O corpo dos reais

Gestão de Empresas Matemática I
Lição 2 - O Corpo dos Reais
A introdução dos números reais pode ser conduzida de várias formas. Um dos caminhos é partir do
conjunto Q dos racionais, e através de um raciocínio construtivo definir o conjunto IR dos reais. Aqui
introduzimos os números reais, assentando no seu processo axiomático, ou seja, o seu estudo é
desenvolvido, aceitando a existência de certos objectos (chamados números reais) que verificam
determinadas propriedades básicas, traduzidas num certo número de axiomas. A partir destes axiomas,
deduzem-se todas as propriedades dos números reais de que necessitaremos na sequência do nosso
estudo. Neste sentido, admitimos a existência de um conjunto IR, cujos elementos chamamos números
reais, e no qual se definem duas operações: uma chamada adição e outra multiplicação. Suporemos
ainda dado um subconjunto de IR, que designaremos por
+
IR , e cujos elementos chamaremos números
positivos. Estes quatro termos, número real, número positivo, adição e multiplicação são adoptados como
conceitos primitivos da teoria. Definem-se a seguir os axiomas que regem esta teoria, isto é, proposições
que convencionalmente aceitamos sem demonstração, e que exprimem certas propriedades impostas
aos conceitos primitivos.
1. AXIOMAS DE UM CORPO
AXIOMA 1. A adição e a multiplicação são operações comutativas, no conjunto dos reais.
Ou seja, quaisquer que sejam os reais x e y , devem verificar-se as igualdades:
x + y = y + x e xy = yx . 1
AXIOMA 2. A adição e a multiplicação são associativas:
quaisquer que sejam os reais x , y e z .
( x + y ) + z = x + ( y + z)
e ( ) z x(
yz)
AXIOMA 3. A multiplicação é distributiva a respeito da adição:
quaisquer que sejam x , y , z ∈ IR .
( y + z)
= xy xz
x +
xy = ,
1
A x + y chamamos soma de x com y e representa o número real que a operação adição faz corresponder
ao par (x,y). A x. y chamamos produto de x por y e representa o número real que a operação multiplicação
faz corresponder ao par (x,y).
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AXIOMA 4. A adição e a multiplicação são operações com elemento neutro; os elementos neutros das
duas operações são números reais distintos.
Isto é, para a adição existe pelo menos um número real u tal que, para todo o x ∈ IR ,
x + u = x ,
e para a multiplicação existe pelo menos um número real v tal que, para todo o x ∈ IR ,
xv = x .
Prova-se, no entanto, atendendo ao axioma 1, que qualquer dessas operações não pode ter mais do que
um elemento neutro ( e terá precisamente 1). O elemento neutro da adição será chamado zero e poderá
designar-se pelo símbolo "0" , ao elemento neutro da multiplicação chamaremos um e poderemos
designá-lo pelo símbolo "1" . Atendendo ao axioma 4, 0 ≠ 1.
Ter-se-á então, para todo o x ∈ IR ,
x + 0 = 0 + x = x e x . 1 = 1.
x = x .
AXIOMA 5. Todo o número real tem simétrico (isto é, qualquer que seja o real x existe pelo menos um
y ∈ IR tal que x + y = 0 ); todo o real distinto de zero tem inverso (quer dizer, qualquer que seja o real
x ≠ 0 , existe pelo menos um y ∈ IR tal que xy = 1).
Também no caso deste axioma se impõe apenas existência (de simétrico ou inverso) mas, de facto,
prova-se ainda a unicidade. Podemos então introduzir as definições: sendo x um número real qualquer, o
simétrico de x , que designamos por − x é o único real cuja soma com x é igual a 0 ; sendo x um real
diferente de zero, o inverso de x , que designamos por
1. Nestas condições, para todo o x ∈ IR ,
e para todo o IR \ { 0}
x ∈ ,
x + ( −x)
= ( −x)
+ x = 0
x . x
1 1
= − −
x
−1
x , é o único real cujo produto com x é igual a
. x = 1
Qualquer conjunto onde se definam as operações de “adição” e “multiplicação”, de tal forma que se
verifiquem os 5 axiomas anteriores, é usualmente chamado corpo.
Dos axiomas precedentes, resultam de imediato os seguintes teoremas:
Teorema 1. (Lei do corte para a adição) Quaisquer que sejam os reais x , y e z , a igualdade
x + y = x + z implica y = z .
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Teorema 2. (Possibilidade e unicidade da subtracção) Quaisquer que sejam os reais x e y existe
um e um só z tal que x = y + z .
Podemos então definir que dados dois números reais x e y , o único real z tal que x = y + z é a
diferença entre x e y , habitualmente designada por x − y . Assim, para quaisquer x , y , z ter-se-á
A operação que associa a cada par ( x, y )
x − y = z sse x = y + z .
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∈ IR o número x − y é a subtracção.
Teorema 3. (Possibilidade e unicidade da divisão) Quaisquer que sejam IR
existe um e um só z ∈ IR tal que x = yz .
A operação que associa a cada par ( x, y ) IR × IR \ { 0}
x ∈ e y ∈ IR \ { 0}
∈ o número z considerado no teorema anterior
x −1
é a divisão, e o real z é o cociente de x por y , que habitualmente se designa por ou por xy .
y
Teorema 4. Qualquer que seja x ∈ IR , x . 0 = 0 (o zero é elemento absorvente para a multiplicação).
Teorema 5. A igualdade xy = 0 verifica-se sse for x = 0 ou y = 0 .
2. AXIOMAS DE ORDEM
Neste conjunto de axiomas, surge o outro conceito primitivo de número positivo.
AXIOMA 6. O conjunto dos números positivos,
+
IR , é um subconjunto de IR fechado para as operações
de adição e de multiplicação (esta última afirmação significa que, se x e y são números positivos, a sua
soma e o seu produto também o são).
Define-se que um número real é negativo sse o seu simétrico é positivo. Assim, convencionaremos
designar por
−
IR o conjunto dos reais negativos.
Antes de enunciarmos o próximo axioma, convém definir formalmente os símbolos já conhecidos < e >.
Sendo x, y ∈ IR , convencionaremos dizer que x é menor do que y ou que y é maior do que x (e
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+
escreve-se x < y ou y > x ) sse y − x ∈ IR . Daqui decorre que
x > 0 e x < 0 , respectivamente.
+
x ∈ IR ou
AXIOMA 7. Qualquer real distinto de zero é positivo ou negativo (de outra forma: IR \ 0
); nenhum real é positivo e negativo (designando por Ø o conjunto vazio, ∩ =
− +
IR IR Ø).
−
x ∈ IR equivalem a
{}
+ −
⊂ IR ∪ IR
Teorema 6. (Tricotomia) Sendo x e y números reais, verifica-se necessariamente uma e uma só das
condições:
x < y , x > y , x = y .
Teorema 7. (Transitividade) Quaisquer que sejam os reais x, y e z , se for x < y e y < z , será
também
x < z .
Os resultados anteriores, permitem dizer que a relação de “menor” é uma relação de ordem em IR, ou
ainda que o conjunto IR, com essa relação, é um conjunto ordenado.
Terminemos esta lição com o seguinte resultado:
Teorema 8. Sejam x e y números reais tais que x < y , então:
a. Se z ∈ IR , x + z < y + z ;
b. Se u, v ∈ IR e u < v , x + u < y + v ;
c. Se z > 0 , xz < yz ; Se z < 0 , xz > yz ( na hipótese z = 0 , sabíamos já, pelo teorema 4,
que é xz = yz = 0 ).
Nota: As demonstrações dos teoremas enunciados nesta lição, e que não foram aqui estudadas, podem
ser consultadas em Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática.
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