Folha de Rosto - Sistemas SET - USP

92 Capítulo 4-Estratégias de Enriquecimento
B
desv
0
⎡ 2 ∂N1(0,0) 2 ∂N4(0,0) 1 ∂N1(0,0) 1 ∂N4(0,0)
⎤
⎢ ... − ... − ⎥
⎢ 3 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 3 ∂x
⎥
⎢ 1 ∂N1(0,0) 1 ∂N4(0,0) 2 ∂N1(0,0) 2 ∂N4(0,0)
⎥
= ⎢− ... −
...
⎥(4.67)
⎢
3 ∂x 3 ∂x 3 ∂y 3 ∂y
⎥
⎢ ∂N1(0,0) ∂N4(0,0) ∂N1(0,0) ∂N4(0,0)
⎥
⎢ ... ...
⎥
⎣ ∂y ∂y ∂x ∂x
⎦
Por sua vez, as suas derivadas são tais que:
⎡ 2 1
3b −
x, 3b
⎤
ξ y,
ξ
desv ⎢ ⎥
B 1 2
0, ξ = −
⎢ 3by, ξ 3bx,
ξ ⎥
⎢ b b ⎥
⎣ y, ξ x,
ξ ⎦
⎡ 2 1
3b −
x, 3b
⎤
η y,
η
desv ⎢ ⎥
B 1 2
0, η = −
⎢ 3by, η 3bx,
η ⎥
⎢ b b ⎥
⎣ y, η x,
η ⎦
(4.68)
(4.69)
As parcelas bx, ξ , bx, ξ , bx, ξ e bx, ξ são vetores linha (4x1) e o seu cálculo está
detalhado no Apêndice A. Com base nas matrizes de derivadas parciais acima e de
acordo com a equação (4.66) chega-se à seguinte matriz estabilizante:
K
Estab.
1 ⎡ ˆ T ˆ T
k11γγ k12γγ
⎤
= ⎢ ⎥
48A
ˆ T ˆ T
⎢⎣ k21γγ k22γγ
⎥⎦
(4.70)
Onde as constantes ˆ k ab dependem dos parâmetros elásticos do material
(‘Lamè’) e das coordenadas dos nós nos domínios paramétrico e físico, da seguinte
forma:
dadas por:
kˆ 1
=
9
+ kˆ + kˆ + kˆ + kˆ
ˆ ˆ 1
k12 = k21=− ( λ+ μ)(
kˆ ˆ ˆ ˆ
1k2+ k3k4) 9
kˆ 1
=
9
+ kˆ + kˆ + kˆ + kˆ
2 2 2 2
( λ 10μ)(
) μ(
)
11 2 4 1 3
2 2 2 2
( λ 10μ)(
) μ(
)
11 1 3 2 4
(4.71)
Na relação anterior se empregam vetores de coordenadas paramétricas