Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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6.1 – Formulações do MEC para a Análise de Fratura Coesiva .............................114 6.1.1 – Cálculo do Estado de Tensão na Extremidade da Fissura.......................114 6.1.2 – Cálculo do Ângulo de Propagação da Fissura.........................................116 6.1.3 – Incremento no Comprimento da Fissura ..................................................116 6.1.4 – Modelo Coesivo via Operador Constante.................................................117 6.1.5 – Formulação do MEC para a Análise de Problemas de Fratura Coesiva via Operador Tangente Consistente ...........................................................................117 6.1.6 – Exemplo 1: Viga sob Flexão em Três Pontos ...........................................122 6.1.7 – Exemplo 2: Viga Analisada em GALVEZ et. al (1998).............................124 6.1.8 – Exemplo 3: Viga Multi-Fissurada sob Flexão em Quatro Pontos............127 6.2 – Formulação do MEC Para a Análise de Fratura Elástico Linear ..................128 6.2.1 – Formulação do MEC Para Análise de Problemas de Fratura Elástico Linear via Operador Tangente Consistente..........................................................129 6.2.2 – Cálculo dos Fatores de Intensidade de Tensão e do Ângulo de Propagação ...............................................................................................................................130 6.2.3 – Exemplo 4: Determinação dos Fatores de Intensidade de Tensão e do Ângulo de Propagação em Problema de Fratura Elástico Linear.......................130 6.2.4 – Exemplo 5: Estrutura Plana com Dois Furos e Duas Fissuras................132 6.2.5 – Exemplo 6: Chapa com uma Fissura Solicitada em Modo II ...................134 6.2.6 – Exemplo 7: Análise de Localização e Coalescência em Chapa com Múltiplas Fissuras.................................................................................................137 6.3 – Formulação do MEC Para a Análise de Problemas de Contato entre Faces de Fissuras via Operador Tangente Consistente...........................................................139 6.3.1 – Formulação com Operador Tangente Consistente para o Caso de Contato sem Escorregamento e com Escorregamento .......................................................140 6.3.2 – Exemplo 8: Chapa com Fissura de Aresta com Contato sem Atrito ........141 6.3.3 – Exemplo 9: Chapa com Fissura de Aresta com Contato Considerando Atrito .....................................................................................................................143 6.3.4 – Exemplo 10: Chapa com Duas Fissuras com Contato Considerando Atrito ...............................................................................................................................146 6.4 – Formulação de um Acoplamento MEC-MEC para a Análise de Problemas de Contato em Estruturas Compostas via Operador Tangente Consistente .................148 6.4.1 – Exemplo 11: Estrutura Plana em Balanço Composta por 3 Domínios ....152 6.4.2 – Exemplo 12: Chapa Enrijecida com Furo Central...................................155 6.4.3 – Exemplo 13: Análise do Escorregamento entre Dois Blocos ...................158 6.4.4 – Exemplo 14: Análise do Contato em Estrutura Composta por 4 Domínios ...............................................................................................................................161 7. – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos ........................................................................................................165 7.1 – Equações do Elemento Finito de Fibra ...........................................................166 7.2 – Formulação do Acoplamento das Fibras com o Domínio via Combinação MEC-MEF.................................................................................................................167 7.2.1 – Equações do Acoplamento ........................................................................167 7.2.2 – Combinação das Equações MEC-MEF com Regularização por Mínimos Quadrados.............................................................................................................174 7.3 – Aplicações do Acoplamento MEC-MEF ..........................................................176 7.3.1 – Exemplo 1: Estrutura Plana com um Enrijecedor....................................176 Sumário _____________________________________________________________ iii
7.3.2 – Exemplo 2: Chapa Tracionada Enrijecida ...............................................181 7.3.3 – Exemplo 3: Estrutura Enrijecida Solicitada por Carga Tangencial ........184 7.3.4 – Exemplo 4: Chapa Tracionada com Enrijecedores Longitudinais e Transversais..........................................................................................................186 7.4 – Formulação do Acoplamento MEC-MEF com Comportamento Elastoplástico dos Elementos de Fibra.............................................................................................190 7.4.1 – Breve Revisão Bibliográfica sobre Teoria da Plasticidade......................191 7.4.2 – Conceitos Básicos .....................................................................................192 7.4.3 – Formulação do Problema Plástico Unidimensional ................................193 7.4.4 – Influência da Plastificação nas Equações do Acoplamento MEC- MEF .199 7.4.5 – Exemplo 5: Análise Elastoplástica de uma Fibra em uma Chapa Tracionada............................................................................................................199 7.4.6 – Exemplo 6: Chapa Tracionada com Enrijecedor Inclinado.....................202 7.4.7 – Exemplo 7: Viga Biapoiada com Enrijecedores Longitudinais e Transversais..........................................................................................................206 7.5 – Formulação do Acoplamento MEC-MEF Considerando o Escorregamento entre as Fibras e o Domínio .....................................................................................211 7.5.1 – Breve Revisão Bibliográfica sobre Aderência entre Fibras e Domínio ...211 7.5.2 – Modelo Não Linear de Aderência CEB-FIP (1990) .................................213 7.5.3 – Formulação Não Linear do Acoplamento MEC-MEF com Modelo de Escorregamento ....................................................................................................214 7.5.4 – Exemplo 8: Análise do Arrancamento de um Enrijecedor .......................215 7.5.5 – Exemplo 9: Propagação de Fissura em Domínio Enrijecido...................218 7.5.6 – Exemplo 10: Chapa com Múltiplas Fissuras e Enrijecedores..................220 7.6 – Acoplamento MEC-MEF Aplicado à Análise de Domínios com Múltiplas Fibras Aleatoriamente Distribuídas no Domínio.................................................................223 7.6.1 – Exemplo 11: Estrutura Plana com Múltiplos Enrijecedores....................225 7.6.2 – Exemplo 12: Propagação de Fissura em Chapa com Múltiplos Enrijecedores ........................................................................................................228 8. – Modelo de Fadiga para Metais e Materiais Frágeis..........................................231 8.1 – Estimativa da Vida Útil Estrutural ..................................................................231 8.2 – Exemplo 1: Viga Solicitada à Flexão em Três Pontos.....................................233 8.3 – Exemplo 2: Estrutura Plana com Três Furos ..................................................236 8.4 – Exemplo 3: Chapa Perfurada ..........................................................................239 8.5 – Exemplo 4: Estrutura Plana com um Furo......................................................241 8.6 – Exemplo 5: Chapa com Múltiplas Fissuras e Furos........................................245 9. – Acoplamento entre Modelos Mecânicos e de Confiabilidade Estrutural........249 9.1 – Exemplo 1: Chapa Tracionada com Fissura Central......................................250 9.1.1 – 1° Cenário.................................................................................................251 9.1.2 – 2° Cenário.................................................................................................253 9.1.3 – 3° Cenário.................................................................................................254 9.2 – Exemplo 2: Viga Solicitada à Flexão em 3 Pontos..........................................256 9.2.1 – 1° Cenário.................................................................................................258 9.2.2 – 2° Cenário.................................................................................................259 Sumário _____________________________________________________________ iv
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Figura 3.7 Distribuição de tensõ
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principal 2) A fissura cresce perpe
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3.11 - Fadiga dos Materiais f t σ
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e uma vida útil, correspondendo a
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empregados para inspeção podem se
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Figura 3.15 Definição de K , max
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Apesar de ser um critério muito ut
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do material. Em materiais de compor
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contato, exceder a soma entre a coe
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4. - Tópicos de Confiabilidade Est
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efeitos e à resistência ou rigide
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distribuição qualquer. Nesse caso
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Dessa forma, com a utilização dos
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aproximações quadráticas dispon
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Independente do método utilizado p
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literatura há uma grande busca por
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comportamento mecânico da estrutur
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Figura 4.6 Sistema adaptativo para
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Assim determina-se a superfície de
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um efeito mecânico, térmico, magn
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alguns dias, pela despassivação d
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modelos de degradação. A formula
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5. - Método dos Elementos de Conto
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A solução da Eq. (5.2) representa
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Nesse ponto deve-se empregar a equa
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A singularidade forte, 1 r , da sol
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De acordo com o grau de aproximaç
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5.5 - Construção do Sistema de Eq
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* * * pi ⎪⎧ 2⋅ µ ⋅υ ∂u
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é descrita empregando-se a equaç
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Já o último termo do segundo memb
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espeitada com o ponto fonte interna
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especiais devem ser efetuadas a res
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6. - Formulações Não Lineares do
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pontos internos presente em cada um
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código computacional desenvolvido.
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p x p x ⎡U ⎤ ⎡ Cos( θ ) Sen(
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Nessa formulação foram considerad
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formulações utilizadas levam a re
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37,5 225 75 300 37,5 Capítulo 6 -
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6.1.8 - Exemplo 3: Viga Multi-Fissu
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comportamento da mecânica da fratu
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comprimento e 1 metro de altura, co
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duas fissuras, cada uma com comprim
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esquerda. O carregamento considerad
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emprega funções de Green. Na Fig.
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claramente a localização da danif
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egião do contato, uma vez que esta
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espostas obtidas usando os dois mé
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espostas obtidas por ambos os model
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deslocamento X quando se compara es
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Como na formulação serão conside
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p n k k k Ndn Nic ⎡ Ndc Ndc Ndc
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programa ANSYS, onde um modelo equi
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Tensão XY (kN/m 2 ) -5,00E+04 0 0,
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comparativo dos deslocamentos x. Po
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comportamento do escorregamento ent
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Deslocamento Y (m) 0,0005 -0,0005 -
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horário até seu canto superior es
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7. - Acoplamento entre Método dos
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elemento da Fig. (7.1) são obtidas
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domínio, como uma linha de carga,
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O esquema da Fig (7.3) estende-se,
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permite a análise de fibras que fo
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Serão agora descritos os três pro
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compostas por 50, 100 e 200 element
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pode ser entendido como uma concent
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quadrados nas equações de desloca
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A figura acima mostra também a efi
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Deslocamento Contorno X (m) 0,00004
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0,40 y 0,20 0,25 0,25 0,25 0,25 0,2
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De acordo com os diagramas comparat
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finitos. Inicialmente será apresen
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Limite Elástico Inicial Deformaç
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plástica, plástico. Substituindo
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. . p p Capítulo 7 - Acoplamento e
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sendo ( σ ) . sign − q ⋅ E .
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Deslocamento Contorno X (m) 0,060 0
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imposto em sua extremidade direita,
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Deformação Plástica 2,08E-02 2,0
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0,05 0,40 y 0,20 0,25 0,25 0,25 0,2
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Deformação Elástica 0,003 0,002
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Força Normal (kN) 25,000 20,000 15
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ensaio de tração. A rigidez dos e
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conforme apresenta a Eq. (7.4), con
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Na Fig. (7.61) estão apresentadas
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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enrijecedores posicionados no inter
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egiões próximas as fissuras. No p
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enrijecedores. A diferença se faz
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-1E-005 -3E-005 Capítulo 7 - Acopl
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na Fig. (7.83). As propriedades dos
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8. - Modelo de Fadiga para Metais e
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Vale ressaltar que o procedimento d
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k 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,
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Comprimento da Fissura 5,5 5 4,5 4
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A estrutura foi analisada e a confi
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Figura 8.13 Trajetória de crescime
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alcança o comprimento de 0,60 m. A
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8.6 - Exemplo 5: Chapa com Múltipl
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Fator de Intensidade de Tensão Equ
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9. - Acoplamento entre Modelos Mec
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sendo: P R a força de superfície
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necessita de um número maior de co
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considerada como variável determin
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intensidade de tensão em função
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obtidas pelos quatro métodos de co
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permite análises de confiabilidade
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vista de condições de contorno co
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carregamento atuante ~ ( 5,0;0,50 )
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ponto de projeto é feito avaliando
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Por meio dessa figura pode-se obser
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progressiva quanto após convergên
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9.4 - Exemplo 4: Estrutura Plana Co
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finalmente o parâmetro C da lei de
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permanece sendo a apresentada na Eq
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ser atribuídas, em parte, à const
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nas análises anteriores constata-s
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Carregamento Atuante (Kip) Distânc
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do problema. Através do MSR a estr
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do modelo mecânico. Os modelos MSR
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Os resultados ilustrados nessas fig
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Os resultados ilustrados nessas fig
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modelo mecânico durante cada itera
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Na análise de confiabilidade a equ
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aleatórias. Foram consideradas as
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10. - Acoplamento entre Modelo Meca
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Esse conjunto de métodos foi popul
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ponto ( , ) E a matriz hessiana em
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k + 1 k λ = v . k ( ) ( ) t k k W
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sendo que: Capítulo 10 - Acoplamen
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Nesse modelo os estados limites sã
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valor. Nesse instante a estrutura s
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Foram adotadas as seguintes proprie
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significativo. Esse valor aumenta a
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lei de Paris n = 2,70 . A lei de Pa
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estrição quanto a dimensão míni
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Os parâmetros de custo envolvidos
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confiabilidade, assim, nessa análi
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11. - Considerações Finais Este t
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BOTTA (2003). No entanto, os modelo
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12. - Referências Bibliográficas
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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BUYUKOZTURK, O; HEARING, B. (1998).
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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FERRO, N.C.P.; VENTURINI, W.S. (199
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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Anexo A. - Integrais Singulares De
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Matriz H H = C 1 12 1 H = −C ⋅(
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Anexo B. - Integrais Analíticas Hi
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{ ( ) 1 C6 3 S22 = ⋅ ⎡( C4 + 2
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Matriz D ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 2
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Matriz S ⎧ 1 ⎪⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
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⎧⎪ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎫⎪
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Anexo C. - Sub-Elementação Quando
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Figura C.2 Teste para verificar a n
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Anexo D. - O Concreto Estrutural O
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Comportamento do Concreto à Compre
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Comportamento do Concreto Sujeito a
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Anexo E. - Função Delta de Dirac
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Anexo F. - A Mecânica do Dano Dive
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Figura F.2 Representação variáve
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Anexo G. - Coeficientes Planos de E
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( 1 δ ) ( 1 δ ) ( 1 δ ) ⎡ x1 x
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( 1 δ ) ( 1 δ ) ( 1 δ ) ( 1 δ )
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Anexo H. - Método Golden Section N
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por 1 X e u X . Por outro lado, se
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Para o problema considerado o méto
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Anexo I. - Tópicos da Teoria da El
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I.2 - Relações Constitutivas Em e
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deslocamentos. A não linearidade d
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I.7 - Tensões Principais O estado
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