Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

as variáveis conhecidas estejam no primeiro membro enquanto que incógnitas no
segundo. Esse procedimento é feito mediante troca de colunas entre as duas matrizes
citadas obtendo-se o seguinte sistema:
[ ]{ Inc}
[ B]{
VP}
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
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A = (5.41)
em que: [ A] e [ B]
são formas modificadas das matrizes [ ] e[
G]
{ Inc } vetor das incógnitas e { VP } é o vetor das variáveis prescritas.
5.6 – Grandezas Internas
H respectivamente,
Depois de conhecidos os valores dos deslocamentos e das forças de superfície no
contorno algumas grandezas importantes podem ser determinadas no interior do
domínio. Os deslocamentos, nos pontos internos, podem ser obtidos de forma expedita
empregando-se a identidade Somigliana. Escrevendo-a na forma matricial para pontos
internos tem-se:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝
⎣ ⎦ ⎟
⎠
⎜
⎝
⎣ ⎦ ⎟
⎠
NE NE
pi j j
∑ ∫ ∑ ∫ (5.42)
* *
{ u} + ⎜ ⎡P ⎤[ Φ] dΓ ⎟{ u} = ⎜ ⎡u ⎤[
Φ] dΓ ⎟{
P}
j n j n
j= 1 Γ j=
1
j Γ j
Onde o vetor { } pi
u representa os deslocamentos no ponto interno pi.
Substituindo na Eq. (5.42) as Eq. (5.36) e Eq. (5.37) pode-se obter uma
expressão mais compacta para a descrição dos deslocamentos nos pontos internos:
NE NE
pi j j
∑ ∑ (5.43)
'
pj
'
pj
{ u} + ⎡H ⎤ { u} = ⎡G ⎤ { P}
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
INF n INF
n
j= 1 j=
1
Deve-se salientar que para a obtenção dos deslocamentos internamente ao
domínio os pontos fonte passam a ser os pontos determinados no interior do domínio.
Por esse motivo as matrizes H e G recebem o símbolo ‘ para diferenciá-las das matrizes
H e G utilizadas na obtenção dos deslocamentos e forças de superfície no contorno.
As tensões nos pontos internos podem ser obtidas empregando-se a Eq. (I.5)
modificada pela introdução da relação entre deformações e deslocamentos, Eq. (I.7).
Dessa forma é possível escrever a seguinte expressão para as tensões:
pi 2⋅
µ ⋅υ
σ ij = ⋅δ ij ⋅ ul , l + µ ⋅ ( ui, j + u j, i )
(1− 2 ⋅υ)
(5.44)
Substituindo a identidade Somigliana Eq. (6.16) na Eq. (6.44), e desprezando as
forças de corpo, é possível obter a seguinte expressão para as tensões: