Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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De acordo com o grau de aproximação empregado para as grandezas envolvidas no problema os elementos de contorno podem ser classificados como constantes, lineares, quadráticos, cúbicos e de ordem superior. Há também a possibilidade de adoção de diferentes graus de aproximação tanto para a geometria quanto para as grandezas envolvidas no problema. Essa particularidade conduz a caracterização dos elementos de contorno os quais podem ser sub-paramétricos, isoparamétricos e super- paramétricos. Para o desenvolvimento do presente trabalho serão considerados elementos de contorno lineares isoparamétricos. Desconsiderando as forças de corpo a Eq. (5.27) pode ser discretizada da seguinte forma: NE ⎛ p [ ]{ } ⎜ * [ ]{ } ⎟ ⎜ * c u + ∑ ∫ P u dΓj = ∑ ∫[ u ]{ P} ⎜ ⎟ ⎜ j= 1 Γ j= 1 Γ ⎝ j Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ ⎞ ⎠ NE ⎛ ⎝ j ⎞ dΓ ⎟ j ⎟ ⎠ 99 (5.29) sendo: NE o número de elementos de contorno adotados para a descrição do problema. p o ponto fonte considerado. 5.4 – Funções de Aproximação Como o elemento de contorno adotado é o linear as funções de aproximação necessárias são duas e estas podem ser definidas em termos de coordenadas adimensionais. A Fig. (5.3) apresenta o comportamento das funções de forma ao longo do elemento bem como as coordenadas adimensionais utilizadas. Figura 5.3 Coordenadas adimensionais e funções de aproximação Para este elemento as funções de aproximação são: φ 1 1− ξ 2 = (5.30)
φ 2 1+ ξ 2 Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ 100 = (5.31) Os deslocamentos no interior do elemento de contorno são descritos por meio das funções de aproximação e dos valores nodais disponíveis, assim: ⎧u ⎫ ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭ ⎡φ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎧u ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ 0 ⎤⎪u ⎪ ⎥⎨ 2 ⎬ φ2 ⎦⎪u1 ⎪ ⎪ 2 u ⎪ ⎩ 2 ⎭ { } [ ]{ } j 1 1 2 2 u = = = Φ u φ 1 φ 0 De forma análoga as forças de superfície podem ser expressas por: Os termos ⎧P ⎫ ⎨ ⎬ ⎩P2 ⎭ ⎡φ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎧P ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ 0 ⎤⎪P ⎪ ⎥⎨ 2 ⎬ φ2 ⎦⎪P1 ⎪ ⎪ 2 P ⎪ ⎩ 2 ⎭ { } [ ]{ } j 1 1 2 2 P = = = Φ P l l k k P e φ 1 φ 0 n n (5.32) (5.33) u indicam deslocamentos e forças de superfície atuantes no nó l segundo a direção k. Já os vetores { } { } j j P e u representam deslocamentos e forças de n superfície nodais presentes nos nós pertencentes ao elemento j atuando segundo a direção n. n A geometria do elemento é aproximada de forma semelhante à apresentada nas Eq. (5.32) e Eq. (5.33). A interpolação pode ser representada como: − ⎧ ⎫ ⎧x ⎫ ⎡φ1 ⎨x⎬ = ⎨ ⎬ = y ⎢ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ 0 0 φ 1 φ 2 0 1 ⎧x ⎫ ⎪ ⎪ 1 0 ⎤⎪ y ⎪ ⎥⎨ ⎬ = 2 φ2 ⎦⎪x ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎩ y ⎪⎭ [ Φ] − ⎧ ⎫ ⎨x⎬ ⎩ ⎭ j n (5.34) Depois de incorporadas as funções de interpolação nas expressões de deslocamentos e forças de superfície deve-se reescrever a Eq. (5.29) substituindo nessa expressão as Eq. (5.32) e Eq. (5.33). Assim: NE ⎛ p p [ ][ ] { } ⎜ * [ ][ ] ⎟ j { } ⎜ * c Φ u ∑ ∫ = ∑ ∫[ ][ Φ] Γ ⎟ n + P Φ dΓj u n u d j { P} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ j= 1 Γ j= 1 Γ ⎝ j ⎞ ⎠ NE ⎛ ⎝ j ⎞ ⎠ j n (5.35) Na Eq. (5.35) o termo { } p u n representa os deslocamentos nodais do elemento onde encontra-se o ponto fonte.
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA D
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Dedico esse trabalho carinhosamente
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Aos queridos Guilherme, Damiana, Va
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Resumo LEONEL, E.D. Modelos Não Li
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6.1 - Formulações do MEC para a A
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A formulação do MEC para o proble
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1 ⎛ θ ⎞ τ rθ = ⋅cos ⎜
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Como na formulação serão conside
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p n k k k Ndn Nic ⎡ Ndc Ndc Ndc
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programa ANSYS, onde um modelo equi
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Tensão XY (kN/m 2 ) -5,00E+04 0 0,
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comparativo dos deslocamentos x. Po
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comportamento do escorregamento ent
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Deslocamento Y (m) 0,0005 -0,0005 -
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horário até seu canto superior es
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7. - Acoplamento entre Método dos
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elemento da Fig. (7.1) são obtidas
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O esquema da Fig (7.3) estende-se,
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A figura acima mostra também a efi
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. . p p Capítulo 7 - Acoplamento e
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Deslocamento Contorno X (m) 0,060 0
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ensaio de tração. A rigidez dos e
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conforme apresenta a Eq. (7.4), con
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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enrijecedores posicionados no inter
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8. - Modelo de Fadiga para Metais e
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Vale ressaltar que o procedimento d
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k 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,
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Comprimento da Fissura 5,5 5 4,5 4
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A estrutura foi analisada e a confi
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finalmente o parâmetro C da lei de
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Carregamento Atuante (Kip) Distânc
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12. - Referências Bibliográficas
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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FERRO, N.C.P.; VENTURINI, W.S. (199
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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Anexo A. - Integrais Singulares De
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