Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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variações lineares, quadráticas e cúbicas. As integrais são calculadas por meio de fórmulas de quadratura gaussiana. LACHAT (1975) também propôs a técnica de sub- regiões não só para análise de domínios não homogêneos, mas também para permitir que o sistema de equações resultante fosse definido por blocos possibilitando assim o emprego de algoritmos de resolução de equações mais eficientes. BREBBIA (1978b) introduziu a formulação das equações integrais empregando a técnica dos resíduos ponderados. A partir desse ponto o método das equações integrais poderia ser combinado a outras técnicas numéricas, tratando ambas por meio da técnica dos resíduos ponderados, possibilitando assim um equacionamento elegante bem como consistente. Deve-se também a BREBBIA (1978a, 1978b, 1984) o nome “Método dos Elementos de Contorno” que a partir de então tornou-se corrente em detrimento ao então conhecido método das equações integrais. De posse da formulação em resíduos ponderados e da abrangência em relação ao campo de atuação do método dos elementos de contorno várias formulações foram desenvolvidas envolvendo problemas de placas, mecânica dos solos e das rochas, não linearidade física, mecânica da fratura, interação solo-estrutura entre outros. De forma a possibilitar a realização desses tipos de análises o acoplamento com o método dos elementos finitos tornou-se de grande valia. Nessa junção a principal vantagem é que cada método é associado à sub-estruturas onde proporciona resultados mais consistentes. Os primeiros a empregarem a combinação entre o método dos elementos finitos e o método dos elementos de contorno foram McDONALD & WEXLER (1972), os quais aplicaram a problemas relacionados a eletricidade. Já CHEN & MEI (1974) o fizeram para problemas de mecânica dos fluidos onde o método dos elementos de contorno representava um meio infinito, o fluido. Em relação à engenharia estrutural ZIENKIEWICZ et. al (1977), SHAW & FALBY (1977) e OSIAS et. al (1977) foram os primeiros a analisarem sólidos deformáveis utilizando o método dos elementos de contorno no contexto convencional do método dos elementos finitos. WEARING & BURSTOW (1994) aplicaram a junção destes métodos numéricos para análise de problemas elastoplásticos e de mecânica da fratura elastoplástica convencional. No tocante as pesquisas desenvolvidas no “Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos” devem ser destacados alguns trabalhos que contribuíram substancialmente para a excelência do departamento nessa área de pesquisa. Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica ____________________________________________ 9
Inicialmente RODRIGUES (1986) fez o estudo de problemas elásticos lineares bidimensionais por meio de elementos lineares contínuos e também descontínuos. Nesse trabalho é também abordada a técnica de resolução de sistemas lineares por blocos para problemas que utilizam sub-regiões. PALERMO JR (1989) considerou estruturas de parede fina isótropas atuando em regime elástico linear. Essas estruturas eram consideradas de forma estratificada sendo cada lâmina capaz de simular efeitos de um estado plano de tensão acoplado a efeitos de flexão. Diversas pesquisas tratam da análise de placas pelo método dos elementos de contorno. Esses trabalhos empregam as diversas teorias conhecidas para a representação do comportamento estrutural das placas assim como idealizam o comportamento estrutural do material sob o ponto de vista não-linear. Nesse contexto RIBEIRO (1992), CHUEIRI (1994), SILVA (1996) e FERNANDES (1998) devem ser mencionados. Quanto a problemas envolvendo interação solo-estrutura vários são os trabalhos já desenvolvidos. Nesses trabalhos são consideradas interação entre estaca/solo, placa/solo e bloco de fundação/solo tanto em análises bidimensionais quanto tridimensionais. Ainda admite-se a hipótese de simulação do solo de forma estratificada ou não. Nessa área os trabalhos de PAIVA (1993), FERRO (1999), RIBEIRO (2009) e ALMEIDA,V,S. (2003) podem ser destacados. Ainda em relação a esse tópico, problemas relacionados a escavação do solo foram também tratados. Nesse campo de pesquisa os trabalhos de MESQUITA (2002) e KOMATSU (1995) também se destacam. No tocante a análises dinâmicas alguns trabalhos desenvolvidos devem ressaltados. Diversas são as formulações empregadas bem como os tipos de estruturas consideradas. Nesse campo os trabalhos de CODA (1990, 1993) e ALMEIDA,F,P,A. (2003) devem ser citados. 2.2 – Método dos Elementos de Contorno em Problemas de Fratura Em relação a problemas de fratura, um dos temas alvo desse trabalho, podem ser destacadas algumas publicações que permitiram o avanço desse ramo de pesquisa ao nível observado atualmente. Na literatura pode ser encontrada, atualmente, uma vasta quantidade de trabalhos importantes sobre o desenvolvimento de formulações do método dos elementos de contorno em problemas de mecânica da fratura. Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica ____________________________________________ 10
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Apesar de ser um critério muito ut
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do material. Em materiais de compor
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contato, exceder a soma entre a coe
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4. - Tópicos de Confiabilidade Est
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efeitos e à resistência ou rigide
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distribuição qualquer. Nesse caso
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Dessa forma, com a utilização dos
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aproximações quadráticas dispon
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Independente do método utilizado p
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literatura há uma grande busca por
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comportamento mecânico da estrutur
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Figura 4.6 Sistema adaptativo para
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Assim determina-se a superfície de
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um efeito mecânico, térmico, magn
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alguns dias, pela despassivação d
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modelos de degradação. A formula
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5. - Método dos Elementos de Conto
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A solução da Eq. (5.2) representa
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Nesse ponto deve-se empregar a equa
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A singularidade forte, 1 r , da sol
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De acordo com o grau de aproximaç
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5.5 - Construção do Sistema de Eq
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* * * pi ⎪⎧ 2⋅ µ ⋅υ ∂u
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é descrita empregando-se a equaç
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Já o último termo do segundo memb
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espeitada com o ponto fonte interna
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especiais devem ser efetuadas a res
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6. - Formulações Não Lineares do
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pontos internos presente em cada um
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código computacional desenvolvido.
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p x p x ⎡U ⎤ ⎡ Cos( θ ) Sen(
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Nessa formulação foram considerad
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formulações utilizadas levam a re
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6.1.8 - Exemplo 3: Viga Multi-Fissu
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comportamento da mecânica da fratu
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comprimento e 1 metro de altura, co
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duas fissuras, cada uma com comprim
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esquerda. O carregamento considerad
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emprega funções de Green. Na Fig.
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claramente a localização da danif
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egião do contato, uma vez que esta
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espostas obtidas usando os dois mé
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espostas obtidas por ambos os model
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deslocamento X quando se compara es
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Como na formulação serão conside
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p n k k k Ndn Nic ⎡ Ndc Ndc Ndc
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programa ANSYS, onde um modelo equi
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Tensão XY (kN/m 2 ) -5,00E+04 0 0,
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comparativo dos deslocamentos x. Po
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comportamento do escorregamento ent
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Deslocamento Y (m) 0,0005 -0,0005 -
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horário até seu canto superior es
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7. - Acoplamento entre Método dos
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elemento da Fig. (7.1) são obtidas
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domínio, como uma linha de carga,
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O esquema da Fig (7.3) estende-se,
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permite a análise de fibras que fo
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Serão agora descritos os três pro
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compostas por 50, 100 e 200 element
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pode ser entendido como uma concent
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quadrados nas equações de desloca
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A figura acima mostra também a efi
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Deslocamento Contorno X (m) 0,00004
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0,40 y 0,20 0,25 0,25 0,25 0,25 0,2
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De acordo com os diagramas comparat
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finitos. Inicialmente será apresen
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Limite Elástico Inicial Deformaç
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plástica, plástico. Substituindo
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. . p p Capítulo 7 - Acoplamento e
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sendo ( σ ) . sign − q ⋅ E .
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Deslocamento Contorno X (m) 0,060 0
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imposto em sua extremidade direita,
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Deformação Plástica 2,08E-02 2,0
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Deformação Elástica 0,003 0,002
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Força Normal (kN) 25,000 20,000 15
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ensaio de tração. A rigidez dos e
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conforme apresenta a Eq. (7.4), con
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Na Fig. (7.61) estão apresentadas
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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enrijecedores posicionados no inter
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egiões próximas as fissuras. No p
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enrijecedores. A diferença se faz
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-1E-005 -3E-005 Capítulo 7 - Acopl
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na Fig. (7.83). As propriedades dos
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8. - Modelo de Fadiga para Metais e
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Vale ressaltar que o procedimento d
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k 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,
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Comprimento da Fissura 5,5 5 4,5 4
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A estrutura foi analisada e a confi
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Figura 8.13 Trajetória de crescime
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Fator de Intensidade de Tensão Equ
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9. - Acoplamento entre Modelos Mec
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sendo: P R a força de superfície
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necessita de um número maior de co
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intensidade de tensão em função
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obtidas pelos quatro métodos de co
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permite análises de confiabilidade
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vista de condições de contorno co
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carregamento atuante ~ ( 5,0;0,50 )
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ponto de projeto é feito avaliando
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Por meio dessa figura pode-se obser
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progressiva quanto após convergên
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9.4 - Exemplo 4: Estrutura Plana Co
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finalmente o parâmetro C da lei de
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permanece sendo a apresentada na Eq
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ser atribuídas, em parte, à const
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nas análises anteriores constata-s
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Carregamento Atuante (Kip) Distânc
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do problema. Através do MSR a estr
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do modelo mecânico. Os modelos MSR
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Os resultados ilustrados nessas fig
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Na análise de confiabilidade a equ
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Esse conjunto de métodos foi popul
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k + 1 k λ = v . k ( ) ( ) t k k W
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sendo que: Capítulo 10 - Acoplamen
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Nesse modelo os estados limites sã
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valor. Nesse instante a estrutura s
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Foram adotadas as seguintes proprie
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significativo. Esse valor aumenta a
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confiabilidade, assim, nessa análi
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11. - Considerações Finais Este t
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BOTTA (2003). No entanto, os modelo
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12. - Referências Bibliográficas
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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BUYUKOZTURK, O; HEARING, B. (1998).
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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FERRO, N.C.P.; VENTURINI, W.S. (199
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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Anexo A. - Integrais Singulares De
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Matriz H H = C 1 12 1 H = −C ⋅(
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{ ( ) 1 C6 3 S22 = ⋅ ⎡( C4 + 2
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Matriz D ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 2
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I.2 - Relações Constitutivas Em e
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