APOSTILA ESCOAMENTOS VISCOSOS 2010 - pucrs

ESCOAMENTOS VISCOSOS
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
APOSTILA DE
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Prof. Jorge Villar Alé
2º Semestre
2010
1
ESCOAMENTOS VISCOSOS
2
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL.............................................................................................5
1.1.1 Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido...................................................................................5
1.2 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS..........................................................7
1.3 ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES .........................................................................................9
1.4 ESCOAMENTO TURBULENTO EM TUBULAÇÕES...............................................................................................12
1.4.1 Tensão de cisalhamento............................................................................................................................13
1.4.2 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento ..........................................................................14
1.5 EQUAÇÃO DE ENERGIA COM VELOCIDADE MÉDIA .........................................................................................16
1.6 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES................................................................................17
1.7 PERDA DE CARGA PRINCIPAL .........................................................................................................................18
1.7.1 Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar ...................................................................................18
1.7.2 Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento ...............................................................................19
1.7.3 DIAGRAMA DE MOODY.........................................................................................................................20
1.8 MÉTODOS PARA DETERMINAR AS PERDAS DE CARGA SECUNDÁRIAS .................................................................23
1.8.1 Método do comprimento equivalente........................................................................................................23
1.8.2 Método do coeficiente de perda de carga .................................................................................................24
1.9 PERDA DE CARGA EM ELEMENTOS SECUNDÁRIOS..........................................................................................25
1.9.1 Saídas e Entradas Abruptas.....................................................................................................................25
1.9.2 Expansão e Contração Abruptas ..............................................................................................................26
1.9.3 Expansão e Contração Gradual ...............................................................................................................27
1.10 PROBLEMAS TÍPICOS DE ESCOAMENTOS EM TUBOS .......................................................................................28
1.10.1 Determinação da Vazão.......................................................................................................................28
1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação...........................................................................................28
1.11 RESUMO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS PAREDES ................................................................................29
1.12 CONCEITO DE DIÂMETRO HIDRÁULICO .........................................................................................................30
2.1 ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS ...........................................................32
2.2 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS ............................................36
2.3 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL.................................................................................................36
3.1 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS ....................................40
3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS .................................42
3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS.........................47
3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL ......................48
4.1 ESCOAMENTO VISCOSO EXTERNO: CONCEITOS DE CAMADA LIMITE .............................................................51
4.2 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS ............................................................................................................51
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo...........................................................................51
4.3 ESCOAMENTO SOBRE PLACA PLANA ..............................................................................................................52
4.3.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1 ..........................................................52
4.3.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10 ..........................................................................52
4.3.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈10 7 ......................................................................53
4.4 CARACTERÍSTICAS DA CAMADA LIMITE.........................................................................................................54
4.5 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE ....................................................................................................................55
4.6 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO.....................................................................................................................55
4.7 ESPESSURA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO...............................................................................................56
4.8 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACAS PLANAS ............................................................................................57
4.9 COEFICIENTE DE ARRASTO E FORÇA DE ARRASTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO ...................................58
4.10 EQUAÇÕES DE BLASIUS – PLACA PLANA – CAMADA LIMITE LAMINAR.......................................................59
ESPESSURA DA CAMADA LIMITE...................................................................................................................................59
ESPESSURA DE DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE....................................................................................................59
4.11 COEFICIENTE DE ARRASTO LOCAL OU COEF. DE TENSÃO DE CISALHAMENTO.................................................59
4.12 COEFICIENTE DE ARRASTO MÉDIO ..................................................................................................................59
4.13 TRANSIÇÃO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO.........................................................................60
4.14 CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA.........................................................................................61
4.14.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento .............................................61
4.14.2 Coeficiente de Arrasto Médio ..............................................................................................................61
4.15 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE - ESCOAMENTO TURBULENTO.....................................................................63
4.16 RESUMO DAS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ..................................................................64
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3
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4
5.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS: CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ...............................................67
5.2 RESULTADOS PARA ESCOMANETO LAMINAR:..................................................................................70
5.3 RESUMO DAS EQUACOES DE CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA - LAMINAR E
TURBULENTO...........................................................................................................................................................77
5.4 RELACOES BASICAS......................................................................................................................................78
5.5 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACA PLANA – REGIME LAMINAR E TURBULENTO ......................................79
6.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .........................................................81
7.1 FORÇAS AERODINÂMICOS DE SUSTENTAÇÃO E ARRASTO.......................................................................................88
5.5.1 Coeficiente de Arrasto ..............................................................................................................................89
7.2 ESCOAMENTO SOBRE CILINDROS - EFEITO DA VISCOSIDADE...................................................................................91
7.3 ESCOAMENTO NÃO VISCOSO NUM CILINDRO ...........................................................................................................92
7.4 ESCOAMENTO VISCOSO NUM CILINDRO : EFEITO DO GRADIENTE ADVERSO DE PRESSÃO ......................................94
7.5 SUSTENTAÇÃO AERODINÂMICA .............................................................................................................................99
7.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E SUSTENTAÇÃO ..............................................................................101
7,7 CURVA DE SUSTENTAÇÃO VERSUS ÂNGULO DE ATAQUE......................................................................................102
5.5.2 Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto........................................................................105
5.5.3 Velocidade mínima de vôo .....................................................................................................................107
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL
1.1.1 Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido
Consideramos no estudo o escoamento viscoso interno num tubo com fluido incompressível (Fig.1). Se o tubo
estivesse imerso num reservatório (ou na saída de um reservatório) a velocidade U0 na entrada poderia ser considerada
como uniforme. A medida que o fluido entra no tubo os efeitos viscosos provocam aderência do fluido às paredes do
tubo. Esta é conhecida como condição de não deslizamento. Assim, o fluido em contato com as paredes sempre terá
velocidade nula ao longo de todo o comprimento da tubulação.
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Figura 1 Região de entrada em um tubo
A medida que o fluido escoa para dentro do tubo (na direção x) se desenvolve uma camada limite, devido ao
efeito das forças de cisalhamento das paredes, que retardam o escoamento. A medida que avança para o interior do
tubo tal efeito aumenta. Os efeitos viscosos são importantes dentro da camada limite. Na região do núcleo não atingida
pela camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis.
Considerando que o escoamento é incompressível a velocidade na linha central do tubo aumenta com a
distância a partir da entrada satisfazendo a equação da continuidade. O perfil de velocidades u(r,x) muda conforme
aumenta a camada limite. Contudo como a seção do tubo é constante a velocidade média deve ser a mesma em
qualquer seção:
1 r r
u = ∫ udA
A
total
Como na região de entrada a velocidade é uniforme também é verdadeiro que u=U0: Numa determinada
posição x a camada limite atinge a linha central da tubulação e o perfil de velocidade não muda com a posição x que
encontramos no tubo.
5
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Comprimento de entrada L
Distância da entrada até o local onde a camada limite atinge a linha central (de simetria) do tubo (x=L). A partir deste
ponto o perfil de velocidade é plenamente desenvolvido significando que seu formato não varia mais na direção de x.
• Para x > L o perfil de velocidade não varia mais com x, nesse caso denomina-se perfil de velocidades plenamente
desenvolvido.
Posição no tubo Perfil de velocidades
Na entrada do tubo x=0. u=Uo = constante
Na região de desenvolvimento x ≤ L u=u(r,x)
Na região plenamente desenvolvida x > L u=u (r)
• O formato do perfil plenamente desenvolvido depende se o regime de escoamento é laminar ou turbulento.
Para Escoamento Laminar o comprimento de entrada é função do número de Reynolds:
L ρVD ≈ 0 , 06 = 0,
06 Re
D μ
Onde ρ é a massa especifica do fluido (kg/m 3 ), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno da
tubulação (m) e μ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s).
Considerando que o escoamento é laminar até
Re < 2300
podemos estimar o comprimento de entrada neste caso.
L ≈ 0,
06Re
D
L ≈ 0,
06x2300D
L ≈ 140D
6
O escoamento laminar plenamente desenvolvido ocorrerá para L > 100 D
Para escoamento turbulento a mistura entre camadas de fluido aumenta rapidamente a camada limite (mais rápido que
a laminar). A experiência mostra que a velocidade torna-se plenamente desenvolvida para
L ≈ ( 25...
40)
D
Dependendo das características do escoamento turbulento podem ser encontrados casos em que o escoamento atinge
um perfil de velocidades plenamente desenvolvido para valores de L ≅80D.
Para estimar-se o comprimento L num escoamento turbulento pode ser dotada a expressão:
L
≈ 4,
4
D
( ) 6 / 1
Re
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.2 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS
No escoamento permanente plenamente desenvolvido num tubo horizontal, seja laminar ou turbulento, a
queda de pressão é equilibrada pelas forças de cisalhamento nas paredes do tubo.
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Figura 2 Volume de controle para análise da tensão de cisalhamento
Aplicando a equação da quantidade de movimento na direção x
Hipóteses:
(1) Tubo horizontal FBx=0
(2) Escoamento permanente.
(3) Escoamento incompressível.
(4) Escoamento plenamente desenvolvido.
F
sx
+ F
bx
∂
=
∂t
∫
vc
uρ
dV +
∫
sc
r r
uρVdA
Desta forma F = 0 . Para o elemento de fluido da Fig. 8.2 o balanço de forças é dado por:
sx
⎛ ∂p
dx ⎞ 2 ⎛ ∂p
dx ⎞ 2
Fsx
= ⎜ p − ⎟πr
− ⎜ p + ⎟πr
+ τ rx 2πrdx
= 0
⎝ ∂x
2 ⎠ ⎝ ∂x
2 ⎠
∂p
dx 2
− πr
+ τ rxπrdx
= 0
∂x
2
obtendo-se finalmente:
r ∂p
τ rx = Válido para escoamento Laminar ou Turbulento
2 ∂x
desta forma a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero na linha de
centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na parede como τw, e sabendo que a variação
da pressão ao longo do tubo é constante
R ∂p
τ w = −τ
rx = − r=
R 2 ∂x
7
ESCOAMENTOS VISCOSOS
A expressão fica negativa (-) já que se considera a tensão de cisalhamento na parede com a mesma
magnitude da tensão do fluido porém agindo em sentido contrário.
como
8
p
=
∂x
( p − p )
∂ 2 1
L
ΔP
= − = cte
L
Figura 3 Perda de presão numa tubulação
substituída na equação anterior obtém-se a equação que relaciona a tensão de cisalhamento na parede com a queda
de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento.
R Δp
D Δp
τ w = ou τ w =
2 L 4 L
A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na figura abaixo. É representada como uma função linear do tipo
τ rx = cr onde a constante c=ΔP/2L.
Figura 4 Perfil de velocidade e de tensão de cisalhamento em tubulações
Desta forma podemos relacionar a queda de pressão com a tensão de cisalhamento na parede
4L
Δ p = τ w
D
Uma pequena tensão de cisalhamento na parede pode produzir uma grande diferença de pressão quando a tubulação
for muito longa (L/D >> 1).
Obs: As equações da tensão de cisalhamento obtidas aqui são válidas para escoamento laminar e turbulento já que a
dedução foi realizada independente destes regimes de escoamento.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.3 ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES
Perfil de Velocidades
No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por:
du
τ rx = μ
dr
Explicitando desta equação a velocidade:
1
= τ dr
μ
du rx
⎛ 1 ΔP
⎞
substituindo o termo da tensão de cisalhamento: τ rx = ⎜ ⎟r ⎝ 2 L ⎠
1 ⎛ 1 ΔP
⎞
du = ⎜ ⎟rdr μ ⎝ 2 L ⎠
integrando
1 ⎛ 1 ΔP
⎞
du = ⎜ ⎟∫ rdr
μ ⎝ 2 L ⎠
∫
2
1 1 ΔP
⎧r
⎫
u = ⎨ ⎬
μ 2 L ⎩ 2 ⎭
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R
r
R
r
{ } 2 2
R r
1 ΔP
u = −
4μ
L
ou também:
2
2
ΔPR
⎪⎧
⎛ r ⎞ ⎪⎫
u = ⎨1
− ⎜ ⎟ ⎬
4μL ⎪⎩ ⎝ R ⎠ ⎪⎭
Esta equação representa o perfil de velocidades para escoamento laminar em tubos.
9
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Vazão Volumétrica
A vazão volumétrica ou simplesmente vazão no elemento de fluido da Fig. 8.2 é dada por:
dQ = u2πrdr
∫ dQ =
10
R
∫
0
u2π
rdr
substituindo a velocidade u=u(r) pelo termo deduzido anteriormente: { } 2 2 1 ΔP
u = R − r
4μ
L
ΔP
Q =
4μL
R
2 2 { R − r } 2π
∫
0
2 2 { R r }
ΔP
Q = 2π
∫ −
4μL
R
0
rdr
rdr
4 4
ΔP
⎛ R R ⎞
Q = 2π
⎜ − ⎟
4μL
⎝ 2 4 ⎠
4
ΔP
R
Q = 2π
4μL
4
πΔP
Q = R
8μL
ou em função do diâmetro:
4
4
πΔPD
Q = (Equação de Hagen - Poussiulle)
128μL
Velocidade Média
Q 4Q
V = = 2
A πD
Substituindo a expressão de Hagen-Poussiulle:
4
4 πΔPD
V = 2
πD 128μL
2
ΔPD
ΔPR
V = Ou também V =
32μL
8μL
2
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Velocidade Máxima
Sabemos que o perfil de velocidades num escoamento laminar é dada por:
2
ΔP
⎪⎧
⎪⎫
2 ⎛ r ⎞
u = R ⎨1
− ⎜ ⎟ ⎬
4μL ⎪⎩ ⎝ R ⎠ ⎪⎭
A velocidade máxima ocorre na linha central do tubo, isto é para r=0.
u
max
2
ΔPR
=
4μL
Relação entre Velociade Máxima e Velocidade Média:
u
V
max
2
ΔPR
8μL
= = 2 2
ΔPR
4μL
umax = 2V
(para escoamento Laminar)
Perfil de Velocidades em Função da Velocidade Máxima
2
ΔP
⎪⎧
⎪⎫
2 ⎛ r ⎞
u = R ⎨1
− ⎜ ⎟ ⎬
4μL ⎪⎩ ⎝ R ⎠ ⎪⎭
u = u
2
⎪⎧
⎛ r ⎞ ⎪⎫
⎨ − ⎜ ⎟ ⎬
⎪⎩ ⎝ R ⎠ ⎪⎭
max 1
O perfil de velocidades num escoamento laminar é parabólico
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Figura 5 Perfil de velocidade para escoamento laminar numa tubulação
11
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.4 Escoamento Turbulento em Tubulações
A natureza do escoamento nos tubos pode ser laminar ou turbulento. Tais regimes são dependentes do valor do
número de Reynolds.
ρVD Re =
μ
Onde ρ é a massa específica do fluido (kg/m 3 ), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno
da tubulação (m) e μ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s).
Fluido Laminar:
O fluido escoa em camadas (lâminas) não existe mistura macroscópica das camadas adjacentes.
Escoamento Turbulento:
Manifestam-se pequenas flutuações da velocidade de alta freqüência superpostas ao movimento predominante.
Medindo a componente da velocidade x num local fixo da tubulação podemos observar na Fig.8.6 o comportamento da
velocidade para o caso laminar e turbulento. No escoamento turbulento a velocidade instantânea (u) é tão uniforme que
sua velocidade é a mesma
u = u
Observa-se que no caso do escoamento turbulento existe uma componente aleatória de flutuação da velocidade
instantânea (u´). Desta forma a velocidade instantânea é dada pela soma algébrica velocidade média mais a
componente de flutuação:
u = u + u´
12
Figura 6 Variação da velocidade num escoamento laminar e turbulento unidimensional
No caso do escoamento real tridimensional a natureza do escoamento é mais complicada já que a velocidade
manifesta três componentes de flutuação, sendo a velocidade instantânea dada como:
u =
u + u´
v = v + v´
w = w + w´
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.4.1 Tensão de cisalhamento
No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por:
du
τ yx = μ
dy
Conhecido o perfil de velocidades, podemos através da sua derivada (du/dy), determinar as tensões de cisalhamento no
escoamento.
Para escoamento turbulento não se tem uma relação direta como no caso do escoamento laminar, mesmo com
velocidade média unidimensional. As flutuações aleatórias da velocidade tridimensional u´, v´, w´ transportam
quantidade de movimento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma não existe uma relação universal
entre o campo de tensões e da velocidade no caso do escoamento turbulento.
No caso do escoamento turbulento para determinar as tensões de cisalhamento utilizam-se teorias semi-empíricas e de
dados experimentais. Neste caso a tensão de cisalhamento se expressa como sendo formada por uma componente
laminar e outra turbulenta.
= τ la min ar
τ + τ
onde
turbulento
du
τ lam = μ τ turb = −ρu´v´
dy
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13
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.4.2 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento
(a) Lei Exponencial Empírica
Num escoamento turbulento o perfil de velocidades não pode ser deduzido da maneira como foi realizado para o
escoamento laminar, devido a que não podemos utilizar a lei de Newton para relacionar a tensão de cisalhamento com
o gradiente de velocidades.
14
Figura 7 Perfil de Velocidades num escoamento turbulento
Num escoamento turbulento adotam-se perfis de velocidades obtidos de relações empíricas. Por exemplo a lei
exponencial empírica considera um perfil do tipo:
⎛ r ⎞
u(
r)
= umax
⎜1−
⎟
⎝ R ⎠
1/
n
Tal equação não pode ser aplicada próxima à parede (R=0) já que o gradiente de velocidade é infinito. Contudo pode
ser utiliza para y/R < 0,004 sendo y= R – r. O termo n depende do número de Reynolds como mostra a Fig. 8.8. O valor
para n=7 é geralmente utilizado com precisão razoável em muitas situações reais. Também podemos utilizar a
expressão n = 1. 85log(Re)
−1.
96
Figura 8 Expoente n do perfil da lei exponencial de velocidade turbulento
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
A Fig.8.9 mostra um perfil turbulento utilizando a expressão exponencial com n=6 e n=10. Para comparação
também mostra-se o perfil laminar de velocidade. Observa-se que os perfis turbulentos são muito mais “achatados” que
os laminares. O achatamento aumenta com o número de Reynolds isto é´, com o aumento de n.
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Figura 9 Perfil de velocidades num tubo
A razão entre a velocidade média ( u ou V ) e a velocidade máxima (Umax) para um perfil exponencial de velocidade é
dada por:
u
U
max
=
n
2 2
( n + 1)(
2n
+ 1)
(b) Distribuição da Velocidade Considerando Fator de Atrito
O fator de atrito ( f ) pode ser determinado para escoamentos em regime laminar e turbulento. O expoente n pode ser
determinado no caso de escoamento turbulento como:
n = k
8
f
onde k=0,41 é denominada constante de von karman.
No caso de escoamento turbulento podemos também utilizar a seguinte expressão para determinar o perfil de
velocidades em função do fator de atrito ( f )
{ + 1,
43 f + 2,
15 f log ( y R)
}
u = V
/
onde y=r - R.
1 10
A velocidade máxima é dada como:
{ 1+
1,
f }
u = V 43
max
15
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.5 Equação de Energia com Velocidade Média
Considerando escoamento em regime permanente incompressível uma análise de energia entre duas seções,
que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como:
2
p1
u1
+ + z1
+ H
ρg
2g
16
A
− H
R
− h
LT
2
p2
u2
= + + z
ρg
2g
2
onde HA representa a energia adicionada, HR, representa a energia retirada do sistema e hLT representa a dissipação de
energia. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Nos escoamentos viscosos o perfil
de velocidade numa dada seção não pode ser uniforme. É conveniente portanto utilizar a velocidade média, para tal é
necessário definir o coeficiente de fluxo de energia cinética (α). Aplicando a equação de energia numa tubulação entre
os pontos 1 e 2, onde não existem dispositivos mecânicos (HA =0 e HR =0):
p
ρg
u
2g
p
ρg
1
+ α1
2
1
+ z1
− hLT
=
2
+ α 2
2
u2
+ z
2g
o coeficiente de energia cinética é definido como
α =
∫
A
ρV
3
m&
V
dA
2
No caso de escoamento laminar: α=2.
No caso de escoamento turbulento:
⎛U
max ⎞ ⎛
α = ⎜ ⎟ ⎜
⎝ U ⎠ ⎝
3
2n 2
⎞
( )( ) ⎟⎟
3 + n 3 + 2n
⎠
Por ex. para os números de Reynolds considerados
Re n αααα
2
4,0x10 3 6 1,08
3,2x10 6 10 1,03
Se observa que α≅1. Desta forma para a maioria dos casos de engenharia nos cálculos de perda de carga considerase
α=1.
Observação: No material do Fox, McDonald a energia e perda de carga é apresentada como energia por unidade de
massa (J/kg). No nosso caso é dada como energia por unidade de peso (J/N), ou metro de coluna de fluido (m).
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.6 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações
A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito.
Escoamento sem atrito
A variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. de Bernoulli.
Δ P → f ( Z,
V ) já que hLT=0.
Escoamento real com atrito
a variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia
Δ P →
f ( Z,
V , hLT
)
O atrito origina uma diminuição da pressão.
Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito.
Perda de carga Total
A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas.
h = h + h
LT
L
acc
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Figura 10 Perda de carga em sistema de bombeamento
Perda de Pressão ou de Carga Principal: (hL)
Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante.
Perda de Carga Secundária - (hac)
Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área
variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes.
A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária.
17
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.7 Perda de Carga Principal
Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos.
Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma
tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2
h L
18
=
( p − p )
1
ρg
2
+
( z − z )
No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2).
h L
=
( p − p )
1
ρg
2
1
ΔP
=
ρg
2
1.7.1 Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar
Utilizando a expressão da velocidade média
2
D ⎛ ΔP
⎞
32μVL
V = ⎜ ⎟ e desta forma: Δ P = 2
32μ
⎝ L ⎠
D
substituindo esta última expressão na equação da perda de carga
h L
ΔP
⎛
= = ⎜
ρg
⎝
μVL
⎞⎛
1 ⎞
⎟⎜
⎟
D ⎠⎝
ρg
⎠
32 2
Podemos expressar esta equação em função do Número de Reynolds
ρVD ρVD
Re = explicitando a viscosidade dinâmica: μ =
μ
Re
h L
2
ρVD
⎛ 32VL
⎞⎛
1 ⎞ V ⎛ 32L
⎞⎛
1 ⎞
= ⎜ ⎟⎜
⎟ = ⎜ ⎟⎜
⎟
2
Re ⎝ D ⎠⎝
ρg
⎠ Re ⎝ D ⎠⎝
g ⎠
expressando em função da energia cinética
h L
2
64 L V
= Escoamento laminar
Re D 2g
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.7.2 Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento
No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de
pressão.
Se utiliza análise dimensional e correlações de dados experimentais.
Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes
variáveis.
Δ P = φ( D,
L,
ε,
V , ρ,
μ)
D diâmetro da tubulação L, comprimento da tubulação, V, Velocidade média, ε, rugosidade absoluta, ρ massa
específica, μ, viscosidade dinâmica.
Aplicando-se análise dimensional se obtém uma expressão da forma:
ΔP
⎡⎛
μ ⎞ ⎛ L ⎞ ⎛ ε ⎞⎤
= φ ⎢⎜
⎟,
⎜ ⎟,
2
⎜ ⎟⎥
ρV
⎣⎝
ρVD
⎠ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠⎦
como o termo é dado por
do análise dimensional.
ghL L
2
ρ
ρV
h L
gh ⎡ L ε ⎤
= = φ ⎢Re,
,
2
V ⎣ D D ⎥
⎦
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
ΔP
= podemos explicitar a variação de pressão (ΔP) e substituir a mesma na equação
ρg
experimentos mostram que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D. Para que a perda de carga seja obtida
adimensionalizada em relação à energia cinética se introduz o termo 1/2 na equação ficando como:
h L
L ⎡ ε ⎤
= φ ⎢Re,
2
V D ⎣ D ⎥
⎦
2g
A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito.
⎡ ε ⎤
f = φ ⎢Re,
⎣ D ⎥
⎦
desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido
escoando.
h L
2
L V
= f
Equação de Darcy-Weisbach.
D 2g
O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody.
19
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.7.3 DIAGRAMA DE MOODY
Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de
Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu
acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada
mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o
escoamento de fluidos.
20
Figura 11 Representação da rugosidade absoluta em tubulações
Tabela 1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais
Material Rugosidade absoluta (mm)
Aço, revestimento asfalto quente 0,3 a 0,9
Aço, revestimento esmalte centrifugado 0,011 a 0,06
Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3
Aço enferrujado 0,4 a 0,6
Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4
Ferro galvanizado novo, com costura 0,15 a 0,2
Ferro galvanizado novo, sem costura 0,06 a 0,15
Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20
Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0
PVC e Cobre 0,015
Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10
Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2000), uma zona crítica (Re de 2000 e 4000) uma zona
de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em
relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são resumidas a seguir:
1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao número de Re
2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos.
3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/D
diminui.
4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re
até alcançar a região inteiramente rugosa.
5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se mantém
praticamente como um valor constante independente do Re.
6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região plenamente
turbulenta começa a aumentar
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 12 Representação do Diagrama de Moody
21
ESCOAMENTOS VISCOSOS
I - Escoamento Laminar
O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação
2
2
L V
64 L V
hL = f com a equação da perda de carga laminar hL = se obtém:
D 2g
Re D 2g
64
f = válido para Re < 2500
Re
No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds.
Independe da rugosidade da tubulação.
II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos
Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams
/ 1
0,
316
=
Re
f Eq. de Blasius 4000 < Re < 10 5
22
( ) 4
−0,
32
f = 0,
0056 + 0,
5Re
Eq. de Drew Koo e McAdams 105 < Re < 3x106 III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos
Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento:
1 ⎛
⎞
⎜
ε / D 2,
51
= −2,
0log
+ ⎟ Equação de Colebrook 5,0x10
f ⎜
⎟
⎝
3,
7 Re f ⎠
3 < Re < 1x108 Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma
alternativa é utilizar uma equação explícita:
⎡ ⎛ ε / D
f = 0,
25⎢log⎜
+
⎣ ⎝ 3,
7
5,
74
0,
9
Re
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
−2
Equação Explícita 5,0x10 3 < Re < 1x10 8
Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos com a Eq.
de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10 -4 (0,0001) até 1x10 -6 (0,000001)
IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos
O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação:
1 ⎛ ε / D ⎞
= −2log⎜
⎟ Equação de Von Karman
f ⎝ 3,
7 ⎠
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.8 Métodos para Determinar as Perdas de Carga Secundárias
1.8.1 Método do comprimento equivalente
Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como
curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela
perda de carga (hac) definida como:
h
ac
2 Leq
V
= f
(m)
D 2g
O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material
utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o
comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de
carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios.
Válvula globo
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 13 Representação do comprimento equivalente em acessórios
Tabela 2 Perda de carga localizada
Tipo de Acessório Comprimento Equivalente
(Leq/D)
Válvula de globo aberta 340
Válvula de gaveta aberta 8
3/4 aberta 35
1/2 aberta 160
1/4 aberta 900
Válvula tipo borboleta aberta 45
Válvula de esfera aberta 3
Válvula de retenção tipo globo 600
Válvula de retenção tipo em ângulo 55
Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75
Cotovelo padronizado 90 0 30
Cotovelo padronizado 45 0 16
Te padronizada fluxo direto 20
Te padronizada fluxo ramal 60
Válvulas tipo borboleta
Figura 14 acessórios utilizados em instalações industriais
Te com flanges
23
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.8.2 Método do coeficiente de perda de carga
Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma:
h ac
24
2
V
= K
(m)
2g
Onde K é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto
mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta
forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos.
Tabela 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios
Tipo de Acessório K Tipo de Acessório K
Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40
Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15
Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0
Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20
Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0
Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00
Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6
Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30
Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75
Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50
Existência de pequena derivação 0,03 Velocidade 1,0
* com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização
Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém:
Leq
K = f
D
mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (K) e o comprimento equivalente (Leq).
Curva de 900 Joelho de 900 Registro de gaveta Válvula de pé com crivo
Figura 15 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.9 Perda de Carga em Elementos Secundários
1.9.1 Saídas e Entradas Abruptas
Quando o fluido escoa de um tubo para um reservatório sua velocidade cai bruscamente até próximo de zero. A perda
de carga para este caso é igual à energia cinética dissipada. K=1.
(a) saída de tubos K=1 (b) entrada de tubos: K depende do tipo de entrada
Figura 16 Representação de escoamento na saída e na entrada de tubos
Entrada Abruta de um Reservatório para um Tubo
No escoamento dado entre um reservatório e uma tubulação, a velocidade passa de um valor muito baixo para um valor
elevado. O coeficiente de perda de carga depende do tipo de união entre o tubo e o reservatório. Três casos típicos
apresentam diferentes perda de carga:
( a ) Entrada com tubo para dentro K=1,0
( b ) Entrada com cantos vivos K=0,5
( c ) Entrada com cantos arredondados K conforme os dados da tabela abaixo:
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
r/D 0,02 0,06 ≥0,15
K 0,28 0,15 0,04
(a) tubo para dentro K=1
(b) cantos vivos K=0,5
(c) cantos arredondados
Figura 17 Entrada com (a) tubo para dentro (b) cantos vivos e (c) cantos arredondados
25
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.9.2 Expansão e Contração Abruptas
Expansão abrupta
Numa expansão abrupta o fluido escoa de um tubo de seção menor para um outro de seção maior. A velocidade cai
abruptamente formando-se uma região de turbulência e recirculação de fluxo a qual provoca uma perda de carga
proporcional à relação das seções dos tubos. A perda de carga localizada é determinada pela expressão:
Onde V é a velocidade média do tubo menor.
Contração Abrupta
26
(a) Contração abrupta (b) Expansão abrupta
Figura 18 Contração abrupta e expansão abrupta
Neste tipo de elemento, a perda de carga é originada pela contração da linhas de corrente formando uma veia contracta
e regiões de recirculação de fluxo.
0.6
0.5
0.4
K 0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
A2/A1
0.6
K
0.4
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(a) Contração abrupta
(b) Expansão abrupta
Figura 19 Coeficiente de perda de carga para contração e expansão abrupta
Para determinar a perda de carga com estas relaçoes se utiliza a velocidade correspondente a seção de menor
diâmetro. O mesmos é valido para avaliar a perda de carga em peças com expansão o contração gradual como visto no
proximo item.
1
0.8
0.2
A1/A2
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.9.3 Expansão e Contração Gradual
A expansão gradual é obtida com uma peça de transição unindo um tubo de menor diâmetro com outro de maior
diâmetro permite uma menor dissipação de energia do que uma transição abrupta direta entre dois tubos de diferente
diâmetro. O coeficiente de perda de carga (K) depende da relação de diâmetros (D2/D1) e do ângulo do cone. Obtém-se
uma perda de carga mínima adotando-se um ângulo do cone de 7 0 .
Contração Gradual
(a) Contração gradual
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
(b) Expansão gradual
Figura 20 Contração gradual e expansão gradual
Figura 21 Perda de carga em expansão gradual
Da mesma forma que numa contração brusca a perda de carga depende da relação de diâmetros e do ângulo da
contração.
Tabela 4 Coeficiente de perda de carga (K) de contração gradual de tubos
Angulo da contração - θ
A2/A1 10 o 15 o a 40 o 50 o a 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26
Obs. Válido para tubos redondos e retangulares. Fonte: Fox
27
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.10 Problemas Típicos de Escoamentos em Tubos
A variação de pressão entre dois pontos de uma tubulação depende basicamente das variáveis envolvidas na Eq. da
Energia.
1.10.1 Determinação da Vazão
Q = φ (L,hL,D)
1. Escrever a Eq. da energia introduzindo as grandezas conhecidas
2. Expressar a perda de carga em função da velocidade e do fator de atrito hL =φ (V,f)
3. Explicite a velocidade em função do fator atrito V= φ(f)
4. Expresse o número de Reynolds em função da velocidade Re =φ (V)
5. Calcule a rugosidade relativa ε/D.
6. Selecione um valor inicial do fator de atrito f=fo tomando como referência o valor da rugosidade relativa ε/D e
admitindo um Re na faixa turbulenta.
7. Calcule a velocidade em função do fator de atrito assumido Vcal=φ(f)
8. Calcule o Re com a nova velocidade Re =φ (Vcal)
9. Com Recal e ε/D obtenha um novo valor do fator de atrito f= fcal.
10. Se fcal ≠ f Adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito.
A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado a vazão com a velocidade final
calculada.
1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação
D = φ (L,Q, hL)
1. Explicite da Eq. da energia a perda de carga.
2. Expresse a vazão em função da velocidade e do diâmetro na Eq, da perda de carga.
3. Explicitar o diâmetro da Eq. da perda de carga ficando uma expressão na forma: D=(C1f) 0,2
4. Expresse o número de Reynolds como função do diâmetro Re= C2/D.
5. Adote um valor inicial do fator de atrito f=f0 (por exemplo f0 =0,02)
6. Calcule o diâmetro pela expressão obtida: D=(C1f) 0,2
7. Calcule o número de Reynolds pela expressão: Re= C2/D.
1. Calcule a rugosidade relativa ε/D.
2. Com Re e ε/D determine um novo valor do fator de atrito fcal.
3. Se fcal ≠ f adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito.
A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado o diâmetro com o fator de atrito
final.
28
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.11 Resumo da Tensão de Cisalhamento nas Paredes
A tensão na parede no escoamento laminar e turbulento é dada por:
ΔP
τ w =
L
D
4
tal valor representa a tensão de cisalhamento máxima τw =τmax
A Eq. de Darcy-Weisbach também é válida para escoamento laminar e turbulento
h L
= f
2
L V
D 2g
A tensão de cisalhamento em função do fator de atrito (f) para regime laminar ou turbulento é obtida igualando-se as
duas expressões anteriores obtendo-se
2
f V
τ w = ρ válida para escoamento laminar ou turbulento
4 2
A tensão de cisalhamento para qualquer posição r do duto é dada como:
r
τ = τ max válida para escoamento laminar ou turbulento
R
r=0 é no centro da tubulação e r=R na parede da tubulação
Perfil de velocidades e tensão de cisalhamento para escoamento Laminar e Turbulento
Figura 22 Escoamento laminar e turbulento: perfil de velocidades e tensão de cisalhamento
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
29
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.12 Conceito de Diâmetro Hidráulico
Os equacionamentos de perda de carga estudados neste capítulo também podem ser aplicados a tubulações com
seções não circulares utilizando a definição de diâmetro hidráulico (Dh) :
D h
30
4A
=
P
Onde A é a área da seção transversal do tubo P é o perímetro molhado, que é o comprimento da parede em contato
com o fluido. A equação acima para um duto circular A=πD 2 /4 e P=πD e desta forma Dh=D.
Figura 23 Diversas geometrias de tubulações
A Fig. 23 mostra diversas geometrias de seções transversais de tubos que podem ser utilizados nas aplicações
industriais. Devido as limitações de espaço nas instalações de ar condicionado se utilizam freqüentemente dutos
retangulares. Em trocadores de calor podem ser utilizados tubos achatados, hexagonais, ovais e outros com cilíndricos
concêntricos para escoamento anular. Em canais de regadios, rios, córregos, canais de represamento e calhas o
fluido não preenche totalmente a seção transversal do duto, isso deve ser considerado para determinar corretamente o
perímetro molhado.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
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ESCOAMENTOS VISCOSOS
2. ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS
31
ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.1 ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS
Objetivo:
• Deduzir as tensões aparentes ou Tensões de Reynolds para escoamento turbulento utilizando as equações da
conservação da massa e Eq. de Navier Stokes considerando fluido incompressível
• Apresentar as equações de Navier-Stokes para escoamento turbulento.
Definimos as equações que da conservação da massa e Eq. de Navier Stokes
32
• Equação valida para escoamento laminar e turbulento
• Fluido incompressível (massa especifica constante) e viscosidade constante
• Sem iteração térmica.
• Condições de não-deslizamento e condições conhecidas na entrada e saída
Equação da conservação da massa
Equação de Navier Stokes
Utilizando as grandezas escalares:
Equação de Navier Stokes
Componentes escalares
∂u
∂v
∂w
+ +
∂x
∂y
∂z
= 0
r
DV
r r
2
ρ = −∇p
+ ρg
+ μ∇
V
Dt
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u
⎞ ∂p
2
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
x + μ∇
u
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v
⎞ ∂p
2
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
y + μ∇
v
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂y
⎛ ∂w
∂w
∂w
∂w
⎞ ∂p
2
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
z + μ∇
w
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂z
No escoamento turbulento velocidade instantânea e definida como sendo a soma da media temporal mais a
componente de flutuação
'
u = u + u
'
v = v + v
'
w = w + w
'
p = p + p
(1)
(2)
(3)
(4)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Media Temporal
A media temporal u da função u ( x,
y,
z,
t)
e definida como:
T
= ∫o
udt
1
T
u
=
T ∫o
vdt
1
v
w =
T
T
1
T
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∫
T
o wdt
1
p =
T
∫
T
o pdt
Período de calculo da media, o qual deve ser maior que o período das flutuações. Para escoamentos
turbulentos em gases e água T=5seg. e um período apropriado.
Media da Flutuação
Media do Quadrado da Flutuação
Media do Produto das Flutuações
u
1
T
'
= ∫ T
o
u
'2
1 '2
= ∫ T
u
o
T
( u − u ) dt = 0
dt ≠ 0
' '
' '
' '
u v ≠ 0 u w ≠ 0 v w ≠ 0
Utilizando as velocidades instantâneas e introduzidas na conservação da massa:
Tomando valores médios se obtém:
Equação da Conservação da Massa
para escoamento Turbulento.
'
'
'
( u + u ) ∂(
v + v ) ∂(
w + w ) + + = 0
∂
∂x
⎧∂u
∂v
⎨ + +
⎩ ∂x
∂y
∂y
Equação de Navier Stokes para Escoamento Turbulento
Substituindo as definições de velocidades instantâneas se obtém:
∂z
' ' '
∂w
⎫ ⎧∂u
∂v
∂w
⎫
⎬ + ⎨ + + ⎬ =
∂z
⎭ ⎩ ∂x
∂y
∂z
⎭
∂u
∂v
∂w
+ +
∂x
∂y
∂z
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u
⎞ ∂p
⎛
2 ⎜
∂
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
x + μ∇
u − ρ
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
⎜
⎝
∂x
0
= 0
'2
' ' ' '
( u ) ∂(
u v ) ∂(
u w )
' ' '2
' '
( u v ) ∂(
v ) ∂(
v w )
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v
⎞ ∂p
⎛
⎞
2 ⎜ ∂
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
⎟
y + μ∇
v − ρ + +
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂y
⎜
⎟
⎝
∂x
∂y
∂z
⎠
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂
⎛ ' ' ' '
'2
w w w w p
( ) ( ) ( ) ⎞
2 ⎜ ∂ u w ∂ v w ∂ w
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
+ ∇ w − + + ⎟
z μ ρ
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂z
⎜
⎟
⎝
∂x
∂y
∂z
⎠
Observa-se comparando a Eq.10 com a Eq,1 que no caso do escoamento turbulento surge forcas adicionais devido à
turbulência denominada forcas aparentes. As tensões associadas a estas forcas são chamadas de tensões aparentes
ou tensões de Reynolds
+
∂y
+
∂z
⎞
⎟
⎟
⎠
(6)
(7)
(8)
(5)
(9)
(10)
33
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Forcas Aparentes Associadas ao
Escoamento Turbulento.
34
df
df
df
Tx
Ty
Tz
⎛
⎜
∂
= −ρ
⎜
⎝
∂x
'2
' ' ' '
( u ) ∂(
u v ) ∂(
u w )
+
∂y
∂z
' ' '2
' '
( v u ) ∂(
v ) ∂(
v w )
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
⎜ ∂
= −ρ
+ + ⎟
⎜
⎟
⎝
∂x
∂y
∂z
⎠
⎛ ' '
' '
'2
( ) ( ) ( ) ⎞
⎜ ∂ w u ∂ w v ∂ w
= −ρ
+ + ⎟
⎜
⎟
⎝
∂x
∂y
∂z
⎠
Estas forcas aparentes estão relacionadas as tensões do escoamento turbulento
⎛ ∂σ
∂τ
⎞
Txx Txy ∂τ
Txz
df
⎜
⎟
Tx = − + +
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
⎛ ∂τ
Tyx ∂σ
Tyy ∂τ
Tyz ⎞
df = −
⎜ + +
⎟
Ty
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
⎛ ∂τ
∂τ
∂ ⎞
Tzx Tzy σ Tzz
df = −
⎜ + +
⎟
Tz
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Estas tensões são denominadas tensões de Reynolds as quais são conseqüência das flutuações da velocidade.
⎛σ
⎜
⎜τ
⎜
⎝ τ
Txx
Tyx
Tzx
τ
σ
τ
Txy
Tyy
Tzy
+
'2
' ' ' '
( u ) ( u v ) ( u w )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎟
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎞
⎜
⎜
τ Txz ⎞
⎟ ⎜ ' ' '2
' '
⎟ = − ⎜ v u v v w
τ Tyz ρ
⎟ ⎜
σ Tzz ⎠ ⎜ ' ' ' ' '2
⎜ w u w v w
⎜
⎝
⎠
Desta forma as tensões no escoamento turbulento podem ser consideradas como sendo a soma das parcelas das
tensões laminares mais as tensões turbulentas ou tensões de Reynolds:
Tensões de para
Escoamento turbulento
σ = σ + σ
xx
yy
xx
σ = σ + σ
zz
yy
σ = σ + σ
xy
zz
τ = τ + τ
xy
τ = τ + τ
yz
yz
τ = τ + τ
zx
zx
Txx
Tyy
Tzz
Txy
Tyz
Tyzx
(11)
(12)
(13)
(14)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Para escoamento com fluido incompressível a s tensões laminar e turbulenta são definidas pelas equações a seguir:
σ = σ + σ
xx
yy
xx
σ = σ + σ
zz
yy
σ = σ + σ
xy
Txx
Tyy
Tzz
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
zz
τ = τ + τ
yz
xy
τ = τ + τ
zx
yz
τ = τ + τ
zx
Txy
Tyz
Tyzx
A Eq. 10 também pode ser representada como:
xx
∂u
= − p + μ
∂x
'2
σ 2 σ Txx = −ρ
( u )
yy
∂v
= − p + μ
∂y
'2
σ 2 σ Tyy = −ρ
( v )
zz
∂w
= − p + μ
∂z
'2
σ 2 σ Tzz = −ρ(
w )
xy
⎛ ∂u
∂v
⎞
= μ⎜
+ ⎟
⎝ ∂y
∂x
⎠
( )
τ ' ' τ Txy = −ρ
u v
yz
⎛ ∂w
∂v
⎞
= μ⎜
+ ⎟
⎝ ∂y
∂z
⎠
( )
τ ' ' τ Tyz = −ρ
v w
zx
⎛ ∂u
∂w
⎞
= μ⎜
+ ⎟
⎝ ∂z
∂x
⎠
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u
⎞ ∂p
∂ ⎛ ∂u
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
x + ⎜ μ − ρ
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
∂x
⎝ ∂x
τ ( ) ' ' τ Tzx = −ρ
w u
'2
⎞ ∂ ⎛ ∂u
' ' ⎞ ∂ ⎛ ∂u
' '
( u ) ⎟ + ⎜ μ − ρ(
u v ) ⎟ + ⎜ μ − ρ(
u w )
' ' ⎞ ∂ ⎛ ∂v
'2
⎞ ∂ ⎛ ∂v
' '
( v u ) ⎟ + ⎜μ
− ρ(
v ) ⎟ + ⎜ μ − ρ(
v w )
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v
⎞ ∂p
∂ ⎛ ∂v
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
y + ⎜μ
− ρ
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂y
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎞
⎟
⎠
⎛ ∂w
∂w
∂w
∂w
⎞ ∂p
∂ ⎛ ∂w
' ' ⎞ ∂ ⎛ ∂w
' ' ⎞ ∂ ⎛ ∂w
'2
⎞
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = − + ρg
z + ⎜ μ − ρ(
w u ) ⎟ + ⎜μ
− ρ(
w u ) ⎟ + ⎜ μ − ρ(
w )⎟
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂z
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂y
⎝ ∂y
⎠ ∂z
⎝ ∂z
⎠
A equação acima pode ser escrita em forma mais compacta como:
Equação de Navier-Stokes para
Escoamento turbulento
⎠
∂y
⎝
∂y
⎠
∂z
⎝
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u
⎞ ∂σ
∂τ
xx xy ∂τ
xz
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = ρg
x + + +
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
∂y
∂z
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v
⎞ ∂τ
yx ∂σ
yy ∂τ
yz
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = ρg
y + + +
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
∂y
∂z
⎛ ∂w
∂w
∂w
∂w
⎞ ∂τ
∂τ
zx zy ∂σ
zz
ρ⎜
+ u + v + w ⎟ = ρg
z + + +
⎝ ∂t
∂x
∂y
∂z
⎠ ∂x
∂y
∂z
∂z
(15)
35
⎞
⎟
⎠
ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.2 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS
36
• Ainda não existe um modelo de turbulência geral e completo que descreva como varia a tensão de
cisalhamento num campo de escoamento incompressível viscoso e turbulento.
• Existe uma grande dificuldade em determinar as tensões de Reynolds ou que representa não conhecer a
viscosidade turbulenta efetiva.
Duas soluções semi empíricas podem ser descritas:
(a) Conceito de Comprimento de Mistura de Prandtl em 1925
(b) Conceito de Viscosidade Turbulenta Efetiva de Boussinesq.
Considerando um dos termos para um escoamento numa direção predominante:
du
τ = τ lam + τ turb = μ − ρ
dy
( ) ' ' u v
demonstra-se que o produto ( ) ' ' v
u e sempre negativo (-):
( ) ( ) ' '
' ' du
− u v = μ ρ u v
du
τ = μ − ρ
+
dy
dy
Desta forma num escoamento turbulento, a tensão total (lam + turb) e sempre maior que no escoamento laminar.
Parcela τ lam : Dominante na sub-camada viscosa (muito fina: 0,1% do Raio da tubulação)
Parcela τ Turb : Dominante na camada externa ou camada turbulenta. (100 a 1000 maior que τ lam nesta camada)
• Transições dos efeitos laminar e turbulento ocorrem na camada de superposição ou amortecedora.
2.3 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL
• As partículas de fluido viajam de camada para camada.
• Neste transporte percorrem um caminho com comprimento de mistura l
Pode ser mostrado que as flutuações das velocidades são relacionadas por:
' du
u = l1
e
dy
' du
v = l2
dy
Onde l1 e l2 são os comprimentos de mistura para o transporte da quantidade de movimento.
Definimos também que:
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
2
lm = l1l2
O comprimento de mistura e definido como
lm = ky
onde y e a distancia normal a parede e k e a constante de Von karman (k=0,4). Estudos posteriores mostram que l m
não apresenta um valor constante.
Desta forma a tensão turbulenta e expressa como:
τ = −ρ
=
Turb
' ' 2 du
du
( u v ) ρlm
dy dy
Tensão de Reynolds utilizando
hipótese de Prandtl.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
τ = ρ
Turb
2
lm du
du
dy dy
Boussinesq define a viscosidade turbulenta efetiva, representando a tensão turbulenta como:
du
τ Turb = η
dy
Tensão de Reynolds utilizando
hipótese de Boussinesq
du
τ Turb = η
dy
Onde η representa a viscosidade turbulenta efetiva que podemos relacionar a expressão de Prandtl por:
Viscosidade turbulenta efetiva.
Desta forma se obtém uma representação da tensão turbulenta como:
du
du
τ = τ lam + τ turb = μ + η
dy dy
Tensão de Cisalhamento para
escoamento turbulento
2
η = ρlm
du
dy
du
( μ η)
dy
τ = +
37
ESCOAMENTOS VISCOSOS
A viscosidade efetiva turbulenta (η ) e relacionada nestas equações com a difusividade turbilhonar conhecida como
denominada viscosidade cinemática aparente.
Viscosidade cinemática aparente.
Tensão de Reynolds utilizando a
viscosidade cinemática aparente.
38
Turb
η
ε m =
ρ
τ = ρε
Desta forma a tensão de cisalhamento total num escoamento turbulento pode ser dada por:
Tensão de Cisalhamento para
escoamento turbulento
m
du
dy
du
( μ ρε m )
dy
τ =
+
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
ESCOAMENTOS VISCOSOS
3. PERFIL DE VELOCIDADES TUBULAÇOES
EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS
39
ESCOAMENTOS VISCOSOS
3.1 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS
Num escoamento turbulento em dutos o perfil de velocidade cresce desde a parede até um máximo no centro da
tubulação. Este escoamento pode ser divido em três regiões principais:
40
• Uma subcamada laminar ou viscosa muito próxima da parede
• Uma camada intermediaria ou de superposição
• Uma camada turbulenta externa (na região central da tubulação).
A natureza do escoamento e portando do perfil de velocidade e totalmente diferente nestas três camadas:
• Na subcamada a viscosidade do fluido e um parâmetro significativo e a massa especifica não.
• Na camada externa a massa especifica e um parâmetro significativo e a viscosidade não.
Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média.
Sabemos que num escoamento turbulento a tensão de cisalhamento e composta por uma parcela de tensão laminar e
uma turbulenta.
( ) ' ' du
τ = τ lam + τ turb = μ − ρ u v
dy
A equação pode ser representada como:
du
( μ μT
)
dy
τ = +
Onde µ representa a viscosidade absoluta do fluido e µT representa a viscosidade aparente ou efetiva.
μ =
ρ
T
2
lm du
dy
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
du
⎛ 2 du
⎞ du
τ = μ + ⎜ ρlm
⎟
dy ⎝ dy ⎠ dy
Visto desta forma podemos colocar que:
Sub-camada laminar ou viscosa (região da parede)
Camada de amortecedora ou de superposição:
Camada turbulenta externa:
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
τ >> τ μ >> μ
lam
turb
τ ≅ τ μ ≅ μ
lam turb
turb >> τ lam μT
τ >> μ
T
T
41
ESCOAMENTOS VISCOSOS
3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS
42
Objetivo:
Determinar o perfil de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação considerada lisa e um fluido com
propriedades constantes.
Utiliza-se como equação básica a expressão da tensão turbulenta:
du
⎛
τ
= μ + ⎜ ρl
dy ⎝
2
m
Para equacionar o perfil de velocidade e utilizado o conceito de velocidade de atrito.
Velocidade de Atrito
du
dy
*
u =
τ W
ρ
onde τ W e a tensão de cisalhamento na parede e ρ a massa especifica do fluido.
Alem disto são introduzidas duas grandezas adimensionais:
+
• Velocidade adimensional u
• Distancia a partir da parede adimensional
Velocidade de Adimensional
Distancia da parede adimensional
+
y
y = R − r Representa a distancia normal a partir da parede
ν Viscosidade cinemática do fluido
Em termos das camadas:
⎞
⎟
⎠
du
dy
+ u
u = *
u
y
+
yu
=
v
Sub-camada viscosa (região da parede) +
y ≤ 5
Camada de superposição: 5 < ≤ 30
+
y
*
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Camada externa: +
y > 30
SOLUCAO
1.
du
τ = μ + ρl
dy
2
m
du
du
dy dy
2. sabemos que lm = ky
du
dy
3. τ = μ + ρ(
ky)
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
2
2
⎛ du
⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
4. Dividimos a Equação pela massa especifica
τ
ρ
μ du
ρ dy
5. = + ( ky)
2
2
⎛ du
⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
μ
6. O termo = ν representa a viscosidade cinemática:
ρ
τ
ρ
du
dy
7. = v + ( ky)
τ
ρ
8. = ⎜ ( ky)
2
2
⎛ du
⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
⎛ 2 du
⎞ du
v + ⎟
⎝ dy ⎠ dy
⎛ 2 du
⎞ du
u + ⎟
⎝ dy ⎠ dy
* 2
9. = ⎜v
( ky)
Equação Deduzir as Equações
Especificas.
* 2 ⎛ 2 du
⎞ du
u = ⎜v
+ ( ky)
⎟
⎝ dy ⎠ dy
43
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Caso N o 1 – Escoamento na Sub-camada Viscosa (Região da Parede):
Como: τ >> τ o termo que representa a tensão viscosa da equação torna-se nulo.
* 2
u =
du
44
lam
du
( v)
dy
*
u
=
v
2
sendo que :
+ +
du = dy
Integrando
dy
u = y + c
+ +
du
turb
dy ν
u
+
* 2 +
+ *
= du u e que dy = *
+ *
du u
*
u dy ν
= Se obtém:
v u
+
+
Nas condições de contorno na parede: para y = 0 u = 0 por tanto u = 0 e y = 0 e c=0.
Lei da Parede
Sub-camada Laminar ou Viscosa
+ +
+
u = y para y
≤ 5
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Caso N o 2 – Camada turbulenta (Região de Externa):
Como: τ >> τ o termo que representa a tensão laminar torna-se nulo.
Trub
lam
Podemos utilizar as relações adimensionais:
u
* 2
=
( ky)
2
* du
u = ky
dy
O termo:
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
2
⎛ du
⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
du
dy
+
* +
u = ky +
+ dy
du =
ky
Integrando:
⎛ y v ⎞ du u
⎜
⎝ u
⎟
⎠ dy ν
*
u
⎛ y v ⎞ du u
⎜
⎝ u
⎟
⎠ dy ν
du
dy
+ + * + + * 2
+
y = ⎜ * ⎟ + = ⎜ * ⎟ +
+
= y +
du
dy
+
+
u
+ 1 +
u = ln y + c
k
*
Onde c e uma constante que depende da rugosidade da tubulação. Para paredes consideradas lisas, na literatura se
encontra c=5 ou também c=5,5.
Lei da Logarítmica
Camada Externa plenamente
turbulenta.
u
*
+
+
+
u = 2 , 5ln
y + 5,
5 para y > 30
Pode ser mostrado que integrando a equação anterior se obtém a velocidade media do perfil de velocidades.
Lei da Logarítmica
Velocidade Media
Caso N o 3 – Região de Superposição:
Vmedia *
Neste caso adota-se um perfil de ajuste logarítmico do tipo.
Lei da Logarítmica
Camada de Superposição.
u
≅
+
2,
5ln
y
+
1,
34
+
para y > 30
+
+
u = 5, 0ln
y − 3,
05 para 5 < ≤ 30
+
y
45
ESCOAMENTOS VISCOSOS
RESUMO DAS EQUACOES DO PERFIL DE VELOCIDADES
Sub-camada viscosa (região da parede)
46
+ + +
u = y para y ≤ 5
Camada de superposição: +
+
u = 5, 0ln
y − 3,
05 para 5 < ≤ 30
+
y
Camada externa:
+
+
+
u = 2 , 5ln
y + 5,
5 para y > 30
u +
Perfil de velocidade turbulenta num tubo liso
y + =u * y/ν
Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS
• Uma superfície e considerada hidraulicamente lisa quando as saliências da superfície ( ε) ou rugosidade for
muito menor que a espessura da sub-camada viscosa (δV)).
• Define-se o parâmetro
Parâmetro de Rugosidade
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
+
ε =
ε
u
ν
• Estudos em tubos em escoamento turbulento utilizando rugosidade areia para aumentar artificialmente a
rugosidade permitem concluir que a as superfícies podem ser classificadas em função do parâmetro:
Hidraulicamente Lisa:
• Sem efeito da rugosidade sobre o atrito
Transitórias
• Efeito moderado do numero de Reynolds
Completamente Rugosa
• A subcamada viscosa e totalmente destruída e o
atrito dependem do numero de Reynolds.
*
0 ≤ ≤
+
ε
5 < ≤
+
ε
+
ε > 70
Resultados mostram que para escoamento em tubos rugosos, a lei logarítmica da velocidade para escoamento
plenamente turbulento e dado por:
Lei da Logarítmica da Velocidade
• Tubos Rugosos
• Camada Externa plenamente
turbulenta.
+ y
+
u = 2 , 5ln
+ 8,
5 para ε > 70
ε
Integrando esta equação se obtém a velocidade media do perfil de velocidades na tubulação:
Velocidade media
• Tubos Rugosos
• Camada Externa plenamente
turbulenta.
Vmedia *
u
=
D
2,
5ln
+ 8,
5
ε
5
70
+
para ε > 70
47
ESCOAMENTOS VISCOSOS
3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL
Uma alternativa para descrever a distribuição de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação e dada pela lei
exponencial:
Lei Exponencial
48
r
u umax
R
1 ⎟ ⎛ ⎞
= ⎜ −
⎝ ⎠
onde o expoente n e uma função do numero de Reynolds e da rugosidade do material e varia de 5 a 10.
Para tubos lisos:
Re 4x10 3 10 5 10 6 > 2x10 6
n 6 7 9 10
Podemos também utilizar uma expressão aproximada. n = 1. 85log
Re−1.
96
O expoente n esta relacionado com o fator de atrito pela equação empírica:
Expoente n
n =
1
f
1/
n
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Lembrando que tanto para escoamentos laminar e turbulento o atrito esta relacionada com:
Equações validas para
Escoamento
Laminar e turbulento
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
8τ
f =
ρV
W
2
media
ΔP
D
τ W =
L 4
h L
= f
2
L V
D 2g
• O perfil de velocidades da lei exponencial não poder ser utilizado para determinar a tensão de cisalhamento na
parede já que:
⎛ du
⎞
• ⎜ ⎟ = ∞
⎝ dy ⎠
parede
• Para determinar τ W deve-se relacionar o fator de atrito com a tensão de cisalhamento com as equações
apresentadas acima.
Pode-se obter a velocidade media em função da velocidade máxima pela integração da velocidade:
V
media
=
Q
A
=
R
∫
0
udA
Relação entre a velocidade media e
velocidade máxima.
A
V
media
=
R
∫
0
u ( r)
2πrdr
πR
2
=
Vmedia u
max
2n
2
u
max
( n + 1)
( 2n
+ 1)
=
n
2 2
( n + 1)
( 2n
+ 1)
49
ESCOAMENTOS VISCOSOS
50
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4. Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.1 Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite
Quando um corpo se move através de um fluido existe um interação entre este e o fluido. Tal interação pode
ser descrita por forças que atuam na interface fluido-corpo. Estas forças se devem aos efeitos viscosos e aos efeitos de
pressão. Em Engenharia, para avaliar os efeitos globais é mais interessante representar estas forças em função da
denominada força de arrasto que atua na direção do escoamento e a força de sustentação que atua na direção normal
ao escoamento denominada sustentação. O arrasto e sustentação podem ser obtidos pela integração das tensões de
cisalhamento e as forças normais ao corpo. No Cap.11 são abordadas as forças de sustentação e arrasto para
escoamentos externos viscosos sobre superfícies curvas tais como cilindros e aerofólios. No presente capítulo é
abordado o escoamento externo sobre placas planas.
4.2 Escoamento em Torno de Corpos
A característica do escoamento em torno de um corpo depende de vários parâmetros como: forma do corpo,
velocidade, orientação e propriedades do fluido que escoa sobre o corpo. Os parâmetros mais importantes para
descrever o escoamento sobre um corpo são o número de Reynolds e número de Mach.
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo
O número de Reynolds (Re= ρ VD/μ) representa a relação entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos.
• Sem os efeitos viscosos (μ=0) , o número de Reynolds é infinito.
• Por outro lado na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ=0) o número de Reynolds é nulo.
Qualquer escoamento real apresenta um número de Reynolds entre esses limites. A natureza do escoamento varia
muito se Re >>1 ou se Re

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.3.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈10 7
Para escoamento com Re muito alto (Re≈≈≈≈10 7 ) predominam os efeitos das forças de inércia. Os
efeitos das forças viscosas são praticamente desprezíveis em todos os pontos, exceto naqueles muito próximos da
placa plana e na região de esteira localizada a jusante da placa (Fig. 4). Como a viscosidade do fluido não é nula o
fluido adere à superfície sólida (condição de não escorregamento). Desta forma a velocidade varia desde zero na
superfície da placa até um valor Uoo, na fronteira de uma região muito fina denominada camada limite. Essa região
conhecida como camada limite (δ) é sempre muito menor que o comprimento da placa. A espessura desta camada
aumenta na direção do escoamento e é nula no borda de ataque da placa. O escoamento na camada limite pode ser
laminar ou turbulento.
Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro
de 1% da velocidade de corrente livre.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 4 Placa Plana - Efeitos de inércia importantes
As linhas de corrente fora da camada limite são aproximadamente paralelas àplaca plana. O leve
deslocamento das linhas de corrente externas (fora da camada limite) se deve ao aumento da espessura da camada
limite na direção do escoamento e é nula no bordo de ataque da placa. A existência da placa plana tem pouco efeito
nas linhas de corrente externas tanto na frente, acima ou abaixo da placa. Por outro lado, a região de esteira é
provocada por efeitos viscosos.
Camada Limite – Prandtl
O físico alemão Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanços na Mecânica dos Fluidos, em 1903,
concebendo a idéia da camada limite na qual define – Uma região muito fina dentro da camada limite e adjacente à
superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes, onde a componente axial da velocidade varia
rapidamente com a distância y. Uma região fora da camada limite denominada região de escoamento potencial onde o
fluido se comporta como se fosse um fluido não viscosos, ou investido onde as forças de cisalhamento são
desprezíveis. Certamente a viscosidade dinâmica é a mesma em todo o campo de escoamento. Desta forma a
importância relativa de seus efeitos (devido aos gradientes de velocidade) é diferente fora e dentro da camada limite.
Os gradientes de velocidades normais ao escoamento são relativamente pequenos fora da camada limite e o fluido se
comporta como se fosse não viscoso.
53
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.4 Características da Camada Limite
O tamanho da camada limite e a estrutura do escoamento nela confinado variam muito. Parte desta variação é
provocada pelo formato do objeto onde se desenvolve a camada limite. A seguir se analisa o efeito da camada limite
para o caso de um fluido viscoso e incompressível sobre uma placa plana de comprimento infinito (x varia de 0 a
infinito).
Se o Re é muito alto somente o fluido confinado na camada limite sentirá a presença da placa. Exceto na região fora da
camada limite a velocidade será essencialmente igual a velocidade de corrente livre V=Ui. Para uma placa finita, o
comprimento L pode ser utilizado como comprimento característico. No caso da placa plana de comprimento infinito
definimos o Rex= Ux/ν. Se a placa é longa o Re é alto, apresentando uma camada limite exceto na região muito
pequena próxima da borda da placa. A presença da placa é sentida em regiões muito finas da camada limite e da
esteira.
54
Figura 10.5. Efeito rotacional de partículas de fluido dentro da camada limite
Consideremos o escoamento de uma partícula de fluido no campo de escoamento. Quando a partícula entra na camada
limite começa a distorcer devido ao gradiente de velocidade do escoamento – a parte superior da partícula apresenta
uma velocidade maior do que na parte inferior. O elemento de fluido não tem rotação fora da camada limite mas
começa a rotar quando atravessa a superfície fictícia da camada limite e entre na região onde os efeitos viscosos são
importantes.
O escoamento é irrotacional fora da camada limite
O escoamento é rotacional dentro da camada limite.
A partir de uma certa distância x do bordo de ataque, o escoamento na camada limite torna-se turbulento e as partículas
de fluido tornam-se extremadamente distorcidas devido a natureza irregular da turbulência. Uma das características da
turbulência é o movimento de misturas produzido no escoamento. Esta mistura é devido a movimentos irregulares de
porções de fluido que apresentam comprimentos que variam da escala molecular até a espessura da camada limite.
Quando o escoamento é laminar a mistura ocorre somente em escala molecular. A transição do escoamento de laminar
para turbulência ocorre quando o Re atinge um valor critico (Rec).
Placa Plana:
• Rec varia de 2x10 5 até 3x10 6 . É função da rugosidade da superfície e da intensidade da turbulência.
Considera-se o valor crítico igual a Rec=5x10 5 . ( 500.000)
Considera-se que a camada limite é turbulenta quando Rex > 3x10 6 ( 3.000.000)
Laminar Re < 5x10 5 Turbulento Re > 3,0 x10 6
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.5 Espessura da Camada Limite
Na camada limite a velocidade muda de zero na superfície da placa até o valor da velocidade de corrente livre na
fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condições de contorno:
V=0 em y =0 e V≈U00 em y =δ.
Matematicamente como fisicamente o perfil de velocidade não apresenta nenhuma singularidade. Isto é, u tende a Uoo
quando mais nos afastamos da placa (não é necessário que u seja precisamente igual a U00 em y=δ). Se define a
espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1% da
velocidade de corrente livre.
δ = y onde u = 0,
99U
4.6 Espessura de Deslocamento
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
∞
A Fig. 10.6 mostra dois perfis de velocidade para escoamento sobre uma placa plana: um (Fig. 6a) considerando perfil
uniforme de velocidade (sem atrito) e outro (Fig.6b) com viscosidade no qual a velocidade na parede é nula.
Figura 6. Camada limite e conceito de espessura de deslocamento
Devido à diferença de velocidade U – u dentro da camada limite, a vazão através da seção b – b é menor do que
aquela na seção a – a . Se deslocarmos a placa plana na seção a – a de uma quantidade δ * , as vazões pelas seções
serão idênticas. Esta distância é denominada espessura de deslocamento.
Figura 7 Perfil de velocidade para definir espessura de deslocamento
55
ESCOAMENTOS VISCOSOS
A definição é verdadeira se
*
δ bU
56
∫ ∞
=
0
( U − u)
bdy
onde b é a largura da placa. Desta forma:
∫ ∞
* ⎛ u ⎞
δ = ⎜1−
⎟dy
0 ⎝ U ⎠
A espessura de deslocamento representa o aumento da espessura do corpo necessário para que a vazão do
escoamento uniforme fictício seja igual a do escoamento viscoso real. Também representa o deslocamento das linhas
de corrente provocado pelos efeitos viscosos. Tal idéia permite simular a presença da camada limite no escoamento
pela adição de uma espessura de deslocamento da parede real e tratar o escoamento sobre o corpos mais espessos
como se fossem não viscoso.
4.7 Espessura da Quantidade de Movimento
A diferença de velocidades existente na camada limite U – u, provoca uma redução do fluxo da quantidade de
movimento na seção b – b mostrado na Fig.7 . O fluxo é menor do que aquele na seção a – a da mesma figura. Esta
diferença de fluxo de quantidade de movimento na camada limite, também conhecida como déficit do fluxo da
quantidade de movimento no escoamento real é dada por:
∫ ( ) ∫ ( )
∞
ρ u U − u dA = ρb
u U − u
0
dy
por definição estas integrais representam o déficit do fluxo da quantidade de movimento numa camada limite de
velocidade uniforme U e espessura θ. Assim,
∞
∫
0
2
ρ bU θ = ρb
u
θ =
∞
∫
0
( U − u)
u ⎛ u ⎞
⎜1−
⎟dy
U ⎝ U ⎠
dy
as três definições de espessura de camada limite δ , δ * e θ são utilizadas nas análises de camada limite. A hipótese da
camada limite ser fina é essencial para o desenvolvimento do modelo de escoamento. Esta hipótese, na análise do
escoamento sobre uma placa plana garante que δ seja muito menor que x (δ

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.8 Coeficiente de Arrasto em Placas Planas
O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por:
C = C + C
D
Dp
Df
CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento.
C
Df
FDf
=
1
ρU
2
2
∞
A
onde A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo numa placa paralela ao escoamento A=bxL onde b
é a largura da placa.
O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão.
C
Dp
FDp
=
1 2
ρU
∞ A
2
Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num cilindro A=DxL
O coeficiente de arrasto total é assim definido:
C
D
FD
=
1
ρU
2
2
∞
A
onde FD= FDp + FDf
No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a tensão de
cisalhamento não contribui para a força de resistência. O
coeficiente de arrasto deve-se unicamente ao arrasto por
pressão. Desta forma CD= CDp.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
CD=CDp
Figura .8 Placa plana perpendicular ao fluxo
No caso de uma placa plana paralela ao escoamento o arrasto deve-se unicamente ao atrito superficial. Desta forma
CD= CDf.
57
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.9 Coeficiente de Arrasto e Força de Arrasto pela Tensão de Cisalhamento
Considerando que o perfil de velocidade u(x,y) da camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento τw
na parede que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinado a partir da definição:
∂u(
x,
y)
τ w = μ
∂y
58
y=
0
Desta forma conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento,
devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação anterior não é muito prática para
aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento ou força de arrasto local como função do coeficiente de
arrasto local Cf. Também denominado coeficiente de tensão de cisalhamento (Cx no texto de Ozisik).
τ =
w
C f
ρU
2
2
∞
onde ρ é a massa específica do fluido e U00 a velocidade de corrente livre. Desta forma conhecendo o coeficiente da
tensão de cisalhamento Cf podemos determinar a força de arrasto exercida pelo fluido que está escoando sobre a
placa plana. Igualando as equações anteriores se obtém:
C
f
2ν
∂u(
x,
y)
=
U ∂y
2
∞
y=
0
o coeficiente local de arrasto poderá ser determinado se o perfil de velocidade u(x,y) na camada limite for conhecido.
O valor médio do coeficiente da tensão de cisalhamento CDf de x=0 até x=L é definido como:
CDf
1
=
L
L
C f dx
∫
x=
0
determinado o CDf podemos calcular a força de arrasto FD atuando sobre a placa de x=0 até x=L numa largura da placa
b (lembrando que a área superficial é A=bxL).
ρU
FD = bLCD
2
2
∞
Obs. Para placa plana paralela à direção do escoamento. CD=CDf.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.10 Equações de BLASIUS – Placa Plana – Camada Limite Laminar
Para o caso de placa plana existem diferentes soluções para determinar a espessura da camada limite, espessura
de deslocamento da camada limite, coeficiente de arrasto local e coeficiente de arrasto médio. Em 1908 Blasius,
discípulo de Prandtl, obtém a solução exata da camada limite numa placa plana (gradiente de pressão nulo)
considerando:
Escoamento em regime laminar.
Escoamento permanente
Escoamento bidimensional
Escoamento incompressível
Soluções aproximadas foram também determinadas para tal problema considerando o perfil de velocidades como um
polinômio de segundo grau, de terceiro grau e de quarto grau.
A seguir são apresentadas as equações denominadas exatas, determinadas por Blasius, válidas para escoamento
laminar Re < 5,0x10 5 até 1,0x10 6
Espessura da camada Limite
δ =
5x
Re
x
Espessura de deslocamento da camada limite
* vx
δ = 1,
73 ou também
U
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
∞
*
δ =
L
Figura 9. Esquema de placa plana
1,
73
Re x
4.11 Coeficiente de arrasto local ou Coef. de tensão de cisalhamento
0,
664
C f =
Re
1/
2
x
4.12 Coeficiente de arrasto médio
1
Podemos determinar o coeficiente de arrasto médio CDf integrando Cf de x=0 até x=L CDf
= ∫ C f dx
L x=
0
0,
664 1,
328
C D = CDf
= 2 = onde ReL= VL/ν
Re Re
1/
2
L
x
1/
2
L
U 00 x
Re x =
v
L
59
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.13 Transição de Escoamento Laminar para Turbulento
O valor de Re de transição é uma função muito complexa de vários parâmetros como rugosidade da superfície,
curvatura da superfície e intensidade das perturbações existentes no escoamento.
No caso do ar a transição de escoamento laminar para turbulento, na camada limite sobre uma placa plana, ocorre
para Rec na faixa de 2x10 5 a 3x10 6 . Para efeitos práticos utiliza o valor fixo Rec=5x10 5 que na verdade corresponde ao
limite inferior da região de transição.
O processo de transição envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbações impostas sobre a
camada limite, como vibrações na placa, rugosidade da superfície, pulsações no escoamento principal aumentam ou
diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbação for introduzida:
60
Se a perturbação ocorre em Rex < Rec são amortecidas fazendo com que a camada limite retorne ao regime
laminar
Se a perturbação ocorre em Rex > Rec irão crescer transformando o escoamento em regime turbulento.
A mudança do escoamento laminar para turbulento também provoca uma mudança na forma do perfil de
velocidades.
Figura 10 Perfis de velocidades em placa plana - regime laminar, transição e turbulento (ar).
Observa-se na Fig.10 que o perfil turbulento de velocidades é mais plano apresentando um alto gradiente de
velocidade na parede. Trata-se do escoamento de ar com uma velocidade de corrente livre de 27m/s.
• Numa placa plana a camada limite será sempre turbulenta para Re > 4,0 x10 6
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.14 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana
4.14.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento
A partir de dados experimentais Schilichting apresentou a seguinte correlação para o coeficiente de arrasto
local para placa plana lisa.
C f
=
−0,
2
5
0 , 0592Re
x válido
para 5x10 < Re x <
para número de Reyndols altos, recomenda-se a correlação de Schultz-Grunow:
C f
-2,584
7
9
( log Re ) válido para 10 < Re 10
= x
0 , 370
<
4.14.2 Coeficiente de Arrasto Médio
Para uma camada limite que é inicialmente laminar e passa por uma transição em algum ponto sobre a placa plana, o
coeficiente de arrasto turbulento deve ser ajustado para levar em conta o escoamento laminar no comprimento inicial.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 11. Placa plana com região laminar, transição e turbulenta.
Consideremos um escoamento na camada limite sobre uma placa plana que seja:
Coeficiente de Arrasto Local
Laminar na região entre 0 ≤ x ≤ xc e Turbulenta na região xc < x ≤ L .
Os coeficientes locais de atrito em cada uma das duas regiões são:
−0,
5
c = , 664Re
em 0 ≤ x ≤ x (laminar) - Eq. de Blasius
f
0 x
c
c f
x
−0,
2
= 0, 0592Re
em x c < x ≤ L
Coeficiente de Arrasto Médio
(turbulento)
x
10
- Eq. de Schilichting
O coeficiente de arrasto médio CDf (igual a CD em placa plana) na região inteira
1 xc
L
c ⎜
⎛
⎟
⎞
D =
⎝∫
cxLam
dx + ∫ cxTurbdx
L 0
xc ⎠
−0,
5
−
1 ⎡ ⎛U
⎞ xc
00
−0,
5 ⎛U
00 ⎞
cD
= ⎢0,
664⎜
⎟ ∫ x dx + 0,
059⎜
⎟
L ⎢⎣
⎝ v 0 ⎠
⎝ v ⎠
efetuando a integração se obtém:
0,
2
∫
L
−0,
2
xc
x
⎤
dx⎥
⎥⎦
7
61
ESCOAMENTOS VISCOSOS
CD
62
=
0,
074
Re
−0,
2
L
−
0,
8
0,
074Re
c −1,
328Re
Re
L
0,
5
c
Definição do Número de Reynolds Total e Crítico e Local
válido para Rec ≤ ReL < 10 7 ,
U 00L
Re L = é o número de Reynolds para o comprimento total (L) da placa plana.
v
U 00 xc
Re c = é o número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para turbulento
v
U 00x
Re x = é o número de Reynolds crítico em qualquer posição da placa
v
Forma Geral do Coeficiente de Atrito Médio
O coeficiente médio de arrasto CD sobre a região onde o escoamento é parcialmente laminar e parcialmente turbulento,
depende do valor do número de Reynolds crítico Rec . Por isto a Eq. anterior é especificada de maneira mais compacta.
C
D
=
B
−0,
2
0 , 074Re
L −
válido para Re c < Re L <
Re L
Válida quando existe a camada limite turbulenta com camada laminar anterior. O termo B é dada como:
( C C )
B = Re c DTurbulento
− D La min ar
o qual depende do número de Reynolds crítico ( Rec ) e das características do arrasto plenamente laminar e turbulento.
Para diversos número de Rec o valor de B é dado a seguir.
⎧700
para
⎪
⎪1050
para
B = ⎨
⎪1740
para
⎪
⎩3340
para
5
Re = 2x10
c
5
Re = 3x10
c
5
Re = 5x10
c
6
Re = 1x10
c
• No caso em que B=0 corresponde ao escoamento turbulento começando desde x=0 e desta forma se utiliza e
equação para regime turbulento denominada Eq. de Karman-Prandtl:
C D
=
−0,
2
0 , 074 Re L
para Rec
< Re L <
Para altos número de Reynolds 10 7 < Re < 10 9 se utiliza a seguinte expressão:
CD
0,
455
2,
58 ( log Re ) Re L
L
1710
−
= para 10 7 < Re < 10 9
10
10
7
7
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.15 Espessura da Camada Limite - Escoamento Turbulento
Utilizando uma relação empírica para a tensão de cisalhamento na parede na forma:
y=
0
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
1/
5
∂u
⎛ v ⎞ 2
τ
= 0, 0296 ⎜
⎟
w = μ
ρU
∞
∂y
⎝U
∞ x ⎠
são obtidas expressões que permitem avaliar a espessura da camada limite turbulenta para placa plana.
1. Para a camada limite plenamente turbulenta, começando da borda de ataque da placa (x=0).
δ ( x)
−
x
1/
5
= 0,
381Re
x
2. No caso em que a espessura da camada limite é laminar até o ponto em que Rec=5x10 5 , e então se torna
plenamente turbulenta.
δ ( x)
=
x
0,
381
Re
−1/
5
x
−10256
Re
−1
x
válida para 5x10
5
7
< Re < 10
A Fig. 12 apresenta graficamente um resumo os tipos de coeficiente de arrasto médios para placa plana lisa.
Figura 12 Coeficiente de arrasto para placa plana lisa.
x
63
ESCOAMENTOS VISCOSOS
4.16 Resumo das Equações da Camada Limite em Placa Plana
Como ser observa existe uma grande quantidade de equações que podem ser utilizadas para avaliar o
coeficiente de arrasto médio em placas planas. O uso de cada equação dependerá do regime de escoamento. A placa
poderá apresentar escoamento plenamente laminar, escoamento plenamente turbulento ou se na placa plana existe
uma região com escoamento laminar e posteriormente uma região com escoamento turbulento. A seguir, para
simplificar, podemos utilizar as seguintes relações em exercícios específicos.
I - Camada Limite Laminar
Perfis de Velocidade
64
Linear
u y
= Parabólico
U δ
u
U
y ⎛ y ⎞
= 2 − ⎜ ⎟
δ ⎝ δ ⎠
Equação de Blasius 3x105 < Rex < 5x105 C f
0,
664
= 1/
2
Re
1,
328
C D = 1/
2
Re
δ ( x)
=
x
x
5
Re
x
*
δ ( x)
=
x
1,
73
II - Camada Limite Turbulenta (escoamento turbulento desde a borda de ataque)
Perfis de Velocidade Exponencial
u
U
⎛ y ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ δ ⎠
Equação de Kárman – Prandtl (Rec=5x10 5 )
C D
=
1/
7
−0,
2
0 , 074Re
L para Rec
< Re L <
Equação de H. Schlichting
C D =
0,
455
2,
58
log Re
para 10
( )
L
δ ( x)
−
x
1/
5
= 0,
381Re
x
7
<
Re
L
10
Re
7
< 10
9
x
L
2
u ⎛ π y ⎞
Senoidal = sen ⎜ ⎟
U ⎝ 2 δ ⎠
0,
332ρU
τ w =
Re
1
*
δ ( x) = 0,
346δ
( x)
θ ( x) = δ ( x)
7
C f
III – Camada Limite Turbulenta com Camada Laminar Anterior
C D
C D
=
=
1700
−0,
2
5
0 , 074Re
L −
para 5x10 < Re L <
Re L
0,
455
( log Re )
δ
( x)
= 0,
381Re
x
L
2,
58
−1/
5
x
1700
−
Re
L
−10256
Re
−1
x
=
−1/
5
0 , 0594Re
x para Rec
< Re L <
τ =
w
1/
4
2⎛
ν ⎞
0, 0233ρU
⎜ ⎟
⎝Uδ
⎠
* δ ( x)
7
δ ( x)
= θ ( x) = δ ( x)
8
72
7
9
para 10 < Re < 10
para 5x10
5
L
10
7
< Re < 10
x
7
Escoamentos Viscosos
x
2
10
7

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Exemplo - Comparação das Variáveis para Camada Limite Laminar e Turbulenta.
Água (ρ=1000kg/m 3 e ν=1x10 6 m 2 /s) escoa com velocidade de U=1,0 m/s sobre uma placa plana de L=1m.
Avalie a espessura da camada limite δ(x), a espessura de deslocamento δ * (x) e espessura de quantidade de
movimento θ(x) e a tensão de cisalhamento na parede τw(x) para x=L.
(a) Considere que é mantido escoamento laminar em toda a placa.
(b) Considere que a camada limite é provocada, de modo que se torna turbulenta a partir na borda de ataque.
1. Determinamos o número de Reynolds para x=L.
UL
L
ν
= Re
1x1
Re L = = 10 −6
1x10
(a) Considerando Equações para Regime Laminar
δ ( x)
=
x
5
Re
*
δ ( x)
=
x
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
x
6
1,
73
Re
x
1
θ ( x) = δ ( x)
7
1x5
5mm
6
10
= = δ mm x x 73 , 1 5 346 , 0 ) (
*
5
δ = =
θ ( x) = = 0,
71mm
7
C f
=
0,
664
Re
x
0,
664
10
=
6 =
0,
000664
τ =
w
C f
ρU
( 1)
2
2
∞
kg
N
= 0,
000664x1000
= 0,
332
3
2
2 m 2 m
(b) Considerando Equações para Regime Turbulento
δ ( x)
−1
/ 5
= 0,
381Re
x
x
* δ ( x)
δ ( x)
=
8
7
θ ( x) = δ ( x)
72
6 −1/
5 ( 10 ) = mm
* 24
7
δ ( x) = 1x0,
381 24 δ ( x) = = 3mm
θ ( x) = 24 = 2,
34mm
8
72
C f
=
0,
0594
Re
−1/
5
x
= 0,0594
6 −1/
5 ( 10 ) = 0,
00375
τ =
δ ( Turbulento)
24
Espessura da camada limite = = 4,
8
δ ( La min ar)
5
*
δ ( Turbulento)
3
Espessura de deslocamento da camada limite = = 1,
73
*
δ ( La min ar)
1,
73
θ ( Turbulento)
2,
74
Espessura da quantidade de movimento = = 3,
86
θ ( La min ar)
0,
71
τ w ( Turbulento)
1,
87
Tensão de cisalhamento na parede. = = 5,
63
τ ( La min ar)
0,
332
w
w
C f
( 1)
2
2
ρU
∞
N
= 0,
00375x1000
= 1,
875 2
2 2 m
Obs: Existe um crescimento maior das variáveis na camada limite turbulenta devido a uma tensão de cisalhamento na
parede mais alta.
65
ESCOAMENTOS VISCOSOS
66
ESCOAMENTOS VISCOSOS
5. ESCOAMENTOS EXTERNOS - CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
5.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS: CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA
• REGIME LAMINAR < Re 5x10 5
• TRANSICAO ReC 5x10 5 (Pode variar entre 2x10 5 ate 3x10 6 segundo tipo de rugosidade)
• TURBULENTA > Re 3x10 6
EQUACAO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE VON KARMAN
Estudamos o escoamento numa placa plana lisa submetida a uma velocidade de corrente livre U∞ paralela a
placa. A placa não bloqueia o escoamento sendo a única resistência ao escoamento e dado ao cisalhamento. Devido a
condição de não escorregamento provoca uma desaceleração brusca das partículas do fluido e estas retardam as
partículas vizinhas surgindo uma espessura de camada cisalhante desacelerada denominada camada limite de
espessura y = δ (x)
. Para determinar a forca de arrasto sobre a placa deve-se realizar a integração das tesões
viscosas ao longo da parede.
Largura da placa: b
Comprimento da placa: L
Espessura da camada limite: δ
Velocidade de corrente livre: U ∞
Volume de controle:
(1) Região de entrada do fluido no VC : ( x , y)
= ( 0,
0)
ate ( x , y)
= ( 0,
h)
r
• Nesta região existe a uma velocidade de corrente livre V = U iˆ
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
1 ∞
(2) Região de linha de corrente externa no VC : ( x , y)
= ( 0,
h)
ate ( x , y)
= ( L,
h)
• Nesta região não existe fluido atravessando as fronteiras: V2 = 0
r
(3) Região de saída do fluido no VC : ( x , y)
= ( 0,
L)
ate ( x , y)
= ( L,
0)
r
• Nesta região existe a uma velocidade de corrente livre V u(
y)
iˆ
(4) Região sobre a placa plana no VC : ( x , y)
= ( 0,
0)
ate ( x , y)
= ( L,
0)
3 =
• Nesta região não existe fluido atravessando as fronteiras: V4 = 0
r
67
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1.1 Aplicando a Eq. da Conservação da Massa:
∂
∂t
68
∫
VC
r r
ρ d∀
+ ρVdA
= 0
∫
SC
Considerando regime permanente:
∫
SC
∫
SC
r r
ρ VdA
=
r r
ρ VdA
=
r r r r r r r r
∫ ( ρVdA)
1 + ∫ ( ρVdA)
2 + ∫ ( ρVdA)
3 + ∫ ( ρVdA)
A1
A2
r r r r
∫ ( ρVdA)
1 + ∫ ( ρVdA)
3
A1
δ
A3
− ρU ∞bh
+ ∫ ρu(
y)
bdy = 0
Relação de velocidades.
0
A3
A4
U h =
∞
∫
δ
0
u(
y)
dy
1. 2 Aplicando a Eq. da quantidade de movimento. – Determinação da Forca de Arrasto.
∑
r ∂ r r r r
F = ∫Vρ
d∀
+
∂ ∫VρVdA
t
VC
Aplicando na direção x em regime permanente:
r r
∑ Fx
= uρ
VdA
∫
SC
SC
As únicas forcas agindo são as forcas de superfície por cisalhamento. A pressão e constante e desta forma a forca de
pressão resultante e nula.
∑
− F
F = − F
A
− F
A
x
=
=
A
r r r r r r r r
∫ ( uρ
VdA)
1 + ∫ ( uρVdA)
2 + ∫ ( uρVdA)
3 + ∫ ( uρVdA)
A1
A2
r r r r
∫ ( uρ
VdA)
1 + ∫ ( uρVdA)
3
A1
A3
− FA = −u1ρu1
A1
+ u2
ρu2bdy
δ
∫
0
A3
2
2
Forca de Arrasto local FA(x) = U ρbh
− ρb
u ( y)
dy
A4
FA o
δ
∫
0
Obs. Trata-se da forca de arrasto para uma posição x da placa plana FA(x) já que a espessura da camada limite
depende de x. δ =
δ (x)
( 1)
( 2)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
1. 3 Espessura da Quantidade de Movimento.
Arranjando a Eq. (2) na forma:
2
( U h)
− ρb
u ( y)
dy
FA = U ∞ρb
∞ ∫
Substituindo (I) em (II)
2
FA = U ∞ρb∫
u(
y)
dy − ρb∫
u ( y)
dy
F = ρb
u(
U − u)
dy
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
δ
0
δ
⎡ δ
⎤
2
FA
= ρb⎢∫
U ∞u(
y)
dy − u ( y)
dy⎥
0 ∫
⎣
0 ⎦
δ
2
FA
= ρb⎡
( U u − u ) dy⎤
⎢⎣ ∫0
∞ ⎥⎦
A
∫
∫
F = ρb
δ
0
δ U ∞
FA
= ρb∫
u ( U ∞ − u)
dy
0 U
A
F A
δ
0
uU
∞
∞
∞
∞
δ
u
( 1−
U
0
δ
0
) dy
⎧ δ
2 u u ⎫
= ρbU
∞ ⎨∫
( 1−
) dy⎬
0
⎩ U ∞ U ∞ ⎭
O termo entre parêntesis e denominado Espessura da Quantidade de Movimento:
Espessura da Quantidade de
Movimento.
Desta forma a forca de arrasto e dada por:
Forca de Arrasto Local.
θ
∫
= δ
0
F A
u u
( 1−
) dy
U U
∞
∞
2
= ρbU
θ
∞
(3)
(4)
69
ESCOAMENTOS VISCOSOS
1. 4 Tensão de Cisalhamento na Parede
Sendo a espessura da parede considerada como uma medida do arrasto total da placa. Von Karman notou que o
arrasto também e equivalente a integral da tensão de cisalhamento.
70
∫
F ( x)
= b τ ( x)
dx
A
dF
= b
dx
0
A τ W
dFA = ρbU
dx
x
W
(x)
2
∞
dθ
dx
Tensão de cisalhamento na parede
de uma Placa Plana.
Valida para escoamento
Laminar e Turbulento.
5.2 RESULTADOS PARA ESCOMANETO LAMINAR:
2.1 ) Espessura do Momento da Quantidade de Movimento
2 dθ
τ ( x)
= ρU
∞
dx
Para o escoamento laminar Von karman considerou que o perfil de velocidades tivesse um formato aproximadamente
parabólico ajustado pela expressão:
2 ⎛ 2y
y ⎞
u ( x,
y)
= U ∞ ⎜ − ⎟ Valido para 0 ≤ y ≤ δ ( x,
y)
2
⎝ δ δ ⎠
Utilizando esta expressão na definição da espessura da quantidade de movimento:
θ
∫
= δ
0
u u
( 1−
) dy
U U
∞
Se obtém:
θ
∫0
= δ
∞
2
2
⎛ 2y
y ⎞⎛
2y
y ⎞ 2
⎜ − ⎟
⎜
⎜1−
+ ⎟
⎟dy
≅ δ
2
2
⎝ δ δ ⎠⎝
δ δ ⎠ 15
Espessura do Momento da
Quantidade de Movimento .
Solução de Von Karman.
Regime Laminar
2
θ ( x) = δ ( x)
15
(5)
(6)
(7)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.2 Espessura da Camada Limite Laminar
Da mesma forma podemos determinar a tensão de cisalhamento na parede:
∂u
τ W ( x)
= μ
∂y
y=
0
2μU
≅
δ
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
∞
Igualando as expressões da tensão de cisalhamento na parede:
2 dθ
μ
τ W ( x)
= ρU
∞ e τ =
dx
δ
U 2
( x)
com:
dθ 2 dδ
=
dx 15 dx
se obtém:
ρU
2
∞
2
15
dδ
2μU
=
dx δ
ν
δdδ = 15 dx
U
∞
∞
Integrando de 0 a x, considerando δ = 0 em x=0.
1 2 ν
δ = 15 x
2 U ∞
Espessura da Camada Limite.
Solução de Von Karman.
Regime Laminar
∞
δ ( x)
=
x
Esta solução da espessura da camada limite e somente 10% maior que a solução exata da espessura da camada limite
numa placa plana em regime laminar.
5,
5
Re
x
(8)
71
ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.3 Espessura de deslocamento da Camada Limite Laminar.
Utilizando a figura observa-se que a linha de corrente externa desvia-se uma distancia δ ( ) para satisfazer a
conservação da massa entre a entrada e saída.
∂
∂t
72
∫
VC
r r
ρ d∀
+ ρVdA
= 0
∫
SC
Considerando fluido incompressível em regime permanente.
ρU
bh =
∞
∫
δ
0
ρu(
y)
bdy
*
onde: δ ( x) = h + δ ( x)
.
Cancelando b e ρ e substituindo esta expressão na anterior:
U
∞
*
δ =
* ( δ − δ )
*
U δ =
*
U δ =
∫
=
∫
*
U δ −U
δ =
∞
*
U δ = U δ −
∞
∞
∞
δ
0
∞
δ
∞
δ
∫
∫
δ
δ
∫ U ∞dy
−
0 ∫0
δ
∫ ( U ∞ − u)
0
0
udy
0
0
udy
udy
⎛ u ⎞
⎜
⎜1−
⎟
⎟dy
⎝ U ∞ ⎠
δ
dy
udy
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
∫ ⎟ δ
* ⎛ u ⎞
δ = ⎜
⎜1−
dy
0
⎝ U ∞ ⎠
* x
(9)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.4 Espessura de deslocamento da CL - Laminar.
Utilizando o perfil de velocidades para camada limite laminar:
2
u( x,
y)
⎛ 2δ
δ ⎞
= ⎜ − ⎟ 2
U ∞ ⎝ y y ⎠
δ
δ
δ
*
= ∫0
= δ
*
⎛ u ⎞
⎜1−
⎟dy ⎝ U ⎠
∫ ⎟ 2 ⎛ 2y
y ⎞
⎜
⎜1−
+ dy
0
2
⎝ δ δ ⎠
2
δ
* ⎛ 2y
y ⎞
δ = ∫ 1
0 ⎜ − + 2
δ δ ⎟
⎟dy
⎝ ⎠
2 3
* ⎛ 2y
y ⎞
δ = ⎜ y − + 2
2δ
3δ
⎟
⎝
⎠
* δ
δ =
3
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
Solução Aproximada.
Regime Laminar
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
δ
0
δ
= δ − δ +
3
Utilizando a aproximação de Von Karman para a espessura da CL
δ ( x)
=
x
5,
5
Re
x
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
Solução Aproximada.
Regime Laminar
* δ ( x)
δ ( x)
=
3
*
δ ( x)
=
x
1,
83
Re
x
(10)
(11)
73
ESCOAMENTOS VISCOSOS
2.5 Coeficiente de Arrasto Local CL – Laminar
A tensão de cisalhamento na parede esta relacionada com o coeficiente de arrasto superficial local por:
1 2
τ W ( x)
= ρU
∞C
2
Igualando com a expressão da tensão de
cisalhamento na parede:
μ
τ =
δ
U 2
W ( x)
1 2
U ∞ CDf
ρ
2
74
∞
f
2μU
=
δ
∞
Considerando nesta equação a solução da espessura da camada limite:
δ ( x)
=
5
Re
1 2 2 U ∞
U ∞ C f = μ
ρ
2
C f
=
4
5,
5
x
Re
Re
x
5
Re
x
x
0,
73
Re
Coeficiente de Arrasto Superficial
Local.
Solução de Von Karman
Regime Laminar
=
x
C f
=
0,
73
Re
x
(12)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
75
2.6 Coeficiente de Arrasto Total CL Laminar
∫
=
L
W
A
dx
x
b
L
F
0
)
(
)
( τ
f
W
C
U
x
2
2
1
)
( ∞
= ρ
τ
x
f
C
Re
73
,
0
=
∫ ∞
=
L
f
A
dx
C
U
b
L
F
0
2
2
1
)
( ρ
∫ ∞
=
L
x
A
dx
U
b
L
F
0
2
Re
73
,
0
2
1
)
( ρ
∫
−
∞
∞
=
L
A
dx
x
U
v
U
b
L
F
0
2
/
1
2
2
1
73
,
0
)
( ρ
L
A
L
U
b
L
U
v
U
b
L
F
Re
73
,
0
2
2
1
73
,
0
)
(
2
2
/
1
2 ∞
∞
∞
=
=
ρ
ρ
bL
C
U
L
F D
A
2
2
1
)
( ∞
= ρ
L
D
C
Re
73
,
0
2
=
)
(
2 L
C
C f
D =
Coeficiente de Arrasto Superficial
Total
Solução de Von Karman.
Regime Laminar
L
D
C
Re
46
,
1
=
(13)
Também:
∫
=
L
f
D
dx
x
C
L
C
0
)
(
1
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Escoamentos Viscosos
76
3. DEMOSTRACAO:
∫
≅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= δ
δ
δ
δ
δ
δ
θ
0
2
2
2
2
15
2
2
1
2
dy
y
y
y
y
Resolvendo primeiro o termo:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 2
2
2
2
2
1
2
δ
δ
δ
δ
y
y
y
y
)
(
15
2
)
(
15
2
5
3
5
5
4
4
3
5
2
2
5
4
4
3
5
2
2
4
5
2
4
5
2
2
2
4
2
2
1
2
4
5
3
4
2
3
2
4
5
3
4
2
3
2
0
4
4
3
3
2
2
4
4
3
3
2
2
4
4
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
y
y
dy
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
o
δ
θ
δ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∫
\

ESCOAMENTOS VISCOSOS
5.3 RESUMO DAS EQUACOES DE CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA - LAMINAR E TURBULENTO
ESCOAMENTO LAMINAR Rec < 5x105 Equação Solução Von Karman Solução Exata (Blasius)
Espessura da Camada Limite
δ ( x)
=
x
5,
5
Re
δ ( x)
=
x
5
Re
Espessura de deslocamento da Camada Limite
Espessura da Quantidade de Movimento
Coeficiente de Local de Arrasto
Coeficiente de Arrasto médio.
ESCOAMENTO TURBULENTO Rec > 5x10 5
Equação Turbulento
Espessura da
Camada Limite
Espessura de
deslocamento da
Camada Limite
Espessura da
Quantidade de
Movimento
Coeficiente de Local
de Arrasto
Coeficiente de
Arrasto médio.
Coeficiente de
Arrasto médio.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
5x10 5 < ReL < 10 7
δ ( x )
=
x
* δ ( x)
δ ( x)
=
8
0,
381
( ) 5 / 1
Re
x
* δ ( x)
δ ( x)
=
3
*
δ ( x)
1,
83
=
x Re
x
x
* δ ( x)
δ ( x)
=
2,
89
*
δ ( x)
=
x
x
1,
73
Re
2
θ ( x) = δ ( x)
15
1
θ ( x) = δ ( x)
7
C f =
0,
73
Re
C f
0,
664
=
Re
C = 2C
D
C D
f
x
1,
46
=
Re
( x)
x
=
δ
L
Turbulento com
Laminar Anterior
5x10 5 < ReL < 10 7
(Transição)
0,
381
* δ ( x)
δ ( x)
=
8
7
7
θ ( x) = δ ( x)
θ ( x) = δ ( x)
72
72
0,
0594
C = Antes de xc
f
C D =
( ) 5 / 1
Re
x
0,
074
( ) 5 / 1
Re
Turbulento
107 < ReL < 109 , 2
0,
455
C D =
log Re
L
( ) 58
L
Após xc
CD
=
1/
5 ( Re ) Re x
x
C f
=
C f =
0,
074
10256
−
0,
664
Re
x
0,
0594
( ) 5 / 1
Re
1/
5 ( Re ) Re L
L
x
1700
−
Turb. Com Laminar anterior
107 < ReL < 109 0,
455 1700
=
− 2,
58
log Re Re
CD
( ) L
L
C = 2C
D
C D
C f
C D
f
x
1,
328
=
Re
L
x
Placa Plana Rugosa
−2,
5
⎛
x ⎞
= ⎜2,
87 + 1,
58log
⎟
⎝
ε ⎠
⎛
L ⎞
= ⎜1,
89 + 1,
62log
⎟
⎝
ε ⎠
−2,
5
77
ESCOAMENTOS VISCOSOS
5.4 RELACOES BASICAS
Tensão de cisalhamento na parede.
(Escoamento Laminar)
Tensão de cisalhamento na parede.
Coeficiente de Arrasto Local.
Forca de Arrasto local.
Forca de Arrasto Local.
Coeficiente de arrasto médio ou
total.
Forca de Arrasto da Placa.
Espessura da Quantidade de
Movimento.
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
Espessura da Camada Limite.
78
∂u
τ W ( x) = μ
∂y
y=
0
1 2
τ W ( x) = ρU
∞C
f ( x)
2
A
C f ( x)
=
Re
∫
n
x
F ( x)
= b τ ( x)
dx
A
F A
C
D
( x)
=
1
=
L
0
x
W
ρ ∞
∫
0
2
bU θ ( x)
L
C ( x)
dx
1 2
FA
= ρ U ∞ AC
2
= ∫ −
δ u u
θ ( x ) ( 1 ) dy
0 U U
∞
∫ ⎟ δ
* ⎛ u ⎞
δ ( x ) = ⎜
⎜1−
dy
0
⎝ U ∞ ⎠
δ ( x)
A
=
x Re
f
n
x
D
∞
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
(5)
( 6 )
( 7 )
(8)
(9)
(10)
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
5.5 Coeficiente de Arrasto em Placa Plana – Regime Laminar e Turbulento
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Fonte: White Mecânica do Fluidos 4ª Edição. 2002
79
ESCOAMENTOS VISCOSOS
80
ESCOAMENTOS VISCOSOS
6. ESCOAMENTOS EXTERNOS - CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA
ESCOAMENTOS TURBULENTOS
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
6.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA
ESCOAMENTO TURBULENTO
No caso de escoamento turbulento sobre placa plana não existe uma teoria exata e sem varias aproximações
computacionais utilizando vários modelos empíricos. No presente material será adotada uma solução simplificada
utilizando equacionamento integral com apoio de equação empírica.
Determinação da Espessura da Quantidade de Movimento:
Para o escoamento turbulento considera-se como valida o perfil de velocidades exponencial:
Perfil de velocidades exponencial:
n=7 Re < 10 7
n=8 10 7 < Re < 10 8
n=9 10 8 < Re < 10 9
Espessura da Quantidade de
Movimento.
θ =
θ =
∫
∫
δ
0
δ
0
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎝ δ ⎠
⎪⎧
⎛ y ⎞
⎨⎜
⎟
⎪⎩ ⎝ δ ⎠
8 ⎡7
y
θ = ⎢ 1/
⎣8
δ
8 /
7 δ
θ = 1/
8 δ
/ 7
7
7
1/
7
7
⎛
⎜ ⎛ y ⎞
1−
⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎝ δ ⎠
1/
7
⎛ y ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ δ ⎠
9
7 y
− 2
9 δ
9
7 δ
− 2
9 δ
/ 7
/ 7
/ 7
/ 7
1/
7
2 / 7
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
δ
⎤
⎥
⎦
Espessura da Quantidade de
Movimento.
Escoamento Turbulento.
0
⎞
⎟)
dy
⎟
⎠
⎪⎫
⎬dy
⎪⎭
7 7
= δ − δ =
8 9
u(
x,
y)
⎛ y ⎞
= ⎜ ⎟
U ⎝ δ ⎠
7
72
δ
∞
1/
7
θ
valido para 0 ≤ y ≤ δ ( x,
y)
∫
= δ
0
u u
( 1−
) dy
U U
∞
∞
7
θ ( x) = δ ( x)
72
( 1 )
( 2 )
( 3 )
81
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Determinação da Espessura da Camada Limite
No material de Fox e Macdonald se utiliza uma expressão empírica com base a resultado de escoamento em
tubulações representando a tensão de cisalhamento na parede dada por:
τ
1/
4
2
( ) 0,
0233 ⎟ ⎛ v ⎞
= ⎜
W x ρU
∞
U ∞δ
82
⎝
⎠
A tensão de cisalhamento na parede e relacionada com a espessura de deslocamento quantidade de movimento.
2 dθ
τ ( x)
= ρU
∞
dx
Foi determinado o termo que para escoamento turbulento:
d θ ( x)
7 δ ( x)
=
dx 72 dx
Igualando as expressões da tensão de cisalhamento:
2 ⎛ v ⎞
0,
0233ρU
∞ ⎜
U ∞δ
⎟
⎝ ⎠
1/
4
1/
4
= ρU
⎛ v ⎞ 7 dδ
0,
0233 ⎜ =
U δ ⎟
⎝ ∞ ⎠ 72 dx
1/
4
2
∞
⎛ v ⎞ 1 7 dδ
, 0233 ⎜
= 1/
U ⎟
⎝ ∞ ⎠ δ 72 dx
0 4
72 ⎛
0,
0233
7 ⎜
⎝U
1/
4
v ⎞
4
∞
⎟
⎠
1/
dx = δ dδ
1/
4 72 ⎛ v ⎞
δ dδ
= 0,
0233
7 ⎜
U ⎟
⎝ ∞ ⎠
Integrando:
1/
4
∫ ⎟ δ
1/
4 72 ⎛ v ⎞
δ dδ
= 0,
0233 ⎜
0 7 ⎝U
∞ ⎠
4
δ
5
5 / 4
72 ⎛
= 0,
0233 ⎜
7 ⎝
v
U
∞
1/
4
⎞
⎟
⎠
dx
1/
4
7
72
∫
0
x
dδ
dx
dx
x + cte
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Considerando que para δ = 0 x = 0 se obtém que cte=0.
⎡5
72 ⎛ v
δ ( x)
= ⎢ 0,
0233
⎢4
7 ⎜
U
⎣ ⎝ ∞
⎛ v
δ ( x)
= 0,
382 ⎜
⎝U
∞
δ ( x)
0,
382
=
x Re
1/
5
x
1/
5
⎞
⎟
⎠
δ ( x)
⎛ v ⎞
= 0,
382
x ⎜
U x ⎟
⎝ ∞ ⎠
1/
5
4 / 5
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
x
1/
4
⎞
⎟
⎠
Espessura da Camada Limite
Escoamento Turbulento.
⎤
x⎥
⎥⎦
4 / 5
δ ( x ) 0,
382
=
x Re
1/
5
x
( )
83
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Determinação do Coeficiente Local da Atrito:
A tensão de cisalhamento na parede e dada pelas expressões:
τ
1/
4
2
( ) 0,
0233 ⎟ ⎛ v ⎞
= ⎜
W x ρU
∞
U ∞δ
1 2
τ W ( x)
= ρU
∞C
2
84
f
⎝
⎠
Igualando as e explicitando o coeficiente local do arrasto na placa:
1
ρ
2
C f
2
U ∞C
f
2 ⎛ v ⎞
= 0,
0233ρU
⎜
⎟
∞
⎝U
∞δ
⎠
0, 0466 ⎟ ⎛ v ⎞
= ⎜
⎝U
∞δ ⎠
C f
⎛ ⎞ v
⎜
⎟ =
⎝ 0,
0466 ⎠ U ∞δ
4
1/
4
1/
4
Substituindo a expressão da espessura da camada limite:
δ ( x ) 0,
382
=
x Re
1/
5
x
4
1/
5
⎛ C f ⎞ v ⎛ Re ⎞ x
⎜
⎟ =
⎜
⎟
⎝ 0,
0466 ⎠ U ∞ x ⎝ 0,
382 ⎠
C f
1/
5
⎛ ⎞ Re x
⎜ =
0,
0466 ⎟
⎝ ⎠ Re x
−
⎛ C f ⎞ Re x
⎜ =
0,
0466 ⎟
⎝ ⎠
4
4
4 / 5
0,
382
1
0,
382
Extraindo a rais quarta:
C f
Re
−1/
5
= 0,
0466
x
4
−1
/ 5
= 0,
0593Re
x
1/
( 0,
382)
Espessura da Camada Limite
Escoamento Turbulento.
C f
0,
0593Re
−1/
5
= x
( )
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Determinação do Coeficiente de Arrasto Médio:
C
C
C
1
=
L
L
Df ∫ x=
0
1
=
L
L
Df ∫ x=
0
C
dx
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
f
−1
/ 5
( 0,
0593Re
)dx
1 ⎛ v ⎞
= 0 , 0593
L ⎜
U ⎟
⎝ ⎠
Df ∫ x=
0
∞
C Df
C Df
C Df
C Df
x
−1/
5
−1/
5
1 ⎛ v ⎞ 5
= 0, 0593
L
L ⎜
U ⎟
⎝ ∞ ⎠ 4
=
1 ⎛ v
0,
0593
L ⎜
⎝U
∞
⎞
⎟
⎠
−1/
5
5 ⎛ v ⎞
= 0,
0593
4 ⎜
⎟
⎝U
∞L
⎠
−1/
5 ( Re )
= 0,
074 L
L
−1/
5
Coeficiente de Arrasto Médio.
Escoamento Turbulento.
5
L
4
−1/
5 ( x )dx
4 / 5
−1/
5
L
C Df
−1/
5 ( Re )
= 0,
074 L
( )
85
ESCOAMENTOS VISCOSOS
(C) Espessura de deslocamento da CL.
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
86
∫ ⎟ δ
* ⎛ u ⎞
δ = ⎜
⎜1−
dy
0
⎝ U ∞ ⎠
Utilizando a equação da distribuição da velocidade para camada limite turbulenta:
u(
x,
y)
⎛ y ⎞
= ⎜ ⎟
U ⎝ δ ⎠
∞
1/
7
Pode ser mostrado que:
Espessura de Deslocamento da
Camada Limite.
* δ ( x)
δ ( x)
=
8
( )
( )
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
ESCOAMENTOS VISCOSOS
7. Escoamento Viscoso Externo:
Forças Aerodinâmicas
87
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Escoamento Viscoso Externo: Forças Aerodinâmicas
7.1 Forças Aerodinâmicos de Sustentação e Arrasto
Num escoamento externo quando o corpo se movimento através do fluido se manifesta uma interação fluido-corpo
resultando em forças que podem ser descritas em função da tensão de cisalhamento na parede (τw) provocada pelos
efeitos viscosos e uma tensão normal provocada pela distribuição de pressão (p).
88
Figura 1 Forças aerodinâmicas sobre um corpo
• A componente da força resultante que atua na direção normal ao escoamento é denominada força de sustentação
(Lift, L ou FL).
• A componente da força resultante que atua na direção do escoamento é denominada força de arrasto. (Drag, D ou
FD) .
Consideremos um elemento diferencial localizado na superfície do corpo em estudo. As componente x e y da força que
atua no pequeno elemento de área dA são:
dFx w
= pdAcosθ
+ τ dAcosθ
= − pdAsen
θ + τ dAcosθ
dFy w
O arrasto e a sustentação podem ser determinados pela integração das tensões de cisalhamento e das tensões
normais ao corpo.
A força de sustentação é dada por:
FL = ∫ dFy
= − pdAsen
θ + τ wdA
cosθ
A força de arrasto é dada por:
= dF = p cos θdA + τ senθdA
∫
∫
FD x
W
∫
Para determinar esta força é necessário determinar o formato do corpo e as distribuições da tensão de cisalhamento na
parede e da distribuição de pressão ao longo da superfície do corpo.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
5.5.1 Coeficiente de Arrasto
Na forma adimensional esta força é definida pelo coeficiente de arrasto como:
C
D
FD
=
1
ρU
2
2
∞
A
onde
O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por:
C = C + C
D
Dp
Df
onde CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento.
C
Df
FDf
=
1
ρU
2
2
∞
A
A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo, numa placa paralela ao escoamento A=bL onde b é a
largura da placa e L o comprimento da placa.
O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão.
C
Dp
FDp
=
1 2
ρU
∞ A
2
Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num cilindro A=DL , onde D
é o diâmetro do cilindro
No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a tensão de
cisalhamento não contribui para a força de resistência. O
coeficiente de arrasto deve-se unicamente ao arrasto por
pressão. Desta forma CD= CDp.
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CD=CDp
Figura 2 Placa plana perpendicular ao fluxo
Como foi visto no Cap.10, no caso de uma placa plana paralela ao escoamento, o arrasto se deve unicamente ao atrito
superficial. Desta forma CD= CDf.
89
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Na Tab.1 se são dados os valores do coeficiente de arrasto para diferentes corpos rombudos entre eles,
esferas, semi-esferas, cilindros, placas planas, aerofólios; também é dado o coeficiente de arrasto de corpos típicos
como asas de avião e automóveis. Cabe salientar que estes são valores de referência. Um estudo mais apurado deverá
ser realizado para projetos de sistemas específicos.
90
Tabela 1 Coeficiente de Arrasto para diferentes tipos de corpos
Corpos rombudos CD
Esfera rugosa 0.40
Esfera lisa 0.10
Semi-esfera oca oposta à corrente 1.42
Semi-esfera oca com face para a corrente 0.38
Semi-cilindro oco oposto a corrente 1.20
Semi-cilindro oco com face para a corrente 2.30
Placa plana 90° 1.17
Placa plana comprida a 90° 1.98
Roda girando oca h/D=0.28 0.58
Corpos afinados CD
Placa Plana Laminar 0.001
Placa Plana Turbulenta 0.005
Aerofólio valor mínimo 0.006
Aerofólio próximo do estol 0.025
Asa em escoamento subsônico mínimo 0.05
Automóveis CD
Avião de transporte subsônico 0.016
Avião supersônico M=2.5 0.025
Barcos 0.4-1.2
Helicópteros 0.3 -0.4
Carro de esporte 0.4 -0.5
Carro Econômico 0.5
Camioneta e caminhão 0.6-0.7
Trator e Trailers 0.7-0.9
Pessoas CD
Homem em pé 1.0 - 1.3
Esquiador 1.2 - 1.3
Skier 1.0 - 1.1
Outros
Fios e cabos 1.0 - 1.3
Prédio Empire State 1.3 - 1.5
Torre de Eiffel 1.8 - 2.0
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
7.2 Escoamento sobre cilindros - Efeito da viscosidade
Número de Reynolds Muito Baixo
Para Reynolds baixo (Re < 0.1) o escoamento
apresenta uma grande região onde os efeitos viscosos
são importante.
As linhas de corrente são praticamente simétricas com
comportamento muito similar na parte anterior e
posterior do cilindro.
Este tipo de escoamento pode ser estudado utilizando
a teoria de escoamentos potenciais.
Número de Reynolds Moderado
Para escoamento em regime moderado (Re≅50) a
região onde os efeitos viscosos são importantes se
torna menor a montante do cilindro. A jusante a região
viscosa aumenta. O escoamento perde sua simetria.
Forma-se uma bolha de separação atrás do cilindro
existindo um escoamento em sentido contrário ao fluxo
principal.
Número de Reynolds Alto
No caso de escoamento com número de Reynolds alto (Re
> 10 5 ) a área afetada pelas forças viscosas é concentrada
na parte de atrás do cilindro. Na parte frontal do cilindro se
desenvolve uma camada muito fina de fluido onde os efeitos
viscosos são importante. Na parte frontal, após a separação,
o escoamento torna-se turbulento originando-se uma região
com emissão de vórtices.
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 3 Escoamento com baixo Re
Figura 4 Escoamento para Re moderado
Figura 5 Escoamento para Re alto
Nestas regiões o fluido apresenta gradientes consideráveis de velocidade. Como a tensão de cisalhamento é
proporcional a estes gradientes, os efeitos viscosos são significativos. Fora da camada limite e da região de vórtices o
fluido se comporta como se fosse um fluido não viscoso. Cabe salientar que a viscosidade dinâmica permanece a
mesma em todo o campo do escoamento já que o fluido é o mesmo.
91
ESCOAMENTOS VISCOSOS
7.3 Escoamento não viscoso num cilindro
Do estudo do escoamento da camada limite numa placa plana sabemos que a fronteira da camada limite
tenderá ao valor da velocidade de corrente livre (Voo) admitida a jusante da placa. Neste caso aplicando a Eq. de
Bernoulli podemos constatar que não existe variação da pressão ao longo da placa. No caso do escoamento sobre um
cilindro isto é bem diferente. Consideremos um escoamento não viscoso sobre um cilindro. Neste tipo de escoamento
as linhas de corrente formadas em torno do corpo são simétricas e a linha de corrente que atinge o ponto de
estagnação contorna o cilindro aderida ao mesmo. Devido à curvatura do cilindro a velocidade do fluido que contorna o
cilindro (U) é diferente da velocidade de corrente livre e dependente da posição angular. Neste caso aplicando a Eq. de
Bernoulli pode ser constatado que existe uma variação da pressão dependente da variação da velocidade que contorna
o cilindro.
92
Figura. 6 Esquema de escoamento não viscoso
Consideremos que a montante do cilindro a corrente livre não perturbada apresenta uma velocidade Voo e uma pressão
Poo. Podemos aplicar a Eq. de Bernoulli que contorna o cilindro considerando um ponto a montante do cilindro e outro
sobre a superfície da mesma com pressão p e velocidade U=U(θ).
p
g
∞
ρ
2
2
V p U
= +
2g
ρg
2g
+ ∞
Para analisar a distribuição de pressão utilizamos na forma adimensional definindo o coeficiente de pressão (Cp):
p − p∞
c p =
1 2
ρV∞
2
Explicitando o termo (p - poo) da Eq. de Bernoulli e substituída na Eq. de Cp se obtém:
c p
1 ⎟ ⎛ U ⎞
= − ⎜
⎝V∞
⎠
2
A equação obtida mostra a dependência da distribuição de pressão em função da velocidade do fluido que contorna o
cilindro.
Para escoamento não viscoso a solução teórica (potencial) da distribuição de pressão é dada como:
2
c p = 1− 4sen
θ
Da mesma forma a velocidade ao longo da superfície é dada por:
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
U ( θ ) = 2V∞
senθ
a qual pode ser representada na forma adimensional
* U ( θ )
U ( θ ) = = 2sen
θ
V
∞
Utilizando estas expressões podemos graficar a distribuição de Cp e do perfil de velocidades em torno do
cilindro. A pressão é simétrica em relação ao semi-plano vertical atingindo seu máximo nos pontos de estagnação A e
F. Observa-se que a velocidade nos pontos de estagnação (θ=0 e θ=180 0 ) é nula (U * (θ) =0), alcançando seu máximo
em θ=90 0 sendo sua magnitude o dobro da velocidade de corrente livre (U=2Voo).
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Figura 7 Distribuição do coeficiente de pressão e da velocidade tangencial
Considerando o escoamento não viscoso o arrasto por atrito será nulo (CDf =0). Devido à simetria da distribuição de
pressão em torno ao cilindro o arrasto por pressão é nulo (CDp=0). Dados experimentais mostram que sempre existirá
um arrasto no cilindro mesmo tratando-se de fluidos com viscosidade muito pequena. Isto nos leva ao denominado
Paradoxo de d´Alambert o qual especifica que o arrasto num corpo é sempre nulo para escoamento não viscoso,
porém o arrasto num corpo imerso num fluido viscoso não é nulo.
Cilindros : Escoamento não viscoso CDp = CDf=0
93
ESCOAMENTOS VISCOSOS
7.4 Escoamento viscoso num cilindro : Efeito do Gradiente Adverso de Pressão
Numa placa plana paralela ao escoamento a camada limite se desenvolve num campo de escoamento onde a
pressão permanece constante. Isto significa que o gradiente de pressão é nulo. No caso de geometrias mais
complexas, ou placa plana com inclinação, o campo de pressão deixa de ser uniforme. No caso de um cilindro na
camada limite se desenvolve um gradiente de pressão devido à variação da velocidade da corrente livre que contorna a
fronteira da camada limite.
Consideremos uma partícula de fluido, que escoa dentro da camada limite, que viaja do ponto A para o ponto
F. Tal partícula está submetida à mesma distribuição de pressão das partículas de fluido próximas, porém fora da
camada limite. Contudo, devido aos efeitos viscosos, a partícula localizada dentro da camada limite sofre perdas de
energia. Sendo assim a partícula não tem energia suficiente para vencer o gradiente adverso de pressão quando escoa
de C para F. Considera-se que a partícula de fluido quando chega em C não tem quantidade de movimento suficiente
para vencer o gradiente de pressão adverso.
Se define gradiente de pressão adverso quando a pressão aumenta no sentido do escoamento ou ∂p/∂x > 0
Se define gradiente de pressão favorável quando a pressão diminui no sentido do escoamento ou ∂p/∂x < 0
94
Figura 8 Escoamento com gradiente adverso de pressão sobre um cilindro
Observando o perfil de velocidades dentro da camada limite (Fig. ) vemos que no ponto D, onde ocorre a separação do
escoamento, o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento na parede são nulos. Após este ponto se origina um
escoamento reverso dentro da camada limite.
No ponto de separação
∂u
⎞
⎟
∂y
⎠
y=
0
= 0
e τ = 0
w
Atualmente as soluções computacionais conseguem identificar nos escoamento viscosos a separação da camada
limite e a emissão de vórtices tal como representado na Fig. 11.9.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
PUCRS - DEM – Prof. Alé (2010)
Figura 9 Solução numérica (CFD) do escoamento num cilindro com emissão de vórtices
Devido aos efeitos da separação da camada limite a pressão média na metade traseira do cilindro é muito
menor que na metade dianteira. Isto origina um arrasto (CD) devido principalmente à parcela de arrasto por pressão
(CDp) já que o arrasto por efeitos viscosos (CDf) pode ser muito pequeno. O arrasto por pressão é denominado também
arrasto por forma devido a sua dependência da forma do objeto.
Cilindros : Escoamento viscoso CDp >> CDf
Pelo efeito da separação da camada limite podemos compreender o paradoxo de d`Alambert. No escoamentos sobre
um corpo submerso, mesmo para fluido com pequena viscosidade, se manifestará uma força de arrasto, a qual é,
geralmente independente da magnitude da viscosidade do fluido.
Dependência do Regime de Escoamento
A localização do ponto de separação, a largura da esteira de vórtices originados na parte traseira do corpo e a
distribuição de pressão na superfície do corpo dependem da natureza do escoamento, seja ele laminar ou turbulento.
A energia cinética e a quantidade de movimento associadas ao escoamento na camada limite turbulenta são maiores
do que as associadas ao escoamento na camada limite laminar. Isto se deve basicamente ao seguinte:
(1) O perfil de velocidade na camada limite é mais uniforme no caso do escoamento turbulento que no caso do
escoamento laminar.
(2) A energia associada com os movimentos turbulentos aleatórios é maior que a laminar.
Desta forma o descolamento da camada limite turbulenta desenvolvida em torno de um cilindro descola numa posição
posterior daquela da camada limite laminar tal como se observa na figura.
(a) Laminar (b)Turbulento
Figura 10 Separação do escoamento laminar e turbulento.
95
ESCOAMENTOS VISCOSOS
96
Perfil de velocidades na camada limite no cilindro analisado
Figura 11 Distribuição de pressão em cilindro escoamento não viscoso e viscoso
Efeito do Regime de Escoamento no Arrasto de Esferas e Cilindros
Como mostra a Fig. 12 existe uma dependência do coeficiente de arrasto nos cilindros e esferas lisas, muito
semelhantes em função do número de Reynolds. Para escoamento com baixo número de Reynolds o arrasto é função
de 1/Re. Para escoamentos moderados (10 3 a 10 5 ) o coeficiente de arrasto tem comportamento constante. Quando o
Re atinge o valor crítico a camada limite se torna turbulenta e existe um queda abrupta do arrasto.
Para determinar o coeficiente de arrasto (CD) numa esfera lisa podemos também utilizar as equações sugeridas por
Chow:
C D
Re ≤ 1 1 < Re ≤ 400 400 2x106 24
=
Re
, 0 C D =
24
Re C D = 0,
5
( ) 4275 , 0
0,
000366
C D =
Re
C
D = 0,
18
( ) 646
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
Figura 12 Coeficiente de arrasto em função do número de Reynols para cilindros e esferas
A estrutura típica do escoamento segundo o número de Reynolds é mostrada na Fig. 13. Para baixo número de
Reynolds (Re≅0,1) se observa o escoamento típico (A) sem separação. A medida que Reynolds aumenta (Re≅10) se
origina uma região de separação na parte traseira do corpo (B). A formação de vórtices oscilantes (C) se origina
(Re≅100), conhecidos como vórtices de Von Karman. Para maiores Re se produz a configuração do escoamento
laminar (D) no qual o arrasto é quase constante. Posteriormente quando se alcança o Re crítico (≅3x10 5 ) o escoamento
torna-se turbulento (E) no qual o ponto de separação desloca-se para a parte traseira do perfil originando-se queda
brusca do arrasto.
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Figura 11.13 Tipos de escoamentos associados aos pontos indicados no gráfico
97
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Efeito da Rugosidade Superficial no Arrasto de Esferas e Cilindros
Geralmente o arrasto aumenta com o aumento da rugosidade superficial nos corpos delgados como os perfis
aerodinâmicos. Isto se deve a que o escoamento se torna turbulento. Nesta condições a maior contribuição para o
arrasto total se deve ao arrasto por atrito (CDf) que é muito maior no escoamento turbulento que no escoamento laminar.
Por outro lado, como se observa na figura abaixo, nos corpos rombudos, como um cilindro circular ou esferas, o
aumento da rugosidade superficial pode causar uma diminuição do arrasto total. Para uma esfera lisa quando o Re
atinge o valor crítico (Re≅3x10 5 ), a camada limite se torna turbulenta. Nesta condição a esteira atrás da esfera fica mais
estreita. Isto origina uma diminuição significativa do arrasto por pressão (CDp) e um leve aumento do arrasto por atrito
(CDf). A combinação desta duas parcelas de arrasto (CDp + CDf) fornece um arrasto total menor que nas condições de
escoamento laminar. O aumento da rugosidade superficial pode conseguir que a camada limite se torne turbulenta para
um Re mais baixo e com isto conseguir um arrasto total menor. Esta é, por exemplo, a técnica utilizada nas bolas de
golfe que apresentam uma rugosidade artificial exagerada para conseguir um escoamento turbulento com menor Re (≅
4x10 4 ) e diminuir assim o arrasto. Desta forma com uma tacada a bola pode alcançar maiores distâncias percorridas
comparadas com o caso de uma esfera lisa.
98
Figura 14 Efeito da rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas
Figura 15 Diferença do escoamento de uma esfera lisa e uma bola de golfe.
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
7.5 Sustentação Aerodinâmica
A sustentação é a componente da força aerodinâmica perpendicular ao movimento do fluido. Tal força é a responsável
pelo vôo dos aviões e princípio de acionamento de muitos tipos de turbomáquinas. Nos aviões, por exemplo, as asas
apresentam um formato aerodinâmico (Fig) cuja seção é denominado aerofólio ou perfil aerodinâmico. Estes são
projetados para produzir sustentação com a menor força de resistência possível.
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Figura 16 Detalhe de seção transversal de uma asa definindo um aerofólio
Um aerofólio apresenta uma borda de ataque e uma borda de fuga. Denomina-se corda ( c ) a linha que une a borda de
ataque com borda de fuga. A linha curva que é sempre simétrica às superfícies superior e inferior denomina-se linha de
camber ou linha média. Um perfil aerodinâmico é simétrico quando a linha da corda e a linha de camber são retas
coincidentes. O formato de um aerofólio apresenta uma curvatura que atinge seu máximo indicada pela espessura
máxima.
Figura 17 Nomenclatura básica de um aerofólio
99
ESCOAMENTOS VISCOSOS
100
Figura 8 Detalhe das forças de sustentação e arrasto num aerofólio
Um perfil aerodinâmico quando submetido a uma corrente de fluido com velocidade V∞ apresenta uma força resultante
( R ou FR) que é formada por duas componentes. Uma componente denominada força de sustentação (L ou FL) que
atua perpendicular à velocidade e uma força de arrasto (D ou FD) que atua paralela à velocidade. O ângulo de ataque (
α ) é o ângulo formado entre a linha da corda e a velocidade de corrente livre. A força de sustentação é apresentada na
forma adimensional como:
C
L
L
=
1 2
ρV∞
A
2
p
Onde CL é o coeficiente de sustentação L a força de sustentação V∞ a velocidade de corrente livre e Ap a área projetada
máxima da asa. Ap=cb onde c é a corda do aerofólio e b a envergadura da asa.
Da mesma forma define-se o coeficiente de arrasto como:
D
CD
=
1 2
ρV∞
Ap
2
Onde CD é o coeficiente de arrasto e D a força de arrasto. Num perfil aerodinâmico o arrasto total origina-se pelo
arrasto devido à pressão CDf, o arrasto devido ao atrito (superficial) CDf e o arrasto induzido CDi por efeitos de
envergadura finita. Geralmente nos aerofólios o arrasto superficial é o mais importante. Isto pode se inverter para
relações t/c maiores que 25% onde t é a espessura máxima do perfil e c a corda do mesmo.
Aerofólio: Geralmente CDf >> CDp
Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS
7.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Sustentação
A sustentação depende de vários parâmetros entre eles o formato do aerofólio, o número de Reynolds e o ângulo de
ataque do perfil. Num corpo pode ser determinada quando se conhece a distribuição de pressão em torno do corpo. Na
forma adimensional a distribuição de pressão é dada por:
c p
p − p
=
1
ρV
2
∞
2
∞
cp é denominado coeficiente de pressão que é a diferença entre a pressão estática local e a pressão estática de
corrente livre adimensionalizada pela pressão dinâmica da corrente livre. Na figura abaixo mostra-se a curva típica da
distribuição de pressão em torno de um aerofólio. A parte inferior do aerofólio apresenta uma pressão maior que na
parte superior. Geralmente isto se apresenta trabalhando com o eixo de cp negativo tal como mostrado. O ponto de
estagnação ocorre próximo da borda de ataque. Neste local a velocidade V=0. Para escoamento incompressível Cp=0
neste ponto. Quando a corda é unitária a sustentação é relacionada com o coeficiente de pressão:
1
∫ ( C pi − C )
⎛ x ⎞
CL =
ps d⎜
⎟
⎝ c ⎠
0
Onde Cpi é o coeficiente de pressão da superfície inferior e Cps representa coeficiente de pressão da superfície superior.
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Figura 19 Distribuição do coeficiente de pressão num aerofólio
101
ESCOAMENTOS VISCOSOS
7,7 Curva de Sustentação versus Ângulo de Ataque.
Um aerofólio com um determinado ângulo de ataque originará uma distribuição de pressão tal como mostrada na figura
acima. Para graficar o comportamento da sustentação versus o ângulo de ataque de um perfil aerodinâmico devemos
previamente avaliar a distribuição de pressão para cada angulo desejado e posteriormente graficar o resultado. Uma
curva típica deste resultado pode ser observada na figura abaixo. Como se aprecia existe uma região em que a
sustentação aumenta linearmente com o ângulo de ataque até alcançar a sustentação máxima (CLmax). Nesta região o
escoamento apresenta-se suave sem separação da camada limite. Após este máximo o gradiente adverso de pressão
provoca a separação do escoamento na superfície superior do aerofólio originando-se um esteira turbulenta. Nestas
condições o aerofólio entra em estol o que significa que perde sustentação e ocorre aumento do arrasto. O ângulo em
que se origina este fenômeno denomina-se ângulo de estol.
102
Figura 20 Curva típica de sustentação aerodinâmica versus ângulo de ataque
Um aerofólio simétrico apresentará uma curva de CL versus α que passa pela origem. Isto é para α=0 0 a sustentação
CL=0. No caso de perfis assimétricos para α=0 0 o aerofólio apresenta um sustentação, contudo existirá um ângulo tal
que terá sustentação nula tal como mostrado na figura abaixo.
Figura 21 Curva de sustentação para aerofólios simétricos e assimétricos
Um aerofólio é uma seção de asa que, para efeitos de análise de escoamento, considera-se como bidimensional. Tratase
portanto de uma asa de envergadura infinita. Quando se estudam perfis com envergadura finita devem ser
considerados os efeitos tridimensionais provocados pelas pontas das asas, as quais reduzem a sustentação e
aumentam o arrasto. Num aerofólio de envergadura finita são originados vórtices de fuga devido a que a pressão
média na superfície inferior é maior que a pressão média na superfície superior. Esta diferença de pressão se manifesta
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perto das pontas na qual o fluido tende a escoar da parte superior para a parte inferior. Como a asa está em movimento
para jusante do aerofólio formam-se estes vórtices de fuga tal como mostrados na figura abaixo.
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Figura 22 Circulação e feito de vórtices de fuga num perfil de envergadura finita
Os efeitos de envergadura são correlacionados utilizando a definição da razão de aspecto
2
Quadrado do comprimento
da asa b
Razão de Aspecto ( ar)
=
=
Área Pr ojetada
onde b é a envergadura e Ap a área projetada. Se o comprimento da corda é constante tal como numa asa retangular,
esta relação fica simplificada como ar = b/c. As asas compridas são mais eficientes que as asas curtas devido às
perdas das pontas são menos significativas. O efeitos de pontas também origina um arrasto induzido o qual deve ser
determinado e adicionado ao arrasto por atrito e por pressão do aerofólio.
Figura 23 Definição de envergadura e área planiforme de uma asa
A relação sustentação/arrasto (L/D) é um parâmetro importante que mede a qualidade aerodinâmica de um perfil.
Quanto maior esta relação maior será a eficiência do perfil. Seções modernas de baixo arrasto atingem L/D em torno
de 400. Um planador de alto desempenho com ar=40 pode ter um L/D=40. Um avião típico (ar≅12) pode ter L/D≅20.
Ap
103
ESCOAMENTOS VISCOSOS
104
Figura 24 Definição do ângulo de ataque geométrico efetivo e induzido
Figura 25 Efeito da envergadura finita na sustentação aerodinâmica
Nos perfis com envergadura finita as velocidades dirigidas para baixo reduzem o ângulo de ataque efetivo em
proporção ao coeficiente de sustentação.
α = α + α
efec
i
onde αefec é o ângulo efetivo numa asa com envergadura finita, αi é o ângulo de ataque induzido por efeito da
velocidade para baixo originada pelos vórtices de fuga. Isto origina uma redução da inclinação da curva da sustentação
como observado na figura. Da teoria de fluido incompressível o ângulo induzido é determinado como:
CL α i =
πar
A inclinação da curva de sustentação para um aerofólio com envergadura infinita é definida como coeficiente de
inclinação:
a
o =
dC L
dα
Desta forma a sustentação pode ser avaliada para uma asa de envergadura infinita em função de ao curva utilizando a
relação:
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C = a α
L
L
o
o
eefct
( α − )
C = a α
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i
Figura 26 Determinação da sustentação para aerofólios de envergadura finita
7.71. Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto
Numa asa de envergadura finita os vórtices de fuga (Fig.11.22) originam velocidades para baixo que provocam um
aumento do coeficiente de arrasto CD , o qual pode ser avaliado como:
C + C
D = CD∞
Di
onde CD∞ é o coeficiente de arrasto da seção considerada um perfil de envergadura infinita e CDi é o arrasto induzido
que pode ser avaliado pela expressão:
C
Di
2
CL
= CLα
i =
πar
A Fig. 27 mostra a as curvas típicas de sustentação e arrasto para um perfil aerodinâmico em função do ângulo de
ataque. Observa-se na curva de sustentação o comportamento linear de CL até o alcançar ângulo de estol (α≅15 0 ).
Após este ângulo o aerofólio entra em estol, observando-se um queda brusca de CL e um aumento acentuadado do
coeficiente de arrasto.
105
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Efeito da compressibilidade
106
(a ) Sustentação (b) Arrastro
Figura 27 Curvas típicas de sustentação e arrasto para um aerofólio
Para corpos perfilados para escoamentos com número de M

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7.7.2 Velocidade mínima de vôo
Nas condições de estado de vôo constante (condições de cruzeiro) a sustentação (FL) deve ser igual ao peso da
aeronave (W).
1
W = L = ρ V
2
2
∞
A
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Figura 29 Equilíbrio do peso e da sustentação num avião em velocidade de cruzeiro
A velocidade mínima (Vmin) de vôo é obtida quando CL=CLmax.
V
min
=
2W
ρC
L max
A
Desta forma a velocidade mínima de aterrissagem pode ser reduzida pelo aumento de CLmax. ou pelo aumento da área
da asa. Os flapes são partes móveis da borda de fuga de uma asa que podem ser prolongados num aterrissagem e
decolagem com a finalidade de aumentar a área efetiva da asa.
107
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108
ANEXO
EQUACOES BASICAS DE MECANICA DOS FLUIDOS
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8. EQUACOES BASICAS DE MECANICA DOS FLUIDOS
Equação da conservação da massa
Equação da Quantidade de Movimento
(2ª Lei de Newton)
Equação do Momento da Quantidade de
Movimento
Equação da Conservação da Energia
Onde:
m Massa do fluido
V r Vetor de velocidade da partícula de fluido
r r Vetor posição da partícula de fluido
F r Vetor das forcas agindo sobre a partícula de fluido
E Energia total
Q Calor
W Trabalho
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d
dt
d
( m)
= 0
dt
d r r
( mV
) = F
dt
r
r
r r
{ m(
V × r ) } = r × F
d dQ dW
( E)
= −
dt dt dt
109
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FORMAS INTEGRAIS DAS EQUACOES DO MOVIMENTO
As equações integrais podem ser descritas a partir de uma equação geral reconhecendo os efeitos externos e termos
característicos.
110
E
ext
∂
=
∂t
∫ξρd∀ + ∫
vc sc
r r
ξρVdA
Conservação da massa: E ext = 0
ξ = 1
r r
r
Quantidade de Movimento: Eext
= FS
+ FB
ξ = V
Momento da Quantidade de
r r r r r
r r
Eext
= r × FS
+ r × FB
+ Teixo
ξ = r × V
Movimento:
Equação da Energia
dQ dW
ξ = e
Eext = −
dt dt
Onde e representa a energia total por unidade de massa e E/m
⎛ 1 2 ⎞
e = ⎜ V + gz + uint
⎟
⎝ 2
⎠
sendo uint a energia especifica interna (energia por unidade de massa).
As forcas que agem em fluidos são basicamente as forcas de superfície e as forcas de campo.
As forcas de superfície são formadas pelas forcas por efeito o de tensões normais ou de pressão e das tensões
tangenciais ou de cisalhamento.
r r r
F = F + F = pdA + τdA
S
Sp
Sτ
A forca de campo dada por:
r r r r
F = Bdm
= Bρd∀
= gρd∀
B
∫
vc
∫
vc
∫
A
∫
∫
vc
A
As forcas de campo e de superfície podem ser representadas pelas suas componentes:
r
dFSp = dF iˆ
Spx + dFSpyiˆ
+ dFSpziˆ
r
dF dF iˆ
dF iˆ
S S x S y dFS
ziˆ
τ = τ + τ + τ
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FORMA VETORIAL DO CAMPO DE VELOCIDADES
O vetor de posição ou de deslocamento de uma partícula de fluido e dado por:
r
= r iˆ
+ r ˆj
+ r kˆ
r x y z
A velocidade e uma função vetorial da posição e do tempo com três componentes u,v e w sendo cada componente um
campo escalar
r
V ( r,
t)
= u(
x,
y,
z,
t)
iˆ
+ v(
x,
y,
z,
t)
ˆj
+ w(
x,
y,
z,
t)
kˆ
Outras grandezas podem ser determinadas manipulando matematicamente o campo de velocidades, denominadas
propriedades cinemáticas:
Propriedades Cinemáticas:
Vetor de Deslocamento
Aceleração
Vazão em Volume
Vetor rotação – Velocidade Angular
2ª Lei de Newton aplicada a Fluidos.
r r
F = ma
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= ∫Vdt
r r dV dt
r
r
a =
= VdA r r
Q
∫
V r r 1
ω = ∇ ×
2
Apresenta-se para fluidos em movimentos definindo a aceleração substancial da partícula de fluido.
r
r ⎛ DV
⎞
F = m⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ Dt ⎠
Onde
r r
DV
∂V
r r
= + ( V∇)V
Dt ∂t
111
ESCOAMENTOS VISCOSOS
Para estudar o movimento dos fluidos devemos conhecer algumas regras básicas assim como operadores específicos.
Regra da Cadeia.
Seja uma variável de f,
Dependente de coordenadas espaciais e do tempo de f(x,y,z,t),
Para obter uma derivada temporal escalar da mesma variável pode-se aplicar a regra da cadeia.
df
dt
112
∂f
∂f
dx ∂f
dy ∂f
= + + +
∂t
∂x
dt ∂y
dt ∂z
Gradiente ou Operador Nabla
dz
dt
As variáveis de cinemática dos fluidos podem ser manipuladas escritas de modo mais compacto quando se utiliza o
operador denominado Gradiente o Operador Nabla definido como.
Gradiente
∇ =
∂
iˆ
∂
ˆ
∂
+ j + kˆ
∂x
∂y
∂z
O produto deste operador com um vetor velocidade resulta no divergente do vetor .
Por exemplo, o divergente do vetor velocidade e dado por:
Divergente da Velocidade
∂u
∂v
∂w
∇V = + +
∂x
∂y
∂z
r
Conservação da massa escoamento compressível e incompressível em regime não-permanente:
Eq. da conservação da massa.
∂ρ
+ ∇
∂t
r
( ρV
) = 0
∂ρ r ∂ρ
∂ρu
∂ρv
∂ρw
+ ∇ρV
= + + +
∂t
∂t
∂x
∂y
∂z
No caso em que o escoamento é em regime permanente, com fluido incompressível.
Escoamento Incompressível
Regime permanente.
∇V = 0
r
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ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA DE FLUIDO
A aceleração de uma partícula de fluido e dada por:
r
a = iˆ
+ a ˆj
+ a kˆ
a x y z
a qual pode ser determinara em função do vetor velocidade :
r
dV du dv dw
= iˆ
+ ˆj
+ kˆ
dt dt dt dt
Utilizando a regra da cadeia para cada componente u,v,w:
du ∂u
∂u
dx ∂u
dy ∂u
dz
= + + +
dt ∂t
∂x
dt ∂y
dt ∂z
dt
Como se trata de uma partícula especifica.
du ∂u
∂u
∂u
∂u
= + u + v + w
dt ∂t
∂x
∂y
∂z
De modo compacto podemos representar esta equação como:
du ∂u
r
= + V∇(u)
dt ∂t
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dV dt
r
r
a =
dx dy
u = v = w =
dt dt
Aplicando o mesmo procedimento para o componente u, v e e w encontramos as seguintes expressões:
du ∂u
∂u
∂u
∂u
= + u + v + w
dt ∂t
∂x
∂y
∂z
dv ∂v
∂v
∂v
∂v
= + u + v + w
dt ∂t
∂x
∂y
∂z
dw ∂w
∂w
∂w
∂w
= + u + v + w
dt ∂t
∂x
∂y
∂z
du ∂u
r
= + V∇(u)
dt ∂t
dv ∂v
r
= + V∇(v)
dt ∂t
dw ∂w
r
= + V∇(w)
dt ∂t
dw
dt
113
ESCOAMENTOS VISCOSOS
A aceleração total de uma partícula e denominada também aceleração substancial ou material
Aceleração total de uma
partícula
Aceleração total de uma
partícula
Derivada substancial
114
Aceleração Local
⎧
⎨
⎩
∂V
⎫
⎬
∂t
⎭
r
Aceleração Convectiva
r r r
⎧ ∂V
∂V
∂V
⎫
⎨u
+ v + w ⎬
⎩ ∂x
∂y
∂z
⎭
r r
DV
∂V
r r
= + V∇V
Dt ∂t
r r r r r
DV
∂V
∂V
∂V
∂V
= + u + v + w
Dt ∂t
∂x
∂y
∂z
D
Dt
∂ ∂ ∂ ∂
= + u + v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
• Trata-se de uma aceleração que ocorre no tempo.
• Ocorre em escoamentos transientes e em regime permanente.
• E nula para escoamento em regime permanente.
• Aceleração que se manifesta em escoamentos com mudanças de geometria.
• Escoamentos em regime permanente podem ter grandes acelerações
convectivas devido a mudanças de geométrica.
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ROTACIONAL
O rotacional e o produto do operador Nabla por uma função vetorial. O rotacional da velocidade e dado por:
iˆ
∇ × V = ∂ / ∂x
r
u
ˆj
∂ / ∂y
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v
kˆ
⎛ ∂w
∂v
⎞ u w v u
z
iˆ
⎛ ∂ ∂ ⎞ ˆ
⎛ ∂ ∂ ⎞
∂ / ∂ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ j + ⎜ − ⎟kˆ
y z ⎝ ∂z
∂x
⎠ x y
w
⎝ ∂ ∂ ⎠
⎝ ∂ ∂ ⎠
Desta forma, o vetor da velocidade angular (vetor rotação) local como:
V r r 1
ω = ∇ ×
2
r
ω = ω ˆ + ω ˆj
+ ω kˆ
xi
y z
1 ⎛ ∂w
∂v
⎞ u w v u
iˆ
1 ⎛ ∂ ∂ ⎞ ˆ
1 ⎛ ∂ ∂ ⎞
ω = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ j + ⎜ − ⎟kˆ
2 ⎝ ∂y
∂z
⎠ 2 ⎝ ∂z
∂x
⎠ 2 ⎝ ∂x
∂y
⎠
v
Vorticidade
Defini-se a vorticidade como duas vezes o valor da rotação
V r
r r
ζ = 2 ω = ∇ ×
A vorticidade e o rotacional estão associados com escoamentos viscosos os quais apresentam tensões de
cisalhamento.
Escoamento Irrotacional ω = 0
r
Um escoamento não viscoso não apresenta tensões de cisalhamento, portanto e denominado irrotacional.
Desta forma ω = 0
r
. Significa que suas componentes também devem ser nulas.
⎛ ∂w
∂v
⎞
⎜ − ⎟ = 0
⎝ ∂y
∂z
⎠
⎛ ∂u
∂w
⎞
⎜ − ⎟ = 0
⎝ ∂z
∂x
⎠
⎛ ∂v
∂u
⎞
⎜ − ⎟ = 0
⎝ ∂x
∂y
⎠
Escoamento Irrotacional ω = 0
r
Escoamento Rotacional ω ≠ 0
r
∇ × V = 0
r
∇ × V ≠ 0
r
115
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ANEXO
GRAFICOS
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