 5)
= 0,
200m
0,
200
⎛
ln⎜
⎝
= 0,
300e
−bt
2m
0,
200 ⎞ ⎛
⎟ = ln⎜e
0,
300 ⎠
⎜
⎝
−bt
2m
2m
⎛ 0,
200 ⎞
b = − ln⎜
⎟
t ⎝ 0,
300 ⎠
−3
b = 8,
11×
10
kg
s
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos).A resposta é dada
com três significativos.
GE2.11.8) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = 1,91 kg), uma certa
mola (k = 12,6 N/m) e uma força amortecedora F = - bvx. Inicialmente, o bloco oscila com
amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude reduz-se para três quartos
desse valor inicial, após quatro ciclos completos.
(a) Qual o valor de b?;
SUPONDO QUE O AMORTECIMENTO É PEQUENO,
⎞
⎟
⎠
6

ω′
=
k ⎛ b ⎞
− ⎜ ⎟
m ⎝ 2m
⎠
2π
T = =
ω′
2π
k ⎛ b ⎞
− ⎜ ⎟
m ⎝ 2m
⎠
Primeiramente devemos encontrar o período de oscilação do sistema. Feito isso, podemos calcular o
valor de b.
x
x
x
2m
( t)
= x ( ′
me
cos ω t + φ )
( t = 0)
= 0,
262m
( t = 4T
) = 0,
262m
3
2m
0,
262 = 0,
262e
4
−2bT
⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ m
ln ln ⎟
⎝ ⎠
⎜
e
4
⎟
⎝ ⎠
m ⎛ 3 ⎞
b = − ln⎜
⎟ = −
2T
⎝ 4 ⎠
2
m
b =
4π
−bt
k
m
3
4
−b4T
2
k
m
⎛ b ⎞ ⎛ 3 ⎞
− ⎜ ⎟ ln⎜
⎟
⎝ 2m
⎠ ⎝ 4 ⎠
2
m
2π
2
2
⎛ b ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ 2m
⎠
b =
mk
2
16π
2
ln ( 3/
4)
+ 1
= 0,
155Kg
/ s
⎛ 3 ⎞
ln⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos.
(c) Qual a quantidade de energia dissipada durante esses quatro ciclos?
A quantidade de energia dissipada ∆ E é dada por:
7

∆E
= U
f
−U
i
( 3 x ) m
2
∆E
= 1 k − 1 kx
2 4 2
9 16
E 1 2 ⎛ − ⎞
∆ = kxm
2 ⎜ ⎟
⎝ 16 ⎠
∆E
= −0,
189J
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos.
GE2.11.9) Considere as oscilações forçadas de um sistema bloco-mola amortecido. Mostre que
na ressonância:
(a) a amplitude das oscilações é xm = Fm/bω ;
A equação de movimento de um oscilador massa-mola amortecido forçado é dada por:
Fm
x( t)
= cos ( ω ′′ t − β )
G
2 2 2 2 2
onde ( )
2
m
2
ω ′
−ω
+ ω′
′
G = m
b .
Na ressonância ′ ω , para pequenos amortecimentos. Logo,
ω =
Critério de correção: 100% ou 0%.
x
x
m
m
=
m
2
2 2 ( ω′
′ −ω
)
Fm
Fm
= =
bω′
′ bω
(b) a velocidade máxima do bloco oscilante vmáx = Fm/b.
F
dx
v =
dt
⎛ Fm
d⎜
cos
=
⎝ G
v
dt
ω ′′ Fm
sen
v = −
2
m
m
2
( ω′
′ t − β )
2
+ b ω ′
⎞
⎟
⎠
( ω ′′ t − β )
2 2 2 2 2
( ω ′′ −ω
) + b ω ′′
Mas na ressonância ′ ω , para pequenos amortecimentos. Logo,
ω =
2
8

Critério de correção: 100% ou 0%.
v
v
m
m
ω′
′ Fm
= −
bω
′′
Fm
= −
b
Fm
=
b
9