Folha de Rosto - Sistemas SET - USP
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Capítulo 4-Estratégias <strong>de</strong> Enriquecimento<br />
⎧−1⎫ ⎧−1⎫ ⎪<br />
1<br />
⎪ ⎪<br />
1<br />
⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪−⎪ ξ = ⎨ ⎬ η = ⎨ ⎬<br />
⎪ 1 ⎪ ⎪1 ⎪<br />
⎩<br />
⎪−1⎭ ⎪<br />
⎩<br />
⎪1 ⎭<br />
⎪<br />
<strong>de</strong> tal modo que as constantes ˆ k são <strong>de</strong>finidas como:<br />
T T<br />
1 2<br />
T T<br />
3 = η 4 = η<br />
4.1.2.4 Matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> estabilização implementada<br />
93<br />
(4.72)<br />
kˆ = ξ x kˆ<br />
= ξ y<br />
kˆ x kˆ<br />
y (4.73)<br />
A matriz estabilizante implementada no programa <strong>de</strong>senvolvido neste<br />
trabalho segue a forma <strong>de</strong>scrita pela (4.70) e foi proposta nos trabalhos<br />
(BELYTSCHKO; BACHRACH, 1986) e (BELYTSCHKO; BINDEMAN, 1991). A<br />
expressão da matriz é a seguinte:<br />
K<br />
⎡( cΨ + c Ψ ) γγ c Ψ γγ ⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
T T<br />
1 xx 2 yy 3 xy<br />
Estab. T<br />
c3Ψxyγγ T<br />
( c1Ψ yy + c2Ψxx<br />
) γγ<br />
(4.74)<br />
O operador <strong>de</strong> projeção γ é o mesmo dado na equação (4.64) e, portanto,<br />
só <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> das características geométricas do elemento. As constantes c 1 , c 2 e c 3<br />
envolvem as constantes elásticas (‘Lamè’) e variam <strong>de</strong> acordo com o tipo <strong>de</strong> elemento<br />
que se <strong>de</strong>seja utilizar. As relações (4.75) governam c 1,<br />
c 2 e c 3 , e são as seguintes:<br />
c = λ( e + e ) + 2 μ(<br />
e + e )<br />
c e<br />
c ( e e ) (4 ee e )<br />
2 2 2<br />
1 1 2 1 2<br />
2<br />
2<br />
= μ 3<br />
3 = λ 1+ 2<br />
2<br />
+ μ 1 2 +<br />
2<br />
3<br />
(4.75)<br />
A Tabela 4.1, apresenta os valores das constantes e 1 , e 2 e e 3 para cada<br />
tipo <strong>de</strong> elemento, conforme proposto em (BELYTSCHKO; BINDEMAN, 1991).<br />
Na relação (4.76) aparece a função <strong>de</strong> ampulheta (BELYTSCHKO et al,<br />
1984), <strong>de</strong>finida conforme a expressão a seguir:<br />
ψ ( ξη , ) = ξη<br />
(4.76)