Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

minimizar
T 1 T
ϕ ( s) = f ( xi ) + s ⋅ g ( xi ) + ⋅ s ⋅ A( xi , λi
) ⋅ s
2
sujeito a g x + s ⋅∇g x ≤ 0 j = 1,..., n
T ( ) ( )
j i i g
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
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(10.21)
onde g é o gradiente da função objetivo f, A é uma aproximação positiva definida para o
Hessiano da função Lagrangeano. Após a resolução deste problema de programação
quadrática serão obtidos os valores para os multiplicadores de lagrange e também para
as direções de descida (subida), variáveis ( , )
s λ . Assim o próximo ponto do processo
i i
iterativo é obtido por meio da seguinte expressão:
x = x + α ⋅ s
(10.22)
i+1 i
Sendo que α é encontrado através da minimização da seguinte função
unidimensional:
ng
Ψ ( α ) = f ( x) + µ j min ⎡
⎣0, g j ( x)
⎤
⎦
j=
1
∑ (10.23)
Nesta equação µ j é igual ao valor absoluto dos multiplicadores de lagrange para
a primeira iteração, como mostra a Eq. (10.24):
( )
⎡ ( i) 1 ( i−1) ( i−1)
⎤
µ j = max ⎢ λ j , µ j + λ j
2
⎥
⎣ ⎦ (10.24)
onde o índice i denota o número da iteração. Neste trabalho o problema unidirecional é
resolvido usando-se o método Golden Section explicado no Anexo H. A matriz A é uma
matriz positiva definida que aproxima o hessiano da função objetivo. Na primeira
iteração esta matriz é definida como uma matriz identidade sendo atualizada à medida
que o processo iterativo avança. Esta atualização é feita utilizando-se a equação
proposta por BROYDON-FLETCHER-SHANNO-GOLDFARB, equação BFGS, e
recomendada em VANDERPLAATS (2001). Assim:
T T
A⋅∆x ⋅ ∆x ⋅ A ∆l ⋅ ∆l
Anovo = A − +
T T
∆x ⋅ A⋅∆x ∆x ⋅ ∆ x
(10.25)
Sendo que nesta equação ∆ x e ∆ l são definidos como:
∆ x = x − x
(10.26)
i+ 1 i
( λ ) ( λ )
∆ l = ∇xL xi+ 1, i − ∇xL
xi
, i
(10.27)
onde L é a função Lagrangeana e ∇ x representa o gradiente da função Lagrangeana
com relação às variáveis x. Para garantir que A seja positiva definida, ∆l é modificada
se a seguinte relação é verdadeira.