Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

Capítulo 4-Estratégias de Enriquecimento
i
n ⎛1⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎞
f ( ξ0 +Δ ξ, η0 +Δ η) = f( ξ0, η0) + ∑ ⎜ ⎜Δ ξ +Δ η ⎟ f ⎟ + Rn(4.86)
⎜ i=
1 i!
⎝ ∂ξ ∂η
⎠ ⎟
⎝ ⎠
tomando-se por referencia o ponto central do elemento, coincidente com a origem do
sistema local e desenvolvendo a expansão até o grau n = 2 , tem-se:
2 2
( )
1
T2 ( f) = f + f 0 , ξ ξ + f
0
, η η+ f
0
, ξξ ξ + f
0
, ηη η + 2f
0
, ξη ξη + R
0
2 (4.87)
2
Pensando-se em particular na condição de ortogonalidade em relação ao
campo de tensões, os termos de ordem
2
ξ ,
0
99
2
η e o termo constante do
desenvolvimento anterior não atendem àquela condição. Portanto, para que se
garanta o atendimento às (4.83), a expansão a ser usada para determinação das
matrizes G , apresenta uma pequena adaptação, mediante a eliminação dos referidos
termos, ficando com a seguinte expressão:
T( f) = f ξ + f η+ f ξη
(4.88)
, ξ 0
, η 0
, ξη 0
A matriz de estabilização SU
G é então obtida por meio da aplicação da
expansão modificada de Taylor sobre as derivadas das funções de forma clássicas dos
elementos quadrilaterais (funções (4.29)), com i variando de 1 a 4:
G = T( B)
(4.89)
SU
i
Estende-se este procedimento para a matriz G % . Mais especificamente, a
matriz de enriquecimento é obtida a partir da expansão de Taylor sobre as derivadas
das funções de forma enriquecedoras (funções (4.30)) com i variando de 5 e 6, de
modo que B i seja formada pelas derivadas parciais das funções dos modos
incompatíveis 1 e 2 (equações (4.30)).
i
i
G % = T( B)
(4.90)
Tendo-se em vista a aplicação do desenvolvimento em série, pode-se
genericamente escrever que
i
C
G i = T0( B)
, onde T 0 é o termo constante do
i