Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

dp dn
Para resolver a Eq. (6.13), não linear em X , U , U , ∆U , ∆U utiliza-se um
f f s
esquema iterativo, adotando-se um procedimento do tipo Newton-Raphson, com as
fases de previsão e correção. Na solução iterativa utiliza-se:
∆ X = ∆ X + δ∆X
i+ 1 i i
n n n
∆ U = ∆ U + δ∆U
dp i+ 1 dp i dp i
f n f n f n
∆ U = ∆ U + δ∆U
dn i+ 1 dn i dn i
f n f n f n
∆ U = ∆ U + δ∆U
i+ 1 i i
s n s n s n
∆ U = ∆ U + δ∆U
i+ 1 i i
n n n
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
120
(6.14)
Onde o índice i indica a iteração. A determinação das variações
i dp i dn i i i
δ∆X , δ∆U , δ∆U , δ∆U e δ∆
U na iteração i resultam da expansão em série de
n f n f n s n n
i dp i dn i i i
Taylor, em torno de ∆X , ∆U , ∆U , ∆U e ∆ U , da Eq. (6.13), ou seja:
n f n f n s n n
i i i i i i i i i i
( n, n ) ( n, n ) ( n, n ) ( n, n ) ( n, n )
∂Y U P ∂Y U P ∂Y U P ∂Y U P ∂Y
U P
i i i dp i dn i i i (6.15)
Y ( Un , Pn ) + ⋅δ∆ X n + ⋅δ∆ U f n+ ⋅δ∆ U f n+ ⋅δ∆ Us n+ ⋅δ∆ Un
= 0
i dp i dn i i i
∂∆X ∂∆U ∂∆U ∂∆U ∂∆U
n f n f n s n n
A matriz formada pelo conjunto das sub-matrizes que multiplicam os termos das
variações constituem o operador tangente consistente. Esse operador dependerá da lei
coesiva adotada a qual deverá estar incidindo sobre os termos ao qual têm influência.
As leis coesivas mais utilizadas na literatura relacionam as forças coesivas
atuantes nas faces da fissura ao deslocamento normal das mesmas. Como estas forças de
superfície devem estar em equilíbrio pode-se reescrever a Eq. (6.13) como:
( dp ep ) dp ( dn en ) dn ep en dp dp ep ep ( dn en )
( dp ep ) dp ( dn en ) dn ep en
1
dp dp ep ep ( dn en )
Acc X +
Y ( U , P)
=
H
cf
− H
cf
U
f
+ H
cf
− H
cf
U
f
+ H ∆ U
cf s + H ∆U − F − G P
cf cf f
− G P
cf f
− G
cf
+ G
cf
P
f
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆U − F − G P − G P − G + G P
fc ff ff f ff ff f ff s ff ff f ff f ff ff f
Portanto a matriz tangente para o caso de fratura coesiva é dada por:
∂Y
⎡ A ⎤
⎡ ⎤ cc
⎢
= ⎢
X A
⎥
∂ ⎥
fc
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dp ep ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dp ⎥ = ⎢ ⎥
U dp ep
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
dn en ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dn ⎥ = ⎢ ⎥
U dn en
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
ep
⎡ ∂Y
⎤ ⎡H ⎤ cf
⎢ ⎥ = ⎢ ep ⎥
⎣∂∆U s ⎦ ⎢⎣ H ff ⎥⎦
⎡ ∂P
en dn en f ⎤
Hcf − ( Gcf + Gcf
) ⋅
⎡ ∂Y
⎤
⎢ ⎥
∂∆U
⎢
= ⎢ ⎥
⎣∂∆U ⎥
⎦ ⎢ ∂P
en dn en f ⎥
⎢H ff − ( G ff + Gff
) ⋅
⎣ ∂∆U
⎥
⎦
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)