concreto armado ii flexão simples - Faculdade de Engenharia - pucrs

P U C R S
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO ARMADO II
FLEXÃO SIMPLES
Prof. Almir Schäffer
PORTO ALEGRE
MARÇO DE 2006

1- Generalidades
FLEXÃO SIMPLES
Na seção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão pura
quando na mesma atua apenas um momento fletor (M). Neste caso as tensões
normais de tração e de compressão produzidas pelo momento se reduzem a um par
de forças (Rs e Rc), que é equivalente a um momento (Fig. 1).
Quando junto com o momento fletor atua uma força cortante (V), a
solicitação passa a ser chamada de flexão simples.
Na solicitação de flexão simples as tensões tangenciais produzidas pela
força cortante não influem nas tensões normais produzidas pelo momento fletor.
Assim, o que for estabelecido para a tensões normais na flexão pura vale também
na flexão simples.
A solicitação de flexão pode ser classificada de acordo com a direção do
traço do plano de solicitação sobre a seção transversal da peça, em:
a) reta (ou normal), quando o traço coincide com um dos dois eixos principais de
inércia da seção; e
b) desviada (ou oblíqua), quando o traço não coincide com nenhum dos dois eixos.
2- Hipóteses básicas
No cálculo de vigas de concreto armado, no estado limite último (ELU),
solicitadas por flexão, são feitas as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118, item
17.2.2):
a) as seções transversais permanecem planas após a deformação da peça;
b) as deformações das barras de aço (alongamentos e encurtamentos) são iguais
às do concreto no entorno das mesmas;
c) ... (referente à concreto protendido);
1

d) as tensões de tração no concreto são desprezadas;
e) as tensões de compressão no concreto se distribuem na seção de acordo com o
diagrama parábola-retângulo (de cálculo) do concreto (NBR 6118, item 8.2.10),
ou, como simplificação, de acordo com um diagrama retangular de altura
y = 0, 8.
x (onde x é a distância da linha neutra até a borda mais comprimida da
seção) e tensão σ c cd
= 0, 80.
f ou σc = 0, 85.
fcd
(conforme a largura da seção
diminua ou não, da linha neutra para a borda mais comprimida);
f) as tensões no aço se distribuem na seção de acordo com o diagrama tensão-
deformação (de cálculo) do aço (NBR 6118, item 8.3.6); e
g) o estado limite último (de esgotamento da capacidade resistente da seção) é
atingido quando o encurtamento do concreto atinge o encurtamento de ruptura
do concreto, εR = 3, 5 ‰, ou quando o alongamento do aço atinge o alongamento
plástico limite do aço, ε L = 10 ‰.
3- Distribuição das tensões na seção
Seja uma fatia de viga, compreendida entre duas seções transversais S1 e
S2, solicitada apenas por um esforço de flexão (Fig. 1).
M
c
S1 S'2
R
S2
1
LN
yd
M
FIGURA 1
s
L
d
x
y
c
s
z
Rc
Rs
2

Devido ao esforço de flexão as seções S1 e S2 giram, uma em relação à
outra. Imaginando fixa a seção S1, então a seção S2 gira, em torno da linha neutra,
para a nova posição S'2.
A região da seção acima da linha neutra será comprimida. Se o
encurtamento ε c da fibra mais comprimida de concreto atingir o valor do
encurtamento de ruptura do concreto ε R (Fig. 1), o que ocorre sempre por ocasião
da ruptura da viga, então pode-se admitir que as tensões de compressão no
concreto se distribuam na seção segundo o diagrama retangular de tensões
sugerido na norma (NBR 6118, item 17.2.2, e).
A região da seção abaixo da linha neutra será tracionada. O concreto
tracionado fissura, não sendo permitido contar com qualquer resistência à tração
deste material. Para resistir aos esforços de tração que se desenvolvem abaixo da
linha neutra é usada então uma armadura de aço. Se o alongamento ε s do aço for
superior à ε yd (Fig. 1), então a tensão no aço atinge o valor f yd.
4- Momento resistente de cálculo em função da resistência do concreto
As tensões normais que atuam na seção de uma viga solicitada por flexão
se reduzem a um par de forças (Rs e Rc). O momento desse par independe do
ponto em relação ao qual se calcula o momento.
O momento resistente de uma viga de seção retangular, em função da
resistência do concreto, pode ser obtido calculando-se o momento do par de forças
em relação ao ponto de aplicação da força Rs, como segue:
Distância x, da linha neutra até a borda mais comprimida da seção (arbitrada
como uma fração k x da altura útil da seção):
x = k x.
d
(1)
Altura y da zona comprimida de concreto (NBR 6118, item 17.2.2):
y = 0, 8.
x
(2)
3

h
resulta:
resulta:
d
As
bw
c
S'2
R
S2
LN
x
yd L
s
FIGURA 2
Substituindo x da equação (1) na (2), e fazendo
y
c
s
z
Rc
Rs
k = 0, 8.
k
(3)
y x
Braço de alavanca z, das forças internas (Fig. 2):
y = k y.
d
(4)
z d y
= − 2 (5)
Substituindo y dado pela equação (4) na (5) e fazendo
k
z
= 1−
k
y
2
M
(6)
z = k z.
d
(7)
Área da zona comprimida da seção de concreto (Fig. 2):
Substituindo y da equação (4) na (8), resulta:
Ac = bw. y
(8)
Ac = k y. bw . d
(9)
Tensão de compressão no concreto (NBR 6118, item 17.2.2):
σc = 0 85 fcd
, . (10)
Resultante das tensões de compressão no concreto (Fig. 2):
Rc = Ac.σ
c
(11)
4

(Fig. 2):
resulta:
Substituindo A c e σ c dados pelas equações (9) e (10) na (11), resulta:
R = 0, 85.
k . b . d. f
(12)
c y w cd
Momento do par de forças, em relação ao ponto de aplicação da força Rs
= R . z
(13)
Mc c
Substituindo R c e z dados pelas equações (12) e (7) na (13) e fazendo
k = 0, 85.
k . k
(14)
c
m y z
m
w
2
M = k . b . d . f
(15)
Esta equação fornece o momento resistente de cálculo da seção da viga, em
função da resistência do concreto.
5- Momento resistente de cálculo em função da resistência do aço
O momento resistente da seção, em função da resistência do aço, pode ser
obtido calculando-se o momento do par de forças em relação ao ponto de aplicação
da força Rc, como segue:
(Fig. 2):
Tensão de tração no aço (NBR 6118, item 17.2.2):
Resultante das tensões de tração no aço (Fig. 2):
cd
σs = fyd
(16)
Rs = As.σ
s
(17)
Substituindo σ s dado pela equação (16) na (17), resulta:
Rs = As. fyd
(18)
Momento do par de forças em relação ao ponto de aplicação da força Rs
Ms s
= R . z
(19)
Substituindo R s dado pela equação (18) na (19), resulta:
M yd
s = A s.
f . z
(20)
Esta equação fornece o momento resistente de cálculo da seção, em função
da resistência do aço.
5

6- Alongamento do aço
obtém-se:
Da semelhança dos triângulos do diagrama de deformações unitárias (Fig. 2)
εR εs
=
x ( d − x)
(21)
Substituindo x dado pela equação (1) na (21) e isolando ε s , resulta
onde o encurtamento de ruptura do concreto, ε R , vale:
k x
εs = εR
k
− 1
. (22)
x
εR = 3, 5 ‰ (23)
Para que o aço entre em escoamento (vigas subarmadas), é necessário que
εs ≥ ε yd
(24)
onde o alongamento ε yd do aço, para a tensão de cálculo, vale
sendo
ε yd
fyd
= (25)
E
s
E MPa
s = 210 000 (26)
Substituindo ε s dado pela equação (22) na (24) e isolando k x , resulta:
Logo:
k x
k x,
max
εR
≤
ε + ε
R yd
R
yd
(27)
εR
= (28)
ε + ε
Com as equações (25) e (28) foram calculados os valores de ε yd e k x,
max
da tabela 1 do anexo A.
Para que o alongamento do aço não ultrapasse o alongamento plástico limite
do aço, ε L , é necessário que
onde
ε (29)
s ≤ εL
ε L = 10 ‰ (30)
6

Substituindo ε s dado pela equação (22) na (29) e isolando k x , resulta:
Logo:
k x
k x,
min
εR
≥ (31)
ε + ε
R
R
L
εR
= (32)
ε + ε
Substituindo εR e ε L dados pelas equações (23) e (30) na (32) resulta:
k , min
7- Tabela adimensional para a flexão
L
x = 0,
259
(33)
Usando k x como variável independente e as equações (3), (6) e (14) para
calcular k y , k z e k m , foi construída a tabela 2 do anexo A. Esta tabela é útil no
cálculo de vigas de seção retangular solicitadas por flexão.
A tabela 2 pode ser usada com qualquer concreto, qualquer aço e qualquer
sistema de unidades.
8- Cálculo da armadura com o uso de uma tabela
Para calcular a armadura de flexão de uma viga de seção retangular, com o
auxílio da tabela 2, procede-se como segue:
a) Calcular km (fazer c d M M = na equação (15) e isolar km ).
b) Entrar com k m na tabela 2 e obter k z .
c) Calcular z (usar a equação (7)).
k
m
Md
=
b . d . f
w cd
2 (34)
z = k z.
d
d) Calcular As (fazer s d M M = na equação (20) e isolar As ).
A
s
M
=
z. f
d
yd
(35)
7

9- Cálculo da armadura com o uso de um programa de computador
Com as equações anteriores pode-se facilmente desenvolver um programa
de computador para o cálculo de vigas de seção retangular solicitadas por flexão.
10- Taxas de armadura
A taxa geométrica de armadura ( ρ ) é a relação entre a área da seção da
armadura e a área da seção do concreto que a envolve.
ρ = A
A
s
c
(36)
A taxa mecânica de armadura ( ω) é a relação entre a resistência de cálculo
da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve.
se
N A . f sd
ω = =
N A . f
cd
s yd
c cd
(37)
Dividindo membro a membro a equação (36) pela (37) e isolando ρ , obtém-
ρ = ω.
f
f
que é a relação existente entre as duas taxas de armadura.
11- Armadura de tração mínima
cd
yd
(38)
A taxa geométrica da armadura de tração de uma viga não pode ser menor
que a mínima dada pela expressão (NBR 6118, item 17.3.5.2.1):
fcd
ρ min = Maior(
0,
0015;
ωmin.
)
(39)
f
Para vigas de seção retangular (NBR 6118, tabela 17.3),
yd
ω 0,
035
(40)
min =
A área mínima de seção de armadura é dada por:
A = ρ . A
(41)
s,
min
min
c
8

11- Força na armadura de tração
Fazendo s d M
M = e R R
s = sd na equação (19) e isolando Rsd , resulta
R
sd
Md
= (42)
z
equação que fornece a força de tração de cálculo na armadura da viga.
Como o braço de alavanca z varia pouco com o momento de cálculo M d
(ver k z na tabela 2), pode-se admitir z = cons tan te e, neste caso, de acordo com a
equação (42), a força na armadura de tração, R sd , em cada seção, resulta
diretamente proporcional ao momento M d que atua nessa seção. Assim, admitindo
z = cons tan te , o diagrama das forças Rsd resulta afim ao diagrama dos momentos
M d . O método de cobertura do diagrama de momentos usado no exemplo seguinte
é baseado nesta afinidade.
12- Exemplo de cálculo
Calcular e detalhar a armadura de flexão da viga da figura.
Esquema Seção
P = 115 kN
A C
B
3,00 2,00
5,00 m
FIGURA 3
0,20
0,50
9

Dados:
Concreto C30: fck = 30 MPa
Aço CA-50: fyk = 500 MPa
Comprimento de ancoragem básico: b = 33, 4.φ
Translação: a = d
Cobrimento: c = 30 mm
f
f
cd
yd
Solução:
Resistências de cálculo:
fck
30
= = = 214 , MPa
γ 14 ,
c
fyk
500
= = = 435 MPa
γ 115 ,
s
VA = 46, 0 kN
VB = 69, 0 kN
Reações de apoio:
Diagramas V e M:
V
M
A C
B
FIGURA 4
10

Momento máximo na viga:
M = 46, 0. 3, 00 = 69, 0. 2, 00 = 138, 0 kN. m
Momento de cálculo:
M = γ .M = 14138 , . , 0 = 193, 2 kN. m
d f
Altura útil da seção:
φ
a = c + φt
+ = 30 + 10 + = mm = m
2
20
50 0, 05
2
d = h − a = 0, 50 − 0, 05 = 0, 45 m
k
Coeficiente km:
M
193,
2
=
= 0,
223
2
0,
20.
0,
45 .( 21,
4E3)
d
m = → Tabela 2 → k
2
z = 0, 840
bw
. d . fcd
Braço de alavanca z:
z = k . d = 0, 840. 0, 45 = 0, 378 m
z
Armadura necessária (na seção mais solicitada):
Md
193,
2
A s = =
=
z.
f 0,
378.(
435E3)
ρ
min
yd
0,
001180
Verificação da armadura de tração mínima:
Taxa mínima de armadura:
= Maior(
0,
0015;
ω
ρ min = 0,
00173
s,
min
min
f
.
f
Armadura mínima:
A = ρ . A = 0,
00173.
0,
20.
0,
50 =
min
c
cd
yd
Conclusão. Como s,
min
m
2
21,
4
) = Maior(
0,
0015;
0,
035.
) = Maior(
0,
0015;
0,
00173)
435
0,
000173
m
s A A > , usa-se s
2
A . Portanto:
11

s
2
A = 0,
001180 m = 11,
80 cm → 4 φ 20 mm
Detalhamento da armadura:
2
A armadura calculada deve ser colocada, evidentemente, no lado tracionado
da viga. Portanto, neste problema, no lado de baixo da viga.
Esta armadura ( A s de 4 φ 20 mm) é necessária apenas na seção mais
solicitada da viga (onde o momento fletor é máximo). Nas outras seções, onde o
momento fletor é menor, esta armadura pode ser diminuída, de modo a reduzir o
consumo de aço na construção da viga.
Os comprimentos mínimos das barras da armadura devem ser determinados
de tal modo que o diagrama de momentos fletores (afim ao diagrama de forças na
armadura) seja coberto, isto é, em cada seção da viga deve existir armadura
suficiente para resistir o momento que nela atua. Para cobrir o diagrama de
momentos fletores procede-se em etapas, como segue (Fig. 5):
a) Numa primeira etapa, todos os pontos do diagrama de momentos fletores (A D B)
são deslocados, paralelamente ao eixo da viga, para o lado desfavorável, de uma
distância igual à translação ( a ), obtendo-se um novo diagrama(A1 D1 D2 B2). É
este novo diagrama o diagrama que deve ser coberto pela armadura.
b) Numa segunda etapa, o diagrama de momentos fletores é dividido em faixas de
igual altura ∆M. Tantas faixas quanto o número de barras escolhido para a
armadura. Cada uma destas faixas deve ser coberta por uma das barras da
armadura.
c) Numa terceira etapa, marca-se, em cada faixa, para ambos os lados (ver faixa 2
na figura seguinte):
1) a partir dos pontos em que os momentos na faixa começam a diminuir
(E1 e E2), o comprimento de ancoragem da barra ( b ), determinando os
pontos G1 e G2; e
12

2) a partir dos pontos em que os momentos na faixa se anulam (F1 e F2), o
comprimento de 10.φ , determinando os pontos H1 e H2.
A barra que deve cobrir esta faixa deve se estender entre os pontos
G e H mais afastados do centro desta faixa.
M
A1
A
H1
G1
F1
10.φ
E1
F2
10.φ
E2
H2
G2
b b
D1
C
D
a a
D2
Barra da posição 2
FIGURA 5
B B2
Faixa 4
Faixa 3
Faixa 2
Faixa 1
Os comprimentos das barras das posições 1 e 2 foram determinados com o
procedimento anterior (Fig. 6).
Foram usados:
Translação:
a = d = 0, 45 m
b
Comprimento de ancoragem das barras:
= 33, 4. φ = 33, 4. 0, 02 = 0, 67 m
Prolongamento das barras:
10. φ = 10. 0, 02 = 0, 20 m
As duas barras da posição 3, necessárias para ancorar forças que se
desenvolvem junto aos apoios (o que será visto posteriormente), devem ser
13

estendidas até os apoios. Estas barras também são necessárias para ancorar os
cantos dos estribos. Ainda com a finalidade de ancorar os cantos dos estribos são
usadas mais duas barras, com diâmetro no mínimo igual ao diâmetro dos estribos,
na posição 4.
M
Pos 1 - 1 20 mm
Pos 2 - 1 20 mm
Pos 3 - 2 20 mm
FIGURA 6
4 4
1
3 2 3
10
Translação a
Compr. ancoragem
14
b

ANEXO A
Tabela 1
Valores de ε yd e k x,
max
Aço ε yd (‰)
( γ s = 115 , )
k x,
max
CA-25 1,035 0,772
CA-50 2,070 0,628
CA-60 2,484 0,585
15

h
d
Tabela 2
Flexão simples reta - Seção retangular
As
bw
kx ky kz km
(Tabela adimensional)
ε
ε
c
R
S'2 S2
LN
0.26 0.208 0.896 0.158
0.28 0.224 0.888 0.169
0.30 0.240 0.880 0.180
0.32 0.256 0.872 0.190
0.34 0.272 0.864 0.200
0.36 0.288 0.856 0.210
0.38 0.304 0.848 0.219
0.40 0.320 0.840 0.228
0.42 0.336 0.832 0.238
0.44 0.352 0.824 0.247
0.46 0.368 0.816 0.255
0.48 0.384 0.808 0.264
0.50 0.400 0.800 0.272
0.52 0.416 0.792 0.280
0.54 0.432 0.784 0.288
0.56 0.448 0.776 0.296
0.58 0.464 0.768 0.303
Maximo para o aco CA-60
0.60 0.480 0.760 0.310
0.62 0.496 0.752 0.317
Maximo para o aco CA-50
0.64 0.512 0.744 0.324
0.66 0.528 0.736 0.330
0.68 0.544 0.728 0.337
0.70 0.560 0.720 0.343
0.72 0.576 0.712 0.349
0.74 0.592 0.704 0.354
0.76 0.608 0.696 0.360
Maximo para o aco CA-25
0.78 0.624 0.688 0.365
ε
x
ε
ε s
yd L
y
0,85.fcd
k
fyd
m
z
x = k x.
d
y = k y.
d
z = k z.
d
Md
=
b . d . f
2
A
s
Rcd
Rsd
Md
w cd
M
=
z. f
d
yd
16
Mar/2006