Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Q(x) pode ser escrito por meio da seguinte relação:
t
{ } { }
Q( x) A X
= (4.20)
em que { } t
A contém os escalares que multiplicam os termos do polinômio { X } . Para
maior clareza { } t
A e { X} da Eq. (4.20) podem também ser escritos da seguinte forma:
{ n nn n n}
t
{ A} a0, a1, , a , b11, , b , b12 , , b( −1)
= K K K (4.21)
{ n }
1
n
n
t
2 2
{ } 1, 1, , , , , , 1 2, ( n−1)
X = x K x x K x x x K x x
(4.22)
Assim a Eq.(4.19) pode ser reescrita como:
np
k = 1
t k k k
t
k
( ( { } { } ) ( { } { } ) )
∑ (4.23)
d = min A X − R X A − R
Expandindo os termos da Eq. (4.23) obtém-se:
np
k = 1
t 2
k k
t
k t k k
( { } { }{ } { } { } { } )
∑ (4.24)
d = min A X X A − 2R
A X + R
Para a determinação do mínimo da Eq. (4.24) uma das condições necessárias é
que o gradiente de d seja nulo. Assim:
np
k = 1
k k
t
k k
( { }{ } { } { } )
∇ d = 2 X X A − 2R X = 0
A
Que pode ser ainda simplificada como:
∑ (4.25)
np
k = 1
k k
t
k k
( { }{ } { } { } )
∇ d = X X A − R X = 0
A
A partir da Eq. (4.26) pode-se definir que:
E que:
∑ (4.26)
np
( )
k t
[ P] { X }{ X }
= ∑ (4.27)
k = 1
( )
np
k k
[ V ] R { X }
= ∑ (4.28)
k = 1
Assim, para que a Eq. (4.26) seja verdadeira o resultado das operações dos
termos dentro do somatório deve ser nulo. Dessa forma:
escrever que:
t
k k k k
{ X }{ X } { A} R { X } 0
− = (4.29)
De posse das definições apresentadas nas Eq. (4.27) e Eq. (4.28) pode-se
−1
[ P]{ A} { V} { A} [ P] { V}
= ⇔ = (4.30)
Capítulo 4 – Tópicos de Confiabilidade Estrutural__________________________________
82